Régimen Transiente en Sistemas Realimentados

PLEV 2010

Régimen Transiente en Sistemas Régimen Transiente en Sistemas Régimen Transiente en Sistemas Régimen Transiente en Sistemas RealimentadosRealimentados

M.Sc. Javier A. Muñoz V . Eduardo E. Espinosa N.M.Sc. Javier A. Muñoz V . Eduardo E. Espinosa N.Ingeniero Civil Electrónico Ingeniero Civil Electrón ico

[email protected] [email protected]

Javier Muñoz V.Eduardo Espinosa N.

Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica

PLEV 2010Contenido del CapituloContenido del CapituloRégimen Transiente en Sistemas Realimentados.

I. Comportamiento Transitorio de Sistemas de Primer Orden• Sistema de 1er orden• Sistema de 1er orden• Sistema de 1 er orden más de un Polo.• Sistema de 1 er orden más de un Polo y un Cero.

II. Comportamiento Transitorio de Sistemas de Segundo Orde n.• Tipos de Respuestas.• Magnitudes Características de la Respuesta Escalón .• Magnitudes Características de la Respuesta Escalón .• Sistemas Discretos de Segundo Orden.

III. Especificaciones en el Dominio de la Frecuencia.• Terminología.• hp, ωp y B.W. para un Sistema de Segundo Orden.

IV. Polos Dominantes y Reducción de Orden .IV. Polos Dominantes y Reducción de Orden .• Polos Dominantes.• Método Analítico de Reducción de Orden.• Reducción de Orden en Sistemas Discretos .


- 2 -Universidad de ConcepciónDepartamento de ingeniería Eléctrica

• Reducción de Orden en Sistemas Discretos .

PLEV 2010

Contenido del CapituloContenido del CapituloContenido del CapituloContenido del Capitulo

Régimen Transiente en Sistemas Realimentados.

V. Sistemas con RetardoV. Sistemas con Retardo• Aproximación del Retardo.• El Predictor Smith para Sistemas Continuos .• El Predictor Smith para Sistemas Continuos .• El Predictor Smith para Sistemas Discretos.



PLEV 2010IntroducciónIntroducciónEl control tiene por objetivo – entre otros – el dar características estáticas y

dinámicas específicas a determinadas variables de los sistemas de acuerdo a

requerimientos particulares. Por ejemplo, obtener cero error en estado estacionario y no

permitir que la variable controlada exceda ciertos límites en forma dinámica. En este

capítulo se revisan los conceptos fundamentales asociados a la dinámica de sistemas

continuos y discretos.

Entre éstos se cuenta el sobrepaso y el tiempo de asentamiento. En particular, se

revisan exhaustivamente los sistemas de primer y de segundo orden, con y sin retardo.

Los sistemas de orden mayor también se pueden abordar con las herramientas aLos sistemas de orden mayor también se pueden abordar con las herramientas a

revisar. .



PLEV 2010Comportamiento Transitorio de Sistemas de Comportamiento Transitorio de Sistemas de Primer OrdenPrimer OrdenPrimer OrdenPrimer Orden

Un sistema de primer orden continuo queda definido por la F. de T.:

a) Sistemas de 1 er Orden

k

Con k1 su ganancia dc y τ1 su constante de tiempo. Este sistema tiene por respuesta a entradaescalón a,

1

1 1

k

sτ +

escalón a,

11 11 1 1

1

11

11

11

tk k ky( t ) L L k e

s s s s

τ

τ τ

−− −

= = − = − + +

1τ Al considerar el mismo sistema pero con una constante de tiempo τ2 τ1 se tiene un sistema

más lento, lo que tiene asociado un polo más cerca del origen, figura 4.1. Un sistema discretoequivalente es,

1

1

1

1T

T

b ek

z a z e

τ

τ

−

−

−=− − 1z a z e

τ− −



Fig. 4.1 Respuesta Transiente sistema de 1er Orden (a),(b) polos y respuesta transiente sistema continuo


Si se agrega un polo al sistema de primer orden continuo anterior se obtiene,

b) Sistemas de 1 er Orden mas de un Polo

1 1k·

El cual presenta una respuesta a entrada escalón dada por,

1

1 2

1

1 1

k·

s sτ τ+ +

2 21 1 t tk k k kτ τ τ τ− −

( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2

2 21 11 1 1 1 1 2 1 2

1

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1 11

1 1 1 1

t tk k k ky( t ) L · · L k e e

s s s s s s

τ ττ τ τ ττ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

− −− − = = + − = + − + + − + − + − −

Para τ2 distinto a τ1 o,

1 t tk k tτ τ − −

( ) ( ) ( )1 21 11 1 1 1

12 2

1 11 1

11

11 1

t tk k ty( t ) L · L k e e

s s ss s

τ ττ ττ ττ τ

− −− − = = − − = − − ++ +

Fig. 4.2 Respuesta Transiente sistema de 1er Orden más de un Polo (a),(b) polos y respuesta transiente sistema



Fig. 4.2 Respuesta Transiente sistema de 1er Orden más de un Polo (a),(b) polos y respuesta transiente sistema continuo


La figura 4.2 muestra los resultados para τ1 fijo y para τ2 tomando varios valores respecto deτ1 . La figura y ecuaciones anteriores muestran que,

• Ante cualquier valor de τ2, el sistema se torna más lento. Un caso especial es cuando τ2 = τ1, enéste y cuando t = τ1, la salida vale k1(1−2e−1).• el sistema es estable si τ2 > 0. El caso en que τ2 < 0 no es de interés pues corresponde a un• el sistema es estable si τ2 > 0. El caso en que τ2 < 0 no es de interés pues corresponde a unsistema inestable.• si τ2 < τ1, la dinámica queda regida por τ1. Es más, si τ2 < 10τ1, la dinámica aportada por τ2 sepuede eliminar.• si τ2 > τ1, la dinámica queda regida por τ2. Es más, si τ2 > 10τ1, la dinámica aportada por τ1 sepuede eliminar.

