Retas e planos. Posições ?ão relativa... · Perpendicularidade entre recta e plano Uma recta é…

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  • Retas e planos. Posies relativas

  • Se prolongares indefinidamente e em todas as direes o tampo do quadro, obtns um

    Plano.

    Noo de Plano Recordar

  • Como desenhar um plano impossvel, convencionou-se este seria representado

    por um

    e design-lo por uma letra grega

    ou por trs dos seus pontos no colineares.

    A

    C

    B

  • Modos de definir um plano:

    Trs pontos no colineares

    Uma reta e um ponto exterior reta

    Duas retas concorrentes

    Duas retas paralelas no coincidentes

  • Concorrentes ou secantes

    Paralelos

    Estritamente Paralelos

    Coincidentes

    Posio relativa de Planos no espao

    Perpendiculares Oblquos

    ../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp
  • Reta Concorrente ou secante ao plano

    Reta Paralela ao plano

    Reta estritamente paralela ao plano

    Reta Aposta ou contida no plano

    Posio relativa de Retas e Planos no espao

    Oblqua Perpendicular

    ../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp
  • Complanares

    Concorrentes Paralelas

    Estritamente Paralelas

    No Complanares

    Coincidentes

    Posio relativa de Retas

    Oblquas Perpendiculares

    a b

    ../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp../../../-/Definies locais/Anos anteriores/Adelino/Ficheiros/PowerPoint/plano.gsp
  • No esquecer

    duas letras maisculas ou

    uma letra minscula.

    3 letras maisculas ou uma

    letra grega.

    Retas, representam-se por

    Planos, representam-se por

  • Exerccio: Considera os planos que correspondem ao prolongamento das faces do slido e completa a

    seguinte tabela.

    Planos paralelos Planos concorrentes

    ADC e EHG

    AEF e BGH

    ABG e CDE

    ABC e ABG

    CDE e CBH

    ADG e BCE

    A B

    C D

    E

    F G

    H

  • A B

    C D

    E

    F G

    H

    Exerccio: Considera as rectas que correspondem ao prolongamento das arestas do slido e

    completa a seguinte tabela.

    Rectas paralelas a planos Rectas concorrentes a planos

    Reta AB e plano EFG

    Reta DE e plano DEF

    Reta BG e plano CDE Reta AD e plano CDE

    Reta DB e plano ABG

    Reta DE e plano ABC

  • A B

    C D

    E

    F G

    H

    Exerccio: Considera as rectas que correspondem ao prolongamento das arestas do slido e

    completa a seguinte tabela.

    Retas no complanares

    Retas paralelas Retas concorrentes

    FG e CH

    AF e EH

    AB e DE AD e AB

    EF e EH

    AC e CB AB e DC

    AD e GH

    BG e CH

  • Usando a sala de aula...

    O plano formado pela porta sempre ________________ao plano do cho.

    O plano formado pelo tecto _________________ a cada um dos planos formados

    pelas paredes.

    O plano formado pelo cho _________________ao plano formado pelo teto.

    O plano formado pelo cho __________________ a cada um dos planos formados

    pelas paredes.

    Usando o livro de ponto e a mesa do professor......

    O livro de ponto sobre a mesa pode ser a representao de dois planos

    _________________.

    Se o livro de ponto fizer um ngulo de 90 com a mesa, temos dois planos

    ____________________________.

    Se abrir o livro obtenho dois ou vrios planos _______________, formados

    pelas folhas.

    Quando o livro est fechado, as suas folhas representam vrios planos

    __________________.

    perpendicular

    perpendicular

    paralelo

    perpendicular

    coincidentes

    concorrentes perpendiculares. c. oblquos

    coincidentes

  • Exerccios 35 e 36 do manual

    adotado da pgina 111

  • Critrios de

    paralelismo e de

    perpendicularidade

  • Certamente resolveste sem dificuldade os exerccios anteriores. No entanto se quisesses justificar algumas respostas j no seria assim to fcil. Alm disso, muitas vezes a prpria figura no muito clara para decidirmos qual a posio relativa.

    Vamos estudar, ento critrios que so condies suficientes para garantir certas posies relativas.

    ?

