– 1

FRENTE 1 – ÁLGEBRA

n Módulo 19 – Sistemas Lineares

1)

Regra de Cramer

D = = 3 – 3 + 0 – 0 – 0 – (– 2) � D = 2

Dx = = 3 – 3 + 0 – 0 – 0 – 2 � Dx = – 2

Dy = = 2 – 3 + 0 – 0 – (– 3) – (– 2) = 4 � Dy = 4

Dz = = 3 + 2 + 0 – 3 – 0 –(– 2) = 4 � Dz = 4

x = = = – 1; y = = = 2; z = = = 2

S = {– 1; 2; 2}

2)

D = = – 7

Dx = = 14 x = = = – 2

Dy = = 7 y = = = – 1

Dz = = – 7 z = = = 1

3x0 + 5y0 + 4z0 = 3 · (– 2) + 5 · (– 1) + 4 · 1 = – 7

Resposta: B

3)

D = = 5

Dx = = – 5m – 5 ⇒

⇒ x = ⇒ x = = – m – 1

Dy = = 5m + 15 ⇒

⇒ y = ⇒ y = = m + 3

Dz = = – 10m – 10 ⇒

⇒ z = ⇒ z = = – 2m – 2

S = {(– m – 1; m + 3; – 2m – 2)}

4)

D = = – = – (b – a)(c – b)(c – a)

Dz = = – (b – a)(c – b)(c – a)

Determinante de Dz observe que é idêntico ao determinanteda matriz incompleta (D) pois os resultados das equaçõescoicidem com os coeficientes de z.Resposta: E

5)

Para que o sistema tenha uma única solução (SPD) basta queo determinante dele seja não nulo (D ≠ 0).

D = ≠ 0 ⇒ 25 – 5a ≠ 0 ⇒ a ≠ 5

Resposta: D

CADERNO 5 – CURSO E

�x + y = 1

– 2x + 3y – 3z = 2x + z = 1

�1 1 0

– 2 3 – 31 0 1 �

1 1– 2 31 0

�1 1 02 3 – 31 0 1 �

1 12 31 0

�1 1 0

– 2 2 – 31 1 1 �

1 1– 2 21 1

�1 1 0

– 2 3 21 0 1 �

1 1– 2 31 0

Dx–––D

– 2–––2

Dy–––D

4–––2

Dz–––D

4–––2

�3x + z = – 5x + y + z = – 22y – z = – 3

�3 0 11 1 10 2 – 1�

�– 5 0 0– 2 1 1– 3 2 – 1� Dx–––

D

14–––– 7

�3 – 5 01 – 2 10 – 3 – 1� Dy–––

D

7–––– 7

�3 0 – 51 1 – 20 2 – 3� Dz–––

D

– 7–––– 7

�x + y + z = – 2m

x – y – 2z = 2m2z + y – 2z = 3m + 5

�1 1 11 – 1 – 22 1 – 2�

�– 2m 1 12m – 1 – 2

3m + 5 1 – 2 �Dx–––D

– 5m – 5––––––––

5

�1 – 2m 11 2m – 22 3m + 5 – 2 �Dy–––D

5m + 15––––––––

5

�1 1 – 2m1 – 1 2m2 1 3m + 5�Dz–––D

– 10m – 10––––––––––––

5

�ax + y + a2z = a2

bx + y + b2z = b2

cx + y + c2z = c2

�a 1 a2

b 1 a2

c 1 c2� �1 a a2

1 b a2

1 c c2�

�a 1 a2

b 1 a2

c 1 c2�

�x + 2y + 3z = 133x + y + 2z = 134x + 3y + az = 14

�1 2 33 1 24 3 a�

MATEMÁTICA

6)

a = 1

D = = 25 – 5a = 25 – 5 = 20 (para a = 1)

Dx = = 13 + 56 + 117 – 42 – 78 – 26 ⇒

⇒ Dx = 40 � x = = = 2

Dy = = 13 + 104 + 126 – 156 – 28 – 39 ⇒

⇒ Dy = 20 � y = ⇒ y = = 1

Dz = = 14 + 104 + 117 – 52 – 39 – 84 ⇒

⇒ Dz = 60 � z = ⇒ z = = 3

S = {(2; 1; 3)}

7)

a) Se (k; 3k) é solução então

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ k = 2

b) Para k = 2 a solução será (k; 3k) = (2; 6) e portanto x + y = 2 + 6 = 8

Resposta: C

n Módulo 20 – Método De Gauss(Escalonamento)

1) ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

Resposta: E

2)⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

Logo ab · c · d = x · y · w · z = – · · – =

Resposta: C

3) Seja h o número de homens e m o número de mulheres queaguardam o Dr. Antonio. Chegando o Dr. Antonio o númerode homens será h + 1 e teremos: h + 1 = 4m ⇒ h = 4m – 1 �

m + 1 = ⇒ h = 3m + 3 �

Igualando � e � teremos:4m – 1 = 3m + 3 ⇒ m = 4h = 4m – 1 = 4 · 4 – 1 = 15O total de pessoas aguardando o Dr. Antônio será 19 (h + m = 15 + 4 = 19)Resposta: B

4) ⇒ ⇒

⇒

Assim: A tem R$ 302,00, B tem R$ 1208,00, C tem R$ 594,00 eD tem R$ 614,00.

5) ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

Resposta: B

�x + 2y + 3z = 133x + y + 2z = 134x + 3y + z = 14

�1 2 33 1 24 1 1 �

�13 2 313 1 214 3 1 �

13 213 114 3 �

Dx–––D

40–––20

�1 13 33 13 24 14 1 �

1 133 134 14 �

Dy–––D

20–––20

�1 2 133 1 134 3 14 �

1 23 14 3 �

Dz–––D

60–––20

� 2kx – y = 25x + ky = 22

�2k · k – 3k = 2

5 · k + k · 3k = 22 �2k2 – 3k = 25k + 3k2 = 22 �2k2 – 3k – 2 = 0

3k2 + 5k – 22 = 0

�1

k1 = 2 ou k2 = – ––2

11k1 = 2 ou k2 = – –––

3

� x + 2y + 3z = 144y + 5z = 23

6z = 18 � x + 2y + 3z = 144y + 5z = 23

z = 3

� x + 2y + 3z = 144y + 5 · 3 = 23

z = 3 � x + 2y + 3z = 14z = 2z = 3

� x + 2 · 2 + 3z = 14y = 2z = 3 � x = 1

y = 2z = 3

�x + y = 0y + z = 0z + w = 0y + w = 1

�x + y = 0y + z = 0z = – w

y = 1 – w�

x + y = 01 – w + (– w) = 0z = – wy = 1 – w

�x + y = 01 – 2w = 0z = – wy = 1 – w

�x + y = 0w = 1/2z = – 1/2y = 1/2

�x + y = 0w = 1/2z = – 1/2y = 1/2

�x = – 1/2w = 1/2z = – 1/2y = 1/2

� 1––2 � 1

––2 � 1

––2 � 1

––16

h–––3

�A + B + C + D = 2718

B2A = ––– = C + 10 = D – 10

2�

A + B + C + D = 2718B = 4AC = 2A – 10D = 2A + 10

�A + 4A + 2A – 10 + 2A + 10 = 2718

B = 4AC = 2A – 10D = 2A + 10

�A = 302B = 4 · 302 = 1208C = 2 · 302 – 10 = 594D = 2 · 302 + 10 = 614

�A + B = 702A + C = 105B – C = 5 �B = 70 – A

C = 105 – 2AB – C = 5

�B = 70 – AC = 105 – 2A(70 – A) – (105 – 2A) = 5 �B = 70 – A

C = 105 – 2A70 – A – 105 + 2A = 5

�B = 70 – AC = 105 – 2AA = 40 �B = 70 – 40

C = 105 – 240A = 40 �B = 30

C = 25A = 40

2 –

6) Seja t o número de rolos de 30m, e v o número de rolos de20m. Total de rolos 80: t + v = 80; 2080m de arame: 30t + 20v= 2080.

⇒ ⇒

⇒ segunda equação menos o dobro da primeira ⇒

⇒ ⇒

Resposta: E

7)

Observe que somando as quatro equações teremos:3x + 3y + 3z + 3t = 15 ⇒ x + y + z + t = 5Resposta: C

8) · =

Multiplicando nas matrizes teremos:

a) Somando as duas primeiras equações:

b) (Terceira equação) – (primeira equação):

Para que as duas últimas equações sejam compatíveis éneces sário que k – 5 = 7 ⇒ k = 12. Neste caso o sistema épossível e indeterminado, verifique que a última equação é asoma do dobro da primeira equação com a segunda equação.Resposta: E

n Módulo 21 – Sistema LinearHomogêneo

1)

= 35 + 6 + 54 – 63 – 9 – 20 = 3 ≠ 0 ⇒

⇒ Sistema possível e determinado, e a única solução é atrivial: S = {(0; 0; 0)}.

