Rosângela Cruz da Silva Salgado - UEPAccse.uepa.br › ... › 05 › rosangela_cruz_da_silva_salgado.pdfQuadro 12- Relação entre a dificuldade para aprender matemática e o domínio

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação-Mestrado

Rosângela Cruz da Silva Salgado

O ensino de números inteiros por meio de atividades comcalculadora e jogos

Belém 2011


O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos

Dissertação apresentadacomo requisito parcial para a obtenção do titulo de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduaçãoem Educação, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Formação de Professores. Orientador:Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Belém 2011

Dados Internacionais de catalogação na publicação Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Salgado, Rosângela Cruz da Silva

O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos. / Rosângela Cruz da Silva Salgado. Belém, 2011.

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

Orientação de: Pedro Franco de Sá.

1. Matemática – Estudo e ensino 2. Teoria dos números 3. Máquinas de calcular 4. Educação matemática e jogos I. Sá, Pedro Franco de (Orientador) II. Título.

CDD: 21 ed. 510.7


O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos

Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do titulo de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Formação de Professores.

Data de aprovação: 27/12 /2011 Banca Examinadora: __________________________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará

___________________________________________ - Membro Externo Profª Claudianny Amorim Noronha Doutora em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte

____________________________________________- Membro Interno Prof. Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará

____________________________________________ - Examinador Suplente Profª Marta Genú Soares Aragão Doutora em Educação Universidade do Estado do Pará

Aos meus pais, Pedro e Lucimar que sempre me fizeram

acreditar na realização dosmeus sonhos

e no valor da educação;

Aos meus filhos Paulo e Joãopor iluminarem meus dias e

encherem minha vida de alegria, sobretudo nestes

dois anosdedicados ao mestrado;

Ao meu esposo Marcos pelo amor, compreensão e apoio;

Aos meus irmãos que sempre torceram por mim e

se alegraram com minhas conquistas.

AGRADECIMENTOS

A Deus todo poderoso, força que me impulsiona em todos os momentos de minha vida. Ao Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, por sua sabia e paciente orientação, mas acima de tudo, por ser um profissional dedicado e compreensivo. A Prof. Dra. Claudianny Amorim Noronhapelas valorosas contribuições por ocasião da qualificação. Ao Prof. Dr. Fábio José da Costa Alvespelas valorosas contribuições por ocasião da qualificação. Aos professores e funcionários do PPGED, Jorge, Francisco, Elizete e Gracinda, pelas contribuições e por terem me possibilitado ampliar meus conhecimentos. Ao meu esposo, Marcos Alexandre, por estar comigo em todos os momentos alegres e difíceis desta trajetória acreditando em minha capacidade, enchendo-me deamor, conforto e apoio para prosseguir esta jornada. Aos meus filhos, Paulo e João, que mesmo sendo muitopequenos compreenderam a necessidade de minhas ausências e alegraram minha vida nos momentos mais difíceis. Aos meus pais, por me fazerem acreditar no valor da educação e pelo amor e assistência dada aos meus filhos nos momentos em que eu e meu marido não podíamos está presente. Aos meus irmãos, parentes e amigos que de uma forma ou de outra incentivaram e contribuíram para a realização deste trabalho. Aos amigos que fiz no mestrado,em especial, a Hellen e o Andrey, com quem tive valorosas conversas durante essa caminhada e de quem recebi grande ajuda e contribuição para a conclusão deste trabalho. Aescola onde foi realizada a pesquisa e a professora Nazaré do S. M da Silva que gentilmente cedeu-me sua turma para a realização da pesquisa. Aos alunos do 7º anodo ensino fundamental que tornaram possível a realização desta pesquisa. A Secretaria de Educação do Estado do Pará pela ajuda financeira através da bolsa/mestrado. A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho, em especial, a Vera por sua dedicação e cuidados com meus filhos.

Muito obrigada!

[...]ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidadespara a sua

própria produção ou a sua construção.

Paulo Freire

RESUMO

SALGADO, R. C. da S. Oensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos. 2011. 272 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

Estetrabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo investigar se o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos, proporciona uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º anodo ensino fundamental. Adotamos como aporte teórico a teoria das situações didáticas de Guy Brousseau e, como metodologia, a engenharia didática, estando às seções deste estudo organizadas segundo as etapas dessa metodologia. Assim, a partir das informações obtidas com o conjunto de estudos e pesquisas contidos nas análises preliminares, elaboramos uma sequência didática composta de vinte e quatro atividades e cinco testes diagnósticos que foram analisados a priori e aplicados a 32 alunos do 7º ano de uma escola pública estadual da cidade de Belém do Pará, sendo desenvolvidos em dezessete sessões de ensino. As análises a posteriori evidenciaram que é perfeitamente possível que os alunos descubram e enunciem as regras para operar com números inteiros sem que o professor as tenha que apresentar e,também, que o desempenho dos alunos do 7º ano na realização das operações com números inteiros,quando trabalhado didaticamentepor meio de atividades mediadas pela calculadora e jogos é superior ao desempenho quando ensinado por meio da exposição oral seguida de exemplos e exercícios. Na comparação entre os resultados do pré-teste e pós-teste geral, contendo as mesmas questões e aplicados aos sujeitos da pesquisa, observamos aumento considerável no percentual de acertos. O mesmo ocorreu na comparação entre os resultados doteste aplicado aos alunos egressos do 7º ano que, em sua maioria, recebeu ensino pautado na exposição oral seguida de exemplos e exercícios e o pós-teste mencionado, tendo estes as mesmas questões. Tais resultados nos permitiram a concluir que a sequência de ensino favoreceu o aprendizadoe contribuiu para que habilidades úteis ao desenvolvimento dos alunos fossemdespertadas e/ou aprimoradas, implicando, consequentemente, no melhor desempenho dos alunos do 7º ano.

Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Uso Didático da Calculadora. Ensino das Operações com Números inteiros. Jogos.

SALGADO, R. C. da S. THE INTEGER TEACHING THROUGH ACTIVITIES WITH CALCULATORS AND GAMES. 2011. 272 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

This paper shows the results that aimed to investigate if integer teaching through

activities with calculators and games propitiated a significant favorable learning to

7thofelementary education. We adopted the didactic situation theory of Guy Brosseau

and the didactic engineering methodology. The paper is organized according to the

stages of this methodology. From the information collected from studies and

researches present in the preliminary analysis, we elaborated a didactic sequence

with twenty four activities and five diagnostic tests that were applied a priori to 32 7th

grade students from a state public school in Belém,Pará. That was developed in

seventeen teaching sessions. The posteriori analysis showed that it is perfectly

possible for the students to find out the rules to operate with integers without being

exposed to these rules by the teacher. It was also observed that the 7th grade

students‟ performance related to integer operations when they worked didactically

through activities mediated by the calculator and by games was superior to the

performance when they are taught through oral expositions that used examples and

exercises. In the comparison between pre-tests and post-tests containing the same

questions applied to the students in the research, we observed a considerable score

rise. The same happened when we compared the results of the test applied to

students who had already finished the 7th grade. The majority of them received an

oral teaching followed by examples and exercises and the post-test

aforementionedalso containing the same questions. The analysis of results made us

conclude that the teaching sequence facilitated learning and contributed to the

developmentofuseful skillsstudentswerearoused and/or enhanced, resulting

thereforein better performanceof students in7thgrade.

Key-words: Education, Math education. Calculator didactic use. Integer teaching.

Games.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Gráfico 1 Métodos usados para introdução dos conteúdos sobre

números inteiros

73

Gráfico 2 Recursos usados pelos professores na fixação dos

Conteúdos 73

Fotografia 1 Calculadora usada narealização das atividades

Gráfico 3 Distribuição das idades dos alunos do 7º ano

Gráfico 4 Outra ocupação dos alunos

Gráfico5 Instituições onde os alunos cursaram o 6º ano

Gráfico 6 Mora no bairro onde está localizada a escola

Gráfico7Alunos repetentes ou em dependência

Gráfico 8Gosto dos alunos pela matemática

Gráfico9Grau de dificuldade para aprender matemática

Fotografia 2 Alunos resolvendo as atividades de adição

Fotografia 3 Alunos socializando suas conclusões sobre a adição

Fotografia 4 Alunos socializando as regras para multiplicação por zero

Fotografia 5Grupo desenvolvendo a atividade

Fotografia 6Conclusões dos alunos sobre a divisão com inteiros de

mesmo sinal

Fotografia 7Grupos aplicando a estratégia

Fotografia 8 Alunos socializando suas conclusões sobre

potenciação com expoente par

Fotografia 9 Equipes desenvolvendo o jogo da trilha das potências

Gráfico 10Percentual de acertos, por alunos, no pré-teste

Gráfico 11 Variação do tempo gasto nas atividades de adição

Gráfico 12Média de acertos dos alunos, por bloco de questões

Gráfico 13Desempenho da turma no pré- e pós-teste de adição

Gráfico 14 Variação do tempo gasto nas atividades de multiplicação e

divisão

Gráfico15Média de acertos por bloco de questões

Gráfico 16Desempenho da turma no pré e pós-teste de multiplicação

Gráfico 17Média de acertos por blocos de questões de divisão

74

103

142

142

143

143

144

145

145

155

157

173

175

181

196

198

205

212

216

220

221

227

231

231

233

Gráfico 18 Desempenho da turma no pré e pós- teste de divisão

Gráfico 19 Demonstrativo do desempenho de cada aluno no pré e

pós-teste parcial

Gráfico 20 Variação do tempo gasto nas atividades de potenciação

Gráfico 21 Desempenho de cada aluno do 7º ano no pré-teste e pós-

teste geral

Gráfico 22 Comparação do desempenho de cada aluno do 7º ano nos

Testes realizados durante a experimentação

231

237

242

250

254

LISTA DE QUADROS Quadro 1- Formas de introdução da adição de inteiros e as regras

