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RESPOSTA DA RESSURGÊNCIA COSTEIRA DE CABO FRIO A
FORÇANTES LOCAIS
Por
Audalio Rebelo Torres Junior
Tese submetida à Coordenação dos Programas de Pós-Graduação de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ciências
em Engenharia Oceânica.
Aprovado por :
______________________________________
Enise Maria Salgado Valentini, D. Sc.
Presidente
______________________________________ João Antônio Lorenzzetti, Ph. D.
______________________________________ Eloi Melo Filho Ph. D.
______________________________________ Cláudio Freitas Neves Ph. D.
Rio de Janeiro - RJ
1995 Dezembro
ii
TORRES JÚNIOR, AUDALIO REBELO Resposta da ressurgência costeira de Cabo Frio a forçantes locais, 1995 XIX 143 p. 29.7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc., Engenharia Oceânica, 1995) Tese - Universidade Federal Do Rio de Janeiro, COPPE 1. Circulação costeira I. COPPE/UFRJ II. Resposta da ressurgência costeira de Cabo Frio a forçantes locais
iii
AGRADECIMENTOS
Ao Doutor João Antonio Lorenzzetti, pela sua valiosa orientação e boa vontade durante a
execução deste trabalho.
Ao Almirante Fernando Coelho Bruzzi, Diretor do Instituto de Estudos do Mar Almirante
Paulo Moreira, e demais colegas e funcionários do IEAPM, especialmente a Aline e Márcia.
Aos Comandantes Emmanuel Gamma de Almeida e Ocleci Machado da Costa pela
oportunidade e incentivo na realização deste trabalho.
Aos professores, colegas e funcionários da COPPE, especialmente a Enise Maria Salgado
Valentini, Carlos Eduardo Parente Ribeiro e Elói Melo Filho.
Aos amigos e à minha família pelo apoio.
iv
Resumo da Tese submetida à Coordenação dos Programas de Pós-Graduação de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre
em Ciências em Engenharia Oceânica.
RESPOSTA DA RESSURGÊNCIA COSTEIRA DE CABO FRIO A
FORÇANTES LOCAIS
Audalio Rebelo Torres Junior
Dezembro de 1995
Orientador: Professora Enise Maria Salgado Valentini, D. Sc. Programa: Engenharia Oceânica Um modelo numérico de equações primitivas, pseudo tridimensional (integrado na vertical
por camada) com superfície livre e no plano Beta, forçado pela maré, arrastos gerados pelo vento
(wind stress), escoamento no fundo e gradientes de densidade é aplicado ao estudo do forçamento
local à ressurgência costeira de Cabo Frio. Suas equações governantes consistem em duas para
velocidade horizontal, a aproximação hidrostática, equação de continuidade (condição de
incompressibilidade na vertical), uma equação de estado e equações de conservação para salinidade
e temperatura. As equações são transformadas para o sistema de coordenadas sigma e separadas
em modos barotrópico e baroclínicos.
Alguns testes são realizados e discutidos de forma a avaliar os efeitos gerados pela condição
radiacional (tipo Orlanski), consistência hidrostática e do termo de gradiente horizontal de pressão
em coordenadas sigma.
v
São simulados dois casos de ressurgência, o primeiro com ventos de nordeste constantes em
toda a malha com a presença da Água Central do Atlântico Sul (ACAS) disponível para a “bomba
de Ekman”, no segundo caso são mantidas as forçantes e é alterada a profundidade da ACAS, o que
impossibilita o processo de sua ascenção à superfície. É simulado também um caso de subsidência,
com ventos de sudoeste constantes em toda a malha.
Os resultados das simulações, de maneira geral, reproduzem os aspectos qualitativos e
mesmo alguns quantitativos do processo de ressurgência costeira da região de Cabo Frio.
vi
Abstract of Thesis Presented to COPPE/UFRJ in Partial Fulfillment of the Requirements for the
Degree of Master in Science
CABO FRIO COASTAL UPWELLING RESPONSE TO LOCAL FORCI NGS
Audalio Rebelo Torres Junior
December 1995
Thesis Supervisor: Enise Maria Salgado Valentini, D. Sc. Major Department: Ocean Engineering A numerical model of primitive equations vertically integrated with free surface on a beta
plane, basically forced by wind stress, tide in the open boundaries, bottom stress and density
gradients is applied to study the Cabo Frio coastal upwelling local forcings. The set of governing
equations are the x and y momentum, the hydrostatic approximation, the continuity equation
(vertical incompressibility condition), one state equation for sea water and salt and temperature
conservation equations. The equations are translated to the sigma coordinate system and splitted in
barotropic and baroclinics modes.
Some tests are applied and discussed in order to evaluate the effects generated by Orlanski
type radiational condition, hydrostatic consistency and of the horizontal pressure in sigma
coordinate system.
Two upwelling simulations are developed, in the first one constant northeast winds are
applied tho the model grid with South Atlantic Central Water (SACW) available to the Ekman
vii
pumping effect, in the second one the forcings are maintained and the depth of the SACW is
modified, this change disable the upwelling process the deep water. A downwelling case is
simulated too with southwest winds applied in the model grid.
The simulation results, in general manner, are able to reproduce qualititative aspects and in
some cases in a quantitative one the Cabo Frio coastal upwelling process.
viii
CONTEÚDO AGRADECIMENTOS iii
RESUMO iv
ABSTRACT vi
LISTA DE FIGURAS x
LISTA DE TABELAS xv
LISTA DE SÍMBOLOS xvi
I INTRODUÇÃO.................................................................................................... I-1
II A RESSURGÊNCIA DE CABO FRIO................................................................... II-1
III ÁREA MODELADA E GRADE............................................................................ III-1
IV VENTOS E ESTRATIFICAÇÃO........................................................................... IV-1
V EQUAÇÕES DO MODELO.................................................................................. V-1
V.1 EQUAÇÕES BÁSICAS................................................................................. V-2
V.2 INCLUSÃO DE RIOS E CANAIS................................................................ V-3
V.3 EQUAÇÕES EM COORDENADAS SIGMA................................................ V-5
V.4 EQUAÇÕES NO MODO EXTERNO OU BAROTRÓPICO......................... V-8
V.5 EQUAÇÕES NO MODO INTERNO OU BAROCLÍNICO........................... V-9
V.6 PARAMETRIZAÇÕES, CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAIS......... V-11
V.7 TRATAMENTO DOS CONTORNOS ABERTOS........................................ V-14
VI TESTES COM O MODELO.................................................................................. VI-1
VI.1 TESTES DE CONFIABILIDADE DO CÓDIGO COMPUTACIONAL....... VI-1
ix
VI.2 TESTES DA CONDIÇÃO RADIACIONAL............................................... VI-2
VI.3 TESTE DE FORÇAMENTO NULO.......................................................... VI-9
VII SIMULAÇÕES...................................................................................................... VI-1
VII.1 ENSAIO PARA VENTOS NE (RESSURGÊNCIA).................................. VI-3
VII.2 ENSAIO PARA VENTOS NE COM ACAS PROFUNDAS (NEAP)......... VI-5
VII.3 ENSAIO PARA CASO DE VENTOS SW (SUBSIDÊNCIA).................... VI-8
VIII DISCUSSÕES E CONCLUSÕES VIII-1
IX REFERÊNCIAS IX-1
A APÊNDICE - SOLUÇÃO NUMÉRICA................................................................. A-1
A.1 LOCALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS CÉLULAS DE GRADE............. A-3
A.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES NO MODO EXTERNO....... A-4
A.2.1 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO X............................. A-7
A.2.2 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO Y............................. A-10
A.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES NO MODO INTERNO........ A-14
A.3.1 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NO DIREÇÃO X............................. A-15
A.3.2 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NAS DIREÇÕES Y E Q.................. A-21
A.4 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES DE CONSTITUINTES........ A-25
x
LISTA DE FIGURAS
II-1 Imagens NOAA na banda do infravermelho termal. Os tons mais claros são proporcionais a temperaturas mais baixas. O processo de ressurgência é visível ocorrendo a partir de Cabo Frio e derivando para SW (Gama de Almeida et Al, 1981)...................................................................................................................
I-10
III-1 Imagem INPE/LANDASAT para o dia 22 de janeiro de 1977. Nota-se a SE a ilha de Cabo Frio, mais a N o Cabo de Buzios e mais a W a Baia de Guanabara. A região modelada estende-se um pouco mais a N, até o Cabo de São Tomé........
III-1
III-2 Região costeira desde Baía de Guanabara ao Cabo de São Tomé, litoral do estado do Rio de Janeiro......................................................................................
III-2
III-3 Isobatimétricas do campo de profundidades suavizadas........................................
III-3
III-4 Representação da superfície batimétrica suavizada utilizada na modelação............
III-3
IV-1 Distribuição de freqüência de direções de vento para a região de Cabo Frio..........
IV-1
IV-2 Energia cinética em( )Kg m s* 2 2 por dia, para densidade do ar de 1
Kg m3 relativa à temperatura de 200 C e à pressão de 1000 mb............................
IV-2
IV-3 Distribuição de freqüência de ocorrência de ACAS em relação a profundidade para o verão e inverno (freqüência relativa e profundidade em metros), obtido de Candella (comunicação pessoal)...........................................................................
IV-3
IV-4 Distribuição de freqüência de águas com limite superior de temperaturas até 180 C (barras pretas) e até 200 C (barras hachuradas) em relação a temperatura para o verão e inverno (freqüência relativa e temperatura em 0C), obtido de Candella (comunicação pessoal).........................................................................................
IV-4
VI-1 Maré simulada (H) e maré calculada pela solução analítica(h)..............................
VI-1
VI-2 UEkman x U modelado...........................................................................................
VI-2
VI-3 Vekman x V modelado............................................................................................
VI-2
VI-4 Campo de nível do mar simulado em 24 horas (caso total)....................................
VI-3
xi
VI-5 Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo).................
VI-4
VI-6 Componentes da corrente à superfície (metros por segundo)................................
VI-4
VI-7 Componentes da corrente junto ao fundo (metros por segundo)...........................
VI-4
VI-8 Campo de nível do mar simulado em 24 horas (modo barotrópico).......................
VI-5
VI-9 Nível do mar (metros) caso barotrópico até o quinto dia de integração.................
VI-5
VI-10 Componentes da corrente à superfície (metros por segundo)................................
VI-6
VI-11 Componentes da corrente junto ao fundo (metros por segundo)...........................
VI-6
VI-12 Espectrum estimado de energia calculado para o nível do mar, no caso barotrópico..........................................................................................................
VI-7
VI-13 Nível do mar (metros) do caso barotrópico até o vigésimo dia de integração........
VI-7
VI-14 Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície no caso barotrópico até o vigésimo dia de integração...........................................................................
VI-7
VI-15 Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo no caso barotrópico até o vigésimo dia de integração...........................................................................
VI-8
VI-16 Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície no caso baroclínico até o vigésimo dia de integração...........................................................................
VI-8
VI-17 Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo no caso baroclínico até o vigésimo dia de integração................................................................................
VI-9
VI-18 Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo) para o caso de forçantes nulas.........................................................................................
VI-10
VI-19 Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície para o caso de forçantes nulas.....................................................................................................
VI-10
VI-20 Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo para o caso de forçantes nulas.....................................................................................................
VI-10
VI-21 Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo) para o
caso de forçantes nulas com fundo plano..............................................................
VI-11
xii
VI-22 Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície para o caso de forçantes nulas com fundo plano...........................................................................
VI-11
VI-23 Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo para o caso de
forçantes nulas com fundo plano...........................................................................
VI-12
VI-24 Velocidade vertical (centímetros por segundo) para um caso hipotético de ventos NE com passagem de frente fria após 50 dias de integração..................................
VI-13
VII-1 “Bombeamento” de Ekman abaixo e acima da termoclina.....................................
VII-7
VII-2 Nível do mar (metros), velocidade vertical (WI em centímetros por segundo) e componentes da corrente (metros por segundo) à superfície e ao fundo em 6 dias de integração do modelo......................................................................................
VII-10
VII-3 Perfís verticais de temperatura (C), Caso NE, na direção N-S a partir do ponto de monitoramento das séries temporais. Nota-se ao segundo dia a subida de águas frias junto à costa, situação que se mantém até o quinto dia de simulação...
VII-11
VII-4 nível do mar (milímetros) para o primeiro e quinto dias de integração..................
VII-12
VII-5 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 1 dia de simulação. A intensidade máxima do campo é de cerca de 33,5 cm/s...........................................................
VII-13
VII-6 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 5 dias de simulação. A intensidade máxima do campo é de cerca de 40,8 cm/s...........................................................
VII-13
VII-7 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 1 dia de simulação. A intensidade máxima do campo é de cerca de 5 cm/s................................................................
VII-14
VII-8 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 5 dias de simulação. A intensidade máxima do campo é de cerca de 4 cm/s................................................................
VII-14
VII-9 Campo de temperatura (Celsius) à superfície para os dias 1 e 5 de simulação........
VII-15
VII-10 Nível do mar (metros), velocidade vertical (Wi em centímetros por segundo) e componentes da corrente (metros por segundo) à superfície e ao fundo em 6 dias de integração do modelo para o caso de ACAS profunda.....................................
VII-16
VII-12 Nível do mar (milímetros) para o primeiro e quinto dias de integração com ACAS profunda...................................................................................................
VII-18
xiii
VII-13 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 1 dia de simulação do caso NE
com ACAS profunda. Intensidade máxima do campo é de cerca de 33,3 cm/s.......
VII-19
VII-14 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 5 dias de simulação do caso NE com ACAS profunda. Intensidade máxima do campo é de cerca de 46,2 cm/s.......
VII-19
VII-15 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 1 dia de simulação do caso NE com ACAS profunda. Intensidade máxima do campo é de cerca de 5,7 cm/s................
VII-20
VII-16 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 5 dias de simulação do caso NE com ACAS profunda. Intensidade máxima do campo é de cerca de 7,2 cm/s................
VII-20
VII-17 Campo de temperatura (Celsius) à superfície para os dias 1 e 5 de simulação........
VII-21
VII-18 Nível do mar (metros), velocidade vertical (Wi em centímetros por segundo) e componentes da corrente (metros por segundo) à superfície e ao fundo em 6 dias de integração do modelo para o caso de SW.........................................................
VII-22
VII-19 Perfís verticais de temperatura (C), Caso SW, na direção N-S a partir do ponto de monitoramento das séries temporais. Nota-se em 3,5 dias a subsidência das águas frias com águas mais quentes invadindo a região.........................................
VII-23
VII-20 Campo de nível do mar (milímetros) para o 2,25 e 3,75 dias de integração para o caso SW (subsidência)..........................................................................................
VII-24
VII-21 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 2,25 dias de simulação do caso SW (subsidência). A intensidade máxima do campo é de cerca de 7,9 cm/s..................
VII-25
VII-22 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 5 dias de simulação do caso SW (subsidência). A intensidade máxima do campo é de cerca de 19,8 cm/s................
VII-25
VII-23 Campo de velocidade (cm/s) ao fundo para 2,25 dias de simulação do caso SW (subsidência). A intensidade máxima do campo é de cerca de 7,9 cm/s..................
VII-26
VII-24 Campo de velocidade (cm/s) à superfície para 5 dias de simulação do caso SW (subsidência). A intensidade máxima do campo é de cerca de 19,8
VII-26
xiv
cm/s................
VII-25 Campo de temperatura (Celsius) à superfície para os dias 2,25 e 3,75 de integração para o caso SW (subsidência)..............................................................
VII-27
xv
LISTA DE TABELAS
VI-1 Máximos aproximados obtidos das simulações dos testes de relaxação barotrópica...........................................................................................................
VI-9
VI-2 Máximos aproximados obtidos das simulações dos testes de forçamento
nulo.......
VI-12
xvi
LISTA DE SÍMBOLOS
Ah, Av são as difusividades horizontal e vertical, respectivamente
Av0 e Dv0 são viscosidade e difusividade verticais de referência
Bx e By são as larguras do fluxo nas direções x e y, respectivamente e, quando não houver
“canais”, assumem o valor 1;
Cws é o coeficiente de arrasto entre o canal e suas fronteiras laterais
d é a profundidade local em relação ao nível médio do mar
Dh e Dv são as difusividades horizontal e vertical respectivamente
f é o parâmetro de Coriolis
g é a aceleração da gravidade
Gx e Gy gradiente horizontal de pressão nas direções x e y respectivamente
G*x e G*
y gradiente horizontal de pressão, integrado verticalmente, nas direções x e y
respectivamente
h é a elevação da superfície livre em relação ao nível médio do mar
H é a profundidade local total
m,n,l são índices temporais nas direções x,y e z respectivamente
xvii
P é a pressão
q representa a nova coordenada sigma (q é utilizada para manter o padrão de
representação de Hess em 1985, 1986 e 1989)
R é um termo de aquecimento interno (termo fonte)
Ri é o número de Richardson
S é a salinidade (em ppt)
S* e T* são salinidade e temperatura no “reservatório” exterior às fronteiras abertas
t é o tempo
T é a temperatura (em Celsius)
Ta é a temperatura do ar na camada limite planetária
Tbed é a temperatura do fundo
u, v e w são as componentes da velocidade do fluido na direção x, y e z, respectivamente
U e V são os transportes nas direções x e y respectivamente
u e v são as velocidades no modo barotrópico
u’ e v’ são as velocidades no modo baroclínico
xviii
x,y,z são coordenadas cartesianas
wx e wy são as componentes do vento em x e y respectivamente
w10 é a velocidade do vento a 10 metros do nível médio do mar
αο é o volume específico de referência
βa é uma “chave” para “desligar” os termos advectivos
βc é um fator que assume o valor nulo quando não há efeitos de “canais” presentes e
valor 1(um) quando houver
βh é uma chave utilizada para para linearizar a profundidade local total
β p é uma “chave” que permite “desligar” o termo de gradiente de pressão
∆L é a largura de um elemento de célula da grade
∆q é a espessura de um elemento de célula da grade
∆ ∆t e T são o passo de tempo no modo interno e externo respectivamente
η simboliza a direção normal à fronteira
η é a direção normal ao contorno aberto
κ é a constante de Von Kármán
xix
ρ é a densidade da água
ρo é uma densidade de referência
τ τsx e sy são arrastos do vento (wind stress) na interface água-ar (superfície livre) nas direções
x e y respectivamente
τ τbx e by são arrastos do escoamento com o fundo nas direções x e y respectivamente
xx
I. INTRODUÇÃO
O uso e o gerenciamento do ambiente marinho costeiro estão fortemente ligados ao
conhecimento dos padrões de circulação. Operações que envolvam navegação, salvatagem,
prospecção e manobras militares dependem do conhecimento do meio marinho.
A região costeira apresenta características e processos bastante distintos do meio oceânico
profundo que lhe conferem uma complexidade significativa na resolução de modelos analíticos ou
numéricos para explicar seu comportamento. A proximidade com o fundo, onde há influência das
variações batimétricas e do arrasto, e a proximidade de fronteiras fechadas, na maioria das vezes
com geometria complexa (costa) capaz de limitar e condicionar o escoamento próximo, são
exemplos claros disto.
Um dos processos mais espetaculares e importantes associado à circulação marinha é a
ressurgência. Sua dinâmica é capaz de gerar mudanças drásticas nas regiões onde ocorre, alterando
a biota marinha e o clima local. O termo “Ressurgência” é utilizado pelos oceanógrafos para
designar o movimento ascendente de águas das camadas inferiores, capaz de carrear nutrientes para
a zona eufótica e assim propiciar o início da cadeia trófica marinha.
Na região de Arraial do Cabo, a ressurgência apresenta características interessantes e que
facilitam a investigação do comportamento deste processo: é costeira, estende-se sobre a
plataforma continental desde a Ilha de Cabo Frio até a Baía de Guanabara e tem freqüência
episódica. Estas características formam um padrão que facilita a aplicação de técnicas
observacionais e de modelação à região.
xxi
Estudar os processos costeiros de forma mais completa incluiria um levantamento de dados
de campo de boa qualidade e representatividade e de modelos analíticos capazes de descrever a
dinâmica envolvida nos processos. A obtenção de dados envolve custos elevados e as soluções
analíticas, na maioria dos casos, não é possível quando se inclui a batimetria e a costa de maneira
mais realista. A alternativa é a modelagem numérica, onde pode-se incluir aproximações razoáveis
para a costa, o fundo e os termos não lineares das equações de Navier-Stokes.
Os mecanismos forçantes e condicionantes da ressurgência costeira de Arraial do Cabo vêm
sendo discutidos desde o trabalho pioneiro de Allard (1955). Muitas hipóteses foram desde então
levantadas (no capítulo II é feita uma revisão dos estudos realizados na região), para que se
compreendam os processos envolvidos é necessário partir inicialmente de hipóteses simplificadas
dos mecanismos forçantes, porém incluindo condições mais realistas.
Seguindo então esta abordagem, o propósito deste trabalho é avaliar a contribuição das
forçantes locais, basicamente ventos de NE e SW, ao processo de ressurgência costeira de Arraial
do Cabo através do uso de um modelo numérico de equações primitivas capaz de resolver os
processos puramente locais e seus efeitos na circulação da região. Este modelo inclui a modelação
dos campos de temperatura e salinidade (equivale a dizer que é termodinamicamente ativo), sem
levar em consideração os efeitos de marés, ondas costeiras confinadas e os vórtices da corrente do
Brasil, ou seja, os processos advectados pelo contorno aberto.
No capítulo II é apresentada uma revisão bibliográfica das características oceanográficas da
região de estudo e da ressurgência costeira de Cabo Frio, incluindo hipóteses que tentam explicar
seu comportamento. No capítulo III está a descrição da grade utilizada na resolução numérica em
diferenças finitas das equações governantes para a área geográfica modelada. O capítulo IV contém
xxii
uma climatologia dos ventos e do padrão de estratificação da região. No capítulo V estão
comentadas as equações governantes e sua solução numérica está descrita no apêndice A. O
capítulo VI contém os resultados de testes realizados com o modelo no intuito de verificar seu
código computacional, sua eficiência em resolver problemas que tenham solução analítica e os
efeitos da consistência hidrostática e do termo de gradiente horizontal de pressão em coordenadas
sigma. O capítulo VII descreve três simulações, utilizando padrões de circulação atmosférica
típicos de Cabo Frio, para reproduzir o comportamento da ressurgência e da subsidência locais.
Finalmente as conclusões e recomendações encontram-se no capítulo VIII.
xxiii
II. A RESSURGÊNCIA DE CABO FRIO
O litoral Sul da região do Cabo Frio, atualmente município de Arraial do Cabo, apresenta
uma característica oceanográfica notável: o acontecimento de ressurgências costeiras em pequena
escala. Este fenômeno, tão marcante para a região, está registrado no nome “Cabo Frio”, que
consta de cartas náuticas portuguesas desde o século XVI (1506), resultado da expedição do
navegador florentino Américo Vespúcio ao litoral do Rio de Janeiro. O explorador aportou em
Arraial do Cabo em 1503 para abastecer-se de Pau Brasil, região possuidora uma das maiores
reservas desta árvore. Nesta ocasião, Américo Vespúcio fundou uma feitoria, que foi a primeira
tentativa de colonização em terras americanas. Até hoje encontra-se de pé em Arraial do Cabo a
“Casa de Piedra”, uma bela obra arquitetônica, testemunho da passagem do navegador pela região,
da qual partiu em 1511, a bordo da nau portuguesa “Bretoa” (Mano, 1992).
Outra característica da região é a inflexão da orientação geográfica da linha de costa, com a
Ilha de Cabo Frio como ponto crítico. O alinhamento geral da costa brasileira do Rio Grande do Sul
até Pernambuco é Nordeste-Sudoeste, enquanto o litoral entre a cidade do Rio de Janeiro e Arraial
do Cabo tem alinhamento Leste-Oeste (Muehe, 1979). É também, o único trecho de costa com
escala de comprimento da ordem de dezenas de quilômetros, voltada para Sul.
A primeira evidência do fenômeno da ressurgência costeira de Cabo Frio foi obtida por
Allard (1955), anotando relatos dos observadores da Companhia Nacional de Álcalis, empresa de
produção de barrilha localizada em Arraial do Cabo, que os mantinha com a finalidade de
monitorar dados ambientais para analisar o rendimento térmico de seus trocadores de calor. Nestes
relatos, já se notava a forte correlação entre o vento e a temperatura superficial da água do mar na
região: quando a temperatura da água diminui, o vento é de Nordeste, e quando a temperatura da
água começa a subir o vento já passou para Sudoeste, diziam os observadores. Allard, após análise
dos dados de temperatura e vento obtidos da Companhia Nacional de Álcalis, do período
xxiv
Agosto/Setembro de 1949, observou esta correlação entre a direção do vento e a temperatura, ou
seja, baixas temperaturas com vento de Nordeste, e uma elevação da temperatura com vento de
Sudoeste.
Desde então, vários outros autores vêm relatando ocorrências e propondo modelos para
explicar eventos de ressurgência costeira ocorridos em águas próximas ao litoral da região de
Arraial do Cabo, bem como, sua associação com processos de meso e larga escala, tanto no tempo
quanto no espaço. Estes trabalhos servem para configurar, de alguma forma, o comportamento
oceanográfico das águas desta região, tão bela e peculiar, da costa brasileira.
