Roberto Pettres FUNÇÕES ENSINO FUNDAMENTAL

UNIVERSIDADE DO CONTESTADO CAMPUS - MAFRA - SANTA CATARINA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ROBERTO PETTRES

ESTÁGIO SUPERVISIONADO II – ENSINO FUNDAMENTAL

MAFRA 2008

ROBERTO PETTRES

FUNÇÕES MATEMÁTICAS – ENSINO FUNDAMENTAL

Projeto apresentado como exigência para a obtenção de nota na disciplina Estágio supervisionado II, do Curso de Matemática, ministrado pela Universidade do Contestado – UnC Mafra, sob orientação do Professor Mestre Orestes Hacke.

MAFRA 2008

RESUMO

O presente relatório de estágio tem como tema norte ador o assunto funções numéricas, estudado na oitava série na disc iplina de Matemática, sendo este, apresentado pelo próprio autor, no esta belecimento de ensino Colégio Mafrense, da cidade de Mafra, Santa Catarina. Este relatório de estágio apresenta o plano de docência em Matemática, pautado no assunto funções numéricas e tem por fina lidade o desenvolvimento e a prática docente, visando estrat égias que auxiliem no processo de ensino–aprendizagem da disciplina de Ma temática. No documento constam informações relacionadas ao ensin o da Matemática na atualidade, à metodologia usada em sala de aula, aos planos de aulas, à utilização de softwares como recursos tecnológico s e às formas de avaliação. Palavras chave: Matemática; Funções Numéricas; Ensi no Fundamental.

SUMÁRIO

PROJETO DE ESTÁGIO 1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................7

MANUAL DO PROFESSOR DA REDE PITÁGORAS DE ENSINO............................8 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................................................11 3 METODOLOGIA .................................................................................................................15 4 CRONOGRAMA .................................................................................................................17

Tabela de cronograma:.....................................................................................................17 REFERÊNCIAS .....................................................................................................................18 ELABORAÇÃO DO MATERIAL ELABORAÇÃO DO MATERIAL .........................................................................................19 1 CONTEÚDO ........................................................................................................................20 2 METODOLOGIA .................................................................................................................21 3 RECURSOS ........................................................................................................................23

Recursos Humanos ...........................................................................................................23

Recursos Didáticos............................................................................................................23

Recursos Financeiros .......................................................................................................23 4 DESCRIÇÕES DAS ATIVIDADES .................................................................................24

CONTEÚDOS MINISTRADOS........................................................................................24

Funções numéricas .......................................................................................................25

PLANOS DE AULA............................................................................................................25

Aula por aula...................................................................................................................25 5 FORMAS DE AVALIAÇÃO ..............................................................................................47

REFERÊNCIAS .....................................................................................................................48 RELATÓRIO DE ESTÁGIO RELATÓRIO DE ESTÁGIO .................................................................................................49 RESULTADOS .......................................................................................................................50 ANEXOS .................................................................................................................................53

LISTA DE IMAGENS

Figura 01: Imagem da animação gráfica desenvolvida com o programa Flash

para os Diagramas de Venn – Euler / conjuntos.


para os Diagramas de Venn – Euler / aplicação.


para o Plano Cartesiano / pontos.


para o Plano Cartesiano / reta.


para Funções do 1º grau.


para os Zeros da Função.


para o Vértice da Função.

Figura 08: Imagem do programa Winplot, representando e classificando as

funções do problema 01.

Figura 09: Imagem do programa Winplot, representando a função do exercício

02.

Figura 10: Imagem da planilha de cálculos Excel, representando a solução do

problema 02.

Figura 11: Imagem gerada com o programa Winplot para as funções do

problema 04.

Figura 12: Imagem do simulador de funções do 2º grau da Editora Positivo /

lançamento.

Figura 13: Imagem do simulador de funções do 2º grau da Editora Positivo /

explosão.

Figura 14: Imagem do simulador de funções do 2º grau da Editora Saraiva /

trajetória.

Figura 15: Imagem do simulador de funções do 2º grau da Editora Saraiva /

alcance máximo.

Figura 16: Imagem da aula expositiva sobre o conteúdo Funções Numéricas.

Figura 17: Imagem da aula expositiva sobre o conteúdo Funções Numéricas.

1 INTRODUÇÃO

O presente Projeto de Estágio tem como tema, o assunto “Funções”,

estudado na oitava série do ensino fundamental (fundamental de 8 anos),

sendo este o conteúdo apresentado pelo acadêmico Roberto Pettres, do curso

de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade o Contestado – Mafra –

Santa Catarina.

A apresentação do conteúdo sobre funções inicialmente se pauta na

observação de uma grandeza associada à outra grandeza, como o número de

quilômetros rodados com certa quantidade de combustível em um automóvel, o

valor pago em uma corrida de Táxi, o salário de um funcionário em relação às

horas trabalhadas entre outros.

Posteriormente a notação matemática “f(x) = ax + b” para função do

primeiro grau, é apresentada e são feitas as considerações necessárias quanto

à representação gráfica, os conjuntos domínio e imagem, a raiz da função e o

seu crescimento ou decrescimento.

A função quadrática é introduzida a partir de uma situação-problema

sobre o cálculo de área de uma figura retangular, sendo a área final

dependente dos valores atribuídos ao seus respectivos lados. Em seguida é

iniciado o estudo detalhado desta função.

O presente Projeto de Estágio em Matemática, tem por objetivos a

observação dos procedimentos metodológicos em sala de aula no Colégio

Mafrense no ensino fundamental na cidade de Mafra, Santa Catarina,

ministrados pelo professor Orestes Hacke (Mestrado em Métodos Numéricos

em Engenharia – UFPR) e a apresentação do conteúdo sobre funções na

disciplina de Matemática na oitava série, pelo acadêmico Roberto Pettres, do

curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade o Contestado,

Mafra – Santa Catarina.

