RESUMO FENÔMENOS DE

TRANSPORTE

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PREFÁCIO

Vivemos cercados de fluídos.

A Água que sai pela torneira; o ar que respiramos, que também sustenta

o avião e, ao mesmo tempo, cria uma resistência ao seu movimento; o óleo

que lubrifica os mecanismos; o bocal da mangueira de jardim, que provoca

uma alta velocidade do jato de água na saída, são, entre outros, fenômenos

que observamos ou dos quais participamos diariamente.

Ao observar o comportamento dos fluidos, verifica-se que é repetitivo o

que permite concluir que deve ser comandado por leis físicas.

Cabe ao cientista pesquisador estudar os fenômenos, compreendê-los,

descobrir as variáveis envolvidas e arranja-las em modelos matemáticos

cada vez mais precisos e completos.

É vocação do engenheiro se valer do conhecimento das leis que regem

o comportamento dos fluidos para tirar proveito deles e fazer acontecer o

que se deseja para o progresso e o conforto da humanidade.

Devido ao grande número de variáveis que influem em cada fenômeno,

os modelos matemáticos tornam-se complexos para a compreensão e o seu

manuseio. Entretanto, em muitas aplicações da engenharia, algumas

dessas variáveis e alguns efeitos são de importância secundaria, permitindo

a simplificação das equações para a solução da maioria dos problemas

práticos.

Assim, por exemplo, ao considerar o regime permanente, mesmo que

seja em media, elimina-se a variável tempo, o que simplifica a solução dos

problemas, já que o resultado será o mesmo em qualquer instante.

Ao desprezar o atrito (efeitos tangenciais), a compreensão de alguns

fenômenos torna-se qualitativamente mais fácil.

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Desprezando-se a variação da massa especifica ou densidade como no

caso dos líquidos, o manuseio dos modelos fica muito mais simples.

Assim, partindo de modelos matemáticos complexos, ao impor

simplificações validas para obter resultados razoáveis em muitos problemas,

pode-se chegar a equações mais amenas e compreensíveis para a

aplicação pratica.

A pratica de ensino, ao longo de muitos anos, mostrou-nos que o

caminho inverso parece ser o mais proveitoso para o aprendizado.

Com o conhecimento do conteúdo podem-se acompanhar facilmente

outras disciplinas profissionalizantes de um curso de engenharia ou resolver

inúmeros problemas da vida profissional.

Citado pelo Prof Eng Franco Brunetti no seu livro Mecânica dos Fluídos.

Sumário

1 - INTRODUCÃO 06

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1.1 – Definição de um Fluido 0912 – Equações Básicas 111.3 – Métodos de Análise 111.4 - Lei do Movimento 121.5 – Dimensões e Sistemas de Unidades 121.6 – Propriedades dos Fluidos 16

2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS2.1 - Definição 242.2 - Pressão em um ponto 242.3 - Equação básica da estática dos fluidos 252.4 - Pressões Instrumentais e absolutas 282.5 -Manômetros 30

3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS3.1 - O Fluido como um continuo 373.2 - Campo de velocidade 373.3 - Campo de tensões 403.4 - Tensão em um ponto 413.5 - Fluido Newtoniano: Viscosidade 433.6 - Descrição e classificação dos escoamentos de fluidos 463.7 - Propriedades do Transporte Molecular 50

4. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA DINÂMICA4.1- Introdução 534.1- Teorema de Buckinghan 56

5. DINÂMICA DOS FLUÍDOS 635.1 - Principio de conservação de massa - Equação da continuidade 645.2 - Equação da quantidade de movimento - Equação de Bernoulli 665.3 - Equação de Euler 695.4 - Teorema de Torricelli 69 6 - ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSIVEL6.1- Movimento Laminar e Turbulento 716.2 - Perda de Carga Normal 726.3 - Perda da Carga Localizada 74

7 - PROBLEMAS SIMPLES DE ESCOAMENTO EM TUBOS 77

8 - ASSOCIAÇÕES DE TUBULAÇÕES 79

9 - BIBLIOGRAFIA 82

1 - INTRODUCÃO

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE:

Estuda o transporte de quantidade de movimento (ou momentum), transporte de calor e transporte de massa.

MECÂNICA:É a ciência que estuda o equilíbrio e o movimento dos corpos sólidos,

líquidos e gasosos, bem como as causas que provocam este movimento.

MECÂNICA DOS FLUIDOS:A mecânica dos fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico

dos fluídos, assim como as leis que regem esse comportamento, tanto com o fluido em repouso como em movimento.

São denominados fluidos os líquidos e gases.

Quando temos um fluido como meio atuante em algum sistema, o conhecimento e desenvolvimento dos princípios básicos da mecânica dos fluidos se fazem necessário.

A mecânica dos fluídos tem dois ramos importantes no estudo das operações básicas:

A estática dos fluídos: estuda os fluídos em estado de equilíbrio em ausência de esforços cortantes.

A dinâmica dos fluídos: estuda os fluídos em movimento sujeitos a tensões cisalhantes.

Na estática dos fluídos, o PESO ESPECÍFICO é a propriedade mais importante, ao passo que no escoamento de fluídos, a MASSA ESPECÍFICA e a VISCOSIDADE são propriedades predominantes.

Onde ocorre apreciável compressibilidade, princípios da termodinâmica devem ser considerados.

CAMPO DA MECÃNICA DOS FLUIDOSAs bases lançadas pela mecânica dos fluidos são fundamentais para

muitos ramos de aplicação da engenharia. Este amplo campo tem chegado a incluir muitas áreas extremamente especializadas como, por exemplo:

O estudo do comportamento de um furacão

Os esforços em barragens

Lubrificação

Os corpos flutuantes

As maquinas hidráulicas e de grande efeito

Pistas inclinadas e verticais para decolagem

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Ventilação

O fluxo de água através de canais e condutos

As ondas de pressão produzidas na explosão de uma bomba

As características aerodinâmicas de um avião supersônico.

As asas de aviões para vôos subsônicos e supersônicos

Cascos de barcos, navios e aerobarcos.

Projeto para fogos de artifício.

Projetos de submarinos e automóveis

Uma das perguntas mais comuns nos cursos de Engenharia é: Por que estudar Mecânica dos Fluidos?

Como se podem observar, pelo exposto, poucos são os ramos da engenharia que escapam totalmente do conhecimento dessa ciência que se torna assim, uma das de maior importância entre as que devem fazer parte dos conhecimentos básicos do engenheiro.

Aplicações:Transportes:- Recentemente as industriais de automóvel têm dado maior importância

ainda ao projeto aerodinâmico. Esta importância também tem sido verificada no projeto de carros e barcos de corrida.

- Projeto de sistemas de propulsão para vôos espaciais. Exemplo mostrado na figura 1 - um foguetão espacial possui uma grande quantidade de energia química (no combustível) pronta a ser utilizada enquanto espera na rampa. Quando o combustível é queimado, esta energia é transformada em calor, uma forma de energia cinética. Os gases de escape produzidos impelem o foguetão cima.

Figura 1 Figura 2

- Na figura 2 temos o exemplo de uma velha locomotiva a vapor que transforma energia química em energia cinética. A queima de madeira ou carvão na caldeira é uma reação química que produz calor, obtendo vapor que dá energia à locomotiva.

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Figura 3

Figura 3 Figura 4

- A Espiral é provocada por um avião a decolar, visível pelo impacto do ar, que desliza das suas asas, com um corante gasoso expelido do chão é visto na figura 3. - O desastre da ponte de Tacoma ocorrido há alguns anos atrás evidencia as possíveis conseqüências que ocorrem, quando os princípios básicos da mecânica dos fluidos são negligenciados – figura 4.

Engenharia:- Estes mesmos princípios são utilizados em modelos para determinação

das forças aerodinâmicas devidas às correntes de ar em torno de edifícios e estruturas. Ex : vibração de um edifício durante um terremoto

- O projeto de todo o tipo de maquinas de fluxo incluindo bombas, separadores, compressores e turbinas requer claramente o conhecimento de Mecânica dos Fluidos.

- Lubrificação, sistemas de aquecimento e refrigeração para residências particulares e grandes edifícios comerciais, sistemas de ventilação em túneis e o projeto de sistemas de tubulação para transporte de fluidos requer também o conhecimento da mecânica dos Fluidos.

Medicina:- O sistema de circulação do sangue no corpo humano é

essencialmente um sistema de transporte de fluido e como conseqüência o projeto de corações e pulmões artificiais são baseados nos princípios da mecânica dos fluidos.

Recreação: - O posicionamento da vela de um barco para obter maior rendimento

com o vento.

- A forma e superfície da bola de golfe para um melhor desempenho são ditadas pelos referidos princípios.

Esta lista poderia ser acrescida, mas ela por si só já comprova que a mecânica dos fluidos não é de interesse puramente acadêmico, mas sim uma ciência de enorme importância para as experiências do dia a dia e para a moderna tecnologia.

Claro está que iremos estudar em detalhes apenas uma pequena porcentagem destes problemas. Não obstante, estudaremos as leis básicas e os conceitos físicos associados, que serão a base, ou seja, o ponto de partida para a analise de qualquer problema em Mecânica dos Fluidos.

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IMPORTÂNCIA:Nos problemas mais importantes, tais como:

Produção de energia

Produção e Conservação de Alimentos

Obtenção de água potável

Poluição

Processamento de Minérios

Desenvolvimento industrial

Aplicações da Engenharia à Medicina

Sempre aparecem cálculos de:

Perda de carga

Forças de arraste

Trocas de calor

Troca de substancia entre fases.

Desta forma, torna-se importante o conhecimento global das leis tratadas no que se denomina Fenômenos de Transporte.

1.1- DEFINICÃO DE UM FLUIDO:

São substâncias que podem escoar movendo as partículas e mudando a posição relativa, sem desintegração da massa, não oferecendo praticamente resistência à deformação e se adaptando às formas dos recipientes que os contém.

É também definido como uma substancia que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial), por menor que seja esta tensão.

Seja um sólido preso entre duas placas planas, uma inferior fixa e uma superior submetida a uma força tangencial Ft (na direção do plano da placa) como mostrado na figura (a).

Mantida a Ft constante, nota-se que o sólido se deforma angularmente até alcançar uma nova posição de equilíbrio estático.

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Nessa posição as tensões internas equilibram a força externa aplicada e somente uma variação da força Ft faria com que houvesse uma modificação da nova configuração do sólido.

Pode-se dizer, então que um sólido submetido a uma força tangencial constante, deforma-se angularmente, mas atinge uma nova configuração de equilíbrio estático.

Nesta nova configuração, o sólido atinge o seu limite elástico e a deformação é diretamente proporcional à tensão de cisalhamento .

(A = área da superfície em contato com a placa)

Na experiência descrita na figura (b) é colocado um fluido entre as duas placas. Sendo a placa inferior fixa e a superior móvel, ao se aplicar a força tangencial Ft na placa superior, esta irá se deslocar.

A primeira observação importante nessa experiência é que pontos correspondentes do fluido e da placa continuam em correspondência durante o movimento; assim, se a placa superior adquire uma velocidade v, os pontos do fluido em contato com ela terão a mesma velocidade v, e os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficarão parados junto dela. Tal observação conduz ao chamado principio da aderência: Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem aos pontos dela, com os quais estão em contato.

Então, o que se observa é que o volume do fluido, sob a ação da força Ft , deforma-se continuamente, não alcançando uma nova posição de equilíbrio estático, supondo-se as placas de comprimento infinito.

A uma determinada temperatura e pressão, um fluído possui uma densidade definida. Com a densidade de um fluído depende da temperatura e da pressão, a variação da densidade ao modificar estas condições pode ser grande ou pequena.

Se a densidade varia pouco com variações moderadas de temperatura e pressão o fluído se denomina incompressível.

Se a densidade varia consideravelmente com relação à pressão e temperatura, o fluído recebe o nome de compressível.

Os fluídos podem ser ainda divididos em:

LÍQUIDOS: são praticamente incompressíveis; ocupam volumes definidos e tem superfícies livres.

