Resolução Prova ENADE 2008

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC)

FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)

COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450

Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat

E N A D E 2008

MATEMÁTICA

LICENCIATURA

QUESTÕES RESOLVIDAS

I N T R O D U Ç Ã O

Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 2008 para os cursos de

Licenciatura em Matemática.

Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades

Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2011.

Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela

nota 3,0 do ENADE 2008. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de

expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo.

O primeiro passo é entender os componentes da prova, pois esta prova avalia os

cursos de Licenciatura e Bacharelado.

A prova contém oito questões de múltipla escolha e duas discursivas avaliando a

formação geral, comuns para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado.

A prova contém dezessete questões de múltipla escolha e duas questões discursivas

avaliando componentes específicos de Matemática comuns para Licenciatura e Bacharelado.

A prova contém dez questões de múltipla escolha e uma questão discursiva

avaliando componentes específicos de Matemática para a Licenciatura.

O segundo passo é resolver a prova iniciando pela parte de conteúdos matemáticos.

Exige mais e no início da prova estamos menos desgastados. Devemos, também, em outro

momento, resolver as questões de formação geral.

Podemos começar pelas questões de múltipla escolha comuns à Licenciatura e

Bacharelado ou pelas questões específicas de Licenciatura. Neste momento é você que

escolhe! Mas, não se prenda em questões em que não esteja seguro ou que, ao iniciar a

resolução, se envolva em dificuldades.

As questões discursivas devem ser resolvidas, mesmo de forma incompleta. Nestas

resoluções existem pontuações variadas conforme seu empenho nos desenvolvimentos.

Existem nove questões sobre a percepção da prova sem nenhum peso para a nota.

Resolvemos e digitamos somente as questões de conteúdos específicos de

Matemática.

Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis

erros que por ventura tenhamos cometido.

Dedico este trabalho aos alunos concluintes 2011 do Curso de Licenciatura em

Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses.

Alzir Fourny Marinhos

E-mail: [email protected]

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)

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COMPONENTE ESPECÍFICO COMUM PARA LICENCIATURA E BACHARELADO.

Questão 11:

RESOLUÇÃO

A cara de uma lei parabólica é de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.

Veja que a função tem a cara de y = a (x – 12) ( x + 12) ou y = a (x 2 - 144) ou y = ax2 – 144.

Veja que c = - 144a e b = 0 (não temos a variável x na lei da função y = ax 2 - 144a).

Veja que yv = 3 , logo como yv = - a

cab

4

42 −temos 3 =

a

ac

4

4e c = 3.

Como c = - 144a temos 3 = - 144a e a = 48

1

144

3 −=− .



Então temos y = ).144(48

1 2 −− x

Para determinarmos a altura da bola (y) ao atingir o gol devemos substituir na função

y = )144(48

1 2 −− x o valor de x = 8.

Então temos y = 3

5

48

80)1448(

48

1 2 ==−−

Resposta : 3

5

Questão 12

RESOLUÇÃO:

Veja que a equação da circunferência é x2 + y2 + y = 0 e da parábola é x2 – y – 1 = 0.

Para a circunferência temos x2 + y2 – 2xcx – 2ycy + xc2 + yc

2 – r2 = 0.

Daí -2xc = 0 e xc = 0; - 2yc= 1 e yc = -2

1.

Para determinar o raio:

02 + 04

1 2 =− r . Daí r = 2

1.

A parábola tem a cara y = x2 – 1.



Veja as representações da parábola e circunferência:

−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

Item a - Veja que a reta de equação y = -1 é paralela ao eixo x, tangente ao vértice da parábola,

perpendicular ao eixo y e por consequência tangente à circunferência (que tem centro de

abscissa zero). Podemos ver também substituindo y = -1 nas equações da circunferência e

parábola e encontrando x = 0. A solução comum x = 0 e y = -1 ou o ponto (0, -1) determina a

solução do sistema formado pelas três equações: reta, circunferência e parábola. Determina o

ponto de intersecção entre esses gráficos. Determina que a reta de equação y = -1 é tangente

à circunferência e à parábola.

Item b- Para saber os pontos de intersecção entre as curvas devemos fazer a resolução do

sistema:

x2 = y + 1 e x2 + y2 + y = 0.

Logo temos y + 1 + y2 + y = 0 ; y2 + 2y + 1 = 0, que tem duas raízes iguais y = -1.

