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Esta é a monografia do aluno Clecio do curso de Fisica Medica da PUC/SP sobre ressonancia magnetica.
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COMPREENDENDO A RESSONNCIA
MAGNTICA
ORIENTAO
Marisa Almeida Cavalcante
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo Faculdade de Fsica, Matemtica e Tecnologia
Bacharelado em Fsica
So Paulo - SP
2010
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo Faculdade de Fsica, Matemtica e Tecnologia
Bacharelado em Fsica
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CLECIO ROBERTO VIEIRA DA SILVA
COMPREENDENDO A RESSONNCIA
MAGNTICA
Monografia apresentada ao Curso de Fsica
Mdica da Pontifcia Universidade Catlica de
So Paulo PUC-SP, como requisito obteno do ttulo de Bacharel em Fsica.
Orientador: Prof. Dr. Marisa Almeida Cavalcante
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo Faculdade de Fsica, Matemtica e Tecnologia
Bacharelado em Fsica
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Agradecimentos
Meu agradecimento a Instituio de Ensino a qual venho a concluir meu curso de Fsica,
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo PUC-SP.
Agradeo a minha orientadora Marisa Cavalcante por ter me aceito neste projeto e por
ser uma excelente orientadora a qual me cobrou moderadamente conforme a minha
disponibilidade e por ter me ajudado na produo desde trabalho.
Agradeo tambm aos meus familiares e amigos conforme se segue.
A minha me por todas as coisas que fez e por todas que fez por nossa famlia e tambm
por todas as coisas que fez por mim, obrigado me.
Ao meu pai por ser um homem to inteligente e ter permitido aos seus filhos a concepo
de mundo e tambm pelo aprendizado de vida que responsvel pelo que sou hoje, obrigado
pai.
Agradeo tambm ao meu irmo Carlos por todas as palavras trocadas e pelo bom
exemplo que tem me dado diante de situaes quais a irracionalidade e a angustia
predomina, agradeo tambm pelo apoio que me deu e sempre me d quando preciso,
agradeo tambm as conversas que trocamos constantemente as quais eu sempre aprendo
coisas novas.
Ao meu irmo Claudio por ser uma pessoa que de forma indireta tem me ajudado
tambm e que tenho certeza que sempre me ajudara.
A minha irm Camila por ser minha irm a qual gosto muito e tenho um imenso carinho,
a qual uma pessoa que eu aprendi coisas importantes e boas.
Ao meu primo Antonio Erick por ser quase um irmo na minha vida, por ter tambm
caminhado comigo e me ensinado varias coisas as quais no cabem em pequenas linhas e por
defender minha razo de ser e pelo que virei a me tornar um dia.
Agradeo tambm ao meu professor Eduardo Narihisa por ter me dado fora e por me
fazer acreditar em coisas positivas nos momentos em que eu no acreditava mais e tambm
por acreditar em meus objetivos. A ele que eu considero mais que um simples amigo,
considero mais que algum que me mostrou a razo pela qual devemos ser sempre esforados
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em nossas conquistas, e devemos ter simplicidade e humildade. Ao professor Eduardo que no
momento ao qual ningum me orientou ele me deu a direo que permite a mim hoje escrever
este agradecimento.
Ao meu professor Emerson Takase, por ter me mostrado a importncia da integridade e
da verdade na vida, bem como por ter mostrado alguns conceitos e filosofias que mudaram o
meu pensamento e minha forma de viver.
Aos meus amigos Joo Cairo e Cleber, por ser parte de minha histria de vida desde o
cursinho at os dias atuais e tambm por terem participado de diversas dificuldades juntos e
ainda assim sermos amigos mesmo diante de brigas e discusses. Agradeo tambm aos dois
por me ensinarem varias coisas.
Agradeo ainda ao meu amigo Ivanilton por ter sido em quase todas as ocasies a nica
pessoa que dizia que eu era contestvel, por dizer que nem sempre eu estava certo sobre
minhas opinies, eu agradeo por tudo que contribuiu para o meu desenvolvimento intelectual
e pessoal.
Agradeo ainda a Maria do Rosrio e meu amigo Laercio, por serem pessoas de bem e na
qual tem me dado ateno nos momentos de indignao, agradeo a ambos por sempre terem
me escutado em diversas ocasies.
Agradeo aos meus colegas de classe e aos colegas que tenho feito nesta jornada, de
forma que o aprendizado trocado foi algo que contribuiu de forma satisfatria para uma
analise mais detalhada da vida e das pessoas.
A TODOS os que eu disse e que eu mencionei ou aqueles que por algum motivo tenha
me esquecido eu quero desejar meu grande AGRADECIMENTO por tudo que teve ligao
com a minha vida.
Clecio Roberto Vieira da Silva.
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FINALIDADE
O objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e materiais instrucionais
destinados aos profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar a
compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.
Alem de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos
desenvolvidos podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdica e/ou Engenharia
Biomdica da PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande
relevncia e que compe a grade curricular destes cursos.
RESUMO
Em trs de julho de 1977, foi realizada pelo Dr. Raymond Damadian, um mdico e
cientista, e seus colegas Dr. Larry Minkoff e Dr. Michael Goldsmith a primeira varredura de
corpo humano atravs da ressonncia magntica. Foram necessrias quase cinco horas para
produzir uma imagem. E se compararmos com os padres atuais, as imagens eram bem
primrias, mas indubitavelmente esta data mudou radicalmente o cenrio da medicina em todo
o mundo. At 1982, havia poucos aparelhos de ressonncia magntica nos EUA. Hoje, h
milhares deles. Hoje podemos gerar em segundos as mesmas imagens que levavam horas
antigamente. No entanto, a tecnologia deste exame bastante complicada e nem todos a
compreendem bem. Os profissionais da rea de sade em geral aprendem alguns procedimentos
de rotina, mas no so capazes de responder questes simples como: O que acontece com o seu
corpo enquanto voc est na mquina? O que voc pode ver com ela e por que tem de ficar to
imvel durante o exame? objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e material
instrucional destinado a profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar
a compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.
Alm de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos desenvolvidos
podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdia e/ou Engenharia Biomdica da
PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevncia e que
compe a grade curricular destes cursos. Este texto ficar disponvel na web em blogs criados
para disciplinas destinadas ao ensino e aprendizagem de Fsica Medica da PUC/SP de modo
que sero disponibilizados hyperlinks para que o leitor possa interagir como diferentes mdias
possibilitando uma maior compreenso dos fenmenos aqui abordados.
