Resoluções dos Exercícios do Volume 2 de Matemática … 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II 2.1 Funções exponenciais e logarítmicas 1. 1.1 0 652 312 652 1 652 0 N u u

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RESOLUÇÕES DO VOLUME 2 PROJETO DESAFIOS MATEMÁTICA A 12.º ANO

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TEMA 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II

2.1 Funções exponenciais e logarítmicas

1.

1.1

652165236520 12

0

N

O número inicial de indivíduos é 652.

1.2

89836525,3 12

5,3

N

Ao fim de 3 horas e 30 minutos existem, aproximadamente, 898 indivíduos.

1.3 Para qualquer instante t tem-se

tNtN

tttt

336523336523652365212 123121

1212

12

c. q. d.

2.

a) 2

22

2

1

4

1 b) 3

2

3

123

1

23 33

3

1

9

1

c) 2

55

33

1

3.

a) 3

34

4

1

64

1 b) 5

2

5 33243 c) 4

410

10

1

10000

1

d) 5232 .

4.

a) 4

1

3

13

x

x b) 24332 x

x

c) 64433 333 xx

d) 3

4

3

14333 11 xx

5.

Da observação do gráfico vem que:

3

4

4

31

4

3

100

7575,075,01 111 a

aaaaf

6.

Por observação do gráfico constata-se que o gráfico representado a verde (f) é o único que

pode representar uma função exponencial de base positiva inferior a 1. Então, este gráfico

corresponde à expressão

x

y

1 .

O gráfico a castanho é o único que pode representar a função simétrica de uma exponencial de

base maior do que 1. Então, a expressão da função que pode ser representada por este gráfico

é xy 2 .

DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 2

Potências com o mesmo expoente positivo são tanto maiores quanto maior for a base. Assim, a

base da função g é, necessariamente, superior à base da função j. Então, xy 4 é a

expressão analítica de g e xy 2 , a de j.

7.

a) Da tabela sabe-se que:

3644

364

36436442 4

22

4

2

42 aaa

baba

bababff

339

433

49

4364

42

2

2

2

2 aabaa

aba

aba

ab ,

Então, como 0a , vem 9

4b e 3a .

32639

46 6 f , 29163

9

48 8 f .

b) Da tabela sabe-se que:

144

110

11014102 4

22

4

2

42 aaa

baba

bababff

10

1

10

110

10

110110

102

2

2

2

2aa

aba

aba

ab , Então, como

10

10

10

10

10

1

10aab como 0a , vem 100b e

10

10a .

1,010

1

10

1100

10

101006

3

6

f , 01,0

10

1100

10

101008

4

8

f .

8.

8.1 42

20482048220483

9

33 kkkH . Então 233 224 rrrH .

Assim, 131072225 17253 H

8.2 A área de uma coroa circular cujo raio difere de um quilómetro é dada em função de r por

rrrrrrrA 21211 2222

De acordo com o modelo, o número de habitantes nessa coroa circular é dado, em função de r

por

rrrrrrrrrHrH3

228222222222221 3252353235323213

Portanto, a densidade populacional em cada coroa circular, de acordo com o modelo, é dada

em função de r por

rrD

r

2

228 3

.

8.3

r 1 2 3 4 5 6 7 8

rD 24 114 652 4056 26550 179723 1246083 8795877

Este modelo não parece ser adequado. O número de habitantes por quilómetro quadrado

cresceria de forma exponencial quando nos afastássemos do centro da cidade. O normal seria,

a densidade populacional diminuir quando nos afastamos, de forma significativa do centro da

cidade.


9.

a) 32112512515625125 211 xxxx . 3S ;

b) 100101,033100

30033003100 01,001,001,0 xxxxx . 100S ;

c) 10625322532 7777497222 xxxxxxxxx

646401081062 22 xxxxxxx

64;64 S

d) 003033 222 xxxxxx eeeeeee . Impossível em R . S ;

e) 12

1212

4

91201222122 212

xxxxxxxx

;

1S

f) 0011 21 xxx

x

xxx eeeeeee

eeeee

2

41101

22 eee

eeeee xxx

2

11

2

11

2

21122 ee

eee

eeee

e xxx

0112

11

2

11

xxeee

eee

eee xxxx .

1,0S

10.

13337213322

372

312

732

11 yyyx

yx

yx

yx

1

242

13315351333214 y

x

y

x

yyyy;

1,2S

11. Para determinar o(s) ponto(s) de interseção dos dois gráficos faz-se:

2622

32222 233

xxxx

xxgxf

x

xxx .

,2S .

12.

a) 0232242 233 xxxxxxx; ,0S .

b)

2

3,03220646455255 226434 22

xxxxxxxxxxx.

c) 038353281 225328

5328 2

2

xxxxee

ee xx

xx

Cálculo auxiliar:

3

13

6

10080383 2

xxxxx .

,

3

13,S


d) 0826208264 2 xxxx . Fazendo xy 2 , obtém-se, 0862 yy

Cálculo auxiliar:

420862 yyyy . Como o coeficiente do termo de grau 2 é positivo, tem-se,

420862 yyyy . Assim, voltando à variável x vem,

214222 xxxx .

2,1S

e) 4

9937333332793 93793242331223 xxxxxxxxxxx

4

9,S .

f) 2,2040420242022 222222 xxxxx xxxx

2,2S

13.

Cálculo auxiliar:

01033 xee xx

2

322084 32 xxx

Quadro de sinais

x 0 2

3

33 xe - 0 + + +

84 x - - - 0 +

84

33

x

xe + 0 - n.d. +

,

2

30,0

84

33x

ex

x

.

,30,S

14.

14.1 Sabe-se que: Rxx ,09 e que x9 assume todos os valores do intervalo ,0

quando x varia em R . Então, 669 xxf e xg assume todos os valores de ,6

quando x varia em R . Então, ,6'gD .

Analogamente, Rxx ,03 , logo, Rxx ,3 1 e Rxx ,223 1 e 23 1 x assume

todos os valores reais superiores a 2 quando x varia em R . Portanto, ,2'gD .

14.2

a) 8133832333

813823

3

8138 21 xxx

x

x

xxg

2193336

32436308133633 2

xxxxxxx

;

2,1S

b) 04333023690 21 xxxxxgxf

Fazendo xy 3 , tem-se 1404304333 22 yyyyxx .

Então, 01343043332 xxxx 013 x , porque, Rxx ,043 .

Ora, 013013 xxx.

,0S


c) 2

3323302790

23

2790

21 32

1

xx

xg

xf xx

x

x

,

2

3S

14.3 6lim

xfx

(a reta de equação 6y é assíntota horizontal do gráfico de f em )

2lim

xgx

(a reta de equação 2y é assíntota horizontal do gráfico de g em ).

15.

15.1 Sabe-se que: 9130 ff

Então,

1

3

3

33

93

_____

9

3

9

3

1 b

a

aaaa

a

a

a b

b

b

b

b

.

Os valores de a e b são 3 e 1, respetivamente.

15.2

a) A reta de equação 2y será assíntota do gráfico de h de 2k , uma vez que o gráfico de h

é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de coordenadas k,0 .

b) Para que h tenha um zero, a equação 0 kxf tem de ter uma solução, ou seja, a

equação kx 13 tem de ter uma solução. Como 03 1 x , para todo x real, a equação

kx 13 só é possível se 0k , ou seja, 0k .

c) Como o gráfico de h é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de

coordenadas k,0 , o contradomínio de h é ,k . Então, 1k .

d) 6333030 kkkfh . Então, o valor de k é -3.

16.

O gráfico de q é obtido por uma reflexão do de g em relação a Oy, pelo que uma possível

expressão analítica de q é xexq .

O gráfico de h pode ser obtido do de g por translação associada ao vetor de coordenadas

1,0 , portanto, uma possível expressão analítica para h é 1 xexh .

O gráfico de f pode ser obtido por reflexão, de eixo Oy, do gráfico de g. Então, uma possível

expressão analítica é xexf .

O gráfico de p é obtido por translação do gráfico de f associada ao vetor 0,3 , pelo que uma

possível expressão analítica para p é 33 xx eexp .

17. Sabe-se que 02,0 QtQ , ou seja, 2,02,0 00012,00

00012,00 tt eQeQ .

Determinado, na calculadora gráfica, o ponto de interseção da curva definida pela equação tey 00012,0 com a reta de equação 2,0y , obtém-se

Portanto, há 41034,1 anos, aproximadamente, a quantidade de

carbono 14 da amostra era igual à quantidade de carbono 14 na

planta viva, ou seja, a amostra tem, aproximadamente, 13,4 mil

anos.


18.

a)

14

13

28

2628

28

26

28

261

280

1

0

BBB e

A

e

A

eA

eA

R

R

Intersetando a curva definida pela equação xey com a reta de equação 14

13y obtém-se

Então, o valor aproximado de B é 0,074.

b) 2

11428

2

1 074,0074,00 eeQtQ t

A semivida da substância é, aproximadamente, 9,367 horas, ou

seja, 9 horas e 22 minutos.

19.

19.1 Intersetando o gráfico de f, definida em R por xxf 15,1 , com a reta de equação 2y

obtém-se:

Observa-se, assim, que a solução da equação 215,1 x

é, aproximadamente, 5, ou seja, são necessários 5 anos

para que, com uma inflação de 15 %, o preço dos

produtos duplique.

19.2 Se atualmente custa 8 euros, daqui a sete anos custará 28,2115,18 7 euros.

20.

20.1 Para encontrar a solução da equação

63000tP , determina-se graficamente a interseção

do gráfico de P com a reta de equação 63000y . A

abcissa do ponto de interseção é, aproximadamente,

22,1. Observa-se, assim, que é durante o 22.º dia que

a população atinge os 63000 indivíduos.


20.2

Como 02lim 1,0

t

t, tem-se que 7680002,164000lim

tP

t

Então, a população tende a estabilizar nos 76800 indivíduos.

21.

a)

As abcissas dos pontos de interseção da curva

definida por xy 2 e da curva 2xy são 77,0

(valor aproximado), 4 e 16. Assim, do gráfico

observa-se que a solução da equação 22 xx é

,164;8,0S

b)

A abcissa do ponto de interseção da curva

definida por xey e da curva 2xy é 7,0

(valor aproximado).

Assim, a solução da condição 2xex

;7,0S

c)

A abcissa do ponto de interseção da curva

definida por xy 3 e da curva 2xy é 7,0

(valor aproximado).

Assim, a solução da condição 23 xx

;7,0S


22.

a) x

ex

xl im (limite notável e>1.

b) 011

limlimlim

2

22

x

ee

xxe

xxxx

x

x (

2l im

x

ex

x limite notável e>1.

c) 03

1lim xx

. (

x

x3lim e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo).

d)

55

2lim

2lim

xx

x

x

x

x (

5

2lim

x

x

xlimite notável);

e)

x

x

5lim porque 1

5

;

f) x

x

x

x

2lim

2

1lim , fazendo xy tem-se 02lim2lim

y

y

x

x.

Note-se que dizer x é o mesmo que dizer que y , uma vez que xy

23.

a) 26636636log 26 yy yy . Então, 236log6 ;

b) 122 22

2

1log5,0log

yyy . Então, 12log 1

2 ;

c) 01101log10 yy y . Então, 01log10 ;

d) 2339

13

9

1log 2

3

yy yy . Então, 29

1log3

e) 31212121212log 33123 yy

yy

. Então, 312log3 12 .

24.

a) 243322 553log3log5 22

b) 151522 17log15log15log7log5 7227

c) 110log10log 05

1log5

3

d) 1164log 2log2log64

33

e) 4222

13

2

11131113log11log169log121log

25.

a) 5551251\1251\1255125log

xRxxRxx

x. 5 125S

b) 3

11\

81

11\

81

1

81

1log4

4

xRxxRxx

x .

3

1S

c) 2

903222log 2

3 xxxx .

2

9S

d) 792812181log 2 xxxx . 79S .

26.

a) 3

1

6

1

255555log 6

1

2665

xx

x

xx

.

3

1S .

b) 03099lnln 222 xxxxx ; 3,3S ;

c) 433813

181log 4

3

1

yy y

y

. 4S

d) 2

5

2

1005052100052352log mmmmm .

2

1005S .


27.

a) 12log123 3 xx 12log3S ; ou 4log1 3S

b) 2

2ln2ln222 xxe x

,

2

2lnS , ou 2lnS ;

c) 6ln6020620232 1 xeee xxxxxxx , 6lnS ;

d)

2

15206252052

2

62526 2

02

xxxx

x

xxx

13log2232 2 xxxx ; 3log,1 2S .

28.

28.1 Como a função é estritamente decrescente, é, necessariamente, injetiva, pelo que admite

inversa.

28.2

a) Por definição de inversa sabe-se que 111 xgxg . Graficamente observa-se que

o objeto que tem por g imagem 1 é 0, ou seja, 011 g

b) Analogamente, 111 g .

28.3 O gráfico de 1g pode ser obtido por reflexão do gráfico de g tendo como eixo de reflexão

a reta de equação xy .

29.

29.1

O gráfico de g é o transformado do gráfico de f pela translação 2,0 a

: Figura B

O gráfico de h é o transformado do gráfico de f pela translação 0,2b

: Figura D

O gráfico de i é o transformado do gráfico de f por reflexão de eixo Ox: Figura A

O gráfico de j é o transformado do gráfico de f por composição da reflexão de eixo Oy com a

translação 1,0a

: Figura C.

29.2

,0gD ; ,2hD ; 0,iD ; ,0gD .

30.

,404: xRxDf ; RDg (função polinomial).

,44,4:: 2xRxRxDxgDxRxD fggf

4ln4ln 2 xxgxgfxgf

Então, Rgf ,44,: definida pela expressão analítica 4ln 2 xxgf


31.

31.1 Do gráfico sabe-se que 29 f , ou seja, 2929log aa , com 1\Ra . Portanto,

3a .

31.2 Se xfxh 1 e ,0fD , então, 1,hD

32.

a) ,202: xRxDf ;

b) 3,03: xRxDg ;

c) RRxD xh 02: ( 02 x é uma condição universal em R )

d) 3,309: 2 xRxDi .

e)

,02

1,02

1:

xRxDh

Cálculo auxiliar:

02

10

2102

1

xx

x

x

x

x 2

1 0

x21 - 0 + + +

x - - - 0 +

x

x21 + 0 - n.d. +

33.

a) 1,0 gg DD

2

13ln3ln1233

3

1212

y

yyxeyye

y xx

.

Assim, 1g é a função de domínio ,0 definido pela expressão

2

13ln1 x

xg .

b) 1 hh DRD

33 102021022log3

2log3

yy

xxxxy

xy .

Então, 1h é a função de domínio R definida pela expressão 31 102

x

xh .

34.

a)

0

1

lnlim

1

lnlim

x

xx

x

x

x

b)

000ln

lim1

limlnln

limln

lim

x

x

xx

xe

x

ex

xxxx

c) 0001

limln

limln

lim1

lnlimlnlim

x

ex

x

e

x

x

x

exex

xxxxxxx

x

x

35.

a) 110log21

210log21log210log21log7log30log

;

b) 24log25

100log25log100log 2222

;

c) 6888 6log32loglog3log 88

2

88

;


d) 4999 4log4

12log

4log12log 99

99

e) 277 2log2log1log 777 .

36.

a) 15log53log3log5log3log2

10log12log10log 33333333

b)

2ln2

4ln2ln

4ln2ln4lnln2ln4ln3

3333 eee

e

c)

6

10log6log10log2log3log01,0

01.001,0

37.

a) baa 2log4log4log 222

b) bbaa

0log1log

1log 222

c) 2

5

2

312log

2

1log2log8log5,0log

8

5,0log 3

221

2222

bbaaa

38. Dizer que x49log3 é o mesmo que dizer que x23 7log , ou seja,

27log3

x .

Então:

a) 2

17log3log73log21log 3333x

b) x

49log

7

343log

7

1log343log 3333

c) 24

27log2

19log7log

9

7log 33

2

1

33

x

39.

a)

3 23

3

2

32

1

lnlnlnlnln3

2ln3ln

2

1

zy

xzyxzyx

b)

npnm

npnmpnnnpnnm

a

aaaaaaa

2

2

log

logloglog2

1loglog2log

2

1log

c)

33

1

1log

1log

1log

3

1log1log

3

1

x

x

x

x

x

xxx

40.

(A) Falso. Por exemplo 2

3

4log

8log

2

2 e 12348log 22 loh .

(B) Verdadeira, se m >0. Propriedade 1.

(C) Falso. Por exemplo, 12log93log 33 e 3219log3log 33

(D) Verdadeira, se 4x . Propriedade 2.


41.

a) 853logloglog yxxy aaa

b) 156loglog2logloglog 22

yxyx

y

xaaaaa

c) 1171039logloglog9log3 3 zxxzxZ aaaa

d) 5

4106

5

1loglog2

5

1loglog

5

1loglog 2

5

12

52

zxzx

z

x

z

xaaaaaa

42.

a) 4

1

8

27log

8

1

10log

49log10log

8

149log10log

8

1 27

7

777

b) 6398log915log15log

8log915log8log9 22

2

2215

43.

a) 1log

log

log

log

log

loglogloglog

a

c

c

b

b

acba

a

a

a

a

a

aacb

b) 0loglogloglog

log aaa

b

abbb

c

c

c) 4log2log

log2loglog 22 b

b

aba a

a

aab

d) 121loglog 2 ab ab .

44.

xfxxxx

xxg2

1log

2

1

2

log

3log

log

9log

loglog 3

3

23

3

3

39

Como RDD gf , a igualdade é válida para todo Rx c.q.d.

45.

a) Como só definimos logaritmos de números positivos tem-se ,1D .

154121log 24 xxx , como ,115 , o conjunto solução da equação é

15S

b)

,

5

1,

3

7,

5

1D

482731573log15log 99 xxxxxx

4S

c) ,3,3,3D

251692log33log43log3log 2242222 xxxxxx

55 xx . 5,35,5 S .

d) RD

01log2log 2 xx , fazendo xy log , vem:

2

11

4

91012 2

yyyyy

Assim,

1010

11010

2

1log1log 2

1

1 xxxxxx .


Ambas as soluções são números reais positivos.

Portanto,

10,10

1S

e)

,

2

7030

72

2: x

x

xRxD

13

72

2log13log

72

2log3log1

72

2log 22222 x

x

xx

x

xx

x

x

0

72

20902

72

652

72

32 22

x

xx

x

xx

x

xx

4507202092 xxxxxx 5,4S

f) 2,17,2, D

xxxx 17log4log2log17log12log 44242

xxx

xxx 468log2log24log

468log2log468log2log 22

2

2242

886446844468log2log 222

22 xxxxxxxx

8S

46.

46.1 xxxx

xxxxf 2222

2

222

2 log3log8log8log8

loglog8log

. C. q. d.

46.2 32025loglog38 522 xxxxx .

A abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação 8y é 32.

47.

47.1 30,895log10log5log105log 99 . Então, o vinagre tem pH 8,3.

47.2 Uma solução é básica se o seu pH for superior a 7.

0107log7log 7 xxgxx .

Um solução é básica se a concentração de iões for inferior a 37 /10 dmmol .

