CINEMTICAVelocidadeA velocidade de um corpo dada pela relao entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quo rpido um corpo se desloca. A anlise da velocidade se divide em dois principais tpicos: Velocidade Mdia e Velocidade Instantnea. considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um mdulo (valor numrico), uma direo (Ex.: vertical, horizontal,...) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, ...). Porm, para problemas elementares, onde h deslocamento apenas em uma direo, o chamado movimento unidimensional, convm trat-la como um grandeza escalar (com apenar valor numrico). As unidades de velocidade comumente adotadas so: m / s (metro por segundo); km / h (quilmetro por hora); No Sistema Internacional (S.I.), a unidade padro de velocidade o m/s. Por isso, importante saber efetuar a converso entre o km/h e o m/s, que dada pela seguinte relao:

1km 1000m = 1h 3600 sA partir da, possvel extrair o seguinte fator de converso:

m km km m e .3,6 = 3,6 = s h h sVelocidade MdiaIndica o quo rpido um objeto se desloca em um intervalo de tempo mdio e dada pela seguinte razo:

vm =

s t

Onde vm = Velocidade Mdia; s = Intervalo do deslocamento [posio final posio inicial (Sfinal - Sinicial)]; t = Intervalo de tempo [tempo final tempo inicial (tfinal - tinicial)]

Velocidade InstantneaSabendo o conceito de velocidade mdia, voc pode se perguntar: Mas o automvel precisa andar todo o percurso a uma velocidade de 60km/h? A resposta no, pois a velocidade mdia calcula a mdia da velocidade durante o percurso (embora no seja uma mdia ponderada, como por exemplo, as mdias de uma prova). Ento, a velocidade que o velocmetro do carro mostra a Velocidade Instantnea do carro, ou seja, a velocidade que o carro est no exato momento em que se olha para o velocmetro. A velocidade instantnea de um mvel ser encontrada quando se considerar um intervalo de tempo (t) infinitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo tender a zero (t 0).

Movimento Retilneo UniformeQuando um mvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este mvel est em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetria reta, tem-se um movimento retilneo uniforme. Uma observao importante que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantnea deste corpo ser igual velocidade mdia, pois no haver variao na velocidade em nenhum momento do percurso. A equao horria do espao pode ser demonstrada a partir da frmula de velocidade mdia.

v = vm =

s t

s = v.t

;

s = s f s 0

s f = s 0 + v.t

Caractersticas do Diagrama s x t Reta que cresce ou decresce uniformemente em funo do tempo. A inclinao da reta fornece o valor da velocidade que constante.

Caractersticas do Diagrama v x t Reta paralela ao eixo das abcissas (eixo do tempo), devido ao movimento ser uniforme, ou seja, a velocidade no muda no decorrer do tempo. A rea sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado, fornece o valor do deslocamento do mvel.

Movimento Retilneo Uniformemente VariadoTambm conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde h variao de velocidade, ou seja, o mvel sofre acelerao medida que o tempo passa. Mas se essa variao de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, ento dizemos que este um Movimento Uniformemente Variado (tambm chamado de Movimento Uniformemente Acelerado), ou seja, que tem acelerao constante e diferente de zero. O conceito fsico de acelerao, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na fsica, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tornando-a maior, como tambm menor. J no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade. O conceito formal de acelerao : a taxa de variao de velocidade numa unidade de tempo, ento como unidade teremos:

m velocidade s m = = 2 tempo s s

AceleraoAssim como para a velocidade, podemos definir uma acelerao mdia se considerarmos a variao de velocidade v em um intervalo de tempo t, e esta mdia ser dada pela razo:

am =

v t

No entanto, quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja, t 0, tem-se a acelerao instantnea do mvel.

Funo Horria da VelocidadeA funo horria da velocidade do MRUV, descreve a velocidade em funo do tempo [v = f (t)]. Quando a acelerao constante, a acelerao instantnea a igual acelerao mdia am , assim

a = am =

v t

v = a.t

;

v = v v 0

v v0 = a.t

v = v0 + a.t

Entretanto, se considerarmos t0 = 0, teremos:

v = v0 + a.tFuno Horria da Posio (Deslocamento)A melhor forma de demonstrar esta funo atravs do diagrama velocidade versus tempo (v x t) no movimento uniformemente variado.

O deslocamento ser dado pela rea sob a reta da velocidade, ou seja, a rea do trapzio.

s =Logo:

v + v0 .t 2 a.t 2 2

;

v = v0 + a.t ; s = s s 0

s =

v0 + a.t + v0 .t 2

s =

2v0 t a.t 2 + 2 2

s = v0 t +

1 s = s 0 + v0 .t + .a.t 2 2

Interpretando esta funo, podemos dizer que seu grfico ser uma parbola, pois resultado de uma funo do segundo grau.

Equao de TorricelliAt agora, conhecemos duas equaes do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prtico encontrar uma funo na qual seja possvel conhecer a velocidade de um mvel sem que o tempo seja conhecido. Para isso, usaremos as duas funes horrias que j conhecemos:

(1) v = v0 + a.t

(2) s = s 0 + v0 .t +

1 2 .a.t 22 2 2 v0 .v v 0 v 2 2.v.v0 + v0 +a a 2a 2

Isolando-se t em (1) e substituindo em (2) teremos:

v v0 t= a s s0 =

v v0 1 v v0 s = s 0 + v 0 . + .a. a 2 a 2 2 v0 .v v0 v 2 2.v.v0 + v0 + a 2a

s s0 =

Reduzindo-se a um denominador comum:2 v 2 = v0 + 2a.s

2 2 2 2 2 2a (s s 0 ) = 2.v0 .v 2v 0 + v 2 2.v.v0 + v0 2as = 2v 0 + v0 + v 2 2a.s = v0 + v 2

(

)

Caractersticas do Diagrama s x t Parbola com concavidade para cima ou para baixo. A inclinao da reta tangente a qualquer ponto do grfico fornece o valor da velocidade. Quanto maior a inclinao em relao ao eixo das abcissas (eixo do tempo), maior a velocidade.

Caractersticas do Diagrama v x t Reta que cresce ou decresce uniformemente em funo do tempo. A inclinao da reta fornece o valor da acelerao que constante.

A rea sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado, fornece o valor do deslocamento do mvel.

Movimento VerticalSe largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegar antes ao cho. Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rpido ele cair. Porm, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vcuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair. Assim, conclumos que, se desprezarmos a resistncia do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairo com uma acelerao constante: a acelerao da Gravidade. Quando um corpo lanado nas proximidades da Terra, fica ento, sujeito gravidade, que orientada sempre na vertical, em direo ao centro do planeta. O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenmenos de curta durao, tomado como constante e seu valor mdio no nvel do mar :

g = 9,80665 m/sNo entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:

g = 10 m/s Lanamento VerticalUm arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direo vertical, recebe o nome de Lanamento Vertical. Sua trajetria retilnea e vertical, e, devido gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado. As funes que regem o lanamento vertical, portanto, so as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (s) e com acelerao da gravidade (g).

(1) v = v0 g .t

(2) h = h0 + v0 .t

1 2 g .t 2

2 (3) v 2 = v0 2.g .h

Lanamento Vertical para Cima (g negativo)Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento ser acelerado negativamente, at parar em um ponto, o qual chamamos Altura Mxima.

Lanamento Vertical para Baixo (g positivo)No lanamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento acelerado positivamente. Recebe tambm o nome de queda livre.

VetoresDeterminado por um segmento orientado AB, o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos

r v com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

r v = [ XY / XY ~ AB ]onde XY um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB indicado por

r AB ou B - A ou v .

Um mesmo vetor AB determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais so todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstrao, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, atravs de representantes, a totalidade dos vetores do espao. Ora, cada um destes segmentos um representante de um s vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. r As caractersticas de um vetor v so as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto : o mdulo, a direo e o sentido do vetor so o mdulo, a direo e o sentido de qualquer um de seus representantes. r r O mdulo de v se indica por | v |.

Soma de Vetores r r r r r r Se v = (a,b) e w = (c,d), definimos a soma de v e w , por: v + w = (a+c,b+d)Propriedades da Soma de Vetores

Diferena de Vetores r r r r r r Se v = (a,b) e w = (c,d), definimos a diferena de v e w , por: v - w = (a - c,b - d) Produto de um Nmero Escalar por um Vetor r r r Se v = (a,b) um vetor e c um nmero real, definimos a multiplicao de c por v como: c. v = (ca , cb)Propriedades do Produto de Escalar por Vetor r r Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Mdulo de um VetorO mdulo ou comprimento do vetor

r v = (a,b) um nmero real no negativo, definido por:

v = a2 + b2Vetor UnitrioVetor unitrio o que tem o mdulo igual a 1. 2 Existem dois vetores unitrios que formam a base cannica para o espao R , que so dados por:

i = (1,0) ; j = (0,1)

Para construir um vetor unitrio pelo seu mdulo, isto :

r r r u que tenha a mesma direo e sentido que um outro vetor v , basta dividir o vetor v

u=

v vr r r r u = c v , onde c um escalar no nulo. Nesse

Obs: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v , basta tomar r r caso, u e v sero paralelos: Se c = 0, ento u ser o vetor nulo. r r Se 0 < c < 1, ento u ter comprimento menor do que v . r r Se c > 1, ento u ter comprimento maior do que v . r r Se c < 0, ento u ter sentido oposto ao de v .

Decomposio de vetores em Vetores UnitriosPara fazer clculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitrios em cada um dos planos apresentados. Sendo simbolizados, por conveno, i como vetor unitrio do plano x e j como vetor unitrio do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em trs dimenses, o vetor utilizado para o plano z o vetor unitrio k.

r A no eixo x do plano cartesiano ser dado por Ax i, e sua projeo no eixo y do plano ser r Ay j. Este vetor pode ser escrito como: A = (Ax i, Ay j), respeitando que sempre o primeiro componente entre parnteses a projeo em x e o segundo a projeo no eixo y. Caso aparea um terceiro componente, ser o componente do eixo z.No caso onde o vetor no se encontra na origem, possvel redesenh-lo, para que esteja na origem, ou entoEnto, a projeo do vetor descontar a parte do plano onde o vetor no projetado.

r B = (x f xi )i , ( y f y i ) j

[

]

Produto escalarDados os vetores obtido por:

r r r r u = (a,b) e v = (c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v , como o nmero real

r r u . v = a.c + b.d r r u e v pode ser escrito na forma:

ngulo entre dois vetoresO produto escalar entre os vetores

r r u . v = |u| |v| cos(x)onde x o ngulo formado entre

r r u ev

Atravs desta ltima definio de produto escalar, podemos obter o ngulo x entre dois vetores genricos como,

r r u e v,

cos(x ) =

u.v u .v

;

0 x

desde que nenhum deles seja nulo.

