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Universidade Politécnica

BETÃO ARMADO Apontamentos - Volume 1

Jorge Pindula, Engº Civil 2012

Documento em elaboração e revisão

BETÃO ARMADO – VOLUME 1

Jorge Pindula, Engº Civil Apontamentos de Betao Armado 1.doc - 2/118

ÍNDICE

SIMBOLOGIA ..................................................................................................................................... VI

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1

1.1. Definição .................................................................................................................................... 1

1.2. Vantagens e desvantagens ................................................................................................... 1

1.2.1. Vantagens ........................................................................................................................ 1

1.2.2. Desvantagens .................................................................................................................. 1

1.3. Aplicações do Betão Armado ............................................................................................... 3

1.4. Tipos estruturais e modos de solicitação .............................................................................. 3

1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas) ................................................................................... 3

1.4.2. Estruturas Laminares ........................................................................................................ 4

1.4.3. Estruturas maciças .......................................................................................................... 4

2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................................................................. 6

2.1. Betão .......................................................................................................................................... 6

2.1.1. Características do betão .............................................................................................. 6

2.1.1.1. Resistência à compressão ..................................................................................... 6

2.1.1.2. Resistência à tracção ............................................................................................ 9

2.1.1.3. Módulo de elasticidade ........................................................................................ 9

2.1.1.4. Fluência e retracção............................................................................................ 10

2.1.2. Características relativas a verificação da segurança e dimensionamento ...... 11

2.1.2.1. Resistência ............................................................................................................. 11

2.1.2.2. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural ................................... 13

2.1.2.3. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural ................................... 14

2.2. Armaduras ............................................................................................................................... 15

2.2.1. Armaduras para o betão armado ............................................................................. 15

2.2.2. Relações tensões-extensões de cálculo ................................................................... 16

2.3. Funcionamento conjunto dos dois materiais ..................................................................... 18

3. BASES DE PROJECTO E ACÇÕES ............................................................................................... 19

3.1. Métodos de análise e avaliação da segurança .............................................................. 19

3.1.1. Método das tensões de segurança .......................................................................... 19

3.1.2. Método de Rotura ........................................................................................................ 20

3.1.3. Método Probabilístico .................................................................................................. 20

3.2. Critérios Gerais de verificação da segurança .................................................................. 21

3.3. Estados Limites ......................................................................................................................... 22

3.3.1. Estados Limites Últimos (ELU) ........................................................................................ 22

3.3.2. Estados limites de serviço ou de utilização (ELS) ..................................................... 23

3.4. Acções ..................................................................................................................................... 23

3.4.1. Classificação e Tipos de Acções ............................................................................... 24



3.4.1.1. Acções Permanente (g,G) .................................................................................. 24

3.4.1.2. Acções Variáveis (q,Q) ........................................................................................ 24

3.4.1.3. Acções de acidente ou excepcionais ............................................................. 24

3.4.2. Quantificação das acções ......................................................................................... 24

3.4.3. Combinações de Acções ........................................................................................... 25

3.4.4. Diagramas envolventes de esforços ......................................................................... 27

4. SECÇÕES SOLICITADAS A FLEXÃO E AO ESFORÇO AXIAL ..................................................... 28

4.1. Comportamento de secções em flexão (estados de deformação) ............................ 28

4.1.1. Estado I – Secção não fendilhada............................................................................. 28

4.1.2. Estado II – Secção Fendilhada ................................................................................... 30

4.1.3. Estado III – Calculo a rotura ........................................................................................ 31

4.2. Domínios de deformação das secções ............................................................................. 32

4.2.1. Rotura por Deformação Plástica Excessiva do Aço ............................................... 33

4.2.2. Rotura do Betão na Flexão ......................................................................................... 35

4.2.3. Rotura de Secção Inteiramente Comprimida ......................................................... 37

4.3. Hipóteses fundamentais da flexão ...................................................................................... 39

4.4. Secções solicitadas ao Esforço axial: Tirantes e Escoras ................................................. 40

4.4.1. Compressão simples ..................................................................................................... 40

4.4.1.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura) ................................................... 40

4.4.1.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço) .................. 41

4.4.1.3. Disposições do REBAP (arts. 120º a 122º) .......................................................... 42

4.4.2. Tracção simples ............................................................................................................. 43

4.4.2.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura) ................................................... 43

4.4.2.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço) .................. 43

4.5. Secções solicitadas à Flexão Simples – Calculo a Rotura ............................................... 44

4.5.1. Analise da secção ........................................................................................................ 44

4.5.1.1. Secções rectangulares simplesmente armadas ............................................. 44

4.5.1.2. Secções rectangulares duplamente armadas ............................................... 45

4.5.1.3. Vigas em Secção “T” ........................................................................................... 46

4.5.1.3.1. Largura efectiva do banzo comprimido ........................................................ 46

4.5.1.3.2. Hipóteses para o dimensionamento ............................................................... 47

4.5.1.4. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento ..................... 49

4.5.2. Procedimentos de Calculo a Rotura ......................................................................... 50

4.5.2.1. Calculo da Capacidade resistente ................................................................... 50

4.5.2.2. Dimensionamento de armaduras ...................................................................... 51

4.5.2.3. Formulas Simplificadas. Vigas Rectangulares. ................................................. 51

4.5.2.4. Uso de Tabelas ...................................................................................................... 53

4.5.3. Disposições do REBAP .................................................................................................. 53

4.6. Pré-dimensionamento de vigas rectangulares ................................................................. 57



4.7. Secções solicitadas à Flexão Composta ............................................................................ 59

4.7.1. Considerações Gerais. ................................................................................................. 59

4.7.2. Princípios de Cálculo .................................................................................................... 59

4.7.3. Métodos de análise ...................................................................................................... 59

4.7.3.1. Dimensionamento pelo diagrama bloco-rectangular .................................. 59

4.7.3.1.1. Secção totalmente Traccionada. Armadura simétrica ............................... 60

4.7.3.1.2. Secção parcialmente comprimida. ................................................................ 60

4.7.3.1.3. Secção parcialmente comprimida. Rotura pelo betão .............................. 61

4.7.3.1.4. Secção totalmente comprimida e armadura simétrica .............................. 62

4.7.3.2. Pilares Rectangulares simetricamente armados. Formulas Simplificadas ... 62

4.7.3.3. Resolução recorrendo a ábacos e Tabelas..................................................... 64

4.7.4. Pré-dimensionamento de pilares ............................................................................... 65

4.8. Secções solicitadas à Flexão Desviada .............................................................................. 69

4.8.1. Princípios de Cálculo .................................................................................................... 69

4.8.2. Métodos de Analise e Dimensionamento ................................................................ 69

4.8.2.1. Fórmulas simplificadas – “Processo da excentricidade fictícia” .................. 69

4.8.2.2. Ábacos Elaborados .............................................................................................. 70

5. SECÇÕES SOLICITADAS AO ESFORÇO DE TRANSVERSO ......................................................... 73

5.1. Generalidades ........................................................................................................................ 73

5.2. Comportamento em fase não fendilhada ........................................................................ 73

5.3. Comportamento elástico em fase fendilhada ................................................................. 74

5.3.1. Clássica Analogia da treliça de Morsch ................................................................... 74

5.4. Possíveis modos de rotura ..................................................................................................... 75

5.5. Verificação da Segurança e dimensionamento (REBAP) ............................................... 76

5.5.1. O termo Vwd ................................................................................................................... 77

5.5.2. O termo Vcd quando existem armaduras especificas de esforço transverso .... 77

5.5.3. O termo Vcd quando não existem armaduras específicas de corte ................... 79

5.5.4. Valor máximo do esforço transverso resistente ....................................................... 80

5.5.5. Constituição das armaduras e espaçamento dos varões .................................... 80

5.5.6. Armadura mínima de estribos ..................................................................................... 81

5.6. Disposições construtivas ........................................................................................................ 82

5.7. Disposições regulamentares ................................................................................................. 82

6. SECÇÕES SOLICITADAS A TORÇÃO ......................................................................................... 85

6.1. Generalidades ........................................................................................................................ 85

6.2. Torção de compatibilidade ................................................................................................. 85

6.3. Torção de equilíbrio ............................................................................................................... 85

6.4. Verificação da segurança e dimensionamento (REBAP) ............................................... 86

6.4.1. Generalidades ............................................................................................................... 86

6.4.2. Secção oca eficaz ....................................................................................................... 88



6.4.3. Valor máximo do momento torsor resistente ........................................................... 89

6.4.4. Constituição da armadura e espaçamento dos varões ....................................... 89

6.5. Esforço de torção associado a flexão ou a esforço transverso ..................................... 90

6.6. Disposições construtivas ........................................................................................................ 91

7. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ENCURVADURA ........................................................................ 92

7.1. Introdução ............................................................................................................................... 92

7.2. Parâmetros fundamentais para a verificação da segurança ....................................... 92

7.2.1. Mobilidade da Estrutura (tipos de estrutura) ............................................................ 92

7.2.2. Esbelteza ......................................................................................................................... 93

7.2.3. Comprimento efectivo de encurvadura e secção critica .................................... 95

7.2.4. Direcções de encurvadura ......................................................................................... 99

7.2.5. Momentos actuantes nas secções criticas ............................................................ 100

7.2.6. Excentricidades ........................................................................................................... 103

a) Excentricidade de 2.ª ordem ...................................................................................... 103

b) Excentricidade acidental ............................................................................................ 104

c) Excentricidade de fluência (ec) ................................................................................... 105

7.3. Verificação da segurança em relação ao estado limite último de encurvadura ... 105

7.3.1. Momentos actuantes na secção crítica ................................................................ 106

7.3.2. Dispensa de verificação em relação à encurvadura .......................................... 107

7.4. Pré-dimensionamento de pilares ....................................................................................... 109

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 112



SIMBOLOGIA



1. INTRODUÇÃO

1.1. Definição

O Betão armado é um material composto, constituído por betão simples e aço. Os dois

materiais constituintes (betão e aço) devem agir solidariamente para resistir aos esforços a

que forem submetidos e devem ser dispostos de maneira a utilizar económica e

racionalmente as resistências próprias de cada um deles.

O betão armado apresenta as seguintes propriedades:

Elevada resistência à compressão por parte do betão e elevada resistência à

tracção por parte do aço;

Trabalho conjunto do betão e do aço, assegurado pela aderência entre os dois

materiais;

Coeficiente de dilatação térmica entre os dois materiais que o compõem quase

iguais, 0.9≤αc≥1,4x10-5/°C e αa=1,2x10-5/°C.

1.2. Vantagens e desvantagens

Como material estrutural, o betão apresenta várias vantagens em relação a outros

materiais. Serão relacionadas também algumas de suas desvantagens e as providências

que podem ser adoptadas para contorná-las.

1.2.1. Vantagens

− Economia: mais económico que estruturas de aço.

− É moldável, permitindo grande variabilidade de formas e de concepções

arquitectónicas.

− Apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação, desde que seja feito

um dimensionamento correcto e uma pormenorização adequada das armaduras.

− A estrutura é monolítica, fazendo com que a funcione quando solicitada.

− Manutenção e conservação quase nulas e grande durabilidade.

− Boa resistência à compressão.

− Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgastes mecânicos.

− Possibilidade de trabalhar com Pré-fabricados.

1.2.2. Desvantagens

− Peso próprio elevado: 2,5t/m3 = 25KN/m3.

− Custo de cofragens para a moldagem.

− Transmissão de calor e som.



− Fragilidade.

− Fissuração.

− Retracção e fluência

− Corrosão das armaduras

− Baixa resistência à tracção.

Para suprir as deficiências do betão, há várias alternativas, a saber:

− Tanto a retracção quanto a fluência dependem da estrutura interna do betão.

Portanto, para minimizar seus efeitos, adequada atenção deve ser dada a todas as

fases de preparação, desde a escolha dos materiais e da dosagem até a

compactação e a cura do betão colocado nos cimbramentos.

− A fluência depende também das forças que actuam na estrutura. Portanto, um

programa adequado das fases de carregamento, tanto na fase de projecto quanto

durante a construção, pode atenuar os efeitos da fluência.

− A baixa resistência à tracção pode ser contornada com o uso de adequada

armadura, obtendo-se o betão armado.

− Além de resistência à tracção, o aço garante ductilidade e aumenta a resistência à

compressão, em relação ao betão simples.

Em peças comprimidas, como nos pilares, os estribos, além de evitarem a

flambagem localizada do aço, podem confinar o betão, o que também aumenta

sua ductilidade.

− A fissuração pode ser contornada ainda na fase de projecto, com armação

adequada e limitação do diâmetro do aço e da tensão na armadura. Também é

usual a associação do betão com pelo menos uma parte de armadura activa, ou

seja, com tensões prévias, formando o betão pré-esforçado.

A utilização de armadura activa tem como principal finalidade aumentar a

resistência da peça, o que possibilita a execução de grandes vãos ou o uso de

secções menores, diminuindo o peso próprio, sendo que também se obtém uma

melhora do betão com relação à fissuração.

− A corrosão da armadura pode ser prevenida com controle da fissuração e com o

uso de adequado recobrimento da armadura, cujo valor depende do grau de

agressividade do ambiente em que a estrutura for construída.



1.3. Aplicações do Betão Armado

É o material estrutural mais utilizado a nível mundial. Outros materiais como madeira,

alvenaria e aço também são de uso comum e há situações em que são imbatíveis. Porém,

suas aplicações são bem mais restritas.

Algumas aplicações do betão são relacionadas a seguir:

− Edifícios: mesmo que a estrutura principal não seja de betão, alguns elementos, pelo

menos, o serão;

− Armazéns e pisos industriais ou para fins diversos;

− Obras hidráulicas e de saneamento: barragens, tubos, canais, reservatórios, estações

de tratamento etc.;

− Estradas: pavimentação de betão, pontes, viadutos, passarelas, túneis, galerias,

obras de contenção etc.;

− Estruturas diversas: elementos de cobertura, chaminés, torres, postes, muros de

suporte, piscinas, silos, cais, fundações de máquinas etc.

1.4. Tipos estruturais e modos de solicitação

Em função do tipo de esforços a que as estruturas estão submetidas e de acordo com o

procedimento adoptado na sua determinação, as estruturas podem classificar-se em:

1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas)

São estruturas constituídas por peças lineares em que uma das dimensões (o comprimento)

é muito superior às outras duas (que definem a secção transversal). Exemplos: vigas, pilares,

pórticos, treliças, arcos, tirantes, escoras.

A secção transversal de uma estrutura linear pode estar sujeita aos seguintes esforços:

− N Esforço axial (Fx)

− Vy Comp. Esforço transverso (Fy)

− Vz Comp. Esforço transverso (Fz)

− Mz Comp. Momento flector (Mz)

− My Comp. Momento flector (My)

− T Momento torsor (Mx)



Esforços em peças lineares

1.4.2. Estruturas Laminares

São estruturas em que duas das dimensões (comprimento e largura) são da mesma ordem

de grandeza e de valor substancialmente superior à outra dimensão (espessura). Exemplos:

Lajes, paredes, vigas-parede, cascas.


Elemento de laje, parede e casca

1.4.3. Estruturas maciças

As estruturas maciças apresentam três dimensões (altura, comprimento e profundidade) da

mesma ordem de grandeza, sendo em geral submetidas a um estado de tensão triaxial.

Exemplos: Barragens e fundações maciças.




Elemento de estrutura linear



2. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

A associação do betão com aço deu origem ao material estrutural com maior sucesso na

execução de obras de engenharia civil, o betão armado. Tratam-se dois materiais que

apresentam características substancialmente diferentes.

O aço é produzido sob condições bem controladas e as suas propriedades são

caracterizadas em laboratório, sendo acompanhados por certificados de qualidade. Assim,

a utilização deste material não constitui grande preocupação para os engenheiros.

No que se refere ao betão, a situação é completamente diferente. Este material é obtido a

partir da mistura de diversos componentes dos quais, em geral, apenas um é certificado: o

cimento. Para além deste aspecto, o fabrico e a colocação do betão nas estruturas

envolve, a diversos níveis, a utilização de uma elevada quantidade de mão-de-obra, cuja

qualidade influencia de forma determinante a qualidade do material final: o betão

armado.

Este facto leva a que o betão constitua um material cujas propriedades apresentam uma

elevada variabilidade que deve ser tida em conta no dimensionamento das estruturas. Por

outro lado, por se tratar de um material constituído por componentes que vão reagindo ao

longo do tempo, as suas propriedades também são dependentes do tempo. Acresce ainda

que o comportamento do betão armado pode ser significativamente afectado pelas

condições de exposições ambientais que envolvem as estruturas.

Tudo isto implica a necessidade do engenheiro envolvido no projecto e execução de

estruturas conhecer o melhor possível os materiais constituintes do betão armado e o efeito

que esses materiais podem ter no comportamento mecânico e durabilidade das obras.

2.1. Betão

O betão é um material formado pela mistura de cimento, de agregados grossos e finos e de

água, resultante do endurecimento da pasta de cimento. Para além destes componentes

básicos, pode também conter adjuvantes e adições. Caso a máxima dimensão do

agregado seja igual ou inferior a 4mm, o material resultante é denominado argamassa.

2.1.1. Características do betão

2.1.1.1. Resistência à compressão

A resistência à compressão é a característica mecânica mais importante do betão, pois nas

estruturas a função deste material é essencialmente resistir às tensões de compressão

enquanto as armaduras têm a função de resistir às tensões de tracção.



A resistência à compressão é determinada em provetes submetidos a uma solicitação axial

num ensaio de curta duração, isto é, com uma velocidade de carregamento elevada.

Dado que a forma dos provetes, a velocidade de carregamento e outros factores tais

como a idade do betão e as condições de cura têm uma influência significativa na

resistência medida, os métodos de ensaio são normalizados.

Os provetes geralmente utilizados para determinar a resistência à compressão do betão

têm a forma cúbica ou prismática, sendo, entre estes últimos, os cilindros com altura dupla

do diâmetro os mais usuais.

A norma NP EN 206-1 estabelece que a resistência à compressão deve ser determinada em

provetes cúbicos de 150mm ou provetes cilíndricos de 150/300mm. A resistência cilíndrica é

da ordem de 0.80 da resistência cúbica. Esta diferença é originada pelo atrito entre as

faces dos provetes e os pratos das prensas que impedem a deformação transversal do

betão conduzindo a maiores valores da resistência. Este fenómeno é mais significativo nos

provetes com menor esbelteza.

Uma vez que o endurecimento do betão se processa ao longo do tempo, a resistência à

compressão, tal como as outras características deste material, evolui também no tempo.

Como para efeito de dimensionamento das estruturas se considera a resistência do betão

aos 28 dias, estabeleceu-se esta idade para caracterizar esta propriedade. Assim, a

resistência à compressão é determinada sobre moldes cilíndricos ou cúbicos, mantidos em

condições saturadas, aos 28 dias de idade.

A resistência do betão apresenta uma variabilidade significativa resultante quer da própria

heterogeneidade do material, quer das condições de fabrico (controlo de qualidade).

Desta forma, a resistência não pode ser caracterizada apenas pelo valor médio dos

resultados obtidos de ensaios de um determinado número de provetes. É necessário

também ter em conta a dispersão dos valores. Adoptou-se, assim, o conceito de resistência

característica que é um valor estatístico que tem em conta a média aritmética das tensões

de rotura (fcm) obtidas nos ensaios dos provetes e o coeficiente de variação (Δ) dos valores

medidos. A resistência característica do betão (fck) é o valor que apresenta 95% de

probabilidade de ser excedido, figura abaixo.



