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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Aula 4 - Questões Comentadas e Resolvidas Trigonometria. Geometria. (Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Um país loteado A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio ambiente, a comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária já chega a quase 90%. Nos próximos anos, esse número deve subir ainda mais, haja vista a meta do governo de demarcar mais 334 reservas ambientais, 232 áreas indígenas, 948 quilombos e de fornecer 50.000 lotes para a reforma agrária. Para o desenvolvimento da agricultura e das demais atividades econômicas serão destinados apenas 8% do território. I Extensão territorial já demarcada atualmente: - reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território nacional ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão; - cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 3% do território nacional ou ao território dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba; - reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 13,1% do território nacional ou ao território dos estados de Goiás, Sergipe, Distrito Federal, Minas Gerais, Espírito Santo e Rio de Janeiro; - assentamentos de reforma agrária: 850 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 10% do território nacional ou ao território dos estados de São Paulo, Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul e Alagoas. II Extensão a ser demarcada, equivalente ao território do estado de Pernambuco: - reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 0,85% do território nacional; - assentamentos de reforma agrária: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional; - reservas e demais áreas de preservação ambiental: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos. com. br 4444

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Aula 4 - Questões Comentadas e Resolvidas

Trigonometria. Geometria.

(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Um país loteado A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio ambiente, a comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária já chega a quase 90%. Nos próximos anos, esse número deve subir ainda mais, haja vista a meta do governo de demarcar mais 334 reservas ambientais, 232 áreas indígenas, 948 quilombos e de fornecer 50.000 lotes para a reforma agrária. Para o desenvolvimento da agricultura e das demais atividades econômicas serão destinados apenas 8% do território.

I Extensão territorial já demarcada atualmente:

- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território nacional ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão;

- cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 3% do território nacional ou ao território dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba;

- reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 13,1% do território nacional ou ao território dos estados de Goiás, Sergipe, Distrito Federal, Minas Gerais, Espírito Santo e Rio de Janeiro;

- assentamentos de reforma agrária: 850 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 10% do território nacional ou ao território dos estados de São Paulo, Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul e Alagoas.

II Extensão a ser demarcada, equivalente ao território do estado de Pernambuco:

- reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 0,85% do território nacional;

- assentamentos de reforma agrária: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional;

- reservas e demais áreas de preservação ambiental: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior III Quanto sobraria do território nacional para a produção agrícola e o desenvolvimento de atividades econômicas:

- 700 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 8% do território nacional ou ao território dos estados da Bahia e do Piauí.

A farra da antropologia oportunista. In: Veja, ed. n.° 2.163, 5/5/2010, p. 154-61 (com adaptações).

Tendo o texto acima como referência, julgue os próximos itens.

1. Considere que a área dos territórios dos estados do Pará e Amazonas corresponda a 40% da área já demarcada de reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental. Nessa situação, é correto afirmar que a área

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Resolução

Atenção! Não se assuste com o tamanho da questão. Temos que tentar retirar, sempre, os dados necessários para resolver os itens.

De acordo com os dados da questão:

I - Extensão territorial já demarcada atualmente:

- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território nacional ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão.

As reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental equivalem da 64,5% do território nacional (ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará e Maranhão.

De acordo com o item, a área dos estados do Pará e Amazonas corresponde a 40% da área já demarcada de reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental.

Portanto, temos as seguintes relações:

Área dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará e Maranhão = 64,5% do Território Nacional

Desse valor, 40% equivalem à área dos estados do Pará e Amazonas:

Área dos estados do Pará e Amazonas = 40% x Área dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará e

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Resolução

De acordo com os dados da questão, extensão a ser demarcada de reservas indígenas e quilombos, equivalente ao território do estado de Pernambuco:

- reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 0,85% do território nacional;

O símbolo de quilômetro é Km. Portanto, quilômetros quadrados serão representados por Km2.

Área das Reservas Indígenas + Área dos Quilombos = 72,6 mil quilômetros quadrados = 72,6 x 1.000 Km2 ^ ^ Área das Reservas Indígenas + Área dos Quilombos = 72.600 Km2

Se as áreas dos terrenos das reservas indígenas e dos quilombos forem iguais:

Número de Áreas Indígenas Demarcadas = 232 Número de Quilombos Demarcados = 948 Total = 232 + 948 = 1.180

72.600 2 2 Área de cada um dos terrenos = = 61,52 m2 > 60 m2

1.180 GABARITO: Certo

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do território nacional. GABARITO: Certo

2. Se as áreas dos terrenos das reservas indígenas e dos quilombos a serem demarcadas forem iguais, então cada um desses terrenos terá área superior a 60 km2.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 3. Infere-se do texto que a extensão territorial do Brasil é inferior a sete milhões de quilômetros quadrados.

Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio ambiente, a comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária já chega a quase 90%.

Parcela destinada à preservação = 90% x Território do Brasil

II - Extensão territorial já demarcada atualmente:

- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões de quilômetros quadrados...

Reservas ambientais e demais áreas de preservação = 5,5 milhões de quilômetros quadrados

- reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros quadrados...

Reservas indígenas e quilombos = 1,11 milhões de quilômetros quadrados

Portanto, teremos:

Reservas ambientais e demais áreas de preservação 5,5 Reservas indígenas e quilombos 1,11 Parcela Destinada à Preservação 6,61

Parcela Destinada à Preservação = 6,61 milhões de quilômetros quadrados

Fazendo uma regra de três:

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milhões de metros quadrados, que é maior

que 7 milhões de quilômetros quadrados. GABARITO: Errado

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 4. Considerando-se 3,14 como valor aproximado para n, é correto afirmar que a área ocupada pelos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba é inferior à de um círculo de raio igual a 300 km.

Resolução

Para resolver a questão, precisamos conhecer a fórmula para calcular a área do círculo.

Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte interna).

Portanto, a área de um círculo de raio R é igual a: Área do Círculo = n.R2

De acordo com o item:

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Área do Círculo = 3,14 x (300 Km)2 = 3,14 x 90.000 Km2 = 282.600 Km2

De acordo com os dados da questão a área ocupada pelos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba é:

- cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 3% do território nacional ou ao território dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba.

Área dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba = 255 mil quilômetros quadrados

Área dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba = 255.000 Km2, que é inferior a área de um círculo de raio 300 Km (282.600 Km2). GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Técnico em Metrologia e Qualidade-Área: Eletrônica-Inmetro-2010-Cespe) 5. Um quarto tem o formato de um paralelepípedo retângulo com volume de 60 m3. Sabendo-se que o piso desse quarto tem área de 20 m2 e perímetro de 18 m, é correto afirmar que a soma das 3 dimensões do quarto é igual a

A 9 m. B 10 m. C 11 m. D 12 m. E 13 m.

Resolução

Vamos ver os conceitos:

Paralelepípedo:

Vamos interpretar a questão:

I - Um quarto tem o formato de um paralelepípedo retângulo com volume de 60 m3.

Volume do Quarto (Paralelepípedo) = área da base x altura = 60 m3

Se considerarmos o paralelepípedo acima, a base é um retângulo de lados b e c. Portanto, a área da base é b.c. Além disso, a altura do paralelepípedo é a.

Logo, o volume do paralelepípedo será:

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Volume = b . c . a = 60 m3

m3 = metros cúbicos

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior II - Sabendo-se que o piso desse quarto tem área de 20 m2 e perímetro de 18 m, é correto afirmar que a soma das 3 dimensões do quarto é igual a...

Piso do Quarto = 20 m2, que corresponde à área do retângulo (b.c).

b.c = 20 m2 (2)

m2 = metros quadrados

Além disso, de acordo com a questão, o perímetro do piso (retângulo) é igual a 18 m.

Vamos resolver a equação do segundo grau pelas relações de Girard? Não lembra? Então vamos relembrar:

Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard:

Portanto, na nossa equação temos: b2 - 9b + 20 = 0

As raízes são b' e b " .

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior E aí? Quais são os números cuja soma é 9 e o produto é 20? Vamos, você consegue! Exato, são os números 4 e 5.

Portanto, temos:

b '= 4 m b ' ' = 5 m

Quando b '= 4, c (o outro lado do piso do quarto) é igual a quanto? Basta substituir na equação (2):

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Quando b '= 5, c (o outro lado do piso do quarto) é igual a quanto? Basta substituir na equação (2):

Portanto, os lados do piso do quarto são: 4 m e 5 m.

Substituindo os valores dos lados do piso na equação (1):

Portanto, a soma das três dimensões do quarto será:

Soma das Três Dimensões = 3 + 4 + 5 = 12 m GABARITO: D

A -1. B 0. C 1. D 2. E 3.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Vamos estudar os principais conceitos sobre trigonometria:

O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela hipotenusa e será representado por sen(x).

O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela hipotenusa e será representado por cos(x).

A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x.

A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x.

Portanto, em fórmulas matemáticas, teríamos:

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Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a = hipotenusa b = cateto c = cateto

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I)

Se dividirmos todos os termos da equação

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Substituindo o seno e o cosseno de B na equação (II), teríamos:

Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo fi qualquer somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um).

Relação entre Cosseno e Tangente

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Vamos à resolução da questão:

Considerando a equação trigonométrica 2cosx - 3tgx = 0, o valor da expressão 4cos2 x - 4senx é igual a...

Temos uma equação: 2cosx - 3tgx = 0 (I)

Daqui, podemos tirar uma relação entre o seno e cosseno.

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Já sabemos que:

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Resolvendo a equação do segundo grau:

a = 2 b = 3 c = -2

Esse valor não é possível, pois o seno de um

ângulo possui valores entre -1 e 1.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Multiplicando por cos x os dois lados da igualdade (para eliminar o cosseno do denominador):

Pela equação fundamental:

Repare que precisamos conhecer a equação fundamental para resolver a questão.

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A expressão a calcular é: 4cos2 x - 4senx

Colocando a expressão somente em função do seno.

Pela equação fundamental: sen2 x + cos2 = 1 ^ cos2 x = 1 - sen2 x

4cos2 x - 4senx = 4 . (1 - sen2 x) - 4 sen x

Como sabemos que seno

GABARITO: C

(Polícia Civil do Espírito Santo -Nível Superior-2010-Cespe) Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima.

- Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo Uruguai; - Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina; - Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo Paraguai.

Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja de 150 km.

Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado

para V3 , julgue os itens seguintes.

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7. Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então a distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km.

Resolução

Repare que as estações A, B e C são equidistantes (150 km). Portanto, as retas que unem as estações formam um triângulo equilátero.

Além disso, a estação D deve ser construída de forma que seja equidistante das estações A, B e C.