Vetor PosioImagine um mvel deslocando-se em uma trajetria aleatria, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, ento poderemos localizar o mvel nesta trajetria por meio de um vetor. r O vetor r chamado vetor deslocamento e possui mdulo, direo e sentido.

r r=POVelocidade VetorialVetor Velocidade Mdia: Considere-se um mvel percorrendo a trajetria do grfico acima, ocupando posies P1 e P2 nos instantes t1 e t2 , respectivamente. Sabendo que a velocidade mdia igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:

Obs: O vetor velocidade mdia tem a mesma direo e sentido do vetor deslocamento, pois obtido quando r multiplicamos um nmero positivo 1 / t pelo vetor. r Vetor Velocidade Instantnea: Anlogo velocidade instantnea, quando o intervalo de tempo tender a zero (t 0), a velocidade calculada ser a velocidade instantnea.

r r r vm = t

Acelerao VetorialVetor Acelerao Mdia: Considerando um mvel que percorre uma trajetria qualquer com velocidade instante t1 e velocidade

r v 2 em um instante posterior t2, sua acelerao mdia ser dada por:

r v1 em um

Obs: Assim como para o vetor velocidade, o vetor acelerao ter o mesmo sentido e mesma direo do vetor r velocidade, pois resultado do produto deste vetor ( v ) por um nmero escalar positivo, 1 / t. Vetor Acelerao Instantnea: A acelerao vetorial instantnea ser dada quando o intervalo de tempo tender a zero (t 0). Sabendo esses conceitos, podemos definir as funes de velocidade em funo do tempo, deslocamento em funo do tempo e a equao de Torricelli para notao vetorial:

(1) v = v 0 + a.t Movimento Oblquo

r

r

r

(2) r = r0 + v 0 .t +

r

r

r

1r 2 a.t 2

(3) v 2 = v 02 + 2.a.r

r

r

r r

Um movimento oblquo um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ngulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ngulo com a horizontal. Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistncia do ar desprezada, o corpo sofre apenas a acelerao da gravidade.

Lanamento Oblquo ou de ProjtilO mvel se deslocar para a frente em uma trajetria que vai at uma altura mxima e depois volta a descer, formando uma trajetria parablica.

Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x). Na direo vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a acelerao da gravidade (g) Na direo horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a

r v 0, y e

r v 0, x . r v0 = 0 , e desce

Obs: Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura mxima) onde

aumentando a velocidade. O alcance mximo a distncia entre o ponto do lanamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y = 0. A velocidade instantnea dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja, O vetor velocidade tangente trajetria em cada momento.2 2 v = vx + vy .

Lanamento HorizontalTrata-se de uma particularidade do movimento oblquo onde o ngulo de lanamento zero, ou seja, lanado horizontalmente. Por exemplo, quando uma criana chuta uma bola que cai em um penhasco, ou quando um jardineiro est regando um jardim com uma mangueira orientada horizontalmente.

Movimento CircularGrandezas Angulares As grandezas at agora utilizadas de deslocamento/espao (s, h, x, y), de velocidade (v) e de acelerao (a), eram teis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na anlise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que so chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. So elas:

Deslocamento / Espao angular: (phi) Velocidade Angular: (mega) Acelerao Angular: (alpha) Espao Angular ()Chama-se espao angular o espao do arco formado, quando um mvel encontra-se a uma abertura de ngulo qualquer em relao ao ponto denominado origem.

E calculado por:

=

S R

Deslocamento angular ()Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferena entre a posio angular final e a posio angular inicial:

= f - iSendo:

=

S R

No sentido anti-horrio o deslocamento angular positivo; No sentido horrio o deslocamento angular negativo.

Velocidade Angular ()Anlogo velocidade linear, podemos definir a velocidade angular mdia, como a razo entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

m =

t

;

=

2 (para uma volta completa). T

Sua unidade no Sistema Internacional : rad /s ; Sendo tambm encontradas: rpm , rev /min , rev /s. Tambm possvel definir a velocidade angular instantnea como o limite da velocidade angular mdia quando o intervalo de tempo tender a zero.

Acelerao Angular ()Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos acelerao angular mdia como:

m =

tAngular

Algumas relaes importantes Linear

s

=

R

v a

= =

R R

Perodo e Frequncia Perodo (T) o intervalo de tempo mnimo para que um fenmeno ciclico se repita.Sua unidade a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequncia (f) o nmero de vezes que um fenmeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum Hertz (1Hz =1/s) sendo tambm encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequncia equivale aonmero de rotaes por segundo sendo equivalente a velocidade angular.

Movimento Circular UniformeUm corpo est em Movimento Curvilneo Uniforme, se sua trajetria for descrita por um crculo com um "eixo de rotao" a uma distncia R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso. No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as ps de um ventilador girando. Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudana de direo e sentido, logo existe uma acelerao, mas como esta acelerao no influencia no mdulo da velocidade, chamamos de Acelerao Centrpeta. Esta acelerao relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

v2 a cp = R

;

v = .R a cp

(.R )2 = 2 .R 2 =R R

acp = 2 . R

Sabendo que S = R e que v = R, pode-se converter a funo horria do espao linear para o espao angular:

s = s 0 + v.t

S S0 v = + t R R R

= 0 + t

Movimento Circular Uniformemente VariadoQuando um corpo, que descreve trajetria circular, e sofre mudana na sua velocidade angular, ento este corpo tem acelerao angular (). As formas angulares das equaes do Movimento Curvilneo Uniformemente Variado so obtidas quando divididas pelo raio R da trajetria a que se movimenta o corpo. Assim: MUV Grandezas lineares MCUV Grandezas angulares

E, acelerao resultante dada pela soma vetorial da acelerao tangencial e da acelerao centpeta:

DINMICAQuando se fala em dinmica de corpos, a imagem que vem cabea a clssica e mitolgica de Isaac Newton, lendo seu livro sob uma macieira. Repentinamente, uma ma cai sobre a sua cabea. Segundo consta, este foi o primeiro passo para o entendimento da gravidade, que atraia a ma. Com o entendimento da gravidade, vieram o entendimento de Fora, e as trs Leis de Newton.Na cinemtica, estuda-se o movimento sem compreender sua causa. Na dinmica, estudamos a relao entre a fora e movimento.

Fora uma interao entre dois corpos. O conceito de fora algo intuitivo, mas para compreend-lo, pode-se basear em efeitos causados por ela, como: Acelerao: faz com que o corpo altere a sua velocidade, quando uma fora aplicada. Deformao: faz com que o corpo mude seu formato, quando sofre a ao de uma fora. Fora Resultante: a fora que produz o mesmo efeito que todas as outras aplicadas a um corpo. Dadas vrias foras aplicadas a um corpo qualquer, a fora resultante ser igual a soma vetorial de todas as foras aplicadas:

Leis de NewtonAs Leis de Newton constituem os trs pilares fundamentais do que chamamos Mecnica Clssica, que justamente por isso tambm conhecida por Mecnica Newtoniana. 1 Lei de Newton - Princpio da Inrcia Quando estamos dentro de um carro, e este contorna uma curva, nosso corpo tende a permanecer com a mesma velocidade vetorial a que estava submetido antes da curva, isto d a impresso que se est sendo "jogado" para o lado contrrio curva. Isso porque a velocidade vetorial tangente a trajetria. Quando estamos em um carro em movimento e este freia repentinamente, nos sentimos como se fssemos atirados para frente, pois nosso corpo tende a continuar em movimento. estes e vrios outros efeitos semelhantes so explicados pelo princpio da inrcia, cujo enunciado : "Um corpo em repouso tende a permanecer em repouso, e um corpo em movimento tende a permanecer em movimento retilneo com velocidade constante." Ento, conclui-se que um corpo s altera seu estado de inrcia, se algum, ou alguma coisa aplicar nele uma fora resultante diferente se zero. 2 Lei de Newton - Princpio Fundamental da Dinmica Quando aplicamos uma mesma fora em dois corpos de massas diferentes observamos que elas no produzem acelerao igual. A 2 lei de Newton diz que a Fora sempre diretamente proporcional ao produto da acelerao de um corpo pela sua massa, ou seja:

r r F = m.a

ou em mdulo

F = m.a

Onde F a resultante de todas as foras que agem sobre o corpo (em N); m a massa do corpo a qual as foras atuam (em kg); a a acelerao adquirida (em m/s). A unidade de fora, no sistema internacional, o N (Newton), que equivale a kg m/s (quilograma metro por segundo ao quadrado). 3 Lei de Newton - Princpio da Ao e Reao r Quando uma pessoa empurra um caixa com um fora F , podemos dizer que esta uma fora de ao, mas conforme a 3 lei de Newton, sempre que isso ocorre, h uma outra fora com mdulo e direo iguais, e sentido oposto a fora de ao, esta chamada fora de reao. Esta o princpio da ao e reao, cujo enunciado : "As foras atuam sempre em pares, para toda fora de ao, existe uma fora de reao."

Fora de TraoDado um sistema onde um corpo puxado por um fio ideal, ou seja, que seja inextensvel, flexvel e tem massa desprezvel.

Podemos considerar que a fora aplicada no fio, que por sua vez, aplica uma fora no corpo, a qual chamamos Fora de Trao

r T.

Fora PesoQuando falamos em movimento vertical, introduzimos um conceito de acelerao da gravidade, que sempre atua no sentido a aproximar os corpos em relao superficie. Relacionando com a 2 Lei de Newton, se um corpo de massa m, sofre a acelerao da gravidade, quando aplicada a ele o principio fundamental da dinmica poderemos dizer que:

r r F = m.g r r P = mg

A esta fora, chamamos Fora Peso, e podemos express-la como: ou em mdulo

P = m.g

O Peso de um corpo a fora com que a Terra o atrai, podendo ser vrivel, quando a gravidade variar, ou seja, quando no estamos nas proximidades da Terra. A massa de um corpo, por sua vez, constante, ou seja, no varia. Existe uma unidade muito utilizada pela indstria, principalmente quando tratamos de fora peso, que o kilogramafora, que por definio : 1kgf o peso de um corpo de massa 1kg submetido a acelerao da gravidade de 9,8m/s. A sua relao com o newton :

P = m.g

1kgf = 9,8kg.m / s2

1kgf = 9,8kg.m / s2 = 9,8N

Alm da Fora Peso, existe outra que normalmente atua na direo vertical, chamada Fora Normal. Esta exercida pela superfcie sobre o corpo, podendo ser interpretada como a sua resistncia em sofrer deformao devido ao peso do corpo. Esta fora sempre atua no sentido perpendicular superfcie, diferentemente da Fora Peso que atua sempre no sentido vertical. Analisando um corpo que encontra-se sob uma superfcie plana verificamos a atuao das duas foras. Para que este corpo esteja em equilbrio na direo vertical, ou seja, no se movimente ou no altere sua velocidade, necessrio que os mdulos das foras Normal e Peso sejam iguais, assim, atuando em sentidos opostos elas se anularo.