O conteúdo apresentado sobre funções se pauta no que segue quanto à

orientação metodológica no Manual do Professor da Rede Pitágoras de

Ensino1, da oitava série do ensino fundamental de oito anos, utilizado no

Colégio Mafrense.

MANUAL DO PROFESSOR DA REDE PITÁGORAS DE ENSINO

Funções numéricas

Número de aulas: 20

Semestre: 2º

Competências e habilidades a serem desenvolvidas pelo aluno

(objetivos específicos deste conteúdo, capítulo 1, livro 2):

• Definir e reconhecer funções.

• Perceber a dependência entre grandezas.

• Reconhecer leis que definem funções.

• Indicar matematicamente uma função.

• Calcular valores e raízes de uma função.

• Construir, interpretar e analisar gráficos de funções.

• Reconhecer uma função de 1.o e de 2.o graus e seu gráficos.

Neste capítulo, o aluno terá seu primeiro contato com o estudo de

funções. É importante que esse contato se inicie pela compreensão da

interdependência entre grandezas e a variação de uma grandeza em relação à

outra. Partindo de situações próximas do aluno, procura-se levá-lo a perceber

que “y função de x” indica que “y varia de valor dependendo da variação de

valores de x” de acordo com uma determinada lei, que pode ser dada por meio

de equações matemáticas.

As idéias básicas do estudo de função são as de variável, dependência,

regularidade e generalização. Os instrumentos usados para desenvolver essas

idéias são: o plano cartesiano, as tabelas e o cálculo algébrico.

O nível de compreensão do conceito de função varia de aluno para

aluno, pois a construção desse conceito é um processo gradual. Apresenta-se

1 LIMA, Maria Cristina Ponciano de; TINANO, Marilene Turíbia de Rezende. Matemática oitava série, livro 2. Belo Horizonte – MG: Editora Educacional, 2008.

o conceito de relação entre conjuntos como também os conceitos de domínio,

contradomínio e conjunto-imagem de uma função, a título de compreensão e

complementação do conceito de função.

Faz-se necessário trabalhar esses conceitos de modo formal,

possibilitando uma base sólida de conhecimento, pois, na primeira série do

Ensino Médio, eles deverão ser estudados com maior profundidade. Toda

oportunidade para mostrar o domínio da função e sua imagem, é bastante

explorada como a representação geométrica da função.

No gráfico, podem ser obtidas informações sobre a função. Destacando

para o aluno que o gráfico de uma função só poderá ser uma curva contínua se

o domínio da função for um conjunto formado por números reais.

Nas funções de 1.o grau, como nas quadráticas, é fundamental destacar

o significado de raízes ou zeros da função. Graficamente são as abscissas dos

pontos onde a curva que a representa corta o eixo x.

É de suma importância também que o aluno faça distinção entre função

e equação e que ele perceba que a equação associada à função determina as

raízes da função. Essas raízes são os valores da variável independente

quando a função (variável dependente) tem o valor zero.

Nas construções dos gráficos das funções, discussões para que os

alunos percebam que a função de 1.o grau é representada por pontos que

pertencem a uma mesma reta é de grande valia. Assim, o gráfico poderá ser

representado por pontos isolados e alinhados, uma semi-reta, um segmento de

reta ou uma reta.

Quando o domínio da função for o conjunto IR dos números reais, basta

que se determinem dois pares ordenados dessa função para obter sua

representação geométrica, pois “dois pontos distintos determinam uma reta”.

No caso da função de 2.o grau, na impossibilidade de o gráfico ser

construído com exatidão, basta se fazer um esboço dele. Para isso, devem-se

considerar seus pontos relevantes.

• A concavidade da parábola, relacionada ao sinal do coeficiente a da

função.

• As raízes ou zeros da função, ou seja, as raízes da equação de 2.o

grau (se existirem) associadas à função. Elas determinam o ponto de

interseção da parábola com o eixo x.

• O vértice da parábola que determina o ponto de máximo ou de mínimo

da função.

• A ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y (x = 0)

que é determinada pelo coeficiente c da função.

Como recurso tecnológico, utiliza-se o programa Winplot para a análise

gráfica. O Winplot é um programa simples, que utiliza pouca memória e dispõe

de vários recursos que o tornam atraente para diversos níveis de ensino-

aprendizagem. É um programa para plotar gráficos de funções em Matemática,

de uma ou duas variáveis, utilizando o Windows.

É possível fazer o download do Winplot em

http://math.exeter.edu/rparris. As instruções de como trabalhar nesse

programa, são encontradas no endereço eletrônico

http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html.

O estudo de sinais das funções de 1.o grau e de 2.o grau prepara para a

resolução de inequações. O estudo de inequações inicia-se após o estudo de

sinais de cada uma dessas funções.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A evolução das inovações tecnológicas está provocando alterações nas

relações sociais indicando mudanças no paradigma social. Este fato relaciona-

se diretamente com ensino escolar que hoje é oferecido, provocando

incertezas no aluno porque exige transformações das relações sociais, que

apontam para o conhecimento como o impulsionador do novo.

A educação como ferramenta de socialização e de progresso humano,

sempre em constante processo de atualização devido as grandes exigências

do mundo globalizado, é objeto de estudo para a psicologia comportamental e

análise dos mecanismos de aprendizagem, direcionando instituições de ensino

e encaminhando professores e profissionais em educação dando rumo para as

ações pedagógicas.

