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Autor(a): Yasmmin Côrtes Martins.

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Índice

1. Introdução................................................................................................................... ................................2

2. Axiomatização da geometria.......................................................................................................................2

3. Período Nazista............................................................................................................................. ...............2

4. A curva de Hilbert............................................................................................................................. ..........3

5. Problemas de Hilbert...................................................................................................................................3

5.1. Lista e situação dos problemas.......................................................................................... ...................3

6. O 24º problema............................................................................................................................................6

7. Bibliografia............................................................................................................................. .....................6

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1. Introdução

David Hilbert foi um matemático alemão que contribuiu para a matemática com idéias brilhantes que distribuíram-se a

diversas de suas áreas. Ele nasceu em Königsberg no dia 23 de janeiro de 1862, atualmente Kaliningrado, onde

estudou na Universidade de Königsberg. Em 1895 foi nomeado para Göttingen, onde ele ensinou até se aposentar,

em 1930. E morreu em Göttingen no dia 14 de fevereiro de 1943.

Hilbert é freqüentemente considerado como um dos maiores matemáticos do século XX, no mesmo nível de Henri

Poincaré. Deve-se a ele principalmente a lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, que

ele apresentou em 1900 no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris.

Contribuições dele à Matemática são diversas :

Consolidação da teoria dos invariantes, que foi o objeto de sua tese.

Transformação da geometria euclidiana em axiomas, com uma visão mais formal que Euclides, para torná-la

consistente, publicada no seu Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria).

Trabalhos sobre a teoria dos números algébricos, retomando e simplificando, com a ajuda de seu

amigo Minkowski, os trabalhos de Kummer, Kronecker, Dirichlet e Dedekind, e publicando-os no

seu Zahlbericht (Relatório sobre os números).

Criação dos espaços que levam seu nome, durante seus trabalhos em análise sobre equações integrais.

Contribuição para as formas quadráticas, bases matemáticas da teoria da relatividade de Albert Einstein.

2. Axiomatização da geometria

O livro Grundlagen der Geometrie (tr. Fundamentos da Geometria) foi publicado inicialmente em 1899, mas teve

modificações e acréscimos nas numerosas edições posteriores. Nesse livro Hilbert apresenta um novo conjunto de

axiomas para a geometria, muito maior que o sistema original de Euclides, recolhendo importantes desenvolvimentos

realizados no século XIX e apresentando o sistema com um rigor formal muito maior.

Além do desenvolvimento propriamente geométrico, os Fundamentos de Geometria apresentam demonstrações de

independência e de consistência relativa de alguns dos axiomas, o que constitui um desenvolvimento meta-teórico.

3. Período Nazista

Infelizmente para Hilbert e a posteridade décadas após, ele viveu o suficiente para assistir ao fim da dinastia

matemática da Universidade de Göttingen, a partir de 1933, ano da chegada de Adolf Hitler ao poder, quando os

nazistas afastaram muitos dos membros da faculdade.

Cerca de um ano após este desastre, Hilbert frequentou um banquete e sentou-se ao lado do novo ministro da

educação nazista, Bernhard Rust. Rust perguntou, "É mesmo verdade, professor, que o seu instituto sofreu muito

com a partida dos judeus e dos seus amigos?" Hilbert respondeu, "Sofreu? Não, Herr Minister, não sofreu. Ele

simplesmente deixou de existir."

Quando Hilbert faleceu em 1943, os nazistas tinham praticamente acabado com a universidade, uma vez que muitos

de seus membros eram judeus, ou casados com judeus. Seu funeral foi presenciado por menos de uma dúzia de

pessoas, das quais apenas duas eram colegas da universidade.

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4. A curva de Hilbert

8 passos da construção da curva fractal de Hilbert.

A curva de Hilbert é uma curva fractal contínua que foi descrita pela primeira vez por David Hilbert em 1891. Fractais

são figuras formadas pela repetição de padrões de determinadas funções ou de modelos geométricos como nesta

figura. Algumas são complexas e geralmente são geradas via simulação computacional.

5. Problemas de Hilbert

São uma lista de 23 problemas em matemática propostos pelo matemático alemão David Hilbert na conferência do

Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900. Nenhum dos problemas tinha tido solução até então, e

vários deles acabaram se tornando muito influentes na matemática do século XX. Nessa conferência, ele publicou 10

dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22), e o resto da lista foi publicado mais tarde.

5.1. Lista e situação dos problemas

Os 23 problemas de Hilbert são:

Número do

problema Situação Enunciado

Problema 1 resolvido1 Provar a hipótese do continuum (HC) de Cantor

Problema 2 resolvido2 Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética

Problema 3 resolvido3 Pode-se provar que dois tetraedros têm o mesmo volume (sob certas condições)?

Problema 4 vago demais4 Construir todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas

Problema 5 resolvido5 Todo grupo contínuo é automaticamente um grupo diferencial?

Problema 6 não-matemático6 Transformar toda a Física em axiomas

Problema 7 resolvido7 a b é transcendente para a ≠ 0,1 algébrico e b irracional algébrico? (ex.: )

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Problema 8 aberto8 A Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach

Problema 9

parcialmente

resolvido9

Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico

Problema 10 resolvido10

Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução

Problema 11

parcialmente

resolvido11 Classificar as formas quadráticas a coeficiente nos anéis algébricos inteiros

Problema 12 aberto Estender o teorema de Kroneker para os corpos não abelianos.