GASES: são compressíveis, e uma dada massa de gás expande-se até ocupar todas as partes do recipiente em que está contida.

1. 2 - EQUACÕES BASICASUma análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos começa

necessariamente direta ou indiretamente, pela enunciação das leis básicas que regem a movimentação dos fluidos. Estas leis, independente da natureza de um fluido em particular, são:

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1. Lei de Conservação de Massa - Equação da continuidade

2. A Segunda Lei de Newton sobre o movimento - Equação da quantidade de movimento.

3. A Primeira e a Segunda Lei da Termodinâmica – Equação de energia.

1. 3 - MÉTODOS DE ANÁLISE:As leis básicas que aplicamos em nosso estudo de mecânica dos fluidos

podem ser formuladas em termos de:

Sistemas infinitesimais ou finitos

Volumes de controle

Sistema é definido como uma quantidade fixa de massa, distinta do meio e dele separada através de suas fronteiras.

Sistemas finitos – equações globais (comportamento macroscópico do escoamento).

Sistemas infinitesimais – equações na forma diferencial (fornece condições para determinar o comportamento detalhado, ponto a ponto, do escoamento).

Fronteira é uma superfície fechada que pode variar com o tempo, desde que contenha sempre a mesma massa, qualquer que seja a transformação.

Volume de Controle refere-se a uma região do espaço escolhida arbitrariamente para facilitar a resolução e análise de um problema.

1. 4 - LEI DO MOVIMENTO: A lei fundamental da mecânica é uma das leis realmente básica da engenharia; é a correlação de Newton entre a força e a quantidade de movimento que pode ser expressa da seguinte maneira:

F d (mv) dt m = massa do corpo

v = velocidade do corpo

F = somatório de todas as forças que atuam sobre o corpo

mv = quantidade de movimento

F m dv + v dm dt dtComo m é sempre constante para velocidades diferentes da velocidade da luz no vácuo: V dm = 0 F m dv como dv = a

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d t dt dt

F = kma k = 1/gc, logo:

gc fator de conversão da lei de Newton

1. 5 - DIMENSÕES E SISTEMAS DE UNIDADES:

As grandezas físicas se dividem em dois grupos:

Grandezas fundamentais – são aquelas para as quais se estabelecem escalas de medidas arbitrárias.

Grandezas derivadas - são aquelas cujas dimensões são expressas em termos das dimensões das grandezas fundamentais.

A palavra DIMENSÃO é usada em referencia a quaisquer grandezas mensuráveis:

Comprimento (L)

Tempo (t)

Massa (M)

Temperatura (T)

Força (F)

SISTEMAS QUANTO ÀS DIMENSÕES:A – Sistema absoluto: Massa (M)

Tempo (t)

Comprimento (L)

Temperatura (T)

B – Sistema técnico ou gravitacional: Força (F)

Massa (M)

Tempo (t)

Comprimento (L)

Temperatura (T)

UNIDADES:São as diversas maneiras através das quais se podem expressar as

dimensões.

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SISTEMAS QUANTO ÀS UNIDADES:A – Sistema absoluto - M L t T

A1. Métrico – MKS

A2 Métrico – CGS

A3. Inglês

B – Sistema técnico ou gravitacional - F L t T

B1. Métrico

B2. Inglês

A – Sistema absoluto (MLtT) :

A1.

Sistema absoluto métrico: Sistème International d’ Unités (SI) Este sistema está sendo usado internacionalmente e substitui o sistema anterior M.K.S. (metro- quilograma- segundo)

Dimensão derivada – FORCA

A unidade de força no MKS é chamada NEWTON (N).

1 Newton = 1kg 1m /s2 (definição através da segunda lei de Newton)

A2. Sistema absoluto métrico: CGS

Ainda usando MLtT, temos o sistema métrico absoluto de unidade com:

S.I MKSUm unidade de comprimento m - metro

Uni unidade de massa kg - quilograma

Uni unidade de tempo s - segundo

Uni unidade de Temperatura °k- grau kelvin

CGSU unidade de comprimento cm -centímetro

Un unidade de massa g - grama

Un unidade de tempo s - segundo

unidade de Temperatura ° K- grau Kelvin

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A unidade de força no CGS é chamada DINA.

(definição através da segunda lei de Newton)

A3. Sistema absoluto inglês

Uni unidade de massa Lb lbm – libra massa

Uni unidade de comprimento Ft - ft - pé

Uni unidade de tempo s - s - segundo

Uni unidade de Temperatura º R- Rankine

Dimensão derivada - FORÇA

A unidade de força é o Poundall

1 Poundall = 1 lbm x 1 ft / s2

B – Sistema técnico ou gravitacional (F L t T)

B1. Sistema técnico métrico – MKS ou SI e inglês

Dimensão derivada – MASSA

A unidade de massa nesse sistema é a UTM (unidade técnica de massa).

1 UTM = 1kgf s2 / m (definição através da segunda lei de Newton)

Este sistema tem como unidade de força o quilograma força (Kgf) que é a força exercida pela gravidade em uma massa de 1 Kg em condições tais que a aceleração da gravidade (g) tenha o seu valor padrão de 9,81 m/s2.

B1. Sistema técnico inglês - British Gravitational System

unidade de comprimento ft – pé

unidade de tempo s - segundo

unidade de força lbf – libra força

unidade de Temperatura ºR - grau Rankine

Dimensão derivada – MASSA

A unidade de massa neste sistema é o Slug.

1 Slug = 1lbf s2/ft (definição através da segunda lei de Newton)

unidade de comprimento m - metro

unidade de tempo s - segundo

unidade de força Kgf kgf - quilograma força

unidade de Temperatura º K- grau Kelvin

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A libra força é definida como a força exercida sobre uma libra massa de material sob condições onde a aceleração da gravidade vale 32,174 pé por segundo por segundo.

Nos Estados Unidos os engenheiros usam o sistema especial chamado English Engineering Sistem – FMLtT

Definição através da Segunda lei de Newton

Ainda usando FMLtT, temos:

6 - PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE UM FLUÍDO

Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos fluidos e processos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa.

Entre estas propriedades podemos citar:

Viscosidade

Massa especifica

Peso especifico

Volume especifico

Densidade

Pressão de Vapor

Tensão Superficial

unidade de comprimento ft – pé

unidade de massa lbm – libra massa

unidade de força lbf – libra força

unidade de tempo s - segundo

unidade de Temperatura ºR - grau Rankine

unidade de comprimento M m - metro

unidade de massa kgm - quilograma massa

unidade de força kgf – quilograma força

unidade de tempo s - segundo

U unidade de Temperatura ºK - Kelvin

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VISCOSIDADE ABSOLUTA A viscosidade é a propriedade dos fluidos correspondente ao

transporte microscópico de quantidade de movimento por difusão molecular. Ou seja, viscosidade, conforme definição de Newton, é a resistência oposta pelas camadas liquidas ao escoamento recíproco. Quanto maior a viscosidade, menor a velocidade em que o fluido se movimenta.

Para que se possa entender e equacionar a definição de Newton, considere uma placa fina de área S imersa em um fluido e a uma distancia x de uma superfície fixa conforme a figura abaixo. O fluido inicialmente está em repouso.

Esta placa fina é colocada entre duas placas planas paralelas bem próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser desprezadas.

F x v

v1

x1

Placa de área S imersa em um fluido e submetido a uma força F

Ao se aplicar uma força F a esta placa, na direção de cisalhamento ao fluido, ele adquire uma velocidade v arrastando o fluido em contato direto com ela, com a mesma velocidade. Como resultado verifica-se que:

Para se estabelecer uma igualdade é introduzida uma constante na expressão acima, passando-se a ter:

F é uma força que caracteriza a resistência oposta ao movimento da placa, devido ao atrito entre camadas de fluido;

A constante de proporcionalidade , dá-se o nome de coeficiente de viscosidade que depende do fluído em estudo. .

Rearranjando a equação acima se tem:

pois = F/A

Onde é chamado de tensão de cisalhamento.

Os fluidos que se comportam conforme a equação

são chamados de Newtonianos.

DIMENSÕES DA VISCOSIDADE ABSOLUTA ()

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[] = ------- [] =

[] = F T L-2

[] = MT-1L-1

UNIDADES DE VISCOSIDADE ABSOLUTAa) (p) poise = 1 g / cm.s

Esta unidade é demasiada grande para muitas aplicações pratica, usa-se normalmente o centipoise.

b) 1 centipoise (cp) = 10-2 poise

c) lbf x s / ft2

d) lbm / ft.s ou slug / ft.seg = lbf . s / ft-2

TRANSFORMAÇÃO

VISCOSIDADE CINEMATICA EM STOKESÉ a relação entre a viscosidade absoluta e a massa específica.

logo [] = L2 T-1

UNIDADES:

a) stoke = 1 cm2/s

1 po

poise = 0,0672 lbm/ft.s

1 ce centipoise = 6,72 x 10-4 lbm / ft.s = 242 lbm/ft.h

1 lbf.s / ft2 = 479 poises = 1 slug / ft.s

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b) centistoke = 10-2 stoke

c) ft2/s

obs: para se converter a unidade inglesa de viscosidade cinemática para a unidade inglesa de viscosidade absoluta, é necessário multiplica-la pela massa específica em slug/ft3.

Uma vez que o peso especifico dos gases varia com a variação da pressão (temperatura constante) a viscosidade varia inversamente com a pressão.

Para líquidos se T

Para gases se T e

se P ( T constante)

UNIDADES INDUSTRIAIS DE VISCOSIDADE

- Segundo Saybolt Universal (SSU) Orifício de diâmetro 0,1765 +/- 0,0015 cm

- Segundo Saybolt Furd (SSF)

Orifício de diâmetro 0,315 +/- 0,002 cm

Refere-se ao tempo em 60 cm3 de produto em ensaio a uma temperatura determinada circulando através de um orifício standard.

Em ambos os casos a viscosidade é dada em segundos de circulação do fluído à temperatura definida que é geralmente tomada a 100, 130 e 210º F.

CONVERSÃO DE SSU EM POISE E STOKES

a) para t 100 (p) = ( 0,00226 t – 1,35/ t ) x dens.

para t 100 (p) = ( 0,00220 t – 1,35/ t ) x dens

b) para t 100 (st) = ( 0,00226 t – 1,35/t )

para t 100 (st) = ( 0,00220 t – 1,35/t )

MASSA ESPECÍFICA ( )

Massa específica de uma substância é a quantidade de massa que ocupa uma unidade de volume a uma determinada pressão e temperatura.

Unidades: kg/m3 – g/cm3

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1 ft2/s = 929,03 stokes

lbm/ft3 - slug/ft3

PESO ESPECÍFICO ( ) Peso especifico de uma substancia é a razão entre seu peso e a

unidade de volume. Esta definição de uso generalizado, contudo, carece de certo rigor de conceituação, uma vez que o “peso” de um corpo é função da aceleração da gravidade onde ele se encontra, conforme garante a Segunda Lei de Newton.

Unidades: kgf/m3 e lbf/ft3

= Peso = força =

= logo =

VOLUME ESPECÍFICO ( v )Volume específico de uma substancia é o volume ocupado pela

unidade de massa. O volume especifico é igual ao inverso da massa especifica e tem particular importância no estudo do escoamento de fluidos compressíveis.É o inverso da massa específica.

v = 1/ ft3/lbm - m3/kg - cm3/ g

DENSIDADE RELATIVA (SPECIFIC GRAVITY) – ( ) É a relação entre o peso específico de uma substância e o peso específico de outra substância tomada como padrão. Tendo em vista a definição, a densidade é adimensional.

= SPGR =

Para o fluído no estado líquido o padrão é a água.

No sistema: CGS = H2O (4º C,1atm)= 1g/cm3 = 103 kg/m3

Inglês = H2O (60 º F,1atm) = 62,37 lb/ft3

Para o fluído no estado gasoso o padrão é o ar.

= gás =

AR (60ºF,1 atm) = 0,0764 lb/ft3

Um hidrômetro pode ser usado para medida da densidade de líquidos diretamente.

