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1 (Y...) Física Quântica P2 Linhas espectrais Em 1665, Isaac Newton observou que quando a luz solar passava por um prisma ela formava um espectro com as cores do arco-íris. Em 1802, Willian Hyde Wollastone observou a formação de linhas escuras no espectro quando a luz passa por uma fresta formada por colimadores. Linhas de Fraunhoffer Até 1826, Joseph Von Fraunhofer já havia observado 574 linhas escuras no espectro solar. Essas linhas passaram a ser chamadas de linhas de Fraunhoffer. As linhas observadas por Fraunhofer sempre estavam posicionadas no mesmo local, sendo umas mais finas e outras mais grossas. Kirchhoff e Bunsen Em 1856, Robert Wilhelm inventou o bico de Bunsen. A chama do bico de Bunsen era incolor. A cor da chama sofria alterações quando elementos diferentes eram queimados nela, ou seja, cada elemento produzia uma cor de chama. A razão para a variação das cores está no fato de que cada elemento queima em uma temperatura, e, como já se sabe, cada temperatura corresponde a uma cor diferente no espectro visível. Neste ano, Gustav Robert Kirchhoff, sugeriu analisar a coloração das chamas através de um prisma colocado entre duas lunetas. Este aparato permitiria ajustar o foco e analisar somente a cor característica do elemento que está sendo queimado. A partir o seu experimento, Kirchhoff determinou a cor para alguns elementos: Oxigênio: vermelho; Sódio: amarelo; Hidrogênio: verde; Ferro: azul; Cálcio: violeta.

Resumo Quantica

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Resumo Quantica

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  • 1 (Y...) Fsica Quntica P2

    Linhas espectrais

    Em 1665, Isaac Newton observou que quando a luz solar passava por um prisma

    ela formava um espectro com as cores do arco-ris.

    Em 1802, Willian Hyde Wollastone observou a formao de linhas escuras no

    espectro quando a luz passa por uma fresta formada por colimadores.

    Linhas de Fraunhoffer

    At 1826, Joseph Von Fraunhofer j havia observado 574 linhas escuras no

    espectro solar. Essas linhas passaram a ser chamadas de linhas de Fraunhoffer.

    As linhas observadas por Fraunhofer sempre estavam posicionadas no mesmo

    local, sendo umas mais finas e outras mais grossas.

    Kirchhoff e Bunsen

    Em 1856, Robert Wilhelm inventou o bico de Bunsen. A chama do bico de

    Bunsen era incolor.

    A cor da chama sofria alteraes quando elementos diferentes eram queimados

    nela, ou seja, cada elemento produzia uma cor de chama. A razo para a variao das

    cores est no fato de que cada elemento queima em uma temperatura, e, como j se

    sabe, cada temperatura corresponde a uma cor diferente no espectro visvel.

    Neste ano, Gustav Robert Kirchhoff, sugeriu analisar a colorao das chamas

    atravs de um prisma colocado entre duas lunetas. Este aparato permitiria ajustar o foco

    e analisar somente a cor caracterstica do elemento que est sendo queimado.

    A partir o seu experimento, Kirchhoff determinou a cor para alguns elementos:

    Oxignio: vermelho;

    Sdio: amarelo;

    Hidrognio: verde;

    Ferro: azul;

    Clcio: violeta.

  • 2 (Y...) Fsica Quntica P2

    A luz produzida pelas lmpadas incandescentes produz espectros semelhantes ao

    do sol:

    Outro experimento pode ser executado trocando a fonte de emisso de luz: troca-

    se a lmpada incandescente por um tubo com H2. Para que o gs passe a emitir radiao

    eletromagntica, necessrio aplicar corrente no tubo do gs (ou ento pode-se

    submeter o elemento a elevadas temperaturas).

    A radiao eletromagntica produzida difratada no prisma. Em seguida,

    observam-se linhas no anteparo com cores diferentes da cor verde observada em

    experimentos sem o prisma. O conjunto de linhas espectrais produzidas pelo hidrognio

    ser caracterstico deste elemento, servindo assim como uma impresso digital do

    elemento.

    A cor verde observada nos experimentos anteriores produzida pela soma das

    cores das linhas espectrais.

  • 3 (Y...) Fsica Quntica P2

  • 4 (Y...) Fsica Quntica P2

    Outra experincia

    Realizou-se outra experincia para observao de espectros, tambm utilizando

    gs hidrognio. Neste experimento utilizou-se lmpadas como fonte de radiao

    eletromagntica e colocou-se gs hidrognio frio entre a fenda e o prisma.

    Os resultados produzidos pela difrao eram linhas escuras exatamente nas

    mesmas posies das linhas coloridas observadas no experimento anterior.

    Obs: a tela aparece na cor roxa por problemas na imagem, na verdade deveria

    aparecer o espectro do arco ris.

    A partir destes resultados possvel explicar as 574 linhas obtidas por

    Frounhofer: quando Frounhofer realizou seu experimento entre o Sol (responsvel por

    produzir a radiao eletromagntica em estudo) e o prisma de seu laboratrio, existiam

    diversos gases no meio, cada um deles era responsvel por produzir algumas das linhas

    escuras observadas.

    Leis de Kirchhoff

    A partir dos experimentos realizados com a radiao solar, com o gs aquecido e

    com o gs resfriado, Kirchhoff props 3 leis:

    Um corpo opaco quente, slido, lquido ou gasoso, emite um espectro contnuo.

    Um gs transparente a baixa presso e a temperatura suficientemente alta produz

    um espectro de linhas de emisso. O nmero e a posio das linhas dependem dos

    elementos qumicos presentes no gs. Portanto, o uso de um gs quente produz um

    espectro de emisso.

    Se um espectro contnuo passar por um gs temperatura mais baixa, o gs frio

    provoca o aparecimento de linhas escuras na tela. A quantidade e a posio destas linhas

    dependem dos elementos qumicos presentes no gs. Portanto, o uso de um gs frio

    produz um espectro de absoro.

  • 5 (Y...) Fsica Quntica P2

    A partir de avanos tecnolgicos foi possvel aperfeioar as medies das linhas

    espectrais, relacionando cada linha ao seu respectivo comprimento de onda.

    Padronizou-se que a linha observada no maior comprimento de onda, ou na de

    menor frequncia seria chamada de H, a segunda de H e assim por diante.

    A seguir, segue o espectro da radiao do hidrognio na regio do visvel e

    ultravioleta prximo.

  • 6 (Y...) Fsica Quntica P2

    H apresenta comprimento de onda maior e menor frequncia do que H.

    No final do sculo XIX sabia-se que quando cargas negativas eram aceleradas

    estas produziam radiao, assim, ao observar a emisso de radiao por parte dos

    tomos supe-se que os tomos possuam cargas negativas, de modo que as cargas

    negativas seriam as responsveis pelo padro caracterstico produzido pelos tomos.

    Em virtude desta anlise, tornou-se fundamental estudar a estrutura atmica.

    Balmer

    Em 1885, Balmer numerou as linhas espectrais em 1, 2, 3 e etc., ou seja, cada

    linha correspondia um valor de n.

    Construindo um grfico da frequncia pelo inverso do nmero da linha espectral ao quadrado (1/n

    2) obtm-se uma reta, como representado no grfico abaixo:

    A frmula obtida por Balmer capaz de descrever as posies das linhas escuras

    produzidas por gs hidrognio no espectro visvel e ultravileta prximo.

    Observa-se que o menor valor de n 3, isto , a primeira linha do espectro do

    hidrognio corresponde a n = 3, a segunda linha do espectro corresponde a n = 4, e

    assim, por diante.

    Analisando o espectro do hidrognio, observa-se que as linhas escuras se tornam

    mais prximas quanto menores forem os comprimentos de onda e mais altas forem as

    frequncias, a partir deste grfico possvel efetuar a mesma anlise, uma vez que os

    pontos 6 e 7 esto muito mais prximos que os pontos 3 e 4.

  • 7 (Y...) Fsica Quntica P2

    Matematicamente

    Dividindo a expresso de Balmer pela velocidade da luz:

    Sabendo que /c = 1/:

    Ao considerarmos valores muito grandes de n, tem-se:

    = 3.647

    O valor de 3.647 corresponde ao limite da srie, ou seja, este o menor

    comprimento de onda que pode ser observado.

    Lyman e Paschen

    Em 1906 e 1908, Lyman e Paschen determinam sries equivalentes s

    observadas por Balmer para outras regies do espectro (ultravioleta e infravermelho),

    utilizando-se de melhorias tecnolgicas obtidas neste intervalo de tempo.

    Posteriormente, outras sries foram determinadas para outras regies do

    espectro.

    Johannes Rydberg generalizou a frmula de Balmer para qualquer regio do

    espectro, chamando o valor de 109.680 como constante de Rydberg (RH), considerando

    n2 > n1.

  • 8 (Y...) Fsica Quntica P2

    Cada srie existente para o espectro apresenta seus prprios valores de n1 e

    valores mnimos de n2, conforme tabela abaixo:

    Contudo, como j mencionado, estas observaes foram realizadas para o tomo

    de hidrognio. Para os demais tomos possvel obter valores razoveis trocando o

    valor de RH, contudo, para melhores resultados, deve-se utilizar a frmula abaixo:

    A frmula foi obtida empiricamente. (m, e ) o nome do termo espectral, o nmero de onda de qualquer espectro atmico pode ser obtido pela diferena entre os

    dois termos espectrais. e so constantes caractersticas de cada tomo.

    Mosley

    Em 1913, Mosley descobriu a relao entre o nmero atmico e o inverso do

    comprimento de onda, a partir de experimentos utilizando Raios-X.

    Ao inverter o grfico de Balmer, Mosley obteve um grfico de n em funo da

    raiz quadrada da frequncia.

  • 9 (Y...) Fsica Quntica P2

    Cada valor de n representava um elemento. Moseley mediu 38 elementos, alguns

    valores de n no eram conhecidos, ou seja, representavam os elementos que seriam

    descobertos.

    A partir da observao desta periodicidade foi possvel aperfeioar a tabela

    peridica proposta por Mendeleev, a qual baseava-se nas massas atmicas, fato que

    provocava inconsistncias por exemplo, o argnio.

    ni e nf so nmeros qunticos inteiros;

    uma constante que depende da linha espectral;

    RH a constante de Rydberg;

    Z o nmero atmico.

    Modelos atmicos

    O primeiro modelo atmico foi proposto por Leucipo de Mileto, em 440 a.C., o

    qual considerava o tomo como uma estrutura indivisvel e homognea sem nenhuma

    estrutura interna. Os tomos se diferenciavam em tamanho, forma e peso.

  • 10 (Y...) Fsica Quntica P2

    Contudo, os experimentos de Balmer comprovava que o tomo era composto por

    partculas menores: partculas carregadas negativamente.

