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Espacos-tempos assintoticamente planos

Eder Santana Annibale

DISSERTACAO APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICADA

UNIVERSIDADE DE SAO PAULOPARA

OBTENCAO DO GRAU DE MESTREEM

CIENCIAS

Area de Concentracao: Matematica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. Michael Forger

Durante a elaboracao deste trabalho o autor recebeu apoio financeiro do CNPq

- Sao Paulo, marco de 2007 -


Espacos-tempos assintoticamente planos

Este exemplar corresponde a redacao final dadissertacao devidamente corrigida e defendida

por Eder Santana Annibalee aprovada pela comissao julgadora.

Sao Paulo, 02 de marco de 2007.

COMISSAO JULGADORA

• Prof. Dr. Frank Michael Forger (orientador) – IME-USP

• Prof. Dr. Elcio Abdalla – IF-USP

• Prof. Dr. Alberto Saa – IMECC-UNICAMP


Resumo

Neste trabalho investigamos a base matematica de uma nova tecnica para relacionarduas metricas em uma dada variedade que propomos chamar de “reescalonamento con-forme anisotropico” e que tem sido usada na literatura recente para dar uma nova e maisgeometrica definicao da nocao de espacos-tempos assintoticamente planos em Relativi-dade Geral.

Abstract

In this thesis, we investigate the mathematical basis of a new technique for relating twometrics on a given manifold that we propose to call “anisotropic conformal rescaling” andthat has been used in the recent literature to give a new and more geometric definitionof the notion of asymptotically flat space-times in general relativity.


Agradecimentos

Ao Prof. Michael Forger, meu orientador, pela dedicacao, paciencia e disponibili-dade. Seus conhecimentos e seu profissionalismo contribuıram veementemente na minhaformacao academica e incentivaram-me a concluir esta dissertacao e a dar inıcio a umanova etapa. A minha famılia e meus amigos pelo apoio incondicional e ao CNPq porfinanciar este trabalho durante dois anos.


Conteudo

Introducao 1

1 Reescalonamento conforme 7

1.1 A nocao de completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Reescalonamento conforme isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Reescalonamento conforme anisotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Espacos-tempos assintoticamente planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Solucoes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom 31

2.1 Solucoes exatas com simetria esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Completamento conforme anisotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Conclusao 41

Bibliografia 43

i


Introducao

A presente dissertacao trata do problema de apresentar uma definicao adequada do con-ceito de um espaco-tempo assintoticamente plano, tema que desempenha um papel im-portante na relatividade geral, pois descreve o campo gravitacional gerado por uma dis-tribuicao de massa localizada em uma regiao limitada do espaco. De fato, as fontesgravitacionais usuais da astrofısica, tais como o nosso sistema solar ou como qualqueroutro corpo astronomico (por exemplo, uma estrela normal, uma estrela de neutronsou mesmo um buraco negro formado por colapso gravitacional), ocupam regioes limi-tadas do espaco e e razoavel imaginar que, dentro e nas proximidades de tais fontes, oespaco-tempo e curvo, enquanto que, a medida que nos afastamos da fonte, a curvaturadecresce e a metrica do espaco-tempo aproxima-se da metrica plana do espaco-tempo deMinkowski.

Para caracterizar este tipo de situacao de forma tecnicamente correta, precisamos,antes de mais nada, especificar como quantificar o conteudo da expressao “afastar-se dafonte”. O procedimento mais direto, adotado quase universalmente durante muito tempo,inclusive no trabalho famoso de Arnowitt, Deser & Misner [1] sobre a definicao da “massaADM” (ou mais exatamente, do vetor de energia-momento total) de um espaco-tempoassintoticamente plano consiste em introduzir um sistema de coordenadas contendo uma“variavel radial” r e impor condicoes de decaimento apropriadas sobre as componentes dotensor metrico (ou mais exatamente, sobre as diferencas entre as componentes do tensormetrico e do tensor metrico plano de Minkowski), assim como sobre as suas derivadas, amedida em que r → ∞. O problema principal com esta definicao de um espaco-tempoassintoticamente plano e que ela depende do sistema de coordenadas empregado. Assim,e necessario formular condicoes geometricas, invariantes sob transformacoes de coorde-nadas, que garantam a existencia de um tal sistema de coordenadas e de encontrar umalgoritmo para construi-lo. A rigor, nem e claro “a priori” qual e o significado geometricoda “variavel radial” r e, logo, o do limite r → ∞.

1

2

Quanto a ultima questao, podemos tentar uma resposta simples e direta: estelimite significa que a distancia entre a fonte e o observador tende ao infinito. Contudo,ao contrario de uma metrica riemanniana, onde “distancia” significa simplesmente“distancia geodesica”, essa interpretacao do referido limite pode, no caso de uma metricalorentziana, deixar de ser adequada, uma vez que ha pontos cuja distancia geodesica ezero, pois podem ser ligados por geodesicas tipo-luz.

Geodesicas em variedades lorentzianas podem ser divididas naturalmente em trestipos: geodesicas tipo-tempo, geodesicas tipo-espaco e geodesicas tipo-luz (ou nulas), poissegue da equacao geodesica,

d 2xa

dλ2+ Γa

bc(x)dxb

dλ

dxc

dλ= 0 , (1)

a qual fixa inclusive o parametro λ a menos de uma transformacao afim, motivando assima denominacao “parametro afim”, que o vetor velocidade com respeito a este parametrotem comprimento constante ao longo de qualquer geodesica,

d

dλ

(

gab(x)dxa

dλ

dxb

dλ

)

= 0 , (2)

e portanto, uma geodesica cujo vetor tangente inicial e tipo-tempo, tipo-espaco ou tipo-luz tera vetor tangente tipo-tempo, tipo-espaco ou tipo-luz ao longo de toda a trajetoria.Quando lidamos com curvas tipo-tempo ou tipo-espaco, a equacao (2) pode ser usadacomo definicao alternativa do conceito de “parametro afim”, sendo que o parametroafim natural para curvas tipo-tempo e o tempo proprio τ e para curvas tipo-espaco e ocomprimento de arco l. Vale observar que estes parametros podem ser definidos paracurvas arbitrarias (geodesicas ou nao), a partir de um parametro arbitrario λ, atravesdas equacoes 1

τ(λ) =1

c

∫ λ

dλ′

√

−gab(x)dxa

dλ′

dxb

dλ′, (3)

l(λ) =

∫ λ

dλ′

√

gab(x)dxa

dλ′

dxb

dλ′. (4)

Assim, torna-se possıvel definir de forma precisa o que, em uma variedade lorentziana(orientada no tempo), significa “ir ao infinito” ao longo de direcoes temporais (para opassado ou para o futuro) e ao longo de direcoes espaciais, mas nao ao longo de direcoesnulas (para o passado ou para o futuro). Em particular, a nocao de distancia geodesicae inadequada para estudar o comportamento assintotico (condicoes de decaimento) deradiacao – seja eletromagnetica, seja gravitacional.

1Seguimos a convencao usual em Relatividade Geral, segundo a qual o tensor metrico tem assinatura(− + ++).

Introducao 3

Um metodo alternativo para abordar o problema, originalmente proposto porPenrose [2], consiste em acrescentar ao espaco-tempo uma fronteira representando o“infinito”, o que permite formular, de maneira manifestamente independente da esco-lha de coordenadas especıficas, condicoes sobre o comportamento assintotico do campogravitacional, assim como de todos os demais campos, em termos de continuidade ou atemesmo de diferenciabilidade perto da fronteira. Mais especificamente, Penrose usou atecnica do “completamento conforme”, baseada na introducao de uma metrica auxiliar,nao-fısica, mas conformemente equivalente a metrica fısica, que permite uma extensao na-tural a uma fronteira que consiste de duas componentes conexas, o “infinito nulo futuro”J+ e o “infinito nulo passado” J−.

Esta construcao e descrita em varios livros texto da area [3, 4], mas como ja podeser visto no caso do “completamento conforme” do espaco-tempo plano de Minkowski,apresenta um defeito serio: descreve bem o “infinito nulo” (futuro e passado), mas naoo “infinito temporal” (futuro e passado) e, o que e pior, nem o “infinito espacial”, quesao representados, cada um, por apenas um ponto, denotados por i+, i− e i0, respec-tivamente. Este defeito e compartilhado nas abordagens de Geroch [5] e de Ashtekar& Hansen [6], que tambem usam o metodo de “completamento conforme” para chegar,respectivamente, a uma descricao do infinito espacial e de uma unificacao do infinito nuloe espacial: em ambos os casos, o infinito espacial e comprimido em um unico ponto, fatoque e reponsavel por grande parte das dificuldades inerentes destas abordagens.

Uma analise mais aprofundada das origens do problema revela que se trata de umadificuldade fundamental, cuja dimensao e extensao parece ter sido subestimada durantedecadas. Na verdade, como observado por Persides em [7], ela aparece nao apenas noambito da geometria lorentziana mas, da mesma forma, no da geometria riemanniana,onde ja pode ser apreciada considerando-se o exemplo mais simples possıvel: a questaode descrever o “infinito” para o espaco euclideano R

3.

A fim de preservar a simetria rotacional, consideremos o espaco euclideano coma origem removida, M = R

3 \ 0, em coordenadas esfericas (r, θ, ϕ):

x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ (5)

z = r cos θ

Nestas coordenadas a metrica do espaco euclideano assume a forma

ds2 = dr2 + r2(

dθ2 + sin2 θ dϕ2)

. (6)

E natural considerar o “infinito” como sendo a fronteira de um completamento 2 M de M ,obtida tomando-se o limite r → ∞, com θ e ϕ constantes. Para formalizar esta ideia,

2Uma definicao rigorosa desta nocao sera apresentada no proximo capıtulo.

4

introduzimos uma nova coordenada radial, Ω = 1/r, e estendemos M de forma a incluiros pontos onde Ω se anula. Nas novas coordenadas esfericas (Ω, θ, ϕ), a metrica doespaco euclideano assume a forma

ds2 = Ω−4 dΩ2 + Ω−2(


. (7)

Obviamente, esta metrica diverge no limite Ω → 0, sendo que os pontos de M comcoordenada radial Ω formam uma esfera S2 com area total 4π/Ω2, a qual tende para ∞quando Ω → 0. Contudo, se efetuarmos um “reescalonamento conforme”

ds2 −→ ds2 = Ω4 ds2 , (8)

a nova metricads2 = dΩ2 + Ω2

(


(9)

converge no limite Ω → 0 e portanto pode ser estendida a uma metrica regular em M .O problema com este procedimento e que, nesta nova metrica, os pontos de M comcoordenada radial Ω formam uma esfera S2 com area total 4πΩ2, a qual tende para 0quando Ω → 0. Isso significa que a fronteira de M tem area total 0 e portanto, se reduza um unico ponto: estamos lidando com a compactificacao de um ponto, ao inves deuma compactificacao que represente o “infinito” por uma esfera S2. Podemos dizer queo simples reescalonamento conforme provoca um “encolhimento exagerado” das esferasno limite Ω → 0.