Vamos aos conceitos:

Os triângulos correspondem a polígonos de três lados. Os triângulos não possuem diagonais e a soma dos ângulos internos é igual a 180° (cento e oitenta graus). Os triângulos podem ser eqüiláteros, isósceles e escalenos. Vejamos:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Pontos Importantes em Triângulos Mediana: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e intercepta o lado oposto em seu ponto médio, ou seja, divide o lado oposto em duas partes iguais.

Propriedade das Medianas de um Triângulo: as três medianas de um triângulo interceptam-se em um ponto G, denominado baricentro, que divide cada mediana em duas partes, onde a parte que contém o vértice é o dobro da outra. No triângulo acima, teríamos:

Bissetriz Interna: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e divide o ângulo interno do vértice e duas partes iguais.

P

Propriedade das Bissetrizes Internas de um Triângulo: as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um ponto S, denominado incentro, que está a igual distâncias dos lados do triângulo.

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B T P C

As distâncias do incentro S a cada um dos lados são os segmentos de reta

ST, SU e SV, que são perpendiculares aos respectivos lados. Pela

propriedade acima: ST = SU = SV.

Nota: O incentro é centro da circunferência inscrita no triângulo, onde o raio

da circunferência é ST = SU = SV.

B

A

T P C

Mediatriz: é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que divide o lado em duas partes iguais.

b

C

A mediatriz b divide o lado AC em duas partes iguais:

A mediatriz c divide o lado AB em duas partes iguais:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Propriedade das Mediatrizes de um Triângulo: as três mediatrizes de um triângulo interceptam-se em um ponto O, denominado circuncentro, que está a igual distância dos vértices do triângulo.

C

Vamos montar o nosso triângulo eqüilátero para resolver a questão:

Se o triângulo é eqüilátero, os três ângulos internos são iguais a 60o (sessenta graus), tendo em vista que a soma dos ângulos do triângulo é igual a 180o.

A

C B

150

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A nova estação D deve ser equidistante às três estações. Portanto teríamos o seguinte:

150

H B

Como o ponto D é equidistante (mesma distância) aos pontos A, B e C, temos:

CD = AD = BD

Como o triângulo é eqüilátero, a reta AH é perpendicular ao lado BC do

triângulo e divide este lado em duas partes iguais

disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo Â, dividindo o ângulo em dois

ângulos iguais

Como o triângulo é eqüilátero, a reta CM é perpendicular ao lado AB do

triângulo e divide este lado em duas partes iguais Além

disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo C, dividindo o ângulo em dois

ângulos iguais

Como o triângulo é eqüilátero, a reta BN é perpendicular ao lado AC do

triângulo e divide este lado em duas partes iguais

disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo B, dividindo o ângulo em dois

ângulos iguais

Portanto, para calcular a distância de D as demais estações, basta calcular o valor da hipotenusa de um dos triângulos retângulos formados: triângulos CDH BDH, BDM, ADM, CDN e ADN.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Considerando o triângulo BDH, teríamos:

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A hipotenusa do triângulo acima é DB.

Além disso, sabemos que o cosseno de um ângulo é igual ao cateto adjacente

sobre a hipotenusa. Além disso, sabemos que o cosseno de 30o é igual a

(temos que saber!).

No triângulo BDH, teríamos:

Cosseno 30o

De acordo com a questão, devemos considerar que

GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 sejam as medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os próximos itens.

8. A soma das medidas dos lados desse triângulo é superior a 28 cm.

Resolução

Vamos aos conceitos:

O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a = hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo) b = cateto c = cateto

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

Em português, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Temos as seguintes medidas dos lados de um triângulo retângulo: x, x + 7 e x + 8.

Repare o lado maior é x + 8, que, nesse caso, representa a hipotenusa (que é o maior lado de um triângulo retângulo). Portanto, os lados x e x + 7 são os catetos.

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Lembrando que:

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, teríamos:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Calculando as raízes da equação:

Como x é um dos lados do triângulo retângulo, não pode

Portanto, x = 5 e os lados do triângulo retângulo são:

x = 5 cm x + 7 = 5 + 7 = 12 cm x + 8 = 5 + 8 = 13 cm

A soma dos lados do triângulo retângulo é:

Soma = 5 + 12 + 13 = 30 cm > 28 cm

GABARITO: Certo

9. A área desse triângulo é inferior a 32 cm2.

Resolução

Vamos relembrar o cálculo da área de triângulo:

Triângulo: Área = a.h/2; Perímetro = a + b + c; a = base; h = altura

Nota: Triângulo Eqüilátero de lado

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Três caixas de água têm os seguintes formatos: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 m e base quadrangular de 2 m de lado; cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m; e cone invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a essas informações, tomando 3,14 como o valor aproximado da constante n e desprezando a espessura das paredes das caixas, julgue os itens subsequentes.

10. A caixa com o formato cônico tem um volume de 3,14 m3.

Resolução

Vamos aos conceitos:

Cone:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior No triângulo retângulo, temos que um dos catetos é a base e o outro é a altura. Portanto, a área de um triângulo retângulo é:

a = base = cateto 1 h = altura = cateto 2 Área = (base x altura)/2 = (cateto 1 x cateto 2)/2

Os catetos de nosso triângulo são:

x = 5 cm

x + 7 = 5 + 7 = 12 cm

Portanto, a área será:

= 5 x 6 = 30 cm2 < 32 cm2 Área =

GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior De acordo com os dados da questão, temos: cone invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m.

Repare que, como a questão fala em "caixa", o cone é invertido. Portanto, para visualizar a caixa basta colocar o cone acima ao contrário (com o vértice para baixo).

O volume do cone seria:

Volume = 3,14 m3

11. A caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um paralelepípedo retângulo.

Resolução

Para sabermos qual é a caixa de maior capacidade, temos que calcular o volume de todos os sólidos dados (já calculamos o volume do cone no item anterior).

Vamos aos conceitos:

Paralelepípedo Retângulo:

Área = 2.(ab + bc + ac) Volume = área da base x altura = a.b.c

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Volume

Onde: n = 3,14 (dado da questão) Raio = r = 1 m Altura = h = 3 m

GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Cilindro reto:

Vamos à resolução da questão:

I - Cálculo do volume do paralelepípedo

Dados da questão: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 me base quadrangular de 2 m de lado.

Sempre podemos calcular o volume dos sólidos pela regra geral, ou seja, o volume de um sólido é igual a área de sua base multiplicada pela altura.

No caso do paralelepípedo, a base é um quadrado de lado 2 metros. Portanto, a área do quadrado é:

Quadrado: quatro lados iguais (a)

A altura do paralelepípedo é igual a 1 m. Portanto: Volume do Paralelepípedo = Área da Base x Altura = 4 x 1 = 4 m3

II - Cálculo do volume do paralelepípedo cilíndrico (ou cilindro reto). Dados da questão: paralelepípedo cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m.

Sempre podemos calcular o volume dos sólidos pela regra geral, ou seja, o volume de um sólido é igual a área de sua base multiplicada pela altura.

No caso do cilindro, a base é um círculo de raio 1 metro. Portanto, a área do cilindro é: Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte interna).

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Área do Quadrado =

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Área do Círculo = n.R2 = 3,14 x 12 = 3,14 m2

A altura do cilindro é igual a 1 m. Portanto: Volume do Cilindro = Área da Base x Altura = 3,14 x 1 = 3,14 m3

Resumindo, temos: Volume do Cone = 3,14 m3

Volume do Paralelepípedo Cilíndrico (Cilindro) = 3,14 m3

Volume do Paralelepípedo Retângulo = 4 m3

Portanto, a caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um paralelepípedo retângulo. GABARITO: Certo

12. A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade menor que a caixa com formato cônico.

Resolução

Conforme calculado no item anterior, a caixa com o formato cilíndrico tem a mesma capacidade que a caixa com formato cônico. GABARITO: Errado

(TRE/ES-Nível Superior-2010-Cespe)

No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode

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I - No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm.

Portanto, as laterais da urna eletrônica são trapézios retângulos, com base maior de 27 cm, base menor de 14 cm e altura de 13 cm, conforme abaixo:

Trapézio Retângulo ABCD ^ o s ângulos A e D são retos (iguais a 90°).

Propriedades dos Trapézios: Considere um trapézio qualquer ABCD.

1) A + D = B + C = 180°

2) Caso o trapézio ABCD seja isósceles:

2.1) Os ângulos de cada base são congruentes: A = B e D = C.

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2.2) As diagonais são congruentes: AC = BD

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações e

considerando 1,4 como valor aproximado de seguem.

julgue os itens que se

13. Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então a soma das dimensões dessa caixa será igual a 96 cm.

Resolução

Vamos interpretar a questão:

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III - No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior IV - Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos.

Exemplo de apresentação em Braille (seis pontos em duas colunas, três pontos em cada coluna, sendo que, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos):

Vamos à resolução da questão:

I - Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo,...

A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Portanto, a caixa seria no seguinte formato:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Se a duas urnas foram colocadas nessa caixa, sem sobra de espaço, então foi colocada uma urna sobre a outra, sendo que a urna de cima ficou de cabeça para baixo. É como se uma urna encaixasse na outra formando um único sólido sem sobre de espaço. Vamos visualizar as urnas:

27 cm 14 cm

Repare que a altura da caixa será igual a altura do trapézio lateral da urna (13 cm), a largura da caixa será igual a soma da base menor do trapézio de uma urna com a base maior do trapézio da outra urna (27 cm + 14 cm = 41 cm) e o comprimento da caixa será igual à altura do prisma que a urna representa (42 cm).

Portanto, a soma das dimensões da caixa seria:

Soma das dimensões da caixa = 13 + 41 + 42 = 96 cm GABARITO: Certo

14. A área da face da urna onde estão localizados a tela e as teclas é superior a 7 dm2.

Resolução

A face de urna onde estão localizadas a tela e as teclas é um retângulo. Um lado do retângulo é a altura do prisma (42 cm). O outro lado do retângulo corresponde a um dos lados do trapézio. Não temos o valor de desse lado, mas podemos calcular.

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Altura do Prisma = 42 cm

Base Maior = 27 cm

Vendo somente o trapézio, teríamos:

Repare que a base maior do trapézio corresponde ao segmento CD: CD = 27 cm

A base menor corresponde ao segmento AB: AB = 14 cm

Como o trapézio é retângulo, o ângulo dos vértices B e C é igual a 90o.

Se traçarmos uma reta, partindo do vértice A, paralela ao lado CB, está reta também será perpendicular (ângulo de 90o) ao lado CD. Se a reta AH é paralela ao lado CB, então AB = CH.

