Revisão de conceitos - UBIwebx.ubi.pt/~felippe/texts3/iemed_ppt11p.pdf · 2020. 3. 11. · Tipos de erros • Os erros dividem-se em: – Erros sistemáticos • Outra situação

Revisão de conceitos

Aula 1

Introdução à eletrónica médicaJoão Fermeiro

Objetivos

• Compreender os erros presentes num sistema de medida

• Rever os indicadores estatísticos mais relevantes

• Considerações sobre características estáticas e dinâmicas de um sistema.

• Elaborar alguns exercícios.

Fontes de erro

• Entende-se por erro a diferença entre uma medição de um sistema e o valor real da grandeza.

• Existem diversos aspetos que podem condicionar a reposta de uma medição.

Exatidão e Precisão

• O que é a exatidão?

– Esta aufere o grau de proximidade de uma medição 𝑋𝑚relativamente ao valor real de 𝑋𝑟.

• O que é a precisão?

– Esta aufere o grau de proximidade entre um conjunto de medições, não necessariamente próximos do valor real 𝑋𝑟.

• Em termos estatísticos a exatidão está associada ao valor da média ത𝑋 enquanto que o valor da precisão está associada ao valor do desvio-padrão σ.

Exatidão versus Precisão

• Generalizando estes conceitos podemos dizer que existem quatro combinações possíveis de exatidão/precisão nas medições de instrumentos.

X

X

Tipos de erros

• Os erros dividem-se em:

– Erros grosseiros

• Este tipo de erro é de natureza fortuita. Podemocorrer devido a uma má leitura de quem opera oinstrumento de medida.

• Uma forma de evitar ou eliminar este erro é efetuarum número grande de medições da grandezadesejada e eliminar os valores aberrantes que sedestaquem no conjunto das medições.

Tipos de erros


– Erros sistemáticos

• Este tipo de erros ocorrem no momento em que amedição é efetuada. Geralmente provém de uma máou não calibração do instrumento ou de uma mápreparação do sistema de medição (montagemincorreta de um setup de medição). Neste sentido asleituras realizadas pelo sistema têm uma respostasempre afetada com o mesmo desvio do valor real dagrandeza.

• …

Tipos de erros


– Erros sistemáticos

• Outra situação que ocorre frequentemente é oesquecimento do efeito de carga do aparelho demedida sobre o circuito, isto é, o não ter em conta ascaracterísticas que o aparelho de medida tem sobre ocircuito elétrico.

• Os erros sistemáticos só conseguem serdrasticamente reduzidos de duas formas: se houveruma calibração prévia do instrumento de medida ouse o valor do desvio no instrumento de medida forconhecido a priori, sendo então usado para fazer umacompensação na resposta da leitura.

Tipos de erros


– Erros aleatórios

• Estes erros como o nome indica são errosinesperados e cujo controlo está para além daspossibilidades de quem efetua as medições ou dequalquer calibração prévia e a sua causa ou causassão difíceis de identificar.

• Geralmente estes erros apresentam amplitudesbaixas fazendo com que haja um desviorelativamente baixo.

Indicadores estatísticos mais relevantes

• Em termos da instrumentação médica é relevante relembrar os seguintes indicadores estatísticos:

– Média

– Mediana

– Variância e desvio-padrão

– Regressão linear

Média

• Existem diversos tipos de médias sendo as quatro seguintesas mais conhecidas:

– Média aritmética

– Média quadrática

– Média geométrica

– Média harmónica

Média Aritmética

• A média aritmética ത𝑋 obtém-se somando todos os valoresmedidos, 𝑥𝑘 , e dividindo essa soma pelo número demedições N.

ത𝑋 =1

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑥𝑘

Média Quadrática

• A média quadrática ത𝑋2 obtém-se aplicando a raiz quadradaao quociente entre a soma dos quadrados dos valoresmedidos 𝑥𝑘, e o número de medições N.

ത𝑋2 =1

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑥𝑘2

Média Geométrica

• A média geométrica obtém-se aplicando a raiz de ordem Nao produto das N medições 𝑥𝑘 entre si.

𝑁

ෑ

𝑘=1

𝑁

𝑥𝑘

Média Harmónica

• A média harmónica é o inverso da média aritmética doinverso das N medições 𝑥𝑘, ou seja, é o inverso da médiaaritmética dos valores 𝑦𝑘 = Τ1 𝑥𝑘.

൘11

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑦𝑘 = ൘11

𝑁

𝑘=1

𝑁1

𝑥𝑘

Características especiais das médias

• As mais médias mais utilizadas são a aritmética e ageométrica. No entanto estas apresentam uma propriedadeinconveniente, por serem sensíveis a valores aberrantes noconjunto de valores.

• Exemplificando

– Imaginemos o conjunto de valores 𝐻 =3,3,3,3,4,5,5,6,7,7,7,500 .

– Os valores das médias são:

• Aritmética = 50

• Geométrica = 7,22

• Podemos concluir que os valores obtidos pelas médiasaritmética e quadrática destoam da maioria doselementos do conjunto.

• Quadrática = 150

• Harmónica = 4,89


• Por outro lado se ao invés de valores aberrantes tivermosvalores de resposta nula as médias geométrica e harmónicasão gravemente afetadas.

• Exemplificando

– se considerarmos o conjunto de valores 𝐻= 3,3,3,3,4,5,5,6,7,7,7,0 .

– os valores das médias são:

• Aritmética = 4,55

• Geométrica = 0

• Quadrática = 5,01

• Harmónica = 0


• Podemos concluir que é necessário escolher bem o tipo demédia que melhor se adequa ao conjunto de dados para umamelhor média do conjunto.

• Para conjuntos de valores considerados normais podemosconcluir que existe uma relação entre as diferentes médiasdada pela seguinte inequação

média harmónica ≤ média geométrica ≤ média aritmética ≤ média quadrática

Mediana

• A Mediana pode ser em comparação à média o indicadorestatístico mais adequado por indicar o ponto central numconjunto de valores, sendo assim robusta à presença davalores aberrantes.

• Se o número de medições for muito elevado , ambos os conjuntos de valores inferior e superior à mediana ocupam apróximadamente metade (50%) do conjunto das medições.

• Para por exemplo o conjunto de valores 𝐻 =3,3,3,3,4,5, 𝟓, 6,7,7,7,500 a mediana toma o valor 5.