Logo para y = -1 temos x = 0 (veja em x2 = y + 1).

Então o ponto em comum entre as curvas é somente o ponto (0 , -1).

Item c- Veja que toda reta que passa pelo centro da circunferência intercepta a parábola.

Item d- O raio da circunferência é .2

1

Item e - A parábola tem concavidade para cima.

Resposta: A reta de equação y = -1 é tangente à circunferência e à parábola.



Questão 13

RESOLUÇÃO:

De 10 postos dois vendem gasolina adulterada.

Ao sortear dois desses dez postos pede-se a probabilidade de os dois postos com gasolina

adulterada serem sorteados.

Para o primeiro posto sorteado: 2 em 10;

e

Para o segundo posto sorteado (um já saiu): 1 em 9.

Daí 45

1

90

2

9

1

10

2 ==x

RESPOSTA: 45

1



Questão 14:

RESOLUÇÃO:

Veja que a reta que passa por (0,0) e (2,1) tem como equação y = 2

x.

Veja que a reta que passa por (0,0) e (1,2) tem como equação y = 2x.

Veja a equação da reta que passa por (1,2) e (2,1):



0

112

121

1

=yx

e y = - x + 3.

A representação do plano definido entre as retas é dada pelo sistema de inequações:

Em y = 2x temos y < 2x.

Em y =2

xtemos y >

2

x.

Em y = -x + 3 temos y < -x + 3.

Logo:

y – 2x < 0.

y - 2

x> 0 ou 2y – x > 0.

y < -x +3 ou y + x < 3.

Resposta:

y – 2x < 0;

2y – x > 0;

y + x < 3.



Questão 15:

RESOLUÇÃO:

ABDC é um quadrado pois AC, BD e AB são segmentos congruentes e num papel retangular,

logo de ângulos A e B com 900 .

ABDC é um quadrado que tem suas diagonais AD e BC interceptando-se em T formando

ângulos de 90 0.

Veja que o triângulo CAB é retângulo isósceles em A. Os ângulos C e B do triângulo CAB valem

45 0 pois CB e AD são diagonais do quadrado ABDC.



Logo o ângulo T do triângulo PTQ é reto em T e os outros ângulos P e Q são de 45 0, pois PT e

TQ são congruentes, formando um triângulo retângulo isósceles.

Logo o triângulo PQD é obtusângulo (ângulo em Q obtuso) mas o triângulo PTQ não é

eqüilátero, é isósceles.

RESPOSTA : A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.

Questão 16:

RESOLUÇÃO:

Para estudarmos o intervalo que a função é crescente devemos usar o conceito de derivada.

Estudar o sinal da função representada pela primeira derivada de g(t) = 0,)1(

102

≥+

tt

t.

No intervalo em que a função primeira derivada g ’ (t) for positiva determina que a função g(t)

é crescente neste intervalo; no intervalo em que a função primeira derivada g ’ (t) for negativa

determina que a função g(t) é decrescente neste intervalo.

Derivando g(t) temos g ’ (t) = 4

2

)1(

)1.(2.1010.)1(

++−+

t

ttt=

4

2

)1(

1010

++−

t

t.

Estudando os sinais da primeira derivada g ’ (t) = 4

2

)1(

1010

++−

t

t.

Fazendo f(t) = - 10 t2 + 10 e h(t) = (t + 1 ) 4 .



-1 0 +1 Valores para t.

f(t) - + + - f(t) = - 10 t2 +10

h(t) + + + + h(t) = (t+1)4

g ‘ (t) - + + - g ‘ (t) = 4

2

)1(

1010

++−

t

t

Temos que considerar t positivo e g ‘ (t) positivo. Veja que não podemos considerar

-1 < t < 1 pois temos a condição 0≥t para t.

Logo para g ‘ (t) positivo, que significa g(t) crescente, temos o intervalo 10 <≤ t . Veja que

para t = 0, g ’ ( t) é positiva, e para t = 1 temos g ’ (t) = 0 (não positiva).

Resposta: 10 <≤ t .

Questão 17:

RESOLUÇÃO:

2

2

2

2

44cos4 iisene

i+=+= πππ

2

2

2

2

4

3

4

3cos4

3

iisenei

+−=+= πππ



x

y

O ponto A está definido por ).2

2,

2

2(−

O ponto B está definido por ).2

2,

2

2(

O ponto C está definido por (0,2)

A base do triângulo é 22

22 = .