Três escalas hidrômetricas são comumente encontradas.

Escala API = usada para óleos

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d (60ºF/60ºF) =

Escala Baumé = para líquidos mais densos que a água

( 60ºF/60ºF) =

para líquidos menos densos que a água

(60ºF/60ºF) =

PRESSÃO DE VAPOR - PV

Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço conhecida como pressão de vapor.

Se o espaço acima do líquido for confinado, depois de certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a superfície livre do líquido e condensando é exatamente igual ao número de moléculas que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe equilíbrio.

Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e aumenta com a mesma.

Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala a pressão de vapor do mesmo, ocorre a ebulição.

Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é possível que pressões bastante baixas apareçam em certas regiões do sistema. Em tais circunstâncias, as pressões podem ser iguais ou menores que a pressão de vapor; quando isto ocorre, o liquido se evapora muito rapidamente. Uma bolsa de vapor, ou “cavidade”, que se expande rapidamente, é formada e normalmente se desloca de seu ponto de origem e atinge regiões de escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor, ocorrendo o colapso da bolsa. Este é o fenômeno da “CAVITAÇÃO”.

TENSÃO SUPERFICIAL – (S )

A tensão superficial é a força por unidade de comprimento exercida por uma fase noutra numa interface.

= F/ L

A tensão superficial é responsável pela forma das bolhas de ar e das gotas de água, pelo fenômeno de capilaridade e pela capacidade que alguns insetos têm de se manterem à superfície da água.

A tensão superficial deve-se à maior afinidade que as moléculas de uma determinada substância têm com as moléculas semelhantes a si. No caso das gotas de água, a gota tem uma forma aproximadamente esférica porque as moléculas de água atraem-se umas às outras e repelem as moléculas de ar.

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Da experiência pode ser observada a tendência que tem as superfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma película ou camada de líquido especial.

Exemplos:

1. formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de

forças externas;

2. sustentação de uma agulha pequena na superfície da água.

O efeito da tensão se manifesta em superfícies curvas, exigindo diferenças de pressões entre os lados côncavo e convexo da superfície, para manter o equilíbrio de forças.

A força de tensão superficial (necessária para manter o citado equilíbrio) esta associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com o aumento da distância entre as moléculas e pode ser desprezada para os gases.

No interior dos líquidos as forças intermoleculares se compensam entre si, mas, para as moléculas da superfície existem forças que evitam que elas se separem.

Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma bolha de sabão sem se arrebentar.

Tensão Superficial é então a força de coesão necessária, obtida pela divisão da “energia de superfície” pela unidade de comprimento da película em equilíbrio.

Energia de superfície – trabalho por unidade de área, necessário para trazer as moléculas à superfície.

EXISTEM OUTRAS PROPRIEDADES COMO CALOR ESPECÍFICO QUE DEVERÃO SER ESTUDADAS OU REVISTAS PELOS ALUNOS, VISTO QUE EM OUTRAS DICIPLINAS PROVAVELMENTE JÁ FORAM ABORDADAS.

20

2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS

2.1- DEFINIÇÃO:Um fluido é considerado estático se todos os elementos do fluido estão

parados ou se movem com uma velocidade constante, relativamente a um sistema de referência.

Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que exista um equilíbrio entre as forças que agem sobre o elemento do fluido considerado.

Casos especiais de fluidos em movimentos, como corpos rígidos, são incluídos no tratamento da estática por causa da semelhança de forças envolvidas.

Dentre as forças de superfície as forças tangenciais (responsáveis pela tensão de cisalhamento) não são consideradas, pois está se estudando estática dos fluidos e a ação deste tipo de força colocaria o fluido em movimento. Resta então as forças normais responsáveis pela tensão normal, tensão de pressão ou simplesmente pressão.

Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão somente forças normais de pressão.

2.2 - PRESSÃO EM UM PONTO

A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma superfície plana, pela área desta.

A pressão em um ponto M qualquer é definida como o limite da relação entre a força normal e a área quando fazemos a área tender a zero no entorno do ponto.

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A pressão em um ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção. Seu valor independe da direção, sendo portanto uma grandeza escalar.Deste modo, a pressão no seio de um fluido é uma função de posição (função de ponto), ou seja:

Isto significa que num elemento de área A, submerso num fluido em repouso e que pode girar livremente em torno de seu centro agirá uma força de intensidade constante de cada lado, independente de sua orientação. Pode-se demonstrar este fato, adotando-se um pequeno corpo em forma de cunha, de comprimento unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Como não existi tensão de cisalhamento com o fluido em repouso, as únicas forças presentes são as normais de contato e de campo (peso).

2. 3 – EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DE FLUÍDOS O objetivo principal é obter uma equação que permita determinar o campo de pressão no fluido. Em uma massa estacionária de um fluído a pressão é constante em qualquer secção paralela a superfície da terra, mas varia de altura a altura.

As forças que agem em um elemento de fluido em repouso são: Forças de campo (peso) Forças de contato ou superfície (pressão).

Consideremos uma coluna vertical de um fluído, cuja secção transversal possui uma área S .

Pressão P + dP (lbf/ft3) ZA

dZ

Pressão P (lbf/ft3)

Z

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ZB

Área S (ft2) Vamos supor que a uma distância Z ( ft ) do fundo, a pressão seja p( lbf/ft2) e a massa especifica do fluido seja (lb/ft3). Analisando as forças que atuam sobre um pequeno volume de fluido de altura dZ e área da seção transversal S, teremos três forças verticais atuando. São elas:

FORÇA DE PRESSÃO P atuando em direção de baixo para cima.

F= - p.S F = força

P = pressão

S = área FORÇA DE PRESSÃO p + dp atuando em direção de cima para

baixo.

F2= (p+dp). S

FORÇA DE GRAVIDADE (peso) atuando para baixo.

F3 = g S dz

Como o fluído está em repouso, a resultante de todas as forças que atuam sobre o pequeno volume de fluído é zero.Logo:

F1 + F2 + F3 = 0

-pS + (p+dp)S + gSdz = 0

-pS + pS + dpS + gSdz = 0

dp + gdz = 0

(1)

Esta equação é a relação básica pressão – altura da estática dos fluidos. Para o fluido estático a gravidade é a única força de campo.

Variação de pressão em um fluido estático

23

A equação é válida tanto para fluido compressível,

quanto para fluido incompressível.

Embora g possa ser definido como o peso especifico, , na equação da estática acima, foi escrito como g para enfatizar que ambos e g devem ser considerados variáveis.

Para a maioria das situações práticas de engenharia, a variação de g é desprezível. A variação de g precisa ser incluída apenas para situações em que se calcula com muita precisão, a mudança de pressão numa diferença de altitude muito grande. A menos que especificada de outra forma, iremos supor que g é constante com a elevação em qualquer local dado.

Já a variação de em muitos problemas práticos tem que ser considerada para que resultados com boa exatidão sejam obtidos. Assim deve-se trabalhar com tratamento diferenciado quando tivermos fluidos compressíveis e incompressíveis.

a) Fluidos incompressíveisNeste caso = 0 = constante.

Então considerando a aceleração da gravidade constante,

Para determinar a variação de pressão, devemos integrar e aplicar as condições de contorno apropriadas. Caso a pressão no nível de referencia z0 seja designada por p0 então a pressão p na nível z é encontrada por integração:

Para líquidos é

conveniente, muitas vezes, tomar a origem do sistema de coordenadas na superfície livre e medir como positivas distâncias para baixo em relação à superfície livre. Com h medido positivo para baixo temos:

A equação acima indica que a diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles. Os dispositivos utilizados com esse propósito são chamados manômetros.REGRAS:

24

1. Dois pontos quaisquer na mesma elevação em uma coluna contínua do mesmo líquido estarão na mesma pressão.

2. A pressão aumenta à medida que se desce em uma coluna de líquido.

b) Fluidos compressíveisSabemos que a pressão num fluido estático varia com a altura, segundo

Integrando a mesma, podemos ter a variação também para um fluido compressível.

Para obter a relação requerida para a massa específica, podemos usar dados experimentais ou uma equação de estado.

Para muitos líquidos é uma função suave da temperatura.

A pressão e dos líquidos relacionam-se pelo módulo de compressibilidade ou de elasticidade

Se o módulo de compressibilidade é suposto constante, é função apenas de p e a equação acima fornece a relação de adicional necessária para integrar a relação básica pressão-altura.

Temos ainda que: (equação de estado do gás ideal)

sendo:

T – temperatura absolutaR – constante universal dos gases

Esta equação atende à maioria das condições dos gases que prevalecem em Engenharia com exatidão bastante aceitável.

2.4 - Pressões instrumentais e absolutasValores de pressão devem ser dados relativos a um nível de

pressão referencial.

Se o nível de referência de pressão for um vácuo, temos pressão absoluta.

Níveis de pressão medidos com relação à pressão atmosférica são denominados pressões instrumentais ou manométricas.

Em sua maioria, os manômetros de pressão, na verdade lê uma diferença de pressão – a diferença entre o nível de pressão medido e o nível ambiental (normalmente a pressão atmosférica).

25

Assim: Pressão absoluta = pressão instrumental + pressão atmosférica

Pressão absoluta é definida como a soma da pressão atmosférica local e a pressão efetiva.

Pressão efetiva ou instrumental ou manométrica - é a pressão medida em um ponto (é a leitura do manômetro).

Vimos então que a pressão pode ser expressa em relação a qualquer referência arbitraria. Usualmente, adota-se como tal, o zero absoluto e a pressão atmosférica local.

A figura abaixo ilustra as referências e as relações entre as unidades mais comuns para a medida da pressão.

P atmosférica = 14,696 lbf/ in2 abs (psi) = 2116lb/ft2 = 29,92 pol de Hg

= 33,91 ft de água = 1atm = 760 mm de Hg

= 101,325 Pa = 10,34 m de água.

Pressão atmosférica normal ou padrão é a pressão média ao nível do mar valendo 29,52 polegada de mercúrio.

Unidades típicas de pressão:1. lbf/in2 = psi

2. lbf/ft2

3. kgf/m2

4. in de Hg

5. mm de Hg

26

6. Ft de H2O ou m de H2O

7. N/m2 = Pa

8. atm, bar (1 bar = 0,9869 atm)

2. 5 - MANOMETRIA

MANOMETRIA É A MEDIDA DAS PRESSÕES. PARA SE MEDIR ESSAS PRESSÕES SÃO USADOS APARELHOS QUE CHAMAMOS DE MANÔMETROS .

ATMOSFERA NORMAL - AN

A atmosfera normal é aquela que equilibra uma coluna de mercúrio com 760 mm de altura (segundo experiência de Torricelli). É medida ao nível do mar e tem os seguintes valores:

po = 10.328 kgf / m2 = 1,033 kgf / cm2 = 760 mmHg

Simplificando:

po = 10.000 kgf / m2 = 1 kgf / cm2 (atmosfera técnica – atm).

Se ao invés de mercúrio, Torricelli tivesse usado água com peso específico( ) igual a 1.000kgf/m 3 , o valor da atmosfera técnica corresponderia a 10 metros de coluna de água, (mca).

Logo:

1 atm = 10.000kgf/m2 = 1 kgf/cm2 = 10 mca = 0,968AN = 736 mmHg.

2.5.1 - PRESSÃO EFETIVA E PRESSÃO ABSOLUTA A medida das pressões nos pontos B, C, D, mostrado na figura abaixo, pode ser feita tomando como referência ou origem das medidas, o valor da pressão atmosférica (po). Cada uma destas medidas será a pressão efetiva no ponto:

PefB = pressão efetiva em B

pefC = pressão efetiva em C

pefD = pressão efetiva em D

A pressão efetiva pode ser:

a) positiva: quando é superior a po

27

b) nula: quando é igual à po

c) negativa: quando é inferior a po (é o caso de depressão ou de vácuo parcial).

A pressão efetiva é também conhecida como pressão manométrica, devido a ser medida através de manômetros.

A pressão em um ponto pode ser também calculada a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total), obtendo-se, neste caso, a PRESSÃO ABSOLUTA.

