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RESOLUO DA PROVA DE MATEMTICA DO VESTIBULAR 2014

DA FUVEST-FASE 2.

POR PROFA. MARIA ANTNIA C. GOUVEIA

M01 Dados m e n inteiros, considere a funo f definida por ,2)(nx

mxf

para

a) No caso em que m = n = 2, mostre que a igualdade 2)2( f se verifica.

b) No caso em que m = n = 2, ache as intersees do grfico de f com os eixos coordenados.

c) No caso em que m = n = 2, esboce a parte do grfico de f em que x 2, levando em conta as informaes obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na pgina de respostas.

d) Existe um par de inteiros (m, ) (2, 2) tal que a condio 2)2( f continue sendo satisfeita?

RESOLUO:

a) No caso em que m = n = 2, e

2)2f (

:

22

22

42

222444

)22)(22(

)22)(222()2(

)22)(22(

)22)(222(

22

222

22

2422

22

22)2(

2

22)(

Logo,RESPOSTA

f

fx

xf

b) No caso em que m = n = 2, e

2

22)(

2

22)(

x

xxf

xxf que intercepta o eixo x no ponto A = (x, 0) e o eixo y no ponto

B = (0, y).

Determinao do ponto A:

0 ,112202202

22

Axxx

x

x.

Determinao do ponto B:

1 ,0 120

20

By

RESPOSTA: As intersees do grfico de f com os eixos coordenados so os pontos 0 1 , e 1 0 , .

2

c) Pelos itens a e b o grfico de f , no caso em que m = n = 2, e , passa pelos pontos 2 ,2 , 0 ,1 e 1 ,0 .

2 com ,2

)(0 xx

xf

2 com ,2

2)(1

x

xxf

O grfico de f0(x) se deslocou duas unidades

para a esquerda.

2 com ,2

2)(2

x

xxf

O grfico de f1 (x) sofreu uma reflexo em

relao ao eixo x.

2 com ,2

22)(

x

xxf

O grfico de f2 (x) se deslocou duas unidades

para cima determinando o grfico de f(x).

d)

2m e 2n

24 e 222 e 22222222

22

2222)2( para ,

222)(

mnmnnnmn

n

mnf

nx

mnx

nx

mxf

RESPOSTA: No existe um par de inteiros (m, n) (2, 2), tal que a condio 2)2f( continue

sendo satisfeita.

3

M02 Considere a circunferncia de equao cartesiana x2 + y2 4y = 0 e a parbola de equao y = 4 x2.

a) Determine os pontos pertencentes interseo de com .

b) Desenhe, no par de eixos dado na pgina de respostas, a circunferncia e a parbola . Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequaes

x2 + y

2 4y 0 e y 4 x2.

RESOLUO:

a)

3 e 1

0 e 4

1 4

0)1)(4(

045

44

4

4

4

04

2

2

2

22

2

22

xy

xy

youy

yy

yy

yyy

yx

yyx

xy

yyx

RESPOSTA: Os pontos pertencentes interseo de com so: 0) ,3( e 0) ,3( 4), (0 ,

b) De x2 + y

2 4y = 0, tem-se: x2 + (y 2)2 4 = 0 a circunferncia tem centro no ponto (0, 2) e raio 2.

A parbola de equao y = 4 x2 tem vrtice no ponto (0, 4). Como as razes dessa funo so 2 e 2, a parbola intercepta o eixo x nos pontos ( 2, 0) e (2, 0)

RESPOSTA: O conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequaes

x2 + y

2 4y 0 e y 4 x2, est representado pela regio destacada na figura abaixo.

M03 Os coeficientes a, b e c do polinmio cbxaxxxp 23)( so reais. Sabendo que 1 e 1 + ai,

com a > 0, so razes da equao 0)( xp e que o resto da diviso de )(xp por (x 1) 8, determine

a) o valor de a;

b) o quociente de )(xp por (x + 1).

i a unidade imaginria, .12 i

4

RESOLUO:

Sendo reais as razes do polinmio cbxaxxxp 23)( , se duas de suas ra es s o 1 e 1 + ai. ento

a terceira raiz 1 ai.

Pode-se escrever aixaixxxp 111)( .

a) Se o resto da diviso de )(xp por (x 1) 8, ento:

2820 com,2)1(8111111)1( 2 aaaaiaipaiaip .

RESPOSTA: a = 2.

b) Sendo a = , ixixxxp 21211)(

5241221)(

2121)(1

21211

1

)(

2222

xxxxixxq

ixixxqx

ixixx

x

xpxq

RESPOSTA: 52xxq(x) 2

M04 Uma bola branca est posicionada no ponto Q de uma

mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P,

conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q

intersecta o lado L da mesa no ponto R. Alm disso, Q o

ponto mdio do segmento PR , e o ngulo agudo formado

por PR e L mede 60. A bola branca atinge a vermelha, aps

ser refletida pelo lado L. Sua trajetria, ao partir de Q, forma

um ngulo agudo com o segmento PR e o mesmo ngulo agudo com o lado L antes e depois da reflexo. Determine a tangente de e o seno de .

RESOLUO:

Os tringulos retngulos I e II so semelhantes e compem o tringulo retngulo PUR.

Como, RS = QRsen30 RS = 22

1 xx

.

5

Sendo semelhantes os tringulos retngulos I e II, PR = 2QR RU = 2RS RU = x SU = RS = 2

x.

No tringulo I, QS = RStg60 QS = 2

3x PU = 3

2

32 x

x

.

Os tringulos retngulos IV e V so semelhantes, sendo PU = 2QS UT = 2ST.

