Resumo Concreto Usp

5/21/2018 Resumo Concreto Usp

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referncia para

Clculo de Concreto Armado

Conceitos BsicosCargas CaractersticasEsforos Solicitantes e ReaesRegras de Pr-dimensionamento de PeasFlexo Simples

DiagramasEstado Limite ltimo convencional na FlexoDomnio de DeformaoVigas de Seo Retangular com Armadura SimplesViga de Seo T com Armadura SimplesViga de Seo Retangular com Armadura DuplaLajes Retangulares MaciasLajes Armadas em uma DireoEsforos SolicitantesDimensionamento FlexoAltura tilClculo das ArmadurasEscolha das BarrasLajes Armadas em Duas DireesEsforos nas Lajes Isoladas

Mtodo simplicado aplicvel a pisos usuais de edifciosAltura tilArmaduras MnimasEscolha das BarrasLajes NervuradasPilaresTipos de PilaresSituao de ClculoDimensionamento da Seo Retangular (armadura simtrica)Dimenses mnimasDisposies Construtivas, Bitolas e EspaamentosTravamentos Adicionais na Seo Transversal

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NDICE

11234

45679

10121313141515161717

181920212223252627282929

Compilao e Projeto Grfco:Karin Regina de C astro Marins, Roberto Issamu Takahashi e Tiago Gimenez Ribeiro[ Baseado no resumo de Marcos Silveira ]a partir das Apostilas do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes da Escola PolitcnicaSo Paulo - 2000

UNIVERSIDADE DE SO PAULO - ESCOLA POLITCNICADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAES


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CONCEITOS BSICOS

Ao se calcular uma estrutura de concreto precisemos, primeiramente, determinaros seguintes itens:

Concreto simples = 24 KN/mConcreto armado = 25 KN/m

Argamassa = 19 KN/mAlvenaria de tijolo macio = 16 KN/mAlvenaria de tijolo furado = 10 KN/mAlvenaria de blocos de concreto = 13 KN/m

- Cargas Variveis ou Acidentais (NBR 6120): so as cargas que podem atuarsobre as estruturas de edicaes em funo de seu uso. Abaixo esto algunsexemplos de cargas acidentais verticais atuando nos pisos das edicaes, devidasa pessoas, mveis, utenslios, etc., e so supostas uniformemente distribudas:

Salas, quartos, cozinhas e wcs = 1.5 KN/mEscadas, corredores e terraos = 3.0 KN/mRestaurantes e salas de aula = 3.0 KN/mAuditrios = 3.0 KN/mBibliotecas (estantes) = 6.0 KN/mCinemas (platia) = 4.0 KN/m

Esforos Solicitantes e Reaes

Esforos solicitantes e reaes foram objeto de matrias bsicas desta seqnciade disciplinas. Na gura abaixo, a ttulo de recordao, esto representados osesforos solicitantes e reaes de algumas situaes em vigas:

Esforos Mximos na Viga Biapoiada

Cargas Caractersticas;Reaes;Esforos Solicitantes;

Cargas Caractersticas

Dividem-se em cargas permanentes e variveis (ou acidentais).

- Cargas Permanentes: so cargas constitudas pelo peso prprio da estrutura epelos pesos de todos os elementos xos e instalaes permanentes. Abaixo estoalguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais conhecidos, fornecidaspor peso especco:

M = ql2 /8V = ql /2

M = ql2/2V = q l+ P

Esforos Mximos na Viga em Balano

Esforos Mximos na Viga com trs apoios

V

l

VM

q P

V

l

V

M

q

V

l

V

M

q

V

l

V

M

q

1 2

M

1 2

2Clculo de Concreto Armado1


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Regras de pr-dimensionamento de peas

Ao se pr-dimensionar uma pea de concreto deve-se seguir os seguintes passoslgicos:

- Determinao das aes; - Determinao das resistncias; - Vericao da segurana.

As aes so as solicitaes pea, as resistncias levam em conta a seotransversal e as caractersticas mecnicas dos materiais, e a segurana deve sergarantida com um dimensionamento que supere os esforos que incidam sobre apea com uma certa folga.

Algumas hipteses bsicas devem tambm ser adotadas:

- Manuteno da seo plana: as sees transversais da pea, quando etidas,no perdem a congurao plana;- Aderncia perfeita entre o concreto e armadura: no h escorregamento entre osmateriais;

- A tenso do concreto nula na regio da seo transversal sujeita deformao de alongamento.

