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FIXAÇÃO CONCURSOS [email protected] www.facebook.com/fixacaoconcursos FC Resumo MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Resumão Matemática e Raciocínio Lógico (CAIXA)(1)

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Resumo

MATEMÁTICA

E RACIOCÍNIO

LÓGICO

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Sumário – Matemática e Raciocínio Lógico

1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA ..................................................................... 3

1.1. Fator de Capitalização ............................................................................................... 3

1.2. Fator de Descapitalização ......................................................................................... 3

1.3. Acréscimos e Descontos Sucessivos .......................................................................... 3

2. TAXAS ............................................................................................................................... 3

2.1. Taxa Proporcional: .................................................................................................... 4

2.2. Taxa equivalente: ...................................................................................................... 4

2.3. Taxa Bruta e Taxa Líquida ......................................................................................... 4

2.4. Taxa Real e Taxa Aparente ........................................................................................ 4

2.5. Taxa Nominal e Taxa Efetiva ..................................................................................... 5

3. Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos .................................................... 6

3.1. Capitalização Simples e Composta ............................................................................ 6

3.2. Desconto Simples e Composto .................................................................................. 8

3.2.1. Desconto Comercial Simples ............................................................................. 8

3.2.2. Desconto Racional Simples ................................................................................ 8

3.2.3. Desconto Comercial Composto ......................................................................... 8

3.2.4. Desconto Racional Composto ............................................................................ 8

4. Séries de Pagamento ...................................................................................................... 10

5. Sistemas de Amortização ................................................................................................ 10

5.1. Sistema de Amortização Francês (SAF) ................................................................... 10

5.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) ............................................................... 12

6. Raciocínio Lógico ............................................................................................................ 14

6.1. Construção da Tabela Verdade ............................................................................... 15

6.2. Construção da Tabela-Verdade Para uma Proposição Composta ............................ 16

6.3. Tautologia ............................................................................................................... 17

6.4. Contradição............................................................................................................. 17

6.5. Contingência ........................................................................................................... 17

6.6. Negação .................................................................................................................. 17

6.7. Diagramas lógicos ................................................................................................... 18

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6.8. Quantificadores ...................................................................................................... 19

6.9. Lógica de Argumentação ......................................................................................... 19

6.10. Probabilidade ...................................................................................................... 20

EDITAL Nº 1, DE 23 DE JANEIRO DE 2014

MATEMÁTICA: 1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 2 Taxas de juros:

nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 3 Planos ou sistemas de

amortização de empréstimos e financiamentos. 4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de

operações de financiamento, empréstimo e investimento. 5 Números e grandezas

proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três;

porcentagem e problemas.

RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógicos;

lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemática;

probabilidade.

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1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

1.1. Fator de Capitalização

Vamos supor que um produto sofreu um aumento de 40% sobre seu valor inicial. Para saber

seu valor final temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de capitalização que é calculado

da seguinte forma:

Fator de capitalização = (100 + 20)/100 = 120/100 = 1,2

Ex: Um produto custava R$ 20,00 e sofreu um aumento de 10%. Qual o valor final do produto?

Fator de capitalização = (100 + 10)/100 = 110/100 = 1,1

1,1x20 = 22

Valor final: R$ 22,00

1.2. Fator de Descapitalização

Um produto sofreu um desconto de 30% sobre seu valor inicial. Para saber seu valor final

temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de descapitalização que é calculado da seguinte

forma:

Fator de capitalização = (100 - 30)/100 = 70/100 = 0,7

Ex: Um produto custava R$ 50,00 e sofreu um desconto de 5%. Qual o valor final do produto?

Fator de capitalização = (100 - 5)/100 = 95/100 = 0,95

0,95x50 = 47,75

Valor final: R$ 47,75

1.3. Acréscimos e Descontos Sucessivos

Um erro muito comum em questões sobre acréscimos e descontos sucessivos é o candidato

somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade deveria multiplicar os fatores de

capitalização e descapitalização. Vamos entender com um exemplo.

Ex: Um produto sofreu um acréscimo de 30% sobre seu valor, após um mês houve um

desconto de 40% e após mais um mês outro acréscimo de 10%. Assim o valor do produto em

relação ao preço inicial é:

a) 20% maior

b) 30% maior

c) Não alterou o preço

d) 14,2% menor

Aumento de 30%: 1,3

Desconto de 40%: 1 - 0,4 = 0,6

Aumento de 10%: 1,1

1,3x0,6x1,1 = 0,858 (valor final)

1 – 0,858 = 0,142 (desconto)

Conclui-se então que o produto sofreu um desconto de 14,2%

2. TAXAS

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2.1. Taxa Proporcional:

É calculada em regime de capitalização simples: Apenas divide ou multiplica a taxa de juros.