Desvio-padrão

• O Desvio-padrão (σ) representa a medida de dispersão dasmedições 𝑥𝑘 em torno da média aritmética. É dado pela raizda média dos quadrados dos valores 𝑦𝑘 (erros entre asleituras e a média), isto é, 𝑦𝑘 = 𝑥𝑘 − ത𝑋 . Este é outroindicador estatístico muito importantes pois para além deser sempre positivo o intervalo ത𝑋 − σ, ത𝑋 + σ contém 68%das medições.

σ =1

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑥𝑘 − ത𝑋 2

Desvio padrão

• Se dobarmos ou triplicarmos o Desvio-padrão passamos aobter respetivamente 95% e 99,7% das medições comopodemos ver pela figura.

Variância

• A Variância é outro indicador estatístico usado, forneceinformação acerca da dispersão dos valores. É dada pelamédia dos quadrados dos valores 𝑦𝑘, isto é, 𝑦𝑘 = 𝑥𝑘 − ത𝑋. Poroutras palavras é igual ao quadrado do desvio-padrão.

Var(𝑥) =1

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑥𝑘 − ത𝑋 2

Regressão linear

𝑦𝑖 = 𝑓1,𝑖 + 𝑓2,𝑖 = 𝐴 + 𝐵. 𝑥𝑖 + 𝜀𝑖

• A Regressão linear consiste em determinar uma reta paraobter o valor estimado de uma variável 𝑦 a partir de algunsvalores de 𝑥. Isto é trata-se de um método estatístico pararelacionar 𝑦 com 𝑥 através de uma reta.

• Se assumirmos que as medições 𝑦𝑖 se podem exprimir emfunção de duas parcelas 𝑓1,𝑖 e 𝑓2,𝑖 , onde a primeira é

responsável por estabelecer uma relação linear entre 𝑦𝑖 e𝑥𝑖 enquanto a segunda inclui todos os fatores quecontribuem para o desvio de 𝑦𝑖 relativamente à reta em 𝑥𝑖então tem-se:

Regressão linear

𝑚𝑖𝑛

𝑖=1

𝑁

𝑓1,𝑖 + 𝑓2,𝑖2= 𝑚𝑖𝑛

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖 − 𝐴 + 𝐵𝑥𝑖2

• Os coeficientes A e B são determinados tendo por base aminimização da soma dos desvios de 𝑦𝑖 à reta em 𝑥𝑖 ,minimizando da seguinte forma

Regressão linear

𝐴 = ൙

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖2

𝑗=1

𝑁

𝑦𝑗 −

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖𝑥𝑖

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖2 −

𝑖=1

𝑁𝑗

𝑥𝑖

2

𝐵 = 𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖𝑥𝑖 − ൙

𝑗=1

𝑁

𝑦𝑗

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖2 −

𝑖=1

𝑁𝑗

𝑥𝑖

2

• Daí a designação de aproximação linear pelo método dosmínimos quadrados, sendo os coeficientes A e Bdeterminados pelas seguintes equações

Regressão linear

𝑟 = ൙

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖 − ത𝑋 𝑦𝑖 − ത𝑌

𝑖=1

𝑁

𝑥𝑖 − ത𝑋 2

𝑖=1

𝑁𝑗

𝑦𝑖 − ത𝑌 2

𝜀𝑖

• Um coeficiente de boa aproximação da reta ao conjunto depontos é o coeficiente de correlação r. Quanto mais próximoda unidade maior a semelhança dos pontos da retarelativamente às medições. Este coeficiente obtém-se atravésda fórmula

Características estáticas

• Entende-se por característica estática uma quantidadenumérica que não apresente variação durante um intervalode tempo de utilização de um instrumento ou cuja variação émuito lenta quando comparada com a duração do intervalo.

Características estáticas

• Gama de entrada (em inglêsrange) também conhecido comogama de operação é o intervalo devalores entre o mínimo e omáximo da grandeza que está aser medida para uma respostalinear.

• Gama de saída (em inglês fullscale) – Diferença aritméticaentre o máximo e o mínimo

Características estáticas - Resolução

• Temos o exemplo da Resolução que é uma grandezaintrínseca do instrumento de medida.

• A Resolução é a menor mudança incremental do parâmetrode entrada que causa uma variação detetável no valor desaída. Esta pode ser expressa como uma percentagem dafaixa de leitura ou em valores absolutos.

𝑆 𝑋𝑖𝑛,𝑘 = lim𝑋𝑖𝑛→𝑋𝑖𝑛,𝑘

Δ𝑋𝑜𝑢𝑡𝑋𝑖𝑛 − 𝑋𝑖𝑛,𝑘

= ቤlimΔ𝑋𝑖𝑛→0

Δ𝑋𝑜𝑢𝑡Δ𝑋𝑖𝑛 𝑋𝑖𝑛=𝑋𝑖𝑛,𝑘

=𝑑𝑋𝑜𝑢𝑡𝑑𝑋𝑖𝑛

Características estáticas - Sensibilidade

• Temos outro exemplo a Sensibilidade.

• A Sensibilidade 𝑆 relaciona a variação da grandeza de saídaΔ𝑋_𝑜𝑢𝑡 com a variação da grandeza de entrada Δ𝑋_𝑖𝑛, dadopela fórmula

• Outra característica que podemos destacar é a Linearidade.

• Esta quantifica o grau de concordância entre a entrada e asaída do sistema. Isto é, um sistema diz-se linear se porexemplo:

• Para duas entradas x1 e x2 e as duas saídas respectivas y1 ey2 então se x1+x2 for a entrada, a saída será y1+y2.

• Para uma entrada x1 cuja saída é y1, então se k*x1 for aentrada então k*x2 será a saída.

Características estáticas - linearidade

• A Gama dinâmica está associada ao conceito de de Gama deoperação.

• Esta é dada pela razão entre o maior valor da grandeza deentrada que não força o instrumento a sair da zona linear defuncionamento e entre o plano de ruído 𝑁. Sinais comamplitudes inferiores do plano de ruído não podem serdetetados pelo instrumento pois a sua presença é mascaradapelo ruído.

Características estáticas – Gama dinâmica

𝐷𝑅 = 20𝑙𝑜𝑔10𝑚𝑎𝑥 𝑋𝑖𝑛𝑚𝑖𝑛 𝑋𝑖𝑛

= 20𝑙𝑜𝑔10𝑚𝑎𝑥 𝑋𝑖𝑛

𝑁𝑑𝐵

• Histerese é o desvio na resposta do sensor ao sinal deentrada dependendo do sentido de variação.

