Resumo de MHS

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Text of Resumo de MHS

  • OSG.: 14924/09

    ENSINO PR-UNIVERSITRIO

    TC FSICA

    TURNO DATA

    ALUNO(A) TURMA

    N

    SRIEPROFESSOR(A) MARCOS HAROLDO, MOACIR WEYNE E

    TEIXEIRA JR.

    ITA/IME SEDE

    ___/___/___

    MOVIMENTOS PERIDICOS / MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES / SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES DE MESMA DIREO E DE DIREES PERPENDICULARES / BATIMENTOS / FIGURAS DE LISSAJOUS / PNDULO SIMPLES

    1. Movimentos peridicos So encontrados com bastante freqncia, tantos os de origem natural como os que o homem produz com finalidades

    diversas. O estudo dos M. P.s pode ser bastante complexo, assim, para o nosso propsito, analisaremos apenas o chamado

    movimento harmnico simples, cujo equacionamento e compreenso mais fcil.

    2. Movimento harmnico simples Caractersticas:

    Movimento retilneo (apenas um grau de liberdade) Movimento oscilatrio em relao a um ponto chamado origem 0. Existncia de uma fora restauradora, que tende a fazer a partcula voltar posio de equilbrio. Esta fora proporcional a

    distncia da partcula a origem: F = Kx.

    3. Equaes do M.H.S Usamos o artifcio matemtico do estudo de um M.C.U para encontrar as equaes do M.H.S.

    Analisando a figura, vemos que a projeo do ponto P, sobre a reta OX descreve um M.H.S.

    A equao para este movimento ( ) ( )Ox Acos wt I= + Se a anlise for feita em relao ao eixo 0Y temos a relao: ( ) ( )Ox Asen wt II= +

    Tanto a equao (I) como a (II) podem ser usadas, geralmente, a escolha da equao fica por conta da facilidade na resoluo do problema.

    Para achar as equaes da velocidade e da acelerao basta descrevermos a equao horrio, assim:

    ( )( )( )

    ( )( )( )

    o o

    o o

    2 2 2 2o o

    x A cos wt x Asen wt

    V wAsen wt ou V wAcos wt

    w Acos wt w x w Asen wt w x

    = + = +

    = + = +

    = + = = + =

    onde: ( )o

    o

    w = pulsao = fase inicial ou constante de fase

    A amplitudewt fase do movimento

    =

    + =

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    4. Velocidade e acelerao

    Temos que: ( ) ( )mx o oV cos wt ou sen wt 1 + + = Assim: mxV wA= +

    Analogamente: 2mx w A=

    5. Perodo no M.H.S. Sabemos que: ( )F Kx I= para uma partcula em M.H.S. e que 2 w x= Assim: ( )2F m F mw x II= =

    De (I) e (II) temos: 2 2 k 2 mmw x Kx K mw w ; T T 2m w k

    = + = = =

    Est frmula vale para qualquer corpo em M.H.S.

    6. Sistema Massa Mola

    Em um sistema conservativo RE cte= , temos

    x 2o

    1 Fdx Kx

    2= =

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    e gm c p p

    2 2m o

    2 2m o 2 o o

    2 2 2m o

    2 2 2m o

    E E E E1 1E mV k(x x) mgx2 21 1E mV k(x x 2xx ) Kx x2 21 1 1E mV k x kx2 2 21 1 1E mV kx k x cte2 2 2

    = = +

    = + +

    = + + +

    = + +

    = + +

    Se formos calcular Em, podemos considerar a 2 2m1 1E mV kx2 2

    = + (igual a do sistema massa mola horizontal).

    07. MOLAS

    a) b)

    1 2e

    1 2

    K KKK K

    =

    + K2 = K1 + K2

    c) d)

    Ke = K1 + K2 Mreduzida = 1 21 2

    m m

    m m+

    Obs.: 1k

    08. PNDULO SIMPLES

    O pndulo simples no descreve um M.H.S., como j vimos, para existncia de um M.H.S. necessrio que a partcula descreva um movimento retilneo, o que no o caso do pndulo simples.

    Porm, para ngulos () de abertura pequena, podemos considerar o pndulo simples como descrevendo um M.H.S.

    pequeno sen tg x

    FR Fora restauradora

    Assim R R R Rx mgF mg sen F mg F mg F x= = =

    Onde Rmg k e F kx (M.H.S.)= =

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    Podemos, dessa relao, calcular ainda o perodo do pndulo simples.

    m mgT 2 ; K T 2K g

    = = = pi

    09. SUPERPOSIO DE M.H.S. PERPENDICULARES DE MESMA FREQNCIA. FIGURAS DE LISSAJOUS.

    a) x = A cos(wt) y = A cos wt

    2pi

    +

    Concluses 2 2 2figura circunfernciax y A

    + =

    b) x = A cos(wt) y = A cos(wt + ) Pode ocorrer qualquer uma das trajetrias abaixo.

    c) x = A cos(wt) y = A cos(wt) Caso visto no item anterior que cria como figura uma reta bissetriz do 1 e do 3 quadrante.

    d) x = A cos wt y = B cos wt; A B

    Concluses

    By xA

    Bfigura reta de coeficiente angular .A

    =

    Observao: Nos dois ltimos casos (c e d) o movimento resultante um M.H.S.