Por exemplo, se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, multiplica-se a taxa

por 12, já que um ano tem 12 meses.

Ex: Qual a taxa de juros mensal proporcional a 36% ao ano.

36/12 = 3% ao mês

Ex: Qual a taxa de juros semestral proporcional a 5% ao trimestre?

Como um semestre tem dois trimestres:

5x2 = 10% ao semestre

2.2. Taxa equivalente:

É calculada em regime de capitalização composta: Composta por 3 passos:

1- Transforma a taxa de juros em unitária e soma 1 (100%)

2- Eleva a taxa ao período de capitalização

3- Identifica a taxa correspondente

Ex: Qual a taxa de juros ao trimestre equivalente a 20% ao mês?

Passo 1: 20% = 0,2

0,2 + 1 = 1,2

Passo 2: (1,2)3 = 1,728

Passo 3: 72,8% ao trimestre

2.3. Taxa Bruta e Taxa Líquida

Taxa Bruta: estão inclusos tributações e encargos.

Taxa líquida: está livre desses descontos

Ex: Um investimento proporciona um retorno de 0,8% em um mês. Supondo que foi cobrado

30% sobre o ganho devido ao imposto de renda, qual foi o seu ganho líquido?

Tx líquida = 0,8% x 0,7 (fator de descapitalização) = 0,56

A taxa líquida do investido foi de 0,63%

2.4. Taxa Real e Taxa Aparente

O cálculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação do ganho aparente.

Esse cálculo é feito apenas dividindo a taxa aparente pela inflação.

Ex: Uma ação teve um rendimento de 75%. Considerando que no mesmo período a inflação

acumulada foi de 30%, qual será seu ganho real?

Taxa aparente: 75%

Inflação: 30%

1,75/1,3 = 1,35

Assim o ganho real foi de 35%

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2.5. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Taxa nominal: Quando o prazo difere da capitalização estamos diante de uma taxa nominal.

Ex: 30% ao ano/mês (30% ao ano com capitalização mensal).

Taxa efetiva: Quando o prazo é igual da capitalização. Representa a verdadeira taxa cobrada.

Ex: 30% ao ano/ano (30% ao ano com capitalização anual).

Para simplificar abreviamos da seguinte maneira: 30% ao ano.

Para encontrar a taxa efetiva a partir da taxa nominal fazemos um cálculo através de taxa

proporcional.

Taxa nominal Taxa efetiva 1º caso 24% ao ano/mês Taxa proporcional---------- 2% ao mês/mês

24/12 meses = 2 2º caso 5% ao bimestre/ano Taxa proporcional---------- 30% ao ano/ano

5x 6 bimestres = 30

Se quisermos saber qual é a taxa efetiva anual do 1º caso, faz-se o cálculo de taxas

equivalentes.

Taxa efetiva mensal Taca efetiva anual 2% ao mês Taxa equivalente---------- 26,82% ao ano

(1,02)12 Ex: (Transpetro – 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao

ano capitalizada mensalmente é?

12% ano/mês Taxa proporcional---------- 1% mês/mês

(1,01)12 = 1,12677 A taxa efetiva anual é de 12,68%

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Gabarito

1 – d; 2 - c; 3 – c; 4 – c

3. Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos

3.1. Capitalização Simples e Composta

Em juros simples os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital).

Em juros composto os juros são cobrados sobre o valor do saldo devedor (capital + juros do

período anterior).

Ex: Maria realizou um empréstimo de R$ 100,00, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o

valor pago por Maria se ela quitou a dívida 5 meses após o empréstimo?

Se for juros simples:

Mês Juros cobrado Saldo devedor

1 10% de 100 = 10 reais 100 + 10 = 110 reais

2 10% de 100 = 10 reais 110 + 10 = 120 reais

3 10% de 100 = 10 reais 120 + 10 = 130 reais

4 10% de 100 = 10 reais 130 + 10 = 140 reais

5 10% de 100 = 10 reais 140 + 10 = 150 reais

Se for juros compostos:

Mês Juros cobrado Saldo devedor

1 10% de 100 = 10 reais 100 + 10 = 110 reais

2 10% de 110 = 11 reais 110 + 11 = 121 reais

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3 10% de 121 = 12,10 reais 121 + 12,10 = 133,10 reais

4 10% de 133,10 = 13,31 reais 133,10 + 13,31 = 146,41

5 10% de 146,41 = 14,64 reais 146,41 + 14,64 = 161,05

Assim Maria terá que pagar 150 reais se for cobrado juros simples e 161,05 se for cobrado

juros compostos.

