Rlq Estatistica e Mat Financeira p Afrfb Aft 2013 Aula 00 Aula 00rlq 2013 21000

Raciocínio Lógico, Matemática Financeira

e Estatística para AFRFB

Prof Vítor Menezes – Aula 00

Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 65

AULA 00: Lógica: parte 1

1. APRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 2

2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 3

3. PROPOSIÇÕES.................................................................................................................................. 6

4. CONECTIVOS LÓGICOS .................................................................................................................... 8

5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ..................................................................... 11

6. CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE ......................................................................................... 30

7. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA .......................................................................... 31

8. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS ............................................................................................................. 35

9. RESUMÃO ...................................................................................................................................... 56

10. CONTEÚDO DE DESTAQUE ........................................................................................................ 57

11. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA....................................................................................... 58

12. GABARITO ................................................................................................................................. 63





1. APRESENTAÇÃO

Olá pessoal!

Meu nome é Vítor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em São Paulo.

Antes de tudo sou um apaixonado por matemática, que certamente é a ciência mais importante do mundo. O resto é bobagem ☺

Ainda falando um pouquinho de mim. Sou formado em engenharia eletrônica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negócio era fazer concurso, e saí da graduação direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de Minas Gerais. Lá fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no Tribunal de Contas.

Dou aulas para concursos públicos desde 2005, sempre na área de exatas. Hoje tenho a felicidade de ser professor do Estratégia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil.

Também sou professor do excelente site de vídeo-aulas “Eu Vou Passar”.

Por último, mas não menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de questões do país. A propósito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento para qualquer curso que você fizer. Só de Exatas (RLQ+Mat Fin + Estatística) são 3.181 questões comentadas (número que aumenta frequentemente), sendo que este professor que vos fala comentou 2849. Das 3.181 questões, são 740 só de Esaf.

Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso.

O curso será de teoria e exercícios, abrangendo matemática financeira, estatística e raciocínio lógico.

Nos basearemos no edital do último concurso. O conteúdo é o seguinte:

1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Vamos ao cronograma do curso:





2. CRONOGRAMA DO CURSO

Aula Data Conteúdo Tópicos do edital

0 4/12/2012 Proposições, conectivos lógicos, equivalências lógicas

1. Estruturas Lógicas.

1 14/12/2012 Lógica de argumentação. Diagramas lógicos.

2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos.

2 4/1/2013 Outros problemas de lógica: associação de informações, verdade/mentira, raciocínio seqüencial, orientação espacial/temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos.

11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos

3 11/1/2013 Problemas envolvendo as quatro operações, princípio da casa dos pombos, números primos, frações, dízimas periódicas, grandezas proporcionais, regra de três, problemas envolvendo espaço/tempo/velocidade, porcentagem, conjuntos, equações, inequações.

6. Álgebra. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem)

4 18/1/2013 Potências e radicais, progressão aritmética, progressão geométrica, logaritmos, funções, polinômios

6. Álgebra. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas





proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem)

5 25/1/2013 Matrizes, determinantes e sistemas lineares.

5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.

6 1/2/2013 Geometria e trigonometria 4. Trigonometria. 9. Geometria Básica

7 8/2/2013 Porcentagem. Juros e descontos (regime simples e composto)

10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto.

8 15/2/2013 Equivalência de capitais e séries de pagamentos.

10. Equivalência de Capitais, Anuidades

9 22/2/2013 Sistemas de amortização. Estatística descritiva: introdução (conceitos iniciais, formas de apresentação de dados, tipos de frequência)

10. Sistemas de Amortização 8. Estatística Descritiva.

10 1/3/2013 Medidas de posição, medidas de dispersão, noções de assimetria.

8. Estatística Descritiva.

11 8/3/2013 Probabilidade e análise combinatória

7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade

12 15/3/2013 Noções de variáveis aleatórias (esperança, variância, covariância, função densidade de probabilidade, função distribuição de probabilidade)

8. Variáveis Aleatórias

13 22/3/2013 Principais distribuições de probabilidade (uniforme, normal, Bernoulli, Binomial, Poisson). Amostragem.

8. Principais Distribuições de Probabilidade, Amostragem.

14 29/3/2013 Estimadores pontuais. Distribuições amostrais. Distribuição T. Intervalos

Não consta do edital – pré-requisito para demais tópicos de estatística.





de confiança.

15 5/4/2013 Testes de hipóteses (para média, proporção e variância). Distribuição de Qui-quadrado.

8. Teste de Hipóteses

16 12/4/2013 Correlação linear e Análise de Variância

Não consta do edital – é pré-requisito para regressão linear e análise de variância da regressão.

17 19/4/2013 Regressão linear e Análise de Variância da Regressão.

8. Análise de Regressão.





3. PROPOSIÇÕES

Para resolver as questões, você precisa saber que uma proposição é tudo aquilo que podemos julgar em verdadeiro ou falso.

O exemplo mais comum é uma frase declarativa.

Exemplo:

A seleção brasileira de futebol é pentacampeã mundial.

Dá para julgar em V ou F? Sim, certamente. Então é proposição. Sabemos que esta proposição é verdadeira.

Outra coisa importante: uma proposição só pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Não tem uma terceira opção!

E uma proposição será só verdadeira ou só falsa (não dá para ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo).

Exemplo:

A lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850.

A gente até pode não saber se a lei Eusébio de Queirós foi assinada mesmo em 1850 ou não. Concorda?

Agora, o simples fato de não sabermos isso, não nos impede de afirmar que estamos diante de uma proposição.

Por quê?

Porque é possível julgá-la em verdadeiro ou falso.

Ou é verdade que a lei Eusébio de Queirós foi assinada em 1850 (proposição verdadeira), ou é falso que a lei foi assinada naquele ano (proposição falsa).

Não tem outra opção: ou isso é verdadeiro ou é falso.

E mais: não podemos ter as duas situações simultaneamente.

É impossível que a lei tenha sido assinada em 1850 e, além disso, não tenha sido assinada em 1850.

Acima vimos o que é uma proposição. Agora precisamos também saber aquilo que não é proposição.

Não são proposições as perguntas, exclamações, pedidos, ordens, desejos, opiniões, pois tudo isso não pode ser julgado em V ou F.

Exemplo:

Que horas são?

Isso é uma pergunta, só pode ser respondida. Não dá para julgar em V ou F.

O mesmo vale para uma ordem. Exemplo:

Saia do meu quarto!





Essa ordem você não julga em V ou F. Uma ordem só pode ser obedecida ou desobedecida, mas não julgada.

O mesmo vale para tudo o que mencionamos acima: exclamações, desejos, opiniões, conselhos, pedidos etc.

Também não é proposição a frase que contenha uma variável. Frases com variáveis são ditas sentenças abertas. Estudaremos isso com mais detalhe na próxima aula.

Exemplo:

� − 5 = 0

Não dá para julgar esta sentença em verdadeiro ou falso, simplesmente porque não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, � − 5 = 0.

Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada.

“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores. Sendo variável, temos então uma sentença aberta. Logo, não é proposição.

Aqui cabe uma observação: é possível transformar uma sentença aberta em proposição, utilizando os quantificadores. Falaremos disso na próxima aula.

Não são proposições: perguntas, exclamações, pedidos, ordens, sentenças abertas (aquelas com variáveis), expressões de sentimento/desejo/opinião, enfim, tudo o que não for possível julgar em V ou F.

Como a Esaf não cobra esta parte da matéria, vamos ver uma única questão de outra banca, só para ver como cai em prova. Depois já mudamos de assunto, para poupar vosso tempo.

Questão 1 FINEP 2009 [CESPE]

Acerca de proposições, considere as seguintes frases:

I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.

II O que é o CT-Amazônia?

III Preste atenção ao edital!

IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.

São proposições apenas as frases correspondentes aos itens





a) I e IV.

b) II e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) I, II e IV.

Resolução.

A frase II é uma pergunta, não podendo ser julgada em V ou F.

A frase III é uma ordem, que também não é proposição.

Logo, são proposições as frases I e IV.

Gabarito: A

4. CONECTIVOS LÓGICOS

Uma proposição simples é aquela que não pode ser dividida em proposições menores.

Exemplo:

P: Pedro é alto

A proposição “Pedro é alto”, simbolizada pela letra “P”, é uma proposição simples.

Outro exemplo:

Q: Pedro é rico

A proposição “Pedro é rico”, simbolizada pela letra “Q”, é outra proposição simples.

Quando juntamos duas ou mais proposições simples, formamos uma proposição composta.

R: Pedro é alto e Pedro é rico.

Para juntar as proposições simples, usamos os conectivos lógicos. Acima, utilizamos o conectivo “e”.

São cinco conectivos. Cada um tem um nome e um símbolo.

Para a prova da Esaf, você não precisa saber nem o nome, e nem o símbolo. Basta saber que os conectivos são:

• “e”

• “ou”

• “se... então”

• “ou... ou”





• “se, e somente se”

A Esaf não cobra o mero reconhecimento dos conectivos lógicos aplicáveis.