2) · = ⇔

= 11 + 28 – 330 + 5 + 154 + 132 = 0

Como o determinante do sistema é nulo, o sistema é possívele indeterminado. Descartando-se a segunda equação esubtraindo a terceira da primeira teremos:

⇒ ⇒

Fazendo z = k o conjunto solução será:

S = – k; – k; k

� k � �

3) (2x + y – z)2 + (x – y)2 + (z – 3)2 = 0Como x, y e z são números reais e a equação acima é a somados quadrados de três números reais, as parcelas da somasão maiores ou iguais a zero. Como a soma é zero, entãocada parcela é nula:

⇒ ⇒ ⇒

⇒

Assim, x + y + z = 1 + 1 + 3 = 5Resposta: C

4)

Para o sistema admitir soluções diferentes da trivial o sis -tema deve ser possível e indeterminado, logo o deter minantedo sistema é nulo:

= 8m2 + 6 + 24 + 4m – 18 + 16m = 0

⇒ 8m2 + 20m + 12 = 0 ⇒ 2m2 + 5m + 3 = 0

� = 52 – 4 · 2 · 3 = 25 – 24 = 1 � m = = ⇒

⇒ m = – ou m = – 1

5)

a) Para soluções não triviais o sistema é possível e indetermi -nado e, portanto, p � n = 3.

b) Para p � 3 ⇒ = 0 ⇒ 2� + 4 = 0 ⇒ � = – 2

Resposta: A

� t + v = 8030t + 20v = 2080 � t + v = 80

3t + 2v = 208

� t + v = 80t = 48 � t = 48

v = 32

�x + y + z = – 1x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4

� 1 1 – 1– 1 1 11 3 – 1 � � x

yz � � 5

2k �

� x + y – z = 5– x + y + z = 2x + 3y – z = k

� x + y – z = 52y = 7

x + 3y – z = k

� x + y – z = 52y = 72y = k – 5

� x + 2y + 3z = 02x + 7y + z = 03x + 9y + 5z = 0

�1 2 32 7 13 9 5�

1 22 73 9 �

� 1 4 53 – 1 71 – 22 – 11� � x

yz � � 0

00 � � x + 4y + 5z = 0

3x – y + 7z = 0x – 22y – 11z = 0

�1 4 53 – 1 71 – 22 – 11�

1 43 – 11 – 22�

�x + 4y + 5z = 026y + 16z = 0 �

x + 4y = – 5z

16zy = – ––––

26�

33x = – ––– z

26

8y = – ––– z

13

� � 33–––13

8–––13 � �

� 2x + y – z = 0x – y = 0z - 3 = 0 � 2x + y – z = 0

x = yz = 3 � 2x + x – 3 = 0

x = yz = 3

� x = 1y = 1z = 1

� x + y + z = 04x – 2my + 3z = 02z + 6y – 4mz = 0

�1 1 14 – 2m 33 6 – 4m�

1 14 – 2m2 6 �

– 5 ± 1––––––2 · 2

– 5 ± 1––––––

4

3––2

� 2x + �y – 2y = 0x + y + z = 0x – y – z = 0

�2 � – 21 1 11 – 1 – 1�

– 3

6)

a) Para que o sistema admita uma única solução, p = q = n = 3.Logo o determinante do sistema deve ser não nulo:

≠ 0 ⇒ – m2 – 3m ≠ 0 ⇒ – m(m + 3) ≠ 0 ⇒

⇒ m ≠ 0 e m ≠ – 3.Observe que para m = 0 o sistema é homogêneo, e,portanto, possível; nesse caso p = q = 2 � n = 3. E osistema admite infinitas soluções. O único valor que mnão poderá assumir é, portanto, – 3.

b) m = 0 ⇒

Fazendo z = k, o conjunto solução será:S = {(3k, – k, k)�k � �

7)

Se o sistema deve admitir soluções diferentes da trivial, osistema é possível e indeterminado e, portanto, o determi -nante do sistema deve ser nulo:

= 0 ⇒ – m2 – 10m – 24 = 0 ⇒

⇒ m = 12 ou m = – 2Resposta: E

8)

= 0 ⇒ – 2a2 + 2 = 0 ⇒ a2 = 1 a = ± 1

Resposta: A

n Módulo 22 –Divisão em �, Múltiplos eDivisores em �

1) € € fi b = 5

Resposta: 5

2) € € fi não existe x

Resposta: não existe

3) € € fi x = 5

Resposta: 5

4) I) € €

II) € €

III) € € fi

fi a . b = 13 . 5 = 65

Resposta: 65

5) I) € €

II) € €

III) € € fi

fi x + y = 32 + 6 = 38

Resposta: 38

6) Sendo x o maior e y o menor dos números, tem-se:I) x + y = 224

II) = = = = 7

Assim, = 7 € x = 126 e = 7 € y = 98

Portanto, a soma do maior com a metade do menor é

x + = 126 + = 126 + 49 = 175

Resposta: D

7) I) € €

II) a + b + 8 + 24 = 344 € a + b = 312

III) € €

Portanto, a diferença entre o dividendo e o divisor é a – b = 280 – 32 = 248Resposta: D

8) Se a e b são dois números naturais tais que a2 – b2 = 24, então (a – b) . (a + b) = 24.Dessa forma, podemos ter:

1)

2)

3)

4)

Resposta: B

� x + 2y – z = 0x – my – 3z = 0x + 3y + mz = m

�1 4 – 11 – m – 31 3 m �

� x + 2y – z = 0x – 3z = 0x + 3y = 0 � x + 2y – z = 0

x = 3zy = – z

� 3x + 7my + 6z = 03my + 4z = 0(m – 1)x + 2y – mz = 0

�3 7m 60 3m 4

m – 1 2 – m�

� a2x + y – a2z = 0x – a2y + z = 0x + y – z = 0

�a2 1 – a2

1 – a2 11 1 – 1 �

372

b7 �37 = b . 7 + 2

2 < b �7b = 35b > 2

416

x7 �41 = x . 7 + 6

6 < x �7x = 35x > 6

411

x8 �41 = x . 8 + 1

1 < x �8x = 40x > 1

a3

b2 �a = b . 2 + 3

3 < b �a – 2b = 3b > 3

a + 20

b3 �a + 2 = b . 3

0 < b �a – 3b = – 2b > 0

�a – 2b = 3a – 3b = – 2b > 3

�a – 2b = 3– a + 3b = 2b > 3

�a = 13b = 5

x2

y5 �x = y . 5 + 2

2 < y �x – 5y = 2y > 2

x4

y + 14 �x = (y + 1) . 4 + 4

4 < y + 1 �x – 4y = 8y > 3

�x – 5y = 2x – 4y = 8y > 3

�– x + 5y = – 2x – 4y = 8y > 3

�x = 32y = 6

x–––18

y–––14

x + y––––––––18 + 14

224––––––

32

x–––18

y–––14

y–––2

98––––

2

a24

b8 �a = b . 8 + 24

24 < b �a – 8b = 24b > 24

�a – 8b = 24a + b = 312b > 24

�– a + 8b = – 24a + b = 312b > 4

�a = 280b = 32

�a – b = 1a + b = 24

fi a �

� a – b = 2a + b = 12

fi a = 7 e b = 5 fi (a + b)2 = (7 + 5)2 = 144

� a – b = 3a + b = 8

fi a �

� a – b = 4a + b = 6

fi a = 5 e b = 1 fi (a + b)2 = (5 + 1)2 = 36

4 –

9) Sendo a e b dois algarismos do sistema decimal de nume ra -ção, com a ≠ 0, temos que (abab)10 = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b == 101 (10a + b). Portanto, números da forma (abab)10 são divisíveis por 101.

n Módulo 23 – Máximo Divisor Comum eMínimo Múltiplo Comum

1) I) Decompondo 1200 em fatores primos, tem-se que 1200 = 24 . 31 . 52

II) O número de divisores de 1200 é dado por n[D(1200)] = 2 . (4 + 1) . (1 + 1) . (2 + 1) = 2 . 5 . 2 . 3 = 60

Resposta: 60

2) Como 31 é um número primo e observando que 31 = 311, onúmero de divisores é dado por n[D(31)] = 2 . (1 + 1) = 2 . 2 = 4Resposta: 4

3) I) a = 2n . 5 e b = 2 . 3 . 5n, então,

a . b = 2n . 5 . 2 . 3 . 5n = 2n + 1 . 31 . 5n + 1

II) Se ab possui 18 divisores naturais, então:

(n + 1 + 1) . (1 + 1) . (n + 1 + 1) = 18 €

€ (n + 2) . 2 . (n + 2) = 18 € (n + 2)2 = 9 fi

fi n + 2 = 3 € n = 1, pois n > 0

Portanto, para n = 1, tem-se a = 21 . 5 = 10 e b = 2 . 3 . 51 = 30

Resposta: a = 10 e b = 30

4) 1) mdc(a,b) . mmc(a,b) = 190 = 2 . 5 . 19 €

€ mdc(a,b) = 1 e mmc(a,b) = 2 . 5 . 19

2) €

3) �a – b� = 33Resposta: B

5) I) mdc(360, 300) = a

II) mmc(360, 300) = b

III) a . b = mdc(360, 300) . mmc(360, 300) = 360 . 300 =

= 23 . 32 . 5 . 22 . 3 . 52 = 25 . 33 . 53

Resposta: C

6) I) mdc(x; y) = 2

II) mmc(x; y) = 78 = 2 . 3 . 13

III) mdc(x; y) . mmc(x; y) = x . y = 2 . 78 = 22 . 3 . 13

IV)Como x e y são compostos por dois fatores primos e x < y,

conclui-se que x = 2 . 3 = 6 e y = 2 . 13 = 26 e, portanto,

x2 – y = 62 – 26 = 36 – 26 = 10

Resposta: A

7) mmc(30,48,72) = 24 . 32 . 5 = 720, pois:

Resposta: E

8) O lado de cada lajota quadrada, em centímetros, deve ser di visor natural de 200 e 500 e, portanto, divisor do mdc(200, 500) = 100.Os divisores naturais de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.Resposta: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.

9) O número de páginas de cada fascículo deve ser divisor na -tural de 256 e 160 e, portanto, divisor do mdc(256, 160) = 32,pois:

Os divisores naturais de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32.Resposta: A

10) I) €

II) €

III) €

IV) n + 1 é múltiplo comum de 3, 4 e 5, então, o menor valorde n é tal que n + 1 = mmc(3; 4; 5) = 60, portanto, n + 1 = 60 € n = 59

Resposta: B

11) A senha de 4 algarismos, todos diferentes de zero, é do tipo

. De acordo com o enunciado, devemos ter:

€ €

Resposta: A

FRENTE 2 – ÁLGEBRA

n Módulo 19 –Probabilidade

1) Dos 200 homens, 110 não são solteiros e a probabi lidade

pedida é, portanto = 0,55 = 55%

Resposta: C

�a + b = 43a . b = 2 . 5 . 19 �a = 5 a = 38

ou �b = 38 b = 5

2

2

2

2

3

3

5

30,48,72

15,24,36

15,12,18

15, 6, 9

15, 3, 9

5, 1, 3

5, 1, 1

1, 1, 1

256

96

1

160

64

1

96

32

1

64

0

2

32

3n + 10

3n2

4n + 10

4n3

5n + 10

5n4

5cba

a = 2b = 1c = 1

�a ≠ 1a + b + c = 4�a ≠ 1

a + b + c + 5 = 9�

110–––––200

– 5

2) Das 12 bolas, 4 são brancas, assim, a probabilidade pedida é

=

Resposta: A

3) Se o número da chapa do carro é par, o algarismo dasunidades pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

A probabilidade de ser zero é .

