Interação Eletromagnética Ricardo Affonso do Rego

♣ Interação eletromagnética → Relatividade.♠ Materiais dielétricos e magnéticos.♦ Interação eletromagnética quântica.♥ Livro de eletromagnetismo.

Boa parte do conteúdo desta apresentação foi extraídodo livro abaixo relacionado, a ser publicado nesta anode 2010. No final da apresentação consta os capítulosdeste livro.

Eletromagnetismo Básico Ricardo Affonso do Rego LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.

Interação Eletromagnética.Questão: O que é a interação eletromagnética ?☻carga elétrica

As interações fundamentais da natureza.♣ Gravitacional ♠ Eletromagnética ♥ Nuclear forte ♦ Nuclear fraca

Próton: Três quarks. u u d.Nêutron: Três quarks. u d d.Elétron: Partícula elementar.

Os quarks apresentam as quatro interações fundamentais da natureza. Interações entre os quarks?

Massa: Interação gravitacional. Quarks: Interação nuclear forte. Explica a união dos três quarks do próton.Quark d em u.Interação nuclear fraca. Decaimento do nêutron: .Carga elétrica: Interação eletromagnética. Quarks apresentam cargas elétricas.

en p e ν−→ + +

Força entre duas cargas elétricas. Dois referenciais inerciais.Rapaz parado: Força coulombiana. .Rapaz em movimento: Força coulombiana modificada .

Transformadas de Lorentz Transformadas de Galileu

2 21 /V c−

,x y zF F eF,x y zF F eF

2 2

2 2

1 /

1 /

x x

y y

z z

V

V

F F

F F c

F F c

=

= −

= − Razão do fator ?

2 2

2

2 2

1 /

/

1 /

V

V

V

V

x txc

y yz z

t x ctc

−=

−==

−=

− Necessidade destas transformações ?

2L

1L

3L

4L

Vx x ty yz zt t

= −==

=

Einstein – 1905 – Teoria da Relatividade

1- Princípio da relatividade:Todas as leis da natureza são as mesmas ( invariantes ) para todos os observadoresem movimento translacional relativo uniforme.

2- Princípio de invariança da velocidade da luz:A velocidade da luz no vácuo é a mesma e igual a c em todos os sistemas inerciaisde referência.

Estes dois princípios são satisfeitos pelas transformações de Lorentz apresentadas.Estas transformações foram descobertas por Lorentz em 1904. Torna inalterada aforma das equações de Maxwell. Apesar das transformações de Lorentz proporcionaruma base para o desenvolvimento da relatividade especial, as consequências transce-dentes da relatividade não foram descobertas por Lorentz que neste tempo ainda acre-ditava na hipótise do éter.

Vamos mostrar que é decorrente das transformações de Lorentz.2 21 /y yF F V c= −

Prova da transformação de força entre dois ref. inerciais:Relação entre velocidades e momentos de dois referenciais inerciais.Rapaz de boné.

Rapaz de cabelo esvoaçante.

Vê referencial se afastando com e corpo com vel. . Massa:

2 2 2 22 4 1 / 1 /y yV Vy y y

L Lt t t

u c cuΔ Δ Δ= = =

Δ Δ Δ= − = −=

2 2

2 21 /

1 /( )(**)

Vy y y y yV c

cp mu m pm u u− =

−= = = = ( )y yp p= ◊

2 2 2 2( ) 4 1 / 1 /y y y

y yV V

p p pF L c F c

t t t

Δ Δ Δ= = ◊ = = = − = −

Δ Δ Δ

2 21 /y y VF F c= −

2 21 /y y VF F c= −

2 21 / (**)y y Vu u c= −

V− yu 2 2 2 (***)yVv u= +

2 2 2 2 2 2 2 2( ) (*)

1 / 1 / 1 / 1 /( )o o

yV V

m m mm

c c u c cν

= = = = =− − − −

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 / (***) 1 / / (**) 1 / ( / (1 / ))y yV V Vc c u c c u c cν− = = − − = = − − − =

2 2

, , ,1 /

(*) yo

y y y y

y

pmyu m p mu F

t tu c

ΔΔ= = = =Δ Δ−

2 2 2 21 / /( )(1 )( )yV c u c−= −

Força medida por dois referenciais inerciais

• Referencial parado : Força medida pelo rapaz de boné ?