A pressão nula corresponde ao vácuo total.

A pressão absoluta é sempre positiva.

Para os pontos citados acima, temos:

p abB = pef

B + po

pabC = pef

C + po

pabD = pef

D + po

2.5.2 - DEFINIÇÕES: MANÔMETRO: é um instrumento para medir a pressão em um

ponto, ou seja, medir a pressão efetiva.

VACUÔMETRO: é um manômetro que indica as “pressões efetivas negativas”, bem como as positivas e nulas.

PIEZÔMETRO: é o mais simples dos manômetros, chamado também de tubo piezométrico.

BARÔMETRO: mede o valor absoluto da pressão atmosférica.

ALTIMETRO: é o barômetro construído para a obtenção de altitudes. Ex: de uma aeronave em relação ao nível do mar.

2 .5.3 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS

- Manômetro de Líquido;

- Manômetro Metálico.

- MANÔMETRO DE LÍQUIDO

São tubos transparentes e recurvados, geralmente em forma de U ou de duplo U (um deles invertido) ou de múltiplo U.

28

Os tubos contêm o liquido manométrico (líquido destinado a medir a pressão). Nos exemplos acima apenas uma extremidade do tubo fica em contato com a atmosfera. Na figura abaixo as duas extremidades são abertas para atmosfera.

Para grandes pressões, usa-se o Hg como líquido manométrico.

Pequenas pressões usam-se líquidos de baixa densidade (como o óleo, água etc).

- MANÔMETROS METÁLICOS São os mais utilizados nas industriais (pressões elevadas).

Medem as pressões dos fluídos através da deformação de um tubo metálico recurvado ou de um diafragma (membrana) que cobre um recipiente hermético de metal. O manômetro metálico é conhecido também como aneróide, barômetro de Vidi ou de Bourbon.

MANOMÊTROS TIPO BOURDON

É um dos dispositivos típicos para a medida de pressões efetivas.

29

O elemento medidor de pressão é um tubo metálico achatado e recurvado, fechado de um lado e ligado do outro na tomada da pressão a ser medida.

Quando a pressão interna ao tubo é aumentada, este tende a endireitar puxando um sistema de alavancas ligado a um ponteiro, causando desta forma seu movimento.

O ZERO será indicado no mostrador sempre que as pressões interna e externa do tubo forem iguais, independentemente de seu valor.

O mostrador pode ser graduado em qualquer unidade: pascals, pol de mercúrio, milímetros de mercúrio, pés de água, libra por polegada quadrada. Este manômetro pelas próprias condições medirá a pressão atmosférica.

MANÔMETRO DIFERENCIALÉ o manômetro de líquido, utilizado para medir a diferença de pressão

entre dois pontos.

(a) (b)

a) Mede a diferença de pressão entre os pontos B e C que estão em líquidos diversos (de Pesos específicos B e C).

b) Mede a diferença de pressão entre os pontos B e C de um mesmo líquido.

Pequenas diferenças de pressão são medidas:

Micro manômetros

Manômetro inclinado (geralmente usado para medir pequenas diferenças de pressões em gases)

30

MICROMANÔMETROSUtilizado para a determinação de pequenas diferenças de pressão

com precisão.

Utilizando-se dois líquidos manométricos, imiscíveis entre si e com o fluido a ser medido, pode-se produzir, com uma pequena diferença de pressão, um grande desnível R.

O líquido manométrico mais denso preencherá a parte inferior do tubo em U até 0-0, enquanto que o menos denso será colocado nos dois lados preenchendo os reservatórios maiores até 1-1.

Quando a pressão em C for levemente maior que em D, os meniscos sofrerão o movimento indicado na figura. O volume do líquido deslocado em cada reservatório deverá ser igual ao deslocado no tubo em U.

Logo:

onde A e a são as áreas das seções transversais do reservatório e do tubo em U, respectivamente.

A equação manométrica poderá ser escrita a partir da superfície isobárica

31

Mas

Substituindo vem:

constante para um dado manômetro e

fluidos prefixados; logo a diferença de

pressão é diretamente proporcional a R.

MANÔMETRO INCLINADOO manômetro inclinado é usado freqüentemente para medir pequenas

diferenças de pressões em gases. É ajustado para indicar zero, movendo-se a escala inclinada, quando A e B estão abertos.

O tubo inclinado, para uma dada diferença de pressão, ocasiona um deslocamento do menisco muito maior que o produzido em um tubo vertical, provindo deste fato uma maior precisão de leitura de escala.

TUBO EM U INCLINADO: usado para medir pequenas diferenças de pressão em gases.

32

kmR

α

R será sempre maior que km, permitindo leituras mais precisas por ampliação da escala. Quanto menor o , menor o e maior o R.

3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

3.1 - O FLUIDO COMO UM CONTÍNUO

Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular do fluido, apesar de todos serem compostos de moléculas em movimento constante.

No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de moléculas.

São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente divisível, isto é como um meio contínuo, e não nos preocupamos com o comportamento individual das moléculas.

O conceito de Contínuo (Continuum) é à base da Mecânica dos Fluidos clássica e como esta consiste fundamentalmente na aplicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula do fluido.

Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é indefinida em um meio molecular, pois seria zero o tempo todo exceto quando uma molécula ocupasse exatamente esse ponto, e ai seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das partículas na vizinhança do ponto.

Este dilema é evitado se considerar a velocidade em um ponto como a média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do ponto, ou seja, dentro de uma pequena esfera com raio grande se comparado com a “distancia média entre as moléculas”.

Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e tempo) das grandezas que caracterizam o comportamento de porções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal maneira que sejam então possível a

33

aplicação daquelas leis, mediante hipóteses restritivas e extrapolação adequadas.

O significado atribuído à maioria das propriedades depende da existência do CONTINUUM no sistema considerado

3.2 - CAMPO DE VELOCIDADE

Ao tratar os fluidos em movimento, estaremos necessariamente interessados na descrição de um campo de velocidade. Referindo – nos à figura trabalhada para massa específica

A velocidade do fluido no ponto C é definida como a velocidade instantânea do centro de gravidade do volume envolvendo o ponto C naquele instante.

Assim se definirmos uma partícula de fluido como uma pequena massa de fluido, de identidade fixa de volume V’ estamos definindo a velocidade no ponto C como a velocidade instantânea da partícula de fluido a qual, num dado instante, está passando pelo ponto C.

A velocidade num ponto qual do campo de escoamento é definido de modo semelhante.

Num dado instante de tempo, o campo de velocidade é uma função das coordenadas espaciais x, y e z, isto é, . A velocidade num dado ponto do escoamento pode variar de um instante de tempo para outro, logo a caracterização completa será

Se as propriedades do fluido em um ponto do campo não mudam com o tempo, o escoamento é denominado escoamento permanente.

Matematicamente:

, onde representa uma propriedade qualquer do fluido.

ESCOAMENTOS UNI, BI E TRIDIMENSIONAL

34

A equação mostra que o campo de velocidade é uma função das três coordenadas espaciais e do tempo.

Este tipo de campo de escoamento é chamado tridimensional (é também transiente ou não permanente), porque a velocidade em qualquer um dos seus pontos depende das três coordenadas requeridas para localizar o ponto no espaço.

Nem todos os escoamentos são tridimensionais. Considere-se, por exemplo, o escoamento através de um cano reto, longo e de seção constante.

Distante da entrada do cano, a distribuição de velocidades pode ser dada por:

para r = R u = 0

r = 0 u = umax

Exemplo de um escoamento unidimensional:

Uma vez que o campo de velocidade é uma função de r apenas, independente das coordenadas x e , este escoamento é um escoamento unidimensional.

Exemplo de escoamento bidimensional - Escoamento entre paredes retas divergentes, considerando ser infinitamente longa na direção z (perpendicular ao plano do papel).

Se o canal é considerado infinito na direção z, o campo de velocidade deverá ser idêntico em todos os planos perpendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o campo de velocidade é uma função apenas das coordenadas espaciais x e y e por isto o fluxo é considerado bidimensional.

Um exemplo de escoamento uniforme

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No escoamento uniforme em uma dada seção transversal, a velocidade é constante em qualquer seção normal ao escoamento. Aqui o campo de velocidade é uma função apenas de x, e, deste modo, o escoamento é unidimensional (outras propriedades também podem ser consideradas uniformes em uma seção se apropriado).

ALGUMAS DEFINIÇÕESTRAJETÓRIAS - caminho traçado por uma partícula de fluido em movimento

RAIA – linha que une as partículas de um fluido que passaram por um determinado ponto fixo do espaço

LINHAS DE FLUXO ou LINHA DE CORRENTE – linhas traçadas no campo de escoamento de tal forma, que, num dado instante de tempo, elas são tangentes à direção do escoamento em todos os pontos no campo de escoamento. Pode variar de instante para instante se o escoamento for transiente.

OBS: Se o escoamento for permanente, TRAJETÓRIA, RAIA, E LINHAS DE FLUXO são idênticas no campo de escoamento.

Todos são conceitos usados para descrever graficamente um escoamento.

3.3 - CAMPO DE TENSÕESAs tensões em um meio resultam de forças agindo em alguma parte

do meio.

O conceito de tensão fornece uma maneira conveniente de descrever o modo pelos quais as forças agindo sobre os limites (fronteiras) do meio são transmitidas através do meio.

Uma vez que forças e área são ambas quantidades vetoriais, podemos antecipar que o campo de tensões não será um campo vetorial.

Em geral, são necessárias nove quantidades para especificar o estado de tensão em um fluido (tensão consiste uma quantidade tensorial de 2a ordem).

Forças de Superfície e de Campo - São as forças encontradas no estudo da mecânica dos fluidos do CONTINUUM. Superfície - incluem todas as forças agindo sobre a periferia de um

meio através de contato direto.

36

Campo - forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido (força gravitacionais, eletromagnética)

A força de campo gravitacional agindo sobre um elemento de volume dV, é dado por , onde é a massa específica e é a aceleração gravitacional local.

Logo (força de corpo gravitacional por unidade de volume) e (força de corpo gravitacional por unidade de massa).

3.4 - TENSÃO EM UM PONTOA descrição do campo de tensões é desenvolvida a partir da análise

da tensão em um ponto.

Considere-se o elemento de área , no ponto C, sofrendo a ação da força

A grandeza de é a área do elemento, e a direção é normal à superfície.

A tensão em um ponto é definida como:

A definição de tensão requer que se calcule a razão entre os dois vetores e

Na figura abaixo temos um caso simples onde o elemento de área é o elemento ABC

onde:

é a componente em x de , isto é, é a projeção de no eixo dos x.

“ Em grandeza é a projeção de ABC sobre o plano yz (OBC), isto é, sobre o plano perpendicular ao eixo dos x”.

Similarmente acha-se: é a componente em y de , em grandeza é a projeção xz (OCA),

sobre o plano perpendicular ao eixo dos y

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é a componente em z de , em grandeza é a projeção xy (OAB), sobre o plano perpendicular ao eixo dos z

Para a força, temos o vetor:

Para definir a tensão em um ponto, podemos, então considerar os componentes , e da força no ponto C agindo sobre os componentes , e da área no ponto C.

Assim, estamos efetivamente definindo os componentes da tensão no ponto C.

Assim a equação [ ] pode ser substituída por nove

equações, pois temos três componentes da tensão (resultante de cada um dos três componentes da força , e ), agindo sobre cada um dos componentes de área , e .

Usando uma notação que nos permita delinear ambos os planos nos quais a tensão está agindo e a direção na qual a tensão está atuando, teremos:

tensão atuando sobre o plano i na direção j (i e j) podem representar x, y ou z.

Logo a equação acima representa nove equações escalares, já que os elementos subscritos i e j podem assumir os valores x, y e z.

que é a definição da tensão sobre um plano x na

direção z.

A tensão em um ponto é especificada pelos noves componentes:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

onde foi usado para denotar uma tensão normal e as tensões de cisalhamento são denotadas por

A figura abaixo nos mostra estas tensões.