Fora de AtritoAt agora, para calcularmos a fora, ou acelerao de um corpo, consideramos que as superfcies por onde este se deslocava, no exercia nenhuma fora contra o movimento, ou seja, quando aplicada uma fora, este se deslocaria sem parar. Mas sabemos que este um caso idealizado. Por mais lisa que uma superfcie seja, ela nunca ser totalmente livre de atrito. Sempre que aplicarmos uma fora a um corpo, sobre uma superfcie, este acabar parando. isto que caracteriza a fora de atrito: Oposio ao movimento; Depende da natureza e da rugosidade da superfcie (coeficiente de atrito); proporcional fora normal de cada corpo; Transforma a energia cintica do corpo em outro tipo de energia que liberada ao meio. A fora de atrito calculada pela seguinte relao:

Fat = .NOnde coeficiente de atrito (adimensional); N Fora normal (N)

Atrito Esttico e DinmicoQuando empurramos um carro, fcil observar que at o carro entrar em movimento necessrio que se aplique uma fora maior do que a fora necessria quando o carro j est se movimentando. Isto acontece pois existem dois tipo de atrito: o esttico e o dinmico (cintico).

Atrito Esttico aquele que atua quando no h deslizamento dos corpos. A fora de atrito esttico mxima igual a fora mnima necessria para iniciar o movimento de um corpo. Quando um corpo no est em movimento a fora da atrito deve ser maior que a fora aplicada, neste caso, usado no clculo um coeficiente de atrito esttico:

e. Ento:

Fat = e .NAtrito Dinmico (Cintico) aquele que atua quando h deslizamento dos corpos. Quando a fora de atrito esttico for ultrapassada pela fora aplicada ao corpo, este entrar em movimento, e passaremos a considerar sua fora de atrito dinmico. A fora de atrito dinmico sempre menor que a fora aplicada, no seu clculo utilizado o coeficiente de atrito cintico:

c. Ento:

Fat = c .NFora de Resistncia do ArA fora de resistncia do ar (fora de atrito com o ar) tem sentido contrrio ao movimento do corpo, e seu valor cresce com o aumento da velocidade do corpo. A velocidade do corpo aumenta com uma acelerao a < g at atingir um valor constante denominado velocidade terminal ou limite (vt). A partir da, o corpo continua sua queda em movimento uniforme.

Fora ElsticaImagine uma mola presa em uma das extremidades a um suporte, e em estado de repouso (sem ao de nenhuma fora). Quando aplicamos uma fora F na outra extremidade, a mola tende a deformar (esticar ou comprimir, dependendo do sentido da fora aplicada). Ao estudar as deformaes de molas e as foras aplicadas, Robert Hooke (1635-1703), verificou que a deformao da mola aumenta proporcionalmente fora. Da estabeleceu-se a seguinte lei, chamada Lei de Hooke:

r

F = k .xOnde F a intensidade da fora aplicada (N); k a constante elstica da mola (N/m); x a deformao da mola (m). A constante elstica da mola depende principalmente da natureza do material de fabricao da mola e de suas dimenses. Sua unidade mais usual o N/m (newton por metro) mas tambm encontramos N/cm; kgf/m, etc.

Fora CentrpetaQuando um corpo efetua um Movimento Circular, este sofre uma acelerao que responsvel pela mudana da direo do movimento, a qual chamamos acelerao centrpeta, assim como visto no MCU. Sabendo que existe uma acelerao e sendo dada a massa do corpo, podemos, pela 2 Lei de Newton, calcular uma fora que assim como a acelerao centrpeta, aponta para o centro da trajetria circular. A esta fora damos o nome: Fora Centrpeta. Sem ela, um corpo no poderia executar um movimento circular. Como visto anteriormente, quando o movimento for circular uniforme, a acelerao centrpeta constante, logo, a fora centrpeta tambm constante. Sabendo que:

v2 a cp = REnto:

ou

a cp = 2 .Rv2 Fcp = m. = m. 2 R R

Fcp = m.a cp

A fora centrpeta a resultante das foras que agem sobre o corpo, com direo perpendicular trajetria.

Plano InclinadoDadas duas trajetrias:

Em qual delas "mais fcil" carregar o bloco?

Obviamente, na trajetria inclinada, pois no primeiro caso, teremos que realizar uma fora que seja maior que o peso do corpo. J no segundo caso, Defermos fazer uma fora que seja maior que uma das componentes de seu peso, neste caso, a componete horizontal, que ter instensidade menor conforme o ngulo formado for menor. Por isso, no nosso cotidiano, usamos muito o plano inclinado para facilitar certas tarefas. Ao analizarmos as foras que atuam sobre um corpo em um plano inclinado, temos:

A fora Peso e a fora Normal, neste caso, no tem o mesma direo pois, como j vimos, a fora Peso, causada pela acelerao da gravidade, que tem origem no centro da Terra, logo a fora Peso tm sempre direo vertical. J a fora Normal a fora de reao, e tm origem na superfcie onde o movimento ocorre, logo tem um ngulo igual ao plano do movimento. Para que seja possvel realizar este clculo devemos estabelecer algumas relaes:

Podemos definir o plano cartesiano com inclinao igual ao plano inclinado, ou seja, com o eixo x formando um ngulo igual ao do plano, e o eixo y, perpendicular ao eixo x. A fora Normal ser igual decomposio da fora Peso no eixo y. A decomposio da fora Peso no eixo x ser a responsvel pelo deslocamento do bloco. O ngulo formado entre a fora Peso e a sua decomposio no eixo y, ser igual ao ngulo formado entre o plano e a horizontal. Se houver fora de atrito, esta se opor ao movimento, neste caso, apontar para cima. Sabendo isto podemos dividir as resultantes da fora em cada direo: Em y como o bloco no se desloca para baixo e nem para cima, esta resultante nula, ento:

F F

y

= N Py = 0 = Px = m.a

N = Py

;

Py = P cos = m.g . cos

N = m.g . cos

Em x:

x

;

Px = P.sen = m.g .sen

m.g .sen = m.a

a = g .sen

SistemasAgora que conhecemos os princpios da dinmica, a fora peso, elstica, centrpeta e de atito e o plano inclinado, podemos calcular fenmenos fsicos onde estas foras so combinadas. Corpos em Contato

Quando uma fora aplicada corpos em contato existem "pares ao-reao" de foras que atuam entre eles e que se anulam. Podemos fazer os clculos neste caso, imaginando:

Depois de sabermos a acelerao, que igual para ambos os blocos, podemos calcular as foras que atuam entre eles, utilizando a relao que fizemos acima:

FBA = m B .aCorpos Ligados por um Fio Ideal Um fio ideal caracterizado por ter massa desprezvel, ser inextensvel e flexvel, ou seja, capaz de transmitir totalmente a fora aplicada nele de uma extremidade outra. Como o fio ideal tem capacidade de transmitir integralmente a fora aplicada em sua extremidade, podemos tratar o sistema como se os corpos estivessem encostados:

A trao no fio ser calculada atrves da relao feita acima:

T = m B .aCorpos Ligados por um Fio Ideal atravs de Polia Ideal Um polia ideal tem a capacidade de mudar a direo do fio e transmitir a fora integralmente. Como as foras Peso e Normal no bloco se anulam, fcil verificar que as foras que causam o movimento so a Trao e o Peso do Bloco B.

Conhecendo a acelerao do sistema podemos clacular a Tenso no fio:

T = m A .aCorpo Preso a uma Mola Considere um bloco, preso a uma mola. Ento, conforme a 2 Lei de Newton:

F P = m.a Mas F = kx e P = mg, ento: k .x m.g = m.aAssim poderemos calcular o que for pedido, se conhecermos as outras incgnitas.

Trabalho (W)Na Fsica, o termo trabalho utilizado quando falamos no Trabalho realizado por uma fora, ou seja, o Trabalho Mecnico. Uma fora aplicada em um corpo realiza um trabalho quando produz um deslocamento no corpo. Utilizamos a letra (W) para expressar trabalho. A unidade de Trabalho no SI o Joule (J) Quando uma fora tem a mesma direo do movimento o trabalho realizado positivo: W > 0; Quando uma fora tem direo oposta ao movimento o trabalho realizado negativo: W < 0. O trabalho resultante obtido atravs da soma dos trabalhos de cada fora aplicada ao corpo, ou pelo clculo da fora resultante no corpo.

WR = W1 + W2 + ... + WnFora paralela ao Deslocamento Quando a fora paralela ao deslocamento, ou seja, o vetor deslocamento e a fora no formam ngulo entre si, calculamos o trabalho:

W = F .SFora no-paralela ao Deslocamento Sempre que a fora no paralela ao deslocamento, devemos decompor o vetor em suas componentes paralelas e perpendiculares. Considerando F a componente perpendicular da Fora e F// a componente paralela da fora. Ou seja:

cos =

F// F

F// = F . cos

Quando o mvel se desloca na horizontal, apenas as foras paralelas ao deslocamento produzem trabalho. Logo:

W = F// .S

W = F . cos .S

Trabalho de uma Fora Varivel Para calcular o trabalho de uma fora que varia devemos empregar tcnicas de integrao, que uma tcnica matemtica estudada no nvel superior, mas para simplificar este clculo, podemos calcular este trabalho por meio do clculo da rea sob a curva no diagrama FR x s. Calcular a rea sob a curva uma tcnica vlida para foras que no variam tambm.

W = A1 + A2Trabalho da Fora Peso Para realizar o clculo do trabalho da fora peso, devemos considerar a trajetria como a altura entre o corpo e o ponto de origem, e a fora a ser empregada, a fora Peso. Ento:

r WP = P.h

WP = m.g.h

PotnciaDois carros saem da praia em direo a serra (h = 600m). Um dos carros realiza a viagem em 1hora, o outro demora 2horas para chegar. Qual dos carros realizou maior trabalho? Nenhum dos dois. O Trabalho foi exatamente o mesmo. Entretanto, o carro que andou mais rpido desenvolveu uma Potncia maior. A unidade de potncia no SI o watt (W).

W=

J s

Alm do watt, usa-se com frequncia as unidades:

1kW (1 quilowatt) = 1000W 1MW (1 megawatt) = 1000000W = 1000kW 1cv (1 cavalo-vapor) = 735W 1HP (1 horse-power) = 746WPotncia Mdia Definimos a partir da potncia mdia relacionando o Trabalho com o tempo gasto para realiz-lo:

Pm =

W t

;

W = F .S

Pm =

F .S S = F .v m = F. t t

Energia MecnicaEnergia a capacidade de executar um trabalho. Energia mecnica aquela que acontece devido ao movimento dos corpos ou armazenada nos sistemas fsicos. Dentre as diversas energias conhecidas, as que veremos no estudo de dinmica so:

Energia Cintica (K); Energia Potencial Gravitacional (UG); Energia Potencial Elstica (UE).Energia Cintica a energia ligada ao movimento dos corpos. Resulta da transferncia de energia do sistema que pe o corpo em movimento. Sua equao dada por:

K=

m.v 2 2

A unidade de energia a mesma do trabalho: o Joule (J) Teorema do Trabalho-Energia Cintica Considerando um corpo movendo-se em MRUV. O Teorema do Trabalho-Energia Cintica diz que: "O trabalho da fora resultante medido pela variao da energia cintica." Seja: W = F .S ; F = m.a W = m.a.S Utilizando a equao de Torricelli, teremos:2 v 2 = v0 + 2.a.S

2 v 2 v0 = 2.a.S

S =

v 2 2.a

Substituindo no clculo do trabalho:

W = m.a.

v 2 2.a

W=

2 m.v 2 m.v 2 m.v0 ; K= 2 2 2

W = E C . f E C .i

W = E C

Energia Potencial Energia Potencial a energia que pode ser armazenada em um sistema fsico e tem a capacidade de ser transformada em energia cintica. Conforme o corpo perde energia potencial ganha energia cintica ou vice-e-verso. Energia Potencial Gravitacional a energia que corresponde ao trabalho que a fora Peso realiza. obtido quando consideramos o deslocamento de um corpo na vertical, tendo como origem o nvel de referncia (solo, cho de uma sala, ...).

