Resposta em frequênciaNomenclatura H(ejω) – a resposta em frequência é útil na caracterização de um sistema LSI. Define de quanto a amplitude (complexa) de uma exponencial complexa é alterada ao ser filtrada pelo sistema. Exponenciais complexas são autofunções de sistemas LSI. Considerando a entrada:

Se pudermos decompor a entrada em uma soma de exponenciais complexas:

Resposta em frequênciaConsidere a entrada x[n]=cos(nωo) de um sistema invariante ao deslocamento com um valor real da resposta a amostra unitária h[n].

Decompondo a entrada em uma soma de exponenciais complexas:

Resposta em frequênciaA resposta em frequência é uma função de valor complexo de ω com periodicidade 2π .Esta é uma diferença da resposta de sinais contínuos no tempo, quenão é periódica. Isso ocorre porque uma exponencial de tempo discreto de frequênciaωo é a mesma que uma exponencial complexa de frequência 2π+ ωo .

Simetria:Se h[n] for real a resposta em frequência é uma função conjugadasimétrica da frequência:

A simetria conjugada de H(ejω) implica que a parte real é uma função par e a parte imaginária é impar:

Filtros Digitais“... Um processo computacional ou um algoritmo pelo qual um sinal amostrado é transformado em um sinal de saída...”Classificações:

FASE LINEAR:α É um número real e A(ejω) é uma função de valor real de ω. A

Fase de A(ejω) :

De modo geral:

Filtros DigitaisPASSA TUDO: Quando o módulo da resposta em frequênciafor constante:

Ex.:

α é qualquer número real com |α|<1. A resposta a amostra unitária fica:FILTROS SELETIVOS DE FREQUÊNCIA

Interconexão de sistemascascata

paralelo

Transformada de Fourier de Tempo discretoA resposta em frequência de um LSI é encontrada multiplicando h[n] por uma exponencial complexa e-jωn e somando em relação a n. Assim a TFTD é definida:

Para que exista, a TFTD deve convergir:

Uma sequência x[n] pode ser recuperada a partir da TFTD inversa:

A TFTD pode ser vista como uma decomposição de x[n] em uma combinação linear de todas as exponenciais complexas com frequências pertencentes ao intervalo -π<ω≤π

TabelaTransformada de Fourier de Tempo discreto

Observe que a origem está na TF de um sinal contínuo:Transformada de Fourier de Tempo discreto

Propriedades:Periodicidade: a TFTD é periódica em ω com período 2π. Assim, precisamos apenas de um período de X(ejω) ω∈[-π, π] para a análise de todo o domínio -∞<ω≤∞

Simetria: Utilizada para simplificar o cálculo da TFTD ou TFTD inversa.

Linearidade:Transformada de Fourier de Tempo discreto

Deslocamento:Modulação: Multiplicação do sinal por uma exponencial resulta em um deslocamento em frequência. Veja que a modulação de uma sequência por um coseno(ωo) resulta em um deslocamento para cima e para baixo de na freq. De espectro:

Inversão no tempo:Convolução:Teorema da multiplicação (convolução periódica):

Propriedades

Teorema de Parseval: O operador de TFTD conserva energia ao passar do domínio de tempo para frequência.

Transformada de Fourier de Tempo discreto

Aplicações: Equações de diferenças com coeficientes constantes:

Exemplo:Considere o LSI caracterizado pela equação de diferenças:

Aplicações: Como a convolução é uma multiplicaçào no domínio frequência, a TFDT é uma opção de realizar a convolução no tempo. Considere a resposta a amostra de um LSI e calcule a resposta do sistema a entrada onde |α|<1 |β|<1.

Exemplo:Resolvendo equação de diferenças: no exemplo seguinte, vamos supor condições iniciais iguais a zero. Para x[n]=δ[n], calculando a TFTD para cada termo:

Sabemos que a TFTD de x[n] é X(ejω) =1:

A TFTD inversa pode ser encontrada utilizando as propriedades de linearidade e deslocamento:

Sistemas inversosO inverso de um sistema com resposta a amostra unitária h[n] é um sistema cuja resposta g[n] a amostra unitária étal que:

Nem todos os sistemas são inversíveis, ou se existir a inversa, ela pode ser não causal. É o caso do filtro passa baixas ideal:

TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO

( ) ( ) [ ]

( )[ ] ( )

( ) radianos. em medida e digital freqüência denominada , real

variávelda complexa e contínua função uma é onde

21)(

:por obtidaser pode inversa madaA transfor

)()(

:por definida é (TFTD) Discreto Tempo de

Fourier de daTransforma sua então )( Se

1

ω

ωπ

ω

ω

ωπ

π

ωω

ωω

j

nj

-

jj

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njj

-

eX

deeXeXFnx

enxnxFXeX

nx

∫

∑

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∞<

−

∞

−∞=

−

+∞

∞

IMPLEMENTAÇÃO DA TFTD NO MATLAB

( )

( ) ( )