FLEXO SIMPLES

Na exo simples a ao pode ser admitida como sendo representada apenas peloMomento de Projeto = M

d; so adotadas como resistncias aquelas oferecidas

pelo concreto (fck), pelo ao (fyk) e pela seo transversal (Mud); e a seguranaadequada quando vericada a condio: M

dM

ud. Por razo de economia,

faz-se Md= M

ud.

O concreto mais utilizado tem como caracterstica um fck

entre 20 e 28 MPa

(KN/m), sendo 24 MPa o mais usual, enquanto que o ao mais utilizado, o CA50A,tem como f

ykum valor de 50 KN/m.

Alm da resistncia, existem ainda outras caractersticas inerentes ao concreto eao ao, que sero utilizadas para efeito de clculo, a saber:

Concretofck

= 24 MPac= 1,4E

c= 30.000 MPa

Aofyk= 50 KN/cm

s= 1,15

Es= 210.000 MPa

onde fck, como dissemos, o valor caracterstico da resistncia do concreto, fyk o valor caracterstico de resistncia da armadura correspondente ao patamarde escoamento,

c o coeciente de ponderaro de resistncia do concreto

(coeciente de segurana), s o coeciente de ponderao de resistncia dearmadura (coeciente de segurana), E

s o mdulo de elasticidade do concreto e

Es o mdulo elasticidade do ao.

Diagrama Tenso-Deformao (de Clculo) da Armadura:- Ao de dureza natural (com patamar de escoamento)

ykf

ydf

sd

ydsd

0,010

diagrama de clculo

arctg Es



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Diagrama Tenso-Deformao (de Clculo) do Concreto:- Diagrama parbola-retngulo

cd0,85 f

cd

cd0,010

patamar

0,0035

encoriamento

0,8 x x

kfcd

M

As udeformao deestado limiteltimo (ELU)

ud

M

As

cu= 0,0035

s

ud

M

As

c

= 0,0035su

ud

-A deformao de alongamento na armadura mais tracionada (Esu

) atinge 0,010;denomina-se estado limite ltimo (ELU) por alongamenlo plstico excessivo dearmadura:

Diagrama retangular simplicado

x = altura da zona comprimida, medida a partir de borda comprimida

k = 0,86 , quando a altura de zona comprimida no diminui em direo bordacomprimida (seo retangular)

Estado limite ltimo convencional na exo

atingido quando ocorro uma dos seguintes situaes

-A deformao de encurtamento no concreto (Ecu

) atinge 0,0036; denomina-seestado limite ltimo (ELU) por esmagamento do concreto:

Domnios de Deformao:

Conforme foi visto no tem anterior, o estado limite ltimo convencional ocorrequando o diagrama de deformao passa por um dos dois pontos, A ou B, nagura seguinte:

d = altura til da seo = distncia do CG da armadura borda comprimidax = altura de zona comprimida

- Diagrama D2: o concreto pouco solicitado e a armadura est em escoamento:a ruptura do tipo dtil (com aviso).

- Diagrama D3: o concreto est adequadamente solicitado e a armadura emescoamento: a ruptura tambm dtil. As sees acima so ditas subarmadasou normalmente armadas.

- Diagrama D4: o concreto muito solicitado e a armadura pouco solicitada.A ruptura do tipo frgil (sem aviso). A seo dita superarmada e umasoluo antieconmica pois a armadura no explorada ao mximo.

M

As

0,0010

ud

dh

0,0035

23xx34

D2

D3

D4



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VIGA DE SEO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Tem as seguintes caractersticas:Com ovalor de x, tem-se o domnio de deformao correspondente, podendoocorrer as seguintes situaes:

-Domnio 2, ondex x

23= 0,269d ; e

sd= f

yd

-Domnio 3, onde x23x x34= 0,0035d/(0,0035 + yd); e sd= fyd

-Domnio 4, se x x34, neste caso convm alterar a seo para se evitar a peasuperarmada, aumentando-se h ou adotando-se armadura dupla.

Para a situao adequada de pea subermada tem-se

sd= f

yd. Assim, a equao 3nos fornece:

- A zona comprimida da seo sujeita exo tem formaretangular;

- A armadura constituda por barras agrupadas junto bordatracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centrode gravidade.

