Resumo• Especificação de Filtros

• Filtro de Butterworth

• Filtro de Chebyshev

• Filtros de Primeira Ordem

• Filtros de Segunda Ordem

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IntroduçãoOs primeiros filtros construídos eram circuitos LC passivos. Estes filtros

funcionam bem em altas frequências mas em baixas frequências (de DC a

100KHz) as bobines são grandes, tem características não ideais e são

impossíveis de fabricar em circuito integrado e pouco compatíveis a

montagem de circuitos impressos modernos.

Neste capítulo são estudados filtros sem bobinas como o filtroactivo RC e

filtros de condensadores comutados.

Os filtros RC activos utilizam amplificadores operacionais juntamente com

resistências e condensadores e são fabricados na forma discreta com

tecnologiahybrid thick-filmehybrid thin film.

Mas estas tecnologias, na produção em larga escala, não atingem os baixos

preços de soluções totalmente integradas. Actualmente a solução mais viável

para a realização dum filtro totalmente integrado é a técnicade condensadores

comutados.

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Função de Transferência do Filtro

A

função de transferênciaT(s) é dada por

T(s) = Vo(s)Vi(s)

Sendos= jw

T( jw) = |T( jw)|ejφ(w)

A função de ganho

G(w) = 20log|T( jw)| ,dB

A função de atenuação

A(w) = −20log|T( jw)| ,dB

A fase do sinal de entrada é alterada segundo a funçãoφ(w).

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Tipos de Filtro

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Especificação de filtros passa-baixo

A característica

de transmissão de um

filtro passa baixo é especificada

por quatro parâmetros:

• Uma frequência superior

da banda passantewp

• A máxima variação

permitida da banda passante

Amax (tipicamente de 0.05dB

a 3dB).

• A frequência inferior da banda de rejeiçãows

• Atenuação mínima na banda de rejeiçãoAmin (tipicamente de 20dB a

100dB).

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Especificação de filtros passa-baixo

A razãows/wp é

usualmente usada como a medida

da transição rápida entre a banda

passante e a banda de rejeição e

é chamada factor de selectividade.

Além da especificação da resposta

em amplitude há aplicações

em que a resposta em fase do filtro

é especificada para o projecto.

Torna-se no entanto mais complexo quando é preciso obedecera uma

especificação em amplitude e fase.

Geralmente é feita uma aproximação duma função de transferência às

especificações através de programas de computador ou tabelas de projecto de

filtros. Em casos simples a aproximação pode-se fazer através de expressões

em forma fechada (não recorrentes).

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Especificação de filtros passa-banda

A

figura mostra as especificações de

transferência do filtro passa-banda

e a resposta do filtro que

obedece a essas especificações.

Note-se que neste caso

existem duas bandas de transição.

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Função de Transferência do Filtro

A função de transferência genéricaT(s) de um filtro pode ser escrita na forma:

T (s) = aMsM+aM−1sM−1+...+a0sN+bN−1sN−1+...+b0

= aM(s−z1)(s−z2)...(s−zM)(s−p1)(s−p2)...(s−pN)

O grau do denominador, N, é a ordem do filtro. Para um filtro ser estável o

grau do numerador deve ser igual ou inferior ao denominador.

As raízes do numeradorz1,z2, . . . ,zM são os zeros e as raízes do denominador

p1, p2, . . . , pN são os pólos da função de transferência ou modos naturais.

Pólos ou zeros complexos aparecem em pares conjugados.

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Função de Transferência do Filtro

A banda de rejeição do filtro para ter valor de zero ou pequeno precisa de ter

os zeros nessa banda. O filtro acima tem valor de ganho de zero (−∞ em dB)

emwl1 e wl2. Isto corresponde a dois pares de zeros conjugadoss= ± jwl1 e

s= ± jwl2. Quandow→ ∞ então o ganho tende para zero (−∞ em dB). Então

o filtro tem pelo menos um zero em infinito. A diferença de grau entre o

denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.

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Função de Transferência do Filtro

Para o filtro ser estável todos os pólos devem estar no semi-plano esquerdo ou

seja os pólosp1, p2, . . . , pN devem ter as partes reais negativas. Todos os pólos

estão perto da banda passante o que dá ao filtro o ganho na bandapassante.