• É comum encontrar este fenómeno em instrumentos quecontenham molas.

Características estáticas – Histerese

34

• Os resultados de uma avaliação a uma disciplina foram

X={9 9 10 11 12}

• Qual a nota média aritmética à disciplina?

• Calcule as médias harmónica, geométrica e quadrática.

• Calcule a mediana.

• Calcula o desvio-padrão e a variância.

• Comparar entre si as quatro médias.

Exercício 1

35

X={9 9 10 11 12}

• Qual a nota média à disciplina?

ത𝑋 = 10.2000





Exercício 1

36

X={9 9 10 11 12}


ത𝑋 = 10.2000


ത𝑋ℎ = 10.0712, ത𝑋𝑔 = 10.1347, ത𝑋𝑞 = 10.2665




Exercício 1

37

X={9 9 10 11 12}


ത𝑋 = 10.2000


ത𝑋ℎ = 10.0712, ത𝑋𝑔 = 10.1347, ത𝑋𝑞 = 10.2665

• Calcule a mediana.෨𝑋 = 10



Exercício 1

38

X={9 9 10 11 12}


ത𝑋 = 10.2000


ത𝑋ℎ = 10.0712, ത𝑋𝑔 = 10.1347, ത𝑋𝑞 = 10.2665

• Calcule a mediana.෨𝑋 = 10


𝜎 = 1.3038 e 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 1.7000


média harmónica ≤ média geométrica ≤ média aritmética ≤ média quadrática

Exercício 1

39

• Os resultados de uma medição foram

X={80, 100, 110, 101, 104, 105, 99, 100, 111, 110}

• Qual a nota média aritmética das medições?





Exercício 2

40

• Estas caracterizam o comportamento de um aparelho de medida em termos da resposta a uma entrada variável no tempo.

Características dinâmicas

41

• O conceito de função de transferência aplica-se a sistemas lineares. Um sistema com respostas y(𝑡), 𝑦1(𝑡) e 𝑦2 𝑡 às entradas 𝑥 𝑡 , 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) diz-se linear, se as respostas a k. 𝑥 𝑡 e 𝑥1 𝑡 + 𝑥2(𝑡) forem respetivamente k. 𝑦 𝑡 e 𝑦1 𝑡 +𝑦2 𝑡 .

• A função transferência 𝐻 𝑗𝑓 de um sistema linear obtém-se a partir da equação diferencial responsável por relacionar a entrada 𝑥 𝑡 com a saída y 𝑡 .

Função transferência

42

• O funcionamento da maioria dos instrumentos de medida pode aproximar-se por um sistema linear e pode ser descrito por uma equação diferencial ordinária linear de coeficientes constantes:

𝑎𝑛𝑑𝑛𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑛+⋯+ 𝑎1

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑦 𝑡

= 𝑏𝑛𝑑𝑛𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑛+⋯+ 𝑏1

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑏0𝑥(𝑡)

• Aplicando a transformada de Fourier obtém-se

• 𝑎𝑛 𝑗2𝜋𝑓 𝑛𝑌 𝑖𝑓 + ⋯+ 𝑎0𝑌 𝑗𝑓 = 𝑏𝑛 𝑗2𝜋𝑓 𝑛𝑋 𝑖𝑓 +⋯+ 𝑎0𝑋 𝑗𝑓


43

• Após a colocação de 𝑌 𝑗𝑓 e 𝑋 𝑗𝑓 em evidência e se dividir um pelo outro obtém-se a função de transferência desejada:

𝐻 𝑗𝑓 =𝑌 𝑖𝑓

𝑋 𝑖𝑓=𝑏𝑛 𝑗2𝜋𝑓 𝑛 +⋯+ 𝑏1(𝑗2𝜋𝑓) + 𝑏0𝑎𝑛 𝑗2𝜋𝑓 𝑛 +⋯+ 𝑎1(𝑗2𝜋𝑓) + 𝑎0

• A função é complexa e por isso é usual apresentarem-se dois gráficos distintos em função da frequência 𝑓: módulo e fase.


44

Resposta Indicial

• A resposta indicial de um sistema linear é o sinal produzido na saída em resultado de uma entrada igual ao degrau unitário 𝑢(𝑡) centrado na origem. A transformada de Fourier do degrau unitário centrado em 𝑡0, isto é, ℑ[𝑢(𝑡 − 𝑡0)] é dado por

ℑ 𝑢 𝑡 − 𝑡0 =𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡0

𝑗2𝜋𝑓

• No caso particular em que 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) tem-se 𝑋 𝑖𝑓= Τ1 (𝑗2𝜋𝑓) cuja saída no domínio das frequências é

𝑌 𝑖𝑓 = 𝑋 𝑖𝑓 𝐻 𝑖𝑓 =1

𝑗2𝜋𝑓𝐻(𝑖𝑓)


45

Sistemas de ordem zero

• Num sistema desta ordem a relação entre a entrada e a saída obedece à seguinte equação:

𝑎0. 𝑦 𝑡 = 𝑏0𝑥 𝑡 ou 𝑦 𝑡 = 𝑘. 𝑥(𝑡) com 𝑘 =𝑏0

𝑎0

onde k é o coeficiente de sensibilidade estática. Neste caso a respota 𝑦 𝑡 é ideal na medida em que se relaciona linearmente com a entrada 𝑥 𝑡 .

• Exemplos de sistemas de ordem zero incluem os potenciómetros e amplificadores de tensão os quais providenciam atenuação e amplificação, respetivamente.


46

Sistemas de primeira ordem• Num sistema de primeira ordem, a relação entre a entrada e a saída

obedece a:

𝑎1𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏0. 𝑥 𝑡

Que corresponde a uma função de transferência:

𝐻 𝑗𝑓 =𝑌 𝑖𝑓

𝑋 𝑖𝑓=

𝑏0𝑎1(𝑗2𝜋𝑓) + 𝑎0

=𝑘

𝑗2𝜋𝑓𝜏 + 1

Onde 𝑘 é o coeficiente de sensibilidade estática e 𝑘 =𝑏0

𝑎0,

e 𝜏 é a constante de tempo e τ =𝑎1

𝑎0


Bibliografia

• Correia, J.H. (2013). Introdução à Instrumentação Médica. Lisboa: LIDEL

• Khandpur, R.S. (2004) Biomedical Instrumentation: Technology and Applications. New York: Mcgraw-hill.



Aula 2

Objetivos

• Rever as grandezas elétricas e elementos de circuito passivos.