Emilsson (1961), a partir da análise de dados coletados em três cruzeiros oceanográficos
realizados pela Marinha do Brasil, durante os períodos de fevereiro-março, junho e novembro de
1956, obteve evidências da ressurgência costeira de Cabo Frio. Observou Emilsson, baseado nos
campos de ventos apresentados na “Pilot Charts of US Hydrographic Office”, que ventos de
Nordeste poderiam ser os responsáveis pelo forçamento do movimento das águas de superfície em
direção ao largo, iniciando o clássico mecanismo de Ekman associado então à ressurgência.
Moreira & Rodrigues (1966), durante um fundeio do NOc. Alm. Saldanha, realizado em
junho de 1966, na cota batimétrica de 119 metros, a leste de Cabo Frio, observaram o mecanismo
clássico de Ekman, com transporte afastando-se da costa das águas superficiais sob forçamento de
ventos de Nordeste, e, com a chegada à região de duas frentes frias durante o período do fundeio, a
inversão do processo e aporte de águas da corrente do Brasil para a costa.
Miranda et al (1970 apud Ikeda (1977)), analisando a variação espaço-temporal de
temperatura entre o Cabo de São Tomé e a Ilha de São Sebastião para o verão e outono de 1970,
detectaram baixas temperaturas à superfície na região de Cabo Frio, indicando a existência de
ressurgência na região.
Mascarenhas et al (1971), descreveram a ocorrência de ressurgência de águas frias e de
baixa salinidade na região costeira de Cabo Frio, a uma distância da costa inferior a 18 km. Os
xxv
autores detectaram durante um evento de ressurgência uma contra-corrente costeira escoando para
leste junto à costa, a qual consideraram ser de caráter semi-permanente. A base de dados utilizada
foi coletada em cinco cruzeiros oceanográficos realizados pelo NOc. Prof. W. Besnard, em janeiro
e julho de 1968 e em janeiro, maio e julho de 1969.
Mascarenhas et al (1971 apud Ikeda (1977)), evidenciaram a ressurgência entre a Ilha dos
Franceses e a Ilha de Cabo Frio, utilizando sensor termal a bordo de aeronave da NASA, e também
a ocorrência de uma contra-corrente à direção do vento, fato extremamente interessante e não
explicado à época.
Moreira (1973), analisou quatorze meses de observações (temperatura, salinidade, oxigênio,
fosfato, nitrato e silicato) obtidas regularmente, a cada dois dias, em sete estações oceanográficas
localizadas em torno da Ilha de Cabo Frio, coletadas de junho de 1972 a junho de 1973 inclusive, e
evidenciou dois tipos de ressurgência: uma climatológica (baixa freqüência) associada aos
movimentos sazonais da corrente do Brasil, que neste caso, manteve junto ao fundo, quase que
permanentemente, uma camada da Água Central do Atlântico Sul (segundo definição de Sverdrup
et al em 1942); outro processo foi identificado em uma banda de freqüência mais alta, associada
aos efeitos do vento local.
Ikeda et al (1974), analisando dados continuamente amostrados durante cruzeiro
oceanográfico realizado em agosto de 1971, em águas ao largo do litoral Sul do Estado do Rio de
Janeiro até a cota de 200 m, observaram uma rápida mudança na distribuição da faixa de
temperatura de 21,5o C a 21,9o C para a faixa de 15,0o C a 21,0o C, e na salinidade da faixa de
34,0 a 35,0 para a de 35,3 a 36,0, num intervalo de sete dias. As mudanças seriam devidas à
ressurgência costeira sob ação dos ventos de Leste e Leste-Nordeste com velocidades maiores que 5
m/s. Foi observada também uma contra-corrente costeira de superfície movendo-se em sentido
oposto ao vento, fenômeno já detectado anteriormente Mascarenhas et al em 1971, explicada
então “qualitativamente” pelos autores como resultante da divergência horizontal da tensão de
xxvi
cisalhamento do vento. Outro resultado importante é o ângulo de cerca de 50 graus entre a costa e o
sentido de deslocamento tanto do fluxo afastando-se da costa quanto da contra-corrente observada.
Como o vento era de Nordeste, havia um ângulo de cerca de 5 graus entre a corrente de deriva e o
vento forçante. Ikeda observa também que a Água Central do Atlântico Sul (ACAS) aparece cerca
de 24 horas após o estabelecimento do vento Nordeste (intensidades maiores que 5 m/s), embora o
período inercial local seja de cerca de 30 horas. Esta rapidez é atribuída à presença
(disponibilidade) da ACAS sobre a plataforma próxima à costa. Os autores propõem que se a
ressurgência for explicada de forma clássica (teoria de Ekman), como resultado de divergência das
águas superficiais da costa, a corrente costeira fluindo contra o vento será uma anomalia. O evento
observado produziu em seu estágio final uma situação quase estacionária, com o núcleo se
posicionando próximo a Saquarema e com a pluma de águas ressurgidas fluindo para Sudoeste,
atingindo cerca de 55 km da costa.
Ikeda (1976), analisando dados oceanográficos coletados em águas litorâneas ao Sul do
Estado do Rio de Janeiro e a Oeste de Cabo Frio, durante um período de dez dias (agosto de
1971), observou o aparecimento da ressurgência cerca de 48 horas após a mudança da direção do
vento para Nordeste e Norte-Nordeste, com uma velocidade média horária de 8 m/s. A frente
térmica tomou a orientação Sudoeste após cerca de 72 horas. Depois de 148 horas a configuração
das isotermas a 25 m de profundidade tomou também o orientação Sudoeste. Foi estimada para o
evento uma velocidade vertical média, em ponto próximo à costa, de cerca de 6,94 x 10-5 ms-1
(calculada a partir da análise do deslocamento vertical das isopícnais). O autor obteve, utilizando
uma imagem do satélite ERTS de 27/07/73, o posicionamento da frente oceanográfica, gerada em
função da presença de contraste térmico no campo de temperatura superficial do mar, entre águas
litorais (mais aquecidas) e águas ressurgidas (mais frias). Nesta imagem, aparece um banco de
nuvens cumuliformes de pequena escala (convecção penetrativa) na região marítima costeira
adjacente a Oeste de Cabo Frio, e como este tipo de nuvem é gerado por aquecimento abaixo do
xxvii
seu nível de formação, deduziu o autor, que as águas na região do banco, deveriam estar mais
aquecidas. Na região onde ocorre a ressurgência, costa Leste-Oeste, não há formação de nuvens,
posto que as águas devem ser frias (ressurgidas).
Moreira (agosto 1977), observou que a ressurgência de Cabo Frio apresenta um tempo de
resposta da ordem de grandeza dos eventos meteorológicos de escala sinótica, caracterizando uma
alta correlação com as passagens de frentes frias na região de Arraial do Cabo. Demonstra o
controle que exerce o Anticiclone Subtropical Marítimo do Atlântico Sul (ASMAS) sobre a
circulação atmosférica em Cabo Frio, gerando ventos de setor Nordeste, e mostra que este controle
é dividido com os sistemas anticiclônicos polares, que dão origem às frentes frias que atingem o
litoral do Rio de Janeiro, invertendo o vento para Sudoeste, Sul e Sudeste. Este ciclo se repete com
o domínio do ASMAS e novas passagens de frentes frias. O ciclo é mais freqüente na segunda
metade do ano, cerca de 4 dias, e menos freqüente na primeira metade do ano. O resultado é uma
predominância da circulação atmosférica de Leste-Nordeste durante o verão e o outono e de
Sudoeste-Oeste durante o inverno e a primavera.
Moreira et Mendonça (outubro de 1977), analisaram um ano de dados amostrados a cada
dois dias em estações oceanográficas realizadas na cota de 60 m ao sul do farol da Ilha de Cabo
Frio. Seus resultados demonstram que a origem das águas que ressurgem em Cabo Frio é a ACAS
(Água Central do Atlântico Sul segundo classificação de massas d'agua de Sverdrup et al (1942)),
e que no período analisado (julho de 1972 a julho de 1973) ocorreram subsidências completas
(água quente em toda a coluna d'água) com mais freqüência nos meses de julho, agosto e setembro,
porém, já em setembro ocorreram as primeiras ressurgências completas (água fria em toda a
coluna). Os autores utilizando o simples critério do diagrama T-S, concluem que a água que
ressurge em Cabo Frio é indiscutivelmente a ACAS.
Rodrigues (dezembro de 1977), acompanhando a evolução das águas ressurgidas em Arraial
do Cabo através do rastreamento de um derivador, em operação oceanográfica realizada no verão
xxviii
de 1975, relatou uma correlação positiva observada entre o nível do mar em Arraial do Cabo e na
Ilha Fiscal (Baía de Guanabara - RJ), filtrados os efeitos astronômicos. Observa também, que o
nível do mar apresenta uma resposta ao vento de quadrante Leste após 14 horas. Em fundeio
realizado no mesmo período, o autor observou o comportamento da ressurgência segundo a teoria
de Ekman, com as correntes de fundo escoando para a costa enquanto a deriva de superfície fluía
para longe da costa. Detectou também a presença de um vórtice a barlavento da ilha de Cabo Frio,
durante o rastreio do derivador, que retinha em seu interior águas de temperaturas mais baixas que
em torno, ou seja, um vórtice frio. O autor relatou que durante o seguimento do derivador, o vento
gerador de ressurgência era de Leste-Nordeste, situação na qual ocorreram os valores mais intensos,
ou seja, respostas mais fortemente correlacionadas com os ventos forçantes.
Tanaka (1977), aplicando para a região um modelo de correntes litorais (corrente de Ekman
com efeitos de declive) e associando seus resultados com imagens a partir de sensores remotos em
plataformas orbitais, obteve como resultado a deriva para Sudoeste da água ressurgida, além de
uma ordem de grandeza para a velocidade vertical de 10-4 ms-1, o que foi observado (deriva para
Sudoeste) nas imagens de satélite para a simulação com o modelo com ventos de quadrante Leste-
Nordeste. Esta autora também descreveu o comportamento dos sistemas meteorológicos que
geraram os padrões de circulação atmosférica na região de simulação (Arraial do Cabo),
caracterizando o domínio do Anticiclone Subtropical Marítimo do Atlântico Sul.
Signorini (1978), trabalhando com dados de um cruzeiro oceanográfico, realizado em julho
de 1973, ao largo da costa Sudeste do Brasil, do Espírito Santo ao litoral Sul de São Paulo, com
objetivo de investigar as características da corrente do Brasil próximo a Cabo Frio, descreveu a
hidrografia da região. As massas d'agua foram analisadas até 1800 m, onde foi detectada a presença
da Água Profunda do Atlântico Norte (APAN) . Logo acima da APAN, a Água Antártica
Intermediária (AIA), entre 700 e 1100 m e, imediatamente acima da AIA, foi encontrada uma
grande região preenchida com Água Central do Atlântico Sul (ACAS). Na camada superior (200 m
xxix
até a superfície) foi encontrada uma mistura de três tipos de água: Água Tropical (AT), Água
Litoral (AL) e uma extensão do limite da ACAS (18o C e salinidade 36). A AT é a água superficial
carreada para o Sul pela corrente do Brasil, juntamente com alguma ACAS da região abaixo da
superfície. A AL é a água encontrada na região costeira e é altamente influenciada por efeitos
terrígenos.
Rossby (1936) apud Signorini (1978), aplicou sua teoria da corrente de esteira (wake
stream) para um oceano com duas camadas à corrente do Golfo, onde obteve resultados
destacáveis. Relata que a Corrente do Golfo não se comporta como um “rio” no oceano, e que em
vez disso há uma grande troca de momentum com o meio onde se desloca, criando assim contra-
correntes com forte vorticidade anticiclônica ao longo da região entre a corrente e a costa. Rossby,
neste mesmo trabalho, mostrou que neste modelo de duas camadas, a fronteira interna (picnoclina)
tende a formar um domo separando a corrente de esteira de sua contra-corrente. É razoável admitir
que tensões laterais e normais se desenvolvam ao longo da fronteira interna e que águas da camada
inferior deverão ser atraídas para a corrente de esteira e para a contra-corrente, ao longo das
regiões inclinadas do domo (formado por isopícnicas), como resultado da sucção criada por estas
duas correntes. Conseqüentemente, uma certa quantidade de ressurgência ao longo do bordo
costeiro da corrente principal deverá acontecer, como resultado do mecanismo da corrente de
esteira.
Signorini sugere que este mecanismo pode ser aplicado à corrente do Brasil, e explicar a
presença de ACAS em camadas subsuperficiais sobre a plataforma continental, o que estaria de
acordo com os relatos sobre distribuição de massas d'agua existentes para a região.
Yentsch (1974) apud Signorini (1978), refere-se a este processo como ressurgência
geostrófica e sugere que a mais efetiva ressurgência é aquela que combina a influência geostrófica
com a tensão do vento, e estes dois mecanismos podem ocorrer simultaneamente na plataforma
continental próxima a Cabo Frio.
xxx
Jeng (1979), utilizando o modelo analítico de Yoshida (1955) apud Jeng(1979), o diagrama
T-S estatístico volumétrico, e observações oceanográficas de agosto de 1971 e novembro de 1971,
estimou a ordem de grandeza da velocidade vertical das águas de ressurgência na região de Cabo
Frio em 10-4 ms-1.
Maglioca et al (1979), analisando dados de um cruzeiro oceanográfico do “Prof. W.
Besnard”, que teve como objetivo detectar características da ressurgência na região de Cabo Frio,
do período de 4 a 6 e de 6 a 10 fevereiro de 1971, na região entre Cabo Frio e Saquarema,
detectaram, após um evento de ressurgência, uma corrente no rumo Leste (contra o vento) com
uma velocidade estimada de cerca de 1,1 x 10-1 ms-1.
Mesquita et al (1979) sugerem, analisando dados obtidos em cruzeiro oceanográfico
realizado pelo N.Oc. Prof. W. Besnard, coletados entre julho e agosto de 1978, na plataforma
continental entre Cananéia e Cabo Frio, que a corrente do Brasil gera um efeito de “entancamento”
das águas costeiras próximas a Cabo Frio, promovendo o seu conseqüente “arrasto” através de
vórtices de circulação horária (ciclônica). Este efeito de sucção, que teria seu máximo em Cabo
Frio, poderia ser responsável pela existência de correntes costeiras, durante os meses de inverno, no
limite de até 55 km ao largo, escoando de Santos para Cabo Frio.
Segundo os autores, a existência de águas subtropicais fluindo para Nordeste, ao Sul de
Cabo Frio na cota de 70-90 m, sugerem que efeitos inercias e/ou geostróficos provocados pelas
características topográficas a Leste de Cabo Frio, ou seja, a brusca mudança de direção do talude
continental, ao longo do qual escoa a corrente do Brasil, sejam mecanismos que mantêm a Água
Central do Atlântico Sul próxima à superfície todo o ano.
Fahrbach e Meincke (1979), por ocasião de um curso, ministrado a bordo do NOc. Alm
Saldanha, no período de 6 a 9 de novembro de 1978, analisando dados de um fundeio de
correntógrafos realizado a 5,5 km da costa e de um perfil ao longo do meridiano de longitude 42o
13' W, detectaram um caso de ressurgência clássica (tipo Ekman), com correntes de superfície
xxxi
fluindo para Sudoeste e aporte de ACAS junto ao fundo. Os autores detectaram presença de ACAS
a 150 m de profundidade numa estação oceanográfica a 111,1 km ao sul da Ilha de Cabo Frio e a 50
m de profundidade em uma estação localizada a 18,5 km ao sul da Ilha de Cabo Frio, e também a
advecção de águas litorais chegando à região, provenientes de Nordeste.
Gamma de Almeida e Tanaka (1981), apresentam uma seqüência extremamente interessante
de imagens obtidas do radiometro de alta resolução (very high resolution radiometer) do satélite da
série NOAA (5) para os dias 1, 3, 4, 12 e 25 de outubro de 1978. Nesta seqüência (figura II.1),
observa-se a pluma fria que deriva para Oeste-Sudoeste a partir da Ilha de Cabo Frio (ponto
extremo Sudeste de Arraial do Cabo). As imagens dos dias 12 e 25 apresentam plumas com
meandros que parecem indicar a intrusão de águas mais quentes fato relacionado com eventos
ocorridos nos dias 11 e 26, quando Arraial do Cabo foi atingido por frentes frias e ventos de
quadrante Sul. Os autores postulam, baseados em resultados de modelação numérica (deriva de
Ekman), imagens de satélite e dados medidos in situ (verdade terrestre), que ventos de Nordeste
provocam ressurgências na região da plataforma entre Cabo Frio e Cabo de São Tomé, enquanto
que ventos de Leste-Nordeste são mais eficientes em alimentar a ressurgência ao longo do litoral
sul do Rio de Janeiro (alinhamento Leste-Oeste).
Ferreira da Silva et al (1984), utilizando dados de três cruzeiros oceanográficos do NOc.
Alm. Saldanha, realizados em agosto de 1982, maio/junho de 1983 e fevereiro de 1984,
caracterizam a distribuição de massas de água na região sudeste da costa do Brasil, detectando a
presença da ACAS ( Água Central do Atlântico Sul) em profundidades mais rasas no verão e
aflorando junto a costa (ressurgência). Os autores mostram a presença de ACAS em profundidades
xxxii
em torno de 300 m ao largo e ficando mais rasas ao se aproximar
xxxiii
Figura II-1 : Imagens NOAA na banda do infravermelho termal. Os tons mais claros são
proporcionais a temperaturas mais baixas. A ressurgência é visível ocorrendo a partir de Cabo
Frio e derivando para SW (Gamma de Almeida e Tanaka, 1981).
da costa, sendo esta característica mais fraca no inverno, crescendo no outono e se tornando mais
intensa no verão.
Tanaka (1985), analisando dados da Comissão Oceanográfica Rio de Janeiro II, realizada
pelo NOc. Alm. Saldanha no período de maio/junho de 1980 na região da costa dos estados do Rio
de Janeiro e São Paulo, mostra a distribuição tridimensional dos campos de temperatura do oceano,
onde águas de baixa temperatura (ACAS) estão mais próximas a costa do Rio de Janeiro,
principalmente na região de Cabo Frio e distribuídas em todo o campo analisado na cota de 200 m.
Paviglione e Miranda (1985), caracterizaram o comportamento sazonal da corrente do Brasil
na região entre o Cabo de São Tomé e a Baía de Guanabara, analisando dados de estações
oceanográficas clássicas realizadas em cinco períodos entre janeiro de 1970 e fevereiro de 1971,
calculando os campos de velocidade através da hipótese geostrófica. Ficaram definidos dois
períodos típicos: no verão, quando a corrente do Brasil se aproxima da costa e se intensifica, e no
inverno, quando se afasta da costa e enfraquece.
Valentin et al (1987), analisaram dados de um perfil de 20,4 km, realizado 13 vezes, a
partir da Ilha de Cabo Frio no rumo Sudeste, durante um ciclo de ventos entre 18 de abril e 23 de
maio de 1975. Detectaram então, o clássico processo conduzido pelo mecanismo de Ekman:
enquanto os ventos foram favoráveis (setor Nordeste), houve ressurgência, assinalada pela presença
da ACAS, e quando o vento passou a Sudoeste, aconteceu a subsidência. Os autores estimaram, de
forma aproximada e desprezando os processos de mistura e advecção, uma velocidade vertical da
ordem de 10-4 ms-1. Durante o evento de ventos de Sudoeste foi detectada a presença de águas da
corrente do Brasil, que voltaram a se afastar da costa quando o vento voltou a Nordeste. Os autores
xxxiv
sugerem que a proximidade das isóbatas de 50-100 m da Ilha de Cabo Frio poderia manter em
disponibilidade águas profundas (ACAS) ao processo de bombeamento de Ekman. O evento
registrado mostrou águas ressurgidas em uma estreita faixa de cerca de 5 km de largura junto a
costa.
Stech et Stevenson (1987), descrevem a climatologia das águas oceânicas, para a área de
coordenadas geográficas 22o a 25o S e 40o a 45o W, para a qual determinaram duas regiões de
características distintas: uma influenciada basicamente pela presença da ressurgência costeira de
Cabo Frio, que carreia ACAS para a região e outra pela presença da corrente do Brasil, que traz
AT.
Martin et al (1988), especulam sobre a conexão entre a “Oscilação Sul” (El Niño) e os
ventos que atuam localmente em Cabo Frio. Estes eventos interanuais repercutiriam sobre o clima
local e conseqüentemente sobre a salinidade da lagoa de Araruama. Os estudos dos sedimentos
lagunares levaram os autores a detectar um sinal do tipo El Niño na costa do Atlântico (lagoa de
Araruama). Esta conexão se daria através do comportamento do Anticiclone Subtropical Marítimo
do Atlântico Sul, que domina a circulação local em Cabo Frio e suas teleconexões, através da
circulação de Walker, com a Oscilação Sul, que acontece no Pacífico. Este mecanismo sugere que
os processos costeiros que sofrem influência direta do Anticiclone Subtropical Marítimo do
Atlântico Sul devem responder ao forçamento interanual gerado por esta teleconexão, confirmando
climaticamente o domínio do Anticiclone Subtropical Marítimo do Atlântico Sul na circulação
atmosférica local em Cabo Frio.
Lorenzzetti et Tanaka (1990), simulando a passagem de uma frente fria sobre a região de
Cabo Frio, usando como forçante o ciclo de ventos a ela associado, e utilizando um modelo
numérico proposto por Wang e Connor (1975) apud Lorenzzetti et al (1990), que consiste de duas
camadas estavelmente estratificadas, em rotação, com densidades constantes (1025,5 e 1022,5
Kg/m3), espessura da camada superior inicial de 20 m, com as camadas separadas por uma interface
xxxv
material e aproximações hidrostática e de Boussinesq, aplicado para a região costeira (sobre a
plataforma continental) do Cabo de São Tomé até São Sebastião, encontraram:
- estado quase estacionário atingido em 2,63 dias;
- em 1,25 dias, um jato costeiro que se desenvolve desde o Cabo de São Tomé até a
província marítima costeira a Oeste do Cabo Frio;
- próximo à costa, ao Norte do Cabo de Búzios, o aparecimento de uma contra-corrente de
fundo que se dirige para Nordeste;
- em 1,5 dias uma corrente fluindo em direção à costa, entre a Baía de Guanabara e Cabo
Frio, sendo compensada na camada inferior por um transporte em direção ao largo e;
- surge também uma célula de circulação ciclônica ao Norte do Cabo de Búzios.
Stech & Lorenzzetti (1992), observaram que na região marítima, sobre a plataforma
continental Sudeste Brasileira, desde o Cabo de São Tomé até o Cabo de Santa Marta, durante o
inverno, quando a estratificação é fraca, os processos de freqüência sub-maré são dominados pelas
passagens de frentes frias. Utilizam então o modelo numérico formulado por Wang e Connor
(1975), apud Lorenzzetti & Tanaka (1990), para simular uma passagem de frente fria sobre a
região estudada forçando o modelo com os ventos associados à frente.
Palácios (1993) analisou, utilizando técnicas espectrais, a ressurgência costeira de Cabo
Frio, e obteve resultados extremamente interessantes sobre o comportamento das ondas costeiras
confinadas que interagem com a clássica ressurgência conduzida pelo mecanismo de Ekman. O
autor analisou dados do nível do mar, registrados no cais Duques D'Albas em Arraial do Cabo,
localizado na Enseada dos Anjos e Ilha Fiscal no Rio de Janeiro, pressão atmosférica e ventos em
Cabo Frio e Rio de Janeiro, no período de 01/11/90 a 30/01/91.
Foram também analisados dados de correntometria e ventos obtidos da comissão
oceanográfica Cabo Frio IX, realizada pelo NOc. Alm. Saldanha de 28/11/86 a 08/12/86 (11 dias),
quando de um fundeio próximo a costa entre Arraial do Cabo e Ponta Negra.
xxxvi
Os resultados de Palácios (1993) mostram, para o período, uma pressão atmosférica com
maior variância em Cabo Frio (CF) que na Baía de Guanabara (BG); o nível do mar com maior
variância na BG; a variância da componente zonal do vento mais intensa na BG (o que de certa
forma suporta a proposta de Ikeda, em seu trabalho de 1974, para a formação da contra-corrente
superficial contra o vento); o domínio do mecanismo de Ekman e a ocorrência de alguns casos
anômalos, ou que não obedecem fielmente o modelo clássico, que Palácios explica através da
existência de sinais locais de propagação de ondas costeiras confinadas geradas em algum ponto do
litoral mais a Sul de CF.
Na banda de baixa freqüência (entre 8 e 20 dias), observa Palácios, existe uma elevação do
nível do mar associada à aproximação da corrente do Brasil, fato que ocorre no verão, ou seja, as
oscilações da posição da corrente do Brasil, quando se afasta ou se aproxima da costa, em baixa
freqüência modulam o nível do mar em CF.
Palácios propõe, para alguns eventos anômalos, a existência de um mecanismo forçante
baseado no efeito ressonante do campo de pressão atmosférica na banda meteorológica.
Relata dois eventos onde havia rebaixamento do nível do mar com ventos zonais de Oeste
para Leste (contrário ao mecanismo clássico de Ekman) e, no período observado, mais intensa que
em outros eventos com ventos classicamente mais favoráveis à ressurgência.
Na banda de 7 a 3,9 dias, Palácios observou um tempo de antecedência de 1,7 dias do vento
favorável à resposta do oceano (nível do mar) e concluiu parecer o efeito do vento local no mar de
CF.
Na faixa espectral de 3,6 a 1,8 dias, o nível do mar antecede à componente zonal do vento
em um tempo de cerca de 9 dias. “Algo parece estar revertendo a relação de causa e efeito nesta
banda”, diz o autor.