    Thomson props um modelo que ficou conhecido como pudim com passas, o

    qual consistia de uma gelatina positiva, na qual cargas negativas estavam incrustadas.

    Contudo, a partir das caractersticas descritas para este modelo, todos os eltrons seriam

    iguais, e, portanto, quando o tomo fosse aquecido seus eltrons emitiriam radiaes

    exatamente iguais, o que provocaria somente uma linha espectral. Como j mencionado,

    os tomos apresentavam mais de uma linha espectral, significando que seus eltrons no

    eram equivalentes, derrubando assim o modelo proposto por Thomson.

    Modelo de Rutherford

    Em 1911, Ernest Rutherford realizou experimentos que visavam analisar o

    modelo proposto por Thomson.

    O experimento consistia em incidir radiao (ncleo de tomos de He, portanto, carregadas positivamente) emitida por elementos radioativos, em folhas de

    ouro (a escolha do ouro se deveu ao fato de ser dctil, o que possibilitou a produo de

    folhas finas).

    Segundo o modelo de Thomson a radiao atravessaria o tomo:

    Assim, seria possvel observar apenas pequenas variaes na trajetria das

    partculas , em virtude da interao entre as partculas negativas do tomo e a carga positiva da radiao.

    Porm, os resultados obtidos no experimento diferiam-se do esperado,

    esquematicamente, observou-se:

    Rutherford observou que algumas partculas eram ricocheteadas de volta, outras

    sofriam grandes desvios e a maioria atravessa as folhas de ouro sem sofrer qualquer

    alterao em sua trajetria.

  • 11 (Y...) Fsica Quntica P2

    Hipteses de Rutherford

    O fato do espalhamento das partculas alfa ocorrer somente acima de alguns graus eliminava a possibilidade do espalhamento por eltrons;

    O espalhamento ocorria principalmente devido a interao coulombiana entre partculas e o tomo;

    Os tomos considerados so tomos pesados, isto , suas massas so to grandes em relao s massas do eltron que durante o espalhamento no

    ocorre o recuo do tomo.

    Modelo proposto

    O modelo consistia de um ncleo denso carregado por partculas positivas, em

    torno do qual, partculas negativas com massa muito menor realizavam movimentos na

    forma de rbitas:

    O deslocamento das partculas alfa obedece a seguinte expresso:

    N: nmero de partculas desviadas;

    t: espessura do alvo (quanto mais tomos, mais espessa seria o alvo);

    : nmero de ncleos por centmetro quadrado (quanto mais denso, mais alvos);

    I: nmero de partculas alfa incidentes (quanto mais partculas, maiores as chances de ocorrerem espalhamentos);

    : ngulo de espalhamento;

    ze: carga das partculas alfa

    M: massa das partculas alfa;

    v: velocidade das partculas alfa;

    Ze: carga do ncleo.

    1/4o: constante de permissividade eltrica (considerada porque a interao coulombina);

    Mv2: relacionada a energia cintica, quanto mais rpida a partcula alfa, menor ser a interao.

  • 12 (Y...) Fsica Quntica P2

    A partir deste experimento, foi determinado o raio atmico como igual a 3x10-

    14m. Baseando-se nos valores atuais, observa-se que este valor difere um pouco do valor

    correto. A diferena foi provocada pelo fato de que as partculas alfas no se chocam

    com os ncleos (a interao coulombica provoca repulso antes do choque), assim, a

    interao ocorre a uma distncia maior do que o tamanho do dimetro do ncleo.

    O modelo atmico proposto por Rutherford era estvel do ponto de vista

    mecnico, mas o modelo no estava completamente correto: o fato do eltron estar

    acelerado em torno do ncleo implicava no fato de que o eltron deveria emitir radiao

    (segundo a teoria clssica eletromagntica), provocando perda de energia, de modo que

    a acelerao centrpeta diminuiria, reduzindo assim a rbita do eltron at que este

    casse no ncleo, portanto, o modelo apresentava uma inconsistncia com a teoria

    eletromagntica.

    Modelo atmico de Bohr

    O modelo proposto por Bohr, em 1913, combinava ideias de Planck, Einstein e

    Rutherford: consistia em um ncleo massivo de carga positiva, em torno do qual

    estavam os eltrons em rbitas no radiantes, chamadas de estados estacionrios.

    A introduo da ideia de estados estacionrios visava eliminar a ideia de que,

    pelo fato dos eltrons se moverem ao redor do ncleo, estes emitiriam radiao e

    consequentemente perderiam energia, assim, ao propor estados estacionrios tem-se um

    modelo no qual os eltrons no emitem radiao, e, portanto, no perdem energia,

    consequentemente no se aproximam do ncleo.

    A ideia de estados estacionrios um dos postulados de Bohr.

    A energia dos eltrons s seria alterada quando este mudassem de estado

    estacionrio, sendo que:

    Emite fton quando migra de um estado estacionrio mais longe do ncleo para um estado estacionrio mais perto (quando migra de um

    estado excitado para um estado menos excitado);

    Absorve fton, quando migra de um estado estacionrio mais perto do ncleo para um estado mais longe (quando migra de um nvel menos

    excitado para um nvel mais excitado).

  • 13 (Y...) Fsica Quntica P2

    Aplicao do modelo de Bohr na explicao das linhas espectrais

    Incide-se radiao composta por todas as cores sobre um tomo. Experincias

    anteriores, e j mencionadas, geravam espectros de cores com linhas escuras em

    algumas regies do espao. Este resultado decorre do fato de que o tomo que recebeu

    radiao tinha um eltron que possua uma determinada energia, por exemplo, energia

    correspondente a comprimento de onda de cor verde, assim, a radiao da cor verde era

    absorvida por este eltron e no atingia o anteparo, no seu lugar formava-se uma linha

    preta.

    Ao incidir a radiao com todas as cores sobre o tomo, o eltron ser excitado

    pela radiao de cor verde e mudar de estado estacionrio absorvendo energia daquele

    comprimento de onda, como consequncia, o espectro obtido apresentar uma faixa

    escura na regio verde.

    Pelo fato do eltron absorver energia desta radiao, tem-se o espectro de

    absoro.

  • 14 (Y...) Fsica Quntica P2

    Para que ocorra a mudana de estado estacionrio necessrio que seja

    fornecido a quantidade exata de energia ao eltron, da mesma forma, a luz emitida por

    um dado eltron ter sempre a mesma quantidade de energia.

    A excitao dos eltrons pode ocorrer atravs do fornecimento de energia (j

    mencionado), pela variao de temperatura ou por descarga eltrica.

    A seguir a representao de alguns espectros de absoro:

    O espectro da estrela estudado para descobrir qual a sua composio.

    Emisso x absoro

    A partir do modelo atmico de Rutherford- Bohr foi possvel explicar as leis de

    Kirchhoff:

    Gs quente: So espectros que so emitidos pelas substncias aps absorver determinada radiao. So espectros com fundo preto e riscas coloridas no caso

    de se tratar dum espectro de emisso descontnuo (so emitidos pelos tomos de

    substncias elementares, no estado gasoso e a presso reduzida, quando sujeitos

    a descargas elctricas de alta voltagem) e no caso de no apresentar qualquer

    risca preta denomina-se espectro de emisso contnuo o caso do espectro da

    luz branca, e da luz emitida por slidos, lquidos e gases incandescentes a alta

    presso.

  • 15 (Y...) Fsica Quntica P2

    Gs frio: Ao incidir luz sobre um tomo, ou seja, ftons sobre eltrons, ocorre a absoro de energia dos ftons por parte dos eltrons produzindo as linhas

    escuras no espectro. Sabe-se que o eltron excitado poder voltar ao seu estado

    estacionrio original, contudo, a linha preta ser formada da mesma maneira,

    isso ocorre porque o fton emitido com o regresso do eltron emitido em todas

    as direes, e dificilmente ser emitido na mesma direo colimada e analisada

    no prisma.

    Matematicamente

    A energia do eltron dada como a soma da energia cintica com a energia

    potencial, sendo esta igual a energia potencial eletrosttica.

    No eltron a fora atrativa eletrosttica ser igual a fora centrpeta (necessria

    para que o eltron se mova em um crculo de raio r com velocidade v).

    Portanto, a energia cintica igual a metade do mdulo da energia potencial:

    Portanto a energia total (soma da energia cintica com a energia potencial) ser

    de:

    De acordo com a fsica clssica, medida que o eltron perde energia por

    radiao, o raio da rbita se torna cada vez menor e a frequncia da radiao emitida

    cada vez maior, o processo termina somente quando o eltron atinge o ncleo. O tempo

    para esta coliso de cerca de alguns microsegundos. Assim, primeira vista, o modelo

    de Bohr prev que o tomo irradia um espectro contnuo (j que a frequncia de

    radiao varia continuamente enquanto o eltron se aproxima do ncleo).

    Bohr resolveu esse problema ao propor dois postulados:

  • 16 (Y...) Fsica Quntica P2

    Os eltrons se movem em certas rbitas sem irradiar energia. Tais rbitas so os estados estacionrios.

    Os tomos irradiam quando um eltron sofre uma transio de estado estacionrio para outro e a frequncia da radiao emitida est

    relacionada s energias das rbitas atravs da equao (conhecida como

    condio de frequncia de Bohr):

    h = Ei -Ef

    h: constante de Planck;

    Ei: Energia do estado inicial;

    Ef: Energia do estado final.

    O segundo postulado, que equivale a aplicar a lei de conservao de energia

    emisso de um fton, est em total desacordo com a teoria clssica, segundo a qual a

    frequncia da radiao deve ser igual frequncia de movimento da partcula

    carregada.

    Ao inserir a energia total na condio de frequncia de Bohr, tem-se:

    Semelhante a expresso proposta por Rydberg:

    Principio de correspondncia: No limite de grandes rbitas e altas energias, os

    resultados qunticos devem coincidir com os resultados clssicos.

    Quantizao do momento angular

    S alguns estados estacionrios so possveis. Em seu primeiro artigo, em 1913,

    Bohr observou que uma das consequncias do seu modelo era que o momento angular

    do eltron do tomo de hidrognio podia assumir apenas valores que fossem mltiplos

    de inteiros da constante de Planck dividida por 2, em concordncia com sugesto feita no ano anterior por J. W. Nicholson, ou seja, o momento angular quantizado; pode

    apenas assumir valores iguais a nh/2, onde n um nmero inteiro. Se a carga do ncleo +Ze e a carga do eltron e, a fora centrpeta

    necessria para que o eltron se mova em uma rbita circular a fora de Coulomb

    kZe2/r. Lembrando que:

  • 17 (Y...) Fsica Quntica P2

    A velocidade dada como:

    De acordo com a hiptese de quantizao do momento angular L,

    Sendo n = 1, 2, 3...

    n chamado de nmero quntico principal;

    h: h/2

    O raio orbital obtido combinando as expresses abaixo:

    L = mvr = nh/2

    mvr = nh/2 r = nh/2mv r = n /mv

    Elevando os dois lados da equao ao quadrado, tem-se:

    Simplificando:

    Esta ltima expresso relaciona r com n2. Considerando n = 1, e substituindo os

    valores, tem-se:

  • 18 (Y...) Fsica Quntica P2

    ao uma constante denominada raio de Bohr, representando o menor valor possvel para a rbita do tomo de hidrognio, uma vez que n = 1.