Assim, esta resistência (fck) é obtida a partir da sua resistência média determinando-se

primeiro o desvio padrão da mesma (amostra) pela fórmula:

em que:

e, pela Curva de Gauss, a resistência característica é dada pela fórmula:

Δ 1,64 - cjf ckf = ou ) 1,64 -1 ( cjf ckf Δ=

O coeficiente de variação é determinado essencialmente pela qualidade dos meios

empregues para fabricar o betão que influenciam a precisão com que é efectuada a

dosagem dos seus componentes, pela organização do estaleiro e ainda pelo controlo

exercido sobre o fabrico.

Como valores de referência podem considerar-se os seguintes:

− condições de execução médias - Δ = 0.20 a 0.25

− condições de execução boas - Δ = 0.15 a 0.20

− condições de execução muito boas - Δ = 0.10 a 0.15.

Um coeficiente de variação superior a 0.25 não é admissível na execução de estruturas de

betão armado.

1-n

n

12)cjf-ci(f

∑

=Δ

n

n

1 cif cjf∑

=



Quanto maior for o coeficiente de variação, maior é o afastamento entre o valor médio e o

valor característico da resistência. Assim, existe toda a vantagem, sob o ponto de vista

económico, em fabricar e controlar o betão de forma eficiente.

2.1.1.2. Resistência à tracção

A resistência à tracção (fct) é uma característica importante do betão em fenómenos tais

como a fendilhação e a aderência das armaduras.

Tal como acontece com a resistência à compressão, a resistência à tracção depende do

tipo de ensaio. Esta característica mecânica pode ser medida directamente em provetes

prismáticos traccionados ou medida indirectamente por flexão de prismas ou compressão

diametral de cilindros.

Quando a resistência à tracção for determinada como a tensão de rotura à tracção por

compressão diametral pode considerar-se para valor aproximado da tensão de rotura à

tracção simples.

2.1.1.3. Módulo de elasticidade

O Módulo de elasticidade (Ec) é a relação entre a tensão actuante e a deformação

longitudinal resultante desta tensão.

Os valores médios do módulo de elasticidade aos 28 dias de idade a considerar são os

indicados no quadro 1.5. Aos j dias de idade, Ec,j , pode em geral ser estimado a partir do

valor médio da tensão de rotura à mesma idade, fcm,j , pela expressão:

3 j,cmf5.9j,cE = .

Quadro 1.5 – Valores médios do módulo de elasticidade do betão, Ec, 28 Classe de

resistência B15 B20 B25 B30 B35 B45 B50 B55 B60

Ec,28

(GPa) 26.0 27.5 29.0 30.5 32.0 33.5 35.0 36.0 37.0



Verifica-se que o módulo de elasticidade aumenta com a resistência do betão, todavia a

relação entre estas duas propriedades apresenta uma dispersão elevada. Embora existam

expressões que relacionam a tensão de rotura com o módulo de elasticidade, é necessário

determinar experimentalmente o seu valor quando estão em causa cálculos rigorosos sobre

o comportamento das estruturas.

O coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e a deformação

longitudinal) depende da resistência do betão, do nível de tensão aplicada e da própria

composição do betão. O seu valor varia geralmente entre 0.15 e 0.25. O seu conhecimento

rigoroso não é importante para a maioria dos cálculos de engenharia, pelo que se adopta

geralmente um valor médio igual a 0.20. A partir do coeficiente de Poisson determina-se o

módulo de distorção.

2.1.1.4. Fluência e retracção

A fluência é um fenómeno que consiste no aumento progressivo no tempo da deformação

instantânea de uma peça de betão quando sujeita a uma tensão com carácter de

permanência. Este fenómeno ocorre devido à variação de volume de pasta de cimento

que envolve os agregados.

A retracção consiste na diminuição da dimensão de uma peça de betão na ausência de

variações de temperatura e de tensões aplicadas. Este fenómeno é originado pela

variação de volume da pasta de cimento devida essencialmente à evaporação da água

de amassadura do betão e às reacções de hidratação das partículas de cimento. A

carbonatação do betão origina também fenómenos de retracção.

A fluência e retracção originam o que normalmente se designa por efeitos diferidos, i.e.,

efeitos devidos à deformação do betão ao longo do tempo.

As principais desvantagens da fluência e retracção no comportamento das estruturas são

as seguintes:

− aumento das deformações dos elementos estruturais, principalmente em vigas e

lajes

− perdas da força de pré-esforço em elementos pré-tensionados e pós-tensionados

nas estruturas pré-esforçadas

− fendilhação de elementos com deformações impedidas, devido ao encurtamento

originado pela retracção

− aumento dos esforços em elementos comprimidos sujeitos a cargas excêntricas



A fluência apresenta ainda um efeito importante na tensão de rotura do betão. Verifica-se

que existe uma relação entre a tensão aplicada no betão e a sua resistência, determinada

num ensaio de curta duração, a partir da qual a fluência provoca a rotura. Essa relação é

da ordem de 0.8 a 0.9, razão pela qual a regulamentação afecta, para efeitos de cálculo

da resistência das peças, a tensão de rotura do betão de um coeficiente de redução.

Todavia, este efeito é compensado pelo aumento da resistência do betão no tempo

(recorde-se que nos cálculos da capacidade resistente dos elementos se considera a

resistência do betão aos 28 dias de idade). Assim, na versão final do Eurocódigo 2, esse

coeficiente de redução pode ser considerado igual a 1.

Como principais vantagens da fluência referem-se a redução dos esforços nos elementos

estruturais originados por deformações impostas e a eliminação das concentrações de

tensões.

A retracção é influenciada por um grande número de parâmetros associados à

composição do betão, ao ambiente de exposição e à forma das peças de betão.

Os principais factores que influenciam a fluência são o nível de tensão aplicado nas peças

e a resistência do betão. Verifica-se que a fluência varia linearmente com a relação entre a

tensão aplicada e a tensão de rotura do betão para um intervalo de valores desta relação

da ordem de 0.4 a 0.7.

2.1.2. Características relativas a verificação da segurança e dimensionamento

Definem-se aqui as características do betão que devem ser consideradas para efeitos da

análise estrutural e dimensionamento de secções de betão armado e pré-esforçado.

2.1.2.1. Resistência

O betão é classificado de acordo com a sua resistência à compressão, definindo-se as

classes de resistência conforme indicado no quadro abaixo, em que: o índice (15, 20, 25, ...)

representa o valor característico da resistência à compressão do betão em provetes

cúbicos com 20 cm de aresta e, (12, 16, 20,…) representa o valor característico da

resistência à compressão em provetes cilíndricos com 15 cm diâmetro e 30 cm altura.



Quadro 1.3 – Valores médios e característicos da tensão de rotura do betão à tracção

simples Classe de


fcd

(Mpa) 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctd

(MPa) 0.80 0.93 1.07 1.20 1.33 1.47 1.60 1.73 1.87

O valor de cálculo da resistência do betão à compressão fcd obtém-se dividindo a

resistência característica fck pelo coeficiente de segurança γc = 1.5.

A resistência à tracção do betão (fct) é definida como a tensão máxima que o betão pode

suportar quando submetido à tracção simples. A resistência à tracção pode ser

determinada através do ensaio de tracção axial ou obtida a partir da resistência à tracção

por ensaio de compressão diametral ou da resistência à tracção por ensaio de flexão.

Os valores médios e característicos adoptados para a tensão de rotura do betão à tracção

simples aos 28 dias, fctm e fctk, indicados no quadro 1.4, correspondentes às classes dos

betões indicados no quadro a seguir.

Quadro 1.4 – Valores médios e característicos da tensão de rotura do betão à tracção

simples Classe de


fctm

(Mpa) 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0

fctk

(MPa) 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

As classes de resistência mínima para betão pré-esforçado são C25/30 para elementos pós-

tensionados e C30/37 para elementos pré-tensionados.

O Eurocódigo 2 refere que os betões de classe de resistência inferior a C12/C15, ou

superiores a C50/60, não devem ser utilizados em obras de betão armado e pré-esforçado,

a menos de justificação fundamentada.

Por vezes, em diversas situações práticas, tem interesse estimar a resistência do betão para

idades diferentes dos 28 dias. Este processo não é simples dado que o desenvolvimento da

resistência no tempo depende de muitos parâmetros tais como o tipo e a classe de

resistência do cimento, o tipo e quantidade de adições e adjuvantes, a razão A/c e as

condições ambientais.



Para idades diferentes dos Betões apresentados no quadro 1.1, poderão tomar-se os valores

indicados no quadro 1.2, extraídos do gráfico proposto pelo C.E.B.

Quadro 1.2 - Coeficientes parciais de endurecimento Idade do betão

(dias) 3 7 14 28 90 360 ∞

Coeficiente de

endurecimento 0.40 0.65 0.85 1.00 1.20 1.35 1.45

2.1.2.2. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural

Para efeitos de projecto devem ser utilizados diagramas tensões-extensões

convenientemente idealizados. Consideram-se diagramas a utilizar para efeitos de análise

estrutural e diagramas a utilizar para efeitos do dimensionamento de secções.

Relativamente à análise estrutural consideram-se diagramas tensão-extensão para análise

linear e para análise não linear ou para o cálculo de efeitos de segunda ordem, figura

abaixo.

No Quadro 2.8 está indicada uma estimativa do valor médio do módulo secante Ecm para

as diferentes classes de resistência do betão.

Diagramas tensões-extensões para análise estrutural

Refere-se que o módulo de elasticidade depende não só da classe de resistência do betão,

mas também das propriedades dos agregados utilizados e outros parâmetros associados à

composição do betão e às condições de cura. Deste modo, quando for necessário



efectuar cálculos mais rigorosos é necessário realizar ensaios sobre o betão fabricado com

os agregados utilizados na obra.

Para efeitos de cálculo, pode considerar-se que o coeficiente de Poisson relativo a

extensões elásticas é igual a 0.2. Nos casos em que se aceita a fendilhação do betão em

tracção, o coeficiente de Poisson pode ser considerado igual a zero.

2.1.2.3. Diagramas tensões-extensões para análise estrutural

Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se, para as diferentes

resistências à compressão com que se trabalhe na prática, um diagrama ideal,

matematicamente definido, diagrama parábola - rectângulo (gráfico 1.1).

Estas relações são obtidas a partir dos resultados de ensaios rápidos de prismas ou de

cilindros de betão submetidos à compressão simples, contando com factores como a

segurança e a influência do factor tempo.

São vários os factores que influenciam as relações tensões - extensões dum betão, mesmo

em ensaios rápidos. Assim, quanto a tensão de rotura, ela é influenciada pela forma e

dimensões dos provetes, pelo tipo de máquina de ensaios, pela idade e condições de

conservação dos provetes, pela natureza dos inertes e pela dosagem do cimento e água.

Quanto à inclinação da tangente na origem do diagrama (módulo de elasticidade inicial)

verifica-se que ela aumenta com a idade do betão e com o teor de humidade dos

provetes e que varia consideravelmente com a natureza dos inertes e com a dosagem do

cimento.

Em relação ao factor tempo, há que verificar a sua influência dado que, por um lado faz

aumentar a resistência, por outro, sob acção de cargas constantes elevadas, faz diminuir,

pois regista-se nos ensaios que provetes quando sujeitos a tensão constante da ordem de

85% da tensão de rotura, aos 28 dias, obtida em provetes idênticos, acabam por atingir a

rotura ao fim de certo tempo. Finalmente, há que para atender à segurança, ter em conta

fcd

0,85fcd

εr=3,5‰ 2%0 ε ‰

Parábola: [ ] 3x102c250 -c cdf 0,85 c εεσ =



a grande dispersão que apresenta o betão nas suas propriedades e, consequentemente,

tomar valores para o cálculo que tenham tal facto em consideração.

2.2. Armaduras

O aço empregado nas peças de betão armado é uma liga constituída principalmente de

ferro e carbono, à qual são incorporados outros elementos para melhoria das propriedades.

O aço é usado em conjunto com o betão com a finalidade principal de resistir aos esforços

de tracção, que não são suportados pelo betão.

A introdução deste elemento no betão permite melhorar consideravelmente o

comportamento deste material, dado que, após a fendilhação, as tensões de tracção

passam a ser resistidas pela armadura.

2.2.1. Armaduras para o betão armado

As armaduras para betão armado podem apresentar-se de diversas formas, sendo as mais

correntes os varões, os fios e as redes.

Os varões e fios têm a secção com forma aproximadamente circular, sendo fios quando o

seu diâmetro é relativamente pequeno, permitindo o seu fornecimento em bobinas. As

redes são constituídas por fios ou varões, ligados entre si, formando malhas rectangulares ou

quadradas. As malhas em que as ligações são obtidas por soldadura designam-se por redes

electrossoldadas.

Os varões são o tipo de armaduras mais utilizado no betão armado em que as propriedades

geométricas dos varões que têm maior interesse são o diâmetro, o comprimento e a

configuração da superfície.

Os diâmetros dos varões variam de país para país, apresentando a norma europeia

prEN10080 os seguintes valores:

Diâmetro [mm] Secção [cm2] Perímetro [cm] Massa por metro [Kg/m]

6 0,283 1,89 0,222

8 0,503 2,51 0,395

10 0,785 3,14 0,617

12 1,13 3,77 0,888

16 2,01 5,03 1,58

20 3,14 6,28 2,47

25 4,91 7,85 3,85

32 8,04 10,1 6,31

40 12,6 12,6 9,87



Diâmetros superiores (50, 57 e 63 mm) são raramente produzidos, sendo utilizados

essencialmente em estacas. Os diâmetros mais utilizados no nosso país apresentam-se a

sublinhado.

No que se refere ao comprimento dos varões, as dimensões mais usuais variam entre 6 e 12

m, podendo chegar aos 18 m quando os varões são transportados por caminho-de-ferro.

A configuração da superfície pode ser lisa ou rugosa. As superfícies rugosas podem ser

obtidas com saliências (superfícies nervuradas) ou reentrâncias (superfícies indentadas).

Assim, os varões podem ser classificados em lisos ou rugosos e relativamente a estes em

nervurados e indentados.

Os varões nervurados são os que se utilizam mais frequentemente, pois são os que conferem

maior aderência entre a armadura e o betão.

As nervuras são utilizadas também para efectuar a marcação dos varões. Esta marcação é

importante, pois a troca de varões em obra pode originar acidentes graves quando, por

engano, se utilizem aços de menor resistência que a prevista no projecto.

Quadro 1.6 – Características mecânicas dos aços para o betão armado

Designação Processo de

fabrico

Configuração

da superfície

Característica

de aderência

Tracção Extensão

após

rotura εsyk

(%)

Tensão de

Cedência

fsyk (MPa)

Rotura

fsuk

(MPa)

A235NL Laminado a

quente

Lisa Normal 235 360 24

A235NR Rugosa Alta

A400NR Laminado a

quente Rugosa Alta 400 460 14

A400ER Endurecido

a frio Rugosa Alta

400 460 12

A400EL Endurecido

a frio Lisa Normal

A500NR Laminado a

quente Rugosa Alta 500 550 12

A500ER Endurecido

a frio

Rugosa Alta 500 550 10

A500EL Lisa Normal

2.2.2. Relações tensões-extensões de cálculo

Pelo que se refere aos tipos correntes de aço para armaduras de betão armado, indicado

na tabela 1.6 acima, as relações tensões-extensões a considerar, segundo o REBAP, são do

tipo bilinear conforme o gráfico 1.2 abaixo, em que o primeiro segmento é definido pelo



valor do módulo de elasticidade e o segundo pelo valor de cálculo, fsyd, da tensão de

cedência ou tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.2%, em tracção.

As características de resistência dos aços são definidas pelos valores característicos da

tensão de cedência fsyk (ou tensão limite de propriedades a 0.2%, f0.2k) e da tensão de rotura

ftk.

A tensão de cedência e a tensão de rotura podem, para efeitos de cálculo, ser

consideradas iguais em tracção e em compressão, a não ser que existam especificações

em contrário para a armadura em causa.

Diagrama tensão-deformação do aço

É importante referenciar aqui que a distinção entre o comportamento dos aços, laminados

e endurecidos, quando submetidos a ensaios, não tem grande influência nos resultados. É

aceitável admitir que todos os diagramas apresentam patamares.

Os valores de cálculo para a verificação da segurança em relação aos ELU e de

encurvadura são obtidos dividindo os respectivos valores característicos, fsyk e fsycd, por um

coeficiente de segurança γs tomado igual a 1,15.

s

sykf=sydf GPa 002 =sE

syd

sydf = sE = tg

γε→→

Classe fsyk

[MPa]

fsyd

[MPa]

εsyd

[×10-3

]

A235

A400

A500

235

400

500

205

348

435

1.025

1.74

2.175

ϕ

ϕ

fsyd

fsycd

σs

εyd 10%0

3,5%0

patamar

limite de cedência

alongamento de rotura

Encurtamento de rotura

εs



2.3. Funcionamento conjunto dos dois materiais

A característica mais importante que se pode ressaltar em relação ao betão armado é que

ele se constitui na combinação de um material que resiste muito bem à compressão, o

betão, com um material que resiste muito bem à tracção, o aço. De maneira geral, pode-

se dizer que, nas peças de betão armado, o betão é o responsável por resistir aos esforços

de compressão e o aço aos de tracção. Nas peças essencialmente comprimidas, o aço

aumenta a capacidade resistente do elemento.

Separadamente, o aço resiste tanto à tracção como à compressão, porém o betão possui

uma baixa resistência à tracção, da ordem de 10% da sua resistência à compressão, para

os betões de baixa resistência. Para resistências à compressão mais altas, essa

percentagem diminui.

Praticamente não existem tensões internas entre o aço e o betão. O betão protege a

armadura da corrosão, garantindo a durabilidade da estrutura (Protecção física através do

recobrimento e química através do ambiente em que se encontra normalmente alcalino).

Devido à aderência, as deformações do aço e as do betão que as envolve, são

aproximadamente iguais.

Portanto, o trabalho conjunto desses dois materiais diferentes, neste caso betão e aço, é

possível graças à coincidência de duas de suas propriedades físicas essenciais: a aderência

recíproca e a proximidade existente nos seus coeficientes de dilatação.

A aderência impede a cedência entre as armaduras e o betão, e transmite esforços de um

para o outro materiais, sendo a propriedade fundamental para o trabalho conjunto dos

mesmos.

Os coeficientes de dilatação aproximadamente iguais, implicam em deslocamentos

semelhantes provocados por variações de temperatura, desse modo não destrói a

aderência, tornando possível o trabalho conjunto desses materiais.



3. BASES DE PROJECTO E ACÇÕES

O cálculo de uma estrutura constituída por um dado material, nomeadamente por betão

armado, compreende duas etapas:

− A análise estrutural, que consiste em determinar a distribuição de esforços (axial,

transversal, flector e torçor), ou de tensões, extensões e deformações na estrutura

global ou em parte e,

− O dimensionamento, com o qual se pretende determinar as dimensões dos

elementos em betão, assim como as quantidades de armadura necessárias, ou,

então, verificar se as dimensões e as armaduras definidas previamente são

suficientes.

3.1. Métodos de análise e avaliação da segurança

Os métodos de avaliação da segurança são os seguintes:

− Método da tensão admissível ou de segurança;

− Método da rotura;

− Método probabilístico.

3.1.1. Método das tensões de segurança

Este método baseava-se em:

− Calcular as tensões instaladas na estrutura devidas a cargas reais não majoradas,

recorrendo à teoria da elasticidade;

− Comparar as tensões actuantes com as tensões admissíveis ou de segurança fixadas

pelas normas.

− As tensões admissíveis eram, em geral, obtidas dividindo a resistência do material (f)

por um coeficiente de segurança γ (na ordem dos 2,25):

γσσ f

adminstaladas =≤

Este método das tensões de segurança, apesar de constituir uma aplicação fácil, apresenta

alguns defeitos importantes, em particular nas estruturas de betão armado e pré-esforçado:

− O betão não tem um comportamento que se possa considerar perfeitamente

elástico.