.Rapaz vê as cargas paradas: Força coulombiana.

Referencial em movimento : Força medida pelo rapaz cabelo esvoaçante ?

Força coulombiana modificada.

2 , 04 x zqQ

o

qQF y F Frπε

= = =

2 2 2 22

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ? 1 / ? 1 /4x y z y

oV VF xF yF zF yF c y cqQ

rπε= + + = = − = = −

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 /1 /1 /

( / )4 4 1 / 4 1 /

yo o o

VV

V

cF cc

qQ qQ qQ V cr r V c r V cπε πε πε

−= − = −

− − −

Identificando a natureza das forçasReferencial em movimento

Força coulombiana com correção relativística.

Força magnética com correção relativística

Característica da força magnética1- FB surge de movimento de carga elétrica.2- FB atua em q e Q. As duas cargas estão em movimento.3- FB / FE = v2/c2 .

2 2 24 1 /Eo V

F qEqQr cπε

= =−

2

2

2 2 24 1 /Bo

VV

F q BcqQV

r cπε= =

−

Qual a origem da força magnética FB ?

Movimento de carga. Carga Q com velocidade produz campo magnéticoque atua na carga q com velocidade . Resulta a força magnética :

Força atuando na carga q em movimento

Expressão de , criado por Q em movimento na carga q ?

Conclusão: Toda carga elétrica em movimento cria campo magnético!A teoria da relatividade nos diz que a origem cinemática da força magnética é resultanteda modificação da força coulombiana devido à mudança de sistema de referência.

V

B

qV V= BF

q BB VqF = ×

B

2 2 2 222 2 2

ˆ ˆ ˆ(#)4 1 /4 1 /

Q

oo

V r zQVB zBr c V cVc

Qr c πεπε

× −= = = = −

−−ˆ ˆ ˆ ˆ

QV r xV y zV× = − × = − ˆ ˆˆ( ) ( )q BB V V Vq q x zB yq BF = × = − × − = −(#)

Força no eletromagnetismo

Situação: Cargas q e Q observada em dois referenciais inerciais.Questão: Força em q ?

Rapaz parado. Observa . Não observa campo magnético. Mede: Rapaz em movimento. Observa . Campo elétrico e magnético.Mede: . Força de Lorentz.Campo (ref. parado) é visto (transformado) em campos (ref.movimento).

Conclusões sobre campo elétrico e magnético:1- Campos dependentes de sistema de referência.2- Campos criados por carga elétrica.3- Campos elétrico E e magnético B constituem a interação eletromagnética.A teoria da relatividade restrita fornece as regras de transformação de como ocampo eletromagnético se transforma em sistemas inerciais de referência.As relações matemáticas entre o campo eletromagnético do sistema parado emovimento é conhecida por transformações de Lorentz.

F qE=E

,E B( )F q E V B= + ×

E ,E B

2 21 /y

y

EE

V c=

−

Qual a necessidade das transformações de Lorentz ?Decorrente da exigência do 10 princípio da teoria da relatividade especial:Para que as leis do eletromagnetismo sejam as mesmas ( apresentam amesma forma ) em referenciais inerciais são necessárias as transformações deLorentz. Implica que:

Sistema Parado Sistema Movimento

Conclusão: Força de Lorentz é invariante pelas transformações de Lorentz.Equações de Maxwell

Sistema Parado Sistema Movimento

As equs. de Maxwell são invariantes pelas transformações de Lorentz.

( )qF q E V B= + ×( )qF q E V B= + ×

2

/

0o

o

E

B

BEt

EB Jc t

ρ ε

μ

∇ =

∇ =

∂∇× = −

∂∂

∇× = +∂

i

i

2

/

0

o

o

E

B

BEt

EB Jc t

ρ ε

μ

∇ =

∇ =

∂∇× = −

∂

∂∇× = +

∂

i

i

Que sistema de referência obtemos valor c ?Note que e as constantes de permeabilidade e

permissividade são constantes universais. Logo eConsequência da invariança da velocidade da luz ?

Sistema Parado Sistema Movimento

Visto que o espaço deve contrair, o tempo deve mudar proporcionalmente àmedida que a velocidade se aproxima da velocidade da luz.

Análise alternativa: Que propriedades de transformaçoes os campos elétrico e magnético devem ter para que ( na mudança de referencial do parado para o emmovimento ) nos referenciais inerciais a velocidade da luz seja a mesma ?