    As demais rbitas tambm podem ser calculadas, considerando diferentes

    valores de n.

    Estas equaes no se aplicam somente ao tomo de hidrognio, mas tambm a

    qualquer tomo de carga nuclear +Ze com um nico eltron em rbita, como hlio monoionizado e o ltio duplamente ionizado, sendo que, quanto maior o nmero

    atmico Z, menor ser o valor de r.

    A energia total do eltron pode ser obtida combinando as duas equaes abaixo:

    e

    Assim, a energia do eltron tambm quantizada, isto , os estados estacionrios

    correspondem a valores especficos da energia total. Isso significa que as energias Ei e

    Ef que aparecem na condio de frequncia do segundo postulado de Bohr devem

    pertencer ao conjunto de energias permitidas En:

    Esta expresso pode ser escrita na forma da equao de Rydberg, considerando

    que = c/ e dividindo ambos os membros da equao por c:

    Sendo R o valor terico obtido por Bohr para a constante de Rydberg.

  • 19 (Y...) Fsica Quntica P2

    Usando os valores de m, k, e, c e h/2 conhecidos em 1913, Bohr calculou o valor de R e constatou que o resultado estava de acordo com os valores obtidos pelos

    espectroscopistas.

    De acordo com o modelo de Bohr, os valores possveis da energia do tomo de

    hidrognio so dados pela expresso abaixo, considerando Z = 1:

    Eo = 13,6 eV.

    Assim, o valor de 13,6 eV representa o valor absoluto de En para n = 1. O estado

    no qual E = E1 = -Eo chamado de estado fundamental.

    Diagrama de nveis de energia

    Grfico que relaciona as energias dos estados estacionrios. Vrias sries de

    transies entre os estados estacionrios esto indicadas neste diagrama por setas

    verticais.

    De acordo com a condio de frequncia, a frequncia da radiao emitida

    igual diferena de energia entre os nveis envolvidos, dividida pela constante de

    Planck.

    A energia necessria para remover o eltron do tomo, 13,6 eV, chamada de

    energia de ionizao ou energia de ligao do eltron.

  • 20 (Y...) Fsica Quntica P2

    Nota-se que a energia necessria para a retirada de diferentes eltrons apresenta

    diferentes valores, isto pode ser justificado pelo efeito de blindagem do ncleo: quando

    um eltron est distante do ncleo ele sofre atrao eletrosttica do ncleo, porm, esta

    atrao inferior a atrao sofrida por eltrons localizados nas proximidades do ncleo,

    pois entre os eltrons distantes e o ncleo existem outros eltrons, que blindam os

    eltrons da atrao total que o ncleo poderia exercer. Em decorrncia disso, os eltrons

    podem ser classificados em duas formas distintas: eltrons fortemente atrados ou de

    caroo e os eltrons fracamente ligados ou eltrons de valncia.

    Os eltrons de valncia so mais facilmente retirados, sendo os responsveis

    pelas ligaes qumicas e pelas caractersticas pticas no espectro do visvel.

    Para a retirada dos eltrons mais prximos do ncleo necessrio incidir muito

    mais energia, tal energia pode ser fornecida por raios-X.

    Mosley

    Quando um eltron prximo ao ncleo retirado, o eltron mais distante do

    ncleo pode ocupar o seu lugar, a transio deste eltron responsvel pela produo de

    raios-X. Podem ocorrer casos em que os eltrons que ocupe o lugar vago provenham de

    nveis estacionrios mais internos, contudo, tais transies no sero medidas no

    experimento de Moseley, pois ele empregou um detector de radiao de raios-X e estas

    transies no seriam capazes de produzir raios-X.

    Experimento de Frank-Hertz

    O experimento consistia em construir um tubo de raios catdicos para a

    produo de eltrons acelerados. Um pequeno filamento aquece o ctodo. Eltrons so

    ejetados do ctodo aquecido e acelerados na direo de uma grade, que mantida a um

    potencial Vo em relao ao ctodo.

    Alguns eltrons passam pela grade e chegam placa P que est a um potencial

    ligeiramente menor. A movimentao de eltrons era responsvel pela formao de

    corrente.

    Adicionou-se gs mercrio no interior do tubo a baixa presso. Atualmente,

    tambm so inseridos outros elementos.

  • 21 (Y...) Fsica Quntica P2

    O experimento consiste em medir a corrente de placa em funo de Vo. Ao

    aumentar a diferena de potencial observava-se aumento na corrente. Contudo, em

    certos momentos a corrente diminua. Ao trocar o gs do tudo, as mesmas observaes

    eram feitas. Ao aumentar ainda mais a tenso a corrente voltava a subir.

    No caso do mercrio a corrente comeava a diminuir quando a tenso assumia

    valores iguais a 4,9 V.

    A explicao desse comportamento mais fcil de visualizar se imaginarmos

    que o tubo contm tomos de hidrognio em vez de mercrio. Os eltrons acelerados

    pelo potencial Vo que colidem com eltrons do tomo de hidrognio no podem transferir energia para esses eltrons a menos que tenham adquirido energia cintica eVo

    = E2 E1 = 10,2 eV, j que o eltron de hidrognio, de acordo com o modelo de Bohr, no pode ocupar estados energticos intermedirios. Assim, qualquer coliso entre um

    eltron incidente com uma energia menor do que 10,2 eV e um eltron de hidrognio

    deve ser elstica: a energia cintica do eltron incidente continua a mesma aps a

    coliso e, portanto, o eltron pode vencer o potencial e contribuir para a corrente I. Se,

    por outro lado, eVo > 10,2 eV, o eltron incidente pode transferir 10,2 eV para o eltron

    do hidrognio, que se encontra no estado fundamental, ou seja, n = 1, enviando-o para n

    = 2. Com isso, a energia do eltron incidente sofre uma reduo de 10,2 eV; o

    espalhamento , portanto, inelstico. Com energia insuficiente para vencer o pequeno

    potencial negativo, os eltrons deixam de contribuir para a corrente da placa I, por esse

    motivo observa-se reduo nas correntes medidas.

    O valor observado de potencial crtico para o mercrio de 4,9 eV porque neste

    elementos existem 80 eltrons. Assim, os eltrons com energia menor do que este valor

    no podem perder energia para os tomos de Hg, mas os eltrons com uma energia

    maior do 4,9 eV podem sofrer uma coliso inelstica e perder 4,9 eV. Quando isso

    acontece, os eltrons no conseguem ganhar energia suficiente para superar a pequena

    tenso negativa e chegar placa, de modo que a corrente diminui. Se a explicao

    estiver correta, os tomos de Hg que forem excitados para um nvel de energia 4,9 eV

    acima do estado fundamental voltaro a esse estado emitindo fton com comprimento

    de onda igual a:

    = c/ = hc/h

    = hv/eVo = 253 nm.

  • 22 (Y...) Fsica Quntica P2

    De fato existe uma linha com esse comprimento de onda no espectro do

    mercrio, desde que Vo seja maior do que 4,9V.

    Novas quedas de corrente so observadas com o aumento de Vo, isso pode ser

    resultante de dois mecanismos:

    Promoo de eltrons do esto fundamental para outros nveis mais excitados do tomo de Hg (o segundo nvel mais excitado do Hg est 6,7 eV acima do estado fundamental);

    Excitaes mltiplas causadas pelo mesmo eltron (como por exemplo, o mesmo eltron perdendo 4,9 eV mais de uma vez).

    No caso do mercrio a corrente cai a cada 4,9 V.

    O experimento de Franck-Hertz foi uma importante confirmao da ideia de que

    as linhas discretas do espectro de emisso dos tomos esto associadas existncia de

    nveis de energia quantizados.

    Somerfield

    Para corrigir falhas do principio de incerteza, deve-se adotar que as rbitas dos

    estados estacionrios no so circulares e sim elpticas. A velocidade nos extremos

    muito maior do que a velocidade do eltron quando est mais prximo do ncleo.

    As diferentes linhas espectrais observadas tinham relao com as diferentes

    excentricidades das orbitas elpticas.

    A constante de estrutura fina vale 1/137, sendo proporcional a separao das

    raias.

    Estrutura fina: quando so observadas em espectroscopia de alta resoluo, as

    linhas do hidrognio (e para a maioria dos outros elementos) se desdobram em vrias

    linhas muito prximas, que constituem a chamada estrutura fina.

    Propriedades ondulatrias da matria

    A matria tem propriedades ondulatrias.

    Experimentos motivadores

    Espalhamento de raios-X

    Laue: o espalhamento de eltrons por cristais ocorre devido a interferncia.

    Os raios X so usados para identificas minerais: incide-se raios X sobre uma

    amostra, os raios X so espalhados, cada material tem uma assinatura caracterstica.

    Lei de Bragg

    Incide raios x sobre cristais. Em virtude de diferentes caminhos pticos os raios

    X espalhados podem formar interferncias destrutivas ou construtivas. O ngulo de

    incidncia deve ser igual ao ngulo de reflexo da onda espalhada.

  • 23 (Y...) Fsica Quntica P2

    Utilizando a lei de Bragg possvel determinar o espaamento inter atmico de

    um cristal, isso possvel porque o comprimento de onda dos raios X tem a mesma

    dimenso do espaamento.

    Espalhamento de eltrons

    Em 1926, G. P. Thomson, filho de J. J. Thomson, incidiu um feixe de eltrons

    sobre SnO2 e observou um espalhamento semelhante ao observado ao espalhamento de

    raios X, ou seja, os eltrons estavam se difratando.

    A hiptese de que os eltrons estavam se difratando no poderia ser justificada

    considerando os eltrons como partculas, uma vez que a difrao uma caracterstica

    ondulatria. Caso os eltrons apresentassem comportamento corpuscular (o que era

    esperado), estes deveriam se chocar com SnO2, sofrendo deslocamentos, assim como

    ocorrera no modelo de Ruhterford.

    Davisson e Germer observaram a difrao de eltrons por tomos de nquel,

    resultados tambm compatveis com os resultados da difrao de raios X.

    Assim, foram obtidas evidncias de que os eltrons se comportavam tambm

    como ondas.

    Louis Victor de Broglie

    Louis V. de Broglie questionou: Se a luz pode se comportar como uma partcula, por que as partculas no podem se comportar como onda?