{ } ( ){ } { } { }

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

≡≡≡≡

−−==

−−=≡≤≤

∑=

−

knxX

knXx

T

lj

l

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kN

j

Mπj

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MMkkMπnnnNnx

nxeXnx

k

lk

exp :escrever podemos

e , , )( Definindo

,...,1,0,1,, , )( Então

,...,1,0,1,, , e )( duração de )(

:ediretament TFTD a rimplementa pode MATLAB :finita duração de )( b)

plotar possível é Só :infinita duração de )( a)

1

/

1

ω

πω

ω

ω

…

…

PROPRIEDADES DA TFTD

( ) ( )

( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ímpar) (simetria

par) (simetria

ímpar) (simetria ImIm par) (simetria ReRe

sejaou

simétrica. conjugada é real,for )( Se :Simetria .2

.2 período com em periódica é TFTDA :adePeriodicid 1.

*

]2[

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

πωω

πω

jj

jj

jj

jj

jj

j

jj

eXeX

eXeX

eXeXeXeX

eXeXeXnx

eXeX

−∠=∠

=

−=

=

=

=

−

−

−

−

−

+

PROPRIEDADES DA TFTD

[ ] [ ] [ ][ ] ( )[ ] ( )

[ ] ( )[ ] ( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )ωω

βαβα

ω

ω

ωωω

ωω

ddXjnnxF

nxFnxFnxnxFeXnxFeXnxF

eXenxF

eeXknxF

nxFnxFnxnxF

j

j

jnj

kjj

=

==

=−

=

=−

+=+

−

−

−

−

)( : freq. da domínio no çãoDiferencia .9

)()()(*)( : Convolução .8)( : Conjugação .7

)( : toEspelhamen .6)( : freqüência em toDeslocamen .5

)( : tempono toDeslocamen .4

)()()()( :eLinearidad .3

2121

**

)(

2121

00

PROPRIEDADES DA TFTD

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )

( )

( )

( )π

ω

ωπ

ωπ

θπ

ω

π ω

π

π

ω

π

π

θωθ

20

2

22

)(2121

2121

)( :energia de espectral Densidade

reais seqüências para

21)( : Parseval de Teorema .11

21)( )(

)( )()()( : çãoMultiplica .10

j

x

j

x

jx

jj

eX

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E

deXnxE

deXeXnxFnxF

nxFnxFnxnxF

≡Φ

=

==

≡∗

∗=

∫

∫∑

∫

−

∞

∞−

−

−

REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS LIT NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

[ ][ ] nj

njkj

k

knj

k

nj

njnj

enhFny

eekhny

ekhenhny

enhnhe

0

0

00

00

00

:complexa lexponencia uma a LIT sistema um de Resposta

ωωω

ωω

ωω

ωω

=

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

=

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⎢⎢⎣

⎡=

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∗→→

∑

∑

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)(

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS LIT

( )

( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑

=→→=

=→→=

≡ −∞

∞−

k

njjk

j

k

njk

njjjnj

njj

kkk eeHAnyeHeAnx

eeHnyeHenx

enheH

ωωωω

ωωωω

ωω

)( )(

)( )(

)(

:LIT sistema um de cia)Transferên de Função(ou Freqüência em Resposta

chamada é impulsiva resposta da TFTDA

000

RESPOSTA A SEQÜÊNCIAS SENOIDAIS

( ) ( )( )

( ) ( )( )∑

∑∠++=→

+=

∠++=→

+=

k

jkk

jkE

kkkk

jjE

kk eHneHAny

nAnx

eHneHAny

nAnx

ωω

ωω

θω

θω

θω

θω

cos)(

)cos()(

cos)(

)cos()(00

00

00

RESPOSTA A SEQÜÊNCIAS ARBITRÁRIAS

( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω

ωωω

ωω

jjjjj

jjj

jj

eXeHeYeHeX

eXeHeY

nyFeYnxFeXnhnx

=→→

=

==

: teremosconvolução da epropriedad a usando então , e

somáveis,enteabsoltutamforeme Se)()(

)()(

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA A PARTIR DE EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS

( )( ) ( )

( )∑

∑

∑∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

==

+=

=+

==

−=−+

N

l

ljl

M

m

mjm

j

M

m

mnjm

N

l

lnjjl

njj

njjnj

M

mm

N

ll

ea

ebeH

ebeeHaeeH

eeHnyenx

mnxblnyany

1

0

0

)(

1

)(

01

1

seja,Ou

logo ;)( então ,)( Se

)()()(

ω

ω

ω

ωωωωω

ωωω

IMPLEMENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA NO MATLAB

( )

{ } { } { }{ } { }

( ){ }( )( )ωla

ωmbH

H

lmωab

T

T

j

klm

N

l

ljl

M

m

mjm

j

jj

eH

NlMmab

ea

ebeH

k

k

k

k

−−

=

=

=======

+=

∑

∑

=

−

=

−

expexp teremosEntão

e

,...,0 , ,...,0, , , Seja

11

0

ω

ω

ω

ω

ω