Contudo, seria muito difícil dar aula de lógica sem recorrermos aos símbolos dos conectivos. Então, mesmo não sendo exigido pela Esaf, peço que vocês dêem uma olhada no quadro da seção seguinte.

Conectivo Nome Símbolo

“e” Conjunção ∧

“ou” Disjunção ∨

“se... então” Condicional →

“se, e somente se” Bicondicional ↔

“ou... ou” Disjunção exclusiva ∨

Além disso, é importante saber que existe a negação, cujos possíveis símbolos são:

Negação ~

¬

De todo modo, mesmo que seu enfoque seja Esaf, peço que guarde esses símbolos, porque seria difícil dar aula de lógica sem utilizá-los.

Tem gente que tem dificuldade de diferenciar os símbolos do “e” e do “ou”.

Bom, a dica é a seguinte. Observem a letra “e”, escrita lá no caderno de caligrafia (lembram dele?):

Observem a letra “e”. Ela parece mais com qual dos símbolos???

Então o conectivo “e” tem como símbolo “∧”.

É isso.





Como já falei, a Esaf não cobra o simples conhecimento dos conectivos.

Só para não passar batido, um exercício do CESPE:

Questão 2 STF 2008 [CESPE]

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “ ∨”, “ ∧”, “ → ” e “ ¬ ” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por � ∧ (~ )

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por � → �.

3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (� ∧ ) → �

Resolução.

Primeiro item.

Temos:

“Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro”

Vamos colocar parêntesis para delimitar as proposições simples:

(Nesse país o direito é respeitado), mas (o cidadão não se sente seguro)

As duas parcelas são unidas pela palavrinha “mas”, que acrescenta uma informação. Ela tem um papel análogo ao do “e”. É como se afirmássemos que o direito é respeitado e o cidadão não se sente seguro.

Além disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negação.

Portanto, a proposição mencionada pode ser representada por:

� ∧ (~ )

Item certo





Segundo item.

A sentença é:

Se (o país é próspero), então (todos os trabalhadores têm emprego).

Em símbolos:

� → �

Item certo

Terceiro item.

A proposição é:

“O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado”.

Vamos usar parêntesis para delimitar as proposições simples:

((O país ser próspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) é uma conseqüência de, (nesse país, o direito ser respeitado).

A expressão “é uma conseqüência”, remete ao condicional (se... então).

Podemos reescrever a frase assim:

Se (nesse país, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e (todos os trabalhadores têm emprego)).

Em símbolos, ficamos com:

� → (� ∧ �)

Não foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.

Gabarito: certo, certo, errado

Como Esaf não cobra isso, já vamos mudando de assunto! Afinal, o tempo de vocês é precioso.

5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

A tabela verdade é uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposições simples para ver quais são os resultados das proposições compostas.

A tabela verdade do conectivo “e” é a seguinte:





P Q P e Q

V V V

V F F

F V F

F F F

O que isto significa?

Significa que, quando P for verdadeiro e Q também for verdadeiro, a proposição composta “P e Q” também será verdadeira (ver linha 1 da tabela).

Quando P for verdadeiro e Q for falso, a proposição composta “P e Q” será falsa (linha 2 da tabela).

Quando P for falso e Q for verdadeiro, a proposição composta será falsa (linha 3).

Finalmente, se P e Q forem falsos, a proposição composta será falsa (linha 4).

Pronto. Isso é uma tabela verdade.

Para os demais conectivos, as tabelas verdade estão abaixo indicadas.

Tabela verdade do conectivo “ou”:

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabela verdade do conectivo “se, então”:

P Q se P, então Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Para resolver os exercícios, você ainda precisa saber que, no condicional “se P, então Q”, as proposições simples recebem nomes especiais.

P é o antecedente.

Q é o conseqüente.

Tabela verdade do conectivo “se, e somente se”:





P Q P, se e somente se, Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Tabela verdade do conectivo “ou... ou”

P Q ou P ou Q

V V F

V F V

F V V

F F F

Pronto. Para resolver os exercícios de concursos, é só decorar as tabelas acima.

Eu não vou passar nenhuma regrinha, nenhum macete de como decorar tudo. Neste caso, acho que é muito mais proveitoso, em vez de simplesmente decorar tudo, tentar entender a ideia por trás de cada conectivo. Para tanto, eu vou colocar exemplos que dispensam a tabela verdade, ok?

Ah, mais uma coisa. Para resolver os exercícios, você também precisa saber a ordem de precedência dos conectivos. Mas eu vou deixar para falar disso direto no exercício (ver Questão 3, página 25)

Para entendermos a ideia de cada conectivo, vamos a alguns exemplos.

Exemplo 1:

João vai viajar. Antes de pegar a estrada, passou na oficina para que fosse feita uma revisão nos freios e na suspensão de seu carro.

No dia seguinte, João vai à oficina buscar seu carro. Em cada uma das situações abaixo, como João classificaria o atendimento da oficina?

a) foram checados os freios e a suspensão

b) foram checados só os freios; a suspensão não foi checada

c) foi checada só a suspensão; os freios não foram checados

d) não foi checada a suspensão; os freios também não foram checados

Resolução:

O que João quer é realizar uma viagem segura. Ele só estará seguro se os dois itens mencionados forem checados. Não adianta nada estar com os freios bons e a suspensão ruim. João continuará correndo risco de acidente. Da mesma forma, não é seguro ele viajar com a suspensão em ordem se os freios não estiverem ok.





Deste modo, a única situação em que João vai aprovar o atendimento da oficina será na letra “a”, em que os dois itens são checados. Em qualquer outra hipótese, o atendimento terá sido falho.

João só estará satisfeito com o atendimento quando os dois itens forem checados (suspensão e freios). Ele só estará satisfeito com o atendimento quando for checado o freio e também for checada a suspensão.

Analogamente, uma proposição com o conectivo “e” só será verdadeira quando todas as suas “parcelas” forem verdadeiras. Ou ainda, quando todos os seus termos forem verdadeiros.

Daí dá até para entender o nome do conectivo. A proposição composta só será verdadeira se suas parcelas forem conjuntamente verdadeiras.

Existe apenas uma situação em que a proposição composta pelo conectivo “e” é verdadeira: quando todas as proposições simples são verdadeiras.

Exemplo 2:

Hoje é feriado e Maria quer fazer um almoço especial. Para tanto, incumbiu José, seu marido, de ir comprar a “mistura”.

Como eles moram numa cidade pequena, Maria sabe que muitos estabelecimentos comerciais estarão fechados (ou seja, José pode ter dificuldades para “cumprir sua missão”).

Por isso ela deixou opções para ele: José pode comprar carne ou peixe.

Em cada uma das situações abaixo, como Maria avaliaria o cumprimento da tarefa de José?

a) José comprou a carne, mas não comprou o peixe.

b) José comprou o peixe, mas não comprou a carne.

c) José comprou a carne e o peixe.

d) José não comprou nem carne nem peixe.

Resolução:

A ideia de Maria é ter algo pra fazer de almoço. Se o José comprar qualquer um dos dois itens (peixe ou carne), terá cumprido sua tarefa com êxito e Maria poderá fazer o almoço.

Assim, nas letras “a” e “b”, Maria ficará satisfeita com José, tendo em vista que ele comprou pelo menos uma das duas opções de mistura. O almoço estará garantido.

Na letra “c” José teve, igualmente, êxito. Comprou ambos: peixe e carne. Maria não só poderá fazer o almoço de hoje como também já poderá planejar o almoço do dia seguinte.





Só na letra “d” é que Maria ficará insatisfeita com seu marido. Na letra “d”, José voltou para casa de mãos abanando. José voltou sem nada e o almoço ficou prejudicado.

Neste exemplo, José precisava comprar a carne ou o peixe. Isto significa que ele precisava comprar pelo menos um dos dois. Poderia ser só a carne, só o peixe, ou ambos, carne e peixe.

A única situação em que José não cumpre sua tarefa é aquela em que ele não compra nada: nem carne nem peixe.

Analogamente, uma proposição com o conectivo “ou” só será falsa se todas as suas “parcelas” forem falsas (ou ainda: se todas as proposições simples que a compõem forem falsas).

Disso dá para entender o nome do conectivo: a proposição composta será verdadeira ainda que as proposições simples sejam disjuntamente (ou separadamente) verdadeiras.

A proposição composta pelo conectivo “ou” só será falsa quando todas as proposições simples forem falsas.

Exemplo 3:

Augusto contratou um seguro de carro. O seguro protegia contra batidas. Assim, se Augusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização.

Como Augusto avaliaria a seguradora em cada situação abaixo:

a) Augusto bate o carro e a seguradora paga a indenização

b) Augusto bate o carro e a seguradora não paga a indenização

c) Augusto não bate o carro e a seguradora paga a indenização

d) Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização

Resolução

Na letra “a”, temos a situação normal de contrato. Augusto bateu o carro e a seguradora paga a indenização. A seguradora cumpriu com seu papel e Augusto ficará satisfeito com o serviço prestado pela seguradora.