Resposta: E

4) Das 90 empadinhas, 60 são mais apimentadas, assim, a

probabilidade pedida é = .

Resposta: D

5) I) O número de bolas na urna é 100, numeradas de 1 a 100.II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são 1, 4, 9,

16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, num total de 10 bolas.III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são 1, 8, 27 e 64,

num total de 4 bolas.IV) Observando que as bolas com número 1 e número 64

foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é

= = 0,12

Resposta: C

6) I) Das 7 lâmpadas, o número de maneiras de acender 4 ao

mesmo tempo é C7,4 = = = 35

II) Uma das 35 combinações forma o número 4, assim, a

probabilidade pedida é

Resposta: A

7) a) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 16 possibili -dades:

II) Das 16 possibilidades, em 4 existem números iguais,

por tanto, a probabilidade pedida é

b)

Das 16 possibilidades, em 3 a soma é 4, portanto, a

probabilidade pedida é

Respostas: a) b)

8) Considerando-se um polígono regular de n lados, n � 4, tem-se:

I) O número total de diagonais é

II) O número de diagonais que passam pelo centro do

polígono é , se n é par.

Observe que se n é ímpar, nenhuma diagonal passa pelocentro.

III) Se uma diagonal é escolhida ao acaso, a probabilidade deque ela passe pelo centro é

= . = , se n é par

Resposta: E

9) I) Das n etiquetas numeradas de 1 a n, o número demaneiras

de sortear 3 é Cn, 3 = =

II) Os casos que apresentam 3 números consecutivos são (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), ... e (n – 2, n – 1, n), num total de(n – 2)

III) A probabilidade pedida é =

= =

Resposta: D

1–––5

60––––90

2–––3

10 + 4 – 2––––––––––

100

12–––––100

� 74 � 7 . 6 . 5

––––––––3 . 2 . 1

1––––35

1 2 3 4

1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4)

2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4)

3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4)

4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4)

4 1––– = –––16 4

1 2 3 4

1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4)

2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4)

3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4)

4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4)

3–––16

1–––4

3–––16

n . (n – 3)––––––––––

2

n–––2

n––2

–––––––––––n . (n – 3)–––––––––

2

n–––2

2–––––––––n . (n – 3)

1–––––n – 3

� n3 � n!

––––––––3! (n – 3)!

(n – 2)––––––––––––

n!––––––––––3! (n – 3)!

(n – 2) . 3! (n – 3)!––––––––––––––––

n!(n – 2) . (n – 3)! 3!––––––––––––––––

n!

(n – 2)! 3!––––––––––

n!

4––––12

1–––3

6 –

n Módulo 20 – Probabilidade da União eProbabilidade Condicional

1) I) O número de bolas na urna é 100, numeradas de 1 a 100.II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são 1, 4, 9,

16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, num total de 10 bolas.III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são 1, 8, 27 e 64,

num total de 4 bolas.IV)Observando que as bolas com número 1 e número 64

foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é

= = 0,12

Resposta: C

2) a) X + X + 1 + X + 2 + X + 3 = 50 ⇔ 4X = 44 ⇔ X = 11b) I) Para X = 11, o número de bolas azuis é X + 1 = 11 + 1 = 12

II) Para X = 11, existem 3 bolas com o número 12 (umaazul, uma amarela e uma verde).

III) Observando que a bola azul com o número 12 foi con -tada duas vezes, a probabilidade de retirar uma bolaazul ou uma bola com o número 12 é

= = = 28%

Resposta: a) 11 b) 28%

3) No conjunto S = {20; 21; 22; …; 500}:

I) Os múltiplos de 3 são os termos da progressão arit mética

(21; 24; 27; …; 498), num total de 160 ele mentos, pois

498 = 21 + (n – 1) . 3 ⇔ n = 160

II) Os múltiplos de 7 são os termos da progressão arit mética

(21; 28; 35; …; 497), num total de 69 ele mentos, pois

497 = 21 + (n – 1) . 7 ⇔ n = 69III) Os múltiplos de 3 e 7 são os múltiplos de 21, num total de

23, pois a progressão aritmética (21; 42; 63; …; 483) possui23 ter mos.Assim sendo,a) Em S, existem 23 múltiplos de 3 e de 7.b) Como existem 160 + 69 – 23 = 206 elementos de S que

são múltiplos de 3 ou de 7, a probabilidade de oelemento escolhido de S ser múltiplo de 3 ou 7 é

=

Respostas: a) 23 b)

4) I) Se, no lançamento do dado, ocorreu um número maiorque 2, são 4 casos possíveis (3, 4, 5 ou 6).

II) A probabilidade de ser um número ímpar é =

Resposta:

5) I) Se, retirando uma carta de um baralho comum de 52cartas, saiu uma carta de copas, são 13 casos possíveis.

II) A probabilidade de ser um “rei” é

Resposta:

6) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 5 casos comsoma 8.

II) Das 5 possibilidades, em duas ocorrem o número 5, por -

tanto, a probabilidade pedida é .

Resposta: B

n Módulo 21 – Médias e Estatística

1) = = . =

Resposta:

2)3��������������� 6 . 16 . 18 =

3�������������������� 2 . 3 . 24 . 2 . 32 =

3����������26 . 33 = 22 . 3 = 12

Resposta: 12

3) = = . =

Resposta:

4)

7

���������������� �23���2 �3 . �4���2 �4 =

7������������������ 23 . 2 . 44 . 22 =

= 7����������������� 23 . 2 . 28 . 22 =

7�����214 = 22 = 4

Resposta: 4

5) =

= = = 1,85

Resposta: B

10 + 4 – 2––––––––––

100

12–––––100

12 + 3 – 1––––––––––

5014–––50

28––––100

206––––––––––500 – 19

206–––––481

206–––––481

2–––4

1–––2

1–––2

1–––13

1–––13

1 2 3 4 5 6

1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)

3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)

4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)

5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)

6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

2––5

3 13 1–– + ––– + ––5 4 2

––––––––––––––––3

12 + 65 + 10––––––––––––

20––––––––––––––

387–––20

1––3

29–––20

29–––20

3–––––––––––––––

5 4 2–– + ––– + ––3 13 1

3––––––––––––––––

65 + 12 + 78––––––––––––––

39

3––1

39––––155

117––––155

117––––155

5 . 1,80 + 3 . 1,50 + 2 . 2,50–––––––––––––––––––––––––––

5 + 3 + 2

18,50––––––

109,00 + 4,50 + 5,00

––––––––––––––––––10

– 7

6) = = = 39,6

Resposta: E

7) Se S é a soma dos 28 números, então:

= 27 € S = 756

A nova média será:

= = 26,92

Resposta: A

8) I) A soma dos 100 números é 100 . 9,83 = 983

= 8,5 € x + y = 150

II) fi

fi

Resposta: D

9) Para que um dos 5 números assuma o maior valor possível,os demais números terão de assumir os menores valorespossíveis, que são 1, 2, 3 e 4, pois os números são inteiros,distintos e positivos.Se x é o maior valor possível, então:

= 16 € 10 + x = 80 € x = 70

Resposta: D

10) = =

= . � 1,22 = 122%

Resposta: E

11) Se x foi a nota obtida pelo aluno na 4a. prova, então:

= 7,3 €

€ 56 + 2x = 73 € 2x = 17 € x = 8,5Resposta: B

12) = 0,336 � 0,3

Resposta: C

13) O rol é: 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 800,800, 800, 800, 800, 1200, 1200, 1500, 1500, 2000

14) H = 2000 – 500 = 1500

15)

16) mo = 500 é o valor de maior frequência

17) md = = 650

18) x– = = = 820

19) I) A mediana dos 7 números é o 4.° valor do rol, assim,se a mediana é igual a 4, devemos ter x � 4, pois orol é 2, 2, 2, 4, ––, ––, –– sendo os outros númerosiguais a x, 5 e 10, em qualquer ordem.

II)⇔ x � {4; 5; 6; ... ; 20}, portanto, existem 20 – 3 = 17

possibilidades para x.Resposta: E

20) I) Rol das notas da equipe Gama: 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10II) Se a nota zero fosse substituída por qualquer valor maior

que 7, a mediana passaria a ser, no máximo, = 7,5,

permanecendo inferior às notas das outrasequipes, que foram 7,8 e 7,6.

