Resumo e Lista de Exercícios

Física II Fuja do Nabo P1 2018.2

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Resumo 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) Vamos analisar inicialmente a situação em que há um corpo de massa 𝑚, preso a uma mola de constante elástica 𝑘 que realiza oscilações em torno de seu ponto de equilíbrio em 𝑥 = 0, sem a ação de qualquer agente externo ou atrito.

Para pequenas perturbações em torno da origem (−𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴), a força que age sobre o corpo é linear e dada pela Lei de Hooke (−𝑘𝑥) e tal força tem caráter restaurador, ou seja, faz o corpo voltar para a posição de equilíbrio. Na imagem, 𝑨 representa a amplitude das oscilações do movimento, sendo que essa grandeza representa o maior deslocamento possível a partir da posição de equilíbrio. Em geral, o MHS ocorre quando pode-se chegar na equação diferencial descrita nos próximos itens.

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2. Cinemática do MHS a. Equação Diferencial do Movimento (2ª Lei de Newton) Ainda usando o sistema massa-mola como exemplo, a equação diferencial do movimento pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton:

𝑚𝑎 = −𝑘𝑥

𝑚�� = −𝑘𝑥

�� + 𝜔12𝑥 = 0

Sendo que 𝜔1 = 345

A grandeza física 𝜔1 representa a frequência angular de oscilação, sendo:

𝜔1 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑇

Onde: 𝑇(𝑠) = período de oscilação do movimento, ou seja, tempo para completar 1 oscilação. 𝑓(𝐻𝑧) = número de ciclos por unidade de tempo que o movimento executa.

1𝐻𝑧 = 1𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

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𝜔H = frequência angular, dada em 𝑟𝑎𝑑/𝑠. b. Equação Diferencial do Movimento (Conservação de Energia) Pode-se usar a conservação de energia para se chegar na mesma equação diferencial. A ideia vem do fato da variação da energia ao longo do tempo ser nula, por se tratar de um sistema conservativo (�� = 0). Dessa forma, a energia mecânica (𝐸) é dada pela cinética (𝑇) somada com a potencial (𝑈):

𝐸 = 𝑇 + 𝑈

A energia Cinética é dada por 𝑇 = 5NO

2= 5PO

2 e a Potencial é a elástica

𝑈 = 4PO

2. Derivando os dois lados da igualdade no tempo (lembre-se da

regra da cadeia):

𝑑𝐸𝑑𝑡 =

𝑑 R𝑚��2

2 + 𝑘𝑥2

2 S

𝑑𝑡

𝑚���� + 𝑘𝑥�� = 0 T×1𝑚��V

�� + 𝜔12𝑥 = 0

Chegando na mesma equação diferencial esperada. c. Soluções Gerais da Equação Diferencial A solução geral da equação diferencial descrita acima é do tipo:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙)

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Sendo 𝐴 e 𝜙 determinados pelas condições iniciais do movimento harmônico simples. Outra solução pode ser do tipo:

𝑥(𝑡) = 𝑎 cos(𝜔1𝑡) + 𝑏 sin(𝜔1𝑡) Sendo 𝑎 e 𝑏 constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. d. Determinação das Constantes a partir das Condições Iniciais Das equações 𝑥(𝑡) obtidas anteriormente, pode-se chegar nas seguintes relações:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔H𝑡 + 𝜙)

𝑣(𝑡) = ��(𝑡) = −𝜔H𝐴 sin(𝜔H𝑡 + 𝜙)

𝑎(𝑡) = ��(𝑡) = −𝜔H2𝐴 cos(𝜔H𝑡 + 𝜙) São dados que a posição no instante zero 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥H e a velocidade no instante inicial é 𝑣(𝑡 = 0) = 𝑣H. Assim:

𝜙 = −arctanT𝑣H𝜔1𝑥H

V

𝐴 = b𝑥H2 +𝑣H2

𝜔12

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De uma forma análoga, pode-se fazer o mesmo com a segunda solução da equação diferencial, obtendo:

𝑥(𝑡) = 𝑥1 cos(𝜔1𝑡) +𝑣1𝜔1

sin(𝜔1𝑡)

Exercício de fixação 𝟏 P1 2016 Poli USP

Um bloco de massa 𝑚está conectado a uma mola de constante elástica 𝐾 em um plano inclinado que forma um ângulo 𝛼 em relação à horizontal. No instante 𝑡 = 0, o bloco é solto da posição 𝑥 = 0, com velocidade inicial nula. Considerando que a mola está relaxada (nem comprimida, nem esticada) quando 𝑥 = 0, determine:

a. A equação do movimento do bloco ao longo do eixo 𝑥 mostrado na figura. b. A posição 𝑥(𝑡) em função do tempo. Qual a amplitude do movimento e os valores máximos (𝑥5fP) e mínimo (𝑥5gh) de 𝑥? c. A energia cinética em função do tempo.

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3. Energia no MHS Nosso sistema conservativo terá 2 tipos de energia: a energia cinética 𝑇 e a energia potencial elástica da mola 𝑈. A energia mecânica 𝐸 será a soma dessas duas energias e representará a energia total no sistema.

𝑇 =𝑚𝑣2

2 =𝑚��2

2 = i𝑚𝐴2𝜔H2

2 jsin2(𝜔H𝑡 + 𝜙)

𝑈 =𝑘𝑥2

2 = i𝑘𝐴2

2 jcos2(𝜔H𝑡 + 𝜙)

𝐸 = 𝑈 + 𝑇 =𝑘𝐴2

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A energia total no movimento harmônico simples é constante. Isso decorre do fato do sistema ser conservativo.

Na imagem, 𝐸5 representa a energia total do sistema, 𝐸krepresenta a energia potencial elástica e 𝐸l representa a energia cinética.

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Por conservação de energia, a velocidade máxima ocorrerá quando 𝑥 =0, onde a energia potencial elástica é nula, e terá o valor (em módulo):

𝑚𝑣5fP2

2 =𝑘𝐴2

2

𝑣5fP = b𝑘𝑚 ∙ 𝐴

Como a aceleração ��(𝑡) = −𝜔H2𝑥(𝑡), temos que o módulo do máximo da aceleração será 𝜔2|𝑥5fP(𝑡)|. Assim a aceleração máxima será:

|��5fP(𝑡)| = 𝜔H2𝐴 =𝑚𝑚 𝐴

O sistema massa-mola é apenas um dos sistemas que executam um movimento harmônico simples. Exercício de fixação 𝟐 P1 2016 Poli USP

A figura mostra os gráficos da energia cinética 𝐾 em função da posição 𝑥 para três osciladores harmônicos do tipo bloco-mola que têm a mesma massa e que descrevem movimentos harmônicos simples. Pode-se dizer que:

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A. A constante elástica do oscilador 2 é maior que a do oscilador 3. B. O período de oscilação associado ao oscilador 1 é menor que aquele dos osciladores 2 e 3. C. O oscilador 3 completa uma oscilação em um tempo menor que os outros dois. D. A constante elástica do oscilador 3 é maior que a dos osciladores 1 e 2, sendo a constante elástica do oscilador 2 menor que a do oscilador 1. E. Os três osciladores têm a mesma frequência de oscilação. 4. Pêndulo de Torção O pêndulo de torção será formado por um corpo apoiado em um plano ou suspenso por um fio. Ao perturbarmos o corpo, diz-se que o fio reage como um torque restaurador proporcional ao ângulo de torção. Assim:

𝜏 = −𝐾𝜑 Onde 𝐾 é o módulo de torção do fio que depende de seu comprimento, diâmetro e material. Aplicando a equação do movimento, tem-se:

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𝐼𝑑2𝜑𝑑𝑡2 = −𝐾𝜑

Usando o mesmo procedimento que o utilizado com o sistema massa-mola, a frequência angular do pêndulo de torção será:

𝜔1 = 3tue𝜑(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙)