A solucao do problema, neste caso, e obvia: consiste em abandonar o precon-ceito de que a nova metrica deva ser obtida a partir da metrica original por um simplesreescalonamento conforme e trabalhar com a metrica

ds2 = dΩ2 +(


(10)

que tambem converge no limite Ω → 0 e portanto pode ser estendida a uma metricaregular em M , mas com o merito adicional que agora, os pontos de M com coordenadaradial Ω formam uma esfera S2 com area total 4π, a qual tende a um valor finito e nao-nulo (4π, no caso) quando Ω → 0. O preco a pagar e que a relacao entre a nova metricae a metrica original e mais complicada, sendo que ds2 e obtida de ds2 reescalonando-se as suas componentes tangenciais e normais as superfıcies Ω = const. por potenciasdiferentes de Ω: escrevendo

ds2 = ds2⊥ + ds2

‖ , ds2 = ds2⊥ + ds2

‖ , (11)

temosds2

⊥ = Ω4 ds2⊥

ds‖ = Ω2 ds2‖

. (12)

Introducao 5

E por isso que nos referiremos a passagem

ds2 −→ ds2 (13)

como um “reescalonamento conforme anisotropico”.

Como mostra este exemplo, uma descricao geometrica do “infinito espacial”,atraves de um completamento que leve a uma variedade com bordo, cujo interior e iguala variedade original, mas munida de uma metrica diferente da original, requer o reesca-lonamento das componentes tangenciais e transversais da metrica original por potenciasdiferentes da “variavel radial” Ω e portanto, nao pode ser baseada na ideia do comple-tamento conforme. Este problema so nao aparece no caso lorentziano quando a direcaotransversal a fronteira e tipo-luz, e e por isso que o completamento conforme permitetratar o “infinito nulo” mas nao o “infinito espacial” ou “infinito temporal”.

A inadequacao do completamento conforme usual para tratar do “infinito es-pacial” ja foi percebida nos anos 70 e exposta em varios trabalhos, levando inclusivea tentativas de abordagens alternativas tais como o completamento projetivo propostoem [8] e as expansoes da metrica elaboradas em [9]. O passo decisivo, no entanto, so foitomado nos anos 90, com o trabalho pioneiro de Ashtekar e Romano [10] e as melhoriasintroduzidas por Perng [11].

Em [10] e apresentada uma definicao geometrica do conceito de um espaco-tempoassintoticamente plano no infinito espacial que realiza o “infinito espacial” com o devidograu de regularidade, a saber, como uma variedade tridimensional constituindo o bordodo espaco-tempo em suas direcoes espaciais (algumas ou todas elas). Os autores tambemdeduzem uma serie de consequencias de sua definicao, inclusive a construcao de quan-tidades conservadas associadas a simetrias assintoticas, tais como energia-momento emomento angular, a partir de expressoes para certos campos tensoriais que descrevem,em primeira ordem, o comportamento assintotico do campo gravitacional no infinitoespacial. Em [11], a definicao de [10] e ligeiramente modificada, de modo a incluir oimportante caso da solucao de Reissner-Nordstrom, e a expansao assintotica de camposfısicos e sistematizada e levada a ordens superiores, o que permite deduzir um conjuntocompleto de possıveis quantidades conservadas.

O objetivo desta dissertacao e apresentar uma introducao sistematica e completaaos passos iniciais da metodologia adotada em [10, 11], que propomos chamar de “rees-calonamento conforme anisotropico” e que tem o procedimento descrito acima como oseu exemplo mais elementar. Em particular, enfatizamos a importancia da “metrica nao-fısica”, que constitui uma ferramenta util para unificar e melhor compreender algumasdas condicoes (aparentemente independentes) impostas na definicao original de [10, 11].De fato, como ja acontece no caso da definicao do “infinito nulo” por completamentoconforme, devido a Penrose, a condicao de que a metrica nao-fısica, construıda a partir

6

da metrica fısica segundo uma receita especıfica, admita uma extensao suave (i.e., naoapenas contınua) ao bordo impoe todo um conjunto de restricoes sobre a metrica fısicaoriginal e todas as suas derivadas. A mesma condicao e imposta sobre todos os outroscampos tensoriais fısicos, desde que devidamente reescalonados. Esta condicao universalsera a unica condicao de continuidade/diferenciabilidade a ser exigida em todo o for-malismo, substituindo todas as outras e assim eliminando a necessidade de introduzircondicoes de diferenciabilidade estranhas ou “limites com dependencia direcional” paradescrever o comportamento de campos fısicos no bordo, o que e inevitavel quando serepresenta o “infinito espacial” por um unico ponto i0, como no caso do completamentoconforme. (Veja, por exemplo, [4, pp. 276-277].)

Este trabalho esta dividido em dois capıtulos principais. No primeiro capıtuloapresentamos a definicao de completamento de uma variedade, a qual e fundamentalpara definirmos o infinito espacial como sendo o bordo de um espaco-tempo. Em seguidadesenvolvemos o conceito de reescalonamento conforme anisotropico, metodo que ge-neraliza o reescalonamento conforme usual (que chamaremos de “isotropico”) e, comoeste, relaciona duas metricas: uma delas e a “metrica fısica” que define a geometria doespaco-tempo mas cujas componentes podem divergir no bordo da variedade, enquantoque a outra, que chamaremos de “metrica nao-fısica”, e um tensor metrico auxiliar que,em geral, nao tera nenhum significado fısico mas apresenta a vantagem de que as suascomponentes permanecem finitas e regulares (i.e., suaves) no bordo da variedade.3 Estemetodo permite estabelecer relacoes entre as componentes de varios outros “camposfısicos”, entre eles o tensor de Einstein derivado da metrica fısica, que novamente podemdivergir no bordo, e as componentes dos correspondentes “campos nao-fısicos”, entreeles o tensor de Einstein derivado da metrica nao-fısica, que por construcao permane-cem finitas e regulares (i.e., suaves) no bordo. Usando tais relacoes, apresentamos adefinicao de um espaco-tempo assintoticamente plano no infinito espacial. Finalmente,analisamos algumas consequencias desta definicao e comparamos-na com as definicoespropostas em [10, 11]. No segundo capıtulo, apresentamos as caracterısticas basicas dassolucoes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom e aplicamos o formalismo desenvol-vido no primeiro capıtulo a estas solucoes para concluir que a nossa definicao englobaestes dois importantes exemplos. Como conclusao do trabalho, mencionamos algumasquestoes adicionais e problemas em aberto que poderiam e deveriam ser tratados noambito da abordagem aqui proposta.

3Lembramos que segundo os princıpios da Relatividade Geral, a metrica se destaca dentre os diver-sos tipos de campos que existem no espaco-tempo pelo fato de que ela codifica a sua geometria – emparticular, a sua estrutura causal (veja, por exemplo, a discussao em [3, Capıtulo 3.2, pp. 59-64]), sempermitir a existencia de algum tipo de “geometria a priori” (veja, por exemplo, a discussao em [12,§17.6, pp. 429-431]. Nao existe portanto a possibilidade de atribuir igual significado fısico a dois ten-sores metricos do mesmo tempo: se um e fısico, o outro nao e, ainda mais quando os dois nao saoconformemente equivalentes e portanto definem estruturas causais diferentes.

Capıtulo 1

Reescalonamento conforme

isotropico e anisotropico

1.1 A nocao de completamento

Comecamos por um resumo daqueles aspectos da nocao de “completamento” que inde-pendem da natureza especıfica da relacao entre as duas metricas envolvidas – a metrica“fısica” g e a metrica “nao-fısica” g.

Definicao 1.1 Um completamento de uma variedade M e um par (M, Ω), onde M euma variedade com bordo ∂M tal que a variedade M pode (atraves de um difeomorfismoescolhido de uma vez por todas) ser identificada com o interior M \ ∂M de M e Ω euma funcao sobre M que serve como coordenada transversal ao bordo de M , isto e,que satisfaz

Ω > 0 sobre M , Ω = 0 sobre ∂M , (1.1)

e

dΩ 6= 0 sobre ∂M . (1.2)

Mais especificamente, exigimos a existencia de uma vizinhanca colar1 de ∂M em M ,isto e, de uma vizinhanca aberta de ∂M em M da forma

Uε = x ∈ M | Ω(x) < ε , (1.3)

com ε > 0, tal que

dΩ 6= 0 sobre Uε . (1.4)

1No uso deste termo, seguimos [13].

7

8 Reescalonamento conforme

E claro que, nestas hipoteses, as superfıcies de nıvel de Ω

Sρ = x ∈ M | Ω(x) = ρ , (1.5)

com 0 6 ρ < ε, sao subvariedades de M (e, para ρ > 0, de M , enquanto que S0 = ∂M )que providenciam uma folheacao da vizinhanca colar Uε:

Uε =˙⋃

06ρ<ε

Sρ . (1.6)

Escrevemos, ainda,

Uε =˙⋃

0<ρ<ε

Sρ . (1.7)

Assim, Uε e a uniao disjunta de ∂M e Uε:

Uε = ∂M ∪ Uε . (1.8)

Tambem notamos que a existencia de uma vizinhanca colar de ∂M , que e uma vizinhancaaberta de ∂M de “espessura constante ao longo de ∂M” (ε, no caso) e automaticamentegarantida pelas hipoteses anteriores se ∂M for compacto.

Passando a incluir metricas, adotaremos a seguinte terminologia.

Definicao 1.2 Um completamento de uma variedade pseudo-riemanniana (M, g) euma tripla (M, g, Ω), onde (M, g) e uma variedade pseudo-riemanniana do mesmo tipo,mas com bordo ∂M , e (M, Ω) e um completamento de M como na definicao anterior, talque, sobre cada uma das superfıcies de nıvel Sρ de Ω, com 0 < ρ < ε, as metricas sobre Sρ

induzidas por g, g|Sρ, e por g, g|Sρ, assim como os campos vetoriais normais unitariosn para g e n para g, sao proporcionais, sendo que, para garantir que na regiao Uε, gseja completamente determinado por g e Ω e, reciprocamente, que g tambem seja com-pletamente determinado por g e Ω, os respectivos fatores de proporcionalidade podemser escritos como funcoes de Ω (e portanto sao constantes ao longo de cada uma dassuperfıcies de nıvel Sρ de Ω, com 0 < ρ < ε).

Nas aplicacoes em relatividade geral, g e interpretado com o tensor metrico “fısico” que,tipicamente, diverge a medida em que nos aproximamos do bordo ∂M de M , enquantoque g e um tensor metrico sem significado fısico que, porem, permanece regular mesmono bordo ∂M de M .

Reescalonamento conforme isotropico 9

1.2 Reescalonamento conforme isotropico

Dada uma variedade pseudo-riemanniana qualquer, a maneira mais simples de acrescen-tar uma fronteira representando pontos “no infinito” e atraves de um “completamentoconforme”, isto e, supondo que a metrica nao-fısica (que neste caso denotaremos por g)e obtida a partir da metrica fısica g por um simples reescalonamento conforme.

