Resposta em frequência - · Transformada de Fourier de Tempo discreto

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  • Resposta em frequnciaNomenclatura H(ej) a resposta em frequncia til na caracterizao de um sistema LSI. Define de quanto a amplitude (complexa) de uma exponencial complexa alterada ao ser filtrada pelo sistema. Exponenciais complexas so autofunes de sistemas LSI. Considerando a entrada:

    Se pudermos decompor a entrada em uma soma de exponenciais complexas:

  • Resposta em frequnciaConsidere a entrada x[n]=cos(no) de um sistema invariante ao deslocamento com um valor real da resposta a amostra unitria h[n].

    Decompondo a entrada em uma soma de exponenciais complexas:

  • Resposta em frequnciaA resposta em frequncia uma funo de valor complexo de com periodicidade 2 .Esta uma diferena da resposta de sinais contnuos no tempo, queno peridica. Isso ocorre porque uma exponencial de tempo discreto de frequnciao a mesma que uma exponencial complexa de frequncia 2+ o .

    Simetria:Se h[n] for real a resposta em frequncia uma funo conjugadasimtrica da frequncia:

    A simetria conjugada de H(ej) implica que a parte real uma funo par e a parte imaginria impar:

  • Filtros Digitais... Um processo computacional ou um algoritmo pelo qual um sinal amostrado transformado em um sinal de sada...Classificaes:

    FASE LINEAR: um nmero real e A(ej) uma funo de valor real de . A

    Fase de A(ej) :

    De modo geral:

  • Filtros DigitaisPASSA TUDO: Quando o mdulo da resposta em frequnciafor constante:

    Ex.:

    qualquer nmero real com ||

  • Interconexo de sistemascascata

    paralelo

  • Transformada de Fourier de Tempo discretoA resposta em frequncia de um LSI encontrada multiplicando h[n] por uma exponencial complexa e-jn e somando em relao a n. Assim a TFTD definida:

    Para que exista, a TFTD deve convergir:

    Uma sequncia x[n] pode ser recuperada a partir da TFTD inversa:

    A TFTD pode ser vista como uma decomposio de x[n] em uma combinao linear de todas as exponenciais complexas com frequncias pertencentes ao intervalo -

  • TabelaTransformada de Fourier de Tempo discreto

  • Observe que a origem est na TF de um sinal contnuo:Transformada de Fourier de Tempo discreto

    Propriedades:Periodicidade: a TFTD peridica em com perodo 2. Assim, precisamos apenas de um perodo de X(ej) [-, ] para a anlise de todo o domnio -

  • Linearidade:Transformada de Fourier de Tempo discreto

    Deslocamento:Modulao: Multiplicao do sinal por uma exponencial resulta em um deslocamento em frequncia. Veja que a modulao de uma sequncia por um coseno(o) resulta em um deslocamento para cima e para baixo de na freq. De espectro:

    Inverso no tempo:Convoluo:Teorema da multiplicao (convoluo peridica):

  • Propriedades

  • Teorema de Parseval: O operador de TFTD conserva energia ao passar do domnio de tempo para frequncia.

    Transformada de Fourier de Tempo discreto

    Aplicaes: Equaes de diferenas com coeficientes constantes:

  • Exemplo:Considere o LSI caracterizado pela equao de diferenas:

    Aplicaes: Como a convoluo uma multiplicao no domnio frequncia, a TFDT uma opo de realizar a convoluo no tempo. Considere a resposta a amostra de um LSI e calcule a resposta do sistema a entrada onde ||

  • Exemplo:Resolvendo equao de diferenas: no exemplo seguinte, vamos supor condies iniciais iguais a zero. Para x[n]=[n], calculando a TFTD para cada termo:

    Sabemos que a TFTD de x[n] X(ej) =1:

    A TFTD inversa pode ser encontrada utilizando as propriedades de linearidade e deslocamento:

  • Sistemas inversosO inverso de um sistema com resposta a amostra unitria h[n] um sistema cuja resposta g[n] a amostra unitria tal que:

    Nem todos os sistemas so inversveis, ou se existir a inversa, ela pode ser no causal. o caso do filtro passa baixas ideal:

  • TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO

    ( ) ( ) [ ]

    ( )[ ] ( )( )

    radianos. em medida e digital freqncia denominada , real varivelda complexa e contnua funo uma onde

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    1

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    -

    jj

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    -

    eX

    deeXeXFnx

    enxnxFXeX

    nx

    =

    ==