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Fsica III

2007

Objetivos da disciplina Fsica III: Levar o aluno a compreender os fenmenos gerados por cargas estticas e suas interaes. Entender e analisar os efeitos produzidos pela passagem da corrente eltrica em componentes de circuitos de corrente contnua. Adquirir conhecimentos sobre os fenmenos magnticos gerados pela corrente eltrica e por materiais magnticos e suas aplicaes em circuitos eltricos. Programa da disciplina: 1. Carga eltrica: Lei de Coulomb. Campo eltrico. Potencial eltrico. 2. Corrente Eltrica: Resistividade. Resistncia. Fora eletromotriz. Potncia eltrica. Resistores em srie e em paralelo. Circuitos de corrente contnua. Leis de Kirchhoff. 3. Capacitncia: Capacitores. Dieltricos. Capacitores em srie e em paralelo. Circuitos R-C. 4. Magnetismo: Campo magntico. Fora magntica. Torque. Movimento de cargas. 5. Fontes de Campo Magntico: Lei de Biot-Savart. Lei de Ampre. Aplicaes da Lei de Ampre. Fluxo Magntico. Corrente de deslocamento. 6. Induo Magntica: Lei de Faraday. Lei de Lenz. Fora eletromotriz produzida pelo movimento. Campos eltricos induzidos. Correntes de Foucault. 7. Indutncia: Indutncia mtua. Indutores e auto-indutncia. Energia do campo magntico. 8. Materiais Magnticos: Paramagnetismo. Diamagnetismo. Ferromagnetismo. Bibliografia mnima: YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Fsica. So Paulo: Pearson, 2003, v. 3. KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Fsica. So Paulo: Makron Books, 1999, v. 2. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Fsica Bsica. So Paulo: Edgard Blucher, 2002, v. 3 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fsica. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1996. v. 3. TIPLER, P.A. Fsica. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1999. v. 2. HENNIES, C. E.; GUIMARES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Fsica. Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2.

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A Lei de Coulomb Fora eltrica Cargas eltricas. Grcia Antiga, 600 a.C., o mbar quando atritado com a l, adquiria a propriedade de atrair objetos leves. Cargas semelhantes repelem-se; cargas diferentes atraem-se. Prtons: carga eltrica positiva; eltrons: carga eltrica negativa. Corpo eltricamente neutro: a soma algbrica das cargas positivas do ncleo e das cargas negativas dos eltrons cancelam-se. Corpo eletrizado: objeto que perdeu ou recebeu eltrons. Condutores e isolantes. Nos condutores, os eltrons livres, mais externos, se movem de uma regio outra, o que no ocorre nos isolantes. Eletrizao por atrito, por contato ou por induo. Eletrizao por induo:

Lei de Coulomb:

A interao eltrica entre duas partculas eletrizadas descrita em termos das foras que elas exercem mutuamente. O mdulo da fora eltrica que a carga 1 exerce na carga 2, separadas por uma distncia r, dado por:

F=k

q 1q 2 r2

onde F= fora de atrao ou repulso entre as cargas, em newtons (N). k=8,98755.109 N.m2.C-2 9,0.109 N.m2.C-2 = constante eletrosttica. q1, q2 = carga eltrica da partcula, em coulomb (C). r=distncia entre as cargas eltricas, em metros (m). A equao pode ser expressa, tambm, da seguinte forma:

F=

1 q1q2 4 o r 2

onde

1 = k = 8,98755.109 N.m2.C-2 9,0.109 N.m2.C-2 4 o

o = 8,854185.10-12 C2.N-1.m-2 = permissividade do espao livre (vcuo). Mdulo das cargas eltricas do eltron e do prton=1,602192.10-19 C 1,6.10-19 C. Coulomb: 1 C a quantidade de carga que passa pela rea da seo transversal de um fio condutor em 1 segundo, quando circula pelo condutor uma corrente eltrica de 1 A. Se vrias foras atuam sobre uma carga eltrica, a fora resultante sobre ela determinada atravs da soma vetorial de todas as foras:

r r r r r FRe sul tan te = F1 + F2 + F3 + .... + FN

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O Campo Eltrico Campo, de uma maneira geral, uma grandeza que pode ser associada posio. Exemplo: a temperatura do ar em uma sala tem um valor especfico em cada ponto. Campos vetoriais: grandezas vetoriais definidas em cada ponto do espao. A velocidade do vento na atmosfera terrestre e o campo gravitacional da Terra so exemplos de campos vetoriais. Campo eltrico a regio de influncia de uma carga eltrica, manifestada atravs da fora r eltrica que atua sobre uma carga de teste colocada neste campo. Define-se o campo eltrico E , r no ponto P, como a fora F exercida pela carga q sobre a carga de teste q0, dividida por q0.

O campo eltrico no ponto P:

r r F E= q0Ei = k qi 1 qi = 2 2 4 0 ri ri

Mdulo do campo eltrico para uma carga puntiforme:

Campo eltrico resultante num ponto P, devido ao campo eltrico de N cargas geradoras:

r r r r N r N kq r ER = Ei = E1 +E2 +......+EN = 2i ri 0 i =1 i =1 r i0

A unidade de campo eltrico, no S.I., o newton por coulomb (N/C).Exemplos de Campos EltricosNos condutores eltricos domsticos Nas ondas de rdio Na baixa atmosfera Na luz do sol Prximo a um pente de plstico carregado Numa nuvem de tempestade Num raio E (N/C) 10-2 Num tubo de imagem de TV 10-1 102 10 10 103 3

E (N/C) 105 105 106 3x106 6x1011 2x1021

No cilindro carregado de uma copiadora Num tubo de raios X Rigidez dieltrica do ar No eltron de um tomo de hidrognio Na superfcie de um ncleo de urnio

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Linhas de Campo Eltrico As linhas de campo eltrico constituem um auxlio para visualizar o campo. A linha de campo traada de tal maneira que sua direo e sentido em qualquer ponto so os mesmos que os do campo eltrico nesse ponto. A figura a seguir mostra alguns exemplos de linhas de campo.