47.3 8108log8log xxx . Então a concentração de iões da água do mar é

38 /101 dmmol .

47.4

2

2

1

1

2

1

2212121 101002log2loglog2loglog2

x

x

x

x

x

xxxxxpHpH

48.

48.1 Sabe-se que 0430 hh , ou seja,

2

1

8

1148

8

114

3log

014log

30log 2

2

2

b

a

b

a

ba

a

ba

ba c. q. d.

48.2 Pretende-se determinar t tal que 2th , ou seja, 822

182

2

18log 4

2

ttt

.

São necessárias 8 horas para que a altura no reservatório seja igual a 2 metros.


49.

O ponto A tem coordenadas 3,22,2 eefe

3ln22ln22 eeeef

O ponto B tem coordenadas 32ln, ea , sendo a tal que 32eaf .

3323233 2lnlnlnlnln2ln22ln eeaeeeaeeeaeaf

eaeaeae 33 32

Tem-se então, que a base menor e a base maior, do

trapézio, têm medida de comprimento, 3AC e

32ln eBD e a altura relativa a estas bases tem medida

de comprimento eeeCD 23 .

Então a área do trapézio é:

32

166

333

2ln2ln2ln2

1

2

2lnln

2

2ln3eeeeeee

eee

e

50.

a) ,log: 100 3 xxRxD

110 333 xxx logloglog

33110 33333333 xxxxx loglogloglogloglogloglog

,, 33 DS

b) ,: 101xRxD

3

1433433231 2222 xxxx loglogloglog

,,

3

1

3

1DS

c) ,: 00130 xxRxD

,,

loglogloglog

6

131

6

131

0131313013 223

2333

x

xxxxxxxx

,,,

6

131

6

131

6

131DS


d) ,,: 22042xRxD

,,loglog.

33095454 22

5

12

5

1 xxxxdec

,,,, 3333 DS

e) 404 2 \: RxRxD

0808016416416444 22

22

22

2

,

logloglog

x

xxxxxx

40808 \,, DS

51. a)

110

100

222

2

xxx

xxRxD

logloglog

,log:

b)

0010100

1100

2222

22

xxxxxx

xxRxD

ln

,,ln:

52.

0

RD

122104242224412

441244124412

1

22

22

222

2222

2

,

logloglogloglogloglog

ttttt

tttttt

Então, 1220 ,S

831122 , e 0,83 anos é, aproximadamente, 10 meses.

Assim, conclui-se que a cidade Alfa tem menos habitantes do que a cidade Beta

durante o primeiro ano e 10 meses, aproximadamente.

53.

a) 323020 555 xxx eee , então, 3,fD

b) RDg

c) 133301 101 xxx , então, ,1hD

54. 54.1

a) 9818800 )(T

A temperatura inicial é 98 oC.


b) 451809518012 12 ,)(T

Ao fim de 12 minutos, a temperatura era, aproximadamente, 45 oC.

c)

51608430

8432680

7

80

709512518095180 0951

,

,log,, , tttt

A temperatura é de 25 oC, ao fim de 26 minutos e 51 segundos, aproximadamente.

54.2 18180180951

8018095180

tt

t

t ,lim,lim

A temperatura ambiente é de 18 oC.

55. 55.1

644226422

6640 101010100

10 ,,,, ddd

Então, 2091010 3222

644

,

,

d .

A distância da Terra à Estrela Polar é, aproximadamente, 209 parsecs.

55.2

dMm

MdmMdmdm

dm

dd

M

MM

mMm

log

log,log,loglog,

log,

,

,,

,,,

15

554022401040

1040

101010

10010

4022

402

2

402

240

24040

56.

Recorrendo à calculadora, obtém-se uma representação gráfica de C e determina-se

uma das interseções do gráfico de C com a reta de equação 1y .

3960650 ,

Após 6 horas e 39 minutos, a concentração é inferior a 1mg/L, ou seja, deve efetuar a

administração seguinte às 15 horas e 9 minutos.


57.

57.1 4068753570160020 68753 peppp ,,ln,ln,,

O peso do Zoe é, aproximadamente, 40 kg.

57.2 Sejam 1p e 2p os pesos dos dois cães. Sabe-se que 21 21 pp , , então,

0302116021160

16021160160020160020

22

222121

,,ln,lnln,ln,

ln,,ln,ln,,ln,,

pp

pppppApA

58.

58.1 111010 kQ klog

58.2 0

RD

91901

901

1

101

1

100

1

100

ttt

t

t

ttttQ log)(

O recipiente fica vazio ao fim de 9 horas.

59.

59.1 0

RD

6260

5

5

1260

5

14015040 260260

,

lnln,)( ,, tteetv tt

Demora 6 segundos, aproximadamente.

59.2 5005050

505050260

260

tt

t

t ee

,

, limlim

A velocidade terminal é de 50 m/s. 60.

60.1 240120 23

8 log)(;log)( BA

A cidade A tinha 1000 habitantes e a cidade B, 2000.

60.2 0

RD

24452445244

8

523

445234452

2222

2

2823

8

ttttttt

tttttBtA

loglogloglog

log

loglogloglog)()(

A cidade A é a mais populosa a partir do 2.º ano.


61.

61.1 148118642011

998121

8653148

14800360,

,

,,)(

,

ep

A população seria de 9,9 milhões.

61.2

22664

1650360

64

165

5622086208121

8673

8121

8653

0360

0360

03600360

,ln,

,,,,,

,,

,

,,

,

,

,,

tte

eee

t

t

tt

818372261864 ,,

Em 1837, a população era de 3,7 milhões.

62.

62.1 Utilizando valores com três casas decimais, obtém-se:

tetN

47607841821

894724,,

,)(

62.2

100077504760

0077502548353008947243007841821

894724 47604760

4760

tt

eee

tt

t

),ln(,

,,,,

, ,,

,

Ao fim de 10 dias.

Mais exercícios

(Pág. 48 a 51)

Escolha múltipla

63.

1

2

1

13

10

11

a

b

ba

ba

f

f

)(

)(

Resposta: B


64.

11

12212242

1 2211

1

)(g

xxxxxx

x

Resposta: B

65.

ttP 210291 ,,)( é a população da Índia, em milhares de milhões, em função de t

(número de décadas após o início do século).

4817612102912 2 ,,,)( P

Resposta: C

66.

f é estritamente crescente em

2

3

2

1, .

Então, como 86442

324

2

1 3

fef , o contradomínio de f é 82, .

Resposta: D

67.

1321222222242 3212122121212 bababababa

Resposta: C

68.

033

10031030

3

3103

3

10 22

1

bbbbbb

b

bbbb

Como f é crescente tem-se 1b , ou seja, 3b .

Resposta: B

69.

4250224

1251222048

204820480

2505050

xx

km

xxx ,

)(

,,,

Resposta: D


70.

23232 3aaaa aa loglog

Resposta: A

71.

3

1

9

3

133

2

2

2

a

b

aaa

ab

ab

ba____

log

Resposta: D

72.

225 5log pp

2222222254254100 52

55555 ploglogloglogloglog

Resposta: D

73.

101 aCBC ,

2

1

2

11

111

aaÁrea

ABaAaag a ,log)(

Resposta: A

74.

3992

12

1

9 xxxxlog

Resposta: C

75.

11

10

b

b

babbaabbaabbaabba loglog

Sabe-se que 0a , então, 01

b

b e como 0b conclui-se que 1b .

Resposta: B


76.

0410610616

06

2222

2

xxxx

RxRxD

logloglog

:

2222 ,, DS

Resposta: A

77.

eeeef 22 212 lnlnln

Resposta: B

78.

01

100 bb

aababba logloglog

Resposta: A

79.

6939

3331071010710

1079

1076

1073

2

xx

xxxloglog

80.

6

5333 6

5

33

3322

3 loglogloglog yxyxyx

Resposta: B

81.

9

90999

12

22

332

3332

33

S

xxx

xx

xxxxx

RD


Resposta: D


Resposta aberta

82.

a)

yex

yeeyeeyeey

e

e xxxx

x

x

22

222

3

4

3

44343

43ln

yexf

2

1

3

4ln)(

22

303

41 e

xeRxD

f,:

b) 013

213

23

213

223

xx

xxx

xy

x

xy

yyylog

13

21

xxg )(

00131 \: RRxD x

g

83.

83.1 13618030 30020 ,)()( , ef

Consegue digitar, aproximadamente, 36 palavras por minuto.

83.2

020

16

3

16

3020

16

3

16

1316518065 020020020

,

ln

ln,,,,

tteeetf ttt

84020

16

3

,

ln

Deve praticar pelo menos 84 horas.

83.3 80080808080 020

t

xe ,lim

Aumentando o número de horas de prática, o número de palavras por minuto que uma

pessoa consegue digitar, de acordo com este modelo, aproxima-se das 80 palavras

por minuto.


84.

a)

0

13431404304333439 2

3

21

x

yyyy xx

y

xxxx

x

0S

b) 5252

45425 2log xx

x

xxx

52logS

c) ,: 0002 xxRxD

3132121212 2233333 xxxxxxxxxx logloglogloglog

D 3

1S

d)

1

2243934903650439

53

9

1

03543053

43345334

3

53

222

3

24

2224

22

222231

1

1

2

x

xyyyy xx

y

xx

xx

x

xxxx

x

x

x

1S

e) RRxD xx 013079 22:

2393273927

039

4

81

14347943479

1347913279

2

3

2222

22

222

22

22

22

xxyy

yy

xx

y

xxxx

xxxx

xloglog

logloglogloglog

32,S

85.

a)

2142224208608264 2

2

xxyyyy xx

y

xx

x

21,S


b) RD

010 xx exxxe lnlnln

0101

10

xee

xx

xx

ln

x 0 1

xln n.d. - 0 +

1xe 0 + + +

1xexln n.d. - 0 +

10,S

c) ,,: 13130132xRxD

413134131344

44016313113 2223

,,,,,

,log

S

xxxx

d)

,,:2

3

2

10

4

32 xxRxD

21024

5

4

3

4

5

4

345

4

325

4

3

22

22

2222

222

2

,


xxxxx

xxxxxx

2

2

3

2

11

2

3

2

121 ,,,,,S

e) RD

522222 2251323232 xxxxxxx logloglogloglog

,, 2

32

10S

f) RD

222 2121023023 exexxxyyyyxxxy

lnlnlnlnln

,, 20 eeS


86.

xxxAxxP lnln, 5

O ponto de ordenada máxima tem coordenadas 292572 ,;, e, então, a abcissa de P

para a qual a área do retângulo é máxima é 2,57.

87.

O nível máximo foi 35 e o nível de ácido úrico foi superior ao permitido durante 4

meses e meio, ou seja, no intervalo 9541 ,;, .

88.

88.1

a) 0502504250 2503 ,,, , eA mg/L

b)

312030

202020

0202022024

3070

7037037033

,,

ln

)()(

,,

,,,

ttttete

et

eeteetetettBtA

t

t

t

tttttt

1960310 ,

As concentrações voltam a ser iguais ao fim de 2 horas e 19 minutos.


88.2

Através da análise dos gráficos, conclui-se:

A concentração do medicamento no sangue do Carlos ultrapassa os 7,5 miligramas

por litro de sangue em 0,3 miligramas, no máximo.

A Ana deve ser a primeira a tomar nova dose do medicamento, cerca de 4 horas antes

do Carlos.

89.

76272670424242 22

2

log

xyyyy xx

y

xx

x

727 72

2 loglogg

As coordenadas do ponto de interseção são 772 ,log .

90. a)

0036010

363749

377249

363749

37724937724936374937724910 1010 ,

ln

)(

rreeA rr

A taxa de crescimento foi de 0,4% , aproximadamente.

b) 23809126313110 10010 ,)( eA

A população da cidade do Porto em 2011 será de 238091 habitantes,

aproximadamente.

91. 91.1

5

3

15

3

45

31

44

30

a

kk

k

k

f

f

aa

a

loglog

log

)(

)(

91.2

Determinar )( 21 g é determinar o valor de x tal que 2)(xg .

125

124513103122 3

55 xxxxxf loglog)(


92. 92.1

2350 m =2,35 km

76101352 352120 ,,),( eP

A pressão atmosférica é, aproximadamente, 76 quilopascal.

92.2

85120

2

1

2

1

2

1

101

101

2

1 120

120

120120

,,

ln

)()( ,

,

,,

xee

ehPxhP x

h

xh

Quando a altitude aumenta cerca de 5,8 quilómetros, a pressão atmosférica diminui

para metade.

Autoavaliação 4

(Pág. 52 e 53)

Grupo I

1. 4869224 C

Resposta: A

2. 11

7

28

1128

7

)(

)(|

AP

ABPABP

Resposta: C

3. 33091 292, xxex

Resposta: C

4. cbbaba aaaa 32323232 loglogloglog

Resposta: D

5. 82233

63363 3 lnlnlnln)ln()ln( eee

e

eeeeeA

Resposta: B


Grupo II

1.

11

111

10

)()()()()()(

)()()()(

)()(

)(

)(

)(

)()|(

)(

BAPBPAPBAPBPAP

BPAPBAPAP

BPAP

AP

BAP

AP

BPABP

AP

Como 1 )( BAP é uma condição universal, a desigualdade verifica-se.

2.

1.º 2.º Par Ímpar

Par 3 pontos 2 pontos

Ímpar 4 pontos 3 pontos

2

1

2

1

2

123

4

1

2

1

2

142

)(

)()(

XP

XPXP

ix 2 3 4

)( ixXP

4

1

2

1

4

1

3. 3.1

5% da quantidade inicial é 0050 Q, .

758241210

050050050050 1210

01210

00 ,,

,ln,,,)( ,,

teQeQQtQ tt

O fóssil terá aproximadamente 24 758 anos.

3.2

783512010 101210 ,)( , eQ

A quantidade de carbono 14 é, aproximadamente, 35,78.

4.

4.1

11

2

121221 yy exexyxyx )ln()ln(

11

2

1 yexf )(

RDf

1


4.2

3

4003402 ,: xxRxD

32

4432

3423423423421

exex

xexxexxxexx )ln()ln()ln()ln(ln)ln()ln(

3

4

32

4,

eS

4.3

Pretende-se encontrar os valores de x que verificam a condição 2

xxf )( .

Basta, então, determinar as abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f e da

função definida analiticamente por: 2

xy .

As coordenadas dos pontos A e B são, respetivamente, 1020 ,;, e 693397 ,;, .

2.2 Teoria dos limites

93.

Os limites resultam diretamente da observação da representação gráfica de g:

a) -2

b) 0

c)

d) -1

e) 0,5

94.

a) 3031

3

nlim


b) 6231

21

3

nnlim

c) 11

11

nn

nlimlim

d) 32113

22

11

12

nnnlim

95.

a) Por exemplo, n

an1

1

b) Por exemplo, n

bn1

2

c) Por exemplo, n

cn1

d) Por exemplo, n

dn1

96.

a) Considerando uma sucessão nu tal que: 01 \Ruu nn

012

11

2

1

n

nn

u

uuf

Então, 01

)(lim xfx

.

b) Considerando uma sucessão nu tal que: 01 \Ruu nn

112

11

2

1

n

nn

u

uuf

Então, 11

)(lim xfx

.

c) Considerando uma sucessão nu tal que: 0\Ruu nn

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

nn

nn

uu

uuf

Então, 2

1

)(lim xf

x.


97.

a) 22nlim

b) 21

2

nlim

c) 23

212

32

2

nlim

d) 51

32

11

2

32

n

lim

98. 98.1

a)

31

3n

lim

b)

3

23

2nlim

c) 31

3

nlim

d) 3

1

3

21

23

21

2

n

lim

98.2

Como nw tem-se que:

12

13

nwf n limlim

98.3

Não, porque a definição de Heine aplica-se a todas as sucessões, no domínio de f,

que tendam para e não apenas a um caso particular.

99.

a) Como 3na ,

então,

)(limlim xfanfx 3

b) Como 3na ,

então,

)(limlim xfanfx 3


c) Como na ,

então, 2

)(limlim xfanfx

100. 100.1

100.2 Por exemplo, 2nxn

100.3

a)

202

2

12

n

lim

b)

25

2n

lim

c) 04242

12 2

2

n

lim

d) 822325

23

nlim

100.4 Não existe, porque: )(lim)(lim xfxfxx

22

101.

Considere-se uma sucessão nx tal que 11 nn xNnx , , então,

31

13

1

3

nnn

xxxf )( , ou seja,

)(lim xfx 1

Considere-se uma sucessão ny tal que 11 nn yNny , , então,

32 nn yyf )( , ou seja, 31

)(lim xfx

.

Assim, não existe )(lim xfx 1

porque )(lim)(lim xfxfxx

11


102. a)

b)

103.

a) Considerando uma sucessão nu , tal que: 00 \Ruu nn

2

1

6

1

2

1

6

13

nn

nn

uu

uuf

Então,

x

x

x 6

13

0

lim .

b) Considere-se uma sucessão nx tal que 11 nn xNnx , , então,

2

1

12

1

2

nnn

xxxf )( , ou seja,

1

2

1 xx

lim

Considere-se uma sucessão ny tal que 11 nn yNny , , então,

2

1

12

1

2

nnn

yyyf )( , ou seja,

1

2

1 xx

lim

Assim, não existe 1

2

1

xxlim , porque,

1

2

1

2

11

xx xx

limlim


104.

a) Considerando uma sucessão nu tal que: aun e Rkkxf )(

kkuf n

Então, kkax

lim .

b) Considerando uma sucessão nu tal que: aun e xxf )(

auuf nn

Então, axax

lim .

105.

a) 4

39

8

69

13

22

3

x

xx

xlim

b)

51

5

1

12

2

2

x

x

xlim

c) 12

12

2

1324

0

x

xx

xlim

106.

a) 361032 4

2

xx

xlim

b) 2

1

3

344

3

1

x

xx

xlim

107.

a) 660000

)(lim)(limlim xgxfxgfxxx

b)

x

x

xx

x

x

xxfxgxfg

x

xxxxx

21

21

20

22

lim

limlim)(lim)(lim)(lim

c) 5

9

1

5

9

3

3

3

)(lim

)(lim

)(limxg

xf

xg

f

x

x

x

d) 3

55

3

1

111

)(lim)(lim)(lim xgxfxgf

xxx


e)

22233

)(lim)(lim xgxgxx

108.

a)

0

34320 x

x

xlim

b) 01

0

2

12

1

x

x

xlim

c)

0

3

2

1

2 x

x

x

lim

d)

0

4

3

4

3 xx

lim

e)

0

6

9

22

3 x

x

x

lim

f) 011

xxlim

109.

a) 22

4

00

xxf

xxlim)(lim

b) 04

2

4

xxf

xxlim)(lim

c)

0

4

2

4

22 xxf

xx

lim)(lim

0

4

2

4

22 xxf

xx

lim)(lim

Não existe )(lim xfx 2

, porque )(lim)(lim xfxfxx

22

.