• Considerações sobre resistência/indutância/capacitância equivalente.

• Rever análise de circuito DC, 1ª e 2ª Lei de Kirchhoff.

• Elaborar alguns exercícios.

• Existem 2 tipos de carga elétrica , positiva e negativa, que provêm de protões e eletrões respetivamente.

• A unidade (SI) da carga elétrica é o Coulomb (C). Este é uma grandeza quantitativa adimensional parecida ao mole. Onde:

1𝐶 = 6,24 × 1018 cargas

• Logo a carga de um eletrão representa-se por

Grandezas elétricas - Carga

𝑞𝑒 = −1,602 × 10−19𝐶

51

Grandezas elétricas – Corrente elétrica

• Corrente é o fluxo de cargas elétricas por unidade de tempo num condutor. E é definido pela equação

• A sua unidade de grandeza (SI) é o Ampere (A) onde 1𝐴 = 1𝐶/1𝑠logo podemos dizer que 1 A corresponde ao fluxo de 6,24 × 1018

cargas elétricas por segundo.

i(𝑡) =𝑑𝑞

𝑑𝑡

52

Grandezas elétricas – Corrente elétrica

• Como a carga pode ser positiva e negativa a corrente também pode se positiva ou negativa.

• Por convenção o sentido da corrente elétrica corresponde ao sentido do campo elétrico no interior do condutor, que vai do polo positivo para o negativo e chama-se sentido convencional.

• O fluxo de cargas negativas (eletrões) acontece no sentido contrário do polo negativo para o polo positivo e é chamado de sentido real.

53

Grandezas elétricas - Tensão

• A tensão ou força eletromotriz ou diferença de potencial é a expressão quantitativa da diferença de potencial da carga elétrica entre dois pontos num campo elétrico.

• A sua unidade medida (SI) é o volt (V). O símbolo usado para representar tensão em corrente contínua (DC) é letra V ou U e para representar uma fonte de corrente alternada (AC) é υ(t) ou apenas υ.

• A tensão entre dois pontos pode ser definida como a energia (w) necessária para mover uma carga (q) entre dois pontos A e B e é dado por

𝑣𝐴𝐵 = 𝑣(𝑡) =𝑑𝑤

𝑑𝑞

54

Grandezas elétricas - Tensão

• Logo podemos dizer que 1 volt é a energia de 1 joule consumida quando carga elétrica de 1 Coulomb flui pelo circuito.

1𝑉 = 1𝐽/1𝐶

• A tensão não está dependente do caminho que leva a carga elétrica do ponto A até B. Pode-se fazer a analogia à energia potencial, neste caso em tanto maior é a energia potencial quanto maior a diferença de alturas.

55

Grandezas elétricas - Potência

• Potência é a taxa de transferência de energia, a sua unidade é o watt (W)

• A potência é determinada pelo produto da diferença de potencial pela corrente num circuito. Por convenção uma potência positiva representa que a energia está a ser absorvida ou consumida pelo elemento do circuito. E uma potência negativa representa que a energia está a ser gerada pelo ou extraída do elemento do circuito, exemplo uma bateria.

P =𝑑𝑤

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡= υ𝑖

56

Grandezas elétricas - Potência

• A potência dissipada por uma determinada resistência é sempre positiva e é dada por

• No caso

𝑃 = 𝑖υ =υ2

𝑅= 𝑖2𝑅

3Ω

6V

𝐼 =𝑉

𝑅≫ 𝐼 =

6

3= 2𝐴

𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = −𝐼 × 𝑉 = −2 × 6 = −12𝑊

𝑃𝑅 = 𝐼2 × 𝑅 = 22 × 3 = 12𝑊

Elementos de circuito elétrico

• Resistência

• Bobina

• Condensador

57

Resistência

• Uma resistência é um elemento de circuito que oferece resistência

à corrente elétrica, a sua unidade é o Ohm (Ω) e 1Ω = Τ1𝑉 1𝐴.

• Teoricamente o fio condutor de um circuito tem resistência zero e

uma separação entre elementos do circuito (sem ligação) tem

resistência infinita.

Resistência

• Uma resistência considerada ideal deve reger-se pela lei de Ohm,

que relaciona a relação entre diferença de potencial e corrente

• Cada material tem uma propriedade de resistência (R) intrínseca

chamada resistividade (ρ) e uma propriedade de condutância

intrínseca (inverso de resistência, G) chamada condutividade (σ)

que é o inverso da resistividade.

• A condutância é dada em Siemens (S) e rescrevendo a Lei de Ohm

para esta fica

υ = 𝑖𝑅

𝐺 = Τ𝑖 υ

Resistência equivalente

• Se a mesma corrente fluir através de N resistências diz-se que

estes estão em série. Numa malhar fechada com N resistências, a

lei das malhas diz-nos que

• Logo a resistência equivalente é

−𝑉𝑆 + 𝐼𝑅1 +⋯+ 𝐼𝑅𝑁 = 0

𝑅𝐸𝑄 = Τ𝑉𝑆 𝐼 = 𝑅1 +⋯+ 𝑅𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝑅𝑖


• Se a mesma diferença de potencial fluir através de N resistências

diz-se que estes estão em paralelo. Para representar que estão em

paralelo é usado o símbolo ∥ da seguinte forma

• Para o seguinte circuito retiramos através da lei dos nós que

−I + Τ𝑉𝑆 𝑅1 + Τ𝑉𝑆 𝑅2 +⋯+ Τ𝑉𝑆 𝑅𝑁 = 0

𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 ∥ 𝑅2 ∥ ⋯ ∥ 𝑅𝑁


• Escrevendo na forma de Resistência equivalente

• Para um caso em que temos apenas duas resistências em paralelo

temos

𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 ∥ 𝑅2 =𝑅1𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

𝑅𝐸𝑄 =𝑉𝑆𝐼=

1

1𝑅1

+1𝑅2

+⋯+1𝑅𝑁


• Encontre o 𝑅𝐸𝑄 e a potência fornecida pela fonte no seguinte

circuito


2 ∥ 2 = 1Ω

3 + 1 = 4Ω12 ∥ 12 ∥ 12 = 4Ω

4 ∥ 4 = 2Ω

2 + 2 = 4Ω


• Resolução

• E assim retiramos

𝑅𝐸𝑄 = 2Ω + 12Ω ∥ 12Ω ∥ 12Ω ∥ 3Ω + 2Ω ∥ 2Ω

𝑅𝐸𝑄 = 2 +1

112

+112

+112

∥ 3 +1

12+12

𝑅𝐸𝑄 = 2 + 4 ∥ 3 + 1

𝑅𝐸𝑄 = 2 +1

14+14

= 4Ω

𝐼 =𝑉𝑆𝑅𝐸𝑄

=5

4= 1.25 𝐴 𝑃 = 𝑉𝑆 × 𝐼 = 5 × 1.25 = 6.25 𝑊

66


Determine a resistência equivalente do seguinte circuito

Bobina

• A Bobine é um elemento passivo capaz de armazenar energia sob a

forma de campo magnético e é formado por um enrolamento de

um fio condutor isolado à volta de um núcleo de material

ferromagnético.

