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  Anexos II e V sobre Simulação do livro “Apoio à Decisão em Gestão da Manutenção” Lidel, 2004 Rui Assis [email protected]  http://www.rassis.com 

Resumo Simulacao

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Anexos II e V sobre Simulação do livro“Apoio à Decisão em Gestão

da Manutenção”

Lidel, 2004

Rui Assis [email protected] 

http://www.rassis.com 

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 3

ANEXO II – Método de Simulação de Monte-Carlo 

O método de simulação de Monte-Carlo desenvolve-se ao longo dasseguintes fases:

Fase 1 – Definimos a função de probabilidade acumulada  P ( x), davariável aleatória  x, a qual pode ser uma distribuição teórica(Uniforme, Triangular, Normal, Beta, Weibull , etc.) ou umadistribuição empírica qualquer. A figura seguinte representa umafunção de probabilidade acumulada P ( x) da variável aleatória x;

Fase 2 – Escolhemos um número aleatório equiprovável entre 0 e 1

numa tabela de números aleatórios (ou usando a função RAND() noEXCEL). Representamos este número  y p no eixo das ordenadas dafunção P( x);Fase 3 – Projectamos y p horizontalmente até à curva  P ( x), definindo-se o ponto P. Projectamos este ponto, por sua vez, sobre o eixo dasabcissas, definindo-se o valor x p de uma amostra;Fase 4 – Repetimos o procedimento e obtemos uma amostra.

 Exemplo II.1

O tempo de reparação de um órgão pertencente a um equipamentosobre o qual não existe informação anterior, foi estimado por diversosespecialistas. O tratamento em frequência das respostas forneceu oresultado que se mostra no Quadro II.1.

Tempo estimado(horas)

(1)

Frequênciasrelativas

(2)

Frequênciasrelativas

acumuladas

(3)

Intervalos defrequência

relativaacumulada

(4)

Até 2,0Até 2,5Até 3,0Até 3,5

0,250,300,250,20

0,250,550,801,00

0,00 – 0,250,26 – 0,550,56 – 0,800,81 – 1,00

 Figura II.1 – Função de

 probabilidade acumulada P(x)

Quadro II.1 –Tratamento das

 respostas em frequência

 P(x)

1

 y p 

 x p x

 P 

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Técnicas de Simulação 

4 – Rui Assis

Se quisermos simular esta actividade, construímos o Quadro II.2. Nacoluna da esquerda introduzimos números aleatórios entre 0 e 1. Nacoluna da direita inscrevemos os tempos (coluna (1) do Quadro II.1)correspondentes aos intervalos de frequência relativa acumulada(coluna (4) do Quadro I.1) aos quais aqueles números pertencem.

Números aleatórios Valores simulados

0,670,250,800,210,100,540,600,490,780,66

3,002,003,002,002,002,503,002,503,003,00

 Exemplo II.2

A expressão que permite gerar um número aleatório a partir dadistribuição de probabilidade Uniforme é a seguinte:

  x = x0 + r.(x1 – x0 )

Uma variável apresenta uma distribuição de probabilidade uniformecom limites: inferior  x0 = 5 e superior  x1 = 10. Se gerarmos um

número aleatório r  = 0,75, qual o valor correspondente da variávelaleatória?

Aplicando a expressão anterior, obtemos:

 x = 5 + 0,75 x (10 – 5) = 8,75

 Exemplo II.3

A expressão que permite gerar no EXCEL, um número aleatório apartir da distribuição de probabilidade Weibull é a seguinte:

 x = β .[-ln(r)]1/ α 

 

Uma variável apresenta uma distribuição de probabilidade Weibull  com os parâmetros α  = 1,8 e  β  = 1.000. Se gerarmos um númeroaleatório r = 0,75, qual o valor correspondente da variável aleatória?

Aplicando a expressão anterior, obtemos:

 x = 1.000 x [-ln(0,75)]1/1,8 = 1.500

Quadro II.2 –Tempos simulados a

 partir da geração de números aleatórios pelo método de Monte-Carlo

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 5

ANEXO V – Técnicas Básicas de Simulação 

A simulação é uma forma de imitar a realidade sem correr os riscos,os custos e o tempo que resultariam se tivéssemos de experimentar.Para o fazermos, criamos um modelo matemático que descreva ocomportamento ao longo do tempo do sistema que vamos estudar.