Fórmulas:

Juros Simples

Cálculo dos juros:

J = C × i × t

Cálculo do Montante

M = C × (1+ i×t)

Onde:

J: juros

M: montante

C: Capital

I: taxa de juros

T: prazo

Juros Compostos

Cálculo dos juros:

J = M - C

Cálculo do Montante

M = C × (1+ i)t

Aplicação da fórmula

Ex: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e

taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? (1,1)8 = 2,144

Sem fórmula:

(1,1)8 = 2,144 2,144 – 1 1,144 114,4%

100mil × 1,144 = 114.400 reais de juros

100 mil + 114,4 mil = R$ 214.400,00

Com fórmula:

M = C × (1+ i)t

M = 100.000 (1,1)8

M = 214.400,00

Ex: Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000 feita por 1 ano a uma taxa de juros

compostos de 10% ao semestre?

Sem fórmula

(1,1)2 = 1,21 (1,21 – 1) = 0,21 21%

5000 × 0,21 = R$ 1050,00

Com fórmula

M = C × (1+ i)t

M = 5000 (1,1)2

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M = 6050

J = M - C

J = 6050 – 5000 = R$ 1050,00

3.2. Desconto Simples e Composto

3.2.1. Desconto Comercial Simples

Também conhecido como desconto bancário e desconto por fora.

O desconto é calculado sobre o valor nominal do título (Valor de face ou futuro)

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial

simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de

vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês.

3×5 = 15% 100 – 15 = 85% 10.000 × 0,85 = 8.500 Valor atual = R$ 8.500,00

10.000 × 0,15 = 1.500 Desconto = R$ 1.500,00

3.2.2. Desconto Racional Simples

Também conhecido como desconto verdadeiro e desconto por dentro.

(O desconto é calculado sobre o valor atual do título (valor presente).

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racional

simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de

vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês.

3×5 = 15% Regra de três 10.000 ---- 115% X ---- 100% X = 8.695,65 Valor atual: R$ 8.695,65

Desconto = 10.000 - 8.695,65 D = 1304,35

O valor do desconto depende do valor atual então é preciso primeiro calcular o valor atual

para depois achar o desconto.

3.2.3. Desconto Comercial Composto

Calculado sobre o valor nominal do título (Valor de face ou futuro).

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial

composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de

vencimento, a uma taxa de desconto de 10% ao mês.

(1-0,1)2 = (0,9)2 0,81

10.000×0,81 = 8.100

Desconto = 10.000 – 8.100 = 1.900,00

3.2.4. Desconto Racional Composto

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Calculado sobre o valor atual do título (valor presente).

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racional

composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de

vencimento, a uma taxa de desconto de 10% ao mês.

(1,1)2 = 1,21

Regra de três

10.000 ---- 121%

X ---- 100%

X = 8.264,46

Desconto = 10.000 - 8.264,46 = 1735,53

Exercícios

Gabarito

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1 – c; 2 – c; 3 – c; 4 – b

4. Séries de Pagamento

- Série póstecipada: não existe entrada

- Série antecipada: existe entrada

5. Sistemas de Amortização

5.1. Sistema de Amortização Francês (SAF)

Conhecido também como PRICE

Características:

Parcelas constantes

Juros crescentes

Amortizações crescentes

Saldo devedor decrescente

- Cálculo da prestação utilizando o capital

P = C× ((1 + i)t × i)

((1 + i)t – 1)

- Cálculo da prestação utilizando o montante

P = M× ( i )

((1 + i)t – 1)

- Conceitos importantes:

P = J + A

Apenas a amortização reduz o saldo devedor

Onde:

P: prestação M: montante

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I: taxa de juros

t: tempo

J: juros

A: amortização

Ex: Um cliente fez um empréstimo de R$ 10.000 para pagar em 5 prestações mensais iguais,

sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. A taxa

de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação, os juros e a cota de amortização de

cada mês.

Série póstecipada

C = 10.000

t = 5 meses

i = 0,1

Dica: vá calculando e colocando os resultados na tabela para ficar mais fácil de visualizar.