U G = P.h = m.g .hEnquanto o corpo cai vai ficando mais rpido, ou seja, ganha Energia Cintica, e como a altura diminui, perde Energia Potencial Gravitacional. Energia Potencial Elstica Corresponde ao trabalho que a fora Elstica realiza. Como a fora elstica uma fora varivel, seu trabalho calculado atravs do clculo da rea do seu grfico, cuja Lei de Hooke diz ser:

Como a rea de um tringulo dada por:

base altura A= 2

WFel

deformao fora =UE = 2

x.k .x k .x 2 UE = = 2 2

Conservao de Energia MecnicaA energia mecnica de um corpo igual a soma das energias potenciais e cintica dele. Ento:

E = K +UQualquer movimento realizado atravs de transformao de energia, por exemplo, quando voc corre, transforma a energia qumica de seu corpo em energia cintica. O mesmo acontece para a conservao de energia mecnica. Podemos resolver vrios problemas mecnicos conhecendo os princpios de conservao de energia. Por exemplo, uma pedra que abandonada de um penhasco. Em um primeiro momento, antes de ser abandonada, a pedra tem energia cintica nula (j que no est em movimento) e energia potencial total. Quando a pedra chegar ao solo, sua energia cintica sera total, e a energia potencial nula (j que a altura ser zero). Dizemos que a energia potencial se transformou, ou se converteu, em energia cintica. Quando no so consideradas as foras dissipativas (atrito, fora de arraste, etc.) a energia mecnica conservada, ento:

Ei = E f

Ki + Ui = K f + U f

Para o caso de energia potencial gravitacional convertida em energia cintica, ou vice-versa:

1 1 m.vi2 + m.g .hi = m.v 2 + m.g .h f f 2 2Para o caso de energia potencial elstica convertida em energia cintica, ou vice-versa:

1 1 1 1 m.vi2 + k .xi2 = m.v 2 + k .x 2 f f 2 2 2 2ImpulsoComo j vimos, para que um corpo entre em movimento, necessrio que haja um interao entre dois corpos. Se considerarmos o tempo que esta interao acontece, teremos o corpo sob ao de uma fora constante, durante um intervalo de tempo muito pequeno, este ser o impulso de um corpo sobre o outro:

r r I = F .t

As caractersticas do impulso so: Mdulo: I = F .t ; Direo: a mesma do vetor F; Sentido: o mesmo do vetor F. A unidade utilizada para Impulso, no SI, : N.s No grfico de uma fora constante, o valor do impulso numericamente igual rea entre o intervalo de tempo de interao:

A = F.t = IQuantidade de MovimentoSe observarmos uma partida de bilhar, veremos que uma bolinha transfere seu movimento totalmente ou parcialmente para outra. A grandeza fsica que torna possvel estudar estas transferncias de movimento a quantidade de

movimento linear p , tambm conhecido como momentum linear. A quantidade de movimento relaciona a massa de um corpo com sua velocidade:

r

r r p = m.v

Como caractersticas da quantidade de movimento temos: Mdulo: p = m.v ; Direo: a mesma da velocidade; Sentido: a mesma da velocidade. Unidade no SI: kg.m/s.

Teorema do Impulso-Quantidade de MovimentoDa 2 Lei de Newton:

r r r r r r r r r v F = m.a = m. F .t = m.v ; I = F .t I = m.v t r r r r r r r r r r I = m.v f m.vi ; p = m.v I = p f p i I = p

"O impulso de uma fora, devido sua aplicao em certo intervalo de tempo, igual a variao da quantidade de movimento do corpo ocorrida neste mesmo intervalo de tempo."

Conservao da Quantidade de MovimentoAssim como a energia mecnica, a quantidade de movimento tambm mantida quando no h foras dissipativas, ou seja, o sistema conservativo, fechado ou mecanicamente isolado. Um sistema conservativo se:

(1) FR = 0

r

(2)

r IR = 0

(3)

r r p f pi = 0

r r p f = pi

Como a massa de um corpo, ou mesmo de um sistema, dificilmente varia, o que sofre alterao a velocidade deles.

ESTTICAA esttica a parte da fsica que se preocupa em explicar questes como: Por que em uma mesa sustentada por dois ps, estes precisam estar em determinada posio para que esta no balance? Por que a maaneta de uma porta sempre colocada no ponto mais distante das dobradias dela? Por que um quadro pendurado em um prego precisa estar preso exatamente em sua metade? Por que mais fcil quebrar um ovo pelas laterais do que por suas extremidades?

Princpio da Transmisso das ForasO efeito de uma fora no alterado quando esta aplicada em diferentes pontos do corpo, desde que esta seja aplicada ao longo de sua linha de aplicao.

Nos dois casos o efeito da fora o mesmo.

EquilbrioAs situaes em que um corpo pode estar em equilbrio so: r Equilbrio esttico: Ocorre quando o ponto ou corpo est perfeitamente parado ( v = 0 ). r Equilbrio dinmico: Ocorre quando o ponto ou corpo est em Movimento Uniforme v = const. .

Esttica de um PontoPara que um ponto esteja em equilbrio precisa satisfazer a seguinte condio: A resultante de todas as foras aplicadas a este ponto deve ser nula. (

F = 0)

r

Esttica de um Corpo RgidoChamamos de corpo rgido ou corpo extenso, todo o objeto que no pode ser descrito por um ponto. Para conhecermos o equilbrio nestes casos necessrio estabelecer dois conceitos: Centro de Massa e Torque.

Centro de MassaUm corpo extenso pode ser considerado um sistema de partculas, cada uma com sua massa.

A resultante total das massas das partculas a massa total do corpo. Seja CM o ponto em que podemos considerar concentrada toda a massa do corpo, este ponto ser chamado Centro de Massa do corpo. Para corpos simtricos, que apresentam distribuio uniforme de massa, o centro de massa o prprio centro geomtrico do sistema. Como no caso de uma esfera homognea, ou de um cubo perfeito. Para os demais casos, o clculo do centro de massa feito atravs da mdia aritmtica ponderada das distncias de cada ponto do sistema.

Como forma genrica da frmula do centro de massa temos:

xCM =

m1 .x1 + m2 .x 2 + ... + mn .x n m1 + m2 + m3 ... + mn

;

yCM

CM = xCM , y CM m . y + m2 . y 2 + ... + mn . y n = 1 1 m1 + m2 + m3 ... + mn

Torque (Momento de uma fora)Imagine uma pessoa tentando abrir uma porta, ela precisar fazer mais fora se for empurrada na extremidade contrria dobradia, onde a maaneta se encontra, ou no meio da porta? Claramente percebemos que mais fcil abrir ou fechar a porta se aplicarmos fora em sua extremidade, onde est a r maaneta. Isso acontece, pois existe uma grandeza chamada Torque ou Momento de Fora ( ). Esta grandeza proporcional Fora e distncia da aplicao em relao ao ponto de giro, ou seja:

= F .d

r

r r

A unidade do Torque no sistema internacional o Newton-metro (N.m) Como este um produto vetorial, podemos dizer que o mdulo do Torque :

= F .d .senSendo: M = Mdulo do Torque; F = Mdulo da Fora; d = distncia entre a aplicao da fora ao ponto de giro (brao de alavanca); = menor ngulo formado entre os dois vetores. Como sen90 = 1, se a aplicao da fora for perpendicular d o torque ser mximo; Como sen0 = 0, quando a aplicao da fora paralela d, o torque nulo. A direo e o sentido deste vetor so dados pela Regra da Mo Direita. O Torque de um corpo : Positivo quando girar no sentido anti-horrio; Negativo quando girar no sentido horrio;

Condies de Equilbrio de um Corpo RgidoPara que um corpo rgido esteja em equilbrio, alm de no se mover, este corpo no pode girar. Por isso precisa satisfazer duas condies: O resultante das foras aplicadas sobre seu centro de massa deve ser nulo (no se move ou se move com velocidade constante). (F = 0) O resultante dos Torques aplicados ao corpo deve ser nulo (no gira ou gira com = const.). ( = 0)

HIDROSTTICAAt agora estudamos o comportamento dos planos e corpos em um meio onde h ar ou vcuo, ou seja, o meio no interfere no comportamento. Mas e se aplicarmos uma fora em um corpo que se encontra sobre a gua ou outro fluido qualquer? Sabemos que o efeito ser diferente. Se estudarmos as propriedades de um lquido em equilbrio esttico, estas propriedades podem ser estendidas aos demais fluidos. Chamamos hidrosttica a cincia que estuda os lquidos em equilbrio esttico.

FluidoFluido uma substncia que tem a capacidade de escoar. Quando um fluido submetido a uma fora tangencial, deforma-se de modo contnuo, ou seja, quando colocado em um recipiente qualquer, o fluido adquire o seu formato. Podemos considerar como fluidos lquidos e gases. Particularmente, ao falarmos em fluidos lquidos, devemos falar em sua viscosidade, que a atrito existente entre suas molculas durante um movimento. Quanto menor a viscosidade, mais fcil o escoamento do fluido.

PressoAo observarmos uma tesoura, vemos que o lado onde ela corta, a lmina, mais fina que o restante da tesoura. Tambm sabemos que quanto mais fino for o que chamamos o "fio da tesoura", melhor esta ir cortar. Isso acontece, pois ao aplicarmos uma fora, provocamos uma presso diretamente proporcional a esta fora e inversamente proporcional a rea da aplicao. No caso da tesoura, quanto menor for o "fio da tesoura" mais intensa ser a presso de uma fora nela aplicada. A unidade de presso no SI o Pascal (Pa), que o nome adotado para N/m. Matematicamente, a presso mdia igual ao quociente da resultante das foras perpendiculares superfcie de aplicao e a rea desta superfcie.

P=

F A

Sendo: P = Presso (Pa); F = Fora (N); A = rea (m)

DensidadeQuando comparamos dois corpos formados por materiais diferentes, mas com um mesmo volume, quando dizemos que um deles mais pesado que o outro, na verdade estamos nos referindo a sua densidade. A afirmao correta seria que um corpo mais denso que o outro. A unidade de densidade no SI kg/m. A densidade a grandeza que relaciona a massa de um corpo ao seu volume.