− As tensões obtidas para cargas de serviço não facultam a indicação directa da

segurança conjunta da estrutura.

Neste contexto, o método das tensões de segurança deixou de ser utilizado nas normas

recentes. Contudo, quando se pretende controlar as deformações em estado de serviço,

recorre-se frequentemente à noção de comportamento elástico ou quase elástico de uma

estrutura.

3.1.2. Método de Rotura

Este método de análise e dimensionamento de estruturas, designado por cálculo das

secções à rotura é um método híbrido, na medida em que a relação determinante;

γR

S ≤

Baseia-se em:

− Por um lado, na teoria da elasticidade para cálculo dos esforços actuantes S;

− Por outro lado, na teoria da plasticidade para cálculo da resistência R das secções.

Este método apresenta uma certa incoerência, pois, aumentando as solicitações até ao

esgotamento (rotura) das secções críticas, os esforços na estrutura podem ser

consideravelmente diferentes dos obtidos na análise elástica.

Contudo, este método é frequentemente utilizado e aparece em numerosas normas. Além

disso, ele fornece resultados sempre pelo lado da segurança.

3.1.3. Método Probabilístico

Este e um método de análise e dimensionamento de estruturas baseado em estados limites

e permite verificar a segurança das estruturas atendendo ao comportamento real não

linear dos materiais e ao carácter incerto das acções e da resposta das estruturas.

As normas actuais exigem duas verificações distintas:

− Uma relativa à aptidão ao serviço, cuja verificação recorre à teoria da elasticidade,

que permite igualmente ter em conta, de uma forma aproximada, os fenómenos

não lineares como a fissuração e os efeitos diferidos (fluência e retracção do betão

e relaxação do aço);

− E a outra relativa à segurança da estrutura que não pode ser correctamente

realizada com base em hipóteses de comportamento elástico, tornando-se



conveniente recorrer a um método que permita avaliar, de uma forma realista, o

estado último da capacidade das estruturas.

3.2. Critérios Gerais de verificação da segurança

A verificação da segurança aos estados limites está baseada em métodos semi-

probabilísticos que adopta valores característicos para as acções (Sk) e para as resistências

dos materiais (Rk), os quais são afectados por coeficientes parciais de segurança (γ),

obtendo-se os valores de cálculo (Sd e Rd).

Para garantir-se a segurança das estruturas aos estados limites é preciso identificar as

acções actuantes, que causam as solicitações (S), e determinar a resistência (R) dos

elementos estruturais, para que se possa analisar a desigualdade: S ≤ R.

Portanto, o primeiro passo é identificar as acções actuantes na estrutura. Segundo o

RSAEEP, “As acções são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser

valores característicos, valores característicos nominais, valores reduzidos de combinação,

valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de utilização e valores raros de

utilização”.

- Valores característicos: Os valores característicos (Fk) das acções são definidos em

função da variabilidade de suas intensidades. Para as acções permanentes admite-se

o valor que tenha 95% de chance de não ser ultrapassado em 50 anos, como mostra a

Figura 2. Para as acções variáveis admite-se o valor que tenha de 65% a 75% de

chance de não ser ultrapassado em 50 anos.

- Valores reduzidos de combinação: são determinados a partir dos valores característicos

multiplicados por um coeficiente de redução: ψ0 Fk. Eles são empregados quando

existem acções variáveis de diferentes naturezas, para levar em conta a baixa

probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos dessas acções.

Distribuição normal para as cargas permanentes.



- Valores convencionais excepcionais: são valores arbitrados para as acções

excepcionais. Eles devem, ser estabelecidos por consenso entre o proprietário da

construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse.

O carácter probabilístico da verificação da segurança, através dos estados limites e das

boas condições de serviço é introduzido com a definição dos valores característicos tanto

no que se refere às solicitações actuantes (Sk) como às resistências dos materiais (Rk). Como

já definidos anteriormente, os valores encontrados na prática devem ter a probabilidade

muito baixa de serem superiores (no caso das solicitações) ou inferiores (no caso das

resistências) aos respectivos valores característicos.

Os factores de incerteza quanto aos valores característicos são cobertos com a

transformação destes em valores de cálculo obtidos pela sua multiplicação por coeficientes

de segurança, que são determinados por considerações probabilísticas para cada tipo de

estado limite.

3.3. Estados Limites

Dizemos que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta desempenho

inadequado às finalidades da construção, não mais preenchendo os requisitos necessários

de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento. Assim sendo, pode-se

dizer que a segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta de suportar as

diversas acções que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil1, sem atingir qualquer estado

limite.

Os estados limites podem ser classificados em duas categorias nomeadamente: últimos e

de serviço (ou de utilização).

3.3.1. Estados Limites Últimos (ELU)

Segundo REBAP, são aqueles que pela sua simples ocorrência, determinam a paralisação,

no todo ou em parte, do uso da construção, e correspondem ao esgotamento da

capacidade portante da estrutura, estando relacionado com o seu colapso, em parte ou

no todo.

1 Por vida útil de projecto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características

das estruturas de betão, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo

projectista e pelo consumidor, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos

acidentais.



Deve-se haver uma probabilidade muito pequena de sua ocorrência, pois essa terá como

consequência a perda de vidas humanas ou grandes prejuízos financeiros. Devido a estes

factores, a sua verificação é obrigatória, mesmo que não explicitamente listada em normas.

No projecto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados

por:

a) Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido;

b) Rotura ou deformação plástica excessiva dos materiais;

c) Instabilidade por deformação excessiva (pilares);

d) Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático

(mecanismo);

e) Instabilidade dinâmica;

f) Colapso por causas excepcionais (catástrofes), quando for o caso.

3.3.2. Estados limites de serviço ou de utilização (ELS)

Segundo o REBAP, são estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam

efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da

construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura.

Quando não representar situação de risco a vidas humanas, como no caso dos estados

limites últimos, uma maior probabilidade de ocorrência desses estados limites é tolerada.

No período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites de serviço

caracterizados por:

a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção

ou a durabilidade da estrutura (fissuração);

b) Deformações excessivas que afectem a utilização normal da construção ou seu

aspecto estético (“barriga” em lajes);

c) Vibração excessiva ou desconfortável (estado de futebol).

No caso de verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização, as

combinações de acções a considerar dependem da duração do estado limite em causa.

3.4. Acções

Acções são as causas que provocam aparecimento de esforços ou deformações nas

estruturas, devendo ser consideradas no dimensionamento da mesma. Como resultado da

aplicação destas cargas externas, surgem na estrutura, os esforços solicitantes, que são os



esforços causados pelas acções, como os esforços normais e cortantes, e os momentos

flectores e torsores.

3.4.1. Classificação e Tipos de Acções

As acções podem ser classificadas em função da sua variação no tempo, na sua origem

(directas ou indirectas), em função da sua variação espacial (fixas ou moveis) ou em

função da sua natureza (estáticas ou dinâmicas).

As acções cuja classificação é dada pela sua variação no tempo poderão ser:

3.4.1.1. Acções Permanente (g,G)

Aquelas que assumem valores constantes, ou actuam directa ou indirectamente sobre a

estrutura durante todo período da sua vida útil. Consideram-se como acções permanentes,

os pesos próprios da estrutura, o peso de elementos construtivos permanentes (como por

exemplo as paredes), o peso de equipamentos fixos, os impulsos de terra não removível, os

efeitos da retracção do betão e dos assentamentos.

3.4.1.2. Acções Variáveis (q,Q)

Aquelas que assumem valores com variação significativa em torno do seu valor médio

durante a vida da estrutura. Consideram-se como acções variáveis as sobrecargas (e

efeitos dinâmicos dela dependentes), o efeito do vento, a variação da temperatura, as

forças de impacto, as cargas móveis em pontes e a pressão hidrostática.

As acções variáveis são geralmente caracterizadas por um valor característico, (valor com

95% de probabilidade de não ser excedido). Este valor pode ser afectado por coeficientes

de combinação.

3.4.1.3. Acções de acidente ou excepcionais

Aquelas que só com muito fraca probabilidade assumem valores significativos durante a

vida da estrutura e cuja quantificação apenas pode em geral ser feita por meio de valores

nominais estrategicamente escolhidos. Geralmente, consideram-se este tipo de acções as

que resultam de causas tais como, certas acções actuantes durante a execução das obras,

explosões, choques de veículos, terramotos, incêndios, cheias, entre outros.

3.4.2. Quantificação das acções

De acordo com o Regulamento de Segurança e Acções em Estruturas de Edifícios e Pontes

- (RSAEEP), as acções são quantificadas através de valores característicos e valores



reduzidos combinando-as de forma a estudar e/ou conhecer o seu estado mais

desfavorável para a estrutura.

As acções permanentes resultantes de factores não evitáveis, tais como a acção da força

gravítica, vulgarmente designada de peso próprio. Estas, são quantificadas a partir do peso

volúmico dos materiais.

As acções variáveis apresentam valores variáveis em função do tipo de acção e da

utilização dos espaços, ou seja, podem ser de vários tipos, nomeadamente:

− Sobrecargas: acções verticais actuam ao nível dos pavimentos e das coberturas.

− Vento: acções horizontais actuam ao nível das fachadas e das coberturas.

− Sismos: acção horizontal que actua em toda a estrutura

3.4.3. Combinações de Acções

Em cada caso de carregamento, o valor de cálculo do efeito das acções é obtido

combinando as acções que podem ocorrer em simultâneo.

Entretanto, na verificação de segurança em relação aos diferentes estados limites devem

ser considerados os valores de cálculo, Sd, dos esforços actuantes ou tensões de cálculo

resultantes dos mesmos esforços tendo em conta os coeficientes γf de afectação dos

valores característicos das acções e dos coeficientes Ψi cuja actuação simultânea seja

verosímil e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis.

No caso de verificação da segurança em relação aos ELU, devem ser considerados dois

tipos de combinações:

− Combinações fundamentais: em que intervêm as acções permanentes e

variáveis.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

+= ∑∑n

2j qjkS.j0qk1qSm

1iqgikSgdS ψγγγ

No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica:

∑m

1i

n

2j QjkSj2Ek

SgikSgdS= =

++= ∑ ψγ

− Combinações acidentais: em que, além das acções permanentes e acidentais,

intervêm acções de acidente.



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

++= ∑∑n

1j qjkS.j2m

1i FaSgikSgdS ψγ

No caso de verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização, as

combinações de acções a considerar dependem da duração do estado limite em causa.

Assim, há que ter em conta os seguintes tipos de combinações:

- Combinações raras: que corresponde ao estado limite de muito curta duração

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

+= ∑∑n

1j qjkS.1k1qSm

1i gikSdS ψ

- Combinações frequentes: que corresponde ao estado limite de curta duração

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

+= ∑∑n

1j qjkS.2k1qS1m

1i gikSdS ψψ

- Combinações quase permanentes: que corresponde ao estado limite de longa

duração.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+= ∑∑n

1j qjkS.2m

1i gikSdS ψ

em que:

Sg1k – esforço resultante de acção permanente, tomada com o seu valor

característico

Sq1k – esforço resultante da acção variável considerada como acção de base da

combinação, tomada com o seu valor característico.

Sqjk – esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base,

tomada com o seu valor característico.

SFa – esforço resultante de uma acção de acidente, tomada com o seu valor

nominal.

Nota:

Existe a necessidade da utilização de coeficientes de segurança por factores tais

como: incerteza dos valores das resistências dos materiais; erros na geometria da

estrutura; incerteza da carga; simplificação dos métodos de cálculo, entre outros.



As acções permanentes bem como as acções variáveis devidas às sobrecargas são

aplicadas ao nível dos pavimentos, ou seja, nos elementos estruturais designados de

lajes - cargas por unidade de superfície (kN/m2).

As lajes podem estar armadas em várias direcções e em função dessa

condicionante assim varia o modo como descarregam nos restantes elementos

estruturais, nomeadamente nas vigas e pilares.

Consola simplesmente armada duplamente armada

As acções aplicadas nas VIGAS de uma dada estrutura, devidas às cargas

actuantes nas lajes, são definidas mediante o cálculo da Largura de Influência de

cada uma das vigas, em função do modo como as lajes estão armadas.

VIGAS – Acção (kN/m) = q (kN/m2) x Largura de influência (m)

Do mesmo modo, as acções aplicadas nos PILARES devidas às cargas actuantes nas

lajes e vigas, são definidas mediante o cálculo da Área de Influência de cada pilar.

PILARES – Acção (kN) = q (kN/m2) x Área de influência (m2)

3.4.4. Diagramas envolventes de esforços

Os diagramas envolventes de esforços são diagramas que em cada secção nos dá o valor

máximo de um dado esforço, dentre todas as combinações de acções possíveis:

− Alternância de posições de sobrecarga (variáveis);

− Diagramas parcelares correspondentes às acções permanentes e variáveis nas

várias posições;

− Combinação dos diagramas parcelares de acordo com as regras e coeficientes

adequados aos estado limite em causa;

− Em rigor deveria ser feito independente para o Msd e Vsd. Por simplificação, pode-se

considerar que as combinações que dão origem à envolvente do Msd servem

também para Vsd.



4. SECÇÕES SOLICITADAS A FLEXÃO E AO ESFORÇO AXIAL

4.1. Comportamento de secções em flexão (estados de deformação)

O procedimento para se caracterizar o desempenho de uma secção de betão consiste em

aplicar um carregamento, que se inicia do zero e vai até a rotura. Às diversas fases pelas

quais passa a secção de betão, ao longo desse carregamento, dá-se o nome de estado de

deformação. Distinguem-se basicamente três fases distintas: Estado I, Estado II e Estado III.

4.1.1. Estado I – Secção não fendilhada

Esta fase corresponde ao início do carregamento. As tensões normais que surgem são de

baixa magnitude e dessa forma o betão consegue resistir às tensões de tracção. Tem-se um

diagrama linear de tensões, ao longo da secção transversal da peça, sendo válida a lei de

Hooke (Figura abaixo).

Comportamento do betão na flexão pura (Estado I)

Levando-se em consideração a baixa resistência do betão à tracção, se comparada com

a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um possível dimensionamento

neste estado.

É no estado I que é feito o cálculo do momento de fissuração, que separa o estado I do

estado II. Conhecido o momento de fissuração, é possível calcular a armadura mínima, de

modo que esta seja capaz de absorver, com adequada segurança, as tensões causadas

por um momento flector de mesma magnitude. Portanto, o estado I termina quando a

secção fissura.



a) Resultante de tensões

No betão: cici

c WM

yIM

==σ

Nas armaduras: cs .σασ =

b) Homogeneização da secção

Coeficiente de homogeneização: c

s

E

E=α

Área de secção transversal homogeneizada: ( )scci A)1AA −+= α

Posição do centro de gravidade da secção homogeneizada:

( )

ci

s

g A

a.A12h

bhy

−+=

α

Momento de inércia da secção homogénea em relação ao eixo neutro:

( ) ( )2gs

2

g

3

ci ayA1y2h

bh12bh

I −−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= α

c) Momento de fendilhação, Mcr

Ocorre fendilhação quando: ctct f=σ

ou seja: ctgci

crct fy

IM

==σ

Admitindo que a contribuição da armadura é desprezada (secção pouco armada)

vem: 6

bhyI

W

12bh

I

2h

y 3

g

cc3

c

g

==⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

dai: 6

bh.fW.f

yI.f

M3

ctcctg

cctcr ===



4.1.2. Estado II – Secção Fendilhada

Neste nível de carregamento, o betão não mais resiste à tracção e a secção se encontra

fissurada na região de tracção. A contribuição do betão traccionado deve ser desprezada.

No entanto, a parte comprimida ainda mantém um diagrama linear de tensões,

permanecendo válida a lei de Hooke (Figura abaixo).

Comportamento do betão na flexão pura (Estado II)

Basicamente, o estado II serve para a verificação da peça em serviço. Como exemplos,

citam-se o estado limite de abertura de fendas e o estado limite de deformações.

Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda comprimida,

a linha neutra também e a tensão na armadura cresce, podendo atingir a cedência ou

não. O estado II termina com o inicio da plastificação do betão comprimido.

a) Tensões no betão e no aço:

No betão: xIM

cic =σ

Nas armaduras: ( )xd.IM

.ci

s −=ασ



Ou em alternativa, aplicando as condições de compatibilidade de deformações e as

equações de equilíbrio estático (equivalência estática) vem:

por compatibilidade de deformações: xdx

sc

−=

εε

em que:

c

ccccc E

.Eσ

εεσ =⇒=

s

sssss E

.Eσ

εεσ =⇒=

por equações de equilíbrio estático:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−===

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

3x

dz ;z.Fz.FM

FF

A.F

x.b.21

F

sc

sc

sss

cc

σ

σ

4.1.3. Estado III – Calculo a rotura

No estado III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o betão dessa região está na

iminência da rotura (Figura abaixo). Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma

parabólico-rectangular, também conhecido como diagrama parábola-rectângulo.

O diagrama parábola-rectângulo é formado por um trecho rectangular, para deformação

de compressão variando de 0,2% até 0,35%, com tensão de compressão igual a 0,85fcd, e

um trecho no qual a tensão varia segundo uma parábola do segundo grau.

Comportamento do betão na flexão pura (Estado III)



As Normas permitem, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama

rectangular equivalente (Figura abaixo). A resultante de compressão e o braço em relação

à linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas.

O diagrama rectangular também é permitido. A altura do diagrama é igual a 0,8x. A tensão

é 0,85fcd no caso da largura da secção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir

a partir desta para a borda comprimida, e 0,80fcd no caso contrário.

Diagrama rectangular

É no estado III que é feito o dimensionamento, situação em que denomina “cálculo na

rotura” ou “cálculo no estado III” – objecto de estudo.

4.2. Domínios de deformação das secções

Para avaliar a capacidade resistente de cálculo de uma secção é necessário conhecer a

deformação atingida pelos materiais (betão e aço) para saber em que zona do diagrama

de deformações nos encontramos (lei de comportamento dos materiais).

Os domínios de deformação correspondem às situações em que pelo menos um dos

materiais atinge o seu limite de deformação:

− alongamento último das armaduras (εs = 10,0%o)

− encurtamento último do betão (εc = 3,5%o na flexão e εc = 2%o na compressão

simples).

O primeiro caso é denominado rotura por deformação plástica excessiva das armaduras, e

o segundo, rotura do betão.

No início, algumas considerações devem ser ressaltadas. A primeira refere-se à perfeita

aderência entre o aço e o betão. A segunda diz respeito à Hipótese de Bernoulli, de que

secções planas permanecem planas durante sua deformação. A terceira está relacionada



à nomenclatura: quando mencionada a flexão, sem que se especifique qual delas (simples

ou composta), entende-se que pode ser tanto uma quanto a outra.

4.2.1. Rotura por Deformação Plástica Excessiva do Aço

Para que o aço atinja seu alongamento máximo, é necessário que a secção seja solicitada

por tensões de tracção capazes de produzir na armadura As uma deformação específica

de 1% (εs = 10%o). Essas tensões podem ser provocadas por esforços tais como:

− Tracção (uniforme ou não-uniforme)

− Flexão (simples ou composta)

Considere-se a figura. Nela se encontram, à esquerda, uma vista lateral de uma

determinada peça de secção, e à direita, o diagrama em que serão marcadas as

deformações específicas.

Vista lateral da peça e limites das deformações

Nesse diagrama, a linha tracejada à esquerda corresponde ao alongamento máximo do

aço e a linha tracejada à direita, ao encurtamento máximo do betão na flexão. A linha

cheia corresponde à deformação nula, ou seja, separa as deformações de alongamento e

as de encurtamento.

a) Recta a

A linha correspondente ao alongamento constante e igual a 10%o é denominada recta a

(conforme indicada na figura abaixo). Ela pode ser decorrente de tracção simples, se as

áreas de armadura As e A’s forem iguais, ou de uma tracção excêntrica em que a diferença

entre As e A’s seja tal que garanta o alongamento uniforme da secção.