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PALAVRAS-CHAVES
Ressonncia Magntica Magnton de Bohr
Spin Precesso de Larmor
S
Momento Angular Stern - Gerlach
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SUMRIO
FINALIDADE ........................................................................................................................................................ 3 RESUMO ............................................................................................................................................................... 3 PALAVRAS-CHAVES ......................................................................................................................................... 4 SUMRIO .............................................................................................................................................................. 5 LISTA DE ILUSTRAES ................................................................................................................................. 6 1. INTRODUO ............................................................................................................................................ 8
1.1. UM POUCO DA HISTRIA DA RESSONNCIA MAGNTICA. ...................................................................... 9 1.2. MODELOS ATMICOS: UMA REVISO. .................................................................................................... 11
1.2.1. Teoria Atmica, Esfera de Dalton. .............................................................................................. 11 1.2.2. Modelo de Joseph John Thomson................................................................................................ 12 1.2.3. Teoria do Ncleo Atmico de Rutherford.................................................................................... 12 1.2.4. Modelo Atmico de Rutherford Bohr. ...................................................................................... 13 1.2.5. Modelo Quntico, Nuvens Eletrnicas de Heisenberg e Outros. ................................................ 16
1.3. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO. ....................................................................................................... 16 1.3.1. Momento De Dipolo Magntico e Magnton De Bohr. ............................................................... 16
1.4. PRECESSO E FREQUENCIA DE LARMOR. ............................................................................................... 21 1.5. MOMENTO ANGULAR ORBITAL. ............................................................................................................ 24
2. SPIN ............................................................................................................................................................ 30 2.1. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 30 2.2. EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH. ................................................................................................... 30 2.3. INTERAO SPIN ORBITA ................................................................................................................... 37 2.4. ENERGIA DE INTERAO SPIN ORBITA E MOMENTO ANGULAR TOTAL. ............................................... 37 2.5. EXPERIMENTO RESSONNCIA DE SPIN ELETRNICO ............................................................................. 39
2.5.1. Introduo. .................................................................................................................................. 39 2.5.2. Campo Magntico Gerado pelas Bobinas de Helmholtz Aplicado na Amostra. ......................... 43
2.6. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATRIO PARA A MONTAGEM EXPERIMENTAL. ....................... 44 2.6.1. Multmetro. .................................................................................................................................. 44 2.6.2. Osciloscpio Digital .................................................................................................................... 45 2.6.3. adaptador De Ressonancia Eletrnica. ....................................................................................... 46 2.6.4. Bobinas de Helmholtz. ................................................................................................................. 47 2.6.5. Suporte. ....................................................................................................................................... 47 2.6.6. Unidade De Prova. ...................................................................................................................... 49 2.6.7. Bobinas de Prova. ....................................................................................................................... 50 2.6.8. Amostra Utilizada........................................................................................................................ 51
2.7. MONTAGEM DO SISTEMA EXPERIMENTAL. ........................................................................................... 52 2.8. EXPLICAO DO CIRCUITO................................................................................................................... 54
3. ESPECIFICAES DA AMOSTRA ...................................................................................................... 57 3.1. PROPRIEDADES DA AMOSTRA E A RESSONANCIA .................................................................................. 57
4. RESULTADOS OBTIDOS ....................................................................................................................... 59 4.1. DETERMINAO DA CONSTANTE GIROMAGNTICA. ............................................................................ 59
5. RESSONNCIA MAGNTICA NUCLEAR. ......................................................................................... 62 5.1. INTRODUO RESSONNCIA MAGNTICA NUCLEAR. ........................................................................ 62 5.2. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 64 5.3. RESSONANCIA MAGNETICA NUCLEAR ................................................................................................. 65
5.3.1. Tempo de Recuperao e Relaxamento. ...................................................................................... 71 6. CONCLUSO ............................................................................................................................................ 81 7. APNDICES .............................................................................................................................................. 83
1. VOXEL. .................................................................................................................................................. 83 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................................................... 86
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LISTA DE ILUSTRAES
Figuras:
Figura 1.1 - Emisso de energia por um eltron que retorna ao seu estado inicial ................................................ 15 Figura 1.2 - Simulador para verificar a induo magntica em uma espira. .......................................................... 17 Figura 1.3 - Eltron em torno do ncleo atmico. ................................................................................................. 18 Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o clculo da freqncia de precesso ....................................................... 22 Figura 1.5 - Representao dos vetores momento angular para os estados possveis. ........................................... 28 Figura 1.6 - Representao esquemtica do momento angular e momento de dipolo magntico associado,
indicando o movimento de precesso do orbital. ......................................................................................... 29 Figura 2.1 - Aplicao de um campo magntico no homogneo a um dipolo. .................................................... 31 Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern Gerlach. ................................................................. 31 Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magntico .................................................................... 32 Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnticos na presena do campo magntico................................................... 33 Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach. ........................................................................................... 33 Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Ltio e o Hidrognio ................................................................................. 34 Figura 2.7 - Orientao espacial para Ls. .............................................................................................................. 35 Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a
contribuio de spin ..................................................................................................................................... 36 Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J. .................................................................................................... 38 Figura 2.10 - Diagramas vetoriais. ........................................................................................................................ 39 Figura 2.11 - Ausncia e presena do campo magntico e diferentes nveis de energia........................................ 40 Figura 2.12 - Arranjo bsico para a observao de spin eletrnico sobre uma amostra. ...................................... 41 Figura 2.13 - Traos no osciloscpio durante a ressonncia de uma amostra. ...................................................... 43 Figura 2.14 - Multmetro. ...................................................................................................................................... 45 Figura 2.15 - Osciloscpio Digital......................................................................................................................... 46 Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR. ........................................................................................ 46 Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz. ..................................................................................................................... 47 Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz. ............................................ 48 Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas. ............................................................................................................. 48 Figura 2.20 - Unidade de prova usada. .................................................................................................................. 49 Figura 2.21 - Posio da unidade de prova entre as bobinas. ................................................................................ 49 Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima............................................................................. 50 Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz)........................................................................ 51 Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH). .................................................................................................................. 51 Figura 2.25 - Molcula de difenil-picra-hidrazil (DPPH). ..................................................................................... 52 Figura 2.26 - Montagem do experimento. ............................................................................................................. 53 Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental. .............................................................. 53 Figura 2.28 - Circuito experimental....................................................................................................................... 54 Figura 2.29 - Senoide do campo magntico nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscpio, a
linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente. .......................................... 55 Figura 2.30 - Estados de ressonncia da amostra vista na tela do Osciloscpio. ................................................... 56 Figura 3.1 - Reao genrica entre o radical livre DPPH e um antioxidante. ........................................................ 57 Figura 4.1 - Representao dos valores experimentais encontrados. ..................................................................... 60 Figura 4.2 - Grfico obtido com os dados experimentais, representao do coeficiente angular gs. ..................... 61 Figura 5.1 - Exemplo tridimensional da obteno da IRM atravs da RMN. ........................................................ 63 Figura 5.2 - Obteno de uma imagem do crebro atravs da RMN. .................................................................... 63 Figura 5.3 - Dipolo Magntico Nuclear Fictcio.................................................................................................... 65 Figura 5.4 - Spins na ausncia e na presena de um campo magntico. ................................................................ 66 Figura 5.5 - Alinhamento paralelo e antiparalelo dos prtons de hidrognio. ....................................................... 67 Figura 5.6 - Direita: spins alinhados paralelamente e antiparalelamente ao campo magntico externo e vetor
resultante. ..................................................................................................................................................... 68 Figura 5.7 - Coordenadas tridimensionais x, y e z................................................................................................. 68 Figura 5.8 - Vetor magnetizao M perpendicular a magnetizao M devido ao campo B longitudinal. ............. 70 Figura 5.9 - Contraste em DP. ............................................................................................................................... 71 Figura 5.10 - Amplitude do sinal induzido diminuindo com o tempo (tempo de relaxamento T2). ...................... 72
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Figura 5.11 - A medida que perdemos a componente transversal da magnetizao, retomamos a magnetizao
longitudinal devido ao campo B0. ................................................................................................................ 72 Figura 5.12 - Representao grfica do tempo de recuperao e de relaxamento ................................................. 73 Figura 5.13. Sinal ponderado em T1, onde tecidos com T1 curto examinado com um tempo de repetio (TR)
longo. ........................................................................................................................................................... 74 Figura 5.14: Imagem RM ponderada de T2 ........................................................................................................... 75 Figura 5.15- Contraste em diferentes tecidos. ....................................................................................................... 76 Figura 5.16: imagens ponderadas em T2 e T1 e DP comparativamente ................................................................ 80 Figura 5.15 - Simulador sobre RMN disponvel em http://phet.colorado.edu/sims/mri/mri_pt.jnlp ..................... 80 Figura 7.1 - Representao de um voxel a esquerda a superposio a formao da imagem . .............................. 83
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1. INTRODUO
A imagem por ressonncia magntica (IRM) hoje um mtodo de diagnstico por
imagem estabelecido na prtica clnica e em crescente desenvolvimento.
Dada a alta capacidade de diferenciar tecidos, o espectro de aplicaes se estende a
todas as partes do corpo humano e explora aspectos anatmicos e funcionais.
A fsica da ressonncia magntica nuclear (RMN), aplicada formao de imagens,
muito complexa e abrangente, uma vez que tpicos como eletromagnetismo, supercon-
dutividade e processamento de sinais devem ser abordados em conjunto para o entendimento
desse mtodo.
Este trabalho tem por objetivo explorar de forma introdutria e simplificada a
compreenso da fsica da imagem por ressonncia magntica e demonstrar os mecanismos e
aplicaes da RMN servindo como texto de apoio para o aprofundamento do assunto atravs
deste trabalho [Mazzola, 2009]
Portanto objetivo deste trabalho elaborar recursos didticos e materiais instrucionais
destinados a profissionais da rea de sade e reas de interface de modo a propiciar a
compreenso do principio bsico de funcionamento dos aparelhos de ressonncia magntica.
Alem de preencher uma lacuna na formao destes profissionais, os recursos
desenvolvidos podero ser utilizados por estudantes do curso de Fsica Mdica e/ou
Engenharia Biomdica da PUC/SP, e tambm de outras instituies de ensino contribuindo
para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevncia e que compe a grade
curricular de diversos cursos.
importante salientar que diferentemente das monografias tradicionais, este texto
contar com hyperlinks, tendo em vista que ficar disponvel para o publico em geral em
blogs das disciplinas de Fsica Medica da PUC/SP.
Sabemos que atualmente em diversos ramos da medicina e da fsica mdica um dos
equipamentos mais usado est ligado Ressonncia Magntica Nuclear (RMN) e apesar do
grande uso e disseminao desta tecnologia poucos so os profissionais da rea da sade que
compreendem o seu principio bsico de funcionamento.