Exercício de fixação 𝟑 P2 2014 Poli USP

A roda de balanço de um relógio possui um período de 0,25𝑠, a roda é construída de forma que sua massa fica concentrada em um aro de raio 0,5𝑐𝑚. Qual é a constante de torção da mola acoplada? Dado 𝐼fx1 = 𝑚𝑅² . A. 4𝜋𝑚² × 10|}𝑁/𝑟𝑎𝑑 B. 𝑚 ×10|} 𝑁/𝑟𝑎𝑑 C. 16𝜋2𝑚 ×10|} 𝑁/𝑟𝑎𝑑 D. 2𝑚 ×10|� 𝑁/𝑟𝑎𝑑 E. 4𝜋𝑚 ×10|� 𝑁/𝑟𝑎𝑑

5. Aproximações para Pequenas Oscilações Em alguns casos, alguns sistemas não apresentam força nem energia potencial para realizar um MHS. No entanto, pode-se usar determinadas aproximações para pequenas oscilações em torno de um ponto de

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equilíbrio estável para chegar na equação diferencial característica. Alguma dessas aproximações são: a. Ângulos Pequenos Nesse caso, se o ângulo for tal que 𝜃 ≪ 1, pode-se usar as seguintes aproximações:

sin𝜃 ≈ tan𝜃 ≈ 𝜃 e cos𝜃 ≈ 1 − �O

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Sendo uma aproximação válida do limite trigonométrico fundamental e da expansão binomial usada para pequenas oscilações de pêndulos. b. Expansão Binomial É comum, para valores de 𝑥 muito pequenos, desprezar termos de ordem maior do que 1 (exemplo: 𝑥², 𝑥³, etc). Nesse caso, pode-se usar a expansão binomial:

(1 + 𝑥)h ≈ 1 + 𝑛𝑥 Para 𝑥 ≪ 1. Exercício de fixação 𝟒 P2 2014 Poli USP Adaptada

Um corpo de massa 𝑚 está sujeito a um potencial do tipo:

𝑈(𝑥) =𝑎𝑥2 −

2𝑏𝑥

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a. Encontre a posição de equilíbrio. b. Escreva a equação do movimento exata. c. Determine a frequência angular para pequenas oscilações. 6. Pêndulos a. Pêndulo Simples No pêndulo simples, há uma massa 𝑚 colocada em um fio de comprimento 𝐿. A equação diferencial que caracterizará o movimento harmônico simples será obtida através da decomposição das forças no eixo radial e tangencial.

Na componente tangencial, a Segunda Lei de Newton é:

−𝑚𝑔 sin𝜃 = 𝑚𝑎 Como 𝑣 = 𝐿��,então𝑎 = 𝐿��. Sendo assim:

−𝑚𝑔 sin𝜃 = 𝑚𝐿��

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�� +𝑔𝐿 sin 𝜃 = 0

Essa equação só apresenta um MHS se 𝜃 for muito pequeno, pois podemos usar a aproximação que sin 𝜃 ≈ 𝜃. Logo:

�� +𝑔𝐿 𝜃 = 0

Cuja solução será do tipo: 𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙), com 𝜔1 = 3��.

b. Energia no Pêndulo Simples A energia no pêndulo simples, assim como no oscilador massa-mola, será dada pela soma da energia cinética com a energia potencial. Nesse caso, essas energias podem ser expressas em termos da função 𝜃(𝑡) da seguinte forma:

𝑇 =𝑚𝑣2

2 =𝑚2 �𝐿���

2 =𝑚𝐿2��2

2

𝑈 = 𝑚𝑔𝐿(1 − cos𝜃)

Para 𝜃 pequeno, pode-se escrever que cos𝜃 ≈ 1 − �O

2:

𝑈 =𝑚𝑔𝐿𝜃2

2

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c. Pêndulo Físico Trata-se de um pêndulo real onde a massa do corpo não é mais concentrada em um único ponto, como no caso do pêndulo simples. Ela é distribuída ao longo de toda a extensão do pêndulo. Assim, a análise será baseada na utilização do momento de inércia 𝐼 do corpo em relação ao eixo de rotação em 𝑂.