Naturalmente, las conclusiones anteriores son también válidas para sistemas discretos.




Si se agrega un cero al caso anterior el sistema resultante queda definido por la siguiente F.deT.

c) Sistemas de 1 er Orden mas de un Polo y un Cero.

311sk

·τ +T.

Asumiendo que τ2 > τ1, los polos y ceros en el plano complejo quedan dados por la figura 4.3(a), en donde el cero puede estar ubicado arbitrariamente en A, A’, B, B’, C y D. En este caso la

31

1 2

1

1 1

sk·

s s

ττ τ

++ +

(a), en donde el cero puede estar ubicado arbitrariamente en A, A’, B, B’, C y D. En este caso larespuesta a entrada escalón queda dada por:

( )( )( )

( )( )( )

1 1 1 1 3 2 2 331 1

1 2 2 1 1 2 1 2

11 1 1

1 1 1 1

sy( t ) k ·L · · k ·L

s s s s s s

τ τ τ τ τ τττ τ τ τ τ τ τ τ

− − − − + = = + − + + − + − + ( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

1 2

1 2 2 1 1 2 1 2

1 3 2 3

1

2 1 2 1

1 1 1 1

1t t

s s s s s s

y( t ) k e eτ τ

τ τ τ τ τ τ τ τ

τ τ τ ττ τ τ τ

− −

+ + − + − +

− −= + − − −

Fig. 4.3 RespuestaTransiente sistema de 1er

Orden más de un Polo yOrden más de un Polo ycero.(a),(b) polos y respuesta

transiente sistemacontinuo



continuo


La ecuación anterior indica que el aporte del cero es sólo como atenuación, pero no aporta unaconstante de tiempo adicional. Si τ2 = τ1 la respuesta es,

( ) ( )( )( )

1 1 2 33 11 12 2

11 2

1 1 1

11 1

t t

sy( t ) k ·L · k ·L

s s ss s

tτ τ

τ ττ τττ τ

τ

− −

− −

−+ = = − − ++ +

1 1 3

1

1 1

1 1t tt

y( t ) k e eτ τ ττ τ

− − = − − −

Las ecuaciones anteriores están dibujadas en la figura 4.3 (b) de donde se deduce que,

• Si τ3 << τ1; es decir, el cero esta muy a la izquierda del plano complejo, su efecto se puededespreciar.• Si el cero está muy cercano al origen, este predomina y por ende dicta la dinámica del sistema,específicamente, se comporta como un derivador.específicamente, se comporta como un derivador.• Cuando el cero está a la derecha de -1/ τ2 , el sistema presenta un sobrepaso (derivador),• Cuando el cero está a la derecha del plano complejo (es decir, τ3 < 0, sistema de fase nomínima ) el sistema presenta sobrepaso negativo.mínima ) el sistema presenta sobrepaso negativo.




Lo último mencionado se puede demostrar si se muestra que la pendiente es negativa a lapartida para entrada escalón considerando c.i. nulas. Así, la pendiente a la partida es,

3 3 1 31 1

0 1 2 1 2 1 2

1 11

1 1 1 1s st

s s k ·k s·kdy( t )lim s s · · lim ·

dt s s s s s ·

τ τ ττ τ τ τ τ τ+ →∞ →∞

=

+ + = = = + + + +

dado que τ3 es negativo, es negativo, por lo que tiene sobrepaso negativo.0t

dy( t )

dt +=

Naturalmente, las conclusiones anteriores son también extensibles a sistemas discretos.Excepto que el concepto de derivada no existe en éstos. Por lo que se debe tener especialcuidado al estudiar la condición de sobrepaso negativo. Se encontró que - en un sistema continuo -un cero en el semiplano derecho da origen a esta condición. Si este cero es s = b (con b > 0),un cero en el semiplano derecho da origen a esta condición. Si este cero es s = b (con b > 0),entonces, el cero equivalente en un sistema discreto es z = ebT que estará ubicado fuera del círculounitario. Es decir, sistemas discretos con sobrepaso negativo estarán caracterizados por cerosfuera del círculo unitario.fuera del círculo unitario.



PLEV 2010Comportamiento Transitorio de Sistemas de Comportamiento Transitorio de Sistemas de Segundo OrdenSegundo OrdenSegundo OrdenSegundo Orden

Para analizar el sistema de segundo orden se considera la F.de T. estándar de un sistemacontinuo y luego se extenderán los resultados a sistemas discretos.

a) Tipos de Respuestas

( )2

2 22

nh ss s

ωξω ω

=+ +

a) Tipos de RespuestasSea el sistema de segundo orden generalizado dado por,

( ) 2 22 n n

h ss sξω ω

=+ +

donde, ξ es el coeficiente de amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural de oscilación(frecuencia no amortiguada). Además, se definen ξωn = σ como la constante de amortiguamiento yωd = ωn √(1- ξ2) como la frecuencia de oscilación (frecuencia amortiguada) la cual tiene sentido enωd = ωn √(1- ξ2) como la frecuencia de oscilación (frecuencia amortiguada) la cual tiene sentido enel caso que ξ < 1. Estas definiciones se obtienen de las raíces del polinomio característico de la F.de T. dadas por, 2 22 n ns sξω ω+ +