Atualmente, cada vez mais as competências e habilidades são

requeridas pelo mercado de trabalho, onde a criatividade, a autonomia e a

capacidade de solucionar problemas têm destaque muito importantes. Em

função disso, o ensino escolar é voltado para o desenvolvimento das

capacidades de pesquisar, buscar, analisar, selecionar e apreender

informações, de criar e formular estratégias de resolução para problemas, em

vez de utilizar técnicas de memorização.

Assim, de acordo com as propostas dos Parâmetros Curriculares

Nacionais, conceitos, habilidades e valores são elementos que fazem parte do

conteúdo escolar, devendo ser considerados em conjunto na elaboração de

projetos pedagógicos e planos de trabalho em sala de aula. Dessa forma, o

processo de ensino-aprendizagem deve incluir no planejamento um trabalho

consolidado, voltado ao desenvolvimento de atitudes, com atividades práticas

dando significado ao conhecimento escolar, permitindo uma relação biunívoca

entre as idéias científicas e as idéias do aluno.

O desenvolvimento humano passa pela necessidade da análise geral do

contexto social, econômico e cultural no qual está inserido, sendo que a ação

humana estando na direção do saber construído pela aplicação concreta e pela

própria essência da vida, leva o aluno ao estágio da evolução de suas aptidões

cognitivas.

Neste contexto, a educação tem um papel fundamental e seus atores

(professores e educadores) podem contribuir de forma significativa, pois têm a

competência de organizarem novas metodologias que priorizem a criação de

estratégias, a argumentação e favoreçam a criatividade, a iniciativa pessoal, o

trabalho coletivo e o estímulo à apropriação do conhecimento, através do

desenvolvimento da segurança na própria capacidade.

O movimento reflexão iniciado nos EUA por John Dewey e trazido ao

Brasil por Anísio Teixeira, influenciou vários professores e autores, como

exemplo o autor Luiz Carlos Pais, autor do livro Didática da Matemática 2, no

qual vê no aluno um potencial a ser desenvolvido e centraliza nele todo o

processo educativo em prol da aprendizagem, valorizando as experiências

realizadas por ele.

A aprendizagem do ser humano está ligada à compreensão, isto é, à

atribuição e apreensão de significado; aprender o significado de um objeto ou

acontecimento pressupõe identificar suas relações com outros objetos e

acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos

estanques e numa rígida sucessão linear, da lugar a uma abordagem em que

as conexões sejam favorecidas e destacadas, favorecendo ao aluno o

reconhecimento no conteúdo científico e matemático, das questões de

relevância social.

Durante a aprendizagem, ao iniciar o contato com um conceito inovador,

pode ocorrer no educando uma revolução interna entre o equilíbrio aparente do

velho conhecimento e o saber que se encontra em fase de elaboração. Essa

observação é de grande interesse para a didática e a formulação de novas

estratégias de ensino para a aprendizagem escolar, que acaba contando com

fortes rupturas com o saber cotidiano, caracterizando a ocorrência de uma

revolução interna, o que leva o aluno vivenciar a passagem do seu mundo

particular a sabedoria de um quadro mais vasto de idéias.

O conhecimento matemático é historicamente construído e, portanto,

está em permanente evolução. Assim o ensino da Matemática incorpora esta

perspectiva, possibilitando ao aluno reconhecer as contribuições que ela

2 PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática – 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

oferece para compreender as informações, analisá-las e posicionar-se

criticamente diante delas.

O ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de

capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação,

argumentação e validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio

como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa.

A escola como instituição educadora e formadora de cidadãos instruídos

e conscientes, deve priorizar a construção do conhecimento pelo fazer e

pensar do aluno, o papel do professor é mais o de facilitador, orientador,

estimulador e incentivador da aprendizagem. Cabe ao professor desenvolver a

autonomia do aluno, instigando-o a refletir, investigar e descobrir, criando na

sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem, sendo o diálogo e a

troca de idéias, uma constante, quer entre o professor e aluno, quer entre os

alunos.

Em lugar de ensinar, no sentido tradicionalmente entendido, o professor

passa a estar do lado de um aluno, de uma dupla ou de uma equipe, ajudando-

os a pensar a descobrir e a resolver problemas, usando caminhos e estratégias

diversificados. Com isso, o professor transforma-se também em um

investigador, buscando e criando novas atividades, novos desafios e novas

situações-problema, registrando tudo para posterior reflexão, transformação e

aprimoramento.

Uma aula expositiva partilhada, dialogada com os alunos, pode ser

apropriada para sintetizar e organizar as descobertas, as idéias e os

resultados, e, também, para sistematizar os assuntos tratados em determinado

período.

É essencial que o professor proponha a lição de casa frequentemente e

as corrija. Isso auxilia o aluno no desenvolvimento do hábito de estudar e

praticar o que já se estudou. É importante mesclar situações-problema com

exercícios de aplicação e repetição, como um treinamento.

A fluência no manuseio de equações, fórmulas e operações com

símbolos e números, o desenvolvimento de atitudes mentais diante de cálculos

algébricos ou construções geométricas, a criação de uma série de reflexos

condicionados sadios em Matemática, os quais são adquiridos através da

prática continuada de exercícios significativos, permitem que o aluno concentre

sua atenção nos pontos realmente essências, salvando seu tempo, traçando o

caminho para solução do problema.

A resolução de problemas tem por meta fazer o aluno pensar,

desenvolver o raciocínio lógico levá-lo a enfrentar situações novas e tornar-se

confiante quanto aos procedimentos aplicados na busca de soluções.

Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada significa

aproveitar ao máximo as relações existentes entre esses conteúdos e o

contexto pessoal ou social do aluno, de modo a dar significado ao que está

sendo aprendido, levando-se em conta que todo o conhecimento envolve uma

relação ativa entre o sujeito e o objetivo do conhecimento.