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Acima consideramos seis planos (dois x, dois y e dois z) nos quais as tensões podem atuar. Estes planos são nomeados e denotados como positivos e negativos, de acordo com o sentido, do plano para fora, da normal a este plano.

Conversão de sinais para a tensão – Um componente da tensão é considerado positivo quando o sentido do componente da tensão e o plano sobre o qual ele atua são ambos positivos ou ambos negativos. São negativos quando têm sinais opostos.

3.5 - FLUIDO NEWTONIANO: VISCOSIDADE

Definimos fluidos como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço cisalhante. Na ausência deste esforço, ele não se deformará.

Pode-se classificar os fluidos de acordo com a relação entre o esforço aplicado e a taxa de deformação.

Fluidos no qual o esforço aplicado é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados de Fluidos Newtonianos. São os mais comuns como água, ar, gasolina, entre outros.

Fluidos não – Newtonianos são todos aqueles nos qual o esforço aplicado não é diretamente proporcional à taxa de deformação (sangue, alguns tipos de óleos lubrificantes, certas suspensões, tenso ativos, pastas, polímeros de elevado peso molecular).

Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura

A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura, já nos líquidos a medida que aumenta a temperatura a viscosidade diminui.

A resistência de um fluido ao cisalhamento depende da força de coesão entre as moléculas e da velocidade de transferência da quantidade de movimento.

LÍQUIDOS - as forças de coesão são muito maiores que nos gases. A coesão parece ser a causa predominante da viscosidade em um líquido, e como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade tem o mesmo comportamento.

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GÁS - as forças de coesão são muito pequenas, sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da transferência da quantidade de movimento. Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética das partículas, logo a probabilidade de choque também aumenta.

Considere-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas infinitas na figura a seguir:

A placa superior movimenta-se a velocidade constante, u, sob a influência de uma força aplicada constante Fx. A tensão de cisalhamento, yx, aplicada ao elemento de fluido é dada por:

sendo que é a área do elemento de fluido em contato com a placa.

No incremento de tempo, , o elemento de fluido é deformado da posição MNOP para a posição M’NOP’ e a taxa de deformação do fluido é dada por:

O fluido é Newtoniano, se

Formulando a expressão em termos de quantidades mais facilmente

mensuráveis temos:

ou para pequenos ângulos

Equacionando as duas equações para

e

Logo se o fluido é Newtoniano

A tensão de cisalhamento age num plano normal ao eixo dos y.

3.5.1 – Viscosidade

40

Sabemos que fluidos diferentes deformam-se diferentemente. Uns possuem maior resistência ao escoamento que outros. Ex: água e mel

A constante de proporcionalidade a equação é a viscosidade

absoluta (ou dinâmica) , logo a lei da viscosidade de Newton é dada por:

Dimensões

poise = g/cm s

É muito usado em Mecânica dos Fluidos o quociente da viscosidade absoluta , em relação à massa específica.

é chamada de viscosidade cinemática

Dimensões: stoke = cm2/s

3.6 - DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS

Possível classificação dos escoamentos, baseada nas características físicas observáveis dos campos de escoamento.

ESCOAMENTOS NÃO VISCOSOS – a viscosidade do fluido é suposta nula. Embora tal escoamento não exista, há muitos problemas onde tal suposição simplificará a análise e, ao mesmo tempo, conduzirá a resultados significativos.

41

ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS – quando as variações de densidade são pequenas e relativamente sem importância.

ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS – quando as variações de densidade desempenham um papel importante, tais como em escoamentos de gás a altas velocidades.

Na maioria dos casos, líquidos são considerados como escoamento incompressível e gases como compressíveis.

Exceção – escoamento de gases cujo No de Mach for <0,3 as variações na densidade atingem apenas 2% do valor médio, logo podem ser tratados como incompressíveis.

(M=v/c onde v é a velocidade do escoamento e c a velocidade do som)

Um valor de M = 0,3 para o ar nas condições padrões corresponde a uma velocidade de aproximadamente 100m/s.

Os escoamentos podem ainda ser classificados em:

- Real ou ideal

- Permanente ou variado

- Uniforme ou não uniforme

- Rotacional ou irrotacional

ESCOAMENTO IDEAL OU PERFEITOPor definição, escoamento ideal ou escoamento sem atrito, é

aquele no qual não existem tensões de cisalhamento atuando no movimento do fluido. De acordo com a lei de Newton para um fluido em movimento esta condição é obtida quando a viscosidade do fluido é nula.

= 0ou quando as componentes da velocidade do escoamento não

mais exibem variações de grandeza na direção perpendicular ao componente da velocidade considerada;

Não deve ser confundido com um gás perfeito. A hipótese de fluido ideal

é útil na análise de escoamentos em grandes extensões de fluidos, como no movimento de um aeroplano ou um submarino. Um fluido sem atrito é não viscoso e seu escoamento é reversível

ESCOAMENTO REAL

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Não apresentam uma velocidade de deslizamento finita em relação a uma

superfície sólida ou sobre uma camada adjacente.

A viscosidade do fluido real, que determina o grau de atrito entre as camadas de fluido e entre o fluido e a parede sólida, é responsável pela variação de velocidade (gradiente de velocidade) entre as camadas.

Próxima a uma parede sólida estacionária, a velocidade de um fluido real cresce gradualmente do valor zero na fronteira sólida, até um valor limite da velocidade onde os efeitos viscosos não se fazem mais sentir. Isto é, próximo a uma fronteira há a formação de uma camada de fluido onde os efeitos viscosos são mais acentuados. Esta camada é conhecida como CAMADA LIMITE.

Na região da camada limite, tem:

e

Estes fluidos reais podem ser subdivididos em duas classes principais: Fluidos Newtonianos e não - Newtonianos

Fluidos Newtonianos são aqueles para os quais a viscosidade dinâmica () é independente da taxa de deformação (gradiente de

velocidade), isto é, a viscosidade na equação da Lei de Newton é uma constante para cada fluido Newtoniano, a uma dada pressão e temperatura ( = coeficiente angular da reta).

ESCOAMENTO PERMANENTE

É aquele em que as condições em qualquer ponto do fluido não variam com o tempo. Exemplo: se a velocidade em um certo ponto é 3 m/s na direção positiva de x, num escoamento permanente, terá exatamente este valor e direção indefinidamente. Podemos expressar:

43

, onde o espaço (coordenadas x, y e z do ponto) è mantido

constante.

Da mesma forma não haverá variação com o tempo, em qualquer ponto, da massa especifica , pressão P ou temperatura T no escoamento permanente; logo:

, e

No escoamento turbulento, devido ao movimento aleatório das partículas do fluido, existem sempre pequenas flutuações em qualquer ponto. A definição de escoamento permanente deve ser generalizada de alguma forma para levar em consideração tais flutuações. Assim, a velocidade media com o tempo será expressa como:

Quando a velocidade media não variar com o tempo o escoamento é dito como permanente. A mesma generalização se aplica à massa especifica, pressão, temperatura, etc. quando tomarem o lugar de v na formula acima.

ESCOAMENTO VARIADO Quando as condições variarem em qualquer ponto com o tempo, logo

. Água bombeada por um sistema fixo, com vazão constante é um

exemplo de escoamento permanente. Água bombeada por um sistema fixo, com vazão crescente, é um exemplo de escoamento variado.

ESCOAMENTO UNIFORMEÉ aquele para o qual o vetor velocidade é idêntico em todos os

pontos (em modulo, direção e sentido) para qualquer instante dado ou, matematicamente:

t = constante; s deslocamento em qualquer direção

Quando todas as seções transversais paralelas do conduto forem

idênticas (isto é quando o conduto for prismático) e a velocidade media em todas as seções, num certo instante, for igual o escoamento é uniforme.

Um escoamento no qual o vetor velocidade varia de local para local,

num instante qualquer , é dito Não Uniforme. Exemplo: liquido

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bombeado por um tubo longo e reto tem escoamento uniforme. Liquido que escoa por um tubo de seção variável ou por um conduto curvo tem escoamento não uniforme.

Exemplos de escoamento permanentes e variados e uniformes e não uniformes são:

1. Liquido escoando por um conduto longo e reto, com vazão constante tem escoamento uniforme e permanente.

2. Liquido escoando por um conduto longo e reto com vazão crescente tem escoamento uniforme e variado.

3. O escoamento por um conduto de seção decrescente e vazão constante tem escoamento não uniforme e permanente.

4. O escoamento por um conduto de seção decrescente e vazão crescente tem escoamento não uniforme e variado .

ESCOAMENTO ROTACIONAL ou com vórtices - quando as partículas do fluido numa certa região possuir rotação em relação a qualquer eixo.

ESCOAMENTO IRROTACIONAL – quando o fluido, numa região, não tiver rotação.

3.7 - PROPRIEDADES DO TRANSPORTE MOLECULAR DOS FLUIDOS

As propriedades de transporte molecular dos fluidos são aquelas relacionadas com os fenômenos de transferência de calor, massa e quantidade de movimento, por meio de mecanismos de ação molecular.

As taxas de transferência de quantidade de movimento, calor e massa podem ser expressos por equações análogas, pois, em geral, a taxa

45

de transporte de uma quantidade conservativa (como é o caso da quantidade de movimento, da energia e da massa) é proporcional ao gradiente da grandeza que provoca esta transferência.

A constante de proporcionalidade é uma propriedade física da substancia em questão, também chamada de propriedade de transporte.

As equações de transferência de quantidade de movimento, calor e massa são:

a) Transferência da quantidade de movimento:

(1) onde

= tensão de cisalhamento (força/unidade de área)

= viscosidade dinâmica do fluido

= gradiente da componente x da velocidade na direção y

A equação (1) é conhecida como a “ Lei da Viscosidade de Newton “

e pode ser entendida como:

Fluxo de quantidade de movimento = quantidade de mo. transportada

(unid. De área) x (unid. de tempo)

= (viscosidade) x (grad. de veloc.)

A viscosidade de um fluido dá uma medida da resistência desse fluido ao movimento relativo de suas partículas constituintes.

b) Transferência de Calor:

(q = - k T) (2) onde

= fluxo de calor na direção y

Q = calor total transportado por unidade de tempo

A = área através da qual Q é transportado

K = condutividade térmica do material.

= gradiente de temperatura na direção y

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A equação (2) é conhecida como “Lei de Fourrier” e pode ser entendida como:

Fluxo de calor = calor transportado

(unidade de área) ( unidade de tempo)

Fluxo de calor = (condutividade térmica) (gradiente de temperatura)

A condutividade térmica k é uma medida da resistência que uma substancia oferece à transferência de calor.

c) Transporte de massa:

(3) onde

= fluxo molar do componente A na direção y

NA = numero de moles de A transportado por difusão.

A = área através da qual A se difunde

DAB = coeficiente de difusão mássica do componente A no componente B

= gradiente da concentração molar do componente A na direção y.

A equação (3) é conhecida como a “ Primeira Lei de Fick” e pode ser entendida como:

Fluxo molar de A = numero de moles de A transportado

(unidade de área) (unidade de tempo)

Fluxo molar de A = (coeficiente de difusão) (grad. de concentração)

O coeficiente de difusão em um sistema de 2 componentes (A,B ) é a medida da resistência à difusão molecular de um dos componentes (A) no outro (B).

Analisando-se as três equações pode-se verificar a analogia existente entre os 3 processos de transporte, isto é, transporte de calor, massa e quantidade de movimento.

Deve-se salientar que o fluxo de calor q e o fluxo de massa J são grandezas vetoriais, enquanto que a tensão de cisalhamento é uma grandeza tensorial.

Deste modo, a analogia que é perfeita entre calor e massa, só pode ser aplicada ao transporte de quantidade de movimento se este ultimo for considerado em uma única direção.

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As equações (1), (2), (3) podem ser representadas por uma única equação desde que se tenha em mente a restrição acima:

P = C G Onde

P é o fluxo de certa quantidade, provocado pelo gradiente de grandeza G e C é a constante de proporcionalidade que é uma propriedade característica do material onde ocorre o processo de transporte em questão.