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Função de Transferência do Filtro

O filtro acima tem valor de ganho de zero (−∞ em dB) emwl1 e wl2. Isto

corresponde a dois pares de zeros conjugadoss= ± jwl1 es= ± jwl2.

Quandow→ ∞∧w→ 0 então o ganho tende para zero (−∞ em dB). Então o

filtro tem pelo menos um zero em infinito e zero. A diferença de grau entre o

denominador e o numerador é o número de zeros no infinito.

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Função de Transferência do FiltroObservamos aqui

que não há valores

finitos dew na

qual a atenuação

é−∞ (valor de

ganho zero). Então

os zeros estão

todos em infinito.

A função de

transferência deste filtro é do tipo

T (s) = a0sN+bN−1sN−1+...+b0

Quase todos os filtros que vão ser estudados têm os zeros no eixo imaginário

na banda de rejeição,w = 0 ouw = ∞. Para obter grande selectividade os

pólos serão complexos conjugados excepto quando as ordens são ímpares.

Quanto mais selectivo é um filtro maior a ordem e mais próximosestão os

pólos do eixo imaginário.

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Filtro de ButterworthOs

zeros da função transferência estão todos

em infinito. A amplitude da função de

transferência para um filtro de Butterworth

de ordem N com uma frequência

superior da banda passantewp é dado por:

|T ( jw)| = 1�

1+ε2(

wwp

)2N

Paraw = wp

|T ( jwp)| = 1√1+ε2

O parâmetroε determina o valor deAmax.

A máxima variação na banda passante

é: Amax= 20log√

1+ ε2. A partir deAmax,

o valor deε é dado porε =√

10Amax/10−1.

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Filtro de ButterworthPode ser mostrado que as primeiras

2N−1 derivadas de|T| relativamente

w é zero emw = 0. Esta propriedade

faz da resposta do filtro de Butterworth

bastante plana emw = 0, isso justifica o

nome em inglês demaximally flat response

Na frequência inferior

da banda de rejeiçãow = ws a atenuação

do filtro de Butterworth é dada por

A(ws) =

−20log

[

1/√

1+ ε2 (ws/wp)2N

]

=

10log[

1+ ε2 (ws/wp)2N

]

Esta equação pode ser usada para calcular a ordem do filtro queé o menor

inteiro N que dáA(ws) > Amin.

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Filtro de ButterworthOs pólos ou modos naturais do filtro

Butterworth de ordem N estão num circulo

de raiow0 = wp (1/ε)1/N e estão espaçados

por ângulos deπ/N com o primeiro pólo

a um ângulo deπ/2N do eixo imaginário.

A função de transferência é dada por

T (s) =KwN

0(s+p1)(s+p1)...(s+pN) (1)

Podemos encontrar a função

transferência através do procedimento

• Determineε deε =√

10Amax/10−1

• Determine a ordem do filtro deA(ws) = 10log[

1+ ε2 (ws/wp)2N

]

com

A(ws) > Amin.

• Usar a figura para determinar os pólos.

• Usar a equação (1) para determinar a função transferência.– p. 15/27

Filtro de Chebyshev

As figuras

mostram filtros

de Chebyshev

de ordem

par e ímpar.

Os filtros

de Chebyshev

exibem uma

resposta de

igual-ripple na banda passante e decresce continuamente na banda de rejeição.

O número de máximos na banda passante é o número de pólos do filtro. Todos

os zeros do filtro de Chebyshev estão no infinito. A amplitude da função

transferência dum filtro de Chebyshev com limite da banda passantewp é|T (s)| = 1�

1+ε2cos2[Ncos−1(w/wp)]w 6 wp

|T (s)| = 1�

1+ε2cosh2[Ncosh−1(w/wp)]w > wp

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Filtro de Chebyshev

Para a frequência superior da banda passantew = wp

|T ( jwp)| = 1√1+ε2

O parâmetroε determina oripple na banda passante

Amax= 10log(

1+ ε2)

A partir deAmax o valor deε é determinado por:

ε =√

10Amax/10−1

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Filtro de Chebyshev

A atenuação atingida pelo filtro de Chebyshev no principio dabanda de

rejeição (w = ws) é dada por

A(ws) = 10log[

1+ ε2cosh2(

Ncosh−1 (ws/wp))]

(1)

Com esta expressão pode obter-se a ordem do filtro N de forma a obter um

Amin (encontrar o menor N para o qualA(ws) > Amin).