Seja M uma variedade munida de uma metrica pseudo-riemanniana g. No quesegue, estaremos interessados em dois casos distintos: metricas riemannianas e metricaslorentzianas. Dada uma funcao Ω estritamente positiva sobre M , que escrevemos naforma Ω = exp(ω), podemos introduzir uma nova metrica g sobre M atraves de

g = exp(2ω) g . (1.9)

Dizemos que a metrica g e obtida da metrica g por um reescalonamento conforme ou,mais precisamente, por um reescalonamento conforme isotropico, para distingui-lo doreescalonamento conforme anisotropico que sera introduzido mais tarde. Entende-se quea formula (1.9) aplica-se aos tensores covariantes, enquanto que para os tensores con-travariantes vale uma relacao analoga com a potencia inversa de Ω, ou seja, temos emcomponentes:

gab = exp(2ω) gab , gab = exp(−2ω) gab . (1.10)

Quanto aos sımbolos de Christoffel das respectivas conexoes de Levi-Civita, observa-mos que estes sao invariantes por reescalonamentos conformes globais (ω e constante),enquanto que no caso de reescalonamentos locais (ω e uma funcao), obtemos a relacao

Γcab = Γc

ab +(

δca ∂bω + δc

b ∂aω − gab gcd ∂dω)

. (1.11)

Logo, valem as seguintes relacoes entre os respectivos tensores de Riemann

Rabcd = Ra

bcd −(

δac ∇d∂bω − δa

d ∇c∂bω)

+(

gbc gae ∇d∂eω − gbd gae ∇c∂eω)

+(

δac ∂dω ∂bω − δa

d ∂cω ∂bω)

−(

gbc gae ∂dω ∂eω − gbd gae ∂cω ∂eω)

(1.12)

−(

δac gdb − δa

d gcb

)

(∂ω)2 ,

entre os respectivos tensores de Ricci

Rab = Rab − (n − 2)∇b∂aω − gab ∂2ω + (n − 2) ∂aω ∂bω − (n − 2) gab (∂ω)2 (1.13)

e entre as respectivas curvaturas escalares

R = exp(−2ω)(

R − 2(n − 1) ∂2ω − (n − 1)(n − 2)(∂ω)2)

, (1.14)

sendo o tensor de Weyl invariante por reescalonamentos conformes; veja, por exemplo,[3, Chapter 2.6, p. 42] ou [14], eqs (295)-(298), p. 384.


Tambem vale observar que, no caso lorentziano, reescalonamentos conformes pre-servam geodesicas nulas, a menos de uma reparametrizacao. De fato, seja x uma geodesicapara a metrica g com parametro afim λ. Entao, se introduzirmos um novo parametro λdado por simples integracao da relacao

dλ

dλ= exp(2ω(x)) , (1.15)

a mesma curva considerada como funcao de λ sera uma geodesica para a metrica g comparametro afim λ, desde que

gab(x)dxa

dλ

dxb

dλ= 0 , (1.16)

poisdxa

dλ= exp(−2ω(x))

dxa

dλ(1.17)

ed 2xa

dλ2= exp(−4ω(x))

(

d 2xa

dλ2− 2(∂cω)(x)

dxc

dλ

dxa

dλ

)

(1.18)

e portanto, conforme a equacao (1.11),

d 2xa

dλ2+ Γa

bc(x)dxb

dλ

dxc

dλ

= exp(−4ω(x))

(

d 2xa

dλ2+ Γa

bc(x)dxb

dλ

dxc

dλ− (gab ∂bω)(x) gcd(x)

dxc

dλ

dxd

dλ

)

.

1.3 Reescalonamento conforme anisotropico

Um outro metodo de reescalonamento, que nos chamaremos de anisotropico, usa adecomposicao dos espacos tangentes ao espaco-tempo em sua parte tangencial e suaparte normal as hipersuperfıcies de nıvel da propria funcao de reescalonamento Ω.Para descreve-lo, considere primeiro uma variedade pseudo-riemanniana (M, g) munidade uma funcao Ω tal que dΩ 6= 0 sobre M e, mais especificamente, no caso em que gnao for definida positiva, tal que o gradiente (dΩ)] de Ω e um campo vetorial tipo-espacosobre M . Sob estas hipoteses, as superfıcies de nıvel de Ω definem uma folheacao de Mem hipersuperfıcies que sao pseudo-riemannianas em relacao a metrica q induzida sobrecada uma pela metrica original g. Definimos entao o campo vetorial unitario n normal aesta folheacao por n[ = F−1/2 (dΩ)] , ou seja,

na = F−1/2 gab ∂bΩ , (1.19)

Reescalonamento conforme anisotropico 11

e a correspondente 1-forma unitaria n[ por n[ = F−1/2 dΩ , ou seja,

na = F−1/2 ∂aΩ , (1.20)

ondeF = gab ∂aΩ ∂bΩ , (1.21)

de modo que valegab nanb = 1 = gab nanb . (1.22)

Assim, podemos decompor a metrica g em duas partes: um tensor simetrico q que des-creve a sua parte tangencial e um tensor simetrico proporcional a dΩ⊗ dΩ , ou n[ ⊗ n[,que descreve a sua parte normal:

gab = qab + nanb , gab = qab + nanb . (1.23)

Vale entaoqab nb = 0 , qab nb = 0 , qac qcb = P b

a , (1.24)

onde P e o projetor ortogonal de TM sobre ker(dΩ):

P ba = δb

a − nanb . (1.25)

Valem ainda as seguintes relacoes:

P ba P c

b = P ca , P b

a nb = P ba na = 0. (1.26)

O tensor simetrico q, tambem chamado de primeira forma fundamental, descreve ametrica induzida sobre cada uma das superfıcies de nıvel de Ω. Outro tensor simetricomuito importante, aqui denotado por K, e a segunda forma fundamental, que descrevea curvatura extrınseca das superfıcies de nıvel de Ω como subvariedades de M e quepode ser definida de varias formas, por exemplo como a derivada covariante do camponormal n (mais exatamente, da 1-forma normal n[) em direcoes tangenciais,

Kab = P caP d

b ∇cnd , (1.27)

que, no presente caso, e simplesmente a parte tangencial das segundas derivadas(covariantes) da funcao Ω,

Kab = F−1/2 P caP d

b ∇c∂dΩ , (1.28)

ou como a derivada de Lie da metrica induzida ao longo do campo unitario normal,

Kab = 1

2Lnqab . (1.29)


Observe que K e simetrico, Kba = Kab, como pode ser visto, por exemplo, calculando-se,para quaisquer dois campos vetoriais X e Y com projecoes tangenciais PX e PY ,

K(X, Y ) − K(Y, X) = g(∇PXn, PY ) − g(PX,∇PY n)

= LPXg(n, PY ) − g(n,∇PXPY ) − LPY g(PX, n) + g(∇PY PX, n)

= − g(n, [PX, PY ]) = 0 .

A mesma afirmacao tambem segue da equacao (1.28), usando que a torcao de ∇ e zero,e e obvia a partir da equacao (1.29).

1.3.1 Equacoes de Gauss-Codazzi

Para os calculos a serem efetuados nesta secao, precisaremos de uma serie de formulas querelacionam diversas quantidades que aparecem naturalmente quando consideramos umafolheacao de uma variedade lorentziana pelas hipersuperfıcies de nıvel de uma funcao,dentre elas as bem conhecidas equacoes de Gauss-Codazzi. Mantendo a notacao ja in-troduzida, observamos primeiro que combinando as equacoes

nb ∇anb = gbc nc∇anb = nc∇anc

enb ∇anb + ∇an

b nb = ∂a

(

nbnb

)

= 0

obtemos as seguintes importantes identidades:

nb ∇anb = 0 , nb ∇anb = 0 . (1.30)

Logo, vemos como deduzir a equivalencia entre as equacoes (1.27) e (1.29):

Lnqab = nc ∇cqab + qac ∇bnc + qcb ∇an

c

= − nc ∇c

(

nanb

)

+(

gac − nanc

)

∇bnc +

(

gcb − ncnb

)

∇anc

= ∇anb − na nc ∇cnb + ∇bna − nc ∇cna nb

=(

δca − nan

c)(

δdb − nbn

d)

∇cnd −(

δcb − nbn

c)(

δda − nan

d)

∇cnd

= Kab + Kba .

Note tambem que devido a relacao (1.30), a divergencia do campo vetorial unitario n eigual ao traco K = gabKab = qabKab da segunda forma fundamental:

∇ana = K . (1.31)


Por outro lado, as definicoes da metrica induzida q e do projetor P implicam que

∇aqbc = −(

∇anb

)

nc −(

∇anc

)

nb (1.32)

e

∇aPcb = −

(

∇anb

)

nc − nb

(

∇anc)

. (1.33)

Quanto as derivadas da funcao F , a derivada normal e dada por

LnF = na ∂a

(

gcd ∂cΩ ∂dΩ)

= nagcd(

(∇a∂cΩ) ∂dΩ + ∂cΩ (∇a∂dΩ))

,

ou seja,

LnF = 2F 1/2 ncnd ∇c∂dΩ , (1.34)

enquanto que para as derivadas tangenciais, temos

P ba ∂bF = P b

a ∂b

(

gcd ∂cΩ ∂dΩ)

= P bagcd

(

(∇b∂cΩ) ∂dΩ + ∂cΩ (∇b∂dΩ))

= 2 F 1/2 P ba nc ∇b∂cΩ = 2 F 1/2 P b

a nc ∇c∂bΩ = 2 F 1/2 P ba nc ∇c

(

F 1/2 nb

)

= 2 F P ba nc ∇cnb = 2 F

(

δba − nan

b)

nc ∇cnb = 2 F nc ∇cna ,

ou seja,

P ba ∂bF = 2F 1/2 P b

a nc ∇c∂bΩ = 2F P ba nc ∇cnb = 2F nc ∇cna . (1.35)

Reciprocamente, temos

∇anb =(

P ca + nan

c)

∇cnb = P ca

(

P db + nbn

d)

∇cnd + na nc ∇cnb

e portanto

∇anb = Kab + na nc ∇cnb = Kab + 1

2F−1∂cF P c

b na . (1.36)

Finalmente, consideraremos ainda a derivada de Lie da segunda forma fundamental aolongo do campo unitario normal, relacionada com a sua derivada covariante normal pelaformula

LnKab = nc ∇cKab + Kac ∇bnc + Kcb ∇an

c ,

a qual implica

na LnKab = nanc ∇cKab + Kab nc ∇cna = nc ∇c

(

naKab

)

= 0 ,

nb LnKab = nbnc ∇cKab + Kab nc ∇cnb = nc ∇c

(

nbKab

)

= 0 ,


mostrando que LnKab, como qab e Kab = 1

2Lnqab, e um tensor puramente tangencial.

Reciprocamente, temos

LnKab = nc ∇cKab + Kac ∇bnc + Kcb ∇an

c

= nc ∇cKab +(

qcd + ncnd)

Kac ∇bnd +(

qcd + ncnd)

Kcb ∇and

= nc ∇cKab + qcdKac

(

P eb + nbn

e)

∇end + qcdKcb

(

P ea + nan

e)

∇end

= nc ∇cKab + 2qcdKacKbd + qcd(

Kacnb + Kcbna

)

ne ∇end ,

o que, em combinacao com a equacao (1.35), leva a seguinte decomposicao da derivadacovariante normal da segunda forma fundamental em uma parte puramente tangencial euma parte mista (sendo que a parte puramente normal se anula):

nc ∇cKab = LnKab − 2 qcdKacKbd − 1

2qcd F−1 ∂cF

(

Kdanb + Kdbna

)

. (1.37)

Passamos agora a deduzir algumas relacoes entre objetos quadridimensionais etridimensionais. Em cada superfıcie de nıvel de Ω temos uma derivada covariante tri-dimensional, que denotaremos por Da, os correspondentes tensores de Riemann e de Riccitridimensionais, que denotaremos por Ra

bcd e Rab, respectivamente, e a correspondentecurvatura escalar tridimensional, que denotaremos por R. Primeiro, notamos que ooperador D e definido pela exigencia de que para quaisquer dois campos vetoriais Z eX tangentes as superfıcies de nıvel de Ω, DZX sera a projecao tangencial de ∇ZX, ouseja, para campos vetoriais X quaisquer, vale

DaXb = P c

aP bd ∇cX

d , (1.38)

e dualmente, para 1-formas α quaisquer, vale

Daαb = P caP d

b ∇cαd . (1.39)

Entao

Rcdab Xd = DaDbX

c − DbDaXc (1.40)

e dualmente

Rcdab αc = DbDaαd − DaDbαd . (1.41)

Provaremos agora, como exercıcio, as equacoes de Gauss-Codazzi,

Rcdab = P c

g P hd P e

aP fb Rg

hef + KcaKbd − Kc

bKad . (1.42)

DbKba − DaK = P b

a ncRbc . (1.43)


De fato, se X e tangencial as superfıcies de nıvel de Ω, temos neXe = 0 e Xe = P e

g Xg

e portanto

DaDbXc = Da

(

P db P c

e ∇dXe)

= P fa P g

b P ch ∇f

(

P dg P h

e ∇dXe)

= P fa P g

b P ce ∇f

(

δdg − ngn

d)

∇dXe + P f

a P db P c

h ∇f

(

δhe − nen

h)

∇dXe

+ P fa P d

b P ce ∇f∇dX

e

= − P fa P g

b P ce

(

∇fng

)

nd ∇dXe − P f

a P db P c

h ne

(

∇fnh)

∇dXe

+ P fa P d

b P ce ∇f∇dX

e

= − Kab P ce nd ∇dX

e + Kac P d

b

(

∇dne

)

P eg Xe + P e

aP fb P c

g ∇e∇fXg

= − Kab P ce nd ∇dX

e + Kac Kbg Xg + P e

a P fb P c

g ∇e∇fXg .