Na letra “b”, Augusto bateu novamente o carro. A seguradora deveria pagar o seguro. Deveria, mas não o fez. Augusto certamente ficará insatisfeito com a seguradora, podendo acionar o Procon, a justiça, etc.

Na letra “c”, temos uma situação até meio irreal. Augusto nem bateu o carro e a seguradora está dando dinheiro para ele. Ô seguradora boa, hein! Podemos pensar que se trata de um prêmio, ou desconto, alguma vantagem. Seria a situação em que as seguradoras premiam





bons clientes. Na letra “c”, novamente o Augusto ficará satisfeito com o atendimento da seguradora. Muito satisfeito, por sinal.

Na letra “d”, Augusto não bate o carro e a seguradora não paga a indenização. Augusto tem o direito de ficar insatisfeito? Não, não tem. A seguradora não tinha obrigação de pagar indenização nenhuma. Afinal de contas, Augusto não bateu o carro.

Na letra “d”, Augusto não tem motivo algum para dizer que a seguradora prestou um mal serviço. Portanto, ele, não tendo motivos concretos para fazer uma avaliação negativa, diria que a Seguradora presta um bom serviço (ou seja, presume-se que seja uma boa empresa, até prova em contrário).

Observe a situação inicial. Temos exatamente uma frase com “se... então”.

Se Augusto bater o carro, então a seguradora paga a indenização.

Vamos dividir esta frase em duas “parcelas”. A primeira parcela se refere a Augusto bater o carro. A segunda se refere à seguradora pagar a indenização.

A única possibilidade de Augusto ficar insatisfeito ocorre quando a primeira “parcela” acontece (ou seja, quando ele bate o carro) e a segunda “parcela” não acontece (ou seja, quando a seguradora não paga a indenização).

De modo análogo, uma proposição: se “p”, então “q”, só é falsa quando “p” é verdadeiro e “q” é falso.

Como os alunos costumam ter um pouco de dúvidas neste conectivo condicional, vejamos outro exemplo.

Exemplo 4:

Júlia, hoje pela manhã, disse à sua amiga: hoje, se fizer sol, eu vou ao clube.

Ao final do dia, temos as situações descritas abaixo. Em cada uma delas, avalie se Júlia disse a verdade ou se Júlia mentiu.

a) fez sol e Júlia foi ao clube.

b) fez sol e Júlia não foi ao clube.

c) não fez sol e Júlia foi ao clube.

d) não fez sol e Júlia não foi ao clube.

Resolução:

Na letra “a” fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela de fato foi ao clube, então ela disse a verdade.

Na letra “b”, novamente, fez sol. E Júlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela não foi ao clube, ela mentiu.





Nas letras “c” e “d”, não fez sol. Ora, Júlia não prometeu nada para o caso de não fazer sol. O compromisso dela era apenas para o caso de fazer sol. Ela assumiu um compromisso de, fazendo sol, ir ao clube.

Ora, se não fez sol, então Júlia está liberada de seu compromisso. Ela não prometeu nada caso chovesse, ou ficasse nublado.

Portanto, não interessa o que ela tenha feito nas letras “c” e “d”. Você não pode dizer que ela mentiu.

Se considerarmos que a situação inicial é composta de duas “parcelas”, teríamos o seguinte: primeira parcela – fazer sol; segunda parcela – Júlia ir ao clube.

Novamente, a única situação em que dizemos que Júlia mente ocorre quando a primeira parcela acontece (ou seja, faz sol) e a segunda não acontece (Júlia não vai ao clube).

De modo análogo, uma proposição com o conectivo “se... então” só é falsa quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa.

E, não custa relembrar: vimos que a primeira parcela recebe o nome de antecedente, e a segunda parcela recebe o nome de conseqüente.

Um condicional só será falso se sua primeira parcela for verdadeira (antecedente verdadeiro) e sua segunda parcela for falsa (conseqüente falso).

Pare a leitura da aula!

Volte ao quadro acima e decore cada palavra. Se tem um lugar que aluno adora errar é nisso.

O condicional só será falso se tivermos:

• Antecedente verdadeiro

• Consequente falso

Ou seja, se tivermos V/F (nessa ordem) pronto: o condicional é falso.

Em qualquer outro caso, não interessa qual seja, o condicional é verdadeiro.

Exemplo 5:

Inácio é um veterinário. Num dado dia, ele recebe dois cães, gravemente feridos (Alfa e Beta, ambos vítimas de atropelamento). Os dois precisam de pronto atendimento. Do contrário, irão falecer.





Inácio não tem outros veterinários para lhe auxiliar, só tendo condições de atender a um dos cães por vez. Avalie o comportamento de Inácio nas situações abaixo.

a) Inácio atende Alfa e o salva; Beta não é atendido e morre.

b) Inácio atende Beta e o salva; Alfa não é atendido e morre.

c) Inácio tenta atender os dois ao mesmo tempo. Acaba não conseguindo atender nenhum dos cães de forma adequada e ambos morrem.

d) Inácio não atende a nenhum dos dois e ambos morrem.

Resolução:

Na letra “a”, Inácio agiu corretamente. Ele não teria como atender os dois cães. Ele escolheu o cão Alfa e o salvou. Era o máximo que ele poderia fazer naquelas condições. Pelo menos um dos cães foi salvo. Na letra “a”, dizemos que Inácio agiu de forma adequada, dadas as restrições que ele tinha.

Pelo mesmo raciocínio, na letra “b” também dizemos que Inácio agiu de forma adequada. Ele só teria condições de salvar um cão. Ele escolheu Beta e o fez.

Na letra “c” Inácio não foi um bom profissional. Tentou atender aos dois cães, o que ele já sabia que não seria possível. Consequentemente, nenhum cão foi atendido de forma adequada e ambos morreram.

Na letra “d” Inácio também agiu de forma inadequada. Ao não atender nenhum dos cães, ele simplesmente não salvou Alfa nem Beta (quando era possível salvar um dos dois).

Podemos dizer que ou Inácio atende Alfa ou Inácio atende Beta. As únicas formas de ele agir corretamente são quando ele atende só o Alfa ou só o Beta. Dividindo a frase em duas partes, teríamos: primeira parte – atender Alfa; segunda parte – atender Beta.

O comportamento de Inácio só é adequado quando a primeira parte acontece (atende Alfa) e a segunda não (não atende Beta). Outra forma de seu comportamento ser adequado é quando a primeira parte não acontece (não atende Alfa) e a segunda parte acontece (atende Beta).

De modo análogo, uma proposição com o conectivo “ou ... ou” só é verdadeira quando um termo é verdadeiro e o outro é falso. Qualquer outra situação implica em proposição falsa.

É muito importante saber diferenciar a disjunção exclusiva (ou ... ou) da disjunção inclusiva (ou).





As tabelas-verdades de ambas são quase iguais. A diferença se dá apenas quando os dois termos são verdadeiros.

Na disjunção inclusiva, os dois termos verdadeiros implicam em proposição verdadeira. É só lembrar do exemplo do José, que poderia comprar carne ou peixe. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele compra carne e peixe), ele cumpriu sua missão (pois Maria poderá fazer o almoço). José agiu de maneira satisfatória.

Na disjunção exclusiva, se os dois termos são verdadeiros, temos uma proposição falsa. É só lembrar do exemplo do Inácio. Inácio deveria atender ou Alfa ou Beta. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele atende os dois cães), aí ele não agiu de forma satisfatória (pois ambos, Alfa e Beta, morrem).

Podemos pensar que uma única proposição simples deve ser verdadeira (exclusividade), para que a proposição composta seja verdadeira. Assim como um dos cães deveria ter exclusividade de atendimento, para que Inácio fosse considerado um bom veterinário.

Uma proposição composta pelo conectivo “ou...ou” (disjunção exclusiva) só será verdadeira se uma proposição simples for verdadeira e a outra for falsa.

Exemplo 6:

Rosa foi ao médico, pois está sentindo dores. O médico faz alguns exames, para ver se ela está doente ou não, e, se necessário, receita um medicamento.

Como Rosa avaliaria a qualidade do médico em cada uma das hipóteses abaixo?

a) Rosa estava doente e o médico receitou um remédio.

b) Rosa estava doente e o médico não receitou um remédio.

c) Rosa não estava doente e o médico receitou um remédio.

d) Rosa não estava doente e o médico não receitou um remédio.

Resolução.

Na letra “a”, Rosa estava realmente doente. O médico detectou a doença e receitou um remédio. É exatamente o que se espera de um bom médico. Nesta situação, Rosa diria que seu médico realizou um bom atendimento.

Na letra “b”, Rosa estava doente. O médico, contudo, não detectou a doença e não receitou remédio algum. Para Rosa, ele certamente não foi um bom médico.