=

m V

Onde: = Densidade (kg/m); m = Massa (kg); V = Volume (m)

Presso HidrostticaDa mesma forma como os corpos slidos, os fluidos tambm exercem presso sobre outros, devido ao seu peso. Para obtermos esta presso, consideremos um recipiente contendo um lquido de densidade que ocupa o recipiente at uma altura h, em um local do planeta onde a acelerao da gravidade g. A Fora exercida sobre a rea de contato o peso do lquido.

P=Logo:

F A A

P=

m.g A

;

m = .V

P=

.V .gA

;

V = A.h

P=

. A.h.g

P = .g.h

Ou seja, a presso hidrosttica no depende do formato do recipiente, apenas da densidade do fluido, da altura do ponto onde a presso exercida e da acelerao da gravidade.

Presso AtmosfricaAtmosfera uma camada de gases que envolve toda a superfcie da Terra. Aproximadamente todo o ar presente na Terra est abaixo de 18000 metros de altitude. Como o ar formado por molculas que tem massa, o ar tambm tem massa e por consequncia peso. A presso que o peso do ar exerce sobre a superfcie da Terra chamada Presso Atmosfrica, e seu valor depende da altitude do local onde medida. Quanto maior a altitude menor a presso atmosfrica e vice-versa.

Teorema de StevinSeja um lquido qualquer de densidade em um recipiente qualquer. Escolhemos dois pontos arbitrrios R e Q. As presses em Q e R so:

(1) PQ = .g .hQ

(2) PR = .g .hR

A diferena entre as presses dos dois pontos :

PR PQ = .g .hR .g .hQ

PR PQ = .g . hR hQ

PR PQ = .g .h

Teorema de Stevin: "A diferena entre as presses de dois pontos de um fluido em equilbrio igual ao produto entre a densidade do fluido, a acelerao da gravidade e a diferena entre as profundidades dos pontos."

P = .g .hAtravs deste teorema podemos concluir que todos os pontos a uma mesma profundidade, em um fluido homogneo (que tem sempre a mesma densidade) esto submetidos mesma presso.

Teorema de PascalQuando aplicamos uma fora a um lquido, a presso causada se distribui integralmente e igualmente em todas as direes e sentidos.Pelo teorema de Stevin sabemos que:

P = .g .hEnto, considerando dois pontos, A e B:

PA PB = .g.hAo aplicarmos uma fora qualquer, as presses no ponto A e B sofrero um acrscimo:' (1) PA = PA + PA

(2) PB' = PB + PB

Se o lquido em questo for ideal, ele no sofrer compresso, ento a distncia h, ser a mesma aps a aplicao da fora. Assim:' PA PB = .g .h = PA PB' PA PB PA + PB = PA PB

PA PB = PA + PA PB + PB PA PB = 0 PA = PB

Teorema de Pascal: "O acrscimo de presso exercida num ponto em um lquido ideal em equilbrio se transmite integralmente a todos os pontos desse lquido e s paredes do recipiente que o contm."

Prensa HidrulicaUma das principais aplicaes do teorema de Pascal a prensa hidrulica. Esta mquina consiste em dois cilindros de raios diferentes A e B, interligados por um tubo, no seu interior existe um lquido que sustenta dois mbolos de reas diferentes S1e S2. Se aplicarmos uma fora de intensidade F no mbolo de rea S1, exerceremos um acrscimo de presso sobre o lquido dado por:

P =

F S1 F' S2

Pelo teorema de Pascal, sabemos que este acrscimo de presso ser transmitido integralmente a todos os pontos do lquido, inclusive ao mbolo de rea S2, porm transmitindo uma fora diferente da aplicada:

P =

Como o acrscimo de presso igual para ambas as expresses podemos igual-las:

F F' = S1 S 2EmpuxoAo entrarmos em uma piscina, nos sentimos mais leves do que quando estamos fora dela. Isto acontece devido a uma fora vertical para cima exercida pela gua a qual chamamos Empuxo, e a representamos por E . O Empuxo representa a fora resultante exercida pelo fluido sobre um corpo. Como tem sentido oposto fora Peso, causa o efeito de leveza no caso da piscina. A unidade de medida do Empuxo no SI o Newton (N).

r

Princpio de ArquimedesFoi o filsofo, matemtico, fsico, engenheiro, inventor e astrnomo grego Arquimedes (287a.C. - 212a.C.) quem descobriu como calcular o empuxo. Arquimedes descobriu que todo o corpo imerso em um fluido em equilbrio, dentro

de um campo gravitacional, fica sob a ao de uma fora vertical, com sentido oposto este campo, aplicada pelo fluido, cuja intensidade igual a intensidade do Peso do fluido que ocupado pelo corpo. Assim:

r r E = PFD = m FD .g E = F .V FD .g r Onde: E = Empuxo (N); F = Densidade do Fluido (kg/m); VFD = Volume do Fluido Deslocado (m) ; g = Acelerao da Gravidade (m/s)Peso Aparente

Conhecendo o princpio de Arquimedes podemos estabelecer o conceito de peso aparente, que o responsvel por nos sentirmos mais leves ao submergir em uma piscina. Peso aparente o peso efetivo, ou seja,aquele que realmente sentimos. No caso de um fluido:

r r r PA = P E

r PA = m.g F .V FD .g

r PA = g . m F .V FD

GRAVITAO UNIVERSALFora GravitacionalAo estudar o movimento da Lua, Newton concluiu que a fora que faz com que ela esteja constantemente em rbita do mesmo tipo que a fora que a Terra exerce sobre um corpo em suas proximidades. A partir da criou a Lei da Gravitao Universal. Lei da Gravitao Universal de Newton: "Dois corpos atraem-se com fora proporcional s suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia que separa seus centros de gravidade."

F = G.

Onde: F = Fora de Atrao Gravitacional entre os dois Corpos; G = Constante de Gravitao Universal (g = 6,67.10-11 N.m2 / kg2) ; M e m = Massa dos Corpos;

M .m d2

d = Distncia entre os Centros de Gravidade dos Corpos.Leis de KeplerQuando o ser humano iniciou a agricultura, ele necessitou de uma referncia para identificar as pocas de plantio e colheita. Ao observar o cu, os nossos ancestrais perceberam que alguns astros descrevem um movimento regular, o que propiciou a eles obter uma noo de tempo e de pocas do ano. Primeiramente, foi concludo que o Sol e os demais planetas observados giravam em torno da Terra. Mas este modelo, chamado de Modelo Geocntrico, apresentava diversas falhas, que incentivaram o estudo deste sistema por milhares de anos. Por volta do sculo XVI, Nicolau Coprnico (1473-1543) apresentou um modelo Heliocntrico, em que o Sol estava no centro do universo, e os planetas descreviam rbitas circulares ao seu redor. No sculo XVII, Johanes Kepler (1571-1630) enunciou as leis que regem o movimento planetrio, utilizando anotaes do astrnomo Tycho Brahe (1546-1601). Kepler formulou trs leis que ficaram conhecidas como Leis de Kepler. 1 Lei de Kepler - Lei das rbitas Os planetas descrevem rbitas elipticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse. 2 Lei de Kepler - Lei das reas O segmento que une o sol a um planeta varre reas iguais em intervalos de tempo iguais.

A1 A2 = t t3 Lei de Kepler - Lei dos Perodos O quociente dos quadrados dos perodos e o cubo de suas distncias mdias do sol igual a uma constante k, igual pra todos os planetas.

Como o perodo de rotao de um planeta equivalente a um ano, conclui-se que quanto mais longe o planeta estiver do Sol, mais longo ser seu perodo de rotao, e em consequncia "seu ano".

T2 =k d3Unidades AstronmicasNo estudo de astronomia muitas vezes as unidades do Sistema Internacional (SI) so ineficientes pois as distncias que devem ser expressas so muito grandes. Por exemplo: A distncia da Terra at Marte de cerca de 75 milhes de quilmetros, que no SI expresso por 75 x 109 metros. Devido necessidade de unidades mais eficientes so utilizadas: Unidade Astronmica (UA), Anos-luz (AL) e Parsec (Pc). Unidade Astronmica (UA) a distncia mdia entre a Terra e o Sol. empregada principalmente para descrever rbitas e distncias dentro do Sistema Solar.

Ano-Luz (AL) a distncia percorrida pela luz, no vcuo, no tempo de 1 ano terrestre. Sendo a velocidade da luz c = 299 792,458 km/s, temos que: 1 AL = 9 460 536 207 068 016 m = 63241,07710 UA A estrela mais prxima do Sol chamada Prxima Centauri, localizada na constelao de Centauro. A sua distncia ao Sol de 4,22 AL Parsec (Pc) a distncia na qual 1 UA representada por 1'' (1 segundo de arco), em uma medio por paralaxe. Esta unidade usada para distncia muito grandes, como a distncia entre estrelas, entre galxias ou de objetos muito distantes, como quasares.

TERMOMETRIAChamamos de Termologia a parte da fsica que estuda os fenmenos relativos ao calor, aquecimento, resfriamento, mudanas de estado fsico, mudanas de temperatura, etc. Temperatura a grandeza que caracteriza o estado trmico de um corpo ou sistema. Fisicamente o conceito dado a quente e frio um pouco diferente do que costumamos usar no nosso cotidiano. Podemos definir como quente um corpo que tem suas molculas agitando-se muito, ou seja, com alta energia cintica. Analogamente, um corpo frio, aquele que tem baixa agitao das suas molculas. Ao aumentar a temperatura de um corpo ou sistema pode-se dizer que est se aumentando o estado de agitao de suas molculas. Ao tirarmos uma garrafa de gua mineral da geladeira ou ao retirar um bolo de um forno, percebemos que aps algum tempo, ambas tendem a chegar temperatura do ambiente. Ou seja, a gua "esquenta" e o bolo "esfria". Quando dois corpos ou sistemas atingem o mesma temperatura, dizemos que estes corpos ou sistemas esto em equilbrio trmico.

Temperatura

Escalas TermomtricasPara que seja possvel medir a temperatura de um corpo, foi desenvolvido um aparelho chamado termmetro. O termmetro mais comum o de mercrio, que consiste em um vidro graduado com um bulbo de paredes finas que ligado a um tubo muito fino, chamado tubo capilar. Quando a temperatura do termmetro aumenta, as molculas de mercrio aumentam sua agitao fazendo com que este se dilate, preenchendo o tubo capilar. Para cada altura atingida pelo mercrio est associada uma temperatura. A escala de cada termmetro corresponde a este valor de altura atingida.