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Exemplos de linhas de campo eltrico. (a) Partcula com carga positiva; (b) Partcula com carga negativa; (c) Dipolo; (d) Duas partculas com mesma carga positiva; (e) Duas partculas com cargas +2q e -q; (f) Disco carregado uniformemente.

Energia Potencial Eltrica Energia potencial de uma partcula de teste no campo eltrico de uma carga puntiforme.

O trabalho realizado pela fora eltrica para deslocar a carga de teste qo de a para b, dado por:r r b r q dr q q r dr q q = o 2 = o w = F .dl = qo E .dl = qo 2 a a r 4 r 4 o r r 4 o o bb b a a

1 r r

rb

a

w=

qo q 1 1 4 o ra rb

Como o trabalho uma variao de energia potencial (U) que a carga de teste possui nos pontos a e b, temos:

Ua U b =

qo q 1 1 4 o ra rb

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Energia potencial de uma carga de teste no campo eltrico de vrias cargas puntiformes:

U = U1 + U2 + U3 + .....+ Ui =

qo 4 o

qi ri

A unidade de trabalho (w) e energia potencial (U), no S.I., o joule (J).

Potencial Eltrico O potencial eltrico V em um ponto P igual energia potencial eltrica U de uma carga de teste no ponto P dividida pela carga de teste qo.

V =

U qo

Potencial devido a partculas carregadas.

V =

1 4 o

qi ri

onde ri a distncia entre a carga i e o ponto P. O potencial eltrico dado, no S.I., em J/C que recebe o nome de volt (V). Diferena de potencial.

Va Vb =

Ua Ub qo

Em um campo eltrico constante, a diferena de potencial entre os pontos a e b dada por:

Va Vb = E x Campo eltrico em termos do potencial:

Ex =

V x

Ey =

V y

Ez =

V z

Estas equaes mostram que a unidade de campo eltrico tambm pode ser o volt/metro (V/m). Superfcies Equipotenciais uma superfcie na qual o potencial constante. A energia potencial de um corpo eletrizado a mesma em todos os pontos desta superfcie. Com isto, no h trabalho realizado para mover o corpo eletrizado em tal superfcie. Portanto, a superfcie equipotencial, em qualquer ponto, deve ser perpendicular ao campo eltrico neste ponto.

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Figura mostrando as linhas de fora do campo eltrico e as superfcies equipotenciais. Exemplos: Lei de Coulomb: 1. Trs cargas puntiformes esto sobre o eixo x. A carga q1 = 25 nC est na origem, a q2 = -10 nC em x = 2 m e a qo = 20 nC em x = 3,5 m. Determine a fora resultante sobre qo exercida por q1 e q2. 2. Uma carga de 5 C colocada em x=0, e uma segunda de 7 C colocada em x=100 cm. Em que posio deve se colocar uma terceira carga para que a fora resultante sobre ela, devido s outras duas, seja nula? Campo Eltrico: 3. Quando uma carga de prova de 5 nC colocada num certo ponto, sofre uma fora de 2 x 10-4 N na direo X. Qual o campo eltrico neste ponto ? 4. Uma carga positiva q1 = 8 nC est na origem e uma outra carga positiva q2 = 12 nC est em x=4 m. (a) Determinar o campo eltrico deste sistema de cargas em x=7 m; (b) Determinar o ponto, sobre o eixo dos X, onde o campo eltrico nulo. Potencial Eltrico: 5. Uma partcula cuja carga q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma linha reta. A distncia total d = 0,5 m. O campo eltrico uniforme ao longo desta linha, na direo de A para B, com mdulo E = 200 N/C. Determinar a fora sobre q, o trabalho realizado pelo campo e a diferena de potencial VA - VB. 6. Cargas puntiformes de 12x10-9 C e -12x10-9 C so colocadas a 10 cm de distncia, como indicado na figura. Calcular os potenciais nos pontos a, b e c.

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Corrente eltrica A fora motriz (F = qE) sobre uma partcula carregada (q) faz com que esta se mova no mesmo sentido da fora, com uma velocidade de arrastamento vd (os choques entre as partculas produzem aquecimento). Corrente eltrica: carga resultante que flui atravs da rea, por unidade de tempo.(a) Corrente eltrica em um fio com portadores de carga positivos. (b) Corrente em um fio com portadores de carga negativo. O sentido da corrente para a direita em ambos os casos.

i=

Q t

ou

i=

dQ dt

No S. I., a corrente eltrica dada em ampre (A = C/s).

Seja: n = nmero de partcula por unidade de volume. vd = velocidade de arrastamento das partculas. vd dt = dl = distncia percorrida pela partcula em um tempo dt. A vd dt = volume do cilindro. n A vd dt = nmero de partculas dentro do cilinndro sombreado. q = carga de uma partcula. Ento: dQ = q n A vd dt

i=

dQ = q n Avd dti

Generalizando para vrias partculas diferentes, temos:

i = A q i ni v i Densidade de corrente (J): corrente por unidade de rea transversal. Da equao i = A qi ni v i temos:i

i = q i ni v i = J A iResistividade A densidade de corrente em um condutor depende do campo eltrico E e da natureza do condutor. Em metais, temos:

r

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=

E J

onde = resistividade do material (.m)

Quanto maior a resistividade, maior ser a intensidade do campo eltrico necessria para estabelecer uma dada densidade de corrente (caracterstica do material). A resistividade constante para temperatura constante (Lei de Ohm). Para condutores metlicos, temos:

T = o [1 + (T To )]onde: T = resistividade temperatura T (.m).

o = resistividade temperatura To (referncia: 0 oC ou 20 oC). = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1).

0,1 a 92 K

Coeficientes de temperatura da resistividade () e Resisitividade () temperatura ambiente

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Resistncia Consideremos um segmento de um fio condutor dado pela figura abaixo:

A diferena de potencial V, entre as extremidades, dada por:

V =E L V =E LComo =

r E = campo eltrico uniforme ao longo do condutor.