Alongamento de 10%o – Recta a

Para a notação ora utilizada, a posição da linha neutra é indicada pela distância x até a

borda superior da secção, sendo esta distância considerada positiva quando a linha neutra

estiver abaixo da borda superior, e negativa no caso contrário.

Como para a recta a não há pontos de deformação nula, considera-se que x tenda para −

∞.

b) Domínio 1

Para diagramas de deformação em que ainda se tenha tracção em toda a secção, mas

não-uniforme, com εs = 10%o na armadura As e deformações na borda superior variando

entre 10%o e zero, tem-se os diagramas de deformação num intervalo denominado

domínio 1 (vide a figura). Neste caso a posição x da linha neutra varia entre − ∞ e zero. O

domínio 1 corresponde a tracção excêntrica.

Domínio 1

c) Domínio 2

O domínio 2 corresponde a alongamento εs = 10%o e compressão na borda superior, com εc

variando entre zero e 3,5%o. Neste caso a linha neutra já se encontra dentro da secção,

correspondendo a flexão simples ou a flexão composta, com força normal de tracção ou



de compressão. O domínio 2 é o último caso em que a rotura ocorre com deformação

plástica excessiva da armadura. A deformação no betão varia de 0 até 3,5‰. Logo, o

betão não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto, é mal aproveitado. A

profundidade da linha neutra varia de 0 até 0,259d, pois:

d259,0)010,00035,0(

d0035,023xx =

+=≤ e σsd = fsyd

Domínio 2

4.2.2. Rotura do Betão na Flexão

De agora em diante, serão considerados os casos em que a rotura ocorre por rotura do

betão comprimido. Como já foi visto, denomina-se flexão a qualquer estado de solicitações

normais em que se tenha a linha neutra dentro da secção. Na flexão, a rotura ocorre com

deformação específica de 3,5%o na borda comprimida.

a) Domínio 3

No domínio 3, a deformação εc = 3,5%o na borda comprimida e εs varia entre 10%o e εsyd,

ou seja, o betão encontra-se na rotura e o aço traccionado em cedência. Nessas

condições, a secção é denominada sub-armada.

Tanto o betão como o aço trabalham com suas resistências de cálculo. Portanto, há o

aproveitamento máximo dos dois materiais. A rotura ocorre com aviso, pois a peça

apresenta deslocamentos visíveis e intensa fissuração. A posição da linha neutra varia de

0,259d até x34:

syd0035.0

d0035.034xx23x

ε+=≤≤ onde,

s

sydsyd E

f=ε



Domínio 3

b) Domínio 4

No domínio 4, permanece a deformação εc = 3,5%o na borda comprimida e εs varia entre

εsyd e zero (Figura), ou seja, o betão encontra-se na rotura, mas o aço traccionado não

atinge a cedência.

dx34x ≤≤

Domínio 4 (εsyd > εs > 0)

Assim como no domínio 3, o betão encontra-se na rotura, com εc = 3,5‰. Porém, o aço

apresenta deformação abaixo de εsyd e, portanto, ele está mal aproveitado.

O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconómica, além de perigosa, pois a

ruína se dá por rotura do betão e sem cedência do aço. É uma rotura brusca, ou seja,

ocorre sem aviso. Quando as peças de betão são dimensionadas nesse domínio, diz-se que

elas são superarmadas, devendo ser evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas:

− Aumentar a altura h, porque normalmente a base (b) é fixa, dependendo da

espessura da parede em que a viga é embutida, etc;

− Fixar a profundidade da linha neutra, e adoptar armadura dupla ou;

− Aumentar a resistência do betão.



c) Domínio 4a

No domínio 4a (Figura), as duas armaduras são comprimidas. A rotura ainda ocorre com εc =

0,35% na borda comprimida. A deformação na armadura As é muito pequena, e portanto

essa armadura é muito mal aproveitada. A linha neutra encontra-se entre d e h. Esta

situação só é possível na flexo-compressão.

Domínio 4a

4.2.3. Rotura de Secção Inteiramente Comprimida

Os dois últimos casos de deformações na rotura, domínio 5 e a recta b, encontram-se nas

Figuras respectivamente.

Domínio 5

Recta b



a) Domínio 5

No domínio 5 tem-se a secção inteiramente comprimida (x > h), com εc constante e igual a

0,2% na linha distante 3/7 h da borda mais comprimida. Na borda mais comprimida, εc varia

de 0,35% a 0,2%. O domínio 5 só é possível na compressão excêntrica.

b) Recta b

Na recta b tem-se deformação uniforme de compressão, com encurtamento igual a 0,2%.

Neste caso, x tende para + ∞.

Para todos os domínios de deformação, com excepção das rectas a e b, a posição da

linha neutra pode ser determinada por relações de triângulos. Os domínios de deformação

podem ser representados em um único diagrama, indicado na Figura.

Domínios de deformação na rotura

Verifica-se, nesta figura, que da recta a para os domínios 1 e 2, o diagrama de

deformações gira em torno do ponto A, o qual corresponde à rotura por deformação

plástica excessiva da armadura As.

Nos domínios 3, 4 e 4a, o diagrama de deformações gira em torno do ponto B, relativo à

rotura do betão com εc = 0,35% na borda comprimida.

Finalmente, verifica-se que do domínio 5 e para a recta b, o diagrama gira em torno do

ponto C, correspondente à deformação de 0,2% e distante 3/7 h da borda mais

comprimida. Na flexão, como a tracção é resistida pela armadura, a posição da linha

neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a secção

está toda traccionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a secção útil está toda comprimida.



4.3. Hipóteses fundamentais da flexão

A teoria de comportamento deve ser uma teoria que relacione os esforços nas secções de

betão armado com as extensões no betão e nas armaduras que se verificam nas secções,

quando esses esforços actuam.

As hipóteses correntes dessa teoria são a hipótese de Bernoulli (de que durante a

deformação as secções mantêm se planas) e a hipótese de o betão não resistir à tracção.

Há ainda a considerar, as equações de equilíbrio de forças e de momentos e as relações

tensões-extensões do betão e do aço, já abordado.

De acordo com o artigo 52º do REBAP, tais hipóteses podem enunciar-se resumidamente da

seguinte forma:

a) Manutenção das secções planas na deformação (compatibilidade das

deformações, a extensão tem variação linear). .

b) Aderência perfeita entre betão e armadura: admite-se que não haja falta de

aderência entre os materiais (a deformação da armadura εs, é admitida igual à

deformação da fibra de betão εc, junto a esta armadura);

c) Tensão nula no betão, na região da secção transversal sujeita a deformação de

alongamento;

d) Diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura e no betão: Admite-se que

o diagrama seja o mesmo, na tracção e na compressão.

e) Estado limite último convencional: é atingido quando ocorre uma das duas situações

seguintes:

− a deformação de encurtamento no betão (εc) atinge 0,0035; denomina-se,

estado limite último por esmagamento do betão, excepto quando toda secção

estiver sujeita a tensões de compressão, situações em que variará gradualmente

entre 0.0035 e 0.002, correspondendo este último valor ao caso em que as

extensões são uniformes em toda a secção.

− a deformação de alongamento na armadura mais traccionada (εsu) atinge

0,010; denomina-se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da

armadura.

f) Equivalência estática:

− Existe equivalência estática entre os esforços aplicados à secção e as

tensões por eles provocadas (Actuantes).



− Obviamente, também haverá equivalência entre os esforços aplicados

(Actuantes) e as forças interiores correspondentes às resultantes das tensões

(Resistentes).

4.4. Secções solicitadas ao Esforço axial: Tirantes e Escoras

4.4.1. Compressão simples

Peças de betão armado sujeitas a compressão simples é pouco corrente, quer devido a

excentricidades dos esforços, quer devido a momentos existentes na continuidade dos

elementos (ligação pilares - vigas). Este tipo de solicitação, a existir desta forma, ocorre em

Pilares.

4.4.1.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura)

Na rotura, as tensões nos elementos que funcionam à compressão simples atingem os seus

valores limites, isto é, o betão funciona a uma tensão igual à sua resistência e os aços ao

seu limite de cedência; quanto à carga de rotura esta é dada pela soma que o betão e o

aço podem suportar.

O esforço N das solicitações, já majorado é dado por:

rdsdssccsc NNAAFFN ≤⇒+×=+= σσ

em que, Fc e Fs são, respectivamente, as forças resistentes correspondentes ao betão e às

armaduras. A determinação do valor destas forças deve fazer-se atendendo a que na

compressão simples toda a secção está sujeita a uma extensão de encurtamento de 2x10-3.

Para esta extensão as tensões no betão são iguais a 0.85fcd e as tensões na armadura são

iguais a fsyd, excepto no caso de A500, para o qual a extensão de 2x10-3 corresponde a uma

tensão de 400MPa.

sdNsydfsAcAcdf85.0 =×+×



E se fazendo A’s=ρ Ac, adoptado geralmente em ρ=1%, tem-se:

sdNsydfcAcAcdf85.0 =××+× ρ

Assim, a área da secção transversal do betão será dada por:

)sydfc

Acdf85.0(sdN

cAsdNcA)sydfcdf85.0(ρ

ρ+

==+ ⇒

Tidas as dimensões da secção transversal determinam-se as armaduras, que serão dadas

por:

sydfcAcdf85.0sdN

sA-

=

onde:

σc ……………………… Tensão de tracção no betão

Nsd ……………………… Esforço de tracção actuante no betão

Ac ……………………… Área da secção transversal do betão

fsyd ……………………… Tensão de cálculo ou tensão limite convencional de

proporcionalidade a 2% à tracção do aço.

As ……………………… Área da secção das armaduras.

ρ ........................ Percentagem geométrica da armadura.

4.4.1.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço)

Em serviço, considera-se os pressupostos conforme explicado para o Estado de deformação

II em que: a contribuição do betão traccionado deve ser desprezada, a parte comprimida

ainda mantém um diagrama linear de tensões, permanecendo válida a lei de Hooke:

Assim, as equações de equilíbrio serão:



4.4.1.3. Disposições do REBAP (arts. 120º a 122º)

a) Dimensões mínimas (Art. 120º)

A dimensão da secção transversal dos pilares não deve ser inferior a 20cm. No caso de

secções constituídas por associações de elementos rectangulares, o lado menor pode ser

reduzido a 15cm, devendo porém respeitar-se o mínimo de 20cm para o comprimento de

cada rectângulo. Em secções ocas a espessura mínima não deve ser inferior a 10cm.

b) Armadura longitudinal (Art. 121º)

A secção total da armadura longitudinal deve obedecer as seguintes condições:

⎩⎨⎧

A500 ou A400 para,c0.6%A

A235 para,cA%8.0min,sA ≥ e c

A %8 max,sA ≤

Junto a cada ângulo da secção, deve compreender no mínimo um varão e 6 no caso de

secções circulares. O diâmetro mínimo destes varões será de 12mm para o aço A235 e

10mm, para os aços A400 ou A500.

O espaçamento dos varões da armadura longitudinal não deve exceder 30cm (s≤30cm),

exceptuando os casos em que a largura seja igual ou inferior a 40cm em que basta dispor

junto aos cantos.

c) Armadura transversal (Art. 122º)

Os pilares devem possuir armadura transversal destinada a cintar o betão e impedir a

encurvadura dos varões da armadura longitudinal. Entretanto, este espaçamento deve

obedecer as seguintes condições:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

30cm

pilardo secção da dimensãomenor t12

entrevalor menor ,sA

Φ



4.4.2. Tracção simples

4.4.2.1. Calculo aos Estados Limites Últimos (Rotura)

O estado limite é definido pela extensão máxima na armadura (10x10-3, segundo CEB); A

linha neutra encontra-se fora da secção.

Assim, conclui-se que o valor da carga de rotura de um elemento traccionado depende

apenas do limite de cedência (ou limite de resistência para os aços) das armaduras.

Por conseguinte, podemos escrever:

sydf.sARdNNsd ×=≤

Sendo:

Nsd ........................ Esforço de tracção actuante no betão

fsyd ........................ Tensão de cálculo ou tensão limite convencional de

proporcionalidade a 2% à tracção do aço.

As ......................... Área da secção das armaduras.

Nrd ....................... Limite de resistência para as armaduras

Portanto, a secção da armadura será dada por:

sydfsdN

sA =

4.4.2.2. Calculo aos Estados Limites de utilização (Elástico em serviço)

Antes da fendilhacao (Estado I):



Fendilhacao (Estado II):

4.5. Secções solicitadas à Flexão Simples – Calculo a Rotura

Flexão Simples é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais de

inércia da secção, nela se verifica a ausência de força normal. Geralmente, os elementos

sujeitos a flexão simples apresentam-se sob forma de vigas ou lajes.

No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço transverso podem ser

considerados separadamente. Portanto, será considerado somente o momento flector, ou

seja, flexão pura.

Na flexão, como a tracção é resistida pela armadura, a posição da linha neutra deve estar

entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x<0 (domínio 1) a secção está toda

traccionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a secção útil está toda comprimida.

É a partir da análise dos diagramas das extensões e das tensões, em termos de serem

resolvidas as equações de equilíbrio das forças em jogo, que se pode determinar a

capacidade resistente duma secção.

4.5.1. Analise da secção

4.5.1.1. Secções rectangulares simplesmente armadas

Para o calculo a rotura, as secções do tipo rectangular com armadura simples a parte

comprimida da secção sujeita a flexão tem forma rectangular e as armaduras são

agrupadas junto à borda traccionada e ainda, podendo-se imaginar as suas tensões

resultantes como concentradas no seu centro de gravidade, as tensões delas resultantes.

Resistências e deformações na secção



a) Resultantes das tensões

No betão: cdcdc f.x.b.68,0x8,0.b.f.85,0F ==

Na armadura: sdss AF σ×=

b) Equações de equilíbrio

De Translação: sdscdsc .Af.x.b.68,0FF σ=⇔= (1)

De Rotação: ( ) ( )x4,0d.FMx4,0d.FM sRdcRd −=⇔−=

Substituindo os valores das resultantes de tensão, vem:

( )x4,0d.xF.b.68,0M cdRd −= (2)

ou

( )x4,0d..AM sdsRd −= σ (3)

A posição do eixo neutro x pode ser obtida das equações de compatibilidade das

extensões:

xxdcs εε

=−

4.5.1.2. Secções rectangulares duplamente armadas

No calculo a rotura, a secção rectangular com armadura dupla é caracterizada pela parte

comprimida da secção sujeita a flexão com forma rectangular e é adida de uma área de

aço comprimida; as armaduras estão agrupadas junto à borda traccionada e podem ser

imaginadas como concentradas no seu centro de gravidade.

Resistências e deformações na secção



a) Resultantes das tensões:

No betão: cdcdc f.x.b.68,0x8,0.b.f.85,0F ==

Na armadura comprimida: 'sd

's

's AF σ=

Resultante de compressão: 'sccd FFF +=

Na armadura traccionada: sdss AF σ×=

b) Equações de equilíbrio:

De força: sdscdsdcd .Af.x.b.68,0FF σ=⇔= (1)

De momento: ( ) ( )x4,0d.FMx4,0d.FM sdRdcdRd −=⇔−=

Substituindo os valores das resultantes de tensão, vem:

( )x4,0d.xF.b.68,0M cdRd −= (2)

ou

( )x4,0d..AM sdsRd −= σ (3)

Portanto só faz sentido usar armadura dupla quando o momento flector solicitante é maior

que o momento correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4.

4.5.1.3. Vigas em Secção “T”

4.5.1.3.1. Largura efectiva do banzo comprimido

O REBAP indica critérios muito simples para a determinação da largura a considerar para o

banzo comprimido, embora não exclua a possibilidade de se utilizarem processos mais

rigorosos para essa determinação.

Elementos para a determinação da largura efectiva do banzo comprimido



Para o caso genérico apresentado na figura, a largura efectiva pode ser obtida através da

expressão:

ol10

12wbefb +=

em que lo representa a distância entre secções de momento flector nulo. Para a distância lo,

o REBAP indica que se pode tomar 0,7 do vão teórico no caso de vigas contínuas.

Nos casos correntes, a largura é obtida adicionando à largura da alma, de um e de outro

lado, uma largura que não exceda o menor dos seguintes valores (REBAP – Art 88):

− 1/10 da distância entre secções de momento nulo;

− ½ da distância entre faces das almas de vigas contíguas.

4.5.1.3.2. Hipóteses para o dimensionamento

Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma

secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção rectangular

nos seguintes casos:

a) Se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na

generalidade dos casos) pode-se assimilar a uma secção rectangular de largura bf

usando os procedimentos vistos anteriormente;

b) Se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado pode-se assimilar a

uma secção rectangular de largura bw usando os procedimentos vistos

anteriormente;



c) Se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver comprimido trata-se como

secção “T” verdadeira.

A análise de uma secção “T” pode ser feita como se indica a seguir:

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em dois rectângulos (1

e 2). As resultantes de tensão no betão sobre as partes 1 e 2 valem:

( ) fwfcd1c h.bb.f.85,0F −=

e

x8,0.b.f.85,0F wcd2c =

A equação de equilibro de momentos fornece:

2rd11c2rd1rdsd Mz.FMMM +=+=

ou

2rd11s2rd1rdsd Mz.FMMM +=+=

em que, o braço do binário entre as forcas internas z1 é dado por:

2h

dz f1 −=

e os esforços resistentes Mrd1 e Mrd2 dados por:



11c1rd zFM ×=

ou

11s1rd zFM ×= 1rdsd2rd MMM −=

sendo,

( )x4,0d.x.b.f.68,0zFM wcd22c2rd −=×=

ou

( )x4,0d.f.AzFM syds22s2rd −=×=

admitindo que o momento Msd deve ser resistido pela parte 2 de uma secção rectangular

com largura bw e altura útil d, podemos determinar a posição da linha neutra x e encontrar

o respectivo domínio de deformação correspondente e, posteriormente calcular as

armaduras e/ou calcular a sua capacidade resistente obedecendo ao princípios de

equilíbrio estático entre as tensões internas.

4.5.1.4. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento

A analise feita em relação a posição da linha neutra para secções em “T” por forma a

encontrar formas alternativas de dimensionamento é também valida para secções de

geometrias diferentes às estudadas e analisadas.

Exemplos:

a) Secções reais



b) Secções a considerar no dimensionamento à flexão

Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado com

base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver comprimido, e

desprezando o banzo traccionado)

4.5.2. Procedimentos de Calculo a Rotura 4.5.2.1. Calculo da Capacidade resistente

Nos casos usuais de calculo da capacidade resistente (Mrd), tem-se como dados: geometria

da secção, quantidade de armadura, classes de betão e aço e, o procedimentos são os

seguintes:

− Admitir que σs = fsyd (εs ≥ εsyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

− Determinar posição da linha neutra:

por equilíbrio axial: Fc = Fs ↔ 0.85fcd Ac (x) = As fsyd ↔ x =?

Através da posição da linha neutra é possível saber se a rotura convencional se dá

pelo betão ou pela armadura: Deverá garantir-se que as armaduras se encontram

em cedência na situação de rotura, por duas razões fundamentais.



A primeira pode considerar-se como sendo essencialmente de ordem económica: a

armadura utilizada deve ser integralmente aproveitada e, portanto, mobilizada

integralmente a sua capacidade resistente.

− Calcular o momento resistente:

por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d – 0.4x) ↔ As =?

− Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εsyd

4.5.2.2. Dimensionamento de armaduras

Nos casos usuais de dimensionamento das armaduras, tem-se geometria da secção, fcd, fsyd,

Msd :

− Admitir que σs = fsyd (εs ≥ εsyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência

− Determinar posição da linha neutra:

por equilíbrio de momentos, Msd = Fc × z = 0.85 fcd b 0.8x (d – 0.4x) ↔ x = ?

− Calcular a área de armadura necessária:

por equilíbrio axial, Fc = Fs ↔ 0.85 fcd b 0.8x = As fsyd ↔ As = ?

− Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εsyd

4.5.2.3. Formulas Simplificadas. Vigas Rectangulares.

À custa dum menor rigor é possível admitir certas hipóteses que conduzem a fórmulas

simplificadas que nos dão valores de armadura por excesso (pelo lado da segurança,

portanto).

Assim, independentemente do tipo de aço, as vigas rectangulares simplesmente

armadas são económicas se:

Momento-flector reduzido: cd

2Rd

fbdM

=μ , 31.0≤α

Percentagem mecânica da armadura: cd

syds

f

f

bdA

=ω , 41.0≤μ



Profundidade relativa da linha neutra: dx

=α , 601.0≤μ

valores que são obtidos adoptando para α o mínimo dado pela expressão

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += )

da

1(.601,0α

em que a é a distância da eventual armadura de compressão à face.

Quanto a determinação das armaduras necessárias para uma secção rectangular sujeita a

dado momento flector poder-se –ao adoptar as seguintes formulas simplificadas:

Se: ( )⎩⎨⎧

+==

μμωω

μ1

031.0

'

≤

Se:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=>

41,0da

-1

0,31-

31.0

'

'

ωω

μωμ

em que os símbolos tem o significado anteriormente referido e w’ é a percentagem

mecânica de armadura de compressão, ou seja:

cd

syds'

'

f

f

bdA

=ω

sendo A’ área de armadura de compressão.

Para a situação em que 31.0>μ deduz-se acréscimos de momentos em que são

suportados, mantendo a altura da linha neutra correspondente a esse valor limite pela

colocação da armadura de compressão e pelo aumento da armadura de tracção de um

valor igual ao dessa armadura de compressão.

Será então: AA' Δ= , ( ) ( )a-dfAa-dAfM syd'

sydRd == ΔΔ

em que 0,31-)da

-1(' μωμΔ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,



donde

da-1

0,31-' μω =

A percentagem final da armadura de tracção será: 41,0' += ωω pois, como se viu, o

valor da percentagem correspondente a μ=0,31 é ω=0,41.

Notas:

− No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada para

que a armadura traccionada atinja a tensão de cálculo (rotura dúctil). Caso isso

não aconteça, será necessário adoptar armaduras de compressão ou aumentar a

secção da viga.

− Numa viga, existe sempre armadura de compressão, por razões construtivas, com

um nível não inferior a 10% da armadura principal.

4.5.2.4. Uso de Tabelas

Existe manual Betão Armado do LNEC que permite calcular armaduras para secções

rectangulares e em T à flexão simples (simplesmente ou duplamente armada), bem como à

flexão composta e flexão composta desviada) - “BETÃO ARMADO – ESFORÇOS NORMAIS E

DE FLEXÃO”.

Tabelas de Flexão simples – secções rectangulares duplamente armadas que também

podem ser utilizadas em situações de simplesmente armada (A’=0A) – Tabela 4 a 7.

Genericamente adopta-se armadura de compressão quando:

4.5.3. Disposições do REBAP

a) Armaduras principais e secundarias – Artº 74, REBAP.

As armaduras principais asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente aos

esforços de dimensionamento e; as secundárias garantem o bom funcionamento das

armaduras principais, ajudam a rigidificar as malhas de armaduras, controlam a

fendilhação localizada e asseguram a ligação entre partes de elementos que têm

tendência a destacar-se.



∅est = 6 ou 8 mm (para vigas pequenas);

10 a 12 mm (para vigas maiores)

∅long = 12 a 16 mm (para vigas pequenas);

20 a 25 mm (para vigas maiores)

c – recobrimento

Altura útil: 2

--c-hd longest

ΦΦ=

b) Percentagem mínima e máxima de armadura – art.º 90, 91, 92 e 93

O Artigo 90 do REBAP apresenta percentagens mínimas a respeitar, com o valor de tensão

de cedência do aço e independentes das classes de betão (0.25% para A235, 0.15% para

A400 e 0.12% para A500)

100xdb

A

t

sw =ρ

Em que:

− As é a área da secção de armadura;

− bt é a largura media da zona traccionada da secção; no caso de vigas com banzo

de compressão e em que a LN se situa no banzo, a largura deste, não deve ser tida

em conta para o calculo de bt;

− d é a altura útil da viga

O REBAP, fixa a percentagem máxima da armadura longitudinal de tracção ou de

compressão em 4% da área total da secção da viga, para impedir grande concentração

de armadura e permitir a betonagem em boas condições.

c) Recobrimento das armaduras – Art 78.

O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:

Mecânica: destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e

assim garantir a sua aderência para que se verifique uma eficiente transmissão de

forças entre o betão e o aço;

Protecção contra a entrada dos agentes agressivos e consequentemente contra a

corrosão das armaduras (recobrimento definido em função da agressividade do

ambiente de exposição);



d) Distância livre mínima entre armaduras (s) – art. 77 e 91.

A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem em

boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias

condições de aderência e protecção.

No caso de armaduras para betão armado, smin = (Ømaior, Øeq maior, 2cm).

A distância livre entre armaduras pode ser calculada pela expressão:

1-n

.n2-c2-bs longest ΦΦ -=

em que n representa o número de varões.

É necessário compatibilizar a distância entre varões com a dimensão máxima do inerte

(s≥1.2 a 1.5Dmáx) e ter em atenção o espaço necessário para introdução do vibrador

(aconselhável: 4 a 5 cm junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior).

As disposições deste artigo têm por objectivo a dispensa da verificação ao estado limite de

fendilhacao (Art.º 68 e 70).

e) Agrupamentos de armaduras – art. 76.

Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que

prejudicam a aderência aço/betão.

Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, para o caso de

armaduras traccionadas n ≤ 3; para o caso de armaduras comprimidas n ≤ 4; (Em qualquer

direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto).

O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão:

mm552ieq ≤∑Φφ =



f) Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras

A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e diâmetros a

adoptar deve ter em atenção os seguintes factores:

− Custo da mão-de-obra → menor número de varões

− Facilidade de betonagem → menor número de varões

− Liberdade de dispensa → maior número de varões

− Menos problemas de fendilhação → maior número de varões

g) Dobragem de armaduras – art. 79º.

Condições a satisfazer:

− Não afectar a resistência do aço

− Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a

armadura for traccionada

O diâmetro mínimo de dobragem depende:

− Tipo de aço

− Diâmetro do varão

− Tipo de armadura (armaduras em geral, estribos, cintas, ganchos, etc.)

h) Posicionamento das armaduras

O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes

elementos:

− Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras

− Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores

nas lajes



− Varões construtivos (armaduras secundárias) – garantem o espaçamento

vertical entre varões longitudinais

4.6. Pré-dimensionamento de vigas rectangulares

Um problema que frequentemente se põe ao projectista é o do pré-dimensionamento

de secções.

Tendo as solicitações na viga – cargas permanentes (sem peso próprio) e sobrecargas –

que valores adoptar para as dimensões da secção da viga?

Uma maneira de contornar o problema é previamente determinar os esforços, de forma

aproximada, sem considerar o peso próprio da peça. Estes podem ser determinados de

modo aproximado através de tabelas de estruturas que nos dão, para vãos e cargas

semelhantes, os momentos flectores máximos positivos e negativos através de relações

do tipo:

npl2

em que p é a carga, l a dimensão do vão de cálculo e n um número a dimensional.

Podemos estabelecer valores de optimização para o momento-flector reduzido (μ

económico, que corresponde uma extensão no aço entre 3 e 4%o) e para a relação

entre a base e a altura da viga: 0,20<μ<0,30; b≈0,4d, com b≥20cm.

Tendo o momento-flector actuante MSd, e o valor da tensão de cálculo do betão fcd

podemos determinar as dimensões da secção da viga, admitindo μ=0,20 e a largura da

viga b≈0,4d:

cdf2bdsdM

25,0 ==μ

do que: cdfd4,0

sdM25,0

3=



colocando a altura útil em evidencia: cdf4,025,0

sdM3d×

=

donde: 3cdf1,0sdM

d =

Quando existe possibilidade de contar com armadura de compressão (sobretudo nas

secções de apoio de vigas contínuas), pode ser atribuído um valor de 0,30 <μ<0,35

Por vezes, por questões arquitectónicas, uma das dimensões é imposta. Supondo que

essa dimensão é a base, o raciocínio é semelhante e temos:

cdf2bdsdM

=μ , cdfbd

sdM25,0 2= ,

cdbf25,0sdM

d2

×=

donde: cdbf25,0

sdMd =

Se for a altura a dimensão imposta, vem:

cdf2bdsdM

=μ , cdfbd

sdM25,0

2=

donde:

cdf2d25,0

sdMb

×=

Face ao esforço transverso, as dimensões mínimas da secção transversal são

condicionadas pela expressão:

sdV

2d

wb ≥×× τ

do que: d

2

sdV

wb

×≥τ

ou

wb

2

sdV

d×τ

≥

se b≈0,4d: 0,4×2τ

sdV

wb ≥ ou 0,4×2τ

sdV≥d

Obviamente que outras condicionantes podem ser introduzidas, como a altura mínima



para dispensa de verificação dos estados limites de deformação.

Em termos de área de aço aproximada, como processo expedito podemos adoptar:

sydhf85,0sdM

sA = ou

syddf9,0sdM

sA =

4.7. Secções solicitadas à Flexão Composta

4.7.1. Considerações Gerais.

A flexão composta interessa sobretudo aos pilares, elementos para os quais o esforço

predominante é a flexão composta com compressão, havendo alguns casos em que

existem, acompanhando a flexão, não compressões mas sim esforços de tracção.

A flexão composta corresponde a um ELU situado nos domínios 2, 3 e 5 do esquema da

figura das deformações, nas condições apresentadas no anteriormente.

4.7.2. Princípios de Cálculo

− As secções mantêm-se planas após a deformação (hipótese de Bernoulhi);

− εc ≤ 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)

− εs ≤ 10‰ (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)

− Para o cálculo de secções transversais admite-se que no betão, as tensões de

tracção são nulas, a resistência do betão à tracção é desprezada

− Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ɛ≤3.5‰

− Há compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão envolvente,

isto é, a armadura está aderente ao betão, não se considera haver escorregamento

entre os dois materiais.

4.7.3. Métodos de análise

4.7.3.1. Dimensionamento pelo diagrama bloco-rectangular

Para o cálculo de secções transversais neste capítulo será usado o diagrama de bloco-

rectangular e deduzem-se as equações de dimensionamento.



4.7.3.1.1. Secção totalmente Traccionada. Armadura simétrica


Na armadura traccionada comprimida (aço está em cedência): sydss fAF ×=

Na armadura traccionada comprimida (aço está em regime elástico): 's

's

's AF σ×=


De força: s'sRd FFN += (1)

De momento: ( )a2hFa2h

NM sRdRd −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ ) (2)

4.7.3.1.2. Secção parcialmente comprimida.

Pode ocorrer com esforço axial de tracção com momento flector baixo ou então esforço

axial de compressão com elevado momento flector.

Consideremos a armadura inferior em cedência e armadura simétrica (armadura de

tracção igual a de compressão).


No betão: cdc f.b.x.8,0F =



Na armadura em tracção (aço está em cedência): sydss fAF ×=

Na armadura em compressão (aço está em regime elástico): 's

's

's AF σ×=


De força: s'scRd FFFN −+= (1)

De momento: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− a

22

2h

F2ax4,0Fa2h

NM scRdRd

(2)

O valor de σ’stem de ser obtido usando a lei de Hooke 'ss

's .E εσ = ; e pelas equações de

compatibilidade das extensões:

xa-x

xxdc

'scs εεεε

=∧=−

4.7.3.1.3. Secção parcialmente comprimida. Rotura pelo betão


No betão: cdc f.b.x.8,0F =

Na armadura em compressão (aço está em cedência): syd's

's fAF ×=

Na armadura em tracção (aço em regime elástico): sss AF σ×=


De força: s'scRd FFFN −+= (1)

De momento: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ a

22

2h

F2x4,0ahFa2h

NM 'scRdRd

(2)



O valor de σs tem de ser obtido usando a lei de Hooke sss .E εσ = ; e pelas equações de

compatibilidade das extensões:

xa-x

xxdc

'scs εεεε

=∧=−

4.7.3.1.4. Secção totalmente comprimida e armadura simétrica


No betão: cdc f.h.bF =

Na armadura em compressão (aço está em cedência): syd's

's fAF ×=

Na armadura em tracção (aço em regime elástico): sss AF σ×=


De força: s'scRd FFFN ++= (1)

De momento: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ a

22

2h

F2a2h

Fa2h

NM 'scRdRd

(2)

A posição do eixo neutro x pode ser obtida das equações de compatibilidade das

extensões:

xa-x

xxdc

'scs εεεε

=∧=−

4.7.3.2. Pilares Rectangulares simetricamente armados. Formulas Simplificadas

Da mesma forma que para as vigas, é possível estabelecer expressões simplificadas para

pilares rectangulares simetricamente armados que conduzem a resultados

suficientemente aproximados.



Assim, considerando que os valores de esforço normal reduzido, υ, são negativos em

tracção e positivos em compressão, os esforços resistentes momento flector e esforço

normal reduzidos (μ ou υ) são dados por:

− Na zona de tracções:

( )νωλβμ +=

− Na zona de compressões:

o Para c55,085,0 ννλβωμν −=→≤

o Para ( )c85,0 νωλβμν −=→≥

sendo:

cd

Rd

bhfN

=ν ; cd

2Rd

fbhM

=μ

cd

syds

f

f

bhA2

=ω

85,0c −=νν; h

a5,0 −=λ

em que:

a ………… distancia de cada uma das armaduras de área As, às respectivas faces

o coeficiente β é dependente de υ e toma os valores indicados no quadro a seguir.

Quadro – valores do coeficiente β das formulas simplificadas de flexão composta

υ ≤0,4 0,5 0,6 0,7 > 0,85

β 1,0 0,93 0,88 0,88 0,93

Atendendo às expressões do momento flector reduzido, μ, definidos anteriormente e,

resolvendo-as em função a percentagem mecânica, ω, obtemos:

− Na zona de tracções:

νλβμω −=



− Na zona de compressões:

o Para 85,0≤ν

λβννμ

ω c55,0+=

o Para 85,0≥ν

cνλβμω +=

No caso da flexão composta, a determinação das extensões e tensões existentes nas

secções, correspondentes ao estado limite último de resistência, não se difere ao visto para

o caso da flexão simples, que se baseia na profundidade relativa da linha neutra dado nas

tabelas e nos ábacos. Importa referir que para o caso da flexão composta esta

profundidade relativa da LN é reduzida à altura total da secção.

Tratando-se da flexão composta, que poderá ser com tracção ou compressão a LN pode

situar-se internamente ou externamente à secção colocando a peça totalmente

comprimida ou ainda sujeita à tracções.

4.7.3.3. Resolução recorrendo a ábacos e Tabelas

O dimensionamento à flexão composta é feito normalmente com base em ábacos ou

tabelas. Em geral é necessário fazer a verificação para várias combinações de esforços pois

não sabemos qual será a combinação que irá dar a maior área de armadura , isto é, mais

desfavorável.

Para uma dada secção transversal são adoptadas as grandezas já anteriormente

abordadas, nomeadamente, momento flector reduzido, esforço normal reduzido e,

percentagem mecânica da armadura.

No dimensionamento pelo método de tabelas há que prestar atenção que a quantidade

de armadura As referente ao total das armaduras colocadas (de compressão e de

tracção). Portanto, as tabelas do LNEC, 11 a 14, nos permitem de calcular essas armaduras

a dispor.

Sendo a flexão composta um caso particular da flexão desviada, há ainda que chamar a

atenção para os ábacos do LNEC de flexão desviada que resolvem os casos de flexão

composta, nomeadamente:



− Ábacos 55 a 66 para secções rectangulares simetricamente armadas em relação a

cada uma das direcções principais

− Ábacos 67 a 82 para secções rectangulares ocas.

4.7.4. Pré-dimensionamento de pilares

Questão mais complexa que no caso de flexão simples porque três situações podem

ocorrer:

− Momento condicionante na atribuição de dimensões.

− Esforço axial condicionante.

− Intervenção simultânea dos dois esforços é condicionante.

Avaliados os esforços Msd e Nsd poderemos adoptar os procedimentos aplicados na flexão e

compressão simples, adoptando-se como solução final a situação mais desfavorável.

a) Com esforço Axial condicionante

O pré-dimensionamento dos pilares é, efectuado a partir da verificação de segurança de

peças sujeitas à compressão simples, comparando os esforços actuantes Nsd, com os

esforços resistentes, Nrd.

rdsd NN ≤

Os esforços resistentes são calculados a partir da soma dos esforços resistentes de cada um

dos materiais, aço e betão.

s,rdc,rdrd NNN +=

Onde:

ccdc,rd Af85,0N =

ssyds,rd AfN =

Considerando %1AA

c

s ==ρ (esta percentagem deve variar entre 0.7 a 1.5%, para que a

tensão de compressão no betão não seja elevada e consequentemente a durabilidade

da estrutura seja a adequada), teremos:



csydccdrd Af01,0Af85,0N +=

que por sua vez e igual a:

( ) csydcdrd Af01,0f85,0N +=

O valor (0.85 fcd + 0.01 fsyd) é uma tensão que depende das características dos materiais

a usar, betão e aço.

O valor dos esforços actuantes Nsd, pode ser obtido através da seguinte expressão:

psisd f.n..A.10N γ=

Em que:

10 – Representa o valor médio das cargas permanentes e da sobrecarga a

actuar por m2 de laje (tendo em conta o peso próprio das vigas e dos

pilares);

Ai – área de influência de cada pilar i;

γs– factor de majoração (1.5);

n – numero de andares acima do piso em que se está a pré-dimensionar o

pilar;

fp – factor de posição

A variação do espaço normal ao longo da altura do edifício é importante, dado que este

cresce de uma forma regular desde a parte superior do prédio até à parte inferior. A

variação do momento-flector ao longo da altura do edifício é muito pequena. Por isso, a

influência dos momentos, comparada com a das cargas axiais, é maior nos andares

superiores do que nos inferiores. Como se referiu o pré-dimensionamento é feito só

atendendo ao esforço normal, desprezando-se a presença do momento-flector. O valor

de Fp, pretende ter em conta a importância que o momento-flector pode ter no pré-

dimensionamento. É portanto, um factor que deverá ser maior quando maior for a

importância do momento-flector em relação ao esforço normal. Assim nos pisos superiores

este valor deverá ser maior do que nos pisos inferiores e nos pilares extremos também

deverá ser maior do que nos pilares interiores.

É habitual considerar-se para fp os valores de 1.5, 1.3 e 1.1, consoante a posição que os

pilares ocupam em planta e em altura. Assim, para pilares situados na parte de cima do

edifício, usa-se o valor de fp = 1.5 para pilares extremos e fp=1.3 para pilares interiores. Se o

pilar está situado na parte debaixo do edifício (normalmente considera-se a parte de



baixo, como a correspondente à parte abaixo da meia altura do edifício) o valor de fp

deve ser tomado igual a 1.3 para os pilares extremos e 1.1 para os pilares interiores.