    Ou seja, segundo sua tese de 1923, as partculas que possuem massa tambm

    devem ter propriedades semelhantes s ondas eletromagnticas.

    A energia pode ser escrita como:

    E = h = pc

    pc: expresso da relatividade, onde p indica o momento.

    E = h = pc = p

    Assim, toda partcula de massa m e momento p, tem a ela associada uma onda,

    cujo comprimento de onda determinado por:

  • 24 (Y...) Fsica Quntica P2

    O comprimento de onda associado matria chamado de comprimento de

    onda de Broglie.

    Por exemplo, supondo um corpo de massa 100kg, se movendo a 100km/h

    (utilizando um valor para a constante de Planck que tenha somente a mesma grandeza

    do nmero correto), tem-se:

    = 10-34/(102 x 102) 10-38m

    Assim, para corpos de massa igual a 100kg o comprimento de onda associado

    esta na ordem de 10-38

    m. Este comprimento muito pequeno para ser observado.

    Realizando o mesmo clculo para um eltron, cuja massa extremamente

    menor; sua velocidade maior (utilizando um valor para a constante de Planck que

    tenha somente a mesma grandeza do nmero correto), tem-se:

    = 10-34/(10-28 x 104) 10-10m

    Para os eltrons o comprimento de onda muito maior, de modo que possa ser

    observado.

    Voltando ao modelo de Bohr

    Aplicando a ideia de de Broglie ao modelo atmico proposto por Bohr,

    possvel explicar a quantizao que foi postulada por Bohr (naquela poca sem

    comprovao), ou seja, aps 10 anos a ideia do tomo de hidrognio de Broglie

    complementou o modelo a partir de uma ideia de simetria da natureza, isto , se a

    radiao apresenta comportamento dual, a matria tambm obedece as relaes duais,

    ou seja, a matria tambm comporta-se como onda.

    O raciocnio se desenvolveu a partir de duas expresses:

    E = h

    e

    p = h

    Ao associar o eltron a uma onda, tem-se, portanto, uma rbita que ondula. Se a

    rbita estacionria, ela tem de se fechar, tendo assim um nmero inteiro de

    comprimentos de onda (ideia de acordo com a concepo ondulatria partcula

    eltron).

  • 25 (Y...) Fsica Quntica P2

    Considerando comprimento de onda e raio da rbita r:

    Deve existir um nmero inteiro de comprimentos de onda (n) que esto em volta do permetro da rbita (2r), tem-se:

    2r = n

    Se o comprimento de onda pode ser expresso em funo do seu momento:

    rp: em uma rbita circular representa o momento angular (l), ou seja, o

    produto do momento linear pelo raio da rbita.

    l = nh

    Ou seja, tem-se a quantizao de Bohr. A partir da ideia de de Broglie inicia-se a

    mecnica quntica.

    Descrio matemtica de uma onda peridica

    Equao geral da onda:

    A soluo tpica de uma equao de onda funo de cosseno:

    Ou

  • 26 (Y...) Fsica Quntica P2

    Representao de um eltron por uma funo de onda

    Deve haver uma funo que represente o eltron.

    Funo delta de Dirac: a somatria de funes de onda cosseno. A forma

    como as vrias funes cossenos so utilizadas em conjunto possibilita a construo de

    grficos para qualquer funo.

    A somatria de infinitas funes de cosseno possibilita a construo do grfico

    abaixo:

    A funo que representa a posio do eltron a que estamos interessados, ela se

    apresenta da seguinte forma:

    A partir da funo delta de Dirac possvel somar funes cosseno e obter uma

    funo com o aspecto da ltima curva apresentada.

    y = yo cos (kx wt)

    yo: amplitude da curva.

    A expresso acima relaciona o eltron com uma posio (k) e um determinado

    tempo (w), pois uma onda est localizada em um determinado lugar em um determinado

    instante. Podem existir infinitos valores de k e de w.

    Infinitos k: 1 ponto

  • 27 (Y...) Fsica Quntica P2

    Muitos k: Curva representada acima

    1k: grfico comum de cosseno

    Se o valor de k for pequeno, tem-se uma curva espalhada; se s existe um valor de k a posio desconhecida, pois a funo ser muito esticada.

    A partir da anlise de k, sabe-se que para localizar o eltron necessrio que o

    valor de k seja muito elevado.

    Como a onda se move, a posio no tempo tambm muda, assim, para se saber

    onde o eltron estar em um determinado momento necessrio um elevado valor de w.

    Pacote de ondas ou conjunto de ondas.

    Ao somar muitas funes cossenos tem-se a corcova desejada;

    Ao somar infinitas funes, tem-se incerteza.

    Esta anlise vlida para todos os tipos de onda, ou seja, um grupo ou pacote de

    ondas representa a corcova.

    O produto de xk limitado, porm, no se sabe o valor exato, por conveno utiliza-se o resultado igual a 1. Assim, ao aumentar x diminui k, se aumenta k diminui x. O mesmo observado para a relao entre wt.

    Heinsenberg

    Em seu trabalho, de 1927, uniu xk e wt, em seu trabalho sobre o princpio de incerteza. O valor de k provm do momento:

  • 28 (Y...) Fsica Quntica P2

    onde, k = 2/

    k provoca p.

    Ao incidir uma fonte de luz em um anteparo, tem-se uma figura de interferncia,

    parte da luz bate no obstculo e difratada. O mesmo ocorre quando se incide feixes de

    eltrons (como nas TVs de tubo), ou seja, quando um eltron passa por um experimento

    de fenda dupla observa-se o mesmo que ocorre com a luz. Assim, tem-se fortes

    evidncias que os eltrons se comportam como a luz. Para que os resultados da fenda

    dupla alcance os resultados desejados, necessrio que os orifcios do anteparo tenham

    as dimenses do comprimento da onda.

    Ao realizar um experimento de fendas duplas com armas de fogo, os projeteis

    atingiro o anteparo posicionado atrs das fendas sempre na mesma posio. Pois no

    possvel construir orifcios com as dimenses necessrias para se observar o fenmeno

    de difrao.

    Neste ponto, tem-se uma situao inversa a da luz, ou seja, neste momento

    histrico observou-se que a luz comporta-se como onda, e observou-se que o eltron

    tambm apresenta caractersticas ondulatrias, como a difrao, que representam

    comportamentos coletivos.

    A dualidade onda partcula muito ampla, pois tudo apresenta este

    comportamento, tanto as ondas eletromagnticas e a matria apresentam este

    comportamento. As duas condies so necessrias e complementares para explicar

    tudo.

    Experimento de Young

    Consistiu em incidir luz com intensidade baixa.

    Resumidamente: A partir de um experimento de fenda dupla, com o passar do

    tempo, mais pontos (contadores) chegam tela, depois de muito tempo possvel

    observar a formao de figuras de interferncia formadas por muitos contadores.

    A interao da luz com os detectores um fenmeno quntico. Quando

    iluminamos os detectores por um tempo muito curto, usando uma fonte luminosa de

    baixa intensidade no possvel observar uma verso mais fraca da figura de

    interferncia (pois no houve tempo suficiente para isso); em vez disso observa-se

    somente alguns pontos resultantes da deteco individual dos ftons. Nos locais onde as

    ondas passam pelas duas fendas e ocorre interferncia destrutiva no se observa nenhum

    ponto e nos locais onde as ondas interferem construtivamente so observados os pontos.

    Quando a exposio suficientemente longa para que muitos ftons atinjam os

    detectores, a natureza quntica da luz (comportamento de partcula) no mais

    observada. A figura de interferncia formada independentemente do tempo de

    exposio, mas sim em funo do nmero de ftons que atingem a superfcie.

    Por onde o eltron passa?

    A anlise de qual fenda utilizada pelo eltron para ultrapassar o anteparo

    feita colocando-se um medidor aps a fenda, o qual emite luz, caso o eltron passe por

  • 29 (Y...) Fsica Quntica P2

    esse medidor haver um intervalo na emisso da luz, de modo a saber que o eltron

    passou por aquela fenda. Contudo, ao ligar o detector, observa-se que a figura de

    interferncia destruda.

    Assim, conclui-se que no possvel observar o carter de partcula e de onda do

    eltron ao mesmo tempo, pois a anlise do comportamento individual do eltron impede

    a analise do comportamento coletivo (interferncia), pois a luz interfere no eltron.

    A interferncia deixa de ser observada porque ao incidir luz (fton) sobre o

    eltron, o memento do eltron muda (o fton transfere momento ao eltron). Quando o

    momento do eltron muda, ocorre alterao em seu comprimento de onda (uma vez que

    p =h/). Para que a interferncia ocorra necessrio que o orifcio do anteparo tenha as mesmas ordens de grandeza do comprimento de onda do eltron, assim, se o

    comprimento de onda do eltron muda, o orifcio no atender mais a dimenso

    necessria para que a interferncia seja observada.

    Utilizando o principio de incerteza, Heisenberg explicou este fenmeno.

    A dualidade onda partcula

    Niels Bohr props o princpio da complementaridade, no qual os modelos

    corpuscular e ondulatrio so complementares; se uma medida prova o carter

    ondulatrio da radiao ou da matria, ento impossvel provar o carter corpuscular

    na mesma medida, e vice-versa. A compreenso sobre radiao ou matria s estar

    completa se forem considerados as medidas que revelam os aspectos ondulatrios eos

    aspectos corpusculares, ou seja, a radiao e a matria no so somente ondas ou

    somente partculas.

    A ligao entre os modelos corpuscular e ondulatrio feita por meio de uma

    interpretao probabilstica da dualidade onda-partcula.

    Principio da incerteza ou principio da indeterminao

    Na fsica clssica as leis bsicas (como as de Newton) so determinsticas, e a

    anlise estatstica apenas um artifcio prtico para tratar sistemas muito complexos. Na

    mecnica quntica, a anlise probabilstica fundamental, de modo que a anlise

    determinstica deve ser abandonada.

    Na mecnica clssica, as equaes de movimento de um sistema, conhecidas as

    foras que atuam sobre ele, podem ser resolvidas de forma a dar a posio e o momento

  • 30 (Y...) Fsica Quntica P2

    da partcula para todos os valores do tempo, para isso, basta saber qual a posio e o

    momento inicial, assim, possvel determinar as condies futuras.

    No processo de observar o observador interage com o sistema. A magnitude na

    interferncia do observador inversamente proporcional ao tamanho do sistema

    observado, por exemplo, ao determinar a posio da lua, a perturbao ao sistema

    muito pequena, podendo ser ignorada. Os fsicos clssicos afirmavam que seria possvel

    determinar a posio e o momento de sistemas microscpicos de maneira precisa

    atravs de observaes, contudo Heisenberg e Bohr questionaram esta hiptese.

    A teoria quntica afirma que a preciso mxima com que se consegue observar a

    posio e o momento no mesmo instante da matria ou da radiao deve equivaler a

    preciso permitida pelo princpio da incerteza de Heisenberg.