Escala Celsius a escala usada no Brasil e na maior parte dos pases, oficializada em 1742 pelo astrnomo e fsico sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como pontos de referncia a temperatura de congelamento da gua sob presso normal (0C) e a temperatura de ebulio da gua sob presso normal (100C). Escala Fahrenheit Outra escala bastante utilizada, principalmente nos pases de lngua inglesa, criada em 1708 pelo fsico alemo Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo como referncia a temperatura de uma mistura de gelo e cloreto de amnia (0F) e a temperatura do corpo humano (100F). Em comparao com a escala Celsius: 0C = 32F ; 100C = 212F Escala Kelvin Tambm conhecida como escala absoluta, foi verificada pelo fsico ingls William Thompson (1824-1907), tambm conhecido como Lorde Kelvin. Esta escala tem como referncia a temperatura do menor estado de agitao de qualquer molcula (0K) e calculada apartir da escala Celsius. Por conveno, no se usa "grau" para esta escala, ou seja 0K, l-se zero kelvin e no zero grau kelvin. Em comparao com a escala Celsius: -273C = 0K ; 0C = 273K ; 100C = 373K

(32)

(273)

Converses entre EscalasPara que seja possvel expressar temperaturas dadas em uma certa escala para outra qualquer deve-se estabelecer uma conveno geomtrica de semelhana. Convertendo uma temperatura qualquer dada em escala Fahrenheit para escala Celsius:

TC 0 100 0 = TF 32 212 32 TC 0 100 0 = TK 273 373 273

TC 100 5 = = TF 32 180 9 TC 100 = TK 273 100

TC TF 32 = 5 9

Convertendo uma temperatura qualquer dada em escala Kelvin para escala Celsius:

TC = TK 273

CALORIMETRIACalorQuando colocamos dois corpos com temperaturas diferentes em contato, podemos observar que a temperatura do corpo "mais quente" diminui, e a do corpo "mais frio" aumenta, at o momento em que ambos os corpos apresentem temperatura igual. Esta reao causada pela passagem de energia trmica do corpo "mais quente" para o corpo "mais frio", a transferncia de energia o que chamamos calor. Calor a transferncia de energia trmica entre corpos com temperaturas diferentes. A unidade mais utilizada para o calor caloria (cal), embora sua unidade no SI seja o joule (J). Uma caloria equivale a quantidade de calor necessria para aumentar a temperatura de um grama de gua pura, sob presso normal, de 14,5C para 15,5C. A relao entre a caloria e o joule dada por:

1 cal = 4,186JPartindo da, podem-se fazer converses entre as unidades usando regra de trs simples. Como 1 caloria uma unidade pequena, utilizamos muito o seu mltiplo, a quilocaloria.

1 kcal = 10cal

Calor Sensvel denominado calor sensvel, a quantidade de calor que tem como efeito apenas a alterao da temperatura de um corpo. Este fenmeno regido pela lei fsica conhecida como Equao Fundamental da Calorimetria, que diz que a quantidade de calor sensvel (Q) igual ao produto de sua massa, da variao da temperatura e de uma constante de proporcionalidade dependente da natureza de cada corpo denominada calor especfico. Assim: Onde: Q = Quantidade de Calor Sensvel (cal ou J); c = Calor Especfico do Material (cal/gC ou J/kgC).

m = Massa do Corpo (g ou kg); = Variao de Temperatura (C). interessante conhecer alguns valores de calores especficos: Substncia Alumnio gua lcool Cobre Chumbo Estanho Ferro Gelo Mercrio Ouro Prata Vapor d'gua Zinco Quando: Q > 0: o corpo ganha calor ; c (cal/gC) 0,219 1,000 0,590 0,093 0,031 0,055 0,119 0,550 0,033 0,031 0,056 0,480 0,093

Q < 0: o corpo perde calor.

Calor LatenteNem toda a troca de calor existente na natureza se detm a modificar a temperatura dos corpos. Em alguns casos h mudana de estado fsico destes corpos. Neste caso, chamamos a quantidade de calor calculada de calor latente. A quantidade de calor latente (QL ) igual ao produto da massa do corpo (m) e de uma constante de proporcionalidade (L). Assim:

A constante de proporcionalidade chamada calor latente de mudana de fase e se refere a quantidade de calor que 1g da substncia calculada necessita para mudar de uma fase para outra. Alm de depender da natureza da substncia, este valor numrico depende de cada mudana de estado fsico. Para a gua: Calor latente de fuso Calor latente de vaporizao Calor latente de solidificao Calor latente de condensao Quando: Q > 0: o corpo funde ou vaporiza ; 80cal/g 540cal/g -80cal/g -540cal/g

Q < 0: o corpo solidifica ou condensa.

Curva de Aquecimento

Ao estudarmos os valores de calor latente, observamos que estes no dependem da variao de temperatura. Assim podemos elaborar um grfico de temperatura em funo da quantidade de calor absorvida. Chamamos este grfico de Curva de Aquecimento.

Trocas de CalorPara que o estudo de trocas de calor seja realizado com maior preciso, este realizado dentro de um aparelho chamado calormetro, que consiste em um recipiente fechado incapaz de trocar calor com o ambiente e com seu interior. Dentro de um calormetro, os corpos colocados trocam calor at atingir o equilbrio trmico. Como os corpos no trocam calor com o calormetro e nem com o meio em que se encontram, toda a energia trmica passa de um corpo ao outro. Como, ao absorver calor Q > 0 e ao transmitir calor Q < 0, a soma de todas as energias trmicas nula, ou seja:

Q = 0

Sendo que as quantidades de calor podem ser tanto sensvel como latente.

Capacidade Trmica a quantidade de calor que um corpo necessita receber ou ceder para que sua temperatura varie uma unidade. Ento, pode-se expressar esta relao por:

Transmisso de Calor

Sua unidade usual cal/C. A capacidade trmica de 1g de gua de 1cal/C j que seu calor especfico 1cal/g.C. Em certas situaes, mesmo no havendo o contato fsico entre os corpos, possvel sentir que algo est mais quente. Como quando chega-se perto do fogo de uma lareira. Assim, conclumos que de alguma forma o calor emana desses corpos "mais quentes" podendo se propagar de diversas maneiras. Como j vimos anteriormente, o fluxo de calor acontece no sentido da maior para a menor temperatura. Este trnsito de energia trmica pode acontecer pelas seguintes maneiras:

Conduo; Conveco; Irradiao. Fluxo de CalorPara que um corpo seja aquecido, normalmente, usa-se uma fonte trmica de potncia constante, ou seja, uma fonte capaz de fornecer uma quantidade de calor por unidade de tempo. Definimos fluxo de calor () que a fonte fornece de maneira constante como o quociente entre a quantidade de calor

(Q) e o intervalo de tempo de exposio (t):

Sendo a unidade adotada para fluxo de calor, no sistema internacional, o Watt (W), que corresponde a Joule por segundo, embora tambm sejam muito usada a unidade caloria/segundo (cal/s) e seus mltiplos: caloria/minuto (cal/min) e quilocaloria/segundo (kcal/s).

Conduo Trmica a situao em que o calor se propaga atravs de um "condutor". Ou seja, apesar de no estar em contato direto com a fonte de calor um corpo pode ser modificar sua energia trmica se houver conduo de calor por outro corpo, ou por

outra parte do mesmo corpo. Por exemplo, enquanto cozinha-se algo, se deixarmos uma colher encostada na panela, que est sobre o fogo, depois de um tempo ela esquentar tambm. Este fenmeno acontece, pois, ao aquecermos a panela, suas molculas comeam a agitar-se mais, como a panela est em contato com a colher, as molculas em agitao maior provocam uma agitao nas molculas da colher, causando aumento de sua energia trmica, logo, o aquecimento dela. Tambm por este motivo que, apesar de apenas a parte inferior da panela estar diretamente em contato com o fogo, sua parte superior tambm esquenta.

Conveco TrmicaA conveco consiste no movimento dos fluidos, e o princpio fundamental da compreenso do vento, por exemplo. O ar que est nas plancies aquecido pelo sol e pelo solo, assim ficando mais leve e subindo. Ento as massas de ar que esto nas montanhas, e que est mais frio que o das plancies, toma o lugar vago pelo ar aquecido, e a massa aquecida se desloca at os lugares mais altos, onde resfriam. Estes movimentos causam, entre outros fenmenos naturais, o vento. Formalmente, conveco o fenmeno no qual o calor se propaga por meio do movimento de massas fluidas de densidades diferentes.

Irradiao Trmica a propagao de energia trmica que no necessita de um meio material para acontecer, pois o calor se propaga atravs de ondas eletromagnticas. Imagine um forno microondas. Este aparelho aquece os alimentos sem haver contato com eles, e ao contrrio do forno gs, no necessrio que ele aquea o ar. Enquanto o alimento aquecido h uma emisso de microondas que fazem sua energia trmica aumentar, aumentando a temperatura. O corpo que emite a energia radiante chamado emissor ou radiador e o corpo que recebe, o receptor.

DILATAODilatao LinearAplica-se apenas para os corpos em estado slido, e consiste na variao considervel de apenas uma dimenso. Como, por exemplo, em barras, cabos e fios. Ao considerarmos uma barra homognea, por exemplo, de comprimento L0 a uma temperatura inicial 0. Quando esta temperatura aumentada at uma ( > um comprimento L ( > L0).

0), observa-se que esta barra passa a ter

Com isso possvel concluir que a dilatao linear ocorre de maneira proporcional variao de temperatura e ao comprimento inicial L0. Mas ao serem analisadas barras de dimenses iguais, mas feitas de um material diferente, sua variao de comprimento seria diferente, isto porque a dilatao tambm leva em considerao as propriedades do material com que o objeto feito, este a constante de proporcionalidade da expresso, chamada de coeficiente de dilatao linear (). Assim podemos expressar: A unidade usada para o inverso da unidade de temperatura, como: C-1. Alguns valores usuais de coeficientes de dilatao linear: Substncia Chumbo Zinco Alumnio Prata Cobre Ouro Ferro Platina

(C-1)27.10-6 26.10-6 22.10-6 19.10-6 17.10-6 15.10-6 12.10-6 9.10-6

Vidro (comum) Tungstnio Vidro (pyrex)

8.10-6 4,3.10-6 3.10-6

Lmina BimetlicaUma das aplicaes da dilatao linear mais utilizadas no cotidiano para a construo de lminas bimetlicas, que consistem em duas placas de materiais diferentes, e portanto, coeficientes de dilatao linear diferentes, soldadas. Ao serem aquecidas, as placas aumentam seu comprimento de forma desigual, fazendo com que esta lmina soldada entorte. As lminas bimetlicas so encontradas principalmente em dispositivos eltricos e eletrnicos, j que a corrente eltrica causa aquecimento dos condutores, que no podem sofrer um aquecimento maior do que foram construdos para suportar. Quando curvada a lmina tem o objetivo de interromper a corrente eltrica, aps um tempo em repouso a temperatura do condutor diminui, fazendo com que a lmina volte ao seu formato inicial e reabilitando a passagem de eletricidade.