Antisimetrizando em a e b e usando a formula (1.40), obtemos a equacao (1.42).Para provar a equacao (1.43), calculamos

qbcDcKab = qbc P da ∇cKdb = qbc P d

a ∇c

(

P ed P f

b ∇enf

)

= qbc P da ∇c

(

(δed − ndn

e)(δfb − nbn

f )∇enf

)

= qbc P da ∇c∇d nb − qbc P d

a ne ∇cnd ∇enb

= qbc P da ∇c∇d nb − qbc P d

a ne F−1/2 ∇c∂dΩ ∇enb

e

qbcDaKcb = qbc P da ∇dKcb = qbc P d

a ∇d

(

P ec P f

b ∇enf

)

= qbc P da ∇d

(

(δec − ncn

e)(δfb − nbn

f)∇enf

)

= qbc P da ∇d∇c nb − qbc P d

a ne ∇dnc ∇enb

= qbc P da ∇d∇c nb − qbc P d

a ne F−1/2 ∇d∂cΩ ∇enb .

Logo, vale

qbcDcKab − qbcDaKcb = qbc P da

(

∇c∇d −∇d∇c

)

nb

= − qbc P da R e

bcd ne

= −(

gbc − nbnc)

P da R ebcd ne

= P da ne Rde ,

como desejado. Note ainda que contracao da equacao (1.42) com P ac leva a seguinte

relacao envolvendo o tensor de Ricci quadridimensional e o tensor de Ricci tridimensional:

P caP d

b nenf Re

cfd = P caP d

b δfe Re

cfd − P caP d

b P fe Re

cfd

= P caP d

b Rcd − Rab + KKab − qcdKacKbd .(1.44)


Tambem temos, para qualquer funcao F ,

DaDbF = P caP d

b ∇c

(

P ed ∂eF

)

= P caP d

b ∇c∂dF − P caP d

b

(

∇cnd

)

ne∂eF − P caP d

b nd

(

∇cne)

∂eF ,

ou seja

DaDbF = P caP d

b ∇c∂dF −(

LnF)

Kab , (1.45)

de modo que, em particular,

P caP d

b

(

3

4F−2

(

∂cF)(

∂dF)

− 1

2F−1

(

∇c ∂dF)

+ 1

2F−1

(

LnF)

Kcd

)

= F 1/2(

DaDbF−1/2

)

.

(1.46)

Agora podemos usar as equacoes (1.27), (1.30), (1.33), (1.35), (1.36) e (1.44) para calculara derivada normal covariante da segunda forma fundamental como segue:

nc ∇cKab = nc ∇c

(

P da P e

b ∇d ne

)

= − nc(

∇cna

)

ndP eb

(

∇d ne

)

− ncna

(

∇cnd)

P eb

(

∇d ne

)

− ncP da nb

(

∇cne)(

∇d ne

)

+ P da P e

b nc(

∇d∇cne

)

− P da P e

b ncRfecd nf

= − 1

4P c

aP db F−2

(

∂cF)(

∂dF)

− 1

2qdcF−1

(

∂cF)

naPeb

(

Kde + 1

2F−1

(

∂fF)

P fe nd

)

− 1

2qecF−1

(

∂cF)

nbPda

(

Kde + 1

2F−1

(

∂fF)

P fe nd

)

+ P da P e

b ∇d

(

nc ∇cne

)

− P da P e

b

(

∇d nc)(

∇cne

)

− P caP d

b nenf Re

dfc

= − 1

4P c

aP db F−2

(

∂cF)(

∂dF)

− 1

2qcdF−1

(

∂cF)(

Kbdna + Kadnb

)

+ P da P e

b ∇d

(

1

2F−1P c

e

(

∂cF)

)

− P da P e

b

(

Kcd + 1

2F−1

(

∂fF)

qfc nd

)(

Kce + 1

2F−1

(

∂fF)

P fe nc

)

− P caP d

b Rcd + Rab + KKab − qcdKacKbd


= − 1

4P c

aP db F−2

(

∂cF)(

∂dF)

− 1

2qcdF−1

(

∂cF)(

Kbdna + Kadnb

)

− 1

2P d

a P cb F−2

(

∂cF)(

∂dF)

− 1

2P d

a P eb

(

∇d ne

)

ncF−1(

∂cF)

+ 1

2P d

a P cb F−1

(

∇d ∂cF)

− KbcKca

− P caP d

b Rcd + Rab − KKab + qcdKacKbd .

Assim, usando a equacao (1.46), obtemos

nc ∇cKab = − 1

2qcdF−1

(

∂cF)(

Kbdna + Kadnb

)

− F 1/2(

DaDbF−1/2

)

− P caP d

b Rcd + Rab − KKab ,(1.47)

e usando a equacao (1.37), concluımos que

LnKab = −F 1/2(

DaDbF−1/2

)

− P caP d

b Rcd + Rab − KKab + 2 qcdKacKbd , (1.48)

sendo que estas formulas se tornarao uteis a seguir.

1.3.2 A metrica nao-fısica

O passo fundamental para efetuar um reescalonamento conforme anisotropico consistena introducao de uma nova metrica g sobre M por

gab = Ω2s qab + Ω2t nanb , gab = Ω−2s qab + Ω−2t nanb , (1.49)

onde s e t sao parametros reais a serem fixados posteriormente. Assim, se definirmos

na = F−1/2 gab ∂bΩ (1.50)

e

na = F−1/2 ∂aΩ , (1.51)

onde

F = gab ∂aΩ ∂bΩ , (1.52)

de modo que vale

gab nanb = 1 = gab nanb (1.53)

e se escrevemos

gab = qab + nanb , gab = qab + nanb , (1.54)


como antes, entao temos que

qab = Ω2sqab , qab = Ω−2sqab , (1.55)

na = Ω−tna , na = Ωtna , (1.56)

F = Ω−2tF (1.57)

e

P ba = P b

a . (1.58)

Neste caso, diremos que a metrica g e obtida da metrica g por um reescalonamentoconforme anisotropico.

Para calcular as relacoes entre os sımbolos de Christoffel e tensores de Riemanndas duas metricas, faremos uso da formula geral para a diferenca dos sımbolos deChristoffel associados a duas metricas quaisquer g e g,

Γcab = Γc

ab + Ccab , (1.59)

onde

Ccab = 1

2gcd

(

∇agbd + ∇bgad −∇dgab

)

(1.60)

e

R dcab = R d

cab + ∇aCdbc − ∇bC

dac + Cd

aeCebc − Cd

beCeac . (1.61)

O modo mais facil para provar as ultimas duas formulas baseia-se na observacao de queambos os lados sao tensores e portanto e suficiente demonstra-las, separadamente, emcada ponto da variedade e ainda apenas em algum sistema especial de coordenadas, sendoque elas se reduzem a equacoes bem conhecidas, tais como

R dcab − R d

cab = ∂a(Γdbc − Γd

bc) − ∂b(Γdac − Γd

bc) + ΓdaeΓ

ebc − Γd

beΓeac − Γd

aeΓebc + Γd

beΓeac ,

quando consideradas em coordenadas normais para a metrica g (nas quais os sımbolosde Christoffel Γc

ab se anulam e as derivadas covariantes ∇a coincidem com as derivadasparciais ∂a). Para calcular o tensor C, reescrevemos a equacao (1.49) na forma

gab = Ω2sgab + (Ω2t − Ω2s) nanb , gab = Ω−2sgab + (Ω−2t − Ω−2s) nanb , (1.62)

para obter


2 Ccab =

(

Ω−2sgcd +(

Ω−2t − Ω−2s)

ncnd)

×

(

∇a

(

Ω2sgbd +(

Ω2t − Ω2s)

nbnd

)

+ ∇b

(

Ω2sgad +(

Ω2t − Ω2s)

nand

)

− ∇d

(

Ω2sgab +(

Ω2t − Ω2s)

nanb

)

)

=(

Ω−2sqcd + Ω−2t ncnd)

×

(

2s Ω2s−1F 1/2 na gbd +(

2t Ω2t−1 − 2s Ω2s−1)

F 1/2 nanbnd

+(

Ω2t − Ω2s) (

(∇anb) nd + nb (∇and))

+ 2s Ω2s−1F 1/2 nb gad +(

2t Ω2t−1 − 2s Ω2s−1)

F 1/2 nanbnd

+(

Ω2t − Ω2s) (

(∇bna) nd + na (∇bnd))

− 2s Ω2s−1F 1/2 nd gab −(

2t Ω2t−1 − 2s Ω2s−1)

F 1/2 nanbnd

−(

Ω2t − Ω2s) (

(∇dna) nb + na (∇dnb))

)

= 2s Ω−1F 1/2 P cb na + 2s Ω2s−2t−1F 1/2 nanb nc

+(

2t − 2s Ω2s−2t)

Ω−1F 1/2 nanb nc

−(

1 − Ω2t−2s)

qcd nb (∇and) +(

1 − Ω2s−2t)

(∇anb) nc

+ 2s Ω−1F 1/2 P canb + 2s Ω2s−2t−1F 1/2 nanb nc

+(

2t − 2s Ω2s−2t)

Ω−1F 1/2 nanb nc

−(

1 − Ω2t−2s)

qcd na (∇bnd) +(

1 − Ω2s−2t)

(∇bna) nc

− 2s Ω2s−2t−1F 1/2 gab nc −(

2t − 2s Ω2s−2t)

Ω−1F 1/2 nanb nc

+(

1 − Ω2t−2s)

qcd(

(∇dna) nb + na(∇dnb))

−(

1 − Ω2s−2t) (

nd (∇dna) nb nc + na nd (∇dnb) nc)

= 2s Ω−1F 1/2(

P canb + P c

b na

)

+ 2t Ω−1F 1/2 nanb nc − 2s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nc

+(

1 − Ω2t−2s)

qcd(

(

∇dna −∇and

)

nb + na

(

∇dnb −∇bnd))

)

+(

1 − Ω2s−2t)

(

∇anb + ∇bna − nd (∇dna) nb − na nd (∇dnb))

nc


= 2s Ω−1F 1/2(

P canb + P c

b na

)

+ 2t Ω−1F 1/2 nanb nc

− 2s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nc + 2(

1 − Ω2s−2t)

Kab nc

−(

1 − Ω2t−2s)

qcd(

(

nd ne (∇ena) − na ne (∇end))

nb

+ na

(

nd ne (∇enb) − nb ne (∇end))

)

ou seja,

Ccab = s Ω−1F 1/2

(

P canb + P c

b na

)

+ t Ω−1F 1/2 nanb nc

− s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nc +(

1 − Ω2s−2t)

Kab nc

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd nanb .