110.

a)

)(lim)(lim)(lim xgxfxgfxxx

b)

0

3

3

3

3 )(lim

)(lim

)(limxg

xh

xg

h

x

x

x

c)

)(lim)(lim)(lim xhxfxhfxxx

d)

0

1

3

3

3 )(lim

)(lim

)(limxf

xg

xf

g

x

x

x


e)

1

1919

2

22

xxxxxxhf

xxxlimlim)(lim

111.

a)

323 3 xxxxxlimlim

b)

336531 323 xxxxxxlimlim

c)

666 323 xxxxxlimlim

112.

a)

323 53 axxxaxxfxxxlimlim)(lim se 0a

b)

323 53 axxxaxxfxxxlimlim)(lim se 0a

113. a)

0

7

34

7

34

34

34

3434

34

2222

22

22

2222

22

xxxx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

limlim

limlim

b)

06

6

6

6

6

6

66

6

22

22

2

22

2

xxxx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

limlim

limlim

c)

4382 34 xxxlim

d)

434 4 xxxxxlimlim

e)

0

22212

02

0 x

x

xx xx

limlim

f)

0

15

9

33

9

3

3 2

2

32

3 x

xx

xx

x

xx

limlim

114.

a)

eeeee x

x

xx

x111 limlim


b)

0x

x

x

x

ex

x

xexe

x

x

x

x

x

x

lnlim

lnlimlnlim

115.

a)

111

10a

b

xx

xx

xx

x

xx

x a

ba

a

baba limlimlim

b)

111

10b

a

xx

xx

xx

x

xx

x b

ab

b

abba limlimlim

116.

a) 03

12

3

xxlim

b) 5

3

5

3

5

3

25

13

xxx x

x

x

xlimlimlim

c) 055525

4

3

4

3

xx

x

x

x

xxxlimlimlim

d)

33

7

3

7

123

357 2

2

4

2

4 x

x

x

xx

xx

xxxlimlimlim

117.

a) 03

122

2

2

2

bx

ax

xbx

xax

xxlimlim , se 00 \Rba

b)

2

2

2

2

3

12

bx

ax

xbx

xax

xxlimlim , se 0 bRa

c) 23

122

2

2

2

bx

ax

xbx

xax

xxlimlim , se ba

b

a22 ( se 0 ba , tem-se

também 2

)(lim xhx

)

118.

a) 2

1

23

11

23

11

23

1

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

e

e

ee

ee

e

elimlimlim

b)

1010

2

3

2

133

2

33 22 x

xx

x

xx

xx

xlimlimlim


119.

a) 00022

xx

x

x

x

xx

lnlim

lnlim

b)

2

1

203

1

23

11

23

11

23

1

2

13

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xxxx lnlim

lnlim

lnlim

lnlim

c)

3

1

13

11

13

11

13

11

13

11

13

11

13

1

22

22

22

22

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

xxxx

limlim

limlimlimlim

d)

3

1

13

11

13

11

13

11

13

11

13

11

13

1

22

22

22

22

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

xxxx

limlim

limlimlimlim

e)

22

4

411

4

411

4

41

4

41

4

41

4

41

4

4

4

4

4

4

44

4

222

2

22

2

22

2

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

limlimlim

limlimlimlim

limlimlim

120.

a)

8

5

4

5

44

45

16

205

4424

xxx

x

x

x

xxxlimlimlim


b)

2

1

1

3

23

11

13

23

1

253

112

2

1

x

x

xx

xx

x

xx

xxxlimlimlim

Cálculo auxiliar:

13

20253 2 xxxx

c)

21

1

11

1

11

12

1

12

2

12

2

12

23

1

x

x

xx

x

xx

xx

xxx

xxxxlimlimlimlim

Cálculo auxiliar:

1 -1 -1 1 1 1 0 -1

1 0 -1 0

d)

0

21212223

04

04

2

0 x

x

x

xx

x

xx

xxx

limlimlim

121.

Para que o limite seja um número real, 2 tem de ser um zero de 22 kxx , ou seja,

36202222 kkk .

122.

a)

10

1

265

1

2651

1

2651

2625

2651

265265

1

265

1

1111

x

xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

x

xxxx

.lim

limlimlimlim

b)

2

1

4

2

62

2

622

22

622

42

622

62

622

6262

2

62

222

222

xxxxx

x

xxx

x

xxx

xx

xxx

xxxx

x

xx

xxx

xxx

limlimlim

limlimlim

c)

0

11

02

02

0 xx

x

x

x

xxx

limlimlim

0

11

02

02

0 xx

x

x

x

xxx

limlimlim

Então, 20 x

x

xlim .


d) 04

0

2

42

2

x

x

x

lim

123. a)

0

1

2

1

22

2

22

2

22

22

2

2

2

222

22

22

xx

xxx

x

xxx

x

xxx

xx

xx

xxf

x

xxxxx

lim

limlimlimlim)(lim

12422

422

2

422

2

8 2

2

2

2

2

2

3

22

xxx

xxx

x

xxx

x

xxf

xxxxx

limlimlimlim)(lim

Cálculo auxiliar:

1 0 0 -8 2 2 4 8

1 2 4 0

Como: )(lim)(lim xfxfxx

22

não existe )(lim xfx 2

b)

233

2

8x

x

x

x

xxf

xxxxlimlimlim)(lim

c)

01

2

21

2

21

2

2

2

2

22

2

22

2

22

22

2

222

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

xx

xx

xxf

xxxx

xxxxx

limlimlimlim

limlimlimlim)(lim

124.

a) 105

5

5525

5

1

55

2

5

x

x

xxx

x xxxlimlimlim

b) 100

x

x

x

x

xx

limlim

100

x

x

x

x

xx

limlim

Não existe x

x

x 0lim


c) 011

2

2

x

ee

xxxxx

limlim

d)

2

0

1212

x

x

xxx

x

xx lnlnlim

lnlnlim

125. 125.1

a) 022 2

x

xp

x

)(lim , se o grau de p for inferior a 2.

b) Se 22 2 x

xp

x

)(lim não é um número real, isso significa que é ou , ou seja, o

grau de p tem de ser superior a 2.

125.2

a) Por exemplo, 23xxp )( .

b)

44

16

12

16

112

116

112 111

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xxx

x

xx

xp

xxx.

Por exemplo, 1616 xxp )( .

126.

a) 11

3

3

3

3

n

n

nn

nlimlim

b) 525 6 nnn limlim

c)

2

1

11

1

1

11

1

1

11

1

2

22

22

2

22

2

n

nn

n

nn

nnn

nn

nnnnn

nnn

lim

limlimlimlim

d) 3

1

03

1

33

31

333

313

3

3

3331

ee

e

ee

e

e

en

n

nn

nn

nn

nn

limlimlim


127.

127.1 31

)(lim xfx

Não existe )(lim xgx 1

e 11

)(lim xhx

.

127.2 A função f é contínua em 1x .

127.3 Não garante porque, por exemplo, existe )(lim xhx 1

mas h não é contínua em

1x

128.

a) 2x

b) Não existem.

c) 2x

d) 2x e 2x

129.

a) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 2x

b) Não existem pontos de descontinuidade

c) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 2x

d) A função é contínua à direita de 2x e contínua à esquerda de 2x

130.

00

011

1

0

2

02

2

00

00

)(

limlimlim)(lim

lim)(lim

f

x

x

xx

x

xx

xxf

xxf

xxxx

xx

Então, f é descontínua em 0x mas é contínua à esquerda nesse ponto.

131.

a) )(lim 12

1

1

322

2

1f

x

xx

x

, então, f é contínua em 1x .

b) 4

1

2

1

24

4

24

22

4

2

4444

xxx

x

xx

xx

x

x

xxxx

limlimlimlim

)(lim 4624

gxx

g é descontínua em 4x e contínua à esquerda nesse ponto.


c) )(limlim 0100

hx

x

x

x

xx

100

x

x

x

x

xx

limlim

h é descontínua em 0x e contínua à direita nesse ponto.

132.

4

2

22

2

4

2

2

2

x

xx

x

x

xxlimlim

af )( 2 e, então, para que f seja contínua em 2x tem-se 4a

133.

Gráfico (B).

A função representada graficamente em (A) não é contínua em 1x .

A função representada graficamente em (C) não é contínua à esquerda em 4x .

A função representada graficamente em (D) não é contínua à direita em 3x .

134.

Para 51 x , a função é contínua pois é polinomial.

Para 85 x , a função é contínua pois é racional.

Para 5x ,

173455

xxfxx

lim)(lim

)(lim)(lim 57

10

2

2

55

fx

xxf

xx

Então, f é contínua em 581 \, e é contínua à direita em 5x .

135.

333

00

kxxgxx

lim)(lim

0

9

3

93

2

00 xx

xxg

xx

lim)(lim

Como

)(lim xgx 0

, a função é descontínua em 0x seja qual for o valor de k.


136. 136.1

A função h não é contínua porque é descontínua em 2x pois,

)(lim)(lim xhxhxx

22

.

136.2

Por exemplo,

20

211

xse

xsexj )(

136.3

24

22

432 2

xsep

xsex

xx

xgh )(

282322

2232

222

xxx

xxxxgh

xxx

limlim)(lim

ppxghxx

4422

lim)(lim

Se gh é contínua, então, 7284 pp .

137.

a) Para 1x , f é contínua porque é o quociente de funções contínuas.

Para 1x , f é contínua porque é a soma de funções contínuas.

Para 1x ,

2

1

1

1

11

1

11

11

1

1

1111

xxx

x

xx

xx

x

x

xxxx

limlimlimlim

)(lim 111

feex x

x

Então, f é contínua em 1\R e contínua à esquerda em 1x .

b) 10,\RDg

Para 10 xx , g é contínua porque é o quociente de funções contínuas.

Para 0x , g é contínua porque é o quociente de funções contínuas.

Então, g é contínua.

c) Para 0x , h é contínua.

Para 20 x , h é contínua porque é constante.

Para 32 xx , h é contínua porque é o quociente de funções contínuas.


Para 0x ,

242

0

xx

lim

220

x

lim

h é contínua em 0x porque )()(lim 020

hxhx

.

Para 2x ,

)(lim 2222

hx

0

3

65

322

2

2 xx

xx

x

lim

h é descontínua em 2x e contínua à esquerda nesse ponto.

Então, h é contínua em todos os pontos do seu domínio 3\R , exceto no ponto

2x

138.

a) Seja 1

x

xxi e xexj )( , então, ijf . Como i e j são contínuas, então, f é

contínua.

b) Seja xxxi 42 e xxj ln)( , então, ijg . Como i e j são contínuas então g é

contínua.

c) Seja eexi x 2 e xxj log)( , então, ijh . Como i e j são contínuas então h

é contínua.

139. 139.1

333

333

093

9

3093

9

22

22

xxsex

xsexxf

xsex

x

xxsex

x

xf )()(

Para 33 x , f é contínua, porque é polinomial.

Para 33 xx , f é contínua, porque é polinomial.

Para 3x , f é contínua, porque, 033

)()(lim fxfx

.

Então, f é contínua.


139.2

3 \RDf

63

63

3

3

x

x

x

x

lim

lim

Não existe nenhum prolongamento de f a R contínuo, porque não existe )(lim xfx 3

.

139.3

a) Por exemplo,

36

3

xse

xsexfxg

)()(

b) Por exemplo,

36

3

xse

xsexfxg

)()(

140.

a)

0

54

9

27

0

54

9

272

3

32

3

3 x

x

x

x

xx

lim;lim

Não é possível um prolongamento contínuo a R .

b)

2

9

3

93

33

933

9

27 2

3

2

32

3

3

x

xx

xx

xxx

x

x

xxxlimlimlim

Cálculo auxiliar:

1 0 0 -27 3 3 9 27

1 3 9 0

Um prolongamento pode ser, por exemplo:

3

932

x

xxxi )(

141. 141.1

a) Uma solução.

b) Duas soluções.

c) Uma solução.

d) Nenhuma.

141.2

a) Verdadeira, porque f é contínua e fD84, .


b) Falso. Se, por exemplo, 56,k não existe kcgc )(:,51 .

142.

A função f é contínua em R (soma de funções contínuas), em particular, é contínua

em 21, .

7641 ,)( ef

41582 2 ,)( ef

)()( 2101 ff

Pelo Teorema de Bolzano a equação 10)(xf é possível em 21, .

143.

Apenas a afirmação d) é verdadeira porque está nas condições do Teorema de

Bolzano. Relativamente às outras afirmações nada se pode concluir sobre a

veracidade das mesmas.

144.

A função g é contínua em R , então, também é contínua em 31, .

Sabe-se que 01 )(g e 03 )(g , então, )()(

)( 32

31 g

gg .

Pelo Teorema de Bolzano, a equação 2

3)()(

gxg é possível no intervalo 31, .

145.

A função h é polinomial e então é contínua em 23 , e em

2

2

3, .

3232

93

2

3

321323

)(

)()(

hh

hh

Tem-se, 023 )()( hh e 022

3

)(hh

Pelo Corolário do Teorema de Bolzano h admite pelo menos um zero em cada um dos

intervalos dados.

146.

Mostrar que os gráficos de f e de g se intersetam num ponto de abcissa pertencente

ao intervalo 21, é provar que a equação )()( xgxf é possível no intervalo 21, .

Seja h a função definida por: )()()( xgxfxh


A função h é contínua em R (diferença de funções contínuas), em particular, é

contínua em 21, .

12522

4511

2

0

,log)(

log)(

eh

eh

021 )()( hh , então, pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um

zero em 21, , ou seja, a equação )()( xgxf é possível no intervalo 21, .

147.

Seja h a função definida por: )()()( xgxfxh

A função h é contínua em ba, pois é a diferença de funções contínuas.

0

0

)()()(

)()()(

bgbfbh

agafah

Então, 0 )()( bhah .

Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um zero em ba, , ou seja,

a equação )()( xgxf é possível no intervalo ba, .

148.

f é contínua em 21, .

03125020625006250312513751

37513125100803125110375120251

3751251103751202515051

51251202515051601

5115051122601

,,;,,,

,;,,),(;,),(;,),(

,;,,),(;,),(;,),(

,;,,),(;,),(;,)(

,;,),(;,)(;,)(

fff

fff

fff

fff

O zero com erro não superior a 0,05 é: 32

43

2

375131251

,,

149.

Seja g a função definida por )()()( 1 xfxfxg .

A função g é contínua em 10, , pois é a diferença de funções contínuas em 20, .

)()()()()()()(

)()()(

)()(1001211

0100

02ffffffg

ffg

ff

Então, como )(0g e )(1g são simétricos e não nulos, tem-se, pelo Corolário do

Teorema de Bolzano, que g tem pelo menos um zero em 10, , como se pretendia

demonstrar.


150.

150.1 A função T é contínua, porque é a soma de duas funções contínuas (a função constante

e o produto de uma polinomial e uma exponencial), pelo que, T é contínua em qualquer

intervalo do seu domínio, em particular é contínua no intervalo 13,8 .

Por outro lado,

92,1681,0158 815,02 eT e 404,17131,01513 1315,02 eT ,

pelo que,

13178 TT .

Então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um 13,8c tal que 17cT , ou seja,

existiu um instante, entre as 8 horas e as 13 horas, em que a temperatura foi igual a 17 ºC.

150.2

A temperatura atinge os 17 graus às 8 horas e 24 minutos (valor arredondado à unidade de

minuto).

151.

151.1 2\RDf

151.2

Em 2\,0 , a função é contínua porque é racional.

Em 0, , a função é contínua porque é a composta de duas funções contínuas (uma

logarítmica e uma exponencial). Note-se que 2ln02 xex e

0,0,2ln, .

No ponto 0 temos 01ln2ln0 0 ef , 02

0

2

4limlim

3

00

x

xxxf

xx e

02ln2lnlimlim 0

00

eexf x

xx. Então, 0lim

0fxf

x

, pelo que f é contínua no ponto

0.

Portanto, f é contínua em qualquer ponto do seu domínio, ou seja, é uma função contínua.

151.3

Sim, basta fazer 82 f , uma vez que:

2

22lim

2

22lim

2

4lim

2

4limlim

22

2

2

3

22 x

xxx

x

xxx

x

xx

x

xxxf

xxxxx

82lim2

xxx

.

151.4

Como a função f é contínua em 2\,0 e 2\,05,3 , pode-se concluir que f é

contínua no intervalo 5,3 . Tem-se ainda que 153 f e 355 f , pelo que,

3205 ff .

Então, pelo teorema de Bolzano, conclui-se que a equação 20xf tem pelo menos uma

solução no intervalo 5,3 . C.q.d.


151.5 Dizer que os gráficos de f e g se intersetam num ponto de abcissa pertencente ao

intervalo 0,1 é o mesmo que dizer que a equação 0 xgxfxgxf tem pelo

menos uma solução nesse intervalo, ou seja, a função gf tem aí um zero.

A função gf é contínua porque é a diferença de duas funções contínuas e 0,1 é um

intervalo do domínio de gf .

Por outro lado, 0122,02ln1 11 eegf e 0100 0 egf .

Então, pelo Teorema de Bolzano, gf tem pelo menos um zero no intervalo 0,1 , o que

permite afirmar que os gráficos de f e g se intersetam num ponto de abcissa pertencente a

esse intervalo.

152.

Se f é contínua em ba, , então, é contínua em qualquer intervalo badc ,, .

Por outro lado, se dc , ou dfcf , ou dfcf .

No primeiro caso, tem-se que a média aritmética das imagens é

cfcfcf

2, ficando

provado que esta é um valor da função.

Se dfcf , tem-se, dfcf ou dfcf .

Se dfcf , tem-se

cfcfcfdfcf

22 e

df

dfdfdfcf

22;

Se dfcf , tem-se

cfcfcfdfcf

22 e

df

dfdfdfcf

22;

Tem-se então que se dfcf ,

dfdfcf

cf

2

ou

cfdfcf

df

2

.

Pode-se, então, concluir, pelo Teorema de Bolzano, que a equação

2

dfcfxf

tem pelo

menos uma solução no intervalo badc ,, , ou seja, para quaisquer c e d pertencentes ao

intervalo ba, , a média aritmética das suas imagens pertence ao contradomínio de f.

153.

A função g é contínua em 5,0 porque é a diferença de duas funções contínuas neste intervalo

(f e a função identidade).

00000 ffg ( 4,30 f ) e 0555 fg ( 45 f , pelo que 15 g ). Pode-

se, assim, concluir que 050 ff .

Então, pelo Corolário do Teorema de Bolzano, g tem pelo menos um zero em 5,0 . C. q. d.

154.

154.1 3limlim

xgxgxx

, porque g é ímpar.

154.2 Como a função é contínua em R , não muda de sinal em intervalos em que não se anula.

Assim, como 3lim

xgx

, 22 g porque – 2 é um ponto fixo, 222 ggf ( f é

ímpar) e 3lim

xgx

, tem-se que f é positiva em 10, e em 10,0 e anula-se em -10,

0 e 10. Assim, o conjunto-solução da condição 0xg é 10,010, S .

155.

Se – 3 e 5 são o mínimo e o máximo absoluto, então, existe um a e um b pertencentes ao

domínio de f tais que de 3af e 5bf e para qualquer x do domínio de f 53 xf .

Dado que f é contínua em R , f é contínua em ba, .

Então, pelo Teorema de Bolzano, a equação kxf tem solução em ba, , qualquer

5,3k , pelo que a função f assume todos os valores deste intervalo.