    2 2r B A cos wt= + mesma fase e mesma freqncia

    O movimento resultante, sendo retilneo, torna possvel a existncia do M.H.S.

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    e) x = A cos(wt) y = B cos wt

    2pi

    +

    Concluses 2 2

    2 2x y 1A Bfigura elipse

    + =

    f) x = A cos(wt) y = B cos(wt + )

    Concluses 2 2

    22 2

    x y 2xycos sen

    A B ABequao de uma elipse rotacionada.

    + =

    Regra prtica de Edson Parente para obter o sentido e a inclinao da elipse rotacionada.

    I. SENTIDO: sen indica o sentido do movimento

    II. INCLINAO: cos indica a inclinao da figura.

    Exemplos:

    cos 0 0sen 0 2

    pi > <

    cos 0sen 0 2

    pi < < < pi >

    3cos 0 2sen 0 2

    pi > < < pi <

    3cos 0sen 0 2

    pi < pi < <

    cos 0 1 e 3 quadrantes (inclinando direita)cos 0 2 e 4 quadrantes (inclinando esquerda)

    > <

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    10. SUPERPOSIO DE M.H.S. PERPENDICULARES E FREQNCIAS DIFERENTES

    Descrevem trajetrias que so tambm chamadas de figuras de Lissajous, porm, essas trajetrias so extremamente complexas vistas com o auxlio de ociloscpios.

    11. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES

    um fato experimental que, para muitos tipos de ondas, duas ou mais ondas podem cruzar-se na mesma regio do espao independentemente uma da outra. O fato de as ondas serem independentes uma de outra significa que o deslocamento de qualquer partcula, em dado instante, simplesmente a soma dos deslocamentos que seriam produzidos se as ondas agissem isoladamente. Este processo de adio vetorial de deslocamento de uma partcula denomina-se superposio.

    Observao: No caso de ondas em meios deformveis, o princpio da superposio vlido desde que a deformao e a fora restaurada sejam proporcionais entre si (FR = C x), considerando cada onda em M.H.S.

    12. FUNO DE ONDA

    Seja uma onda peridica (senoidal), cuja fonte realiza um M.H.S. de amplitude A, originando pulsos que se propagam com velocidade V. Num dado tempo t uma massa m realiza um M.H.S. conforme sua funo de onda.

    y = A cos(o + wt)

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    No tempo xt 'V

    = , temos:

    o o o

    2 x 2 2 xy A cos[ w(t t ')] A cos A cost tt V t VTpi pi pi

    = + = + = + onde 2w

    Tpi

    = (pulsao) e

    2 2KVT

    pi pi= =

    (vetor Poynting vetor que indica o sentido de propagao do pulso).

    Ento: oy A cos[ wt kx]= + (funo de onda)

    Observao: Quando x = 0, y = A cos[o + wt] a funo de onda que a fonte realiza o M.H.S. Ento v = Aw sen[o + wt] a

    velocidade com que a fonte oscila.

    13. SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES DE MESMA DIREO

    a) Ondas Estacionras

    Fenmeno ondulatrio (onda) resultante da superposio de duas ondas (senoidais) iguais (mesma freqncia, velocidade e amplitude) que se propagam no mesmo meio, na mesma direo e em sentidos contrrios.

    Consideremos duas ondas que viajem numa corda elstica.

    t T

    t4

    + T

    t2

    + 3T

    t4

    +

    Nos pontos B e D ocorre interferncia construtiva (formao de VENTRES) e nos pontos A, C e E interferncia destrutiva (formao de ns).

    comum se representa uma onda estacionria atravs de uma figura que corresponde reunio de diversas fotografias obtidas em instantes sucessivos. A poro da onda estacionria, compreendida entre dois ns consecutivos, denominada FUSO. A distncia entre dois ventres (ou ns) consecutivos igual metade do comprimento de onda e a distncia entre um n e um ventre consecutivo igual quarta parte do comprimento de onda.

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    Das funes de ondas; temos: 1 2y A cos(wt kx) e y A cos(wt kx)= + =

    A equao da onda resultante R 1 2y y y A[cos(wt kx) cos(wt kx)]= + = + +

    R R

    AMPLITUDE

    y 2A cos(kx) cos(wt) onde A 2A cos(kx)= =

    Isto , a amplitude da onda resultante varia conforme a posio (x), ou seja, AR funo de x (INTERFERNCIA DA POSIO).

    Observaes: 1. Est claro que no h transmisso de energia ao longo da corda para a direita ou para a esquerda, pois a energia no pode

    ultrapassar os pontos nodais, em que a corda est permanentemente em repouso (ver figura). Portanto, a energia permaneceu estacionria na corda, embora alterando-se entre energia cintica de vibrao e energia potencial elstica.

    2. As ondas (mecnica ou eletromagntica) componentes que se movem em sentidos opostos ao longo da corda ainda produziro ondas estacionrias mesmo se tiverem amplitudes diferentes.

    b) Batimentos

    o fenmeno ondulatrio resultante da interferncia de ondas de mesma amplitude e freqncias ligeiramente diferentes, quando duas ou mais ondas se propagam numa mesma direo e num mesmo sentido.

    Das funes de ondas, temos:

    1 1 1 2 2 2y A cos w t A cos(2 f t) y A cos w t A cos(2 f t)= = pi = = pi

    A equao da onda resultante

    R 1 2 1 2y y y A[cos(2 f t) cos(2