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Risco e Retorno dos Investimentos Paulo Pereira Ferreira – Miba 507

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Risco e Retorno dos Investimentos Paulo Pereira Ferreira – Miba 507

Agenda

• Risco e Retorno Esperados • Linha Característica • Linha do Mercado de Títulos • Linha de Combinação • Realidade Brasileira

Risco e Retorno Esperados

• Risco de um ativo – Risco sistemático ou não diversificável: inerente a todos os ativos

do mercado, não pode ser reduzido pela diversificação da carteira. • Ex: Inflação, taxa de juros, PIB

– Risco não-sistemático ou diversificável: identificado nas

características do próprio ativo, não se alastrando aos demais ativos da carteira. Pode ser total ou parcialmente diluído pela diversificação da carteira. A correlação entre os riscos não-sistemáticos de dois ativos é zero.

• Ex: descoberta de petróleo, aumento do preço do aço

– Risco total = Risco sistemático + Risco não-sistemático

Risco e Retorno Esperados

• Risco de um ativo – Exemplo: Seja uma carteira com n ativos com mesma

variância (VAR) e mesma Covariância (COV) e com o mesmo peso (1/n).

– É fácil provar (anexo 1) que a variância total da carteira é igual a: (1/n)VAR + (1-1/n)COV.

• Logo, quando n tende para infinito, a variância da carteira tende para COV. Ou seja, mesmo com uma diversificação total, existe o risco da carteira, chamado de risco sistemático.

– Risco total (VAR) = Risco sistemático (COV) + Risco não-sistemático ou diversificável (VAR – COV).

• Risco de um ativo – Se os retornos forem independentes e COV = 0, então,

se tivermos a diversificação integral, ou seja, com infinitos ativos, o risco total será zero.

– O que ocorre na prática é que os retornos dos títulos tendem a ser correlacionados pois são influenciados pelos mesmos riscos sistemáticos.

– O problema da diversificação é o custo que ela gera com corretagem, o qual é inversamente proporcional ao valor da aplicação.

Risco e Retorno Esperados

• Risco de uma carteira – Dado o retorno esperado de cada ativo i

(i=1,...,n) de uma carteira, o retorno esperado de toda a carteira depende da proporção investida em cada ativo (Wi) que a compõe e é calculado por:

Risco e Retorno Esperados

• Risco de uma carteira – A expressão geral de cálculo do risco de uma

carteira contendo n ativos, com base no modelo de Markowitz, é:

21

1 1

22 ),(2

×××+×= ∑ ∑

= =≠

n

i

n

jijiiic jiCovWWW σσ

21

1 1),(

××××= ∑∑

= =

n

i

n

jjijic jiWW σσρσ

Risco e Retorno Esperados

Linha Característica

• Carteira de mercado É a carteira que contém todo e

qualquer ativo de risco do sistema econômico internacional, na proporção do seu valor de mercado em relação ao valor total dos outros ativos.

• Suponha que estejamos interessados em analisar uma ação J e a carteira de mercado. Os retornos obtidos nos últimos 5 meses foram:

Mês

1 2 3 4 5 Ação J 2% 3% 6% -4% 8%

Carteira de mercado 4% -2% 8% -4% 4%

Linha Característica

• A reta de mínimos quadrados que relaciona os retornos de uma ação com a carteira de mercado é conhecida como linha característica.

• Esta linha descreve o retorno que você espera de uma particular ação dado um retorno para a carteira de mercado.

Linha Característica

Linha Característica

• Fator Beta – A inclinação da linha característica é conhecida

como o fator beta (β) daquela ação. – Se A representa o intercepto, rJ os retornos da

ação J e rM os retornos da ação de mercado, temos:

MJJJ

r

MJJ

rrA

rrCov

M

×−=

=

β

σβ

ˆˆ

),(ˆ2

Linha Característica

• Fator Beta – No caso do exemplo anterior, temos:

– O fator beta de uma ação representa um

indicador do nível com o qual a ação responde a mudanças no retorno produzido pelo mercado. É um indicador do risco da ação em relação ao risco do mercado, ou seja, é uma medida do risco sistemático da ação.

0158,002,0708,003,0ˆ

708,00024,00017,0ˆ

=×−=

==

J

J

A

β

Linha Característica

• Fator Beta – A função básica do beta é ser um indicador de

riscos. Ele pode ser classificado como agressivo (maior que 1); neutro (igual a 1) e defensivo (menor que 1). Dessa forma, o investidor pode ter uma noção de qual será a tendência de comportamento do investimento.

Linha Característica

• Fator Beta – Quando uma ação se comporta exatamente

como o mercado, dizemos que ela tem beta igual a 1. Se variar mais que o mercado mas no mesmo sentido, terá beta maior que 1. Se variar menos, mantendo o mesmo sentido, o beta será menor que 1. Uma ação com beta muito maior do que 1, por exemplo, tende a subir mais que o mercado quando este está em alta. Em compensação, tende a cair mais quando há baixa na bolsa.