Genericamente, determinado o valor de Nsd, a secção do pilar obtêm-se a partir da

expressão:

crdsd A.NN σ=≤

Logo,

σsd

c

NA =

Contudo, por motivos de esta fórmula não contabilizar o efeito dos momentos, será de

adoptar:

Acções verticais (ex: carga permanente, sobrecarga):

.0,8 e0,6 entre η comA×f×η=N ccdcrd, →

Acções horizontais (ex.: sismo, vento)


De notar que o valor indicado para zonas de incidência sísmica, já está de acordo com as

regras mínimas para efeitos de estruturas de ductilidade melhorada (0,6).

Definida a área Ac do pilar, começa-se a definir as secções do pilar ao longo da altura do

edifício. É habitual começar-se a definir a secção do pilar ao nível do 1ºandar, já que é

normalmente neste piso que as dimensões são mais condicionantes, atendendo à

presença das divisórias.

b) Com momento flector condicionante

Idêntico a flexão simples, em que se estabelece valores de optimização para o

momento-flector reduzido (μ económico, que corresponde uma extensão no aço entre

3 e 4%o) e para a relação entre a base e a altura da viga: 0,20<μ<0,30; b≈0,4d, com

b≥20cm.



Tendo o momento-flector actuante MSd, e o valor da tensão de cálculo do betão fcd

podemos determinar as dimensões da secção da viga, admitindo μ=0,20 e a largura da

viga b≈0,4d:

cdf2bdsdM

25,0 ==μ

do que: cdfd4,0

sdM25,0

3=

colocando a altura útil em evidencia: cdf4,025,0

sdM3d×

=

donde: 3cdf1,0sdM

d =

Quando existe possibilidade de contar com armadura de compressão (sobretudo nas

secções de apoio de vigas contínuas), pode ser atribuído um valor de 0,30 <μ<0,35

Por vezes, por questões arquitectónicas, uma das dimensões é imposta. Supondo que

essa dimensão é a base, o raciocínio é semelhante e temos:

cdf2bdsdM

=μ , cdfbd

sdM25,0

2= ,

cdbf25,0sdM

d 2

×=

donde: cdbf25,0

sdMd =

Se for a altura a dimensão imposta, vem:

cdf2bdsdM

=μ , cdfbd

sdM25,0

2=

donde:

cdf2d25,0

sdMb

×=



4.8. Secções solicitadas à Flexão Desviada

Estamos perante flexão composta desviada quando:

− a secção não tem simetria em relação ao eixo de solicitação (x ou y);

− a secção está solicitada por Nsd, Msd,x e Msd,y em simultâneo.

O eixo neutro não coincide com o centro de gravidade e encontra-se segundo uma

orientação diferente da secção transversal (LN - inclinado) e ainda, o momento não está a

actuar segundo as direcções principais de inércia.

Do mesmo modo que em solicitações anteriores, no estudo da flexão composta desviada

temos três fases de comportamento:

− Secção não fendilhada com comportamento linear elástico.

− Secção fendilhada com comportamento linear elástico.

− Cálculo à rotura das secções, comportamento não linear materiais.

4.8.1. Princípios de Cálculo

− As secções mantêm-se planas após a deformação (hipótese de Bernoulhi);

− εc ≤ 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)

− εs ≤ 10‰ (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)

− Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ ɛc ≤ 3.5‰

− Há compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão envolvente,

isto é, a armadura está aderente ao betão, não se considera haver escorregamento

entre os dois materiais.

4.8.2. Métodos de Analise e Dimensionamento

4.8.2.1. Fórmulas simplificadas – “Processo da excentricidade fictícia”

Este processo é aplicável a secções rectangulares com armaduras iguais nas quatro faces e

consiste na redução do problema de flexão desviada em flexão plana segundo uma das

direcções principais da secção com uma excentricidade fictícia ey’, função das

excentricidades do esforço normal em relação aos dois eixos principais, ex e ey, das

dimensões da secção e do valor do esforço normal.

A excentricidade fictícia é dada por:

bh

e.ee xy'y β+=



em que, o sistema de eixos deve ser escolhido de modo que

bh

e

e

x

y ≥

e, ex e ey representam as excentricidades em cada uma das direcções principais dadas

por:

sd

y,sdx N

Me =

; sd

x,sdy N

Me =

β é um coeficiente que depende do esforço normal reduzido, υ,

cd

Rd

bhfN

=ν

cujos valores são indicados na Quadro abaixo.

Quadro – valores do coeficiente β para a determinação da excentricidade fictícia

υ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 ≥1,2

β 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4

Nota:

− se a percentagem mecânica, ω, referente à armadura total da secção for maior

que 0,6 os valores do coeficiente β devem ser aumentado de 0,1;

− para valores de ω menores que 0,20 poder-se-á diminuir os valores de β de 0,1.

4.8.2.2. Ábacos Elaborados

Os ábacos elaborados contemplam secções rectangulares cheias e ocas, com armaduras

dispostas simetricamente em relação a cada um dos seus eixos principais e supostas

distribuídas de modo continuo ao longo das faces da secção; no caso das secções ocas é

idealizada como concentrada a meio da espessura das paredes.

Para a sua utilização e supondo que a secção está definida em dimensões e armaduras (se

não o estiver uma boa regra será a de colocar maior armadura para resistir ao momento

correspondente ao maior valor de momento flector reduzido), há que atribuir aos lados das

secções as letras h e b que figuram nos ábacos (e consequentemente definir os eixos dos xx

e dos yy que também ai figuram). Para tanto, deve-se atribuir-se a letra h aos lados em que



a armadura é menor, no caso das secções cheias, e, no caso das secções ocas deve

respeitar-se a condição:

bt

ht 21 <

A utilização dos ábacos implica normalmente a necessidade de interpolação, em especial

no que se refere ao parâmetro:

x

y

μμ

η =

4.8.3. Disposições construtivas de pilares sujeitos a esforços de flexão composta

a) Armadura longitudinal

Quantidades mínimas e máximas de armadura:

As quantidades mínimas de armadura em pilares variam consoante o tipo de aço utilizado

e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte expressão:

csyd

sdmin,s A002.0

fN10.0

A ≥=

A quantidade máxima de armadura é dada por: As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de

emenda)

Nota: Nas secções de emenda, poderá adoptar-se uma armadura até 0.08 Ac.

Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

1. Mínimo número de varões na secção transversal

- 1 Varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

- 4 Varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável

adoptar pelo menos 6 varões)

2. Diâmetro mínimo dos varões: 8 mm (Recomendável: 10 mm)

b) Armadura transversal

(i) Espaçamento das cintas: smáx = min (20 × ∅L,menor; bmin; 40 cm)



O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos:

- nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior

dimensão do pilar;

- nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes

varões seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao

longo do comprimento de emenda.

(ii) Diâmetro: ∅cinta = max (6 mm; 0.25∅L,maior)

(iii) Forma da armadura / cintagem mínima

- Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser

abraçados por armadura transversal.

- Em zonas comprimidas, não é necessário cintar varões longitudinais que

se encontrem a menos de 15 cm de varões cintados.

Função da armadura transversal

- Cintar o betão;

- Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;

- Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e

betonagem;

- Resistir ao esforço transverso.

Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.



5. SECÇÕES SOLICITADAS AO ESFORÇO DE TRANSVERSO

5.1. Generalidades

Nos capítulos anteriores, se analisou o comportamento de vigas de betão armado

submetido a solicitações normais. As tensões internas provenientes da flexão foram

calculadas imaginando-se que o momento-flector agisse isoladamente na secção. Isto

pôde ser feito porque a existência de força cortante na secção não altera os valores, nem

a distribuição das tensões normais. A metodologia empregada na análise resultava

bastante simples: aplicava-se as equações de equilíbrio (isoladamente ou em conjunto com

as equações de compatibilidade de deformações) sobre as solicitações, internas e

externas, actuantes em uma determinada secção (normalmente a secção mais solicitada).

Já o comportamento de peças de betão armado quando actuam esforços transversais

(esforço cortante e momento torçor) é bastante complexo.

No corte, quando o esforço cortante actua isoladamente na secção, as tensões de corte

que aparecem para equilibrar a solicitação externa têm distribuição uniforme; actuando

também a solicitação momento-flector na secção, as tensões de corte distribuir-se-ão de

forma totalmente diferente, apesar de sua resultante continuar sendo a mesma. Por este

motivo, para o estudo do corte, não se pode considerar o esforço cortante agindo

isoladamente, mas sim simultaneamente com o momento-flector.

Além disto, existem outros factores que influem sobre a capacidade resistente à força

cortante de uma viga: forma da secção transversal; variação da secção transversal ao

longo da peça; esbelteza; disposição das armaduras; aderência aço/betão; tipo de cargas

e apoios.

Portanto, na análise de vigas de betão armado submetidas a esforços cortantes, se faz

necessário tratar a peça como um todo, já que os mecanismos resistentes que se formam

são geralmente tridimensionais. Formular uma teoria simples e prática, que leve em

consideração todos estes factores, e que dê resultados exactos é uma tarefa bastante

difícil.

5.2. Comportamento em fase não fendilhada

Numa viga de betão não fendilhada com comportamento elástico, definem-se as seguintes

trajectórias principais de tensões:



No comportamento, até à rotura por esforço transverso, dum elemento de betão

armado é possível distinguir nos casos correntes três fases (figura 1): na face

traccionada do elemento, formam-se fendas normais ao eixo deste; algumas fendas, em

geral apenas uma, aumenta de comprimento, inclinando-se em relação ao eixo do

elemento, para, finalmente, se dar a rotura do betão por compressão/esmagamento na

fase comprimida da peca.

Esquema de comportamento até à rotura por esforço transverso

5.3. Comportamento elástico em fase fendilhada

5.3.1. Clássica Analogia da treliça de Morsch

O comportamento resistente de uma viga de betão armado em fase II (fendilhada), com

armadura de esforço transverso para resistir a esse mesmo esforço (caso corrente de vigas e

pilares), pode ser avaliado pela clássica analogia da treliça de Morsch.

Morsch idealizou uma treliça constituída por dois banzos paralelos (banzo comprimido de

betão e banzo traccionado constituído pela armadura longitudinal de tracção) ligados

entre si por diagonais comprimidas a 45º (bielas de compressão a funcionar entre fendas) e

diagonais traccionadas formando ângulos α com a horizontal, constituídas pela armadura

transversal.

Esta teoria pressupõe a formação de, pelo menos, uma treliça de banzos paralelos, com

bielas comprimidas de betão inclinadas de 45º, o que obriga a que o espaçamento

máximo entre armaduras de esforço transverso seja z(1+cotgα), de modo a que qualquer

possível fenda a 45º seja atravessada pela armadura.



Deste modo, neste modelo de treliça verifica-se que a colocação de estribos inclinados

corresponderia à solução ideal.

Contudo, por questões de facilidade de execução adoptam-se estribos verticais que

também conferem um bom comportamento quer em serviço, quer à rotura, porque

asseguram a cintagem e a ligação de forma eficaz entre a zona comprimida e a zona

traccionada do elemento, que constitui as banzos da treliça.

É possível relacionar os esforços (M,N) com as tensões nos diferentes elementos (armaduras

transversais e longitudinais e bielas comprimidas).

− Campo de tracções verticais.

− Campo de compressões inclinadas.

− Campo de compressões e tracções paralelas ao eixo.

5.4. Possíveis modos de rotura

i) Rotura dos estribos: os estribos têm de ser prolongados até ao apoio, de modo a

transmitir para a zona superior da viga as forças devidas às bielas de compressão.

ii) Rotura por esmagamento do betão (nas bielas comprimidas)

− A máxima compressão surge junto ao apoio, ou seja, onde Vsd é máximo.

− Deste modo, no cálculo da armadura transversal é necessário atender à

máxima tensão de compressão na biela de betão.

iii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração insuficiente) ou

rotura da armadura (armadura insuficiente)



É com base nestes princípios que se dimensiona a armadura transversal a colocar no interior

de um dado elemento estrutural.

5.5. Verificação da Segurança e dimensionamento (REBAP)

O esforço transverso produz fendilhação diagonal que não é controlada pela armadura

longitudinal de flexão. Entretanto, para “coser” essas fendas, é necessário colocar

armadura transversal (estribos) para ligar com eficiência os banzos comprimidos e

traccionados, pelo que devem ser amarrados quer num, quer noutro.

O Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes (RSA),

complementado pelo REBAP, estipuladas as condições em que deve ser verificada a

segurança duma estrutura de betão armado.

É conveniente relembrar que a verificação da segurança ao esforço transverso é uma

verificação em relação a um estado limite último de resistência, em geral feita em

termos de esforços, e que consiste em satisfazer a condição:

RdVsdV ≤

Em que Vsd é o valor de cálculo do esforço transverso actuante e VRd é o valor de

cálculo do Esforço transverso resistente.

Assim, o REBAP estipula que, em geral, o valor de cálculo do esforço transverso resistente

(VRd) pode ser calculado pela expressão:

wdV

cdV

RdV +=

Em que o termo Vwd traduz a resistência das armaduras de esforço transverso segundo a

teoria de Morsch (bielas inclinadas a 45º) e o termo Vcd representa, não só uma correcção a

fazer o termo Vwd (por nele não se ter considerado o efeitos de arco, nem o facto das bielas

terem em geral uma inclinação inferior a 45º), mas também uma parte do esforço

transverso absorvido por outros efeitos (ferrolho, consola, inter bloqueamento dos inertes).



5.5.1. O termo Vwd

Como se disse, o termo Vwd corresponde à resistência das armaduras específicas de

esforço transverso segundo a teoria de Mörsch, em que a inclinação das bielas é de 45º,

e é determinado pela expressão:

αα sen)gcot1(sydfsswA

d9.0wdV +=

em que:

− d é a altura útil da secção.

− ASw é a área da secção da armadura de esforço transverso (no caso de estribos,

compreende os vários ramos do estribo);

− s é o espaçamento das armaduras de esforço transverso;

− fsyd é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,2% do aço das armaduras de esforço transverso;

− α é o ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do

elemento.

5.5.2. O termo Vcd quando existem armaduras especificas de esforço transverso

O REBAP estipula que neste caso o termo Vcd pode ser calculado pela expressão:

dw

b1cd

V τ=

onde bw é a largura da secção (no caso de esta não ser constante dever-se-á tomar para

este valor a menor largura existente numa altura de três quartos da altura útil da secção,

contada a partir da armadura longitudinal de tracção), d é a altura útil da secção e τ1 é

uma tensão dada pela expressão:

ctdf6.0

ctkf4.0

ctkf

21.0085.0

ckf085.0

13

2

====τ

Em que:

− fck é o valor característico da resistência do Betão à compressão;

− fctk é o valor característico da resistência do betão à tracção;

− fctd é o valor de cálculo da tensão de rotura do betão tracção.

Os valores assumidos por τ1 encontram-se no quadro seguinte:



Quadro 1 Classe do

betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ1 (MPa)

0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15

O termo Vcd, independentemente de existirem ou não armaduras específicas de esforço

transverso, é susceptível, no entanto, de ser aumentado em duas circunstâncias que

podem, aliás, ser cumulativas:

− a primeira, quando existam cargas concentradas junto ao apoio e,

− a segunda, quando existe um esforço de compressão actuante no elemento.

Sobre esta matéria o REBAP estipula que nas zonas junto dos apoios e numa distância igual

a 2d, contada a partir do eixo do apoio, o valor de Vcd a considerar pode obter-se a partir

do definido anteriormente, multiplicando-o pelo factor:

red,sd

sd

VV

onde:

− VSd é o valor de cálculo do esforço transverso actuante

− VSd, red é o valor de cálculo do esforço transverso reduzido, considerando que, na

zona em causa, as cargas são minoradas na proporção de a/2d, sendo a a

distância de cada carga ao eixo de apoio.

Esta correcção, que tem interesse no caso da existência de fortes cargas concentradas, só

pode ser utilizada se as cargas são aplicadas de modo a formar biela de compressão

diagonal com reacção de apoio; além disso, no caso de apoios extremos com liberdade

de rotação (ou fraco grau de encastramento), a armadura longitudinal de tracção

necessária na secção de aplicação das cargas deve ser prolongada até ao apoio e

convenientemente amarrada; no caso de apoios intermédios de elementos contínuos, a

armadura de tracção necessária na secção do apoio deve ser prolongada até á secção

de aplicação das cargas e amarrada para além dessa secção.

No caso de elementos sujeitos a flexão composta com compressão (ou pré-esforço), os

valores de Vcd podem ser majorados, como atrás se demonstrou, pelo factor:

sd

o

MM

1+



onde MSd é o valor de cálculo do momento actuante e Mo é o momento que, aplicado à

secção, anularia a tensão de compressão resultante do esforço normal actuante de

cálculo e do pré-esforço de cálculo na fibra extrema da secção que, por acção exclusiva

de MSd, ficaria traccionada.

O valor deste último factor não deve ser tomado superior a 2 e, para cálculo de Mo -

momento de descompressão - devem adoptar-se as hipóteses indicadas no artigo 69.°

Relativas à determinação de tensões. Os momentos MSd e Mo devem ser referidos à secção

em estudo.

Uma outra disposição do REBAP, aliás constante também do MC78 do CEB, é a que

estipula que o termo Vcd deve ser considerado igual a zero se o elemento estiver sujeito

a esforços normais de tracção significativos, isto é, tais que a fibra neutra, determinada

com base nas hipóteses estipuladas para a determinação da capacidade resistente à

flexão, se situe fora da secção (toda a secção está traccionada).

De facto, a existência de tracções em toda a altura da secção, prejudica, só por si e

intuitivamente, a mobilização do atrito entre as faces das fissuras.

5.5.3. O termo Vcd quando não existem armaduras específicas de corte

Convém, primeiramente, chamar a atenção para que, em geral, os elementos de betão

armado devem dispor duma armadura mínima de esforço transverso, pois, no caso

contrário, não poderá evitar-se uma elevada dispersão dos valores da sua resistência ao

esforço transverso.

Esta imposição poderá ser dispensada no caso de lajes, quer porque este tipo de

elementos apresentam grande capacidade de redistribuição de esforços, quer porque,

normalmente, as tensões tangenciais nelas desenvolvidas são pouco elevadas.

Resulta, assim, que só para as lajes o REBAP permita a não existência duma armadura

mínima de esforço transverso, sendo então o esforço resistente dado pela seguinte

expressão:

( ) dw

b1

d-6,16,0cd

VRd

V τ==

na qual o factor (1,6 - d), com d em metros, não deve, em qualquer caso ser considerado

com valor inferior a unidade.



5.5.4. Valor máximo do esforço transverso resistente

Para atender a que uma das possíveis formas de rotura por esforço transverso, no caso

da existência de armadura específica para absorver este esforço, corresponde ao

esgotamento da resistência das bielas comprimidas da treliça, há que limitar a tensão

de compressão nestas, o que, para efeitos práticos, se consegue limitando, para uma

dada secção, o valor do esforço transverso que ela é capaz de absorver.

O REBAP fixa, para tal, valor o seguinte:

dw

b2wd

Vcd

VRd

V τ≤+=

Com τ2=0,3fcd, sendo fcd o valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão. Os

valores de τ2 são os do quadro 2.

Quadro 2 Classe do

betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55

τ2 (Mpa) 2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

5.5.5. Constituição das armaduras e espaçamento dos varões

As armaduras de esforço transverso podem ser constituídas por varões inclinados ou por

estribos, podendo estes ser inclinados segundo o eixo do elemento ou normais a este.

Os estribos devem abranger a totalidade da altura da viga, os seus ramos não devem

estar espaçados mais do que essa altura, com um máximo de 60 cm, devendo envolver

as armaduras longitudinais e, nas suas extremidades, devem existir ganchos ou, pelo

menos, cotovelos no caso de varões de alta aderência. Recomenda-se, além disso,

para valores elevados de esforço transverso, o emprego de estribos fechados.