Na letra “c”, Rosa não estava doente. Ainda sim o médico receitou um remédio. Sabemos que os remédios não podem ser usados indiscriminadamente, quando a pessoa está saudável. A medicação desnecessária pode causar diversos efeitos negativos. Deste modo, na letra “c” Rosa diria que se trata de um médico ruim, que receitou remédios desnecessariamente.

Na letra “d”, Rosa não estava doente. O médico percebeu isso e não receitou remédio algum. Talvez só tenha recomendado descanso, repouso, algo do gênero. Mas agiu corretamente, ao não prescrever nenhuma medicação. Foi um bom médico.

Podemos dizer que o médico deve receitar um remédio se e somente se Rosa estiver doente.

Separando a frase acima em duas parcelas, temos: primeira parcela – o médico receita o remédio; segunda parcela – Rosa está doente.

O médico só será qualificado como um bom médico se as duas parcelas ocorrerem ou se as duas não ocorrerem.

Caso uma das parcelas ocorra e a outra não, então ele será um médico ruim.

De forma análoga, uma proposição com o conectivo “se e somente se” só será verdadeira caso os dois termos sejam verdadeiros ou caso os dois termos sejam falsos.

Se um dos termos for verdadeiro e o outro for falso, então a proposição com “se e somente se” será falsa.

Uma proposição composta pelo conectivo “se, e somente se” (bicondicional) só será verdadeira se ambas as proposições simples tiverem valores lógicos iguais.

Antes de iniciarmos com exercícios de concursos, segue um exemplo simplificado, só para me certificar de que estamos bem na matéria, até agora. E também para vermos como montar uma tabela verdade, do zero:

Exemplo 7:

Construa a tabela verdade para a proposição abaixo:

(� ∧ �) → �

Resolução.





Vamos começar pela proposição “p”. Ela pode ser verdadeira ou falsa.

Fixado o valor lógico de p, vamos para q. Em cada uma das situações acima, podemos ter q sendo verdadeiro ou falso.

Isto está representado no diagrama abaixo.

E, para cada combinação de valores lógicos de p e q, temos duas possibilidades para r: verdadeiro ou falso. Veja diagrama abaixo:





Ou seja, há 8 cominações possíveis de valores lógicos para p, q e r.

Uma forma sistemática de abranger todos eles é assim. Para a proposição r, trocamos o valor lógico de linha em linha.

r

V

F

V

F

V

F

V

F

Pronto. Fomos alternando os valores lógicos. Primeiro V, depois F, depois V, depois F.

Ok, agora vamos para a proposição q. Vamos alternando os valores lógicos de duas em duas linhas.

q r

V V

V F

F V

F F

V V





V F

F V

F F

Primeiro colocamos V e V. Depois F e F. Depois V e V. E assim por diante.

E o jeito de fazer é sempre assim, vamos sempre dobrando.

Vamos agora para a proposição p. Novamente dobramos. Alternamos os valores lógicos de 4 em 4 linhas.

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observem que:

- para “p”, alternamos o valor lógico a cada 4 linhas

- para “q”, alternamos o valor lógico a cada 2 linhas

- para “r”, alternamos o valor lógico a cada 1 linha.

Esta é uma forma sistemática de abranger todos os casos possíveis. No fundo no fundo, simplesmente transformamos o diagrama em uma tabela.

E isso ajuda a lembrar que a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições simples terá 2� linhas.

Exemplo: se a proposição for composta por 2 proposições simples, ela terá 422

= linhas.

Se a proposição for composta por 3 proposições simples, a tabela verdade terá 823

= linhas.

Se a proposição for composta por 4 proposições simples, a tabela verdade terá 1624

= linhas.

Viu? Vai sempre dobrando (4, 8, 16, 32, ...)

Uma proposição composta por “n” proposições simples terá tabela verdade contendo 2� linhas





Agora que já conseguimos relacionar todas as combinações de valores lógicos para p, q e r, podemos continuar montando a tabela verdade.

A proposição composta é:

(� ∧ �) → �

O parêntesis nos indica que devemos, primeiro, fazer o “e”.

p q r qp ∧

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Para tanto, consultamos as colunas p e q.

Quando p e q são verdadeiros, a conjunção também é verdadeira.

p q r qp ∧

V V V V

V V F V

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Em qualquer outro caso, ou seja, quando pelo menos uma das parcelas é falsa, a conjunção será falsa (em vermelho o que preenchemos agora, em azul o que já havia sido preenchido).

p q r qp ∧

V V V V

V V F V

V F V F

V F F F

F V V F

F V F F

F F V F

F F F F

Pronto. Já fizemos a parcela que está entre parêntesis.

Agora podemos finalmente fazer a coluna da proposição composta desejada.

p q r qp ∧ rqp →∧ )(

V V V V






V V F V

V F V F

V F F F

F V V F

F V F F

F F V F

F F F F

Temos um condicional. Suas parcelas são:

1ª parcela: qp ∧

2ª parcela: r

O condicional só é falso quando a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa.

Em qualquer outro caso, o condicional é verdadeiro.


V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

Pronto. Montamos a tabela-verdade da proposição composta rqp →∧ )( .

Questão 3 MPOG 2009 [ESAF]

Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.

b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.

c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.





e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Resolução.

Letra A

Temos um condicional:

1ª parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro)

2ª parcela: Londres é a capital da França (falso)

Quando a primeira parcela do condicional é verdadeira e a segunda é falsa, o condicional é falso.

Letra B.

Outro condicional em que a primeira parcela é verdadeira e a segunda é falsa. Proposição falsa.

Letra C.

Aqui vem algo muito interessante. Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parêntesis ou colchetes para indicar qual tem precedência.

Como exemplo, considere as duas proposições abaixo:

� ∧ (� ∨ )

(� ∧ �) ∨

Na primeira delas, o “ou” tem prioridade, por causa dos parêntesis. Primeiro fazemos “Q ou R”. Depois, pegamos o resultado disso e fazemos a conjunção com P.

Na segunda proposição, a conjunção tem preferência. Primeiro fazemos “P e Q”. Depois pegamos o resultado disso e fazemos a disjunção com R.

Há situações em que os parêntesis são omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem de precedência entre os conectivos. A ordem é:

• 1º: operador “não”

• 2º: conectivo “e”

• 3º: conectivo “ou”

• 4º: conectivo “se então”

• 5º: conectivo “se, e somente se”

Nunca vi um material escrito que, nesta relação, me indicasse em que posição está o conectivo “ou...ou”.

Muito bem, e para que é que a gente precisa dessa ordem de precedência?





Quando a frase está escrita em linguagem comum (em vez da utilização da simbologia lógica), não há como colocar parêntesis para indicar qual conectivo deve ser feito primeiro. Neste caso, seguimos a ordem acima indicada.

A proposição em questão é:

Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

Temos um “e” e um “ou”. Seguindo a ordem de precedência, primeiro fazemos o “e”. Depois fazemos o “ou”. Colocando parêntesis, ficaria assim:

(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da França.

A proposição é composta por um “ou”.

Primeira parcela: (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França)

Segunda parcela: Paris é a capital da França.

Observem que a segunda parcela do “ou” é verdadeira. Isto já é suficiente para que a proposição inteira seja verdadeira.

Achamos a alternativa correta.

Gabarito: C

De todo modo, vamos continuar com a questão.

Letra D:

Novamente, usamos a ordem de precedência entre os conectivos. Primeiro fazemos o “e”, depois fazemos o “ou”:

(Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França) ou Paris é a capital da Inglaterra.

Temos um “ou”, formado por duas parcelas.

1ª parcela: Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França

2ª parcela: Paris é a capital da Inglaterra.

A 2ª parcela é falsa.





A 1ª parcela é composta por um “e”. Esta conjunção, por sua vez, é decomposta em duas outras parcelas:

1 .1 – Roma é capital da Itália (verdadeiro)

1.2 – Londres é capital da França (falso)

Como a segunda parcela da conjunção é falsa, então ela é falsa.

Logo, é falso que (Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França).

Ficamos com:

(V e F) ou F

Entre parêntesis, temos um “e”, em que uma parcela é falsa. Logo, a expressão entre parêntesis é falsa.

(F) ou F

Assim, nosso “ou” tem duas parcelas falsas.

Logo, a proposição dada na alternativa D é falsa.

Letra E:

Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Temos uma proposição composta pelo conectivo “e”.

1ª parcela: Roma é a capital da Itália (verdadeiro)

2ª parcela: Londres não é a capital da Inglaterra (falso)

Ficamos com:

V e F

Se a segunda parcela é falsa, então a proposição composta é falsa.

Questão 4 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?





O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não

b) Não, não, sim

c) Sim, sim, sim

d) Não, sim, sim

e) Sim, não, sim

Resolução.

Vamos dar nomes às proposições. A proposição d (de dragão) será:

d: O dragão desaparecerá amanhã.

A proposição a (de Aladim) será:

a: Aladim beijou a princesa ontem

A afirmação do mago é:

ad ↔

Item 1.