Portanto, o contradomínio de f é o intervalo 5,3 .


156.

157.

a)

xhx 2

l im b)

xhx 2

l im c)

xhx 2l im

d)

xhx 2l im e) 1lim

xh

x f) 1lim

xh

x

158.

a) 4lim2

xhx

b)

xhx 2

l im c)

xhxl im d) 0lim

xh

x

159.

a) 4\ RDf

Como f é contínua, por ser racional, a existir uma assíntota será a reta de equação 4x ,

dado que – 4 é o único ponto de acumulação do domínio de f que não lhe pertence.

0

11

4

13limlim

44 x

xxf

xx e

0

11

4

13limlim

44 x

xxf

xx

Então, a reta de equação 4x é a única assíntota vertical do gráfico de f.

b) 2\RDg

0

2

2

2limlim

22 xxg

xx

Como g é contínua, a reta de equação 2x é a única assíntota vertical do gráfico de g.

c) 3,3\ RDh

6

1

3

1lim

33

3lim

9

3limlim

33233

xxx

x

x

xxh

xxxx

0

6

9

3limlim

233 x

xxh

xx

0

6

9

3limlim

233 x

xxh

xx

A função h é contínua porque é racional, portanto, a reta de equação 3x é a única

assíntota vertical do gráfico de h.

d) 1\,0 hD

0

3

1

3limlim

11 xxh

xx

0

3

1

3limlim

11 xxh

xx

A função h é contínua porque é o quociente de duas funções contínuas, portanto, a reta de

equação 1x é a única assíntota vertical do gráfico de h.


160.

a)

Falso. Por exemplo se 92 xxp ,

63lim3

9lim

3lim

3

2

33

x

x

x

x

xp

xxx, portanto a

reta de equação 3x não é assíntota do gráfico de f.

b)

Falso. Por exemplo, 1

12

x

xf é racional não polinomial e não admite assíntotas verticais

pois é contínua em R .

c) Verdadeiro.

d) Falso. Por exemplo, definida por 4

13

x

xxf é contínua e tem uma assíntota vertical. A reta

de equação 4x .

e) Falso.

A função definida por

12

11

1

xse

xsexxf tem domínio R e tem a reta de equação 1x

como assíntota.

161.

161.1 A função f é contínua em 2,0 , porque é a diferença de duas funções contínuas (uma

exponencial e o quociente de uma constante e a raiz da função identidade).

A função f é também contínua em ,2 , porque é a diferença de duas funções contínuas

(uma polinomial e uma logarítmica).

22loglimlim22

xxxfxx

Então, g é descontínua em 2x .

A função g é contínua em 2\,0 , descontínua 2x , mas contínua em 2x à esquerda.

161.2

0

13

13limlim 0

00 xxf x

xx

22loglimlim22

xxxfxx

2

292lim

2

fxf

x

Então, o gráfico de f tem duas assíntotas verticais, as retas de equação 0x e 2x .

2loglimlim xxxfxx

Portanto, o gráfico de f admite apenas duas assíntotas paralelas aos eixos coordenados.


161.3

162.

a)

3

1\RDf

3

1

3lim

13limlim

x

x

x

xxf

xxx e

3

1

3lim

13limlim

x

x

x

xxf

xxx.

Então, a reta de equação 3

1y é assíntota horizontal bilateral do gráfico de f.

b) 1,1\ RDg

01

limlim1

2limlim

22

xx

x

x

xxg

xxxx e 0

1lim

1

2limlim

2

xx

xxf

xxx

Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal bilateral do gráfico de f.

c) ,3hD

01

3

2limlim

xxh

xx

Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .

d) RDi

01

lim

1limlim

2

2

x

ee

xxi

x

x

xxx e

0limlim

2

xxx e

xxi .

Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .

e)

,01,01

:x

xRxDf

01ln1

lnlim1

lnlimlim

xx

x

xxj

xxx e 01ln

1lnlimlim

xxxj

xx.

Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x e

quando x .


163.

a)

Como

0

22lim

2 xfx e

0

22lim

2 xfx, então, a reta de equação 2x é assíntota

vertical bilateral do gráfico de f

2. Por outro lado,

f

2 é uma função contínua, porque é o

quociente de duas funções contínuas e 2\2 RD

f

. Portanto, a reta de equação 2x é a

única assíntota vertical do gráfico de f

2.

0

22lim

xfx e

3

2

lim

22lim

xfxf

xx

.

b) 0\RDh e h é uma função contínua, porque é a soma de duas funções contínuas (f e

uma racional).

Por outro lado,

0

1limlim

1limlim

200200f

xxf

xxfxh

xxxx ( 0lim

0fxf

x

,

porque f é contínua). Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical (bilateral) do

gráfico de h .

0

1lim

2xxf

x e 303

1lim

2

xxf

x. Então, a reta de equação 3y

é a única assíntota horizontal do gráfico de h.

164.

A reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de f , se 02lim

xxfx

ou

02lim

xxfx

02

4lim

2

4lim2

2lim2

2lim2lim

2222

xx

xxx

x

xx

x

xxxf

xxxxx

Então, a reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de f. C. q. d.

165.

165.1 A função g não pode ser contínua, porque não pode ser contínua em 1x , uma vez

que:

xgx 1l im .

165.2

166.

a) Verdadeira.

b) Verdadeira.

c) Falsa. Exemplo: a função de domínio ,0 de expressão analítica xxf ln admite uma

assíntota vertical (a reta de equação 0x ) e

xxfxx

lnlimlim .


d) Falsa.

Por exemplo:

e) Falsa. Por exemplo, a função real de variável real definida por x

xg1

é contínua e a reta

de equação 0x é assintota do seu gráfico.

167.

a) A função f é uma função racional e o domínio de f é R . Então, a função f é contínua em R

pelo que o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

Como f é o quociente de duas funções polinomiais do mesmo grau, tem-se que:

1limlim2

2

x

xxf

xx e 1lim

2

2

x

xxf

x. Então, a reta de equação 1y é assíntota

horizontal bilateral do gráfico de f e a única assíntota deste gráfico.

b) A função f é uma função contínua (porque é racional) de domínio 1\R e

0

1

1limlim

2

3

1 x

xxg

xx. Então, a reta de equação 1x é a única assíntota vertical

do gráfico de f.

Assíntotas não verticais:

1lim

2lim

1limlim

3

3

23

3

2

3

x

x

xxx

x

xx

x

x

xgm

xxxx

e

22

lim12

2lim

12lim

2

2

2

233

2

3

x

x

xx

xxxxx

xx

xb

xxx.

Com cálculos análogos colocando no lugar de , conclui-se que:

1lim

x

xgm

x e 2lim

xxfb

x

Portanto, a reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de g quer em , quer em .

c) A função h é contínua de domínio R (produto de duas funções contínuas ─ uma afim e uma

exponencial), pelo que o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

Assintotas não verticais:

Tem-se que

0limlimlim

x

x

x

xxe

x

xe

x

xhm e

011

limlimlimlim

x

ee

xxexhb

xxxx

x

xx.

Então, a reta de equação 0y é assíntota do gráfico de h em

x

x

x

xxe

x

xe

x

xhm l imlimlim . Então, o gráfico de h não tem assíntotas não

verticais em .


d) A função i é continua em 0, , porque é uma função exponencial e contínua no intervalo

,0 por ser o quociente de duas funções contínuas (uma logarítmica e uma polinomial).

322limlim 0

00

eexi x

xx e

200

lnlimlim

x

xxi

xx.

Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de i.


Tem-se que

02

limlim2

limlimxx

e

x

e

x

xim

x

x

x

x

xx

e 0001

limln

limln

limlim2

xx

x

x

xxi

xxxx.

Então, a única assíntota não vertical do gráfico de i é a reta horizontal de equação: 0y

168.

168.1 A função f é contínua em R , porque é a soma de duas funções contínuas (uma

constante e o produto de duas contínuas ─ uma quadrática e uma exponencial). Então, o seu

gráfico não tem assíntotas verticais.

Tem-se também que

0lim1

lim1

limlim2

x

xx

x

xxxe

xx

ex

x

xfm

O que significa que o gráfico de f não tem assíntota não vertical em .

Por outro lado, 0

1limlimlim11limlim

2

222

y

ee

y

e

xexxf

yyyyxyxx

x

xx.

Portanto, a única assíntota do gráfico de f é a reta de equação: 0y

168.2

a) 0\01: RxfRxDg

Cálculo auxiliar:

0001 2 xexxf x

b) 0ln0lnln0ln0 222 xxxexxexxxg xx

1112 xxx 1,1S

Os zeros de g são – 1 e 1.

169.

Como l é contínua em ,0 , que é o seu domínio, o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

005,0limlim 10

x

xxexl

A reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de l em , o que significa que

quando a profundidade tende para a luminosidade tende para 0.

170.

A resposta correta é a (D).

A (A) não pode ser, porque se a reta de equação 2y fosse assíntota do gráfico de g, ter-

se-ia

0lim x

xgm

x.

A opção (B) não está correta, porque a função representada não é contínua em R .

A (C) também não é a opção correta, porque, a ser esta a resposta, ter-se-ia

0lim

x

xgm

x.


171.

171.1 A função g é contínua em R , porque é o produto de duas funções contínuas em R (a

função f e a função identidade). Então, o gráfico de g não tem assintotas verticais. Como a reta de equação xy é assíntota do gráfico de f, quer quando x , quer quando

x , tem-se

xfx

xxf

xxl imlim e

xf

x

xxf

xxl imlim , portanto, o

gráfico de g admite assíntotas não verticais em nem em .

Portanto, o gráfico de g não tem qualquer assíntota. C. q. d.

171.2

a) Como

1lim x

xf

x, tem-se

4031

13limlim

13lim

xx

xf

x

xxf

xxx

b)

xfxl im , porque a reta de equação xy é assíntota do gráfico de f quando x

171.3

Como a função f é contínua em R , também h é contínua em R . Assim, o gráfico de h não tem

assíntotas verticais.


2012

6limlim2

62limlim

xx

xf

x

xf

x

xhm

xxxx

66026lim2lim262lim2lim xxxx

xxfxxfxxhb

Analogamente,

2lim

x

xhm

x e 62lim

xxhb

x.

Portanto, a reta de equação 62 xy é assíntota do gráfico de h, quer quando x quer

quando x .

172.

a) Dado que a função g tem uma assíntota não vertical, o domínio de g é R e

3

3lim

x

xxg

x. Tem-se

0lim3

3limlim3

3lim

x

xg

x

x

x

xg

x

xxg

xxxx

Então, a assíntota não vertical do gráfico de g tem declive nulo, ou seja, é uma reta horizontal.

b)

x

xgxg

xxh

22 e

0lim

x

xg

x, tem-se que xh

x l im é infinito. Portanto, o gráfico de

h não admite assíntotas horizontais.

Mais exercícios

(Pág. 108 a 111)

Escolha múltipla

173. Opção (D).

Como o polinómio 29 x é positivo entre as suas raízes, tem-se

0

2

9

2lim

23 xx.

174. Opção (D).

0

lim

11lim

33

xfxf

xx

e

0lim

11lim

33

xfxf

xx

, portanto, xfxf xx

1lim

1lim

33 , pelo

que não existe xfx 3l im

.


175. Opção (B).

O gráfico de f é uma hipérbole que tem como assíntota a reta de equação 2x , pode

observar-se que

xfx 2

l im . Por outro lado, a função g é uma função afim, pelo que,

como se observa no gráfico, xgx 2

l im é um número real positivo. Então,

0lim2

xf

xg

x

176. Opção (D).

A função é contínua em 1, , porque é constante neste intervalo, e contínua em ,1

porque é logarítmica. 11lim1

fxfx

e 1ln1lnlimlim11

kkxxfxx

.

Ora, para que f seja contínua o xfx 1l im

tem de existir e 1lim1

fxfx

. Então, para que f seja

contínua, a igualdade 11ln k tem de ser verdadeira. Portanto, 2ek

177. Opção (D).

Como 232 ff e f é contínua no intervalo 2,2 , o teorema de Bolzano garante que

existe pelo menos um 2,2c tal que 3cf , ou seja, fD'3 .

178. Opção (D).

Como Nnn

,01

, 01

n e 2lim

0

xf

x, tem-se que 2lim nuf .

179. Opção (C).

Como f é contínua em R , é contínua em qualquer intervalo de números reais.

11 f ; 025,1 ef , 026,1 6,0 ef , 027,1 7,0 ef e 022 ef .

O único intervalo onde o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um

zero é aquele cujas imagens, por f, dos extremos têm sinais contrários, ou seja, o intervalo

2;6,1 .

180. Opção (A).

Ora, para que f seja contínua o xfx 1l im

tem que existir e 1lim1

fxfx

.

31 af e

01lim1

1lim

1

12limlim

1

2

1

2

11

x

x

x

x

xxxf

xxxx.

Então, 303 aa .

Portanto, a função f é contínua em 1x , se 3a .

181. Opção (A).

2lnlnlimlim 22

exxsexex

; 2ef e 2111ln1lnlimlim

exxsexex

. Então, s

é contínua no ponto e.

182. Opção (C).

en

u

n

n

11limlim e

n

nn

uf

11ln . Então, 1lnlim euf n

183. Opção (A).

Como

xfx 2

l im , 2lim2

xfx

e f é contínua em 2,2\ R , então, a reta de equação

2x é a única assíntota vertical do gráfico.

Se 2lim

xfx

, então, a reta de equação 2y é assíntota horizontal do gráfico de f .

Se 0lim

xxfx

, então, a reta de equação xy é assíntota obliqua do gráfico de f.


184. Opção (A).

Se RDg e a reta de equação 1y é assíntota do gráfico de g, então, 1´lim

xgx

.

Portanto,

0

1´lim

xx e

xg.

185. Opção (B).

Como o declive da reta r é

101

10

m e r é assíntota do gráfico de f, tem-se

xl im .

Então,

011lim1lim´lim

x

xf

x

xfx

xxx

186. Opção (A).

Se a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f em , então,

1lim x

xf

x

. Analogamente, se a bissetriz dos quadrantes pares é assíntota do gráfico de f em , então,

1lim

x

xf

x.

Então, as retas de equações 1y e 1y são, respetivamente, as equações das assintotas

horizontais do gráfico de g em e .

Por outro lado, sabe-se que f é contínua e 00 f . Então,

x

xf

x 0l im e

x

xf

x 0l im ,

ou seja, a reta de equação 0x é assíntota do gráfico de g.

Resposta aberta

187.

a)

13

1lim

34

4lim

127

4lim

4424

xxx

x

xx

x

xxx

Cálculo auxiliar:

4301272 xxxx

b) 03

lim2

6lim

2

36lim

4

3

4

3

xx

x

x

x

xxx

c)

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

xxxx 15

22

lim1

5

22

lim15

22lim

15

22lim

22

2

22

5

2

05

02

15

22

lim1

5

22

lim22

x

x

xx

xx

xx

d)

55lim

55

55lim

55

5555lim

55lim

0000 xx

x

xx

x

xx

xx

x

x

xxxx

10

5

52

1

55

1lim

0

xx

e)

0

232lim

34

2lim

22lim

22222

2

33 a

ax

aaxx

xx

aaxxax

ax

aaxx

axaxax


f) 00202

lim23

lim2

lim3

lim23

lim

2

23

x

exe

x

xx

exxxxxxx

x

x

g) 3ln3

1lnlimln3lnlimln3lnlim 3

e

xxxxxxxx

x

xxx

h) 2483

8

1

32

1

lim424

34

24

lim42

432lim

22

x

xx

x

xx

xx

xx

x

i)

000ln

lim3ln

lim3ln

lim xxxx e

x

xx

x

188.

188.1

A função f é contínua em 60,0 e em ,60 , porque é exponencial nestes intervalos.

Então, sendo contínua em 60t , tem-se que tftftt

6060

l imlim e 60lim60

ftft

6005,0

60

05,0

60606026lim28020limlimlim t

t

t

tttAtftf

246302628020 08 AAA

188.2

Pretende-se encontrar as soluções da equação 11tf com 60t (o pudim entra no frigorífico

aos 60 segundos).

4

126224122246 6005,06005,06005,0 ttt

100406005,0

260

4

1log6005,0 2

tttt .

Então, para que o pudim fique igual a 12 graus Celsius, é necessário que este esteja 40

minutos no frigorífico.

189.

189.1

O xfx 3l im

existe se xfxfxx

33

l imlim .

2393lim63limlimlim 2

3333

aaaxxxxfxf

xxxx.

Portanto, o valor de a para o qual existe xfx 3l im

é – 2.

189.2

Um prolongamento de f contínuo em R pode ser definido por:

33

3

xse

xsexfxg

190.

A função f é contínua em 0, , em 3,0 e em ,3 , porque é racional em qualquer destes

intervalos.

Então, para ser contínua, é necessário que seja contínua nos pontos 0 e 3.

Assim, para que f seja contínua no ponto 0.

88lim8

lim164

limlim0

2

0

2

00

t

t

tt

t

ttf

xxxx

0limlim00

fBBAttfxx

.


Então, f é contínua no ponto 0 se 8B .

E para que seja contínua no ponto 3:

32

33lim83

65

9limlimlimlim

32

3

3333 tt

tttA

tt

ttBAttftf

ttttt

51882

2

3lim83

3

AA

t

ttA

x

Portanto, f é contínua se: 5A e 8B

191.

191.1

A função C é contínua em ,0 , porque é exponencial, portanto, é também contínua em

6;5,3 . 2,18855,35,15,3 5,325,0 eC e 0082,265,16 625,0 eC .

Então, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um instante entre as 10 horas e 30 minutos

e as 13 horas em que a concentração do medicamento foi igual a 2,1 mg/mL.

191.2

01

61

lim25,0

5,125,0lim5,1lim5,15,1limlim

25,025,0

25,0

x

ee

x

e

ttetC

xxxxtxtt

t

tt

191.3

183,7430,1613,8

A concentração de medicamento no sangue atinge o valor de 1,5 mg/mL, aproximadamente,

1,43 horas após a sua administração e, aproximadamente, 7,183 horas depois, ou seja, 7

horas e 10 minutos, volta a tomar valores inferiores a 1,5 mg/mL. Portanto, o medicamento foi

eficaz.

192.

a) Assíntotas verticais:

A função f é contínua por ser racional e tem domínio 1\ R .

0

1

1limlim

2

2

11 x

xxf

xx

Portanto, a reta de equação 1x é a única assíntota vertical do gráfico de f.

Assíntotas horizontais:

11limlim12

limlim2

2

2

2

xxxx x

x

xx

xxf e também 1lim

xf

x.

Portanto, a reta de equação 1y é assíntota horizontal do gráfico de f em e em

b) Assíntotas verticais:

A função g é contínua por ser racional e tem domínio R . Então, o gráfico de g não tem

assintotas verticais.


33lim

3lim

2

53limlim

3

3

83

3

xxxxx x

x

x

x

x

xgm


08

lim8

lim2

xx

x

xx

Analogamente,

3

3lim

2

53limlim

3

3

83

3

x

x

x

x

x

xgm

xxxx

Portanto, a reta de equação xy 3 é assíntota oblíqua do gráfico de g, quer em quer em

.

c) Assíntotas verticais:

A função h é contínua porque é o quociente de duas funções contínuas (uma polinomial e a

raiz quadrada de uma polinomial) e tem domínio ,33, .