Palácios, no período observado, detectou 5 eventos de ressurgência anômalos (inferidos
através do abaixamento do nível do mar), ou seja, onde havia uma componente zonal de Oeste para
xxxvii
Leste do vento, em aproximadamente 3 meses. Com esta alta freqüência de eventos anômalos,
argumenta Palácios, parece razoável a existência de inúmeras hipóteses propostas para explicar o
fenômeno da ressurgência pelos autores que estudaram a região.
Estudando os dados do fundeio do NOc. Alm. Saldanha, efetuado durante a Comissão
Oceanográfica Cabo Frio IX (Torres et al em 1988), Palácios observou um evento anômalo (que
classificou de notável), porém, desta vez com registro de circulação (correntes). O oceano estava
respondendo classicamente ao vento, havia uma componente zonal de vento para Oeste, as
componentes zonais das correntes em 5, 15 e 50 m também se orientavam para Oeste e o nível do
mar estava baixo. Em um dado momento o nível do mar começou a se elevar e as correntes a
diminuir de intensidade. Logo, a corrente a 5 m inverteu o sentido, enquanto isso, o vento se
manteve para Oeste, após algum tempo toda a coluna d'agua movia-se para Leste. Após este evento
o nível do mar voltou a baixar e o vento ainda estava para Oeste. Naturalmente, Palácios filtrou do
nível do mar a maré e o efeito da pressão atmosférica.
Analisando o espectro de fase entre o nível do mar em CF e BG, Palácios encontrou, na
banda de 20 a 8,3 dias, sinais de propagação de ondas de CF para BG, os quais associou ao
comportamento da Corrente do Brasil. Na banda de 7 a 3,9 dias, o nível do mar parece em fase, e
na banda de 3,6 a 1,8 dias, aparece a propagação de ondas da BG para CF com velocidade média de
cerca de 4 ms-1.
Palácios compara seus resultados observacionais com o modelo de Buchwald e Adams
(apud Palácios (1993)) aplicado à região de CF. Tomando os cinco primeiros modos de propagação
da solução analítica de Buchwald e Adams, para o caso de energia confinada à região (velocidade
de grupo nula), obtém : modo mod(dia) k (1/Km) w (1/dia) Comp. onda (Km) vel. fase (Km/dia) 1 2,0 0,02 3,1 314 155 2 3,6 0,03 1,8 209 60 3 5,3 0,05 1,2 125 24 4 6,9 0,06 0,9 104 15
xxxviii
5 8,9 0,08 0,7 78 9
onde mod(dias) são os períodos associados aos modos obtidos do modelo de Buchwald e
Adams(apud Palácios (1993)).
Destes resultados Palácios mostra que aparecem 3 modos de ondas costeiras confinadas com
energia aprisionada, com períodos de 2,0 dias ( modo 1 ), 3,6 dias ( modo 2 ) e 6,9 dias (modo 4 ).
As ondas se deslocariam com velocidade de fase positiva no sentido BG-CF. O modo 3 ( 5,3 dias ),
não apresenta coerência com a componente zonal do vento local, porém, corresponde ao pico
máximo do espectro de pressão de CF, com o qual tem alta coerência, isto é, parece ser uma onda
costeira confinada produzida pela ação direta do campo de pressão local.
xxxix
III. ÁREA MODELADA E A GRADE
A região modelada vai de 041o a 043o 25’ W e de 22o a 23o 30’S, ou seja, a área marítima sobre a plataforma
continental entre o Cabo de São Tomé (fronteira NE da grade) e a Baía de Guanabara (fronteira W e próximo ao
centro da grade), o Cabo Frio localiza-se na região mais SE (figura III-1).
Figura III-1 : Imagem INPE/LANDASAT para o dia 22 de janeiro de 1977. Nota-se a SE a ilha de Cabo Frio,
mais a N o Cabo de Buzios e mais a W a Baia de Guanabara. A região modelada estende-se um pouco mais a N, até o
Cabo de São Tomé.
Foi montada então uma grade regular de 25 por 17 pontos, que foi utilizada na formulação das equações em
diferenças finitas, utilizando dados batimétricos da carta náutica número 1500 da Diretoria de Hidrografia e
Navegação da Marinha do Brasil (figura III-2). O espaçamento entre os pontos de grade é de cerca de 10.309 m
(resolução da grade).
xl
Figura III-2 : Região costeira desde Baía de Guanabara ao Cabo de São Tomé, litoral do estado do Rio de
Janeiro .
Os dados (batimetria) foram interpolados na grade regular através de uma promediação ponderada pelo
inverso do quadrado da distância. A batimetria assim suavizada está representada na figura III-3.
Foi escolhido o ponto da linha 11 (direção N-S) e coluna 14 (direção E-W), apontado na figura III-4 por uma
seta escurecida em um setor a SE do continente, para monitorar séries temporais de parâmetros com nível do mar e
velocidades. Este local fica a cerca de 9,3 km a W da Ilha de Cabo Frio e próximo à costa (cerca de 4,6 km). O nível
do mar e a velocidade vertical são amostrados no centro da célula e as velocidades horizontais em suas fronteiras S e
E (detalhes no apêndice A).
Prof.(metros)
Batimetria (metros)0.00
15.00
30.00
45.00
60.00
75.00
90.00
105.00
120.00
135.00
150.00
xli
Figura III-3: Isobatimétricas do campo de profundidades suavizadas.
Figura III-4 : Representação da superfície batimétrica suavizada utilizada na modelação.
xlii
IV. VENTOS E ESTRATIFICAÇÃO
O padrão de ventos para a região de Cabo Frio é bem definido, com dominância de direção do quadrante E,
com maior freqüência de NE, que aparece em todo o ano, tornando-se mais intensos de agosto a março e mais fracos
de abril a junho, fato já descrito em trabalhos anteriores de Allard (1955), Moreira e Rodrigues (1966) e Moreira
(agosto de 1977). Este comportamento se deve basicamente ao domínio da circulação local pelo Anticiclone
Subtropical Marítimo do Atlântico Sul que é afetado pela passagem na região de sistemas anticiclônicos polares
(Moreira, agosto de 1977) que provocam a rotação da direção e ventos de SW. O gráfico da figura IV.1, obtido a partir
de uma série temporal de 16 anos de ventos coletados na estação meteorológica de Cabo Frio (INMET), de
distribuição de freqüência dos ventos em relação à direção, mostra a dominância dos ventos de NE e de quadrante E
na circulação local.
(%)
0 5 10 15 20 25 30 350
10
20
30
N NE E SE S SW W NW ( Direção do vento) Figura IV.1 : Distribuição de freqüência de direções de vento para a região de Cabo Frio.
A figura IV.2 mostra a distribuição de energia cinética integrada por direção para os mesmos dados citados
anteriormente. Os ventos de quadrante N e NE apresentam-se como as direções mais energéticas.
xliii
0 50 100 150 200 250 300 3500
2 104
4 104
6 104
8 104KE versus rumo do vento
(Kilo
gra
ma
x M
^2)/
(s^2
) ao
dia
KEj
KEj
α j
Rumo
N NE E SE S SW W NW
Direção
S SW W NW N NE E SE
Figura IV.2 : Energia cinética em( )Kg m s* 2 2 por dia, para densidade do ar de 1 Kg m3 relativa à
temperatura de 200 C e à pressão de 1000 mb.
A região oceânica adjacente a Cabo Frio apresenta um padrão de estratificação sazonal bem definido, ou seja,
uma termoclina acentuada no verão e a coluna d’agua bem misturada no período de inverno (Stech & Lorenzzetti,
1992). Moreira e Mendonça (outubro de 1977) mostram que de julho a setembro ocorrem subsidências completas na
região, mas já em setembro começam a ocorrer as primeiras ressurgências (Água Central do Atlântico Sul - ACAS)
em Cabo Frio. Ferreira da Silva et al (1984) analisando dados no N.Oc. Alm. Saldanha mostram a presença de ACAS
próximo à costa e em profundidades rasas no verão e seu aprofundamento e afastamento no inverno. Candella
(comunicação pessoal), analisou os dados de estações oceanográficas clássicas realizadas no quadrado Marsden 376,
(amostragem com garrafas de Nansen e termômetros de reversão), armazenados no Banco Nacional de Dados
Oceanográficos da Diretoria de Hidrografia e Navegação (DHN), até o ano de 1986. Os dados foram separados em
xliv
dois grandes grupos, um de estações sobre a plataforma continental e outro em regiões profundas. Seus resultados
demonstram que a presença de ACAS na região em questão é maior no verão, tanto sobre a plataforma continental
quanto em águas profundas. A figura IV.3 ilustra a distribuição de freqüência em relação a profundidade de ACAS
classificada com limite de temperatura de 18o C (barras em preto) e limite de 20o C (barras hachuradas), baseado num
critério de classificação de massas de água regional proposto por Miranda (1982), em profundidade para o verão e o
inverno. É notável o aumento de ACAS em regiões mais rasas no verão.
(a) - Verão (b) - Inverno
(Profundidade - metros) (Profundidade - metros) Figura IV.3 : Distribuição de freqüência (freqüência relativa e profundidade em metros) de ocorrência de ACAS em
relação a profundidade para o verão (a) e inverno (b), obtido de Candella (comunicação pessoal).
As análises de Candella para estações realizadas sobre a plataforma continental corroboram estas idéias, a
figura IV.4 mostra as distribuições de freqüência de águas com limite superior de temperaturas até 18o C (barras
pretas) e até 20o C (barras hachuradas). Novamente nota-se que a distribuição migra para menores valores de
temperatura no verão.
(a) - Verão (b) - Inverno
xlv
(Temperatura - Celsius) (Temperatura - Celsius) Figura IV.4 : Distribuição de freqüência (freqüência relativa e temperatura em oC) de águas com limite
superior de temperaturas até 18o C (barras pretas) e até 20o C (barras hachuradas) em relação a temperatura para o
verão (a) e inverno (b), obtido de Candella (comunicação pessoal).
Estes padrões de estratificação explicam episódios de ventos NE na região de Cabo Frio sem que haja
ocorrência de ACAS à superfície, embora o mecanismo de Ekman atue transportando águas superficiais para o largo e
induzindo a subida de águas profundas, ou seja, não há presença de ACAS disponível para o bombeamento de Ekman.
xlvi
V. EQUAÇÕES DO MODELO
O modelo numérico de Hess (1989), pseudo tridimensional (integrado na vertical por
camada) com superfície livre, foi projetado basicamente para simular correntes em baías e na
plataforma continental, e é forçado pela maré, arrasto gerado pelo vento (wind stress) e gradientes
de densidade.
As equações governantes do modelo consistem em duas equações de momentum horizontal,
a aproximação hidrostática, equação de continuidade (condição de incompressibilidade na vertical),
uma equação de estado e equações de conservação para salinidade e temperatura. É empregado um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com o eixo x orientado para E, y orientado para N e
z para cima. O conjunto de equações é integrado lateralmente para incluir efeitos de canais (rios) e
a seguir transformado para o conhecido sistema de coordenadas sigma (Phillips, 1957), que
acompanha as variações batimétricas ou topográficas, substituindo a cartesiana vertical z. O modelo
é baseado no de Blumberg & Mellor (1983), diferindo deste na maneira de tratar a turbulência com
uma parametrização mais simples. Seu código computacional contém um sistema de chaves para
desligar alguns termos das equações quando necessário, sua equação para a densidade é mais
simples e as difusividades horizontais são constantes em profundidade.
É usada a técnica de separação em modos nas equações da velocidade, as quais são
separadas em modo externo ou barotrópico e modo interno ou baroclínico. O modo externo é
simplesmente o resultado da promediação na vertical da velocidade, que é então subtraída das
equações totais de velocidade para obter-se o modo interno. Como os critérios de estabilidade para
o modo interno são menos rigorosos, ou seja, o modo baroclínico é mais estável, o mesmo pode ser
integrado no tempo com um passo maior que o utilizado para o modo externo, economizando de
forma significativa o tempo de processamento.
A seguir, é descrito de forma detalhada e comentada, o modelo seguindo Hess (1989).
xlvii
V.1 EQUAÇÕES BÁSICAS
As equações básicas para o contínuum com a aproximação de Boussinesq são as de
momentum horizontais com os termos das tensões de Reynolds em uma base de coordenadas
cartesianas em rotação (Blumberg & Mellor, 1987) :
( )∂∂
β∂
∂∂
∂∂
∂α ∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
u
ta
uu
x
uv
y
uw
z oP
xfv
xA
hu
x yA
hv
x
u
y zA
vu
z
+ + +
= − + +
+ +
+
( ) ( )
2
(V.1)
( )∂∂
β∂
∂∂
∂∂
∂α ∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
v
ta
vu
x
vv
y
vw
z oP
yfu
yA
hv
y yA
hu
y
v
y zA
vv
z
+ + +
= − − +
+ +
+
( ) ( )
2
(V.2)
onde
u, v e w são as componentes da velocidade do fluido na direção x, y e z, respectivamente;
αο é o volume específico de referência;
P é a pressão;
f é o parâmetro de Coriolis;
Ah, Av são as difusividades horizontal e vertical, respectivamente e;
βa é uma chave para desligar os termos advectivos.
A aproximação hidrostática para a equação de momentum vertical é ∂∂
ρP
zg= − (V.3)
onde ρ é a densidade da água e g é a aceleração gravitacional.
Uma aproximação para a continuidade ou conservação de massa:
xlviii
∂∂
∂∂
∂∂
u
x
v
y
w
z+ + = 0 (V.4)
Uma equação de estado para a água do mar:
{ }ρ ρ ρ= +o F S T1 ( , ) (V.5)
onde ρo é uma densidade de referência , S é a salinidade (em ppt) e T é a temperatura (em
Celsius).
Equações de conservação para sais dissolvidos (salinidade) e calor (temperatura):
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
S
t xuS D
hS
x yvS D
hS
y zwS D
vS
z+ −
+ −
+ −
= 0 (V.6)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
T
t xuT D
hT
x yvT D
hT
y zwT D
vT
zR+ −
+ −
+ −
= (V.7)
onde S é a salinidade, T é a temperatura, Dh e Dv são as difusividades horizontal e vertical,
respectivamente, e R é um termo de aquecimento interno.
V.2 INCLUSÃO DE EFEITOS DE RIOS E CANAIS
Como Hess se propõe a modelar sistemas estuarinos, ele incluiu nas equações efeitos de
fluxos de canais e de rios e, para computar estes processos, promedia as equações lateralmente
sobre um plano normal à direção do fluxo, com os limites de integração dados por sua largura,
admitindo que a largura do fluxo não varia na vertical e nem no tempo e que a velocidade normal
ao plano de integração não varia lateralmente. A integração é realizada da mesma forma que em
Blumberg (1975, 1978) apud Hess (1986) e Wang & Kravitz (1980). O resultado é:
xlix
( )
∂∂
β∂
∂∂
∂∂
∂α ∂
∂∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β
u
ta
Bxuu
Bx
x
uv
y
uw
z oP
xfv
Bx
xB
xA
hu
x
c yA
hv
x
u
y zA
vu
zcC
wsB
xuu
+ + +
= − + +
+
− +
+
−
( ) ( ) ( )2
1
(V.8)
( )
( )
∂∂
β∂
∂
∂
∂∂
∂α ∂
∂∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β
v
ta
vu
x
By
vv
By
y
vw
z oP
yfu
By
yB
yA
hv
y
c xA
hu
y
v
x zA
vv
zcC
wsB
yv v
+ + +
= − − +
+
− +
+
−
( ) ( )2
1
(V.9)
onde
Bx e By são as larguras do fluxo nas direções x e y, respectivamente e, quando não houver canais,
assumem o valor 1;
βc é um fator que assume o valor nulo quando não há efeitos de canais presentes e valor 1(um)
quando houver e;
Cws é o coeficiente de arrasto entre o canal e suas fronteiras laterais.
A equação de continuidade fica
1 10
Bx
Bxu
x By
By
v
y
w
z
∂
∂
∂
∂∂∂
( ) ( )+ + = (V.10)
As equações de conservação de salinidade e temperatura ficam:
l
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
S
t Bx
xB
xuS B
xD
hS
x By
yB
yvS B
yD
hS
y zwS D
vS
z+ −
+ −
+ −
=1 1
0 (V.11)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
T
t Bx
xB
xuT B
xD
hT
x By
yB
yvT B
yD
hT
y zwT D
vT
zR+ −
+ −
+ −
=1 1
(V.12) A
aproximação hidrostática para a equação de momentum vertical e a equação de estado não mudam.
Estas equações integradas lateralmente se transformam nas equações originais quando não
há canais na área modelada. Quando este for o caso, βc toma o valor nulo e Bx e By tomam o
valor 1.
V.3 EQUAÇÕES EM COORDENADAS SIGMA
O próximo passo é passar as equações para o sistema de coordenadas sigma.
Neste sistema a coordenada vertical (z) é substituída por uma variável adimensional (sigma)
que tem os mesmos limites inferiores e superiores em toda a grade (Phillips 1957). Esta nova
coordenada é definida da seguinte forma : ( )
qh z
H ; H = h + dh=
+β (V.13)
onde h é a elevação da superfície livre em relação ao nível médio do mar, d é a profundidade local
em relação ao nível médio do mar, H é a profundidade local total, βh é uma chave utilizada para
para linearizar a profundidade local total e q representa a nova coordenada sigma (q é utilizada para
manter o padrão de representação de Hess em 1985, 1986 e 1989).
li
À superfície, sigma vale
0 e no fundo vale -1. Os valores
intermediários são interpolados
em função do número de níveis
do modelo. A figura ao lado
ilustra o esquema de
interpolação.
Os seguintes operadores são
derivados e utilizados para passar as equações para o sistema de coordenadas sigma:
∂∂
∂∂z
[ ]1
H q( )= (V.14)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂x
[ ]x
( )1
H
h
x+ q
x q( ) = −
H (V.15)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂y
[ ]y
( )1
H
h
y+ q
y q( )= −
H (V.16)
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂t
[ ]t( )
1
H
h
t+ q
t q( ) = −
H (V.17)
Uma expressão para o gradiente horizontal de pressão em coordenadas sigma obtida através
da integração da equação da aproximação hidrostática na vertical
∂∂
ρ ρP
qgH e então P = gH dq + P
a
q
0
= − ∫ (V.18)
onde Pa é a pressão atmosférica.
Agora, derivando a expressão acima em relação a x (utilizando o operador V.15 para o
sistema de coordenadas sigma) teremos:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂P
x
P
x q cte
1
H
h
xq
H
x
P
q
Pax
=
=−
+
+ (V.19)
lii
= gx
H dq1
H
h
xq
H
x( gH)
Paxq
0∂∂
ρ ∂∂
∂∂
ρ∂
∂∫
−
+
− + (V.20)
gx
H dq gh
xq
H
x
Paxq
0
=
+ +
+∫
∂∂
ρ ρ ∂∂
∂∂
∂
∂ (V.21)
Se = , teremos:ρ ρ 0
∂∂
ρ ∂∂
∂∂
∂∂
ρ ∂∂
∂
∂P
xg
H
x
h
xq
H
xg
h
x
Pax
= − + +
= +0 0 (V.22)
Substituindo = na expressão (V. 20) e lembrando que , 0 0ρ ρ ρ ρ αρ
+ − =( )00
1temos:
α ∂∂
∂∂
α∂
∂0
P
xg
h
x
Pax
= + +Gx 0 (V.23)
onde Gh
xq
H
x
x = −
+ +
−
∫α β ∂
∂ρ ρ ∂
∂∂∂
ρ ρ0 0
0
0p
q
gx
H dq( ) ( ) (V.24)
e o termo β p é uma chave que permite desligar o termo de gradiente de pressão.
As equações de momentum horizontal em coordenada sigma ficam:
( )∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
α∂
∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β
tHu
a Bx
xHB
xuu
yHuv
quw gH
h
xH
Pax
HGx
fHvB
xx
HBx
Ah
u
x c yAh
Hv
x
u
y H qAv
u
q
Bx
cC
wsHuu
+ + +
= − − − +
+
+ − +
+
−
10
12 1
1
1
( ) ( ) ( ~)
( )
(V.25)
liii
( )∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
α∂
∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β
tHv
a xHvu
By
yHB
yuv
quw gH
h
yH
Pay
HGy
fHuB
yy
HBy
Ah
v
y c xA
hH
u
y
v
x H qA
vv
q
By
cC
wsHv v
+ + +
= − − − −
+
+ − +
+
−
( ) ( ) ( ~)
( )
10
12 1
1
1
(V.26)
onde
~ ( ) (w = = − + − +
− +
H
q
tw q
h
tu
h
xq
H
xv
h
yq
H
y
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 (V.27)
G gy
H dqy p
q
= −
+ +
−
∫α β ∂
∂ρ ρ ∂
∂∂∂
ρ ρ0 0
0
0( ) ( )h
yq
H
y (V.28)
A equação de continuidade ou conservação de massa :
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
h
t B xHB v
B yHB v
w
qxx
yy+ + + =1 1
0( ) ( )~
(V.29)
A conservação de salinidade e de calor ficam:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )
~
HS
t Bx
xB
xH uS D
hS
x By
yB
yH vS D
hS
y
qwS
HD
vS
q
+ −
+ −
+
−
=
1 1
10
(V.30)
liv
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )
~
HT
t Bx
xB
xH uT D
hT
x By
yB
yH vT D
hT
y
qwT
HD
vT
qHR
+ −
+ −
+
−
=
1 1
1 (V.31)
V.4 EQUAÇÕES NO MODO EXTERNO OU BAROTRÓPICO
O passo seguinte é decompor a velocidade horizontal nos modos externo (barotrópico) e
interno (baroclínico). O modo externo é a promediação do fluxo na vertical local (profundidade),
definido como:
u udq v vdq= =− −∫ ∫1
0
1
0
e (V.32)
A forma das equações de velocidade integradas verticalmente (modo externo) fica:
∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
θ ∂∂
α ∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
τ τ β θ
u
t B xHB uu
yH uv gH
h
xH
P
xHG fHv
B xA HB
u
x yA H
v
x
u
yC
BH u u
ax
x uu uva
x
xh x c h sx bx c ws
xsu
+ +
= − − − + +
+ − +
+ − −
1
12 1
1
0( ) ( )
( )
*
(V.33)
∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
∂∂
α ∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
τ τ β θ
v
t xH uv
B yHB v vv gH
h
yH
P
yHG fHu
B yA HB
v
y xA H
v
x
u
yC
BH v v
a uvy
y uva
y
yh y c h sy by c ws
ysv
+ +
= − − − − +
+ − +
+ − −
( ) ( )
( )
*1
12 1
1
0
(V.34)
lv
A equação de continuidade no modo externo é dada por:
∂∂
∂∂
∂∂
h
t B xB Hu
B yB Hv
xx
yy+ + =1 1
0( ) ( ) (V.35)
onde
G G dq G G dqx x y y* * ,= =
−−∫∫ e 1
0
1
0
(V.36)
θ θ θuu uv vvuu uu dq uv uv dq vv vv dq= = =− − −∫ ∫ ∫( / ) , ( / ) , ( / )1
0
1
0
1
0
(V.37)
θ θsu sv
u
u
u
udq
v
v
v
vdq=
=
− −∫ ∫1
0
1
0
, (V.38)
As equações para conservação de salinidade e calor não mudam.
V.5 EQUAÇÕES NO MODO INTERNO OU BAROCLÍNICO
As velocidades no modo interno podem ser definidas como:
u u u v v'= − = − e v' (V.39)
ou seja, são o resultado da subtração das equações para o modo externo das equações para a
velocidade total. Esta operação resulta em:
[ ] [ ]∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
θ ∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
τ τ β θ
tHu
B xB H uu uu
yH uv uv
qwu
HG HG fHvB x
A HBu
x yA H
v
x
u
y
H qA
u
y BC H uu u u
ax
x uu uv
x xx
h x c h
v sx bxx
c ws su
( ' ) ( ) ( ) ( ~ ' )
''
( )' '
'( )
*
+ − + − +
=
− + +
+ − +
+
− + − −
1
12 1
1 1
(V.40)
lvi
[ ] [ ]∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
θ ∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
τ τ β θ
tHv
xH uv uv
B yB H vv vv
qwv
HG HG fHuB y
A HBv
y xA H
v
x
u
y
H qA
v
q ByC H v v v v
a uvy
y vv
y yy
h y c h
v sy by c ws sv
( ' ) ( ) ( ) ( ~ ' )
''
( )' '
'( )
*
+ − + − +
=
− − +
+ − +
+
− + − −
1
12 1
1 1
(V.41)
A continuidade no modo interno:
1 1 1
0B x
B HuB y
B HvH
w
qxx
yy
∂∂
∂∂
∂∂
( ' ) ( ' )~
+ + = (V.42)
As equações obtidas para os modos externo e interno formam o conjunto de equações
efetivamente utilizadas no modelo de Hess. Em resumo, as equações governantes (totais) foram
primeiramente integradas lateralmente para incluir os efeitos de canais ou rios. Este novo conjunto
de equações, como foi visto, incluiu as equações originais como um caso particular (no caso em
que não havia rios ou canais na região de modelagem), a seguir foram transformadas para o sistema
de coordenadas sigma, que substitui a coordenada z (vertical) por uma variável adimensional.
Finalmente foram obtidos dois conjuntos de equações, um para o modo externo ou barotrópico e
outro para o modo interno ou baroclínico. A aplicação para o caso presente considerou β c nulo e Bx
= By = 1.
V.6 PARAMETRIZAÇÕES, CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAIS
lvii
Para aplicar o modelo de forma conveniente é necessário definir valores realísticos de
batimetria, geometria, condições de contorno e iniciais. As tensões e parâmetros associados a
modelação da turbulência também devem ser estimados.