• A unidade da indutância é o henry (H) onde 1 𝐻 = 1 𝑉 𝑠 /𝐴. A

relação entre a diferença de potencial e a indutância é dada por

• Fisicamente a corrente não pode mudar instantaneamente através

de uma bobine, pois seria necessária uma tensão infinita (a

derivada da corrente no momento instantâneo da mudança de

valor dá infinito).

𝜐 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

Bobina

• Por conveniência num circuito com apenas correntes contínuas

(DC) a bobine funciona como um curto circuito pois não existe

queda de tensão aos terminais da mesma.

• Como é um elemento passivo ele absorve potência de acordo com

• Neste caso a potência não é consumida sob a forma de calor como

acontece no resistor, mas sim sob a forma de campo magnético

durante um período de tempo. Esta potência armazenada pode ser

“recuperada”/devolvida ao circuito. Neste caso se a potência for

negativa a energia está a ser extraída da bobine, e se for positiva

está a ser armazenada pela bobine.

𝑃 = 𝜐𝑖 = 𝐿𝑖𝑑𝑖

𝑑𝑡

Indutância equivalente

• À semelhança da resistência equivalente, podemos determinar uma

indutância equivalente para circuitos com N bobines.

• Como no caso das resistências, caso tenhamos N bobines em série, a

indutância equivalente é dada por

• Caso tenhamos N bobines em paralelo, a indutância equivalente é dada por

• Para o caso de duas bobines em paralelo temos

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 ∥ 𝐿2 ∥ ⋯ ∥ 𝐿𝑁

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝐿𝑖

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 ∥ 𝐿2 =𝐿1𝐿2

𝐿1 + 𝐿2

Condensador

• O condensador é um dispositivo capaz de armazenar energia sob a forma

de campo elétrico ao separar adequadamente as cargas polarizadas por

uma tensão.

• Um condensador simples consiste de duas placas paralelas de material

condutor separadas por um espaço, geralmente preenchido por um meio

dielétrico que possui uma resistência muito elevada. A carga armazenada é

proporcional à diferença de potencial externa e é dada por

• Onde C representa a capacidade do condensador. A unidade de medida da

capacidade é o farad (F) e 1 F= 1 𝐶/𝑉. Em termos da corrente temos

𝑞(𝑡) = 𝐶𝜐(𝑡)

𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐶

𝑑𝜐

𝑑𝑡

Condensador

• A capacidade é influenciada por três fatores:

– A permeabilidade do meio dielétrico que preenche o espaço

entre placas (𝜀 = 8.854 × 10−12 𝐹/𝑀 para o ar)

– A distância entre as placas (𝑑)

– A área de secção onde existe sobreposição das placas (A)

• Da maneira que o condensador é constituído, isto é o material

dielétrico não conduz correntes contínuas (DC), podemos comparar

um condensador com um circuito aberto, quando existem apenas

correntes contínuas.

𝐶 =𝜀𝐴

𝑑

Capacidade equivalente

• Contrariamente aos dois elementos de circuito anteriores, caso

tenhamos N condensadores em série, a capacidade equivalente é

dada por

• Caso tenhamos N condensadores em paralelo, a capacidade

equivalente é dada por

𝐶𝐸𝑄 = 𝐶1 ∥ 𝐶2 ∥ ⋯ ∥ 𝐶𝑁

𝐶𝐸𝑄 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝐶𝑖

73

1ª Lei de Kirchhoff (KCL)

• A corrente flui apenas em circuito fechado. Não existe perda de corrente enquanto flui pelo circuito porque a carga final não pode acumular em nenhum elemento do circuito e a carga tem de ser conservada.

• Como a carga não pode ser criada e tem de ser conservada, a soma das correntes num determinado nó (um ponto do circuito onde se ligam no mínimo três elementos) tem de ser igual a zero.

𝑛=1

𝑁

𝑖𝑛 𝑡 = 0

74


• Correntes que chegam ⇒ sinal positivo

• Correntes que saem ⇒ sinal negativo

Outra forma de pensar: σ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚 = σ𝐼𝑠𝑎𝑒𝑚

• Logo para o seguinte circuito

𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3

75

1ª Lei de Kirchhoff (KVL)

• Determine I3 e I4

76


• Determine I3 e I4, I6 e I7

77


• Aplique a lei das correntes

de Kirchhoff

Nó B : 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼3Nó F : 𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2

• Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito.

78


Nó B : I1 + I2 = I3Nó F : I3 = I1 + I2

Assim, o número de equaçõesindependentes que se podeobter com a aplicação da lei dascorrentes de Kirchhoff numcircuito elétrico é igual aonúmero de nós menos um.

Número de equações independentes = N - 1

79


• À semelhança da 1ª lei de Kirchhoff, a 2ª lei (KVL) diz-nos que a soma de todas as tensões dentro de uma malha fechada é zero, ou seja

• Onde N é o número de quedas de tensão numa malha fechada, com υ𝑖 𝑡 simbolizando as quedas de tensão individuais. O sinal dado a cada queda de tensão é dado pelo primeiro sinal encontrado (no primeiro terminal do elemento do circuito) ao fazermos a análise à volta da malha.

𝑖=1

𝑁

υ𝑖 𝑡 = 0

80


Dois nós: B e FTrês malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA

81


Procedimento:1) Atribuir sentidos arbitrários para as correntes (já realizado com a

primeira Lei de Kirchhoff )

2) Polarizar as fontes de Tensão do positivo para o negativo.

3) Polarizar as quedas de tensão nas resistências no sentidoconvencional da corrente elétrica

E1

V1

82


4) percorrer as malhas somando algebricamente as tensões.

Exemplo

Na malha externa ABCGFEApodia ser aplicada a lei dastensões de Kirchhoff. Noentanto, tal como no caso dalei das correntes, a equaçãoresultante seria dependentedas duas já obtidas. Portanto,esta equação seria inútil.