Onde

LA

E , temos que, E = J , ento: J i V como J = =J A L L V i = i V= A L A

temos:

para uma amostra particular de um material, chamada de resistncia R, ou seja,

R=Ento,

LA(Lei de Ohm)

V =R i

onde: V = diferena de potencial (V). R = resistncia eltrica do condutor, em ohm (). i = intensidade da corrente eltrica atravs do condutor, em ampre (A). A resistncia eltrica de um condutor constante para temperatura constante. Para intervalos pequenos de temperatura, temos:

RT = Ro [1 + (T To )]onde: RT = resistncia do condutor temperatura T (). Ro = resistncia temperatura To (0 oC ou 20 oC). = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1).

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Fora eletromotriz Para a fonte (gerador) em circuito aberto abaixo, a diferena de potencial (ddp) entre as extremidades igual fora eletromotriz: Vab =

A fora eletromotriz uma caracterstica da fonte, em muitos casos, uma constante independente da corrente eltrica. No circuito fechado, abaixo, temos: Vab = - r.i

A corrente i no circuito dada por: VR = Vab Ri=-ri Ri+ri= i (R + r) =

i=

(R +r )

Se os terminais da fonte forem curto-circuitados com um condutor de resistncia nula ou desprezvel (R =0), a corrente de curto-circuito ser igual a:

i cc =

r

e a ddp entre os terminais ser: Vab = - r icc Vab = - r Vqb = 0

r

=-

Grfico caracterstico de uma fonte (gerador) (Vab = - r i)

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Potncia Eltrica

w =Vab Q = Vab i tw = trabalho = variao de energia potencial da carga circulante. A taxa de ganho ou perda de energia chamada de potncia (P), ou seja,

P=

w = v ab i t

ou

P=Vi

A unidade de potncia, no S.I., o joule por segundo (J/s) que chamado de watt (W). O trabalho tambm pode ser expresso da seguinte maneira,

w = P tSe a potncia for expressa em quilowatt (kW) e o tempo em horas (h), o trabalho ser expresso em quilowatt-hora (kWh). Como V = R i, a potncia dissipada por uma resistncia ser dada por: P=Vi=Rii ou, fazendo i =

P = R i2

V , temos: R P =V V R P=

V2 R

Resistores Resistores so dispositivos que convertem parte da energia eltrica recebida em energia trmica (efeito joule). Resistores em srie:

- A corrente eltrica i a mesma em todos os resistores. - A diferena de potencial V dada por: V = V1 + V2 + V3 - Como V = R i, temos: R i = R1 i + R2 i + R3 i R = R1 + R2 + R3 , onde R = resistor equivalente.

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Resistores em paralelo:

- A ddp a mesma em todos os resistores - A corrente eltrica total i dada por: i = i1 + i2 + i3 - Como V = R i, temos: i = V/R, ento:

V V V V = + + R R1 R2 R3

1 1 1 1 = + + , onde R = resistor equivalente R R1 R2 R3

- Para dois resistores em paralelo, temos:

R + R1 1 1 1 = + = 2 R R1 R 2 R1 . R 2

R=

R1 R 2 , onde R = resistor equivalente R1 + R 2

- Para n resistores iguais em paralelo:

1 1 1 1 1 + 1 +1 + ... = + + + ... = R R1 R1 R1 R1Exemplos

R=

R1 , onde R = resistor equivalente n

1. Um fio de cobre tem 80 m de comprimento e seo transversal de 0,4 mm2. A resistividade do cobre 1,72.10-8 m. Determine a resistncia desse fio. 2. Deseja-se projetar um aquecedor eltrico que seja capaz de elevar a temperatura de 100 kg de gua de 20oC a 56oC em duas horas. (a) Que potncia deve ter esse aquecedor?; (b) Se o aquecedor for projetado para ser ligado em 220 V, que valor de resistncia dever ser utilizado? (considere o calor especfico da gua = 4,2 J/goC) 3. No circuito a seguir, determine a potncia dissipada pelo resistor de 20 , na Fig.1.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 4. Da Fig.2: (a) Calcular a resistncia equivalente no circuito; (b) Determinar a ddp entre os pontos x e y, se a corrente eltrica no resistor de 8 for 0,5 A.

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5. Cada um dos trs resistores na Fig.3 tem resistncia igual a 2 e pode dissipar um mximo de 18 W, sem ficar excessivamente aquecido. Qual a potncia mxima que o circuito pode dissipar? As Leis de Kirchhoff So aplicadas quando no for possvel reduzir um circuito em combinaes simples em srie e paralelo.

Definies: N: o ponto onde trs ou mais condutores esto ligados. Exemplos no circuito acima: Pontos a, b, d, e. Malha: qualquer caminho condutor fechado. Exemplos de possveis malhas: aceda, defbd, hadbgh, hadefbgh, etc. Regra das Malhas (Primeira Regra de Kirchhoff): Quando se percorre uma malha fechada de um circuito, as variaes de potencial em cada um dos elementos do circuito tem uma soma algbrica igual a zero. Regra dos Ns (Segunda Regra de Kirchhoff): Em qualquer n do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que chegam para o n igual soma das correntes que saem do n. Procedimento para resolver um problema : 1. Em um circuito, nomear e escolher um sentido para a corrente em cada um dos ramos (ramo=trecho do circuito entre dois ns). 2. Utilizar a regra dos Ns para minimizar o nmero de variveis. 3. Escolher uma malha fechada no circuito e um sentido para percorr-la (horrio ou antihorrio). 4. Percorrer a malha no sentido escolhido, aplicando a Regra das Malhas. Contar positivamente a fem de uma fonte quando atravess-lo no sentido do (-) para o (+) e negativamente quando do (+) para o (-). No resistor, a diferena de potencial Ri ser negativo se o resistor for atravessado no mesmo sentido que o suposto para a corrente, e positivo se no sentido oposto. Igualar a soma zero. 5. Se necessrio, escolher outras malhas para obter uma relao diferente entre as incgnitas, e continuar at obter um nmero igual de equaes e incgnitas, ou at que cada elemento do circuito tenha sido includo em, pelo menos, uma das malhas escolhidas. 6. Resolver as equaes a fim de obter os valores das incgnitas.

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Exemplos: 1. Determine a corrente em cada ramo do circuito na figura a seguir.

2. Determine a corrente em cada ramo do circuito e a diferena de potencial entre os pontos a e c (Vac) na figura a seguir.