A força ou parâmetro de Coriolis é aproximada por
f ff
xx x
f
yy yc
x xc
y y
c
c c
= + − + −= =
∂∂
∂∂
( ) ( ) (V.43)
onde fc é um valor de referência para um determinado ponto de coordenadas xc e yc da grade.
Para estimar a densidade da água do mar é usada a expressão
[ ]ρ ρ ρ= +0 1 F S T( , ) (V.44)
onde Fρ é obtido de Mamaev (1964) apud Hess(1986)
F C C S C ST C T C TS S ST T tρ = + + + +0 1 1 22 , onde:
S é salinidade em ppt,
T é temperatura em Celsius,
e as constantes assumem os seguintes valores:
C = 0.00007
C = 0.000802 ppt
C = -0.000002 (ppt C)
C = -0.0000035 C
C = -0.00000469 C
S0
S1-1
ST-1
T1-1
T2-2
É imposta a condição de que a estabilidade deve ser, pelo menos, neutramente estável, quer
dizer ∂ρ∂q
≤ 0.
Na interface água-ar (superfície livre) o arrasto do vento é definido como:
lviii
τ sx aw aw xC C W w w= +( )1 2 10 10 (V.45)
τ sy aw aw yC C w w w= +( )1 2 10 10 (V.46)
onde w e w são as co mponentes do vento na direç ão x e y, respectivamente, w é a
velocidade do vento a 10 m acima do nível do mar e os coeficientes de arrasto obtidos
de Wu (1975):
C = 0.0008 s / m e C = 0.000065 s/ m.
x y 10
aw1 aw2
Na interface água-fundo o arrasto é:
( )[ ]τ bx wb wb b b bC C u v u= + +1 22 2 (V.47)
( )[ ]τ by wb wb b b bC C u v v= + +1 22 2 (V.48)
onde ub e vb são as componentes de velocidade horizontal imediatamente acima do fundo e os
coeficientes de arrasto Cwb1= 0.003 m/s e Cwb2= 0.001 m/s (obtidos de Thompson & O’Brien
(1973)).
Hess modela a viscosidade turbulenta vertical utilizando a teoria do comprimento da
mistura. Sua intenção é diminuir os esforços computacionais que seriam necessários para uma
modelação que utilize aproximações de ordens superiores. A viscosidade instantânea é então
formulada em função do comprimento da mistura, o cisalhamento vertical da velocidade horizontal
e a estabilidade da coluna, a saber:
[ ]A A A C C Rv v z r r iCr= + + −
0 0 11 2( ) (V.49)
[ ]D D A C C Rv v z r r iCr= + + −
0 3 41 5( ) (V.50)
A zz
H
u
z
v
zz = −
+
κ ∂
∂∂∂
12 2
2
2
2 (V.51)
onde
(constante de von Karman),κ = 0 04.
Rz
gu
z
v
zi = −
+
∂ρ∂
ρ ∂∂
∂∂0
2
2
2
2 é o número de Rchardson,
lix
Av0 e Dv0 são viscosidade e difusividade de referência Cr
rC0
1
10
10 0
==
.
.
C
C
C
C
r
r
r
r
2
3
4
5
05
10
333
15
====
.
.
.
.
valores obtidos de Munk & Anderson (1948), típicos para aplicações sobre a plataforma continental
(Brooks, 1994).
Os coeficientes de troca turbulenta na horizontal, equacionados a seguir, são estimados em
função do cisalhamento horizontal de velocidade e uma escala de comprimento da ordem do
tamanho do elemento de grade utilizado, esta formulação segue a de Tag et al (1979) apud
Hess(1986).
A A C Lu
x
v
y
u
y
v
xh h AH= + +
+ +
0
22 2 2
2∆ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(V.52)
Dh=Ah
∆L = comprimento de uma célula de grade regular de diferenças finitas C
A s
AH
h
=
=
0 01
100
.
. / m 2
Através das chaves inseridas nas equações pode-se simplificá-las desabilitando alguns
termos que as compõem. Os termos advectivos não lineares podem ser eliminados das equações do
modo externo e interno fazendo βa = 0. O efeito de maré pode ser eliminado do modelo fazendo
βh = 0 nas equações onde definimos o sistema de coordenadas sigma. Para o caso de modelação
com densidade homogênea deve-se simplificar a equação de Mamaev fazendo
C C C CS ST T T1 1 2 0= = = = . Caso seja necessário pode-se descartar os termos devidos à diferença
de densidade que contribuem para o gradiente horizontal de pressão tornando β p = 0.
lx
No caso de densidade estacionária faz-se necessário que ∂∂
∂∂
S
t
T
t= =0 0 e . Esta
condição é obtida pela não inclusão da resolução das equações de conservação de salinidade e calor
nos cálculos.
Caso a distribuição de salinidade e temperatura varie no espaço, embora não varie no
tempo, seus gradientes horizontais e verticais influenciam as soluções para a velocidade. Para
eliminar esta influência deve-se desacoplar seus efeitos dos cálculos da densidade. Desacopla-se a
salinidade fazendo CS1 0= na equação da densidade (Mamaev) e a temperatura é desacoplada
fazendo C CT T1 2 0= = também na equação de densidade. Para o desacoplamento de ambos deve-
se, além dos procedimentos acima, fazendo C C CST R R= = = =0 01 4 e pβ , onde os dois últimos
coeficientes são da equação de viscosidade turbulenta vertical. O fato de fazer-se o gradiente
horizontal de pressão nulo advém da suposição de que, neste caso, os efeitos da distribuição da
densidade serão desprezados.
Para as simulações realizadas neste trabalho, foram mantidos os termos advectivos não
lineares, o efeito da variação da superfície livre no sistema de coordenadas sigma e a densidade não
estacionária.
V.7 TRATAMENTO DOS CONTORNOS ABERTOS
Existem três tipos de fronteiras possíveis para o modelo, a oceânica, a ribeirinha e a
terrestre. Como são usadas apenas as condições terrestres e oceânicas, não será aqui descrita o caso
da fronteira ribeirinha.
Na fronteira terrestre admite-se que as componentes de velocidade a ela normais são nulas,
existem apenas as componentes tangenciais e obviamente não há fluxos através deste contorno.
Para o contorno oceânico serão necessárias informações de elevação da superfície livre
(basicamente maré) ou fluxo, salinidade, temperatura e velocidades do modo interno em todos os
níveis. O fluxo é definido como o produto da velocidade do modo externo pela profundidade local.
lxi
Na interface água-ar deverão estar definidos o arrasto do vento, fluxo de calor e temperatura
do ar. Na interface com o fundo deve-se ter, tensões e temperatura do fundo.
O nível do mar deverá estar definido em todos os pontos de grade na fronteira oceânica.
Esta informação é fornecida ao modelo através de uma série temporal.
Modelos numéricos de regiões costeiras finitas apresentam o problema de tratamento do
contornos abertos que é a região onde a grade ou malha de diferenças finitas termina, e onde os
movimentos do fluido não devem ter restrições. Fronteiras abertas ideais devem ser transparentes
aos movimentos gerados no interior e no exterior da grade (Chapman, 1985).
Uma possibilidade de contorno aplicável, no caso de fluxo de momentum para fora da grade
em fronteiras abertas, é a chamada condição de radiação. Neste caso o nível do mar é calculado a
partir do fluxo normal ao contorno por unidade de largura. Hess faz ( )h h U gHcont.
= +0 η ,
onde η simboliza a direção normal à fronteira e ( )gH é a velocidade de onda de gravidade em
águas rasas. Esta condição radiacional é do tipo Orlanski e visa minimizar a reflexão de ondas no
contorno aberto ( Chapman, 1985).
A abordagem de Orlanski usa a velocidade da onda de gravidade local para advectar as
variáveis do modelo através do contorno aberto. Em casos onde a profundidade é variável e a
coluna d’água estratificada, distorções podem ocorrer nas fronteiras dado que perturbações estarão
se propagando em diferentes velocidades.
A condição radiacional para T e S é do tipo ( ) ( )∂∂
θ ∂∂η
θηtS U S, ,+ = 0 e no caso de
fronteiras laterais abertas temos ∂∂
∂∂ηt
h c h F+ = , onde c= ( )gH , h está representando a
superfície livre e F uma função (série temporal) fornecida ao modelo no contorno aberto em
questão.
A salinidade e a temperatura são estimadas para o interior da grade ou para o exterior, e
neste caso as águas exteriores funcionam como um reservatório onde estes parâmetros (salinidade
lxii
e temperatura) são constantes ou variam lentamente S x y z t* ( , , , ) e T x y z t* ( , , , ). Quando
estimadas para o exterior, são extrapoladas a partir das condições interiores por equações de
advecção simplificadas : ∂∂
∂∂η
∂∂
∂∂ηη η
S
tu
S T
tu
T0 0= − = − e , onde uη é a componente da
velocidade normal à fronteira.
Quando o fluxo é em direção ao interior da grade (através do contorno) e escoa por 6 horas
ou mais, é determinado diretamente (tornado igual) a partir dos valores de salinidade e temperatura
do reservatório (região externa à grade) S S T T0 0= =* * e . Quando o fluxo se dá em menos de
6 horas, é usado o esquema recursivo de interpolação
{ } { } { }S T F S T F S Ti i0 0 0 01,* *
,, ( )= + − (V.53)
( )onde , Ft
etFi i=
−≤ ≤∆
60 1;
∆t é o passo de tempo do modo interno;
e t é o tempo de vazão atual;
são valo res do reservatório e
são valo res da fronteira.
S T
S T
* *
,
,
0 0
Na fronteira ar-água as condições de acoplamento para o arrasto são
τ ∂∂
τ ∂∂sx v sy vA
u
zA
v
z= =' '
e , e o fluxo de salinidade normal à interface é nulo.
Admitindo-se que a água e o ar com ela em contato têm a mesma temperatura, e que Ta é a
temperatura na camada limite planetária (Ta0 = T em q=0) .
Na fronteira com o fundo, o fluxo de salinidade normal à interface é nulo, e é modelado um
fluxo de calor que depende da temperatura e velocidade da água em contato
( )[ ]( )DT
zC C u v T Tv bed bed b b bed
∂∂
= + + −1 22 2 (V.54)
lxiii
onde e são coef icientes de troca,
e são as c omponentes da velocidade junto ao fundo e
T é a temperatura do fundo.bed
C m s C
u vbed bed
b b
1 20 000001 0 003= =. ( / ) .
Existem duas condições possíveis para a velocidade junto ao fundo: uma condição de
deslizamento, onde o acoplamento do arrasto com o fundo para o modo interno é definido por: ∂∂
τ ∂∂
τu
z A
v
z ABx
v
By
v
' '= = e e uma de não deslizamento, onde Ub = Vb = 0. Neste caso, a fricção com o
fundo é nula e as velocidades do modo interno são u u v vb b' '= = e .
Hess estipulou em 36 horas a fase de aquecimento (spin-up) do modelo, onde as condições
iniciais são interpoladas gradualmente para o interior da grade e as forças externas são também
aplicadas de forma gradual por meio de um função rampa linear, para inibir oscilações instáveis nas
soluções. A forma desta função é : ( )
( ) ( )( )
( )
F t t
F t tt t
t t
F t t
r a b
r a ba
b a
r a b
− = ≤
− =−−
≤ ≤
− = ≤
0
1
para t t
para t t t
para t t,
b
a b
b
,
,
t e t para nível do mar e arrasto do vento,
t 24 e t 36 para gradientes de densidade horizontal e de pressão a tmosfé rica.b b
a b
= == =
0 24
As salinidades e temperaturas são atualizadas após 24 horas de execução. A idéia é aguardar
o aquecimento dos campos de velocidades e difusividades.
lxiv
VI. TESTES COM O MODELO
Alguns testes foram realizados de forma a verificar a integridade do código computacional
comparando soluções numéricas com analíticas, os efeitos da consistência hidrostática, do
gradiente horizontal de pressão em coordenada sigma e do comportamento da condição radiacional.
Em todos os casos o modelo é inicializado com a estratificação comentada no capítulo VII (pag
VII.2) e parte do repouso.
VI.1 TESTES DE CONFIABILIDADE DO CÓDIGO COMPUTACIONAL
O primeiro trata da simulação da propagação de uma onda de maré em um estuário
retangular (10 metros de profundidade, 6 km de largura e 36 km de comprimento) com fronteira
aberta comparando os resultados numéricos com a solução analítica de Ippen & Harleman (1966)
apud Hess (1985). O modelo foi aplicado sem tensão do vento, arrasto no fundo, advecção e
variações de densidade e forçado por uma maré simulada na embocadura do estuário com período
de 12 horas e amplitude de 0,2 metros. Os resultados mostraram uma variância, em relação à
solução analítica, das elevações da ordem de 0,002 metros (figura VI.1), resultados concordantes
com os de Hess (1985), que conseguiu 0,001 metros.
lxv
0 20 40 60 80 1000.2
0.1
0
0.1
0.2
(horas)
(me
tro
s)
Figura VI.1 : Maré simulada (+) e maré calculada pela solução analítica(__).
Um segundo teste foi a aplicação do modelo a uma região costeira e rasa forçando a
circulação apenas com tensão do vento e arrasto no fundo. Quando o regime se tornou permanente
os resultados numéricos (modelo) foram comparados com a solucão analítica de Pond & Pickard
(1986). Foram usados os mesmos coeficientes utilizados por Hess (1985) Av = 0,010 m2/s, f =
0,0001 s-1, τ/ρ = 0,000181 m2 / s2, profundidade de 11 metros, largura da malha 6000 metros e
intervalo de grade de 1000 metros. A variância do perfil vertical da componente UEkman obtida da
solução analítica com o obtido do modelo foi da ordem de 0,002 m/s (figura VI.2) e a variância
para a componente VEkman foi da ordem de 0,003 m/s (figura VI.3), resultados que aproximan-se
aos de Hess (1985), que obteve 0,003 m/s de variação.
0 5 100.05
0.1
0.15
uz
umz
z
0 5 100.1
0.2
0.3
vz
vmz
z (metros) (metros) Figura VI.2 : UEkman x U modelado. Figura VI.3 : Vekman x V modelado.
lxvi
VI.2 TESTES DA CONDIÇÃO RADIACIONAL
Três outros testes foram realizados na tentativa de verificar a eficiência da condição de
radiação utilizada por Hess. Em todos foi aplicado um pulso de vento SW à grade com duração 24
horas, com a intenção de empilhar água junto à costa; após isto todas as forçantes foram anuladas.
No primeiro destes três testes (chamado total), foram computados o modo barotrópico e os
baroclínicos; no segundo foram anulados os modos baroclínicos (internos), e no terceiro foram
calculados apenas modos baroclínicos desprezando o modo barotrópico (externo).
O nível do mar para testar a condição de radiação para o primeiro caso está representado na
figura VI.4. Obtido com um pico de velocidade de vento de 60 nós, este pulso gerou, em 24 horas,
uma redistribuição do campo de massa com um máximo de “empilhamento” (65 mm) junto à costa
e zero junto à fronteira S da grade.
65 mm
Figura VI.4 : Nível do mar simulado em 24 horas (caso total).
lxvii
Os resultados do pulso de tensão do vento e da redistribuição de massa na grade aparecem
nos gráficos da figura VI.5, que mostram o comportamento do nível do mar e da velocidade
vertical; os gráficos da figura VI.6 mostram os valores das componentes U à superfície (aponta em
direção ao sul) e da componente V à superfície e os gráficos da figura VI.7 apresentam as
componentes U e V junto ao fundo. Todas as séries foram amostradas no ponto de monitoramento
descrito no capítulo III.
0 1 2 3 4 5 60.1
0
0.1
0.2SW
dias
Nív
el d
o M
ar
SL i
t i
0 1 2 3 4 5 60.02
0.01
0
0.01SW
dias
Vel
. Ver
tical
Wi i
t i
Figura VI.5 : Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo).
0 1 2 3 4 5 60.2
0.1
0
0.1
0.2SW
dias
Us
(N-S
) S
uper
fície
Us i
t i
0 1 2 3 4 5 60.5
0
0.5
1SW
dias
Vs
(E-W
) S
uper
fície
Vs i
t i
Figura VI.6 : Componentes da corrente à superfície (metros por segundo).
lxviii
0 1 2 3 4 5 60.2
0.1
0
0.1
0.2SW
dias
Ub
(N
-S)
Fu
nd
o
Ub i
t i
0 1 2 3 4 5 60.2
0
0.2
0.4SW
dias
Vb
(E
-W)
Fu
nd
o
Vb i
t i
Figura VI.7 : Componentes da corrente junto ao fundo (metros por segundo).
Os resultados (figuras VI.5 a VI.7) mostram que após o pulso de tensão do vento as
variáveis tendem a zero, como resposta ao gradiente de pressão resultante do empilhamento gerado
pelo forçante inicial. Porém a partir do quarto dia, aparecem oscilações nos campos de
propriedades, no ponto de monitoramento, que evoluem e levam o modelo à instabilidade.
No segundo dos três testes, foi computado o modo barotrópico. O modelo foi inicializado e
forçado da mesma forma que no caso total, com o mesmo pulso de vento do caso total. O resultado
do campo de nível do mar é apresentado na figura VI.8.
Figura VI.8 : Campo de nível do mar simulado em 24 horas (modo barotrópico).
As características do campo de nível do mar são bem parecidas com aquelas da figura VI.4,
neste caso com um máximo de 20 mm junto à costa.
lxix
Os campos de propriedades respondem ao pulso de vento e tendem de maneira geral à zero,
este efeito pode ser visto na série temporal de nível do mar (figura VI.9)
0 1 2 3 4 5 60.1
0
0.1
0.2SW
dias
Nív
el d
o M
ar
0.199505
-0.009767
SL i
50.0416667 t i
Figura VI.9 : Nível do mar (metros) caso barotrópico até o quinto dia de integração.
Os campos de velocidade à superfície e ao fundo respondem de forma análoga ao nível do
mar, ou seja, tendem a zero após a resposta ao pulso de energia. As figuras VI.10 e VI.11 ilustram
este comportamento através do monitoramento da série temporal no ponto de amostragem.
0 1 2 3 4 5 60.04
0.02
0
0.02SW
dias
Us
(N-S
) S
upe
rfíc
ie
Us i
t i
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4SW
dias
Vs
(E-W
) S
upe
rfíc
ie
Vs i
t i
Figura VI.10 : Componentes da corrente à superfície (metros por segundo).
lxx
0 1 2 3 4 5 60.04
0.02
0
0.02SW
dias
Ub
(N-S
) F
undo
Ub i
t i
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4SW
dias
Vb
(E-W
) F
undo
Vb i
t i
Figura VI.11 : Componentes da corrente junto ao fundo (metros por segundo).
A partir do quinto dia aparecem oscilações, em todas as variáveis monitoradas, com
freqüências dominantes (em ciclos por hora) de cerca de 0,027 (37 horas), 0,16 (6,25 horas), 0,28
(3,5 horas), 0,32 (3,12 horas) e 0,39 (2,25 horas). O espectrum estimado, calculado sobre uma
janelo amostral iniciada em cerca de 7 dias (início das oscilações), do nível do mar aparece na
figura VI.12. As séries temporais do nível do mar, e velocidades à superfície e no fundo estão
representadas nas figuras VI.13, VI.14 e VI.15, respectivamente, e ilustram a evolução das
oscilações.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2Spectrum do nível do mar
s j
f j
Figura VI.12 : Espectrum estimado de energia x ciclos por hora calculado para o nível do
mar, no caso barotrópico.
lxxi
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 251
0
1SW
dias
Nív
el d
o M
ar
SLi
ti
Figura VI.13 : Nível do mar (metros) do caso barotrópico até o vigésimo dia de integração.
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 254
2
0
2
4SW
dias
Us
(N-S
) S
up
erfí
cie
Us i
t i
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 252
1
0
1SW
dias
Vs
(E-W
) S
up
erfí
cie
Vs i
t i
Figura VI.14 : Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície no caso
barotrópico até o vigésimo dia de integração.
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 254
2
0
2
4SW
dias
Ub
(N
-S)
Fu
nd
o
Ub i
t i
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 252
1
0
1SW
dias
Vb
(E
-W)
Fu
nd
o
Vb i
t i
Figura VI.15 : Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo no caso
barotrópico até o vigésimo dia de integração.
lxxii
O último dos três casos (baroclínico), foi inicializado e forçado exatamente como nos casos
anteriores. O campo do nível do mar não se alterou, dado que o modo barotrópico não foi utilizado
nesta simulação. A resposta traduziu-se na redistribuição do campo de massa nas camadas do
modelo (energia potencial disponível).
A resposta das velocidades horizontais monitoradas por séries temporais no caso
baroclínico, estão representadas nas figuras VI.16 e VI.17. Nota-se o pulso inicial (em torno de 24
horas) e as posteriores oscilações em torno do zero, em baixa freqüência, com menor intensidade
que a resposta barotrópica.
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 250.3
0.2
0.1
0
0.1SW
dias
Us
(N-S
) S
upe
rfíc
ie
Us i
t i
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 250.1
0
0.1
0.2SW
dias
Vs
(E-W
) S
upe
rfíc
ie
Vs i
t i
Figura VI.16 : Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície no caso
baroclínico até o vigésimo dia de integração.
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 250.1
0.05
0
0.05
0.1SW
dias
Ub
(N
-S)
Fu
nd
o
Ub i
t i
0 4.167 8.333 12.5 16.667 20.833 250.05
0
0.05
0.1SW
dias
Vb
(E
-W)
Fu
nd
o
Vb i
t i
Figura VI.17 : Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo no caso
baroclínico até o vigésimo dia de integração.
lxxiii
Na tabela VI.1 é notavel para o caso total e externo o escoamento mais intenso na direção E-
W (V) que na direção N-S (U) à superfície e pelo fundo, isto se deve ao campo do gradiente de
pressão (nível do mar) que está mais elevado inicialmente na região da grade próxima ao cabo de
São Tomé. A situação se inverte no caso interno.
NM(m) W Us Vs Ub Vb NM na costa (m) total .02 .02 .2 .5 .05 .3 0,065
externo .2 - .03 .35 .03 .35 0,020 interno 0 - .2 .15 .1 .06 0,020
Tabela VI.1 : Máximos aproximados obtidos das simulações dos testes de relaxação
barotrópica.
VI.3 TESTE DE FORÇAMENTO NULO
O último teste visou verificar a resposta do modelo, quando integrado no tempo, sem
forçantes atuando nos contornos. A maré, tensão do vento e trocas térmicas foram nulas. A
estratificação foi também anulada (perfil vertical com a mesma densidade da superfície até o fundo
e isotrópica). Foi mantida a malha batimétrica para a região simulada. Após cerca de 7 dias o
modelo começa a mostrar oscilações nos campos de propriedades (figuras de VI.18 a VI.20).
0 2.5 5 7.5 10 12.5 150.5
0
0.5
dias
Nív
el d
o M
ar
SL i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 150.02
0.01
0
0.01
0.02
dias
Ve
l. V
ert
ica
l
Wi i
t i
lxxiv
Figura VI.18 : Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo) para
o caso de forçantes nulas.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 151
0.5
0
0.5
1
dias
Us
(N-S
) S
upe
rfíc
ie
Us i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 152
1
0
1
dias
Vs
(E-W
) S
upe
rfíc
ie
Vs i
t i
Figura VI.19 : Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície para o caso de
forçantes nulas.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 151
0.5
0
0.5
1
dias
Ub
(N-S
) F
undo
Ub i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 151
0
1
2
dias
Vb
(E-W
) F
undo
Vb i
t i
Figura VI.20 : Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo para o caso de
forçantes nulas.
A maior parte da energia destas oscilações vem do termo de gradiente horizontal de pressão
em coordenadas sigma (eqs. V-19, V-24 e V-28), quando o fundo é tornado plano e a diferença da
densidade para a de referência é nula, a ordem de grandeza das oscilações torna-se cerca de 100.000
(10-5) vezes menor. Os gráficos VI-21, VI-22 e VI-23 e a tabela VI.2 ilustram o resultado da
lxxv
modelação para o caso citado. O nível do mar não sofre alteração sensível para a ordem de
grandeza dos movimentos observados.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 151
0
1
dias
Nív
el d
o M
ar
SL i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 150
5 10 5
0
5 10 5
dias
Vel
. Ver
tical
Wi i
t i
Figura VI.21 : Nível do mar (metros) e velocidade vertical (centímetros por segundo) para
o caso de forçantes nulas com fundo plano.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 154 10 5
2 10 5
0
2 10 5
4 10 5
dias
Us
(N-S
) S
up
erfíc
ie
Us i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 151 10 5
0
1 10 5
2 10 5
dias
Vs
(E-W
) S
up
erfíc
ie
Vs i
t i
Figura VI.22 : Componentes da corrente (metros por segundo) à superfície para o caso de
forçantes nulas com fundo plano.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 154 10 5
2 10 5
0
2 10 5
4 10 5
dias
Ub
(N
-S)
Fu
nd
o
Ub i
t i
0 2.5 5 7.5 10 12.5 152 10 5
1 10 5
0
1 10 5
dias
Vb
(E
-W)
Fu
nd
o
Vb i
t i
lxxvi
Figura VI.23 : Componentes da corrente (metros por segundo) ao fundo para o caso de
forçantes nulas com fundo plano.
A tabela VI.2 apresenta os valores típicos obtidos das simulações de forçamento nulo,
evidencia-se a diferença na ordem de grandeza entre os valores observados no modelo para o caso
de ∇ h p em coordenadas sigma e o caso de fundo plano (∇ h p=0).