Resultante dos tenses

No Concreto: Rcd

= 0,85fcd

b0,8x = 0,68bxfcd

Na Armadura: Rsd= Assd

Equaes de equilibro

De Fora: Rcd

= Rsd

ou 0,68bxfcd

= As

sd1

De Momento: Mud= Rcd(d - 0,4x) ouM

ud= R

cd(d - 0,4x)

substituindo o valor das resultantes de tenso vem:

0,8 x x

0,85fcd

M

As

ud

dh

u

Rcd

Rsd

0,4x

d- 0,4x

sd

b

Mud= 0,68bxfcd(d - 0,4x) ou2

Mud= Assd(d - 0,4x) 3

Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck

e faz-se Mud

= Md, (momento etor

solicitante em valor de clculo). Normalmente, pode-se adotar d = 0,9h. Destaforma, a equao 2nos fornece o valor de x:

x = 1,25d 1Md

0,425b fcd- -1 d

AsMd

sd (d-0,4x)= =

Mdfyd (d-0,4x)



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VIGA DE SEO T COM ARMADURA SIMPLES

A anlise de uma seo T pode ser feita como se indica a seguir:

0,8 x x

0,85fcd

M

As

ud

d

uRsd

sd

hfRcfd

Rcwd1

2

bw

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retngulos(1 e 2). As resultantes de tenso sobre as partes 1 e 2 valem:

Rcfd

= 0,85fcd

(bf- b

w)h

f e R

cwd= 0,85f

cdb

w(0,8x)

A equao de equilibro de momento fornece:

Mud

= Md= M

cfd+ M

cwd= R

cfd(d - hf /2) + Mcwd

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que uma seo retangular bwpor

d, portanto:

A equao de equilbrio de fora permite escrever:

Rcd

= Rcfd

+ Rcwd

Asfyd= Rcfd+ Rcwd

Portanto

VIGA DE REO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Quando se tem, alm da armadura de trao As, outra A

sposicionada junto

borda comprimida, temos uma seo com armadura dupla. Isto feito para seconseguir uma seo subarmada sem alterar as dimenses de seo transversal. Aarmadura comprimida introduz uma parcela adicional na resultante de compresso,permitindo assim, aumentar a resistncia da seo. Vejamos as equaes deequilbrio:

De Fora: Rsd= Rcd+ RsdA

s

sd= 0,68bxf

cd+ c

De Momento: Md= R

cd(d - 0,4x) + Rsd(d - d)M

d= 0,68bxf

cd(d - 0,4x) + A

s

cd(d - d)

Temos assim duas equaes (Ae B) e trs incgnitas: x, Ase A

s(pois as tenses

na armadura depende de x).Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessa forma podem serdeterminadas as armaduras A

se A

scomo se indica a seguir. As equaes A e B

sugerem a decomposio mostrada na gura seguinte:

A

B

Conforme se indica na gura acima, pode ser determinado a primeira parcela domomento resistente, designada por M

wd:

x

c

M

As1

ud

d

u

Rcd

Rsd1

0,4x

d- 0,4x

sd

b

x

c

M

As2

ud

d

u

Rsd

Rsd2

d

d- d

sd

b

As

Mwd

= 0,68bxfcd(d - 0,4x) e Rsd1= Mwd /(d - 0,4x)

Como sd= fyd(pea subarmado), tem-se:A

s= R

sd1/f

yd

Assim, ca conhecida a parcela restante do momento resistente:

Md= M

d- M

wd

x = 1,25d 1Mcwd

0,425bw fcd- -1

d

AsRcfd+ Rcwd

fyd=



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Tambm,

Md= R

sd(d - d) = A

sd

cd(d - d) e

Md= Rsd2(d - d) = As2cd(d - d)

Que permitem determinar as reas restantes de armadura As2

e As. De fato,

Rsd= Rsd2= Md/(d - d) eA

s2= R

sd2/f

yd

O clculo de As, requer a determinao de tenso sd. Com x xlim, tem-se, no

domnio 3 c=0,0035 e, no domnio 2:

c= 0,010x / (d - x) (por semelhana de tringulos)

Logo

s=

c(x - d) / x

que permite obter sd(no diagrama x de armadura)

Finalmente

As= R

sd/s e

As= A

s1+ A

s2

LAJES RETANGULARES MACIAS

Lajes so elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos a cargastransversais a seu plano. Os apoios das lajes so, geralmente, constitudospor vigas vigas de piso. Nestes casos, o clculo das lajes feito, de maneirasimplicada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios livres rotaoe indeslocveis translao, considerando, contudo, a continuidade entre lajescontguas.