A altura do triângulo é .2

22 −

A área do triângulo ABC é:

.2

12

2

122

2

)2

22.(2

−=−=−

=S

RESPOSTA: .2

12 −



Questão 18

RESOLUÇÃO:

O conjunto Z 12 = { }11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 , +, . é anel.

a) Não há divisores de zero.

Falso, pois x é divisor de zero se x . a = a . x = 0 = 12 , para a em Z12.

Os divisores de zero são os elementos de Z 12 que dividem 12 (12 = 0 ).

No anel dos inteiros módulo 12 os divisores de zero são 6,4,3,2,1 .

b) Todo elemento não nulo é inversível.

Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero.

Veja exemplos:

0 + 0 = 0 . Inverso de zero é zero. 0 é o elemento neutro do anel.

O inverso de éa a−12 a em Z 12 .

Exemplos:

O inverso de é1 112 − , pois 0111 =+ . Inverso de 111 é .

Inverso de é4 412 − , pois 084 =+

c) O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R.

Verdadeiro, pois o subconjunto dos inversíveis é o próprio Z12, que é anel, logo, subanel

(por ser subconjunto).



d) A multiplicação não é comutativa.

Falso. Veja que Z 12 na multiplicação é comutativo.

Exemplo:

9213.77.3 ===

e) Há exatamente 4 elementos inversíveis.

Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero.

RESPOSTA : O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R.

Questão 19



RESOLUÇÃO:

).(;: tgdederivadaaédt

dgRRgSeja →

Seja Rxdtdt

tdgx

∈∫ ;)(

0

I- A função f é integrável em todo intervalo [a,b], a,b ∈ R, a < b.

Correto, pois veja que f(x) = ( ] )()(;)(

0

0

xgtgRxdtdt

tdg xx

==∈∫ + k.

f(x) é integrável em todo intervalo [a,b], pois existe g(x): R → R e sua derivada dx

dg, contínua,

considerados na questão.

II- A função f é derivável e sua derivada é a função g.

Incorreto, pois se f(x) = g(x) + k então f’(x) = g’(x).

III- A função diferença f – g é uma função constante.

Correto, pois a diferença f – g = g(x) + k – g(x) = k (constante).

Resposta: I e III apenas.



Questão 20

RESOLUÇÃO:

C x = { x + r / r ∈ Q}

a) o número π pertence ao conjunto C1 .

C 1 = { 1 + r: r ∈ Q}

1 (racional) + racional é racional, logo π (irracional) não pertence ao conjunto C1.

C 4 = { 4 + r / r Q∈ } ; r = 1 gera 5; r = 2 gera 6.

C 5 = { 5 + r / r Q∈ } ; r = 0 gera 5; r = 1 gera 6. Veja que já temos dois elementos, 5 e 6,

pertencentes à C 4 ∩ C 5 , Logo C 4 ∩ C 5 não possui um único elemento.

b) o conjunto C 4 ∩ C 5 possui um único elemento.

c) o número 2 pertence ao conjunto 3

C .

C 3 = { 3 + r: r ∈ Q}

3 mais racional não dará 2 já que 3 + racional = 2 , e um número racional não é

dado por 32 − . Logo o número 2 não pertence ao conjunto 3 .



d) os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais.

Vamos ver:

C 3 = { 3 + r 1 : r 1 ∈Q} e C 1/3 = { 1/3 + r2 : r 2 ∈Q}.

3 + r1 = 1/3 + r 2 ou r1 = r2 – 8/3.

Sempre haverá racionais r 1 e r 2 tal que r1 = r2 – 8/3. Assim: C 3 = { 3 + ( r 2 - 8/3) : r 2 ∈Q}

e C 1/3 = { 1/3 + r2 : r 2 ∈Q}.

e) o número zero pertence ao conjunto C π e C - π .

O número zero não pertence aos conjuntos pois não podemos ter π - π ou -π + π , já que a segunda parcela tem de ser racional.

RESPOSTA: Os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais.

Questão 21

RESOLUÇÃO:

O polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de Q(x) = x2 - 4.

O polinômio é divisível por x2 - 4. Então é divisível por (x-2) (x+2). Então é divisível por (x-2) e

(x+2).