Portanto, formamos o triângulo retângulo AHD, onde:

AH = BC = 13 cm HD = CD - CH = CD - AB = 27 - 14 = 13 cm

De acordo com a questão, devemos considerar:

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Área do Retângulo = 42 cm x 18,2 cm = 764,4 cm2

Cuidado, pois o item informa a área em decímetros ao quadrado (dm2). Vamos relembrar:

Para medir superfície: Quilômetro Quadrado (km2) = 1.000.000 m2 = 106 m2

Hectômetro Quadrado (hm2) = 10.000 m2 = 104 m2

Decâmetro Quadrado (dam2) = 100 m2 = 102 m2

Metro Quadrado (m2) = 1 m2 Decímetro Quadrado (dm2) = 0,01 m2 = 10-2 m2

Centímetro Quadrado (cm2) = 0,0001 m2 = 10-4 m2

Milímetro Quadrado (mm2) = 0,000001 m2 = 10-6 m2

1 dm = 10 cm

Se elevarmos os valores ao quadrado dos dois lados, a igualdade não se altera:

GABARITO: Certo

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Portanto, a área do retângulo lateral será:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 15. O volume do prisma é superior a 11 dm3.

Resolução

O volume do prisma formado pela urna vai ser igual ao resultado da multiplicação da área da base (trapézio retângulo) pela altura do prisma (42 cm).

Lembre que, a regra geral para cálculo do volume de um sólido é essa:

Volume do Sólido = Área da Base x Altura

Vamos calcular a área do trapézio retângulo:

Repare que a área do trapézio retângulo é formada pela soma das áreas do retângulo ABCH, de lados 13 cm (BC = AH) e 14 cm (AB = CH), com o triângulo retângulo AHD, de altura 13 cm (AH) e base 13 cm (HD).

Área do Retângulo ABCH = AB x BC = 14 x 13 = 182 cm2

Portanto, a área do trapézio retângulo será:

Finalmente, o volume do prisma será:

0 item informa o resultado em dm3 (dec/metros cúb/cos). Fazendo a conversão: 1 dm = 10 cm

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Fazendo uma regra de três:

16. A quantidade de caracteres braille distintos que podem ser formados pelo aumento do relevo de apenas dois pontos em uma tecla é igual a 30.

Resolução

Essa é uma questão de análise combinatória, mas vamos resolver utilizando apenas bom senso.

Cada tecla é formado por 6 pontos, na seguinte disposição:

De acordo com o item, só teremos dois pontos em relevo. Vamos fixar o primeiro ponto em relevo na primeira posição e "andar" com outro. Veja quantos caracteres diferentes teríamos.

• o • o o o

• o o • o o

• o o o • o

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Pontos em relevo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

• o o o o •

Total de 5 caracteres.

Agora, se fixarmos um ponto em relevo na segunda posição e "andarmos" com o outro.

o • • o o o

o • o • o o

o • o o • o

o • o o o •

Total de 4 caracteres.

Agora, se fixarmos um ponto em relevo na terceira posição e "andarmos" com o outro.

o o • • o o

o o • o • o

o o • o o •

Total de 3 caracteres.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Agora, se fixarmos um ponto em relevo na quarta posição e "andarmos" com o outro.

O o o • o •

Total de 2 caracteres.

Finalmente, se fixarmos um ponto em relevo na quinta posição e "andarmos" com o outro.

o o o o • •

Total de 1 caractere.

Portanto, o total de caracteres seria = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 GABARITO: Errado

17.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um círculo está inscrito em um triângulo eqüilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.

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Resolução

Vamos, novamente, relembrar os conceitos importantes sobre triângulos:

Mediana: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e intercepta o lado oposto em seu ponto médio, ou seja, divide o lado oposto em duas partes iguais.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A

Propriedade das Medianas de um Triângulo: as três medianas de um triângulo interceptam-se em um ponto G, denominado baricentro, que divide cada mediana em duas partes, onde a parte que contém o vértice é o dobro da outra. No triângulo acima, teríamos:

Bissetriz Interna: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e divide o ângulo interno do vértice e duas partes iguais.

P

Propriedade das Bissetrizes Internas de um Triângulo: as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um ponto S, denominado incentro, que está a igual distâncias dos lados do triângulo.

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A

B T P C

A

B T P C

Mediatriz: é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que divide o lado em duas partes iguais.

C

a

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Propriedade das Mediatrizes de um Triângulo: as três mediatrizes de um triângulo interceptam-se em um ponto O, denominado circuncentro, que está a igual distância dos vértices do triângulo.

C

No caso da questão, como o triângulo é eqüilátero, os centros dos círculos inscrito (dentro do triângulo) e circunscrito (fora do triângulo) ocupam a mesma posição. Teríamos a seguinte figura:

A

O ponto O é o centro dos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo. Como o triângulo é eqüilátero (três lados iguais e três ângulos iguais a 60o), o segmento BM é perpendicular (90o) ao lado AC e divide o lado AC em duas partes iguais, assim como o segmento AH é perpendicular (90o) ao lado BC e divide o lado BC em duas partes iguais, assim como o segmento CN é perpendicular (90o) ao lado AB, e divide o lado AB em duas partes iguais.

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Pela propriedade acima:

Nota: O circuncentro é centro da circunferência inscrita no triângulo, onde o

raio da circunferência é

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Além disso, como o triângulo é eqüilátero, o segmento BM divide o ângulo B em dois ângulos iguais a 30o, assim como o segmento AH divide o ângulo B em dois ângulos iguais a 30o, o segmento CN divide o ângulo B em dois ângulos iguais a 30o.

O raio do círculo circunscrito é igual a OC = OB = AO.

O raio do círculo inscrito é igual a OM = ON = AH.

Para calcular a razão das áreas, precisamos calcular os valores dos raios dos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo em função do lado do triângulo eqüilátero (X) ou uma relação entre eles. Então, !et's go.

Considerando o triângulo COH

O

H

Portanto temos um triângulo retângulo, com os seguintes lados:

Guarde esta relação, pois vale para os triângulos eqüiláteros: o raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero equivale a duas vezes o raio do círculo inscrito ao triângulo equilátero.

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OH = Raio do círculo inscrito = r OC = Raio do círculo circunscrito = R

Aqui, precisamos lembrar que:

Usando as propriedades do triângulo retângulo:

Multiplicando em cruz: 2 r = R

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte interna).

Portanto, a razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito será:

Razão = Área do Círculo Circunscrito/ Área do Círculo Inscrito

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Área do Círculo Inscrito

Área do Círculo Circunscrito

Como R é igual a 2r:

Área do Círculo Circunscrito

GABARITO: E

(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) 18. Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em centímetros:

Resolução

Cubo: possui todas as dimensões (largura, comprimento e altura) iguais.

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Vamos interpretar a questão:

I - Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2.

Um cubo possui 6 faces (lembra do dado, dos jogos de tabuleiro?) e cada face é um quadrado,

Portanto, considerando um quadrado de lado a, teríamos:

Como calcularemos a diagonal? Vejamos:

Portanto, a diagonal AB pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, que é retângulo em C. Já conhecemos um lado do triângulo (BC).

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II - Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em centímetros:

Outro conceito importante: a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Repare, também, que o lado AC é a hipotenusa de outro triângulo (ACD) e pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras também:

19. Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:

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Resolução

Cone:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos interpretar a questão:

I - Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,...

Volume de um cone de altura h e diâmetro da base d.

Lembre que o raio de um círculo é metade de seu diâmetro. Portanto, o raio da base será:

d r =

2

Portanto, o volume V do cone será:

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II - ...então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é

Agora, temos um cone de altura h e diâmetro da base 2d.

Lembre que o raio de um círculo é metade de seu diâmetro. Portanto, o raio da base será:

Portanto, o volume V do novo cone será:

Se multiplicarmos por 4 os dois lados da igualdade, ela não se altera:

Substituindo (III) em (II): V = 4V GABARITO: B

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 20. Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

a) 1,732 b) 1,414 c) 2 d) 1,5 e) 1,667

Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo...

Portanto, temos um quadrado de lado igual a 1 (unitário) inscrito em um círculo.

Há que se ressaltar que as diagonais do quadrado correspondem ao diâmetro do círculo circunscrito ao quadrado (se o quadrado está inscrito em um círculo, o círculo está circunscrito ao quadrado).

Portanto, é possível calcular o diâmetro do círculo pelo Teorema de Pitágoras do triângulo retângulo formado pelos dois lados do quadrado (catetos) e a diagonal do quadrado (hipotenusa).

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II - ...que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

Agora, o círculo anterior está inscrito em outro quadrado de lado L, ou seja, o outro quadrado está circunscrito ao círculo.

Temos que saber o valor da

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A

Repare que o lado do quadrado equivale ao segmento AB. Mas quem é o segmento AB? É o próprio diâmetro do círculo já calculado. Portanto:

L = Diâmetro do Círculo Inscrito = 1,414 GABARITO: B

21. Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?

a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m

Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes.

Portanto, temos um terreno quadrado com área de 1.600 m2, com vértices A, B, C e D. Além disso, os vértices A e C são não adjacentes, ou seja, não estão lado a lado.

A B

L

D C

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A área do quadrado é 1.600 m2. Portanto, podemos calcular o valor do lado L do quadrado.

A questão fala em diagonal BD do quadrado. A diagonal do quadrado pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras utilizado no triângulo BDC, onde a diagonal BD é a hipotenusa e os lados do quadrado CD e BC são os catetos.

Como já calculamos que o lado do quadrado é igual a 40 metros:

Outro ponto importante no quadrado é o ponto O, que corresponde ao cruzamento das diagonais do quadrado (interseção das diagonais). Esse ponto divide a diagonal em duas partes iguais. Portanto, temos:

Além disso, as diagonais são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90o no ponto de interseção O.

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Essa é fórmula geral para o cálculo da diagonal do quadrado:

II - Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Finalmente, se temos um ponto P sobre a diagonal BD que está a uma distância de 10 metros da interseção das diagonais, a distância de P ao vértice C pode ser calculada por meio do triângulo retângulo POC. Vejamos:

A B

D C L

GABARITO: A

22. O álcool x° GL tem X% de fração em volume composto por álcool etílico e o restante por água. Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 96° GL e álcool 70° GL são, por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com fração em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76° GL. Calcule a fração em volume desconhecida desses 250 ml de álcool.

a) 46% b) 50% c) 55% d) 76% e) 83%

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OP = cateto = 10 metros (dado da questão)

PC = hipotenusa

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Vamos fazer uma questão para relembrar conceitos de aulas anteriores?

