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7/24/2019 Resumo 12
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UNIVERSIDADESO JUDAS TADEU DATA:
CURSO: ENGENHARIA TURMA: N DE ORDEM:
DISCIPLINA: CLCULO II Prof. Ms Rogrio Lobo
EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS (EDO)RESUMO 12
DIFERENCIAL EXATA
Teorema: Critrio para uma Diferencial Exata
Sejam M(x, y) e N(x, y) funes contnuas com
derivadas parciais contnuas em uma regio
retangular R definida por a < x < b, c < y < d.
Ento, uma condio necessria e suficiente
para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma
diferencial exata
=
Equao Exata
Definio: Uma expresso diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy uma diferencial exata em
uma regio R do plano xy se ela corresponde
diferencial total de alguma funo f(x, y). Uma
equao diferencial da forma M(x, y)dx +
N(x, y)dy = 0 chamada de uma equao exata
se a expresso do lado esquerdo uma
diferencial exata.
Exemplo
A equao xyd x + xydy = 0 exata, pois
()
= 3xy =
()
.
Mtodo de Soluo da Equao Diferencial
Exata:
M(x, y)d x + N(x, y)dy = 0
1 passo:mostre que
=
;
2 passo:suponha que
= M(x, y);
3 passo:agora encontramos f, considerando y
constante: f(x, y)= M(x, y)dx + g(y) (*) em que
g(y) uma constante de integrao.
4 passo: suponha
= N(x, y)e derive (*) em
relao y:
=
( M(x, y)dx + g(y)) =
N(x, y) g(y)= N(x, y)
M(x, y)dx(**);
5 passo: integre (**) em relao y e substitua
o resultado em (*). A soluo da equao
f(x, y) = c.
Exerccios de Aula
1-) Resolva 2xydx + (x 1)dy = 0.
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2
2-) Resolva
(e ycos(xy))dx + (2xe xcos(xy) + 2y)dy = 0
3-) Resolva
( ) + (1 ) = 0 com a
condio inicial y(0) = 2.
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Exerccios de Casa
(i) Verifique se a equao dada exata, se for
resolva.
1-)
2-)
3-)
4-)
5-)
6-)
7-)
8-)
9-)
10-)
(ii) Resolva a equao diferencial dada sujeita
condio inicial indicada.1-)
2-)
3-)
4-)
Algumas Respostas:
(i)
(ii)
1-)
2-)