De outro lado as pessoas que utilizam atualmente a ressonncia magntica como
exames tambm desconhecem como se d a formao de imagem e qual o tipo de interao
que est ocorrendo com o seu corpo no momento da captura de imagens. Isso nos remete ao
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final do sculo XIX descoberta dos Raios X, quando a medicina comeou a utiliz-los para
diagnosticar e tratar os seus pacientes.
Naquela poca, diferentemente dos tempos atuais, pouco se sabia de fato sobre as
propriedades daquele feixe e o desconhecimento era no apenas da populao como tambm
da comunidade cientifica que buscava identificar suas propriedades.
A histria da espectroscopia da Ressonncia magntica nuclear (RMN) contribuiu de
modo significativo com o desenvolvimento de um conjunto de teorias na fsica que tiveram
aplicaes em diversas reas.
Na eletricidade, temos o desenvolvimento de leis da eletricidade que nos fazem
compreender como fenmenos eltricos se comportam em determinados sistemas fsicos. A
compreenso destas leis foi essencial para o desenvolvimento de teorias que nos tornou
possvel o entendimento de como se comporta a matria em diferentes estados.
Associado ao desenvolvimento do campo eltrico, temos tambm o surgimento das
equaes de Maxwell que tiveram grande aplicaes no estudo dos campos magnticos de
diferentes materiais, tornando possvel a compreenso do surgimento de diferentes campos
magnticos presentes na matria.
Por outro lado o desenvolvimento da mecnica quntica nos propiciou uma maior
compreenso dos tomos e de seus ncleos tais como a contribuio magntica atribuda a
eles e que sero tratados conceitualmente ao longo deste trabalho
1.1. UM POUCO DA HISTRIA DA RESSONNCIA MAGNTICA.
J no inicio do Sculo XX, por volta de 1920, Otton Stern e Walther Gerlach
planejaram um experimento para determinar se partculas tem algum momento angular
intrnseco. O experimento procurou determinar se partculas individuais tem algum momento
angular de spin quando um feixe de tomos sujeito a um campo magntico no homogneo
desviado em conformidade com a orientao dos momentos magnticos presentes em
determinados tomos.
Porm por volta de 1930 com o aperfeioamento dessa experincia foi possvel a
determinao de momentos magnticos nucleares.
Anos posteriores ao aperfeioamento deste experimento, no seguimento destas
experincias, por volta de 1939, Rabi e outros pesquisadores submeteram experincia de
Stern-Gerlach um feixe de molculas de hidrognio, primeiro a um campo magntico no-
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homogneo e verificaram que, que essas molculas apresentavam dois tipos de desvios e que
caracterizam a existncia de duas orientaes para o momento de dipolo magntico, resultado
este incompatvel com o esperado para elementos que apresentam um eltron apenas no termo
s de energia.
O resultado deste experimento seria, na verdade, a primeira prova observada da
existncia do spin e a consequente existncia de um momento de dipolo magntico intrnseco
para o eltron, fator este que justifica a existncia do fenmeno de ressonncia magntica,
como veremos adiante.
Em 1945-46 Bloch da universidade de Stanford, e Purcell e colaboradores, na
Universidade de Harvard, procurando medir momentos magnticos nucleares com uma
melhor preciso, observaram sinais de absoro da radiofrequncia por parte da gua e da
parafina esse estudo foi essencial para detectarem a presena da ressonncia magntica
nuclear em amostras liquidas e slidas.
O fenmeno de ressonncia magntica viria a interessar varias reas nos anos
posteriores principalmente na rea da Qumica e Bioqumica, pois suas aplicaes eram
importantes no estudo da espectroscopia de molculas e tomos.
Pouco tempo depois de comprovada a deteco da presena da ressonncia magntica
nuclear em amostras liquida e slidas, em 1953 era produzido e colocado no mercado o
primeiro espectrmetro RMN, permitindo uma elevada resoluo e aprecivel sensibilidade,
devido a estudos e comprovao da deteco de molculas de diferentes compostos mostrados
pela ressonncia magntica nuclear.
Desde o desenvolvimento do primeiro equipamento de RMN desenvolveram-se uma
quantidade elevada de aplicaes de seus fundamentos tericos e prticos na qumica e na
bioqumica.
Um grande salto qualitativo muito importante ocorreu em 1970 com a introduo de
tcnicas de impulsos de radiofrequncias, ou seja, do campo magntico aplicado amostra,
aliadas a tcnicas de anlise matemtica baseadas nas transformaes de Fourier, realizadas
por computador, daqui podemos ento perceber a origem de algo que na dcada atual foi um
grande desenvolvimento para os equipamentos usados e construdos atualmente.
A introduo da analise matemtica a fenmenos de ressonncia magntica nuclear viria
a permitir estudar amostras muito mais diludas e a tornar muito mais acessvel a utilizao de
diferentes ncleos como sondas magnticas em RMN, e permitiria uma enorme variedade de
novas tcnicas.
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A seguir faremos um breve resumo sobre a evoluo dos modelos atmicos at a
concepo da mecnica quntica que culminar na compreenso do spin e do momento de
dipolo magntico atmico, necessrio para a compreenso da formao de imagens nos
aparelhos de RMN.
1.2. MODELOS ATMICOS: UMA REVISO.
Para compreendermos os princpios bsicos que norteiam o fenmeno de ressonncia
magntica necessitamos ter clareza do modelo atmico e particularmente a contribuio
magntica a ele associada. Faremos neste item uma reviso geral acerca dos diferentes
modelos atmicos em uma rpida retrospectiva histrica.
1.2.1. TEORIA ATMICA, ESFERA DE DALTON.
Por volta de 1803, John Dalton publicou no seu trabalho Absoro de gases pela gua
e outros lquidos, os principais conceitos do seu modelo do seu modelo atmico.
De acordo com Dalton:
A matria formada por partculas muito pequenas designadas tomos.
tomos de um mesmo elemento possuem propriedades iguais.
tomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes.
Os tomos so indivisveis e indestrutveis.
Os tomos de diferentes elementos combinam-se entre si formando
compostos.
Essas so as principais caractersticas descritas por Dalton.
Em 1808, props a teoria do modelo atmico, onde de acordo com sua teoria o tomo
uma minscula esfera macia, impenetrvel, indestrutvel e indivisvel onde todos os
tomos de um mesmo elemento qumico so idnticos.
Para Dalton o tomo era um sistema contnuo. Apesar de um modelo simples, Dalton
deu um grande passo na elaborao de um modelo atmico, pois foi o que instigou na busca
por algumas respostas e proposio de futuros modelos.
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1.2.2. MODELO DE JOSEPH JOHN THOMSON.
Anos posteriores surgiria outro modelo que iria mostrar algumas caractersticas que o
tomo de Dalton no descrevia de forma aceitvel determinadas experincias desenvolvidas
depois de sua publicao.
O modelo atmico de J.J. Thomson foi uma teoria sobre a estrutura atmica,
descobridor da existncia de eltrons antes mesmo da descoberta dos prtons e nutrons.
Neste modelo, o tomo composto de eltrons embebidos numa sopa de carga positiva.
No seu estudo sobre o tomo creditava-se que os eltrons distribuam-se
uniformemente no tomo. Postulava-se que o tomo era constitudo de uma massa positiva
que concentrava praticamente toda a massa do tomo e distribudo uniformemente nesta
massa se encontravam os eltrons, tal como as ameixas em um pudim.
Seu modelo foi superado aps a experincia de Rutherford, quando foi descoberto o
ncleo do tomo, originando um novo modelo atmico conhecido como modelo atmico de
Rutherford.
1.2.3. TEORIA DO NCLEO ATMICO DE RUTHERFORD.
As bases para o desenvolvimento da fsica nuclear foram lanadas por Ernest
Rutherford ao desenvolver a sua teoria sobre a estrutura atmica em 1908. Rutherford
estudou por trs anos o comportamento dos feixes de partculas ou raios X, alm da emisso
de radioatividade pelo elemento Urnio.
Uma das inmeras experincias realizadas foi a que demonstrava o espalhamento das
partculas alfa.
Realizando experincias bombardeando lminas de ouro com partculas alfa (partculas
de carga positiva, liberadas por elementos radioativos), Rutherford fez uma importante
constatao da qual percebeu que a grande maioria das partculas que atravessava diretamente
a lmina de ouro, algumas sofriam pequenos desvios e outras em nmero muito pequeno,
sofriam grandes desvios, incluindo desvios em 180 graus
A partir das observaes, Rutherford chegou s seguintes concluses:
No tomo existem espaos vazios; a maioria das partculas o atravessava sem
sofrer nenhum desvio.
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No centro do tomo existe um ncleo muito pequeno e denso onde algumas
partculas alfa que colidiam com esse ncleo voltavam, sem atravessar a lmina.