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CAPACITORES Capacitores so dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga eltrica e energia em circuitos. So constitudos por dois condutores, isolados entre si, mas muito prximos um do outro, que quando esto carregados, tem cargas eltricas iguais, porm, de sinais opostos. Utilizados em flash de mquina fotogrfica; para amortecer as ondulaes da corrente alternada, quando se converte esta corrente em corrente contnua; para sintonia de rdio ou televiso, etc. Smbolos:

Tipos:

Capacitores: de polister metalizado, cermica, eletroltico

Capacitor varivel

Construo de dois tipos de capacitores: (a) Duas folhas de dieltrico (isolante) e duas lminas de metal so comprimidas e enroladas sob forma de um cilindro; (b) Um capacitor eletroltico utiliza um eletrlito (soluo condutora) com uma "placa" e uma lmina de metal como outra placa. O dieltrico constitudo por uma camada delgada de xido na lmina de metal.

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Capacitncia (C): a medida da capacidade de armazenamento de carga para uma determinada diferena de potencial nos terminais do capacitor.

C=

Q V

No S.I., a unidade de capacitncia o farad (F): 1 F = 1 C/V. Capacitor de placas paralelas: Sejam duas placas planas, paralelas, de rea A cada uma, eletrizadas e separadas por uma distncia d.

Da Lei de Gauss, temos que:

En dA =

Q

o

E=

Q o A

Do potencial eltrico, temos: Vab = E d , substituindo a expresso do campo eltrico nesta equao:

Vab =

A Qd Q = o o A Vab d

C=

o Ad

onde: C = capacitncia do capacitor. A = rea de cada placa. d = distncia entre as placas. Dieltricos:

Um material no-condutor, como vidro, papel ou madeira, um dieltrico. Quando o espao entre os dois condutores de um capacitor for ocupado por dieltrico, a capacitncia do capacitor aumenta por um fator K, caracterstico do dieltrico, e denominado de constante dieltrica. A razo deste aumento est na diminuio do campo eltrico, entre as placas do capacitor, provocado pela presena do dieltrico. Assim, para uma dada carga eltrica nas placas, a diferena de potencial fica diminuda e a razo Q/V fica aumentada. Um dieltrico enfraquece o campo eltrico entre as placas de um capacitor, pois, na presena de um campo eltrico externo, as molculas no dieltrico so polarizadas, resultando numa carga superficial nas faces do dieltrico, produzindo um campo eltrico adicional na direo oposta do campo externo. Se o campo eltrico entre as placas de um capacitor sem dieltrico for Eo, o campo com o dieltrico :

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E=

Eo K

onde K a constante dieltrica. Num capacitor de placa planas e paralelas, com uma separao d, a diferena de potencial entre as placas :

V =E d =

Eo d Vo = K K

onde V a diferena de potencial com o dieltrico e Vo = Eo d a diferena de potencial sem o dieltrico. A nova capacitncia :

C=

Q Q Q = =K V Vo / K Vo

ou

C = K Co

A capacitncia de um capacitor de placas planas e paralelas, com um dieltrico de constante dieltrica K ento:

C=

K o A A = d d

onde

= K o a permissividade do dieltrico

(a) (b) (c) Figura: (a) Campo eltrico entre as placas de um capacitor sem dieltrico; (b) Molculas polarizadas em um material dieltrico devido a um campo eltrico; (c) Campo eltrico entre as placas de um capacitor com dieltrico. A carga superficial no dieltrico enfraquece o campo original entre as placas.

Tabela - Constantes Dieltricas e Rigidez Dieltrica de diversos materiais Material Constante dieltrica K Rigidez dieltrica (kV/mm) gua (a 20o C) 80 Ar 1,00059 3 Baquelite 4,9 24 Mica 5,4 10-100 Neoprene 6,9 12 leo de transformador 2,24 12 Papel 3,7 16 Parafina 2,1-2,5 10 Plexiglass 3,4 40 Poliestireno 2,55 24 Porcelana 7 5,7

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Vidro Pyrex

5,6

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Capacitor cilndrico: Cabo coaxial Capacitncia de um cabo coaxial de comprimento L, com condutor interno de raio Ra e condutor externo de raio Rb.

C=

2 o L ln ( Rb / Ra )

Associao de capacitores em srie: Carga total na associao: Q = Q1 = Q2

V1 = Va Vc =

Q Q V2 = Vc Vb = C1 C2 V = Va Vb = (Va Vc ) + (Vc Vb )1 Q Q 1 + = Q + C C C1 C2 2 1

V = V1 + V2 =

V 1 1 = + Q C1 C21 1 1 = + + .... Ceq C1 C2(capacitor equivalente srie) Associao de capacitores em paralelo:

Q1 = C1 V Q2 = C2 VCarga total na associao: Q = Q1 + Q2 Q = C1 V + C2 V = (C1 + C2) V

Q = C1 + C2 VCeq = C1 + C2 + ... (capacitor equivalente paralelo)

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Energia eltrica armazenada em um capacitor Quando uma bateria carrega um capacitor, realiza trabalho ao transferir portadores de carga de uma placa para outra, elevando a energia potencial dos portadores. Essa energia potencial aumentada dos portadores de carga constitui a energia eltrica armazenada em um capacitor. Como o potencial eltrico V dado por: V =

U , onde U a energia potencial eltrica, temos q

que a variao de energia potencial de um sistema quando a carga dq transferida pela bateria dU = V dq para determinarmos a energia potencial total U armazenada no capacitor ao carreg-lo de zero at Q, fazemos a seguinte integrao:

U = V dq = 0

Q

Q

1 Q q dq = q dq 0 C C 0

U =

Q2 2C Q , temos as seguintes expresses para a energia V QV 2

Utilizando a definio de capacitncia, C = potencial eltrica de um capacitor carregado:

U =Exemplos:

Q2 2C

U=

CV2 2

U=

1. Constri-se um capacitor de placas paralelas comprimindo-se fortemente uma folha de papel de 0,14 mm de espessura entre folhas de alumnio (constante dieltrica do papel igual a 3,7). As dimenses laterais das folhas so 15 mm por 480 mm. Determine: (a) a capacitncia do capacitor; (b) a diferena de potencial mxima que pode ser estabelecida atravs dele sem ruptura dieltrica. Despreze os efeitos de borda. 2. No circuito, C1=4 F, C2=6 F e C3=5 F e a ddp entre a e b igual a 65 V. (a) Qual a capacitncia equivalente da combinao?; (b) Qual a ddp em cada capacitor?; (c) Qual a carga em cada capacitor?; (d) Qual a energia potencial eltrica armazenada em cada capacitor?

