ROBÓTICAHelder Anibal Hermini

Aula 3

Modelagem Cinemática de Robôs

Sistemas de Referência e

Transformação de Coordenadas

Transformação Homogênea

w

z

y

x

V

Um ponto V no espaço pode ser representado em coordenadas homogêneas por,

onde

321 vw

z , v

w

y , v

w

x

e w é o fator de escala real e não nulo.

Translação

É Possível transladar um ponto u nas direções X, Y, e Z ou em uma direção arbitrária, a partir da aplicação da relação

1000

z100

y010

x001

)z,y,trans(xT0

0

0

000

com a relação

v = T . u

Considere a transformação homogênea

Exemplo 1

1000

0100

0010

1001

T e o ponto

1

0

0

1

u

A transformação homogênea T, transforma o ponto u em um ponto v,

v = T. u =

1

0

0

2

1

0

0

1

1000

0100

0010

1001

Transladar o ponto v(1,0,0) de 1 unidade na direção X, 2 na direção Y e 3 na direção Z.

Exemplo 2

1

0

0

1

1000

3100

2010

1001

(1,2,3) transv

RotaçãoConsidere os pontos u e v , representados na figura.

Suas representações no plano são u(xu, yu) e v(xv,yv) respectivamente. Considere ainda que o ponto u foi transformado no ponto v, através de uma rotação, em torno da origem, de um ângulo , no sentido anti-horário.

2v

2v

2u

2u

1v

1v

1u

1u

yxyxr

senry

cosrx

e

senry

cosrx

1

2

3

4

rotação em z

Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as equações 3 e 4, tem-se

sen.senrcos.cosrx 11v sen.ycos.xx uuv

sen.cosrcos.senry 11v sen.ycos.yy uuv

5

6

As equações 5 e 6 podem ser escritas, então:

uuv ysenxcosx

uuv ycosxseny

ou na forma vetorial

u

u

v

v

y

x

cossen

sencos

y

x7

Para o espaço tridimensional a equação 7 pode ser reescrita na forma vetorial:

u

u

u

v

v

v

z

yx

.

100

0cossen

0sencos

z

yx

ou ainda em coordenadas homogêneas,

1

z

yx

.

1000

0100

00cossen

00sencos

1

z

yx

u

u

u

v

v

v

Resumindo, as matrizes transformação homogênea de rotação em torno dos três eixos são:

1000

0100

00cossen

00sencos

Z,Rot

1000

0cossen0

0sencos0

0001

X,Rot

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

Y,Rot

Modelagem Cinemática Direta e Inversa de Manipuladores

MODELO CINEMÁTICO DIRETO

VARIÁVEIS DAS JUNTAS

Problema Cinemático de Manipuladores

POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ

MODELO CINEMÁTICO INVERSO

POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ

VARIÁVEIS DAS JUNTAS

Problema Cinemático Direto

• Calcular a matriz de transformação homogênea que relaciona a i-ésima referência com a referência i-1. Para isto faz-se uso dos parâmetros de todas as juntas;

• Tendo ob tido todas as matrizes Ti-1i , obtém-se T0

n através de;

n1n

32

21

10

n0 T ... T.T.TT

• Como T0n depende das variáveis das juntas, o problema

cinemático direto se resolve com a obtenção da matriz de transformação homogênea que fornece posição e orientação da ponta do robô em relação a base.

Representação de Denavit-Hartemberg

Suponha que dois sistemas de coordenadas coincidentes, X0Y0Z0 e X1Y1Z1.