O ncleo tem carga eltrica positiva; as partculas alfa que passavam perto dele
eram repelidas e sofriam desvio em sua trajetria.
De acordo com o modelo atmico de Rutherford, o tomo constitudo por um ncleo
central que concentra praticamente toda a massa do tomo, dotado de cargas eltricas
positivas (prtons), envolvidas por uma nuvem de cargas eltricas negativas (eltrons).
Esta foi a base experimental do modelo atmico chamado modelo nuclear onde
eltrons orbitavam em torno de um ncleo. De acordo com os resultados experimentais, o
raio deste ncleo deveria ser cerca de 10000 vezes menor que o raio atmico.
Portanto o modelo atmico de Rutherford ficou conhecido como modelo planetrio,
pela sua semelhana com a formao do Sistema Solar.
Este modelo foi estudado e aperfeioado depois por Niels Bohr, que acabou
demonstrando a natureza das partculas alfa como ncleos de hlio.
1.2.4. MODELO ATMICO DE RUTHERFORD BOHR.
A teoria orbital de Rutherford encontrou uma dificuldade terica resolvida por Niels
Bohr.
No momento em que temos uma carga eltrica negativa composta pelos eltrons
girando ao redor de um ncleo de carga positiva, este movimento gera uma perda de energia
devido emisso de radiao constante como considerado na teoria do eletromagnetismo.
Num dado momento, os eltrons vo se aproximar do ncleo num movimento em
espiral at que colidiro com o ncleo.
No ano de 1911, Niels Bohr publicou uma tese que demonstrava o comportamento
eletrnico dos metais. Na mesma poca, foi trabalhar com Ernest Rutherford em
Manchester, Inglaterra. L obteve os dados precisos do modelo atmico, que iriam lhe
ajudar posteriormente.
Em 1913, observando as dificuldades do modelo de Rutherford, Bohr intensificou suas
pesquisas visando uma soluo terica.
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E em 1916, Bohr retornou para Copenhague para atuar como professor de fsica,
continuando suas pesquisas sobre o modelo atmico de Rutherford.
Em 1920, nomeado diretor do Instituto de Fsica Terica, Bohr acabou desenvolvendo
um modelo atmico que unificava a teoria atmica de Rutherford e a teoria da mecnica
quntica de Max Planck.
Sua teoria consistia que ao girar em torno de um ncleo central, os eltrons deveriam
girar em rbitas especficas com nveis energticos bem definidos. Que poderia haver a
emisso ou absoro de pacotes discretos de energia chamados de quanta ao mudar de uma
rbita para a outra.
Realizando estudos nos elementos qumicos com mais de dois eltrons, concluiu que
se tratava de uma organizao bem definida em camadas. Descobriu ainda que as
propriedades qumicas dos elementos eram determinadas pela camada mais externa.
Bohr props o seguinte modelo:
No tomo, entre duas rbitas ao qual o eltron mantm seu movimento translacional,
temos as zonas proibidas de energia, pois s permitido que o eltron esteja em uma das
rbitas. Ao receber uma quantidade de energia eletromagntica, o eltron salta de uma rbita
para a outra, mas no num movimento contnuo, passando pela rea entre as rbitas (da o
nome zona proibida). Se um pacote com energia insuficiente para mandar o eltron para
rbitas superiores encontrar o eltron no seu caminho, nada ocorre.
Fornecemos abaixo alguns links para documentrios disponveis na web permitem
compreender a evoluo da Fsica no inicio do sculo XX:
http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr-um-pouco-de-
historia.html
http://fisicaengdeprodpucsp.blogspot.com/2010/03/modelo-de-bohr-
documentario-da-bbc.html
Mas se esse mesmo pacote de energia tiver a energia exata para que o eltron salte para
rbitas superiores, ele certamente o far, depois, devolvendo a energia absorvida em forma de
ondas eletromagnticas ao retornar para a sua orbita inicial.
Os n na figura abaixo representam os diferentes nveis de energia para um tomo de
hidrognio. Quando o eltron retorna ao seu estado inicial ocorre a emisso de energia como
mostra, Z representa o numero atmico e e a carga do eltron.
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Figura 1.1 - Emisso de energia por um eltron que retorna ao seu estado inicial
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_atom, acesso em 01/10/2010.
Existem na web uma serie de aplicativos em que podemos interagir com os diferentes
modelos atmicos e particularmente para o modelo Bohr podemos verificar; a energia de
emisso em transies entre os nveis, a relao entre os raios das diferentes orbitas bem
como suas velocidades:
Selecionamos a seguir dois links para simuladores em que estas constataes podem
ser realizadas:
http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr.html. Neste
simulador voc poder verificar a energia absorvida pelo tomo e bem como a
energia envolvida nas transies de diferentes nveis. Um espectrofotmetro
pode ser acionado para a observao da linha emitida e sua associao a
transio. Outra opo interessante neste aplicativo, a seleo dos diferentes
modelos atmicos.
http://fisicamodernaexperimental.blogspot.com/2009/07/modelo-de-bohr-
compare-as-velocidades.html Neste applet voc pode verificar
comparativamente as velocidades que o eltron apresenta em cada uma das
orbitas, a sua energia de ligao e a relao entre os diferentes raios das orbitas
circulares permitidas.
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1.2.5. MODELO QUNTICO, NUVENS ELETRNICAS DE HEISENBERG E OUTROS.
Erwin Schrdinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg, reunindo os
conhecimentos de seus predecessores e contemporneos, acabaram por desenvolver uma nova
teoria do modelo atmico, alm de postular uma nova viso, chamada de mecnica
ondulatria.
Fundamentada na hiptese proposta por Broglie onde todo corpsculo atmico pode
comportar-se como onda e como partcula, Heisenberg, em 1925, postulou o princpio da
incerteza.
A idia de rbita eletrnica acabou por ficar desconexa, sendo substituda pelo conceito
de probabilidade de se encontrar num instante qualquer um dado eltron numa determinada
regio do espao.
O tomo deixou de ser indivisvel como acreditavam filsofos gregos antigos e Dalton,
portanto, o modelo atmico passou a se constituir na verdade, de uma estrutura complexa.
Todos estes modelos foram precursores do atual modelo atmico, cujas rbitas bem
definidas dos eltrons foram substitudas por zonas de probabilidade eletrnica.
1.3. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO.
Em seguida faremos um tratamento semi-clssico para compreender a contribuio
magntica atmica. Trata-se de uma simplificao que estabelece uma combinao entre leis
do eletromagnetismo clssico com as orbitas de Bohr, adotada em geral nos livros didticos e
que possibilita compreender as caractersticas magnticas atmicas.
1.3.1. MOMENTO DE DIPOLO MAGNTICO E MAGNTON DE BOHR.
A princpio podemos iniciar esse estudo da seguinte forma:
Considere um eltron girando ao redor de um ncleo atmico de um nico prton em
uma orbita circular de raio r. Uma analogia clssica desta situao seria uma espira
percorrida por uma corrente eltrica i .
O simulador representado na figura seguinte permite verificar as linhas de campo
magntico induzido por uma espira percorrida por corrente. Voc pode variar o numero de
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espiras a tenso aplicada a elas e pode medir a intensidade do campo magntico para cada
ponto. O link para acessar este simulador http://labempucsp.blogspot.com/2010/10/este-
simulador-permite-verificar-leis.html
Figura 1.2 - Simulador para verificar a induo magntica em uma espira.
Como no caso em questo estamos analisando a corrente eltrica distribuda apenas em
torno de um ncleo atmico teremos que
dt
dqi
(1.3.1)
Ou seja
T
ei
(1.3.2)
Sendo T o perodo descrito pelo eltron em torno do tomo, cuja carga eltrica em
mdulo vale e, portanto sendo a velocidade dada por T
rv
2 teremos que o perodo para uma
volta completa dado por:
v
rT
2 (1.3.3)
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Onde r corresponde ao raio da trajetria descrita pelo eltron .
Portanto considerando um eltron de massa m e carga e, movendo-se com velocidade de
mdulo v numa rbita circular de Bohr de raio r, como mostra a Figura 1.3, a carga que
circula em uma rbita constitui uma corrente de intensidade i como foi dito anteriormente.
Figura 1.3 - Eltron em torno do ncleo atmico.
A figura mostra o eltron em torno do ncleo atmico, o movimento de rotao faz surgir o
que alguns fsicos chamam de dipolo magntico fictcio
Teremos que a corrente
r
ev
T
ei
2 (1.3.4)
Na teoria eletromagntica elementar mostra-se que uma corrente eltrica pode produzir
um campo magntico equivalente a grandes distncias da rbita ao qual essa corrente se
desloca, portanto, surge um dipolo magntico localizado em seu centro e orientado
perpendicularmente a seu plano como mostra a Figura 1.3.