Quanto ao espaçamento dos estribos, o esquema da treliça obriga, para que qualquer

fenda a 45º seja atravessada por armaduras, a que ele seja no máximo igual a

0,9d(1+cotgα), o que pqra estribos verticais conduz ao valor 0,9d.

É, porém, necessário, quando os esforços transversos são grandes, diminuir tal

espaçamento a fim de permitir uma boa distribuição da armadura e, como tal, um

melhor controle da fendilhação devida a esforço transverso. Nesse sentido o REBAP

estipula os seguintes valores para estribos verticais:

− Zonas em que db61

V w2sd τ≤ : s≤0.9d, com máximo de 30cm.



− Nas zonas em que db32

Vdb61

w2sdw2 ττ ≤< : s ≤ 0.5 d, com o máximo de 25cm.

− Nas zonas em que db32

V w2sd τ> : s≤0.3d, com o máximo de 20cm.

5.5.6. Armadura mínima de estribos

Como já se referiu, a fim de evitar grande dispersão no comportamento, toma-se em

geral necessário dispor duma armadura de esforço transverso mesmo naqueles casos

em que, em princípio, tal não seria necessário.

Tal armadura, no caso das vigas, deve ser constituída por estribos e numa quantidade

tal que evite roturas súbitas dos varões quando surja a fendilhação do betão (roturas

frágeis). Deste facto deriva a imposição de dispor de uma percentagem mínima de

armadura que deveria, em princípio, ser função da resistência do betão do elemento e

da resistência do aço dessa armadura. No entanto, por simplificação, o REBAP fixa as

percentagens em causa apenas atendendo ao tipo de aço. Tais percentagens são

definidas pela expressão:

100xsen.sb

A

w

sw α

ρ =

em que:

− Asw é a área total da secção transversal dos vários ramos do estribo;

− bw é a largura da alma da secção considerada;

− s é o espaçamento dos estribos;

− α é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da viga.

Em geral o valor de ρw não deve ser inferior a 0.16% para o aço A235, a 0.10% para o aço

A400 e a 0.08% para o aço A500. No entanto, se a viga tiver dimensões tais que para

absorver o esforço transverso actuante não seja, em princípio, necessário dispor de

armadura específica, ou seja, se tivermos Vsd < τ1bwd, os valores das percentagens

mínimas de estribos anteriormente fixados podem ser reduzidos multiplicando-os por

dbV

w1

sd

τ



5.6. Disposições construtivas

As armaduras transversais de absorção de esforços transversos devem ligar com

eficiência, através da alma, os banzos comprimidos e traccionados, pelo que deve

garantir uma eficiente amarração.

Com armaduras transversais, poderemos utilizar:

a) Varões inclinados

Seria uma solução ideal, pois permitiria a utilização das barras de flexão longitudinal

dispensadas e a sua colocação perpendicular em relação à direcção das fissuras, mas

apresenta o grande inconveniente de originar a fendilhação das bielas de betão que

nelas se apoiam.

O regulamento recomenda que no caso da sua utilização seja atribuída aos estribos um

valor elevado do esforço transverso atribuído às armaduras (aproximadamente 2/3 do

valor a absorver por armaduras transversais).

b) Estribos verticais

Estes estribos, envolvem as armaduras longitudinais de compressão e como se

encontram junto às faces dos elementos de viga, têm a vantagem de controlar aí a

abertura de fendas.

c) Estribos inclinados.

Teoricamente são o ideal para o esforço transverso, controlam melhor a abertura de

fendas, diminuem o valor dos esforços de compressão nas bielas de betão e o valor do

deslocamento do diagrama dos esforços de tracção.

5.7. Disposições regulamentares

As vigas devem ser armadas ao longo de todo o vão com estribos que abranjam a

totalidade da sua altura, os quais devem envolver a armadura longitudinal de tracção e

compressão, quando esta seja considerada como resistente.

Os estribos, devem terminar em ganchos ou cotovelos no caso de varões de alta

aderência (Art.º 81).

A distância entre dois ramos consecutivos não deve exceder a altura útil da viga, nem

60cm.



O REBAP define, como já vimos, uma percentagem mínima de armadura transversal

que, tem por objectivo conseguir uma armadura transversal capaz de absorver o

esforço de tracção resistido pelo betão da alma, no momento da abertura das primeiras

fendas.

Assim o REBAP, fixa paraρw o seguinte valor:

100xsen.sb

A

w

sw α

ρ =

Na figura abaixo estão representadas formas de estribos. O estribo se for armado numa

zona que está sempre à compressão, não necessita ser fechado (caso a) e termina em

gancho, podendo terminar em cotovelo (caso b) para varões de alta aderência.

Formas de executar o estribo

No caso de haver necessidade de realizar ganchos ou cotovelos voltados para fora, é

necessário dispor de uma armadura transversal para absorver os esforços introduzidos no

banzo da viga.

A disposição indicada na letra e), estribos fechados, é a mais usual e aconselhável em

situações comuns, pois garante o conveniente funcionamento de treliça, quer para

momentos negativos, quer para momentos positivos.

Na solução f) estribos abertos com armadura transversal com continuidade, é aceitável,

mesmo para momentos negativos.



As soluções g), h) e i), são soluções que nos permitem garantir uma melhor transmissão

de momentos viga/laje.

Alguns arranjos de armaduras transversaisa adoptar em vigas T

O Espaçamento dos varões inclinados s, deve ser:

− se db32

V w2sd τ≤ : s<0.9d(1+cotgα)

− se db32

V w2sd τ> : s<21

0,9d(1+cotgα)



6. SECÇÕES SOLICITADAS A TORÇÃO

6.1. Generalidades

O estudo de peças de betão armado solicitadas por momento torçor é bastante

complicado. Isto acontece porque, normalmente, a torção vem acompanhada de flexão,

esforço cortante e de um esforço normal (proveniente do impedimento ao empenamento).

Infelizmente, as pesquisas existentes sobre a resistência na rotura de elementos estruturais

submetidos a solicitações combinadas ainda não determinaram um método de cálculo

confiava e simples para ser aplicado na prática. A metodologia empregada é a de

calcular as solicitações por separado e, após, somar os resultados.

Além disto, a rigidez à torção de vigas de betão armado após a fissuração diminui

drasticamente. Para que uma viga fissurada tenha rigidez suficiente para resistir a um

momento torçor ela deverá ter uma rigidez muito grande antes de fissurar, ou seja, deverá

ter dimensões bem maiores do que àquelas necessárias para resistir à flexão e ao corte.

Felizmente, a verificação da resistência à torção não é indispensável em todos os casos que

acontecem na prática.

Nas situações em que se pode conseguir uma configuração de equilíbrio sem a

consideração da torção, pode-se dispensar o cálculo da torção e colocar apenas uma

armadura construtiva. Este é o caso de momentos torçores resultantes de esforços hiper

estáticos provenientes de rotações impedidas (torção em vigas devido ao encastramento

parcial das lajes).

6.2. Torção de compatibilidade

Designa-se por torção de compatibilidade (figura 1) aquela que resulta para um

elemento duma estrutura em virtude de condições de compatibilidade de deformação:

se a resistência à torção for nula há possibilidade de grandes deformações e

fendilhação excessiva, mas a estrutura é estável, ou seja e sobretudo, está salvaguardo

o seu equilíbrio estático.

6.3. Torção de equilíbrio

Pelo contrário, na torção de equilíbrio é necessário existir resistência à torção para que

este equilíbrio se verifique: na falta de resistência à torção a estrutura, ou parte dela, a

mesma é instável.



Atendendo às definições dadas, compreende-se que, quando estejam em

consideração apenas estados limites últimos, só seja, em princípio, de ter em conta a

torção de equilíbrio. A torção de compatibilidade interessa fundamentalmente os

estados limites de utilização (controle de fissuração e, eventualmente, de deformação).

Torção de equilíbrio e torção de compatibilidade

6.4. Verificação da segurança e dimensionamento (REBAP)

6.4.1. Generalidades

A verificação da segurança em relação aos ELU dos elementos sujeitos a esforços de torção

consiste em satisfazer a condição:

Rdsd TT ≤

em que Tsd é o valor de cálculo do momento torçor actuante e TRd o valor de cálculo do

momento torçor resistente.

A determinação do valor de cálculo do momento torçor resistente, TRd, de secções, cheias

ou vazadas, de elementos sujeitos a torção circular, deve ser efectuada com base na

consideração de uma treliça tubular formada por bielas de betão comprimidas e por

armaduras tracionadas transversais e longitudinais situadas na periferia da secção. Este

valor, TRd, é dado pelo menor dos valores obtidos pelas expressões seguintes:

TRd= Tcd + Ttd

TRd= Tld



em que os termos Tcd, Ttd e Tld dependem da geometria da secção e ainda,

respectivamente, da classe do betão, da armadura transversal de torção e da armadura

longitudinal de torção.

O termo Ttd, refere-se à contribuição da armadura transversal (estribos) e é dado pela

expressão:

sydst

eftd fs

AA2T =

em que:

Aef - área interior da linha média das paredes da peça no caso de secções ocas

ou da secção oca eficaz no caso de secções cheias

Ast - área da secção da cinta (estribos) que constitui a armadura transversal de

torção;

s - espaçamento desta armadura;

fsyd - valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de

proporcionalidade a 0,2% do aço da armadura transversal de torção.

Quanto ao termo, Tld, ele refere-se à contribuição da armadura longitudinal e é dado por:

sydef

slefld f

uA

A2T =

em que:

Asl - área total das secções dos varões que constituem a armadura longitudinal

de torção;

uef - perímetro da linha média da secção oca eficaz; e os restantes símbolos têm

o significado anteriormente referido.

O termo Tcd tem em conta a contribuição do betão devido a vários efeitos entre os quais o

inter bloqueamento dos inertes e ainda o faço de, no caso presente, se adoptar para

inclinação das bielas um valor fixo e igual a 45º. O seu valor é dado por:

efef1cd Ah2T τ=

em que:

τ1 - Tensão cujo valor é definido no quadro VI (artigo 53.° - REBAP);



hef - espessura da secção oca eficaz, fictícia, contida na secção real, a espessura

da sua parede e a área limitada pela sua linha média.

6.4.2. Secção oca eficaz

A secção oca eficaz é definida pelos parâmetros hef, Aef e uef. Tal secção obtém-se

traçando uma linha poligonal fechada cujos vértices coincidem com as armaduras

longitudinais de torção (figura 8) e tomando, para um e outro lado desta linha, distâncias

iguais a def/12, sendo def o diâmetro do maior circulo que nela pode ser inscrito; a secção

oca eficaz não pode ter pontos exteriores à secção real.

No caso de secções em T ou em L, as regras estipuladas desde que se considere como

secção oca eficaz a que resulta da justaposição das secções ocas eficazes relativas aos

rectângulos componentes, suprimindo os troços de parede justapostos por forma a se obter

uma única parede contornando toda a secção.

Esta parede terá, em princípio, espessura hef diferente de rectângulo para rectângulo,

devendo considerar-se o menor valor de hef para o cálculo de Tcd e para a definição do

valor limite superior de TRd; além disso, o comprimento de cada rectângulo componente do

banzo não deve exceder 3 vezes a espessura deste (fig. 9 abaixo).

Definição da secção oca eficaz.

Secção oca eficaz duma secção em L



6.4.3. Valor máximo do momento torsor resistente

Como já foi referido, um dos possíveis modos de rotura na torção é por esmagamento

do betão das bielas comprimidas, razão pela qual, e da mesma forma que para o

esforço transverso, se evita que tal ocorra limitando o momento torsor máximo ao valor:

TRd ≤ 2 τ2 hef Aef

em que τ2 é uma tensão cujo valor é definido no quadro VII (artigo 53.°-REBAP).

6.4.4. Constituição da armadura e espaçamento dos varões

A armadura transversal de torção deve ser constituída por estribos fechados por meio

de emendas executadas de acordo com as regras gerais sobre esta matéria contidas

no REBAP. Assim, as extremidades dos estribos devem sobrepor-se num comprimento lb,0

dado por:

sydefs

cal,sb10,b f

A

All α=

com:

sydbd

sydb f

f

f

4l

Φ=

em que:

− α1 é o coeficiente que toma o valor de 0,7 no caso de amarrações com

extremidades curvas e é igual à unidade nos restantes casos;

− As,cal é a secção do varão dos estribos requerida pelo cálculo;

− As,ef é a secção do varão dos estribos efectivamente adoptada;

− ∅ é o diâmetro do varão do estribo;

− fsyd é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite de

proporcionalidade a 0.2% do aço que constitui os estribos;

− fbd é o valor de cálculo da tensão de rotura da aderência.

Além disso, em qualquer caso, os valores mínimos dos comprimentos de sobreposição

deverão ser de 15∅ ou 20 cm.

Na figura 10 apresentam-se três formatos de estribos fechados que podem ser

adoptados. O formato indicado na figura 10 c) só deve, porém, ser utilizado no caso de

varões de alta aderência.



Quanto ao espaçamento dos estribos, a regulamentação portuguesa estipula que, no

mínimo, seja de uef/8, em que uef é o perímetro anteriormente definido, mas não

ultrapassando em qualquer caso 30 cm.

Estribos fechados no caso de torção.

No que se refere à armadura longitudinal, os varões devem ser dispostos ao longo do

contorno interior dos estribos, com um espaçamento máximo de 35 cm, bem como em

cada vértice do contorno referido deverá existir um varão, pelo menos.

6.5. Esforço de torção associado a flexão ou a esforço transverso

No caso de secções sujeitas a torção circular associada a flexão, simples ou composta, a

determinação dos esforços resistentes deve ser feita independentemente para cada um

dos esforços, considerando separadamente as armaduras longitudinais de torção e de

flexão.

No caso de secções sujeitas a torção circular associada a esforço transverso, a

determinação dos valores de cálculo do esforço transverso e do momento torçor resistentes

deve ser feita independentemente para cada um dos esforços pelas regras indicadas nos

artigos 53.° e 55.°, considerando separadamente as armaduras transversais de torção e de

esforço transverso, e atendendo ao expresso nas alíneas seguintes os valores de Vcd e de Tcd

são dados por:

No caso de 1Tv τττ ≤+ :

dbV wTv

v1cd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ττ

ττ e efefTv

v1cd Ah2T ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ττ

ττ



No caso de 1Tv τττ >+ :

dbV w1cd τ=

Tcd= 0

Nestas expressões, db

V

w

sdv =τ e

efef

sdT Ah2

T=τ , sendo VSd e TSd, respectivamente, os valores de

cálculo do esforço transverso e do momento torçor actuantes:

As condições limites para os valores de cálculo do esforço transverso e do momento torçor

resistentes são:

dbV wTv

v2Rd ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ττ

ττ e efefTv

v2Rd Ah2T ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ττ

ττ

6.6. Disposições construtivas

A armadura mais favorável seria constituída por uma hélice com inclinação a 45º em

relação ao eixo da peça, no entanto este tipo de armadura, para além da dificuldade

de execução. Apresenta a desvantagem de só trabalhar num sentido de torção, por

esse motivo é normal que a armadura de torção seja constituída por cintas fechadas e

varões longitudinais.

O REBAP, define para espaçamento entre cintas, um valor que não deve exceder 1/8

uef, nem 30 cm, sendo uef, o perímetro da linha média da secção oca eficaz, definida no

Art.º 55. Por outro lado os varões da armadura longitudinal de torção devem ser

colocados ao longo do contorno interior das cintas, com um espaçamento máximo de

35 cm, devendo em cada vértice do contorno existir pelo menos um varão.

É recomendável utilizar menores espaçamentos entre varões longitudinais

(aproximadamente 10 cm a 15 cm), para controlo de fendilhação.



7. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ENCURVADURA

7.1. Introdução

A verificação da segurança em relação à encurvadura consiste de uma forma geral em

procurar a deformação de equilíbrio do pilar. Entrectanto, começa-se por procurar a

deformação provocada pela solicitação inicial e com ela o agravamento dos momentos e

com estes (novos momentos totais) é recalculada a deformação e assim sucessivamente.

Em cada fase deste agravamento, o momento máximo é comparado com a capacidade

resistente da peca.

Devido à complexidade de cálculo deste método, o REBAP utiliza o Método mais

simplificado da coluna padrão (Model-Column) para a verificação da segurança de pecas

comprimidas em relação à encurvadura. Trata-se de um pilar encastrado na base e livre no

topo, solicitado axialmente e em flexão plana por momentos flectores constantes ou

variáveis ao longo do seu eixo.

Assim, para a aplicação deste método a seguir apresentam-se os parâmetros fundamentais

a ter em linha de conta para a verificação da segurança.

7.2. Parâmetros fundamentais para a verificação da segurança

7.2.1. Mobilidade da Estrutura (tipos de estrutura)

Para efeitos da verificação da segurança ao Estado Limite Último de Encurvadura, o art.º 58

do REBAP classifica as estruturas em dois tipos, à saber:

a) Estruturas de Nós Fixos: estruturas em que os deslocamentos horizontais são

desprezáveis (efeitos secundários desprezáveis) e;

b) Estruturas de Nós Móveis: estruturas em que os deslocamentos horizontais não são

desprezáveis.

É muito difícil conseguir uma estrutura de nós fixos só com pilares. É necessário a existência

de elementos de grande rigidez (paredes resistentes) que absorvam as acções horizontais.

De acordo com o REBAP uma estrutura é considerada de nós fixos quando for satisfeita a

seguinte condição:

η≤∑∑

EI

Nhtot

em que:



htot - altura total da estrutura acima das fundações (ou acima do nível que se

considere muito rígido)

ΣEI - soma da rigidez de flexão de todos os elementos verticais de

contraventamento na direcção considerada devendo-se considerar uma

rigidez equivalente se estes não tiverem rigidez constante em altura

ΣN - soma dos esforços axiais ao nível da fundação (não majorados por γf).

η = 0,6 Se o número de andares n for igual ou superior a 4

n1,02,0 +=η Se o número de andares n é inferior a 4.

É necessário que os elementos de contraventamento sejam dispostos de modo a garantir

suficiente rigidez de torção ao conjunto da estrutura.

7.2.2. Esbelteza

A esbelteza mede a maior ou menor incidência do fenómeno da encurvadura, sendo

utilizada pelo REBAP na definição dos casos em que é necessário proceder à

verificação deste estado limite último.

A esbelteza de um pilar de secção constante é definida, para uma dada direcção, pela

seguinte expressão:

140il0 ≤=λ

em que:

l.l0 η= - Comprimento efectivo de encurvadura na direcção considerada (define-

se como a distância entre pontos de momento nulo da distribuição final de

momentos ao longo do pilar);

AI

i = - Raio de giração da secção transversal do pilar na direcção considerada,

considerando a secção só de betão.

Na fig. ilustra-se a influência da esbelteza no comportamento de pilares de betão armado

1- Pilares em que os efeitos geometricamente não lineares são desprezáveis

(pequeno);



2- Pilares em que os efeitos geometricamente não lineares são relevantes, sendo o

estado limite último definido pela rotura da secção mais desfavorável (é esta a

situação corrente em estruturas de betão armado) (médio);

3- Pilares em que os efeitos geometricamente não lineares são muito importantes. O

estado limite último é definido pela carga de instabilidade da coluna (elevado).

Influência de esbelteza

Na Fig. Ilustra-se a influência do nível de esforço axial (relativo ao nível de momento

flector) no comportamento de pilares de betão armado de grande esbelteza:

1) e = M/N pequeno (i.e. , N grande em relação a M). Os efeitos geometricamente

não lineares são muito importantes. O estado limite último é definido pela

carga de instabilidade elastoplástica da coluna (sem rotura de secções);

2) e = M/N grande. Os efeitos geometricamente não lineares são ainda relevantes.