    O princpio da incerteza ou da indeterminao dividido em duas partes:

    A primeira parte refere-se a determinao simultnea de posio e momento, isto

    , no possvel determinar ao mesmo tempo o valor exato do momento px e tambm o

    valor exata da coordenada correspondente x.

    A limitao da medio destas duas variveis limitada pelo processo de

    medida em si, (ou seja, a incerteza no tem relao com deficincias experimentais,

    assim, melhorias nos instrumentos que possam nos dar melhores determinaes

    simultneas de px e x no seriam suficientes para dirimir a incerteza) de tal forma que:

    pxx

    A expresso acima indica que o momento px conhecido com uma incerteza de

    px e a posio x conhecida com uma incerteza x. O smbolo de representa que este o limite inferior terico para a incerteza. O princpio afirma que, mesmo que existam instrumentos ideais nunca

    poderemos obter resultados melhores do que: pxx h/2, este resultado no depende do experimento, e sim da natureza da partcula.

    Deve-se observar tambm que o princpio est baseado no produto dos dois

    aspectos analisados, assim, ao aprimorar os mtodos para aperfeioar as medies dos

    momentos estaremos diminuindo a preciso das medies das posies, assim, se

    conhecemos o momento com preciso, nada saberemos de x, assim, a restrio no em

    relao preciso com que px ou x podem ser medidos, mas em relao ao produto

    numa medida simultnea de ambos.

    Desta forma, no possvel determinar a posio x e o momento p iniciais,

    assim, no pode-se determinar precisamente o comportamento futuro do sistema (com

    efetuado na fsica clssica).

    A segunda parte do princpio da incerteza est relacionada com a medida da

    energia E e do tempo t necessrio medida. Por exemplo, o intervalo t durante o qual um fton com incerteza E emitido de um tomo.

    Et h/2

    De maneira anloga primeira parte o E e t referem-se s incertezas das medies da energia e do tempo, respectivamente. Para que a energia seja medida com

    preciso de 100% necessrio um intervalo de tempo infinito.

    As incertezas em experincias cotidianas no so observadas, pois o valor de h

    muito pequeno.

  • 31 (Y...) Fsica Quntica P2

    A impossibilidade de efetuar projees futuras sobre o sistema implica na

    impossibilidade de fazer previses determinsticas, em vez disso, possvel afirmar

    somente os possveis resultados de uma observao, assim, obtm-se as probabilidades

    relativas de sua ocorrncia.

    No sistema quntico todas as observaes geram interferncias significativas nos

    resultados.

    Origem fsica do princpio da incerteza

    A partir do experimento proposto por Bohr. Ao tentar ver um eltron preciso incidir luz sobre esta partcula, pois ser o fton espalhado pelo eltron que ser visto

    pelo observador. Neste momento surge o princpio da incerteza, pois o ato de observar o

    eltron responsvel por causar uma perturbao neste.

    No momento em que o eltron iluminado, ele recua em funo do efeito

    Compton. Porm, se o eltron no for iluminado no ser possvel observ-lo.

    Portanto, o princpio de incerteza diz respeito ao processo de medida em si, e

    expressa o fato de que sempre existe uma interao no determinvel ente o observador

    e o que observado, de modo que no possvel fazer nada para diminuir ou eliminar

    esta interferncia.

    Diminuio na impreciso medida

    Para atenuar os efeitos da observao, pode-se utilizar uma fonte luminosa muito

    fraca, que possibilite o espalhamento de um nico fton pelo eltron.

    O eltron pode ser espalhado em qualquer direo dentro da regio angular 2.

    Observa-se que a componente x do momento do fton pode variar de +p sen at p sen e a incerteza gerada na determinao do momento dada por:

    px = 2p sen = (2h/)sen

    A lei de conservao do momento exige que o eltron receba um momento na

    direo x igual em modulo variao da componente x do momento do fton (por isso

    a anlise do momento do fton espalhado vlida).

    Para reduzir a incerteza do momento, pode-se aumentar o comprimento da onda

    da luz (analisar a equao acima), ou usar um microscpio com uma objetiva que

    permita um menor ngulo.

    Porm, a imagem de um objeto pontual vista atravs de um microscpio no

    um ponto, mas uma figura de difrao; a imagem do eltron difusa. O poder de

  • 32 (Y...) Fsica Quntica P2

    resoluo de um microscpio determina a preciso mxima com a qual o eltron pode

    ser localizado. Uma expresso conhecida para o poder de resoluo de um microscpio

    nos d:

    x = /sen

    A partir desta frmula possvel concluir que para diminuir a incerteza com

    relao a posio x, pode-se usar luz com comprimentos de onda mais curtos, ou um

    microscpio cuja objetiva subtenda um ngulo maior.

    Assim, as condies para aprimoramento de p e de x so contrrias, por exemplo, ao utilizarmos uma luz com pequenos comprimentos de onda (como os raios

    ), a incerteza com relao a posio diminui, pois possvel obter uma melhor resoluo do microscpio, porm, aumenta-se o recuo de Compton, e,

    consequentemente, aumento a incerteza de momento.

    Ao multiplicar as incertezas de posio e de momentos analisadas acima, tem-se:

    O resultado 2h concorda razoavelmente com o limite mnimo do princpio da

    incerteza. Na prtica, uma experincia d resultados piores do que o sugerido na

    equao acima, pois esse resultado se baseia nas condies mais favorveis possveis.

    Interpretao probabilstica da funo de onda ou de

    Copenhagem

    Assim como existe uma funo de onda para a luz (y = yo cos (kx wt)), existe uma funo para a matria. A funo que associa a probabilidade de localizar uma

    partcula (x,t). A funo no tem significado fsico, ao elevar a funo ao quadrado, isto 2, tem-se a probabilidade de localizar uma partcula em uma determinada posio em um dado instante. A amplitude de 2 em qualquer ponto est relacionada probabilidade de que uma partcula seja encontrada neste ponto. Assim, a

    posio mais provvel do eltron o valor de x para o qual a funo 2 apresentar valor mximo.

    A probabilidade que ondula, ou seja, a movimentao desta onda representa a

    movimentao da probabilidade de se encontrar uma partcula em uma determinada

    posio em um determinado instante de tempo.

    A funo ao quadrado, 2, calculada como o produto da funo pelo seu complexo conjugado: * . Em uma dimenso 2dx a probabilidade de que um eltron seja encontrado no intervalo dx. A amplitude um nmero complexo, com uma

    parte real e outra parte imaginria. No possvel medir ou interpretar diretamente

    nmeros complexos no mundo de nmeros reais.

    A funo |(x,t)|2 representa a probabilidade de localizar o eltron por toda a funo, isto , existe probabilidade de localizar o eltron ao longo de toda a funo,

    contudo a probabilidade pode ser nula em alguns pontos e diferente de zero em outros

    diversos pontos. Como o eltron pode estar ao longo de toda funo, existe uma

    indeterminao ou incerteza sobre a posio do eltron.

  • 33 (Y...) Fsica Quntica P2

    Se o pacote de ondas for estreito, a indeterminao com relao a posio ser

    pequena, porm as ondas harmnicas que formam um pacote de onda estreito possuem

    muitos valores de k. Como o momento est relacionado ao nmero de onda atravs da

    equao p = hk, o pacote estreito tambm apresentar elevado nmero de momentos. A

    relao entre estas duas variveis dada por:

    xk ~1

    Da mesma forma, existe uma relao entre a durao de um pacote t e a faixa de frequncias das ondas que contm w:

    wt ~ 1

    Utilizando as relaes de de Broglie:

    p = hk

    E = hw

    xp ~h

    e

    Et ~ h

    Estas duas ltimas equaes so a expresso matemtica do principio de

    indeterminao ou princpio de incerteza, formulado em 1927, por Werner K.

    Heisenberg.

    Ao considerar as funes distribuio de posio e de momento como

    gaussianas, o produto de seus desvios padres , assim, o valor mnimo do produto

    das duas grandezas ser de h/2.

    xp h/2

    E analogamente,

    Et h/2

    Introduo mecnica quntica

    Em 1926, Erwin Schrdinger publicou sua hoje famosa equao de onda, que

    governa a propagao das ondas a matria, incluindo eltrons. Alguns meses antes,

    Werner Heisenberg havia proposto uma teoria aparentemente distinta para explicar

    fenmenos atmicos. A teoria de Heisenberg inclua apenas grandezas mensurveis,

    como energia, posio e movimento, eram representadas por matrizes; os elementos

    diagonais dessas matrizes representavam os resultados possveis das medidas.

    Embora as teorias de Schdinger e Heisenberg paream diferentes, o prprio

    Schdinger mais tarde provou que so na verdade eram equivalentes.

    A teoria resultante, hoje conhecida como mecnica ondulatria ou mecnica

    quntica foi uma das teorias mais bem sucedidas de todos os tempos.

  • 34 (Y...) Fsica Quntica P2

    Equao de Schrdinger

    A equao de onda que governa o movimento de eltrons e outras partculas com

    massa de repouso diferente de zero, que anloga a equao de onda clssica foi

    proposta por Schrdinger no final de 1925.

    A teoria de Schrdinger possibilita a anlise do comportamento ondulatrio de

    sistemas mais complexos do que aqueles possveis a partir dos postulados de de Broglie.

    Assim como a funo de onda clssica, a funo de onda de Schrdinger

    relaciona as derivadas da funo de onda em relao ao tempo e em relao ao espao.

    A equao de onda de Schrdinger pode ser aplicada em situaes no

    relativsticas, uma equao de onda relativstica foi obtida somente em 1928, por Dirac.

    Comecemos a anlise da equao de onda de Schrndiger a partir de uma

    equao de onda de um fton:

    Uma onda desse tipo pode ser representada de vrias formas diferentes,

    exatamente como uma onda clssica:

    E (x,t) = Eo cos (kx wt); E (x,t) = Eo sen (kx wt); E (x,t) = Ae

    i(kx wt).

    Adotemos E (x,t) = Eo cos (kx wt). Ao derivar esta equao duas vezes em funo de t e de x, tem-se:

    Ao retornar estes valores na equao de onda clssica:

    -k2 cos (kx wt) = 1/c2 x (-w2 cos (kx wt)

    -k2 = 1/c

    2 x (-w

    2)

    k = w/c

    w = kc

    Esta expresso relaciona a frequncia angular com o nmero de onda.

    Utilizando as relaes de de Broklie:

    w = E/h;

    p = hk.

  • 35 (Y...) Fsica Quntica P2

    E = pc

    Expresso que relaciona a energia e o momento de um fton.

    A energia total de uma partcula (no relativstica) de massa m dada por:

    Onde,

    Isto , a energia total ser igual a somatria da energia cintica com a energia

    potencial.