  • Critrios de perpendicularidade

    Perpendicularidade de uma reta e um plano

    Perpendicularidade de dois planos

  • Se considerarmos o exemplo de uma porta a abrir-se, a porta roda em torno do

    seu eixo. O eixo da porta perpendicular ao plano do cho.

    Repare-se que, quando a porta roda, o eixo (r) sempre perpendicular linha

    que ela vai definindo no cho ( o eixo perpendicular s rectas que contm o

    bordo inferior da porta).

    Perpendicularidade entre recta e plano

    Uma recta perpendicular a um plano

    se for perpendicular a todas as rectas

    do plano que passam pelo seu p.

    Nota: Ao ponto

    onde a recta

    encontra

    um plano

    chama-se P

    DA RECTA.

  • Uma experincia simples, feita com dois esquadros, mostra que:

    Para que uma recta seja perpendicular a um plano basta ( suficiente) que seja perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano que passem pelo seu p.

    Experincia com

    os esquadros.

    Perpendicularidade entre reta e plano.wmv
  • Se uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de

    um plano ento perpendicular a esse plano e perpendicular

    a todas as retas desse plano.

    Critrio de perpendicularidade

    entre recta e plano.

    Quando que utiliza este critrio?

    Como que se utiliza o critrio?

    Exemplo:

    Quando se quer provar que uma reta perpendicular a um plano.

    Basta procurar

    nesse plano

    duas retas

    concorrentes

    que sejam

    perpendiculares

    reta dada.

    Prova que a reta AB perpendicular ao plano

    BCD.

    A reta AB perpendicular ao

    plano BCD porque

    perpendicular s retas BC e

    BE que so concorrentes e

    que esto contidas no plano

    BCD.

    A reta AB perpendicular s retas

    BC e BE porque so lados adjacentes de

    um retngulo, logo so perpendiculares.

  • Critrio de perpendicularidade

    entre dois planos

  • DIEDRO cada uma das quatro regies em

    que fica dividido o espao quando dois

    planos se intersetam.

    Cada uma das regies chama-se DIEDRO.

    Usando folhas de carto...

    Colocando as folhas na posio de dois planos concorrentes, estes dividem

    o espao em quatro regies.

    1 diedro 1 diedro

  • Se os quatro diedros forem

    iguais , os planos dizem-se

    PERPENDICULARES.

    Caso contrrio, os planos

    so OBLQUOS.

    Perpendicularidade entre planos

    Dois planos so

    perpendiculares quando os 4

    diedros so iguais.

  • Critrio de perpendicularidade entre planos.

    Se um plano contm uma reta perpendicular a outro plano, ento os dois planos so perpendiculares.

    entorerSe

    Perpendicularidade entre planos.wmv
  • Se um plano contm uma reta perpendicular a outro plano

    ento os dois planos so perpendiculares.

    Critrio de perpendicularidade

    entre dois planos

    Quando que utiliza

    este critrio?

    Como que se utiliza o critrio?

    Exemplo:

    Quando se quer provar que um plano perpendicular a outro.

    F

    O plano AEH perpendicular ao

    plano HGC porque contm a reta EH

    que perpendicular ao plano HGC

    (a reta EH perpendicular ao plano HGC

    porque perpendicular s retas HG e HD,

    que so concorrentes e que esto contidas

    no plano HGC).

    Basta encontrar

    nesse plano

    uma reta que

    seja

    perpendicular

    ao outro plano.

    Prova que o plano AEH

    perpendicular ao plano HGC.

    D

  • Critrios de paralelismo

    Entre uma reta e um plano

    Entre dois planos

  • Assim, podemos enunciar o seguinte critrio: Se uma reta paralela a outra reta contida num plano ento paralela a esse plano.

    r

    s

    //// rentosesrSe

    Critrio de paralelismo entre retas e planos

    Paralelismo entre plano e e reta.wmv
  • Se uma reta paralela a outra reta contida num plano, ento

    paralela a esse plano.

    Critrio de paralelismo entre uma reta e

    um plano

    Quando que utiliza

    este critrio?

    Como que se utiliza o critrio?

    Exemplo:

    Quando se quer provar uma reta paralela a um plano.

    A B

    C D

    E

    F G

    H

    Basta encontrar

    no plano uma

    reta que seja