Representao GrficaPodemos expressar a dilatao linear de um corpo atravs de um grfico de seu comprimento (L) em funo da temperatura (), desta forma, o grfico deve ser um segmento de reta que no passa pela origem, j que o comprimento inicial no igual a zero. Considerando um ngulo como a inclinao da reta em relao ao eixo horizontal. Podemos relacion-lo com: Pois:

Dilatao SuperficialEsta forma de dilatao consiste em um caso onde h dilatao linear em duas dimenses. Considere, por exemplo, uma pea quadrada de lados L0 que aquecida uma temperatura , de forma que esta sofra um aumento em suas dimenses, mas como h dilatao igual para os dois sentidos da pea, esta continua quadrada, mas passa a ter lados L. Podemos estabelecer que: e E relacionando com cada lado podemos utilizar:

Para que possamos analisar as superfcies, podemos elevar toda a expresso ao quadrado, obtendo uma relao com suas reas:

Mas a ordem de grandeza do coeficiente de dilatao linear () 10-5, o que ao ser elevado ao quadrado passa a ter grandeza 10-10, sendo imensamente menor que . Como a variao da temperatura () dificilmente ultrapassa um valor de 103 C para corpos no estado slido, podemos considerar o termo 2

2 desprezvel em comparao com

2, o que nos permite ignor-lo durante o clculo, assim:; Onde, o coeficiente de dilatao superficial de cada material, tm-se que:

Observe que esta equao aplicvel para qualquer superfcie geomtrica, desde que as reas sejam obtidas atravs das relaes geomtricas para cada uma, em particular (circular, retangular, trapezoidal, etc.).

Dilatao VolumtricaAssim como na dilatao superficial, este um caso da dilatao linear que acontece em trs dimenses, portanto tem deduo anloga anterior.

Consideremos um slidos cbico de lados L0 que aquecido uma temperatura , de forma que este sofra um aumento em suas dimenses, mas como h dilatao em trs dimenses o slido continua com o mesmo formato, passando a ter lados L. Podemos estabelecer que: e Ao relacionarmos com a equao de dilatao linear:

2

Pelos mesmos motivos do caso da dilatao superficial, podemos desprezar 3

2 e 33 quando comparados a

3. Assim a relao pode ser dado por:; Assim:

(coeficiente de dilatao volumtrica ou cbica)

conforme sua geometria. Sendo = 2 e

Assim como para a dilatao superficial, esta equao pode ser utilizada para qualquer slido, determinando seu volume

= 3, podemos estabelecer as seguintes relaes:

Dilatao Volumtrica dos LquidosA dilatao dos lquidos tem algumas diferenas da dilatao dos slidos, a comear pelos seus coeficientes de dilatao consideravelmente maiores e que para que o volume de um lquido seja medido, necessrio que este esteja no interior de um recipiente. A lei que rege a dilatao de lquidos fundamentalmente igual dilatao volumtrica de slidos, j que estes no podem dilatar-se linearmente e nem superficialmente, ento: Mas como o lquido precisa estar depositado em um recipiente slido, necessrio que a dilatao deste tambm seja considerada, j que ocorre simultaneamente. Assim, a dilatao real do lquido a soma das dilataes aparente e do recipiente. Para medir a dilatao aparente costuma-se utilizar um recipiente cheio at a borda. Ao aquecer este sistema (recipiente + lquido) ambos dilataro e, como os lquidos costumam dilatar mais que os slidos, uma quantidade do lquido ser derramada, esta quantidade mede a dilatao aparente do lquido. Assim: Utilizando-se a expresso da dilatao volumtrica, V = V0.., e admitindo que os volumes iniciais do recipiente e do lquido so iguais, podemos expressar:

Ou seja, o coeficiente de dilatao real de um lquido igual a soma do coeficiente de dilatao aparente com o coeficiente de dilatao do frasco onde este se encontra.

Dilatao da guaCertamente voc j deve ter visto, em desenhos animados ou documentrios, pessoas pescando em buracos feitos no gelo. Mas como vimos, os lquidos sofrem dilatao da mesma forma que os slidos, ou seja, de maneira uniforme, ento como possvel que haja gua em estado lquido sob as camadas de gelo com temperatura igual ou inferior a 0C? Este fenmeno ocorre devido ao que chamamos de dilatao anmala da gua, pois em uma temperatura entre 0C e 4C h um fenmeno inverso ao natural e esperado. Neste intervalo de temperatura a gua, ao ser resfriada, sofre uma expanso no seu volume, e ao ser aquecida, uma reduo. isto que permite a existncia de vida dentro da gua em lugares extremamente gelados, como o Plo Norte. A camada mais acima da gua dos lagos, mares e rios se resfria devido ao ar gelado, aumentando sua massa especfica e tornando-o mais pesado, ento ocorre um processo de conveco at que toda a gua atinja uma temperatura igual a 4C, aps isso o congelamento ocorre no sentido da superfcie para o fundo. Podemos representar o comportamento do volume da gua em funo da temperatura, como possvel perceber, o menor volume para a gua acontece em 4C.

ESTUDO DOS GASESGasesGases so fluidos no estado gasoso, a caracterstica que o difere dos fluidos lquidos que, quando colocado em um recipiente, este tem a capacidade de ocupa-lo totalmente. A maior parte dos elementos qumicos no-metlicos conhecidos so encontrados no seu estado gasoso, em temperatura ambiente. As molculas do gs, ao se movimentarem, colidem com as outras molculas e com as paredes do recipiente onde se encontram, exercendo uma presso, chamada de presso do gs. Esta presso tem relao com o volume do gs e temperatura absoluta. Ao ter a temperatura aumentada, as molculas do gs aumentam sua agitao, provocando mais colises. Ao aumentar o volume do recipiente, as molculas tem mais espao para se deslocar, logo, as colises diminuem, diminuindo a presso. Utilizando os princpios da mecnica Newtoniana possvel estabelecer a seguinte relao:

Onde: p = Presso; m = Massa do Gs; v = Velocidade Mdia das Molculas; V = Volume do Gs.

Gs Perfeito ou Ideal considerado um gs perfeito quando so presentes as seguintes caractersticas: O movimento das molculas regido pelos princpios da mecnica Newtoniana; Os choques entre as molculas so perfeitamente elsticos, ou seja, a quantidade de movimento conservada; No h atrao e nem repulso entre as molculas; O volume de cada molcula desprezvel quando comparado com o volume total do gs.

Energia Cintica de um GsDevido s colises entre si e com as paredes do recipiente, as molculas mudam a sua velocidade e direo, ocasionando uma variao de energia cintica de cada uma delas. No entanto, a energia cintica mdia do gs permanece a mesma. Novamente utilizando-se conceitos da mecnica Newtoniana estabelece-se:

Onde: n = Nmero Molar do Gs (n de mols); R = Constante Universal dos Gases Perfeitos (R = 8,31J/mol.K); T = Temperatura Absoluta (em Kelvin) O nmero de mols do gs calculado utilizando-se sua massa molar, encontrado em tabelas peridicas e atravs da constante de Avogadro. CA = 6,02 x 1023 Utilizando-se da relao que em 1mol de molculas de uma substncia h 6,02 x 1023 molculas desta substncia.

Transformao IsotrmicaA palavra isotrmica se refere a mesma temperatura, logo uma transformao isotrmica de uma gs, ocorre quando a temperatura inicial conservada. A lei fsica que expressa essa relao conhecida com Lei de Boyle e matematicamente expressa por: Onde: p = Presso; V = Volume; K1 = Constante que depende da Temperatura, Massa e Natureza do Gs. Como esta constante a mesma para um mesmo gs, ao ser transformado, vlida a relao:

Transformao IsobricaAnalogamente transformao isotrmica, quando h uma transformao isobrica, a presso conservada. Regida pela Lei de Charles e Gay-Lussac, esta transformao pode ser expressa por: Onde: V = Volume; T = Temperatura Absoluta; K2 = Constante que depende da Presso, Massa e Natureza do Gs. Assim, quando um mesmo gs muda de temperatura ou volume, vlida a relao:

Transformao IsomtricaA transformao isomtrica tambm pode ser chamada isocrica e assim como nas outras transformaes vistas, a isomtrica se baseia em uma relao em que, para este caso, o volume se mantm. Regida pela Lei de Charles, a transformao isomtrica matematicamente expressa por: Onde: p = Presso; T = Temperatura Absoluta; K3 = Constante que depende do Volume, Massa e Natureza do Gs Como para um mesmo gs, a constante K3 sempre a mesma, garantindo a validade da relao:

Equao de ClapeyronRelacionando as Leis de Boyle, Charles Gay-Lussac e de Charles possvel estabelecer uma equao que relacione as variveis de estado: presso (p), volume (V) e temperatura absoluta (T) de um gs. Esta equao chamada Equao de Clapeyron, em homenagem ao fsico francs Paul Emile Clapeyron que foi quem a estabeleceu. Onde: p = Presso; V = Volume; n = n de Mols do Gs; R = Constante Universal dos Gases Perfeitos; T = Temperatura Absoluta

Lei geral dos Gases PerfeitosAtravs da equao de Clapeyron possvel obter uma lei que relaciona dois estados diferentes de uma transformao gasosa, desde que no haja variao na massa do gs. Considerando um estado (1) e (2) onde: ; Atravs da lei de Clapeyron: ; esta equao chamada Lei geral dos gases perfeitos.

TERMODINMICAEnergia InternaAs partculas de um sistema tm vrios tipos de energia, e a soma de todas elas o que chamamos Energia interna de um sistema. Para que este somatrio seja calculado, so consideradas as energias cinticas de agitao , potencial de agregao, de ligao e nuclear entre as partculas. Nem todas estas energias consideradas so trmicas. Ao ser fornecida a um corpo energia trmica, provoca-se uma variao na energia interna deste corpo. Esta variao no que se baseiam os princpios da termodinmica. Se o sistema em que a energia interna est sofrendo variao for um gs perfeito, a energia interna ser resumida na energia de translao de suas partculas, sendo calculada atravs da Lei de Joule:

Onde: U = Energia Interna do Gs; n = Nmero de Mol do Gs; R = Constante Universal dos Gases Perfeitos; T = Temperatura Absoluta (Kelvin). Como, para determinada massa de gs, n e R so constantes, a variao da energia interna depender da variao da temperatura absoluta do gs, ou seja, Quando houver aumento da temperatura absoluta ocorrer uma variao positiva da energia interna U > 0. Quando houver diminuio da temperatura absoluta, h uma variao negativa de energia interna U < 0. E quando no houver variao na temperatura do gs, a variao da energia interna ser igual a zero U = 0. Conhecendo a equao de Clepeyron, possvel compar-la a equao descrita na Lei de Joule, e assim obteremos: ;

Trabalho de um GsConsidere um gs de massa m contido em um cilindro com rea de base A, provido de um mbolo. Ao ser fornecida uma quantidade de calor Q ao sistema, este sofrer uma expanso, sob presso constante, como garantido pela Lei de Gay-Lussac, e o mbolo ser deslocado. Assim como para os sistemas mecnicos, o trabalho do sistema ser dado pelo produto da fora aplicada no mbolo com o deslocamento do mbolo no cilindro: ;

;

Assim, o trabalho realizado por um sistema, em uma tranformao com presso constante, dado pelo produto entre a presso e a variao do volume do gs. Quando: O volume aumenta no sistema, o trabalho positivo, ou seja, realizado sobre o meio em que se encontra (como por exemplo empurrando o mbolo contra seu prprio peso); O volume diminui no sistema, o trabalho negativo, ou seja, necessrio que o sistema receba um trabalho do meio externo; O volume no alterado, no h realizao de trabalho pelo sistema.