Las cuales son,Las cuales son,

( )2 2

2

1 2

2 2 41

2

n n n

, n njξω ξω ω

λ ξω ω ξ− ± −

= = − ± −2

Dependiendo del valor de ξ, se pueden encontrar diferentes tipos de raíces, Fig. 4.4. Estas son:




No amortiguado, Críticamente Estable.1 20 , nA : jξ λ ω= = ±

Subamortiguado

Críticamente Amortiguado

2

1 2

1 2

0 1 1

1

, n n

, n

B : j

C :

ξ λ ξω ω ξξ λ ω

< < = − ± −= = −

Sobreamortiguado2

1 21 1, n nD :ξ λ ξω ω ξ> = − ± −



Fig. 4.4 Ubicación posible de polos estables


Nótese que el ángulo θ en la Fig. 4.4 queda definido por,

( ) ncosξωθ ξ= =( )

( ) ( )22 21

n

n n

cosξωθ ξ

ξω ω ξ= =

+ −

La respuesta a entrada escalón del sistema de segundo orden estándar para 0 < ξ < 1 está dada La respuesta a entrada escalón del sistema de segundo orden estándar para 0 < ξ < 1 está dada por,

( ) ( )22

1 2 1

2 2

11 1L 1 1

2ntn

ny t · e sin t tgs s s

ξω ξω ω ξξω ω ξ

−− − −

= = − − + + +( ) ( )2 2 2

L 1 12 1

n

n n

y t · e sin t tgs s s

ω ξξω ω ξξ

= = − − + + + −

la cual se grafica en la Fig. 4.5 para varias combinaciones de ξ y ωn.



Fig. 4.5 Respuestas a Entrada Escalón.


b) Magnitudes Características de la Respuesta Escalón

Al tener 0 < ξ < 1 el sistema responde con una oscilación a entrada escalón como se muestra enla Figura 4.6 de acuerdo a la ecuación anterior. Se puede apreciar en la respuesta las siguientesla Figura 4.6 de acuerdo a la ecuación anterior. Se puede apreciar en la respuesta las siguientescantidades:

tp : instante en el cual ocurre el máximo.tp : instante en el cual ocurre el máximo.δ : banda de asentamiento.ts : tiempo de asentamiento.

El desafío es encontrar la relación entre estas cantidades y los parámetros ξ y ω de la F. de T..El desafío es encontrar la relación entre estas cantidades y los parámetros ξ y ωn de la F. de T..

Fig. 4.6 Respuestas a EntradaEscalón de un Sistema de SegundoOrden con 0 < ξ < 1Orden con 0 < ξ < 1




Instante en el cual ocurre el máximo tp

Se obtiene haciendo dy/dt=0

( ){ }2ω ω ( ){ } ( ){ }21 1 2

2 2 2

10 L =L 1

2 1

ntn nn p

n n

dysy s s· · e sin t

dt s s s

ξωω ω ω ξξω ω ξ

−− − = = = − + + −

por lo que debe cumplirse que (ω √(1-ξ2))·t =π, lo que finalmente indica que t = π / (ω √(1-ξ2))·por lo que debe cumplirse que (ωn√(1-ξ2))·tp=π, lo que finalmente indica que tp = π / (ωn√(1-ξ2))·

El sobrepaso S.P. se obtiene evaluando que es,p

maxt ty( t ) y

==

( )2

2 1

2

111 1

1

n pt

max n py e sin t tgξω ξω ξ

ξξ− −

− = − − + −

( ) ( )2 22 21 11 1

2 2

1 11 11 1

1 1maxy e sin tg e sin tg

ξπ ξπ

ξ ξξ ξπξ ξξ ξ

− −− −− −

− − = − + = − − −

( )21

1 1

1maxy e

ξπ

ξ

ξ ξ

−−

− −

= +



PLEV 2010Comportamiento Transitorio de Sistemas de Comportamiento Transitorio de Sistemas de Segundo OrdenSegundo Orden

ξπSegundo OrdenSegundo Orden

por lo que el S.P. Es sólo función del coeficiente de amortiguamiento, figura 4.7.Como era de esperarse, ξ debería ser → 1 para minimizar el sobrepaso. Sin embargo, esto hace

( )21

e

ξπ

ξ−

−

Como era de esperarse, ξ debería ser → 1 para minimizar el sobrepaso. Sin embargo, esto hacelenta la respuesta. Nótese que se puede encontrar de la figura 4.4 que

( )2 2

11 1ntg tgω ξ ξθ θ −

− − = ⇒ =

( ) ntg tgθ θξ ξ

= ⇒ =

Fig. 4.7 Gráfica Sobrepaso en función de ξ



Fig. 4.7 Gráfica Sobrepaso en función de ξ


La banda de asentamiento δ se asume conocida y el tiempo de asentamiento ts es el instante en

que la salida entra en esta banda. Específicamente, ts se encuentra asumiendo que y entra a la

banda por (o aproximadamente por , para valores pequeños de ξ).Por lo21

1

nteξω

ξ−

+− 1 nte

ξω−+

tanto, y con esto se obtiene la relación,

1 ξ−

21

nteξω

δξ

−=

−

2

1 1

1s

n

t lnξωδ ξ

=

−




Dada una F.de T. de segundo orden estándar, calcular sus parámetros tal que S.P. < 5% y ts < 4

Ejemplo 10

seg. δ=2.59% para una entrada escalón.