Usando Briot Rufini:

2 1 - 3 k m

1 - 1 - 2 + k - 4 + 2k + m

- 2 1 - 3 k m

1 - 5 10 + k - 20 – 2k + m

Temos:

- 4 + 2k + m = 0

- 20 – 2k + m = 0

Resolvendo o sistema temos k = - 4 e m = 12.

RESPOSTA: k = - 4 e m = 12.

Questão 22



RESOLUÇÃO:

a) A transformação T(x,y) = (- x,y) é uma reflexão em torno do eixo y. A transformação dada faz reflexão em torno do eixo x e é dada por T(x, y) = ( x, - y).

b) Tem autovetor (0,-1) com autovalor associado igual a 2 ? Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que T(v) = λ v.

O escalar λ é denominado um autovalor de T associado a v. Pode-se concluir que v e T(v) são paralelos já que λ v tem a mesma direção de v. Veja que T(0,-1) = (0,1) e 2(0,-1) = (0, -2); (0, 1) e (0, -2) não são paralelos. Logo não temos autovetor (0, -1) com autovalor 2. c) T(2,0) = (2,0) e 1 (2,0 ) = (2,0). Como T(2, 0) = 1 (2,0), vetores paralelos, temos (2,0)

com autovalor 1.

d) Tem autovalor de multiplicidade 2?

Veja que T(x.y) = k (x,y) = (x, -y). Autovalor 1 para autovetores (x, 0). Apenas 1 como

autovalor. Não há autovalor de multiplicidade 2.

e) Uma transformação linear é inversível se for bijetora.

Veja que:

T( x, y ) = (x, - y) de R2 em R 2 é injetora pois para (a, b) ≠ (c, d) temos T (a, b) ≠ T (c, d).

T( x, y ) = (x, - y) de R2 em R 2 é sobrejetora pois para (x, y) no contradomínio R 2 teremos

sempre (x, - y) no domínio R2. Logo a transformação é bijetora. Logo tem inversa.

CRÍTICA À QUESTÃO:

O INEP coloca como resposta que a transformação não é inversível. Descordamos da resposta.

RESPOSTA: Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1.



Questão 23

RESOLUÇÃO:

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 4

3x + 3y + 4z = 5

Este sistema é impossível.

Veja por escalonamento:

Multiplicando a primeira equação por -2 temos -2x – 2y – 2z = -2.

-2x – 2y – 2z = -2

2x + 2y + 2z = 4

3x + 3y + 4z = 5



Ao somarmos a primeira equação à segunda temos:

-2x – 2y – 2z = -2

0x + 0y + 0z = 2

3x + 3y + 4z = 5

Veja que temos uma impossibilidade para valores de x, y, z na segunda equação: 0 = 2.

O determinante da matriz de coeficientes é zero. É verdadeiro. Duas colunas iguais gera

determinante zero. Mas isso não justifica a impossibilidade de solução pois poderíamos neste

caso ter um sistema indeterminado.

Daí termos as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma

justificativa correta para a primeira.

RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma

justificativa correta da primeira.

Questão 24



RESOLUÇÃO:

I 1 = { r1 - 32

1, r1 +

32

1}

I 2 = { r1 - 42

1, r1 +

42

1}

L1, L2, L3, ... definem comprimentos de cada intervalo I1, I2, I3.. .

L1 = r1 + 32

1- r1 +

32

1=

32

2.

L2 = r1 + 42

1- r1 +

42

1=

42

2e assim sucessivamente.

Então teremos 2

1

8

4

2

18

2

2

11

2

2

.......2

1

2

2

2

2 3

5431

===−

++=∑∞

=iiL .

RESPOSTA: 2

1



Questão 25

RESOLUÇÃO:

Vejamos as proposições apresentadas:

I - O volume da pirâmide é ½.

O Volume do tetraedro é dado por V =12

23a.



Como o tetraedro tem volume 1, calculamos a3 em 1 = 12

23a sendo a3 = 6 2 .

A pirâmide SMNP é um tetraedro.

Daí V =12

23a=

8

1

96

12

96

2.26

128

2

12

2)2

(3

3

====

aa

. O volume da pirâmide SMNP é

1/8.

II - A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo. Não, é um triângulo. III - As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas. Retas reversas são aquelas não coplanares, isto é, em planos distintos.