O estado limite último está associado à carga de instabilidade elastoplástica e,

para esse nível, a secção mais desfavorável está perto do estado limite último de

resistência;

3) e = M/N muito grande. Os efeitos geometricamente não lineares são

desprezáveis. O estado limite último será associado à rotura (dúctil) da secção

mais desfavorável.



Influência do nível do esforço axial no comportamento de pilares

7.2.3. Comprimento efectivo de encurvadura e secção critica

Como mostra a fig., o comprimento efectivo de encurvadura é a distância entre dois

pontos de inflexão consecutivos da deformada sinusoidal que toma um pilar em situação

de encurvatura.

Comprimento efectivo de encurvadura

Na fig. representa-se o comprimento efectivo de encurvadura para uma estrutura de nós

fixos e de nós móveis.



Nós fixos:

Nós Móveis:

Comprimento efectivo de encurvadura

Os casos a), b) e c) são pilares de nós fixos porque a sua excentricidade mantém-se na

vertical, sendo o comprimento efectivo de encurvadura no máximo igual ao

comprimento do pilar. Os casos d) e e) são pilares de nós móveis, porque existe um

deslocamento das extremidades do pilar, sendo o seu comprimento efectivo de

encurvadura no mínimo igual ao comprimento do pilar.



A realidade de uma estrutura é diferente do exposto, porque as extremidades do pilar

estão quase sempre ligadas a lajes, vigas, pilares ou à fundação. Tendo em atenção na

definição de translação significativa da extremidade do pilar), a questão é se as peças de

ligação serão ou não capazes de impedir essa translação.

Nós Móveis:

Nós Fixos:

Comprimento efectivo de encurvadura de uma estrutura

O art.º. 59.2 do REBAP permite a determinação do comprimento efectivo de

encurvadura nos casos correntes em que se define por

l.l0 η=



em que l é o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende da relação da

rigidez dos pilares e das vigas em cada um dos seus extremos e que pode considerar-se

com os seguintes valores:

Pilares de estruturas de nós fixos: ( )

⎩⎨⎧

+++

=105,085,0

105,07,0min

min

21

≤

≤

ααα

η

Pilares de estruturas de nós móveis: ( )

⎩⎨⎧

+++

=min

21

3,02

15,00,1min

ααα

η

em que:

α1 – Parâmetro relativo a uma das extremidades dos pilar, dado pela relação

entre a soma das rigidezes de flexão dos pilares que concorrem no nó e a

soma das rigidezes de flexão das vigas que aí também concorrem;

α2 – Parâmetro idêntico a α1, relativo à outra extremidade do pilar;

αmin – o menor dos valores de α.

Nas extremidades de pilares ligados a elementos de fundação devem considerar-se os

seguintes valores de α:

− No caso de sapatas que confiram ao pilar encastramento parcial: α=1;

− No caso de sapatas que confiram ao pilar encastramento perfeito: α=0;

− No caso de sapatas cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de

momentos: α=10.

Os parâmetros a visam medir a maior ou menor liberdade de rotação de cada

extremidade do pilar.



7.2.4. Direcções de encurvadura

As peças comprimidas terão de ser estudadas nas duas direcções principais de flexão,

porque podem ter:

− Diferentes momentos de inércia nessas direcções;

− Diferentes ligações ao resto da estrutura nas suas extremidades;

− A estrutura pode ter diferente mobilidade nessas direcções

Como sabemos, de acordo com as disposições do art.º 59.º as estruturas serão

classificadas de nós fixos ou de nós móveis.

Assim temos:

1. Estruturas com a mesma mobilidade nas duas direcções.

− É de nós fixos em ambas as direcções, as secções críticas de encurvadura

segundo as direcções x, y situam-se ambas numa zona intermédia do pilar.

− É de nós móveis em ambas as direcções, as secções críticas de encurvadura

x, y situam-se ambas num ou ambas as extremidades do pilar

2. Estruturas de nós fixos numa direcção e de nós móveis na outra direcção.

− Para uma direcção a secção crítica encontra-se numa zona intermédia do

pilar e para a outra direcção a secção crítica situa-se num ou ambas as

extremidades do pilar, sendo necessário o estudo separado em cada

direcção.

Se a estrutura tiver igual mobilidade nas duas direcções, a encurvadura será estudada

simultaneamente em ambas as direcções. Se a estrutura for de nós fixos numa direcção

e nós móveis na outra direcção, mesmo que haja encurvadura simultânea, o

agravamento dos momentos resultantes da deformação surgem em secções diferentes,

o pilar será estudado separadamente em ambas as direcções. Para a direcção em que

a estrutura é de nós fixos, a verificação de segurança será feita na sua secção crítica,

posição intermédia, agravando-se apenas os momentos flectores correspondentes à

direcção em causa. Na direcção em que há mobilidade, serão estudadas as secções

críticas das extremidades do pilar, agravando-se apenas o momento-flector

correspondente a essa direcção.



Direcções de encurvadura

7.2.5. Momentos actuantes nas secções criticas

Para assegurar a estabilidade do pilar deverá verificar-se na sua secção crítica a

desigualdade:

rdsdsd MeNM ≤×+

em que:

Msd – momento inicial ou momento de 1.ªordem

Nsdxe – agravamento do momento

Como foi exposto, numa estrutura de nós móveis a localização de secção crítica está

perfeitamente definida (um, ou ambos, dos extremos do pilar), no caso da estrutura ser

de nós fixos essa secção crítica situa-se numa zona intermédia dos topos do pilar, porém

se as condições de ligação das extremidades do pilar forem idênticas, essa secção

situar-se-á a meia altura do pilar. Se uma das ligações for mais rígida, a secção crítica

aproximar-se-á daquela que tiver menor rigidez.



Secção crítica de um pilar

O art.º. 62 do REBAP fixa os momentos a considerar:

− Nos pilares pertencentes a estruturas de nós móveis, pode considerar-se que as

secções críticas se localizam junto das extremidades dos pilares, sendo,

portanto, em relação aos valores de cálculo dos momentos flectores, ai

actuantes que deve proceder-se à verificação da segurança de acordo com os

critérios estabelecidos no artigo 61.º

− Nos pilares pertencentes a estruturas de nós fixos, a secção crítica não se

localiza em geral junto das extremidades do pilar (mas antes numa zona

intermédia), e valor do momento a considerar deve ser o maior dos valores obtidos

pelas seguintes expressões:

b,sda,sdsd M4.0M6.0M +=

a,sdsd M4.0M =

em que Msd,a e Msd,b são os momentos nas extremidades dos pilares e em que b,sda,sd MM ≥

e atribuindo-lhes o mesmo sinal ou sinais contrários consoante determinem uma deformada

do pilar com simples ou dupla curvatura, respectivamente.

Momentos Msd.a e Msd,b



Quadro 2 – Secções críticas

Nas estruturas de nós móveis a verificação é feita em relação aos valores de calculo dos

momentos flectores Msd aí existentes de acordo com os critérios estabelecidos no artigo

61.

Nas estruturas de nós fixos a verificação é feita em relação aos momentos Msd, o maior

dos dois valores (Art.º. 62.2):

Momentos actuantes nas secções críticas



7.2.6. Excentricidades

O REBAP define três tipos de excentricidades com que o esforço axial actua na secção

crítica do pilar.

e2 – excentricidade de 2.ª ordem, aquela que resulta da própria deformação

do pilar na eminência de encurvadura.

ea – excentricidade acidental, aquele que resulta de eventuais defeitos de

construção, aliado à incerteza do posicionamento do esforço axial

relativamente ao eixo do pilar

ec – excentricidade de fluência, aquele que resulta da fluência do betão com

o tempo.

a) Excentricidade de 2.ª ordem

Esta excentricidade corresponde à flecha no pilar, relativa à secção crítica

10l

r1

e20

2 =

com (curvatura)

η.10h5

r1 -3×=

e

sd

ccd

NA.f.4,04,0

==ν

η

O valor proposto para e2 pode ser obtido considerando uma coluna bi-articulada solicitada

por um esforço NE=Ncrit.

Figura 10



na secção critica 10l

r1

y2

c.sc.s =

O valor de 1/r pode ser obtido atendendo às seguintes considerações:

d

0035,0

r1 sydε+=

Valor que depende do tipo de aço utilizado:

0,0045/d para o aço A235;

0,0052/d para o aço A400;

0,0057/d para o aço A500

b) Excentricidade acidental

Os eventuais defeitos de construção, tais como a não verticalidade dos pilares, aliada

á incerteza do posicionamento do esforço axial relativamente ao eixo do pilar, a

deficiente quantificação do momento flector, leva a que no sentido da segurança se

considere que o esforço axial actua com excentricidade acrescida, a excentricidade

acidental ea.

Esta excentricidade que se estende a toda a secção do pilar, sempre no sentido

desfavorável, será na secção crítica, aquela onde se vai proceder à verificação de

segurança em relação à encurvadura.

O REBAP no ARTº 63.2, fixa para o valor da excentricidade acidental em:

m6l300l

e 00

a >= →

m6lcm2e 0a ≤→=



c) Excentricidade de fluência (ec)

O aumento de encurvadura de pilares de betão armado com o tempo, devido à fluência

do betão, pode vir a provocar a rotura por encurvadura de um pilar inicialmente estável.

A excentricidade de fluência e calculada em face dos esforços actuantes com

carácter de permanência e das propriedades reológicas do betão (ART.º 63.4); têm em

conta o acréscimo de deformação do pilar devido à fluência:

No caso de se verificar uma das seguintes condições a excentricidade de fluência pode

deixar de ser considerada:

70

h0,2NM

sd

sd

≤

≥

λ

Nos caso correntes pode considerar-se para ec o valor da seguinte expressão:

em que:

MSg, NSg – Esforços devidos às acções com carácter de permanência não

afectadas de γf;

ea – excentricidade acidental;

ϕc(t∞,t0 ) - coeficiente de fluência que poderá em geral, tomar o valor de 2,5;

20

c28,cE l

IE10N = - Carga crítica de Euler, em que Ec,28 é o módulo de

elasticidade, Ic é o momento de inércia da secção (considerando só

betão) e l0 é o comprimento efectivo de encurvadura.

7.3. Verificação da segurança em relação ao estado limite último de encurvadura

A verificação da segurança de pilares à encurvadura consiste na verificação da

capacidade resistente das suas secções criticas aos esforços a que estão submetidas (Nsd e



Msd) e ainda ao agravamento dos momentos provocados pelas excentricidades

provocadas (ou impostas).

7.3.1. Momentos actuantes na secção crítica

As excentricidades são calculadas separadamente para cada uma das direcções de

encurvadura nas secções críticas. Para estruturas de nós fixos em ambas as direcções

determinada com o exposto em 2.5.4 e ARTº 62, deverão ser considerados para esforços,

( )( )x,cx,ax,2sdy,sd

y,cy,ay,2sdx,sd

sd

eeeNM

eeeNM

N

+++

+++

Naturalmente as secções das extremidades do pilar deverão ser igualmente verificadas

apenas com os seus esforços de 1ª ordem que podem ser mais desfavoráveis.

Para estruturas de nós móveis em ambas as direcções, a verificação é semelhante à

anterior (nós móveis em ambas direcções) situando-se a secção critica nas

extremidades do pilar.

Para estruturas de nós móveis numa direcção e de nós fixos na outra direcção,

considerando por exemplo nós móveis na direcção de y.

( )y,sd

y,cy,ay,2sdx,sd

sd

M

eeeNM

N

+++

e na secção intermédia

( )x,cx,ax,2sdy,sd

x,sd

sd

eeeNM

M

N

+++

Na definição das combinações de acções para os estados limites últimos de encurvadura

há que analisar cuidadosamente os coeficientes majorativos a adoptar (Cap. II).

Os parâmetros que afectam o comportamento das colunas são:

− Esbelteza e nível de esforço axial;

− Tipo de acções; duração e magnitude das acções permanentes;

− Forma do pilar;



− Condições de fronteira;

− Propriedades dos materiais (incluindo efeito tempo);

− Quantidade e distribuição das armaduras.

Segundo o art.º 62.º o seu estudo terá que ser efectuado para cada uma das direcções de

encurvadura, tendo para esforços de cálculo em cada direcção:

( ) 'sdca2sdsd

sd

MeeeNM

N

=+++ (na secção critica)

e nas duas direcções a verificação pode ser expressa por:

1M

M

M

M

yo,Rd

'y,sd

xo,Rd

'x,sd ≤+

em que:

ea - mede o valor da excentricidade acidental

e2 - a excentricidade de 2ª. Ordem

ec - a excentricidade de fluência

( )( )x,cx,ax,2sdy,sd

'y,sd

y,cy,ay,2sdx,sd'

x,sd

eeeNMM

eeeNMM

+++=

+++=

MRd,xo e MRd,yo são valores de cálculo dos momentos resistentes segundo cada um dos

eixos principais de inércia da secção em flexão não desviada, composta com um

esforço normal de valor igual a NSd.

7.3.2. Dispensa de verificação em relação à encurvadura

Segundo o Art.º 61.4 a dispensa é permitida se as relações entre os valores de cálculo dos

momentos flectores normais actuantes MSd e NSd sejam os seguintes:

70 para70

h5,3NM

70 parah5,3NM

sd

sd

sd

sd

>λλ

λ

≥

≤≥

Sendo “h” altura total da secção perpendicular ao eixo de flexão e “λ ” a esbelteza da

peça na direcção considerada. A esbelteza seja:



fixosnós de estruturas para MM

15-50λ

móveisnós de estruturas para 35λ

asd,

bsd,≤

≤

em que:

Msd,b e Msd,a - são os momentos de 1.ª ordem nas duas extremidades do pilar e

na direcção considerada de tal modo em que se verifique |Msd,a|

= |Msd,b|, atribuindo-lhe o mesmo sinal ou sinais contrários

consoante determina na deformação do pilar com simples ou com

dupla curvatura.

Por último refira-se que segundo o art.º 64, os pilares não devem, em caso algum, ter

esbelteza, definida no art.º 59.1, superior a 140. A figura 11 resume as situações de

verificação da segurança com as de dispensa no caso geral das secções críticas estarem

solicitadas em flexão desviada.

Resumo das disposições da segurança com as de dispensa



A verificação da segurança em relação à encurvadura torna-se simplificada desde que

as estruturas sejam de nós fixos nas duas direcções ortogonais. Por outro lado, nas

estruturas de nós móveis raramente é dispensada a sua verificação, pelo que se

aconselha sempre que possível a estrutura caia na classificação de nós fixos, sendo esta

sem dúvida a mais favorável às acções horizontais (ventos e sismos).

Em edifícios em que existam caixas de escada e elevadores em betão armado, estas

devem-se posicionar de tal forma que permita, com o auxílio ou não de paredes de

travamento, englobar a estrutura numa classificação de nós fixos, mesmo que para isso

vá encarecer um pouco a obra, é pelo lado da segurança que a estrutura deve ser

definida.

7.4. Pré-dimensionamento de pilares

As dimensões dos pilares são estimadas a partir do valor da carga axial, a qual pode ser

rapidamente estimada, embora a presença de momentos nos pilares causa um aumento

da área determinada com base na carga axial.

O pré-dimensionamento dos pilares é, efectuado a partir da verificação de segurança de

peças sujeitas à compressão simples, comparando os esforços actuantes Nsd, com os

esforços resistentes, Nrd.

rdsd NN ≤

Os esforços resistentes são calculados a partir da soma dos esforços resistentes de cada um

dos materiais, aço e betão.

s,rdc,rdrd NNN +=

Onde:

ccdc,rd Af85,0N =

ssyds,rd AfN =

Considerando %1AA

c

s ==ρ (esta percentagem deve variar entre 0.7 a 1.5%, para que a

tensão de compressão no betão não seja elevada e consequentemente a durabilidade

da estrutura seja a adequada), teremos:



csydccdrd Af01,0Af85,0N +=

Que por sua vez e igual a:

( ) csydcdrd Af01,0f85,0N +=

O valor (0.85 fcd + 0.01 fsyd) é uma tensão que depende das características dos materiais

a usar, betão e aço.

O valor dos esforços actuantes Nsd, pode ser obtido através da seguinte expressão:

psisd f.n..A.10N γ=

Em que:

10 – Representa o valor médio das cargas permanentes e da sobrecarga a

actuar por m2 de laje (tendo em conta o peso próprio das vigas e dos

pilares);

Ai – área de influência de cada pilar i;

γs– factor de majoração (1.5);

n – numero de andares acima do piso em que se está a pré-dimensionar o

pilar;

fp – factor de posição

A variação do espaço normal ao longo da altura do edifício é importante, dado que este

cresce de uma forma regular desde a parte superior do prédio até à parte inferior. A

variação do momento-flector ao longo da altura do edifício é muito pequena. Por isso, a

influência dos momentos, comparada com a das cargas axiais, é maior nos andares

superiores do que nos inferiores. Como se referiu o pré-dimensionamento é feito só

atendendo ao esforço normal, desprezando-se a presença do momento-flector. O valor

de Fp, pretende ter em conta a importância que o momento-flector pode ter no pré-

dimensionamento. É portanto, um factor que deverá ser maior quando maior for a

importância do momento-flector em relação ao esforço normal. Assim nos pisos superiores

este valor deverá ser maior do que nos pisos inferiores e nos pilares extremos também

deverá ser maior do que nos pilares interiores.

É habitual considerar-se para fp os valores de 1.5, 1.3 e 1.1, consoante a posição que os

pilares ocupam em planta e em altura. Assim, para pilares situados na parte de cima do

edifício, usa-se o valor de fp = 1.5 para pilares extremos e fp=1.3 para pilares interiores. Se o

pilar está situado na parte debaixo do edifício (normalmente considera-se a parte de



baixo, como a correspondente à parte abaixo da meia altura do edifício) o valor de fp

deve ser tomado igual a 1.3 para os pilares extremos e 1.1 para os pilares interiores.

Genericamente, determinado o valor de Nsd, a secção do pilar obtêm-se a partir da

expressão:

crdsd A.NN σ=≤

Logo,

σsd

c

NA =

Contudo, por motivos de esta fórmula não contabilizar o efeito dos momentos, será de

adoptar:

• Acções verticais (ex: carga permanente, sobrecarga):


• Acções horizontais (ex.: sismo, vento)


De notar que o valor indicado para zonas de incidência sísmica, já está de acordo com as

regras mínimas para efeitos de estruturas de ductilidade melhorada (0,6).

Definida a área Ac do pilar, começa-se a definir as secções do pilar ao longo da altura do

edifício. É habitual começar-se a definir a secção do pilar ao nível do 1ºandar, já que é

normalmente neste piso que as dimensões são mais condicionantes, atendendo à

presença das divisórias.



BIBLIOGRAFIA

[1] Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré - Esforçado.

[2] Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes.

[3] Lima, J. D’Arga et al. - “Betão Armado. Esforços Normais e de Flexão”.

[4] Lima, J. D’Arga et al. - “Betão Armado. Esforços Transversos de Torção e de

Puncoamento”. LNEC, 1996.

[5] Apontamentos de Betão Armado e Pré-esforçado da Universidade do Porto.

[6] Lima, J. D’Arga et al. - “Betão Armado. Armaduras”.

[7] Leonhardt, F. e Monnig E. - “Construções de Concreto”, Vols. I, III e IV, Livraria

Interciencia, 1977/79.

[9] Montoya, P.J. et al. – “Hormigon Armado”, 14a Edicion, Editorial Gustavo Gili, Barcelona,

2001.

[12] Apontamentos de Betão Armado e Pré-esforçado da Universidade do Minho.

[13] Apontamentos de Betão Armado e Pré-esforçado do IST Portugal.

[14] Apontamentos de Betão Armado e Pré-esforçado da Universidade de Coimbra

[15] Monografias das Universidades Brazileiras (UFMG, FEUSP, UPB)

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Resumo de Apontamentos_20 12.pdf