Para uma corrente i numa orbita de rea A o modulo do momento de dipolo magntico
orbital l do dipolo equivalente dado por
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iAl (1.3.5)
A direo do momento de dipolo magntico perpendicular ao plano da orbita, no
sentido indicado pela Figura 1.3.
A figura tambm mostra os dois polos fictcios de um dipolo que produziria um campo
magntico idntico ao real mesmo longe da orbita.
A grandeza l especifica a intensidade do dipolo magntico e igual ao produto da
intensidade dos polos pela distncia que os separa. Assim teremos:
22
2 evrrr
eviAl
(1.3.6)
Sendo rv teremos
2
2
1rel (1.3.7)
O momento angular orbital para um tomo de hidrognio dado por:
2rmvrmL ee (1.3.8)
Onde em a massa do eltron que gira em torno do ncleo.
Tirando o valor de em 2rmL e e substituindo em 2
2
1rel , obtemos o
momento magntico em termos do momento angular:
Lm
e
e
l2
(1.3.9)
Podemos observar ento que a razo e
l
m
e
L 2
uma combinao das constantes
universais, da massa do eltron me e a carga do eltron e.
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Escrevendo na forma vetorial, temos:
Lm
e
el
2 (1.3.10)
Com isso vemos que a unidade do momento magntico dos tomos tirada da antiga
teoria de Bohr e corresponde ao momento angular de um eltron na primeira rbita de Bohr,
do tomo de hidrognio ao qual no diz que;
nL (1.3.11)
Sendo n=1, teremos:
2
hL (1.3.12)
Este eltron ento produz um momento magntico, o Magnton de Bohr, que definido
em termos das constantes caractersticas do eltron:
223 /10927,02
mampxm
e
e
B
(1.3.13)
B
em
e
2
(1.3.14)
Normalmente os momentos magnticos dos eltrons so dados em unidades de B .
Assim teremos,
Lg Bl
l
(1.3.15)
como uma equao vetorial que no s especifica o mdulo de l
como tambm sua
orientao em ralao L
.
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Devemos notar aqui que a razo entre o modulo l do momento de dipolo magntico
orbital e o mdulo L do momento angular orbital do eltron uma combinao de constantes
universais
A grandeza B , chamada de magnton de Bohr, constitui uma unidade natural de
medida do momento de dipolo magntico atmico. A grandeza lg denominada fator g
orbital e introduzida na equao anterior de forma redundante como adotada por uma
grande quantidade de livros e experincias, sua importncia ser mostrada posteriormente.
Aplicando-se um campo magntico B externo ao tomo o dipolo magntico ficar
sujeito a um torque que tender a alinhar o dipolo com o campo e que associado ao torque h
uma energia potencial de orientao
Bl
(1.3.16)
sendo assim
BE lmagntica
(1.3.17)
Como o campo magntico B
pode possuir angulaes diferentes quando o campo B
aplicado conveniente escrever conforme a definio
cosBEmagntica (1.3.18)
1.4. PRECESSO E FREQUENCIA DE LARMOR.
Como havamos comentado anteriormente. Quando o momento magntico orbital B
se encontra num campo magntico uniforme B
, o momento magntico B
fica sujeito a um
torque que tende a alinhar paralelamente o momento magntico B
com o campo magntico
B
e que tem como objetivo ficar numa configurao de mnima energia como mostra a
equao cosBEmagntica .
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Sabendo isso podemos definir a precesso e a frequncia de Larmor que ser importante
em nosso estudo.
Da definio de torque temos que:
dt
Ld
(1.4.1)
Acontece que no caso do eltron que gira em rbita em torno do ncleo, o momento
magntico proporcional ao momento angular, e o torque vai produzir uma variao do
momento angular, que perpendicular a ele, ou seja, o momento angular tem a mesma
direo que Ld
, fazendo ento com que o eltron se comporte mecanicamente como um
giroscpio atmico, e sofra precesso em torno da direo do campo.
Teremos de acordo com a Figura 1.4 que a frequncia angular de precesso do eltron
em rbita, denominada frequncia de Larmor, dado por dt
d .
Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o clculo da freqncia de precesso
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Sendo
Lsen
dLdt
(1.4.2)
Logo
Lsen
dt
dL
(1.4.3)
Lsen
(1.4.4)
Lsen
Bsenl
(1.4.5)
Mas
BllBll
g
LL
g
(1.4.6)
Ento
BlgB
(1.4.7)
A equao escrita anteriormente foi obtida atravs de um tratamento clssico.
Porm se fizermos um tratamento quntico chegaremos aos mesmos resultados, isto ,
os valores esperados das componentes perpendiculares ao campo magntico de um momento
de dipolo magntico quntico variam de forma cclica no tempo.
B
(1.4.8)
Onde
Blg (1.4.9)
A varivel chama-se razo giromagntico escrevendo na forma vetorial.
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Alm do valor de a varivel indica que o sentido da precesso o sentido de B
.
Este fenmeno conhecido como precesso de Larmor e a frequncia de Larmor na qual
a frequncia de independente do ngulo .
1.5. MOMENTO ANGULAR ORBITAL.
muito importante que seja compreendido tambm o conceito de momento angular
como foi apresentado em algumas formula anteriores em que )1( llL
Sendo
)1( llL (1.5.1)
O momento angular de uma partcula, em relao origem de um dado sistema de
coordenadas, a grandeza vetorial L
definida pela equao
prL
(1.5.2)
Na qual r
o vetor posio da partcula e p
o vetor momento linear da partcula,
calculando as componentes do vetor em coordenadas retangulares, vemos que as trs
componentes retangulares de L
so
yzx zpypL
(1.5.3)
zxy xpzpL
(1.5.4)
xyz ypxpL (1.5.5)
onde x, y e z so as componentes de r
e zyx ppp e , so as componentes de p
.
A fim de estudar as grandezas dinmicas do momento angular em mecnica quntica,
construmos os operadores associados.
yz
izyiLx
(1.5.6)
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zx
ixziLy
(1.5.7)
xy
iyxiLz
(1.5.8)
Como temos que utilizar de coordenadas esfricas, essas expresses ficam
coscotsin giLx
(1.5.9)
sincotcos giLy
(1.5.10)
iLz (1.5.11)
Como o quadrado do mdulo do vetor momento angular L
definido como
2222
zyx LLLL (1.5.12)
O operador associado em coordenadas esfricas :
(1.5.13)
sin
sin
1
sin
12
2
2
22 L
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O primeiro passo na deduo das equaes do momento angular consiste em usar os
operadores para calcular os valores esperados da componente L
e o quadrado de seu mdulo,
para um eltron no estado quntico ml de um tomo de um eltron apenas.
Segundo a extenso tridimensional em mecnica quntica, o valor esperado de L
em
coordenadas esfricas e analisadas quanticamente por um operado quntico dado por
2
0
2
00
sin ddrdrLL (1.5.14)
Sabemos que em mecnica quntica representa o conjugado de reduzindo a
expresso em um termo geral encontramos que ddrdrda sin2 em uma representao
mais simplificada e
2
000
o que corresponde ao intervalo total em coordenadas esfricas
de uma partcula que se movimenta em torno de um ncleo.
Disso obtemos que
daLL )(
(1.5.15)
ento
daLL )(
(1.5.16)
sendo
lmL (1.5.17)
teremos
damL l )(
(1.5.18)
forma mais simplificada
lmL
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como foi aplicado anteriormente.
Com isso teremos ento que
daLL )( 22
(1.5.19)
logo
22 )1( llL
(1.5.20)
Essas relaes nos mostram que qualquer medida do momento angular de um eltron no
estado atmico dar lm sempre lmL e )1( llL .
O fato de lnlm
1, no descrever um estado com componentes x e y do momento angular
orbital definidas do ponto de vista da mecnica clssica, misterioso. Segundo a lei de
conservao do momento angular em mecnica clssica, o vetor momento angular orbital de
um eltron que se move sob a influncia de um potencial rV esfericamente simtrico de um
tomo de um eltron, num espao livre, estar totalmente fixo, em direo e mdulo, e todas
as componentes do vetor tero valores definidos.
O fato desse resultado no ser vlido na mecnica quntica uma consequncia de um
princpio de incerteza que impe no ser possvel conhecer com preciso total,
simultaneamente, duas componentes do momento angular. Como a componente z do
momento angular orbital tem o valor preciso m , a relao de incerteza exige que os valores
das componentes x e y sejam indefinidos.
Verifica-se que 0 yx LL . Assim, a orientao do vetor momento angular orbital
de um eltron, que se move num potencial esfericamente simtrico, pode ser imaginada como
variando sempre de forma a que suas componentes x e y flutuem em torno de um valor mdio
nulo, enquanto sua componente z e seu mdulo permanecem fixos. Esse resultado pode ser
chamado de lei de conservao do momento angular orbital da mecnica quntica.