Divisor de tensão

• Um divisor de tensão permite calcular facilmente a diferença de

potencial aos terminais de uma determinada resistência em série.

• Considere o seguinte circuito em que a 𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 + 𝑅2

𝐼 =𝑉𝑆𝑅𝐸𝑄

=𝑉𝑆

𝑅1 + 𝑅2

𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑅2 = 𝑉𝑆𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

𝐼

𝑉𝑗 = 𝑉𝑆𝑅𝑗

𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑁

Podemos generalizar para N resistências em

série a equação que nos dá a diferença de

potencial aos terminais de 𝑅j é

84

Exercício 1

• Não existem nós.

• Aplicando a Lei das malhas temos −15 + 3,3𝐼 + 4,7𝐼 + 1𝐼 + 6 = 0

• Logo I = 1 A

85

Exercício 2

• Determine a corrente em cada uma das resistências

86

Exercício 3

• Determine a corrente I1

𝐼1

87

Exercício 4

• Determine as correntes do circuito

𝐼1

88

Exercício 5

• Determine Vout para :

• Vin=5, R1=100, R2=100

• Vin=5, R1=1000, R2=2000

• Vin=5, R1=7000, R2=5000

Bibliografia




Aula 3


Objetivos

• Rever as caracteristicas do elemento de circuito -Amplificador operacional

• Relembrar os circuitos de amplificação e de filtragem mais conhecidos, com recurso a amplificadores operacionais.

92

Amplificadores operacionais

• Como o nome indica é um dispositivo que amplifica, no entanto quando combinado com outros elementos de circuito ele permite integrar, diferenciar, somar e subtrair sinais.

• Os terminais de input são designados de noninverting input (+) e inverting input (-). Os terminais da fonte são designados V+ e V- e pode acontecer estarem omitidos pois não afetam o comportamento do circuito ( a não ser em caso de saturação).

• A relação entre as entradas e as saídas é dada por

• Onde A representa o ganho do amplificador ideal.

𝜐0 = 𝐴 𝜐𝑝 − 𝜐𝑛

93


• Idealmente o AMPOP:

• Não tem entrada de corrente, pois deve ter impedância de entrada infinita.

• A relação entre a entrada e a saída é dado por 𝜐𝑜=𝐴(𝜐𝑝 − 𝜐𝑛) para A

> 0.

• Num circuito a diferença de potencial na entrada V+ é igual à diferença de potencial na entrada V-. A esta propriedade chamamos terra virtual. Isto acontece porque o ganho do AMPOP em malha aberta é infinito.

94


• Podemos criar vários circuitos com os ampops.

• O circuito mais simples que podemos criar é chamado seguidor de tensão ou buffer.

• Como se pode igualar a diferença de potencial da entradas inversora e não inversora então Vout=Vin.

95


• Vamos agora analisar o seguinte circuito

• Usando KCL temos que no ponto entre as resistências 𝑅𝑖𝑛 e 𝑅𝐹

𝐼𝑖𝑛 − 𝐼𝐹 = 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐼𝑖𝑛 = 𝐼𝐹

96


• Usando a Lei de Ohm 𝐼 =𝑉𝑖𝑛−𝑉2

𝑅𝑖𝑛=

𝑉2−𝑉𝑜

𝑅𝐹

• Substituindo por 𝑉2 temos𝑉𝑖𝑛

𝑅𝑖𝑛=

𝑉2

𝑅𝐹+

𝑉2

𝑅𝑖𝑛−

𝑉0

𝑅𝐹

97


• Como 𝑉1 = 𝑉2 = 0 temos

• Ficamos com

• Como A =𝑉𝑜

𝑉𝑖𝑛então

𝑉𝑖𝑛𝑅𝑖𝑛

=0

𝑅𝐹+

0

𝑅𝑖𝑛−𝑉0𝑅𝐹

𝑉𝑖𝑛𝑅𝑖𝑛

= −𝑉0𝑅𝐹

𝐴 =𝑉𝑜𝑉𝑖𝑛

= −𝑅𝐹𝑅𝑖𝑛

98

AMPOP – Amplificador inversor

• Tendo em conta a regra do amplificador ideal em que 𝑉1 = 𝑉2 como 𝑉1 = 0 então 𝑉2 = 0. Podemos retirar que

I =𝑉𝑖𝑛 − 𝑉𝑜𝑢𝑡𝑅𝑖𝑛 + 𝑅𝐹

→𝑉𝑖𝑛 − 𝑉2𝑅𝑖𝑛

=𝑉2 − 𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑅𝐹→𝑉𝑖𝑛 − 0

𝑅𝑖𝑛=0 − 𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑅𝐹• Ficamos com a equação geral do amplificador inversor

𝑉𝑜𝑢𝑡 = −𝑅𝐹𝑅𝑖𝑛

𝑉𝑖𝑛 → 𝐴 = −𝑅𝐹𝑅𝑖𝑛

99

AMPOP – Amplificador não inversor

• Vejamos este circuito

• Usando a equação do divisor

de tensão

𝑉1 =𝑅2

𝑅2+𝑅𝐹× 𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉1 = 𝑉𝑖𝑛 →𝑉𝑖𝑛𝑉𝑜𝑢𝑡

=𝑅2

𝑅2 + 𝑅𝐹→ 𝐴 =

𝑉𝑜𝑢𝑡𝑉𝑖𝑛

=𝑅2 + 𝑅𝐹𝑅2

= 1 +𝑅𝐹𝑅2

• E ficamos com a equação do circuito amplificador não inversor

𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝑅2 + 𝑅𝐹𝑅2

𝑉𝑖𝑛

100

AMPOP – Somador

• Vejamos este

circuito

• Aplicando KCL 𝐼𝐹 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 =𝑉1

𝑅𝑖𝑛+

𝑉2

𝑅𝑖𝑛+

𝑉3

𝑅𝑖𝑛

• 𝑉𝑜𝑢𝑡 = −𝑅𝑓

𝑅𝑖𝑛× 𝑉𝑖𝑛 então 𝑉𝑜𝑢𝑡 = −

𝑅𝐹

𝑅𝑖𝑛𝑉1 +

𝑅𝐹

𝑅𝑖𝑛𝑉2 +

𝑅𝐹

𝑅𝑖𝑛𝑉3

• Podemos generalizar a equação para várias entradas como

𝑉𝑜𝑢𝑡 = −𝑅𝐹𝑅𝑖𝑛

𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 +⋯+ 𝑉𝑛

101

AMPOP – Diferencial ou subtrator

• Vejamos este circuito

• Se

𝑉2 = 0 → 𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑎) = −𝑅3

𝑅1𝑉1

• Se

𝑉1 = 0 → 𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑏) = 𝑉2𝑅4

𝑅4+𝑅2

𝑅1+𝑅3

𝑅1

𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑎 + 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑏 = −𝑉1𝑅3