Observação:

1. Transferência da quantidade de movimento:

1. Lei da Viscosidade de Newton:

Deve-se salientar que a diferença de sinal entre as equações (1) e (2) deve-se ao fato de que a (1) representa a tensão de cisalhamento no fluido e a segunda representa a tensão de cisalhamento na placa plana.

Assim sendo, quando se deseja estudar os efeitos da tensão no fluido o sinal negativo da equação (1) deve-se ser levado em consideração.

48

4 - ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA DINÂMICA

4.1 - INTRODUÇÃO

É a matemática das dimensões das quantidades e representa uma usual ferramenta da mecânica dos fluídos.

A aplicação da análise dimensional e da semelhança hidráulica permite aos engenheiros organizar e simplificar as experiências e analisar os resultados das mesmas.

Em uma equação, exprimindo uma relação física entre quantidades, uma igualdade numérica e dimensionalmente absoluta, deve existir. Em geral todas essas relações físicas podem ser reduzidas a grandezas fundamentais de:

1. FORÇA ------------------------ F

TEMPO ------------------------ T

COMPRIMENTO ------------ L

2. MASSA ----------------------- M

TEMPO ----------------------- T

COMPRIMENTO ----------- L

APLICAÇÕES DE SISTEMA DE UNIDADES

(1) Conversão de sistema de unidades

(2) Desenvolvimento de equação

(3) Redução do número de variáveis necessárias em um programa experimental.

(4) Estabelecimento dos princípios do projeto de modelo.

Aplicação 1 Usando os sistemas FLT e MLT, expressar cada uma das seguintes grandezas.

49

GRANDEZA SÍMBOLO DIMENSÕES

(MLT)

DIMENSÕES

(FLT)

Comprimento l L L

Tempo t T T

Massa M M FL -1 t 2

Força F MLT -2 F

Velocidade v LT - 1 LT -1

Aceleração a LT - 2 LT -2

Área A L2 L2

Vazão Q L3 T - 1 L 3 T -1

Pressão ou queda de pressão

p ML-1 T - 2 FL - 2

Aceleração da gravidade

g LT - 2 LT - 2

Massa específica ML- 3 FT 2 L- 4

Peso específico ML- 2 T - 2 FL- 3

Viscosidade dinâmica

ML-1 T - 1 FTL- 2

Viscosidade cinemática

L2 T - 1 L2 T - 1

Tensão superficial MT - 2 FL- 1

MM Modulo de elasticidade volumétrica

K ML- 1 T - 2 FL- 2

Aplicação 2 O número de Reynolds é uma função da massa específica, da viscosidade e da velocidade de um fluído, e de um comprimento característico. Estabelecer o número de Reynolds pela análise dimensional. Podemos escrever

Re = f ( , , L, V) ou Re = Kab VcLd (A)

= massa especifica

= viscosidade

V = Velocidade

L = comprimento

Onde K é um coeficiente adimensional, geralmente determinado experimentalmente.

50

Logo

= FT2L-4

= FTL-2

V = LT-1

L = L

Substituindo: Re = K ( FT2L-4)a ( FTL-2)b (LT-1)c ( L)d

Então, como a equação deve ser dimensionalmente homogênea, podemos escrever:

F 0L 0T 0 = (F aT 2a L –4a ) ( Fb Tb L-2b) ( Lc T-1) (L d)

Obs: os expoentes de cada uma das quantidades devem ser os mesmos em cada lado da equação.

Igualando os expoentes de F, L e T respectivamente, obtêm:

0 = a + b (I) a = - b

0 = - 4a – 2b + c + d (II) c = - b

0 = 2a + b – c (III) d = - b

de ( I) a = - b

de (II) 0 = 2( -b) + b – c

0 = 4b – 2b – b + d donde d = - b

Substituindo na expressão anterior (A)

Re = K ()-b ( v)-b ( )b (L)-b

Os valores de K e b devem ser determinados por análise física e / ou

experimentalmente. Aqui K = 1 e b = -1.

Aplicação 3 Estabelecer uma equação para a distancia percorrida por um corpo em queda livre no tempo T, considerando-se que a distancia depende do peso do corpo, da aceleração da gravidade e do tempo.

Podemos escrever:

Distância = S logo S = f ( W, A, T) ou S = K Wa Ab Tc

Onde K é adimensional.

51

Os expoentes de cada uma das grandezas devem ser os mesmos em ambos os membros da equação.

Podemos escrever:

W F

A LT-2

T T

F0 L1 T0 = ( F)a (LT-2)b ( T)c

F0 L1 T0 = ( Fa) (LbT-2b) ( T)c

0= a

1 = b

0 = -2b + c donde a = 0, b = 1 e c = 2

Logo,

S = K W0 A1 T2 ou S = KAT2

4.2 - TEOREMA DE BUCKINGHAN

Quando o número de grandezas físicas ou variáveis for igual a quatro ou mais, o teorema de Buckinghan fornece um excelente instrumento pelo quais estas grandezas podem ser organizadas em pequeno número de símbolos, grupamento adimensionais, a partir dos quais uma equação poderá ser deduzida. Estes grupos adimensionais são chamados termos .

O teorema ou de Buckinghan demonstra que, num problema físico envolvendo n grandezas nas quais comparecem m dimensões, as grandezas podem ser agrupadas em n - m parâmetros adimensionais independentes.

Sejam: A1, A2, A3, A4 ,........, An,

as grandezas envolvidas, tais como pressão, viscosidade, velocidade, etc. Sabe-se que todas as grandezas são essenciais à solução devendo, pois existir alguma relação funcional:

F(A1, A2, A3 , A4 , ......, An) = 0Se 1, 2, 3 ........., representam grupos adimensionais das grandezas

A1, A2,A3 ,A4 ........, com m dimensões envolvidas, então existe uma expressão do tipo:

F(1, 2, 3, 4 ,........, n-m) = 0O método para a determinação dos parâmetros consiste em:

1 - Escolher m das n grandezas A, com DIMENSÕES DIFERENTES, que contenham entre elas as m DIMENSÕES.

2 - Usá-las como base juntamente com uma das outras grandezas A para cada . Todas as unidades fundamentais devem ser incluídas coletivamente nas grandezas escolhidas.

52

3 – O primeiro termo pode ser expresso como um produto destas grandezas escolhidas, cada uma delas elevada a um expoente desconhecido, e uma outra grandeza elevada a uma potência conhecida (usualmente tomada como unitária).

4 - Manter as grandezas escolhidas em (2) como variáveis repetitivas e, escolher uma das variáveis remanescentes para estabelecer o próximo termo .

5 - Para cada termo determinar os expoentes desconhecidos para análise dimensional.

Ex: Consideremos A 1, A2 , A3 , . A 4 ....... contendo M, L, T no conjunto, logo:O primeiro parâmetro é formado por

1 = A1x1 A2

y1 A3 z1 A4

o segundo por

2 = A1x2 A2

y2 A3 z2 A5

e assim por diante até

n-m = A1xn-m A2

yn-m A3 zn-m Na

Nestas equações os expoentes devem ser determinados de tal forma que cada resulte adimensional. As dimensões das grandezas A são substituídas e os expoentes M, L e T são todos igualados a zero. Isto conduz a três equações, a três incógnitas, para cada parâmetro , de modo que os expoentes x, y e z e, em conseqüência, os parâmetros · podem ser determinados.

Se apenas duas dimensões estão envolvidas, deve-se selecionar duas grandezas A para formar a base e obtêm-se duas equações a duas incógnitas para cada .

RELAÇÕES ÚTEISa - Se uma grandeza é adimensional, ela é um termo , sem seguir o processo acima.

b - Se duas grandezas físicas quaisquer tiverem as mesmas dimensões, sua relação será um dos termos . Por exemplo, L/L é adimensional e é um termo .

c - Qualquer termo pode ser substituído por qualquer potência deste termo, incluindo -1. Por exemplo, 3 pode ser substituído por 3

2, ou 2 por 1/2.

d - Qualquer termo pode ser multiplicado por uma constante numérica. Por exemplo, 1 pode ser substituído por 31.

53

e - Qualquer termo pode ser expresso como uma função de outros termos . Por exemplo, se existirem dois termos , 1= (2).

Aplicação 1Estabelecer uma equação para a distância percorrida por um corpo em

queda livre no tempo T, considerando-se que a distancia depende do peso

do corpo, da aceleração da gravidade e do tempo. Usar o Teorema de

Buckingham.

Solução:

O problema pode ser expresso estabelecendo-se uma função da distancia S, peso , aceleração da gravidade g, e tempo t igual a zero, ou matematicamente: f1 ( s, , g, t ) = 0

1ª etapaRelacionar as grandezas e as unidades:

S = comprimento L g = aceleração LT-2

T = tempo T = força F

Existem quatro grandezas físicas e 3 unidades fundamentais, portanto

n – k = (4 – 3) = 1 termo .

2ª etapaEscolhendo e T como grandezas, fornecemos três unidades fundamentais F, L e T.

3ª etapa Uma vez que as grandezas físicas heterogêneas não podem ser adicionadas ou subtraídas, o termo é expresso como um produto, como se segue:

1 = (s1x) (1

y) ( T1z) (g)

termo elevado a potencia

conhecida 1 (um)

Dimensionalmente:

1 F0 L0 T0

S L

F

T T

G LT-2 F0L0T0 = ( L 1x) ( F1

y) ( T1z) (LT-2)

54

Igualando os expoentes de F, L, T respectivamente, teremos.

0= y

0= x + 1

0 = S1-1 0 T2g donde 1 = 0 T2 g / S1

Resolvendo para S e notando que 1/1 = k, nós obtemos.

S = kgT2

Aplicação 2

Um certo escoamento depende da velocidade V, da massa específica , de

várias dimensões lineares l, l1, l2, da queda de pressão p, da aceleração da

gravidade g, da viscosidade , da tensão superficial e do módulo de

elasticidade volumétrica K. Aplicar a análise adimensional a estas variáveis para

determinar um conjunto de parâmetros .

F(v, , l , l1 , l2 , p, g, , , K) = 0

GRANDEZA SIMBOLO DIMENSÕES (MLT) DIMENSÕES (FLT)

VELOCIDADE V LT - 1 LT - 1

MASSA ESPECÍFICA ML- 3 FT 2 L- 4

COMPRIMENTO L L L

PRESSÃO OU QUEDA DE PRESSÃO

p ML-1 T - 2 FL - 2

ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE g LT - 2 LT - 2

55

VISCOSIDADE ABSOLUTA ML-1 T - 1 FTL- 2

TENSÃO SUPERFICIAL M T - 2 FL- 1

MOD. ELAST. VOLUMETRICA K ML- 1 T - 2 FL- 2

Escolher: v, , l

1 = Vx1 y1 l z1 p

2 = Vx2 y2 l z2 g

3 = Vx3 y3 l z3

4 = Vx4 y4 l z4

5 = Vx5 y5 l z5 K

6 = Vx6 y6 l z6 l1 = l1 / l

7 = Vx7 y7 l z7 l2 = l2 / l 

1 - 1 = (LT-1)x1 (ML-3) y1 L z1 (ML-1T-2 ) = M0 L0 T0

x1 - 3y1 + z1 - 1 = 0 x1 = -2

- x1 - 2 = 0 y1 = - 1

y1 + 1 = 0 z1 = 0

1 = p / V 2 Euler (E) Þ (coeficiente

de pressão)2 - - 2 = (LT-1)x2 (ML-3) y2 L z2 L T -2 = M0 L0 T0

x2 - 3y2 + z2 + 1 = 0 x2 = -2

- x2 - 2 = 0 y2 = 0

y2 = 0 z2 = 1

2 = g l / V 2 Froude (F)Þ importante para escoamentos com efeitos de superfície livre.

3 - 3 = (LT-1)x3 (ML-3) y3 L z3 ML-1T-1 = M0 L0 T0

56

x3 - 3y3 + z3 - 1 = 0 x3 = -1

- x3 - 1 = 0 y3 = -1

Y3 + 1 = 0 z3 = -1

3 = / V l Reynolds ( Re )- importante para escoamentos em geral.