1 Uma abordagem mais completa os estados qunticos no so apenas definidos por ml, mas sim por n, l e ml
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Muitas das propriedades do momento angular orbital em mecnica quntica podem ser
representadas por esse modelo vetorial que nos facilita a compreenso como mostra a Figura
1.5.
Figura 1.5 - Representao dos vetores momento angular para os estados possveis.
A Figura 1.5 apresenta os diferentes estados possveis para modelo vetorial do momento
angular para l=2 e descreve os vetores momento angular para cada um dos cinco estados
correspondentes aos cinco valores possveis de m, para l=2. Se cada um dos estados xL e yL
flutuam em torno de seu valor mdio nulo, os vetores descrevem os estados de precesso em
superfcies cnicas em torno do eixo z, satisfazendo a lei da conservao do momento angular
da mecnica quntica.
O nmero quntico ml determina a orientao espacial do vetor momento angular orbital
do tomo de um eltron. Portanto ele determina a orientao espacial do prprio tomo. Como
o potencial Colombiano esfericamente simtrico implica que no existe nenhuma direo
privilegiada no espao no qual est situado o tomo, podemos entender porque a teoria prev
que a energia total no depende de ml, que determina sua orientao. E assim podemos
entender por que as funes prprias so degeneradas em relao ao nmero quntico ml. A
energia do tomo simplesmente no depende de sua orientao no espao vazio.
Portanto podemos concluir que as componentes do momento angular na direo z so
dadas por:
lmL , onde lml ...3,2,1,0
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e
)1( llL
(1.5.21)
Essa interpretao fsica pode ser vista conforme a Erro! Fonte de referncia no
encontrada..
A Figura 1.6 no mostra a Quantizao direcional onde somente a projeo dos vetores
Figura 1.6 - Representao esquemtica do momento angular e momento de dipolo magntico associado,
indicando o movimento de precesso do orbital.
L
e l
sobre uma escolha de z pode ser observado. Na figura podemos verificar que a
direo z a direo de B
.
Desta forma enfatizamos que o momento angular orbital est associado ao nmero
quntico magntico a qual pode ter 2l+1 valores diferente.
A componente z do momento magntico l , quantizada de forma que
Lg Bl
z
(1.5.22)
l
Blz m
g
(1.5.23)
lBlz mg (1.5.24)
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2. SPIN
Para uma descrio completa da contribuio magntica do tomo, resta-nos estudar a
contribuio do Spin. No ser possvel um tratamento totalmente quntico porque exigiria
um conhecimento mais aprofundado da teoria eletromagntica e deixaria este trabalho um
tanto quanto complexo, assim sendo utilizaremos uma combinao da teoria eletromagntica
clssica e a mecnica quntica, uma simplificao normalmente adotada no tratamento
didtico sobre este tema.
2.1. MOMENTO MAGNTICO ORBITAL DE SPIN.
As experincias que medem o momento angular orbital L
do eltron atmico no o
fazem diretamente, mas sim atravs da grandeza a ele relacionada, que o momento de dipolo
magntico orbital l
, que interage com o campo magntico aplicado ao tomo. Ao considerar
os resultados das medidas dos momentos de dipolo magntico atmicos, descobriremos um
fato muito importante: os eltrons tm um momento angular intrnseco chamado spin, e um
momento de dipolo magntico de spin a ele associado. De forma resumida, veremos neste
captulo o momento magntico l
associado ao momento angular orbital L
, o spin S
do
eltron, que est associado h um momento magntico s
, e a experincia de Stern e Gerlach.
2.2. EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH.
Vamos considerar um campo magntico no homogneo conforme a figura abaixo: Se
lanarmos um dipolo magntico em um campo magntico no homogneo observaremos um
desvio decorrente da tendncia que este dipolo apresenta para tentar se alinhar com o
campo magntico presente como mostra a Figura 2.1.
Observando a figura abaixo:
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Figura 2.1 - Aplicao de um campo magntico no homogneo a um dipolo.
Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern Gerlach.
Os dipolos esto sendo lanados a partir do forno com uma componente de velocidade v
em direo a tela.
Se efetuarmos um zoom na regio de deformao das linhas de campo, teremos esquematicamente que:
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Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magntico
Considerando que estes dipolos apresentam uma orientao definida em relao ao
campo externo, isso acarretar em um movimento de precesso.
Um movimento de precesso como foi dito anteriormente (Precesso e frequencia de
larmor.) consiste numa forma de movimento que ocorre quando se aplica a um corpo em
rotao, de tal modo que tende a mudar a direo do seu eixo de rotao. Isto acontece porque
a resultante da velocidade angular de rotao e o aumento da velocidade angular produzido
pelo momento, uma velocidade angular em torno de uma nova direo. Geralmente, esta faz
variar o eixo do momento aplicado e tem como resultado manter a rotao em torno do eixo
inicial. No entanto nestes dipolos ao mesmo tempo surge uma fora de translao desviando-
os conforme suas orientaes:
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Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnticos na presena do campo magntico.
Teremos duas situaes diferentes com orientaes up e down (cima e para baixo).
Aqueles que tem o seu momento de dipolo com alinhamento para cima segundo o eixo
de aplicao do campo sero desviados para baixo e aqueles que apresentarem orientao
oposta ao anterior desviaro para cima.
Este experimento foi realizado com diferentes tomos e mostraremos aqui os resultados
obtidos com tomos de Ltio e Hidrognio. Ambos com um eltron no termo s de energia e
com 0l . Portanto no existindo uma orientao definida para os orbitais s, ou seja, 0lm .
Esperava-se obter, portanto, uma mancha se definio especfica na tela, j que 0lm2
Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach.
2 Aqui caberia uma pergunta que facilita a compreenso desta ausncia de orientao. Para l= 0 o orbital assume
a forma geomtrica de uma esfera. possvel orientarmos uma esfera no espao?
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Os resultados obtidos no experimento de Stern-Gerlach podem ser vistos na Figura 2.6,
indicando os dois traos para tomos de Ltio e Hidrognio, apesar de apresentar um valor
nulo para o momento angular e numero quntico magntico igual a zero.
Resultados obtidos:
Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Ltio e o Hidrognio
Observe que existem duas faixas para cada um destes tomos e isto bem mais ntido
para o Ltio. Mas se 0l para estes tomos como podemos justificar estes dois desvios?
A explicao que, deveria existir alguma outra contribuio magntica para o tomo.
Esta contribuio magntica aquela oferecida pelo momento angular de rotao do eltron
ao redor de seu prprio eixo que foi chamado de spin.
No orbital s podemos ter dois eltrons, s que cada um deles pode girar em torno de seu
prprio eixo em sentidos opostos.
Teremos um momento angular de spin dado por:
)1( ssLs
(2.2.1)
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S o nmero quntico do momento angular de spin e s pode assumir o valor 1/2.
Assim o nico valor possvel para LS ser:
(2.2.2)
J para a orientao espacial poderemos ter com relao ao eixo z as orientaes que
correspondem aos vetores:
Ss mL (2.2.3)
2
1SzL
(2.2.4)
Quando 2/1Sm temos Spin-up, para 2/1Sm teremos Spin-down.
Figura 2.7 - Orientao espacial para Ls.
Do mesmo modo que o momento angular orbital o momento angular de spin est
relacionado com o momento magntico de spin pela relao?
sBs
s Lg
(2.2.5)
Onde gs representa a razo giromagntica do spin ou fato g de spin
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zsBs
zsL
g
(2.2.6)
s
Bs
zsm
g
(2.2.7)
sBszs mg (2.2.8)
Os resultados obtidos atravs do experimento de Stern Gerlach nos fornecem?
1ss mg (2.2.9)
Como 2/1Sm teremos?
2sg (2.2.10)
Experimentos mais precisos nos mostram que 6220023193043,2sg3, referncia no
site do NIST (National Institute of Standards and Technology)
Para complementar os estudos propomos o simulador do experimento de Stern-Gerlach
disponvel no link: http://phet.colorado.edu/sims/stern-gerlach/stern-gerlach_en.html
Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a
contribuio de spin
3 Referncia obtida em http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem|search_for=atomnuc! :NIST (National
Institute of Standards and Technology).
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2.3. INTERAO SPIN ORBITA
Embora a idia de spin seja sutil, muitos dos efeitos por ele produzidos no so nada
sutis. Talvez o fato mais importante seja a duplicao do nmero de eltrons que o Princpio
de excluso de Pauli4 permite, para preencher os estados qunticos de um tomo de muitos
eltrons. Veremos mais adiante que o estado fundamental dos tomos ficaria muito alterado se
os eltrons no tivessem o spin. Isto traria grandes consequncias sobre as propriedades
peridicas dos tomos, e, portanto em toda a qumica e na fsica do estado slido.