El requerimiento de Sobrepaso es del 5% El requerimiento de Sobrepaso es del 5%

( )21

0 05S.P. e .

ξπ

ξ−

−= ≤ entonces 0 707.ξ ≥

El requerimiento de tiempo de asentamiento es de 4 seg.

1 14st ln

ξω

= ≤

El requerimiento de tiempo de asentamiento es de 4 seg.

por lo tanto1 1

14

n lnξω

≥ = 2

41

s

n

t lnξωδ ξ

= ≤ −

por lo tanto2

14

10 0259 12

n ln

.

ξω ≥ =

−




Dado que cos(θ)=ξ, entonces θ< cos-1 (ξ)=45º.La región donde se cumplen ambas condiciones

Ejemplo 10

se muestra en la figura 4.8. En el límite, -ξωn=-1 → ωn = √2 y ξ=1/√2

1.2

Respuesta ante entrada escalón de un Sistema de Segundo Orden

1 ↑ Banda de Asentamiento

↓ Banda de Asentamiento ↓ SP ↓ ts

0.6

0.8

Fig. 4.8 Región para la ubicación de las raíces para el ejemplo 10.

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2




Una planta continua tiene por F. de T. a kp/s; (a) determine cuál de los controladores (i) kc, (ii)

Ejemplo 11

kc/s ó (iii) kc/(s + a) logra en L.C. con realimentación unitaria negativa una F. de T. de segundo

orden estándar, (b) determine los coeficientes del controlador en función de los parámetros de la

planta y de la F. de T. de segundo orden estándar.planta y de la F. de T. de segundo orden estándar.




Se encuentra que la F. de T. discreta equivalente a un sistema de segundo orden continuoestándar está dada por,

c) Sistemas Discretos de Segundo Orden

estándar está dada por,

( ){ } ( )2 1

2 22 21 1

1 2 1

nT

p nT T

e z bk sin T cos

z e cos T z e

ξω

ξω ξωω ξ ξ

ξ ω ξ

−−

− −

−− − + − − − +

( ){ } ( )2 22 21 1

1 2 1n n

p nT T

n

k sin T cosz e cos T z e

ξω ξωω ξ ξ

ξ ω ξ− −− − +

− − − +

( ){ }{ }

2 1 21 1nT

nsin T cos eb

ξωω ξ ξ ξ−−− + + −=donde, En consecuencia, todo el análisis anterior es

válido en sistemas discretos en la medida que su F.de T. tenga un cero en la ubicación dada por la

expresión anterior.

{ }( ){ }2 1 21 1n

n

T

n

bsin T cos e

ξωω ξ ξ ξ−=

− + − −

expresión anterior.



PLEV 2010Especificaciones en el Dominio de la FrecuenciaEspecificaciones en el Dominio de la Frecuencia

Los valores característicos anteriores tienen estrecha relación con la respuesta en frecuencia deun sistema. Para este estudio, necesario introducir algunos conceptos

a) Terminología.

( )( )

( )( ) ( ) ( )

1

y s g sh s

y s g s r s= =

+

a) Terminología.

La F. de T. resultante de un sistema realimentado generalizado tiene una expresión del tipo,

( ) ( ) ( ) ( )1dy s g s r s+

que se asume tener una respuesta en frecuencia como la ilustrada en la figura 4.9. Por lo tanto,se pueden definir los siguientes conceptos

Def: hp es el valor máximo de |h(jω)|. Se conoce comopico de resonancia.

Def: ω es la frecuencia en la cual se produce el picoDef: ωp es la frecuencia en la cual se produce el picode resonancia. Se conoce como frecuencia deresonancia.

Fig. 4.9 Respuesta en Frecuencia de h(s)

Def: El ancho de banda B.W. es la frecuencia a la cual|h(jω)| cae al 70.7% del valor de |h(jω)|.a frecuenciacero.




b) hp, ωp y B.W. para un Sistema de Segundo Orden

La F. de T. en L.C. estándar de un sistema de segundo orden es de la forma,

( )2

nh sω=

Por lo tanto,

( ) 2 22

n

n n

h ss s

ωξω ω

=+ +

( )2 2

1ω ω( )( ) ( ) ( )

2 2

2 22 22

1

22 1 2

n n

n nn n n n

h jjj j j

ω ωωω ω ξω ωω ξω ω ω ω ω ξω ω

= = =− ++ + − +

uω= ( ) 1=con, se puede escribir, , por lo que su módulo es,n

uωω

= ( )( )21

1 2h ju

u j uξ=

− +

( )( )( ) ( )

22 2

1h ju = y su máximo se obtiene derivando la expresión anterior. Así.( )

( )( ) ( )2

2 21 2u uξ− +

( ) ( )

( )

2 22 1 2 4 2u u udh ju

du

ξ− − += −( )

( )( ) ( )3

22 2

2 1 2

h judu

u uξ= −

− +




Si la expresión anterior es 0 para , se tiene que, óu u ω ω= = 3 24 4 8 0u u uξ− + + =Si la expresión anterior es 0 para , se tiene que, ó