Um modelo considera os elementos existentes no mundo realinterrelacionados e funcionando com objectivos. O construtor domodelo deve focar a sua atenção apenas nos elementos maisimportantes e na natureza das suas interrelações, com o objectivoúltimo de conseguir melhorar o desenho e funcionamento do sistemarepresentado pelo modelo.

Existem muitos tipos de modelos. Uns são físicos outros sãosimbólicos. Os modelos físicos compreendem os modelos icónicos e

os analógicos. Os modelos simbólicos compreendem os modelosverbais e matemáticos.

Os modelos matemáticos – os únicos que nos interessam neste curso –possuem várias características. Podem diferir nos objectivos(descrição versus optimização), modo de análise (analítico versus numérico) e aleatoriedade (determinístico versus probabilístico).

Os modelos de simulação contêm equações que expressam relaçõesentre variáveis de interesse. Por exemplo: CT = CF + cv.Q 

As variáveis de um modelo de simulação podem classificar-se comode saída, saída intermédia, externas, políticas, aleatórias oudeterminísticas.

Conceito de sistema

 Figura V.1 – Modelo

 de um sistema

Tipos de modelos

Modelos

matemáticos

 Figura V.2 –Variáveis de um

 modelo

Processo SaídasEntradas

FronteiraMeio

Retorno

Variáveisexternas

Variáveispolíticas

Variáveisaleatórias

Variáveisdeterminísticas

Modelo

Variáveis desaída intermédia

Variáveis desaída

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Técnicas de Simulação 

6 – Rui Assis

Dependendo da natureza do sistema e das características de interessepode usar-se um modelo de simulação discreto, contínuo oucombinado. Os modelos discretos são os mais populares.

A simulação é um método muito potente de análise que, devido ao

tempo e custo necessários, só deve ser usado depois de esgotadas asalternativas:

  Modelos matemáticos;  Experiências com o sistema real ou com um seu protótipo;  Experiência e intuição pessoais.

O ciclo de vida de um modelo de simulação compreende três fases.

  Na fase de definição, o problema é transmitido ao analista que oconceptualiza e constrói uma solução técnica;

  Na fase de desenvolvimento, constrói-se o modelo, valida-se ecoloca-se em utilização;

  Na fase de apoio à decisão, o gestor manipula o modelo e decidecolocando questões do tipo "O que é que acontece se ...?" (what-if 

...?).

Muitas vezes os modelos de simulação são componentes de sistemasde informação para gestão e de sistemas de apoio à decisão,compartilhando as mesmas bases de dados.

Um modelo de simulação pode proporcionar uma representaçãobastante fiel do mundo real. Esta representação não é possível, grandeparte das vezes, com modelos analíticos.

A simulação de processos probabilísticos requer o uso do método deMonte-Carlo.

No caso de variáveis discretas, se existirem dados históricos cujopadrão possa repetir-se no futuro, analisam-se os dados em frequência.Se não existirem esses dados, estimam-se em probabilidade.Calculam-se, assim, as distribuições em probabilidade simples e

acumulada de cada variável. Seguidamente, aloca-se a cada valorpossível da variável, um intervalo de números aleatórios proporcionalà probabilidade da sua ocorrência. Produz-se então uma amostra devalores da variável, gerando números aleatórios e seleccionando osvalores da variável que lhe estão associados. Veja-se a seguir umexemplo para geração da função Z = 5x + 2y.

Vantagens e

desvantagens

Ciclo de vida de ummodelo

Simulação de

Monte-Carlo 

Método deamostragem deMonte-Carlo

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 7 

Valores de x Intervalosde referencia

Valores de y Intervalosde referencia

0123

45

00 - 0910 - 2930 - 5455 - 79

80 - 9495 - 99

2345

00 - 2425 - 5455 - 7980 - 99

Ensaio Nºaleatório

para x  x

Nºaleatório

para y y

Valor de Z

= 5x + 2y 

12345678

4396575314033340

25321022

2250133691584543

23235433

143119161581616

O número de repetições do processo depende da precisão estatísticadesejada.