Do ponto de vista de comportamento exo, as lajes retangulares maciaspodem ser classicadas em:

- Lajes armadas em uma direo: quando a exo (curvatura) bastantepredominante segundo a direo paralela a um dos lados; correspondem s lajesapoiadas em lados opostos (isoladas e contnuas, com ou sem balanoslaterais), e s lajes alongadas apoiadas em todo o permetro.

- Lajes armadas em duas direes ou em cruz: quando as curvaturas paralelasaos lados so valores comparveis entre si, so lajes apoiadas em todo seucontorno e com lados no muito diferentes entre si (l l

y/ l

x2).



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LAJES ARMADAS EM UMA DIREO

Considere-se a laje esquematizada na gura a seguir :Abaixo esto os grcos destes 3 casos:

Esforos Mximos na Laje Isolada

Sejam, lx, o vo terico da laje, normalmente, igual distncia entre os eixos

dos vigas de apoio, e ly o seu comprimento. Os cortes AA e BB mostram, deforma esquemtica, os deslocamentos apresentados pela laje ao ser submetida uma carga distribuda uniforme de valor p. Constata-se a presena de curvaturae, portanto, de momento etor segundo o corte AA. Segundo o corte BB ocorre,praticamente uma translao com curvatura e exo desprezveis.

Considere-se, agora, faixas isolados de larguras unitrias paralelos ao corte AA:o carregamento de uma dessas faixas constitudo de carga uniforme de valor

p . Cada uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamento de uma vigaisosttica e o diagrama de momento etor uma parbola de ordenada igual aplx

2/8. Representa-se este momento etor por mx, com m

x= p lx

2/8, na unidadekNm/m. Analogamente, a fora cortante tem diagrama linear e seu valor mximov

x = plx/2. Para que as faces superior e inferior mantenham-se paralelas entre

si aparece um momenfo etor my = m

xatuando no plano paralelo ao lado l

y,

tambm por unidade de largura, sendo my= 0,2mx, pois no concreto = 0,2 . O

momenfo etor mx chamado de momento etor principal e m

yde secundrio.

Esforos Solicitantes

- Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde a uma

viga isolada sujeita a carga distribuda uniforme;

- Laje em balano: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde auma viga em balano e o carregamento consiste numa carga uniforme distribudap mais uma concentrada P aplicada junto extremidade do balano.

- Laje contnua: nesse caso, a faixa de largura unitria da laje corresponde a umaviga contnua.

P1 P2

P3 P4

V1

V2

B B

A

A

xl

yl1 1 V

Mp

Vx

x

x

Esforos Mximos na Laje em Balao

V

l

V

M

q

x

x

x

x

mx= plx

2/8m

y= m

x

vx= plx/2

mx= plx2/8

vx= pl

x+ P

Esforos Mximos na Laje Contnua

Dimensionamento Flexo (Estado Limite ltimo - ELU)

O dimensionamento feito para uma seo retangular de largura unitria(normalmente, b =1 m =100 cm) e altura igual espessura total do laje, h.

V

l

M

q P

x

x

x

l

M

q

l

M

q

x1 x2

M

Vx Vx

Vx Vx

x2x1



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Altura til

A armadura de exo ser distribuda no largura de 100 cm. Em geral, tem-senos vos, num mesmo ponto, dois momentos etores (m x e my, positivos)perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos correspondeuma altura til; d

x para o momento etor m

x e d

y para o momento etor m

y.