Assim a contextualização ajuda a desenvolver no aluno a capacidade de

relacionar o apreendido com o observado e a teoria com suas conseqüências e

a aplicação prática.

Os temas atuais do mundo globalizado, da ciência e da tecnologia,

também auxiliam na construção do aprendizado fazendo conexões da

Etnomatemática3 e da Modelagem Matemática às aplicações cotidianas. Os

métodos usados pelos egípcios para construção das pirâmides, a Geometria

Euclidiana, a Mecânica Newtoniana e a Óptica Geométrica, são exemplos

históricos de Etnomatemática e Modelagem Matemática.

3 D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática e Etnomatemática, da Teoria à P rática . Campinas, Papirus, 1996, p 12.

3 METODOLOGIA

A concepção de Matemática em qualquer nível de ensino remonta ao

fato de que a Matemática é uma ciência que surgiu da própria necessidade do

homem de contar, representar, medir e expor dados de formas organizadas e

com precisão.

Diversas outras ciências se aprimoraram graças aos conhecimentos

lógicos matemáticos realizados pela humanidade.

A partir das produções artísticas, filosóficas estruturais realizadas pelos

povos primitivos, estabeleceu-se ao longo dos anos, uma matemática formal,

dotada de vários pré-requisitos e de estabelecimento de relações abstratas e

lógicas.

A Matemática tem um papel social fundamental e busca respostas para

problemas decorrentes de ordem social.

Com esse intuito a metodologia usada está direcionada para

investigação e produção de conhecimentos que possibilitem aos alunos,

analisar, discutir e apropriar-se de conceitos e formular suas próprias idéias.

Neste contexto, a Matemática aplicada em sala de aula é tratada de

maneira lógica, adaptada à realidade dos alunos, retomando sempre que

necessário a conteúdos que são pré-requisito, possibilitando uma continuidade

no processo de aprendizagem.

A retomada de conteúdos é de grande importância, pois todos não

aprendem ao mesmo tempo, sendo necessário respeitar essas diferenças e

ofertar subsídios para que todos tenham um aprendizado significativo, pois

aprender Matemática significa antes de tudo resolver situações do meio onde

se está inserido.

Resolução de situações-problemas, englobando o conteúdo funções,

próprio de Ensino Fundamental no oitavo ano, incorporam o aprendizado de tal

conteúdo.

O uso de calculadora corresponde à compreensão de elementos

matemáticos tais como são calculados com ou sem a máquina, e não somente

a manipulação da tabuada, ou simples cálculos de porcentagem.

O conteúdo matemático “funções” possibilita diferentes tipos de aula,

desde as expositivas, as de vídeo, as de pesquisa e práticas.

As aulas de pesquisas e de laboratório permitirão conexões com outras

disciplinas, principalmente quando tratarem de história da Matemática e de

suas aplicações, e a partir disto, propiciar a elaboração de problemas.

No ensino de Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um

consiste em relacionar observações do mundo real com representações

(esquemas, tabelas, figuras, escritas numéricas); a outra consiste em

relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos.

Nesse processo, a comunicação tem grande importância e é estimulada,

levando o aluno a falar e escrever sobre Matemática, a trabalhar com

representações gráficas, construções e aprender como organizar e tratar

dados.

Recursos didáticos como livros, jogos com material concreto feito pelos

próprios alunos, dicionário de matemática, vídeos, televisão, calculadoras,

informática, etnomatemática, têm integrado a situações que levem ao exercício

da análise e da reflexão.

Parafraseando a autora Maria de Fátima Ausaloni Fortz4:

‘ Trabalhar o abstrato e o concreto juntos’.

Trabalhar em equipe e individual, com apoio do livro didático ou material

de editora utilizado pela instituição.

Resolução de exercícios em sala com o apoio do professor.

O ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de

capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação,

argumentação e validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio

como intuição, indução, dedução, analogia e estimativa.

4 FORTZ, Maria de Fátima Ausaloni. Uma nova Concepção do processo de ensino e aprendizagem.

Belo Horizonte: Revista Presença Pedagógica número 13/ UFMG/ 1997, p 137.

4 CRONOGRAMA

A tabela a seguir apresenta o cronograma do projeto com referência nos

dados do item 3: Metodologia.

Tabela de cronograma:

Atividades Desenvolvidas JUL AGO SET OUT

Observação em sala de aula (8ª Série) x

Desenvolvimento do projeto de estágio x

Aplicação do projeto x x x

Elaboração do relatório x

REFERÊNCIAS

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática e Etnomatemática, da

Teoria à Prática . Campinas, Papirus, 1996.

FORTZ, Maria de Fátima Ausaloni. Uma nova Concepção do processo de

ensino e aprendizagem . Belo Horizonte: Revista Presença Pedagógica

número 13/ UFMG/ 1997.

LIMA, Maria Cristina Ponciano de; TINANO, Marilene Turíbia de Rezende.

Matemática oitava série , livro 2. Belo Horizonte – MG: Editora Educacional,

2008.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática – 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica,

2002.

ROBERTO PETTRES

ELABORAÇÃO DO MATERIAL

MAFRA 2008

1 CONTEÚDO

O conteúdo Funções Numéricas foi escolhido para ser o tema do

presente projeto de estágio. Esse é um conteúdo de grande relevância na

matemática, pois possibilita ao aluno reconhecer e compreender a

interdependência entre grandezas e a variação de uma grandeza em relação à

outra, a partir de situações próximas de seu cotidiano.