Resposta: D

21) Sendo mediana o termo central e tendo 3 notas iguais a 2, amediana vale 2. E, sendo moda o valor de frequência máxima,ou seja, o que mais se repete em um conjunto de dados, amoda vale 2.Resposta: C

22) • média: = = 3

• rol: 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6

• mediana: = = 3

• moda: O número de maior frequência foi o número 1.Resposta: B

23) Rol: 3, 5, 5, 7, 8, 9, x, y, zIndependente dos outros três números, o valor máximo damediana será 8, pois é o quinto termo do rol.Resposta: D

24) H = 16 – 13 = 3

25) x– = = = 15

1,5 . 36 + 1 . 45–––––––––––––––

1,5 + 1

54 + 45–––––––––

2,5

99–––––2,5

S–––––

28

756 – 25 – 28 – 30––––––––––––––––––

25673

–––––25

983 – x – y–––––––––––

98

� x + y = 150 3x – 2y = 125 � 2x + 2y = 300

3x – 2y = 125� x = 85y = 65

1 + 2 + 3 + 4 + x–––––––––––––––––

5

média de 2000–––––––––––––––média de 1990

10.4 + 5.8 + 10.11 + 12.15–––––––––––––––––––––––––

10 + 5 + 10 + 12––––––––––––––––––––––––––––

8.4 + 4.8 + 5.11 + 3.15–––––––––––––––––––––––––

8 + 4 + 5 + 3

370–––––

3720

–––––164

1 . 6,5 + 2 . 7,3 + 3 . 7,5 + 2x + 2 . 6,2–––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 + 2 + 3 + 2 + 2

0,70 + 1,59 + 0,31 + 0,25 – 1,17––––––––––––––––––––––––––––––

5

x f fr f% fa fra f% a

500 10 0,50 50 10 0,50 50

800 5 0,25 25 15 0,75 75

1200 2 0,10 10 17 0,85 85

1500 2 0,10 10 19 0,95 95

2000 1 0,05 5 20 1,00 100

∑ 20 1,0 100

500 + 800––––––––––

2

10 · 500 + 5 · 800 + 2 · 1200 + 2 · 1500 + 1· 2000––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

10 + 5 + 2 + 2 + 116400––––––

20

�x � �

x � 21x � 4

7 + 8––––––

2

1 · 4 + 2 · 1 + 3 · 0 + 4 · 2 + 5 · 2 + 6 · 1–––––––––––––––––––––––––––––––––––

10

30–––10

2 + 4–––––

2

6––2

2 · 13 + 5 · 14 + 4 · 15 + 9 · 16––––––––––––––––––––––––––

2 + 5 + 4 + 9300

––––––20

8 –

26) Tabela dos desvios

27) Dm = = = = 0,9

28) Variância = = = = 1,1

29) Desvio padrão = � variância = �1,1 1,04

30) 1. Verdadeira, pois obteve o maior desvio padrão2. Verdadeira, pois os desvios foram diferentes.3. Falsa, pois das três foi a que obteve o menor desvio pa drão.Resposta: D

n Módulo 22 – Razões e Proporções

1)

Resposta: B

2)

Resposta: C

3) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) são G.D.P., então:

= = € €

Resposta: C

4) Se (a; 2; 5; …) e (3; 6; b; …) são G.I.P., então:

I) a . 3 = 2 . 6 = 5 . b €

II) a + mb = 10 fi 4 + m . = 10 €

€ m . = 6 € m = = 2,5

Resposta: D

5) Se m(2; m) e n + 5(1 + 5; 4 + 5) são G.D.P., então:

= € = € m = 3

Resposta: D

6) Se p(1; p) e q + 2(4 + 2; 1 + 2) são G.I.P., então:

1 . (4 + 2) = p . (1 + 2) € 1 . 6 = p . 3 € p = 2

Resposta: D

7) 12 . 2 = 22 . p = m2 . 8 €

Resposta: B

8) S = πR2 € = π

Resposta: Somente a afirmação (V) é correta.

9) = €

Resposta:

10) I) x + y + z = 70

II) = = = = = 7

Resposta: B

11) I) x + y + z = 660

II) = = = = = 660

Resposta: A

x f D �D� f . �D� D2 f . D2

13 2 – 2 2 4 4 8

14 5 – 1 1 5 1 5

15 4 0 0 0 0 0

16 9 1 1 9 1 9

∑ 20 18 22

�f · � D �––––––––

n

4 + 5 + 0 + 9––––––––––––

2018–––20

�f · D2–––––––

n

8 + 5 + 0 + 9––––––––––––

2022–––20

�x 2

––– = –––y 3

x + 2 3–––––– = –––y + 2 5

€ � 3x = 2y

5x + 10 = 3y + 6€ � 3x – 2y = 0

5x – 3y = – 4€

€ � x = – 8

y = – 12fi x . y = (– 8) . (– 12) = 96

� x 3––– = –––y 8

y + 2x = 42

€ � 3y – 8x = 0

y + 2x = 42€ � x = 9

y = 24

2–––8

3–––y

x–––4 � 2y = 24

8x = 8 � x = 1y = 12

�a = 4

12b = –––

5

12–––5

12–––5

30–––12

2––––––1 + 5

m––––––4 + 5

2–––6

m–––9

�1

p = –––21

m = –––2

S–––R2

p–––d

10,4–––––100

10,4 . dp = –––––––––

100

10,4 . dp = –––––––––

100

x–––2

y–––3

z–––5

x + y + z––––––––––2 + 3 + 5

70–––10

III) �x

––– = 72y

––– = 73z

––– = 75

€ �x = 14

y = 21

z = 35

fi x + z = 14 + 35 = 49

x–––––

1–––2

y–––––

1–––3

z–––––

1–––6

x + y + z––––––––––––––––

1 1 1––– + ––– + –––2 3 6

660–––––

6–––6

III) �x

–––– = 6601––2

y–––– = 660

1––3

z–––– = 660

1––6

€ �x = 330

y = 220

z = 110

– 9

12) Sejam x, y e z as quantidades produzidas, respectivamente,por João, Pedro e Paulo.

I) x + y + z = 200

II) = = = = = 20

Resposta: D

13) Hagar deve pagar 3k e seu acompanhante deve pagar k.3k + k = 28 € k = 7 fi 3k = 21Resposta: C

14) I) x + y + z = 40 mil

II) = = = = = 0,4 mil

Resposta: C

15) Se x é a quantidade (em kg) despejada por B, então, Adespeja 2x e C despeja 0,2 . 2x, assim:x + 2x + 0,4x = 170 € 3,4x = 170 € x = 50Portanto, A despeja 100kg, B despeja 50kg e C despeja 20kg.Resposta: A despeja 100kg; B, 50kg e C, 20kg

16) € €

(a, b, c) = (a, 3a, 4a)Resposta: C

17) a) x + y + z = 1280

= = = = = 64

b) a + b + c = 1280

= = = = = 1600

Respostas: a) R$ 512,00; R$ 320,00 e R$ 448,00

b) R$ 320,00; R$ 800,00 e R$ 160,00

18) Sejam x, y e z as quantias, em milhares de reais, que caberão

a cada um dos respectivos colocados.

= = = = = 6

Resposta: R$ 300.000,00; R$ 258.000,00 e R$ 222.000,00

19) Sejam x e y os potenciais em watts, de cada uma dos sis -temas.I) x + y = 2 800 000

II) = fi

fi = = = = 400 000

Resposta: P1 = 1 200 000 W e P2 = 1 600 000 W

20) I) x + y + z = 690 000

II) = = = = = 57 500

Resposta: As pessoas receberão, respectivamente, R$ 172 500,00; R$ 230 000,00 e R$ 287 500,00

x–––2

y–––3

z–––5

x + y + z–––––––––––

2 + 3 + 5

200–––––

10

III) �x

––– = 202y

––– = 203z

––– = 205

€ �x = 40

y = 60

z = 100

x–––20

y–––30

z–––50

x + y + z––––––––––––20 + 30 + 50

40 mil–––––––

100

III) �x

–––– = 0,4 mil20y

–––– = 0,4 mil30z

–––– = 0,4 mil50

fi �x = 8 mil

y = 12 mil

z = 20 mil

�c = a + b

ca = –––

4�b = c – a

c = 4a �b = 3ac = 4a

x–––8

y–––5

z–––7

x + y + z––––––––––––

8 + 5 + 7

1280––––––

20

�x

––– = 648y

––– = 645z

––– = 647

€ �x = 512

y = 320

z = 448

a––––

1––5

b––––

1––2

c–––––

1–––10

a + b + c––––––––––––––––

1 1 1––– + ––– + –––5 2 10

1280–––––

8–––10

�a

–––– = 16001––5

b–––– = 1600

1––2

c––––– = 1600

1–––10

€ �a = 320

b = 800

c = 160

x–––50

y–––43

z–––37

x + y + z––––––––––––50 + 43 + 37

780–––––130

�x

–––– = 650y

–––– = 643z

–––– = 637

€ �x = 300

y = 258

z = 222

x.400––––––1200

y.200––––––

800

x–––3

y–––4

x + y–––––––3 + 4

2 800000––––––––––

7

III)�x

––– = 400 0003y

––– = 400 0004

€ � x = 1 200 000

y = 1 600 000

x–––3

y–––4

z–––5

x + y + z––––––––––3 + 4 + 5

690 000––––––––

12

III) �x

––– = 57 5003y

––– = 57 5004z

––– = 57 5005

€ �x = 172 500y = 230 000z = 287 500

10 –

21)

Resposta: C

22) I) Se idades (35; 14; x) e quantidade de rosas (70; a; b) sãoG.D.P., então:

= = € = = fi a = 28

II) 70 + a + b = 10 . 12 fi 70 + 28 + b = 120 € b = 22

III) = fi = € x = 11

Resposta: D

n Módulo 23 – Porcentagem

1) (10%)2 = 2

= 2 = = 1%

Resposta: D

2) Dos 112 jogadores, 54 + 14 = 68 concluíram o Ensino Médio e,portanto, o percentual pedido é

. 100% que é, aproximadamente, 60%.

Resposta: D

3) Conforme o enunciado, admitindo-se R ≠ 0, temos:

fi = = = =

= =

Resposta B

4) Sendo a e p os salários, em reais, de Antonio e Pedro, respec -tivamente, temos:

€ fi a = 90% . (a + 500) €

€ a = 0,9 . (a + 500) € a = 0,9 . a + 450 €

€ 0,1 . a = 450 € a = 4500

Resposta: D

5) Os gastos com alimentação pelas duas famílias sãoa) na de menor renda, 33% de R$ 400,00 = R$ 132,00b) na de maior renda, 9% de R$ 6000,00 = R$ 540,00Dessa forma, o valor, em reais, gasto com alimentação dafamília de maior renda é aproximadamente quatro vezesmaior que o da família de menor renda.Resposta: B

6) O lucro por litro é R$ (0,52 – 0,32) = R$ 0,20O acréscimo no lucro deve ser R$ 2580,00 . 30% = R$ 774,00Portanto, o total de litros a mais de leite que o produtorprecisa vender é

= 3870

Resposta: D

7) Do gráfico temos: 4 alunos com nota 4,0; 10 alunos com nota5,0; 18 alunos com nota 6,0; 16 alunos com nota 7,0 e 2 alu -nos com nota 8,0, num total de 4 + 10 + 18 + 16 + 2 = 50 alunosDesses, foram aprovados 18 + 16 + 2 = 36 alunos, corres -

pondendo a = 0,72 = 72% dos alunos.