Como consequência: forças de Lorentz e equações de Maxwell invariantes!

1

o o

cμ ε

=1

o o

cμ ε

=

o oμ μ= o oε ε= c c=⇒

dxcdt

=dxcdt

=

x xE E= ( )y y zVE E Bγ= − ( )z z yVE E Bγ= +

x xB B=2( )y y z

VB Ec

Bγ += 2( )z z yVB B Bc

γ −= 2 2

1

1 /V cγ =

−

Qual a resposta da matéria sob ação de e ?

DielétricoEfeito do dielétrico num capacitor?Adiciona água entre as placas de um capacitor carregado.Medida: Vo > V

Eod > E d → Eo > E. Dielétrico: Eo / E = K → E = Eo / K (1)Conclusão: Dielétrico reduz campo elétrico. Razão ? Dipolo elétrico. O que é ?

Dielétrico: composto por moléculas não-polares e polares.Molécula não-polar na ausência de campo elétrico orientador.

O que aconteça com ela, na presença de campo elétrico orientador ?

Molécula polar

Razão da redução do campo elétrico.1 dipolo

E

E

B

p o=

o dE E E= +

p o≠0,E =19

10

10

10

q Cp qd

d m

−

−

≅= =

≅

⎧⎨⎩

momentodedipolopp o=0,E =

p o≠0E ≠

Como verificar a redução do campo elétrico pelo dielétrico?Capacitor:

1- Vácuo. Lei de Gauss:

2- Com Dielétrico: Muitos dipolos elétricos .

Compare equ. (2) com equ. (3): Redução do campo elétricopela presença de carga do dielétrico.

2ˆ ? ?n o

l

S

o oS A A

Q AE ndA E A E A σε ε= +

== = = = =∫∫ i ⇒ (2)oo

Eσε

=

( )ˆ ? ?S P

o oS

Q AE ndA EA σ σε ε

−= = = = =∫∫ i (3)P

o

Eσ σε−

=⇒

pσ

ip

ˆ S

oS

QE ndAε

=∫∫ i

arg .arg . .P

c a livrec a de polarização

σσ→→

Como relacionar momento de dipolo elétrico com polarização ?p P

Dielétrico: Redução do campo elétrico.

Equ. (3): Polarização

Como calcular o vetor polarização ?

P oE Eσ ⇒ <P

o

Eσ σε−

= ⇒arg . arg . .

. (4)Pc a livre c a de polarização

oEσ ε σ= +

1 ...(5)

N

iiP

PP

P

pNq dAd PV VAd N q d np PV

σσ=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

= == =

= =

∑ ↓

(7)

. .

o

D vetor Deslocamento

D E Pε= +

10

.

lim

V

V

N n

ii

VVetor Polarização

pP

= Δ

=Δ → Δ

=∑

P

ˆpp qdu=

: . . . cosdensidade de dipolos elétrin(4) (5) (6)oe D E Pε→ = +

Cálculo de é complicado!Dielétricos lineares:

P representa a resposta do dielétrico da ação de campo elétrico Eo:Campo elétrico Eo : causa. Polarização P: efeito da matéria.

1- Polarização P proporcional a E, campo elétrico resultante:2- Susceptibilidade elétrica.3- , proporcional a E.4- Gases e líquidos são, em geral, dielétricos isotrópicos.Constante dielétrica K: Kar seco =1,00025, Kdiamante= 5,7 Kágua= 80,1

Curiosidades: Quando um dielétrico (isolante) se torna condutor ?Ruptura dielétrica.

Ar: E > 3x106 V/m.O´leo: E > 1,5x107 V/m.

Raios.

(6) (2) (1) ( 1)

( . )o o o o o o o o o e

o e

P D E E E E KE E K E E

P E Dielétrico isotrópico

ε σ ε ε ε ε ε ε ε χ

ε χ

= = − = − = = − = = − = − =

=

1e Kχ = −

P

oD KEε=

o dE E E= +

Materiais magnéticosFontes do campo magnético.Quais são as fontes do campo magnético ?1- Corrente aplicada. Corrente em fio condutor produz campo magnético.

Corrente aplicada Campo H

2- Matéria: Interação entre os elétrons da matéria produz campo magnético.

Matéria Magnetização

3- Corrente aplicada + matéria.