, de donde, , por lo que,

21 2ω ω ξ= −

p p nu u ω ω= = 3 24 4 8 0p p pu u uξ− + + =

( )2 24 1 2 0p pu u ξ− + + = 2 21 2pu ξ= −

21 2p nω ω ξ= −

Lo que tiene sentido para . Con este resultado se puede encontrar hpcomo,

0 2 2 0 707.ξ< ≤ =

( ) ( )1=

como,

( ) ( ) ( )2 22 2 22 2 2

1 1 10 2 2

2 14 1 22 4 1 2ph , ξ

ξ ξξ ξ ξξ ξ ξ= = = < ≤

−+ −+ −

ω=( ) ( )10

2B.W .h ju h=El ancho de banda se determina haciendo con , es

decir, , así,

B.W . nu B.W . ω=

( ) ( )2 22 2

1 1

21 2B.W . B.W .u uξ=

− +( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 4 2B.W . B.W . B.W . B.W . B.W .u u , u u u ,ξ ξ− + = − + + =

esta última ecuación corresponde a una ecuación de segundo

orden con la incógnita , así,

( ) ( )1 2B.W . B.W .u uξ− +

( ) ( )( )22 2 24 2 1 0B.W . B.W .u u ,ξ+ − + =

2

B.W .u ( )22 2

2 2 2 4 22 4 4 2 4

1 2 4 4 2B.W . B.W .u ,uξ ξ

ξ ξ ξ− ± − +

= = − + − +orden con la incógnita , así,B.W .u 1 2 4 4 22

B.W . B.W .u ,u ξ ξ ξ= = − + − +




por lo que finalmente,por lo que finalmente,

Las expresiones anteriores se grafican en la figura 4.10. Las gráficas anteriores indican que: (a)

2 4 21 2 4 4 2nB.W . ω ξ ξ ξ= − + − +

Las expresiones anteriores se grafican en la figura 4.10. Las gráficas anteriores indican que: (a)la frecuencia de resonancia ωp es a lo más igual a la frecuencia natural de oscilación, (b) no hayresonancia para ξ > √2/2, (c) el peak depende sólo del valor de ξ, es infinito para ξ→0 y es 1para todo ξ> √2/2, (d) el ancho de banda es proporcional a ωn y para 0.5 < ξ < 0.8 es igual a ωnpara todo ξ> √2/2, (d) el ancho de banda es proporcional a ωn y para 0.5 < ξ < 0.8 es igual a ωn

Fig. 4.10 Valores Característicos de un Sistema de Segundo Orden



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de Orden

De los casos anteriores se observó que los polos cercanos a −∞ pueden ser desestimados y queDe los casos anteriores se observó que los polos cercanos a −∞ pueden ser desestimados y que

sólo los cercanos al origen aportan dinámica. Esto motiva a la introducción del concepto de polos

dominantes y por ende, reducción de orden de sistemas. Es de especial interés obtener F. de T. dedominantes y por ende, reducción de orden de sistemas. Es de especial interés obtener F. de T. de

segundo orden, pues conocemos gran parte de sus características estáticas y dinámicas

(sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.).

a) Polos Dominantes.

Un polo en el plano continuo no es dominante si su parte real es a lo menos cinco veces másUn polo en el plano continuo no es dominante si su parte real es a lo menos cinco veces más

grande que la parte real de los restantes polos. En otras palabras, aquellos polos que presenten

dinámicas a lo menos cinco veces más rápidas, se pueden desestimar (nótese el efecto relativo dedinámicas a lo menos cinco veces más rápidas, se pueden desestimar (nótese el efecto relativo de

la definición).



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de OrdenEjemplo 12

Reducir el sistema de tercer orden dado por…

Ejemplo 12

( ) 1y s=( )

( ) ( )( )( )1

6 1 2 1 2

y s

u s s s j s j=

+ + + + −

Dado que el polo más rápido es el -6, éste se puede desestimar quedando la F.deT. comoDado que el polo más rápido es el -6, éste se puede desestimar quedando la F.deT. como

( )( ) ( )( )

16

1 2 1 2

y s

u s s j s j=

+ + + −El bode antes y después se muestra en la figura 4.11.

Fig. 4.11 Reducción de orden (A: exacto, B:aproximado)



Fig. 4.11 Reducción de orden (A: exacto, B:aproximado)

PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de Ordenb) Método Analítico de Reducción de Orden

El método anterior falla cuando los polos están próximos entre si y se desea reducir el orden.Sean las F. de T.,

b) Método Analítico de Reducción de Orden

( ) 1m

mb s ...h s k n m

+ += ≥ ( )

( )

1

1

1

m

n

n

p

p'

g

h s k n ma s ...

n gc s ...

h s k g pd s ...

= ≥ + + >+ + = ≥+ +

( )1g

g

h s k g pd s ...

= ≥+ +

donde h(s) es conocida y se desea encontrar h’(s). Se impone que: i) que h’(s) y h(s) tengan la

misma ganancia d.c., (ii) que tengan aproximadamente las misma respuesta en frecuencia, esmisma ganancia d.c., (ii) que tengan aproximadamente las misma respuesta en frecuencia, es

decir, para todo ω. Para esto se deben obtener los coeficientes cp y dg.

Primero se definen,

( ) ( ) 1s j

h s h' s ,ω=

≈

k kd d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

k k

k k

d dM s M s y s s

ds ds= ∆ = ∆

donde( ) ( )h s M s

=donde( )( )

( )( )

h s M s

h' s s=

∆



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de Orden

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 2

2 2

1 0 0 1 0 0

2 2

k q k qk q k k q kq q

q q

M MM y

k ! q k ! k ! q k !

+ +− −− − ∆ ∆= ∆ =

− −∑ ∑

Además se definen,

con k= 0,1,2… . Entonces los coeficientes c y d son obtenidos de igual M2q=∆2q con q=1,2,…

hasta el número requerido de coeficiente.