N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 ----- ----- ----- 10.000

1 2640,18 1000 1640,18 8359,82

2 2640,18 835,98 1804,2 6555,62

3 2640,18 655,56 1984,62 4571

4 2640,18 2387,92

5 2640,18 13,47

P = C× ((1 + i)t × i) = 10.000 × ((1 + o,1)5 × 0,1) = 2640,18

((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)5 – 1)

R$ 10.000 × 1,1 = 11.000

Ou seja, na data do pagamento da 1ª parcela, o saldo devedor do cliente será 11 mil.

- Saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela:

R$ 11.000 – 2640,18 = 8.359,82

Juros = 11.000 – 10.000 = 1.000

A = P – J = 2.640,18 – 1.000 = 1640,18

- Saldo devedor no pagamento da 2ª parcela:

R$ 8.359,82 × 1,1 = 9.195, 80

J = 9.195, 80 - 8.359,82 = 835,98

A = P – J = 2.640,18 – 835,98 = 1.804,2

- Saldo devedor após o pagamento da 2ª parcela:

R$ 9.195, 80 - 2.640,18 = 6555,62

E assim por diante...

O último saldo devedor deve dar zero. Na tabela apareceu um valor de 13,47 devido a erros de

arredondamento.

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Ex: Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000 com uma entrada e mais duas

parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. A taxa de juros é de 10% ao mês,

qual o valor da prestação?

Sistema antecipado (com entrada)

P = C× ((1 + i)t × i) = 10.000 × ((1 + o,1)3 × 0,1) = 4.021,10

((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)3 – 1)

R$ 4021,10 ---- 110%

X ---- 100%

X = R$ 3.655,54 A entrada não leva juros então desconta o valor do juros.

5.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)

Características:

Amortização constante

Parcelas decrescentes

Juros decrescentes

Saldo devedor decrescente

- Cálculo da Prestação

P = A + J

- Cálculo da Amortização

A = C/t

Ex: Um cliente fez um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações

mensais. A taxa de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação e os juros e cota de

amortização de cada mês considerando que o banco utiliza o Sistema de Amortização

Constante (SAC).

A = C/t = 10.000/5 = 2.000

- 1ª parcela: 10.000 – 2.000 = 8.000

- 2ª parcela: 8.000 – 2.000 = 6.000

- 3ª parcela: 6.000 – 2.000 = 4.000

- 4ª parcela: 4.000 – 2.000 = 2.000

- 5ª parcela: 2.000 – 2.000 = 0

- Juros

J1 = SD0 × i

J1 = 10.000 × 0,1 = 1.000

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P1 = A + J = 2.000 + 1.000 = 3.000

J2 = SD1 × i

J2 = 8000 × 0,1 = 800

P2 = 2000 + 800 = 2800

E assim por diante

N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 --- --- ---- 10000

1 3000 1000 2000 8000

2 2800 800 2000 6000

3 2600 600 2000 4000

4 2400 400 2000 2000

5 2200 200 2000 0

Ex: Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 60.000,00 para pagamento em 20

anos com o SAC. A taxa de juros é de 1% ao mês. Calcule o valor da 51ª parcela.

Para o cálculo dos juros da parcela 51ª é necessário saber o valor do saldo devedor após o

pagamento de uma parcela anterios, a 50ª.

A = C/t = 60000/240 = 250,00

SD50 = 60000 – (50 × 250) = 47.500

J51 = SD50 × i = 47.500 × 0,01 = 475,00

P51 = A + J51 = 250 + 474 = 725,00

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3. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Um cliente contraiu um empréstimo, junto a um banco, no valor de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com prazo de 2 trimestres, contados a partir da liberação dos recursos. O cliente quitou a dívida exatamente no final do prazo determinado, não pagando nenhum valor antes disso. Qual o valor dos juros pagos pelo cliente na data da quitação dessa dívida? (A) R$ 2.500,00 (B) R$ 1.250,00 (C) R$ 1.640,00 (D) R$ 5.300,00 (E) R$ 2.650,00

4. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição de um terreno junto a uma instituição financeira, no valor de dois milhões de reais, a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsão de receitas, o diretor financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida: Ano 1 – Amortização de 10% do valor do empréstimo; Ano 2 – Amortização de 20% do valor do empréstimo; Ano 3 – Amortização de 30% do valor do empréstimo; Ano 4 – Amortização de 40% do valor do empréstimo. Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestações anuais, do primeiro ao quarto ano, são, respectivamente, (A) 400, 580, 740 e 880 (B) 200, 400, 600 e 800 (C) 400, 560, 720 e 860 (D) 700, 650, 600 e 500 (E) 700, 600, 500 e 400 Gabarito 1 – d; 2 – c; 3 – d; 4 – a

6. Raciocínio Lógico

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1º) ~ (negação) 2º) ^ (conjunção: e) 3º) v (disjunção: ou) 4º) v (disjunção exclusiva: ou) 4º) (condicional: se, então) 5º) ↔ (bicondicional: se e somente se) PROPOSIÇÃO: Denomina-se proposição a toda frase declarativa à qual se possa atribuir somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu telefone?”