Obs.: Razão? M = M( H ). H altera M.

O que produz a magnetização ?

?c oB B Hμ= = =↓ ↓

?m oMB B μ= = =↓ ↓

c m o oB B B H Mμ μ= + = +

3 1 2B B B≠ +

M

Os dipolos magnéticos induzem a magnetização .

O que é um dipolo magnético? correntes microscópicas. com momento de dipolo magnético

Um elétron em órbita produz momento de dipolo magnético

Como definir ligando com dos elétrons ?

ˆim iAn=

2

2 2 2 2ee e

eV eVr e eiA r m Vr Lr m mπ

π= = = =

2Le

eLmm−

= ( ... .. .. )L fonte de M2 2

e e eVirT r

Vπ π

= = = e e

pL r m V m Vr= × =

Se

eSmm−

=?i L S

e

em m m g Jm

= + = = −

( ... .. .. )S fonte de M

J L S= +

M im

M

m

Magnetização M

Matéria magnética apresenta milhões de elétrons com num volume ΔV.

Matéria homogênea:

Modelo microscópico: Cilindro de volume ΔV=A constituído de N correntes microscópicas.

Cada elétron (-e) induz corrente i:

Conclusão: Magnetismo da matéria tem sua origem nas correntes microscópicas.

im

10

.

lim

VN n

ii

V V

m

Vetor Magnetização

M

= Δ

=Δ → Δ

=∑

01? lim

VN n

i Vi V

Nmm Nm M nm

= Δ

Δ →= Δ

= = ⇒ = =∑

2

Vei

r

Q

t π

−=Δ

Δ=

? ? , :

?m o o

NM nm iA temos

A

B MNi

μ μ

= = = =

== = . .Expressão de solenóide

Comportamento da matéria na presença de campo magnético: M = M ( H)

Qual é a resposta do material magnético na presença de campo magnético aplicado Bc?

Diamagnetismo:

Paramagnetismo:

Ferromagnetismo: Material não-linear: M = F(H)

C mB B

o oB H Mμ μ+=

( . )mEfeito Causa

M H Material linearχ=

1C

BB

1C

BB

<

1C

BB

>

5( ) 2, 60 10m

prataχ −= − ×

5( ) 2, 50 10m

alumínioχ −= ×

( : ) 24999m

liga ferro níquelχ + =

Materiais magnéticos

Materiais lineares

Diamagnéticose

Paramagnéticos

Materiais não-lineares : Ferromagnetismo Como produzir um ímã ?Histerese

Obs.: H = 0 M = 0. Diamagnetismo e Paramagnetismo.H = 0 M ≠ 0. Ferromagnetismo.

Materiais dielétricos: E < Eo x Materiais magnéticos é possível B > Bo

(1 )m

m m

M K

o o oH H HB Hμ

χ χμ μ μ μ= + == +

⇒⇒

Eletromagnetismo: Breve análise de duas abordagens.Teoria clássica x quântica

Existem fenômenos envolvendo cargas elétricas inexplicável pelo eletromagnetismo de Maxwell?

Criação de um par de cargas.Um onda eletromagnética cria um par de cargas ao interagir com o campo coulombiano deum núcleo. Como é possível explicar o desaparecimento de um campo eletromagnético, raio , ao interagir com um núcleo A, e no seu lugar criar um elétron e um posítron ( antimaté-ria do elétron ) ? Energia resultando em matéria ?Eletromagnetismo Clássico: Não explica! Eletromagnetismo Quântico: Explica!!!

Antimatéria: Previsão teórica de Dirac: 1928.

Verificação experimental: Anderson e Blackett 1932.O que é antimatéria ?Partícula gêmea da matéria, com carga elétrica oposta.

Como explicar o fenômeno ? Einstein ( 1905): A matéria é uma concentração de energia E = m c2.

*A A e eγ − ++ → + +γ

Teoria clássica do eletromagnetismo: Elétron: partícula pontual, com momento,energia,...satisfaz as equs.da mecânica de Newton e campo eletromagnéticocontínuo, que satisfazem as equações de Maxwell.1- Eletromagnetismo Clássico: Maxwell.

Força de Lorentz

Equações de Maxwell.

Qual é a fonte de ?