4 - 4 = (LT-1)x4 (ML-3) y4 L z4 M T -2 = M0 L0 T0

x4 - 3y4 + z4 = 0 x4 = -2

- x4 - 2 = 0 y4 = -1

y4 + 1 = 0 z4 = -1

4 = / l V 2 Weber (W) Þ importante em Escoamento com interface gás- líquido ou líquido-líquido

5 - 5 = (LT-1)x5 (ML-3) y5 L z5 (ML-1T-2 ) = M0 L0 T0

X5 - 3y5 + z5 - 1 = 0 x5 = -2

- x5 - 2 = 0 y5 = - 1

Y5 + 1 = 0 z5 = 0

5 = K / V 2 Mach (M) Þ importante

em escoamento com efeitos de compressibilidade

6 - 6 = (LT-1)x6 (ML-3) y6 L z6 L = M0 L0 T0

x6 - 3y6 + z6 + 1 = 0 x6 = 0- x6 = 0 y6 = 0y6 = 0 z6 = 1

6 = l1 / l

57

7 - 7 = (LT-1)x7 (ML-3) y7 L z7 L = M0 L0 T0

X7 - 3y7 + z7 + 1 = 0 x7 = 0- x7 = 0 y7 = 0Y7 = 0 z7 = 1

7 = l2 / l

Logo

f(p/V 2, g l/V2, / lV, / lV 2, K/V 2, l1/l, l2/l) = 0 f1(p /V2, F, Re, W, M, l/l1, l/l2 ) = 0 p = V2 f2( F, Re, W, M, l / l1, l / l2) f2 Þ teórico ou experimental

5 - DINÂMICA DOS FLUIDOS

O escoamento de um fluido real é muito complexo. As leis básicas que descrevem o movimento de um fluido não são de fácil formulação, nem de fácil manejo matemático, de forma que são necessários recursos experimentais. Para uma análise baseada na mecânica, termodinâmica e experiências metódicas, foram construídas grandes estruturas hidráulicas e maquinas de fluxos eficientes.

Neste capitulo introduziremos os conceitos necessários para a análise do movimento dos fluidos. As equações básicas que permitem prever o comportamento dos fluidos serão deduzidas ou postuladas posteriormente. Tais equações são: do movimento, da continuidade e da quantidade de movimento e a primeira e segunda lei da termodinâmica aplicada ao escoamento permanente de um gás perfeito.

Será objeto de estudo a teoria do escoamento unidimensional, com suas aplicações, limitada aos fluidos incompressíveis em casos nos quais os efeitos da viscosidade não sejam predominantes.

Dentre as diversas características dos fluidos podemos ainda classifica-los quanto ao tipo de escoamento em Turbulento e Laminar.

58

Os Escoamentos Turbulentos são os mais freqüentes na prática da engenharia. Nestes, as partículas de fluido (pequenas massas) movem-se em trajetórias irregulares, causando uma transferência de quantidade de movimento de uma porção do fluido para outra. O tamanho das partículas pode variar desde muito pequeno (digamos alguns milhares de moléculas) até muito grande (milhares de pés cúbicos num redemoinho de um rio ou numa ventania na atmosfera).

Para o escoamento turbulento pode-se escrever uma equação semelhante na forma à lei de Newton da viscosidade:

O fator , não é uma propriedade do fluido somente, dependendo do movimento do mesmo e da massa especifica. È chamado viscosidade turbilhonar.

Em muitos escoamentos da pratica tanto a viscosidade quanto às turbulências contribuem para as tensões de cisalhamento:

Experiências são necessárias para a determinação deste tipo de escoamento.

No Escoamento Laminar, as partículas movem-se ao longo de trajetórias suaves, em laminas ou camadas, com cada uma destas deslizando suavemente sobre outra adjacente. As trajetórias das partículas são bem definidas e não se cruzam.

O escoamento laminar é governado pela lei de Newton da viscosidade. No escoamento laminar a ação da viscosidade amortece a tendência de aparecimento de turbulências.

No regime laminar consideram-se as linhas de corrente orientadas segundo a velocidade do líquido e que têm a propriedade de não serem atravessadas pelas outras.

59

5.1 - BALANÇO MATERIAL - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

Consideremos o trecho da tubulação abaixo:

Massa que entra = massa que sai + acumulação (estado transiente).

Massa que entra = massa que sai (estado estacionário).

ME = MS ou QME = QMS

QME = 1 V1 S1 e QMS = 2 V2 S2

No caso de fluídos incompressíveis 1 = 2

QVE = S1 V1 e QVS = S2 V2 (vazão volumétrica)

= massa especifica

1 2

Velocidade Mássica : ( G )

G = V = unidades: Kg/s x m2 ou Kg / h. m2

EXEMPLO

Pelo trecho de tubulação abaixo escoa petróleo cuja densidade relativa

60ºF / 60ºF = 0,887. O diâmetro do tubo A é de 2 in, o do tubo B de 3 in e dos tubos C de 1,5 in todos eles sch 40. Por cada um dos tubos C circula

60

2

P1

P2

S1

V2

S2

V1

1

igual quantidade de fluido. O fluxo através do tubo A é de 30 gal/min. Calcular:

a) Vazão mássica em cada tubo expressa em lb/h.

b) Velocidade em cada tubo expressa em ft/seg.

c) Velocidade mássica em cada tubo expressa em lb/ft2.h

Solução: d = 2,0 in sch 40 ---------- SA = 0,02330 ft2

d = 3,0 in sch 40 ---------- SB = 0,05130 ft2

d = 1,5 in sch 40 ---------- SC = 0,01414 ft2

Calculo da massa específica e transformação de unidade da vazão

= d x padrão

= 0,887 x 62,37 = 55,3 lb/ft3

1 ft3 = 7,48 galão logo,

QV = 30 (gal / min) x 60 (min/ h) / 7,48 (gal/ ft3)

QV = 240,7 ft3 / h

Então QMA = QMB = 240,7 ft3/h x 55,3 lb/ ft3

QMA = QMB = 13300 lb/h

QMC = 13300 lb/h / 2 = 6650 lb/h

b) VA = QV / S

VA = 240,7 x 1/3600 (h/seg x ft3/ h ) x 1 / 0,0233ft2 VA = 2,87 ft/s

VB = 240,7 / 3600 x 0,0513 VB = 1,30 ft/s

VC = 240,7 / 2 x 1 / 3600 x 0,01414 VC = 2,36 ft/s

c) G = QM / S

GA = 13300 / 0,0233 ------ GA = 571000 lb / ft2. h

GB = 13300 / 0,05130 ------ GB = 259000 lb / ft2 . h

61

C

2

S2S1

V1

1,5 in

3 in2 in1

C 1,5 in

P1

P2

V2

GC = 13300 / 2 x 0,01414 ----- GC = 470000 lb / ft2. h

5.2 - BALANÇO DE ENERGIA - EQUAÇÃO DE BERNOULLI

SUPOSIÇÕES:

1 – Sistema Contínuo

2 – Fluido Ideal (sem atrito)

Tipos básicos de energias envolvidas

1. Energia Potencial - EP

É a energia que um objeto possui devido à sua posição. Esta energia está pronta a ser modificada noutras formas de energia e, conseqüentemente, a produzir trabalho. Assim que ocorrer algum movimento, a energia potencial da fonte diminui, enquanto se modifica em energia do movimento (energia cinética).

Ep = W = F.d (I)

Como Força é definido através da equação de Newton como ,

aceleração = g e distancia = z, substituindo em ( I ) teremos:

EP = ( lbf x ft )

2. Energia Cinética - Ec

Da definição de energia cinética como trabalho para colocar um corpo em movimento, podemos obter a expressão geral dada acima para o cálculo da energia cinética:

62

1

V1

Z 2

PV2

2Z 1P

como o deslocamento em instante infinitesimal de tempo é, , obtemos:

Físicos adoram cancelar infinitesimais do tipo dt que aparecem em denominadores com os que aparecem em numeradores, apesar da ânsia que isto causa nos matemáticos. Cancelando o dt na expressão acima podemos escrever

Logo:

Ec = ( lbf x ft )

Energia de Pressão - Epressão

Epressão = P x V ( lbf/ft2 x ft3) ------ ( lbf x ft )

A energia de pressão (PV) é a energia transportada pelo fluído como resultado de haver sido introduzido no sistema. Na realidade o produto PV é um termo de trabalho a expensas da energia das vizinhanças. Esta energia é a força exercida pelo fluído imediatamente depois do ponto de entrada multiplicado pela distancia ao longo da qual atua. A distancia ao longo da qual atua a força é igual ao volume específico do material dividido pela área transversal no ponto de entrada. Assim o trabalho feito é a força multiplicada pela distancia, ou seja:

( P x A ) x ( V / A) = P x V

Fazendo o balanço do ponto 1 ao 2 teremos:

Através da equação da continuidade m1= m2 = m3 = m. Logo dividindo a equação por m teremos.

lbf. Ft / lbm

Multiplicando por gc / g

ft) Equação de Bernoulli

63

(despreza-se a variação de energia interna que é desprezível para fluidos incompressíveis).

5.3 - EQUAÇÃO DE EULER (correção da equação de Bernoulli devido ao atrito)

Colocando a equação de Bernoulli na forma de diferencial e supondo fluído real (com atrito).

ou

Integrando para fluídos incompressíveis (· = constante)

hf energia perdida pelo líquido, por unidade de peso, para se deslocar do ponto 1 ao ponto 2.

5.4 - APLICAÇÃO DE BERNOULLI (TEOREMA DE TORRICELI)

Vamos supor um reservatório alimentado de forma que a altura do liquido h mantenha-se constante.

1 o reservatório é alimentado de forma que a

2 altura do líquido mantenha-se constante.

Temos: P1 = P2 = atmosfera

V1 desprezível comparado com V2

Aplicando Bernouili temos:

onde -h +

64

Correção devido aos efeitos de Superfícies Sólidas

Na maior parte dos problemas de fluxo de fluídos, que se apresentam em engenharia, intervem correntes que estão influenciadas por superfícies sólidas e que, portanto contém camada limite.

Para aplicar a equação de Bernoulli a estes casos práticos, é preciso introduzir duas modificações. A primeira geralmente de menor importância é uma correção do termo de energia cinética devido à variação da velocidade local V com a posição da camada limite. A segunda, que é de maior importância, consiste em uma correção da equação devido à existência de atrito do fluído, que tem lugar sempre que se forma camada limite.

Por outra parte, a equação de Bernoulli resulta de maior utilidade para a resolução de fluídos incompressíveis, se inclui na equação de trabalho comunicado ao fluído mediante uma bomba.

P / + Z + V2 / 2g = constante

Onde é o parâmetro de correção e depende do tipo de escoamento (Foust – fig 20.2 pg 499).

P2 / + Z2 + 2V22 / 2g + hf = P1 / + Z1 + 1 V1

2 / 2g

Exemplo:

A água na temperatura de 60ºF escoa num tubo conforme indicado na figura abaixo. Sabe-se que:

S1 = 150cm2 S2 = 120cm2

P1 = 0,5 kgf/cm2 P2 = 3,38 kgf/cm2

Z1 = 100m Z2 = 70 m

Calcular a vazão supondo não haver perdas no sistema.

65

70 70

mm mmm m mm

100 m100 m

6 - ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSIVEL

O movimento dos líquidos, levando em conta as trajetórias seguidas pelas partículas, podem ser classificados em:

Movimento em regime laminar Movimento em regime turbulento

6. 1 - MOVIMENTO LAMINAR E TURBULENTO

Experiência de Reynolds:

Deixando a água escorrer pelo cano transparente juntamente com o líquido colorido, forma-se um filete desse líquido. O movimento da água está em regime laminar.

Aumentando a vazão da água abrindo-se a torneira, nota-se que o filete vai se alterando podendo chegar a difundir-se na massa líquida. Nesse caso o movimento da água está em regime turbulento.