33

93lim

9

93lim

9

3limlim

2

32

2

3233 xx

xx

x

xx

x

xxh

xxxx

06

0

3

9lim

2

3

x

x

x e

0

6

9

3lim

23 x

x

x

Então, a reta de equação 3x é a única assíntota vertical do gráfico de g.


222

22 9

1

31

lim9

1

31

lim9

1

31

lim

9

3limlim

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxh

xxxxx

19

1

31

lim

2

x

x

x

222

22 9

1

31

lim9

1

31

lim9

1

31

lim

9

3limlim

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxh

xxxxx

19

1

31

lim

2

x

x

x

Portanto, as retas de equações 1y e 1y são assíntotas horizontais do gráfico de h em

e em , respetivamente.

8

8lim

8

8353lim3

8

53lim3lim

22

33

2

3

x

x

x

xxxx

x

xxxgb

xxxx

08

8lim

8

8353lim3lim

22

33

x

x

x

xxxxxgb

xxx


d) Assíntotas verticais:

A função j é contínua, porque é a diferença de duas funções contínuas (uma polinomial e uma

logarítmica) e tem domínio ,0 .

000ln

lim01

1ln

lim2limln2limlim10000

y

y

x

xxxxxxj

y

xyxxxx

Então, o gráfico de j não tem assíntotas verticais.


202

lnlim2

ln2lim

ln2limlim

x

x

x

x

x

xxx

x

xjm

xxxx

xxxxxxxxjbxxx

lnlim2ln2lim2lim

Portanto, o gráfico de j não tem assíntotas.

193.

a) Assíntotas verticais:

A função f é contínua, porque é racional e tem domínio 1,1\ R .

0

5

1

4limlim

2

2

11 x

xxf

xx;

0

5

1

4limlim

2

2

11 x

xxf

xx

0

5

1

4limlim

2

2

11 x

xxf

xx;

0

5

1

4limlim

2

2

11 x

xxf

xx

Então, as retas de equação 1x e 1x são as únicas assíntotas verticais do gráfico de f.


1lim1

4limlim

2

2

2

2

x

x

x

xxf

xxx e 1lim

1

4limlim

2

2

2

2

x

x

x

xxf

xxx.

Portanto, a reta de equação 1y é assíntota horizontal do gráfico de f, quer em quer em

.

b) Assíntotas verticais:

A função f é contínua, porque é racional e tem domínio 6\R .

0

3

6

3limlim

66 xxg

xx;

0

3

6

3limlim

66 xxg

xx



06

3limlim

xxg

xx e 0

6

3limlim

xxg

xx

Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quer em quer em

.

c) Assíntotas verticais:

A função f é contínua, porque é o quociente de duas funções contínuas e tem domínio 0\R .

0

1

4limlim

00 x

exh

x

xx;

0

1

4limlim

00 x

exh

x

xx




x

exh

x

xx 4limlim e 0

0

4limlim

x

exh

x

xx

Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f em .

d) Assíntotas verticais:

Cálculo auxiliar:

00 xxxeeee xxxx

A função f é contínua, porque é o quociente de duas funções contínuas e tem domínio 0\R .

0

22limlim

00 xxxx eex ;

0

22limlim

00 xxxx eex



00

22limlim

xxxx ee

xi e 00

22limlim

xxxx ee

xi

Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, tanto em como em

.

194.

194.1

A função g é contínua no intervalo ,1 , porque é o quociente de duas funções contínuas; é

contínua no intervalo 1,4 , porque é polinomial; é contínua no intervalo 4, , porque é

racional.

Por outro lado, tem-se:

0

6

4

6limlim

44 xxg

xx e 41712535limlim

44

gxxg

xx.

Então, g é descontínua em 4x , mas contínua em 4x à direita.

235limlim11

xxgxx

; 21lim

1

11lim

1

1limlim

1111

x

x

xx

x

xxg

xxxx e

21351 f . Então, g é contínua em 1x

Portanto, g é contínua em 4\ R e contínua à direita em 4x

194.2

Assíntotas verticais:

Como a função é contínua em 4\ R e

xgx 4

l im , a reta de equação 4x é a única

assíntota horizontal do gráfico de g.


04

6limlim

xxg

xx. Então, 0y é assíntota horizontal do gráfico de g em .

1lim

1

1limlim x

x

xxg

xxx.

O gráfico de g não tem assíntotas horizontais em

Assíntotas oblíquas:

0

1

1

11

lim1

11

lim1

1limlim

x

x

xx

xx

xx

x

x

xgm

xxxx .

Portanto, o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.


194.3

Seja h a função definida no intervalo 2,1 , por 3xxgxh . Tem-se 021 h e

0722 h e a função h é contínua em 2,1 , porque é a diferença de duas funções

contínuas neste intervalo. Então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um zero de h no

intervalo 2,1 , ou seja, a equação 3xxg tem pelo menos uma solução nesse intervalo.

194.4

Obtêm-se na calculadora as curvas que representam parte

dos gráficos da restrição da função g ao intervalo ,1 e da

função definida por 3xxh .

Determina-se o ponto de interseção das duas curvas, sendo a

abcissa deste ponto a solução da condição 13 xxxg .

Assim, o valor da solução da equação, arredondado às

décimas, é 1,3.

195.

Se a 12 xy é equação da assíntota oblíqua de f e o domínio de f é R , então,

2lim

x

xf

xe 12lim

xxf

x

Assim, tem-se:

321lim11limlimlim

x

xf

x

xf

x

xfx

x

xgm

xxxx

12lim3lim3lim

xxfxxfxxxgbxxx

.

Portanto, a reta de equação 13 xy é assíntota oblíqua do gráfico de g.

196.

Seja g uma função de domínio 1,0 definida por 1 xfxfxg .

Como 20 ff , 100 ffg e 01211 ffffg , então, 010 gg .

A função g é contínua porque f é contínua.

Portanto, pelo Corolário do Teorema de Bolzano existe pelo menos um 1,0c tal que

0cg , ou seja, existe pelo menos um 1,0c que verifica a igualdade 1 cfcf . C. q. d.

197.

197.1 A função t é contínua em 30,0 e em ,30 , porque é racional em qualquer destes

intervalos.

57520

1275402limlim

2

2

3030

xx

xxxt

xx e 5

60

30030 t , então, t é contínua em 5x .

Assim, pode concluir-se que t é uma função contínua e, portanto, porque tD40,20 , é

contínua em 40,20 .

197.2

Como t é contínua e o seu domínio é o intervalo ,0 , o seu gráfico não tem assíntotas

verticais.

Como, 22

lim7520

1275402limlim

2

2

2

2

x

x

xx

xxxt

xxx, a reta 2y é assíntota horizontal

do gráfico de t, o que significa que, à medida que o número de dias de treino vai aumentando,

o tempo de prova tende para 2 minutos.


198.

198.1

Se MN , então 0MN e, portanto,

0102,5102,5limlim 77

eetP tMN

xx

O que significa que, sendo a taxa de natalidade inferior à taxa de mortalidade, a população

tende a extinguir-se.

198.2

Do início de 1970 ao início de 2000, decorreram 30 anos. Então, a afirmação enunciada traduz-

se por:

2

1ln56,730

2

1102,5

2

1102,50

2

130 56,730756,7307 MeePP MM

58.72

1ln

30

156,7

2

1ln

30

156,7

MM .

A taxa de mortalidade é, aproximadamente, 7,58.

Autoavaliação 5

(Pág. 112 e 113)

Grupo I

1. Opção (D).

O acontecimento «As quatro cápsulas não terem todas a mesma cor» é contrário ao

acontecimento «Todas as quatro cápsulas terem a mesma cor».

O número de casos possíveis «As quatro cápsulas terem a mesma cor» é 410

420 CC (

fazer conjuntos de quatro cápsulas retiradas das 20 douradas ou fazer conjuntos de quatro

cápsulas retiradas das 10 verdes).

O número de casos possíveis é igual ao número de conjuntos de quatro cápsulas retiradas

das trinta existentes, ou seja, 430 C .

Então, a probabilidade de as quatro não terem todas a mesma cor é igual a

430

410

420

430

430

410

420

1C

CCC

C

CC

2. Opção (C).

Simetria da curva normal em relação à reta x , sendo que, neste caso, 0 .

3. Opção (D).

A função f é contínua em R . Então, f é contínua em 1;5,0 , em 2;1 ,em 5,2;2 e em 3;5,2 .

Tem-se ainda 431,05,0 f , 718,21 f , 468,92 f , 931,145,2 f e 381,233 f .

Portanto, pelo Teorema de Bolzano a equação 20xf tem pelo menos uma solução no

intervalo 3;5,2 .

4. Opção (C).

Como a reta de equação 1y é assíntota do gráfico de f em , tem-se que

1lim

xfx

, então,

110

1

1lim

xx e

xf.

5. Opção (A).

A sucessão nu é um infinitésimo negativo ( 0

1

n). Então, nuflim .


Grupo I

1.

Considere-se os acontecimentos I: «Ser fluente em Inglês» e E:«Ter pelo menos 5 anos de

experiência».

É dado que:

85,0IP

22,0| IEP

12,0| IEP .

Pretende-se calcular EIP | .

187,085,022,0| IPIEPIEP

15,085,011 IPIP

018,015,012,0| IPIEPIEP

132,0018,015,0 IEPIPIEP

319,0187,0132,0 IEPIEPEP .

Então, a probabilidade pedida é

586,0319

187

319,0

187,0|

EP

IEPEIP .

Assim, o valor percentual, arredondado às unidades, da probabilidade pedida é 59%.

2.

2.1 017,2915017,4407 AA NN . O aumento foi de, aproximadamente, 29 nenúfares.

2.2

03010506000

501

150

71

120 2,04,0

4,02,0

tt

ttbA eeee

tNtN

impossível

2,02,02

40

1

5

1

40

1

5

103010506000

2,0

tt

eyeeyyyy

t

82,0

5

1ln

5

1ln2,0

tt .0

Foram necessários 8 dias, aproximadamente.

2.3

Como

120071

120

71

120limlim

2,0

ttA

t etN

e

1500501

150

501

150limlim

4,0

ttB

t etN

Como 4,0270

120 5,0

270

150 , a percentagem de nenúfares do lago A seria, aproximadamente

44,4 % e do lago B, 55,6 %.

3.

3.1

Como 101

1

1

1limlim

100

xxx

e

xh e 01

1

1

1limlim

100

xxx

e

xh , não existe

xhx 0l im

. Portanto, h é descontínua em 0x qualquer que seja o valor de k.

3.2

Para que h seja contínua à esquerda em 0x , é necessário que 0lim0

fxhx

, ou seja,

2ln211 kee kk


3.3

Como h é contínua em 0\R , porque é o quociente entre uma função constante e uma

exponencial, ambas contínuas em 0\R , o gráfico de h não tem assíntotas verticais neste

conjunto.

Por outro lado 1lim0

xhx

e 0lim0

xhx

pelo que o gráfico h não tem assíntotas verticais.


2

1

1

1

1

1limlim

01

e

e

xh

xxx

e 2

1

1

1

1

1limlim

01

e

e

xh

xxx

.

Portanto, a reta de equação 2

1y é assíntota horizontal do gráfico de h tanto em como

em .

2.3 Cálculo diferencial

199.

a)

02,02

53.. 3,5

fffvmt

b)

60,232

02.. 2,0

fffvmt

c)

05,313001908102

1012.. 12,10

fffvmt

200.

11212

5121

02

021... 1,0

aa

afffvmt

201.

a) Por exemplo, 5,2

b) Por exemplo, 6,3

c) Por exemplo, 6,3

d) Por exemplo, 9,8

202.

a)

33

03

ssvm

b)

h

hhh

h

hh

h

shs

hhh

93693

2

lim

9333

2

lim33

lim

2

0

2

00

55lim5

lim5

lim00

2

0

h

h

hh

h

hh

hhh

A velocidade no instante 3t é 5m/s.


203.

a) 2222lim

1

2221lim

1

242lim

1

1lim1' 2

1

2

1

3

11

xx

x

xxx

x

xx

x

fxff

xxxx

Cálculo auxiliar:

1

2 0 -4 2

2 2 -2

2 2 -2 | 0

b)

0

3lim

3lim3lim

0lim0'

0

2

0

2

00

x

x

xx

x

x

x

x

x

gxgg

xxxx

c)

2

124lim

2

312312lim

2

912lim

2

2lim2'

22

2

22 x

xx

x

xx

x

x

x

hxhh

xxxx

414lim2

xx

204.

204.1

As coordenadas do ponto A são: 1,00,0 f e as do ponto V são:

3,22,22

,2

f

a

bf

a

b.

Então, o declive da reta AV é 202

13

m e a equação da reta é 12 xy .

204.2

O ponto V de coordenadas 3,2 e o ponto de coordenadas 1,4 .

205.

205.1 Os pontos comuns à secante e ao gráfico de g são 0,00,0 g e 1,22,2 g .

Assim, o declive da reta secante é 1m e a sua equação é xy

205.2

11

1lim

1lim1lim0'

000

xxx

x

x

x

x

gxxx

205.3

A equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de coordenadas 0,0 é xy .

206.

206.1

h

aahaha

h

afhafaf

hh

44limlim'

22

00

h

hah

h

aahahaha

hh

422lim

4442lim

2

0

222

0

42422lim

422lim

00

aah

h

ahh

hh

206.2

A tangente ao gráfico de g é horizontal nos pontos do seu domínio onde a derivada se anula.

20420' aaaf .

Então, o ponto do gráfico de f onde a tangente é horizontal é: 4,22,2 f


207.

207.1

A reta t tem declive

221

06

m e t é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.

Então, 21' f

207.2

O declive da reta normal no ponto de abcissa 1 é 2

1

2

1

m .

Então, a equação reduzida da normal é bxy 2

1, com

2

13

2

16 b , ou seja,

2

13

2

1 xy

207.3

a)

3

21'

3

1

1

1lim

3

1

13

1lim

33

6lim

111

f

x

fxf

x

fxf

x

xf

xxx

b)

2211'111

lim1

1lim

1

11lim

61lim

00020

fh

fhf

hhh

fhf

hh

hf

hhhh

208.

208.1

A função h pode ser definida por:

362

362

xsex

xsexxh

Então, h é contínua quer em 1, quer em ,1 , porque é polinomial em qualquer destes

intervalos. Por outro lado, 306662limlim33

fxxhxx

Portanto, h é contínua em R , que é o seu domínio.

208.2

A função h não é derivável em: 3x

De facto:

2

3

32lim

3

62lim

3

3lim3'

333

x

x

x

x

x

hxhh

xxx e

2

3

32lim

3

62lim

3

3lim3'

333

x

x

x

x

x

hxhh

xxx.

209.

209.1

A função f é contínua no intervalo 0, , porque é uma função racional, e também contínua

em ,0 , porque é o quociente de duas funções contínuas (a raiz da função identidade e a

função identidade).

Por outro lado, xxx

x

x

x

xxx

1limlimlim

000. Portanto, f não é contínua em 0x .

209.2


Porque a função f é contínua em qualquer ponto do seu domínio exceto em 0, tem uma única

assíntota vertical cuja equação é 0x .


Como 01

limlim xx

x

xx, o gráfico de f tem uma assíntota horizontal em e pode ser

definida pela equação 0y .


1lim

1lim1

1

limlim2

2

2

2

2

x

x

xx

x

x

x

x

x

xfm

xxxx;

1lim1

1lim

1

1lim

1

1lim

222

x

x

x

x

x

xxxx

x

xb

xxxx.

Então, a reta de equação 1 xy é assíntota do gráfico de f em .

209.3

0f não existe, porque f é descontínua em: 0x

209.4

2222

2222lim

22

22lim

2

2

2

lim2

2lim2

2222 xxxx

xxxx

xx

xx

x

x

x

x

fxff

xxxx

2222

22lim

2222

24lim

2222

22lim

2

2

2

22

2 xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

8

2

24

1

22

1lim

2

xxx

2

22 f

A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 é:

4

23

8

2

2

22

8

2 xyxy

210.

210.1 A função h tem derivada em 3x , pelo que h é contínua nesse ponto.

210.2 Sabe-se que o declive da tangente ao gráfico de h no ponto 2,3 é: 2

12 hm

Então, a equação da reta tangente é da forma bxy 2

1.

Como 2

5

2

323

2

12 bb , a equação reduzida da reta tangente é

2

5

2

1 xy .

210.3

a) 3

5

3

12

1limlim

1lim

333

xxh

xxh

xxx. ( 23lim

3

hxh

x, uma vez que h é

contínua em 3x ).

b)

4

3

2

1

2

3

3

3lim

1

3lim

13

33lim

13

333lim

3333

x

hxh

xxx

hxh

xx

hxh

xxxx

211. Resposta (C).

(A) A derivada em 3x seria superior a 1;

(B) A função h não teria derivada em: 3x ;

(D) A função h não seria contínua em: 3x .

212.

a)

h

hhx

h

xxhxhhxx

h

xxhxhxxf

hhh

2

0

222

0

22

0

12lim

2limlim

1212lim0

xhxh

A função derivada de f tem domínio R e é definida por: 12 xxf


b)

2000 3

2

3

2lim

3

222lim

3

2

3

2

limxxhxxhxh

hxx

h

xhxxg

hhh

A função derivada de g tem domínio 0\R e é definida por: 23

2

xxg

c) Para 1x , tem-se:

22

lim5222

lim5252

lim000

h

h

h

xhx

h

xhxxh

hhh

Para 1x , tem-se:

xxhxh

hhx

h

xhhxx

h

xhxxh

hhhh60636lim

36lim

323lim

33lim

0

2

0

222

0

22

0

Para 1x :

60636lim

36lim

3213lim

313lim1

0

2

0

22

0

2

0

hh

hh

h

hh

h

hh

hhhh

e

0

442lim

222lim

3512lim1

000 h

h

h

h

h

hh

hhh.

A função h não é derivável em: 1x

A função derivada de h tem domínio 1\R e é definida por:

16

12

xsex

xsexh .

213.

a

h

ah

h

axahax

h

baxbhxa

h

xfhxf

hhhh

0000l imlimlimlim . C. q. d.

214.

a) Para 0x , utilizando as regras de derivação, vem: 3 xf e para 0x 1 xf

0

993lim

453lim0

00 x

x

x

xf

xx. Então, f não é derivável em: 0x

Portanto, a função derivada de f tem domínio 0\R e

03

01

xse

xsexf

b)

2

332

2

323

xsex

xsex

xg

Então,

2

32

2

32

xse

xse

xg

Repare-se que:

2

2

3

3

32

lim

2

3

23lim

2

3

2

3

lim2

3

2

3

2

3

2

3

x

x

x

x

x

gxg

g

xxx

e

2

2

3

3

32

lim

2

3

32lim

2

3

2

3

lim2

3

2

3

2

3

2

3

x

x

x

x

x

gxg

g

xxx

Portanto, a função derivada de g tem domínio

2

3\R


215.