    Combinando as relaes de de Broglie com a expresso acima, possvel chegar

    a seguinte expresso:

    Equao de Schrdinger:

    Dentre as trs alternativas propostas como soluo de uma onda clssica a

    funo cosseno no vlida porque ao derivar uma vez em funo do tempo ter-se-

    uma funo seno, apesar do fato da derivada segunda em funo do tempo retornar um

    cosseno como resultado. Uma anlise anloga pode ser feita ao considerar o seno como

    resposta.

    A nica alternativa que poder ser escolhida a forma exponencial da funo de

    onda harmnica satisfaz a equao. Alm disso, ao considerar o potencial como

    constante, possvel chagar na expresso abaixo:

    t)]

    Ao derivar a expresso acima em funo do tempo e em funo da posio,

    obtm-se os seguintes resultados:

  • 36 (Y...) Fsica Quntica P2

    e

    Assim, substituindo na equao de Schrdinger e considerando V(x,t) = Vo, tem-

    se:

    )

    Cortando de todos os termos e multiplicando i por (i) = -1, tem-se:

    Exatamente a equao obtida anteriormente. Contudo, a equao de onda

    clssica se diferencia da equao de onda proposta por Schrdinger porque na equao

    de Schrdinger aparece o nmero imaginrio i.

    O numero imaginrio i aparece porque a equao de Schrdinger relaciona uma

    derivada primeira em relao ao tempo e uma derivada segunda em relao ao espao.

    No caso da equao de onda clssica, a relao entre a derivada segunda em relao

    ao tempo e a derivada segunda em relao ao espao. Em consequncia, a funo (x,t) uma funo complexa, enquanto a funo y(x,t) uma funo real. Isso significa que a

    funo de onda (x,t) que satisfaz a equao de Schrdinger no uma funo diretamente mensurvel como a funo de onda clssica.

    A probabilidade P(x)dx de que o eltron seja encontrado no intervalo entre x e x

    + dx definida como | |2dx. Como (x,t) uma funo complexa, devemos modificar ligeiramente a interpretao da funo de onda para que a probabilidade de encontrar o

    eltron no intervalo dx seja um nmero real. A probabilidade pode ser definida atravs

    da equao:

    Onde * o complexo conjugado de , obtido substituindo i por i na funo .

    A expresso representa uma densidade de probabilidade, pois necessrio multiplicar este valor pelo comprimento (dx) para que se obtenha um

    resultado de probabilidade.

    Obs: Embora os resultados das medies sejam nmeros reais, a parte

    imaginria de contribui para esses resultados. Todo nmero complexo pode ser escrito

    na forma z = a +bi, onde a e b so nmeros reais e . O mdulo ou o valor

    absoluto de z definido atravs da expresso |z| = . Como o complexo conjugado de z z* = a bi, zz* = (a - bi)(a + bi) = |z|2, assim o clculo de || inclui uma contribuio da parte imaginria.

  • 37 (Y...) Fsica Quntica P2

    O fato de que uma funo complexa apenas refora a ideia de que intil tentar responder a perguntas como:

    O que est oscilando em uma onda de matria?

    Em que tipo de meio as ondas de matria se propagam?

    A funo de onda no passa de um artifcio matemtico; o que tem significado

    real o produto * = | |2, que representa uma probabilidade P(x,t) ou como tambm frequentemente chamada, de amplitude de densidade de probabilidade, ou amplitude

    de densidade de probabilidade ou ainda amplitude de probabilidade.

    A soma das probabilidades de localizar um eltron em todas as posies

    possveis deve ser igual a um:

    A expresso acima conhecida como condio de normalizao. Esta condio

    implica que a funo (x,t) deve tender a zero com rapidez suficiente para que a integral permanea finita quando x .

    Separao das funes do tempo e do espao

    Nos problemas em que a energia potencial no varia com o tempo (existem

    diversos exemplos, como o potencial gravitacional, o potencial eletrosttico, o

    movimento do pndulo), as funes do tempo e do espao na equao de onda podem

    ser separadas, o que permite escrever a equao de Schrdinger em uma forma mais

    simples, atravs do mtodo da separao de variveis, isto :

    V(x,t) V(x)

    (x,t) = (x) (t) (x,t) = (x) (t) (x,t) = (x) e-iwt

    Assim, tem-se uma equao em funo do tempo e uma constante, que na

    equao de Schrdinger poder ser retirada da derivada:

    possvel encontrar a equao acima com o expoente de e sendo (-iEt/h), pois = E/h.

    Sabendo-se que ipar

    = -1 e impar

    = 1 possvel simplificar a equao:

  • 38 (Y...) Fsica Quntica P2

    Pela relao de de Broglie E = h (outra importante relao p = hk, mas esta no utilizada nesta passagem):

    Esta a equao de Schrndiger independente do tempo. A forma compacta para

    esta equao :

    H = E

    Sendo:

    Condies que uma funo de onda deve satisfazer

    1-) A funo deve respeitar a condio de normalizao, ou seja:

    Esta condio implica que a funo (x,t) deve tender a zero com rapidez suficiente para que a integral permanea finita quando x .

    2-) A funo (x,t) deve existir e ser contnua. Fisicamente, isto significa que a probabilidade de encontrar uma partcula no pode variar descontinuamente de um

    ponto para um ponto vizinho. Isso significa que (x,t) em funo de x no deve apresentar variaes bruscas.

    3-) A derivada primeira de (x,t) deve ser contnua, pois a equao de Schrdinger envolve a derivada segunda.

    4-) (x) e d/dx devem ser finitas e unvocas. Como nenhuma partcula pode ter energia potencial infinita, (x) deve ser nula nas regies onde V(x) infinita, pois grandezas mensurveis jamais so infinitas ou plurvocas.

    O poo do quadrado finito ou problema da partcula em uma

    caixa

    Problema clssico de 1926. Este problema considera somente uma dimenso e

    independente do tempo.

    Macroscopicamente este problema pode ser exemplificado como uma conta

    pendurada em um fio sem atrito e limitada a mover-se entre dois obstculos

  • 39 (Y...) Fsica Quntica P2

    impenetrveis. O confinamento de um eltron pode ser obtido utilizando eletrodos com

    elevados potenciais. A energia potencial ter o seguinte aspecto:

    Nesse problema, a energia potencial da forma:

    V(x) = 0 quando 0 < x < L;

    V(x) = quando x < 0 e x > L

    Embora o potencial definido seja claramente artificial, a soluo deste problema

    interessante, pois:

    O problema est relacionado com o problema da corda vibrante da fsica clssica;

    O problema pode ser usado para ilustrar muitos aspectos gerais dos problemas da mecnica quntica;

    O potencial utilizado constitui uma forma aproximada a encontrada em algumas situaes reais, como um eltron confinado em um metal.

    Como a energia potencial infinita fora do poo, a funo de onda

    necessariamente nula nessa regio (no tem funo de onda), isto , a probabilidade de

    encontrar um eltron fora do poo nula, a probabilidade de encontrar um eltron s

    existe no interior do poo. Esta condio implica no fato de que a resoluo da equao

    de Schrndiger deve se limitar a regio do poo, isto , para 0 < x < L.

    Desta forma, chegamos a duas equaes para este problema:

    Dentro do poo:

    Fora do poo:

    (x) 0

    Segundo as condies de contorno, deve-se ter em mente que a funo de onda

    deve ser contnua, portanto o valor da funo deve ser zero quando x = 0 e quando x =

    L.

    Na fsica clssica o problema da corda vibrante semelhante, pois a corda fixa

    nas duas extremidades. Assim como no caso das cordas vibrantes, no interior do poo

    existe um nmero inteiro de meios de comprimentos de onda.

  • 40 (Y...) Fsica Quntica P2

    Como o comprimento de onda est relacionado ao momento da partcula atravs

    da relao de de Broglie p = h/ e a energia total da partcula no interior do poo igual energia cintica p

    2/2m, esta quantizao do comprimento de onda implica que a

    energia quantizada e que os valores permitidos so dados por:

    Como a energia depende de um nmero inteiro n, costuma-se representar a

    energia como En. Em termos de h a energia expressa como:

    n = 1, 2, 3...

    A menor energia possvel ocorre quando n = 1, neste caso, tem-se:

    possvel chegar a essa quantizao atravs da equao de Schrdinger com

    potencial nulo:

    Onde

    A equao acima possui solues como (x) = A sem(kx) ou (x) = B cos(kx). Ao analisar as condies de contorno, verifica-se que para x = 0 a funo

    tambm deve vale zero, o que exclui a possibilidade de utilizao da soluo na forma

    de cosseno, uma vez que cos (0) = 1. A outra condio de contorno, isto , (x) = 0 em x = L fornece:

    (L) = A sen (kL) = 0

    L o tamanho da corda. O valor de k no pode ser arbitrrio, ele deve ser igual

    ao produto de um nmero inteiro (n) por (lembrando do crculo trigonomtrico), assim:

  • 41 (Y...) Fsica Quntica P2

    Os nveis de energia ou autovalores de energia podem ser obtidos da seguinte

    forma:

    Sendo,

    Ento

    Desta forma, comprova-se que a energia est quantizada. A quantizao foi

    obtida a partir das condies de contorno e pode ser comprovada pelo fato de que n

    um nmero inteiro.

    A constante da funo de onda proposta como soluo do problema do poo

    quadrado infinito determinado pela condio de contorno relacionada a normalizao.

    A determinao da constante a partir da normalizao deve considerar o intervalo entre

    0 e L, uma vez que fora desta regio no h funo de onda:

    Assim, as funes de onda normalizadas que representam as solues deste

    problema so dadas por:

    (L) = A sen (kx) = 0

    Sendo

    e

    , tem-se:

  • 42 (Y...) Fsica Quntica P2

    Onde, n = 1, 2, 3...

    Caso queira incluir a varivel t na soluo esta ficar da seguinte forma:

    Usando a identidade:

    Anlise grfica da probabilidade

    As funes de onda e as distribuies de probabilidade Pn(x) so mostradas

    abaixo:

    O estado de menor energia, n = 1, denominado estado fundamental, e para os

    dois primeiros estados excitados, n = 2 e n = 3. Os valores mximos de n(x) e Pn(x) so

    diferentes, valendo, respectivamente,

    e 2/L.

    O nmero n que aparece nas equaes acima chamado de nmero quntico e

    especifica tanto a energia como a funo de onda. Nestes casos existe somente um

    nmero quntico porque o problema tradado unidimensional.

    Quando o nmero quntico muito grande (os picos estaro muito prximos e

    como consequncia a regio x muito pequena), a probabilidade de localizar um eltron igual em todos os pontos do poo, situao em que se verifica o princpio de

    correspondncia, ou seja, toda distribuio quntica deve tender para a distribuio

    clssica correspondente quando n , isto , para altas energias.