Resposta: E

8) 12,50 . (1 + i) = 13,50 € 1 + i = € 1 + i = 1,08 €

€ i = 0,08 € i = 8%

Resposta: D

9) = = 0,12 = 12%

outra resolução

386 400 – 345 000 = 41 400valor %

345 000 ––––– 100%fi x = 12%

41400 ––––– x

Resposta: C

10) I) Verdadeiro.Conforme a tabela fornecida, pode-se afirmar, com cer -teza, que a mulher não é poupada da violência sexualdoméstica em nenhuma das faixas etárias indicadas.

II) Falso.A maior parte das mulheres adultas é agredida porconhecidos (33,8%), vizinhos (27,9%) e parceiros ou ex-parceiros (25,2%).

III) Verdadeiro.As adolescentes são vítimas de quase todos os tipos deagressores, pois só não são agredidas pelos pais adotivose pelos avós.

IV) Verdadeiro.Conforme a tabela, o pai, biológico ou não, é o autor de21,7% + 16,7% + 1,6% = 40% dos casos de violência sexualenvolvendo crianças.

Obs.: Na tabela publicada, a quantidade de adultas agredidaspor pai biológico é 6 de um total de 68, o que corresponde a8,8% e não 6% como está impresso.Resposta: D

€ �35y

––––– = 70012

2yx = ––––

35y

z = ––––4

€ � y = 240x = 160z = 300

35––––70

14––––

a

x–––b

1–––2

14––––

a

x–––b

1–––2

x–––b

1–––2

x–––22

� 10––––100 � � 1

–––10 � 1

–––100

68–––––112

�P = 30% . QQ = 20% . RS = 50% . R

fi � P = 30% . 20% . RS = 50% . R

fi

P–––S

30% . 20% . R––––––––––––––

50% . R0,30 . 0,20

–––––––––––0,50

0,06–––––0,50

6––––50

3––––25

�a = 90% . pp – a = 500 �a = 90% . p

p = a + 500

774,00––––––––

0,20

36––––50

13,5–––––12,5

386 400 – 345 000––––––––––––––––

345 00041 400

––––––––345 000

�x + y + z = 700x 2

––– = –––y 3y 4

––– = –––z 5

€ �x + y + z = 700

2yx = ––––

35y

z = ––––4

€

– 11

11) Sendo V o valor do artigo antes do aumento e P o descontoa ser anunciado, temos:(1 – P) . 1,25 V = V € P = 0,2 € P = 20%Resposta: A

12) 1) Pela primeira opção Maria ficará devendo, no dia 8/12, (3500,00 – 2300,00) euros = 1200,00 eurosNo dia 9/12 pagará 2% . 1200,00 euros = 24,00 euros dejuros e sua dívida atualizada passará para 1224,00 euros. No dia 10/12 pagará 2%.1224,00 euros = 24,48 euros dejuros e a dívida final passará para 1248,48 euros.Pela 1a. opção, portanto, o valor total dos juros pagos será48,48 euros.

II) Na segunda opção Maria pagará uma multa de 2%. 3500,00 euros = 70,00 euros.

III) A opção 2, em relação à opção 1, representa uma des -vantagem de (70,00 – 48,48) euros = 21,52 euros.

Resposta: C

13) Sendo V o preço de venda e C o preço de custo, tem-se:

€ €

€ € € fi

fi V + C = 7 800 + 4 800 = 12 600 Resposta: D

14) Se c for o preço do catálogo e v o preço de venda, então:

0,75v = 1,3 . (0,75c) € v = 1,3c € v = 130%c

Resposta: C

FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA

n Módulo 19 –Coeficiente angular da reta

1) O coeficiente angular da reta que passa por A 0; e

B – ; 0 , com m � 0, é dado por:

mAB = = = 1

Resposta: C

2) Sendo A(–3; 1), B(–2; 4), C(4; 1) e D(1; 4), tem-se:

I) mAB = = = 3

II) mCD = = = – 1

Resposta: D

3) Sejam A(a; 0), B(b; 0) e C(3; c) os pontos representados nafigura.

I) A reta r, que passa pelos pontos A e C, tem inclinação de30°, assim, seu coeficiente angular é dado por:

mr = = tg 30° fi = € c =

II) A reta s, que passa pelos pontos B e C, tem inclinação de60°, assim, seu coeficiente angular é dado por:

ms = = tg 60° fi = ����3 € c = ����3 (3 – b)

III) Comparando (I) e (II), tem-se:

= ����3 (3 – b) € 3 – a = 9 – 3b € 3b – a = 6

Resposta: A

4) Sejam A(0; 0), B – ; e C ; os vértices dotriângulo.

I) Se M(xM; yM) é o ponto médio de BC––

, então:

xM = = = 0fi M 0;

yM = = =

II) A equação da reta que passa por A e M é dada por:

= 0 € – x = 0 € x = 0

Observe que a reta que passa por A(0; 0) e M 0; é

vertical, coincidente com o eixo y, portanto, formada pelospontos que possuem x = 0.Resposta: A

5) = 0 € 3x – y + 3 = 0 € y = 3x + 3

Resposta: y = 3x + 3

6) = 0 € 4 – 2x – 3y – 4x – 6 – y = 0 €

€ – 6x – 4y – 2 = 0 € 3x + 2y + 1 = 0 €

€ 2y = – 3x – 1 € y = – x –

Resposta: y = – x –

����3–––––

3c – 0

–––––––3 – a

yC – yA–––––––––xC – xA

����3 (3 – a)–––––––––

3

c – 0–––––––3 – b

yC – yB–––––––––xC – xB

����3 (3 – a)–––––––––

3

�3–––5

3–––5��3

–––5

3–––5�

3 3– ––– + –––

5 5 ––––––––––

2xB + xC–––––––––

2� �3–––5�

3–––5

3 3––– + –––5 5

––––––––––2

yB + yC–––––––––2

�0

0

x

03

–––5y

1

1

1� 3

–––5

�3–––5�

�0

– 1x

30y

111

�

�1

– 3x

– 24y

111

�

��1

–––m�

�1–––m

10 – –––

m––––––––––

1– ––– – 0

m

yB – yA–––––––––xB – xA

4 – 1–––––––––

– 2 + 3yB – yA–––––––––xB – xA

4 – 1–––––––––

1 – 4yD – yC–––––––––xD – xC

�V – C = 3 00080% . V = 130% . C �V = C + 3 000

8V = 13 C

�V = C + 3 0008(C + 3 000) = 13C �V = C + 3 000

24000 = 5C �V = 7 800C = 4 800

1–––2

3–––2

1–––2

3–––2

12 –

7) = 0 € – 9 + 4x – 4y + 3x + 16 – 3y = 0 €

€ 7x – 7y + 7 = 0 € x – y + 1 = 0 € y = x + 1 Resposta: y = x + 1

8) = 0 € 2x – y – 2 – 3y = 0 €

€ 2x – 4y – 2 = 0 € x – 2y – 1 = 0 € 2y = x – 1 € y = x –Resposta: B

9) Sejam V1(0; 0), V2(a; a) e V3(a; –a) os vértices do triângulo.I) Se M (xM; yM) é o ponto médio de V1V2, então:

xM = = fi M ;

yM = =

II) A equação da reta que passa por V3 e M é dada por:

= 0 € – ax + – + – ay = 0 €

€ – x + – + – y = 0 €

€ a – 2x + y – x + a – 2y = 0 € – 3x – y + 2a = 0 € y = – 3x + 2a

Resposta: B

10) Sejam A(– 1; 0), B(0; 3) e C(2; 4) os vértices do triângulo.

I) A equação da reta suporte do lado AB––

é dada por:

= 0 € – 3 – 3x + y = 0 € y = 3x + 3

Assim, o coeficiente angular é mAB = 3 e o linear é hAB = 3

II) A equação da reta suporte do lado BC––

é dada por:

= 0 € – x + 2y – 6 = 0 € y = x + 3

Assim, o coeficiente angular é mBC = e o linear é hBC = 3

III) A equação da reta suporte do lado AC––

é dada por:

= 0 € – 4x + 3y – 4 = 0 € y = x +

Assim, o coeficiente angular é mAC = e o linear é

hAC =

Resposta: mAB = 3 e hAB = 3;

mBC = e hBC = 3

mAC = e hAC =

11) A intersecção da reta com o eixo x é o ponto A(2; 0) e com oeixo y é o ponto B(0; – 3), assim, a equação segmentária édada por:

+ = 1

Resposta: + = 1

12) A equação da reta que passa por M(1; 1) e N(2; 3) é dada por:

= 0 € 2x – y – 1 = 0 €

€ 2x – y = 1 € + = 1

Resposta: + = 1

13) As intersecções da reta com os eixos x e y são,

respectivamente, os pontos (2; 0) e (0; – 1), assim, a equação

da reta é dada por:

+ = 1 € – y = 1 € x – 2y = 2 € x – 2y – 2 = 0

Resposta: A

n Módulo 20 –Posição relativa entre duasretas

1) Lembrando que a equação reduzida de uma reta é do tipoy = mx + h, em que m é o coeficiente angular e h é ocoeficiente linear, escrevendo as equações das retas na formareduzida, tem-se:

1) 2x – y + 3 = 0 € y = 2x + 3 fi m = 2 e h = 3

2) 2x – y + 5 = 0 € y = 2x + 5 fi m = 2 e h = 5

3) 3x – 6y = – 3 € y = x + fi m = e h =

4) x – 2y + 3 = 0 € y = x + fi m = e h =

5) 2x + 4y + 3 = 0 € y = – x – fi m = – e h = –

6) 4x – 2y = – 6 € y = 2x + 3 fi m = 2 e h = 3

I) Retas que possuem mesmo coeficiente angular e mesmocoeficiente linear, são coincidentes (retas: 1 e 6)

II) Retas que possuem mesmo coeficiente angular ecoeficientes lineares diferentes, são paralelas distintas(retas: 1 e 2, 2 e 6, 3 e 4)

III) Retas que possuem coeficientes angulares inversos e desinais contrários, são concorrentes e perpendiculares(retas: 1 e 5, 2 e 5, 5 e 6)