O torque é dado por 𝜏 = 𝑟 × �� e a decomposição da força peso, como na figura, nos fornece um torque resultante igual a:

−𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 Logo, tem-se:

−𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 = 𝐼𝑑2𝜃𝑑𝑡2

𝑑2𝜃𝑑𝑡2 +

𝑚𝑔𝑑𝐼 sin𝜃 = 0

Novamente, utilizando a aproximação sin 𝜃 ≈ 𝜃, obtém-se:

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𝑑2𝜃𝑑𝑡2 + T

𝑚𝑔𝑑𝐼 V𝜃 = 0

Por analogia, pode-se escrever que:

𝜔 = b𝑚𝑔𝑑𝐼

Lembre-se: 𝑑 é a distância do centro de rotação ao centro de massa do pêndulo físico. Exercício de fixação 𝟓 P1 2016 Poli USP

O pêndulo 𝐴 mostrado na figura consiste em uma esfera muito pequena de massa 𝑀 sustentada por uma corda de massa desprezível e comprimento 𝐿. O pêndulo 𝐵 consiste em uma esfera muito pequena de

massa �2e uma barra delgada de massa �

2e comprimento 𝐿. Seja 𝜏�e𝜏�

os tempos que cada pêndulo demora para completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos em relação à posição de equilíbrio, pode-se dizer que:

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A. Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma

oscilação, com 𝜏� = 𝜏� = 2𝜋3��.

B. O pêndulo 𝐵 demora menos tempo que o pêndulo 𝐴 para completar

uma oscilação, com 𝜏�/𝜏� = 3��

C. O pêndulo 𝐵 demora menos tempo que o pêndulo 𝐴 para completar

uma oscilação, com 𝜏�/𝜏� =�2

.

D. O pêndulo 𝐵 demora mais tempo que o pêndulo 𝐴 para completar uma

oscilação, com 𝜏�/𝜏� = 3}�

E. O pêndulo 𝐵 demora mais tempo que o pêndulo 𝐴 para completar uma oscilação, com 𝜏�/𝜏� = √2

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7. Associação de Molas Quando duas ou mais molas (𝐾�,𝐾2,𝐾�,… , 𝐾h) são associadas em série ou eu paralelo, sua constante elástica resultante (𝐾x) será dada por: Molas em série:

1𝐾x

=1𝐾�+1𝐾2+⋯+

1𝐾h

Molas em paralelo:

𝐾x = 𝐾� + 𝐾2 + 𝐾� +⋯+ 𝐾h Exemplo de associação de molas: A mola da esquerda representa associação série enquanto a da direita representa a associação de molas em paralelo:

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8. Oscilações Acopladas As oscilações acopladas correspondem a dinâmicas de movimentos harmônicos simples em que o movimento de uma partícula influencia no movimento da outra. Por exemplo:

Nesse caso simplificado, em que há apenas duas partículas unidas por uma mola, pode-se usar o conceito de massa reduzida (𝜇) para resolver o problema, bastando substituir a massa 𝑚 do sistema massa-mola pela massa reduzida 𝜇. O valor de 𝜇 será dado por:

𝜇 =𝑚f ∙ 𝑚�

𝑚f +𝑚�

Assim, a frequência angular 𝜔 no MHS será:

𝜔 = b𝐾𝜇

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Exercício de fixação 𝟔 P2 2014 Poli USP Adaptada

Considere um sistema formado por duas partículas idênticas de massa 𝑚 ligadas por uma mola de massa desprezível e constante elástica 𝑘. Supondo que as partículas se movem em apenas uma direção e a única força atuante no sistema advém da mola, determine a frequência angular 𝜔1 de oscilação.