Diagrama p x V possvel representar a tranformao isobrica de um gs atravs de um diagrama presso por volume: Comparando o diagrama expresso do clculo do trabalho realizado por um gs = p.V, possvel verificar que o trabalho realizado numericamente igual area sob a curva do grfico (em azul na figura).

1 Lei da TermodinmicaChamamos de 1 Lei da Termodinmica, o princpio da conservao de energia aplicada termodinmica, o que torna possvel prever o comportamento de um sistema gasoso ao sofrer uma transformao termodinmica. Analisando o princpio da conservao de energia ao contexto da termodinmica: Um sistema no pode criar ou consumir energia, mas apenas armazen-la ou transferi-la ao meio onde se encontra, como trabalho, ou ambas as situaes simultaneamente, ento, ao receber uma quantidade Q de calor, esta poder realizar um trabalho e aumentar a energia interna do sistema U, ou seja, expressando matematicamente: Sendo todas as unidades medidas em Joule (J). Conhecendo esta lei, podemos observar seu comportamento para cada uma das grandezas apresentadas: Calor Recebe Cede no troca Trabalho Realiza Recebe no realiza e nem recebe Energia Interna Aumenta Diminui no varia Q/ /U >0 0, sua entropia aumenta; Quando um sistema cede calor Q < 0, sua entropia diminui; Se o sistema no troca calor Q = 0, sua entropia permanece constante. Segundo Rudolf Clausius, que utilizou a idia de entropia pela primeira vez em 1865, para o estudo da entropia como grandeza fsica mais til conhecer sua variao do que seu valor absoluto. Assim, Clausis definiu que a variao de entropia (S) em um sistema como:

Entropia

S = Q / TPara processos onde as temperaturas absolutas (T) so constantes. Observando a natureza como um sistema, podemos dizer que o Universo est constantemente recebendo energia, mas no tem capacidade de ced-la, concluindo ento que a entropia do Universo est aumentando com o passar do tempo.

MHSMovimento Peridico e OscilatrioNo estudo dos movimentos oscilatrios esto fundamentados alguns dos maiores avanos para a cincia, como a primeira medio com preciso da acelerao da gravidade, a comprovao cientfica da rotao da Terra, alm de inmeros benefcios tecnolgicos, como a inveno dos primeiros relgios mecnicos.

Movimento PeridicoUm movimento peridico caracterizado quando a posio, velocidade e acelerao de um corpo mvel se repetem em intervalos de tempo iguais, como por exemplo, o movimento do ponteiros dos relgios, de um ponto qualquer demarcado em um aro de uma bicicleta que anda com velocidade constante ou at o movimento realizado pelos planetas em torno do Sol. Chamamos perodo do movimento (T) o intervalo de tempo que estes ciclos levam at se repetirem. Assim, ao decorrem-se um nmero (n) de repeties em um determinado intervalo de tempo (t), seu perodo ser dado pela expresso:

Como n uma grandeza adimensional, o perodo tem unidade igual unidade de tempo, no SI, segundos (s). Alm do perodo, em um movimento peridico, considerada uma grandeza chamada freqncia (f ), que corresponde ao numero de repeties do movimento (n) em um determinado intervalo de tempo (t), ou seja:

Analisando as unidades da relao, a frequncia medida pelo inverso de unidade de tempo, ou seja 1/s que recebe o nome de hertz (Hz) no SI. Comparando-se as equaes do perodo e da frequncia, podemos definir a relao entre elas como:

Movimento OscilatrioUm movimento oscilatrio acontece quando o sentido do movimento se alterna periodicamente, porm a trajetria a mesma para ambos os sentidos. o caso dos pndulos e das cordas de guitarras e violes, por exemplo. A figura abaixo representa uma corda em vibrao, observe que mesmo se deslocando para baixo e para cima do ponto de origem ela sempre mantm distncias iguais de afastamento deste ponto.

Se considerarmos que o corpo comea a vibrar partindo da linha mais escura, cada vez que a corda passar por esta linha, aps percorrer todas as outras linhas consideradas, dizemos que ela completou um ciclo, uma oscilao ou uma vibrao. Da mesma forma que para o movimento peridico, o intervalo decorrido para que se complete um ciclo chamado perodo do movimento (T) e o nmero de ciclos completos em uma unidade de tempo a frequncia de oscilao. Se voc j esteve em um prdio alto, deve ter percebido que em dias de muito vento a sua estrutura balana. No s impresso! Algumas construes de grandes estruturas como edifcios e pontes costumam balanar em decorrncia do vento. Estas vibraes, porm, acontecem com perodo de oscilao superior a 1 segundo, o que no causa preocupao. Uma construo s poderia ser prejudicada caso tivesse uma vibrao natural com perodo igual vibrao do vento no local.

Funes Horrias do Movimento Harmnico SimplesChamamos um movimento de harmnico quando este pode ser descrito por funes horrias harmnicas (seno ou cosseno), que so assim chamadas devido sua representao grfica: Funo Seno Funo Cosseno

Quando isto acontece, o movimento chamado Movimento Harmnico Simples (MHS). Para que o estudo desse movimento seja simplificado, possvel analis-lo como uma projeo de um movimento circular uniforme sobre um eixo.

Funo Horria da ElongaoImagine uma partcula se deslocando sobre um circunferncia de raio A que chamaremos amplitude de oscilao.

Colocando o eixo x no centro do crculo que descreve o Movimento Curvilneo Uniforme e comparando o deslocamento no Movimento Harmnico Simples:

Usando o que j conhecemos sobre MCU e projetando o deslocamento angular no eixo x podemos deduzir a funo horria do deslocamento no Movimento Harmnico Simples: Usando a relao trigonomtrica do cosseno do ngulo para obter o valor de x:

Esta a posio exata em que se encontra a partcula na figura mostrada, se considerarmos que, no MCU, este ngulo varia com o tempo, podemos escrever em funo do tempo, usando a funo horria do deslocamento angular: Ento, podemos substituir esta funo na equao do MCU projetado no eixo x e teremos a funo horria da elongao, que calcula a posio da partcula que descreve um MHS em um determinado instante t.

Funo Horria da VelocidadePartindo da funo horria da elongao podem-se seguir pelo menos dois caminhos diferentes para determinar a funo horria da velocidade. Um deles utilizar clculo diferencial e derivar esta equao em funo do tempo obtendo uma equao para a velocidade no MHS. Outra forma continuar utilizando a comparao com o MCU, lembrando que, para o movimento circular, a velocidade linear descrita como um vetor tangente trajetria:

Decompondo o vetor velocidade tangencial:

Repare que o sinal de v negativo pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU: e Assim, podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da velocidade no MHS:

Funo Horria da AceleraoAnalogamente funo horria da velocidade, a funo horria da acelerao pode ser obtida utilizando clculo diferencial, ao derivar a velocidade em funo do tempo. Mas tambm pode ser calculada usando a comparao com o MCU, lembrando que quando o movimento circular uniforme a nica acelerao pela qual um corpo est sujeito aquela que o faz mudar de sentido, ou seja, a acelerao centrpeta.

Decompondo o vetor acelerao centrpeta:

Repare que o sinal de a negativo pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU: e Podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da acelerao no MHS:

Algumas observaes importantes: A fase (t

+ 0) sempre medida em radianos. A pulsao () pode ser definida por: =2 / T A fase inicial (0) o igual ao ngulo inicial do movimento em um ciclo trigonomtrico, ou seja, o ngulo dedefasagem da onda senoidal.

Fora no Movimento Harmnico SimplesAssim como visto anteriormente o valor da acelerao para uma partcula em MHS dada por: Ento, pela 2 Lei de Newton, sabemos que a fora resultante sobre o sistema dada pelo produto de sua massa e acelerao, logo:

2

Como a massa e a pulsao so valores constantes para um determinado MHS, podemos substituir o produto m pela constante k, denominada constante de fora do MHS. Obtendo: Com isso conclumos que o valor algbrico da fora resultante que atua sobre uma partcula que descreve um MHS proporcional elongao, embora tenham sinais opostos. Esta a caracterstica fundamental que determina se um corpo realiza um movimento harmnico simples. Chama-se a fora que atua sobre um corpo que descreve MHS de fora restauradora, pois ela atua de modo a garantir o prosseguimento das oscilaes, restaurando o movimento anterior. Sempre que a partcula passa pela posio central, a fora tem o efeito de retard-la para depois poder traz-la de volta.

Ponto de Equilbrio do MHS

No ponto mdio da trajetria, a elongao numericamente igual a zero (x = 0), conseqentemente a fora resultante que atua neste momento tambm nula (F = 0). Este ponto onde a fora anulada denominado ponto de equilbrio do movimento.

Perodo do MHSGrande parte das utilidades prticas do MHS est relacionado ao conhecimento de seu perodo (T), j que experimentalmente fcil de medi-lo e partindo dele possvel determinar outras grandezas. Como definimos anteriormente:

k = m2A partir da podemos obter uma equao para a pulsao do MHS:

; Como sabemos, a frequncia igual ao inverso do perodo, logo:

Oscilador Massa-MolaUm oscilador massa-mola ideal um modelo fsico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elsticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que no se deforme sob ao de qualquer fora. Este sistema fisicamente impossvel j que uma mola, por mais leve que seja, jamais ser considerada um corpo sem massa e aps determinada deformao perder sua elasticidade. Enquanto um corpo de qualquer substncia conhecida, quando sofre a aplicao de uma fora, deformado, mesmo que seja de medidas desprezveis. Mesmo assim, para as condies que desejamos calcular, este um sistema muito eficiente. E sob determinadas condies, possvel obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola.

Oscilador Massa-Mola Horizontal composto por uma mola com constante elstica k de massa desprezvel e um bloco de massa m, postos sobre uma superfcie sem atrito, conforme mostra a figura abaixo:

Como a mola no est deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posio de equilbrio. Ao modificar-se a posio do bloco para um ponto em x, este sofrer a ao de uma fora restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja: Como a superfcie no tem atrito, esta a nica fora que atua sobre o bloco, logo a fora resultante, caracterizando um MHS. Sendo assim, o perodo de oscilao do sistema dado por:

Ao considerar a superfcie sem atrito, o sistema passar a oscilar com amplitude igual posio em que o bloco foi abandonado em x, de modo que:

Assim podemos fazer algumas observaes sobre este sistema: O bloco preso mola executa um MHS; A elongao do MHS, igual deformao da mola; No ponto de equilbrio, a fora resultante nula.

Energia do OsciladorAnalisando a energia mecnica do sistema, tem-se que:

Quando o objeto abandonado na posio x =A, a energia mecnica do sistema igual energia potencial elstica armazenada, pois no h movimento e, consequentemente, energia cintica. Assim: ; v=0 Ao chegar na posio x = -A, novamente o objeto ficar momentaneamente parado (v = 0), tendo sua energia mecnica igual energia potencial elstica