A afirmação do mago é falsa e o dragão desaparece amanhã. Logo:

d: Verdadeiro

ad ↔ : Falso

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim não beijou a princesa ontem.

Item 2.

A afirmação do mago é verdadeira e o dragão desaparece amanhã. Logo:

d: Verdadeiro

ad ↔ : Verdadeiro

Ou seja, uma das parcelas do bicondicional é verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a princesa ontem.

Item 3.

A afirmação do mago é falsa e o Aladim não beijou a princesa ontem. Logo:

a: Falso

ad ↔ : Falso





Uma das parcelas do bicondicional é falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o dragão desaparecerá amanhã.

As respostas às três perguntas são: não, sim, sim.

Gabarito: D

6. CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE

Num condicional � → �, verdadeiro, dizemos que P é condição suficiente para Q. E Q é condição necessária para P.

� → �

Se p, então q p é condição suficiente para q

q é condição necessária para p

Para não confundir quem é necessário e quem é suficiente, uma dica.

Observe a proposição.

Se p, então q.

A palavrinha “Se” começa com “S”. E suficiente também começa com “s”.

A dica é: a proposição que estiver perto do “s” é a condição suficiente.

Essa nomenclatura pode confundir muita gente. Esse “necessário” e “suficiente” não tem nada a ver com o uso rotineiro de tais palavras. Vocês não podem associá-los a uma relação de causa e conseqüência.

Esta nomenclatura se refere ao comportamento dos valores lógicos na tabela-verdade.

Observe a tabela para a proposição “se p, então q”:

P Q � → �

V V V

V F F

F V V

F F V

Como nossa proposição composta é verdadeira, vamos ignorar a segunda linha.

Analisando as linhas remanescentes, temos o seguinte:

- em todas as linhas em que P é verdadeiro, Q também é; ou seja, na tabela-verdade, P ser verdadeiro é suficiente para Q também ser;

- em todas as linhas em que Q é falso, P também é; logo, para que P seja verdadeiro, é necessário que Q também seja (embora isso não seja suficiente).





Deste modo, as expressões “condição necessária” e “condição suficiente” apenas se referem ao comportamento dos valores lógicos na tabela verdade. Apenas isso.


Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”.

Desse modo:

a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.

d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.

e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Resolução.

Vimos que, num condicional � → �, P é condição suficiente para Q. E Q é condição necessária para P.

Logo, dizemos que:

- o dia estar bonito é condição suficiente para não chover.

- não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

Gabarito: A

7. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

Tautologia é uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos V, independente dos valores lógicos que assumem suas proposições de origem.

Exemplo: Ou chove ou não chove.

Temos duas parcelas

1) Chove (p)

2) Não chove (~p)

A tabela-verdade desta afirmação fica assim:

p ~p p ∨ ~p

V F V

F V V

Só temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lógicos de “p”. Por isso, a afirmação “Ou chove ou não chove” é uma tautologia.





Contradição é uma proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valores lógicos F, independente dos valores lógicos das proposições que lhe dão origem.

Exemplo: )(~ pp ∧ .

A tabela-verdade desta proposição composta fica:

p ~p p ∧ ~p

V F F

F V F

Observem a última coluna (destacada em vermelho). A proposição composta é sempre falsa, não interessa o que ocorra com as proposições simples.

Há uma contingência quando não temos nem uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão origem à sentença em análise.

Exemplo: p ↔ q

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas são ou ambas verdadeiras ou ambas falsas) quanto falso (quando uma parcela é verdadeira e a outra é falsa). Com isso, o “se, e somente se” não é nem uma tautologia, nem uma contradição. É uma contingência.

A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a contradição são exceções.

Questão 6 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo





e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Resolução:

Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposições simples, a saber:

p: João é alto

q: Guilherme é gordo

Vamos, para praticar, montar a tabela-verdade de cada caso.

Na próxima aula veremos alguns conceitos que permitem resolver esta questão sem a tabela verdade. Veremos que um condicional é tautológico quando puder ser associado a um argumento válido.

Letra A: “se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

Vamos passar esta frase para a forma simbólica?

Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

1ª - João é alto

2ª - João é alto ou Guilherme é gordo

A segunda parte é um “ou”: João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q) = p ∨ q

A ligação entre a primeira parte e a segunda é feita por um condicional.

Vejamos: se João é alto (p), então João é alto (p) ou Guilherme é gordo (q)

Representamos esta frase assim:

p → (p ∨ q).

A tabela-verdade neste caso fica assim:

p q p ∨ q p → (p ∨ q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Já temos nossa resposta. Esta é a alternativa correspondente a uma tautologia.

Como montamos a tabela? Lembrando mais uma vez que o condicional só é falso quando

seu primeiro termo é verdadeiro (p) e seu segundo termo é falso (p ∨ q). Acontece que não existe esta situação na tabela. Por isso, a última coluna só apresenta valores lógicos verdadeiros (V) e temos uma tautologia.

Com isso, descobrimos que dizer:





“Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo”

é uma verdade SEMPRE!

Não importa se, de fato, João é alto ou não.

Não importa se, de fato, Guilherme é gordo ou não.

Nada disso importa.

Quaisquer que sejam as características de João e Guilherme (alto x baixo; magro x gordo), a proposição composta será verdadeira.

Letra B: “se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo”

Agora a proposição é representada por:

p → (p ∧ q)

A tabela fica assim:

p q p ∧ q p → (p ∧ q)

V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

Aqui temos uma contingência, já que existem verdadeiros e falsos na solução.

Letra C: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo”

Neste item, temos um “ou” na primeira parte do condicional.

Então a representação em símbolos é assim:

(p ∨ q) → q

Construindo a tabela, teremos:

p q p ∨ q (p ∨ q) → q

V V V V

V F V F

F V V V

F F F V

Novamente, uma contingência.

Letra D: “se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo”

Aqui temos um “ou” na primeira parte do condicional (João é alto ou Guilherme é gordo) e um “e” na segunda parte (João é alto e Guilherme é gordo)

Como estas duas partes são unidas por um condicional, o resultado fica assim:

(p ∨ q) → (p ∧ q)





A tabela-verdade fica assim:

p q p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) → (p ∧ q)

V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F F V

Trata-se novamente de uma contingência.

Letra E. “se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo”

Neste item, temos um “ou” entre uma afirmação e sua própria negação na primeira parte do condicional. (João é alto ou João não é alto)

A representação em símbolos fica:

(p ∨ ~p) → q

A tabela-verdade é apresentada em seqüência:

p ~p p ∨ ~p q (p ∨ ~p) → q

V F V V V

V F V F F

F V V V V

F V V F F

Também é uma contingência. Há verdadeiros e falsos na resposta. Veja que na primeira

parte do condicional temos apenas verdadeiros (p ∨ ~p é sempre verdadeiro), mas o que nos interessa é o resultado final (última coluna), não as parcelas individuais do condicional.

Gabarito: A

8. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

Existem algumas proposições compostas que apresentam tabelas verdades idênticas. Quando isso acontece, dizemos que as proposições envolvidas são equivalentes.

Em outras palavras, duas proposições compostas são equivalentes quando apresentam sempre o mesmo valor lógico, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem.

Quando duas proposições p, q são equivalentes escrevemos p q⇔ . Podemos também

escrever assim:

� ≡ �

É possível construirmos inúmeras equivalências lógicas. Para concursos, quatro delas são especialmente importantes:





• ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

• ~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

• p → q ⇔ (~p) ∨ q

• p → q ⇔ (~q) → (~p)

Então é isso, sabendo as equivalências acima, dá para resolver as questões de equivalências lógicas. Mais adiante, eu vou dar exemplos para facilitar o entendimento das equivalências.

É lógico que dá para montar infinitas outras equivalências. O Cespe, por exemplo, às vezes cobra a seguinte equivalência:

~(� → �) ⇔ � ∧ (~�)

Mas esta equivalência aí pode ser rapidamente obtida a partir das equivalências (3) e (4) que citei acima.

Quanto à Esaf, recentemente ela tem cobrado outras equivalências, mas falamos delas diretamente nos exercícios.

Vamos detalhar agora um pouquinho mais o que vimos acima.

Em primeiro lugar, vamos ver porque é que as proposições indicadas na seção anterior são equivalentes.

Vamos focar na primeira equivalência lógica: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q).

Para comprovar que estas duas proposições são equivalentes, basta fazer as respectivas tabelas verdades.

Vamos lá!

Vamos começar com a tabela-verdade de “~(p ∧ q)”

p q p ∧ q ~(p ∧ q)

V V V F

V F F V

F V F V

F F F V

Agora vamos para a tabela verdade de (~p) ∨ (~q)

p ~p q ~q (~p) ∨ (~q)

V F V F F

V F F V V

F V V F V

F V F V V

Observem as últimas colunas, destacadas em vermelho.





Elas são idênticas!!!

Por isso dizemos que as proposições “~(p ∧ q)” e “(~p) ∨ (~q)” são equivalentes.