A reta que contém MP está no plano formado pela face RST e a reta que contém RU está no

plano SRU ou RUT. São retas não coplanares ou reversas.

RESPOSTA: III, APENAS.

Questão 26



RESOLUÇÃO:

f(x, y) = x3 – x 2 + 2xy – y2.

A condição necessária que (x0 , y

0) , interior do D f , seja máximo global é que (x0 , y

0 ) seja

ponto crítico de f e, além disso, .0),(0),( 002

2

002

2

≤≤ yxDy

Deyx

Dx

D

Veja:

).0,0()0,0(223),( 2 =+−=Dx

Deyxxyx

Dx

D

).0,0()0,0(22),( =−=Dy

Deyxyx

Dy

D

Logo (0,0) é ponto crítico.

Mas é necessário também:

.0)0,0(0)0,0(2

2

2

2

≤≤Dy

De

Dx

D

.02)0,0(26),(2

2

2

2

≤−=−=Dx

Dexyx

Dx

D

.02)0,0(2),(2

2

2

2

≤−=−=Dy

Deyx

Dy

D

Logo (0,0) é ponto máximo global.



As duas proposições são verdadeiras mas afirmar que a função tem um ponto máximo global, pois (0,0) é ponto crítico, não é verdade pois teremos, também, que verificar se

.0)0,0(0)0,0(2

2

2

2

≤≤Dy

De

Dx

D

RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdad eiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

Questão 27

RESOLUÇÃO:

Qual o resto da divisão de 2 334 por 23?

2 11 ≡ 1 ( mod 23)

( 2 11 ) 30 ≡ 1 30 ( mod 23)

2 330 ≡ 1 ( mod 23)

2 330 . 2 4 ≡ 1 . 2 4 ( mod 23)

2 334 ≡ 2 4 ( mod 23)

2 334 ≡ 16 ( mod 23)

Logo o resto da divisão de 2 334 por 23 é 16.

RESPOSTA: 16



COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM - QUESTÕES DISCURSIVAS

Questão 28.



RESOLUÇÃO:

ANO I II III

2000 13,6 2400 32640

2001 14 2700 37800

2002 16,4 2500 41000

2003 18,5 2800 51800

2004 21,5 2300 49540

2005 23 2200 50600

2006 22 2500 55000

2007 21 2800 58800



Título: A produção de soja no Brasil subiu de 2000 para 2007 em torno de 80 %.

Gráfico de linhas

No eixo horizontal temos as indicações dos anos.

No eixo vertical temos as representações das quantidades de quilogramas de soja produzidos

no Brasil.



Questão 29

RESOLUÇÃO:

a) Hipótese:

..,.3,2,1,1

1

=+=

=

+ nparaaaa

aa

nn

Tese: an < a para todo n 21 ≥≥ ae .

b) a(a-1) > 0 para a 2≥ .

Se a 2≥ , então a > 0 e a - 1 > 0. Logo a(a – 1) > 0.

c) 2≥< atodoparaaa . Quadrando temos a < a2 e a < a.a. Logo aa < .

d) Supondo que a n < a, prove que a n+1 < a2 .

Por indução:

Verificar para n = 1:

a) Para n = 1 temos a1 < a e sendo a1 = a temos a < a ( já provado).

b) Supor verdade para n = k e provar para n = k +1.

a k < a, por hipótese. Verificar para a k + 1..

Verificar se a k + 1 < a2 .

kk aaa +=+1



.2,,

2

2

aaaaatemoshipóptesepelaaaComo

aaa

aaa

nk

k

k

<+<+<

<+

<+

e) Mostre que a n+1 < a.

Já provamos que a n + 1 < a2 .

Veja que a2 < a pois 2a < a 2 e a + a < a .a, para a > 2.

Então a n+1 < a (para a > 2).

f) Prova da Indução:

a) Supor a proposição verdadeira para n = 1.

a1 < a. É verdade pois temos a1 = a e a < a ( já provado).Logo a1 < a.

b) Supor verdadeira para n = k.

kk aaa +=+1

Verificar para n = k+1.

111 +++ += kk aaa

a k + 2 < a. Já provado no item e que a n + 1 < a ( neste caso n = k + 1).



COMPONENTE ESPECÍFICO PARA LICENCIATURA.