Vamos interpretar a questão:

I - O álcool x° GL tem X% de fração em volume composto por álcool etílico e o restante por água.

De acordo com a questão, X% de fração em volume do álcool xo GL é composto por álcool etílico e o restante, ou seja, (100% - X%), é água.

Álcool xo GL:

Álcool Etílico = X% Água = 100% - X%

II - Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 96° GL e álcool 70° GL são, ...

Repare que, inicialmente, temos uma mistura de 750 ml, em volumes iguais de álcool 96o GL e álcool 70o GL. Se são volumes iguais, metade da mistura é de álcool 96o GL e a outra metade é de álcool 70o GL.

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Lembre que, de acordo o item I, se o álcool é xo GL, temos:

Álcool Etílico = X% Água = 100% - X% = 1 - X%

Portanto, para o álcool 96o GL, temos: Álcool Etílico = 96% Água = 100% - 96% = 4%

Como temos, nessa mistura inicial, 375 m/ de álcool 96o GL: Álcool Etílico = 96% x 375 ml = 360 ml

Portanto, para o álcool 70o GL, temos: Álcool Etílico = 70%

Como temos, nessa mistura inicial, 375 m/ de álcool 70o GL: Álcool Etílico = 70% x 375 ml = 262,5 ml

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Finalmente, nessa mistura inicial de 750 ml temos: Álcool Etílico = 360 ml + 262,5 ml = 622,50 ml

III - ...por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com fração em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76° GL.

Os 750 ml da mistura obtida no item II foram misturados a 250 ml de um álcool com fração em volume desconhecida, ou seja, o x0 GL do álcool mistura agora é desconhecido.

Contudo, essa nova mistura de 1 litro (750 ml + 250 ml) originou um álcool 76o GL. Portanto, para essa fração de álcool teríamos:

Portanto, para o álcool 76o GL, temos: Álcool Etílico = 76%

Água = 100% - 76% = 24%

Como temos, nessa mistura inicial, 1 litro (= 1.000 ml) de álcool 96o GL:

1 litro = 1.000 mililitros Volume Total do Álcool Etílico = 76% x 1.000 ml = 760 ml

IV - Calcule a fração em volume desconhecida desses 250 ml de álcool.

Como antes da mistura de 250 ml, tínhamos 622,50 ml de álcool etílico, o valor de álcool adicionado na mistura foi de:

Volume Total do Álcool Etílico 760 (-) Álcool Etílico Antes da Mistura de 250 ml (622,50) Volume de Álcool Adicionado na Mistura 137,50 ml

Como foram adicionados 250 ml à mistura, é possível calcular a fração de álcool:

137,50 Fração em Volume de Álcool Etílico = = 0,55 = 55% de álcool etílico

250 r / _

Portanto, o álcool misturado aos 750 ml foi: Álcool 55o GL GABARITO: C

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 23. Dois ciclistas participam de uma corrida sendo que um deles, após uma queda, ficou 9 km atrás do outro. No entanto, considere que o ciclista que caiu e ficou atrás corre a uma velocidade 50% maior que o ciclista que está na frente e que o ciclista que caiu e ficou atrás consegue alcançar o da frente em 30 minutos. Assim, qual é a velocidade do ciclista que caiu, admitindo que as velocidades dos ciclistas podem ser consideradas constantes dadas as condições das pistas?

a) 36 km/h b) 60 km/h c) 54 km/h d) 45 km/h e) 72 km/h

Resolução

Mais uma questão de matéria de aulas anteriores. É a teoria do caos. Risos. Afinal de contas, na hora da prova, vem tudo misturado!

Vamos interpretar a questão:

I - Dois ciclistas participam de uma corrida sendo que um deles, após uma queda, ficou 9 km atrás do outro.

Portanto, temos uma corrida entre dois ciclistas. Um caiu e ficou 9 km atrás do outro. Vamos considerar o seguinte:

Ciclista 1 = C1 Ciclista 2 = C2 Ciclista 2 caiu. Logo, C1 está 9 km a frente de C2.

II - No entanto, considere que o ciclista que caiu e ficou atrás corre a uma velocidade 50% maior que o ciclista que está na frente ...

A velocidade do ciclista 2 é 50% maior que a velocidade do ciclista 1.

Velocidade do Ciclista 1 = V1

Velocidade do Ciclista 2 = V2

V2 = V1 + 50% x V1 = V1 + 0,50 x V1 = 1,50 x V1

III - ...e que o ciclista que caiu e ficou atrás consegue alcançar o da frente em 30 minutos.

Repare que temos uma questão de movimento uniforme. Antes de resolver, vamos estudar os conceitos.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Movimento Uniforme É o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais.

a = aceleração = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posição no instante t s0 = posição no instante t0

s = s0 + v.t

Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo

Voltando a nossa questão, temos (considerando que o momento 0 corresponde ao momento que o ciclista 2 está 9 km atrás do ciclista 1):

De acordo com a questão, o ciclista 2 alcança o ciclista 1 após 30 minutos (0,5 hora). Portanto, nesse momento, S2 deve ser igual a S1, o seja a distância percorrida pelo ciclista 2 será igual a distância percorrida pelo ciclista 1.

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24. Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: "Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais". Uma conclusão falsa desta proposição é:

a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros.

Resolução

De acordo com a questão: "Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais"

Vamos analisar as alternativas:

a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. A alternativa está correta, pois a expressão "se e somente se" indica que a condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.

b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. Aqui, não há dúvida: os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais (60o). A alternativa está correta.

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IV - Assim, qual é a velocidade do ciclista que caiu, admitindo que as velocidades dos ciclistas podem ser consideradas constantes dadas as condições das pistas?

V2 = 54 km/h

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Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito?

Portanto, temos um quadrado com dois círculos, um circunscrito e outro inscrito.

Vamos considerar que o quadrado possui lado L.

Logo, o diâmetro do círculo inscrito é igual a L (segmento HM da figura abaixo)

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e o diâmetro do círculo circunscrito é igual a lembra?).

(diagonal de um quadrado,

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. Um triângulo será equilátero somente se o três ângulos forem iguais a 60o. A alternativa está correta.

d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. Se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, ou seja, o triângulo não possui os três ângulos iguais, então ele não é equilátero. A alternativa está correta.

e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros. Não necessariamente se um triângulo não é equilátero, os três ângulos são diferentes uns dos outros. Ele pode ser um triângulo isósceles, que possui dois ângulos iguais e um diferente. A alternativa está incorreta. GABARITO: E

25.(Agente de Fazenda-ISS/RJ-2010-Esaf) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito?

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AC = Diagonal do Quadrado = Diâmetro do Círculo Circunscrito HM = BC = Lado do Quadrado = Diâmetro do Círculo Inscrito =

Raio do Círculo Circunscrito = RC = Diâmetro/2 =

Razão entre as áreas = Área do Círculo Circunscrito/ Área do Círculo Inscrito

GABARITO: C

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Raio do Círculo Inscrito =

Área do Círculo Circunscrito

Área do Círculo Circunscrito =

Área do Círculo Inscrito =

Área do Círculo Inscrito =

Razão entre as áreas

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 26.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?

a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km

Resolução

Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas relações.

A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil percorreu em 5 segundos:

Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km em 1 hora.

Fazendo uma regra de três:

Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é distância percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos catetos:

A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento.

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1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos 5 segundos

Multiplicando em cruz:

Distância x 3.600 = 900 x 5

Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30° em relação ao plano horizontal.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Das relações trigonométricas, temos:

27.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento?

Resolução

Questão de triângulo retângulo clássico: 3, 4 e 5.

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Seno 30° =

Também sabemos que: Seno 30°

Portanto, temos:

GABARITO: B

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 28.(AFT-2010-Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de

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comprimento cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:

Resolução

A questão fala em um quadrilátero com duas diagonais iguais e de

comprimento

Se for um quadrado (área máxima): A diagonal será a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos são dois lados do quadrado (X).

De acordo com a questão, quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta.

Como um segmento de reta possui área zero, teríamos: 0 < A < 25. GABARITO: D

29.(ATRFB-2009-Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Para resolver a questão vamos, inicialmente, utilizar a vista frontal do cone circular reto e da esfera. Repare que o raio da esfera é igual a altura do cone.

A questão pede a distância entre A e B, onde: A = ponto onde a esfera toca na superfície B = centro da base do cone circular

Portanto, como CB é a altura do triângulo (faz um ângulo reto com a superfície), temos que o ângulo DCB é igual a 45°. Lembre-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180°.

Como a altura do cone é igual ao raio da esfera, OC é paralelo à superfície. Deste modo, o ângulo OCB é igual a 90°. Como o ângulo DCB é igual a 45°, temos:

Ângulo OCE = ângulo OCB - ângulo DCB = 90° - 45° = 45°

O triângulo OEC também é um triângulo retângulo, pois o ponto de tangência entre a esfera e a lateral do cone forma um ângulo reto (90°). Portanto, temos:

Triângulo OEC: Ângulo OEC = 90° Ângulo OCE = 45° Ângulo COE = 180° - 90° - 45° = 45°

Logo, o triângulo OEC também é um triângulo retângulo isósceles e: OE = EC = 5

Pelo Teorema de Pitágoras:

Como OC é paralelo à superfície, GABARITO: D

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Repare que o triângulo BCD é um triângulo retângulo isósceles

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Resolução

Vamos relembrar algumas relações:

Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar estes valores ^ temos que saber para a prova):

Partindo do valor para achar o ângulo:

Arco Seno 0° 30° 45° 60° 90° Arco Cosseno 90° 60° 45° 30° 0°

cos (x - y) = cos (45° - 30°) ^ aqui, temos que utilizar a equação de diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos o valor de cos 15°, que é 45° - 30°.

Relembrando: Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

cos (45° - 30°) = cos 45° . cos 30° + sen 45° . sen 30° ^

então o valor da expressão cos(x - y) é

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 30.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos aproveitar para relembrar outras relações importantes:

Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu do antigo "segundo grau" (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar a fórmula):

"Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a cosseno b, seno b cosseno a". E aí, sentiu a sonoridade? Risos.

Tangente da soma: tg (a + b) =

Tangente da diferença: tg (a - b) =

Cotangente da soma: cotg (a + b) =

Cotangente da diferença: cotg (a - b) =

GABARITO: A

31.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

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3 cos x + sen x = -1 (I)

A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação oriunda do Teorema de Pitágoras (equação fundamental):

sen2 x + cos2 x = 1 (II)

Portanto, temos um sistema:

3 cos x + sen x = -1 (I) sen2 x + cos2 x = 1 (II)

De (I), temos: sen x = -1 - 3 cos x (III)

Substituindo (III) em (II):

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Nota: Se A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou A e B = 0.