(1.63)

Como corolario, notamos que

Kab = P ca P d

b ∇cnd = P ca P d

b

(

∇c

(

Ωtnd

)

− Cecd

(

Ωtne

)

)

= Ωt P caP d

b ∇cnd + s Ω2s−t−1F 1/2 qab − Ωt(

1 − Ω2s−2t)

Kab ,

o que leva a seguinte formula para a relacao entre as segundas formas fundamentais dasduas metricas:

Kab = Ω2s−tKab + s Ω2s−t−1F 1/2 qab . (1.64)

Para calcular a relacao entre os tensores de Ricci e, posteriormente, as curvaturasescalares e os tensores de Einstein das duas metricas, comecamos por contrair os ındicesa e d na equacao (1.61) para obter

Rab = Rab + ∇cCcba − ∇bC

cca + Cc

cdCdba − Cc

bdCdca . (1.65)

Inserindo a equacao (1.63) e usando as equacoes (1.31)-(1.33), vem

∇cCcba = ∇c

(

s Ω−1F 1/2(

P cb na + P c

anb

)

+ t Ω−1F 1/2 nanb nc − s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nc

+(

1 − Ω2s−2t)

Kab nc − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd nanb

)

= − s Ω−2(

∂cΩ)

F 1/2 P cb na − s Ω−2

(

∂cΩ)

F 1/2 P ca nb

+ 1

2s Ω−1F−1/2

(

∂cF)

P cb na + 1

2s Ω−1F−1/2

(

∂cF)

P ca nb

− s Ω−1F 1/2(

∇cnb

)

nc na − s Ω−1F 1/2 K nanb + s Ω−1F 1/2 P cb

(

∇cna

)

− s Ω−1F 1/2(

∇cna

)

nc nb − s Ω−1F 1/2 K nanb + s Ω−1F 1/2 P ca

(

∇cnd

)

− t Ω−2F nanb + 1

2t Ω−1F−1/2

(

∂cF)

nanb nc

+ t Ω−1F 1/2(

∇cna

)

nb nc + t Ω−1F 1/2(

∇cnb

)

na nc + t Ω−1F 1/2 K nanb


− s (2s − 2t − 1) Ω2s−2t−2F qab − 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

∂cF)

qab nc

+ s Ω2s−2t−1F 1/2(

∇cna

)

nb nc + s Ω2s−2t−1F 1/2(

∇cnb

)

na nc

− s Ω2s−2t−1F 1/2 K qab − (2s − 2t) Ω2s−2t−1F 1/2 Kab

+(

1 − Ω2s−2t) (

∇cKab

)

nc +(

1 − Ω2s−2t)

KKab

+ (t − s) Ω2t−2s−1(

∂cΩ)

F−1(

∂dF)

qcd nanb

+ 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−2(

∂cF)(

∂dF)

qcd nanb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∇c∂dF)

qcd nanb

+ 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

K nanb nd

+ 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

gde(

∇cne

)

nc nanb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd(

∇cna

)

nb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd(

∇cnb

)

na .

Observamos que os termos na primeira e na decima primeira linha se anulam e que devidoa equacao (1.35), os termos na segunda linha cancelam os primeiros termos na terceira ena quarta linha. Usando as equacoes (1.35) e (1.36) para reescrever os termos contendoderivadas covariantes de n, obtemos

∇cCcba = − (2s − t) Ω−1F 1/2 K nanb + 2s Ω−1F 1/2 Kab

− t Ω−2F nanb + 1

2t Ω−1F−1/2

(

LnF)

nanb

+ 1

2t Ω−1F−1/2

(

∂cF) (

P canb + P c

b na

)

− s(2s − 2t − 1) Ω2s−2t−2F qab − 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

LnF)

qab

+ 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

∂cF) (

P canb + P c

b na

)

− s Ω2s−2t−1F 1/2 K qab − (2s − 2t) Ω2s−2t−1F 1/2 Kab

+(

1 − Ω2s−2t)

KKab +(

1 − Ω2s−2t)

nc(

∇cKab

)

+ 3

4

(

1 − Ω2t−2s)

F−2(

∂cF)(

∂dF)

qcd nanb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∇c∂dF)

qcd nanb

+ 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

LnF)

K nanb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd(

Kacnb + Kbcna

)

.

De maneira analoga,

∇bCcca = ∇b

(

s Ω−1F 1/2(

P cc na + P c

anc

)

+ t Ω−1F 1/2 nanc nc − s Ω2s−2t−1F 1/2 qac nc

+(

1 − Ω2s−2t)

Kac nc − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂dF)

qcd nanc

)


= (3s + t) ∇b

(

Ω−1F 1/2 na

)

= − (3s + t) Ω−2F nanb + 1

2(3s + t) Ω−1F−1/2

(

∂cF) (

P cb + nbn

c)

na

+ (3s + t) Ω−1F 1/2(

∇bna

)

= − (3s + t) Ω−2F nanb + 1

2(3s + t) Ω−1F−1/2

(

∂cF)(

P canb + P c

b na

)

+ 1

2(3s + t) Ω−1F−1/2

(

LnF)

nanb + (3s + t) Ω−1F 1/2 Kab .

Finalmente, temos

CccdC

dba =

(

s Ω−1F 1/2(

P cc nd + P c

dnc

)

+ t Ω−1F 1/2 ncnd nc − s Ω2s−2t−1F 1/2 qcd nc

+(

1 − Ω2s−2t)

Kcd nc − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂eF)

qec ncnd

)

×(

s Ω−1F 1/2(

P db na + P d

a nb

)

+ t Ω−1F 1/2 nanb nd − s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nd

+(

1 − Ω2s−2t)

Kab nd − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂fF)

qfd nanb

)

= (3s + t) Ω−1F 1/2 nd

×(

s Ω−1F 1/2(

P db na + P d

a nb

)

+ t Ω−1F 1/2 nanb nd − s Ω2s−2t−1F 1/2 qab nd

+(

1 − Ω2s−2t)

Kab nd − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂fF)

qfd nanb

)

= t(3s + t) Ω−2F nanb − s(3s + t) Ω2s−2t−2F qab

+ (3s + t) Ω−1(

1 − Ω2s−2t)

F 1/2 Kab ,

e

CcbdC

dca =

(

s Ω−1F 1/2(

P cb nd + P c

dnb

)

+ t Ω−1F 1/2 nbnd nc − s Ω2s−2t−1F 1/2 qbd nc

+(

1 − Ω2s−2t)

Kbd nc − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂eF)

qec nbnd

)

×(

s Ω−1F 1/2(

P dc na + P d

a nc

)

+ t Ω−1F 1/2 nanc nd − s Ω2s−2t−1F 1/2 qac nd

+(

1 − Ω2s−2t)

Kac nd − 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂fF)

qfd nanc

)

= (3s2 + t2) Ω−2F nanb − 2s2 Ω2s−2t−2F qab + 2s Ω−1(

1 − Ω2s−2t)

F 1/2 Kab

− 1

2s Ω−1

(

1 − Ω2s−2t)

F−1/2(

∂cF)(

P canb + P c

b na

)

− 1

2

(

1 − Ω2s−2t)(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∂cF)

qcd(

Kadnb + Kbdna

)

.


Combinando estes resultados, obtemos

Rab = Rab − (2s − t) Ω−1F 1/2 K nanb − 3s(s − t − 1) Ω−2F nanb

− 3

2s Ω−1F−1/2

(

LnF)

nanb

+ 3

4

(

1 − Ω2t−2s)

F−2(

∂cF)(

∂dF)

qcd nanb

− 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

∇c∂dF)

qcd nanb

+ 1

2

(

1 − Ω2t−2s)

F−1(

LnF)

K nanb

+ 1

2

(

1 − Ω2s−2t)

F−1(

∂cF)

qcd(

Kadnb + Kbdna

)

− s Ω−1F−1/2(

∂cF)(

P canb + P c

b na

)

− s(3s − t − 1) Ω2s−2t−2F qab − 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

LnF)

qab

− s Ω2s−2t−1F 1/2 K qab − (3s − t) Ω2s−2t−1F 1/2 Kab

+(

1 − Ω2s−2t)

KKab +(

1 − Ω2s−2t)

nc(

∇cKab

)

.

Inserindo as equacoes (1.46) e (1.47) e separando as componentes puramente normais,mistas e puramente tangenciais, concluımos que

Rab =(

ncndRcd − (2s − t) Ω−1F 1/2 K − 3s(s − t − 1) Ω−2F

− 3

2s Ω−1F−1/2

(

LnF)

+(

1 − Ω2t−2s)

qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

)

nanb

+(

Rcd − s Ω−1F−1/2(

(∂cF ) nd + (∂dF ) nc

)

)

(

P canbn

d + P db nan

c)

(1.66)

+(

Ω2s−2tRcd +(

1 − Ω2s−2t)

Rcd − s(3s − t − 1) Ω2s−2t−2F qcd

− 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

LnF)

qcd − s Ω2s−2t−1F 1/2 K qcd

− (3s − t) Ω2s−2t−1F 1/2 Kcd −(

1 − Ω2s−2t)

F 1/2(

DcDdF−1/2

)

)

P caP d

b .

Agora e facil deduzir a relacao analoga entre os correspondentes tensores de Einstein Gab

e Gab, usando que

nanbGab = nanb(

Rab − 1

2Rgab

)

= nanbRab − 1

2R = nanbRab − 1

2gabRab

= nanbRab − 1

2

(

nanb + qab)

Rab = 1

2

(

nanbRab − qabRab

)

,

P ca P d

b Gcd = P ca P d

b

(

Rcd − 1

2Rgcd

)

= P ca P d

b Rcd − 1

2R qab = P c

a P db Rcd − 1

2gcdRcd qab

= P ca P d

b Rcd − 1

2

(

ncndRcd + qcdRcd

)

qab .


Assim,

nanbGab =1

2

(

Ω−2t nanbRab − (2s − t) Ω−2t−1F 1/2 K − 3s(s − t − 1) Ω−2t−2F

− 3

2s Ω−2t−1F−1/2

(

LnF)

+(

Ω−2t − Ω−2s)

F 1/2 qab(

DaDbF−1/2

)

− Ω−2t qab Rab −(

Ω−2s − Ω−2t)

R + 3s(3s − t − 1) Ω−2t−2F

+ 3

2s Ω−2t−1 F−1/2

(

LnF)

+ (6s − t) Ω−2t−1 F 1/2 K

+(

Ω−2s − Ω−2t)

qab F 1/2(

DaDbF−1/2

)

)

,

e analogamente

P ca P d

b Gcd =Ω2s−2t P caP d

b Rcd +(

1 − Ω2s−2t)

Rab − s(3s − t − 1) Ω2s−2t−2F qab

− 1

2s Ω2s−2t−1F−1/2

(

LnF)

qab − s Ω2s−2t−1F 1/2 K qab

− (3s − t) Ω2s−2t−1F 1/2 Kab −(

1 − Ω2s−2t)

F 1/2(

DaDbF−1/2

)

−1

2Ω2s

(

Ω−2t ncndRcd − (2s − t) Ω−2t−1F 1/2 K − 3s(s − t − 1) Ω−2t−2F

− 3

2s Ω−2t−1F−1/2

(

LnF)

+(

Ω−2t − Ω−2s)

F 1/2 qcd(

DcDdF−1/2

)

+ Ω−2t qcd Rcd +(

Ω−2s − Ω−2t)

R − 3s(3s − t − 1) Ω−2t−2F

− 3

2s Ω−2t−1 F−1/2

(

LnF)

− (6s − t) Ω−2t−1 F 1/2 K

−(

Ω−2s − Ω−2t)

qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

)

qab .

