Resposta à Actuação de Controlo

João Oliveira

Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial

Versão de 5 de Dezembro de 2011

Sumário

Conteúdo1 Matrizes e vectores de controlo 1

1.1 Matriz de controlo para movimento longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Matriz de controlo para o movimento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Método das transformadas de Laplace 32.1 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Resolução de sistemas e funções de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Resposta a impulso e a escalão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Resposta longitudinal 93.1 Caso geral: funções de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Resposta longitudinal: exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Resposta longitudinal: modos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Resposta lateral 174.1 Exemplo do Cessna 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Modos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Matrizes e vectores de controlo

Equações do movimentoEquações do movimento para pequenas perturbações:

x = Ax+ Bc

• B: matriz de controlo

• c: vector de controlo

– Movimento Longitudinal: c = [∆δe ∆δP]T

– Movimento Lateral: c = [∆δa ∆δr ]T

É necessário determinar a matriz de controlo em cada um dos casos.

1

1.1 Matriz de controlo para movimento longitudinal

Matriz de controlo para movimento longitudinalDas equações do movimentos:

Bc =

∆Xcm∆Zcm−Zw

1Iy

[∆Mc + Mw∆Zc

m−Zw

]0

Por outro lado:

∆XC = Xδe∆δe +XδP∆δP∆ZC = Zδe∆δe + ZδP∆δP∆MC = Mδe∆δe +MδP∆δP

Matriz de controlo para movimento longitudinalFazendo as substituições necessárias, obtém-se:

Bc =

Xδem

XδPm

Zδem−Zw

ZδPm−Zw

MδeIy +

Mw ZδeIy(m−Zw)

MδPIy +

Mw ZδPIy(m−Zw)

0 0

︸ ︷︷ ︸

matriz B

[∆δe∆δP

]

1.2 Matriz de controlo para o movimento lateral

Matriz de controlo para o movimento lateral

Bc =

∆Ycm

∆LcI′x + I

′zx∆Nc

I′zx∆Lc + ∆NcI′z

0

Por outro lado:

∆YC = Yδa∆δa + Yδr∆δr∆LC = Lδa∆δa + Lδr∆δr∆NC = Nδa∆δa +Nδr∆δr

Matriz de controlo para o movimento lateral

2

Fazendo as substituições necessárias, obtém-se:

Bc =

Yδam

Yδrm

LδaI′x + I

′zxNδa

LδrI′x + I

′zxNδr

I′zxLδa +NδaI′z I′zxLδr +

NδrI′z

0 0

︸ ︷︷ ︸

matriz B

[∆δa∆δr

]

2 Resolução de equações diferenciais não homogéneas:método das transformadas de Laplace

2.1 Transformadas de Laplace

Transformadas de LaplaceDefinição de Transformada de Laplace:

Lx(t) =∫ +∞

0x(t)estds ≡ x(s)

Se xe−st → 0 quando t → +∞,mostra-se facilmente que

L x(t) = −x(0)+ sx(s)

Transformadas de Laplace inversasTransformada inversa:

x(t) = 12π i

limω→∞

∫ γ−iω

γ−iωest x(s)ds

onde γ é um número real maior que a parte real qualquer dos dos pólos de x(s).

Métodos habituais para a obter:

• método das fracções parciais

• teorema da expansão de Heaviside

• uso de tabelas, etc.

Teorema da expansão de Heaviside

Seja x(s) = N(s)D(s)

• D(s) é um polinómio de grau n;

• N(s) é um polinómio de grau inferior a n;

3

• ar são as raízes de D(s):

D(s) = (s − a1)(s − a2) · · · (s − an).Então a transformada inversa é

x(t) =n∑r=1

[(s − ar )N(s)

D(s)

]s=ar

ear t

2.2 Resolução de sistemas e funções de transferência

Resolução de sistemas de equações diferenciais não homogéneasEquação diferencial ordinária não homogénea (se x(0) = 0):

x = ax(t)+ bc(t) ⇒ sx(s) = ax(s)+ bc(s)

⇒ x(s) = bs − ac(s)

Analogamente, para um sistema de equações:

x = Ax(t)+ Bc(t)⇒ sx(s) = Ax(s)+ Bc(s)

⇒ x(s) = (sI− A)−1B︸ ︷︷ ︸G(s)

c(s)

Resolução de sistemas de equações diferenciais não homogéneasLogo, obtemos

x(s) = G(s)c(s)

As soluções do sistema são dadas por:

x(t) = L−1x(s) = L−1[G(s)c(s)]

• Nota: estas equações são matriciais!