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Lista de Exercícios Extra 1. Comparação entre Movimentos Harmônicos Simples P1 2016 Poli USP

A figura mostra as curvas obtidas em três experimentos diferentes para o deslocamento horizontal em relação à posição de equilíbrio, 𝑥(𝑡), de um mesmo sistema bloco-mola que oscila descrevendo um movimento harmônico simples. Pode-se dizer que:

A. Em 𝑡 = 𝑡�, o módulo da aceleração do bloco no experimento 2 é menor que no experimento 1 e maior que no experimento 3. B. Em 𝑡 = 𝑡�, a energia potencial elástica no experimento 1 é maior que a energia potencial elástica nos experimentos 2 e 3, sendo a energia potencial elástica no experimento 3 menor que no experimento 2. C. Em 𝑡 = 𝑡�, o módulo da velocidade do bloco no experimento 1 é maior que nos experimentos 2 e 3. D. A frequência angular do sistema nos três experimentos é diferente. E. Em 𝑡 = 𝑡�, a energia cinética do bloco no experimento 2 é maior que no experimento 3.

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2. Cinemática P2 2014 Poli USP

Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4𝑠 e amplitude de 5𝑐𝑚. O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3𝑐𝑚 vale: A.16𝜋𝑐𝑚/𝑠 B.8𝜋𝑐𝑚/𝑠 C.4𝜋𝑐𝑚/𝑠 D. 2𝜋𝑐𝑚/𝑠 E. 32𝜋𝑐𝑚/𝑠

3. Pêndulos Simples Associados a Molas P1 2016 Poli USP

Um pêndulo formado por uma esfera de massa 𝑚 e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto 𝑂 através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento 𝐿. A haste está ligada a duas molas de constante elástica 𝐾, de massas desprezíveis, situadas a uma distância 𝑂𝐴 = 𝑑 de 𝑂como mostrado na figura a. As molas estão relaxadas (isto é, nem esticadas nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo 𝜃H(𝜃H ≪ 1) com a vertical, liberando-o a partir do repouso (figura b). Dica: como o ângulo 𝜃H é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento.

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a. Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve o movimento do pêndulo. b. Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo, determine a frequência angular de oscilação. c. Obtenha a função 𝜃(𝑡) para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio. 4. Oscilações para Pequenos Ângulos P2 2014 Poli USP Corrigida

Uma bolinha homogênea de massa 𝑚 e raio 𝑟 rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio 𝑅 >> 𝑟, na vizinhança do fundo, ou seja, na

aproximação de ângulos pequenos (ver figura abaixo). Dado 𝐼¢� =2�𝑚𝑟².

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a. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determine a força resultante. b. Escreva 𝑈(𝜃) e 𝑇(𝑑𝜃/𝑑𝑡).

c. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular 𝜔 = 3��£¤

.

d. Mostre que a função 𝜃(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙), onde 𝐴 e 𝜙são constantes, é solução da equação diferencial. e. Considerando que no instante 𝑡 = 0 o ângulo é 𝜃1 e a velocidade é 𝑣1, determine a solução particular para este oscilador em termos de 𝜔, 𝜃1, 𝑣H, e 𝑡. f. Escreva as expressões para 𝑈(𝑡) e 𝑇(𝑡), sendo 𝑈 a energia potencial e 𝑇 a energia cinética. g. Mostre que 𝐸 = 𝑇 + 𝑈 é independente do tempo.

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5. Sistema que Realiza MHS Irodov, I. E. Problems in General Physics, Moscou: Mir Moscou, 1981. Exercício 4.28 Adaptado

Uma barra uniforme de massa não desprezível é posicionada no centro de duas rodas que giram, conforme figura abaixo. Os eixos das rodas são separados por uma distância ℓ e o coeficiente de atrito cinético entre a barra e as rodas é 𝜇.

Inicialmente, o centro de massa da barra se encontrava exatamente no meio entre as duas rodas, ficando em equilíbrio. Um cara chega do nada e dá um leve empurrão na barra, tirando ela do equilíbrio. a. Desenhe o diagrama de forças na barra. b. Demonstre que esse sistema realiza movimento harmônico simples. c. Calcule o período de oscilações desse movimento.