A representação gráfica de f sugere que o seu gráfico é definido por duas semirretas obliquas

de declives

253

951

m , se 3x , e

1

5

502

m , se 1x e um segmento de

reta horizontal no intervalo 2,3 . Portanto, a função derivada é definida por:

21

230

32

xse

xse

xse

xf

216.

Se kxgxfkxgxf .

Se ambas as funções são deriváveis, tem-se:

xgxfxgxfkxgxfkxgxf 0 C. q. d.

217.

a)

122623212232312 222 xxxxxxxxxxxf

114182461246 222 xxxxxxx

b) 24183432343434343434 xxxxxxxxxg

c) 2223 3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxh

218.

A função derivada de h é definida por: xxh 4 . Então, as abcissas dos pontos do gráfico

de h onde a reta tangente é paralela à reta de equação 14 xy serão aquelas cuja

derivada é igual a 4 , ou seja, 1444 xxxh .

Então, o ponto de tangência é 1,1 .

Tem-se, então, que a equação da reta tangente é bxy 4 em que b é tal que:

5141 bb .

Portanto, a equação da reta tangente é: 54 xy

219.

219.1 A função g é contínua em 1x , porque existe 1g .

219.2 O declive da reta pedida é 11 gm . Então, a equação da reta tangente ao gráfico

de g no ponto de abcissa 1 é bxy , onde 312 bb , ou seja, 3 xy

219.3

32 xxf , 51 f e 41 f

a) 415111

gfgf

b) 6412511111

fggfgf

c) 1941514531413143

gfgf

220.

a)

124411 43243424244 xxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxx 2468224444 35753757

b) 832832383 227239229

xxxxxxxg


c) 127261212121234124 3332333

xxxxxxxxh

d)

1211312121112 2333 xxxxxxxxxi

18136221123121 222 xxxxxxxx

221.

Para que m seja derivável em 1x , é necessário que seja contínua nesse ponto.

Então, como 11lim1

mxmx

, é necessário que: abbamxmx

111lim1

.

Por outro lado, é necessário também que: 1'1' mm

21lim

1

11lim

1

1lim

1

1lim1

11

2

11

xx

xx

x

x

x

mxmm

xxxx

a

x

xa

x

aax

x

aax

x

mxmm

xxxx

1

1lim

1lim

1

11lim

1

1lim1

1111

Portanto, tem-se 2a e 1b .

222.

22 13113 xxxxf

10130 2 xxxf

01 f

Então, o ponto onde a tangente ao gráfico de f é horizontal tem coordenadas 0,1 .

223.

a)

23

223

23

2332

12

23161232

12

23121223

xx

xxxxxx

xx

xxxxxxxxxf

23

234

12

5213122

xx

xxxx

b) 332422

44122

121

x

x

xxx

x

xxxxg

c)

2222 1

2

1

2

1

1111

1

1111

1

1

1

1

xxx

xx

x

xx

x

x

x

xxh

2222

1

8

1

2

1

2

x

x

xx

d)

3

22

4

3

4

22

3

26186

3

132363

3

1313236

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxxi

33

218

x

x

e)

4

2

2

2

2

22

1

16

1

2

1

13

1

1111

1

13

1

1

1

13

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxj


f)

23

33

3

3

3

2

23

4

13

918134

13

29131

4

x

xxx

x

x

xx

xxx

x

xl

223

36

233

63363

13

4296

13

9183412

xx

xx

xx

xxxxx

224.

224.1 Se o gráfico de f admite tangente no ponto de abcissa 2, então, f é derivável em 2x e,

consequentemente, contínua nesse ponto.

A função g é contínua porque é racional e 2 pertence ao domínio de g, então, g é contínua em

2x .

Portanto, a função f + g é contínua em 2x , porque a soma de duas funções continuas num

ponto é contínua nesse ponto.

224.2 O declive da reta t é

52

144

m , pelo que, 92 f . 42 f

22 3

3

3

131

xx

xxxg .

25

3

32

32

2

g

Então,

100

93

16

5

894

25

3

2

22222

2

f

gffg

f

g

224.3

2

3

3

3

622222

2

2 xxx

xxxxgxgxxh

30152

3

2 2

2

xx

x

x e 3\' RDh

225.

4

22

4

222

4

2 222121

xa

xa

xa

xaxxaxa

xa

xxaxaxf

01101

011

1102

2

24

2

aaaa

a

aa

af

Portanto, os valores de a para os quais a reta de equação xy é tangente ao gráfico de f são

– 1 e 1.

226.

Se g é uma função quadrática, é definida por um polinómio de segundo grau da forma

cbxaxxg 2 , com 0a .

baxxg 2 .

Como g é uma função afim, tem contradomínio R e é injetiva, então, a equação 1 xg tem

uma única solução em R . ( a

bxbaxxg

2

1121

)

Portanto, existe um e um só ponto do gráfico de g onde a reta tangente é paralela à bissetriz

dos quadrantes ímpares.

227.

Equação da reta tangente:

2222

33

22

22

9

34

9

24364

9

12294

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf e

25

682 f

A equação da reta t é, então, 25

101

25

68 xy


Equações das assíntotas verticais:

0

17

9

12lim

2

2

3 x

x

x ;

0

17

9

12lim

2

2

3 x

x

x. 3x é equação de uma das assíntotas

verticais do gráfico de f

0

17

9

12lim

2

2

3 x

x

x ;

0

17

9

12lim

2

2

3 x

x

x. 3x é equação da outra assíntota

vertical do gráfico de f.

Equações das assíntotas horizontais:

22

lim9

12lim

2

2

2

2

x

x

x

x

xx e 2

2lim

9

12lim

2

2

2

2

x

x

x

x

xx.

2y é a equação da assíntota horizontal do gráfico de f.

Coordenadas do ponto A: Interseção da reta t com a assíntota horizontal.

68

5150101682

25

101

25

68 xxx ; A

2,

68

51

Coordenadas do ponto B: Interseção da assíntota horizontal com a assíntota vertical de

equação 3x . B 2,3

Coordenadas do ponto C: 5

61

25

1013

25

68 ; C

5

61,3

Cálculo da área: 8

153

2

25

61

68

513

ABCA

228.

a) RRxRxRxDxfDxRxD gffg 2:: .

222 xfg exfxfgx

b)

,202

12::

xxRxDxfDxRxD gffg

2

3log

2

1

xxgxfgxfg

229. Por exemplo:

a) 33 xxf e x

xg1

b) 2xxf e 32 xxg

c) xxf e 12 xxg

d) xexf e xxxg 24

230.

a) Sejam g e h as funções r. v. r. definidas por 932 xxxg e 3 xxh . Então,

32 xxg e 1 xh

xf 923621332 xxxxhxhgxhg


b) Sejam g e h as funções r. v. r. definidas por x

xxg

2 e xxh . Então,

22

22

xx

xxxg

e

xxh

2

1 .

xf xxxx

xhxhgxhg1

2

122

231.

A derivada de g pode ser definida por:

2

2

2

2 112

x

x

x

xxxxg

. Então, 0

1

111

2

2

g .

Por outro lado, como a tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 é definida pela

equação 208 xy , tem-se que 81 f e, porque a ordenada do ponto de tangência é

122018 y , 121 f .

a) 161202811111

fggfgf

b) 18

1438

144

143812111

gffgfg

232.

a) xx

xxxf21

133

212

2321

b) x

xx

x

xx

x

x

x

xxx

xxxxxxxxf

5

2

5

2

5

2

4

2

12

2222222

233.

233.1

a)

783

33

3

25...

25

5,2

ff

fvmt

b)

189543

33

3

710...

710

10,7

ff

fvmt

c)

63183

33

3

69...

69

5,2

ff

fvmt

233.2

3

26

33

1273

33

333

3

...3

3,

x

x

x

xx

xxxf

xfxf

fvmt

234.

a) xx exexf 33 33

b) xxeexexxeexxg xxxxx 422422 2222

c)

24

3414

24

143414

24

143414

1

14

1

414

1

41

x

xxe

x

exxe

x

exxexh

xxxxx

d)

2

213

2

2132131313613

222

x

xe

x

xxxe

x

xexi x

x

x

x

x

x


e) 3ln345325 22 xxxxxx eeeexj

f) 10ln1010ln10

xexe eexlxx

235.

A derivada de f pode ser definida por: 2ln322ln832 8383 xx xxf

O declive da reta pedida é 64ln2ln62ln323 f e o ponto de tangência tem

coordenadas 2,3

Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f em 3x é 64ln322ln6 xy

Cálculo da ordenada na origem: 64ln3264ln32 bb

236.

1312 2222

xxeexxxeexxxxexf xxxxx C. q. d.

0000 20 ef 110300 20 ef

Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas 0,0 é:

xy .

237.

a) A função derivada de f tem domínio 1\' RDf e

21

2

x

xexf

x

.

Cálculo auxiliar:

22 1

2

1

1

x

xe

x

exexf

xxx

b) xexg 3 se 0x e 2

1

xxg se 0x .

200

1lim

11

lim0x

x

x

xgxx

, pelo que g não tem derivada em 0x .

Então, a derivada de g pode ser caracterizada por:

0

1

03

2xse

x

xsee

xg

x

238.

a) 2

11

2

11lim

2

1

2

1lim

00

x

e

x

e x

x

x

x

b)

x

e

x

e

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1lim2

1lim2

12lim2

122lim

22lim

2ln

0

2ln

000

1

0

Fazendo 2lnxy , vem 2ln

yx , e dizer que 0x é o mesmo que dizer que: 0y

Então, 2ln212ln21

lim2ln2

2ln

1lim2

1lim2

00

2ln

0

y

e

y

e

x

e y

y

y

y

x

x

c)

110

11

1

1lim

1lnlim

1

1lnlim

1lnlim

00020

xx

x

xx

x

xx

x

xxxx

d)

2

11

2

11lnlim

2

1

6

1ln3lim

6

1lnlim

00

3

0

x

x

x

x

x

x

xxx


239.

Fazendo kxy dizer que 0x é o mesmo que dizer que 0y .

Então, 11

lim1

lim00

y

e

kx

e y

y

kx

x (limite notável). C. q. d.

240.

a) 2

3

12

13

2

1lim2

3

1lim3

22

1

33

1

lim1

1lim

2

020

3

030

2

3

02

3

0

x

e

x

e

x

e

x

e

e

ex

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

b)

4

1

4

1lim

4lim

1

22lim

1

22lim

1

4lim

0

0

02222

2

2

y

e

y

e

yy

e

xx

e

xy

y

y

yyxyxxxx

c)

x

ea

x

ea

x

aa

x

aa

x

aa ax

x

hax

x

hx

x

hxh

x

hhx

x

1lim

1lim

1lim

1limlim

ln

0

ln

0000

aay

eaa

a

y

ea h

y

y

hy

y

h

axyln

1limln

ln

1lim

00ln

d)

2

11

2

11lnlim

2

1

2

1lnlim

326

23lnlim

26

2lnlim

00033

y

y

y

y

y

y

x

x

yyyxyx

e)

11ln

lim1

11ln

lim1

lnlim01

y

y

x

x

x

xx

y

xy

xx

f)

2

1

1

1

2

1

2

1lim

1lnlim

2

1

2

1

1ln

lim2

1

22

1

1ln

lim1

1lnlim

2

020

0202020

x

e

x

x

x

e

x

x

x

e

x

x

e

xx

xx

xxxxxxx

241.

241.1

2

2

2

2

2

2

2

2 112

22lim

2

11

121

lim2

1

2

1lim2eex

exex

x

ee

eex

x

ee

x

fx

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2 112

22lim

eex

exexx

x

x

2

2

222 112

2lim

112

2lim

eex

exe

eex

xx

x

xxx

2

222

222 112

222lim

11

1lim

eex

eeexe

ee x

x

xxx

2

222

222 112

122lim

11

1

eex

eexe

ee x

x

x

2

22

22

2

222 112

12lim

112

2lim

1

1

eex

ee

eex

xe

ex

x

xxx


2

22

22

2

222 112

12lim

11lim

1

1

eex

ee

ee

e

ex

x

xxx

2

1lim

11

2lim

11

1 2

22

2

222

2

22 x

e

ee

e

e

e

e

x

xxx

2

1lim

1

2

11

1 2

0222

2

22

2

22 x

e

e

e

e

e

e

x

x

22

2

22

2

22

2

22 1

11

1

2

11

1

e

e

e

e

e

e

e

241.2

21

22

ef

22

2

22

2

22

2

222

2

1

22

1

22

1

1

1

22

1

1

e

e

e

ex

e

ey

ex

e

ey

22

2

22

2

1

4

1

1

e

ex

e

ey

241.3


A função f é contínua em 0, , porque é o quociente de duas funções contínuas (a função

identidade e uma exponencial). É também contínua em ,0 , porque há a diferença de duas

funções contínuas (duas exponenciais).

011limlim 2

00

xx

xxeexf

11

1

1lim

1

1limlim

0

00

x

ee

xxf

x

x

xxx

O gráfico da função f não tem assíntotas verticais.


0limlim 2 xx

xxeexf

00

1

1

1lim

1limlim

x

e

x

e

xxf

xxxxx

A reta de equação 0y é assíntota horizontal ao gráfico de f em e esta é a única

assíntota do gráfico de f paralela aos eixos coordenados.

242.

a) 3 23

12

3

1

3 21lim

21lim ee

nn

nn

b) 32

2

2

2

2

11lim

21lim

11

21

lim1

2lim

e

e

e

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

c) 3

131

22

1

2 3

13

31lim

31lim

31lim

22

ee

nnn

nn


243.

a) 2

1ln2

1

1lnlim2

11lnlim

2

11lnlim 2

1

e

xxxx

x

x

x

xx

b)

441lnlim

4lnlimln4lnlimln4lnlim

e

xx

xxxxxxxxx

x

xxxx

244.

2

11

2

11lnlim

2

1

2

1lnlim

12

ln

lim2ln11ln

lim100

2

00

y

y

y

y

h

h

h

hf

yyhy

hh

245.

a)

xxx

xxf

1

2

2

2

'2

b)

12

34

12

1234

12

12

236

12

12

2123

12

12

3

23

23

23

3

2

323

3

2

32

3

3

xx

xx

xx

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

x

xg

xx

x

xx

x

xx

xx

23

2

2

34

12

34

12

34

c) xx ex

xexh1

ln

d) 3ln1

22

x

xxi

e)

10ln1

222

10ln1

12

10ln1

122

10ln1

1

2

2

222

222

2

2

22

222

2

2

2

2

x

xx

xe

exxe

e

x

e

xexe

e

x

e

x

xjx

xx

x

x

xx

x

x

246.

3

3ln23

13ln23ln

222

x

xxxx

xxxxxxh

440432

232ln222

2

h

01ln42 h

Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa – 2 é xy 4 .


247.

1

1ln11

11ln1

x

xxx

xxxf

321ln12 f

21ln222 f

O ponto Q tem coordenadas 2,2 , o ponto R tem coordenadas 2,0 e a reta tangente ao

gráfico de f em Q é 43 xy

462232 bbb

3

4043 xx

Então, o ponto P tem coordenadas:

0,

3

4.

Portanto, a área do trapézio é 3

102

2

3

42

.

248.

Se fDxxu ,0 , então, xuexu ln .

Assim,

xu

xun

nexunee

nexu xuxunxunxun lnlnlnln ln

xuxunxuxu

xun

xu

xunxu n

nn

1 . C. q . d.

249.

a) 3 2143

4

x

xf

b)

4 24 222

22

4 92

22

43

32

22

32

3

334

36

34

36

34

233

x

x

xx

xx

x

xx

x

xxxf

250.

a) Como

ax

afxf

axl im e

0lim

max

afxf

ax, então, f não tem um extremo relativo

em ax .

b) Como

0lim

max

agxg

ax e

ax

agxg

axl im , então, g tem um mínimo relativo em

ax .

c) Como

ax

ahxh

axl im e

ax

afxf

axl im , então, h não tem um extremo relativo

em ax .


251.

252.

a) 23

3

1

2

x

xxxf

12001020

1

20 3233

23

3

xxxxxx

x

xxxf

x -1 0 3 2

xf - n.d. - 0 + 0 -

f

A função f é decrescente em 1, , em 0,1 e em ,23 e crescente em 3 2,0 .

00 f é mínimo relativo e 3

42

33 f é máximo relativo.

b)

Rx

xx

xf

,0

11

1

22. Então, a função f é estritamente crescente em R .

c)

21

21

xse

xsexf

1

2

2lim

2

2lim

22

x

x

x

fxf

xx e

1

2

2lim

2

2lim

22

x

x

x

fxf

xx

Portanto, f é decrescente em 2, , crescente em ,2 e tem um mínimo relativo 02 f ,

que é também o mínimo absoluto.

d) xexxf 1

x -1

xf - 0 +

f Min.

A função f é decrescente em 1, , crescente em ,1 e tem mínimo absoluto:

e

f1

1

e) ,1fD e 1

1

xxxf . Então, porque fDxxf ,0 , f é monótona crescente.


253.

253.1 A função N é contínua porque é uma restrição de uma função exponencial a 0R , então,

é contínua no intervalo 3,2 .

770765.572210002 22

5

eN e 770776.104310002 32

5

eN

Então, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 3,2t para o qual 770tN , ou

seja, entre a segunda e a terceira semanas, o número de doentes atingiu os 770.

253.2

2

5

2

3

2

51000 xxetN t

Como 0t , tem-se:

2

500

2

50

2

50

2

510000 2

3

2

5

2

3

2

5

2

3

ttttttttetN t

x 0

2

5

xN' 0 + 0 -

N Min Máx.

Então, o número máximo de pessoas afetadas foi 8112

5

N , valor aproximado, por

arredondamento, às unidades.

254.

0ln

202

2

2

2

xsex

x

xxsex

xf

x -2 0 1

xf - n.d. - n.d. + 0 -

f Máx.

A função f é decrescente em 2, , em 0,2 e em ,1 e crescente em 1,0 .

Tem um máximo relativo, 11 f .

255.

255.1

O ponto de tangência é 1,1 e o declive da reta tangente. 21

0ln21

2

fm

Então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é 32 xy

255.2

2ln2

22

x

xxxfxh

12ln2

02ln2

022

xx

x

x

xxh


x 0 1

xh' + 0 -

h Máx.

A função h é decrescente em 1,0 , crescente em ,1 e tem máximo absoluto em: 1x

256.

xexxf 22

22020 2 xxexxf x

Como ,22,0 xxf e 2,20 xxf , f tem um máximo

relativo em: 2x e um mínimo relativo em: 2x

2

2222

efAD

e 22DC .

Então, a área de [ABCD] é 22

82422

222

eeDCAD

257.

257.1

As coordenadas do ponto P são xex , e as do ponto Q 0,2x , uma vez que o triângulo

[OPQ] é isósceles.

Então, o triângulo [OPQ] tem base igual a 2x e altura igual a xe .

Portanto, a área do triângulo é dada, em função de x, por xx

xeex

xA

2

2C. q. d.

257.2

xexxA 1

1010 xexxA x

x 0 1

xA' + 0 -

A Máx.

O máximo valor que a área pode assumir é: e

A1

1

258.