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Circuitos RC Carregando um capacitor: Consideremos um capacitor de capacitncia C ligado em srie com um interruptor S, um resistor de resistncia R e uma bateria de f.e.m. . Inicialmente, o capacitor est sem carga e o interruptor S, aberto, de modo que no existe corrente. Quando se fecha S, a bateria comea a transferir carga de uma placa do capacitor para outra, passando a existir uma corrente no circuito.

Se i a corrente no circuito e seu sentido o sentido horrio, ento,

i=

dq dt

onde q a carga instantnea na placa positiva do capacitor. Isto , a corrente no circuito corresponde taxa na qual a carga transferida de uma placa para a outra. Consequentemente, a corrente igual taxa na qual o capacitor carregado. A soma das diferenas de potencial ao percorrer a malha no sentido horrio (lei de Kirchhoff), comeando pelo ponto a, (Vb - Va) + (Vc -Vb) + (Va - Vd) = 0 -

q -Ri = 0 C q dq =R C dt Cq dq =R C dt

q dq -R = 0 C dt

dt dq = RC CqFazendo: u = C - q , temos du = -dq . Substituindo na equao acima:

dt du = RC u

du dt = u RC

ln u =

t + cons tan te RC

ln ( C q) =

t + cons tan te RC

Para determinar a constante de integrao, fazemos: para t=0, q=0, substitumos na equao acima e obtemos: ln ( C) = constante Com este resultado temos:

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ln ( C q) =

t + ln ( C) RC

ln ( C q) ln ( C) =

t RC

C q t ln C = RC C q = C e t R C

C q =e RC C

t

t R C

q = C Ce

t R C

q ( t ) = C (1 e

)

Equao para a carga em um capacitor sendo carregado.

onde RC = = constante de tempo. A carga em um capacitor em carregamento, em funo do tempo, dado pelo grfico a seguir.

Para obtermos a corrente eltrica, deriva-se a equao obtida em funo tempo:t t 1 dq d R C R C i= = C(1 e ) = C ) R C ( e dt dt t RC e = io e R t

i(t ) =carregando.

Corrente eltrica no circuito de um capacitor

A corrente eltrica no circuito de um capacitor em processo de carga dado pelo grfico a seguir, onde io a corrente inicial.

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Descarregando um capacitor: Consideremos um capacitor de capacitncia C colocado em srie com um interruptor S e um resistor de resistncia R. Inicialmente o capacitor tem carga Qo e o interruptor est aberto, de modo que no existe corrente no circuito.

No instante em que S fechado, passa a existir corrente. Se i a corrente com sentido antihorrio, ento

i=

dq dt

O sinal negativo deve ser includo porque a carga diminui com o tempo. Partindo do ponto a, somamos as diferenas de potencial (lei de Kirchhoff) percorrendo a mallha em sentido anti-horrio e obtemos:

Ri+

q =0 C

Ri=

q C

Substituindo a expresso da corrente na equao acima, temos

R

dq q = dt Cln q =

dq 1 = dt q RC

dq 1 = dt q RC

t + cons tan te RCt = 0, q = Qo. Substituindo na

Para determinarmos a constante de integrao, fazemos: para equao acima, temos: constante = ln Qo Com isto, temos:

ln q =

t + ln Q o RCt

ln q ln Q o = t R C

t RC

q ln Q o

t = RC

q =e RC Qo

q (t) = Q o e

Equao da carga em um capacitor sendo

descarregado. O grfico a seguir mostra a carga em funo do tempo em um capacitor em regime de descarga.

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Durante a descarga de um capacitor, a corrente eltrica no circuito dada por:t t Q dq d Qo e R C = o e R C = i= RC dt dt

Como

Qo = Vo = diferena de potencial inicial, temos: Ct V i (t ) = o e R C = io e R t

Corrente eltrica em um circuito com um capacitor

sendo descarregado.

Exemplos: 1. Uma bateria de 6 V, de resistncia interna desprezvel, usada para carregar um capacitor de 2 F atravs de um resistor de 100 . Determinar: (a) a corrente inicial; (b) a carga final no capacitor; (c) o tempo necessrio para a carga atingir 90% do seu valor final. 2. Um capacitor de 4 F est carregado a 24 V e ligado a um resistor de 200 . Determinar: (a) a carga inicial no capacitor; (b) a corrente inicial no resistor de 200 ; (c) a constante de tempo; (d) a carga no capacitor depois de 4 ms.

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Campo Magntico Magnetismo: No se sabe quando foi observada, pela primeira vez, a existncia do magnetismo. H mais de 2000 anos, porm, os gregos sabiam que um certo tipo de pedra, a magnetita (Fe3O4), atraa pedaos de ferro. A utilizao de um magneto, como ponteiro de uma bssola, na navegao data de cerca de 1000 anos de nossa era, embora os chineses possam ter tido conhecimento do efeito alinhador norte-sul de um magneto muito tempo antes. Foi observado que os magnetos ou ms possuam dois plos, o plo norte e o plo sul, onde a fora exercida pelo m era a mais intensa. Tambm se observou que os plos de mesmo nome de dois ms se repeliam mutuamente, e que plos de nomes opostos se atraam mutuamente.