Um modelo de simulação de Monte-Carlo pode prever ocomportamento de um sistema de gestão do  stock  de um artigo,fornecendo como variáveis de saída: o nível médio e nível máximo de

 stock e os custos de posse, de encomendas e de roturas. Estes valoresdependem do conjunto de variáveis de decisão: ponto de encomenda e

quantidade por encomenda ou periodicidade de encomenda e nível de stock objectivo – conforme usemos o modelo de revisão contínua oude revisão periódica, respectivamente.

Um modelo de simulação de uma fila de espera permite obter comovariáveis de saída: os tempos de espera dos clientes e o comprimentoda fila, bem como, os tempos de ociosidade dos atendedores. Estesvalores dependem do tempo entre chegadas e dos tempos deatendimento (variáveis independentes) e do número de atendedores(variável de decisão).

A optimização por simulação consegue-se por aproximaçõessucessivas à zona óptima, fazendo variar o conjunto de todas asvariáveis de decisão.

A figura seguinte mostra o caso de sucessivas iterações para encontraro conjunto de valores das variáveis de entrada X e Y que minimizam avariável de saída  Z . O ponto  P  corresponde ao óptimo, ou seja, aomínimo dos mínimos de Z .

Quadro V.1 – Valores aleatórios de duasvariáveis x e y a partir

 de distribuiçõesempíricas de

 probabilidade

Caso em Gestão de stocks 

Caso de uma fila deespera

Optimização emsimulação

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Técnicas de Simulação 

8 – Rui Assis

Uma componente muito importante de um modelo de simulação

consiste na amostragem dos processos probabilísticos. Oprocedimento que permite executar uma amostragem designa-seprocesso gerador. O processo gerador de distribuições deprobabilidade empíricas é mais difícil do que o das distribuições deprobabilidade teóricas. O processo gerador das distribuições teóricasrequer apenas que o analista introduza os parâmetros apropriados acada tipo de distribuição.

Existem diferenças também nos processos geradores conforme se tratade distribuições discretas ou contínuas.

No caso das distribuições contínuas teóricas, tais como a uniforme, aexponencial negativa e a triangular, o processo gerador pode serobtido pelo método inverso. Com este método, a distribuição simplesé integrada para obter a sua versão acumulada. A equação resultante éigualada a r  (número aleatório uniforme) e resolvida de forma aobtermos a variável aleatória x em função de r .

Distribuição contínua Uniforme

O gerador da distribuição uniforme é:

  x = A + r.(B – A)

 Figura V.3 – Mínimo dos mínimos dasvárias funções Z(X,Y)

Distribuições de

Probabilidadeteóricas

Distribuições deprobabilidadecontínuas

 Figura V.4 – Distribuiçãouniforme

 Expressão V.1

Y 8 

  X* X 

 Z 

 Z mín

 P 

Y 1 

Y 2 Y 3 

Y 4 

Y 5 

Y 6  

Y 7  

  A B x

 p(x)

1/(B-A)

0

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 9

No EXCEL, podemos gerar qualquer valor x da distribuição uniforme,entre B e A ( B >  A), fazendo:

 x = A + RAND()*(B – A)

Distribuição contínua Exponencial

O gerador da distribuição exponencial é:

 λ

(r)ln x −=  

No EXCEL, podemos gerar qualquer valor  x da distribuiçãoexponencial, fazendo:

 x = -LN(RAND()) / λ  

Distribuição contínua Triangular

O gerador da distribuição triangular, quando r < (L – O) / (P – O), é:

O)O).(P r.(LO x −−+=  

O gerador da distribuição triangular, quando: r  ≥  (L – O) / (P – O), é

O) L).(P r).(P (  P  x −−−−= 1  

Apoio do EXCEL

 Expressão V.2

 Figura V.5 – Distribuiçãoexponencial 

 Expressão V.3

Apoio do EXCEL

 Expressão V.4

 Figura V.6 – Distribuição triangular

 Expressão V.5

 Expressão V.6 

0 x

 p(x)

λ  

0

O L P x

 p(x)

2/(P-O)

 

0

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Técnicas de Simulação 

10 – Rui Assis

Distribuição contínua Normal

A distribuição acumulada da Normal não pode ser obtida porintegração – razão pela qual usamos outros métodos, tais como o de

 Box-Muller .