As idéias básicas do estudo de função são as de variável, dependência,

regularidade e generalização. Os instrumentos usados para desenvolver essas

idéias são: o plano cartesiano, as tabelas e o cálculo algébrico.

No plano cartesiano, podem ser obtidas informações sobre a função.

Destacando para o aluno que o gráfico de uma função só poderá ser uma

curva contínua se o domínio da função for um conjunto formado por números

reais.

Nas funções de 1.o grau, como nas quadráticas, é fundamental destacar

o significado de raízes ou zeros da função. Graficamente são as abscissas dos

pontos onde a curva que a representa corta o eixo x.

Nas construções dos gráficos das funções, discussões para que os

alunos percebam que a função de 1.o grau é representada por pontos que

pertencem a uma mesma reta, são de grande valia. Assim, o gráfico poderá ser

representado por pontos isolados e alinhados, uma semi-reta, um segmento de

reta ou uma reta.

Quando o domínio da função for o conjunto IR dos números reais, basta

determinar dois pares ordenados dessa função para obter sua representação

geométrica, pois “dois pontos distintos determinam uma reta”.

No caso da função de 2.o grau, na impossibilidade de o gráfico ser

construído com exatidão, basta se fazer um esboço dele. Para isso, considera -

se seus pontos relevantes, raízes ou zeros da função, vértice da parábola que

determina o ponto de máximo ou de mínimo da função, a ordenada do ponto de

interseção da parábola com o eixo y (x = 0) que é determinada pelo coeficiente

c da função e a relação do sinal do coeficiente a da função, com a posição da

concavidade da parábola.

2 METODOLOGIA A Matemática tem um papel social fundamental e busca respostas para

problemas decorrentes de ordem social.

Com esse intuito, a metodologia usada no presente projeto de estágio,

está direcionada para investigação e produção de conhecimentos que

possibilitem aos alunos, analisar, discutir e apropriar-se de conceitos e formular

suas próprias idéias.

Neste contexto, a Matemática aplicada em sala de aula é tratada de

maneira lógica, adaptada à realidade dos alunos, retomando sempre que

necessário a conteúdos que são pré-requisito, possibilitando uma continuidade

no processo de aprendizagem.

A retomada de conteúdos é de grande importância, pois todos não

aprendem ao mesmo tempo, sendo necessário respeitar essas diferenças e

ofertar subsídios para que todos tenham um aprendizado significativo, pois

aprender Matemática significa antes de tudo resolver situações do meio onde

se está inserido.

O conteúdo matemático “funções” possibilita diferentes tipos de aula,

desde as expositivas, as de vídeo, as de pesquisa e práticas.

As aulas de pesquisas e de laboratório são realizadas com o intuito de

permitir conexões com outras disciplinas, principalmente quando tratarem de

história da Matemática e de suas aplicações. Nessas aulas são usados

softwares como o Winplot para análise gráfica, simuladores de funções do

segundo grau e a planilha de cálculos excel.

As aulas expositivas são realizadas com o intuito de apresentar o

conteúdo trabalhado de maneira teórica e voltada para interpretação e solução

de problemas contidos no material didático da Rede Pitágoras de ensino.

Nesse processo, a comunicação tem grande importância e é estimulada,

levando o aluno a falar e escrever sobre Matemática, a trabalhar com

representações gráficas, construções e aprender como organizar e tratar

dados.

Durante as expositivas, são propostos trabalhos em equipe e individual,

com apoio do livro didático e/ou material de editora utilizado pela instituição,

sendo parte das resoluções de exercícios em sala de aula com o apoio do

professor e parte como atividade para o aluno realizar em casa.

3 RECURSOS

Este projeto apresenta um plano de docência em Matemática, pautado

no assunto funções, da oitava sério do ensino fundamental e tem por finalidade

o desenvolvimento e a prática docente, visando estratégias que auxiliem no

processo de ensino–aprendizagem da disciplina de Matemática, realizável com

os seguintes recursos:

Recursos Humanos

Colaboração de professores, orientadores, alunos e membros da

comunidade acadêmica da Universidade o Contestado e do Colégio Mafrense

de Mafra, para elaboração e posterior aplicação do presente projeto.

Recursos Didáticos

Aulas expositivas sobre o tema central “funções” da disciplina de

Matemática.

Aulas no laboratório de informática para pesquisa na internet e uso da

planilha de cálculos Excel e do programa Winplot para a análise gráfica.

Recursos Financeiros

Os recursos financeiros são em parte do autor do projeto, (listas de

exercícios e materiais didáticos complementares5) e em parte da instituição de

ensino (livros didáticos usados pelo colégio, fotocópias, ambientes, salas de

aula e laboratório de informática).

5 Vide Referências

4 DESCRIÇÕES DAS ATIVIDADES

Quanto às atividades desenvolvidas no presente projeto de estágio, está

à observação e análise em sala de aula dos procedimentos metodológicos

utilizados bem como do material didático adotado pela instituição de ensino,

elaboração do plano de docência abordando o assunto funções da oitava série

do ensino fundamental e a aplicação em sala de aula do mesmo.

As atividades desenvolvidas em sala de aula têm como procedimentos

metodológicos a seqüência abaixo relacionada:

• Apresentação de uma situação problema envolvendo o assunto

funções.

• Analogia a outras situações vivenciadas pelos alunos.

• Formalização e apresentação do assunto funções.

• Modelagem e notação Matemática para funções, técnicas de

resolução de problemas e análise dos dados obtidos.

• Interpretação gráfica de funções (raízes, pontos máximo e mínimo,

crescimento, decrescimento ou constância).

• Implementação computacional sobre funções na planilha de cálculos.

• Resolução de exercícios do livro didático da Rede Pitágoras de

Ensino.