( ) ( )2 2

0 02 2q q

k kk ! q k ! k ! q k != =− −∑ ∑

hasta el número requerido de coeficiente.



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de OrdenEjemplo 13

Reducir el orden del siguiente sistema …

Ejemplo 13

( ) ( )3 2 2

2 1

6 1

6 11 6 1h s , h' s

s s s d s d s= =

+ + + + +( ) ( ) ( )

6 1h s = =( ) ( ) ( )3 2 2 3

6 1

6 11 6 1 11 6 1 6h s

s s s s s s= =

+ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )0 02

1 21 0 1M s d s d s ; M⇒ = + + =( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 1

1 2 1

2 2

2 2

1 0 1

2 0

2 0 2

M s d s d s ; M

M s d d s ; M d

M s d ; M d

⇒ = + + =

= + =

= =( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 3

0 02 3

2 0 2

0 0 0

1 11 6 1 6 0 1

M s d ; M d

M s ; M

s s s s ;

= =

= =

⇒∆ = + + + ∆ =( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 12

2 2

1 11 6 1 6 0 1

11 6 2 3 6 0 11 6

2 0 2

s s s s ;

s s s ;

s s ;

⇒∆ = + + + ∆ =

∆ = + + ∆ =

∆ = + ∆ =( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 3

2 0 2

1 0 1

s s ;

s ;

∆ = + ∆ =

∆ = ∆ =



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de OrdenEjemplo 13Ejemplo 13

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 30 2 1 1 2 0

2

1 0 0 1 0 0 1 0 01

0 2 0 1 2 1 2 2 2

M M M M M Mq M

! ! ! ! ! !

− − −⇒ = = + +

− − −( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 1 2 2 1

1 2 30 2 1 1 2 0

0 2 0 1 2 1 2 2 2

2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

! ! ! ! ! !

M d d d d d

− − −

= − + − = − +

− ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 2 1 1 2 0

2

2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 2 0 1 2 1 2 2 2

1 121 36 1 49 36

! ! ! ! ! !

− ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆∆ = + +

− − −∆ = − + − =2

2

2 2 2 1

2

4 4 2

1 121 36 1 49 36

Dadoque 2 49 36

2 Dadoque 7 18

M d d

q M d

∆ = − + − =

= ∆ ⇒ − + =

= = ∆ ⇒ =4 4 22 Dadoque 7 18q M d= = ∆ ⇒ =De las dos ecuaciones anteriores se deduce que d1=1.615 y d2= 0.625

( ) ( ) 26 1 601 60 2 2 584n n

.h s h' s . , .ω ξω= ≈ = ⇒ = =( ) ( )3 2 2

1 60 2 2 5846 11 6 2 584 1 60

1 265 1 021

n n

n

h s h' s . , .s s s s . s .

. , .

ω ξω

ω ξ

= ≈ = ⇒ = =+ + + + +

= =



PLEV 2010Polos Dominantes y Reducción de OrdenPolos Dominantes y Reducción de OrdenC) Reducción de Orden en Sistemas Discretos

Se plantea como alternativa encontrar los polos continuos equivalentes y luego aplicar

cualesquiera de las alternativas anteriores. En general, si un modelo discreto proviene de un

C) Reducción de Orden en Sistemas Discretos

cualesquiera de las alternativas anteriores. En general, si un modelo discreto proviene de un

sistema continuo, se espera que la reducción de orden - de corresponder - debiera realizarse

antes de encontrar su equivalente.



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoLos retardos están siempre presentes en los sistemas físicos. Afortunadamente, en muchos deLos retardos están siempre presentes en los sistemas físicos. Afortunadamente, en muchos de

ellos, éstos son pequeños al compararlos con las dinámicas del sistema y por lo tanto se pueden

asumir cero. Sin embargo, los sistemas que se caracterizan por el transporte de materiales (p.ej.,asumir cero. Sin embargo, los sistemas que se caracterizan por el transporte de materiales (p.ej.,

minería, biología, etc.), tienen retardos apreciables, Fig. 4.12; es más en algunos casos son

mayores a las constantes de tiempo de la dinámica del sistema. Los sistemas eléctricos no están

exento de esta característica por la velocidad finita de la luz. Este es el caso de los sistemas de

transmisión de energía eléctrica en donde el transporte se realiza en distancias del orden de los

varios cientos de kilómetros.varios cientos de kilómetros.

Fig. 4.12 Sistema con retardo – transporte de material.



Fig. 4.12 Sistema con retardo – transporte de material.

PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con Retardoa) Aproximación del Retardo

Sea un caso particular de un sistema continuo de primer orden con retardo,

a) Aproximación del Retardo

( ) rp st

kg s e

τ−=

+( )

1rg s e

sτ=

+¿Qué aporta el retardo en términos de ceros, polos y estabilidad?. ¿Qué sucede con estas

características si se realimenta el sistema?. El retraso se caracteriza en el plano de larste−características si se realimenta el sistema?. El retraso se caracteriza en el plano de la

frecuencia por,

rste−

( )( )

1rst

s j

st

mod eω

ω

−

=

−

=

= −( )rst

rs j

arg e tω

ω−

== −

Por lo que sólo adiciona retraso y por lo tanto g(s) es estable si y solo si sus polos sonrste−

estables. La interrogante de mayor importancia es, ¿qué sucede si se agrega un lazo de

realimentación unitaria a un sistema con retardo?. La F. de T. en L.C. considerando un controlador

de ganancia k es,de ganancia kc es,( )( )