O m possui estas propriedades magnticas devido ao alinhamento de correntes circulares no interior do material, devido ao movimento dos eltrons nos tomos e ao spin do eltron. O campo magntico ( B ) Carga em repouso: 1. Uma carga cria um campo eltrico E no espao que o circunda. 2. O campo eltrico E exerce uma fora F = qE na carga q, colocada no campo. Carga em movimento: 1. Uma carga em movimento ou uma corrente eltrica cria um campo magntico no espao que a circunda. 2. O campo magntico exerce uma fora sobre uma carga em movimento ou corrente, no campo.

r

Campo magntico B em um ponto P o campo vetorial que exerce uma fora F sobre uma partcula carregada em movimento. A fora magntica possui as seguintes caractersticas: 1. A fora proporcional carga q. A fora sobre uma carga negativa tem sentido oposto da fora sobre uma carga positiva que tenha a mesma velocidade. 2. A fora proporcional ao mdulo da velocidade v. 3. A fora perpendicular ao campo magntico B e velocidade v. 4. A fora proporcional a sen, onde o ngulo entre a velocidade v e o campo magntico B. Se v e B forem paralelos ou opostos ( = 0 ou = 180o), a fora nula. Estas caractersticas podem ser resumidas da seguinte maneira: quando uma carga q se move com velocidade v num campo magntico B, a fora magntica F sobre a carga ,

r r r F=qv xBO mdulo da fora magntica, para qualquer sinal da carga, dado por: F = q v B sen

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Figura - Direo e sentido da fora magntica para: (a) carga positiva; (b) carga negativa. Como a fora exercida por um campo magntico sobre uma partcula carregada em movimento sempre perpendicular velocidade, o trabalho realizado por esta fora nulo. A unidade de campo magntico no S.I. chamada de tesla (T): 1T=1

N N = m Am C s

No sistema CGS, a unidade de campo magntico o gauss (G): 1 T = 104 G O tesla uma unidade muito grande. Por exemplo, o mdulo do campo magntico da Terra em pontos prximos superfcie varia, mas cerca de 3.10-5 T, ou 0,3 G. Os maiores valores de campos magnticos at agora produzidos em laboratrio so da ordem de 30 T.

(a) (b) Figura - Linhas do campo magntico: (a) na Terra; (b) no m.

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Fora sobre um condutor de corrente eltrica.

No trecho l do condutor, a velocidade v dada por:

v=Como i =

l t

t =

l v

q , temos: t q = i t

q=i

l v

A fora magntica dada por:

F= q v B sen =

il v B sen v

F= i l B sen

ou

r r F=i l xB

(Fora magntica sobre um condutor de corrente dentro de um campo magntico)

Torque sobre espiras conduzindo corrente eltrica Assim como um campo magntico exerce uma fora sobre um fio portador de corrente, ele pode produzir tambm um torque, isto , uma fora magntica pode produzir um movimento rotacional da espira. De particular interesse o torque sobre um fio em forma de anel que pivota sobre um eixo e transporta uma corrente. O movimento rotacional causado por tal torque a base de um motor eltrico. Consideremos o anel retangular de corrente mostrado em duas posies na figura seguinte. O anel transporta a corrente i e est em um campo magntico uniforme B. As dimenses retangulares do anel so l e w, de modo que a rea do plano do anel S = l w. conveniente usar o vetor de rea S para especificar a orientao do anel (figura b). A direo de S perpendicular ao plano do anel. Para determinar o sentido, dobre os dedos de sua mo direita para acompanhar o sentido da corrente ao longo do circuito. O polegar distendido d a direo da rea.

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O mdulo da fora magntica sobre cada segmento retilneo do anel pode ser determinado com base na equao F = i l B sen Como a corrente eltrica i perpendicular ao campo B, igual a 90o e sen = 1. Com isto, a fora F1 sobre o elemento superior na figura (a) dirigida para cima e tem mdulo F1 = i l B A fora F2 sobre o elemento inferior tem o mesmo mdulo, mas sentido oposto, assim como as foras F3 e F4 so iguais em mdulo, mas com sentidos opostos. Se o anel pivota em torno do eixo OO', na figura (a), as foras F3 e F4, que atuam paralelamente ao eixo, no produzem nenhum torque em relao este eixo. O torque produzido por uma fora F, em relao a um eixo de rotao dado por =Fr onde r a distncia entre o ponto de aplicao da fora F e o eixo de rotao do anel, medido perpendicularmente em relao fora F, como mostra a figura a seguir. A distncia r dada por:

r=

w sen 2

Assim, o torque produzido pela fora F1

= F1

w w sen = i l B sen 2 2

Este torque tem sentido horrio. A fora F2 tambm produz um torque com o mesmo sentido em relao a esse eixo e seu mdulo o mesmo produzido por F1, ou seja, 2 = 1. Portanto, o torque magntico resultante no anel tem mdulo

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= 1 + 2 = w i l B sen = i S B sen onde S = w l = rea do anel. Em notao vetorial, temos

r r = i S x B(Torque magntico sobre uma espira conduzindo corrente eltrica) Se considerarmos uma bobina com N espiras, conforme a figura a seguir,

o torque resultante sobre esta bobina conduzindo corrente eltrica ser

r r =N i S x B(Torque magntico sobre uma bobina, com N espiras, conduzindo corrente eltrica) Exemplos:

1. Um prton tem velocidade vetorial de mdulo 4,4.106 m/s a um ngulo de 62o com um campo magntico de mdulo 18 mT. Determine: (a) o mdulo e a direo da fora magntica sobre o prton (carga do prton=1,6.10-19 C); (b) Se a fora magntica for a nica fora, qual a acelerao do prton? (massa do prton=1,7.10-27 kg); (c) Qual a variao da energia cintica do prton? 2. Uma bobina circular, com 2 cm de raio, tem 10 voltas de um fio condutor e conduz uma corrente de 3 A. O eixo da espira faz um ngulo de 30o com um campo magntico de 8000 G. Determine o torque sobre esta bobina. 3. Um motor eltrico simples tem uma bobina circular de 100 espiras de raio 15 mm, que transporta uma corrente de 65 mA em um campo magntico uniforme de mdulo 23 mT (ver figura anterior). Em dado instante, a bobina orientada de modo que a direo da rea faa um ngulo de 25o com o campo. A bobina pivota em torno de um eixo pelo seu centro, perpendicular a S e a B. (a) Determine o mdulo e a direo do torque magntico sobre a bobina; (b) Qual ser o resultado se a corrente for invertida? (c) Para qual orientao o mdulo do torque mximo e qual esse mximo?