• Acompanhamento nas atividades e exercícios realizados pelos

alunos.

• Discussão sobre os resultados obtidos e dúvidas encontradas

quantos às técnicas de resolução de problemas.

• Avaliação sobre o tema apresentado de acordo com o item 6: Formas

de Avaliação.

• Análise dos resultados obtidos.

CONTEÚDOS MINISTRADOS

Funções numéricas

• Interdependência entre grandezas

• Pares ordenados e produto cartesiano

• Representação de pontos num plano cartesiano

• Relação entre conjuntos

• Função

• Domínio, contradomínio e imagem de uma função

• Funções reais

• Função de 1.o grau

• Gráfico de uma função de 1.o grau

• Função crescente e função decrescente

• Raiz ou zero de uma função de 1.o grau

• Estudo dos sinais de uma função de 1.o grau

• Função de 2.o grau ou função quadrática

• Raízes ou zeros da função de 2.o grau


• Vértice de uma parábola

• Construção do gráfico de uma função de 2.o grau


• Estudo dos sinais de uma função de 2.o grau

• Função de 2.o grau

PLANOS DE AULA

A seqüência das aulas a seguir é ministrada em concordância com os

itens MANUAL DO PROFESSOR e METODOLOGIA, os quais apresentam

subsídios e estratégias para cada tópico do conteúdo apresentado em sala de

aula e seus respectivos objetivos.

Aula por aula

Aula 01

Na aula de número 01 é feita a apresentação do acadêmico juntamente

com a direção do colégio, bem como do projeto de estágio e a iniciação da

aplicação do mesmo. Nesta aula é apresentada a seguinte situação problema:

“Um funcionário tem seu salário relacionado com o número de horas

trabalhadas. Sabendo que ele recebe R$ 20,00 por cada hora trabalhada, qual

será o seu salário mensal, quando este trabalha 8 horas por dias de segunda a

sexta-feira em um mês de 31 dias?”.

Esse problema envolve o assunto funções, sendo resolvido juntamente

com os alunos, fazendo – os chegar às conclusões necessárias para o sucesso

da resolução do problema.

Com a obtenção do resultado, os alunos são instigados a relacionar o

assunto funções, com situações vivenciadas por eles mesmos.

Nesta mesma aula ocorrem à formalização e apresentação do assunto

funções de forma expositiva.

Aula 02, 03, 04 e 05

Na aula de número 02, são apresentados os diagramas de Venn,

frisando sempre a relação existente entre um elemento de um dado conjunto

com um outro elemento de outro conjunto. Essa representação é feita com o

auxílio do programa Flash6, que permite a construção de animações em duas e

três dimensões.

6 Flash. Programa de editoração gráfica.

Figura 017 Figura 02

A figura 1 representa os conjuntos A e B (domínio e contradomínio), e a

figura 2 a aplicação da função “f”, que relaciona cada elemento do conjunto A a

um único elemento do conjunto B, sendo ambas as imagens, parte da

animação desenvolvida em Flash pelo autor do projeto.

Na aula de número 03, são apresentadas as definições que diferenciam

os conjuntos domínio, imagem e contradomínio e nas aulas de número 04 e 05,

ocorrem a Modelagem e notação Matemática para funções do 1º grau,

juntamente com as técnicas de resolução de problemas e análise dos dados

obtidos.

Problemas propostos:

1. Seja f: N R definida por f(n) =n. Represente a função pode a partir do

diagrama de Venn-Euler e escreva os conjutos domínio e imagem:

Neste caso, Dom(f) =N e Im(f) = {1, 2, 3,...} ·.

7 Figura1 e 2. Imagens da animação para “Os Diagramas de Venn”, desenvolvida usando o programa Flash, vide Lista de Imagens.

2. Seja f: N R definida por f(n) =2n. Represente a função a partir do diagrama de

Venn-Euler:

3. A função f: N R definida por f(n) = an + b, está representada abaixo. Encontre

a função f para cada caso:

a)

Neste caso f(n) = 2n -1.

b)

Neste caso f(n) = 1/n.

c)

Neste caso f(n) = 3.

d)

Neste caso f(n) = 0.

Aulas 06, 07 e 08

Na aula de número 06, são analisados os resultados obtidos a partir da

construção dos gráficos de funções e alguns de seus pontos e características

principais (raízes, crescimento, decrescimento ou constância), utilizando o

programa Flash para animações, utilizando – se de recursos tecnológicos

visuais para um melhor aprendizado e compreensão.

Figura 03 Figura 04

Figura 05

O caderno para anotações e resoluções de exercícios, também aparece

como recurso para os alunos, sendo que várias observações feitas quanto aos

mecanismos de resolução de problemas envolvendo funções, são

apresentadas pelo acadêmico e registradas pelos alunos, sendo utilizadas no

decorrer das resoluções de exercícios propostos que exigem respostas

numéricas, bem como os que exigem construções gráficas.

As técnicas para resolução de problemas que envolvem funções do

segundo grau são apresentadas nas aulas de números 07 e 08, fazendo uso

de animações e recursos visuais e a partir da construção dos gráficos, verifica -

se seus pontos e características principais (raízes, pontos máximo e mínimo,

crescimento ou decrescimento).

Figura 06 Figura 07

Os problemas propostos a seguir foram elaborados com o programa

Super – Pro8 , sendo resolvidos em sala de aula, proporcionando discussões

com os alunos, com o intuito de fixar os mecanismos de resolução de

problemas e desenvolver nos alunos a praticidade e desenvoltura na tomada

de decisões em busca da solução.