Normalmente, mx maior que m

y; por isso costuma-se adotar d

x> d

y; para isto, a

armadura correspondente ao momento etor my(A

sy) colocada sobre a armadura

correspondente ao momento etor mx(Asx):

Nas lajes, normalmente, a exo conduz a um dimensionamento como peasubarmada com armadura simples. Assim, conforme a gura acima, a equao deequilbrio conduz a

Asx

Asy

100 cm

dvdxh

vx

c

Conforme a gura acima, tem-se:

dx= h - c -

x/2 e

dy= h - c -

x-

y/2

ondec = cobrimento mnimo de armadura em lajes, xado em 0,5 cm nas lajesprotegidas com argamassa de espessura mnima de 1 cm (NBR 6118)

x= dimetro da armadura A

sxcorrespondente a m

x

y= dimefro da armadura A

sycorrespondente a m

y

Nas lajes macias revestidas, usuais em edcios, pode-se adotaraproximadamente:

dx= h - c - 0,5 cm e

dy= h - c - 1,0 cm

Clculo das Armaduras

cd

sd

0,85fcd

0,8xMd

R

R

dh

100 cm

md= 0,68bxf

cd(d - 0,4x) com m

d=

cm = 1,4 m

Resultando, para a altura de zona comprimida o valor

e a armadura

ondeA

d= A

sx para m = m

x e

Ad= A

sy para m = m

y

Escolha das barras

A escolha da bitola o espaamento (e s) feita para as bitolas comerciais comas seguintes recomendaes:

min= 4 mm max = h/10s

min= 8 mm s s

max= 20 cm (p/ arm. princ. limitar a 2h)

Para as bitolas, adota-se um mnimo de 4 mm e um mximo correspondentea um dcimo da espessura da laje. O espaamento mnimo de 8 cm tem pornalidade facilitar a concretagem da laje, e o espaamento mximo visa garantir auniformidade de comportamento admitida nos clculos. A tabela a seguir mostraas bitolas comerciais mais utilizadas:

100 cm

h

s

= dimetro nominal da barra em mmA

s1= rea nominal da seo transversal de uma barra

m1= massa de uma barra por metro linear

dx = 1,25d 1

md

0,425bw fcd-

-1

As=md

fyd (d-0,4x)

(mm) As1(cm) m1(kg/m)

4,0 0,125 0,10

5,0 0,200 0,16

6,3 0,315 0,25

8,0 0,500 0,40

10,0 0,800 0,63



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LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES (EM CRUZ)

Considere-se a laje esquematizada na gura a seguir, apoiada em todo o seucontorno sobre vigas, sujeita carga distribuda p e sejam:

onde o carregamento usual constitudo de carga distribuda uniforme, so muitoteis as tabelas de Czrny preparadas com coeciente de Poisson 0,2 (admitidopara o concreto). Os momentos etores extremos so dados por:

lx= o menor vo tericolx= o maior vo terico (l

yl

x)

Normalmente consideram-se as hipteses simplicadoras:- vigas rgidas exo- continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nvel

A deformada da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (paralela a l

y) esto

esquematizadas na gura a seguir:

mx= momento por unidade de largura com plano de atuao paralelo a l

x;

my= momento por unidade de largura com plano de atuao paralelo a l

y.

Considere-se o corte genrico CC e a deformada segundo este corte.Nota-setambm a presena de momento, podendo este ser expresso por:

mx= m

xcos+ m

ysen

Esforos nas lajes isoladas

Nas lajes interessam, particularmente, os momentos etores mximos no vos esobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos fornecem estesmomentos mximos para alguns casos usuais de lajes macias. Nos edifcios,

lx

ly

C

A

B

onde as variveis e esto tabeladas de em funo dos seguintes parmetros:

Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuda uniforme, e os tipos deapoio indicados a seguir:

Mtodo simplicado aplicvel a pisos usuais de edifcios

Para os pisos usuais de edifcios residenciais e comerciais pode ser aplicado omtodo simplicado exposto a seguir:

Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cada umadelas, as seguintes condies de apoio:

lx

ly

C

A

B

Pode-se notar a presena de curvaturas comparveis segundo os dois cortes,sugerindo a presena de momentos etores comparveis:

- Tipo de carga (por ex. distribuda uniforme);- Condies de apoio da laje (tipo de apoio);- Relao (ly / lx).

1 2A 6

2B 4B 5B

4A 5A3

lx

ly

engastado

apoiado

- Apoio livre, quando no existir laje vizinha a este apoio;- Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nvel,

permitindo assim a continuidade da armadura negativa deexo de uma laje para a outra;

- Vigas rgidas de apoio da laje;

mx =plxx

my =plyy

mx=plxx

my=plyy

; ; ;



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e,calculam-se os momentos etores mximos (em valor absoluto) nestas lajesisoladas (m

x, m

y, m

x, m

y).