Na figura III v-se que SU = ST + UT = ST + 2ST SU = 3ST 36

32

xUT

xSTST

x .

Pelo tringulo IV: 33x

6.

2

3x

6

x:

2

3x

ST

QStg .

No tringulo V: 3

72

9

28

93

2222222 xPT

xPT

xxPTUTPUPT

No tringulo V:

3

72xPT , 3xPU e

3

xUT , ento,

14

213

72

33

3

72:3

xx

PT

PUsen

e 14

7

72

1

3

72:

3cos

xx

PT

UT .

No tringulo V:

7

21

28

214

14

213

2

1

14

7

2

3sen

sensensen 120coscos1201209030

RESPOSTA: 33tg e 7

21sen

M05 Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contm bolas azuis e bolas brancas. As bolas de

mesma cor so idnticas entre si e h pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir

quantas bolas de cada cor esto no recipiente, usouse uma balana de dois pratos. Verificouse que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:

i) 16 bolas brancas idnticas s que esto no recipiente ou

ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idnticas s que esto no recipiente ou

iii) 4 recipientes vazios tambm idnticos ao que contm as bolas.

Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na

mesma unidade de medida, determine

a) os quocientes B

A

P

Pe

B

R

P

P;

b) o nmero nA de bolas azuis e o nmero nB de bolas brancas no recipiente.

6

RESOLUO:

a) As afirmativas i), ii) e iii) podem ser representadas pelas igualdades:

i) BRBBAA PPPnPn 16 ;

ii) ABRBBAA PPPPnPn 510 ;

iii) RRBBAA PPPnPn 4

De i) e ii) tem-se: 5

6

P

P

B

A

B

B

B

ABABAB

P

P

P

PPPPPP

5

6

5

56516510

De i) e iii) tem-se: 4P

P

B

R

B

B

B

RBR

P

P

P

PPP

4

16

4

4164

RESPOSTA: 5

6

P

P

B

A e 4P

P

B

R .

b) De 5

6

B

A

P

Ptem-se

5

6 BA

PP , e de 4

B

R

P

Ptem-se BR PP 4

Substituindo os valores de PA e PR na igualdade BRBBAA PPPnPn 16 :

)12(565606

6056165

6510164

5

6

BABA

BABB

BBBBBB

A

nnnn

nnPP

PPPPnP

n

De **a e com,1256n ZnZnn BaB conclui-se que: an mltiplo de 5 e Bn12 mltiplo de 6. Como 6012 BB nn 561256 aa nn

RESPOSTA: O nmero de bolas azuis 5 e o de bolas brancas 6.

M06 Considere o tringulo equiltero AOOBO de lado 7cm.

a) Sendo A1 o ponto mdio do segmento OOBA , e B1 o ponto

simtrico de A1 em relao reta determinada por O e BO,

determine o comprimento de 1OB .

b) Repetindo a construo do item a), tomando agora como

ponto de partida o tringulo A1OB1, podese obter o tringulo A2OB2 tal que A2 o ponto mdio do segmento

11BA e B2 o ponto simtrico de A2 em relao reta

determinada por O e B1.

Figura obtida aps aplicar o

procedimento duas vezes.

Repetindo mais uma vez o procedimento, obtmse o tringulo A3OB3. Assim, sucessivamente, podese construir uma sequncia de tringulos AnOBn tais que, para todo n 1, An o ponto

mdio de 11 nn BA , e Bn , o ponto simtrico de An em relao reta determinada por O e Bn 1 , conforme

figura ao lado.

Denotando por an, para n 1 , o comprimento do segmento nn AA 1 , verifique que a1, a2, a3, uma

progresso geomtrica. Determine sua razo.

c) Determine, em funo de n, uma expresso para o comprimento da linha poligonal A0 A1 A2.... An,

n 1.

O ponto P simtrico ao ponto P em relao reta r se o segmento 'PP

perpendicular reta r e a interseo de r e o ponto mdio de 'PP .

7

RESOLUO

a) Sendo equiltero o tringulo AOOBO e A1 o ponto mdio do

segmento OOBA , o segmento 1OA a altura desse tringulo, logo,

OA1 2

37

2

3

l

Como B1 o ponto simtrico de A1 em relao reta determinada

pelos pontos O e BO, OA1A2 um tringulo retngulo congruente

ao tringulo OA2B1. Os trs ngulos do tringulo OA1B1 so

congruentes, logo ele equiltero e OA1 = OB1.

RESPOSTA: o tringulo OA1B1 equiltero e OB1 = 2

37cm.

b) Se os tringulos AnOBn so todos equilteros, os segmentos

0 com , nOAn so lados desses tringulos e os segmentos

1nOA alturas desses mesmos tringulos.

Como an, para n 1 , o comprimento do segmento nn AA 1 ,

a1 = 2

7 , a2 =

4

37

2

3

2

73

2

7

2

1 ,

a3 = 8

21

2

3

2

7

2

32

37

2

12

an =

1

2

3

2

7

n

RESPOSTA: uma P.G. de razo 2

3

c) Os comprimentos dos segmentos que formam a poligonal A0 A1 A2.... An so, em cm:

1n432

2

3

2

7,......,

2

3

2

7 ,

2

3

2

7 ,

2

3

2

7 ,

2

3

2

7 ,

2

7

que formam uma P.G. de n termos.

O comprimento da poligonal A0 A1 A2.... An :

32

2

317

3232

322

317

32

2

2

31

2

7

2

31

2

31

2

7

n

n

n

n

nS

RESPOSTA: 322

317

n

cm