O resultado e

nanb Gab = Ω−2t nanb Gab − 1

2

(

Ω−2s − Ω−2t)

R

+ 2s Ω−2t−1F 1/2K + 3s2 Ω−2t−2F(1.67)

e

P ca P d

b Gcd = Ω2s−2t P caP d

b Gcd +(

1 − Ω2s−2t)(

Rab − 1

2R qab

)

− (3s − t) Ω2s−2t−1 F 1/2(

Kab − Kqab

)

+ s(3s − 2t − 2) Ω2s−2t−2 F qab + s Ω2s−2t−1 F−1/2(

LnF)

qab

−(

1 − Ω2s−2t)

(

F 1/2(

DaDbF−1/2

)

− qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

qab

)

(1.68)

Espacos-tempos assintoticamente planos 25

Ainda podemos reescrever as relacoes deduzidas acima exclusivamente em termos dequantidades que permanecem regulares no limite Ω → 0. Para tanto, usamos que osargumentos utilizados e os calculos efetuados ate agora sao simetricos sob a troca g ↔ gdas duas metricas e de todas as quantidades derivadas, acompanhada por uma mudancade sinal dos parametros s e t. Assim, temos como recıproca da equacao (1.66),

Rab =(

ncndRcd + (2s − t) Ω−1F 1/2 K − 3s(s − t + 1) Ω−2F

+ 3

2s Ω−1F−1/2

(

LnF)

+(

1 − Ω2s−2t)

qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

)

nanb

+(

Rcd + s Ω−1F−1/2(

(∂cF ) nd + (∂dF ) nc

)

)

(

P ca nbn

d + P db nan

c)

(1.69)

+(

Ω2t−2sRcd +(

1 − Ω2t−2s)

Rcd − s(3s − t + 1) Ω2t−2s−2F qcd

+ 1

2s Ω2t−2s−1F−1/2

(

LnF)

qcd + s Ω2t−2s−1F 1/2 K qcd

+ (3s − t) Ω2t−2s−1 F 1/2 Kcd −(

1 − Ω2t−2s)

F 1/2(

DcDdF−1/2

)

)

P ca P d

b .

De maneira semelhante, temos como recıproca da equacao (1.67)

nanb Gab = Ω2t nanb Gab − 1

2

(

Ω2s − Ω2t)

R

− 2s Ω2t−1F 1/2K + 3s2 Ω2t−2F(1.70)

e como recıproca da equacao (1.68)

P caP d

b Gcd = Ω2t−2s P ca P d

b Gcd +(

1 − Ω2t−2s)(

Rab − 1

2R qab

)

+ (3s − t) Ω2t−2s−1 F 1/2(

Kab − Kqab

)

+ s(3s − 2t + 2) Ω2t−2s−2 F qab − s Ω2t−2s−1 F−1/2(

LnF)

qab

−(

1 − Ω2t−2s)

(

F 1/2(

DaDbF−1/2

)

− qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

qab

)

(1.71)

1.4 Espacos-tempos assintoticamente planos

Com os resultados dos calculos da secao anterior a nossa disposicao, estamos prontospara apresentar a nossa versao da definicao de um espaco-tempo assintoticamente plano.A definicao que propomos constitui uma ligeira modificacao das definicoes adotadas origi-nalmente por Ashtekar & Romano [10] e subsequentemente por Perng [11]; comentaremosas diferencas logo abaixo.


Definicao 1.3 Dizemos que um espaco-tempo (M, g) admite uma fronteira assin-

toticamente plana ou um bordo assintoticamente plano no infinito espacial

se existe um completamento (M, g, Ω) de (M, g) com as seguintes propriedades:

1. Numa vizinhanca colar de ∂M , a metrica nao-fısica g e a metrica fısica g sao rela-cionadas por um reescalonamento conforme anisotropico, como nas equacoes (1.23)e (1.49), com s = 1 e t = 2:

gab = qab + nanb , gab = Ω2 qab + Ω4 nanb

gab = qab + nanb , gab = Ω−2 qab + Ω−4 nanb. (1.72)

2. O tensor de Einstein fısico satisfaz condicoes de decaimento ao infinito no sentidoque os limites

limΩ→0

nanbGab (1.73)

limΩ→0

Ω−1 P ca ndGcd (1.74)

limΩ→0

Ω−2 P ca P d

b Gcd (1.75)

existem e sao suaves.

Dizemos ainda que o espaco-tempo (M, g) e assintoticamente plano no infinito

espacial se este completamento pode ser escolhido de modo que a fronteira ∂M e difeo-morfa a R×S2 e que e assintoticamente minkowskiano no infinito espacial se,alem disso, a fronteira ∂M for geodesicamente completa na metrica induzida q

∣

∣

∂M.

As diferencas principais entre nossa definicao de uma fronteira assintoticamente planano infinito espacial e as definicoes encontradas nos dois trabalhos ja citados (onde talfronteira e chamada de “asymptote at spatial infinity”) sao as seguintes:

• As condicoes de decaimento para o tensor de Einstein coincidem com as de [11] massao mais fracas que as de [10]. O motivo e que as primeiras sao adequadas enquantoque as ultimas sao fisicamente inaceitaveis. Para justificar esta afirmacao, notamosque as condicoes corretas devem valer para todos os tensores de energia-momentoconhecidos da fısica que descrevem fontes do campo gravitacional localizadas emregioes limitadas, e estes apresentam diversas taxas de decaimento, sendo que amais lenta e a do campo eletrostatico, com potencial de Coulomb ∼ 1/r, campo∼ 1/r2 e densidade de energia ∼ 1/r4. Ocorre que, justamente para este caso, existeuma solucao exata das equacoes de Einstein, estatica e esfericamente simetrica: a


solucao de Reissner-Nordstrom, e como observado em [11] e demonstrado explici-tamente no proximo capıtulo, as condicoes de [10] nao sao satisfeitas neste caso.(Diga-se de passagem que os autores de [10] consideram como exemplo principalde toda a sua metodologia do completamento por reescalonamento conforme ani-sotropico apenas a solucao de Schwarzschild que, sendo uma solucao de vacuo, etotalmente improdutiva para analisar a questao das condicoes de decaimento dotensor de energia-momento: assim, a inadequacao da definicao por eles propostapassou despercebida.) O que ainda falta e verificar se as condicoes de [11] tambemvalem para a solucao de Kerr-Newman.

• A definicao adotada em [11] inclui duas restricoes adicionais que nos omitimos nanossa definicao e que tem o carater de condicoes de normalizacao ou de “calibra-gem”. Na notacao usada aqui, sao

F = 1 em ∂M , (1.76)

e

LF 1/2n

(

F−1qab

)

= 0 em ∂M . (1.77)

Optamos por nao incluir estas restricoes desde o inıcio por motivos a serem discu-tidos logo adiante.

Para facilitar a comparacao, apresentamos na tabela abaixo uma lista de correspondenciasentre objetos na notacao de [10, 11] e na nossa notacao, que acreditamos ser mais siste-matica e portanto mais facil de memorizar.

Na pratica, a definicao de um espaco-tempo assintoticamente plano ou assintoti-camente minkowskiano nao e facil de se verificar, pois pode estar longe de ser obvio comoconstruir uma funcao Ω com as propriedades desejadas. (Por exemplo, pode acontecerque a escolha mais “natural” deixa de providenciar uma extensao suave, como mostra oexemplo da solucao de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom apresentado no proximocapıtulo.) Alem disso, a funcao Ω esta longe de ser unica e portanto e preciso ter umcriterio para decidir quais funcoes levam a completamentos equivalentes. Nesta direcao,note primeiro que se Ω e Ω′ sao duas funcoes na mesma variedade M tais que (M, g, Ω)e (M, g′, Ω′) sao completamentos do mesmo espaco-tempo fısico (M, g), conforme aDefinicao 1.3, entao devemos ter Ω′ = α Ω com uma funcao suave α estritamente positivaem M ,2 e como ambas as funcoes F e F ′ e ambos os campos vetoriais normais n e n′

2Se α tivesse um zero no interior M de M , nao valeria Ω′ > 0 em M , e se α tivesse um zero nobordo ∂M de M , nao valeria dΩ′ 6= 0 em ∂M .


Objeto Notacao de [10, 11] Notacao neste trabalho

Espaco-tempo fısico M M

Completamento M M

Fronteira H ∂M

Metrica fısica gab = Ω−2 qab + l−1 ∂aΩ ∂bΩ gab = qab + nanb

Metrica auxiliar gab = qab + F−1 ∂aΩ ∂bΩ gab = qab + nanb

Normalizacao fısica l F

Normalizacao auxiliar F F

Metrica fısica induzida qab qab

Metrica auxiliar induzida qab qab

Vetor normal fısico na na

Vetor normal auxiliar na F 1/2 na = gab ∂bΩ

2a forma fundamental fısica Kab Kab

admitem extensoes suaves ao bordo ∂M de M , podemos usar a relacao

F ′1/2 n′a = g′ab ∂bΩ′ = Ω′−4 gab ∂bΩ

′ = α−4 Ω−4 gab(

∂bα Ω + α ∂bΩ)

= α−4 Ω−3 gab ∂bα + α−3 Ω−4 gab ∂bΩ

= α−4 Ω−3(

Ω2 qab + Ω4 nanb)

∂bα + α−3 gab ∂bΩ

= α−4 Ω−1 qab ∂bα + α−4 Ω nanb ∂bα + α−3 F 1/2 na ,

para concluir que α deve ser constante no bordo ∂M de M . Por outro lado, segundo aequacao (1.69), temos

P ca ndGcd = P c

a ndRcd = P ca ndRcd + Ω−1F−1/2 P c

a

(

∂cF)

,

mas conforme a condicao (1.74), esta expressao se anula no bordo ∂M de M , o queso e possıvel se F e constante no bordo ∂M de M . Portanto, multiplicando Ω por


uma constante apropriada, podemos garantir a validade da condicao de normalizacao(1.76) e, ao mesmo tempo, concluir que isso determina a funcao Ω completamente ateprimeira ordem, ou seja: se Ω e Ω′ sao duas funcoes na mesma variedade M tais que(M, g, Ω) e (M, g′, Ω′) sao completamentos do mesmo espaco-tempo fısico (M, g) e taisque F = 1 e F ′ = 1 no bordo ∂M de M , entao existe uma funcao suave ω em M tal queΩ′ = Ω+ωΩ2. Conforme argumentado em [10], os completamentos devem ser considera-dos equivalentes se as duas funcoes coincidem nao apenas ate segunda ordem mas mesmoate terceira ordem, ou seja, se ω tambem se anula em ∂M , e portanto a restricao de ωao bordo ∂M de M descreve o que os autores de [10] chamam de “estrutura de segundaordem”, que desempenha um papel importante na definicao de quantidades conservadasassociadas a um espaco-tempo assintoticamente plano, tais como energia-momento(inclusive a massa ADM) e momento angular, em termos de dados assintoticos: nosnao pretendemos perseguir esta linha de raciocınio aqui.