4–––3

4–––3

y–––– 3

x–––2

y–––– 3

x–––2

�12x

13y

111

�y

–––– 1

x––––

1–––2

y–––– 1

x––––

1–––2

x–––2

y–––– 1

x–––2

1–––2

1–––2

1–––2

1–––2

3–––2

1–––2

3–––2

1–––2

3–––2

1–––2

3–––2

1–––2

�02x

34y

111

� 1–––2

1–––2

�– 12x

04y

111

� 4–––3

4–––3

4–––3

4–––3

1–––2

�x31

y20

1– 11

�1

–––2

1–––2

a–––2

0 + a––––––

2� �a–––2

a–––2�

a–––2

0 + a––––––

2

�aa

–––2x

– aa

–––2y

1

1

1� a2

–––2

ax–––2

ay–––2

a2–––2

a–––2

x–––2

y–––2

a–––2

�– 10x

03y

111

�

�3

– 4x

4– 3y

111

�

– 13

IV)Retas que não são perpendiculares e possuem coeficien -tes angulares diferentes, são concorrentes (retas: 1 e 3, 1e 4, 2 e 3, 2 e 4, 3 e 5, 3 e 6, 4 e 5, 4 e 6)

Resposta: 1 e 2 (paralelas) 1 e 3 (concorrentes)1 e 4 (concorrentes) 1 e 5 (perpendiculares)1 e 6 (coincidentes) 2 e 3 (concorrentes)2 e 4 (concorrentes) 2 e 5 (perpendiculares)2 e 6 (paralelas) 3 e 4 (paralelas)3 e 5 (concorrentes) 3 e 6 (concorrentes)4 e 5 (concorrentes) 4 e 6 (concorrentes)5 e 6 (perpendiculares)

2) I) A reta x = y € y = x tem coeficiente angular m = 1II) A reta x + y = 1 € y = – x + 1 tem coeficiente angular m = – 1Como os coeficientes angulares são inversos e de sinaiscontrários, as retas são perpendiculares.Resposta: C

3) I) A reta que passa pelos pontos A(K; 3) e B(– 2; 1) tem

coeficiente angular m1 = = = =

=

II) A reta que passa pelos pontos C(5; K) e D(1; 0) tem coefi -

cien te angular m2 = = = =

III) Se as retas são paralelas, então:

m1 = m2 fi = € 2K + K2 = 8 € K2 + 2K – 8 = 0 €

€ K = – 4 ou K = 2, são racionais, inteiros e de sinaiscontrários.

Resposta: E

4) (x – y)2 = 4 € x – y = ± 2 €€ x – y = 2 ou x – y = – 2 €

€ y = x – 2 ou y = x + 2, são duas retas paralelasResposta: A

5) I) Sejam a e b, respectivamente, os coeficientes angularesdas retas x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0. Temos:

fi a = b

II) Sejam c e d, respectivamente, os coeficientes lineares dasretas x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0. Temos:

fi c ≠ d

III) De I e II concluímos que as retas são paralelas e dis tintas,e, portanto, não têm ponto em comum.

Resposta: C

6) I) ax + by + c = 0 tem coeficiente angular m1 =

II) a’x + b’y + c’ = 0 tem coeficiente angular m2 =

III) As retas são perpendiculares, então:

m1 . m2 = – 1 fi . = – 1 € = – 1 €

€ a . a’ = – b . b’ € a . a’ + b . b’ = 0

Resposta: C

7) I) 3x = 2ky – 6 € y = x + tem coeficiente angular

m1 =

II) 3y = – 5x + 2 € y = – x + tem coeficiente angular

m2 = –

III) As retas são perpendiculares, então:

m1 . m2 = – 1 fi . – = – 1 € – = – 1 €

€ = 1 € 2k = 5 € k =

Resposta: A

8) I) 2x + Ky + 12 = 0 € y = – x –

II) 5x – y – L = 0 € y = 5x – L

III) Se as equações representam a mesma reta, então:

€ fi

fi K + L = – – 30 = – = – 30,4

Resposta: E

9) I) x + 2y + 13 = 0 € y = – x – tem coeficiente angular

m1 = –

II) – x + y = 0 € y = 2x tem coeficiente angular m2 = 2

III) As retas são perpendiculares, pois m1 . m2 = – . 2 = – 1

Resposta: C

1a = ––

52 1

b = ––– = ––10 5

�1

c = –––5

22 d = – –––

10 �

– a–––b

– a’––––b’

a . a’––––––b . b’�– a’

––––b’��– a

––––b�

6––––2k

3––––2k

3––––2k

2––––

35

––––35

––––3

5––––2k�5

––––3�3

––––2k

5––––

25

––––2k

12––––

K2

––––K

2K = – –––

5

L = – 30�2

– ––– = 5K12

– ––– = – LK

�152––––

52

––––5

13––––

21

––––2

1––––

2

1––––

2

1––––

2

– 2–––––––– 2 – K

1 – 3–––––––– 2 – K

yB – yA–––––––––xB – xA2

––––––2 + K

K–––4

– K––––– 4

0 – K––––––1 – 5

yD – yC–––––––––xD – xC

K–––4

2––––––2 + K

14 –

10) I) 3x + 2y – 1 = 0 € y = – x + tem coeficiente angular

m1 = –

II) – 4x + 6y – 10 = 0 € y = x + tem coeficiente

angular m2 =

III) As retas são perpendiculares, pois

m1 . m2 = – . = – 1

Resposta: C

11) I) kx + 5y + k = 0 € y = – x – tem coeficiente angular

mr = – e coeficiente linear hr = –

II) 4x + (k + 1)y – 5 = 0 € y = – x + tem

coeficiente angular ms = – e coeficiente linear

hs =

III) Para que as retas sejam paralelas distintas, deve-se ter:

fi € €

€ € k = – 5 ou k = 4

Resposta: 4 ou – 5

12) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(x; – 2) e

B(5; 1) é mAB = = =

II) O coeficiente angular da reta que passa por C(10; 0) e

D(13; – 2) é mCD = = = –

III)Se as retas AB

e CD

são perpendiculares, então:

mAB . mCD = – 1 fi . – = – 1 € = 1 €

€ 2 = 5 – x € x = 3

Resposta: D

13) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(3; 7) e B(4; y)

é mAB = = = y – 7

II) O coeficiente angular da reta que passa por C(9; 10) e

D(6; 8) é mCD = = = =

III) Se as retas AB

e CD

são perpendiculares, então:

mAB . mCD = – 1 fi (y – 7) . = – 1 € y – 7 = €

€ y = + 7€ y =

Resposta:

14) I) 2x – y – 3 = 0 € y = 2x – 3 tem coeficiente angular m1 = 2

II) 3y + �x – 2 = 0 € y = – x + tem coeficiente angular

m2 = –

III) Para que as retas sejam perpendiculares, deve-se ter:

m1 . m2 = – 1 fi 2 . – = – 1 € � =

Resposta: D

15) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(1; 3) e B(4; 6)

é mAB = = = = 1

II) Se mr é o coeficiente angular da reta r perpendicular à reta

AB

, então:

mr . mAB = – 1 fi mr . 1 = – 1 € mr = – 1

Resposta: – 1

16) I) O coeficiente angular da reta que passa por A(7; 5) e

B(2; 3) é mAB = = =

II) O coeficiente angular da reta que passa por B(2; 3) e

C(xC; –2) é mBC = = =

III) As retas AB

e BC

são perpendiculares, então:

mAB . mBC = – 1 fi . = – 1 € = 1 €

€ xC – 2 = 2€ xC = 4

Portanto, o vértice C tem coordenadas (4; – 2)Resposta: C

3––––––5 – x

1 –(– 2)–––––––5 – x

yB – yA–––––––xB – xA

2–––3

– 2 – 0–––––––13 – 10

yD – yC–––––––xD – xC

2––––––5 – x�2

–––3�3

––––––5 – x

y – 7––––––4 – 3

yB – yA–––––––xB – xA

2––––

3– 2––––– 3

8 – 10––––––6 – 9

yD – yC–––––––xD – xC

– 3––––

22

–––3

11––––

2– 3––––

2

11–––2

2–––3

�–––3

�–––3

3–––2��

–––3�

3–––3

6 – 3––––––4 – 1

yB – yA–––––––xB – xA

2–––5

3 – 5––––––2 – 7

yB – yA–––––––xB – xA

– 5––––––xC – 2

– 2 – 3––––––xC – 2

yC – yB–––––––xC – xB

2––––––xC – 2�– 5

––––––xC – 2�2

–––5

1––––

23

––––2

3––––

2

5––––

32

––––3

2––––

3

2––––

33

––––2

k–––5

k–––5

k–––5

k–––5

5––––––k + 1

4––––––k + 1

4––––––k + 1

5––––––k + 1

k2 + k = 20k2 + k � – 25�

k 4– ––– = – ––––––

5 k + 1k 5

– ––– � ––––––5 k + 1

�mr = mshr � hs

�

k2 + k – 20 = 0k2 + k � – 25�

– 15

n Módulo 21 –Feixe de retas concorrentesnum ponto

1) A equação da reta que passa por P(3; – 2) e tem coeficiente

angular m = – é dada por:

y – yp = m(x – xP) fi y + 2 = – (x – 3) € 4y + 8 = – x + 3€

€ x + 4y + 5 = 0

Resposta: x + 4y + 5 = 0

2) A equação da reta que passa pelo ponto (– 2; 4) e tem

coeficiente angular igual a – 3 é dada por:

y – 4 = – 3(x + 2) € y – 4 = – 3x – 6 € y + 3x + 2 = 0

Resposta: D

3) A reta procurada passa pelo ponto (3; – 2) e tem coeficienteangular m = tg135° = – 1, assim, sua equação é dada por:

y + 2 = – 1(x – 3) € y + 2 = – x + 3 € x + y – 1 = 0

Resposta: x + y – 1 = 0

4) I) Se a reta intercepta o eixo das ordenadas em P(0; – 3)então, o coeficiente linear é h = – 3

II) O coeficiente angular da reta é m = tg = �3

III) A equação da reta é dada por:

y = mx + h fi y = �3 x – 3 € �3 x – y – 3 = 0

Resposta: C

5)

A reta t tem coeficiente linear h = 2 (intersecção com o eixo

y) e coeficiente angular m = tg 120° = – �3 , assim, sua

equação é dada por:

y = mx + h fi y = –�3 x + 2

Resposta: E

6) A reta procurada tem coeficiente linear h = – 2 e coeficiente

angular m = , assim, sua equação é dada por:

y = mx + h fi y = x – 2 € 3y = x – 6 € x – 3y – 6 = 0

Resposta: x – 3y – 6 = 0

7) Se a equação da reta é y = ax + b, o valor de b é o coeficientelinear da reta, que corresponde à ordenada do ponto deintersecção da reta com o eixo y.