Estudaremos adiante os efeitos do spin, sobre o campo magntico interno do tomo e sobre
momento angular total.
2.4. ENERGIA DE INTERAO SPIN ORBITA E MOMENTO
ANGULAR TOTAL.
A interao entre o momento magntico de spin e o campo magntico interno de um
tomo de um eltron. Como o campo magntico interno consequncia do momento angular
orbital do eltron, chamaremos a essa interao de interao spin-rbita. Trata-se de uma
interao relativamente fraca que responsvel, em parte, pela estrutura fina dos estados
excitados dos tomos de um eltron.
A interao spin-rbita tambm ocorre nos tomos com mais de um eltron, mas nesses
tomos ela razoavelmente forte, uma vez que o campo magntico interno muito forte.
Alm disso, um efeito totalmente anlogo interao spin-rbita ocorre no ncleo. A
interao spin-rbita nuclear to forte que ela governa as propriedades peridicas do ncleo.
Fica fcil imaginar que a existncia de um momento angular de spin ao eltron deve
alterar o momento angular total do sistema. Haver um acoplamento L-S entre estes
momentos angulares fornecendo um momento angular total resultante.
O vetor resultante sLLJ
deve ser calculado para cada L considerando 2/1Sm
e 2/1Sm .
4 O princpio de excluso de Pauli constitui um postulado da mecnica quntica, formulado em 1925 pelo fsico suo. Segundo este
princpio cada estado quntico de um eltron num sistema fsico, isto , cada estado permitido pela teoria quntica e caracterizado por
nmeros qunticos para a energia (o momento - propriedade de um ncleo - e o spin - parte do momento angular de uma partcula) pode ser
ocupado, no mximo, por um eltron.
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)1( llL
(ver equao 1.5.21)
)1( ssLs
(ver equao 2.2.1)
Teremos o numero quntico total dado por:
Sj 1 e Sj 1 (2.4.1)
Portanto o vetor momento angular total ser dado por:
)1( jjJ
(2.4.2)
Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J.
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Exemplo de somas vetoriais como mostra a figura abaixo.
2.5. EXPERIMENTO RESSONNCIA DE SPIN ELETRNICO
2.5.1. INTRODUO.
Normalmente, molculas de compostos dos elementos representativos tm um estado
fundamental no qual todos os eltrons esto emparelhados.
Ou seja, em cada orbital podemos ter no mximo dois eltrons com spin oposto, um
com +1/2 e outro com -1/2 (principio da excluso de Pauli como foi dito anteriormente em
nota neste trabalho).
Eltrons emparelhados quer dizer que esto aos pares nos orbitais.
Compostos com todos os eltrons tendo spin emparelhados no apresentam, em seus
espectros eletrnicos, efeitos magnticos resultantes de dipolos magnticos de SPIN que
sejam significativos.
Na presena de um campo magntico, a existncia de um dipolo magntico do spin
produz uma energia potencial de interao dada pela equao;
BmgE sBs (2.5.1)
Figura 2.10 - Diagramas vetoriais.
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Quando um nico eltron est envolvido (como no caso de radicais livres
representativos), o vetor do spin total simplesmente 1/2, e a energia potencial de interao
pode ser reescrita em termos do nmero quntico com Sm igual a +1/2 ou -1/2.
A figura em seguida nos mostra o esquema representativo da diferena de energia entre
dois nveis.
Figura 2.11 - Ausncia e presena do campo magntico e diferentes nveis de energia.
Na ausncia de um campo magntico B=0, um eltron desemparelhado de um radical
livre tem a mesma energia, no importa qual a direo do seu spin. Porm, na presena de um
campo magntico B0, as duas direes do spin tem energias diferentes, e a radiao
eletromagntica pode provocar uma transio entre os dois nveis de energia.
Usando a equao BE sz agora para um elemento representativo contendo apenas
um eltron, onde SBssz mg .
Assim teremos :
BmgE SBs (ver equao 2.5.1)
Na qual gs representa a razo giromagntica para um eltron ou fator de spin.
Se uma amostra que tenha um eltron desemparelhado for introduzida em um campo
magntico, ela poder absoro radiao com o comprimento de onda adequado de tal modo
que far o eltron transitar entre os dois estados de energia possveis para ms= +1/2 ou
ms= -1/2.
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Quando a diferena de energia induzida pela interao magntica entre os dois estados
igual energia de um fton, pode ocorrer a absoro de um fton e dizemos que se estabelece
um estado de ressonncia.
O arranjo bsico que permitir estudar esta ressonncia mostrado na Figura 2.12.
Figura 2.12 - Arranjo bsico para a observao de spin eletrnico sobre uma amostra.
Uma amostra de teste colocada em um campo magntico uniforme. A amostra
colocada no interior de uma bobina conectada a um gerador de radiofrequncia que
possibilitar fixarmos a frequncia da radiao ressonante. O campo magntico de menor
intensidade induzido pela bobina perpendicular ao campo magntico uniforme entre os dois
polos ao qual indica o seu sentido B
.
Considere, por um momento, um nico eltron dentro da amostra de teste. O eltron tem
um momento de dipolo magntico s como foi descrito anteriormente e que est relacionado
com o seu momento angular intrnseco, ou spin L
s, dado por:
sBs
s Lg
(ver equao 2.2.5)
sg = constante caracterstica para o eltron, o fator g de spin.
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As componentes de s
e sL
na direo z respectivamente para sBsl mgZ ;
ssz mL .
O magnton de Bohr como foi dito anteriormente 223 /10927,02
mampxm
eB
.
O momento de dipolo magntico deste eltron interage com o campo magntico
uniforme fazendo com que o nvel de energia do estado fundamental seja desdobrado em duas
componentes, dispostas simetricamente de um lado e de outro do nvel de energia do estado
fundamental na ausncia de campo.
Este desdobramento reflete os dois valores possveis para a energia potencial
orientacional como foi explicado anteriormente e dado por:
BgBmgBE BsSlBslZ 2
1
(2.5.2)
A ressonncia ocorre quando a frequncia do gerador de radiofrequncia sintonizada
para um valor frequncia , tal que a energia dos ftons irradiados, h igual diferena
entre os dois estados de energia possveis para o eltron, ou seja, hE .
Eltrons no estado mais baixo de energia podem absorver um fton e pular para o
estado de energia mais alta como sabemos da mecnica quntica.
Esta absoro de energia afeta a permeabilidade da amostra de teste, a qual afeta a
indutncia da bobina e, portanto, as oscilaes do gerador de radiofrequncia tem como
resultado uma mudana na corrente fluindo atravs do gerador, a qual pode ser observada.
A condio para ressonncia que a energia dos ftons emitidos pelo gerador seja igual
diferena de energia entre os dois estados do spin da amostra de teste, ou seja:
Bghf Bs (2.5.3)
Para um eltron com somente dois estados de energia, em um campo magntico de
mdulo B, seria necessrio ajustar o valor da radiofrequncia com preciso considervel para
ser possvel observar a ressonncia. Na prtica, esta dificuldade resolvida variando-se o
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mdulo do campo magntico em torno de um valor constante. Em nossa montagem, isto
feito suprindo-se uma pequena corrente AC, superposta a uma corrente DC maior, a um par
de bobinas de Helmholtz. O resultado um campo magntico que varia senoidalmente em
torno de um valor constante.
Se a frequncia do gerador tal que a equao 3 seja satisfeita em algum ponto entre os
valores mnimo e mximo do campo magntico com variao senoidal, ento, ressonncia
ocorrer duas vezes durante cada ciclo do campo. A ressonncia normalmente observada
com um osciloscpio de dois canais. Os traos no osciloscpio, durante a ressonncia, so
mostrados na Figura 2.13.
Figura 2.13 - Traos no osciloscpio durante a ressonncia de uma amostra.
O trao superior uma medida da corrente atravs das bobinas de Helmholtz, a qual
proporcional ao campo magntico. O trao inferior mostra o sinal de tenso atravs do
gerador de radiofrequncia, a qual diminui de maneira pronunciada cada vez que o campo
magntico passa atravs do ponto de ressonncia.
2.5.2. CAMPO MAGNTICO GERADO PELAS BOBINAS DE HELMHOLTZ
APLICADO NA AMOSTRA.
Com a aplicao do campo B das bobinas de Helmholtz, retiramos a degenerescncia do
spin e criamos dos estados de energia: momento de dipolo de spin paralelo a B e antiparalelo.