.......... ........... . /ˆ oI S

oSLei de Gauss E

QE ndA ρ εε− ∇ ==∫∫ ii

)(F q E V B+= ×

,E B

E

Existe cargas magnéticas ( monopolos ) ?

Ausência de monopolos magnéticos.

Como se pode induzir campo elétrico na ausência de cargas elétricas ?

.......... ........... .

0.

ˆ 0II

S

Lei de GaussB

do magnetismoB ndA− ∇ ==∫∫ ii

( ) ( )

.. ..ˆ .. ..C A A C

IIId BE dl B ndA Lei de Faraday Edt t

−∂

= − ∇× = −∂∫ ∫∫i i

E

Cilindro condutor se move

com velocidade V, com

campo magnético B constante.

Área variável no tempo A=A(t)

Campo magnético

variável no tempo, numa

área espacial A fixa.

Como se pode induzir campo magnético ?

Questão: Como é possível variar fluxo elétrico sem variação no tempo do campo elétrico?

( ) ( )( )

ˆ ˆ ..o o o

C

A C A C

E

o o oC A

I

EB J

tJ ndA E ndAdIV B dl

dtμ μ εμ μ ε

Φ

∂∇× = +

∂+− = ∫∫ ∫∫∫ i iiB

.. ..Lei de Ampére Maxwell−

Corrente é fonte de campo magnético B

Carregamento de capacitor:

Variação de fluxo elétrico no tempo

é fonte de campo magnético B.

2- Eletromagnetismo quântico: Dirac, Feynman ... ♣ O que é?

Combinação de eletromagnetismo com mecânica quântica: Eletrodinâmica quântica ( QED, quantum electrodynamics ).

♣ Necessidade de mecânica quântica ?1- Radiação de corpo negro: Planck.

Matéria: energia é quantizada. X Newton: energia contínua.2- Efeito fotoelétrico: Einstein.

Luz: energia é quantizada: fótons. X Maxwell: energia contínua.3- Elétron é uma onda: De Broglie.

Verificação experimental: difração de elétrons.

♣ Equação desta onda ?a- Equ. de Schrödinger.b- Equ. de Dirac: Mecânica Quântica + Relatividade restrita.

Aplicação da mecânica quântica a campos resulta: teoria quântica de campos .Eletrodinâmica quântica: Descreve a interação entre cargas elétricas através detroca de fótons.

♣ O que é um fóton ?Um quantum de energia de radiação. Ef = h f .

Eletromagnetismo:Clássico: Os campos elétrico e magnético são contínuos.Satisfazem as equações de Maxwell. Elétron satisfaz equação de Newton.Quântico: Campos satisfazem as equações da QED. O elétron satisfaza equação de Dirac.

Eletrodinâmica Quântica ( Eletromagnetismo quântico ).Incluem as concepções de mecânica quântica: Funcão de onda, conceito de probabilidade,

princípio de incerteza de Heisenberg,... Equações da QED:

Hamiltoniana de Dirac:

QED: 1- Interação eletromagnética é realizada pela troca de fótons. 2- Aplicação da mecânica quântica a campos.3- Incorpora relações relativística de energia: 4- Equações invariantes por transformações de Lorentz. Assegura que o mesmo fenômeno é descrito em ddiferentes referenciais inerciais.

Previsão da QED: . É esperado spin ½ e gS=2. Observado: gS=2x1,001159652193

Teoria de pertubação na QED. Termos α, α2 e α3 ( 72 termos em α3 ).gS=2x1,001159652. J.M.Dudley and A.M. Kwar , American Journal of Physics, Vol. 64 ( June 1996) 694-698

( , )( , )Dr tH r t it

∂ΨΨ =

∂2( )DH c i qA mc qVα β= − ∇ − + +i

22 †

2 2ˆo

AA qc t

μ α∂∇ − = − Ψ Ψ

∂

2†2

2 2o

VV

qc t ε∂∇ − = − Ψ Ψ∂

1

2

3

4

( , )( , )

( , )( , )( , )

r tr t

r tr tr t

ψψψψ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

AE Vt

B A

∂= −∇ −

∂= ∇×

2 2 4 2 2E m c p c= +

2S

S

e

g eSm

m

−=

Espinor

Capítulos do livro a ser publicado em 2010.Eletromagnetismo Básico- Ricardo Affonso do Rego- LTC editora

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Eletromagnetismo Básico- Ricardo Affonso do Rego- LTC editora

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