Alem da condicao de normalizacao (1.76) provindo da condicao de decai-mento (1.74) das componentes mistas do tensor de Einstein, ha outra conclusao im-portante que pode ser retirada da condicao de decaimento (1.73) das suas componentespuramente normais e, principalmente, da condicao de decaimento (1.75) das suas com-ponentes puramente tangenciais. Por exemplo, multiplicando a equacao (1.70) por Ω−2

e tomando o limite Ω → 0, obtemos

− 1

2R + 3F = 0 em ∂M ,

enquanto que tomando o limite Ω → 0 na equacao (1.71), obtemos

Rab − 1

2R qab + F qab − F 1/2

(

DaDbF−1/2

)

+ qcd F 1/2(

DcDdF−1/2

)

qab = 0

em ∂M .

Combinando estas equacoes com a equacao (1.76) concluımos que

F = 1 , DaF = 0 , DaDbF = 0 em ∂M

Rab = 2qab , R = 6 em ∂M. (1.78)

Em particular, isso significa que o bordo ∂M de M , com a metrica induzida pela metricanao-fısica q, e um espaco de curvatura constante nao-nula.

Existe ainda a possibilidade de estudar as restricoes impostas sobre a geometriado completamento (M, g, Ω) proximo ao bordo ∂M de M que resultam da analise dascondicoes (1.73), (1.74) e (1.75) na proxima ordem da expansao em termos de potenciasde Ω. Isso leva a condicoes relacionando as derivadas de Lie das quantidades que apa-recem na equacao (1.78) ao longo do campo vetorial normal n com outras quantidades,


principalmente a segunda forma fundamental Kab no bordo ∂M de M , que descreve aparte extrınsica da curvatura do mergulho de ∂M em M . Tambem nao pretendemosperseguir esta linha de raciocınio aqui, pois ela ja foi desenvolvida de forma sistematicaem [11].

Resta apenas comentar o papel da condicao de normalizacao (1.77) que aparente-mente nao pode ser deduzida desta forma, mas constitui uma restricao nao-trivial sobreos completamentos (M, g, Ω) permitidos. Segundo [10] e [11], essa restricao e necessariapara poder definir nao apenas a energia e o momento mas tambem o momento angular doespaco-tempo (M, g). Nao e claro se essa condicao pode sempre ser imposta sem perdade generalidade, atraves de uma mudanca apropriada da funcao Ω dentro de sua classede equivalencia, ou se ela constitui uma hipotese adicional e, neste caso, qual seria o seusignificado fısico. Contudo, parece nao haver contra-exemplos, pois conforme argumen-tado em [11], todos os espacos-tempos estacionarios que sao assintoticamente planos nosentido tradicional [1, 5] sao assintoticamente planos no sentido da definicao de [11], aqual inclui a condicao de normalizacao (1.77).

Capıtulo 2

Solucoes de Schwarzschild e de

Reissner-Nordstrom

A nossa meta principal neste capıtulo e mostrar como as solucoes exatas conhecidas dasequacoes de Einstein estaticas e com simetria esferica, as de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom, se encaixam na definicao de um espaco-tempo assintoticamente plano desen-volvida no capıtulo anterior, sendo que a primeira e uma solucao de vacuo, com tensorde energia-momento identicamente nulo, enquanto que a segunda e caracterizada por umtensor de energia-momento com o decaimento ao infinito mais lento conhecido na fısica,pois e gerado por um campo de longo alcance, o campo eletrostatico de Coulomb. Umadefinicao do conceito de espaco-tempo assintoticamente plano que permite incorporareste exemplo tem boas chances de abranger todas as situacoes de relevancia fısica. (Ou-tro teste extremamente relevante seria investigar as solucoes de Kerr-Newman, que saoapenas estacionarias e apresentam apenas simetria axial, descrevendo espacos-temposcom momento angular nao-nulo, mas nao trataremos deste caso aqui.)

2.1 Solucoes exatas com simetria esferica

Em coordenadas esfericas padrao (t, r, θ, ϕ), a metrica de um espaco-tempo estatico eesfericamente simetrico e dada por

ds2 = − exp (2a(r)) c2 dt2 + exp (2b(r)) dr2 + r2(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

, (2.1)

com duas funcoes a e b da variavel radial r 1 cuja determinacao remonta a solucao dasequacoes de Einstein. Para tanto, e mais conveniente trabalhar no referencial ortonormal

1De maneira invariante, a variavel r pode, em situacoes com simetria esferica, ser caracterizada comoo unico parametro rotulando as orbitas sob o grupo SO(3) como esferas cuja area, medida pela metricainduzida, vale 4πr2; esta condicao fixa o coeficiente do termo dθ2 + sin2θ dϕ2 como sendo igual a r2.

31

32 Solucoes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom

e0, e1, e2, e3 de campos vetoriais definido por

e0 = exp (−a(r))1

c

∂

∂t, e2 =

1

r

∂

∂θ

e1 = exp (−b(r))∂

∂r, e3 =

1

r sin θ

∂

∂ϕ

(2.2)

e no referencial ortonormal dual e0, e1, e2, e3 de 1-formas dado por

e0 = exp (a(r)) c dt , e2 = r dθ

e1 = exp (b(r)) dr , e3 = r sin θ dϕ(2.3)

o que, apos um calculo padrao, leva as seguintes expressoes para as componentes dotensor de Einstein neste referencial:

G00 =2b′

rexp (−2b) +

1 − exp (−2b)

r2,

G11 =2a′

rexp (−2b) −

1 − exp (−2b)

r2,

G22 = −(

a′b′ − a′′ − (a′)2 −a′ − b′

r

)

exp (−2b) = G33 .

(2.4)

No caso da solucao de Schwarzschild, este e identicamente nulo, mas no caso da solucao deReissner-Nordstrom, ha como campo de materia um campo eletrostatico com potencialdado pela 1-forma

A = f(r) c dt = f(r) exp (− a(r)) e0 (2.5)

e tensor de campo dado pela 2-forma

F = − f ′(r) c dt ∧ dr = − f ′(r) exp (− (a(r) + b(r))) e0∧ e1 , (2.6)

com uma terceira funcao f da variavel radial r, o que leva as seguintes expressoes paraas componentes do tensor de energia-momento neste referencial:

T00 =1

2µ0

f ′ 2 exp (−2(a + b)) ,

T11 = −1

2µ0

f ′ 2 exp (−2(a + b)) ,

T22 =1

2µ0

f ′ 2 exp (−2(a + b)) = T33 .

(2.7)

Aqui, µ0 denota a constante magnetica ou permeabilidade do vacuo.2

2Veja os comentarios referentes a sistemas de unidades no fim desta secao.

Solucoes exatas com simetria esferica 33

As funcoes a, b e f sao determinadas pela solucao das equacoes de Einstein-Maxwell,sendo que as equacoes de Einstein,

Gab =8πγ

c4Tab , (2.8)

onde γ denota a constante gravitacional de Newton,2 providenciam duas equacoes inde-pendentes e as equacoes de Maxwell (no vacuo),

gab ∇aFbc = 0 , (2.9)

providenciam uma terceira:

f ′′ +2

rf ′ − f ′

(

a′ + b′)

= 0 . (2.10)

Impondo as condicoes assintoticas

limr→∞

a(r) = 0 , limr→∞

b(r) = 0 , limr→∞

f(r) = 0 , (2.11)

podemos prosseguir da seguinte maneira. Em primeiro lugar, simplificamos o sistemasomando as componentes 00 e 11 das equacoes de Einstein, o que implica que

a + b = 0 .

Em segundo lugar, usamos este fato para resolver a equacao de Maxwell, o que levaa conclusao de que f(r) e proporcional a 1/r (potencial de Coulomb). Em terceirolugar, inserimos este resultado na componente 00 ou 11 das equacoes de Einstein paradeduzir uma equacao diferencial para a funcao r exp (2a(r)) que e facil de resolver. Comoresultado final, obtemos a expressao tradicional para a metrica de Reissner-Nordstrom,

ds2 = − σ(r) c2dt2 + σ(r)−1 dr2 + r2(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

, (2.12)

com tensor de Einstein dado por

G =r2Q

4r4

(

σ(r) c2dt2 − σ(r)−1 dr2 + r2(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

, (2.13)

que deve ser complementada pelas expressoes para o potencial eletrostatico e o campoeletrostatico de Coulomb,

A =Q

4πε0 κ

1

rdt , F =

Q

4πε0 κ

1

r2dt ∧ dr , (2.14)


com o tensor de energia-momento padrao,

T =Q2

32π2ε0

1

r4

(

σ(r) c2dt2 − σ(r)−1 dr2 + r2(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

, (2.15)

onde ε0 denota a constante dieletrica do vacuo,2 e onde usamos a abreviacao

σ(r) = 1 −rM

r+

r2Q

4r2. (2.16)

Aqui, rM e rQ sao dois comprimentos caracterısticos do problema definidos, respectiva-mente, pela massa M e pela carga Q localizadas na origem r = 0 deste sistema decoordenadas, onde tanto a metrica como o campo eletromagnetico sao singulares: umdeles e o tradicional raio de Schwarzschild

rM =2γM

c2, (2.17)

enquanto que o outro e definido por

rQ =

√

γ

πε0

Q

c2. (2.18)

Em situacoes de relevancia fısica, temos rQ < rM (e na verdade, rQ rM), de modoque a funcao σ tem dois zeros simples nos pontos

r± =rM

2

(

1 ±√

1 − r2Q/r2

M

)

, (2.19)

sendo positiva na regiao exterior definida por r+ < r < ∞ e na regiao interior definidapor 0 < r < r− , mas negativa na regiao intermediaria definida por r− < r < r+ : essasregioes sao separadas por um horizonte externo localizado em r = r+ e um horizonteinterno localizado em r = r− . A seguir, consideraremos apenas a regiao exterior, fora dohorizonte externo, onde (ao contrario da regiao intermediaria) as variaveis r e t mantemseus papeis tradicionais, com ∂/∂t tipo-tempo e ∂/∂r tipo-espaco.

Obviamente, a solucao de Reissner-Nordstrom contem como caso especial asolucao de Schwarzschild: basta escolher Q = 0.

Quanto a escolha das constantes nas formulas acima, notamos que estas se apli-cam em qualquer sistema de unidades, sendo que as constantes ε0 (a constante dieletricado vacuo), µ0 (a constante magnetica ou permeabilidade do vacuo) e a constante κ queaparece na lei de inducao de Faraday na forma

∇ × E = − κ∂B

∂t

e que assume o valor 1 (em sistemas de unidades assimetricos, principalmente o SI) ou 1/c(em sistemas de unidades simetricos, como os de Gauss ou Heaviside), sao relacionadascom a velocidade da luz c pela formula universal ε0µ0(κc)2 = 1.