Resposta das variáveis de estadoDe

x(s) = G(s)c(s)

obtém-se a resposta da i-ésima variável de estado:

xi(s) =∑j

Gij(s)cj(s)

A resposta a uma «soma» de entradas é a soma das respostas individuais a cadauma das entradas.

4

Sistemas em sérieQuando dois sistemas estão em série, a entrada do segundo é a resposta do pri-

meiro. Logo:

x1 = G1(s)c(s)x2 = G2(s)x1(s) = G2(s)G1(s)c(s)

Logo, a função de transferência total é o produto das funções de transferência:

G(s) = x2(s)c(s)

= G2(s)G1(s)

Pode-se generalizar este resultado para um número arbitrário de sistemas em série.

Matriz das funções de transferênciaMatriz das funções de transferência: G(s) = (sI− A)−1B

Mas (sI− A)−1 = cof(sI− A)det(sI− A)

• cof(sI− A): matriz dos cofactores

• polinómio característico: f(s) = det(A− sI)

• det(sI− A) = (−1)nf(s) (n é a dimensão do sistema)

G(s) = 1(−1)nf(s)

cof(sI− A) · B

Elementos da matriz das funções de transferência

Gij(s) =(−1)n[cof(sI− A) · B]ij

f(s)= Nij(s)(s − λ1)(s − λ2) · · · (s − λn)

• Nij(s): polinómio em s• λ1, . . . , λn: valores próprios do sistema

Os valores próprios podem ser:

• reais ⇒ termo (s − λk) ⇒ sistema de 1ª ordem

• pares de raízes complexas conjugadas (λk, λk+1) ⇒(s − λk)(s − λk+1) = (s2 + aks + bk) ⇒sistema de 2ª ordem

Sistemas de 1ª e 2ª ordem

• Elementos da matriz das funções de transferência: produtos de termos de 1ªordem e de 2ª ordem.

• Sistemas que interessam em aeronáutica: conjuntos de sistemas de 1ª e 2ª ordemem série.

• Podemos analisar separadamente reposta de cada um dos subsistemas.

5

• Respostas a analisar:

– a impulso;

– a escalão;

– em frequência (não vamos fazer);

– ruído branco (não vamos fazer).

2.3 Resposta a impulso e a escalão

Resposta a impulsoImpulso: cj(t) = δ(t).

Mas δ(t) é delta de Dirac ⇒ δ(s) = 1

Note-se que:xi,j(s) = Gij(s)cj(s) = Gij(s)δ(s) = Gij(s)

Designamos por h(t) a resposta a impulso, isto é,

hij(t) = L−1xi,j(s) = L−1Gij(s)

Resposta a impulsoLogo

hij(t) = L−1Gij(s)

= 12π i

∫CGij(s) estds

= 12π

∫ +∞−∞Gij(iω) eiωtdω

Note-se que, se o sistema é estável, os pólos de Gij estão no semi-plano esquerdo eo contorno C do integral pode ser o eixo imaginário (s = iω)

Resposta a impulso: sistema de 1ª ordemSistema de 1ª ordem:

G(s) = 1s − λ

h(t) = 12π

∫ +∞−∞

1iω− λ eiωt = eλt

Se o sistema é estável, λ é negativo.Seja T = −1/λ:

h(t) = e−t/T

6

Resposta a impulso: sistema de 2ª ordemSistema de 2ª ordem:

G(s) = 1s2 + 2ζωns +ω2

n=

1

(s −n)2 +ω2se ζ < 1

1(s −n)2 −ω2

se ζ > 1

em que ω =ωn√|1− ζ2| e n = ζωn.

h(t) = 1ω

ent sin(ωt) ζ < 1

h(t) = 1ω

ent sinh(ωt) ζ ≥ 1

Resposta a escalãoEntrada: função de Heaviside:

cj(t) = H(t)⇒ cj(s) = H(s) = 1/s

Designamos porAij(t) a resposta a escalão, isto é,

xi,j(s) ≡ Aij(s) = Gij(s)H(s) =Gij(s)s

Mas, como hij(t) = L−1Gij(s)⇒ hij(s) = Gij(s),

Aij(s) =hij(s)s

Resposta a escalão: integração da resposta a impulso

Como vimos, Aij(s) =hij(s)s

Logo, pelas propriedades da transformada de Laplace

Aij(t) =∫ t

0hij(τ)dτ

(Note-se que para t ≤ 0, se temAij(t) = 0 e hij(t) = 0.)