Os pólos do filtro de Chebyshev são dados por

pk = −wpsen(

2k−1N

π2

)

senh(

1N senh−1 1

ε)

+ jwpcos(

2k−1N

π2

)

cosh(

1N senh−1 1

ε)

k = 1,2, . . . ,N (2)

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Filtro de Chebyshev

A função transferência do filtro de Chebyshev pode ser escrita como

T (s) =KwN

p

ε2N−1(s−p1)(s−p2)...(s−pN)(3)

aonde K é o ganho do filtro.

O filtro de Chebyshev com as especificações pretendidas pode ser encontrado

através dos seguintes passos:

• Determineε deε =√

10Amax/10−1

• Determine a ordem do filtro de (1) do acetato anterior.

• Determinar os pólos de (2) do acetato anterior.

• Usar a equação (3) para determinar a função transferência.

O filtro de Chebyshev para obter as mesmas especificações que ofiltro de

Butterworth requer uma ordem menor.

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Filtro de primeira e segunda ordem

Filtros de primeira e segunda ordem podem ser combinados em série para

obter um filtro de ordem mais elevada. Com filtros activos RC a resistência de

saída dum andar é aproximadamente nula não sendo preciso tomar em conta a

carga do andar seguinte.

Em realizações activas há mais versatilidade do que nas realizações passivas.

É possível configurar os ganhos e alterar alguns parâmetros sem afectar

outros. No entanto os amplificadores operacionais limitam aresposta em alta

frequência dos circuitos activos.

A função de transferência de primeira ordem é dada por

T(s) = a1s+a0s+w0

Esta função transferência caracteriza o filtro de primeira ordem com um modo

natural ems= −w0 e um zero ems= −a0/a1 e um ganho em alta frequência

que se aproxima dea1. Os coeficientes do numerador,a0 ea1, determinam o

tipo de filtro.

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Filtro de primeira ordem

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Filtro Passa-Tudo de primeira ordem

O filtro passa-tudo é um caso particular interessante.

O zero e o pólo da função transferência estão localizados simétricamente em

relação ao eixojw. De notar que o ganho do filtro passa tudo é idealmente

constante em todas as frequências e a sua fase varia com a frequência.

Os filtros passa-tudo são usados em filtros deslocadores de fase e em sistemas

de equalizadores de atraso que causam que o atraso do sistemapara todas as

frequências sejam constantes.– p. 22/27

Filtro de segunda ordem

A função de transferência geral de segunda

ordem (ou biquadrática) tem a forma

T (s) = a2s2+a1s+a0s2+(w0/Q)s+w2

0

Em que os pólos são dados por

p1, p2 = −w02Q ± jw0

√

1− (1/(4Q2))

São interessantes os

casos em que os pólos são tais queQ > 0.5.

Este parâmetro determina quanto próximos

os pólos estão do eixo imaginário.

Quanto maior o valor do factor de

qualidadeQ mais próximos estão os pólos

do eixo imaginário e mais selectivo se torna

o filtro. Um valor infinito do factor de qualidadeQ os pólos estão no eixo

imaginário o que implica que o filtro pode manter oscilações.Um valor

negativo deQ implica que os pólos estão no semi plano direito o que faz o

filtro produzir oscilações.– p. 23/27

Filtro de segunda ordem

Os zeros da função são determinados pelos coeficientes do numeradora0, a1 e

a2. Os valores dos zeros determinam o tipo de filtro pretendido (Passa-Baixo,

Passa-Alto, Passa-Banda, Rejeita-Banda).

Nas figuras que se seguem todos os filtros de segunda ordem tem um par de

pólos complexos com parâmetrosw0 e factor de qualidadeQ.

No caso do filtro passa-banda quandoQ aumenta a largura de banda do filtro

diminui.

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Filtro de segunda ordem

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Filtro de segunda ordem

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Filtro de segunda ordem

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