Linha Característica

Linha do Mercado de Títulos

• Serve para verificar como o risco é remunerado no mercado.

• Um ativo livre de risco possui beta igual a zero.

• Seja uma carteira formada pelo ativo livre de risco, cujo taxa de retorno (taxa livre de risco) é de 8%, e pelo ativo A, que tem um retorno esperado de 20% e um beta de 1,6. Suponha ainda que 25% do capital foi investido no ativo A.

• O retorno esperado e o beta da carteira serão:

• Outras alocações fornecem o seguinte quadro:

4,00)25,01(25,0%1108,0)25,01(20,025,0)(

=×−+×==×−+×=

Ac

cREββ

% do ativo A E(Rc) βc

0 8 0,0

25 11 0,4

50 14 0,8

75 17 1,2

100 20 1,6

125 23 2,0

150 26 2,4

Linha do Mercado de Títulos

Retornos esperados e betas de carteiras contendo o ativo A

1,6

0

5

10

15

20

25

30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Beta da carteira

Ret

orno

esp

erad

o da

car

teira

Linha do Mercado de Títulos

• Note que todas as combinações situam-se sobre uma linha reta.

• A inclinação dessa linha é dada por:

• Isso nos diz que o ativo A oferece um quociente recompensa/risco (índice de Treynor) de 7,5%. Ou seja, o ativo A tem um prêmio por risco de 7,5% por unidade de risco sistemático.

%5,76,1

08,02,0

)(

=−

=

A

fA RREβ

Linha do Mercado de Títulos

• Considere agora um ativo B, que possua beta igual a 1,2 e um retorno esperado de 16%.

• Qual investimento escolher A ou B?

• Para decidir, utilizaremos o mesmo procedimento realizado para o ativo A.

Linha do Mercado de Títulos

% do ativo B E(Rc) βc

0 8 0,0

25 10 0,3

50 12 0,6

75 14 0,9

100 16 1,2

125 18 1,5

150 20 1,8

Assim, para diferentes alocações para o ativo B e o ativo livre de risco, temos:

Linha do Mercado de Títulos

Linha do Mercado de Títulos

• A linha que descreve as combinações para o ativo A é mais alta do que a linha correspondente para o ativo B.

• Isto significa que, para qualquer dado nível de risco sistemático, sempre há alguma combinação entre o ativo A e o ativo livre de risco que oferece retorno mais alto.

• Logo, o ativo A deve ser preferido em relação ao ativo B.

Linha do Mercado de Títulos

• Em um mercado eficiente, esta situação não pode perdurar por muito tempo.

• Os investidores seriam atraídos para o ativo A e se

afastariam de B. Em consequência, o preço de A subiria e o de B cairia.

• Como os preços e as taxas de retorno variam em direções

opostas, o retorno esperado de A cairia e o de B se elevaria num processo que prosseguiria até que os dois estivessem na mesma linha.

– Logo:

O quociente entre recompensa e risco deve ser o mesmo para

todos os ativos no mercado. Assim, todos os ativos devem estar situados na mesma linha, que é conhecida como linha de mercado de títulos (SML – Security Market Line).

Linha do Mercado de Títulos

Linha de Combinação

• É a reta que relaciona o valor esperado do retorno de uma carteira para as diferentes combinações de alocação de dois ativos a seus respectivos desvios-padrão.

• Logo, a linha de combinação nos diz o quanto o retorno esperado e o risco de uma carteira de dois ativos muda quando mudamos a alocação (pesos) dos ativos na carteira.

Considere uma carteira composta por 2 ativos, X e Y, e calcule o seu risco e o seu retorno, dados:

Estado da natureza

Probabilidade Retorno do ativo X Retorno do ativo Y

Recessão 0,10 -5% 2%

Médio 0,35 10% 10%

Bom 0,45 25% 15%

Excelente 0,10 50% 20%

Linha de Combinação – Exemplo 1

• Considere diversas composições possíveis de carteiras e calcule o retorno esperado e o risco para estas diferentes composições.

• Faça um gráfico com a relação risco-retorno para todo o conjunto possível de combinações (linha de combinação).

• Deduza a expressão da alocação do ativo X para o ponto que representa a carteira de ativos que apresenta o menor risco possível (carteira de variância mínima).

• Calcule este valor para o exemplo.