Problema 13 resolvido13 Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de sétimo grau através de funções

de somente duas variáveis

Problema 14 resolvido14 Provar o carácter finito de certos sistemas completos de funções

Problema 15

parcialmente

resolvido15 Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert

Problema 16 aberto16 Desenvolver uma topologia de curvas e superfícies algébricas

Problema 17 resolvido17 Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de

quadrados de funções racionais

Problema 18 resolvido18 Construir um espaço euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais

densa de se empacotarem esferas?

Problema 19 resolvido19 Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente analítico

Problema 20 resolvido20 Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução?

Problema 21 resolvido21 Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo

monodrômico

Problema 22 resolvido22

Uniformizar as curvas analíticas através de funções automorfas

Problema 23 resolvido23 Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações

Notas

1. O resultado de independência de Cohen, mostrando que a hipótese do Continuum (HC) independe do axioma

de Zermelo-Fränkel e do axioma da escolha (ZFC) é freqüentemente citado para justificar a asserção que o

primeiro problema foi resolvido, apesar de que possa ser possível que a Teoria dos Conjuntos deveria ter

axiomas adicionais capazes de resolver o problema.

2. Gödel demonstrou em 1931, através do seu teorema da Incompletude, que isso não podia ser demonstrado

sem sair da aritmética. Gerhard Gentzen, no entanto, demonstrou que a resposta era afirmativa colocando-se o

problema no âmbito da Teoria dos Conjuntos.

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3. Dehn, aluno de Hilbert, mostrou que não já em 1900, demonstrando que era impossível dividir um cubo e um

tetraedro regular de mesmo volume em um número finito de poliedros idênticos dois a dois. Apesar de tudo,

o paradoxo de Banach–Tarski constitui um resultado positivo para essa questão, porém sua demonstração

depedede do axioma da escolha.

4. Segundo Rowe & Gray (veja referência abaixo), a maioria dos problemas foram resolvidos. Alguns não foram

completamente definidos, mas progresso suficiente foi feito para que se possa considerá-los como

"resolvidos"; Rowe & Gray consideram o quarto problema como vago demais para se dizer se foi ou não

resolvido.

5. O teorema de Gleason-Montgomery-Zippin, em 1953, respondeu com a afirmativa.

6. Graças à aparição da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica, o problema tornou-se rapidamente

obsoleto. No entanto, pode-se notar que a Física teórica e a Matemática se aproximam cada vez mais.

7. Os trabalhos de Gelfond, completados por Schneider e Baker, permitiram a resolução parcial deste problema

(ver Teorema de Gelfond-Schneider)

8. O problema 8 contém dois famosos problemas, e ambos permanecem sem solução. O primeiro deles,

a hipótese de Riemann, é um dos 7 problemas do Prêmio Problemas do Milênio, que têm a fama de serem os

"Problemas de Hilbert" do século XXI. Progressos foram feitos por Pierre Deligne, que demonstrou as

conjecturas de Weil, e recebeu por isso a medalha Fields en 1978, mas estima-se que a solução do problema

ainda esteja longe.

9. Resolvido por Emil Artin em 1927.

10. Foi somente com os trabalhos de Church et Turing em 1930 que se definiu rigorosamente a noção de

algoritmo. Em 1970, Yuri Matiyasevich, estabelecendo uma equivalência entre os conjuntos recursivamente

enumeráveis e os conjuntos diofantinos, estabeleceu que um tal algoritmo não podia existir.

11. O teorema de Hasse-Minkowski resolve o problema em , e Siegel resolveu-o para outros anéis íntegros.

12. -Este problema aberto é de multiplicação complexa num campo imaginário quadrático e Robert Langlands o

incluiu no seu Programa, iniciado em 1967.

13. Demonstrado por Kolmogorov e seu aluno Vladimir Arnold em 1954.

14. Nagata deu um contra-exemplo, em 1959, que mostrou a falsidade da conjectura.

15. Resolvido por van der Waerden em 1930.

16. O problema está aberto e no seu status atual, a definição da solução está em 2 conceitos: uma investigação das

posições relativas das marcas das curvas álgebricas de ordem n(e similaridades em superfícies álgebricas); a

determinação do limite superior do número de ciclos de limites em polinômios de campos vetoriais de

ordem n e uma consequente investigação de suas posições relativas.

17. Resolvido por Artin em 1927.

18. Rowe & Gray também consideram o 18° problema como "aberto" em seu livro de 2000, porque o problema de

empacotamento de esferas (também conhecido como a conjectura de Kepler) não estava resolvido, mas uma

solução para ele foi anunciada em 1998 por Thomas Hall. A outra parte do problema foi resolvida

por Ludwig Bieberbach em 1910.

19. Resolvido por Bernstein e Tibor Rado em 1929.

20. O resultado é descoberto por solução em casos não-lineares.

21. Resolvido por Helmut Rörl em 1957

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22. Resolvido por Koebe e Henri Poincaré em 1907.

23. Este problema não foi resolvido.

6. O 24° problema

Ao preparar os problemas, Hilbert havia listado 24 problemas, mas acabou decidindo não propor um deles. O 24° era

sobre um critério para simplicidade e métodos gerais em Teoria de Prova. Deve-se a descoberta deste problema a

Rüdiger Thiele, em 2000.

7. Bibliografia

http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/index.asp?PRE=hilber&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&T

CA=Y&TCS=Y&TEC=Y&TFO=Y&TGE=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y&TAD=

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html

http://www.math.pitt.edu/articles/hilbert.html

http://www.ams.org/amsmtgs/2025_abstracts/962-01-285.pdf