Resolução prova ENADE 2011

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    14-Apr-2015

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1 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat E N A D E 2011 MATEMTICA LICENCIATURA QUESTES RESOLVIDAS 2 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat I N T R O D U O Estamos apresentando a resoluo da prova do ENADE, pelos Professores Alzir Fourny Marinhos e Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos, aplicada em 2011 para os cursos de Licenciatura em Matemtica. Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2014. Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela nota 3,0 no ENADE 2008 e ENADE 2011. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo. Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possveis erros que por ventura tenhamos cometido. A digitao foi realizada pelo Professor Alzir Fourny Marinhos. Dedicamos este trabalho aos alunos do Curso de Licenciatura em Matemtica das Faculdades Integradas Campo-Grandenses. Alzir Fourny Marinhos E-mail: profalzir@hotmail.com Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos E-mail : professor.rodrigo.neves@gmail.com 3 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat RESOLUO: Em Ax = b, A representa uma matriz formada pelos coeficientes do sistema, x representa a matriz das variveis e b a matriz dos termos independentes. Para nosso caso, b = 0 (sistema homognio) e determinado. Apenas a soluo (0, 0, 0, . . .). Veja, como exemplo, o sistema homognio determinado. Apenas com a soluo (0, 0, 0): 6x = 0 2x + 5y = 0 3x 3y + 7z = 0 4x + y 2z = 0 4 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat Representamos Ax = b como |||||.|

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\|0000.2 1 47 3 30 5 20 0 6zyx As colunas da matriz A so linearmente independentes pois x( 6, 2, 3, 4) + y(0, 5, -3, 1) + z(0, 0, 7, -2) = (0, 0, 0,0) tem como soluo apenas x=0, y=0 e z=0, chamada soluo trivial . Para que a soluo seja trivial as colunas da matriz A devem ser linearmente independentes. Veja que em 6x = 0 temos x = 0; se x = 0 temos em 2x + 5y = 0 o valor de y = 0; em 3x 3y +7z = 0 temos x = 0, y = 0 e z = 0. Ento para 4x + y 2z = 0 teremos tambm x = 0, y = 0 e z = 0. Se existirem escalares x, y, z nem todos nulos, os vetores so linearmente dependentes. Anlise da afirmao I: As colunas da matriz A so linearmente dependentes Falso. Anlise da afirmao II: O sistema de equaes lineares Ax = b tem infinitas solues Falso. Tem uma nica soluo (dado na questo). Anlise da afirmao III: Se m > n, ento a matriz A tem m-n linhas que so combinaes lineares de n linhas Verdadeiro. Quando m (nmero de linhas ou equaes) menor que n (nmero de colunas ou incgnitas) o sistema ser sempre indeterminado. Quando m (nmero de linhas ou equaes) maior que n (nmero de colunas ou incgnitas) tiver soluo nica, haver m - n equaes que so combinaes lineares de n linhas. Veja, no sistema dado como exemplo, que 4x + y 2z = 0 tem a mesma soluo das outras equaes, com x = 0, y = 0 e z = 0, sendo ento uma equao equivalente s outras. Logo ser uma combinao linear das outras trs. Tem 1 linha (m n linhas) como combinao linear de 3 linhas (n linhas). Se tivermos cinco linhas (m) e duas colunas (n) significa que teremos duas variveis e teremos duas equaes para encontrarmos a soluo trivial. Teremos trs linhas (m n linhas) como combinao linear de duas linhas (n linhas). Anlise da afirmao IV: A quantidade de equaes do sistema Ax = b maior ou igual quantidade de incgnitas - Verdadeiro. m (nmero de linhas ou equaes) maior ou igual n (nmero de colunas ou incgnitas) uma condio para que o sistema homognio tenha soluo nica 5 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat (determinado). A outra condio que colunas da Matriz A sejam linearmente independentes. RESPOSTA: LETRA C RESOLUO: Note que dividindo todos os termos de ene nnee n nnn< < ! por n positivo mantm-se a desigualdade. nene nnnnee n n n n< < ! enennee n n n< < ! Vamos avaliar por parte: 6 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat 1- e eeeeeenn1lim01 1= = = 2- = ee n n nn1 1.lim nlime e eennnn 1 1. 1 lim .11= = Veja que nlime eee nnnn 1lim 111= = . Pelo teorema do confronto: enennee nnnnnn < < lim!lim lim e nnenn1 !lim1< < Logo e nnnn1 !lim = RESPOSTA: B 7 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat RESOLUO: Para o grupo de permutaes S3 temos seis elementos: .1 2 33 2 102 3 13 2 1min1 2 33 2 1;2 1 33 2 1;1 3 23 2 1;3 1 23 2 1;2 3 13 2 1;3 2 13 2 154 3 2 1 0||.|

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\|= =ar Deterff f f f e f 8 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat 1 leva ao 3 e 3 leva ao 2. Logo 1 leva ao 2. 2 leva ao 2 e 2 leva ao 3. Logo 2 leva ao 3. 3 leva ao 1 e 1 leva ao 1. Logo 1 leva ao 1. Da: ||.|

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\|1 2 33 2 102 3 13 2 1= ||.|

\|1 3 23 2 1 RESPOSTA: B 9 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat 10 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat RESOLUO: Na figura I, o semicrculo formado pelo contorno de A1 tem dimetro r (O lado do hexgono inscrito na circunferncia igual ao raio da circunferncia). rea do semicrculo acima = 8)2(21 22 r r tt = Na figura II o semicrculo formado pelo contorno de A2 tem dimetro 2 r . O lado do quadrado inscrito na circunferncia de raio r igual a 2 r . rea do semicrculo acima = 4)22(21 22 r r tt = Se ligarmos os extremos de cada lnula ao centro O, considerando o segmento que lado tanto do hexgono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois tringulos. 11 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat No caso da figura I ser um tringulo equiltero de lado r que o lado do hexgono regular inscrito. A altura do tringulo e tambm aptema do hexgono 23 r. A rea do tringulo 223.rr= 4. 32r No caso da figura II ser um tringulo retngulo issceles de catetos r e hipotenusa 2 r (lado do quadrado inscrito). A altura do tringulo 22 r. A rea do tringulo =222. 2 rr2.2r Se ligarmos os extremos de cada lnula ao centro O, considerando o arco da circunferncia de raio r, obteremos dois setores circulares. No caso da figura I o setor circular tem rea igual a 00236060r t = 62r t. No caso da figura II o setor circular tem rea igual a 00236090r t = .42r t Com os resultados acima podemos calcular as reas A1 e A2 (rea das lnulas): A1 = 24) 3 6 (4 4382 2 2 2r r r r t t t = + 12 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat A2= 2 4 2 42 2 2 2r r r r= + t t Agora vamos determinar a razo entre as reas A1 e A2 . 123 6224) 3 6 (22tt=rr 123 6 t irracional. A razo entre as reas A1 e A2 das lnulas L1 e L2 no um nmero racional. Veja que A1 e A2 no so representadas da forma t. q, onde q racional. RESPOSTA: E 13 FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAO DE MATEMTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat RESOLUO: Anlise dos itens. O item I falso. Na equao Z4 = 1 temos quatro solues. Veja que temos as solues reais 1 e -1. As outras duas solues so complexas. 14 FUNDAO EDUCACIONAL U