GABARITO: A

Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0 cos x = 0

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 32.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas equações

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possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a

Resolução

Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dos senos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo (equação fundamental):

x.cos a + y.sen a = sen 2a

Lembrando da equação: sen2 x + cos2 x = 1 (esta fórmula tem que estar "no sangue". Você precisa comer a fórmula com "arroz e feijão"), temos:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma dos quadrados das raízes) GABARITO: A

33.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:

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Resolução

Vamos estudar alguns conceitos:

Resolvendo a questão:

y = 4 (cosseno x) + 4

Sabemos que -1 < cosseno x < 1

Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos:

34.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: 2 2

sen2 x + cos2 x = 1

x = 3 sen t (I) y = 4 cos t (II)

Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I') Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II')

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35.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

Resolução

Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] f(x) = sen2 (x -1) g(x) = x - 1

Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). (f o g) (2) = f[g(2)] g(2) = 2 - 1 = 1

Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) GABARITO: E

Elevando (I') ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2 :

Elevando (II') ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2

Somando ( I ' ' ) com (II ' ' ): 16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 36.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição necessária e suficiente para a identidade sen 2 a = 2 sen a ser verdadeira é que a seja, em radianos, igual a:

a) -1 < y < 7

b) -7 < y < 1

c) -7 < y < -1

d) 1 < y < 7

e) 1 < y < 7

Resolução

y = 3 sen x + 4

Sabemos que -1 < seno x < 1

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Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nrc sendo n um número inteiro qualquer. GABARITO: C

37.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é

Logo, temos duas possibilidades:

ou

c) n % sendo n um número inteiro qualquer

d) n n/2, sendo n um número inteiro qualquer

e) n n/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

Resolução

Relembrando: sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a

a)

b)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos:

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Logo, 1 < y < 7 GABARITO: E

38.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é:

a) 2

b) 0

c) -1

d) -2

e) 1

Resolução

Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero (raízes da equação).

Logo, temos:

ou

39.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é:

seno x = seno x =

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a) 1,5

b) 2,5

c) 0,5

d) 2

e) 1

Resolução

Bissetriz ^ divide o ângulo em dois ângulos iguais.

Ciclo Trigonométrico possui raio igual 1. Exemplo: Cosseno 0° = 1

2Q = Segundo Quadrante 3Q = Terceiro Quadrante 4Q = Quarto Quadrante

A questão pede área do triângulo formado pelas retas acima (Triângulo ABC).

Repare que a distância AH é igual a 1 (raio do ciclo trigonométrico). Com isso, conseguimos obter os outros lados do triângulo, pois:

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1Q =

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Lembrando a tabela:

Considerando o triângulo retângulo ACH (ângulo reto = 90° em H):

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Angulo Seno

Cosseno

Tangente

Cotangente

Considerando o triângulo retângulo ABH (ângulo reto = 90° em H):

Tangente 45° =

Tangente 45° =

Área do Triângulo ABC = (Base x Altura)/2

Podemos considerar como base o lado BC e a altura seria AH: BC = BH + CH = 1 + 1 = 2 AH = 1 (raio do ciclo trigonométrico)

Área do Triângulo ABC = 2 x 1/2 = 1 cm2

GABARITO: E

40.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30° é

(A) 120° (B) 130° (C) 145° (D) 150° (E) 160°

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Pela nossa tabe a de valores:

Portanto, o cosseno de 30° é igual ao seno de 120°. GABARITO: A

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 41.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura.

Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a

(A) 18° (B) 21° (C) 23° (D) 26° (E) 29°

Resolução

Repare que temos os seguintes triângulos retângulos: o menor, que possui o ângulo y, e o maior, que possui o ângulo x + y.

6

6

12

Repare que, se fôssemos calcular a tangente de y, no triângulo menor, teríamos:

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É dado da questão, por não ser um ângulo conhecido, que tg 27° = 0,5. Portanto, temos que y é igual a 27°.

No triângulo maior, temos:

Este ângulo, temos que saber. Da nossa tabela, tg 45° = 1. Portanto, temos:

GABARITO: A

42.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x - cos4x é equivalente a

(A) 2cos2 x - 1 (B) 1 - sen2x (C) cos2x (D) -2cos2 x + 1 (E) sen2x

Resolução

Temos que um conceito sobre equações. Sabemos que: a2 - b2 = (a + b).(a - b)

Se consideramos que: a = sen2 x b = cos2 x

a2 - b2 = (sen2 x)2 - (cos2 x)2 = sen4 x - cos4 x

Repare que é justamente a equação que queremos calcular. Utilizando a relação aprendida na aula de equações:

(sen2 x)2 - (cos2 x)2 = (sen2 x + cos2 x).(sen2 x - cos2 x)

Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1 (relação fundamental).

Portanto:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Ainda não temos resposta nas alternativas, mas, utilizando novamente a

43.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm2, é

(A) -36(cos2 a - cos a - 1) (B) 36(2cos 2a - cos a - 1) (C) -36(2cos 2 a - cosa - 1) (D) 72(2cos 2a - cos a - 1) (E) -72(2cos 2 a - cos a - 1)

Resolução

Vamos estudar os conceitos: Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b

Como ficaria o cos 2a? cos 2a = cos (a + a) = cos a . cos a - sen a . sen a = cos2 a - sen2 a (I)

Substituindo (II) em (I): cos 2a = cos2 a - (1 - cos2 a) = 2 . cos2 a - 1 ou

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Lei dos Cossenos: De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por esses lados.

a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac.cos B

c2 = a2 + b2 - 2ac.cos

Se aplicarmos a Lei dos Cossenos aos dois triângulos da questão:

Ainda vamos estudar na aula de geometria, mas a área de um quadrado é igual ao seu lado ao quadrado. Portanto, teremos:

Área do Quadrado de Lado x = x2

Área do Quadrado de Lado y = y2

A área sombreada será justamente a área do quadrado de lado y menos a área do quadrado de lado x. Portanto:

Área Sombreada = Área do Quadrado de Lado x - Área do Quadrado de Lado y Área Sombreada = y2 - x2

Como já conhecemos os valores de x e y: x2 = 72.(1 - cos a) y2 = 72.(1 - cos 2a)

Área Sombreada = y2 - x2 = 72.(1 - cos 2a) - 72.(1 - cos a) ^

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A questão pede a área sombreada:

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Repare que (-)72 x (-) cos a = + 72. cos a

Se as medidas a, b, d são, respectivamente 10 cm, 8 cm e 30 cm, o volume de cobre necessário para a produção dessa peça é, em centímetros cúbicos, igual a

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E aí? Ainda não temos resposta, mas sabemos que: cos 2x = 2.cos2 x - 1

Portanto: cos 2a = 2.cos2 a - 1 (II)

Substituindo (II) em (I):

GABARITO: E

44.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma metalúrgica que fabrica componentes para um estaleiro deverá produzir uma peça maciça de cobre com a forma de um prisma reto, conforme a figura abaixo.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Repare que a figura é um prisma. Portanto, para poder calcular o volume do prisma, temos que calcular a área da base, que é um triângulo retângulo, e multiplicar pela altura do prisma.

I - Cálculo da área da base (área do triângulo retângulo):

No triângulo retângulo da figura, temos:

a = hipotenusa = 10 cm b = cateto = 8 cm

II - Cálculo do Volume do Prisma:

Volume do Prisma = Área da Base x Altura = 24 x d = 24 x 30 = 720 cm3

GABARITO: E

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A área de um triângulo qualquer é: Área de um Triângulo =

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 45.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) A maquete de uma fábrica foi construída em escala vertical e horizontal de 1:200. Uma caixa d'água perfeitamente cilíndrica existente nessa maquete tem altura de 7,5 cm e diâmetro da base de 5 cm. A capacidade real dessa caixa d'água, em metros cúbicos, sem considerar a espessura das paredes, é

(A) 3 750 n (B) 1 175n (C) 525n (D) 375n (E) 117,5n

Resolução

Nesta questão, temos que calcular o volume do cilindro e não esquecer de calcular a escala.

h = 7,5 cm

Diâmetro da Base (D) = 5 cm

Bom, o volume de qualquer sólido é: Área da Base x Altura

A base do cilindro é uma circunferência. A área de um círculo é nr2

Portanto o volume do cilindro será:

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Como a escala é 1:200 (1 para 200), temos que cada 1 cm na maquete corresponde a 200 cm na realidade. Portanto, temos que multiplicar o volume por (200)3, pois temos um volume em cm3 (cm.cm.cm).

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(A) 40 (B) 28 (C) 36 (D) 24 (E) 32

Resolução

De acordo com a questão, os triângulos XAD, YBA, ZCB e DWC são todos retângulos e congruentes entre si, com cateto maior medindo 4 unidades. Se considerarmos, por exemplo o triângulo ADX, termos que: AX = 4 un/dades.

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Contudo, repare que a questão pediu o volume em metros cúbicos. Lembra da aula? Centímetro Cúbico (cm3) = 0,000001 m3 = 10-6 m3

GABARITO: D

46.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na ilustração abaixo, os triângulos XAD, YBA, ZCB e DWC são todos retângulos e congruentes entre si, com cateto maior medindo 4 unidades. Se a área do quadrado ABCD é 20 unidades quadradas, a área do quadrado XYZW, na mesma unidade, é

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Além disso, a questão informou que a área do quadrado ABCD é 20 un/dades quaradas. Repare que o lado do quadrado AD é igual a hipotenusa do triângulo ADX.

Sabemos que a área de um quadrado é: Área de um Quadrado = a2, onde a é o lado do quadrado. Portanto, teremos: Área do Quadrado ABCD = AD2 = 20 unidades quadradas

Para calcularmos a área do quadrado maior XYZW, precisamos saber o lado do quadrado. Repare que, se considerarmos o lado XY, temos:

XY = AX + AY

AX já sabemos que vale 4 unidades (dado da questão). E AY, como vamos saber? Bom, primeiro temos que perceber que, como os triângulos XAD, YBA, ZCB e DWC são todos retângulos e congruentes, deduz-se, da semelhança de triângulos, que:

XA = YB = WD = ZC XD = AY = BZ = WC

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Como XD = AY, AY = 2 unidades.

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Finalmente, a área do quadrado XYZW será:

Área do Quadrado XYZW = XY2 = 62 = 36 unidades quadradas GABARITO: C

47.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) A figura abaixo indica ruas em linha reta conectando cinco pontos (A, B, C, D, E) de uma cidade plana. As setas indicam o sentido de circulação do trânsito para automóveis.