Completamento conforme anisotropico 35

2.2 Completamento conforme anisotropico

Desejamos agora aplicar a metodologia do reescalonamento conforme anisotropico desen-volvida no primeiro capıtulo a solucao de Reissner-Nordstrom, que contem a de Schwarz-schild como caso especial. Para tanto, adotaremos o mesmo procedimento de [10], intro-duzindo coordenadas hiperbolicas (τ, ρ, θ, ϕ) definidas por 2

ct = ρ sinh τ

r = ρ cosh τ, (2.20)

de modo que, reciprocamente,

ρ =√

r2 − c2t2

τ = tanh−1(

ct/r)

(2.21)

e em seguida passamos a coordenadas (Ω, τ, θ, ϕ) com

Ω =1

ρ. (2.22)

Entao o tensor metrico de Reissner-Nordstrom e o seu tensor de Einstein sao dados pelasexpressoes

ds2 = − ρ2(

σ cosh2τ − σ−1 sinh2τ)

dτ 2

+ 2ρ sinh τ cosh τ(

σ−1 − σ)

dρ dτ

+(

σ−1 cosh2τ − σ sinh2τ)

dρ2

+ ρ2 cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

(2.23)

e

G =r2Q

4(ρ cosh τ)4

(

ρ2(


dτ 2

− 2ρ sinh τ cosh τ(

σ−1 − σ)

dρ dτ

−(


dρ2

+ ρ2 cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

,

(2.24)

com

σ(ρ) = 1 −rM

ρ cosh τ+

r2Q

4(ρ cosh τ)2, (2.25)

2Usamos a letra τ , em vez de χ, para sugerir que se trata de uma variavel tipo tempo.


ouds2 = Ω−4

(


dΩ2

− 2Ω−3 sinh τ cosh τ(

σ−1 − σ)

dΩ dτ

+ Ω−2

(

−(


dτ 2

+ cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

(2.26)

e

G =r2Q Ω4

4 cosh4τ

(

− Ω−4(


dΩ2

+ 2Ω−3 sinh τ cosh τ(

σ−1 − σ)

dΩ dτ

+ Ω−2

(

(


dτ 2

+ cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

)

,

(2.27)

com

σ(Ω) = 1 −rM Ω

cosh τ+

r2Q Ω2

4 cosh2τ. (2.28)

Calculando a matriz inversa gab da matriz gab representada pela equacao (2.26) e usandoque F = gΩΩ e

n[ = F−1/2 dΩ , (2.29)

assim como qab = gab − nanb , obtemos por um calculo elementar

F = Ω4(


(2.30)

e

n = F−1/2

(

F∂

∂Ω− Ω3 sinh τ cosh τ

(

σ−1 − σ) ∂

∂τ

)

, (2.31)

assim como

q = − F−1 sinh2τ cosh2τ(

σ−1 − σ)2

dΩ2


σ−1 − σ)

dΩ dτ

+ Ω−2

(

−Ω−4F dτ 2 + cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

.

(2.32)

Reescalonando q e n com a segunda potencia de Ω, obtemos

F = σ cosh2τ − σ−1 sinh2τ (2.33)

e

n = F−1/2

(

F∂

∂Ω− Ω−1 sinh τ cosh τ

(

σ−1 − σ) ∂

∂τ

)

, (2.34)


assim comoq = − Ω−2F−1 sinh2τ cosh2τ

(

σ−1 − σ)2

dΩ2


σ−1 − σ)

dΩ dτ

− F dτ 2 + cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

.

(2.35)

Notamos que potencias negativas de Ω sempre aparecem como potencias da combinacaoΩ−1 cosh τ

(

σ−1 − σ)

e que esta e inocua, pois como funcao de Ω (ou melhor, deΩ/ cosh τ = 1/r) a funcao σ satisfaz σ(0) = 1 e assim a expressao

Ω−1 cosh τ1 − σ2

σ

e uma funcao racional de Ω/ cosh τ = 1/r e nao-singular na origem.

Inspecao direta das equacoes (2.27) e (2.33) revela agora que o tensor de Einsteinda metrica de Reissner-Nordstrom satisfaz as condicoes de decaimento (1.73), (1.74)e (1.75) e que vale a condicao de normalizacao (1.76), mas que nao satisfaz as condicoesde decaimento

limΩ→0

Ω−1Gab = 0

(uniformemente para todas as componentes) exigidas em [10].

O maior inconveniente do calculo que acabamos de apresentar consiste no fatode que no sistema de coordenadas (Ω, τ, θ, ϕ) utilizado acima, o tensor metrico nao e dia-gonal. Note que isso nao constitui um problema maior ou de princıpio, mas apenas umacomplicacao que a primeira vista parece desnecessaria, uma vez que a solucao de Reissner-Nordstrom e estatica e esfericamente simetrica, o que deveria nos permitir trabalhar comcoordenadas em que a metrica e diagonal, o que simplificaria os calculos. Isso e defato possıvel se substituırmos a variavel radial padrao r pela coordenada tartaruga r∗ deRegge-Wheeler, que e definida como a integral da componente radial da metrica relativoa variavel radial r, ou seja, como a solucao da equacao

dr∗dr

= σ(r)−1 . (2.36)

Explicitamente, podemos usar que

σ(r)−1 =r2

(r − r+)(r − r−)=

1

r+ − r−

(

r2

r − r+

−r2

r − r−

)

=1

r+ − r−

(

r+ r

r − r+

−r− r

r − r−

)

(2.37)

= 1 +1

r+ − r−

(

r2+

r − r+

−r2−

r − r−

)

,


para integrar esta equacao diretamente:

r∗ = r +r2+

r+ − r−ln

( r

r+

− 1)

−r2−

r+ − r−ln

( r

r−− 1

)

. (2.38)

Observe que esta formula define um difeomorfismo

]r+,∞[ −→ R

r 7−→ r∗. (2.39)

Poderıamos entao efetuar a mesma transformacao para coordenadas hiperbolicas(τ, ρ, θ, ϕ) como acima, so que com r∗ no lugar de r,

ct = ρ sinh τ

r∗ = ρ cosh τ, (2.40)

de modo que, reciprocamente,

ρ =√

r2∗ − c2t2

τ = tanh−1(

ct/r∗)

(2.41)

e definir

Ω =1

ρ. (2.42)

Um simples calculo mostra entao que, no sistema de coordenadas (Ω, τ, θ, ϕ) assim de-finido, o tensor metrico de Reissner-Nordstrom e o seu tensor de Einstein sao dadospor

ds2 = Ω−4 σ(r) dΩ2 + Ω−2

(

− σ(r) dτ 2 +r2

r2∗

cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

(2.43)

e

G =r2Q

4r4

(

− Ω−4 σ(r) dΩ2 + Ω−2

(

σ(r) dτ 2 +r2

r2∗

cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

)

)

. (2.44)

Infelizmente, nao existe uma expressao elementar que permita inverter a relacao (2.38)e obter r como funcao explıcita de r∗ ou de τ e ρ ou de τ e Ω, respectivamente.De qualquer forma, temos

Ω → 0 =⇒ r∗ → ∞ ⇐⇒ r → ∞ (2.45)


e, neste limite,r∗r

→ 1 ,dr∗dr

→ 1 , (2.46)

o que sugere introduzir uma metrica nao fısica por

ds2 = σ(r) dΩ2 − σ(r) dτ 2 +r2

r2∗

cosh2τ(

dθ2 + sin2θ dϕ2)

. (2.47)

O problema principal deste procedimento e que no limite (2.45), esta metrica e contınuamas nao e suave, pois as primeiras derivadas das suas componentes gθθ e gϕϕ divergemlogaritmicamente neste limite. De fato, como para qualquer funcao φ so de r, temos

∂φ

∂Ω=

dρ

dΩ

∂r∗∂ρ

dr

dr∗

dφ

dr= −Ω−2 cosh τ σ

dφ

dr

e

d

dr

(r2

r2∗

)

= − 2(r∗

r

)−3 d

dr

(r∗r

)

= − 2(r∗

r

)−3(

r2+

r+ − r−

d

dr

(1

rln

( r

r+

− 1))

−r2−

r+ − r−

d

dr

(1

rln

( r

r−− 1

))

)

= − 2(r∗

r

)−3(

r2+

r+ − r−

1

r(r − r+)−

r2+

r+ − r−

1

r2ln

( r

r+

− 1)

−r2−

r+ − r−

1

r(r − r−)+

r2−

r+ − r−

1

r2ln

( r

r−− 1

)

)

,

vale

∂

∂Ω

(r2

r2∗

)

=2σ

cosh τ

r∗r

(

r2+

r+ − r−

r

r − r+

−r2+

r+ − r−ln

( r

r+

− 1)

−r2−

r+ − r−

r

r − r−+

r2−

r+ − r−ln

( r

r−− 1

)

)

.

Portanto, com esta escolha de coordenadas e da funcao Ω, ambas as metricas (a fısicae a nao-fısica) sao diagonais, mas a metrica nao-fısica deixa de ser suave no bordo eportanto o formalismo desenvolvido no primeiro capıtulo nao e diretamente aplicavel.Assim, nos vemos forcados a abandonar este sistema de coordenadas e voltar ao sistemade coordenadas introduzido anteriormente, apesar do inconveniente de ter que trabalharcom metricas nao-diagonais.


Conclusao

Neste trabalho, iniciamos uma abordagem sistematica do problema de descrever a estru-tura assintotica de variedades lorentzianas no infinito espacial por meio da introducao deuma metrica auxiliar relacionada com a metrica fısica do espaco-tempo por um “reesca-lonamento conforme anisotropico”. Trata-se de uma nocao que ja aparece nos trabalhosde Ashtekar & Romano [10] e Perng [11], porem apenas de forma implıcita, e que gene-raliza o reescalonamento conforme usual (que chamamos de “isotropico”) ja introduzidopor Hermann Weyl e usado por Roger Penrose para descrever a estrutura assintoticade variedades lorentzianas no infinito tipo-luz. Mostramos como este metodo permitecontrolar, de maneira natural, o comportamento assintotico do tensor metrico e de ou-tros campos fısicos no infinito espacial, o que e essencial para entender-se a estrutura deespacos-tempos assintoticamente planos. Como uma das primeiras consequencias, che-gamos a conclusao de que o bordo de tais espacos-tempos e um espaco (tridimensional elorentziano) de curvatura constante. Tambem analisamos os exemplos nao-triviais maissimples, as solucoes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstrom, e mostramos como seenquadram na nossa definicao de um espaco-tempo assintoticamente plano. Uma tarefaque ainda esta em aberto seria estender esta analise aos demais exemplos conhecidos,i.e., as solucoes de Kerr e de Kerr-Newman.

Por outro lado, ja existe na literatura toda uma teoria geral de espacos-temposassintoticamente planos, cujo desenvolvimento se iniciou nos anos 60 com a definicaoda massa ADM [1] e de outras quantidades conservadas (energia-momento, momentoangular etc). E notavel como esta teoria progrediu apesar da ausencia de uma definicaoclara e simples do conceito de um espaco-tempo assintoticamente plano: as varias versoesdesta definicao propostas ate recentemente sao todas tecnicamente complicadas e poucotransparentes. Sendo assim, coloca-se a tarefa de reformular as definicoes e os resultadosprincipais da teoria dentro da nova metodologia aqui proposta, o que envolve (pelo menos)os seguintes problemas:

41

42

• Analisar a questao de equivalencia entre completamentos obtidos por diferentesfuncoes de reescalonamento;

• Completar a analise das consequencias das condicoes de fronteira impostas sobre otensor de curvatura, o que requer:

– complementar a relacao entre os tensores de Einstein, ou Ricci, com umarelacao analoga entre os tensores de Weyl, e analisar as suas consequenciasquando se efetua uma expansao em potencias da funcao de reescalonamento;

– estender a analise da expansao das condicoes de fronteira impostas sobre otensor de curvatura em potencias da funcao de reescalonamento a ordens su-periores;

• Reformular as nocoes de “campos fısicos assintoticamente regulares” e de seus“resıduos” empregadas por Perng [11] como condicoes de regularidade no bordousando a metrica auxiliar.

Observamos que todas estas questoes ja foram abordadas em [10, 11], porem separando-se sempre as componentes tangenciais das componentes normais, ou seja, sem fazer usosistematico da metrica auxiliar obtida pelo reescalonamento conforme anisotropico.

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43

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€¦ · Resumo Neste trabalho investigamos a base matem atica de uma nova t ecnica para relacionar duas m etricas em uma dada variedade que propomos chamar de \reescalonamento con-forme