Usando um procedimento semelhante, podemos verificar que todas as demais equivalências apresentadas estão corretas.

Vamos agora dar exemplos das equivalências, utilizando frases.

Primeira equivalência: ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

Para negar um “e” lógico, nós temos que fazer um “ou” da negação de cada parcela.

Ou ainda: para negar um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”.

Exemplo: A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”.

Aqui cabe uma observação. Tem muita gente que confunde as coisas.

A negação de “Pedro é alto e Júlio é rico” é “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”.

Tem aluno que pensa que “Pedro é alto e Júlio é rico” é equivalente a “Pedro não é alto ou Júlio não é rico”. Isso está errado!!!

O que a equivalência nos diz é que uma proposição é a negação da outra.

Ou ainda, a negação da primeira proposição é equivalente à segunda proposição.

É isso.

Outra equivalência lógica importante é:

~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

Para negar um “ou” lógico, nós devemos fazer um “e” da negação de cada parcela.

Ou ainda: para negar um “ou”, nós negamos cada parcela e trocamos o “ou” por um “e”.

Exemplo: A negação de “O governo aumenta os juros ou a inflação sobe” é “O governo não aumenta os juros e a inflação não sobe”.

A terceira importante equivalência lógica é:

p → q ⇔ (~p) ∨ q





Exemplo: Dizer que “Se os juros baixam então eu compro um carro novo” é o mesmo que dizer (em termos lógicos) que “Os juros não baixam ou eu compro um carro novo”.

A quarta importante equivalência é:

p → q ⇔ (~q) → (~p)

Exemplo: Dizer “Se baixam os juros então a inflação sobe” é o mesmo que dizer, em termos lógicos, que “Se a inflação não sobe então os juros não baixam”.

Um outro exemplo bem legal.

Lembram daquela propaganda que aparece toda hora na televisão? As frases ditas são:

Se beber, então não dirija.

Se for dirigir, então não beba.

É claro que a ideia da propaganda é reforçar, ao máximo, que bebida e direção não combinam. Mas, em termos lógicos, não seria necessário que as duas frases fossem ditas. Isto porque elas são equivalentes!!!

Olhem só:

Se beber, então não dirija.

Temos:

- primeira parcela: beber

- segunda parcela: não dirigir.

Agora vamos trocar a ordem das parcelas, negando-as. Ficamos com:

- primeira parcela: dirigir.

- segunda parcela: não beber.

O grande problema deste exemplo é que, como as frases estão no formato imperativo (uma ordem para não dirigir), não seriam proposições.

Mas acho que podemos ignorar este problema. Afinal de contas, a propaganda é algo ótimo para ajudar a lembrarmos da equivalência.





Resumindo as equivalências:

Proposição de origem Como fazer Resultado

Quero negar a seguinte proposição:

“Pedro é alto e Júlio é rico”

Nega primeira parcela: Pedro não é alto

Nega a segunda parcela: Júlio não é rico.

Troca o conectivo: ou

Pedro não é alto ou Júlio não é rico

Quero negar a seguinte proposição:

“Pedro é alto ou Júlio é rico”

Nega primeira parcela: Pedro não é alto

Nega a segunda parcela: Júlio não é rico.

Troca o conectivo: e

Pedro não é alto e Júlio não é rico

Se os juros baixam, então eu compro um carro novo.

Nega a primeira parcela: Os juros não baixam.

Mantém a segunda parcela: Eu compro um carro novo.

Troca o conectivo: ou

Os juros não baixam ou eu compro um carro novo.

Se beber, então não dirija (*) Nega primeira parcela: Não beba

Nega segunda parcela: Dirija

Inverte a ordem

Se dirigir, então não beba

(*) vamos desconsiderar o fato de que, sendo uma ordem, não teríamos proposição.





Questão 7 CGU 2008 [ESAF]

Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Resolução:

Vamos ver a afirmação do economista:

“A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”

Podemos observar que a frase do economista usa o conectivo “ou”. Olhando para as alternativas, percebemos que todas elas apresentam condicionais. Neste momento, já devemos ficar atentos para a equivalência que relaciona o condicional com o “ou” (disjunção). Vamos revê-la:

p → q ⇔ (~p) ∨ q

O que estes símbolos me dizem?

Que podemos trocar um condicional por um “ou”. Bata negar a primeira parcela e manter a segunda.

E é exatamente isso que vamos fazer.

Vamos negar a primeira parcela e vamos manter a segunda.

Vamos ver quais são as parcelas da nossa afirmação:

Primeira parcela: A inflação não baixa (~p)

Segunda parcela: A taxa de juros aumenta (q)

Reparem que a afirmação do enunciado tem exatamente a forma do “ou” na propriedade:

A inflação não baixa = (~p)

ou

a taxa de juros aumenta = q





Podemos usar imediatamente a equivalência que aprendemos:

p →→→→ q = (~p) ∨∨∨∨ q

A figura abaixo detalha a equivalência:

Assim:

A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. ((~p) ∨∨∨∨ q)

É dizer a mesma coisa que:

Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. (p →→→→ q)

Gabarito: D

Questão 8 Enap 2006 [ESAF]

Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

Resolução:

Temos a seguinte proposição:

“Ana não é alegre ou Beatriz é feliz”

Exatamente como no exercício anterior, temos um “ou” no enunciado e condicionais nas alternativas.

Basta aplicar a mesma equivalência. Podemos trocar um “ou” por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

As partes da afirmação do enunciado são:

Primeira parcela: Ana não é alegre (~p)

Segunda parcela: Beatriz é feliz (q)

Fazendo a equivalência, temos:





Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. (p →→→→ q)

Gabarito: C


A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.

d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.

e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.

Resolução.

A proposição original contém uma conjunção.

(Maria comprou uma blusa nova) e (foi ao cinema com José).

Para negarmos um “e”, nós negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficamos com:

(Maria não comprou uma blusa nova) ou (não foi ao cinema com José).

Gabarito: A

Questão 10 AFRFB 2009 [ESAF]

Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Resolução.

Na verdade, a questão está mal escrita.

O que a banca queria era que o candidato marcasse a alternativa com uma proposição equivalente à dada no comando da questão.

Vamos então fazer isso.

Vamos dar nomes às proposições simples.





p: Chove

q: neva

r: o chão fica molhado.

Representando a proposição dada por meio de símbolos:

rqp →∨ )(

Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

Logo:

rqp →∨ )( ⇔ )(~~ qpr ∨→

Ficamos com a seguinte proposição, que é equivalente àquela dada pelo enunciado:

)(~~ qpr ∨→

Podemos trabalhar mais um pouco com esta proposição.

Na sua segunda parcela, temos a negação de um “Ou”. Para negar um “ou”, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por um “e”.

Logo, chegamos à seguinte proposição:

)(~)(~~ qpr ∧→

Em palavras, temos:

Se o chão não fica molhado, então não chove e não neva.

Ou ainda:

Se o chão fica seco, então não chove e não neva.

Isso está expresso na letra E, que foi dada como gabarito.

Gabarito: E

O grande detalhe é que, ao contrário do que aconteceu em todas as questões anteriores, em nenhum momento a questão diz para marcamos a alternativa com uma proposição equivalente. Em nenhum momento temos uma indicação de que se trata de uma questão sobre equivalências lógicas.





Se fôssemos seguir ao pé da letra o que está escrito na questão, teríamos, na verdade, um exercício de lógica de argumentação (matéria que ainda não estudamos).

E, considerando a questão como de lógica de argumentação, teríamos duas alternativas corretas, pelo que a questão deveria ter sido anulada.

Deveria, mas não foi, isto acontece...

Mas, infelizmente, isso é comum em provas. E o que a gente não quer é brigar com o enunciado, não é mesmo?

Então, peço que, mesmo depois que estudarmos lógica de argumentação, vocês sempre tentem resolver as questões primeiro aplicando equivalências lógicas. Se não deu, aí sim, partam para a lógica de argumentação.

Mas, por hora, não esquentem a cabeça. Comentamos mais a respeito, quando virmos lógica de argumentação.

Questão 11 STN 2005 [ESAF]

Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.

e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Resolução.

A proposição fornecida foi:

Se Marcos não estuda, então João não passeia.

Temos que:

- Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear.

- João não passear é condição necessária para Marcos não estudar.

Analisando as alternativas, não temos nenhuma que contenha as frases acima.

Qual foi o nosso erro?

Nenhum. Está tudo certo. Se houvesse alguma alternativa que contemplasse as frases acima, ela seria a resposta. O único problema é que, com a teoria que estudamos, não chegamos a nenhuma alternativa.

E agora? O que fazer?





Agora aplicamos uma equivalência lógica muito importante. Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

Ou seja, qp → é equivalente a )(~)(~ pq → .

Assim, as duas proposições abaixo são equivalentes:

“Se Marcos não estuda, então João não passeia”

“Se João passeia, então Marcos estuda”

Neste novo condicional, temos:

- João passear é condição suficiente para Marcos estudar.

- Marcos estudar é condição necessária para João passear.