QUESTÃO 30



RESOLUÇÃO:

Veja em I quando diz que todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma

de dois quadrados perfeitos, temos 4 . 1 + 1 = 5; 4 . 3 + 1 = 13; 4 . 4 + 1 = 17; 4 . 7 + 1 = 29

podendo ser escrito sim como uma soma de dois quadrados perfeitos.

Veja em II quando diz que todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma

de dois quadrados perfeitos, temos 4 . 1 + 3 = 7 e não pode ser escrito como uma soma de

dois quadrados perfeitos.

Veja em III quando diz que todo número primo da forma 2n +1 pode ser escrito como a soma

de dois quadrados perfeitos, temos 2.1 + 1 = 3 e não pode ser escrito como uma soma de dois

quadrados perfeitos.

Logo apenas a afirmação I está correta.

RESPOSTA: I, apenas.

QUESTÃO 31



RESOLUÇÃO:

Para que valores não nulos de m e k a função f(x) = m e kx é uma função crescente?

Veja que “e” > 1.

Para que a função seja crescente devemos ter os dois sinais iguais das constantes.

m positivo e k positivo.

m negativo e k negativo.

Para que a função seja decrescente devemos ter os dois sinais contrários das constantes.

Logo a melhor estratégia é esboçar os gráficos de y = ex e y = e – x e variar os valores de m e k

com constantes positivas e negativas.

RESPOSTA: Esbocem os gráficos da funções y = e x e y = e -x e analisem o que acontece com

esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou

negativas.

Questão 32



RESOLUÇÃO:

Veja que na afirmação “ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o professor deve

observar que ...”

O estudo de exponenciais é verificar leis que crescem geometricamente;

As funções logarítmicas podem ser usadas para transformar produto em soma.

As funções trigonométricas não necessariamente precisam ser apresentadas após as funções

exponenciais.

A função quadrática não representa crescimento populacional. Este crescimento é

exponencial.

O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e equações

algébricas. Como exemplo, determinar os zeros de uma função polinomial exige a resolução de

equação. Esta proposição está correta.

RESPOSTA: O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e

equações algébricas.

Questão 33



RESOLUÇÃO:

Veja que Pedro ao chegar em 2 – x = x2 não verificou que x = - 2 satisfaz a equação. Deveria

resolver a equação x2 + x – 2 = 0. Ao achar as raízes x = 1 e x= - 2, substituí - las na equação e

verificar que satisfazem.

Veja que João ao chegar em (x – 1) ( x + 1) = (2x +3) ( x – 1) não verificou que x = 1 satisfaz a

equação, simplificando os fatores x – 1. Ao simplificar desconsiderou a raiz 1. Deveria

desenvolver a expressão (x – 1) ( x + 1) = (2x +3) ( x – 1) e resolver a equação x2 + x – 2 = 0. Ao

achar as raízes x = 1 e x= - 2, substituí - las na equação e verificar que satisfazem.

A melhor metodologia é fazer com que os alunos discutam entre si, verifiquem os erros

cometidos, tentem compreender a causa dos erros e como corrigir estes erros.

RESPOSTA: Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e

estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e

como devem fazer para corrigi-las.



Questão 34

RESPOSTA:

Sem nenhuma preocupação no enunciado devemos saber que o uso do software de geometria

dinâmica pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.

RESPOSTA: pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.



Questão 35



RESOLUÇÃO:

As multiplicações eram feitas desta forma no Egito, antes de Cristo, conforme descrições no

Papiro de Rhind.

Ao fazer 33 . 47, na primeira coluna colocavam números (sempre potências de 2): 2 0, 2 1, 2 2,

23, . . ., e na segunda coluna o fator 47 seus múltiplos.

Veja no exemplo o que ocorre:

Na primeira coluna verificamos os números que somados dá o fator 33, que são 1 e 32, e

verificamos os números correspondentes na segunda coluna, que são 47 e 1501. A soma 47 +

1504 é o resultado do produto 33 x 47.

Quando faziam 1 + 32 relacionando com 47 + 1504 estavam usando as propriedades

multiplicativa e aditiva:

(1 + 32).47 = 1 . 47 + 32 . 47 = 47 + 1504 = 1551.

Se fizessem na primeira coluna potências de 3, como:

1 47

3 141

9 423

27 1269

Como encontrar o produto 8 . 47?