Lista de exercícios sobre o assunto funções:

8 Super – Pro. Super Professor, Software educativo para elaboração de exercícios e avaliações.

Aulas 09, 10, 11 e 12

As aulas de números 09 e10 ocorrem no laboratório de informática, com

o uso da planilha de cálculos Excel e do programa Winplot para a construção

dos gráficos das funções do 1º e 2º graus bem como da posterior análise de

tais representações.

Os cálculos feitos com a planilha Excel e os gráficos construídos com o

Winplot são parte da solução dos problemas propostos a seguir:

Problemas propostos: 1. Construa o gráfico das funções com o Winplot e classifique – as quanto

a crescente, decrescente ou constante:

a) 3x + y = 1

b) f(x) = 2x – 1

c) y + (-2x) = 3

d) –[y + (-3x – 2)] = 0

e) y = -2

f) f(x) = x -1

Solução encontrada pelos alunos:

Figura 08

2. A empresa de móveis X apresenta o seu lucro dado pela equação y = 3x

– 9, onde y representa o lucro em centenas de reais e x a quantidade de

móveis produzidos. Determine:

a) O gráfico da função lucro

b) O lucro da empresa quando são produzidos 10 móveis

c) O lucro da empresa quando são produzidos 200 móveis

d) A quantidade de móveis a partir da qual a empresa começa a ter lucro

e) A quantidade de móveis necessários para se obter um lucro de R$

87.000,00

f) Quando a empresa produz 2 móveis o lucro é –R$ 300, 00, qual é o

significa desse resultado?

Solução apresentada pelos alunos:

Figura 09

Figura 10

3. Uma empresa de transportes cobra a taxa mínima de 30 reais para a

prestação de qualquer serviço e 2 reais por quilômetro rodado até o destino da

carga. A igualdade que expressa o valor V(d) do serviço em função da

distância d a ser percorrida é:

a) V(d) = 30d + 2

b) V(d) = 60d

c) V(d) = 2d + 30

d) V(d) = 32d

Solução apresentada pelos alunos: alternativa d.

4. Verifique graficamente se existem pontos em comum entre a função da

parábola f(x) = x2 + 4x – 3 e a reta f(x) = x +2. Em caso afirmativo, indique as

coordenadas dos pontos.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

yy = x̂ 2-1*x-6

y = x+2

(x,y) = (-2,0)

(x,y) = (4,6)

Pontos (-2 , 0) e (4 , 6).

Figura 11

Os simuladores de funções do segundo grau são utilizados nas aulas de

número 11 e 12. Esses simuladores estão disponível no endereço eletrônico da

Editora Positivo9 e Editora Saraiva10, respectivamente, sendo utilizados para

representar a trajetória que um projétil descreve ao ser lançado, podendo o

aluno alterar os coeficientes das funções, de maneira a atingir o objetivo.

9 Editora Positivo, www.portalpositivo.com.br. 10 Editora Saraiva, www.editorasaraiva.com.br.

No primeiro simulador os alunos alteram os coeficientes da função,

procurando atingir o canhão à direita.

Figura 12

Após várias tentativas, o objetivo é alcançado.

Figura 13

No segundo simulador, os alunos observam as trajetórias descritas pela

bola, sendo que eles mesmos, já haviam observado a curva (parábola) em

jogos realizados no colégio. Nesse simulador, os alunos podem alterar os

lances do jogador, de maneira a se atingir o objetivo, fazer o gol com apenas

um chute.

Figura 14

Figura 15

Aulas 13, 14, 15 e 16

Estas aulas são utilizadas para a resolução de exercícios do livro

didático da Rede Pitágoras de Ensino, do livro 8ª Série Matemática Fazendo a

Diferença, da editora FTD do autor José Roberto Bonjorno e do livro

Matemática oitava série da Editora Educacional dos autores Maria Cristina

Ponciano de Lima e Marilene Turíbia de Rezende TINANO, citados nas

referências deste relatório, sobre o assunto funções, sob o acompanhamento

do acadêmico autor do presente projeto.

Para mais detalhes, consulte o Livro didático da Rede Pitágoras de

Ensino, 8ª Série – 2008, páginas 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22 e 28,

das autoras Maria Cristina Ponciano de Lima e Marilene Turíbia de Rezende

TINANO, da Editora Educacional e o Livro 8ª Série Matemática Fazendo a

Diferença, páginas 94, 95, 101, 106, 107, 112, 113 e 120, do autor José

Roberto Bonjorno da editora FTD

Aulas 17 e 18

Nestas aulas ocorre a discussão sobre os resultados obtidos nos

exercícios proposto nas aulas de número 13 a 16. Alguns exercícios propostos

anteriormente, são refeito no quadro negro, pois em alguns casos a resposta

encontrada não condizia com o valor da solução real do problema. Neste

mesmo momento, o acadêmico esclarece as dúvidas encontradas pelos alunos

nos exercícios e também quantos às técnicas de resolução de problemas.

Figura 16 Figura 17

Aula 19

Nesta aula é feita uma revisão geral sobre os conteúdos ministrados nas

aulas anteriores.

Aula 20

Esta aula é reservada para a avaliação, de acordo com o item 5

FORMAS DE AVALIAÇÃO.

Avaliação elaborada com o uso do programa Super – Pro.

5 FORMAS DE AVALIAÇÃO

Quanto à avaliação, ela é um instrumento fundamental para fornecer

informações sobre como se está realizando o processo de ensino-

aprendizagem como um todo, tanto para o professor e a equipe escolar

conhecerem e analisarem os resultados de seu trabalho como para o aluno

verificar seu desempenho. A avaliação vista como um diagnóstico contínuo e

dinâmico torna-se instrumento para repensar e reformular os métodos ou

procedimentos de ensino.

O que avaliar e como avaliar?