Correo dos momentos etores devido continuidade entre as lajes vizinhas:

- Momentos sobre os apoios comuns s lajes adjacentes: adota-se para omomento etor de compatibilizao, o maior valor entre 0,8 m

> e (m

1 + m

2) /

2, onde m1 e m2 so os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes

adjacentes junto ao apoio considerado, e m>, o maior momento entre m1 em

2.

- Momentos no vos: para sobrecargas usuais de edifcios podem ser adotadosos momentos etores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhumacorreo devido continuidade. Para sobrecargas maiores convm efetuaressas correes.

Altura til

Da mesma forma que para as lajes armadas em uma s direo, as alturas teisso dadas por:

Armaduras mnimas

- Armaduras de vo:

dx= h - c - x/2 e dy= h - c - x- y/2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por

dx= h - c 0,5 cm e d

y= h - c 1,0 cm

clculo de As

e a armadura

onde

As= A

sxpara m = m

x

As= A

sypara m = m

y

As= A

s para m = m

armadura nos apoios:

(Asx

ou Asy

) 0,9 cm/m e

- Armaduras sobre os apoios de continuidade: A

s1,5 cm/m e

Escolha das barras

- Dimetro : 4 mm h/10

- Espaamento entre as barras:

armadura nos vos: As 8 cm s 20 cm3h

As

8 cm s 20 cm2h

x = 1,25d 1md

0,425b fcd- -1

d

As=md

fyd (d-0,4x)

=A

s

bh

0,15 % (CA50 / 60)0,20 % (CA25)

=A

s

bh 0,15 % (CA50 / 60)0,20 % (CA25)



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LAJES NERVURADAS

As lajes macias podem ser recomendadas para vos at cerca de 5m. Para vosmaiores, ela se torna antieconmica devido ao seu grande peso prprio. Umaopo melhor para este caso pode ser conseguida atravs das lajes nervuradas.As nervuras tem a funo de garantir a altura necessria para a armadura detrao resistir exo.

Para estas lajes tem-se as seguintes recomendaes:

- Os esforos solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placas para faixasde largura unitria; multiplicando estes esforos pelos espaamentos entrenervuras tem-se os esforos atuantes em cada nervura;

- A mesa deve ser vericada exo se b > 50 cm ou se houver cargaconcentrada atuando diretamente sobre ela;

- A vericao do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como laje se b50cm e, como viga em caso contrrio.

hf> b/5 > 4 cm

100 cmbw bw > 4 cm

PILARES

Pilares so estruturas de concreto armado que transmitem as cargas do edifciopara a fundao. A carga principal, nos edifcios, tem o sentido vertical (peso).Por isso, o esforo solicitante nos pilares constitudo essencialmente pela foranormal de compresso. Aes outras como, por exemplo, a do vento, introduzemsolicitaes transversais nos pilares. Como a fora normal de compresso grande,deve-se ainda considerar os efeitos provenientes do desaprumo construtivo, daindenio do ponto de aplicao das reaes das vigas e dos deslocamentos

apresentados pelos pilares (efeito de segunda ordem). De fato, considere-se opilar em balano esquematizado a seguir e seus esforos solicitantes usuais:

l

P

H

Mh

l

P

Ma

a

Conforme a gura acima, tem-se que Mh= momento etor devido a H, com l= 4 m;

P = 800 kN e H = 10 kN. Assim, o momento mximo na base do pilar vale:

Hl= 10 4,0 = 40 kNm

A fora normal N (de compresso) vale 800 kN.Considere-se agora, como mostra a gura seguinte, o efeito de um eventualdesaprumo (a) do pilar de, digamos, 2 cm. O deslocamento transversal da carga Pproduz um momento etor adicional no pilar. o momento adicional mximo vale:

Ma= Pa = 800 0,02 = 16 kNm



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Para se ter uma idia do efeito dos deslocamentos (efeito de segunda ordem),considere-se, no momento, o comportamento elstico linear do concreto com E

o=

3000 kN/cm e seo transversal de 25 x 25 cm (seo quadrada). O deslocamento(usual) do topo do pilar devido a H vale:

O momento etor adicional mximo vale M2= Pa, ento M

2= 8000,0466 = 37,3

kNm. A gura a seguir representa M2:

O momento mximo na base do pilar vale:

M = Mh+ M

a= M

2= (1 + M

1/M

h+ M

2/M

h)

M = 40 ( 1 + 16/40 + 37,3/40) M = 40 (1 + 0,40 + 0,93)

Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mh e, M2, 93%, mostrando aimportncia do desaprumo e do deslocamento (efeito de segunda ordem) noesforo solicitante nal. Convm lembrar que ainda existem solicitaes adicionaisprovenientes do comportamento no linear com concreto armado e da unciaque age sobre o efeito da carga permanente.