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Momento de Dipolo Magntico Se uma bobina portadora de corrente eltrica orientada em um campo magntico uniforme de modo que S e B sejam paralelos ( = 0o), ento, o torque magntico zero. Na ausncia de torques devido a outras foras, a bobina est em equilbrio rotacional com essa orientao. Todavia, para qualquer outra orientao (exceto = 180o), h um torque magntico que tende alinhar a bobina de forma que S e B sejam novamente paralelos. Na figura (a) a seguir, a bobina est suspensa por uma fibra vertical em um campo magntico horizontal. A bobina tende a girar para o alinhamento com o campo (S paralelo a B) em consequncia do torque magntico. Esse mesmo tipo de comportamento apresentado por um m em barra em um campo magntico uniforme (figura b).

Figura - (a) Uma bobina portadora de corrente eltrica em um campo magntico; (b) Um m em barra em um campo magntico. O torque em uma bobina portadora de corrente, com N espiras, dado pela equao:

r r = Ni S x BEsta equao pode ser expressa como

r r = mx Bonde

r r m =Ni S

o momento de dipolo magntico de uma bobina de rea de base S, com N espiras e percorrida por uma corrente i. A unidade do momento de dipolo magntico, no S.I., ampre x metro ao quadrado (A.m2). A orientao de equilbrio, ou seja, o momento de dipolo magntico m alinhado com o campo magntico B, corresponde a uma posio de valor mnimo da energia potencial. A energia potencial para um dipolo magntico em um campo magntico dada pela equao

r r U = m . B = m B cos onde o ngulo entre m e B. A energia potencial mnima quando m e B esto alinhados ( = 0o).

Movimento de cargas em campos eletromagnticos Para entender a operao de muitos dispositivos e instrumentos modernos, devemos considerar o movimento de eltrons, prtons e outros ons em campos eltricos e magnticos (eletromagnticos). As foras eletromagnticas dominam o movimento de partculas carregadas no nvel atmico. Se existem um campo eltrico E e um campo magntico B em uma regio, ento a fora combinada F sobre uma partcula com carga q e velocidade vetorial v dada por

r r r r r r F = FEltrica + FMagntica = q E + q v x B

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Consideremos primeiro o movimento de uma partcula carregada em um campo magntico uniforme sem campo eltrico presente, conforme a figura a seguir.

A fora magntica sobre a partcula positiva perpendicular ao vetor velocidade. Se a fora magntica for a nica fora atuando sobre a partcula, ento, a acelerao produzida provoca apenas mudana na direo do deslocamento. A partcula se move em uma trajetria circular de raio r com velocidade constante v, e a acelerao a acelerao centrpeta (ac = v2/r). A fora centrpeta igual fora magntica, ou seja,

FCentrpeta = FMagntica

como v e B so perpendiculares, = 90o e sen = 1, ento,

mv 2 = q v B sen rmv qB

mv2 =qv B r Um seletor de velocidade.

r=

Consideremos agora uma configurao de campos eltrico e magntico que serve como seletor de velocidade para partculas carregadas. Suponha que, em uma regio do espao, existam campos eltrico e magntico uniformes, e que esses campos sejam perpendiculares, conforme mostra a figura a seguir.

A fora sobre uma partcula carregada que se move nesta regio dada pela equao

r r r r F = qE + q v x BPara esta partcula carregada positivamente, existe uma determinada velocidade para a qual a fora resultante zero, ou seja, a fora eltrica para cima equilibra a fora magntica para baixo. As cargas que se movem com esta determinada velocidade passaro atravs desta regio sem se desviarem. Como a fora magntica depende da velocidade da partcula, mas a fora eltrica no depende, a fora resultante j no ser zero para uma velocidade diferente. Para uma carga com maior velocidade, a fora magntica ter mdulo maior do que o da fora eltrica. Estas partculas

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carregadas positivamente e com maior velocidade sero defletidas para baixo. Da mesma forma, partculas carregadas positivamente e mais lentas sero defletidas para cima. Se as foras esto equilibradas, ento,

r r r r F = qE + q v x B = 0como = 90 , sen = 1,o

q v B sen = q E

vB = Eem mdulo,

v =

E B

O Efeito Hall Consideremos uma seo de um condutor de corrente eltrica em um campo magntico uniforme, conforme a figura a seguir.

Supondo que cargas positivas estejam se movendo no condutor, elas sofrem a ao da fora magntica para cima, fazendo com que estas cargas sejam deslocadas para a parte superior do condutor. Esta separao de cargas produz um campo eltrico no condutor (figura b). No caso estacionrio, o campo eltrico E, chamado campo de Hall, exerce uma fora eltrica FE sobre as cargas em movimento, a qual tende a equilibrar a fora magntica F. Esses campos eltrico e magntico cruzados atuam como seletores de velocidade para a velocidade de arraste vd. Exemplos:

1. Um prton de massa 1,67.10-27 kg e carga q =e= 1,6.10-19 C, move-se num crculo de 21 cm de raio, perpendicular a um campo magntico B = 4000 G. Determine a velocidade do prton. 2. O vetor velocidade de um eltron faz um ngulo de 66,5o com a direo do campo magntico. Sabendo que o mdulo da velocidade 2,81.106 m/s e o do campo magntico 4,55.10-4 T, determine o raio da sua trajetria helicoidal. (massa do eltron = 9,11.10-31 kg)

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Fontes de campo magntico Campo magntico gerado por cargas puntiformes em movimento. Quando uma carga q se move com velocidade v, gera, no espao, um campo magntico B dado por:

r r r o q v x r B= 4 r2onde o a permeabilidade magntica do vcuo e o = 4.10-7 T.m/A = 4.10-7 N/A2 Lei de Biot-SavartCampo magntico gerado por um elemento de corrente eltrica:

r o i dlx r r Em notao vetorial: dB = 2 4 r i dl sen O mdulo de dB : dB = o 4 r2 r r o i dl x r Na forma integral: B = 4 r2

O sentido do campo magntico dado pela regra da mo direita, com o polegar no sentido da corrente eltrica e os dedos segurando o fio indicam o sentido do campo.