SL (m) W Us (m/s) Vs (m/s) Ub (m/s) Vb (m/s)
∇h p σ .4 .15 .8 2 .8 1
∇ h p=0 0 5 x 10-5 2 x 10-5 1.5 x 10-5 2 x 10-5 2 x 10-5
Tabela VI.2: Máximos aproximados obtidos das simulações dos testes de forçamento nulo.
Os testes propostos por Hess (1985) indicam que o código está confiável. Os três testes de
relaxação barotrópica (modelo forçado pelo gradiente horizontal de pressão) mostraram o
aparecimento de oscilações na malha. No caso total (modos internos + externo) o processo
oscilatório iniciou em cerca de 4.5 dias e instabilizou o modelo em cerca de dez dias. No teste para
o modo barotrópico as oscilações iniciaram também em cerca de 4.5 dias, e no caso baroclínico
aparecem processos de baixa frequência desde a resposta ao pulso de pressão, porém com muito
baixa intensidade. A resposta ao último teste aplicado (forçantes nulas) mostrou que o gradiente de
pressão em coordenadas sigma gera movimento no modelo, e que estas iniciam após o sexto dia de
integração. Uma integração por 60 dias com ventos de NE e uma simulação de passagem de frente
fria é ilustrada na figura VI-24, onde está representada uma série temporal da velocidade vertical.
Nota-se que apesar dos problemas detectados o modelo pode ser integrado por longo tempo. A
instabilidade do modelo, no caso total para o teste de relaxação barotrópica, pode estar associada a
lxxvii
um processo de ressonância, que pode ser dissipado por interações não lineares quando o modelo é
submetido a forçantes que variam ao longo do tempo.
0 10 20 30 40 50 600.04
0.02
0
0.02
dias
Ve
l. V
ert
ica
l
wi
di
Figura VI.24 : Velocidade vertical (centímetros por segundo) para um caso hipotético de
ventos NE com passagem de frente fria após 50 dias de integração.
Os resultados obtidos nos testes realizados com o modelo neste capítulo, nos quais
aparecem os efeitos do gradiente horizontal de pressão em coordenadas sigma e de instabilidade
hidrostática, são comentados e discutidos mais detalhadamente no capítulo VIII.
lxxviii
VII. SIMULAÇÕES
Para discretizar as equações e realizar as simulações, foi montada uma grade de 25 por 17
pontos com um espaçamento constante de cerca de 10309 metros (capítulo III). Naturalmente este
dimensionamento foi limitado pelos recursos computacionais disponíveis para o processamento do
modelo e pela condição de estabilidade de Courant-Friedrich-Lewy.
O número de camadas (3) foi escolhido considerando a estratificação, basicamente Água
Superficial, uma termoclina e Água Central do Atlântico Sul no fundo (Moreira 73 e 77, Ikeda 74,
Signorini 78, Farbach & Meincke 79, Ferreira da Silva et al 84, Tanaka 85, Valentin et al 87, Stech
et al 87 e Lorenzzetti et al 90) .
Neste trabalho são apresentados três ensaios. No primeiro o modelo é forçado por ventos
NE constante sobre toda a malha e com Água Central do Atlântico Sul disponível, ou a uma
profundidade tal que o bombeamento de Ekman a leve à superfície, caso em que acontece a
ressurgência. Repete-se a simulação para o caso de Água Central do Atlântico Sul não disponível,
ou seja, em profundidades maiores; com esta condição não acontece a ressurgência plena. O último
caso apresentado é o de subsidência, onde o modelo é inicializado com uma condição de
ressurgência e forçado basicamente com ventos de SW em toda a grade.
Em todos os casos modelados foi escolhida uma célula da grade para gerar séries temporais,
amostradas horariamente, de forma a monitorar o comportamento do escoamento naquele ponto.
Este ponto está localizado à W de Cabo Frio e próximo à costa (capítulo III).
lxxix
O nível do mar é amostrado no centro desta célula e próximo à costa (5154 metros). A
componente U (meridional) localiza-se na fronteira externa da célula na direção S e a componente
V (zonal) na fronteira externa da célula na direção E (capítulo VI).
O sistema de coordenadas cartesianas é orientado com o eixo y de W para E, x orientado de
N para S e z orientado na vertical para cima. A componente U (meridional) é relacionada ao eixo x,
V (zonal) ao eixo y e W ao eixo z.
Foram impostas as seguintes condições ao modelo para as simulações:
- estratificação em três camadas: a camada superior de 30 metros de espessura contendo
Água de Mistura (Água Costeira com Água Tropical), camada de fundo abaixo de 54 metros
contendo Água Central do Atlântico Sul (ACAS) e uma camada intermediária com gradientes
verticais interpolados linearmente (entre 30 e 54 metros). Esta estrutura vertical foi baseada em
sondagens realizadas pelo N.Oc. Alte Saldanha da Marinha do Brasil em novembro de 1980
(Projeto Cabo Frio, 1982), durante comissão oceanográfica realizada na área marítima costeira
adjacente ao Cabo Frio;
- o modelo foi integrado por seis dias, com passo de tempo de 180 segundos para o modo
externo e 1800 segundos para o modo interno;
- as constantes para modelação das tensões à superfície e no fundo (capítulo V) são as
mesmas utilizadas por Hess (1986) para modelação em Chesapeake Bay e por Thompson &
O’Brien (1973);
- foi usada a condição de deslizamento no fundo.
lxxx
VII.1 ENSAIO PARA VENTOS NE (RESSURGÊNCIA)
Os gráficos da figura VII-2 mostram séries temporais para o nível do mar, velocidade
vertical e componentes de velocidade do escoamento à superfície e no fundo. O nível do mar cai 2
cm desde o início do processo e a velocidade vertical é positiva ou ascendente da ordem de 1x10-4
m/s, o que é compatível com resultados anteriormente obtidos por Tanaka (1977), Jeng (1979) e
Valentim (1987). Na figura VII-3 estão representados, em coordenadas sigma, cinco perfís verticais
de temperatura ( oC ) orientados a partir do primeiro ponto da grade junto à costa (ponto de
monitoramento das séries temporais) até a fronteira Sul , obtidos a partir da simulação e referentes
aos cinco primeiros dias de integração. A partir do segundo dia o processo de subida de águas frias
de fundo já é notável junto à costa, situação que se mantém até o final da simulação. As
componentes Us (normal à costa ou rumo S) e Vs (tangencial à costa ou rumo E) à superfície, com
valores negativos de Vs atingindo cerca de 0,2 m/s, e positivos de Us com cerca de 0,06 m/s (figura
VII-2), indicam que o movimento, neste ponto à superfície, é para WSW. O escoamento pelo
fundo apresenta-se com velocidade normal à costa (Ub) negativa, rumando para a costa e atingindo
cerca de 0,05 m/s, e componente Vb rumando para W, com cerca de 0,1 m/s, ou seja o aporte de
água pelo fundo neste ponto é de ESE. A figura VII-4 mostra a altura superfície livre para o
primeiro e quinto dias de modelação. Nestes gráficos nota-se que a máxima depressão do nível do
mar, valores menores que 5 cm, está sempre próxima ao Cabo de São Tomé, na região NE da
malha. É notável, ao quinto dia de integração do modelo, o surgimento na costa W adjacente à
Cabo Frio de um rebaixamento do nível do mar da ordem de 2 cm. O campo de velocidade à
superfície para o primeiro dia (figura VII-5) mostra o escoamento mais intenso junto à costa, com
lxxxi
valor máximo de 33,5 cm/s, tangenciando-a no rumo WSW e tomando a direção SW nas regiões
mais distantes da costa. Nota-se a separação do escoamento da costa entre Cabo Frio e Baía de
Guanabara, resultado qualitativamente compatível com as observações de Gamma de Almeida e
Tanaka (1981) . Este padrão de circulação se conserva até o quinto dia de simulação (figura VII-6),
onde o máximo de velocidade aumenta de 33,5 cm/s no primeiro dia para 40,8 cm/s. As figuras
VII-7 e VII-8 mostram o escoamento pelo fundo para os dias 1 e 5. Nota-se que o mesmo tangencia
a costa no rumo geral W, onde é mais intenso, com máximo de cerca de 5 cm/s no primeiro dia e 4
cm/s no quinto dia e o escoamento converge para a costa após a passagem do Cabo Frio. O campo
de temperaturas à superfície, após 1 e 5 dias de simulação, pode ser visto na figura VII-9. A malha
apresenta, em sua maior área para o primeiro dia, o valor de 19o C, com valores de cerca de 18o C
aparecendo junto à costa. Para o quinto dia, temperaturas menores que 13o C já começam a
aparecer junto à costa.
A simulação reproduz o clássico mecanismo de Ekman para ressurgência costeira. A
passagem do escoamento junto à costa pelo Cabo Frio caracterizou-se por um pequeno máximo de
convergência para a costa, provavelmente associado à mudança de direção da costa e da batimetria,
que refletiria no escoamento com formação de ondas de sotavento (“lee waves”) e conservação de
vorticidade. O campo velocidade pelo fundo sugere que a aproximação da água profunda
acompanha a costa oriunda da fronteira NE da malha.
O resultado da simulação evidencia uma resposta clássica das águas costeiras ao vento NE,
com abaixamento do nível do mar e subida de águas de fundo em função da divergência superficial
unilateral junto à costa, provocada pelo transporte de Ekman em direção ao largo.
lxxxii
É ainda formada uma frente oceanográfica como nas imagens de Gamma de Almeida e
Tanaka (1981), ou seja o modelo reproduziu características termodinâmicas qualitativas observadas
na natureza.
VII.2 ENSAIO PARA VENTOS NE (COM ACAS PROFUNDA) - NEAP
O comportamento sazonal dos episódios de ressurgência (Moreira et Mendonça, 1977)
sugere que no verão a ACAS se aproxima da costa e fica a menores profundidades e no inverno
encontra-se a maiores profundidades (Ferreira da Silva et al., 1984). Simulou-se então, o caso de
ventos NE, porém com ACAS mais profunda. Utilizaram-se as mesmas forçantes e coeficientes
empregados para a simulação anterior (NE) onde ocorreu ressurgência, apenas mudando-se as
condições iniciais de estratificação e de contorno, ou seja, ACAS a 130 metros de profundidade no
interior da grade e no contorno. Na figura VII-10 tem-se as séries temporais do nível do mar, a
velocidade vertical e as componentes U e V, à superfície e no fundo, para o caso de ACAS
profunda (AP). Os resultados das séries temporais são parecidos com os do caso NE. A diferença
mais notável é na componente normal à costa (N-S) pelo fundo que apresenta valores menos
intensos. Na figura VII-11 estão representados, em coordenadas sigma, cinco perfís verticais de
temperatura (oC) orientados a partir do primeiro ponto da grade junto à costa (ponto de
monitoramento das séries temporais) até a fronteira Sul , obtidos a partir da simulação e referentes
aos cinco primeiros dias de integração. A partir do segundo dia, como no caso NE, nota-se o
processo de subida de águas frias de fundo porém sem que temperaturas da ordem 15o C atinjam a
superfície, situação que se mantém até o final da simulação. O nível do mar ao primeiro e quinto
dias de integração (figura VII-12) apresenta as mesmas características que o caso NE (figura VII-4).
lxxxiii
Os campos de escoamento à superfície e no fundo para os dias 1 e 5 estão representados nas figuras
VII-13, VII-14, VII-15 e VII-16, respectivamente. De maneira geral os campos têm a mesma
conformação que os campos respectivos para o caso NE (figuras VII-5 a VII-8), apresentando
velocidades máximas, para o caso de ACAS profunda, superiores às do caso NE, à superfície no
quinto dia e no fundo no primeiro e quinto dias de integração. Os campos de temperatura à
superfície, para o primeiro e quinto dias de integração, estão representados na figura VII-17. Ao
primeiro dia temos temperaturas variando entre 18o C e 19o C em toda a malha. Ao quinto dia
aparecem temperaturas entre 16o C e 17o C junto à costa, ou seja, temperaturas menores que 14o C
não atingem a superfície como no caso de NE (figura VII-12).
A diferença entre os campos de temperatura à superfície e nos cortes transversais para o
caso NE e NEAP, evidencia que a disponibilidade da ACAS, ou seja, se está rasa ou profunda, é
determinante para o aparecimento ou não de águas “frias” à superfície. A dinâmica para os dois
casos citados apresentou as mesmas características básicas. Velocidade vertical, nível do mar e
escoamentos horizontais à superfície e fundo guardaram os mesmos padrões. A presença de águas
profundas pelo fundo em regiões próximas à costa para que possam ser bombeadas à superfície
está associada ao transporte pelo fundo que vem da fronteira NE da grade, ou seja, de regiões
próximas a São Tomé. A figura VII.1 ilustra esta situação, onde há o bombeamento de Ekman
constante atuando, ora abaixo e ora acima da termoclina, que mudou de cota. As setas indicam o
arrasto do vento (paralelo a costa), a direção do transporte de Ekman (direção “offshore”) e o efeito
de ressurgência.
lxxxiv
Figura VII.1 : Bombeamento de Ekman abaixo (a) e acima (b) da termoclina.
VII.3 ENSAIO PARA CASO DE VENTOS SW (SUBSIDÊNCIA)
A idéia deste ensaio é simular o processo de subsidência costeira. As condições iniciais, a
menos da estratificação, e de contorno são as mesmas empregada no caso NE (ressurgência). A
estratégia para conseguir uma situação de ressurgência foi rodar o modelo durante algum tempo até
que acontecesse o afloramento de baixas temperaturas à superfície junto à costa, estabelecendo
assim a condição inicial de estratificação e dinâmica necessária para a modelação. Isto conseguido,
iniciou-se a rotação do vento para SW, que foi mantido então até o final da simulação do caso de
subsidência.
lxxxv
A condição inicial (ressurgência) foi atingida após 72 horas (cerca de 3 dias), momento a
partir do qual iniciou-se a diminuição de intensidade e rotação do vento. Em 84 horas (3,5 dias)
iniciou efetivamente a tensão do vento de SW.
O nível do mar, a velocidade vertical e as componentes da velocidade do escoamento à
superfície e fundo (figura VII-18) apresentam claramente a resposta das séries temporais
amostradas na costa à mudança de direção e intensidade do vento. Nota-se que o nível do mar sobe,
a velocidade vertical torna-se descendente e as componentes horizontais de velocidade invertem
suas direções após a entrada do SW. A componente Us torna-se negativa ou no rumo da costa e a
Ub torna-se positiva ou afastando-se da costa, ficando caracterizada a situação de subsidência neste
ponto. Na figura VII-19 estão representados, em coordenadas sigma, cinco perfís verticais de
temperatura (oC) orientados a partir do primeiro ponto da grade junto à costa (ponto de
monitoramento das séries temporais) até a fronteira Sul , obtidos a partir da simulação e referentes
aos dias 2,25, 3, 3,5, 4 e 5 de integração. Nota-se em 3,5 dias, momento em que a forçante (tensão
de cisalhamento do vento) estava em processo de relaxação, o aquecimento em relação a situação
inicial, e que progride até o final da simulação. A figura VII-20 apresenta o nível do mar para 2,25
dias e 5 dias. Em 2,25 dias o campo de nível do mar apresenta-se abaixo do nível médio, com os
menores valores junto à costa e na região de São Tomé. Ao quinto dia de integração, o campo
mostra o empilhamento junto à costa, com os maiores valores acima do nível médio a NE da grade
(São Tomé) e com uma pequena depressão ao largo na região SE da malha. O escoamento à
superfície para 2,25 dias (figura VII-21) comporta-se como no caso NE (ressurgência), ou seja,
correntes tangenciando a costa escoando para WSW e no rumo SW mais ao largo. A velocidade
máxima no campo é de cerca de 48 cm/s. Em 5 dias, durante o regime de ventos de SW, já há uma
lxxxvi
reversão generalizada do campo de correntes à superfície, com o fluxo médio rumando para NE
(figura VII-22) com valor máximo de cerca de 60 cm/s. Nestas figuras nota-se a divergência na
costa adjacente a W de Cabo Frio no primeiro dia (figura VII-21) e, no quinto dia (vento SW), a
convergência na mesma região (figura VII-22). As figuras VII-23 e VII-24 mostram o fluxo pelo
fundo em 2,25 dias e 5 dias, respectivamente. Nas duas situações (antes e depois da rotação para
SW e ao fundo) as maiores velocidades encontram-se junto à costa com rumo geral para SW em
2,25 dias (7,9 cm/s) e para NE em 5 dias (19,8 cm/s) de integração. O campo de temperatura à
superfície em 2,25 dias (figura VII-25) apresenta o início do processo de ressurgência costeira, com
águas mais quentes ao largo e águas mais frias junto à costa. Na mesma figura (VII-25), o campo de
temperatura em 5 dias mostra o início da subsidência, com a tomada do campo com águas mais
quentes.
lxxxvii
VIII. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES
Os testes realizados com intenção de validar o código computacional mostraram boa
aderência entre os resultados obtidos com o modelo e aqueles obtidos via solução analítica. As
elevações obtidas do modelo numérico comparadas com as do modelo analítico mostraram uma
variância da ordem de 0,002 metros em relação a elevações calculadas da ordem de 0,1 metros
(figura VI.1), resultados concordantes com os de Hess (1985), que conseguiu 0,001 metros. O valor
da variância do perfil vertical da componente UEkman obtida da solução analítica com o obtido do
modelo foi da ordem de 0,002 m/s (figura VI.2) e a variância para a componente VEkman foi da
ordem de 0,003 m/s (figura VI.3), ambas em relação a velocidades de ordem de 0,1 m/s, resultados
que também aproximam-se aos de Hess (1985), que obteve 0,003 m/s de variação. Pode-se concluir
que o código computacional está integro e confiável.
Nos três testes de relaxação barotrópica (modelo forçado pelo gradiente horizontal de
pressão) apareceram oscilações nos campos de propriedades (VI.2). No caso total (modos internos
+ externo) os resultados (figuras VI.5 a VI.7) mostram que após o pulso de vento os valores das
variáveis tendem a zero, como resposta ao gradiente de pressão resultante do empilhamento gerado
pelo forçante inicial. Porém a partir do quarto dia, surgem oscilações nos campos de propriedades,
no ponto de monitoramento, que evoluem e levam o modelo à instabilidade. No teste para o modo
barotrópico os campos de propriedades respondem ao pulso de vento e tendem de maneira geral à
zero, a partir do quinto dia aparecem oscilações, em todas as variáveis monitoradas, com
freqüências (ciclos por hora) dominantes de cerca de 0,027 (37 horas), 0,16 (6,25 horas), 0,28 (3,5
lxxxviii
horas), 0,32 (3,12 horas) e 0,39 (2,25 horas) que se mantiveram quando o modelo foi integrado por
20 dias. No caso baroclínico nota-se a resposta ao pulso inicial (em torno de 24 horas) e as
posteriores oscilações em torno do zero, em baixa freqüência, com menor intensidade que a
resposta barotrópica.
O último teste (forçamento nulo) visou verificar a resposta do modelo, quando integrado no
tempo, sem forçantes atuando nos contornos (VI.3). A maré, tensão do vento e trocas térmicas
foram nulas. A estratificação foi também anulada, o perfil vertical teve a mesma densidade da
superfície até o fundo e em toda a grade. Foi mantida a malha batimétrica para a região simulada.
Após cerca de 7 dias de integração o modelo começa a mostrar oscilações nos campos de
propriedades. A mesma situação foi simulada apenas tornando o fundo plano, este caso produziu
movimentos com ordem de grandeza 100.000 vezes menor que o caso anterior.
As oscilações surgidas nos testes de relaxação barotrópica e forçamento nulo podem advir:
- da condição radiacional tipo Orlanski empregada (Chapman, 1985), que usa a velocidade
da onda de gravidade local para advectar as variáveis do modelo através do contorno aberto. Isto
acontece porque nas regiões onde a profundidade é variável e dependendo também da estratificação
da coluna, distorções podem ocorrer nas fronteiras dado que perturbações estarão se propagando
em diferentes velocidades. O nível do mar, por exemplo, é calculado a partir do fluxo normal ao
contorno por unidade de largura ( )h h U gHcont.
= +0 η , onde η simboliza a direção normal à
fronteira e ( )gH é a velocidade de onda de gravidade em águas rasas.
lxxxix
- da consistência hidrostática, problema associado ao sistema de coordenada sigma (Haney,
1991 e Marsaleix, 1993), expressa pela relação ∂σ∂
σx
x∆ ∆< , tomada como exemplo para a
direção x. Os gráficos da figura VIII.1 ilustram a situação.
Consistência hidrostática Inconsistência hidrostática
Figura VIII.1: Esquema explicativo do efeito de inconsistência hidrostática (adaptado de
Marsaleix, 1993).
- e finalmente do termo de gradiente horizontal de pressão expresso em coordenadas sigma
(eqs. V-19, V-24 e V-28), tomando por exemplo a direção x:
α ∂∂
∂∂
α∂
∂0
P
xg
h
x
Pax
= + +Gx 0 (eq. V.23) onde
Gh
xq
H
x
x = −
+ +
−
∫α β ∂
∂ρ ρ ∂
∂∂∂
ρ ρ0 0
0
0p
q
gx
H dq( ) ( ) (eq. V.24)
xc
O termo responsável pela geração de energia em presença de gradientes batimétricos é ∂∂H
x, onde
H representa a batimetria. As três possibilidades apresentadas aplicam-se aos casos testados na relaxação barotrópica,
onde energia pode ser adicionada pelo termo de gradiente horizontal de pressão em coordenadas
sigma e por inconsistência hidrostática e refletidas para o interior da malha pela fronteria aberta.
No caso de forçamento nulo, a maior parte da energia das oscilações parece vir do efeito do
termo de gradiente horizontal de pressão em coordenadas sigma, isto fica evidenciado quando o
fundo é tornado plano, o que torna nulo o efeito do gradiente horizontal de pressão em coordenadas
sigma, neste caso a ordem de grandeza das oscilações torna-se cerca de 100.000 (10-5) vezes menor,
e as oscilações que permanecem parecem ser oriundas de truncamento numérico.
Os resultados dos testes aplicados mostram que a integração do modelo, para a aplicação
empregada neste trabalho, até cerca de cinco dias ainda não é contaminada por processos gerados
pela condição radiacional nos contornos abertos e sinais oriundos do termo de gradiente horizontal
de pressão em coordenada sigma e da inconsistência hidrostática. Como a resposta do sistema aos
processos locais que se pretende avaliar acontece em menos de 5 dias, a aplicação do modelo é
confiável para este tempo de integração.
Uma integração por 60 dias com ventos predominantementes de NE e uma simulação de
passagem de frente fria, ilustrada na figura VI-24, mostrou que, apesar dos problemas detectados, o
modelo pode ser integrado por longo tempo. A instabilidade do modelo, no caso total para o teste
de relaxação barotrópica, pode estar associada a um processo associado à forçante vento constante
utilizada nos testes, que pode ser evitado através da dissipação de energia devida a interações não
lineares em função das forçantes (de fato a tensão do vento) variarem ao longo do tempo.
xci
A simulação para o caso de ventos NE constantes reproduz o clássico mecanismo de Ekman
para ressurgência costeira, com abaixamento do nível do mar e subida de águas de fundo em função
da divergência superficial unilateral junto à costa, provocada pelo transporte de Ekman afastando
águas superficiais da cosdta. A passagem do escoamento junto à costa pelo Cabo Frio caracterizou-
se, nesta região, por um máximo de convergência para a costa, provavelmente associado à mudança
de direção da costa e da batimetria, que refletiria no escoamento com formação de ondas de
sotavento (lee waves) e conservação de vorticidade. O campo velocidade pelo fundo sugere que a
aproximação da água profunda acompanha a costa oriunda da fronteira NE da malha.
A diferença entre os campos de temperatura à superfície para o caso NE e NEAP, evidencia
que a disponibilidade da ACAS, ou seja, se está rasa ou profunda, é determinante para que águas
frias atinjam ou não a superfície. A dinâmica para os dois casos citados apresentou as mesmas
características básicas. Velocidade vertical, nível do mar e escoamentos horizontais à superfície e
fundo guardaram os mesmos padrões. A presença de águas profundas pelo fundo em regiões
próximas à costa para que possam ser bombeadas à superfície está associada ao transporte pelo
fundo que vem da fronteira NE da grade, ou seja, de regiões próximas a São Tomé.
A simulação de subsidência, com ventos de SW constantes em toda a malha, também se
comporta de forma clássica, com a reversão do padrão geral do escoamento local.
Os resultados das simulações de ressurgência e de subsidência indicam que, numa primeira
aproximação o sistema modelado responde classicamente ao forçamento por ventos de NE e SW
constantes em toda a região, e que a profundidade da ACAS é determinante para seu afloramento.
Os campos obtidos demonstram padrões qualitativos compatíveis com os resultados
observacionais da literatura, por exemplo a formação da frente oceânica observada no modelo
xcii
(figuras VII.3, VII.9, VII.11 e VII.17) e a deriva superficial para SW com ventos de NE (figuras
VII.5, VII.6, VII.13 e VII.14) são observadas por Gamma de Almeida e Tanaka (1981) analisando
imagens de satélite (figura II.1) . Os valores obtidos no modelo para velocidades verticais têm
ordem de grandeza próxima à observada na região, por exemplo velocidades verticais com ordem
de 10-4 m/s, por Tanaka (1977), Jeng(1979) e Valentin et al (1987).