O gerador da distribuição Normal é:

σ π μ  .)2cos().ln(.2 21 r r  x −+=  

No EXCEL, podemos gerar qualquer valor  x da distribuição Normal,fazendo:

 x = NORMINV(RAND();μ ;σ ) ou

 x = μ + NORMSINV(RAND())*σ  

A amostragem a partir de distribuições teóricas discretas, tais como a Bernoulli, binomial e Poisson, é realizada através de um procedimentode contagem dos valores assumidos pela variável aleatória.

Distribuição discreta de Bernoulli 

O gerador da distribuição de Bernoulli é:

 p(x) = p para x =1 p(x) = 1 – p para x = 0

Distribuição discreta Binomial

O gerador da distribuição binomial é:

em que:

n – número de ensaios (tamanho da amostra); P – probabilidade de sucesso de um ensaio;

 Figura V.7 –

 Distribuição Normal 

 Expressão V.7 

Apoio do EXCEL

 Expressão V.8

 Expressão V.9

Distribuições

discretas

 Expressão V.10

 Expressão V.11

⎯     x x1 x

0 Z 

 P(x ≤ x1 ) = A

 p(x)

0

 A

 xnk  P).(  P  x)! x!(n

n! p(x) −−

−= 1

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 11

 x – variável aleatória que representa o número de sucessos emn ensaios (0 ≤  x ≤ n).

Distribuição discreta de Poisson 

O gerador da distribuição de Poisson é:

! x

e. ) x(  p

 x λ λ  −

=  

em que:λ – número médio de ocorrências por intervalo de tempo;

 x – número de ocorrências no intervalo de tempo (0 ≤  x ≤ ∞ ).

Uma distribuição teórica só pode ser usada em lugar de umadistribuição observada (empírica), depois da realização de um teste de

aderência (ou de ajustamento). Os testes de Qui-quadrado e de Kolmogorov-Smirnov são os mais populares. A utilização de  software adequado permite realizar rapidamente estes testes.

Distribuição discreta Uniforme

No EXCEL, pode-se gerar qualquer valor x da distribuição Uniformeentre B e A ( B >  A), fazendo:

 x = RANDBETWEEN(A;B)

Complementos das técnicas de simulação 

A qualidade dos números aleatórios é fundamental para um estudo desimulação. Os números aleatórios podem ser obtidos numa tabela (dasmuitas publicadas) ou em  software para o efeito. Por vezes osnúmeros aleatórios não se encontram disponíveis e o analista tem quesaber gerá-los e testar a sua qualidade.

Um gerador de números aleatórios deve gerar númerosverdadeiramente aleatórios (equiprováveis), ser rápido, não requerermuito espaço de armazenagem, possuir um longo período de ciclo,não degenerar e ser capaz de repetir sequências pré-definidas.

Um gerador de números aleatórios deve passar qualquer testeestatístico de aleatoriedade.

O objectivo da fase de desenho experimental de um modelo desimulação, consiste em conseguir o desenho efectivo e eficiente deuma experiência, de forma a determinar o efeito de diferentesvariáveis no comportamento do sistema que o modelo representa.Trata-se pois de uma forma de conhecer a resposta do sistema a

diferentes factores.

 Expressão V.12

Software forGoodness-of-fit tests:

Crystal Ball ,Stat::Fit, BestFit, ExpertFit, etc.

 Expressão V.13

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Técnicas de Simulação 

12 – Rui Assis

O número de factores pode ser apenas um ou vários. Cada factor podevariar ao longo de todo o intervalo possível ou apenas ao longo departe, dizendo-se que o desenho experimental é completo ou parcial,respectivamente.

Os modelos de simulação empregam os seguintes métodos de avançodo tempo: próximo acontecimento (o relógio progride por saltosdesiguais); incremento fixo (o relógio progride por saltos iguais). Aselecção de um ou outro método depende do tipo de aplicação, dalinguagem de programação usada, do tempo disponível para correr omodelo e da precisão da informação requerida.