Assim, de acordo com a figura, tem-se:

tg 60° = € �3 = b

Resposta: D

8) I) Se r é a reta que passa pelos pontos (4; 0) e (0; 6), o

coeficiente linear é 6 e o coeficiente angular é mr = =

= – , assim, a equação da reta r é y = – x + 6

II) A reta s tem coeficiente linear 2 e coeficiente angular

ms = (pois é perpendicular à reta r), assim, a equação

da reta s é y = x + 2

III) O ponto P(a; b), intersecção das retas r e s, é dado pelasolução do sistema a seguir, assim:

€ fi P ;

IV)Para a = e b = , tem-se:

a + b = + =

Resposta: D

9) I) A reta r, que passa pelos pontos A(1; 2) e B(3; 4), tem

coeficiente angular mr = = = 1

II) A reta s, de equação mx + ny + 1 = 0, tem coeficiente

angular ms = –

III) Se as retas r e s são perpendiculares, então:

mr . ms = – 1 fi 1 . – = – 1 € m = n

Resposta: B

1–––4

1–––4

π–––3

1–––3

1–––3

b–––1

0 – 6–––––4 – 0

3–––2

3–––2

2–––3

2–––3

�42––––13

24––––13�

24x = ––––

1342

y = ––––13

�3

y = – –––x + 62

2y = –––x + 2

3�

42––––13

24––––13

66––––13

42––––13

24––––13

4 – 2–––––3 – 1

yB – yA––––––––xB – xA

m–––n

�m–––n�

16 –

10) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é paralela ao eixo Oxé horizontal, assim, sua equação é y = – 2 € y + 2 = 0Resposta: y + 2 = 0

11) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é perpendicular aoeixo Ox é vertical, assim, sua equação é x = 3 € x – 3 = 0Resposta: x – 3 = 0

12) I) 2x – 3y – 4 = 0 tem coeficiente angular m1 =

II) A reta que passa pelo ponto P(3; – 2) e é paralela à reta

2x – 3y – 4 = 0, tem coeficiente angular m2 = m1 = ,

assim, sua equação é dada por:

y – yP = m2(x – xP) fi y + 2 = (x – 3) € 3y + 6 = 2x – 6 €

€ 2x – 3y – 12 = 0

Resposta: 2x – 3y – 12 = 0

13) I) 2x – 3y – 4 = 0 tem coeficiente angular m1 =

II) A reta que passa por P(3; – 2) e é perpendicular à reta

2x – 3y – 4 = 0, tem coeficiente angular m2 = = – ,

assim, sua equação é dada por:

y – yP = m2(x – xP) fi y + 2 = – (x – 3) €

€ 2y + 4 = – 3x + 9 € 3x + 2y – 5 = 0

Resposta: 3x + 2y – 5 = 0

14) I) ax + a2y = 1 € a2y = – ax + 1 € y = – x + tem

coeficiente angular m1 = –

II) A reta que passa por (a; a), a > 0, e é paralela à reta

ax + a2y = 1, tem coeficiente angular m2 = m1 = – ,

assim, sua equação é dada por:

y – a = – (x – a) € ay – a2 = – x + a € x + ay = a2 + a

Resposta: x + ay = a2 + a

15) I) Seja r a reta que passa por (–3; 0) e (0; 2). A equação da

reta r é + = 1 € 2x – 3y = – 6

II) Seja s a reta que passa por (7; 0) e tem coeficiente angularm = tg 135° = – 1. A equação da reta s é y – 0 = – 1(x – 7) €€ y = – x + 7

III) As coordenadas do ponto A, intersecção das retas r e s,correspondem à solução do sistema a seguir:

€ € fi A(3; 4)

IV)O triângulo determinado pelo ponto A(3; 4) e pelos pontos

de abscissas – 3 e 7 da figura, tem base 7 – (– 3) = 10 e altura

igual a yA = 4. Assim, a área do triângulo é = 20

Resposta: E

16) I) 5x – 3y = 2 tem coeficiente angular m1 =

II) A reta que passa pelo ponto (4; 5) e é perpendicular à reta

5x – 3y = 2, tem coeficiente angular m2 = – , assim, sua

equação é dada por:

y – 5 = – . (x – 4) € 5(y – 5) = – 3(x – 4) €

€ 3(x – 4) + 5(y – 5) = 0

Resposta: A

17) I) A reta r passa pelo ponto (3; 2) e tem coeficiente angular

m = tg 60° = �3 , assim, sua equação é dada por:

y – 2 = �3 (x – 3) € y – 2 = �3 x – 3�3 €

€ y = �3 x + 2 – 3�3II) O coeficiente linear da reta é h = 2 – 3�3 , logo, a reta

passa por (0; 2 – 3�3 )

Resposta: A

18) I) A reta de equação y = x, tem coeficiente angular m1 = 1II) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações

2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0, então:

€ € fi P

III) A reta que passa por P e é perpendicular à reta

y = x, tem coeficiente angular m2 = – 1, assim, sua equação

é dada por:

y – yP = m2(x – xP) fi y – = – 1 €

€ 7y – 1 = – 7x + 5 € 7x + 7y – 6 = 0

Resposta: C

n Módulo 22 –Circunferência

1) Se o centro é o ponto C(3; – 1) e o raio é r = 5, a equação dacircunferência é dada por:(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Resposta: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25

2) Se o centro é o ponto C(– 4; 2) e o raio é r = = 4, a equa -ção da circunferência é dada por:(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16Resposta: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16

3) I) O centro da circunferência é o ponto C(4; – 1)

II) Se a circunferência passa por P(– 1; 3), o raio é

r = PC = ��������������(4 + 1)2 + (– 1 – 3)2 = ������25 + 16 = ����41

III) A equação da circunferência é dada por:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 4)2 + (y + 1)2 = 41

Resposta: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 41

5–––3

3–––5

3–––5

�2x – 3y – 1 = 03x – y – 2 = 0 �2x – 3y = 1

– 9x + 3y = – 6 �5

x = ––71

y = ––7

5 1�––; ––�7 7

5 1�––; ––�7 7

1–––7

5�x – –––�7

2–––3

2–––3

2–––3

2–––3

– 1––––m1

3–––2

3–––2

1–––a

1–––a2

1–––a

1–––a

1–––a

x–––– 3

y–––2

�2x – 3y = – 6y = – x + 7 �2x + 3x – 21 = – 6

y = – x + 7 �x = 3y = 4

10 . 4––––––

2

8–––2

– 17

4) Sejam A(– 3; 5) e B(7; – 3) os extremos do diâmetro.I) O centro C da circunferência é o ponto médio de

––AB,

então:

fi C(2; 1)

II) O raio da circunferência é r = = AC = BC =

= �����52 + 42 = ����41

III) A equação da circunferência é dada por:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41

Resposta: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41

5) Se o centro é o ponto C(– 4; 3) e a circunferência é tangente ao

eixo y, então o raio é r = �xC� = �– 4� = 4, assim, sua equação é:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16

Resposta: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16

6) Se o centro é o ponto C(0; 0) e a circunferência corta o eixo xno ponto (6; 0), então o raio é r = 6, assim, sua equação é:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi x2 + y2 = 36

Resposta: x2 + y2 = 36

7)

O centro é o ponto (– 8; 8) e o raio é 8, assim, a equação dacircunferência é (x + 8)2 + (y – 8)2 = 64Resposta: (x + 8)2 + (y – 8)2 = 64

8)

I) yC2 + 62 = 102 € yC

2 = 64 € yC = � 8II) O centro da cicunferência é C(– 6; 8) ou C(– 6; – 8)III) A equação da circunferência é dada por:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi

fi (x + 6)2 + (y – 8)2 = 100 ou (x + 6)2 + (y + 8)2 = 100Resposta: (x + 6)2 + (y – 8)2 = 100 ou (x + 6)2 + (y + 8)2 = 100

9) O centro é o ponto (π; 0) e o raio é π, assim, a equa ção dacircunferência é:(x – π )2 + (y – 0)2 = π2 € x2 – 2πx + π2 + y2 – π2 = 0 €€ x2 – 2πx + y2 = 0Resposta: A

10)

O centro é o ponto C(���2 ; ���2 ) e o raio da circunferência é

r = �����2 + 2 = ���4 = 2 Resposta: D

11) I) O centro da circunferência é o ponto C(1; 2)

II) Se a circunferência contém o ponto P(2; 1), o raio é

r = PC = �������������(1 – 2)2 + (2 – 1)2 = �����1 + 1 = ���2

III) A equação da circunferência é dada por:

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 fi (x – 1)2 + (y – 2)2 = 2 €

€ x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 2 = 0 €

€ x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0

Resposta: C

12) I) O centro da circunferência é o ponto M, ponto médio

de––AC, então:

fi M(3; 4)

II) A diagonal do quadrado é d = AC = �����22 + 22 = 2���2

III) O lado � do quadrado é tal que:

����2 = d fi ����2 = 2���2 € � = 2

IV)O raio da circunferência inscrita no quadrado é

r = = = 1

V) A equação da circunferência é dada por:

(x – xM)2 + (y – yM)2 = r2 fi (x – 3)2 + (y – 4)2 = 1 €

€ x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 – 1 = 0 €

€ x2 + y2 – 6x – 8y + 24 = 0Resposta: B

�xA + xB – 3 + 7

xC = –––––––– = ––––––– = 22 2

yA + yB 5 + (– 3)yC = –––––––– = ––––––––– = 1

2 2

AB–––2

xA + xC 2 + 4xM = –––––––– = ––––––– = 3

2 2

yA + yC 3 + 5yM = –––––––– = ––––––– = 4

2 2�

2–––2

�–––2

18 –

13) Seja P(x; y) o centro da circunferência que passa pelos pontosA(1; 7), B(– 3; 5) e C(4; – 2)