Para obter melhores resultados em futuras simulações será necessário aumentar a dimensão
geográfica modelada, estendendo as fronteiras da grade de forma a diminuir os efeitos de
contaminação gerados pela reflexão de ondas no contorno aberto. O fundo pode ser mais suavizado
e a resolução da malha um pouco aumentada de forma a reduzir os efeitos de gradiente horizontal
de pressão em coordenadas sigma e da inconsistência hidrostática.
xciii
APÊNDICE A
SOLUÇÃO NUMÉRICA
Para solucionar as equações do modo externo, Hess (1989) utiliza o esquema numérico de
Abbott, método implícito de direção alternada de dois estágios (“two-sweep alternating-direction
implicit method”). São utilizadas equações com aproximações por diferenças finitas para estimar o
nível do mar e os fluxos (componentes zonal e meridional de momentum).
A aplicação do método de diferenças finitas, neste caso, consiste em aproximar as derivadas
parciais de equações diferenciais por equações de diferenças. Esta aproximação gera um sistema de
equações algébricas cuja solução fornece os valores da função nos pontos da malha utilizada.
Pode-se obter uma equação de diferenças através da definição da derivada de uma função
ou através de séries de Taylor truncadas.
Pode-se obter a solução para as variáveis discretizadas no tempo por dois métodos
de discretização: o explícito, onde obtém-se ( )f t h+ em função de ( )f t , ou seja, tem-se apenas
uma incógnita numérica, não sendo necessário solucionar sistemas de equações algébricas a cada
passo de tempo o tornando a solução computacionalmente eficiente, porém sujeitas a restrições de
estabilidade como por exemplo o critério de Courant-Friedrichs-Lewy, e o método implícito (ou
esquema de Euler), onde obtém-se ( )f t em função de ( )f t h+ , aparecendo mais de uma incógnita
numérica, implicando na geração de um sistema de equações algébricas que tem que ser resolvido
simultaneamente a cada passo de tempo (Wrobel, 1989).
No modelo em questão o processo inicia no tempo t0 e atualiza o estado das variáveis no
tempo ( )t t0 + ∆ , onde ∆t é o passo de tempo para o modo externo. Neste método (Abbott) é
utilizado também um tempo intermediário ( )t t0 2+ ∆ , ou seja, utilizam-se 2 níveis de
discretização temporal. O primeiro estágio é realizado na direção x, e são então resolvidas as
equações de continuidade e momentum para uH t t( )0 + ∆ e h t t( )0 2+ ∆ . Como para o cálculo do
xciv
nível do mar (desconhecido) não é conhecido o momentum no tempo ( )t t0 + ∆ , os dois deverão
ser resolvidos simultaneamente ou de forma implícita. O segundo estágio é na direção y e resolve
as equações de continuidade e momentum para valores atualizados de vH t t( )0 + ∆ e para
h t t( )0 + ∆ .
A.1 LOCALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS CÉLULAS DE GRADE
A forma de localizar as variáveis nas células da grade é a alternada ou intercalada
(“staggered grid”) para otimizar a solução numérica. O nível do mar e as velocidades distribuídas
em diferentes pontos da célula amenizam o surgimento de pequenas ondas estacionárias na solução
(Hess, 1989). Por exemplo, dentre outras vantagens o gradiente de pressão entre dois pontos
adjacentes é a força natural para as componentes de velocidade localizadas entre eles (Anderson et
al, 1984).
( )Em #1 temos : onde :
em #2 temos: onde : e
h H A f C C u v
uH X F B X HP
xHG u
FH
C H u
h sx sy wb wb b b
bx uu su x sxa
x b
bxx
c ws su
, , , , , , ,
, , , , , * '
φ τ τ φ
θ θ τ α ∂∂
φ
φβ
β θ
= + +
= − − −
= +
1 22 2
0
1 1
em #3 temos: onde : e
e em #4 temos:
vH Y F B Y HP
yHG v
FH
C H v
by vv sv y sya
y b
byy
c ws sv
uv
, , , , ,
.
* 'θ θ τ α ∂∂
φ
φβ
β θ
θ
= − − −
= +
0
1 1
xcv
O método de direção alternada de dois estágios de Abbott é implícito. Segundo Sobey
(1970) apud Hess (1989), o método é incondicionalmente estável para o caso de profundidade
constante, não inclusão dos termos advectivos não lineares, termo de Coriolis, gradientes de
pressão, gradientes de densidade, fricção e difusividade horizontal. Hess utiliza como referência um
critério projetado para um esquema explícito e que é dito ser numericamente estável se
∆ ∆t
l
gHmax
≤
, onde Hmax é a profundidade máxima da área modelada, ou seja, o passo de tempo
é controlado pelo espaçamento da grade e pela velocidade da onda de gravidade em água rasa. O
controle do passo de tempo funciona como um filtro, que deve eliminar os efeitos de processos de
freqüências mais altas que a limitada pela velocidade, no caso, da onda de gravidade em água rasa.
A.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES NO MODO EXTERNO
No modo barotrópico as variáveis de interesse são os transportes U e V e o nível do mar h.
Como U uH V vH= =, que levados à equação de continuidade para o modo
externo ( ) ( )∂∂
∂∂
∂∂
h
t B xB Hu
B yB Hv
xx
yy+ + =
1 10 (eq. V.35), fica
( ) ( )∂∂
∂∂
∂∂
h
t B xB U
B yB V
xx
yy+ + =1 1
0. (A.1)
Levando agora U e V às equações de momentum na direção x e y temos
( )
( )
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
U
tb
B xHB q u
U
H yHq uv gH
h
xa H
P
xHG fV
B xA B H
x
U
Hb
yA H
v
x
u
yt t b C
Bq u U
ax
x uu uva
x
xh x c h Sx bx c ws
xSu
+
+
= − − − + +
+ − +
+ −
1
12 1
1
0*
_
(A.2)
( )
( )
∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
θ ∂∂
α ∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
τ τ β θ
V
t xH uv
B yHB v
V
HgH
h
yH
P
yHG fU
B yA B H
V
H xA H
v
x
u
yC
Bv V
a uvy
y vva
y
yh y c h Sy by c ws
ySv
+ +
= − − − − +
+ − +
+ −
1
12 1
1
0*
_
(A.3)
xcvi
O arrasto no fundo pode ser expresso como τ φbx bu= . Como u foi definido como
u u u= + ′ e v v v= + ′ , temos: ( )τ φ φbx b b bu vU
Hu= + = + ′
e
τ φby b
V
Hv= + ′
. Somando-se o arrasto no fundo com o lateral obtém-se :
τ β θ φ β θ
φ φ β θ φ β θ φ
bx c wsx
Su b c wsx
Su
b c wsx
Su c wsx
Su b
CB
u UU
Hu C
Bu U
U
Hu C
Bu U
U
HC H
Bu u
+ = + ′
+ =
+ ′ = +
+ ′
1 1
1 1
(A.4)
Hess (1989) utiliza a notação descrita a seguir para compactar as equações.
A B A B u B v H uv X HP
xHG ux y x uu y vv uv Sx
ax b= = ⊗ = ⊕ = = − − − ′; ; ; *θ θ θ θ τ α ∂
∂φ e 0 (A.5)
Y HP
yHG vSy
ay b= − − − ′τ α ∂
∂φ0
* (A.6)
F CB
H u Hbx c wsx
Su= +
φ β θ1
/ (A.7)
F CB
H v Hby c wsy
sv= +
φ β θ1
/ A.8)
Aplicando esta notação, podemos reescrever as equações na forma compacta:
equação de continuidade
( ) ( )Ah
t xB U
yB Vx y
∂∂
∂∂
∂∂
+ + = 0 (A.9)
e equações de momentum em x e y
( )
( )
∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
U
t B xU
ygH
h
xX fV F U
B xB A H
x
U
H yA H
v
x
u
y
ax
bx
xx h c h
+ + ⊕
= − + + − +
+ − +
1
12 1
(A.10)
( )
( )
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
V
t B yV
xgH
h
yY fU F V
B yB A H
y
V
H xA H
v
x
u
y
ay
by
yy h c h
+ ⊗ + ⊕
= − + − − +
+ − +
1
12 1
(A.11)
xcvii
Adotando a notação abaixo para discretização temporal:
( ) ( )F F t F F tT
F F t T= ′ = +
′′ = +0 0 02
; e ∆ ∆ , onde ∆T é o incremento temporal para o
modo barotrópico.
Referenciando a diferenciação espacial pelos índices n e m relativos as direções y e x
respectivamente, e ainda, quando o ponto de grade for o (n,m), notando-o por (), podemos rescrever
as soluções das equações no modo externo para a direção x com esta notação.
A equação de continuidade ao centro da célula mostrada na figura 1, discretizada no espaço
e no tempo, fica :
( ) ( )
( )
2 1
21
0
1 1 1 1
1 1
A
th h
LB U B U B U B U
LB V B V
x x n m n m x x n m n m
y y n m n m
()() () () () ( , ) ( , ) () () ( , ) ( , )
() () ( , ) ( , )
∆ ∆
∆
′ − + ′′− ′′ + − +
− =
− − − −
− −
(A.12)
Multiplicando-a por ∆t / 2 , fazendo ( )C t L1 4= ∆ ∆ e rearranjando os termos, temos :
( )′′ − + ′ + ′′ =− −U B C h A U B C Dn m x n m x m( , ) ( , ) () () () () ( )1 1 1 1 (A.13)
( )[ ]D A h C B U B U B V B Vm x x n m n m y y n m n m( ) () () () () ( , ) ( , ) () () ( , ) ( , )= − − + −− − − −1 1 1 1 12 . (A.14)
Hess procura definir uma relação de recursão para o momentum com a forma abaixo
′ ′ = − ′− − −U FA FB hn m m m( , ) ( ) ( ) ()1 1 1 (A.15)
e substituindo na expressão em U” (A.13), temos :
( )FA FB h B C h A U B C Dm m x n m x m( ) ( ) () ( , ) () () () () ( )− − −− ′ − + ′ + ′′ =1 1 1 1 1 (A.16)
e reescrevendo: ( ) ( )′ + + ′′ = +− − − −h A C FB B U B C D C FA Bm x n m x m m x n m() () ( ) ( , ) () () ( ) ( ) ( , )1 1 1 1 1 1 1 . Definindo
agora
( ) ( )GA D C FA B A C FB Bm m m x n m m x n m( ) ( ) ( ) ( , ) () ( ) ( , )= + +− − − −1 1 1 1 1 1 e (A.17)
( ) ( )GB (m) = − −B C A C FB Bx m x n m() () ( ) ( , )1 1 1 1 (A.18)
pode-se então escrever ′ = − ′′h GA GB Um m() ( ) ( ) () . (A.19)
xcviii
Esta equação foi derivada a partir da continuidade e pode ser resolvida com U avançado no tempo.
xcix
A.2.1 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO X NO MODO EXTERNO
Para o momentum na direção x, o termo ( )∂ θ ∂U x é aproximado por um método de
diferenciação do tipo progressiva. Esta técnica utiliza coeficientes de difusão artificiais para
estabilizar a forma de diferenciação numérica aplicada a equações advectivas representadas por
derivadas de primeira ordem. Por exemplo: na solução da equação de advecção (hiperbólica) : ∂∂
∂∂
u
tc
u
x+ = 0 , utiliza-se um esquema aplicado a uma equação do tipo
∂∂
∂∂
∂∂
u
tc
u
xK
u
x+ =
2
2, onde o
termo Ku
x
∂∂
2
2 representa uma difusão de energia gerada (propagada) na malha (Wrobel, 1989).
Hess (1989) aplica a derivação em duas regiões da célula, na primeira metade (na direção
positiva de x) e na segunda metade (direção negativa de x). A função 1± CU , baseada na direção
da corrente (escoamento) é utilizada para relacionar o valor “upstream” a ser então empregado no
esquema numérico.
Definindo então : UE u VE v AH A Hh= = = ;; ;
H h d CU U Uh() () () () ()= + =β ; ; ( )AHC AH AH AH AHn m n m n m() () ( , ) ( , ) ( , )= + + ++ + + +1
4 1 1 1 1 , Hess
obtém a forma da equação em diferenças finitas para o setor da célula onde está localizado U.
( )( ) ( )( )
[ ] ( )( )( )
′′−+
− ′′ − ′′ + +
′′− ′′
⊕ − ⊕ = − + ′ − ′ + +
+ + + − ′′+
+ +
− −
− + +
+ − − −
U U
t L B
CU U U CU
U U
L
g
LH H h h X
fV V V V F U
L
ax
n m n m
n m n m
a n m n m n m
n m n Mm n m
() ()
()
( , ) ( , ) () ()
() () ( , ) ( , )
() ( , ) () ( , ) ( , ) () ()
() ( , ) ( , ( , ) () ()
∆ ∆
∆ ∆
∆
1
2
1 1 1
1
2
4
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 2
βθ θ
θ θ
β
( )
[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )
BAH B B
U H H U H H AH B B
U H H U H HL
AHC UE UE
VE VE AHC UE UE VE
xn m x x n m
n m n m n m n m x x n m
n m n m n m c
n m n m n m n
()( , ) () ( , )
( , ) ( , ) ( , ) () ( , ) () () () ( , )
() ( , ) () ( , ) () ( , ) () () ()
( , ) () ( , ) () ( , ) (
[
] [ (
_ )
+ +
+ + + + −
+ − −
= − − −
+
′′ + − ′′ + − +
′′ + − ′′ + + − − +
− − +
1 1
1 2 1 1 1
1 1 1 2
1 1 1 1
11β
∆( ), ) ( , )_ ]m n mVE+ −1 1
(A.20)
Multiplicando por ∆t e, para simplificar a manipulação algébrica da eq., defini-se:
c
( )C gT
LC
T
LC
T
LC
T
LHH C H Hm n m2
23 4 5
222 1= = = = = + +
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
; ; ; ; () ( , )
( ) [ ]( ) ( )
V V V V V AUV C
Q CCU
BQ C
CU
B
b n m n m n m a n m
mx
px
= + + + = ⊕ ⊕
=+
=−
+ − − + −1
43
51
51
1 1 1 1 1() ( , ) ( , ) ( , ) () ( , )
() ()
; ;
;
β
( ) ( )( )
AHUYY CAHC UE UE VE VE
AHC UE UE VE VEc
n m n m
n m n m n m n m
= −− + − −
− + −
+ +
− − − + −
1 41 1
1 1 1 1 1
β() ( , ) () ( , ) ()
( , ) () , () ( , ) ( , )
B CB
BAH B C
B
BAHm
x n m
xp
x n m
xn m= +
= +
− +
+4 1 4 11 11
( , )
()()
( , )
()( , ) e
A equação do momentum em x pode ser reescrita como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
′′− + ′′ − ′′ + ′′− ′′ + =
− ′ − ′ + − ′′+ +
′′ + − ′′ + −
′′ + − ′′ +
+ + − −
+
+ + + +
+ − −
U U Q q U q U Q q U q U AUV
DtX HH h h fDtV DtF U AHUYY
B (U H H U H H )
B (U H H U H H )
() () p (n,m 1) (n,m 1) () () m () () (n,m 1) (n,m 1)
() m (n,m 1) () b () ()
p (n,m 1) (n,m 1) (n,m 2) () () (n,m 1)
m () (n,m 1) () n,m 1() () (n,m 1)
(A.21)
Rearrumando os termos em ′′ ′U h e para o lado esquerdo da equação e evidenciando-os,
podemos escrevê-la na forma compacta :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]′ ′ + ′ − + ′′ + ′ + ′′ =− + +U F h HH U F h HH U F Fn m m n m m n m( , ) () () ( , ) ( , )1 1 11 2 3 4 (A.22)
onde ( )F B H H Qm n m n m m1 1 1= − + −− −() ( , ) ( , )θ
( ) ( ) ( )F tF B H H B H H Q Qp n m m n m m p2 1 1 1= + + + + + + −+ +∆ () () ( , ) () ( , ) ()θ
( )F B H H Q F U tX AHUYY f tV AUVp n m n m n m p b3 41 2 1= − + + = + + + −+ + +( , ) ( , ) ( , ) () ()θ e ∆ ∆
Usando então as relações ′′ = − ′ ′ = − ′′− − −U FA FB h h GA GB Un m m m m m( , ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ()1 1 1 e (eqs. A.14
e A.19) já definidas, obtém-se:
( )( )[ ] [ ] [ ]
( )′′ − − − + + ′ + ′′ =
− + +
− + +
− −
U GB FB F HH F h HH U F
F FA F GA FB F HH
m m m n m m n m
m m n m
() ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
1 2 3
4 1 1 (A.23)
Hess toma a equação [ ] [ ]′ ′ − + ′ + ′′ =− −U B C h A U B C Dn m x n m x m( , ) ( , ) () () () () ( )1 1 1 1 (eq. A.13) obtida no
desenvolvimento da equação de continuidade em diferenças finitas, e a aplica a célula (M=1),
obtendo:
ci
[ ] [ ]′ ′ − + ′ + ′′ =+ + + + +U B C h A U B C Dx n m n m n m x n m m() () ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )1 11 1 1 1 1 e (A.24)
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )′ ′ = + ′′ − ′+ + + + + + +U D B C U B B h A B Cn m m x n m x x n m n m m x n m( , ) ( ) ( , ) () () ( , ) ( , ) ( ) ( , )1 1 1 1 1 1 11 1 , (A.25) que
levada a equação anteriormente obtida para o momentum discretizado na direção x (eq.A.23),
fornece sua forma final :
( ) ( )[ ]( )[ ]
( ) ( )
′′ + + + +
′ − =
− + + −
− +
+ + +
− − + +
U GB FB F HH F F B B
h H A B F
F FA F GA FB F HH F D B C
m m m x x n m
n m m n m x n m
m m m m m x n m
() ( ) ( ) ( ) () ( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 2 3
3
4 1 1 3 1
(A.26)
Esta equação pode ser escrita deixando ′′U () a esquerda e evidenciando ′ +h n m( , )1 de forma a torná-la
paralela à relação de recursão ′′ = + ′− − −U FA FB hn m m m( , ) ( ) ( ) ()1 1 1 (eq. A.15) aplicada a célula (m+1),
que torna-se ′′ = − ′ +U FA FB hm m n m() ( ) ( ) ( , )1 e, juntamente com
( ) ( )[ ]FA F FA F GA FB F HH F D B C Dm m m m m m x n m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) /= − + + −− − + +4 1 1 3 11 1 1 1 (A.27)
( )[ ]FB HH F A B C DDm m n m x n m( ) ( ) ( , ) ( , ) /= − + +3 11 1 (A.28)
( ) ( )[ ]DD GB FB F HH F F B Bm m m x x n m= + + +− +( ) ( ) ( ) () ( , )1 11 2 3 (A.29)
pode-se obter ′′U e ′h para a varredura em x (espaço). Para tal, necessita-se condições de
contorno.
Na condição de contorno na direção x para o nível do mar, usando sempre a notação adotada
por Hess (1989) na fronteira onde m=1=ma (início), ou primeira célula computada dentro da malha,
o valor do nível do mar deve ser conhecido na célula precedente (em m=ma-1=mam) e
′ =h hn mam( , ) 01, onde h01 é um valor fornecido por uma série temporal. Na fronteira final, ou seja, na
última célula a ser calculada na direção x (m=mb), é necessário conhecer o valor em mb+1=mbp, e
′ =h hn mbp( , ) 02 , onde h02 também é um valor fornecido por uma série temporal.
Tomando a equação de momentum em x, em diferenças finitas já na forma compacta,
desprezando Coriolis, os termos advectivos (não lineares)e a viscosidade horizontal, temos
( )′′ − = − − ′ − ′′U U tX HH h h tF Un mb n mb n mb mb n mb n mb( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) () ( , )∆ ∆0 . (A.30)
cii
Usando então a relação de recursão de massa (eq. A.19) em m=mb
( )′ = − ′′h GA GB Un mb mb mb n mb( , ) ( ) ( ) ( , ) na expressão acima, vem :
( )′′ − = − − + ′′ − ′′U U tX HH h GA GB U tF Un mb n mb n mb mb mb mb n mb n mb( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) () ( , )∆ ∆0 .
Isolando ′′U n mb( , ) do lado esquerdo da expressão, vem :
[ ] [ ][ ] [ ][ ]′′ = + + + + −
+ +
U U tX HH GA HH GB tF
h HH HH GB tF
n mb n mb n mb n mb mb mb mb
mb mb mb
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ()
( ) ( ) ( ) ()
∆ ∆
∆
1
10 (A.31)
que comparada com ′′ = − ′ +U FA FB hm m n m() ( ) ( ) ( , )1 (eq. A.15 em m+1) pode ser colocada na forma :
[ ] [ ]FA U tX HH GA HH tFmb n mb n mb mb mb mb( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ()= + + + +∆ ∆1 (A.32)
[ ] [ ][ ]FB HH HH tFmb mb mb( ) ( ) ( ) ()= + +1 ∆ (A.33)
Para a fronteira “mam”, adotando o mesmo procedimento e atentando apenas para a
mudança na diferença dos níveis ( )′ −h hn ma( , ) 0 , podemos então escrever:
( )′′ − = − ′ − − ′′U U tX HH h h tF Un mam n mam n mam mam n ma n mam( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) () ( , )∆ ∆0 (A.34)
e obter: [ ] [ ]FA U tX HH h tFmam n mam n mam mam( ) ( , ) ( , ) ( ) ()= + + +∆ ∆0 1 (A.35)
[ ] [ ][ ]FB HH tFmam mam( ) ( ) ()= +1 ∆ (A.36)
a partir da compactação com a equação ′′ = − ′ +U FA FB hm m n m() ( ) ( ) ( , )1 , utilizada então para obter as
condições de fluxo em m=mam: ′′ = ⇒ = =U U Un mam( , ) 0 0 0 FA e FB(mam) (mam) .
Na fronteira m=mbp ′′ = ⇒ = =U U Un mb( , ) 0 0 0 FA e FB(mb) (mb) .
A.2.2 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO Y NO MODO EXTERNO
Esta solução é obtida de forma análoga à da direção x, com uma diferença na forma em
diferenças finitas da equação de continuidade ( ) ( )Ah
t xB U
yB Vx y
∂∂
∂∂
∂∂
+ + = 0
A formulação das eqs na direção y busca solução para ′′ ′′V h e , considerando a forma para
a segunda varredura do método, definida anteriormente (eq. A.12)
ciii
( ) ( )
( )
2 1
21
0
1 1 1 1
1 1
A
th h
LB U B U B U B U
LB V B V
x x n m n m x x n m n m
y y n m n m
()() () () () ( , ) ( , ) () () ( , ) ( , )
() () ( , ) ( , )
∆ ∆
∆
′ − + ′′− ′′ + − +
− =
− − − −
− −
Multiplicando esta expressão por ∆T 2 e reorganizando os termos, vem :
[ ] [ ]′′ − + ′′ + ′′ =− −V B C h A V B C Dn m y n m y m( , ) ( , ) () () () () ( )1 1 5 5 (A.37)
onde ( )D A h C B U B U B U B Um x x n m n m x x n m n m( ) () () () () ( , ) ( , ) () () ( , ) ( , )= ′ − ′′ − ′′ + −− − − −1 1 1 1 1 (A.38)
Novamente procura-se chegar a uma relação de recursão com a forma abaixo
′′ = − ′′− − −V FA FB hn m n n( , ) ( ) ( ) ()1 1 1 (A.39)
que pode ser aplicada para eliminar ′′−V n m( , )1 de (A.37), e obter:
[ ] [ ]′′ + + ′′ = +− − − −h A FB B C5 V B C5 D FA B C5() () (n 1) y(n 1,m) () y() (n) (n 1) y(n 1,m) (A.40)
que pode ser arranjada para ficar na forma “recursiva” da equação de continuidade
′′ = − ′′h GA GB Vn n() ( ) ( ) ()
onde [ ] [ ]GA D FA B C A FB B Cn n n y n m n y n m( ) ( ) ( ) ( , ) () ( ) ( , )= + +− − − −1 1 1 15 5 (A.41)
[ ] [ ]GB B C A FB B Cn y n y n m( ) () () ( ) ( , )= + − −5 51 1 (A.42)
que pode ser solucionada para ′′h em todas as células dado ′′V .
O momentum na direção y (eq. A.11)
( )
( )
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
V
t B yV
xgH
h
yY fU F V
B yB A H
y
V
H
xA H
v
x
u
y
ay
byy
y h
c h
+ ⊗ + ⊕
= − + − − +
+
− +
1 12
1
onde é definido CV V V= () () e discretizado no lado n,m da célula, fica :
civ
( ) ( )( ) ( )( )
[ ] ( )( )( )
( )
1
DtV V
1
2DL
b
B
1 b V V 1 CV
V V
1
DLb
g
4DLH H h h h h
Yf
4U U U U F V
1
DL
1
B[A B B
V
() ()a
y()
c (n 1,m) (n 1,m) () ()
() () (n 1,m) (n 1,m)
e () (n 1,m) () (n 1,m) (n 1,m) () (n 1,m) ()
() () (n 1,m) (n,m 1) (n 1,m 1) () ()
2y()
(n 1,m) y() y(n 1,m)
(n
′′− +− ⊗ ′′ − ⊗ ′′ + +
⊗ ′′− ⊗ ′′
+
⊕ − ⊕ = − + ′′ − ′′ + − +
− + + + − ′′+
+′′
+ +
− −
− + + =
+ − + −
+ +
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
+ + +
+
− + − −
+ +
−+ −
− −
+ −
′′ +
−
+ ′′ + − ′′ + +
− − + − −
− + −
1,m) (n 2,m) (n 1,m)
() (n 1,m) ()
h() y() y(n 1,m) () (n 1,m) () (n 1,m) () (n 1,m)
c 2 () (n 1,m) () (n,m 1) ()
(n,m 1)
(n 1,m 1)
(n,m 1) () (n,m 1)
H H
V H H
A B B V H H V H H ]
1 b1
DL[AHC UE UE VE VE
AHCUE
UE VE VE]
(A.43)
cv
Multiplicando por ∆T e definindo :
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )( )
C g T L HH C H H U U U U U
AUV C Q C CV B Q C CV B
AHVXX CAHC UE UE VE VE AHC
UE UE VE VE
n n m b n m n m n m
a n m m y p y
c
n m n m n m
n m n m
6 4 61
4
3 5 1 5 1
1 4
1 1 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1
= = + = + + +
= ⊕ − ⊕ = + = −
= −− + − −
− + −
+ + − + −
−
+ + −
+ − −
∆ ∆ ; ;
; ;
( ) () ( , ) () ( , ) ( , ) ( , )
() ( , ) () ()
() ( , ) () ( , ) () ( , )
( , ) ( , ) ()
;
;β
β( )
( ) ( )( , )
( , ) () ( , ) ( , ) () ()
n m
p y n m y n m m y n m yB C B B AH B C B B AH
−
+ + −
= + = +
1
1 1 14 1 4 1
e
; .