B Um táxi que vai de E até B, passando por A e por D, percorrerá a distância aproximada de

(A) 17 km e 333 m (B) 17 km e 444 m (C) 17 km e 666 m (D) 18 km e 333 m (E) 18 km e 444 m

Resolução

Para resolver a questão, temos que lembrar um dos casos de semelhança de triângulos: Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.

A

C

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vejamos novamente a figura:

Repare que os triângulos ADE e ABC possuem dois ângulos iguais (a e A), sendo, por conseqüência, semelhantes, ou seja, seus lados relacionados aos

ângulos congruentes serão proporcionais. Se os dois ângulos a e A são

iguais, o terceiro ângulo de ADE (ângulo E) também será igual ao terceiro

ângulo de ABC (ângulo C).

Logo, o lado oposto do ângulo A no triângulo ABC será proporcional ao lado

oposto do ângulo A no triângulo ADE. O lado oposto do ângulo a no triângulo ABC será proporcional ao lado oposto do ângulo a no triângulo ADE. E,

finalmente, o lado oposto do ângulo C no triângulo ABC será proporcional ao

lado oposto do ângulo E no triângulo ADE.

A

C

ADE = EBC = a

B

Com isso, temos as seguintes relações:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Como a questão informa os valores de AD, AB e BC, substituindo os valores na equação acima:

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Portanto, podemos, inicialmente, calcular DE:

Repare que a questão que saber a distância por um táxi que vai de E até B, passando por A e por D. Seguindo a direção das vias, esta distância seria a seguinte:

Distância Percorrida = EA + AD + DE + EB

Repare ainda que: EA + EB = AB. Portanto, a distância percorrida será:

48.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Um pequeno cálice tem a forma de cone circular reto, com diâmetro do bocal medindo 4 cm e altura 6 cm, de acordo com a figura abaixo.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Sabendo que um líquido ocupa 50% da capacidade do cálice, é correto dizer que a altura h do cone formado pelo líquido, em centímetros, é

Com essas informações, é possível calcular o volume total do cálice:

Onde:

A questão informa ainda há um líquido que ocupa 50% do cálice. Portanto, podemos deduzir que o volume desse líquido será 50% do volume do cálice:

Contudo, temos duas variáveis - o raio da base do cone formado pelo líquido ( r l í q u i d o ) e a altura do líquido (h) - e apenas uma equação. E aí? Como resolveremos o problema? Por semelhança de triângulos.

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Resolução

Repare que o cálice é exatamente um cone de cabeça para baixo. A questão nos forneceu as seguintes informações: diâmetro do bocal do cálice (d = 4 cm) e altura do cálice (H = 6 cm).

E, finalmente, a questão pede a altura h do cone formado pelo líquido. Sabemos que o volume do líquido também é um cone. Portanto, o seu volume será:

r = raio do bocal

H = 6 cm

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Repare na figura novamente:

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois possuem lados comuns proporcionais e um ângulo congruente (Â). Portanto, teremos a seguinte relação:

GABARITO: C

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Repare ainda que:

BC = raio do bocal do cálice = 2 cm AC = altura do cálice = 6 ED = raio da base do cone formado pelo líquido = rlíquido EA = altura do cone formado pelo líquido = h

Substituindo os valores e variáveis na relação, teríamos:

Multiplicando em cruz: r l í q u i d o x 6 =

Substituindo o valor de r//quido encontrado na fórmula do volume do cone formado pelo líquido:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 49.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base medindo 6 cm, contém água até metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 1 cm. O raio da esfera mede, em centímetros,

(A) 1,5 (B) 2 (C) 2,5 (D) 3 (E) 3,5

Resolução

Nesta questão, temos um cilindro reto. Da teoria, sabemos que o volume do cilindro reto é igual a:

De acordo com a questão, ao colocarmos uma esfera maciça dentro do cone, a altura da água aumentou em 1 cm. Como dois corpos não ocupam o mesmo lugar no espaço (lembra das Leis de Newton), este volume "a mais" que fez elevar a altura da água no cone é justamente o volume da esfera.

Não entendeu? Tente fazer isso em casa: encha um copo de água e coloque o dedo dentro do copo. O que acontece? Isso mesmo, a água transborda. E isso ocorre porque o volume de seu dedo tomou o lugar da água e a água que transbordou deve ser exatamente igual ao volume de seu dedo.

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Onde, r = raio do cilindro reto = 6 cm (dado da questão) H = altura do cilindro reto

A questão informa que o cilindro contém água até a metade de sua altura. Portanto, a altura da água será:

Se fôssemos calcular o volume da água, teríamos:

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Voltando à questão, o volume de esfera será (para hágua = 1 cm):

Da teoria, sabemos que o volume de uma esfera é:

GABARITO: D

50.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-São Paulo-2009-FCC) A figura abaixo mostra parte de um painel decorativo, que mantém o mesmo padrão geométrico em toda sua extensão.

Deseja-se calcular aproximadamente a porcentagem da área total do painel ocupada pelos círculos. Uma maneira de resolver esse problema consiste em considerar um problema mais simples (estratégia sugerida em A Reso/ução de Prob/emas na Matemática Esco/ar, organizado por Krulik e Reys).

Nesse caso, bastaria calcular a porcentagem da área do círculo em relação ao setor do painel que é reproduzido abaixo.

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Igualando (I) e (I):

onde R = raio da esfera

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Dentre os valores abaixo, o que mais se aproximada da porcentagem desejada é

(A) 86% (B) 82% (C) 78% (D) 72% (E) 68%

Resolução

Se considerarmos que o lado do quadrado é igual a X, como o círculo está inscrito no quadrado, o diâmetro do círculo é igual ao lado do quadrado.

Diâmetro do Círculo Diâmetro do Círculo

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Da teoria, sabemos que:

Área do Quadrado = X2

Área do Círculo

Portanto, a área do círculo é, aproximadamente, 78% da área do quadrado. GABARITO: C

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Técnico de Abastecimento Junior-BR Distribuidora-2010-Cesgranrio) 51. A cidade de Santos foi escolhida pela Petrobras para ser a "capital do pré-sal", pois está estrategicamente posicionada na metade do trecho por onde se estende a camada do pré-sal. Dentre outras realizações, serão instalados na cidade três prédios da Petrobras, que ocuparão uma área de 25.000 m2. Se essa área fosse plana e retangular e tivesse 125 m de comprimento, seu perímetro, em metros, seria

(A) 325 (B) 650 (C) 1.025 (D) 1.300 (E) 2.000

Resolução

De acordo com a questão, serão instalados, na cidade de Santos, três prédios que ocuparão uma área plana e retangular de 25.000 m2.

Além disso, foi informado que o comprimento da área plana e retangular, que corresponde a um dos lados do retângulo, é de 125 m.

Vamos denominar a largura da área como L

Portanto, nossa área ficaria da seguinte maneira:

L metros

125 metros

A área do retângulo será:

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O perímetro da área plana e retangular será a soma dos quatro lados do retângulo:

GABARITO: B

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 52. Para construir um cilindro de cartolina, um estudante criou o modelo abaixo, a ser recortado de uma folha quadrada de 62,8 cm de lado. Observe que a planificação do cilindro está inscrita na folha de cartolina.

= 3,14. Qual será, em cm, a altura desse cilindro depois de

(A) 14,6 (B) 16,8 (C) 22,8 (D) 24,6 (E) 28,8

Resolução

De acordo com a questão, a folha é quadrada (quatro lados iguais) e possui 62,8 cm.

Repare que, para montar o cilindro, será necessário cortar o "pontilhado" da folha (os dois círculos e o retângulo do meio). Depois disso, deveremos dobrar os círculos, de modo que fiquem paralelos, e fazer com que o retângulo "contorne" os dois círculos.

Figura cortada

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Ou seja, é possível perceber que o comprimento do círculo deve ser igual ao lado do retângulo cortado, para que, ao contornarmos o retângulo nos círculos, o cilindro seja construído com perfeição.

Além disso, sabemos que o lado maior do retângulo cortado corresponde, ao lado da folha quadrada (62,8 cm).

Qual é o comprimento do círculo?

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Agora, repare novamente na figura cortada. A altura do cilindro é, justamente, o lado menor do retângulo cortado. Além disso, sabemos que o resultado da soma do diâmetro do primeiro círculo, com o diâmetro do segundo círculo, com a altura do cilindro é o lado da folha quadrada. Como os círculos são iguais, os seus diâmetros são iguais.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Como o diâmetro de um círculo é duas vezes o seu raio, temos:

Diâmetro dos Círculos = 2 x Raio = 2 x 10 cm = 20 cm

Montando a expressão para achar a altura do cilindro:

(+) Diâmetro do Círculo 1 (+) Altura do Cilindro (+) Diâmetro do Círculo 2 (=) Lado da Folha Quadrada

53. O modelo abaixo representa a planta de um salão de 80m2 de área. Observe que o maior lado do salão mede x metros. Conclui-se que x é igual a

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12

Resolução

Apesar de ser uma questão que trata de área, não é necessário saber as áreas para calcular o valor de x.

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De acordo com a figura lado (20 - x) do retângulo é igual a

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Multiplicando em cruz:

GABARITO: E

54. Uma laje que serve de tampa de concreto para um bueiro do tipo boca de lobo tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de 53.900 cm3 de volume, desconsiderando-se os dois orifícios. No modelo abaixo, tem-se a representação da laje, de sua vista superior e de sua vista frontal. As medidas apresentadas estão em centímetros.

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Portanto, teremos:

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A menor dimensão da parte superior da laje, em cm, é

(A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 100 (E) 110

Resolução

De acordo com a questão, uma laje que serve de tampa de concreto para um bueiro do tipo boca de lobo tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de 53.900 cm3 de volume, desconsiderando-se os dois orifícios.

Portanto, temos um paralelepípedo de dimensões 7, (x + 50) e (x + 10).

Para calcular o volume do paralelepípedo utilizaremos a fórmula geral:

Volume do Paralelepípedo = Área da Base x Altura

A área da base, desprezando-se os orifícios, é:

Área da Base = (x + 50) . (x + 10) = x.x + 10.x + 50.x + 50 . 10 Área da Base = x2 + 60x + 500

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Vista superior

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E aí? Como achar a raiz quadrada de 32.400? Repare que 32.400 é igual a 324 x 100. Sabemos que a raiz quadrada de 100 é 10. Portanto, basta achar a raiz quadrada de 324. Vamos testar:

20 x 20 = 400. Portanto, a raiz de 324 é menor que 20. 19 x 19 = 361. Portanto, a raiz de 324 é menor que 19. 18 x 18 = 324 (achamos).