E agora sim, temos condições de saber que a conclusão exposta na alternativa E está correta.

Gabarito: E


Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:

a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.

c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.

e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise

Resolução.

Olha o finalzinho do enunciado: “Maria pode concluir que:”.

Para sabermos se podemos concluir qualquer coisa, para isso usamos análise de argumentos.

Como já disse anteriormente, tente, primeiro, usar equivalências lógicas.

A informação que temos é:

p: Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise.

Esta afirmativa é falsa.

Logo, sua negação é verdadeira.

Como fazemos para negar p?





Temos um “e”. Para negá-lo, negamos cada parcela e trocamos o “e” por um “ou”. Ficamos com:

~p: Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

Gabarito: C


Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:

a) X ≠ B e Y ≠ D

b) X = B ou Y ≠ D

c) X ≠ B ou Y ≠ D

d) se X ≠ B, então Y ≠ D

e) se X ≠ B, então Y = D

Resolução:

É a mesma questão, mudando apenas os nomes!

Veja, sabemos que:

É falso que: X = B e Y = D.

Se esta afirmação é falsa, sua negação é obrigatoriamente verdadeira. Temos que encontrar esta negação. Aprendemos como negar um “e” lógico. Basta negar cada parcela e trocar o “e” por um “ou”.

Quais nossas parcelas?

1) X = B

2) Y = D

Como fazemos para negar “X = B”?

Dizer que “X não é igual a B” é o mesmo que dizer que “X é diferente de B”.

Portanto, a negação de cada parcela acima fica:

1) X ≠ B

2) Y ≠ D

Agora, para negar a afirmação do enunciado, basta ligar estas duas negações por um “ou”. Assim:

X ≠ B ou Y ≠ D.





Sabemos que a afirmação do enunciado é falsa. Então sua negação é verdadeira. Assim:

É verdade que: X ≠ B ou Y ≠ D.

Gabarito: C

Pergunta: Professor, mas você disse lá no começo da aula que, quando temos variáveis, não

dá para julgar em verdadeiro ou falso. Ou seja, não temos proposição. E agora?

Resposta: De fato, seguindo este raciocínio, não teríamos uma proposição sequer na questão, e não daria para resolver.

Aí vem o meu lema: não brigue com o enunciado.

Apesar de usar letras “X” e “B”, a questão não está se referindo a elas como variáveis.

Então deixa esse probleminha para lá. Desconsidere isso e resolva a questão normalmente. Suponha que estamos sim diante de proposições.

Questão 14 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF]

Durante uma prova de matemática, Joãozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha - que precisa obter nota alta e, portanto, qualquer informação na hora da prova lhe será muito valiosa -, não escutou a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a professora respondeu para Joãozinho afirmando que: se X ≠ 2, então Y = 3. Sabendo que a professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui corretamente que:

a) se X = 2, então Y ≠ 3

b) X ≠ 2 e Y = 3

c) X = 2 ou Y = 3

d) se Y = 3, então X ≠ 2

e) se X ≠ 2, então Y ≠ 3

Resolução:

A proposição dada foi:

Se X ≠ 2, então Y = 3.

Ela é nosso ponto de partida. Ela é nossa premissa.

Partindo desta premissa, o que podemos concluir?

Ah, isso é tarefa para a análise de argumentos.

Mas, como estamos diante da ESAF, já sabemos que é muito provável que a gente deva usar apenas equivalências lógicas.





Num condicional, podemos inverter as parcelas negando-as. Logo, a partir da proposição acima, obtemos outra equivalente:

Se Y ≠ 3, então X = 2

Pronto. Achamos uma proposição equivalente. O problema é que nenhuma das alternativas contempla esta proposição.

Então vamos utilizar outra equivalência. Podemos trocar um condicional por um “Ou”. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Logo, “Se X ≠ 2, então Y = 3” é equivalente a:

X = 2 ou Y=3

E esta proposição sim está contemplada na alternativa C.

Gabarito: C

Questão 15 ATA MF 2009 [ESAF]

X e Y são números tais que: Se 4≤x , então 7>y . Sendo assim:

a) Se 7≤y , então 4>x

b) Se 7>y , então 4≥x

c) Se 4≥x , então 7<y

d) Se 7<y , então 4≥x

e) Se 4<x , então 7≥y

Resolução.

Como ponto de partida, temos uma única proposição, qual seja:

Se 4≤x , então 7>y .

Vamos achar qual é a proposição que é equivalente a: Se 4≤x , então 7>y .

Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

A primeira parcela é: 4≤x .

Como é que negamos isso?

Basta pensar assim: quando é que x não é menor ou igual a 4?

Ah, isso ocorre quando x é maior que 4.

Logo, para negar 4≤x , fazemos assim:

4>x

A segunda parcela é: 7>y .

Queremos negá-la.

Quando é que y não é maior que 7?





Bem, isso ocorre quando y é menor que 7, correto?

Sim, isso está correto. Na verdade, parcialmente correto.

Há outro caso a ser considerado.

Quando y é exatamente igual a 7, ele não é maior que 7. Concorda?

Assim, para negar a segunda parcela, temos que considerar os dois casos:

- quando y é menor que 7

- quando y é igual a 7.

Ou seja, para negar 7>y nós fazemos assim:

7≤y

A proposição original é:

Se 4≤x , então 7>y .

Usando a equivalência lógica, podemos inverter a ordem das parcelas, negando-as. Fica assim:

Se 7≤y , então 4>x .

Gabarito: A

Questão 16 ATRFB 2009 [ESAF]

A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada.

b) João chegou e Maria não está atrasada.

c) Se João chegou, Maria não está atrasada.

d) Se João chegou, Maria está atrasada.

e) João chegou ou Maria não está atrasada.

Resolução:

Podemos trocar a disjunção por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

Temos:

1ª parcela: João não chegou

2ª parcela: Maria está atrasada.

Negação da 1ª parcela: João chegou.

Mantemos a 2ª parcela: Maria está atrasada.





Agora podemos juntar tudo, usando o condicional:

Se João chegou, então Maria está atrasada.

Gabarito: D


A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.

b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.

e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Resolução:

Na proposição composta, temos duas parcelas. São elas:

1ª parcela: Ana ou Pedro vão ao cinema.

2ª parcela: Maria fica em casa.

Elas estão unidas por um “e”. Para negar um “e”, nós negamos as parcelas e trocamos o “e” por um “ou”.

Ok, então precisamos negar as parcelas.

Na primeira parcela, temos um “ou”. Para negar este “ou”, negamos cada uma de suas parcelas e trocamos o conectivo por “e”.

Negação da 1ª parcela: Ana não vai ao cinema e Pedro não vai ao cinema.

A segunda parcela é uma proposição simples.

Negação da segunda parcela: Maria não fica em casa.

Juntando tudo:

(Ana não vai ao cinema e Pedro não vai ao cinema) ou (Maria não fica em casa

Gabarito: B





Outra forma de resolver é utilizar a simbologia lógica.

Vamos dar nomes às proposições.

a: Ana vai ao cinema

p: Pedro vai ao cinema

m: Maria fica em casa

A proposição dada é:

(� ∨ �) ∧ �

A sua negação fica:

~�(� ∨ �) ∧ �� ⟺ ~(� ∨ �) ∨ (~�)

Na primeira parcela acima, ainda temos outra proposição composta. Temos uma negação de um “ou”. Para negar um “ou” nós negamos as parcelas e trocamos o conectivo por um “e”.

Assim, a nossa proposição fica:

(~�) ∧ (~�) ∨ (~�)

Em palavras:

Ana não vai ao cinema e Pedro não vai ao cinema ou Maria não fica em casa.

Questão 18 Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]

A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:

a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.

c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.

d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.

e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.

Resolução:

A questão trata de uma equivalência lógica que não estudamos.

São equivalentes as seguintes proposições:

� ↔ �

(� → �) ∧ (� → �)

Então vamos dar nomes às proposições simples:





p: o número inteiro é par.

q: o quadrado do número é par.

Assim, “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” pode ser representada da seguinte forma:

� ↔ �

Esta proposição é equivalente a:

(� → �) ∧ (� → �)

Temos uma conjunção. Sua segunda parcela é um condicional. Neste condicional, podemos inverter a ordem das parcelas, negando-as.

Ou seja ,podemos trocar (� → �) por (~� → ~�)

Ficamos com:

(� → �) ∧ (~� → ~�)

Em palavras:

“Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par”

Gabarito: A


Uma expressão que equivale logicamente à afirmação “D é K se e somente se D é F e D é L” é:

a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

c) D não é F e D não é L se e somente se D não é K.

d) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

e) D é K se e somente se D é F ou D é L.

Comentários:

Vamos dar nomes às proposições simples:

k: “D é K”

f: “D é F”

l: “D é L”

A proposição apresentada foi:

� ↔ (� ∧ )





Vamos agora trabalhar as alternativas. Vamos desenvolver cada uma delas, para ver se chegamos à proposição acima.