O sinal de radiofrequncia gerado pela bobina menor pode fornecer uma radiao de
energia igual energia necessria para levar o eltron de um estado de menor energia para um
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estado de maior energia. O que corresponde a dizer que orientamos os pequenos dipolos numa
direo preferencial.
Esta orientao preferencial para os dipolos presentes na amostra acaba perturbando
ou interferindo no sinal de tenso fornecido pela bobina de radiofrequncia.
Esta perturbao pode ser evidenciada atravs da observao do sinal em um
osciloscpio e est indicada na Figura 2.13. O sinal indica uma reduo na induo magntica
observada nos terminais da bobina.
2.6. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATRIO PARA A
MONTAGEM EXPERIMENTAL.
Abordaremos aqui neste item a descrio da montagem experimental de nossa para que
seja compreendido cada passo adotado.
Para a montagem experimental foi necessrio a utilizao de equipamentos, como
Multmetros, Osciloscpio, amostra e etc.
Iremos aqui introduzir esses equipamentos mostrando cada um separadamente.
2.6.1. MULTMETRO.
O multmetro utilizado em laboratrio foi o multmetro da empresa Minipa ET-2700 da
qual possui as seguintes caractersticas conforme o manual da empresa fabricante:
Corrente DC
Faixa de 200A, 2mA, 20mA, 200mA, 20A.
Preciso: (2,0% Leit.+10Dig.) para a faixa de 20A.
(0,5% Leit.+5Dig.) para outras faixas.
Resoluo de 10nA a 1mA.
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Figura 2.14 - Multmetro.
2.6.2. OSCILOSCPIO DIGITAL
O osciloscpio digital utilizado neste experimento teve por principal objetivo verificar a
superposio de ondas da ressonncia entre o as ondas geradas pela bobina de Helmholtz e a
respostas da substancia usada no experimento.
O osciloscpio usado foi o da Empresa Tektronix TDS 210.
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Figura 2.15 - Osciloscpio Digital.
2.6.3. ADAPTADOR DE RESSONANCIA ELETRNICA.
Unidade Central para Ressonncia Eletrnica.
Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR.
Este equipamento fornece o sinal para as bobinas de Helmholtz, suas componentes DC e
AC e efetua o ajuste de fase entre estes sinais e permite a observao atravs de um
osciloscpio duplo feixe.
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2.6.4. BOBINAS DE HELMHOLTZ.
As bobinas de Helmholtz utilizada neste experimento foram conectadas a uma corrente
alternada AC e uma componente DC de forma que o campo magntico gerador por estas
bobinas pudesse agir sobre a substancia de prova. Cada bobina continha 320 espiras. Atravs
da unidade central pode-se ajustar a amplitude do sinal AC e a componente DC que propiciar
o valor do campo magntico para desdobramento dos nveis de energia da amostra utilizada.
Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz.
2.6.5. SUPORTE.
Tambm foi utilizado um pequeno suporte para manter a distancia entre as bobinas,
fixando-as para que fosse possvel uma melhor distribuio uniforme do campo magntico
entre elas. O valor desta distancia corresponde numericamente ao valor do raio das espiras de
modo a obter um campo uniforme nesta regio.
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muito importante o alinhamento adequado destas espiras e sua conexo em serie para
garantir uma boa uniformidade deste campo.
Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz.
Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas.
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2.6.6. UNIDADE DE PROVA.
A unidade de prova foi utilizada estabelecer a frequncia do sinal que ser aplicado s
bobinas de prova e a intensidade de corrente para estas bobinas.
Figura 2.20 - Unidade de prova usada.
Figura 2.21 - Posio da unidade de prova entre as bobinas.
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Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima.
2.6.7. BOBINAS DE PROVA.
Neste experimento utilizamos duas bobinas de prova. Cada bobina apresenta uma faixa
de frequncia de operao que so bobina 1 de 13 30 MHz e bobina 2 de 30 75 MHz.
A amostra foi inserida dentro destas bobinas de provas para gerarmos o sinal de
radiofrequncia que possibilitar a transio entre os estados de energia criados pela aplicao
do campo magntico das bobinas de Helmholtz. Quando a ressonncia estabelecida altera-se
a indutncia destas bobinas e um sinal observado. As duas bobinas so vistas abaixo na
figura que se segue.
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Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz).
2.6.8. AMOSTRA UTILIZADA.
A amostra utilizada foi o Difenil-Picril-Hidrazil (DPPH), especificaes sobre esta
amostra ser abordada adiante.
A amostra utilizada estava presa sobre um pequeno tudo de vidro.
Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH).
Para entendermos melhor como se d o processo de ressonancia, vamos verificar algumas
de suas propriedades.
Um pequeno nmero de molculas orgnicas so denominadas de radicais livres por
conterem um nico eltron desemparelhado, eletrons desemparelhados so pela regra do
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octeto, tomos que quando apresentam um numero de eltrons inferiores quantidade de
eltrons que devem possuir em seus respectivos nveis de energia ou camadas.
A molcula aa-Di-phenyl-b-picryl-hydrazyl (DPPH) foi a substancia usada em nossa
experiencia. Todos os seus eltrons, com exceo de apenas um, encontram-se emparelhados,
de forma que, h apenas o movimento orbital e o de spin de um eltron presente por molcula.
O movimento de spin deste nico eltron desemparelhado d a esta molcula um fator g que
muito prximo ao de um eltron livre (g = 2,0038 no lugar de 2,00232) fator este objeto de
estudo neste experimento[6].
A figura 2.25 mostra a molcula difenil-picra-hidrazil, ou DPPH, e o um radical com um
eltron desemparelhado em um dos tomos de nitrognio na ponte. Os eltrons
desemparelhados na amostra DPPH no tem momento angular orbital. Desta forma a
ressonncia de spin pode ser estudada isoladamente. De forma que o momento angular orbital
igual a zero e somente um eltron desemparelhado o que torna a analise experimental com
base nesta substancia bastante simples.
Figura 2.25 - Molcula de difenil-picra-hidrazil (DPPH).
2.7. MONTAGEM DO SISTEMA EXPERIMENTAL.
O equipamento que dispomos em laboratrio foi montado conforme mostra abaixo a
sequencia de figuras.
Os equipamentos devem ser montados como mostrado na Figura 2.26.
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Figura 2.26 - Montagem do experimento.
Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental.
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Podemos iniciar nossa montagem experimental da seguinte forma:
1 - Conectamos as bobinas de Helmholtz em srie (Figura 2.26).
2 - Posicionamos as bobinas de Helmholtz tal que elas sejam paralelas e apontando na
mesma direo. A separao entre as bobinas deve ser aproximadamente igual a seus raios.
Este arranjo produz um campo magntico altamente uniforme na posio central entre as duas
bobinas.
3 - Conectamos as fontes, ampermetro, osciloscpio e os demais componentes do
circuito mostrados na Figura 2.28.
Figura 2.28 - Circuito experimental.
2.8. EXPLICAO DO CIRCUITO.
As bobinas de Helmholtz necessitam de uma pequena corrente AC superposta a uma
corrente DC maior. Estas corrente so fornecidas pelas fontes AC e DC conectadas em
paralelo.
O capacitor de 1000 F isola a fonte AC da fonte DC para prevenir distores.
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Por causa da indutncia das bobinas de Helmholtz, a corrente nas bobinas est fora de
fase com o sinal de voltagem que observado no osciloscpio. Para corrigir isto, um resistor
varivel e um capacitor de 0,1 F so usados para mudar a fase do sinal de voltagem que
mostrado no osciloscpio.
Isso permite que o experimentador ajuste a fase entre os traos do osciloscpio, tal que a
corrente AC nas bobinas de Helmholtz e os pulsos de ressonncia apaream simtricos, como
eles so na realidade.
4 - Ligamos as fontes de voltagem. Ajustamos o valor DC de maneira a produzir uma
corrente de aproximadamente 1Ampre nas bobinas de Helmholtz. Ajustando o valor AC para
aproximadamente 2V. Com os controles do osciloscpio ajustados para esses valores, o canal
1 do osciloscpio mostrar a corrente nas bobinas de Helmholtz, exceto por uma mudana de
fase causada pela indutncia das bobinas. O trao uma senide simples.
Esses traos podem ser visto na Figura 2.29 como mostra na tela do osciloscpio (a
figura mostra apenas os sinais senoidais das bobinas de Helmholtz).
Figura 2.29 - Senoide do campo magntico nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscpio, a
linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente.
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5 - Conectamos a Unidade de Prova ao Adaptador para Ressonncia Eletrnica e
conectando o Adaptador a uma fonte de voltagem, medidor de freqncia (um osciloscpio
ser usado) e ao osciloscpio, como indicado na Figura 2.28.
6 - Inserimos a amostra de teste na