Resposta a escalão: sistemas de 1ª e 2ª ordemSistema de 1ª ordem:

Aij(t) = T(1− e−t/T

)Sistema de 2ª ordem:

Aij(t) =1ω2

[1− ent

(cos(ωt)− n

ωsin(ωt)

)]ζ < 1

Aij(t) =1ω2

[1+ n−ω

2ωe(n+ω)t − n+ω

2ωe(n−ω)t

]ζ ≥ 1

7

Ganho estáticoGanho estático K: valor assimptótico deA quando t →∞

Pelo teorema do valor final:

limt→+∞

A(t) = lims→0sA(s) = lim

s→0G(s)

Logo, conclui-se queK = lim

s→0G(s)

Sistemas de 1ª ordem: resposta a impulso e escalão

Sistemas de 2ª ordem: resposta a impulso

Sistemas de 2ª ordem: resposta a escalão

8

Resposta em frequênciaNeste caso, a entrada é uma função oscilatória:

c(t) = A1eiωt ⇒ c = A1

s − iω

(Para mais pormenores, ver Etkin)

3 Resposta longitudinal

3.1 Caso geral: funções de transferência

Equações para o movimento longitudinalRecorde-se que

x(t) = Ax(t)+ Bc(t)⇒ x(s) = (sI− A)−1B c(s)

ou seja, no caso de movimento longitudinal:∆u(s)

w(s)

q(s)

θ(s)

= (sI− A)−1B

∆δe(s)∆δP(s)

Matriz de controlo para movimento longitudinalRecorde-se também que

B =

Xδem

XδPm

Zδem−Zw

ZδPm−Zw(

MδeIy +

Mw ZδeIy(m−Zw)

) (MδPIy +

Mw ZδPIy(m−Zw)

)0 0

9

Derivadas dimensionais para variáveis de controloAs derivadas dimensionais de controlo obtém-se a partir das derivadas adimensio-

nais por:

Xδe =12ρu2

0SCxδe XδP =12ρu2

0SCxδP

Zδe =12ρu2

0SCzδe ZδP =12ρu2

0SCzδP

Mδe =12ρu2

0ScCmδe MδP =12ρu2

0ScCmδP

Resposta longitudinal: resposta ao elevatorResposta ao elevator ⇒ ∆δP = 0

∆u(s)w(s)q(s)

θ(s)

= (sI− A)−1B

∆δe(s)0

= (sI− A)−1 ·

Xδem

Zδem−Zw(

MδeIy + Mw Zδe

Iy (m−Zw )

)0

∆δe(s)

Resposta ao elevator : funções de transferênciaResolvendo o sistema podemos obter as funções de transferência:

∆u(s)∆δe(s)

= Guδe(s) =Nuδe(s)f (s)

w(s)∆δe(s)

= Gwδe(s) =Nwδe(s)f (s)

q(s)∆δe(s)

= Gqδe(s) =Nqδe(s)f (s)

θ(s)∆δe(s)

= Gθδe(s) =Nθδe(s)f (s)

Resposta longitudinal: resposta à variação na propulsãoResposta à variação na propulsão throttle ⇒ ∆δe = 0

∆u(s)

w(s)

q(s)

θ(s)

= (sI− A)−1B

0

∆δP(s)

Procedendo de forma análoga ao caso anterior, obtém-se as funções de transferên-cia.