Letra A: Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

Em símbolos:

�(� ∨ ) → �� ∧ �∼ � → (∼ � ∧∼ )�

Dentro do segundo colchete, temos um condicional. Podemos fazer o seguinte. Negamos cada uma de suas parcelas, e trocamos a ordem entre elas. Com isso, obtemos um condicional equivalente ao primeiro. Fica assim (veja destaque em vermelho):

�(� ∨ ) → �� ∧ �∼ (∼ � ∧∼ ) →∼∼ ��

Duas negações em seguida se anulam:

�(� ∨ ) → �� ∧ �∼ (∼ � ∧∼ ) → ��

Para negar uma proposição composta pelo “e”, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por “ou”:

�(� ∨ ) → �� ∧ �(� ∧ ) → ��

Agora obtivemos uma conjunção de duas parcelas idênticas entre si. Logo, essa proposição acima é equivalente a:

�(� ∨ ) → ��

Obtivemos um único condicional. Então essa não é a nossa resposta.

Letra b: Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

Vamos mais rápido agora? Os passos são exatamente os mesmos da alternativa anterior.

A proposição dada é:

�(� ∧ ) → �� ∧ �∼ � → (∼ � ∨∼ )�

≡ �(� ∧ ) → �� ∧ �∼ (∼ � ∨∼ ) → ��

≡ �(� ∧ ) → �� ∧ �(� ∧ ) → ��

≡ �(� ∧ ) → ��

Obtivemos um único condicional. Então essa não é a nossa resposta.

Letra c: D não é F e D não é L se e somente se D não é K.


(∼ � ∧∼ ) ↔ (∼ �)

Podemos negar as duas parcelas do bicondicional, que obtemos uma proposição equivalente:

≡∼ (∼ � ∧∼ ) ↔∼ (∼ �)

≡ (� ∨ ) ↔ �





Que não coincide com o bicondicional dado no início da questão. Alternativa errada.

Letra d: Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

Em símbolos:

�� → (� ∧ )� ∧ �∼ � → (∼ � ∨∼ )�

Podemos tomar o segundo condicional e fazer o seguinte. Negamos as parcelas e invertemos a ordem, obtendo outro condicional, equivalente ao primeiro:

≡ �� → (� ∧ )� ∧ �∼ (∼ � ∨∼ ) → ��

≡ �� → (� ∧ )� ∧ �(� ∧ ) → ��

≡ � ↔ (� ∧ )

Achamos nossa resposta.

Gabarito: D


A negação da proposição "se Paulo estuda, então Marta é atleta" é logicamente equivalente à proposição

a)Paulo não estuda e Marta não é atleta.

b) Paulo estuda e Marta não é atleta.

c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.

d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.

e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.

Resolução:

Vamos representar as proposições simples por:

p: Paulo estuda

q: Marta é atleta


� → �

Queremos negar esta proposição:

¬(� → �)

Entre parêntesis temos um condicional. Podemos trocar um condicional por uma disjunção. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Ou seja:

� → � ≡ (¬� ∨ �)

Substituindo esse resultado em nossa proposição composta:





¬(� → �) ≡ ¬(¬� ∨ �)

Agora temos uma negação incidindo sobre uma proposição composta pelo "ou". Para negar uma proposição composta pelo "ou", negamos cada parcela e trocamos por "e". Assim:

negação da primeira parcela: ¬(¬�) ≡ �

negação da segunda parcela: ¬�

trocando o conectivo por "e": � ∧ (¬�)

Em palavras:

Paulo estuda e Marta não é atleta.

Gabarito: B


A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente:

a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

Resolução:

Podemos trocar uma disjunção por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Assim:

• negação da primeira parcela: A menina não tem olhos azuis.

• segunda parcela: o menino é loiro

Agora trocamos o conectivo por condicional:

Se (a menina não tem olhos azuis), então (o menino é loiro)

Gabarito: C





9. RESUMÃO

Tipo de questão Lembretes

Identificar, dentre as frases apresentadas, quais são proposições.

- Proposições podem ser julgadas em V ou F.

- Lembrar que não são proposições: perguntas, exclamações, pedidos, ordens, sentenças abertas (aquelas com variáveis), expressões de sentimento/desejo/opinião, enfim, tudo o que não for possível julgar em V ou F

Transformar proposições representadas na simbologia lógica para frases escritas (e vice-versa)

Lembrar dos símbolos dos conectivos:

Conjunção: e – símbolo: ∧

Disjunção inclusiva: ou - símbolo: ∨

Condicional: se... então - símbolo: →

Bicondicional: se, e somente se – símbolo: ⟷

Disjunção exclusiva: “ou...ou” – símbolo: ∨

Negação: “~” ou “ ¬ ”

Julgar uma proposição composta Conectivo “e”: só é verdadeiro se as duas parcelas forem verdadeiras.

Conectivo “ou”: só é falso se as duas parcelas forem falsas.

Conectivo “se...então”: só é falso se a primeira parcela for verdadeira e a segunda for falsa.

Conectivo “se, e somente se”: só é verdadeiro se as parcelas tiverem valores lógicos iguais

Conectivo “ou...ou”: só é verdadeiro se as parcelas tiverem valores lógicos diferentes.

Precedência: não, e, ou, se... então.

Completar uma tabela-verdade





Tipo de questão Lembretes

Encontrar equivalências lógicas ~(p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)

~(p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)

p → q ⇔ (~p) ∨ q

p → q ⇔ (~q) → (~p)

10. CONTEÚDO DE DESTAQUE

Desta aula, o que você tem que saber de frente para trás, de trás para frente, o que mais cai em tudo quanto é concurso de Esaf, o que certamente vai cair no seu concurso é: equivalências lógicas.

Não importa se você optou por entender a matéria, por decorar, ou por fazer uma cola e levar no dia da prova (brincadeira, viu!). O método não importa: no dia da prova você tem que saber quais são as principais equivalências porque vai cair, e você não pode perder tempo para resolver.





11. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA

Questão 1 FINEP 2009 [CESPE]

Acerca de proposições, considere as seguintes frases:

I Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.

II O que é o CT-Amazônia?

III Preste atenção ao edital!

IV Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.

São proposições apenas as frases correspondentes aos itens

a) I e IV.

b) II e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) I, II e IV.

Questão 2 STF 2008 [CESPE]

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “ ∨”, “ ∧”, “ → ” e “ ¬ ” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por � ∧ (~ )

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por � → �.

3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (� ∧ ) → �






Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.

b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.

c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.

e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Questão 4 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não

b) Não, não, sim

c) Sim, sim, sim

d) Não, sim, sim

e) Sim, não, sim


Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”.

Desse modo:

a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.

d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.

e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Questão 6 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo





c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo


Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Questão 8 Enap 2006 [ESAF]

Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.


A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.

d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.

e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.


Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.





Questão 11 STN 2005 [ESAF]

Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.

e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.


Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:

a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.

c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.

e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise


Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:

a) X ≠ B e Y ≠ D

b) X = B ou Y ≠ D

c) X ≠ B ou Y ≠ D

d) se X ≠ B, então Y ≠ D

e) se X ≠ B, então Y = D

Questão 14 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF]

Durante uma prova de matemática, Joãozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha - que precisa obter nota alta e, portanto, qualquer informação na hora da prova lhe será muito valiosa -, não escutou a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a professora respondeu para Joãozinho afirmando que: se X ≠ 2, então Y = 3. Sabendo que a professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui corretamente que:

a) se X = 2, então Y ≠ 3

b) X ≠ 2 e Y = 3

c) X = 2 ou Y = 3

d) se Y = 3, então X ≠ 2

e) se X ≠ 2, então Y ≠ 3






X e Y são números tais que: Se 4≤x , então 7>y . Sendo assim:

a) Se 7≤y , então 4>x

b) Se 7>y , então 4≥x

c) Se 4≥x , então 7<y

d) Se 7<y , então 4≥x

e) Se 4<x , então 7≥y


A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada.

b) João chegou e Maria não está atrasada.

c) Se João chegou, Maria não está atrasada.

d) Se João chegou, Maria está atrasada.

e) João chegou ou Maria não está atrasada.


A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.

b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.

e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Questão 18 Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]

A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:

a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.

c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.

d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.

e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.


Uma expressão que equivale logicamente à afirmação “D é K se e somente se D é F e D é L” é:





a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

c) D não é F e D não é L se e somente se D não é K.

d) Se D é K, então D é F e D é L e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

e) D é K se e somente se D é F ou D é L.


A negação da proposição "se Paulo estuda, então Marta é atleta" é logicamente equivalente à proposição

a)Paulo não estuda e Marta não é atleta.

b) Paulo estuda e Marta não é atleta.

c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.

d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.

e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.


A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente:

a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

12. GABARITO

1 a

2 certo certo errado

3 c

4 d

5 a

6 a

7 d

8 c

9 a

10 e





11 e

12 c

13 c

14 c

15 a

16 d

17 b

18 a

19 d

20 b

21 c

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