Arranjando os termos com as velocidades avançadas no tempo e nível do mar, do lado esquerdo da
equação e evidenciando-os temos:
( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ]
[ ] ( )[ ]( )
′′ − ⊗ − + + ′′ − +
′′ + + − ⊗ + + + + +
′′ + ′′ ⊗ − + =
− + − + + −
− − −
+ +
+ + + + +
+
V Q B H H h HH
V tF Q Q B H H B H H
h HH V Q B H H
V AUV tY HH H H AHVXX f tU
n m m n m m n m n
m p p n m m n m
n m n n m p n m p n m n m
n n m b
( , ) ( , ) () ( , ) () ( )
() () () ( , ) () () ( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
() () ( ) ( , ) ()
1 1 1
1 1
1 1 1 1 2
1
1 ∆
∆ ∆
(A.44)
Fazendo ( )F Q B H Hm n m m n m1 1 1= − ⊗ − +− −( , ) () ( , )
( ) ( ) ( )F tF Q Q B H H B H Hm p p n m m n m2 1 1 1= + + − ⊗ + + + ++ +∆ () () ( , ) () () ( , ) (A.45)
( )F Q B H Hp n m p n m n m3 1 1 2= ⊗ − ++ + +( , ) ( , ) ( , ) (A.46)
( )F V AUV tY HH h h AHVXX f tUn n m b4 1= − + − − + −+() () ( ) ( , ) ()∆ ∆ (A.47)
podemos escrever :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]′′ + ′′ − + ′′ + ′′ + ′′ =− + +V F h HH V F h HH V F Fn m n n m n n m( , ) () ( ) () ( , ) ( ) ( , )1 1 11 2 3 4 (A.48)
equação com cinco incógnitas. Usando a relação ′′ = − ′′− − −V FA FB hn m n n( , ) ( ) ( ) ()1 1 1 (eq. VI.39) na
expressão acima vem :
[ ] [ ] [ ] [ ]′′ − − + ′′ + ′′ + ′′ = −− + + −h HH F B V F h HH V F F F Fan n n m n n m n() ( ) ( ) () ( , ) ( ) ( , ) ( )1 2 3 4 11 1 1 1 (A.49)
e usando a equação de recursão de massa ( )′′ = − ′′h GA GB Vn n() ( ) ( ) () (similar à eq. A.19 para U) na
equação acima temos:
( )[ ] [ ] [ ]( )
′′ + − + ′′ + ′′ = −
+ +
− + + −
−
V F GB HH F FB h HH V F F F FA
GA HH F FB
n n n n m n n m n
n n n
() ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 3 4 1
1
1 1 1 1
1
(A.50)
cvi
Tomando agora [ ] [ ]′′ − + ′′ + ′′ =− −V B C h A V B C Dn m y n m y n( , ) ( , ) () () () () ( )1 1 5 5 (eq. A.37), obtida
anteriormente da equação de continuidade e aplicando-a à célula n+m+1, obtém-se:
[ ] [ ]′′ − + ′′ + ′′ =+ + + + +V B C h A V B C Dy n m n m n m y n m n() () ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )5 51 1 1 1 1 (A.51)
Agora isolando o termo ′′+V n m( , )1 e levando-o à equação para o momentum acima, vem :
( )[ ]( )[ ]
( ) ( )
′′ + − + +
′′ − =
− + − −
− +
+ + +
− − + +
V F GB HH F FB F B B
h HH F A B C
F F FA GA HH F FB F D B C
n n n y y n m
n m n n m y n m
n n n n n y n m
() ( ) ( ) ( ) () ( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
2 1 3
3 5
4 1 1 3 5
1 1
1 1 1
1 1 1 1
(A.52)
que reescrita fornece a relação de recursão ′′ = − ′′+V FA FB hn n n m() ( ) ( ) ( , )1 onde:
( ) ( )[ ]FA F F FA GA HH F FB F D B C DDn n n n n n y n m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) /= − + + −− − + +4 1 1 3 51 1 1 1 (A.53)
( )[ ]FB HH F A B C DDn n n m y n m( ) ( ) ( , ) ( , ) /= − + +3 51 1 (A.54)
( )DD F GB HH F FB F B Bn n n y y n m= + + +− +2 1 31 1( ) ( ) ( ) () ( , ) (A.55)
Para resolver ′′ ′′V h e , necessita-se de condições de contorno.
Adotando a notação utilizada na condição de fronteira para x, temos para o nível do mar que
′′ =h hnam m( , ) 0 , e tomando a equação do momentum em y na forma compacta em diferenças finitas,
desprezando Coriolis, termos advectivos e viscosidade horizontal,
( )′′ − = − ′′ − + − − ′′V V tY HH h h h h tF Vnam m nam m nam m nam nam na m nam m nam m( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) () ( , )∆ ∆0 . (A.56)
Lembrando que em n=ma está a primeira célula a ser calculada (água), a equação acima pode ser
reescrita como :
[ ] ( )′′ + = + − − − − ′′V tF V tY HH h h H HH hnam m nam m nam m nam na m nam m nam na m( , ) () ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )1 0∆ ∆ (A.57)
Fazendo ( )[ ] [ ]FA V tY HH h h h tFnam nam m nam m nam na m nam m( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ()= + − − − +∆ ∆0 1 (A.58) e
[ ]FB HH tFnam nam( ) ( ) ()= +1 ∆ , temos ′′ = + ′′V FA FB hnam m nam nam na m( , ) ( ) ( ) ( , ) . (A.59)
As condições de contorno para o fluxo são análogas às do momentum x,
FA Vnam( ) = 0 e FB nam( ) = 0 . (A.60)
Para a última célula calculada na direção y (nb) e na célula avançada (n=nb+1) nbp temos
que ′′ =h hnbp m( , ) 0 . Aplicando a mesma equação de momentum utilizada na fronteira
cvii
inicial: ( )′′ − = − − ′′ + − − ′′V V tY HH h h h h tF Vnb m nb m nb m nb nb m nbp m nb m nb m( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) () ( , )∆ ∆0 (A.61) usando
a relação de recursão de massa na célula n=nb ′′ = ′′h GA Vnb m nb nb m( , ) ( ) ( , ) e levando-a à expressão
anterior e ainda, manipulando-a algebricamente, chegamos a:
( ) [ ]
[ ] [ ]
′′ =+ −
− −
+ + −
+ +
VV tY
HH h h GAHH GB tF
h HH HH GB tF
nb m
nb m nb m
nb nbp m nb m nb
nb nb
nb nb nb
( , )
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ()
( ) ( ) ( ) ()
∆∆
∆
1
10
(A.62)
Fazendo :
( ) [ ]FA nbV tY HH
h h GAHH GB tF
nb m nb m nb
nbp m nb m nb
nb nb( )( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ()=
+ −
− −
+ +∆
∆1 (A.63)
[ ] [ ]FB HH HH GB tFnb nb nb nb( ) ( ) ( ) ( ) ()= + +1 ∆ (A.64)
obtém-se, da mesma forma que na fronteira inicial as condições para o nível do mar.
Para o fluxo, por analogia temos FA V FBnb nb( ) ( )= =0 0 e .
A.3 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA EQUAÇÕES NO MODO INTERNO
Para resolver as equações para o modo interno, Hess soluciona u v' ' e de forma implícita
por um estágio na direção vertical em cada célula, repetindo o processo para cada célula da grade
numérica. Para isto, as equações V.40, V.41 e V.42 são reescritas com os termos que envolvem as
variações temporais e verticais e os termos lineares da fricção lateral do lado esquerdo, por
exemplo, a equação para o momentum horizontal na direção x no modo interno integrada
lateralmente em coordenadas sigma, fica :
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β( ) ( ~ )' ' '' 'Hu
t
wu
q H qA
u
q BC Hu u uv
xc ws+ −
+ + =1 1
termos restantes (A.65)
A estratégia é solucionar ′ ′u v e em todos os níveis na vertical em uma célula horizontal,
depois passar à célula (horizontal) seguinte e repetir o processo.
Neste caso (baroclínico) a estabilidade numérica do esquema não depende da velocidade da
onda de gravidade do modo externo. Hess (1989) utiliza, apenas como orientação, uma restrição
cviii
para estabilidade baseada em um esquema de Richtmyer & Morton (1967, apud Hess 1989) com
uma solução explícita. É bom lembrar que o esquema usado por Hess é implícito. Portanto a
restrição de estabilidade é utilizada apenas como guia para estimar o passo de tempo no modo
baroclínico.
A localização das variáveis na grade é mostrada na figura a seguir
w
v'
u'
w
v'
u'
Av
(L)
(L+1)
x
y
q
A.3.1 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO X NO MODO INTERNO
Solução do momentum x no modo interno, utilizando a notação e a abordagem original de
Hess (1989).
cix
( )
( )( )( )[ ]( )( )( )[ ]
( )
( )
( ) [ ]
∂∂
β
∂∂
θ
∂∂
θ
∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
τ τ
β
tHu
B xHB u u u u uu
yH u u v v uv
qwu
B xA HB
u
x
yA H
u
y
v
x H qA
u
q
H G G fHv CH
Bu u
a
xx uu
uvx
h x
c h v Sx bx
x x c wsx
′ +
+ ′ + ′ − +
+ ′ + ′ −
+ ′
− ′
−
− ′ + ′
− ′
+ − =
− + ′ − ′ + ′
1
12
11
~
* ( )u u u uSu+ −θ
(A.66)
Tomando ( )∂∂
∂∂
∂∂t
Hu Hu
tu
H
t′ = ′ + e, doravante suprimindo os apóstrofos (‘) e o til (~)
cx
de u,v e w, podemos reescrever a equação de momentum no modo interno em x como:
( )( )( )( )[ ]
( )( )( )[ ] ( )
( )
∂∂
∂∂
β
∂∂
θ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
tu
u
H
H
t
HB xH B u u u u u
H yH u u v v
H qwu
HB xA HB
u
x H yA H
u
y
v
x
H qA
u
qX fv F u
ax
x
xh x c h
v s
+ ++ + − +
+ + − ⊕ +
−
− − +
−
= − −
1
1 1
12 1
1
12
(A.67)
onde: F CB
u us c wsx
= +β 1 (A.68)
( )X G G F CB
u uHx x s c ws
xsu Sx bx= − − −
− −* β θ τ τ1 1
(A.69)
e θ Su é o mesmo já definido para a discretização das equações no modo barotrópico.
Arranjando os termos que envolvem variação vertical ou temporal de u e a porção linear da
fricção lateral do lado esquerdo da expressão, chamando-os de F’, deixando os termos restantes do
lado direito e chamando-os de R’, temos que F’=R’ e
( )′ = + + −
+F
u
t
u
H
H
t H qwu
h qA
u
qFa
v su
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
12
(A.70)
( )
( )( )( )[ ] ( )( )[ ]
′ = + −
+ − +
−
+ + − + + + − ⊕
R X fvHB x
A HBu
x H yA H
u
y
v
x
HB xH B u u u u u
H yH u u v v
xh x c h
ax
x
12 1
1
1 1
∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
β ∂∂
θ ∂∂
(A.71)
Usando agora a notação para diferenciação temporal ( ) ( )F F t F F T t= ′ = +0 0 e ∆ onde ∆t
é o passo de tempo para o modo interno, tomando o índice l para a vertical, com l crescente a
partir da superfície em direção ao fundo, e para o índice do centro da célula (l,n,m)=(). e lembrando
que a notação para H é bidimensional (não depende da vertical):
cxi
( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )
′ = ′ − + ′ + ′ + +
+ + +
′ + ′ −
+ + +
′ + ′
+
+
− − + +
−
+ + + +
+
F u u t u u u uh
t
q
w w w w
u u
w w w w
u u
H H
n m
a
l n m l n m l n m
l n m
l n m l n m l n m
l n m
n m
() () () () () () ( , )
( , , ) ( , , ) () ( , , )
( , , ) ()
() ( , , ) ( , , ) ( , , )
() ( , , )
() ( ,
∆
∆
1
22
1
8
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
∂∂
β( )
( )( )( )( ) ( )[ ]
+
− − + −
+ +
+
−
+ ′ + ′ −
+ ′ + ′
+ + ′
1
2
1 1 1 1
1 1
1
2
2
1
22
)
( , , ) ( , , ) ( , , ) ()
() ( , , ) () ( , , )
() ( , ) ()∆q
A A u u
A A u uH H F u
v l n m v l n m l n m
v v l n m l n m
n m s
(A.72)
Multiplicando a expressão por ∆t , e definindo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
C t q C t q H H H
G C w w w w H
G C w w w w H
D C A A H
D C A A H
n m
m a l n m l n m l n m
p a l n m l n m l n m
m l n m l n m
p l n m
1 8 2 2 2
1
1
2
2
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 12 2
12
= = = +
= + + +
= + + +
= +
= +
+
− − + +
+ + + +
− − +
+
∆ ∆ ∆ ∆ ; ; () () ( , )
( , , ) ( , , ) () ( , , ) ()
() ( , , ) ( , , ) ( , , ) ()
( , , ) ( , , ) ()
() ( , , ) ()
β
β
( )
2
2DH th
tH=
∆ ∂
∂ ()
Levando-os à expressão do momentum e separando do lado esquerdo os termos no tempo
( )t t0 + ∆ , vem que:
[ ] [ ] [ ]′ − + ′ + + + + + + ′ − =
+ −− +u G D u DH Gm G D D u G D
R u u DH
l n m m m p m p l n m p p( , , ) () ( , , )
() () ()
_1 11
(A.73)
Fazendo : F G Dm m1= − (A.74)
F DH G G D Dm p m p2 1= + + − + + (V I.75)
F G Dp p3= − − (A.76)
( )F R DH U4 1= + +() () (A.77)
pode-se escrever então: F u F u F u Fl n m l n m1 2 3 41 1′ + ′ + ′ =− +( , , ) () ( , , ) (A.78)
O termo ′R (lado direito da equação de momentum) pode ser reescrito de maneira a isolar
as advecções horizontais.
cxii
( )′ = + −
+ − +
+ −R X fv
HB xA HB
u
x H yA
u
y
v
xNa Nb
xh x c h
12 1
1∂∂
∂∂
β ∂∂
∂∂
∂∂
(A.79)
onde: ( )NaHB x
UH ya
x
= + ⊕
β ∂∂
θ ∂∂
1 1 (A.80)
( )( )( ) ( )( )( )NbHB x
HB u u u uH y
H u u v vax
x= + + + + +
β ∂∂
∂∂
1 1 (A.81)
são os termos advectivos horizontais. Lembrando U=Hu (U’=Hu’) e definindo AH A Hh= :
( )AHC AH AH AH AHn m n m n m() () ( , ) ( , ) ( , )= + + ++ + + +1
4 1 1 1 1 (A.82)
( )HI H H n m() () ( , )= + +2 1 (A.83)
( )( )BHI B H Hx n m() () () ( , )= + +2 1 (A.84)
( )v v v v vb l n m l n m l n m= + + ++ − − +1
4 1 1 1 1() ( , , ) ( , , ) ( , , ) (A.85)
Usando estas definições em ′R e multiplicando por ∆t vem:
( )( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
R tX tfvt
LBHI AH B B U U
AH B B u u u u AH B B u u
t
LHI AHC u u v v
AHC
b n m x x n m n m
x x n m n m n m x x n m n m
c l n m l n m
n
() () () ( , ) () ( , ) ( , ) ()
() () ( , ) () ( , ) ( , ) () () () ( , ) () ( , )
() () ( , , ) () ( , , ) ()
( ,
[
]
[
= + +
+ − −
+ − − − + −
+ −
− + − −
+ + +
− − + + −
+ +
−
∆ ∆ ∆∆
∆∆
2
1
2 1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 1
1
β
( )m l n m l n m l n mu u v v Na Nb) () ( , , ) ( , , ) ( , , ) () ()]− + − + −− − + −1 1 1 1
(A.86)
Definindo agora:
( ) ( ) ( )C t L C t L RA C BHI AH B Bp n m x x n m3 2 4 32 21 1= = = ++ +∆ ∆ ∆ ∆ ; ; () ( , ) () ( , ) (A.87)
( )RA C BHI AH B Bm x x n m= + −3 1() () () ( , ) (A.88)
( )( ) ( )( )RB C HI AHC RB C HI AHCp c m c n m= − = − −1 4 1 4 1β β() () () ( , ) e (A.89)
′R fica então :
( ) ( )( ) ( )
R tX tfv RA u u RA u u
RB u u v v RB u u v v
Na Nb
b p n m m n m
p l nlm l n m m l n m l n m l n m
() () ( , ) () () ( , )
( , ) () ( , , ) () () ( , , ) ( , , ) ( , , )
() ()
= + + − − − +
− + − − − + −
+ −
+ −
+ + − − + −
∆ ∆ 1 1
1 1 1 1 1 1 (A.90)
cxiii
Os termos Na e Nb (não lineares) são diferenciados com a técnica “upstream” usada no
modo barotrópico.
Fazendo ( )C t L C t L CU U U5 2 6= = =∆ ∆ ∆ ∆ ; e () () (A.91)
( )( ) ( )( )
( )
Na C HBICU U U CU
U U
C HI
a
n m n m
n m n m
a n m
()
( , ) ( , ) () ()
() () ( , ) ( , )
() ( , ) ()
=− − + +
−
+
⊕ − ⊕
+ +
− −
−
βθ θ
θ θ
β
51 1
6
1 1
1 1
1
(A.92)
( )( ) ( ){ }{ } ( ) { }{ }
( )( ) { }{ }( ) { }
Nb t L HBI CU H H B
u UE u UE H H B u UE u UE
CU H H B u UE u UE
H H B u UE
u
a n m n m x n m
l n m n m l n m n m n m x
n m x n m
n m x l n m n m
l n
() () ( , ) ( , ) ( , )
( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) () ( , ) () () () () ()
() ( , ) ( , ) () () () ()
() ( , ) () ( , , ) ( , )
, ,
[( )= − +
+ + − + + +
+ + + + + −
+ +
+ + +
+ + + + +
+ +
− − −
β ∆ ∆16 1
1
1 2 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
{ } ( )( ) ( )( )( )( )( )
m n m a n m n m n m
l n m n m l n m n m
n m n m n m l n m n m
l n m l n
UE t L HI H H H H
u u UE UE v v VE VE
H H H H u u UE UE
v v
− − + + + +
+ + + +
+ − − + − −
− −
+ + + + +
+ + + + + + −
+ + + + + +
+
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
16() ( , ) () () ( , ) ( , ) ( , )
() ( , , ) () ( , ) () ( , , ) () ( , )
() ( , ) ( , ) ( , ) () ( , , ) () ( , )
( , , ) ( ,
] [β ∆ ∆
( )1 1 1 1 1, ) ( , ) ( , ) ]m n m n mVE VE+ − − ++ +
(A.93)Definind
o: ( ) ( )C t L HB H H BXx n m7 16 1= = + +∆ ∆ ; () () ( , ) () (A.94)
HC H H H Hn m n m n m() () ( , ) ( , ) ( , )= + + ++ + + +1 1 1 1 (A.95)
a equação pode ser reescrita como:
( ) { } { }( )( ) { } { }( )
( )( )
Nb C HBI CU HB u UE HB u UE
CU HB u UE HB u UE
C HI HC u u UE UE v v VE VE
HC u u
a x n m l n m n m x
x x n m l n m n m
a l n m n m l n m n m
n m l n m
() () ( , ) ( , , ) ( , ) () () ()
() () () ( , ) ( , , ) ( , )
() () () ( , , ) () ( , ) () ( , , ) () ( , )
( , ) () ( , , )
[
]
[
= − + − + +
+ + − + −
+ + + + + + −
+
+ + +
− − −
+ + + +
− −
β
β
7 1
1
7
1 1 1
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1
1 1( )( )+ + + + +− − − + − − +UE UE v v VE VEn m l n m l n m n m n m() ( , ) , , () ( , , ) ( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1
(A.96)
Agora soluciona-se a equação F u F u F u Fl n m l n m1 2 3 41 1′ + ′ + ′ =− +( , , ) () ( , , ) (eq. A.77) , já obtida
anteriormente, utilizando um esquema implícito.
Usando como relação de recursão ′ = + ′ +u FA FB ul l l n m() ( ) ( ) ( , , )1 (A.97)
cxiv
e deslocando um nível na vertical ′ = + ′− − −u FA FB ul n m l l( , , ) ( ) ( ) ()1 1 1 . Os valores para FA FB( ) ( )1 1 e são
conhecidos na condição de contorno superior e serão propagados em direção às camadas inferiores.
Levando agora esta última equação à anterior, vem que:
cxv
F FA FB u F u F u Fl l l n m1 2 3 41 1 1( )( ) ( ) () () ( , , )− − ++ ′ + ′ + ′ = (A.98)
ou ainda:
( ) ( ) ( ) ( )′ = − + − ′ +− − + −u F F FA F F FB u F F F FBl l l n m l() ( ) ( ) ( , , ) ( )4 1 2 1 3 2 11 1 1 1 (A.99) Por
paralelismo com a relação de recursão pode-se escrever:
( ) ( )FA F F FA F F FBl l l( ) ( ) ( )= − +− −4 1 2 11 1 (A.100)
( ) ( )FB F F F FBl l( ) ( )= + −3 2 1 1 . (A.101)
A condição de contorno na superfície (direção x) A
H
u
qv
sx
∂∂
τ= ,ou tensão é aproximada por A
H
u
qv
sx
∆∆
= τ
que é o mesmo que u uqH
Avsx( ) ( )1 2− =
∆ τ , ou uqH
Au
vsx( ) ( )1 2=
+∆ τ , que tem a forma de
′ = + ′− − −u FA FB ul n m l l( , , ) ( ) ( ) ()1 1 1 (relação de recursão ou eq.A.98). Pode-se escrever que: u FA FB u( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2= + ,
ou seja, por paralelismo com uqH
Au
vsx( ) ( )1 2=
+∆ τ vem que: FA
qH
Avsx( )1 =
∆ τ e FB( ) .1 1= Esta é uma
aproximação por equações de diferenças de primeira ordem para a tensão na superfície. Hess utiliza ainda uma
aproximação de segunda ordem que é obtida através da expansão em série de Taylor com aproximação de segunda
ordem para obter ∂ ∂u q a saber: u u hu
q
h u
qq h q( ) ( )+ = + +∂∂
∂∂
2 2
22 . Resolvendo os termos que envolvem as
variações parciais de u em q por uma aproximação por série de Taylor truncada de primeira ordem, obtém-se:
u u uH
Aq
vsx( ) ( ) ( )1 2 3
4
3
1
3
2
3− + = τ ∆ que resolvido para u1 fica
u u uH
Aq
vsx( ) ( ) ( )1 2 3
4
3
1
3
2
3= − + τ ∆ . Aplicando paralelismo à expressão obtida durante a solução do termo à
esquerda da equação do movimento no modo interno na direção x (F u F u F u Fl n m l n m1 2 3 41 1′ + ′ + ′ =− +( , , ) () ( , , ) ou eq
(A.77). Nesta, fazendo l=2, obtém-se
F u F u F u Fn m n m n m1 2 3 41 2 3′ + ′ + ′ =( , , ) ( , , ) ( , , ) e levando a esta a solução obtida para u1 obtém-se
F u uH
Aq F u F u F
vsx n m n m1
4
3
1
3
2
32 3 42 3 2 3( ) ( ) ( , , ) ( , , )− +
+ ′ + ′ =τ ∆ (A.102)
Esta equação pode ser reescrita para obter u2 como:
cxvi
u F FH
Aq F F F F F F u
vsx2 34 1
2
32
4
31 3
1
31 2
4
31= −
+
+ − +
+
τ ∆ (A.103)
que tem paralelismo com a relação de recursão e finalmente é calculada como:
( ) ( ) ( ) ( )′ = − + − ′ +− − + −u F F FA F F FB u F F F FBl l l n m l() ( ) ( ) ( , , ) ( )4 1 2 1 3 2 11 1 1 1 (A.104)
Se FAH
Aql
vsx( ) = 2
3τ ∆ e F l( ) = 4 3. (A.105)
A condição de contorno de não deslizamento no fundo na direção x é u ulmax
= − , em q=-1 e a condição de
deslizamento com aproximação de primeira e segunda ordem é: A
H
u
qv
bx
=∂
∂τ em q=-1, onde a tensão é
( )τ bx lu umax
= +Φ que com aproximação de primeira ordem fica ( )u u qH
Au ul l
vlmax max max−
− =
+
1∆ Φ . Hess
faz R qH
Av
=
∆ Φ e reescreve a expressão anterior como ( )u u R u ul l lmax max max−
− = +1
ou
u u Ru Rul l lmax max max−− = +
1lembrando a relação de recursão u FA FB ul l l lmax max max max− − −
= +1 1 1
que levada à
expressão anterior produz a expressão para a velocidade no fundo :
( ) ( )u Ru FA FB Rl l lmax max max= − − −
−11 (A.106)
Fazendo aproximação de segunda ordem para A
H
u
qv
bx
=∂
∂τ , temos:
( ) ( )− + − =
+ = +
− −u u u q
H
Au u R u ul l l
vl lmax max max max max2 1
4 3 2 2∆ Φ .