𝑅1+ 𝑉2

𝑅4

𝑅4+𝑅2

𝑅1+𝑅3

𝑅1

• Então se 𝑅1 = 𝑅2 e 𝑅3 = 𝑅4 fica

𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝑅3𝑅1

𝑉2 − 𝑉1

AMPOP – Diferencial ou subtrator

• No circuito de amplificador diferencial temos o inconveniente ter uma impedância de entrada relativamente baixa. Além disso pequenas variações no valor das resistências resultam no aparecimento de uma componente de modo comum na saída, isto é 𝑉𝑜 ≠ 0para 𝑉1 ≠ 𝑉2.

102

AMPOP – Amplificador de instrumentação

• Para ultrapassar estes inconvenientes é usado um circuito especial chamado de amplificador diferencial ou amplificador de instrumentação.

• Este caracteriza-se por possuir elevada resistência de entrada, muito baixa resistência de saída, elevado grau de rejeição de tensão de modo comum e não inversão da tensão de saída 𝑉𝑜. Permite um ganho diferencial finito, preciso e muito estável.

103


• Olhando para o circuito podemos retirar que a zona a tracejado é equivalente a um circuito diferencial cuja saída, se R1=R2 e R3=R4é expressa por

• Vendo as correntes que passam pelas resistências fora da zona vermelha, podemos concluir que a corrente que flui do nó 3 para o nó 4 é a mesma que a que flui do nó 1 para o nó 2, isto é, I =

Τ𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 2𝑅 + 𝑅𝑔𝑎𝑖𝑛 = Τ𝑉1 − 𝑉2 𝑅𝐺𝑎𝑖𝑛

• Ficando

104

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 1 +2𝑅

𝑅𝐺𝑎𝑖𝑛𝑉2 − 𝑉1

𝑉0 =𝑅3𝑅1

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴

𝑉𝐴

𝑉𝐵

R1

R2

R3

R4


• Substituindo a tensão 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴temos a equação do circuito do amplificador de instrumentação.

• Devido às suas características é muito usado em aparelhos de medida como os ECGs, EEGs.

105

𝑉0 =𝑅3𝑅1

1 +2𝑅

𝑅𝐺𝑎𝑖𝑛𝑉2 − 𝑉1

𝑉𝐴

𝑉𝐵

R1

R2

R3

R4

106

AMPOP – Exercício 1

• Encontre a equação que dá a variável Vout a partir das entradas V1 e V2.

107

AMPOP – Exercício 2

• Encontre a equação que dá a variável Vout em termos das entradas VA e VB.

• Determine o valor da saída para uma resistência do sensor de 9 KΩ.

108

Conceito de filtragem e tipos de filtros

• Um filtro é um sistema físico com a função de reduzir um efeito indesejável. Temos o exemplo de um filtro de café que permite reduzir a quantidade de grão no café apenas deixando passar grãos com o tamanho desejado.

• Num sistema eletrónico permite reduzir a passagem de componentes espectrais no sinal a processar. A sua importância está patente quando se observa que raramente um equipamento usado no quotidiano não possui pelo menos um filtro.

109

Tipos de filtros

• Existem vários tipos de filtros quanto ao tipo de resposta da função de transferência no domínio das frequências:

– Passa-baixo;

– Passa-alto;

– Passa-banda;

– Rejeita-banda;

– Deslocador de fase.

110

Tipos de filtros

111

Filtros ideais

• Em todos os filtros ideias, as componentes espectrais no interior da banda de passagem não sofrem qualquer distorção de amplitude, enquanto que as restantes são eliminadas.

• No caso do filtro passa-baixo a banda de passagem localiza-se à esquerda da frequência de corte 𝑓𝐻designada por frequência superior de corte.

• No caso do filtro passa-alto a banda de passagem localiza-se à direita da frequência de corte 𝑓𝐿designada por frequência inferior de corte.

𝑓𝐻 𝑓0

100%

𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚

𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒

𝑓𝐿 𝑓0

100%



112

Filtros ideais

• No filtro passa-banda ideal tal como o nome indica deixa apenas passar na banda de frequências entre a frequência inferior e superior de corte.

• No filtro rejeita-banda ideal executa a função complementar do filtro passa-banda, isto é apenas deixa passar as frequências fora da banda de rejeição.

𝑓𝐻 𝑓0

100%


𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜

𝑓𝐿


𝑓𝐻 𝑓0

100%


𝑓𝐿



113

Filtros ativos de primeira ordem

• A ordem de um filtro é importante na medida que está associada à variação (expressa em decibéis por década ou dB/dec) do módulo de transição da função de transferência.

• No geral a ordem de um filtro é igual ao número total de elementos reativos (condensadores e indutores) presentes no circuito eletrónico que o implementa.

• Logo quanto mais abrupta for a variação entre a banda de rejeição e de passagem maior a quantidade necessária de componentes no circuito.

114

Filtros passa-baixo ativo de primeira ordem com ganho

• Em ambiente real em vez de existir um corte total, o que vai acontecer é uma atenuação das frequências acima da frequência de corte 𝑓𝐻.

• Podemos determinar a frequência de corte 𝑓𝐶 =1

2𝜋𝑅3𝐶e o ganho que

é dado por 𝐴𝐹 = (1 +𝑅2

𝑅1).

𝐴𝑉 =𝑉𝑜𝑢𝑡𝑉𝑖𝑛

=𝐴𝐹

1 +𝑓𝑓𝐻

2

Para 𝑓 < 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛≅ 𝐴𝐹

Para 𝑓 = 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛=

𝐴𝐹

2

Para 𝑓 > 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛< 𝐴𝐹

115

Filtros passa-baixo ativo de primeira ordem com ganho

• Isto quer dizer que até à frequência de corte 𝑓𝐶 o ganho mantêm-se constante 𝐴𝐹, em 𝑓𝐶 o ganho é 0,707𝐴𝐹 e depois de 𝑓𝐶 decresce a uma taxa constante à medida que a frequência aumenta.