( )( )1 1

r

r

st

c pc

st

d c c p

k k ey s g s k

y s g s k s k k eτ

−

−= =+ + +



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con Retardola cual no puede ser analizada directamente por la dificultad de identificar los polos y ceros della cual no puede ser analizada directamente por la dificultad de identificar los polos y ceros del

sistema resultante. Se puede utilizar la relación,2

2 31 1ydadoque 1 1

r

r

stst xe

e , e x x x ... x−

− −= = − + − + ≈ −2 3

2

1 1ydadoque 1 1

2 6r

r

st x

st

ee , e x x x ... x

e

− −= = − + − + ≈ −

el retardo se puede aproximar por . Así la F. de T. en L.C. es en forma

aproximada,

1 2

1 2rst r

r

t se

t s

− −≈+

( )( )

( )( )2

1 2

2 1 2 2

c p r r

d r c p r c p r

k k t s ty s

y s s s t k k t k k t

ττ τ τ τ

−≈

+ + − + +

aproximada,1 2rt s+

La última expresión indica que el sistema es estable si la ganancia . En el caso

ideal en que tr →0 se puede tener que kc tienda al infinito.

1 21c

p r

kk t

τ < +

r c

Nótese además que el sistema adiciona un cero en el lado derecho del plano complejo, lo quesugiere respuestas con sobrepaso negativo. Las conclusiones anteriores son válidas a medida quela aproximación de primer orden utilizada para e-trs sea válida, la cual lo es si y sólo si 2τ/tr → ∞; esdecir, para valores pequeños del retardo, t → 0. Para el diseño de sistemas con retardos, sedecir, para valores pequeños del retardo, tr → 0. Para el diseño de sistemas con retardos, secuenta con el Predictor Smith que permite hacer abstracción de éste para efectos de diseño. Elsistema resultante sigue teniendo un retardo, pero el diseño del controlador se simplificanotoriamente, pues la planta se trata como sistema sin retardo.



notoriamente, pues la planta se trata como sistema sin retardo.

PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con Retardob) El predictor Smith para Sistemas Continuos

Dado un actuador y una planta con retardo tr y modelo conocidos, se propone el controlador

ilustrado en la Fig. 4.13(a), donde, hyv(s) = hyvo(s)e−str es el modelo de la planta y actuador

b) El predictor Smith para Sistemas Continuos

combinados, pm(s) es una F. de T. a encontrar y hc(s) es el controlador a especificar. Se puede

obtener de la Fig. 4.13(a) que, ( )( )

( )( )( ) ( )

cv s h s=

( ) ( )( ) ( )1 1 rst

c me s h s e p s−

=+ −

Fig. 4.13 Predictor Smith(a)Continuo

(b) Discreto incluyendo el retardo (b) Discreto incluyendo el retardo por cálculo



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoPor lo tanto,Por lo tanto,

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )1 1

r

r

stc

yvost

c m

h sh s e

h s e p sy s

−−+ −

=( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

r

r

stcdyvo stst

c m

st

h sy sh s e h s

h s e p s

h s h s e

−−

−

=+

−

( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

r

r r

st

c yvo

st std c m c yvo st

st

h s h s ey s,

y s h s e p s h s h s e h s

h s h s e

−

− −

−

=+ − +

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

r

r r

st

c yvo

st st

d c m c m c yvo st

h s h s ey s

y s h s p s h s p s e h s h s e h s

−

− −=+ − +

Si pm(s) se escoge igual a hyvo(s)hst(s), entonces,

( ) ( ) ( )r

c yvo sth s h sy s

e−=( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )1r

c yvo st

d c yvo st

h s h sy se

y s h s h s h s

−=+



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoPor lo tanto, se puede diseñar h (s) de manera tradicional considerando que el resultado final esPor lo tanto, se puede diseñar hc(s) de manera tradicional considerando que el resultado final esuna planta con un retardo como el original. El inconveniente es la necesidad de conocer hyvo(s),hst(s) y tr en forma exacta.

c) El predictor Smith para Sistemas Discretosc) El predictor Smith para Sistemas Discretos

En este caso es de importancia considerar el retardo unitario impuesto por la implementacióndel algoritmo. Si se asume que la planta tiene un retardo tr = lT, entonces, la F. de T. discretaequivalente de la planta y actuador combinados se puede escribir como hyvo(z)z-lT y la delequivalente de la planta y actuador combinados se puede escribir como hyvo(z)z-lT y la delsensor/transmisor como hst(z). Por lo tanto, de la Fig. 4.13(b) se puede escribir que,

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1

1

c

l

v z h zz

e z

−− +

=+ −

donde se espera que el Predictor Smith compense también por el retardo de cálculo. Así,

( ) ( ) ( )( ) ( )11 1

l

c m

ze z h z z p z

− +=

+ −

( ) ( )h z

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1

1

1 1

lc

yvol

c m

lc

h zz h z z

h z z p zy z

h zy z

− −− +

− −

+ −=

+( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

11

1 1

lcdyvo stl

c m

h zy zz h z h z z

h z z p z

− −− +

++ −



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con Retardo( ) ( ) ( )1 l

c yvoz h z h z zy z− −

=( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1

1 1

c yvo

l ld c m c yvo st

l

z h z h z zy z

y z h z z p z z h z h z h z z

z h z h z zy z

− + − −

− −

=+ − +

Si pm(z) se escoge igual a hvvo(z)hst(z), entonces,

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 11

l

c yvo

l l

d c m c m c yvo st

z h z h z zy z

y z h z p z h z z p z h z h z h z z

− −

− + − +=+ − +

Si pm(z) se escoge igual a hvvo(z)hst(z), entonces,

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1

1

c yvo l

d c yvo st

h z h zy zz

y z h z h z h z

− +=+( ) ( ) ( ) ( )1d c yvo sty z h z h z h z+

Por lo tanto, se puede diseñar hc(z) de manera tradicional considerando que el resultado final esuna planta con un retardo como el original. Similarmente al caso continuo, el inconveniente es lanecesidad de conocer hyvo(z), hst(z) y tr = lT en forma exacta. Nótese además que el retardo tryvo st r rdebe ser un múltiplo entero del tiempo de muestreo T. Si por el contrario, se espera que elPredictor Smith sólo compense por el retardo de la planta, entonces, se puede escoger de maneraque la relación entre v(z) y e(z) sea,