Linha de Combinação – Exemplo 1

Linha de Combinação – Exemplo 1

Probabilidade Retorno X Retorno Y %X %Y Retorno C Risco C

0,1 -0,05 0,02 -0,5 1,5 9,05% 1,90% 0,35 0,1 0,1 -0,44 1,44 9,46% 1,82% 0,45 0,25 0,15 0 1 12,45% 4,65% 0,1 0,5 0,2 0,1 0,9 13,13% 5,56%

0,2 0,8 13,81% 6,48% 0,3 0,7 14,49% 7,41%

Retorno Médio 19,25% 12,45% 0,4 0,6 15,17% 8,35% Risco (desvio padrão) 14,08% 4,65% 0,5 0,5 15,85% 9,30%

0,6 0,4 16,53% 10,25% Covariância 0,006309 0,7 0,3 17,21% 11,21% Correlação 0,963166 0,8 0,2 17,89% 12,16%

0,9 0,1 18,57% 13,12% 1 0 19,25% 14,08%

Alocação em X -44,25% 1,1 -0,1 19,93% 15,04% 1,2 -0,2 20,61% 16,00%

Risco da Carteira 1,82%

Linha de Combinações dos Ativos X e Y

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

-1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%

Risco

Ret

orno

Considere uma nova carteira composta por 2 ativos, X e Y, e calcule o fator de alocação para o ativo X que minimiza o risco da carteira, dados:

Estado da natureza

Probabilidade Retorno do ativo X Retorno do ativo Y

Recessão 0,10 45% 2%

Médio 0,35 35% 10%

Bom 0,45 -0,5% 15%

Excelente 0,10 10% 20%

Linha de Combinação – Exemplo 2

Linha de Combinação – Exemplo 2

Probabilidade Retorno X Retorno Y %X %Y Retorno

C Risco C

0,1 0,45 0,02 -0,5 1,5 11,93% 17,37% 0,35 0,35 0,1 0 1 12,45% 4,65% 0,45 -0,05 0,15 0,1 0,9 12,56% 2,45% 0,1 -0,1 0,2 0,1665 0,8335 12,62% 1,73%

0,2 0,8 12,66% 1,94% 0,3 0,7 12,77% 3,87%

Retorno Médio 13,50% 12,45% 0,4 0,6 12,87% 6,30% Risco (desvio padrão) 21,69% 4,65% 0,5 0,5 12,98% 8,82%

0,6 0,4 13,08% 11,38% Covariância -0,009033 0,7 0,3 13,19% 13,94% Correlação -0,895240 0,8 0,2 13,29% 16,52%

0,9 0,1 13,40% 19,10% 1 0 13,50% 21,69%

Alocação em X 16,65% 1,1 -0,1 13,61% 24,27% 1,2 -0,2 13,71% 26,86%

Risco da Carteira 1 73%

Linha de Combinação – Exemplo 2

• Veja que com a correlação negativa, não precisa ter uma participação negativa do ativo X, mesmo este tendo um risco muito maior do que Y.

• O efeito da diversificação foi forte neste exemplo, principalmente pela correlação negativa entre os ativos.

• A correlação negativa ajuda tanto na diversificação que é melhor ter 16,65% no ativo de maior risco para obtermos o risco mínimo.

Realidade Brasileira

• A queda nas taxas de juros tem levado alguns agentes a procurarem investimentos de maior risco.

• Seguradoras continuam assumindo pouquíssimo risco.

• No Brasil a lógica de maior risco, maior retorno não tem sido observada nos últimos 20 anos com taxas reais de juros recordistas mundiais. – Vários países com taxas reais de juros negativas.

• As condições econômicas e políticas não devem favorecer investimentos de risco no curto prazo. – Governo incentiva consumo e aumenta gastos públicos em

um cenário de inflação elevada e com Banco Central executando aperto monetário Taxas de juros provavelmente terão que aumentar no futuro.

Realidade Brasileira

• Limite de 70% para aplicação em renda variável das Fundações é mais uma aberração que só acontece no Brasil. – Os demais riscos das Fundações já são muito elevados.

• O Beta das empresas brasileiras é muito elevado, o que reduz o valor em uma negociação.

• A volatilidade dos ativos brasileiros é muito alta. – A gestão dos ativos casada com a gestão dos passivos

tornou-se ainda mais importante nesse cenário de volatilidades.

– Estudos da Susep mostram que a necessidade de Capital no risco de Mercado é enorme, podendo dobrar o Capital atual.

• Nós atuários precisamos evoluir muito na análise do risco financeiro.

Anexo 1 - Demonstração

ij

n

i

n

jij

n

i

n

jji COV

nnCOVwwVTOTAL ××== ∑∑∑∑

= == = 1 11 1

11

Para ji = temos VARij =cov Para ji ≠ temos COVij =cov

Logo, VARnn

nCOVnn

nnnVTOTAL ×××+×××−×=1111)(

VARn

COVn

VTOTAL ×+×−=1)11(

Anexo 2 - Demonstração

Seja 2cσ a variância total da carteira

COVwwww AABAAAc )1(2)1( 22222 −+−+= σσσ

COVwCOVwwww AABABABAAc22222222 222 −++−+= σσσσσ

Para termos o risco mínimo, então Aw é tal que: 02

=A

c

dwdσ

Anexo 2 - Demonstração

Logo, 042222 222 =−++− COVwCOVww ABABAA σσσ

02222 =−++− COVwCOVww ABABAA σσσ

COVCOVw

BA

BA 222

2

−+−

=→σσ

σ

Se A e B forem independentes 0=→ COV

22

2

BA

BAw

σσσ+

=→