Não teremos na primeira coluna como encontrar a soma 8.

Para potências de dois na primeira coluna isso sempre é possível pois todo número pode ser

escrito como uma soma de potências de 2: Se o número for par potência de 2; se for par não

potência de 2 (será soma de potências de 2); se for impar (será soma de potências de 2 e 1 que

é 20).

Logo utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2. RESPOSTA: as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.



QUESTÃO 36


COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450

RESOLUÇÃO:

Veja que os segmentos definidos no geoplano determinam hipotenusas de triângulos

retângulos, que, nos exemplos, são números irracionais.

Temos os triângulos de catetos 1 e 1 e hipotenusa 2 .


Temos os triângulos de catetos 2 e 4 e hipotenusa 20 = 52

Temos os triângulos de catetos 3 e 3 e hipotenusa 18 = 23


Ao fazermos essas representações estaremos determinando segmentos que são números

irracionais. Comparando-os podemos verificar propriedades sobre irracionais.

A proposição “ o geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento da

circunferência e seu diâmetro” está incorreta pois como o número PI ( relação entre o

comprimento de uma circunferência e seu diâmetro) não pode ser determinado pelo triângulo

retângulo, então não pode ser obtido pelo geoplano.

RESPOSTA : O geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.



QUESTÃO 37

RESOLUÇÃO:

Ao propor situações problemas devemos fazer com que os alunos exponham as suas

resoluções, discutam, verifiquem erros, caso tenham, façam conjecturas e críticas.

Nesta questão as duas proposições são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da

primeira.

RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.



QUESTÃO 38

RESOLUÇÃO:

Para que uma letra possa ser vista da mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta

de vidro, ao rotacioná-la deverá ter a mesma forma, daí ser simétrica em relação a um eixo

vertical.

RESPOSTA: letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical.



QUESTÃO 39



RESOLUÇÃO:

Na questão I colocaram 0, ab sendo b

a. Colocaram 0, 25 sendo

5

2.

Na questão II colocaram d

csendo c a parte inteira e d a decimal. Colocaram -

5

2como -2,5.

A consideração que a/b = b/a na questão I não são consideradas equivalentes pois

representam 0,ab = 0,ba e na questão II consideram a,b = b,a

Na questão I consideram 0,25 como 5

2 e

4

1 como 0,14. Consideram números diferentes.

Na questão II consideram – 5

2como -2,5 e -0,4 como -

4

0. Consideram números diferentes.

A proposição “Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações a/b e b/a são equivalentes” não justifica o erro cometido pois não temos as mesmas representações para 2/5 e 5/2 , por exemplo, quando indicam na reta conforme suas concepções. RESPOSTA: Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações a/b e b/a são equivalentes. COMPONENTE ESPECÍFICO LICENCIATURA – DISCURSIVA



RESOLUÇÃO:

A) Retângulo ABCD. Ângulo A, B, C, D retos.

Provar que o quadrilátero IJKL tem lados opostos congruentes.

Lado AL = 9 – x ; Lado CJ = 9 – x; AL e CJ congruentes.

Lado BI = 7 – x; Lado DK = 7 – x; BI e DK são congruentes.

Os triângulos retângulos IAL e JCK são congruentes (caso LAL). Logo LI e JK são

congruentes.

Os triângulos retângulos IBJ e LDK são congruentes (caso LAL). Logo LK e IJ são

congruentes.

O quadrilátero IJKL é um paralelogramo.

B) área do paralelogramo em função de x:

A função que fornece a área do paralelogramo IJKL é dada por:

S(x) = .63162]2.2

).7(2.

2

).9([63 2 +−=−+−− xx

xxxx

A função quadrática S(x) = 2x2 – 16 x + 63 (determina a área do paralelogramo IJKL em

função da medida x) admite área mínima (concavidade para cima).

318

248

8

63.816

44

16

2

==−−=

==

v

v

y

x

Ponto de mínimo:

x = 4cm e S(x)= 31 cm2



C) Congruência de triângulos.

Definição de paralelogramo e suas propriedades.

Área de retângulo e triângulo.

Equação do segundo grau.

Função de uma variável.

Função do segundo grau: gráfico, vértice, máximo ou mínimo.

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Resolução Prova ENADE 2008