A transformação homogênea que relaciona esses sistemas é a matriz identidade

1000

0100

0010

0001

1T10

Representação de Denavit-Hartemberg

Provoca-se uma rotação de em relação ao eixo Z0, através da transformação

1000

0100

00cossen

00sen-cos

)z,ot(R 0

1000

0100

00cossen

00sen-cos

)z,ot(R . IT 010

A nova matriz é agora dada por

Representação de Denavit-Hartemberg

A seguir translada-se o sistema X1Y1Z1 de d unidades ao longo de Z1. A matriz fica então,

1000

d100

00cossen

00sen-cos

d0,0,Trans ).z,ot(RT 010

Representação de Denavit-Hartemberg

Translada-se o sistema X1 Y1

Z1 de a unidades ao longo do eixo X1. A nova matriz é dada por

1000

d100

00cossen

a0sen-cos

00,a,Trans . d0,0,Trans ).z,ot(RT 010

Representação de Denavit-HartembergFinalmente, provoca-se uma

rotação do sistema X1 Y1 Z1 de , em torno do eixo X1. Esta última transformação deixa a matriz como

1000

dcossen0

a.sen.cossen-cos.cossen

a.cos.sensen.sencos-cos

)x,ot(R.00,a,.Transd0,0,Trans ).z,ot(RT 1010

CONVENÇÃO DE DENAVIT-HARTEMBERG

Estabelece que a transformação homogênea Ai

entre quaisquer dois sistemas de coordenadas solidários a dois elos consecutivos, através de uma cadeia cinemática de um manipulador, composto de elos rígidos, separados por uma junta, pode ser escrita por até quatro matrizes de transformações homogêneas básicas.

Uma rotação de em torno de z1

Um deslocamento d ao longo do eixo z1

Um alongamento ao longo do eixo x

Uma rotação em torno do eixo x.

Passo 1: Estabelecer o eixo z dos sistemas de coordenadas de cada elo nos eixos de cada junta da estrutura, ou na direção do deslocamento das junta prismáticas.

Passo 2: Colocar a origem do sistema de coordenadas referencial, no eixo z da junta do primeiro elo.

Passo 3: Estabelecer a origem do sistema de coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos sistemas de coordenadas de cada par de elos para toda a estrutura.

Passo 4: Definir o eixo x de cada do sistema de coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos sistemas de coordenadas de cada par de elos para toda a estrutura, definido o sentido do eixo pela regra da mão direita do eixo de maior ordem para o de menor ordem.

Passo 5: Definir o eixo y de cada sistema de coordenadas pela regra da mão direita.

Passo 6: Definir o sistema de coordenadas da garra, conforme o passo 6 indicado na figura 2.2.

Passo 7: Estabelecer os 4 parâmetros da convenção de Denavit-Hartenberg, onde:

é uma rotação do eixo xi-1 para o eixo xi em torno de zi-1.

d é um deslocamento ao longo do eixo z i - 1, da origem o i -1 até o eixo xi.

a um alongamento ou comprimento ao longo do eixo xi da origem oi até o eixo z i -1.

é uma rotação do eixo z i - 1 ao eixo z i torno do eixo xi.

Passo 8: Determinar matrizes de transformações homogêneas entre cada par de elos.

Passo 9: Determinar matrizes de transformações homogêneas entre cada par de elos e a base. A matriz de transformação homogênea entre o elemento final e a base define o modelo cinemático direto do robô.

Ti = A1 . A2 ... An

1000

dcs0

sascccs

casscsc

Aiii

iiiiiii

iiiiiii

i

Se a junta for rotacional

Se a junta for prismática

1000

dcs0

0scccs

0sscsc

Aiii

iiiii

iiiii

i

Exemplo de Exemplo de Implementação de Implementação de estabelecimento de estabelecimento de

parâmetros pelo método parâmetros pelo método de Denavit-Hartembergde Denavit-Hartemberg

Parâmetros D – H para o Robô PUMA 560

Matrizes de transformação homogênea para o Robô PUMA 560

Um sistema Articulado pode ser representado matemáticamente por n corpos móveis Ci (i = 1, 2,..., n) e de um Corpo fixo, acoplado por n articulações, formando uma estrutura em cadeia, e as juntas podem ser rotacionais ou prismáticas. Para representar as situações relativas dos vários corpos da cadeia, é fixado para cada elemento Ci um referencial Ri.