Usando agora a relação de recursão u FA FB ul l l lmax max max max− − − −= +
2 2 2 1 e o fato que
u FA FB ul l l lmax max max max− − −= +
1 1 1e resolvendo para u em l(max), vem:
( )[ ]( )u
Ru FA FB FA
FB FB Rl
l l l
l lmax
max max max
max max
=+ − −
− − −− − −
− −
2 4
4 3 2
2 2 1
2 1
(A.107)
A.3.2 SOLUÇÃO DO MOMENTUM NA DIREÇÃO Y E Q NO MODO INTERNO
Para obter a solução do momentum no modo interno nas direções y e q, utilizando ainda a notação e
a abordagem de Hess (1989), toma-se a equação V. 41 para o momentum y no modo interno e, como na direção x,
suprimindo os apóstrofos(‘) e o til(~) de u,v e w e ainda arranjando a equação de tal forma que os termos que
envolvam v ou suas derivadas e a fricção lateral do lado esquerdo, vem:
cxvii
( ) ( )
( )( ) ( ) [ ]( )
( )( )( )[ ] ( )( )[ ]
∂∂
∂∂
β∂
∂∂ ∂ ∂
∂
ψ∂ ∂ ∂
∂β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
β∂
∂∂
∂
v
t
v
H
H
t H
wv
q H
A v q
qF v
fuHB
A HB v y
y H
A H u y v x
x
HB
H B v v v v v
y H
H v v u u
x
av
s
y
h y
ch
ay
y
+
+ − + =
− + + −+
−
+ + − ⊗+
+ + − ⊕
−
1 1
1 21
1
1 1
2
(A.108)
onde F CB
v vs c wsy
= +β 1e
( )y G G F b C
1
Bq v v
t t
H*
y y s c wsy
sv
sy by= − − −
−
− (A.109)
Seguindo os mesmos procedimentos utilizados na solução numérica para o momentum x no modo interno
chega-se a:
F v F v F v Fl n m l n m1 2 3 41 1′ + ′ + ′ =− +( , , ) () ( , , ) onde F G Dm m1 = − , (A. 110)
F TF DH G G D Ds m p m p2 1= + + + − + +∆ ; F G Dp p3 = − − ; ( )F R DH v4 1= + −() () (A. 111)
( )H H H n m() () ( , )= + +1 2 , ( )G C w w w w Hm a l n m l n m l n m= + + +− − + +β 1 1 1 1 1( , , ) ( , , ) () ( , , ) () , (A. 112)
( )G C w w w w HP a l n m l n m l n m= + + ++ + + +β 1 1 1 1 1() ( , , ) ( , , ) ( , , ) ()
( )( )
D CA A
Hm
l n m l n m=+− − +
21 1 1
2
( , , ) ( , , )
()
(A.113)
e ( )
( )D C
A A
Hp
l n m=+ +
21
2
() ( , , )
()
(A. 114)
Da mesma forma como no caso da solução numérica para o momentum x no modo interno obtém-se os termos do lado
direito da equação ( R )
( ) ( )( ) ( )
R T Tfv RA v v RA v v
RB u u v v RB u u v v
NA NB
n m n m b p l n m m l n m
p l n m l n m m l n m l n m
l n m l n m
( , ) ( , ) ( , , ) () () ( , , )
( , , ) () ( , , ) () , , ) () () ( , , )
( , , ) ( , , )
= − + + − − +
− + − − − + − +
+ +
+ −
+ + + −
∆ ∆ψ 1 1
1 1 1 1
(A.115)
onde ( )RA C HBI AH BY BYp n m n m= ++ +3 1 1() ( , ) () ( , ) , (A. 116)
( )RA C HBI AH BY BYm n m= + −3 1() () () ( , ) , (A. 117)
( )RB C HI AHCp c= −1 4β () () , ( )RB C HI AHCm c n m= − −1 4 1β () ( , ) (A. 118)
e ( )v v v v vb l n m l n m l n m= + + ++ − + −1
4 1 1 1 1() ( , , ) ( , , ) ( , , ) (A. 119)
cxviii
Os termos NA e NB são, da mesma forma que no caso da solução numérica para o momentum x no modo
interno, os termos advectivos não lineares e NA contém ⊗ e não varia com a profundidade ( l ) :
( )( ){ }( )( )NA C HBI CV v v
CV v v
a n m n m
n m n m
() ( , ) ( , ) (() ()
() () ( , ) ( , )
= − ⊗ − ⊗ +
− ⊗ − ⊗ +
+ +
− −
β 5 1
1
1 1
1 1
( )β a n mC HI6 1⊗ − ⊗ −() ( , ) () (A. 120)
onde foram definidos os termos :
( )HIH H n m
()
() ( , )
=+ +
2
1
(A.121)
( )( )HBIB H H n m
()
() () ( , )
2
1ψ + +
(A. 122)
( ) { }{ }
( ){ }
{ }
( )
NB C HBI
CVHBX v VE
HBX v VE
CVHBX v VE
HBX v VE
C HI
HC u u UE UE v v
l n m a
n m l n m n m
n m l n m n m
a
l n m n m l n m
( , , ) ()
( , ) ( , , ) ( , )
() () ()
() () ()
( , ) ( , , ) ( , )
()
() () ( , , ) () ( , ) () ( , , )
=
−+ −
+
+
++ −
+
+
+ + + + +
+ + +
− − −
+ + +
β
β
7
1
1
7
1 1 1
2
2
2
1 1 1
2
1 1 1( )( )
VE VE
HC u u UE UE
v v VE VE
n m
n m l n m l n m n m n m
l n m n m
() ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )
() ( , , ) () ( , )
+ −
+ + +
+ + +
+
− − + − − + −
− −
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
(A.123)
onde ( )HBX H H BXn m() () ( , ) ()= + +1 ; HC H H H Hn m n m n m() () ( , ) ( , ) ( , )= + + ++ + + +1 1 1 1 . (A. 124)
Aplicando o esquema numérico anteriormente definido para a solução das equações no modo interno na
direção x, novamente iniciando pelo topo da coluna e tomando aproximação de primeira ordem ao “stress”, temos
FAqH
Avsx1 = ∆ τ e FB1 1= . Para um esquema de segunda ordem, vem que FA
qH
Avsx1
2
3= ∆ τ e FB
14 3= .
As expressões para FA e FB em função de l são então calculadas como no caso da solução do modo interno na
direção x.
cxix
No fundo, temos as condições de contorno de deslizamento e de não deslizamento. No caso de não
deslizamento, a velocidade no fundo fica v vlmax = − . No caso de condição de deslizamento, temos uma aproximação
de primeira ordem que é:
( )( )[ ]( )( )[ ]v
qH A v FA
FB qH Almax
v lmax
lmax v
=−
− −−
−
∆
∆
φ
φ1
1 1 ; e uma aproximação de segunda ordem, onde
( )( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]vqH A v FA FB FA
FB FB qH Almax
v lmax lmax lmax
lmax lmax v
=+ − −
− − −− − −
− −
2 4
4 3 2
2 2 1
2 1
∆
∆
φ
φ (A. 125)
O problema é então resolvido acoplado à relação de recursão ′ = + ′ +v FA FB vl l l n m() ( , , )1 (similar à A. 99).
A velocidade vertical é obtida a partir da equação de continuidade no modo interno
1 1 10
B xB Hu
B yB Hv
H
w
qxx
yy
∂∂
∂∂
∂∂
( ') ( ')~
+ + = (A. 42). Hess multiplica os termos por B Bx y e considera que
no caso da ausência de canais são iguais a 1 e que no caso de escoamento em uma direção o termo normal é unitário,
logo a continuidade pode ser escrita como :
∂∂
∂∂
∂∂x
B Huy
B Hv B BH
w
qx y x y( ') ( ')~
+ + =10 (A.126)
Abolindo o til ( ~ ) e os apóstrofos(‘), pode-se escrever a equação em diferenças finitas como :
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
BX u u H H BX u u H H
BY v v H H BY v v H H
l q A w w
l n m n m n m l n m l n m n m
l n m n m n m l n m l n m n m
l n m
() () ( , , ) () ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
() () ( , , ) () ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
() () ( , , )
+ + − + + +
+ + − + + +
− =
+ + − − + − −
+ + − − + − −
+
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
14 0∆ ∆
(A.127)
e A B Bx y() = .
cxx
Evidenciando a velocidade vertical em (l,n,m) e reescrevendo, temos que:
( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
w w A l q
BX u u H H
BX u u H H
BY v v H H
BY v v H H
l n m
l n m n m
n m l n m l n m n m
l n m n m
n m l n m l n m n m
() ( , , ) ()
() () ( , , ) () ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
() () ( , , ) () ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
= −
+ + −
+ + +
+ −
+ +
+
+ +
− − + − −
+ + +
− − + − −
1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
4∆ ∆ (A. 128)
A.4 SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA AS EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DE CONSTITUINTES (T e S)
A equação para conservação de constituintes é :
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )
~
HC
t Bx
xB
xH uC D
hC
x By
yB
yH vC D
hC
y
qwC
HD
vC
qHR
+ −
+ −
+
−
=
1 1
1
(A. 129)
(similar às eqs. V. 30 e V.31), onde C é a concentração, u e v são as velocidades e HR é um termo fonte/sumidouro.
Expandindo a equação, multiplicando a derivada temporal por A ( )B Bx y e rearranjando os termos, vem que :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
AHC
tA
h
tC
B HuC
x
B HvC
yA
Cw
q
HD B C x
x
HD B C y
y
A
H
D C q
qAHR
x y h x
h y v
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
+
+ + + − −
− =
~
(A.130)
As equações de conservação de massa e de concentração devem ser consistentes. Hess toma as equações de
continuidade no modo externo ( ) ( )
Ah
t
B U
x
B V
yx y∂
∂∂
∂∂
∂+ + =
0 e no modo interno, multiplicada por A( )B Bx y ,
cxxi
( ) ( )∂∂
∂∂
∂∂
B Hu
x
B Hv
yA
w
qx y′
+′
+ ′ = 0. Para simplificar supõe que C=1 e que não haja fonte ou sumidouro no
processo. A equação de concentração fica então ( ) ( ) ( )
Ah
t
B Hu
x
B Hv
yA
w
qx y∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
+ + + =
~0
(A.131)
Substituindo a forma expandida da velocidade u U H u= + ′ e v V H v= + ′ e rearranjando os termos, temos
que :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A
h
t
B U
x
B V
y
B Hu
x
B Hv
yA
w
qx y x y∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
+ + +
′+
′+ =
~0 (A. 132)
onde os três primeiros termos somados são iguais a zero (é a equação de continuidade no modo externo) e os termos
que sobram satisfazem a equação de continuidade no modo interno.
Outra questão levantada por Hess é que a equação de concentração é integrada no passo de tempo do modo
interno, que é maior que o do externo, portanto, é necessário que se preserve a continuidade do processo. O passo de
tempo no modo interno é representado por ∆T e o passo no modo externo por ∆t , e se relacionam por ∆ ∆T N t= .
Tomando a equação ( ) ( )
Ah
t
B U
x
B V
yx y∂
∂∂
∂∂
∂+ + = 0 , que é a continuidade para o modo externo e discretizando no
tempo, vem :
( ) ( )[ ] ( )[ ]
Ah t h t t
t
B U t t U t
x
B V t t V t
yx y( ) ( ) ( ( ) ( ( )− +
++ +
++ +
=∆
∆∆ ∆1
2
1
20
∂∂
∂∂
(A.133)
e para o passo de tempo seguinte :
( ) ( )[ ]
( )[ ]A
h t t h t t
t
B U t t U t t
x
B V t t V t t
y
x
y
( ) ( ) ( ( )
( ( )
+ − ++
+ + ++
+ + +=
2 1
2
2
1
2
20
∆ ∆∆
∆ ∆
∆ ∆
∂∂
∂∂
(A.134)
Somando as duas equações e extendendo o somatório até N passos de tempo consecutivos
cxxii
( )
( )[ ]
( )[ ]Ah t j t h t
t
B U t j t U t j t
x
B V t j t V t j t
y
x
yj
N( ) ( )
( ) ( ( )
( ) ( ( )
+ −+
+ + + −+
+ + + −
==∑
∆∆
∆ ∆
∆ ∆
∂∂
∂∂
1
2
1
2
01
(A.135)
Agora dividindo por N vem:
( ) ( ) ( )A
h t j t h t
T
B U
x
B V
yx y( ) ( )+ −
+ + =∆∆
∂∂
∂∂
0 00 onde
( )U N U t j t U t j tj
N
01
1
21= + + + −
=∑ ( ) ( ( ) )∆ ∆ e ( )V N V t j t V t j t
j
N
01
1
21= + + + −
=∑ ( ) ( ( ) )∆ ∆ , que serão
então usados nas equações de conservação de salinidade e temperatura.
Hess escreve então as equações em diferenças finitas. O passo de tempo de integração é o utilizado para o
modo interno e U=U0 e V=V0. Partindo da eq. (A.129)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
AHC
tA
h
tC
B HuC
x
B HvC
yA
Cw
q
HD B C x
x
HD B C y
y
A
H
D C q
qAHR
x y h x
h y v
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
+
+ + + − −
− =
~
que pode ser reescrita como:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )AH
C
tA
h
tC A
Cw
q
A
H
D C q
q
B HuC
x
B HvC
y
HD B C x
x
HD B C y
yAHR
v x y
h x h y
∂∂
∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
+
+ − = − − +
+ +
~
(A.136)
ou ainda como:( ) ( )
AHC
tA
h
tC A
Cw
q
A
H
D C q
qF AHRv∂
∂∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
+
+ − = +
~ (A.137)
onde ( ) ( ) ( ) ( )
FB HuC
x
B HvC
y
HD B C x
x
HD B C y
yx y h x h y= − − + +
∂∂
∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
cxxiii
lembrando que u U H u= + ′ e v V H v= + ′ .
A equação anterior escrita em diferenças finitas na forma implícita, multiplicada pelo passo de tempo do modo interno
( )∆T e suprimidos os apóstrofos ( ‘) fica:
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )[ ]
A H C C TAh
tC T
A
q
C C w w
C C w w
TA
q HD C C D C C F A H R T
l n m l n m
l n m l n m
v l n m v l n ml n m
() () () () () ()() ( , , ) () ( , , ) ()
() ( , , ) () ( , , )
()
()( , , ) () () ( , , ) () ()( , , ) ()
( )
′ − +
′ +
′ + ′ + −
′ + ′ +
−
′ + ′ − ′ − ′ = +
− −
+ +
− +−
∆ ∆∆
∆∆
∆
∂∂ 4
1
1 1
1 1
2 1 11
(A.138)
Definindo ( )C T q1 4= ∆ ∆ ; C T q2 2= ∆ ∆ ; SS TA h t= ∆ () ∂ ∂ ; HH A H= () () ;
( )( )Gm C A w wl n m= + −1 1() () ( , , ) ; ( )( )Gp C A w wl n m= + +1 1() () ( , , ) ; ( )( )DmH
C A Dv= 12
()() ()
;
( )( )DpH
C A Dv l n m=
−
12
1
()() ( , , )
; pode-se então reescrever a equação como:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
HH C C SSC Gm C C G p C C
Dm C C Dp C C F HHR T
l n m l n m
l n m l n m
′ − ′ + ′ + ′ + ′ − ′ + ′ −
′ + ′ + ′ + ′ = +
− +
− +
() () () ( , , ) () () ( , , )
( , , ) () () ( , , )
1 1
1 1
∆ (A.139)
cxxiv
ou
( ) ( )( ) ( )
′ − + ′ + + − + + +
′ − − = + +−
+
C Gm Dm C HH SS Gm Gp Dm Dp
C Gp Dp F HHR T HHC
l n m
l n m
( , , ) ()
( , , ) ()
1
1 ∆ (A.140)
Como o processo é iniciado na camada acima do fundo (l=lmax-1) de um primeiro cálculo
obtém-se a relação de recursão ′ = + ′+ + +C GA GB Cl n m l l( , , ) ( ) ( ) ()1 1 1 que levada a equação anterior
produz:
( ) ( )( ) ( )
′ − + ′ + + − + + −
+ − − = + +−
+ +
C Gm Dm C HH SS Gm Gp Dm Dp
GA GB Gp Dp F HHR T HHC
l n m
l l
( , , ) ()
( ) ( ) ()
1
1 1 ∆ (A.141)
que pode ser escrito como
( ) ( )( )( ) ( )
′ − + ′ + + − + + + − − =
+ + + +− +
+
C Gm Dm C HH SS Gm Gp Dm Dp GB Gp Dp
F HHR T HHC GA Gp Dp
l n m l
l
( , , ) () ( )
() ( )
1 1
1∆ (A.142)
onde, definindo ( )( )DD HH SS Gm Gp Dm Dp GB Gp Dpl= + + − + + + − −+( )1 fica na forma
( ) ( )[ ] ( )′ =+ + + +
+ ′−+
−CF HHR T HHC GA Gp Dp
DDC
Dm Gm
DDl
l n m()
() ( )
( , , )
∆ 1
1 (A.143)
Arranjando para ficar similar a relação de recursão ′ = + ′ −C GA GB Cl n m l l l n m( , , ) ( ) ( ) ( , , )1
onde( ) ( )[ ]
GAF HHR T HHC GA Gp Dp
DDl
1
1=+ + + ++∆ () ( )
(A.144) e
( )GB
Dm Gm
DD1 =−
(A.145)
Os termos F, HR e A() não envolvem derivadas na vertical e definindo D H DHh = () e CT
l3
2 2= ∆
∆,
Hess usa a aproximação U uH U uh+ ≈ +0() onde
cxxv
( ) ( )uh u u u
H Hl n m l n m
n m= + ++
− ++
( , , ) () ( , , )() ( , )
1 11
28
; CT
l4
2= ∆
∆ e C
T
l5
16= ∆
∆. Podemos escrever, no
caso para a direção x o termo de fluxo difusivo
( ) ( ) ( )( ) ( )
∆THD B C x
xC DH DH BX C C
C DH DH BX C C
h xn m l n m
n m n m l n m
∂ ∂ ∂∂
= + − −
+ −
+ +
− − −
3
3
1 1
1 1 1
( , ) () () ( , , ) ()
() ( , ) ( , ) () ( , , )
(A.146)
e o termo de fluxo advectivo como
( )[ ] ( )( )
( ) ( )( ) ( )
∆TB U uH C
x
C BX U C BX u u u
H H
C CC BX U C BX
u u u H HC C
x l n m l n m
n m
l n m
n m n m
l n m l n m n m
l n m
n m
∂∂+
=+ + +
+
+ −+
+ + +
+
− +
+
+
− −
− + +−
−
4 5 2
4 5
2
0 1 1
1
1
1 0 1
1 1 1
1
1
() () ( , , ) () ( , , )
() ( , )
( , , ) ()
( , ) ( , )
( , , ) () ( , , ) () ( , )
() ( , , )
()
( , )
(A.147)
Adicionando-se os termos difusivo e advectivo de forma a obter o fluxo total na direção x e
ainda combinando os fatores em C vem :
( ) ( )[ ]
( )( )( )
∆THD B C x
x
B U uH C
x
CC BX DH DH C BX U
C BX u u u H H
h x x
l n m
n m
l n m l n m n m
∂ ∂ ∂∂
∂∂
−+
=
+ − −
+ + +
++
+
− + +
( , , )
() ( , ) () ()
() ( , , ) () ( , , ) () ( , )
()
1
1 0
1 1 1
3 4
5 2
( ) ( )( )( )
( )( )C
C BX DH DH C BX DH DH C BX U
C BX u u u H H C BX U
C BX u u u H H
n m n m n m
l n m l n m n m n m
n m l n m l n m l n m n m
n m()
() ( , ) () ( , ) () ( , ) ()
() ( , , ) () ( , , ) () ( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
()
( , )
3 3 4
5 2 4
5 2
1 1 1 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
1
+ − −
− + + −
− − − − + − −
+ − + − −
+ + + + +
+ + +
+−
( )( )( )
CC BX DH DH C BX U
C BX u u u H Hl n m
n m n m N M
n m l n m l n m l n m n m
n m
13 4
5 21
1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
1
( , , )
( , ) () ( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
( , )
−
− − −
− − − − + − −
+ + −
+ + +
−
(A.148)
que pode ser escrito como
cxxvi
( ) ( )[ ]∆THD B C x
x
B U uH C
xC FXMP
C FXCC C FXMM
h x xl n m
l n m
∂ ∂ ∂∂
∂∂
−+
= +
+
+
−
( , , )
() ( , , )
1
1
(VI-149)
onde FXMP,FXCC e FXMM correspondem aos termos entre chaves.
O fluxo na direção y é obtido de forma análoga e
( )( )( )
FYNMC BY DH DH C BY V
C BY v v v H H
n m n m n m
n m l n m l n m l n m n m
n m=+ − −
+ + +
− − −
− − − − + − −
−3 4
5 2
1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
1( , ) () ( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) () ( , )
( , ) (VI-150)
( ) ( )( )( )
( )( )
FYCC
C BY DH DH C BY DH DH
C BY V C BY v v v H H
C BY V C BY v v v
H H
n m n m n m
l n m l n m n m
n m n m l n m l n m l n m
n m
n m
=
− + − + +
+ + + + −
− + +
+
− − −
− + +
− − − − − + −
−
−
3 3
4 5 2
4 5 2
1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1
1
() ( , ) () ( , ) () ( , )
() () ( , , ) () ( , , ) () ( , )
( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
() ( , )
()
( , )
(VI-151)
( )( )( )
FYNPC BY DH DH C BY V
C BY v v v H H
n m n m
l n m l n m n m
=+ − −
+ + +
+
− + +
3 4
5 2
1 0
1 1 1
() ( , ) ( , ) ()
() ( , , ) () ( , , ) () ( , )
() (VI-152)
Condições de contorno são necessárias para iniciar o processo de integração, que neste caso
parte do fundo para a superfície.
Os termos que envolvem fluxos verticais são tornados nulos (Gp = Gm = 0, definidos
anteriormente). É adicionado um termo (Fb) com unidade de temperatura por velocidade, que
contabiliza o fluxo de calor do fundo para a massa líquida. Isto considerado pode-se escrever a
equação VI-139 como
( ) ( )
( )
HHC C
SSC Gm C C
Dm C CF
Fb HH R t
lmax n m lmax n m lmax n m lmax n m lmax n m
lmax n m lmax n m
2 2
2
1
1
′ − + ′ + ′ + ′ −
′ − ′ = + +
−
−
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) . ∆ (VI-153)
cxxvii
os termos divididos por 2 aparecem porque os estão relacionados com o volume da célula, que
junto ao fundo tem metade do volume das células interiores.
Multiplicando a eq. VI-153 por 2, e notando que tem apenas duas concentrações
desconhecidas, podemos reescrevê-la como uma relação de recursão com a forma
′ = + ′ −C GA GB Clmax n m lmax lmax lmax n m( , , ) ( ) ( ) ( , , )1 (VI-154)
onde [ ]( ){ }
( )GAF Fb HH R t
HH SS Gm Dmlmax( )
.=
+ +
+ + +
2
2
∆ (VI-154)
( )( )GB
Dm Gm
HH SS Gm Dmlmax( ) =−
+ + +2
2 (VI-155)
O termo advectivo (uv ) gerado no modo interno (definido anteriormente) aplicado ao fundo é
( )( )uv u u H Hb lmax n m lmax n m n m= + +− +. ( , , ) ( , , ) () ( , )25 1 1 (VI-156)
As condições de contorno no topo da coluna são análogas as do fundo, com uma meia célula
no topo com os fluxos tornados nulos (Gm = Dm = 0). Também é adicionado um fluxo (Fs) com
unidade de temperatura por velocidade de forma que a eq. VI-139 fica
( )[ ] ( )[ ]( )[ ]
′ + + − + ′ − − =
+ + +
C HH SS Dp Gp C Dp Gp
F Fs HH R t HHC
n m n m
n m
( , , ) ( , , )
( , , ).
1 2
1
2 2
2 ∆ (VI-157)
lembrando VI-143 que foi obtida via relação de recursão, podemos escrever a eq. VI-157 como
′ = + ′C GA GB Cn m n m( , , ) ( ) ( ) ( , , )2 2 2 1 (VI-158), eliminando o termo ′C n m( , , )2 chega-se a
[ ]( ) ( )[ ][ ]( )′ =
+ + + − − ++ + − − +
CF Fs HH R t HHC GA Gp Dp
HH SS Dp Gp GB Gp Dpn m
n m( , , )
( , , ) ( )
( )
.1
1 2
2
2 2
2
∆ (VI-159)
cxxviii
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cxxxi
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