2) frases exclamativas: “Que menina bonita!”

3) frases imperativas: “Trabalhe mais.”

4) frases optativas: “Vá com Deus.”

5) frases sem verbo: “O livro de Augusto.”

6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): “x é maior que 3”; “x+y = 3”; “Z é a capital do Brasil”.

6.1. Construção da Tabela Verdade - Negação ~A As seguintes frases são equivalentes entre si: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Não é o caso que Lógica é fácil.

A ~A

V F

F V

- Conjunção A^B Ex: Vou à Igreja e ao mercado Dica: pense como se fosse uma promessa. Se você for em apenas um dos lugares ou em nenhum deles, estará quebrando a promessa e a sentença será falsa. Então a sentença só será verdadeira se for aos dois lugares.

A B A^B

V V V

V F F

F V F

F F F

- Disjunção AvB Ex: A camisa dele é verde ou a calça é azul. Para que a sentença seja verdadeira uma das proposições tem que ser verdadeiras ou as duas.

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A B AvB

V V V

V F V

F V V

F F F

- Disjunção exclusiva AvB Ex: Ou a camisa dele é verde ou a calça é azul. Para que a sentença seja verdadeira uma das proposições tem que ser verdadeira mas não ambas.

A B AvB

V V F

V F V

F V V

F F F

- Condicional AB Ex: Se chove então fico molhado

A B AB

V V V

V F F

F V V

F F V

Se chove então fico molhado (V) Se chove então não fico molhado (F) Se não chove então fico molhado (V) Se não chove então não fico molhado (V) Ou seja, A é condição suficiente para que B ocorra e B é condição necessária para que A ocorra. -Bicondicional A↔B Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A B) e (B A) “ A sentença apenas será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras ou se as duas forem falsas.

A B A↔B

V V V

V F F

F V F

F F V

6.2. Construção da Tabela-Verdade Para uma Proposição Composta

O número de linhas da tabela-verdade de uma sentença é igual a 2n, onde n é o número de proposições simples (letras) que há na sentença.

Ex) (P v ~R) (Q ^ ~R ) número de linhas = 23

= 8 linhas

P Q R ~R (P v ~R) (Q ^ ~R ) (P v ~R) (Q ^ ~R )

V V V F V F F

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V V F V V V V

V F V F V F F

V F F V V F F

F V V F F F V

F V F V V V V

F F V F F F V

F F F V V F F

6.3. Tautologia

Quando a coluna de resultados da tabela verdade for tudo V.

A B A^B AvB (A^B)( AvB)

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

6.4. Contradição

Quando a coluna de resultados da tabela for tudo F.

A B ~B (A↔~B) A^B (A↔~B)^( A^B)

V V F F V F

V F V V F F

F V F V F F

F F V F F F

6.5. Contingência

Quando não for nem tautologia, nem contradição. A coluna de resultados da tabela tem tanto resultados F quanto V.

A B A^B A↔( A^B)

V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

6.6. Negação

Proposição Negação da proposição

Algum Nenhum

Nenhum Algum

Todo Algum.. não..

Algum.. não.. Todo

Ex:’’Algum carro é veloz’’ / ‘’nenhum carro é veloz’’ “Todo político não é rico” / “Algum político é rico” “Toda música é legal” / “Alguma música não é legal” NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Proposição Negação da Proposição

(A e B) ~A ou ~B

(A ou B) ~A e ~B

(A B) A e ~B

(A ↔ B) 1ª forma) ~(AB e BA) = (A e ~B) ou (B e ~A)

2ª forma) A ou B

(A ou B) A ↔ B

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TABELA DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA

~(p^q) ------ ~p v ~q

~(~q) ------ p

~(pvq) ------ ~p ^~q

p^q ------ q^p

pvq ------ qvp

pvp ------ p

p^p ------ p

pvqvr ------ (pvq)v r

p^q^r ------ (p^q)^r

p^(qvr) ------ (p^q)v(p^r)

pv(q^r) ------ (pvq)^(pvr)

6.7. Diagramas lógicos

Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B.