A expressão 12123 2 tttx permite obter a velocidade em cada instante t e a sua

derivada, 126 ttx , a aceleração nesse mesmo instante.

Então, a aceleração no instante 5t é: 1812565 x

259.

86583 21

ttttx e 1018209 2

2

ttttx

120861810188621 ttttttxtx

Os dois móveis têm a mesma velocidade no instante 1t .

260.

a) 6126632 223

xxxxxxf


b) 32

22

1

2

1

2

1

22

xx

xx

x

xxxg

c) xxx eee

xxh11

11

d) 10ln

1

10ln

1loglog

xxxxxi

261.

a) 00 h

b) 00 h

c) 000 hh

d) 000 hh

262.

São verdadeiras as afirmações: a) porque 0 xf , d), porque se 0 xf , então, f’ é

crescente e e), porque, sendo 'f crescente tem-se que: 5,2,02 xfxf , pelo que f é

crescente.

263. Associando o sinal da segunda derivada com as concavidades do gráfico da função

conclui-se que: a função f com III, a função g com I a função h com IV e a função j com II.

264.

a) A segunda derivada de f pode ser definida por: xxxxxf 61234 223

2

1006120 2 xxxxxf

x 0

2

1

xf + 0 - 0 +

f P.I P.I

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em 0, e em

,

2

1, tem concavidade

voltada para baixo em

2

1,0 . E tem dois pontos de inflexão 1,0 e

16

15,

2

1.

b) A segunda derivada de g pode ser definida por 2218822

xeexxg xx

2

2

2

202102180 222

xxxxexg x

x

2

2

2

2

xg - 0 + 0 -

g P.I P.I


O gráfico de g tem concavidade voltada para baixo em

2

2, e em

,

2

2, tem

concavidade voltada para cima em

2

2,

2

2 e tem dois pontos de inflexão

e

e4,

2

2 e

e

e4,

2

2.

c) A segunda derivada de h pode ser definida por:

3,32

,33,2

3,32

3,2

xse

xsexh

xsex

xsexxh

Então, o gráfico de h tem concavidade voltada para cima em 3, e em ,3 ,

concavidade voltada para baixo em 3,3 e não tem pontos de inflexão.

d) A segunda derivada de i pode ser definida por: 32

2

22 1

26

1

2

x

x

x

xxi

3

3

3

30

1

260

32

2

xx

x

xxi

x

3

3

3

3

xf + 0 - 0 +

f P.I P.I

O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em

3

3, e em

,

3

3, tem

concavidade voltada para baixo em

3

3,

3

3. E tem dois pontos de inflexão

4

3,

3

3 e

4

3,

3

3.

e) A segunda derivada de j pode ser definida por 22

2

21

22

1

2

x

x

x

xxj .

110

1

220

22

2

xx

x

xxj

x 1 1

xj - 0 + 0 -

j P.I P.I

O gráfico de j tem concavidade voltada para baixo em 1, e em ,1 , tem concavidade

voltada para cima em 1,1 e tem dois pontos de inflexão 2ln,1 e 2ln,1 .

265.

265.1

Tem-se que 10 f e 4400 0 ef . Então, a equação reduzida da reta tangente ao

gráfico de f no ponto de coordenadas 1,0 é 14 xy

265.2

624242

xexeexxf xxx

30620 xxexf x


x -3

xf - 0 +

f P.I

Então, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em 3, , voltada para cima em

,3 e um ponto de inflexão cuja abcissa é -3.

266.

A segunda derivada de f pode ser definida por baxbxaxxf 2623 2

.

Sabe-se que 01 f e 21 f , porque f é duas vezes derivável em R e 2,1 é ponto de

inflexão do gráfico de f.

Então, 026 ba e 2 ba .

1

3

23

3

2

3

a

b

aa

ab

ba

ab.

Portanto, os valores de a e b são, respetivamente 1 e 3.

267.

Pretende-se determinar os valores de x para os quais

5 xf , ou seja, 53

3ln2

x

xxx .

Determinando a interseção do gráfico de f’ com a reta de equação 5y , obtém-se o valor aproximado

da abcissa de B, que, aproximado às centésimas, é

3,73.

268.

269.


270.

270.1

A função f é crescente em 2,0 , decrescente em ,2 e tem um mínimo relativo em 0x e

um máximo relativo em 2x .

270.2

.

271.

271.1

271.1.1

x

x

x

lnlim

0, então a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de f.

Como f é contínua, esta é a única assíntota vertical do gráfico de f.

271.1.2

A derivada de f pode ser definida por: 2

ln1

x

xxf

, 0x

exxx

xxf

1ln0

ln10

2

x 0 e

xf ' + 0 -

f Máx.

Então, f tem um máximo relativo que é: ee

eef

1ln

271.2

Na calculadora obtém-se parte do gráfico de f

e parte da reta de equação 12 xy ,

determinam-se as coordenadas dos pontos de

interseção das duas curvas. As abcissas

destes pontos são as soluções da equação

12 xxf .

Portanto, os valores aproximados às décimas

das soluções desta equação são 0,2 e 12,2.

272.

a) 2,2\ RDf

004

02

xx

xxf . Então, 0 é o único zero de f.

Interseção com os eixos: 0,0


xfx

x

x

xxf

44 22, 2,2\ Rx . Então, f é uma função ímpar.

Assíntotas verticais e continuidade:

A função f é contínua.

0

2

4limlim

222 x

xxf

xx e

0

2

4limlim

222 x

xxf

xx

0

2

4limlim

222 x

xxf

xx e

0

2

4limlim

222 x

xxf

xx

Então, as únicas assíntotas verticais de f são definidas pelas equações: 2x e 2x .


01

limlim4

limlim22

xx

x

x

xxf

xxxx e porque f é ímpar 0lim

xf

x.

Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f em e em .

Monotonia e extremos:

22

2

22

2

4

4

4

24

x

x

x

xxxxf

Como 2,2\,0 Rxxf , a função f é decrescente em 2, , em 2,2 e em ,2 .

A função f não tem extremos relativos.

Concavidades do gráfico de f e pontos de inflexão:

32

2

22

2

4

122

4

4

x

xx

x

xxf

x 2 0 2

xf - n.d. + 0 - n.d +

f n.d. P.I. n.d.

O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nos intervalos 2, e 2,0 ,

concavidade voltada para cima nos intervalos 0,2 e ,2 e tem um ponto de inflexão de

coordenadas 0,0 .

RDf .


b) RDg

Zeros:

xx

xxxxxxxxxg3535

002530025302530 232335

Pontos de interseção com os eixos: 0,0 ;

0,

3

35;

0,

3

35

Paridade:

xgxxxxxxxg 353535 253253253 . Então, g é ímpar.

Continuidade e assíntotas verticais:

A função g é contínua em R . Então, o seu gráfico não tem assíntotas verticais.


Como é uma função polinomial de grau 5, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.


24 7515 xxxg

5500515075150 2224 xxxxxxxxg

x 5 0 5

xg + 0 - 0 - 0 +

g Máx. Min.

A função g é crescente em 5, e em ,5 , decrescente em 5,5 , tem um

máximo relativo 5505 g e um mínimo relativo 5505 g

xxxxxg 150807515 324

2

10

2

100

2

50052300150600 223 xxxxxxxxxxg

x

2

10

0

2

10

xf - 0 + 0 - 0 +

f P.I. P.I. P.I.

O gráfico de g tem concavidade voltada para baixo em

2

10, e em

2

10,0 ,

concavidade voltada para cima em

0,

2

10

,

2

10 e três pontos de inflexão,

8

10175,

2

10, 0,0 e

8

10175,

2

10.


RDg

c) RDh

xxx

xxh ln1

ln

xxxh ln0 Impossível. A função h não tem zeros.

Assíntotas verticais e continuidade:

A função h é contínua.

xxxhxx

lnlimlim00

. A reta de equação 0x é a única assintota vertical do gráfico

de h.


101ln

lim1ln

1limln

lim

x

x

x

x

x

xxm

xxx

xxxxbxx

lnlimlnlim

O gráfico de h não tem assintotas não verticais.


x

x

xxh

111

10101

0

xxx

xxh

x 0 1

xf ' - 0 +

f min.

A função h é decrescente no intervalo 1,0 , crescente em ,1 e tem mínimo absoluto

11 f , que é também mínimo absoluto.

Concavidades do gráfico e pontos de inflexão:

Rx

xxxh ,0

111

2.

Então, o gráfico de h tem concavidade voltada para cima.


,1hD

d) 0\RDi

Zeros:

0000

1

xxexxi x

A função i não tem zeros e o gráfico de i não interseta nenhum dos eixos coordenados.

xx xexexi

11

. A função i não é par nem ímpar.

Continuidade e assíntotas verticais:

A função i é contínua porque é o produto de uma afim e da composta de duas funções

contínuas (uma racional e uma racional).

y

e

x

exexi

y

y

xy

x

x

x

xxl im

1limlimlim

1

1

0

1

00

0limlim

1

00

x

xxxexi .

A reta de equação 0y é, então, a única assíntota vertical do gráfico de i.


1limlimlim 0

11

ee

x

xe

x

xim x

x

x

xx

y

e

x

eexxxexxib

y

y

xy

x

x

x

x

x

xx

1lim

1

1lim1limlimlim

01

111

11

lim0

y

ey

y

e

1limlimlim 0

11

ee

x

xe

x

xim x

x

x

xx

y

e

x

eexxxexxib

y

y

xy

x

x

x

x

x

xx

1lim

1

1lim1limlimlim

01

111


11

lim0

y

ey

y

1 xy é a equação da assíntota oblíqua ao gráfico de i quer em quer em .

xex

xxi

11

1101

0

1

xxex

xxi x

x 1 0

xi + 0 - n.d. +

i Máx. n.d.

A função i é crescente em 1, e em ,0 , decrescente em 0,1 e tem um máximo

relativo e em 1x .

3

1

x

exi

x

x 0

xi - n.d. +

i n.d.

O gráfico de i tem concavidade voltada para baixo em 0, , concavidade voltada para cima

em ,0 e não tem pontos de inflexão.

,0, eDi

273.

Da observação do gráfico da função h percebe-se que esta é decrescente em a,0 e em

,c e é crescente no intervalo ca, . Então, a função derivada de h não pode ser positiva

em a,0 e em ,c nem negativa no intervalo ca, . A única função que está nas condições

referidas é a representada no gráfico (II).

Como o gráfico de h tem concavidade voltada para cima em b,0 e voltada para baixo em

,b , a segunda derivada de h não pode ser negativa no primeiro intervalo nem positiva no

segundo. O gráfico que se encontra nestas condições é o gráfico (I).


274.

274.1

Para qualquer número real x, tem-se xgeexg xx 22

.

Então, g é uma função par.

274.2

A função g é contínua em R , pelo que o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

Como g é par, xgxgxx

limlim e 0limlim2

x

xxexg .

Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de g quer em quer em

.

274.3

A função derivada de g pode ser definida por: 2

2 xexxg .

00202

xexxg x

x 0

xg - 0 +

g Max.

Então, 10 g é o máximo absoluto de g. C. q. d.

275.

A função derivada de f , para cada valor de a, pode ser definida, em 0\R , por:

2

2x

axxf

2

4

20

2020

33

2

3

2

aax

x

ax

x

axxf

.

Como 0\,02 Rxx , tem-se que: 2

40

3 axxf e

2

40

3 axxf , portanto,

a função derivada de f anula-se em 2

43 ax e muda de negativa a positiva neste ponto, pelo

que tem um mínimo relativo nesse ponto.

Zeros de f:

a axx

ax

x

axxf

000

32


F é contínua, 0,0

lim 2

0

ase

a

x

ax

x ou 0,

0lim 2

0

ase

a

x

ax

x e

0,0

lim 2

0

ase

a

x

ax

x ou 0,

0lim 2

0

ase

a

x

ax

x.

A reta de equação 0y é a única assíntota vertical do gráfico de f.


2

2

l imlimx

ax

x

x

ax

mxx

e

2

2

l imlimx

ax

x

x

ax

mxx

O gráfico de f não tem assíntotas horizontais.

Sentido da concavidade e pontos de inflexão:

3

22

x

axf

333

300220

220 axaxxax

x

axf


0a 0a

276.

276.1 A função f é contínua, tem domínio 3,3\ R e é par dado que, para qualquer

3,3\ Rx

xf

x

x

x

xxf

2

2

2

2

9

2

9

2

Por outro lado,

0

19

9

2limlimlim

2

2

333 x

xxfxf

xxx e

0

19

9

2limlimlim

2

2

333 x

xxfxf

xxx

Então, as retas de equações 3x e 3x são as únicas assíntotas verticais do gráfico de f.


Se a função f é par, então, 22

lim9

2limlimlim

2

2

2

2

x

x

x

xxfxf

xxxx.

Assim, a reta de equação 2y é assíntota do gráfico de f quer em quer em .

276.2

2222

33

22

22

22

2222

9

36

9

4436

9

2294

9

2992

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxxf

C. q. d.

276.3

Como 3,3\,0922 Rxx , 3\0,0 xxf e 3\,00 xxf .

Então, f é decrescente em 3, e em 0,3 , crescente em 3,0 e em ,3 e tem um

mínimo relativo que é 00 f .

276.4

,22,'fD .

277.

a) xxex

xex

xexg lnlnlnlnlnlnlnln)(

321

11

11 2222

b) RDg

Rx

xxg ,)( 0

1 , então, g é crescente.


c)

01

1

2131

22

2

2

2

2

2

bbee

bxey

ee

egm

exxxxg

)(

lnln)(

A equação reduzida da reta tangente é: xey 2

278. 278.1

eRxxRxD \ln: 010

278.2

0

1

1

0

1

1

x

x

x

x

ex

ex

ln

lnlim

ln

lnlim

Então, a reta de equação ex é assíntota vertical do gráfico de f.

278.3

222 1

1

1

1

1

11

1

xxx

x

xx

x

xx

xxxf

lnln

lnln

ln

lnln

)(

eRxxf \, 0 , então, f é crescente em e,0 e em ,e e não tem extremos.

279.

279.1

11011 2 \: RxxxRxD

Para 1x , f é contínua porque é o produto de funções contínuas.

Para 1x , f é contínua porque é racional.

Para 1x :

3

1

6

11

16

1

66

1

112

1

1

1

xxx

x

x

x

fexe

xxx

x

x

limlimlim

)(lim

Então, f é descontínua em 1x , mas contínua à direita nesse ponto.


279.2

Na alínea anterior concluímos que a reta de equação 1x não é assíntota vertical do

gráfico de f.

0

12

1

66

0

12

1

66

21

21

x

x

x

x

x

x

lim

lim

A reta de equação 1x é a única assíntota vertical.

066

1

66

0

22

1

xx

x

x

x

x

exe

xxx

x

x

x

x

limlimlim

limlim

A reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f.

280.

Através do estudo do sinal de f obtemos os intervalos de monotonia de f que

coincidem com o esboço do gráfico apresentado.

x 2 5

)(xf - 0 + 0 -

f

m M

Através do estudo da monotonia de f obtemos o sinal de f e, consequentemente, o

sentido das concavidades de f que também coincide com o gráfico apresentado.

x

2

7

f

)(xf + 0 -

f

281. 281.1 281.1.1

202 ln\: ReRxD xf

0

12

2

12

0

12

2

12

2

2

xx

xx

e

e

ln

ln

lim

lim

Como f é contínua, a reta de equação 2lnx é a única assíntota vertical do seu

gráfico.


2

3

2

12

22

12

xx

xx

e

e

lim

lim

As retas de equação 2y e 2

3y são as assíntotas horizontais do gráfico de f.

281.1.2

Rxxg

xxg

xxg

,)(

)(

)(

0

5

2

15

2

Então, o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo.

281.1.3

505005505505

,,,ln

lim,ln

lim

x

x

x

xx

xx

281.2

Pretende-se encontrar os pontos cujas abcissas verifiquem a seguinte equação:

xxg )(

As coordenadas dos pontos do gráfico de g cujas ordenadas são iguais às abcissas

são: 631631 ,;, e 945945 ,;, .

282.

21 xAP

O custo, em milhares de euros, em função de x é dado por:


xxxxxC 2040150220150 22 )(

Para determinar o custo mínimo:

21

21214251250120500

1

1205020

12

250

2222

2

2

2

xxxxxxxxC

x

xx

x

xxC

)(

)(

Verificação:

000121

21220

21

21250

2

x 0

21

212

2

)(xC - 0 +

C

m

Para obter o custo mínimo, o ponto P deve estar a 21

212km do ponto C, ou seja, a

aproximadamente 436 metros de C.

283. 283.1

80514

5141513 ,

,

),ln(),( P

O nível de poluição era de 0,8mg/L.

283.2

Se, quando o purificador foi desligado, o nível de poluição começou a aumentar

imediatamente, basta determinar o nível de poluição mínimo nesse dia.

11110

1

11

1

111

1

22

ettttP

t

t

t

ttttP

ln)(

ln)ln(

)(

t 0 e-1 24

11 tln - - 0 + +

21t + + + + +

)(tP - - 0 + +

P

m


43607180

71811

,

,e

O purificador foi desligado há 1 hora e 43 minutos.

284.

1010

3

111

3

1

3

1

xxxxf

x

x

xxxxf

)(

ln)(

x 0 1

1x - - 0 +

3x 0 + + +

)(xf n.d. - 0 +

f n.d.

m

3

11 )(f é o único mínimo de f.

285. 285.1

A altura do 1.º poste é: 150 eef

A altura do 2.º poste é: 22530 eef )(

A diferença de altura entre os dois postes é 22255030 122 ,)()( eeeeff

Então, a diferença é de 22,2 metros.

285.2

Para descobrir o ponto mais próximo do solo, tem de determinar-se o mínimo da

função.

10110101050500

5050

110101110101

110101

xxxeeeexf

eexf

xxxx

xx

,,,,)(

,,)(

,,,,

,,

x 0 10 30

)(xf - - 0 + +

f

m

A distância ao 1.º poste do fio mais próximo do solo é 10 metros.

286.

Para saber a altura a que a bola passa pela rede, basta determinar ),( 49h :

90312130

4918

3

4949 ,,,

,ln

,),(

h


Então, a bola passa por cima da rede sem lhe tocar.

Para averiguar se a bola cai no campo do adversário, basta considerar a função j,

prolongamento de h ao intervalo 300, .

9112823 ,,

9,4+11,9=21,3 (limite do campo adversário)

612130

32118

3

321321 ,,

,ln

,),(

j

Como j é contínua em 32149 ,;, e 032149 ),(),( jj , pelo Corolário do Teorema de

Bolzano j tem um zero em 32149 ,;, , ou seja, a bola bate no chão dentro do campo

adversário.

Exercícios globais

(Pág. 174 a 179)

Escolha múltipla

287.

50204042424 040040 ttCCCtD tt ,)( ,,

50 meses são 4 anos e 2 meses.

Resposta: C

288.

,,: 210232 xxRxD

3003223123 2222 ,log xxxxxxx

3210 ,, S

Resposta: C

289.

1525210 5555 xloglogloglog

Resposta: D

290.

0

1

1 )(

)(lim

xg

xf

x

Resposta: D


291.