A avaliação se utiliza de um aspecto global de aprendizagem, do

conhecimento absorvido e demonstrado, das habilidades desenvolvidas, da

comunicação na linguagem Matemática e da tomada de decisões em busca da

solução de um problema por meio de atividades práticas, provas, e desafios

matemáticos.

REFERÊNCIAS

BONJORNO, José Roberto. Matemática Fazendo a Diferença 8ª Série . São

Paulo: FTD, 2006.

CARVALHO, Dione Lucchesi. Metodologias do Ensino de Matemática . São

Paulo: Cortez, 1990.

COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensai os .

São Paulo: Editorial Grijaldo e USP. 1971.

LIMA, Maria Cristina Ponciano de; TINANO, Marilene Turíbia de Rezende.

Matemática oitava série , livro 2. Belo Horizonte – MG: Editora Educacional,

2008.

ROBERTO PETTRES

RELATÓRIO DE ESTÁGIO

MAFRA 2008

RESULTADOS

O término da elaboração e aplicação do presente projeto de estágio,

culminou com o levantamento de dados referentes à prática docente no ensino

fundamental. Esses dados são apresentados abaixo:

• Aprendizado, formalização e analogia a situações problema

vivenciadas pelos alunos envolvendo o assunto funções:

Os alunos da oitava série de oito anos do Colégio onde foi aplicado o

presente projeto de estágio, tiveram um bom desempenho em relação ao

conteúdo ministrado, compreendendo as técnicas de resolução de problemas e

posterior análise dos dados, possibilitando a discussão sobre os resultados

obtidos.

Vinte por cento das aulas ocorreram no laboratório de informática, com o

intuito de interpretar graficamente as funções descritas bem como seus pontos

e características principais (raízes, pontos máximo e mínimo, crescimento,

decrescimento ou constância).

Algumas dúvidas surgiram quanto à representação gráficas das funções

do segundo grau, sendo assim, o recurso computacional uma ferramenta que

possibilitou aos alunos uma melhor compreensão do significado dos pontos

máximos e mínimos das funções, bem como da existência ou não de suas

raízes.

A formalização e a adaptação à linguagem matemática ocorreram de

maneira espontânea, como parte das técnicas para resolução de problemas,

assim como, a analogia a outras situações vivenciadas ou observadas pelos

alunos.

• Metodologia em sala de aula:

A metodologia usada em sala de aula atingiu os objetivos específicos,

competências e habilidades a serem desenvolvidas pelo aluno, em relação ao

assunto funções numéricas, do Manual do Professor11, citados a baixo:

• Definir e reconhecer funções.

• Perceber a dependência entre grandezas.

• Reconhecer leis que definem funções.

• Indicar matematicamente uma função.

• Calcular valores e raízes de uma função.

• Construir, interpretar e analisar gráficos de funções.

• Reconhecer uma função de 1.o e de 2.o graus e seu gráficos.

• Avaliação sobre o conteúdo funções:

A avaliação sobre o tema apresentado de acordo com o item

Elaboração do Projeto / 5: Formas de Avaliação e ocorreu em todo o processo

de aprendizado, sendo verificado o conhecimento obtido pelos alunos em

relação ao conteúdo tratado na oitava série sobre funções. Conhecimento este,

absorvido e demonstrado, a partir da desenvoltura e habilidade observada

durante todo o processo de ensino aprendizagem, da comunicação na

linguagem matemática e da tomada de decisões em busca da solução para

problemas.

• Avaliação do estágio:

Todas as atividades propostas para o presente projeto de estágio foram

concluídas. Tendo contado e muito com o apoio e participação da Direção, da

Coordenação, do corpo docente e discente do Colégio Mafrense, bem como da

orientação do professor Orestes Hacke (Mestrado em Métodos Numéricos em

Engenharia – UFPR), que auxiliou na elaboração dos planos de aulas e no

esclarecimento das dúvidas em relação à elaboração do relatório de estágio.

O estágio supervisionado em relação à prática docente é de suma

importância para o acadêmico em formação, pois possibilita ao mesmo, o

11 Manual do Professor, citado anteriormente na página 02.

aperfeiçoamento profissional e o aprendizado prático indispensável para

lecionar, desenvolvendo mecanismos que tornem mais eficazes a metodologia

adotada em sala de aula e a maneira de se apresentar um conteúdo novo para

os alunos em formação.

ANEXOS

UNIVERSIDADE DO CONTESTADO – UnC CAMPUS MAFRA/RIO NEGRINHO/PAPANDUVA

FICHA DE AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DA PRÁTICA DOCENTE Curso de Licenciatura em Matemática

ALUNO(A): ROBERTO PETTRES 7ª FASE _____

DISCIPLINA: Estágio Supervisionado/Prática de Ensino I I DATA 31 / 07 /2008

ESCOLA: COLÉGIO MAFRENSE

Ensino Fundamental

( ) 5ª série ( ) 6ª. série ( ) 7ª. série ( X )8ª. série

Legenda/avaliação: E - Excelente O – Ótimo B – Bom R – Regular I - Insuficiente

NA – Não Avaliado

ASPECTOS A CONSIDERAR

OBSERVAÇÕES AVALIAÇÃO

INTRODUÇÃO DA AULA

APLICAÇÃO DO CONTEÚDO

UTILIZAÇÃO DE RECURSOS

SISTEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO

COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO

NOME E ASSINATURA DO PROFESSOR REGENTE






Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

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Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

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Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










COMUNICAÇÃO

MANEJO DE CLASSE

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Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

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Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

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Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO







Ensino Fundamental










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MANEJO DE CLASSE

FECHAMENTO


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Roberto Pettres FUNÇÕES ENSINO FUNDAMENTAL