DEFINIÇÃO DE SISTEMAS DE COORDENADAS PARA MODELOS ARTICULADOS

A Matriz de Transformação de Coordenadas

Xi, Yi, Zi Sistema de Referência

Li Vetor de Translação

Oi Origem

DESCRIÇÃO MATEMÁTICA

Podemos relacionar um certo referencial Ri+1 (oi+1, xi+1, yi+1, zi+1) com um previamente Ri (oi, xi, yi, zi), como também as coordenadas de sistema de origem básico por

o i+1 = oi + A i,i+1 * Li

Onde A é a matriz de Orientação

Ai, i+1 = A1, 2. A2, 3. ... A i, i+1

Onde Li é o vetor de translação entre uma origem e a outra.

Especificações de Posição e Orientação do Efetuador

Já foram vistas três coisas muito importantes, no que diz respeito à cinemática de robôs, a saber:

No efetuador é alocado um sistema de referência (o último da cadeia cinemática), tal que se possa relacioná-lo com a base, através de uma matriz de transformação homogênea. No caso de um robô com seis graus de liberdade, esta matriz é dada por

É possível relacionar dois sistemas de referências, através de uma matriz de transformação homogênea;

Para um robô com n graus de liberdade, aloca-se um sistema de coordena das em cada junta e calcula-se a matriz de transformação homogênea que relaciona o último sistema de referência com a base ;

1000

paon

paon

paon

Tzzzz

yyyy

xxxx

60

n = [ nx ny nz ] T Vetor normal do efetuador e tem direção ortogonal aos

vetores o e a;

s = [ sx sy sz ] T Vetor de deslizamento e aponta na direção dos movimentos de

abertura e fechamento dos dedos da mão;

a = [ ax ay az ] T Vetor de aproximação e aponta na direção normal a palma da

mão;

p = [ px py pz ]T Vetor posição e aponta da origem do sistema de coordenadas

da base até a origem do sistema de coordenadas da mão.

Ângulos de Euler e RPY

A matriz de orientação espacial de um robô poderá ser expressa através das componentes dos versores de orientação n, s e a, ou através de três ângulos. Normalmente em aplicações industrias são utilizados ângulos Euler ou RPY (Roll, Pitch e Yaw) para descrição da orientação de um corpo rígido no espaço.

z,ROT . θy,ROT . ψz,ROTθ,ψ,EULER

Ângulos de Euler

CÁLCULO DOS ÂNGULOS DE EULER A PARTIR DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO

(, , )

CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS ANGULOS DE EULER

(, , )

ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR

θCθSSθCS

ψSθSψCCψCθSSψSCψSθCS

θCψSψCSψCθSψCψSSψCθCC

θ,ψ,EULER

(14)

2ATANy

x

a-a

Z

yx2ATANa

aC-as

yx

yx

nSnC

SS2ATAN

aC-

Ângulos RPY

z,ROT . θy,ROT . z,ROTθ,,PYR

CÁLCULO DOS ÂNGULOS RPY A PARTIR DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO

(, , )

CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS ANGULOS RPY

(, , )

ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR

2ATANx

y

n

n

yx

Z

nSnC

n2ATAN

yx

yx

sCsS

C2ATAN

aaS

Problema Cinemático Inverso A necessidade da obtenção de referências em coordenadas angulares,

correspondentes a tarefas definidas no espaço cartesiano é expressa matematicamente pela inversão do modelo geométrico, isto é:

= f -1 ( x )

• A função f é não linear e composta de soma de produtos de senos e cosenos das coordenadas generalizadas

• Como f é não linear não se pode garantir a existência e/ou a unicidade de uma função inversa f -1

• Os métodos de solução do problema da inversão do modelo

geométrico são: • Métodos analíticos: • Métodos numéricos iterativos

• A transformação de coordenadas de um robô com n graus de liberdade revolutos pode ser formulada de forma que, a partir de uma configuração inicial do robô, na qual a suas variáveis articulares po são conhecidas, a posição completa de seu

elemento terminal Xo será conhecida a partir do modelo do

sistema.

• A mudança de coordenadas consistirá de um funcional que descreverá a correspondência existente entre a cadeia cinemática para um conjunto de variáveis articulares p e sua posição X correspondente.

x – x o = F ( q – q o )

Modelagem Cinemática Inversa

1

• No caso da transformação inversa de coordenadas, uma determinada posição X do volume de trabalho do robô será atingida a partir de uma posição de repouso xo (obtenção dos

ângulos Roll, Pitch, Yaw ou de Euler, a partir da matriz de orientação espacial). Esta equação não apresentará uma solução única, e a mesma poderá ser utilizada para o controle cinemático de mecanismos.