Para se determinar o tipo de movimento em uma canalização, calcula-se o Número de Reynolds dado pela expressão:

ou

Re = número de Reynolds ( adimensional)V = velocidade media ( m/s ou ft/s)

66

D = diâmetro interno do conduto ( m ou ft) = viscosidade absoluta ( g/ cm.s ou lb/ft. s). = viscosidade cinemática ( m2/s ou ft2/s) = massa especifica a temperatura do escoamento (kg/m3 ou lb/ft3)

Para os tubos comerciais valem os seguintes limites:

Re 2500 movimento laminar2500 Re 4000 zona criticaRe 4000 movimento turbulento

Para dutos não circulares Toma-se como diâmetro na equação do número de Reynolds um diâmetro equivalente que se define como igual a quatro vezes o raio hidráulico. O raio hidráulico se representa por rH e se define como a relação entre a área da seção transversal da condução e o perímetro molhado.

S = seção transversal

Lp = perímetro molhado

Para o caso particular de um tubo circular

D equivalente. = 4 rH

Para o caso particular de uma seção anular entre dois tubos concêntricos

Sendo Di e Do respectivamente o diâmetro interior e exterior do anel. Logo

6.2 - PERDA DE CARGA

No estudo do Teorema de Bernoulli vimos que deveria ser introduzido um termo corretivo denominado perda de carga. Esta perda de carga é ocasionada pela resistência que o líquido oferece ao escoamento.

No regime laminar a resistência é devida inteiramente à viscosidade do líquido ao passo que no regime turbulento é devido não só a viscosidade como à inércia.

CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS

As perdas de carga estão classificadas em:

67

a) Perdas ao longo do conduto (hf): são ocasionadas pelo movimento da água na própria tubulação.

b) Perdas de cargas localizadas (hf): provocadas pelas peças e singularidades ao longo das canalizações tais como: curvas, registros, derivações, redução ou aumento de diâmetro.

PERDAS AO LONGO DAS CANALIZAÇÕES

A resistência ao escoamento da água ao longo das canalizações depende do comprimento e do diâmetro do tubo, da velocidade do líquido, da rugosidade das paredes do tubo, porém não depende da posição do tubo nem da pressão interna.

As experiências de Nikuradse mostram a importância da rugosidade nas perdas ao longo das canalizações.

A Rugosidade das paredes depende: Material empregado na fabricação dos tubos Processo de fabricação dos tubos Comprimento dos tubos e número de juntas Técnica de assentamento Estado de conservação das paredes do tubo Existência de revestimento especial Emprego de medidas protetoras durante o funcionamento

Existem várias formulas empíricas para o calculo da perda de carga ao longo das canalizações, porém estudaremos apenas a formula universal, que é a de Darcy- Weisbach.

L = comprimento do tubo

D = diâmetro do tubo V = velocidade do líquido f = coeficiente de atrito

Esta fórmula engloba na mesma lei o escoamento de todos os líquidos qualquer que seja o tipo de escoamento (livre ou forçado) ou regime (laminar ou turbulento).

O coeficiente de atrito, sem dimensão, é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa e pode ser determinado com auxilio do DIAGRAMA de MOODY.

RUGOSIDADE RELATIVA

A rugosidade relativa é definida como sendo:

68

/ D sendo a rugosidade da parede eD o diâmetro da canalização.

A turbulência depende não só do número de Reynolds como também da rugosidade.

Para escoamento LAMINAR ( Re 2500), temos ainda a equação de Hagen-Poisewille.

igualando com a equação de Darcy, temos:

rearrumando

como teremos

onde f é o fator de atrito.

6.3 - PERDAS DE CARGA LOCALIZADA

As perdas de carga localizadas, também chamadas de perdas singulares são ocasionadas por mudanças de seção de escoamento e/ou de direção da corrente. Estas mudanças ocasionam turbilhonamento e, devido à inércia, parte da energia mecânica disponível se converte em calor e dissipa sob essa forma resultando, portanto numa perda de energia ou perda de carga.

São aquelas devido a distúrbios locais do fluxo ao passar por acidentes (válvulas, curvas, cotovelos, joelhos, têm, registros, etc).

No caso de tubulações de grande extensão estas perdas podem ser insignificantes em relação a perda normal, entretanto em outros casos ( ex: tubulação de sucção em um sistema de bombeamento), elas podem ser de grande valor em relação as perdas normais.

A perda de carga localizada (hfi) pode ser determinada através de um dos dois métodos descritos a seguir:

1. MÉTODO DIRETO

k = coeficiente obtido experimentalmente em cada caso

69

V = velocidade média do líquido na entrada Hf = perda de carga

1.1 perdas em restrições e expansões1.2 perdas na entrada: a perda na saída do fluído de um reservatório e entrada

na tubulação depende da forma geométrica empregada.1.3 perda na saída: na saída de um fluído de uma tubulação, não importa a forma

ou tipo de sistema teremos sempre k = 1.0.1.4 perdas em válvulas e acessórios

quando os gráficos são usa-se V1 ( velocidade a montante)

quando os gráficos são usa-se V2 (velocidade a jusante)

2. MÉTODO DO COMPRIMENTO EQUIVALENTE Consiste este método em determinarmos um comprimento reto de tubulação

que daria a mesma perda de carga do acessório considerado.Consideremos então as seguintes expressões:

e

de acordo com a orientação inicial do método, temos:

hfn = hfL

L equivalente =

Os valores de k/f ou do próprio comprimento equivalente dos acessórios

encontram-se tabelados em gráficos e tabelas praticas.

Tendo calculado o comprimento equivalente do acessório o calculo da perda de carga é feito como se a tubulação fosse um único trecho reto com um comprimento total.

L total = L trecho reto + L equivalente

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7 - PROBLEMAS SIMPLES DE ESCOAMENTO EM TUBOS

Os três casos simples de escoamento em tubos que são básicos na solução de problemas mais complexos são:

DADO ENCONTRAR1 – Q , L, D, V, E hf

2 - hf, L, D, E Q

3 - hf, Q, L, V, E D

Em cada um desses casos a equação de DARCY-WEIBACH, a equação da CONTINUIDADE, e o DIAGRAMA DE MOODY são usados para determinar a grandeza incógnita.

ROTEIRO A SER SEGUIDO PARA RESOLUÇÃO DESSES PROBLEMAS:

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1º CASO1. Dado a vazão, calcular a velocidade.

2. Calcular o número de Reynolds através da sua equação

3. Calcular a rugosidade relativa ( E/D) através o ábaco A-23

4. Com (2) e (3) através do gráfico de MOODY calcula f (fator de fricção)

5. Calcula a perda de carga através da equação de Darcy

EXEMPLO

Determinar a perda de carga no escoamento de 2000gpm de óleo com viscosidade relativa = 0,0001ft2/s, num tubo de ferro fundido de comprimento 1000 ft e diâmetro 8 in sch 40.

2º CASO1- Arbrita um valor para f2- Através da equação de Darcy encontra uma velocidade V1

3- Calcula o nº de Re para esta velocidade

4- Calcula o e/d no gráfico a-23

5- Com Re e E/D encontra um novo f6- Calcula uma nova velocidade

7- Calcula um novo Reynolds

8- Calcula um novo f através de Re e /D9 - Repete-se esse procedimento até o valor de f não mais variar

EXEMPLO

Água a 60ºF escoa num tubo de aço comercial de 12 in sch 40 com uma perda de carga de 20 ft em 1000ft. Determinar a Vazão.

3º CASO

1-Admite-se um valor de f2- Resolve-se a equação em D5

3- resolve a equação do nº de Re

4- Calcula-se /D5- Com Re e /D acha-se um novo f por MOODY6- Usa-se o novo f e repete-se o procedimento

7- Quando o valor de f não mais variar, todas as equações são obedecidas e o problema está resolvido.

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EXEMPLO

Determinar o diâmetro do tubo de aço comercial necessário para transportar 4000 gpm de um fluído, com viscosidade cinemática de 0,0001 ft2/s à distancia de 10000 ft com uma perda de carga de 75 ft.

8- ASSOCIAÇÕES DE TUBULAÇÕES

Sempre que encontramos um sistema com tubulações que apresentam variações no diâmetro no decorrer de sua extensão, ou com ramificações, uma das maneiras de simplificar o problema é encontrar uma tubulação que seja equivalente ao sistema em estudo. Podemos dizer que duas tubulações são equivalentes quando são capazes de conduzir à mesma vazão sob a mesma perda de carga.

Pensando assim, os problemas que envolvem perda de carga são bastante simplificados.

O método consiste em adicionar à extensão da canalização, para efeito de calculo, comprimentos tais que correspondem à mesma perda de carga que causariam as peças especiais existentes na canalização.

TUBULAÇÕES EM SÉRIE

O problema consiste em determinar qual seria o comprimento L que deveria ter uma tubulação de diâmetro prefixado para ser equivalente a uma tubulação em série que constitui o nosso sistema em estudo.

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Nós sabemos que:

Aplicando a definição de tubulações

equivalentes ao sistema de tubulações em série da figura (b) acima, temos:hf = hf1 + hf2

Q = Q1 = Q2

Então: = Cf1L1 + Cf2L2

Para resolver essa equação é necessário, inicialmente, determinar os coeficientes de atrito (f). Entretanto, uma solução aproximada, para fins estimativos, pode ser desenvolvida se os diâmetros envolvidos D1 e D2 forem do mesmo material e de dimensões próximas. Neste caso, a variação do valor de f é menos sensível, principalmente se o escoamento for completamente turbulento. Neste caso, o diâmetro D é fixado como sendo igual a D1 ou D2 ou a media aritmética entre eles. Este procedimento reforça a nossa adoção de f=f1=f2. Então temos:

Ou generalizando:

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(I)

Como conhecemos os valores de L1 e D1, fixamos o valor de D e estimamos o valor de L através da equação (I) acima.

TUBULAÇÕES EM PARALELO

Analogamente ao anterior, este problema consiste em determinar o comprimento L da tubulação equivalente abaixo, de diâmetro D prefixado, para ser equivalente ao feixe de tubulações em paralelo em consideração da figura (d).

As equações que podemos levantar para o problema são:

hf = hf1 = hf2 = hf3

Q = Q1 + Q2 + Q3 Então:

ou Q =

ou Q1 =

ou Q2 =

ou Q3 =

Substituindo os valores de Q1, Q2, Q3 e Q na expressão Q = Q1 + Q2 + Q3, vem:

= + +

como hf = hf1 = hf2 = hf3, temos.

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= + +

Nesse caso, teríamos que supor uma distribuição inicial de vazões ou valores para os coeficientes de atrito e posteriormente verificar a solução por um processo interativo. Fazendo considerações análogas àquelas desenvolvidas no estudo de tubulações em série, uma solução aproximada para fins interativos seria supor:

f = f1 = f2 = f3 e, então = + + ou generalizando

= (II)

Como conhecemos os valores de Di, Li, fixamos um valor para D e obtemos o correspondente valor do comprimento equivalente L. Também aqui a escolha do diâmetro D igual a um dos diâmetros Di reforça a aproximação.

9 - BIBLIOGRAFIA

Fox, Robert W., McDonald, Alan T., Introdução a Mecânica dos Fluidos, 4 ° edição, LTC Editora, 1998.

Street, Victor L., Mecânica dos fluidos, McGraw-Hill do Brasil, 1969 (São Paulo).

Bastos, Francisco de Assis, Problemas de mecânica dos fluidos, editora Guanabara.

Crane, “ Flow of fluids Throught Valves, Fitting, and Pipe” – Engineering Division.

Giles, Ronald V., Mecânica dos fluidos e hidráulica, editora McGraw-Hill do Brasil LTDA -coleção Schaum.

Brunetti, Franco, Mecânica dos Fluídos, Pearson Prentice Hall,2005.

Porto, Rodrigo de Melo, Hidráulica Básica, 4, ed. , São Carlos: EESC-USP, 2006

SITES INTERESSANTES:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos

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o omnis.if.ufrj.br/~marco/fis2

o astro.if.ufrgs.br/evol/takoma.htm Tacoma Bridge

o www.cesec.ufpr.br/~tc431/links.htm

Ponte de Tacoma: http://www.ketchum.org/bridgecollapse.htmlhttp://www.wcsscience.com/tacoma/bridge

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