Outro fator de grande importncia a esbeltez do pilar (ndice de esbeltez ), quepode ser notado atravs da expresso a2, pois quanto maior for o , maior ser omomento de segunda ordem M

2. Considere-se, no exemplo visto anteriormente, o

efeito da variao da seo transversal de 25 x 25 cm at 90 x 90 cm. A gura aseguir apresenta os resultados obtidos:

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

40 60 80 100 120

(M + M ) / M2 2a

l

P

M2

a

a1=

Hl3EcIc

1040033000(244/12)

= 2,18 cm=

a = a1+ a2= a11

1 - P / P

EcIcl

P= =

EcAc

=lc

ic

, com eI

ci c= Ac

Ici

c=

Ac

244/12=

25 = 7,22 cm

EcI

c

lP

= =

EcA

c

a = a1+ a

2= a

1

11 - P / P

n

=lc

i c=

A considerao do equilbrio do pilar na sua congurao deformada, acarreta

um momento etor adicional devido ao deslocamento transversal da fora P. Odeslocamento transversal nal pode ser estimado atravs da expresso:

onde

sendo

l= comprimento de ambagem do pilar l= 2lno pilar em balano;

l= lno pilar biar ticulado com alongamento livre;

l= l, biengastado com deslocamento transversal livre;

l= 0,7l, engastado de um lado e articulado do outro;

io= raio de girao da seo do pilar

Assim

24007,22 = 111

=300025

111= 1502 kN

11 - 800 / 1502

= 2,18 = 4,66 cm



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Nota-se que o efeito de segunda ordem desprezvel para valores de lat emtorno de 40 e que a partir deste valor a sua inuncia cada vez maior. Assim,para efeito de um mtodo de vericao e de clculo, a NBR 6118 prope aseguinte classicao dos pilares em funo do ndice de esbeltez:

- Pilar Curto: para 40; pode-se desprezar o efeito de segunda ordem euncia;

- Pilar Medianamente Esbelto: para 40 80; o efeito de segunda ordem deve

der considerado (podendo-se utilizar o mtodo do pilar padro) e pode-sedesprezar o efeito da uncia;- Pilar Esbelto: para 80 140; o efeito de segunda ordem deve der considerado

(podendo-se utilizar o mtodo do pilar padro) e deve-se considerar o efeito dauncia (podendo ser estimada atravs de uma excentricidade complementarequivalente);

- Pilar Muito Esbelto: para 140 200; o efeito de segunda ordem e auncia devem ser considerados e calculados de forma rigorosa, alm dissoo coeciente de ponderao das aes deve der majorado, passando a valer:

Tipos de Pilares

Normalmente, os pilares de edifcios podem ser agrupados em dois conjuntos:

- Pilares de Contraventamento: so aqueles que, devido sua grande rigidez,permitem considerar os diversos pisos do edifcio como, praticamente,indeslocveis (caixas de elevadores, pilares enrigecidos); o seu clculo exigesua considerao como um todo;

- Pilares contraventados: so constitudos pelos pilares menos rgidos, onde asextremidades de cada lance podem ser consideradas indeslocveis, graasaos pilares de contraventamento; seu clculo pode ser feito de feito de formaisolada em cada lance. Os pilares contraventos podem ser agrupados nosseguintes tipos:

-Pilares internos: situados internamente ao piso; para situao de projetoconsidera-se como esforo solicitante a forna normal (N) de compresso;-Pilares de estremidade: situados nas bordas do piso; para situao de projeto,considera-se como esforos solicitantes a fora normal (N) de compresso e omomento etor (M), atuando segundo o plano constitudo pelo pilar e pela viga;este par de esforos normalmente substitudo por (N) e (e

i= M/N).

-Pilares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situao de projetoconsidera-se como esforos solicitantes a fora normal (N) de compresso e doismomentos etores (Mxe My), atuando segundo os planos constitudos pelo pilar epor cada uma das vigas nele apoiadas; normalmente o conjunto de valores (N, M

x

e My) substitudo por (N), (e

ix= M

x/N) e (e

iy= M

y/N).