Campo magntico gerado por uma corrente eltrica em um fio longo e retilneo:

B=

o i 2 R

onde R a distncia perpendicular do fio ao ponto P.

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Campo Magntico no centro de uma espira circular de raio R:

B=

o i 2R

Campo magntico, no eixo de uma espira, a uma distncia x do seu centro:

o ia 2 Bx = 2 ( x 2 + a 2 )3 / 2

Bobina ou Solenide: Ambos so agrupamentos de espiras, mas na prtica, h algumas pequenas diferenas. Bobina tem um significado genrico. Qualquer enrolamento, no importa o formato, uma bobina. Solenide tem um significado mais restrito. Em geral, esta denominao usada para conjuntos de espiras circulares enroladas uniformemente em espiral. Campo Magntico no centro de uma bobina plana com N espiras:

B=

o Ni 2R

Bobina Plana: todas as espiras so, praticamente, concntricas e tem, em mdia, o mesmo raio R da espira. O comprimento L da bobina pequena em relao ao raio.

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Campo magntico no centro de um solenide comprido:

B = o

N i L

B = on i

onde N = nmero de espiras; L = comprimento do solenide;

n=

N = nmero de espiras por unidade de Lcomprimento.

Fora entre dois condutores paralelos:

Figura - Linhas do campo magntico para dois condutores paralelos (a) com correntes no mesmo sentido; (b) com corrente em sentidos opostos.

Figura - Foras atuando sobre dois condutores paralelos (a) com correntes no mesmo sentido; (b) com corrente em sentidos opostos.

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O fio 1 produz um campo magntico dado por: B 1 =

o i1 . 2 R

O fio 2 encontra-se imerso no campo magntico B1. Um comprimento L deste fio fica sujeito a uma fora lateral igual a

F12 = i 2 L B 1

F12 =

o i1 i 2 L 2d

Exemplos:

1. A figura representa uma montagem experimental denominada galvanmetro de tangente. Uma bobina plana com N espiras de raio R, disposta verticalmente, est ligada a um circuito constitudo por fonte de tenso contnua, uma chave e um ampermetro. No centro da bobina h uma pequena plataforma onde se coloca uma bssola. Com o circuito desligado, alinha-se o plano da bobina ao campo magntico terrestre (a agulha da bssola deve ficar contida no plano da bobina, apontando para o norte geogrfico). Em seguida, fecha-se o circuito. Observa-se que a agulha da bssola gira at encontrar nova posio de equilbrio. O ngulo formado pela agulha da bssola com a direo leste-oeste permite medir o mdulo do vetor campo magntico terrestre local. Suponha que, em determinado local, uma bobina de N = 10 espiras de 5 cm de raio, para uma corrente 0,20 A, medida no ampermetro, faa a agulha da bssola desviar-se marcando um ngulo de 60o. Qual o mdulo do vetor campo magntico terrestre nesse local? (o = permeabilidade magntica do ar = 4.10-7 T.m/A; tg 60o = 1,73)

2. O campo magntico a uma distncia de 2,3 cm do eixo de um fio retilneo longo de 13 mT. Qual a corrente no fio ? 3. No circuito, a fora eletromotriz da fonte 1,5 V e a sua resistncia interna 0,30 . A resistncia do circuito desprezvel. (a) Qual a direo e sentido das foras de interao entre os dois ramos mais longos do circuito? (b) Qual o mdulo de cada uma dessas foras? (o = permeabilidade magntica do ar = 4.10-7 T.m/A

4. Um solenide, de comprimento 50 cm e raio 1,5 cm, contm 2000 espiras e percorrido por uma corrente de 3 A. Determine o campo magntico no centro do solenide.

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Lei de Ampre Um condutor conduzindo corrente eltrica, cujo sentido saindo do plano da folha, gera um campo magntico conforme mostra a figura a seguir.

Para obtermos a representao matemtica da lei de Ampre, fazemos a integrao do produto escalar entre o vetor campo magntico B e o deslocamento infinitesimal dl ao longo do crculo de raio R. O campo B e dl so paralelos, ento, o ngulo entre eles = 0o. O campo magntico B possui o mesmo mdulo em todos os pontos a uma distncia R do condutor. Ento,

r o B . dl = B dl cos 0 = B dl = B dl = B (2 R)O campo magntico gerado por uma corrente eltrica em um fio longo e retilneo dado pela equao

B=Ento, obtemos,

o i B (2 R) = o i 2 R

r B . dl = o iSe vrios condutores conduzindo corrente contribuem para a gerao do campo magntico, ento, temos,

r B . dl = o i Aplicaes da lei de Ampre Campo magntico dentro do solenide:

( lei de Ampre)

O campo magntico dentro de um solenide pode ser determinado aplicando-se a lei de Ampre ao trajeto fechado mostrado na figura a seguir.

A integral ao longo do trajeto fechado a soma das integrais ao longo de cada um dos quatro segmentos retilneos:

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r b r c r d r a r B . dl = B . dl + B . dl + B . dl + B . dla b c d

r b r b B . dl = B . dl = B dl cos 0 o = B dl = B L a a

onde L o comprimento do segmento ab. Para um solenide com n espiras por unidade de comprimento, o nmero de espiras dentro do trajeto fechado nL. Como cada uma dessas espiras transporta a corrente i, a corrente resultante unindo este trajeto fechado

i = nL iEnto, de acordo com a lei de Ampre, temos

r B . dl = B L = o n L i ou

B= o n i

(campo magntico no interior de um solenide)

Campo magntico no interior de um solenide toroidal: Solenide toroidal um solenide encurvado em forma de anel, como mostra a figura a seguir.

Pela simetria, as linhas do campo magntico B formam crculos concntricos dentro do toride. Aplicando a lei de Ampre, sobre a curva amperiana de raio r, temos,

r B . dl = B 2 r = o N iB= Fluxo magntico Uma superfcie pode ser dividida em elementos infinitesimais de rea. A direo de um elemento de rea dS em um ponto na superfcie perpendicular mesma naquele ponto. Na figura a seguir, o fluxo magntico d B para o elemento de rea dS

o Ni 2r

a