Ou seja, a raiz quadrada de 32.400 (= 324 x 100) é igual a 18 x 10 = 180.

Como x é um comprimento, deve ser maior que zero.

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Para calcular o valor de x, temos que achar as raízes da equação do segundo grau:

GABARITO: A

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Resolução

A questão deseja saber um dos valores de x que satisfaz a igualdade f(x) = g(x). Vamos verificar:

f(x) = 2cos x g(x) = 1+ 4cos x

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Ainda de acordo com a questão, o valor de x deve estar no intervalo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 55. Considere as funções f(x) = 2cos x e g(x) = 1+ 4cos x , ambas de domínio real. No intervalo [0; 2 n ] , um dos valores de x que satisfaz a igualdade f(x) = g(x) é

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos relembrar a nossa tabela:

GABARITO: C

56.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-2009) Se cos x = - 1/2, então cos 6x é igual a:

(A) 0. (B) 1. (C) 1/2. (D) 3/2 (E) -1.

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Portanto, x pode ser

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Tabela de valores:

6 . x = 6 . 120° = 720°.

Como o ciclo trigonométrico possui 360°, a partir daí os valores começam a se repetir. Portanto:

cos (720°) = cos (2.360°) = cos (360°) = 1 GABARITO: B

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 57.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é:

(A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3

Resolução

Vamos aos conceitos:

Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 1 positivo positivo positiva positiva 2 positivo negativo negativa negativa 3 negativo negativo positiva positiva 4 negativo positivo negativa negativa

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x é um ângulo do quarto quadrante no quarto quadrante, seno x é negativo e cosseno x é positivo.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Como cosseno x é positivo (x está no quarto quadrante):

58.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 - cos (x^/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xn/12, 0 < x < 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500 b) 750 c) 1.000 d) 2.000 e) 3.000

Resolução

Para x = 3:

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GABARITO: E

cotangente x =

Lembre que:

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Lucro (em reais) = [V(3) - C(3)] . 1.000 = (3 - 2). 1.000 = 1.000 GABARITO: C

(Auxiliar Aeroportuário-Codesp-2010-FGV-Adaptada) 59. Um quadrado feito de cartolina tem 289 cm2 de área. Quatro pequenos quadrados de lado 1 cm serão recortados de cada uma das pontas do quadrado original, como ilustrado. É correto afirmar que, depois de retirados os quatro quadradinhos, a figura obtida terá perímetro e área respectivamente iguais a

(A) 60 cm e 185 cm2

(B) 68 cm e 185 cm2

(C) 60 cm e 188 cm2

(D) 68 cm e 188 cm2

(E) 60 cm e 189 cm2

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(em milhares de reais)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - Um quadrado feito de cartolina tem 289cm2 de área.

Portanto, temos um quadrado de área 289 cm2. Se considerarmos que o lado do quadrado é igual a L, temos:

Repare que o perímetro de um quadrado de lado L seria:

Perímetro = 4 x L

Se estamos retirando quatro quadrados de lado 1 cm do quadrado de lado L, estamos retirando 2 cm de cada lado do quadrado de lado L. Por outro lado, estaríamos incluindo dois lados de cada quadrado. Veja a figura abaixo para que entenda melhor:

4 Quadrados de 1 cm de lado

Ou seja, na verdade, o novo perímetro é igual ao anterior. Vejamos: Perímetro Anterior = 4 x L = 4 x 17 = 68 cm Novo Perímetro = 4 x 15 + 4 x 1 + 4 x 1 = 60 + 4 + 4 = 68 cm

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II - Quatro pequenos quadrados de lado 1 cm serão recortados de cada uma das pontas do quadrado original, como ilustrado.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Já a nova área é o resultado da subtração da área do quadrado total (289 cm2) pela soma das áreas dos quatro quadrados de lado 1 cm.

Nova Área = 289 cm2 - 4 x 12 = 289 - 4 = 285 cm2

GABARITO: B

60. Um retângulo tem altura, em metros, expressa por 2 - x. O comprimento desse retângulo, em metros, é expresso por 6 + x. Analise as afirmativas a seguir:

I. O perímetro do retângulo independe do valor de x e sempre vale 8. II. A área do retângulo depende do valor de x, valendo 5m2 quando x = - 1. III. O comprimento desse retângulo não pode medir 9 metros.

Assinale:

(A) se a afirmativa I estiver correta. (B) se a afirmativa II estiver correta. (C) se a afirmativa III estiver correta. (D) se a afirmativa I e III estiverem corretas. (E) se a afirmativa II e III estiverem corretas.

Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - Um retângulo tem altura, em metros, expressa por 2 - x. O comprimento desse retângulo, em metros, é expresso por 6 + x.

Portanto, temos os seguintes dados:

Retângulo Altura = 2 - x Comprimento = 6 + x

2 - x 2 - x

6 + x

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos analisar as alternativas:

I. O perímetro do retângulo independe do valor de x e sempre vale 8.

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Portanto, o perímetro do retângulo independe do valor de x e sempre vale 16. A afirmativa está incorreta.

II. A área do retângulo depende do valor de x, valendo 5m2 quando x = - 1.

A área do retângulo será:

Perímetro do Retângulo = Perímetro do Retângulo = 2 . (6 + x + 2 - x) = 2 . 8 = 16

Portanto, a área do retângulo depende do valor de x.

Se x = -1: Área do Retângulo = 12 - 4 . (-1) - (-1)2 = 12 + 4 - 1 = 15 m2

A afirmativa está incorreta.

III. O comprimento desse retângulo não pode medir 9 metros.

Os lados do retângulo são sempre positivos, pois são medidas de comprimento.

Portanto, a altura do retângulo deve ser maior que zero, ou seja:

Multiplicando os dois lados da inequação por - 1: (repare que, ao multiplicar por - 1, o sinal de maior também inverte,

ou seja, vira menor).

Se x deve ser menor que 2, então o comprimento do retângulo sempre menor que 8. Vejamos: Comprimento = 6 + x Se x = 2: Comprimento = 6 + 2 = 8

Logo, o comprimento do retângulo não pode medir 9 metros. A afirmativa está correta. GABARITO: C

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 61.

A figura ilustra um quadrado de lado 1 cm. A área da região hachurada, em cm2, vale:

(A)

(B)

(C)

Resolução

Temos que calcular a área hachurada. Repare que a área hachurada corresponde ao resultado da diferença entre a área do quadrado e a área de um quarto de círculo (quarta parte da área de um círculo).

Portanto, teremos:

1 cm

1 cm

Área do Quadrado de Lado 1 cm = 12 = 1 cm2

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(D)

(E)

Área do Círculo de Raio 1 cm

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GABARITO: A

Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes Junior [email protected]

Alexandre Lima [email protected]

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Logo, a quarta parte da área do círculo é igual a:

Quarta Parte da Área do Círculo

Finalmente, a área hachurada será:

Área Hachurada = Área do Quadrado - Quarta Parte da Área do Círculo

4444

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula

(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Um país loteado A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio ambiente, a comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária já chega a quase 90%. Nos próximos anos, esse número deve subir ainda mais, haja vista a meta do governo de demarcar mais 334 reservas ambientais, 232 áreas indígenas, 948 quilombos e de fornecer 50.000 lotes para a reforma agrária. Para o desenvolvimento da agricultura e das demais atividades econômicas serão destinados apenas 8% do território.

I Extensão territorial já demarcada atualmente:

- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território nacional ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão;

- cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 3% do território nacional ou ao território dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba;

- reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 13,1% do território nacional ou ao território dos estados de Goiás, Sergipe, Distrito Federal, Minas Gerais, Espírito Santo e Rio de Janeiro;

- assentamentos de reforma agrária: 850 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 10% do território nacional ou ao território dos estados de São Paulo, Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul e Alagoas.

II Extensão a ser demarcada, equivalente ao território do estado de Pernambuco:

- reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 0,85% do território nacional;

- assentamentos de reforma agrária: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional;

- reservas e demais áreas de preservação ambiental: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% do território nacional.

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3. Infere-se do texto que a extensão territorial do Brasil é inferior a sete milhões de quilômetros quadrados.

4. Considerando-se 3,14 como valor aproximado para n, é correto afirmar que a área ocupada pelos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba é inferior à de um círculo de raio igual a 300 km.

(Técnico em Metrologia e Qualidade-Área: Eletrônica-Inmetro-2010-Cespe) 5. Um quarto tem o formato de um paralelepípedo retângulo com volume de 60 m3. Sabendo-se que o piso desse quarto tem área de 20 m2 e perímetro de 18 m, é correto afirmar que a soma das 3 dimensões do quarto é igual a

A 9 m. B 10 m. C 11 m. D 12 m. E 13 m.

6. Considerando a equação trigonométrica 2cosx - 3tgx = 0, o valor da expressão 4cos2 x - 4senx é igual a

A -1. B 0. C 1. D 2. E 3.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior III Quanto sobraria do território nacional para a produção agrícola e o desenvolvimento de atividades econômicas:

- 700 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 8% do território nacional ou ao território dos estados da Bahia e do Piauí.

A farra da antropologia oportunista. In: Veja, ed. n.° 2.163, 5/5/2010, p. 154-61 (com adaptações).

Tendo o texto acima como referência, julgue os próximos itens.

1. Considere que a área dos territórios dos estados do Pará e Amazonas corresponda a 40% da área já demarcada de reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental. Nessa situação, é correto afirmar que a área

desses estados equivale a mais de da área do território nacional.

2. Se as áreas dos terrenos das reservas indígenas e dos quilombos a serem demarcadas forem iguais, então cada um desses terrenos terá área superior a 60 km2.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Polícia Civil do Espírito Santo -Nível Superior-2010-Cespe) Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima.

- Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo Uruguai; - Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina; - Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo Paraguai.

Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja de 150 km.

Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado

para , julgue os itens seguintes.

7. Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então a distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km.

(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 sejam as medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os próximos itens.

8. A soma das medidas dos lados desse triângulo é superior a 28 cm.

9. A área desse triângulo é inferior a 32 cm2.

Três caixas de água têm os seguintes formatos: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 m e base quadrangular de 2 m de lado; cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m; e cone invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a essas informações, tomando 3,14 como o valor aproximado da constante n e desprezando a espessura das paredes das caixas, julgue os itens subsequentes.

10. A caixa com o formato cônico tem um volume de 3,14 m3.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 11. A caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um paralelepípedo retângulo.

12. A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade menor que a caixa com formato cônico.

(TRE/ES-Nível Superior-2010-Cespe)

No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações e

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considerando 1,4 como valor aproximado de seguem.

julgue os itens que se

13. Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então a soma das dimensões dessa caixa será igual a 96 cm.