( ) ( )v z h z( )( )

( )( )( ) ( )

1

1 1

c

l

c m

v z h zz

e z h z z p z

−−

=+ −



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoPor lo tanto, ( ) ( )1 lch z

z h z z− −Por lo tanto,

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1

1

lc

yvol

c m

lcd

h zz h z z

h z z p zy z

h zy zz h z z z h z

− −−

− −

+ −=

+( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

11 1

dyvo stl

c m

l

c yvo

z h z z z h zh z z p z

z h z h z zy z

−

− −

++ −

=( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1 l ld c m c yvo st

l

c yvo

y z h z z p z z h z h z h z z

h z h z zy z

− − −

− +

=+ − +

=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1ll

d c m c m c yvo sty z h z p z h z p z z h z h z h z z

− +−=

+ − +

( ) ( ) ( )Si pm(z) se escoge igual a hvvo(z)hst(z)z-1, entonces,

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

11

c yvo l

d c st yvo

h z h z zy zz

y z h z z h z h z

−−

−=+

Por lo tanto, se puede diseñar hc(z) de manera tradicional considerando que el resultado final esun sistema con un retardo como el de la planta, y que el retardo de cálculo está presente en la F.de T. resultante.



de T. resultante.

PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoEjemplo 13Ejemplo 13

( ) ( )r rst st

yvo

kh s e e

s s p

− −=+

Sea hst(s)=1. Calcular k y p de manera de obtener un S.P. < 30% y

un t <4.5 seg, con δ=15% y para t =1.0 segun ts <4.5 seg, con δ=15% y para tr=1.0 seg

Al utilizar el Predictor Smith de la figura 4.13(a) se espera que la F.de T. seaQue al compararla con una F.de T. de segundo orden estandar se tiene que, 2

rstk

es ps k

−

+ +Que al compararla con una F.de T. de segundo orden estandar se tiene que, 2e

s ps k+ +21 2p n nk , k , pω ξω= = =

Por lo que se opta por obtener los parámetros de la F. de T. estándar para luego deducir losparámetros de hyvo(s). De la expresión del sobrepaso se obtiene que,

( )( )2 2

30 0 358ln S.P.

para S.P. % .ln S.P.

ξ ξπ

−= = ⇒ =

+( ) 2ln S.P. π+



PLEV 2010Sistemas con RetardoSistemas con RetardoEjemplo 13Ejemplo 13

De la expresión de tiempo de asentamiento se obtiene que,

( )214 5 3 5 1 569

ln, t . t . [ seg ] .

δ ξω ω

− −= = − = ⇒ =

( )14 5 3 5 1 569n s r n

s

ln, t . t . [ seg ] .

t

δ ξω ω

ξ

− −= = − = ⇒ =

Con estos valores se obtiene un valor de k=2.463 y p=1.123.Con estos valores se obtiene un valor de k=2.463 y p=1.123.

Nótese que el controlador no es necesario

para cumplir con las premisas de respuesta1.2

1.4Respuesta en el tiempo del Predictor de Smith

← Sobrepaso

para cumplir con las premisas de respuesta

transiente, por lo que hc(s)=1.0.8

1

1.2

↑ Tiempo de Asentamiento

0.4

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PLEV 2010RepasoRepasoEjemplo 14Ejemplo 14

Para el diagrama en bloques de la figura de la derecha se pide:

a) Encontrar un equivalentea) Encontrar un equivalentediscreto entre la salida y(kT) y laseñal v(kT). Asuma que el retardoes múltiplo del tiempo de muestreo(es decir, tr = lT).(es decir, tr = lT).

b)Escoja entre los controladores(i) kc, (ii) kc/z, (iii) kc/(z - 1) de manera de obtener cero error en S.S. para entrada escalón en laentrada yd(kT), asumiendo nula perturbación.entrada yd(kT), asumiendo nula perturbación.

c) Analice para el controlador escogido, el error en S.S. para entrada escalón en la perturbación.

d) Redefina el controlador escogido en b) de ser necesario para tener nulo error en S.S. parad) Redefina el controlador escogido en b) de ser necesario para tener nulo error en S.S. paraentrada escalón en la perturbación.



PLEV 2010RepasoRepasoEjemplo 15Ejemplo 15

Para el sistema de la derecha con kp y τ parámetros positivos.

a) Especifique un controlador tal que elerror en S.S. sea nulo para entradaescalón.

b) Especifique un controlador tal que el error en S.S. sea igual a 0.1 para entrada rampa.

Para un controlador discreto constituido por una ganancia kc un integrador puro y un

Ejemplo 16

retardo igual a un tiempo de muestreo. Determine:c) Su Función de Transferencia.d) Una representación en variables de estado..



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Régimen Transiente en Sistemas Realimentados