I) PA = PB = PC € fi

fi fi

fi €

€ € fi P(1; 2)

II) O centro é P(1; 2) e o raio é r = PA = 7 – 2 = 5

III) A equação da circunferência é dada por: (x – xP)

2 + (y – yP)2 = r fi (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 €

€ x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0 €€ x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0

Resposta: B

14)

I) É verdadeira, pois o centro da circunferência é A(3; 1), o raio é 1 e a equação é (x – 3)2 + (y – 1)2 = 1

II) É verdadeira, pois a reta r passa pelo centro A da circun -ferência, logo, A r

III) É falsa, pois a reta r, paralela à reta y = x, tem coeficienteangular 1 e passa pelo ponto A(3; 1), assim, sua equação éy = x – 2

IV)É falsa, pois r são os pontos de intersecção da retacom a circunferência, assim, suas coordenadas são dadaspelas soluções do sistema:

€ €

€ € €

€ € €

€ ou

Resposta: C

15) I) A circunferência C1 tem equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2 eP(m; 0) é interior a C1, então: (m – 1)2 + (0 – 1)2 < 2 € (m – 1)2 < 1

II) A circunferência C2 tem equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 eP(m; 0) é exterior a C2, então: (m – 1)2 + (0 – 1)2 > 1 € (m – 1)2 > 0

III) € – 1 < m – 1 < 1 € 0 < m < 2

Resposta: A

16) I) O centro da circunferência é C(– 2; 3)

II) A reta 20x – 21y – 42 = 0 é tangente à circunferência, entãoo raio é a distância do ponto C à reta dada, assim:

R = = = = 5

III) A equação da circunferência é (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25

Resposta: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25

17) I) A reta que passa por (– 2; 4) e (2; 1) tem equação

= 0 € 3x + 4x – 10 = 0

II) O centro da circunferência é C(– 1; – 3)

III) A reta 3x + 4y – 10 = 0 é tangente à circunferência, então oraio é a distância do ponto C à reta, assim:

R = = = 5

IV)A equação da circunferência é (x + 1)2 + (y + 3)2 = 25

Resposta: (x + 1)2 + (y + 3)2 = 25

� PA = PB

PA = PC

� �������������(x – 1)2 + (y – 7)2 = �������������(x + 3)2 + (y – 5)2

�������������(x – 1)2 + (y – 7)2 = �������������(x – 4)2 + (y + 2)2

� x2 – 2x + 1 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 – 10y + 25

x2 – 2x + 1 + y2 – 14y + 49 = x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4

� 2x + y – 4 = 0

x – 3y + 5 = 0 � x = 1

y = 2

� y = x – 2

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 1 � y = x – 2

(x – 3)2 + (x – 2 – 1)2 = 1

� y = x – 2

2(x – 3)2 = 1 �y = x – 2

1(x – 3)2 = –––

2

�y = x – 2

���2 x – 3 = � –––––

2�

y = x – 2

���2 x = 3 � –––––

2

����2

x = 3 + –––––2

���2 y = 1 + –––––

2�

���2 x = 3 – –––––

2

���2 y = 1 – –––––

2

� (m – 1)2 < 1

(m – 1)2 > 0

�20xC – 21yC – 42�–––––––––––––––––

�������202 + (– 21)2

�– 40 – 63 – 42�–––––––––––––––

������400 + 441

145––––––

29

�– 22x

41y

111

�

�– 3 – 12 – 10�––––––––––––––

5

�3xC + 4yC – 10�–––––––––––––––––

�����32 + 42

– 19

18) I) O centro C da circunferência pertence à reta 3x + y – 12 = 0 € y = 12 – 3x, logo, o ponto C é do tipo (xC; 12 – 3xC)

II) Sendo A(4; 6) e B(– 6; 4) pontos da circunferência, então:

AC = BC fi

fi ������������������(xC – 4)2 + (12 – 3xC – 6)2 = ������������������(xC + 6)2 + (12 – 3xC – 4)2 fi

fi (xC – 4)2 + (6 – 3xC)2 = (xC + 6)2 + (8 – 3xC)2 €

€ xC2 – 8xC + 16 + 36 – 36xC + 9xC

2 =

= xC2 + 12xC + 36 + 64 – 48xC + 9xC

2 €

€ – 8xC = 48 € xC = – 6 fi C(– 6; 30)

Resposta: B

19) Se C(2; 3) é o centro e A(2; 0) é um ponto da circunferência,então:

I) O raio é r = AC = 3 – 0 = 3

II) A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 €

€ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 9 = 0 €

€ x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0

Resposta: A

20) I) A circunferência localizada no 1o- quadrante que tangenciaos eixos tem centro sobre a reta y = x (bisssetriz dosquadrantes ímpares), assim, o centro é do tipo C(x; x), comx > 0, e o raio é r = x

II) C(x; x) pertence à reta 4x + 3y – 14 = 0,então:

4x + 3x – 14 = 0 € 7x = 14 € x = 2 fi C(2; 2) e r = 2

III) A equação da circunferência é (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 €

€ x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 – 4 = 0 € x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0

Resposta: A

n Módulo 23 –Circunferência

1) x2 + y2 – 8x + 10y – 11 = 0 €

€ x2 – 8x + y2 + 10y = 11 €

€ (x – 4)2 + (y + 5)2 = 52, tem centro no ponto C(4; – 5) e raio

r = �����52 = 2�����13

Resposta: C(4; – 5) e r = 2�����13

2) x2 + y2 + 6x – 8y = 0 €

€ x2 + 6x + y2 – 8y = 0 €

€ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25, tem centro no ponto C(– 3; 4) e raio

r = 5

Resposta: C(– 3; 4) e r = 5

3) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5, tem centro no ponto C(2; – 1) e raio r = ���5Resposta: C(2; – 1) e r = ���5

4) 2x2 + 2y2 – x = 0 € x2 + y2 – x = 0 €

€ x2 – x + y2 = 0 €

€ �x – �2

+ y2 = , tem centro no ponto C� ; 0� e

raio r =

Resposta: C� ; 0� e r =

5) I) O centro da circunferência C1: x2 + y2 – 6y + 5 = 0 é o ponto

A�0; � € A(0; 3)

II) O centro da circunferência C2: x2 + y2 + 2x – 5 = 0 é o ponto

B� ; 0� € B(– 1; 0)

III) A reta que passa pelos pontos A(0; 3) e B(– 1; 0) é dada por:

= 0 € 3x – y + 3 = 0 € y = 3x + 3

Resposta: y = 3x + 3

6) I) O centro da circunferência de equação

x2 + y2 – 8x – 6y + 24 = 0 é o ponto B� ; � € B(4; 3)

II) O ponto médio do segmento AB, sendo A(2; 3) e B(4; 3) é

M� ; � € M(3; 3)

III) A reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa peloponto M(3; 3) é a vertical formada pelos pontos tais quex = 3

Resposta: D

7) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 € x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 16 €�€ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16, tem centro no ponto (2; – 3) e raio 4.Resposta: D

8) I) A circunferência x2 + y2 – 8x – 6y = 375 tem centro no

ponto A� ; � € A(4; 3)

II) A circunferência x2 + y2 – 20x – 2y = – 100 tem centro no

ponto B� ; � € B(10; 1)

III) A distância entre os centros é

d = AB = �����������(4 – 10)2 + (3 – 1)2 = ������36 + 4 = ���40 = 2���10 Resposta: D

+ 16 + 25 + 16 + 25

+ 9 + 16 + 9 + 16

1–––2

1–––2

1+ –––

161

+ –––16

1–––4

1–––16

1–––4

1–––4

1–––4

1–––4

– 6–––– 2

2–––– 2

� 0– 1x

30y

111�

– 8–––– 2

– 6–––– 2

– 20––––– 2

– 2–––– 2

– 8–––– 2

– 6–––– 2

2 + 4–––––

23 + 3–––––

2

20 –

9) I) O centro da circunferência (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 é o pontoC(1; – 2)

II) A distância da origem O(0; 0) ao ponto C(1; – 2) é

d = �����������(0 – 1)2 + (0 + 2)2 = ������1 + 4 = ���5Resposta: E

10) y2 + (x – 1)2 = 0 € y = 0 e x – 1 = 0 € y = 0 e x = 1, quecorresponde ao ponto (1; 0)Resposta: C

11) I) A circunferência x2 + y2 = 6 tem centro na origem e raio ���6II) Os pontos internos à circunferência têm coordenadas (x; y)

tais que x2 + y2 < 6, assim, para x e y inteiros, tem-se:• Se x = 0 fi 0 + y2 < 6 € y2 < 6 fi y {0; � 1; � 2},

obtendo-se 5 pontos.• Se x = � 1 fi 1 + y2 < 6 € y2 < 5 fi y {0; � 1; � 2},

obtendo-se 10 pontos.• Se x = � 2 fi 4 + y2 < 6 € y2 < 2 fi y {0; � 1},

obtendo-se 6 pontos.Portanto, o número de pontos que têm coordenadas inteirasé 5 + 10 + 6 = 21Resposta: D

12) I) O centro C da circunferência x2 + y2 + 2x + 4y = R2 é o ponto

� ; � = (– 1; – 2)

II) O ponto simétrico da origem O(0; 0) em relação ao pontoC(– 1; – 2) é o ponto P(xP; yP) tal que C é o ponto médio de—OP, assim:

€ fi P(– 2; – 4)

Resposta: A

13) 4x2 + 4y2 – 4x – 12y + 2 = 0 €

€ x2 + y2 – x – 3y + = 0, representa uma circunferência

de centro no ponto C� ; � € C� ; �Resposta: D

2–––– 2

4–––– 2

�xP + 0

––––––––– = – 12

yP + 0 ––––––––– = – 2

2

� xP = – 2

yP = – 4

1–––2

– 1–––– 2

– 3–––– 2

1–––2

3–––2

– 21