Próximo acontecimento:

Incremento temporal fixo:

Quando se inicia uma corrida de um modelo de simulação, existe umperíodo inicial transitório antes de se entrar no regime estacionário. Ointeresse da análise pode situar-se no período transitório ou noestacionário ou em ambos, dependendo das características de interessedo sistema que se pretendem captar. Este facto determina quais ascondições do estado inicial que deverão ser usadas e o período detempo a simular de forma a poder coligir e analisar dados suficientes.

Quando as observações das variáveis de saída são estatisticamenteindependentes (ou quase), pode utilizar-se as fórmulas da amostragem

simples para calcular o número necessário de iterações.

 Figura V.8 – Métodos de avanço do tempo: próximo acontecimento ou porincremento fixo

 Figura V.9 – Regime

 transitório e regimeestacionário

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Tempo

  A5 A6 A7 

Relógio

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Tempo

  A5 A6 A7 

Relógio

Regime transitório Regime estacionário

Tempo

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 13

A validação de um modelo ao longo das várias fases dedesenvolvimento é muito importante. A validação compreende:

  O teste dos pressupostos;  O teste empírico das relações usadas;  A comparação das saídas do modelo com os dados colhidos do

sistema real representado.

Devido à natureza probabilística das variáveis de saída, os seusvalores médios devem ser expressos em intervalos de confiança.

Intervalo de confiança da média quando n < 30

⎯   n

 s.t  x

α2

±  

Intervalo de confiança da média quando n ≥ 30

⎯   n

 s. Z  x

α2

±  

No caso das proporções, será:

( )n

 p. p. Z  p

α

−±

1

em que α é o nível de significância.

 Figura V.10 – A amplitude dointervalo de

 confiança decresce com o aumento do nº  de observações n

 Expressão V.14

 Expressão V.15

 Expressão V.16 

Nº de observações (n)

A amplitude do intervalo

de confiança atinge umvalor limite (precisão)

+Z α  /2.s/ √ n

- Z α  /2.s/ n

±ε

Probabili- dades(%)

 X - 1,96.s X X + 1,96.s x

-1,96 0 +1,96 Z 

95 %

2,5 %2,5 %

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Técnicas de Simulação 

14 – Rui Assis

O desenvolvimento bem sucedido de um modelo de simulação requermais do que competência técnica. O analista deve seguir um processológico e sistemático de desenvolvimento do modelo e deve saberrelacionar-se com os futuros utilizadores de forma a gerar interesse eaceitação.

As fases do processo de concepção, teste e implementação de ummodelo incluem:

  A identificação do problema e definição de objectivos;  A ponderação de potenciais custos e benefícios;  A colheita de dados e desenvolvimento do modelo;  A validação do modelo;  Implementação dos resultados.

Durante o desenvolvimento de um modelo é fundamental que haja

envolvimento do utilizador final e haja apoio por parte dos gestores.

Deve haver muito cuidado na definição do problema e selecção dainformação necessária. O desenho do modelo deve ter em conta averdade dos dados, a forma como os utilizadores tomam decisões e aforma como o modelo irá ser utilizado. Uma boa regra consiste emconstruir um modelo pequeno e expandi-lo mais tarde quando asituação o exigir.

Um modelo só deverá ser usado se o utilizador final perceber a suavalidade e utilidade.

Concepção demodelos desimulação 

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Técnicas de Simulação 

 Rui Assis – 15

Livros sobre Estatística e Simulação

ALBRIGHT, WINSTON, ZAPPE, Data  Analysis and Decision Making with Microsoft  Excel , Duxburry PressCURTO, J.J. DIAS, EXCEL para Economia e Gestão, 1998, Edições SílaboEVANS, JAMES R. E OLSON, DAVID L.,   Introduction to Simulation and Risk 

 Analysis, New Jersey, Prentice Hall, Inc. 1998GUIMARÃES, RUI CAMPOS e CABRAL, JOSÉ A. SARSFIELD, Estatística, 1997,Mc Graw Hill de PortugalLAW, AVERILL M. e KELTON, W. DAVID, Simulation Modeling and Analysis,McGraw-Hill International Series, 2000MONTGOMERY, DOUGLAS C. e RUNGER, GEORGE C.,   Applied Statistics and  Probability for Engineers, 1999, John Wiley & Sons