10

3.2 Resposta longitudinal: exemplo

Resposta longitudinal: exemplo do Cessna 182

Características da aeronaveVoo horizontal a 5000 ft, com Ma = 0.201

Ix = 1285.0 kg m2 S = 16.17 m2 c = 1.49mIy = 1824.4 kg m2 W = 11787 N u0 = 67m/sIz = 2666.2 kg m2 ρ = 1.055 kg/m3 θ0 = 0Ixz = 0 kg m2 CL0 = 0.307 CD0 = 0.032

Derivadas adimensionais:

CD CL CT Cm

u 0 0 -0.096 0α 0.121 4.41 – -0.613q 0 3.9 – -12.4ˆα 0 1.7 – -7.27δe 0 0.43 – -1.122

Derivadas segundo os eixos

Cxδe = CTδe − CDδe = 0

CZδe = −CLδe = −0.43

Cmδe = −1.122

Xδe =12ρu2

0SCxδe = 0

Zδe =12ρu2

0SCzδe = −16510.7 N/rad

Mδe =12ρu2

0ScCmδe = −64342.9 Nm/rad

11

Derivadas dimensionais e matrizesMatriz do sistema:

A =

−0.0457289 0.0885998 0 −9.81

−0.289913 −2.09701 65.1123 0

0.0109923 −0.207702 −6.80735 0

0 0 1 0

Matriz de controlo:

B =

0 2.943

−13.6184 0

−34.7508 0

0 0

Supomos: XδP = 0.3mg

ZδP = 0 = MδP

Nota: as matrizes estão calculadas em SI.

Equação característica:

det(sI− A) = 0⇒ f(s) = s4 + 8.950s3 + 28.232s2 + 1.490s + 0.8168 = 0

Polinómio característicoEquação característica:

det(sI− A) = 0⇒ f(s) = s4 + 8.950s3 + 28.232s2 + 1.490s + 0.8168 = 0

Raízes:s1,2 = −0.0220954± 0.169956i; s3,4 = −4.45295± 2.82492i

Uma vez que:

(s − s1)(s − s2) = s2 + 0.0441907s + 0.0293734

(s − s3)(s − s4) = s2 + 8.9059s + 27.809

o polinómio característico escreve-se:

f(s) =(s2 + 0.0441907s + 0.0293734

)(s2 + 8.9059s + 27.809

)

Resposta à actuação do elevatorFunções de transferência: obtidas fazendo δP = 0 e resolvendo

∆u(s)w(s)q(s)

θ(s)

= (sI− A)−1 · B[∆δe(s)

0

]=

Guδe (s)Gwδe (s)Gqδe (s)Gθδe (s)

·[∆δe(s)

0

]

Resposta à actuação do elevator : funções de transferência

∆u(s)∆δe(s)

= Guδe (s) =Nuδe (s)

f (s)= 687.134+ 132.216s − 1.20659s2

(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)

w(s)∆δe(s)

= Gwδe (s) =Nwδe (s)

f (s)= −100.301− 107.71s − 2356.03s2 − 13.6184s3

(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)

q(s)∆δe(s)

= Gqδe (s) =Nqδe (s)

f (s)= s(−4.10893− 71.6334s − 34.7508s2)(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)

θ(s)∆δe(s)

= Gθδe (s) =Nθδe (s)

f (s)= −4.10893− 71.6334s − 34.7508s2

(s2 + 0.0441907s + 0.0293734)(s2 + 8.9059s + 27.809)

12

Outras funções de transferência importantesÂngulo de subida:

∆γ = ∆θ −∆α⇒ Gγδe = Gθδe −Gαδe

Factor de carga nz = −ZW

:

∆nz = −∆ZW= − 1

W(Zu∆u+ Zww + Zqq + Zww + Zδe∆δe

)

Gnδe =∆nz∆δe

= − 1W(ZuGuδe + ZwGwδe + ZqGqδe + ZwGwδe + Zδe

)

Resposta a escalão (∆δe = 1o)

0 1 2 3 4 5t

5

10

15

20

25Du Hm�sL

1 2 3 4 5t

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

DΑ HºL

1 2 3 4 5t

-10

-8

-6

-4

-2

DΓ HºL

0 50 100 150 200t

5

10

15

20

25Du Hm�sL

50 100 150 200t

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

DΑ HºL

50 100 150 200t

-15

-10

-5

5DΓ HºL

Resposta a escalãoInício da resposta:

• só α varia significativamente

• oscilações de α são amortecidas rapidamente

• o movimento é dominado pelo modo de período curto

Após os primeiros segundos:

• oscilações de u (e de α, com menos amplitude)

• oscilações pouco amortecidas

• o movimento é dominado pelo modo fugóide

13

Resposta a escalão: estado estacionárioNo estado estacionário:

limt→+∞

∆u = lims→0

s Guδe(s) ∆δe(s) = 14.68m/s

limt→+∞

∆α = lims→0

s Gαδe(s) ∆δe(s) = −1.83o

limt→+∞

∆γ = lims→0

s Gγδe(s) ∆δe(s) = −3.20o

O resultado da deflexão do leme de profundidade é

• variação significativa de u

• variação significativa de α

• variação significativa do ângulo de subida

(não é típico: ver exemplo do 747, a seguir)

Resposta a escalão (∆δe = 1o) Exemplo de um 747 (cfr. Etkin)

Resposta à actuação do throttle

Com ∆δP = 1/6 (incremento na força de propulsão de0.05W ):

• oscilações de u com valor médio nulo e poucoamortecidas

• α aproximadamente constante

• γ oscila e tende para valor estacionário γ =2.86º

50 100 150 200t

-1

1

2

Du Hm�sL

50 100 150 200t

-0.05

0.05

DΑ HºL

50 100 150 200t

1

2

3

4

DΓ HºL

14

3.3 Resposta longitudinal: modos aproximados

Resposta longitudinal: modos aproximadosPretende-se, para cada um dos modos aproximados:

• resolver as equações do movimento (com controlo) pelo método das transforma-das de Laplace

• determinar as funções de transferência para os modos aproximados longitudinais

– > fugóide

– período curto

Modo fugóideEquações para o modo fugóide aproximado (incluindo termos de controlo)

∆u = Xum∆u+ Xw

mw +−g∆θ + Xδe

mδe +

XδPmδP

w = Zum∆u+ Zw

mw +u0q +

Zδemδe +

ZδPmδP

0 = Mu∆u+Mww +Mδeδe +MδPδP

∆θ = q

Modo fugóideEquações na forma matricial (e considerando apenas δe):

∆u

w

0

∆θ

=

Xum

Xwm 0 −g

Zum

Zwm u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 0

∆u

w

q

∆θ

+

Xδem

Zδem

Mδe

0

∆δe

Após aplicação da transformada de Laplace:

s∆u

sw

0 · q

s∆θ

=

Xum

Xwm 0 −g

Zum

Zwm u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 0

∆u

w

q

∆θ

+

Xδem

Zδem

Mδe

0

∆δe

Modo fugóideFinalmente obtemos

(s − Xu

m

)−Xwm 0 g

−Zum(s − Zw

m

)−u0 0

−Mu −Mw 0 0

0 0 −1 s

∆u

w

q

∆θ

=

Xδem

Zδem

Mδe

0

∆δe

Resolvendo este sistema em ordem a ∆u/∆δe, w/∆δe, q/∆δe e ∆θ/∆δe obtemos as funçõesde transferência

15

Modo fugóide: funções de transferência∆u(s)∆δe(s)

= Guδe =a1s + a0

f(s)

Os coeficientes são: a1 = u0

(Mδe

Xum−Mw

Xδem

)− gMδe

a0 = g(Mδe

Zwm−Mw

Zδem

)Polinómio característico para o modo fugóide aproximado:

f(s) = As2 + Bs + CA = −u0Mw

B = gMu +u0

m(XuMw −MuXw)

C = gm(ZuMw −MuZw)

Modo fugóide: funções de transferência

w(s)∆δe(s)

= Gwδe =b2s2 + b1s + b0

f(s)

Os coeficientes são:

b2 = u0Mδe

b1 = u0MuXδem

b0 = g(MuZδem−Mδe

Zum

)

Modo fugóide: funções de transferência

θ(s)∆δe(s)

= Gθδe =c2s2 + c1s + c0

f(s)

Os coeficientes são:

c2 = Mδe

c1 = MuXδem+Mw

Zδem−Mδe

(Xum+ Zwm

)c0 = Mδe

(XumZwm− XwmZum

)+ Zδem

(MuXwm−Mw

Xum

)+

Xδem

(Mw

Zum−Mu

Zwm

)

Modo de período curto aproximadoSistema de equações para o modo aproximado de período curto (incluindo termos de controlo):w

q

=

Zwm u0

1Iy

[Mw + MwZw

m

]1Iy

[Mq +Mwu0

]wq

+

Zδem

MδeIy + Mw

Iy

Zδem

∆δeAs funções de transferência obtém-se aplicando a transformada de Laplace e usando os métodos descritos acima.