14. A área da face da urna onde estão localizados a tela e as teclas é superior a 7 dm2.

15. O volume do prisma é superior a 11 dm3.

16. A quantidade de caracteres braille distintos que podem ser formados pelo aumento do relevo de apenas dois pontos em uma tecla é igual a 30.

4444

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 17.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um círculo está inscrito em um triângulo eqüilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.

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(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) 18. Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em centímetros:

19. Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:

20. Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

a) 1,732 b) 1,414 c) 2 d) 1,5 e) 1,667

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 21. Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice C?

a) 30 m b) 17,32 m c) 34,64 m d) 28,28 m e) 14,14 m

22. O álcool x° GL tem X% de fração em volume composto por álcool etílico e o restante por água. Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 96° GL e álcool 70° GL são, por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com fração em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76° GL. Calcule a fração em volume desconhecida desses 250 ml de álcool.

a) 46% b) 50% c) 55% d) 76% e) 83%

23. Dois ciclistas participam de uma corrida sendo que um deles, após uma queda, ficou 9 km atrás do outro. No entanto, considere que o ciclista que caiu e ficou atrás corre a uma velocidade 50% maior que o ciclista que está na frente e que o ciclista que caiu e ficou atrás consegue alcançar o da frente em 30 minutos. Assim, qual é a velocidade do ciclista que caiu, admitindo que as velocidades dos ciclistas podem ser consideradas constantes dadas as condições das pistas?

a) 36 km/h b) 60 km/h c) 54 km/h d) 45 km/h e) 72 km/h

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 24. Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: "Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais". Uma conclusão falsa desta proposição é:

a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais. b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero. e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros.

25.(Agente de Fazenda-ISS/RJ-2010-Esaf) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito?

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26.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?

a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km

27.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento?

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 28.(AFT-2010-Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de

comprimento 5 72 cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:

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29.(ATRFB-2009-Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?

30.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

então o valor da expressão cos(x - y) é

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 31.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

32.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas equações

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possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a

33.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:

34.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 35.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

a) f(-1) b) f (2) c) g (0) d) g (2) e) f (1)

36.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição necessária e suficiente para a identidade sen 2 a = 2 sen a ser verdadeira é que a seja, em radianos, igual a:

a) n/3

b) n/2

c) n n sendo n um número inteiro qualquer

d) n n/2, sendo n um número inteiro qualquer

e) n n/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

37.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é

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a)

b)

c)

d)

e)

38.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é:

a) 2

b) 0

c) -1

d) -2

e) 1

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 39.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3

que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas é:

a) 1,5

b) 2,5

c) 0,5

d) 2

e) 1

40.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui seno igual ao cosseno de 30° é

(A) 120° (B) 130° (C) 145° (D) 150° (E) 160°

41.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo conforme indica a figura.

Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada na figura por x, é igual a

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (A) 18° (B) 21° (C) 23° (D) 26° (E) 29°

42.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x - cos4x é equivalente a

(A) 2cos2 x - 1 (B) 1 - sen2x (C) cos2x (D) -2cos2 x + 1 (E) sen2x

43.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-2010-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm2, é

(A) -36(cos2 a - cos a - 1) (B) 36(2cos 2a - cos a - 1) (C) -36(2cos 2 a - cos a - 1) (D) 72(2cos 2a - cos a - 1) (E) -72(2cos 2 a - cos a - 1)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 44.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma metalúrgica que fabrica componentes para um estaleiro deverá produzir uma peça maciça de cobre com a forma de um prisma reto, conforme a figura abaixo.

a

45.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e Previdência Social-MA-2009-FCC) A maquete de uma fábrica foi construída em escala vertical e horizontal de 1:200. Uma caixa d'água perfeitamente cilíndrica existente nessa maquete tem altura de 7,5 cm e diâmetro da base de 5 cm. A capacidade real dessa caixa d'água, em metros cúbicos, sem considerar a espessura das paredes, é

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Se as medidas a, b, d são, respectivamente 10 cm, 8 cm e 30 cm, o volume de cobre necessário para a produção dessa peça é, em centímetros cúbicos, igual a

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 46.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na ilustração abaixo, os triângulos XAD, YBA, ZCB e DWC são todos retângulos e congruentes entre si, com cateto maior medindo 4 unidades. Se a área do quadrado ABCD é 20 unidades quadradas, a área do quadrado XYZW, na mesma unidade, é

(A) 40 (B) 28 (C) 36 (D) 24 (E) 32

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 47.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) A figura abaixo indica ruas em linha reta conectando cinco pontos (A, B, C, D, E) de uma cidade plana. As setas indicam o sentido de circulação do trânsito para automóveis.

A

aproximada de

(A) 17 km e 333 m (B) 17 km e 444 m (C) 17 km e 666 m (D) 18 km e 333 m (E) 18 km e 444 m

48.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Um pequeno cálice tem a forma de cone circular reto, com diâmetro do bocal medindo 4 cm e altura 6 cm, de acordo com a figura abaixo.

Sabendo que um líquido ocupa 50% da capacidade do cálice, é correto dizer que a altura h do cone formado pelo líquido, em centímetros, é

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5 km

9 km

8 km

Um táxi que vai de E até B, passando por A e por D, percorrerá a distância

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(A) 1,5 (B) 2 (C) 2,5 (D) 3 (E) 3,5

50.(Professor de Matemática-Secretaria Municipal de Educação-São Paulo-2009-FCC) A figura abaixo mostra parte de um painel decorativo, que mantém o mesmo padrão geométrico em toda sua extensão.

Deseja-se calcular aproximadamente a porcentagem da área total do painel ocupada pelos círculos. Uma maneira de resolver esse problema consiste em considerar um problema mais simples (estratégia sugerida em A Resolução de Problemas na Matemát/ca Escolar, organizado por Krulik e Reys).

Nesse caso, bastaria calcular a porcentagem da área do círculo em relação ao setor do painel que é reproduzido abaixo.

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49.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base medindo 6 cm, contém água até metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 1 cm. O raio da esfera mede, em centímetros,

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Dentre os valores abaixo, o que mais se aproximada da porcentagem desejada é

(A) 86% (B) 82% (C) 78% (D) 72% (E) 68%

(Técnico de Abastecimento Junior-BR Distribuidora-2010-Cesgranrio) 51. A cidade de Santos foi escolhida pela Petrobras para ser a "capital do pré-sal", pois está estrategicamente posicionada na metade do trecho por onde se estende a camada do pré-sal. Dentre outras realizações, serão instalados na cidade três prédios da Petrobras, que ocuparão uma área de 25.000 m2. Se essa área fosse plana e retangular e tivesse 125 m de comprimento, seu perímetro, em metros, seria (A) 325 (B) 650 (C) 1.025 (D) 1.300 (E) 2.000

(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 52. Para construir um cilindro de cartolina, um estudante criou o modelo abaixo, a ser recortado de uma folha quadrada de 62,8 cm de lado. Observe que a planificação do cilindro está inscrita na folha de cartolina.

montado?

(A) 14,6 (B) 16,8 (C) 22,8 (D) 24,6 (E) 28,8

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Considere Qual será, em cm, a altura desse cilindro depois de

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 53. O modelo abaixo representa a planta de um salão de 80m2 de área. Observe que o maior lado do salão mede x metros. Conclui-se que x é igual a

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(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12

Resolução

GABARITO: A

54. Uma laje que serve de tampa de concreto para um bueiro do tipo boca de lobo tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de 53.900 cm3 de volume, desconsiderando-se os dois orifícios. No modelo abaixo, tem-se a representação da laje, de sua vista superior e de sua vista frontal. As medidas apresentadas estão em centímetros.

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L a j e

X m

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A menor dimensão da parte superior da laje, em cm, é

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55. Considere as funções f(x) = 2cos x e g(x) = 1+ 4cos x , ambas de domínio

= g(x) é

(A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 100 (E) 110

real. No intervalo , um dos valores de x que satisfaz a igualdade f(x)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 56.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-2009) Se cos x = - 1/2, então cos 6x é igual a:

(A) 0. (B) 1. (C) 1/2. (D) 3/2 (E) -1.

57.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é:

(A) 3/4 (B) -3/4 (C) 4/3 (D) 4/5 (E) -4/3

58.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 - cos (xn/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xn/12, 0 < x < 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500 b) 750 c) 1.000 d) 2.000 e) 3.000

(Auxiliar Aeroportuário-Codesp-2010-FGV-Adaptada) 59. Um quadrado feito de cartolina tem 289cm2 de área. Quatro pequenos quadrados de lado 1cm serão recortados de cada uma das pontas do quadrado original, como ilustrado. É correto afirmar que, depois de retirados os quatro quadradinhos, a figura obtida terá perímetro e área respectivamente iguais a

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (A) 60 cm e 185 cm2

(B) 68 cm e 185 cm2

(C) 60 cm e 188 cm2

(D) 68 cm e 188 cm2

(E) 60 cm e 189 cm2

60. Um retângulo tem altura, em metros, expressa por 2 - x. O comprimento desse retângulo, em metros, é expresso por 6 + x. Analise as afirmativas a seguir:

I. O perímetro do retângulo independe do valor de x e sempre vale 8. II. A área do retângulo depende do valor de x, valendo 5m2 quando x = - 1. III. O comprimento desse retângulo não pode medir 9 metros.

Assinale:

(A) se a afirmativa I estiver correta. (B) se a afirmativa II estiver correta. (C) se a afirmativa III estiver correta. (D) se a afirmativa I e III estiverem corretas. (E) se a afirmativa II e III estiverem corretas.

61.

A figura ilustra um quadrado de lado 1 cm. A área da região hachurada, em cm2, vale:

(A)

(B)

(C)

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior GABARITO:

1 - Certo 11 - Certo 21 - A 31 - A 41 - A 51 - B 61 - A 2 - Certo 12 - Errado 22 - C 32 - A 42 - D 52 - C 3 - Errado 13 - Certo 23 - C 33 - E 43 - E 53 - E 4 - Certo 14 - Certo 24 - E 34 - D 44 - E 54 - A 5 - D 15 - Certo 25 - C 35 - E 45 - D 55 - C 6 - C 16 - Errado 26 - B 36 - C 46 - C 56 - B 7 - Certo 17 - E 27 - A 37 - E 47 - E 57 - E 8 - Certo 18 - A 28 - D 38 - D 48 - C 58 - C 9 - Certo 19 - B 29 - D 39 - E 49 - D 59 - B 10 - Certo 20 - B 30 - A 40 - A 50 - C 60 - C

Bibliografia

Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.

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