Situao de clculo

A situao de clculo corresponde vericao do estado limite ltimo (ELU)de cada seo do pilar; aos esforos provenientes da situao de projeto soacrescentados os seguintes efeitos:- A indenio do ponto de aplicao da fora normal e o desaprumo do pilar

que podem ser considerados atravs da chamada excentricidade acidentale

aestimada, conforme a NBR 6118 por e

a2 cm ou h/30, com h sendo a

dimenso do pilar segundo a dimenso considerada;- Os efeitos de segunda ordem quando 40 que podem ser considerados

atravs da excentricidade e2. Esta excentricidade pode ser estimada, parapilares medianamente esbeltos, atravs do mtodo do pilar padro. Ashipteses admitidas neste mtodo so:

- Seo constante do pilar (inclusive armadura);- Congurao etida de forma senoidal.

dM

dx

dxdx

r

l

P

y

e2



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Conforme a gura anterior, temos:

Dimenses Mnimas

Para a seo retangular de dimenses hxhyseja b o menor dos lados e h o maior.

recomenda-se:

b 20 cm e lo/25 , onde lo o p direito livre. Neste caso, toma-se f= 1,4.

Excepcionalmente 12 cm b 20 cm e h 60 cm, devendo-se utilizar, neste caso,

f= 1,8.

Recomenda-se que a armadura tenha distribuio simtrica e que sua taxageomtrica () obedea a seguinte condio:

min= As/ Aomaxonde

max= 3% (6% nas emendas) min= 0,8% se > 30 min= 0,5% se 30

hy

hx

dN

Situao de clculo 2

ely

eay

e2y

ey

= elyey

hy

hx

elx

ely

dNSituao de projeto

d

hy

hx

elx

N

eax e2x

= elyey

Situao de clculo 1

ex

Com tem-se, para a seo do meio do vo

ou

Por outro lado, sendo 1/r = (co+ o)/d , a NBR 6118 permite considerar pilaresmedianamente esbeltos e esbeltos:

onde Es= 21000 kN/cm e

d= N

d/ A

cf

cd

O comprimento de ambagem do pilar (lo) tomado aproximadamente igual aop direito, pois as extremidades de cada lance do pilar podem ser consideradasindeslocveis. Os efeitos de uncia (quando > 80) podem der consideradosatravs da excentricidade complementar equivalente e

o.

Dimensionamento da Seo Retangular (armadura simtrica)

Costuma-se dimensionar uma seo retangular com armadura simtricaconsiderando-se a mais crtica entre as situaes de projeto indicadas na gura a

seguir. No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situaes de clculo sujeitasa exo composta oblqua (FCO); da situao 1 resulta a taxa mecnica 1e da

situao 2, 2; a maior destas taxas dene a armadura da seo. Estas situaesde clculo so obtidas atravs do deslocamento mximo do ponto de aplicaoda fora normal segundo h

x(situao 1) e, segundo h

y(situao 2). Para pilares

internos, tem-se duas situaes de clculo sujeitas a exo composta normal(FCN). Nos pilares de extremidade resultam uma FCN e uma FCO. Nesta ltimasituao, pode-se, em geral, desprezar a excentricidade inicial resultando, ento,dois dimensionamentos a FCN.

y = e2sen x ; = e2sen x ; = - e2sen x = - y( ) ( )lo lo lo lolo

1 = -

r

1 = e2( )lor1lo

re

2= 1 / r

( / lo)=

1r

=0,0035 + f

yd/ E

s

h [( d+ 0,5 )p 1]



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Disposies Construtivas, Bitolas e Espaamentos

As disposies construtivas, bitolas e espaamentos apresentados na gura acimaesto assim convencionados:

hysl

b < h

st

10 b/10 ;4 cm ou 4

ts

l40 cm ;

t5 ;7cm s

l 30 cm

b12 t190 t / l

CA50A

Travamentos Adicionais na Seo transversal

A possibilidade de ambagem das armaduras inibida pelos estribos queintroduzem pontos de travamento, a cada distncia s

t. Este travamento integral

junto aos cantos, mas travamentos adicionais a cada 20 t, so necessrios nas

sees alongadas.

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Resumo Concreto Usp