    O poo quadrado finito

    Diferentemente do caso anterior, o potencial no vale infinito, por essa razo a

    funo de onda para a energia potencial mais geral.

    As solues das equaes de Schrdinger para este tipo de potencial so muito

    diferentes se o valor se a energia total maior ou menor do que o potencial Vo.

    No interior do poo, o valor do potencial zero, e a equao de Schrdinger

    independe do tempo, assim, possvel utilizar a mesma equao obtida a partir do

    problema do poo quadrado infinito:

  • 43 (Y...) Fsica Quntica P2

    Diferentemente do caso do poo quadrado infinito, no necessrio que (x)

    seja nula nos limites da regio central. A exigncia que (x) e (x) sejam contnuas nestes pontos.

    Do lado de fora do poo, a partir da equao de Schrdinguer tem-se a seguinte

    equao:

    Onde,

    O mtodo mais direto para determinar as funes de onda e as energias

    permitidas consiste em resolver a equao do lado de fora do poo, respeitando as

    condies de contorno.

    A soluo para a equao da forma:

    para x positivo.

    O aspecto mais importante da equao

    que a segunda derivada ((x)), que est associada a curvatura da funo de onda, tem o mesmo sinal que , ou seja, se positiva tambm ser, e a funo de onda se afastar do eixo x. Se negativa, tambm ser e da mesma forma se afastar do eixo x. Esse comportamento diferente do observado no interior do poo.

    Graas ao comportamento observado do lado de fora do poo, para a maioria dos

    valores da energia a funo de onda tende para o infinito quando x ; em outras palavras, a funo (x) no bem comportada, assim apesar destas funes no poderem ser normalizadas elas ainda atendem a equao de Schrdinger.

    As funes de onda de problemas de poos finitos resultam na possibilidade

    finita de que a partcula seja observada do lado de fora do poo. Nessas regies a

    energia total menor do que a energia potencial e, portanto, tem-se a impresso que a

    energia cintica seria negativa. A que se deve a existncia da funo de onda do lado de

    fora da barreira de potencial? Pode-se recorrer ao principio de indeterminao ou de

    incerteza para explicar o que acontece:

    Considere a regio x>L: a funo de onda proporcional a e-x

    , a densidade de

    probabilidade 2 = e-2x muito pequena a uma distncia da barreira da ordem de x -1. Supondo que (x) 0 para valores de x maiores que L + -1, podemos dizer que

  • 44 (Y...) Fsica Quntica P2

    encontrar a partcula na regio x > L equivale aproximadamente encontr-la em uma

    regio x -1. Essa restrio introduz uma indeterminao no momento de ordem p h/x =

    h e uma energia cintica mnima da ordem de:

    O suficiente para evitar que a energia cintica se torne negativa. A existncia da

    funo de onda em uma regio classicamente proibida responsvel pelo fenmeno do

    tunelamento.

    Valores esperados para os operadores

    Operadores so observveis fsicos da mecnica quntica. Todo operador

    interfere na funo de onda.

    Na mecnica clssica, as solues tericas quase sempre envolvem o clculo da

    posio de uma ou mais partculas em funo do tempo. Nos sistemas microscpicos,

    porm, efeitos ondulatrios tornam isso impossvel, ou seja, no possvel determinar o

    valor exato de um operador, isto porque a determinao do valor do operador se baseia

    em dados estatsticos, de modo a se obter um valor mdio para este operador.

    Assim, necessrio se contentar com o clculo da funo de onda (x,t) e da funo distribuio de probabilidade |(x,t)|2, e o mximo que pode-se conhecer a respeito da posio de uma partcula a probabilidade de que uma medida fornea o

    valor exato de x.

    O valor esperado, isto , o valor mdio, de um operador determinado da

    seguinte forma:

    O valor mdio do operador x representado como .

    Para os casos em que a distribuio de probabilidade independa do tempo, a

    expresso se reduz a:

    Retornando ao problema do poo quadrado infinito, possvel determinar o

    valor mdio de x:

    O ponto x = L/2 corresponde ao centro do poo. O resultado de uma medida no

    tem necessariamente uma alta probabilidade de ser igual ao valor esperado. No caso de

    um eltron em um poo quadrado infinito em um estado com n par, por exemplo, a

    probabilidade de que x = L/2 nula porque a funo de onda sen(nx/L) nula para x/2. Mesmo assim = L/2, j que a funo de probabilidade * simtrica em relao

  • 45 (Y...) Fsica Quntica P2

    ao centro do poo. No se esquea que o valor esperado o valor mais provvel da

    medida de muitas medies.

    Os valores mdios importantes so: , (relacionado com a incerteza da

    posio x), e (relacionado com a incerteza do momento).

    Operador momento

    Portanto, possvel mostrar que o valor esperado do momento, ,

    determinado pela expresso:

    No caso do poo quadrado infinito, o valor do momento ser:

    Como a probabilidade de que a partculas esteja se movendo no sentido positivo

    do eixo x igual a probabilidade de que esteja se movendo no sentido oposto, o

    momento mdio nulo.

    O valor esperado para o quadrado do momento :

    O nome operador decorre do fato de que ao introduzi-lo na funo de onda ele operar a funo de onda, uma vez que participa da derivada nela contida.

    Postulado de Bohr

    De acordo com o eletromagnetismo clssico, quando uma carga com movimento

    oscilatrio acelerada ela emitir radiao com a mesma frequncia que seu movimento

    oscilatrio produz. Contudo, no se observa esta emisso nos tomos, da a introduo

    do postulado de Bohr que afirma que os eltrons orbitam os ncleos em estados

    estacionrios.

  • 46 (Y...) Fsica Quntica P2

    A probabilidade de localizar um eltron dada pela multiplicao da carga pela

    funo distribuio de probabilidade:

    Desta forma se mede a densidade de carga (). Os vrios estados possveis para o eltron so definidos por diferentes valores de

    n, assim, cada funo de onda pode ser denominada como n. Consideremos dois estados estacionrios: n = 1 e n = 2. Chamemos as funes

    de onda para estes dois estados de n e m:

    Estado estacionrio 1: n Estado estacionrio 2: m

    Lembrando que os valores de n foram atribudos de maneira aleatria, isto ,

    poder-se-ia considerar quaisquer valores.

    A funo de onda que descreve a mudana de estado estacionrio para um eltron igual a soma das funes de onda de cada estado estacionrio isolado:

    Se a = 0, ento a funo de onda do estado n nula, de modo que o eltron estar no estado estacionrio m;

    Se b = 0, ento a funo de onda do estado m nula, de modo que o eltron estar no estado estacionrio n;

    Se a 0 e b 0, ento o eltron est em uma posio intermediria ao estado n e m. Assim, mn no uma probabilidade de onde o eltron estar, e sim uma mistura de estados. A probabilidade de localizar um

    eltron entre as rbitas m e n dada pela multiplicao da funo de

    onda pelo seu complexo conjugado, isto :

    =

    Consideremos primeiramente os termos em que aparecem a2 e b

    2:

    Nesta parte da funo de onda, no h interferncia do tempo.

    Se a carga estiver parada sobre um estado, seja ele a ou b, no haver emisso de

    radiao, assim como Bohr postulou. Assim, se a carga estiver em repouso em um

    estado estacionrio, o outro estado ser zero, isto , se a carga estiver em a, b = 0, ou se

    a carga estiver em b, a = 0, para ambos os casos o termo cruzado da equao de onda

    ser tambm ser zero.

  • 47 (Y...) Fsica Quntica P2

    Misturas de estados

    Imaginemos que o eltron esteja entre o estado a e o b, isto , na equao de

    onda a e b so diferentes de zero.

    Nesta situao a e b tem dependncia temporal, assim, da equao de onda de

    Schrndiger com dependncia do tempo insere uma exponencial na equao:

    Pela relao de de Broglie:

    Ao somar com

    temos a soma de eix com e

    -ix:

    Portanto, a probabilidade |nm(x,t)|2 igual a:

    A funo de onda constituda pela mistura de dois estados de energia leva a uma

    distribuio de carga que oscila com frequncia de Bohr (nmt):

    h = hnm = En - Em

  • 48 (Y...) Fsica Quntica P2

    Reflexo e transmisso de ondas

    Na mecnica clssica bem conhecido os fenmenos ondulatrios, como

    refrao, difrao e reflexo, de tal modo que sabido que quando um feixe de luz

    passa por uma barreira que separa dois meios diferentes de se esperar que o feixe seja

    difratado e parte seja refletido, em funo das caractersticas do meio.

    Como o eltron comporta-se como onda, estes mesmos fenmenos podem ser

    observados no eltron.

    Este tipo de analise feita a partir de problemas como Potencial Degrau ou

    Potencial Poo Quadrado.

    Potencial degrau

    O fenmeno da refrao ser observado nos casos em que o eltron apresentar

    energia cintica maior do que a energia potencial da barreira.

    A funo degrau pode ser descrita como:

    Considere um eltron se movendo da esquerda para a direita com energia E. A

    partir da fsica clssica extra-se a resposta de que:

    Se a energia cintica maior que a potencial, ao encontrar a barreira a energia

    total do eltron ser reduzida, diminuindo assim a sua velocidade

    ;

    Se a energia cintica menor que a potencial, por exemplo, se uma bola no tem

    energia cintica suficiente para superar uma rampa, a bola retornar sua posio

    original, no conseguindo ultrapassar esta barreira.

    O resultado da mecnica quntica semelhante ao resultado clssico quando E <

    Vo, porm muito diferente quando E > Vo:

  • 49 (Y...) Fsica Quntica P2

    A equao de Schrdinger para as duas regies so:

    Antes da barreira potencial (x0):

    Os nmeros de onda k1 e k2 so:

    A partir dos valores de k1 e k2, obtm-se as velocidades antes e depois da

    barreira potencial. Sendo:

    Antes da barreira:

    Depois da barreira:

    As duas equaes indicam uma reduo na velocidade do eltron. A mudana na

    velocidade implica na mudana do comprimento de onda ( = h/p):

  • 50 (Y...) Fsica Quntica P2

    Antes da barreira:

    Depois da barreira:

    Como a velocidade do eltron diminui, seu comprimento de onda aumenta.

    primeira vista, a amplitude da onda transmitida deveria ser necessariamente

    menor que a amplitude da onda incidente, porm, ||2 proporcional densidade de partculas, assim, como aps a barreira as partculas se movem mais lentamente a

    probabilidade de localizar partculas em uma regio poder ser maior aps a barreira

    potencial.

    O eltron ser refratado e refletido, isto , parte dos eltrons retornar (o que no

    explicado pela fsica clssica, que considera o eltron somente como partcula).