Proposição Diagrama

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é

B

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Algum A não é B

6.8. Quantificadores

Quantificador Significado

Universal

para todo, para cada, qualquer que seja

Existencial

existe pelo menos um, existe um, existe, para algum

Negação dos Quantificadores:

6.9. Lógica de Argumentação

Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será consequência das primeiras!

Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. Dizemos que um argumento é válido quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Dizemos que um argumento é inválido quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exercícios

1) (CESPE/ PF/ 2004) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras então a proposição (~P) v (~Q) também é verdadeira.

P Q ~P ~Q (~P) v (~Q)

V V F F F

A afirmação é falsa

2) (CESPE/ PF/ 2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R(~T) é falsa

T R ~T (R(~T)

V F F V

A afirmação é falsa

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3) (MPE/RR 2008 CESPE) Considere as seguintes proposições.

A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro. Julgue os itens seguintes.

1. Nesse caso, ¬(AB) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia, então Sílvia não vai ao teatro”.

~(AB) = (A ^ ~B) Jorge briga com Silvia e Silvia não vai ao teatro O item é falso

2. Independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão ¬(AvB) correspondente à proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro”.

~(AvB) = ~A ^ ~B O item é verdadeiro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Agora é com você: 4) (TRT 17ª Região Téc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”. 2. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. 5) (PC/ES 2010 Cespe) A negação da proposição (Pv~Q)^R é (~PvQ)^(~R).

6) (MPE Tocantins/2006/CESPE) Julgue o item subseqüente. 1. A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser admitido no serviço público” é corretamente simbolizada na forma A B, em que A representa “ser honesto” e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público”. 7) (Assembléia Leg./CE 2011 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais, pois podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem” é equivalente a “Se podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem, então os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais”. Gabarito: 4 – E/C; 5 – E; 6 – E; 7 – C

6.10. Probabilidade

Para revisar probabilidade é necessário revisar antes análise combinatória: Fatorial

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Permutação

Ex: Quantos números de três algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?

3 possibilidades x 2 possibilidades x 1 possibilidade = 6 possibilidades

= 3.2.1! = 6 Arranjo simples

Ex: Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Obs: Lembre-se que 12 é diferente de 21, ou seja, a ordem importa.

Podemos formar 72 números diferentes de 2 algarismos.

Combinação

Ex: A,E,R,F e G são pessoas que formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma palestra. Quantas são as possibilidades? Obs: Lembre-se que A e F é a mesma dupla que F e A, ou seja, a ordem não importa.

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Existem 10 possibilidades de formar as duplas.

Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

Eventos Mutuamente Exclusivos

Ex: Considerando todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?

DICA: Memorize bem isso: Usamos Arranjos quando a ordem importa. Usamos Combinação quando a ordem não importa.

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_ _ _ _ _ _ A6,4 = 360 3 7 A4,2 = 12 P = 12/360 = 1/30 Usamos o arranjo para calcular a probabilidade porque, neste caso, a ordem importa, pois 341897 é diferente de 314897, por exemplo. Ex: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar 3 parafusos, ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos dois sejam defeituosos? Então 2 ou 3 são defeituosos. Chamando de “D” o evento “2 são defeituosos” e de “B” o evento “3 são defeituosos”, temos: C = D U B p(C) = p(D) + p(B)

2 com defeito 1 sem defeito

todos p(B) = C5,3 = 10 = 0,00005 C50,3 19600 P(C) = 0,02296 + 0,00005 = 0,02301 Exercícios

1) Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas,

sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só

a primeira e a terceira serem brancas é:

a) 1/81

b) 16/81

c) 4/81

d) 24/81

e) 2/81

2) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma

urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

a) 1/3

b) 1/2

c) 1/4

d) 1/12

e) 1/8

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3) Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se

obter um rei ou uma dama?

4) Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número

de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem

obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

Gabarito: 1 – c; 2 - 1/3; 3 – 2/13; 4 – 1/3

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Referências:

1. www.cursoagoraeupasso.com.br 2. Dante, L. R. Contexto e Aplicações, Editora Parma. 2002. 3. Nova – Apostilas para Concursos Públicos 4. www.acasadoconcurseiro.com.br 5. www.somatematica.com.br