16

Modo de período curto: funções de transferênciaNotando que q = s∆θ, obtém-se:

Gwδe =ass + a0

f(s)

Gθδe =b1s + b0

sf (s)= Gqδe

s

Polinómio característico:f(s) = s2 + c1s + c0

Modo de período curto: funções de transferênciaCoeficientes:

a1 =Zδemu0

a0 = u0MδeIy− MqIyZδem

b1 =MδeIy+ MwIyZδem

b0 =ZδemMwIy− ZwmMδeIy

c1 = −[Zwm+ 1Iy

(Mq +Mwu0

)]

c0 = −1Iy

[Mwu0 −

ZwmMq]

4 Resposta lateral

4.1 Exemplo do Cessna 182

Resposta LateralAs funções de transferência obtêm-se pela resolução das equações:

(sI− A) ·

vprφ

= B

[δaδr

]

Derivadas relativas às variáveis de controloDerivadas adimensionais: (em rad-1)

Cy Cl Cnδa 0 0.229 -0.0216δr 0.187 0.0147 -0.0645

17

As derivadas dimensionais são dadas por:

Yδ = 1/2 ρu20SCyδ

Lδ = 1/2 ρu20SbClδ

Nδ = 1/2 ρu20SbCnδ

em que δ pode ser substituído por δa ou δr .

Funções de transferência

Gvδa =Nvδaf(s)

Grδa =Nrδaf(s)

Gvδr =Nvδrf(s)

Grδr =Nrδrf(s)

Gpδa =Npδaf(s)

Gφδa =Nφδaf(s)

Gpδr =Npδrf(s)

Gφδr =Nφδrf(s)

f (s) é o polinómio característico do sistema (lateral), dado por

f(s) = s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636

Funções de transferência

Nvδa = 820.301+ 5515.15s + 214.91s2

Nvδr = −156.702+ 9164.55s + 769.54s2 + 5.97581s3

Npδa = s(610.505+ 97.675s + 75.0855s2)

Npδr = s(−268.978− 17.7672s + 4.8199s2)

Nrδa = 86.7425− 15.0761s − 71.9142s2 − 3.41333s3

Nrδr = −38.5688− 12.6251s − 135.096s2 − 10.1926s3

Nφδa = 610.505+ 97.675s + 75.0855s2

Nφδr = −268.978− 17.7672s + 4.8199s2

f(s) = s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636

Estados estacionários após aplicação de aileron Entrada tipo escalãoNeste caso δa(s) = δa

s .

Teorema do valor final: limt→∞

xi(t) = sGiδa δa(s) = Giδaδa

limt→∞

v(t) = lims→0

820.301+ 5515.15s + 214.91s2

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 5.83m/s

limt→∞

p(t) = lims→0

s(610.505+ 97.675s + 75.0855s2)s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636

δa = 0

limt→∞

r(t) = lims→0

86.7425− 15.0761s − 71.9142s2 − 3.41333s3

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 0.616rad/s

limt→∞

φ(t) = lims→0

610.505+ 97.675s + 75.0855s2

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = 4.34rad

18

Características dos modos laterais do Cessna 182 Resultados anterioresCaracterísticas de cada modo

Modo Período (s) t1/2 (s) N1/2

Espiral — 39.1 —Rolamento — 0.053 —Rolamento holandês 1.967 1.03 0.525

Resposta à aplicação de ailerons Resposta inicial

2 4 6 8 10t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ΒHºL

1 2 3 4 5t

0.02

0.04

0.06

0.08

p Hrad�sL

1 2 3 4 5t

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05r Hrad�sL

1 2 3 4 5t

5

10

15

20

Φ HºL

Resposta à aplicação de ailerons Evolução posterior

50 100 150 200t

1

2

3

4

5ΒHºL

19

50 100 150 200t

0.02

0.04

0.06

0.08

p Hrad�sL

50 100 150 200t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

r Hrad�sL

50 100 150 200t

50

100

150

200

Φ HºL

Estados estacionários após deflexão do rudder Entrada tipo escalãoNeste caso δr (s) = δr

s .