  • 51 (Y...) Fsica Quntica P2

    A taxa de reflexo depender do nmero da onda (k). A determinao do

    coeficiente de reflexo ser calculado com a seguinte frmula:

    Entre as consequncias do fato de que as solues da equao de Schrdinger

    apresentarem um comportamento ondulatrio, podemos destacar as seguintes:

    O coeficiente de reflexo R no nulo para E > Vo. Assim ao contrrio do que

    acontece no caso clssico, algumas partculas so refletidas pelo degrau de potencial

    mesmo que tenham energia suficiente para ultrapass-lo (esse fenmeno anlogo

    reflexo de ondas eletromagnticas na interface de dois meios com ndices de refrao

    diferentes);

    O valor de R depende da diferena de k1 e k2, mas no depende do sinal da

    diferena; em outras palavras, o coeficiente de reflexo seria o mesmo se as partculas

    estivesses se movendo de uma regio de potencial maior para um regio de potencial

    menor.

    Potencial do poo quadrado

    Quando uma onda de eltrons passa sobre um poo quadrado, parte deles pode

    ser refletida e retornar da direo que veio.

  • 52 (Y...) Fsica Quntica P2

    Alm disso, pode ocorrer de eltrons no terem energia suficiente para

    ultrapassar o poo e no serem refletidos, permanecendo enclausurados dentro do poo

    quadrado.

    Energia menor que o potencial

    Classicamente, espera-se que todas as partculas sejam refletidas quando x = 0.

    Entretanto, quanticamente, nem todas as partculas so refletidas no ponto x = 0.

    A figura abaixo mostra a funo de onda para o caso em que E < Vo. A funo

    de onda no se anula para x>0 ,as a amplitude diminui exponencialmente, como no caso

    do poo quadrado infinito. A onda penetra ligeiramente na regio classicamente

    proibida (x>0), mas em seguida completamente refletida (isso no significa que

    partculas com energia cintica negativa sejam observadas nessa regio, j que observar

    uma partcula nessa regio introduz uma indeterminao ou incerteza no momento que

    corresponde a uma energia cintica mnima maior que Vo E).

    Barreira potencial

    Supondo uma situao em que existem 3 meios: o primeiro (I) anterior a barreira

    potencial , o segundo (II) no qual est a barreira potencial e por fim o terceiro meio

    (III), onde no existe mais a barreira potencial.

    Quando E < Vo a amplitude da funo de onda no cai bruscamente para zero na

    fronteira entre duas regies, contudo, apresenta um decaimento exponencial a medida

    que penetra na regio II.

    A partir da fronteira das regies II e III, a funo de onda volta a apresentar um

    comportamento senoidal, conforme figura abaixo:

    Isso significa que existe uma probabilidade finita de que a partcula representada

    pela funo de onda seja encontrada do outro lado da barreira, embora classicamente

  • 53 (Y...) Fsica Quntica P2

    no tenha energia suficiente para ultrapass-la. Esse fenmeno conhecido como efeito

    tnel ou tunelamento.

    Para que ocorra o efeito de tunelamento necessrio que:

    A energia da partcula seja inferior a energia da barreira, caso contrrio sua

    funo de onda poder no atingir a barreira, ou seja, a funo de onda pode passar

    sobre a barreira potencial sem sofrer nenhuma alterao que caracterize o efeito de

    tunelamento;

    A fase da onda deve ser tal que, ao entrar na barreira a onda deve decair, caso

    no esteja em fase, pode ser que quando a funo de onda atingir a barreira de potencial

    esta apresente o valor zero o que impedir a formao do efeito tnel;

    Apesar de ter de decair ao entrar na barreira de potencial, o decaimento no pode

    ser to significativo, para que ao terminar a barreira potencial a funo de onda

    apresente valores de potencial superiores a o, caso o valor seja zero, no ser possvel

    observar a funo de onda aps a barreira potencial. Pode-se subentender que a largura

    da barreira potencial tambm no pode ser muito grande, pois se for muito grande

    dificilmente a funo de onda sair da barreira potencial com valor diferente de zero;

    Se a constante de decaimento for grande no h penetrao.

    O decaimento de partculas exibem o efeito tnel, razo pela qual o decaimento ocorre de maneira gradual.

    Equao de Schrndiger para N dimenses

    At este momento, a equao de Schrdinger foi aplicada a problemas

    unidimensionais, contudo, a equao de onda pode ser aplicada para N dimenses.

    A diferena na forma da equao de Schrdinger para situaes de uma

    dimenso, duas dimenses, trs dimenses e assim por diante quantidade de derivadas

    parciais nela contida, isto , para cada dimenso considerada deve haver uma derivada

    parcial correspondente, por exemplo, a seguir est expressa uma equao para sistemas

    tridimensionais:

    A soluo para equaes com trs derivadas parciais ser igual quela obtida

    para uma dimenso, isto ,

    Como j calculado,

    Observando que, se considerarmos um cubo com dimenses iguais, tem-se: Lx =

    Ly = Lz.

  • 54 (Y...) Fsica Quntica P2

    Estados degenerados

    A energia total depender dos nmeros qunticos (n) envolvidos. Sabendo-seque

    os valores de n podem se combinar de diferentes formas, possvel que o valor da

    energia seja igual considerando estados qunticos diferentes, por exemplo:

    n1 = 1; n2 = 0; n3 = 0. E = 1;

    n1 = 0; n2 = 1; n3 = 0. E = 1;

    n1 = 0; n2 = 0; n3 = 1. E = 1.

    Nota-se que os nmeros qunticos envolvidos so diferentes, mas a energia da

    equao de onda a mesma, portanto, tem-se estados degenerados.

    No estado fundamental os nmeros qunticos apresentam os menores valores

    possveis, de modo a apresentar a menor energia.

    Equao de Schrdinger para duas ou mais partculas

    At o momento foram considerados problemas que envolviam somente uma

    partcula, portanto, torna-se conveniente analisar processos que envolvam mais de uma

    partcula, pois, por exemplo, a maioria dos tomos apresenta mais de um eltron.

    Quando mais de um eltron est no sistema eles interagem entre si, de forma que

    torna-se impossvel efetuar a separao de variveis como recurso para solucionar a

    equao diferencial, desta forma, no possvel resolver as equaes de Schrdinger

    analiticamente nestes caso, somente de forma numrica a resoluo possvel.

    A equao de Schrdinger, nestes casos, envolve a derivada parcial em funo

    de todas as partculas envolvidas no sistema, por exemplo, para um sistema com dois

    eltrons ser a equao apresentar-se- da forma:

    Em um sistema clssico quando dois corpos se chocam eles se separam,

    apresentando trajetrias bem definidas, contudo, quando dois corpos de pequenas

    dimenses que sigam as leis da mecnica quntica se chocam, no possvel observar

    trajetrias bem definidas, em funo da incerteza envolvida no espao.

    Quando mais de um eltron est envolvido em um sistema, eles so

    indistinguveis, de modo que no possvel identific-los. Por este motivo existe o spin.

    Nos casos em que as partculas no interajam entre si, por exemplo, em uma

    caixa contendo dois nutrons, no haver interao entre eles, nestes casos possvel

    efetuar a separao de variveis. Quando a separao de variveis permitida, a

    equao de Schrdinger pode ser escrita da seguinte forma:

    Ou seja, a probabilidade de localizar uma partcula igual a soma da

    probabilidade de localizar cada uma das partculas.

  • 55 (Y...) Fsica Quntica P2

    Nos casos em que as partculas so indistinguveis, tem-se:

    Como no possvel distinguir os eltrons, a probabilidade de encontrar x1 ou x2

    a mesma portanto:

    Ou seja, a troca de x1 por x2 no altera o resultado. Caso as funes sejam

    simtricas, tem-se:

    Caso as funes sejam assimtricas, tem-se:

    As solues para estas equaes de onda sero:

    Nos estados degenerados, tem-se n = m:

    Portanto, se a funo de onda for simtrica duas partculas podem ter o mesmo

    conjunto de nmeros qunticos, para os casos em que as funes de onda forem anti

    simtricas, no possvel que estas partculas possam ter os mesmos conjunto de

    valores de nmeros qunticos.

    Os eltrons so exemplos de partculas que apresentem funes assimtricas,

    portanto, no podem ocupar estados degenerados. A partir da anlise das funes de

    onda anti simtricas, foi proposto o princpio de excluso de Pauli, o qual afirma que

    duas partculas com funes de onda anti simtrica no podem ter o mesmo conjunto de

    nmeros qunticos de valores para seus nmeros qunticos.

    Exemplos de partculas que apresentam equaes de onda simtricas: partcula alfa, duterons, ftons e msons. Os bsons tm simetria.

    Exemplos de partculas que apresentam equaes de onda anti simtrica: eltrons, prtons, nutrons. Assim, dois eltrons no podem ter a mesma

    energia, seno a funo de onda deles degenerada.

    No laser possvel observar partculas com a mesma energia, ou seja, neste caso

    so observados estados degenerados, isto implica que as funes de onda destas

    partculas so simtricas.

  • 56 (Y...) Fsica Quntica P2

    Laser

    O laser produzido por ftons.

    O mais simples formado por dois nveis de energia (um no estado fundamental

    e outro estado excitado) com um nvel intermedirio metaestvel:

    Quando um eltron do estado fundamental recebe energia seja proveniente de

    um fton ou de uma diferena de potencial, ele se excita e migra para o estado E2.

    Os eltrons excitados podem decair para o estado intermedirio. Por

    probabilidade o eltron decai para o estado fundamental, emitindo fton. Este fton

    estimular todos os eltrons presentes do estado metaestvel a decarem

    simultaneamente para o estado fundamental, como o decaimento ser igual para todos

    estes eltrons a intensidade do fton produzido igual tambm.

    A potncia do laser depender do nmero de ftons emitidos e a cor do laser

    depender do material empregado.

    O tomo de hidrognio

    A equao de Schrndiger em trs dimenses, com potencial V(r).

    Como o tomo apresenta caractersticas esfricas, conveniente transformar as

    coordenadas em coordenadas polares, assim:

    Como o potencial s depender do raio (considerando uma massa reduzida do

    prton devido a atrao exercida pelo eltron), possvel realizar a separao das

    variveis, de modo que a equao da onda de Schrdinger para o tomo de hidrognio

    ser:

  • 57 (Y...) Fsica Quntica P2

    Desta forma, tem-se a equao de onda de Schrdinger para o tomo de

    hidrognio em coordenadas polares:

    A composio da equao de onda pode ser analisada como:

    R(r): soluo radial;

    f( ) e g(): soluo angular. Sendo f( ) um polinmio de Lagrange e g() uma exponencial.

    A cada uma das variveis permitido um nmero quntico, assim, existem trs

    nmeros qunticos: n, l e m. Para cada nmero quntico existe uma soluo especifica,

    conforme a tabela abaixo:

    A partir da informao sobre os nmeros qunticos, possvel determinar um

    padro para as equaes de onda de Schrdinger, conforme abaixo:

    Spin