• Num filtro de primeira ordem o ganho decresce 20dB (=20log10) cada vez que a frequência aumenta em 10 vezes.

𝐴𝑉(𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔10𝑉out𝑉𝑖𝑛

∴ −3𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔10 0,707𝑉out𝑉𝑖𝑛

116

Filtros passa-alto ativo de primeira ordem com ganho

• Em ambiente real em vez de existir um corte total, o que vai acontecer é uma atenuação das frequências abaixo da frequência de corte 𝑓L.

• Podemos determinar a frequência de corte 𝑓C =1

2𝜋𝑅3𝐶1e o ganho

que é dado por 𝐴𝐹 = (1 +𝑅2

𝑅1).


=𝐴𝐹

𝑓𝑓𝐿

1 +𝑓𝑓𝐿

2

Para 𝑓 < 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛< 𝐴𝐹

Para 𝑓 = 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛=

𝐴𝐹

2

Para 𝑓 > 𝑓𝑐 ---𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑉𝑖𝑛≅ 𝐴𝐹

117

Filtros passa-banda ativo de primeira ordem com ganho

• Em ambiente real em vez de existir um corte total, o que vai acontecer é uma atenuação das frequências acima da frequência superior de corte 𝑓𝐻 e abaixo da frequência de corte inferior 𝑓𝐿.

• Podemos determinar as frequência de corte

𝑓𝐻 =1

2𝜋𝑅1𝐶1e 𝑓𝐿 =

1

2𝜋𝑅2𝐶2e o ganho que é dado por 𝐴𝐹 = (1 +

𝑅4

𝑅3).


=𝐴𝐹

𝑓𝑓𝐿

1 +𝑓𝑓𝐿

2

1 +𝑓𝑓𝐻

2

Filtros ativos de segunda ordem

• Os filtros de segunda ordem são também designados de filtros VCVS (voltage-controlled voltage-source).

• Podem adotar diversas topologias no esquema do seu circuito:

– Sallen-key;

– Multiple feedback;

– Biquad.

• Todos estes têm as diferentes configurações passa-baixo, passa-alto, passa-banda e rejeita-banda, e devido a serem filtros de segunda ordem todos têm atenuação de -40 dB/dec.

Tipos de filtros ativos

• E pode-se condicionar a sua resposta em três tipos diferentes, do mais suave ao mais abrupto:

– Bessel;

– Butterworth;

– Chebyshev;

Tipos de filtros ativos

• E pode-se condicionar a sua resposta em três tipos diferentes, do mais suave ao mais abrupto:

– Bessel – são otimizados para esticar o tempo de resposta, isto é, possuem uma resposta em fase linear e uma excelente transição a uma entrada pulsada;

– Butterworth – são designados de filtros maximally-flat-magnitude-response e são otimizados para alisar o ganho na zona da banda de passagem.

– Chebyshev – são desenhados para ter ripple (oscilações) na banda de passagemm e apresentar uma atenuação mais acentuada;

Filtros passa-baixo de segunda ordem

• Neste exemplo temos um filtro passa-baixo de segunda ordem

Sallen-Key. A equação do seu ganho é dada por 𝐴𝐹 = 1 +𝑅𝐴

𝑅𝐵e a

sua frequência superior de corte é dada por 𝑓𝐻 =1

2𝜋 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2.

Filtros passa-alto de segunda ordem

• Neste exemplo temos um filtro passa-alto de segunda ordem Sallen-

Key. A equação do seu ganho é dada por 𝐴𝐹 = 1 +𝑅𝐴

𝑅𝐵e a sua

frequência superior de corte é dada por 𝑓𝐿 =1

2𝜋 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2.

Filtros ativos

• Exemplo temos um filtro passa-baixo de segunda ordem com as seguintes características:

𝑓𝑐 = 79.5 𝐻𝑧 , 𝑅1 = 𝑅2 𝑒 𝐶1 = 𝐶2

• Então temos que 𝑓𝐶 =1

2𝜋𝑅𝐶

• Escolhendo um valor de 1 kΩ para a resistência temos que

𝑓𝐶 =1

2𝜋𝑅𝐶∴ 𝐶 =

1

2𝜋𝑅𝑓𝐶

𝐶 =1

2𝜋𝑅𝑓𝐶=

1

2𝜋 × 1𝑘Ω × 79.5𝐻𝑧= 2.0μ𝐹

Filtros ativos

• Determine a frequência de corte para o seguinte filtro de segunda ordem Sallen-key.

Filtros de terceira ordem

• Um filtro de terceira ordem é feito através da cascata de um filtro de segunda ordem com um de primeira ordem.

Filtros de ordem superior

• Um filtro de quarta ordem é feito através da cascata de dois filtro de segunda ordem e quanto maior a ordem mais filtros de primeira e de segunda ordem sao adicionados em cascata.

• Onde a1 , b1 ... An, bn são coeficientes pre-determinados, usados para gerar as funções de transferências dos filtros.

Filtros de ordem superior

• Para os diferentes tipos de filtros os valores dos coeficientes são retirados de tabelas, como por exemplo a tabela seguintes, para filtros butterworth.

Filtros de segunda ordem

• Para estes filtros existem 2 fatores que alteram a resposta do filtro no ponto da frequência de corte:

– O fator de qualidade Q;

– O fator de amortecimento ζ (zeta);

• Ambos são determinados pelo ganho do amplificador A. À medida que um diminui o outro aumenta. O fator de qualidade Q representa a forma do pico de ressonância, isto é a altura e estreitamento em volta do ponto de frequência de corte. A relação entre eles é dada por:

𝜁 =1

2𝑄


• Podemos ver graficamente o comportamento relativamente a diferentes valores de amortecimento.

• Se ζ > 1 - o filtro passa a chamar-se “overdamped” (superamortecido) com as a resposta das frequências a mostrar uma longa curva lisa.

• Se 0 ≤ ζ < 1 - o filtro chama-se “underdamped” (subamortecido) e a sua resposta no ponto de frequência de corte revela um pico estreito com grande amplitude


• Se ζ = 1 ≡ 𝑄 = 0.5 – o filtro passa a chamar-se “critically damped” (criticamente amortecido) e possui a resposta mais desejada.

Bibliografia



Documents

Revisão de conceitos - UBIwebx.ubi.pt/~felippe/texts3/iemed_ppt11p.pdf · 2020. 3. 11. · Tipos de erros • Os erros dividem-se em: – Erros sistemáticos • Outra situação