Modelagem Cinemática Inversa

(q - qo) = F-1 (x – xo)

• A transformação inversa que é muito complexa, não apresentando uma solução única. Para eliminarmos as indeterminações que aparecem no problema inverso, utiliza-se geralmente a matriz jacobiana, onde a mesma poderá ser utilizada para o controle cinemático de mecanismos.

2

Matriz Jacobiana • Dada uma configuração inicial qo e Xo

de um robô, as coordenadas X do

elemento terminal são descritas pela equação (2). Para pequenos deslocamentos x associados aos deslocamentos das variáveis articulares q podemos escrever:

X m1 = J mn q n1 3

• A matriz Jacobiana J() será definida como:

jij,i qFJ 4

que poderá ser construída a partir das relações cinemáticas que descrevem a arquitetura do robô

n21nm

n2122

n2111

q...q,qFX

.......... ...

q...q,qFX

q...q,qFX

5

• A matriz Jacobiana J() será definida como:

Matriz Jacobiana

n

mmm

n

n

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

q

Fq

F

q

F

q

F

qJ

......

...............

......

......

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Para uma robô, as coordenadas de seu elemento terminal serão descritas através de um vetor posição X (x, y, z) e sua orientação definida a partir de três ângulos (, , ).

6

Inversão da Matriz Jacobiana (Controle de Posição de uma prótese)

• O controle de uma prótese antropomórfica no espaço de juntas necessita de uma transformação inversa de coordenadas (F-1). Esta transformação poderá ser realizada a partir da inversão da matriz Jacobiana:

q n1 = J# (q) mn X m1 7

• Matematicamente, a relação 7 indica a variação do incremento q das variáveis articulares para um dado deslocamento X do elemento terminal do robô. Como a posição atual de cada articulação qi atual é perfeitamente conhecida (através dos sensores

de posição), a partir da utilização da equação (7) de modo iterativo e recalculando J(q) a cada passo de iteração, uma trajetória X(t) poderá ser realizada num determinado tempo, em função da variação dos ângulos das juntas qi atual + qi.

Malha de Controle de Posição

A partir da comparação da posição atual do robô X (valor calculado a partir da posição atual X atual obtidas das informações de

posições dos sensores de juntas ou da sinapse neural) e sua posição de referência Xd, um sinal de erro é amplificado e transformado em termos

de coordenadas articulares q a partir do cálculo de J# (q). O sinal de erro é integrado e depois utilizado como sinal de entrada para controle das variáveis articulares da prótese.

Malha de Controle de Posição

Finalmente, a obtenção da matriz Jacobiana, utilizada no método recursivo para o cálculo do modelo cinemático inverso, é uma forma multidimensional da derivada e relaciona a velocidade no espaço de juntas à velocidade no espaço cartesiano. A sua solução deverá ser encontrada em tempo real através da utilização de algoritmos numéricos, onde será aproximada por x = J. q .

Metodologia da Inversa Generalizada • Em muitos casos, a solução de um sistema de equações lineares existe,

mesmo quando a inversa da matriz não existe. Este problema e muitos outros podem ser resolvidos através do conceito da pseudoinversa, ou matriz inversa generalizada.

i)     Deve reduzir-se a A-1 se A é não singular;

ii)    Deve sempre existir;

iii)  Deve possuir algumas das propriedades da inversa (ou modificações destas);

iv)  Quando usadas no lugar da inversa, deve ser capaz de proporcionar respostas sensíveis para questões importantes tais como consistência das equações, ou soluções dos mínimos quadrados.

• A matriz inversa generalizada de uma matriz A deve atender a algumas das seguintes propriedades para obter sucesso:

• Moore e Penrose definiram a pseudoinversa de uma matriz A # como sendo a única solução para:

A A # A = A A # A A # = A(A A# ) t = A

A#

(A A# ) t = A# A

Metodologia da Inversa Generalizada

8