100

66

5055

22

0

1

0

)(

lim

lim

f

kek

kkek

x

x

x

x

Então, 210565 2 kkkk

Resposta: B

292.

f é contínua em 41, e 71 )(f e 74 )(f .

Resposta: B

293.

)()(

)()(

)()(

232

4122

1122

gg

fg

fg

Resposta: D

294.

Se 12 xy é assíntota para , então, 2 x

xf

x

)(lim e 12

xxf

x)(lim .

01222242

xxf

x

xfxxf

x

xf

xx)(

)(lim)(

)(lim

Resposta: D

295.

RDf

0

2

2

2

22 xxf

xx

lim)(lim , então, admite uma assíntota vertical )( 2x .

2

1

242

20

2

22

2

2

2

x

x

x

xxe

x xxxlimlimlim , então, admite duas assíntotas

horizontais )(2

10 yey .

Resposta: D


296.

Se 23

1 xy é assíntota para , então,

3

1

x

xf

x

)(lim

33

11

)(lim)(lim

xf

xxh

xx, então, a assíntota horizontal tem equação: 3y

Resposta: D

297.

Retas paralelas têm o mesmo declive, e como o declive da reta tangente é igual à

derivada da função no ponto de tangência, tem-se:

22313 ln)( xeexf xx .

Resposta: A

298.

23xxf )(

12232 2 )(fmt

Resposta: C

299.

xxf 2 )( , 11 )(f e 11 )(f

21 )(fms , então, 32 xys :

21 )(fmr , então, 32 xyr :

Então, o ponto de interseção tem coordenadas (0, 3).

Resposta: B

300.

3120 ºtgmt , então, 31 )(g .

Resposta: A

301.

Se 0 )()( xhxh , então, ou h é decrescente e o seu gráfico tem a concavidade

voltada para cima, ou h é crescente e o seu gráfico tem a concavidade voltada para

baixo.

Resposta: B


302.

Sabe-se que 53242 )(f e que:

452

422

4200

h

hf

h

fhff

hh

)(lim

)()(lim)(

Resposta: D

303.

Sabe-se que 00 )(f e 10 )(f , então, se xxxf 2)( , verificam-se as duas

condições.

Resposta: A

304.

Pela análise do gráfico de f, sabe-se que não existe derivada num ponto de abcissa

positiva k. Para pontos de abcissa inferior a k, a derivada é constante e positiva, e

para pontos de abcissa superior a k, a derivada é constante e negativa.

Resposta: B

305.

Pelo estudo da variação da função, conclui-se que: 00 )(f e 06 )(f , então,

060 )()( ff .

Resposta: D

306.

Estudando o sinal de f e a monotonia de f tem-se:

x 0 4

)(xf + 0 - 0 +

f

Resposta: C

307.

Estudando o sinal de f e a monotonia de f tem-se:

x 0 4

)(xf - 0 + 0 -

f

m M

Então, f(0) é um mínimo relativo de f.

Resposta: C


Resposta aberta

308. 308.1

35141

22214110000141500010000 141 ,

,ln

lnlog,,)( , ttQ tt

Serão necessários 5,3 anos, aproximadamente.

308.2

911061

2220612061 06100 ,

,ln

lnlog,, , tQQ tt

Serão necessários cerca de 11,9 anos.

308.3

Seja 8110000 xxf )( , pretende-se determinar x de modo que: 15643)(xf .

A taxa de juro teria de ser 5,752 %.

309.

aaC 2, , aB 20, , aaD 222 , e aA 220,

2

22

2

2 aa

ABCaABBC

A

33222

3206062232

22

2

2

2

22

log

a

xxxxaa

aa

x

aaaa

a

310.

a) Sabe-se que:

7

3

03

51

01

51

b

a

a

ba

f

f

)(

)(


b) RxaxRxxf ,, 030 2 , ou seja, Rba 0 .

c)

2

00

20

00

bf

f

)(

Então, 2 bRa .

311.

311.1

cc

c

t

PP

t

PPtPPtcPP

1111 00

00

loglogloglogloglogloglog

P

Pc

t

P

P

cPPtctcPP t0

1

0

001

11 loglog

log

loglogloglogloglog

311.2

74

13

5040

,,

P

Obter-se-á, aproximadamente, 4,7.

311.3

0507

9

10

18

207 ,

ln

ln

log

c

312. 312.1

Sabe-se que:

2

1

50

2

1

50

2550

50

5025

7525

501

750

25

ln)(

)(k

b

e

b

e

b

be

b

T

T

T

kkk

a

312.2

250

250250

2

12505375025537 2

1

2

1

,ln

,ln,lnln,,,)(

lnln

tteetTtt

Ao fim de 2 minutos.

312.3

25050255025 50

t

te ,lnlim

À medida que o tempo decorre, a temperatura do corpo tende a igualar a temperatura

ambiente.


313.

A função g é contínua em 21, .

0113221222

011121

)()()()()()(

)()()()(

fffffg

fffg

Então, 021 )()( gg .

Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, a função g tem pelo menos um zero. 314. a)

mxnmxx

nxxmxxxxnxmxxx

nm

nmmnnmnm

11

1111

1

11111 .

mn

mxxx

mxnmxxxf nm

10

00100 11)(

Como 10

mn

m e m é par, tem-se necessariamente que:

x 0

mn

m

1

1mx - 0 + + + + +

11 nx + + + + + 0

mxnm + + + 0 - - -

)(xf - 0 + 0 - 0

f

m M

Embora, não se conheça a variação de f em ,1 , prova-se que, se m for par, f tem

um mínimo em 0x .

b) Analogamente, se n é par, tem-se, necessariamente:

x 0

mn

m

1

1mx 0 + + + + +

11 nx + + + + + 0 -

mxnm + + + 0 - - -

)(xf - 0 + 0 - 0 +

f

M m

Embora não se conheça a variação de f em 0, , prova-se que, se n for par, f tem

um mínimo em 1x .


315.

222

2

)()()()()()()()(

)()()(

xfxfxfxfxfxfxfxg

xfxfxg

Como f e f são positivas, tem-se que Rxxg ,)( 0 , ou seja, o gráfico de g tem a

concavidade voltada para cima.

316. 316.1


0

822

3

0 x

x

xlim

A reta de equação 0x é assíntota.

Como a função é contínua em 0\R , não existem mais assíntotas verticais.


66

81268126

18126

2

2

2

2

2

23

3

3

3

23

x

x

x

xxx

x

xxxxxfb

x

x

x

xxx

x

xfm

x

xxx

xxx

lim

limlim)(lim

limlimlim

Analogamente, 1 x

xf

x

)(lim e 6

xxf

x)(lim .

A reta de equação 6 xy é assíntota.

316.2

3

2

4

22

4

22

4

322

4

3223

4242

2232222322

x

xx

x

xxx

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxxxf

)(

316.3

420420 xxxxxxf )(

x -4 0 2

22x + + + + + 0 +

4x - 0 + + + + + 3x - - - 0 + + +

)(xf + 0 - n.d. + 0 +

f

M n.d.

5134 ,)( f é máximo relativo e é o único extremo de f.


316.4

651

5

1151

bb

bxy

fefm )()(

A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é:

65 xy

317. 317.1

45114150 ,ln)( h

A parede A tem, aproximadamente, 5,4 metros de altura.

317.2

511150111004080

1110

408

1110

1024

2

22

xxxxxxxxh

xx

x

xx

xxh

)(

)(

x 0 5 10

408 x - - 0 + +

11102 xx + + + + +

)(xh - - 0 + +

h

m

A altura da rampa é mínima a 5 metros de cada uma das paredes.

317.3

364151151054155 22 xxxxh lnln)(

364151151054155 22 xxxxh lnln)(

Então, )()( xhxh 55 o que significa que pontos equidistantes do meio da rampa (à

esquerda e à direita deste) estão à mesma altura. 318. 318.1

5

15

21

5

2

3202

5250

215

20200240

exxxx

xxexexxh

xx

lnln

ln)(

Os zeros são:

5320 eln,


318.2

A função h é contínua em 43, .

4218164

6746123

5

3

5

1

,)(

,)(

eh

eh

)()( 344 hh

Então, pelo Teorema de Bolzano, a equação 4)(xh é possível em 43, .

318.3

ehm

xeexeexh

xxxx

645

5

4242

5

224

15

21

5

21

5

21

5

2

)(

)(

eh 10205 )(

ebbee

bxey

205641020

64

Então, a equação reduzida da reta é: exey 2064

319. 319.1

Para 0x , f é contínua porque é racional.

Para 0x , f é contínua porque é a composta de funções contínuas.

Para x=0:

00

02

02

4

0

3

0

)(

lnlim

lim

f

e

x

xx

x

x

x

f é contínua em x = 0 e, então, é contínua no seu domínio.

319.2


822

22

2

22

2

4

222

3

2

xx

x

xxx

x

xxx

x

xx

xxxxlimlimlimlim

Como f é contínua em 2\R , o seu gráfico não admite assíntotas verticais.


2

3

2

3

2

4

x

x

xx

xxm

xxlimlim


22

022

lnlnlim

lnlnlim

x

x

x

x

eb

x

em

O gráfico de f admite uma única assíntota de equação: 2lny

319.3

Para 0,x , x

x

e

exf

2

)(

002000 xeexxf xx)( . Impossível.

Rxxf ,)( 0 , então, f é decrescente em 0, .

319.4

0

021021002

0020202202

2

22

x

xeexyyxyy

xeexeexxexxxf

xx

ey

xxxxx

x

ln)(

0S

320. 320.1

A função f é contínua em R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.


3434343

01

43

4343

1

2

22

2

x

e

e

xexb

x

exe

x

xx

exm

x

xxx

x

x

xxxx

x

x

limlimlim

limlimlim

04

343 2x

x

x

xxe

xx

exm limlim

Então, o gráfico de f admite uma única assíntota de equação: 3y

320.2

2002040

2448

2

22

xxxxexf

xxexexexf

x

xxx

)(

)(

x 0 2 xe4 + + + + +

22 xx - 0 + 0 -

)(xf - 0 + 0 -

f

m M


30 )(f

3 é o único mínimo relativo de f.

320.3

2

1

2

1014

004004004

0040034300

2

222

22

xxxx

xxxeexxexe

xexxxexxxxg

xxxx

xx

lnlnlnln

lnln)(

Os zeros de g são:

2

1

2

1, .

321.

22121

22

11

0

2

0

2

0

y

e

x

e

x

e y

y

x

x

x

x

limlimlim

Mudança de variável:

-yx

xy

00

2

então

3

11

3

21

3

2

3

13

3

2

3

132

000

y

y

x

x

x

xx

yxx

lnlim

lnlim

lnlim


00

3

yx

xy

então

20 )(f

f é descontínua em: 0x

322. 322.1

0250

50

0

601

1500000Rt

e

etv

t

t

,)(,

,

, então, v é crescente.

v é contínua em 0

R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

50000601

5000050

tt e ,

lim

A reta de equação 50000y é assíntota do gráfico de v.

Conclui-se que, à medida que o tempo decorre, o número de vendas cresce

aproximando-se dos 50000 computadores vendidos.


322.2

28602

060103050003505050

,ln

,)( ,,,

t

eeetv ttt

28,a

Ao fim de 8,2 meses, a velocidade de crescimento das vendas atinge o seu máximo.

323. 323.1

f é crescente em 32, e em 63, ;

f é decrescente em 24, .

323.2

x -4 2 3 6

)(xf 0 - 0 + 0 + +

f

m

)(2f é o único mínimo relativo de f.

323.3

x -4 -1 2

5 3 6

f

)(xf - + - n.d. +

f

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em

2

51, e em 63, e voltada

para baixo em 14 , e em

3

2

5, .

323.4

2

51 xx ;


324.

Analisando o gráfico de f :

Conclui-se que:

f é crescente em 3570 ;, e decrescente em 5700 ,; .

570,f é um mínimo relativo.

325. 325.1

11

2

1

0

2

2

y

e

x

e y

y

x

x

limlim


-yx

xy

02

2

então

3

3

1

1

2 lnlnlim

x

x

x

Como, f é contínua em 20 \, , o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

325.2

f é contínua em

2

10, , pois é o quociente de funções contínuas.

2

130

322

2

3

1

2

1

1932

10

2

3

2

ff

ef

ef

)(

,

,)(


Então, pelo Teorema de Bolzano, 3)(xf é possível em

2

10, .

325.3

Em ,2 , 1

112

x

xxf

ln

)ln()(

xxxex

xxxxxf

201

20101120 2 )(ln)ln()(

,,)( 20 xxf

Então, f é crescente em ,2 .

326. 326.1

g é contínua em R , pois admite derivada finita em todos os pontos, então, é contínua

em 32, .

032 )()( gg

Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, g tem pelo menos um zero em 32, .

326.2

x 0 1 2 3 f(x) n.d. - 0 + + + + +

652 xx + + + + 0 - 0 +

)(xg n.d. - 0 + 0 - 0 +

g

O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima em 21, e ,3 , e voltada para

baixo em 10, e 32, .

Existem três pontos de inflexão de abcissas 1, 2 e 3.


Autoavaliação 6

(Pág. 180 e 182)

Grupo I

1. Seja M: «Estar no projeto “Mantém a tua escola limpa”»

T:«Estar no projeto “Tolerância é cultura”»

8

3

16

6

)(|

TP

TMPTTMP

Resposta: B

2.

5

2705050

7030

)(,,)()(,)()()()(

,)(,)(

APAPAPBAPBPAPBAP

BAPBAP

Resposta: B

3.

81010

1 8

8

loglogpH

Resposta: D

4. 220

04

m

A equação da assíntota é 42 xy

02222

x

xg

x

xxg

xx

)(lim

)(lim

Resposta: B

5.

x 0 3

gf + 0 - 0 +

g

M m

Resposta: A


6.

axf

axxf

2

32

)(

)(

Então, 0a .

Resposta: D

7.

22

2

1

2

2

2

1

22

2

42

22

)(

)()(lim

)()(lim

)(

fx

fxf

x

fxf

f

xx

Resposta: D

Grupo II

1.

BAPBP

BAP

BP

BAP

BP

BBBAP

BP

BBAP

BP

BBAPBBAP

|)(

)()()()(|

2. 2.1

3537 C

Pode fazer 35 saladas.

2.2

7

2

47

25

C

Cp

3. 3.1

40110322

522312318020080231

20080

825

2000

1103

103103

103

xx

xf

f

x

xx

x

,

,)(

)(

,

,,

,

Tinham passado 40 dias.


3.2

Sejam:

I: «Estar infetado»

P: «O teste dar positivo»

5030 )(f frangos infetados.

Total de frangos: 450 + 50 = 500

Sabe-se que:

9010500

50,;,)( IPIP

096010960960 ,,,,| IPPIPP

810909090 ,,,,| PIPPIP

Numa tabela:

P P Totais

I 0,096 0,004 0,1

I 0,09 0,81 0,9

Totais 0,186 0,814 1

Então, 99508140

810,

,

,| PIp

4. a)


xxx

lnlim 230

A reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de f porque f é contínua

em R .


xxxxb

x

x

x

xxm

xx

xx

lnlimlnlim

lnlim

lnlim

2323

32323

Não existem assíntotas não verticais.


b)

3

20

2323

xxf

x

x

xxf

)(

)(

x 0 3

2

23 x - - 0 +

x 0 + + +

)(xf n.d. - 0 +

f

n.d. m

3

2f é o único mínimo de f.

c)

2

100210 ,: xxRxD

xxxxx

xxxxxxxxxx

01212

0202121212323

22

2lnlnlnlnlnlnln

A condição é impossível.

5.

Se a reta de equação 12 xy é assíntota do gráfico de f, então,

012

xxfx

)(lim

Basta mostrar que: 052

xxgx

)(lim

012524

52252252

yyfyyf

yyfxxfxxg

yy

yxx

)(lim)(lim

)(limlim)(lim


yx

xy

então

2


Autoavaliação 7

(Pág. 183 e 185)

Grupo I

1.

25134

12

4

11

8

10

4

11

8

1

8

11

2

14

,

aa

Resposta: C

2.

1352

1239

1339 13

C

CCp

é a probabilidade de obter no máximo uma carta de paus.

O acontecimento contrário é obter mais do que uma carta de paus.

Resposta: C

3.

14405 !A24

Resposta: B

4.

4

2

0

0022

2

1

12 2

2 a

b

a

bbb

baba

ba

b

b

a

a

____

___

log

log

Como 00 ba , então, 4a .

Resposta: B

5.

A função f é crescente, então, 0 )(xf , e o seu gráfico tem a concavidade voltada

para cima, então, 0 )(xf .

Resposta: B

6.

11

0

00

x

xxgug

u

xxn

n

lnlim)(limlim

Resposta: B


7.

002 )()()()()( afbhafafhafh

Resposta: D

8.

O valor médio é a abcissa do máximo de f, ou seja, o zero de f .

100 xxf )(

Resposta: A

Grupo II

1.

1.1 20036

25 CC

Podem formar-se 200 grupos.

1.2

5

4

200

41 2

5

C

p

2. 2.1

10

131212 222

)(

)(

fm

xxexxxeexxxexf xxxx

00 )(f

A equação reduzida da reta é: xy

2.2

410

453213 22

xxxf

xxeexxxexf xxx

)(

)(

x -4 -1 xe + + + + +

452 xx +

0 - 0 +

)(xf + 0 - 0 +

f

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em 4 , e em ,1 e

voltada para baixo em 14 , .

Existem dois pontos de inflexão de abcissas: -4 e -1.


2.3

A função f é contínua em R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.

0

01

111

1

222

1

2

2

yyy

y

yxy

x

x

y

y

y

yyy

y

yxy

x

x

x

x

x

x

x

x

e

y

e

yyyexxeb

ey

e

ee

yyexe

x

xxem

xex

xxem

limlimlim

lim

limlimlimlim

limlim

A reta de equação 0y é a única assíntota do gráfico de f.

3. 3.1

53200

19,

log

d

3.2

6311082115

5 82

,,loglog

jjj

Existem, aproximadamente, 631 indivíduos.

4. a)


011

0

)(

limxfx

0

11

0

11

)(lim

)(lim

xf

xf

ax

ax

Como f

1é contínua em aR \ , a reta de equação ax é a única assíntota vertical.


bxfx

11

)(lim

A reta de equação b

y1

é assíntota horizontal.

Assim, a função f

1tem exatamente duas assíntotas.


b)

Se f é estritamente crescente, então, Rxxf ,)( 0 .

aRxxf

xfx

f\,

)(

)()(

0

12

Então, f

1 é estritamente decrescente em qualquer intervalo do seu domínio.

5.

Seja: 02 acbxaxxg ,)(

Se a reta tangente é perpendicular à reta de equação 32 xy , então, o seu declive

é: 2

1 .

a

bxbaxxg

baxxg

4

21

2

12

2

1

2

)(

)(

O ponto

a

bg

a

b

4

21

4

21, é o único onde a reta tangente é perpendicular à reta

de equação: 32 xy


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Resoluções dos Exercícios do Volume 2 de Matemática … 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II 2.1 Funções exponenciais e logarítmicas 1. 1.1 0 652 312 652 1 652 0 N u u