Teorema do valor final: limt→∞

xi(t) = sGiδr δr (s) = Giδrδr

limt→∞

v(t) = lims→0

156.702+ 9164.55s + 769.54s2 + 5.97581s3

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −1.11m/s

limt→∞

p(t) = lims→0

s(268.978− 17.7672s + 4.8199s2)s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636

δa = 0

limt→∞

r(t) = lims→0

38.5688− 12.6251s − 135.096s2 − 10.1926s3

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −0.274rad/s

limt→∞

φ(t) = lims→0

268.978− 17.7672s + 4.8199s2

s4 + 14.3764s3 + 28.3543s2 + 139.089s + 2.45636δa = −1.91rad

Resposta à deflexão do rudder Resposta inicial

2 4 6 8 10t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

ΒHºL

1 2 3 4 5t

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

p Hrad�sL

1 2 3 4 5t

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

r Hrad�sL

20

1 2 3 4 5t

-8

-6

-4

-2

Φ HºL

Resposta à deflexão do rudder Evolução posterior

50 100 150 200t

-0.5

0.5

1.0

1.5

ΒHºL

50 100 150 200t

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

p Hrad�sL

50 100 150 200t

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

r Hrad�sL

50 100 150 200t

-100

-80

-60

-40

-20

Φ HºL

Estados estacionários após aplicação de escalão Conclusões gerais

• limt→∞

p(t) = 0 em ambos os casos

• β, r e φ tendem para valores finitos

• para valores «normais» de δ, esse limites são elevados

• teoria linear só é válida para δ pequenos

• para φ grandes há acoplamento entre movimento lateral e longitudinal

– resposta para t grande é mais complicada...

4.2 Modos aproximados

Modos aproximadosNos casos seguintes trata-se de resolver

21

(sI− A) · x = B

[δaδr

]Usar-se-á a notação

Yδ =Yδm

Lδ =LδI′x+ I′zxNδ

Nδ = I′zxLδ +NδI′z

em que δ = δa ou δr , conforme o caso.

Aproximação espiral/rolamentoNeste caso queremos resolver

0 0 u0 −g−Lv (s −Lp) −Lr 0−Nv −Np (s −Nr ) 0

0 −1 0 0

vprφ

=Yδa YδrLδa LδrNδa Nδr

0 0

[δaδr

]

Polinómio característico:f(s) = Cs2 +Ds + E

C = u0Nv

D = u0(LvNp −LpNv)− gLvE = g(LvNr −LrNv)

Espiral/rolamento: funções de transferência

Gvδ = Nvδ/f(s) Nvδ = a3s3 + a2ss + a1s + a0

Gφδ = Nφδ/f(s) Nφδ = b1s + b0

Grδ = Nrδ/f(s) Nrδ = d2s2 + d1s + d0

Gpδ = Npδ/f(s) Npδ = s Nφδ

a3 = Yδ a2 = −Yδ(Lp +Nr )−u0Nδ

a1 = Yδ(LpNr −LrNp)−u0(LδNp −LpNδ)+Lδga0 = g(LrNδ −LδNr )

b1 = YδLv b0 = u0(LδNv −LvNδ)+Yδ(LvNr −LrNv)d2 = YδNv d1 = Yδ(LvNp −LpNv) d0 = g(LδNv −LvNδ)

22

Aproximação de rolamento holandêsNeste caso queremos resolver[

(s −Yv) u0

−Nv (s −Nr )

][vr

]=[

0 YδrNδa Nδr

][δaδr

]

Polinómio característico:

f(s) = s2 − (Yv +Nr ) s + (YvNr +u0Nv)

Funções de transferência:

Gvδa = Nvδa/f(s) Nvδa = −u0Nδa

Grδa = Nrδa/f(s) Nrδa =Nδas −YvNδa

Gvδr = Nvδr /f(s) Nvδr = Yδr s − (YδrNr +u0Nδr )Grδr = Nrδr /f(s) Nrδr =Nδr s − (NδrYv −YδrNv)

23