sistematizadas

Quadro 2- Formas de introdução da multiplicação e as regras

sistematizadas

Quadro 3-Obstáculos e dificuldades

Quadro 4- Vantagens do uso da calculadora em sala de aula

Quadro 5- Desafios para o uso da calculadora em sala de aula

Quadro 6- Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na

percepção dos professores

Quadro 7- Avaliação quanto ao grau de dificuldade de aprendizado

dos números inteiros, segundo os discentes

Quadro 8-Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes

sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos nopré-

teste

Quadro 9- Relação entre o gosto dos alunos pela matemática e a

dificuldade dos alunos para compreendê-la.

Quadro 10- Relação entre dificuldade e hábito de estudo fora da escola

Quadro 11- Relação entre a dificuldade para aprender matemática

e a atenção dos alunos às aulas de matemática


e o domínio da tabuada

Quadro 13- Operações que oferecem mais dificuldades


e as notas bimestrais dos alunos do 7º ano

Quadro 15- Cronograma das sessões de ensino na experimentação

Quadro 16-Regras construídas pelos alunos para adição entre dois

inteiros de sinais iguais


inteiros de sinais diferentes


inteiros opostos

38

39

45

67

68

76

83

85

146

146

147

148

148

149

151

157

161

164

Quadro 19-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia

09/05/2011


11/05/2011

Quadro 21- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação

entre dois inteiros de sinais diferentes

Quadro 22-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação

entre dois inteiros de sinais iguais

Quadro 23-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de

inteiros por zero


13/05/2011

Quadro 25-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de

inteiros por (-1)

Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois

inteiros com sinais iguais


16/05/2011

Quadro 28-Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois

inteiros de sinais diferentes

Quadro 29-Regras construídas pelos alunos para a divisãode inteiros

por (-1)

Quadro 30- Regras construídas pelos alunos para a divisão de zero

Por um inteiro


18/05/2011


20/05/2011

Quadro 33-Regras construídas pelos alunos para a potenciação de

inteiros com expoente par

Quadro 34-Regras construídas pelos grupos para a potenciação de

inteiros com expoente impar

165

168

170

171

173

176

178

181

183

185

186

188

189

192

199

201

Quadro 35-Regras construídas pelos alunos para a potenciação de

inteiros com expoente zero


17/06/2011


20/06/2011

Quadro 38-Resultados obtidos no pré-teste

Quadro 39-Desempenho da turma em cada bloco de questões

Quadro 40-Desempenho individual dos alunos na realização do pós-

teste de adição

Quadro 41-Desempenho da turma por bloco de questões de

multiplicação

Quadro 42-Desempenho da turma por bloco de questões de divisão

Quadro 43-Desempenho individual dos alunos no pós-teste de

multiplicação e divisão.

Quadro 44-Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-

teste sobre adição, multiplicação e divisão.

Quadro 45-Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas

sessões referentes ao ensino das operações de adição,

multiplicação e divisão de inteiros

Quadro 46- Percentual de questões certas, erradas e nãoresolvidas no

pré e pós-teste geral

Quadro 47- Comparação do desempenho dos 32 alunos do 7º ano e os

100 alunos egressos desta série na resolução dos testes,

que continham as mesmas questões

Quadro 48- Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré

e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e

potenciação

Quadro 49- Relação da freqüência nas sessões de ensino e

desempenho nos pós-testes

203

204

206

210

219

221

230

232

234

237

238

244

247

248

251

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

1 ANÁLISES PRELIMINARES

1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS

1.2 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM

DOS NÚMEROS INTEIROS

1.2.1 Abordagem, compreensão e construção do conhecimento de

números inteiros conferidos por livros didáticos e por

professores

1.2.2 Dificuldades e erros dos alunos em relação aos números

inteiros

1.2.3 Uso de jogos e tecnologias para o ensino de números inteiros

1.3 REFLEXÕES SOBRE O USO DA CALCULADORA E DE JOGOS

PARAO ENSINO DE MATAMÁTICA

1.3.1 A calculadora na sala de aula

1.3.2 O jogo na sala de aula

1.4 O ENSINO E APRENDIZAGEM DE NÚMEROS INTEIROS NA

VISÃO DE DOCENTES

1.5 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS INTEIROS NA

VISÃO DOS DISCENTES

2 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

2.1 SESSÃO 1: CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS

SUJEITOSDA PESQUISA

2.2 SESSÃO 2: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE

NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS

2.2.1 Atividade de adição entre dois números inteiros com sinais

iguais

2.3 SESSÃO 3: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃODE

NÚMEROSCOM SINAIS DIFERENTES E SIMÉTRICOS

2.3.1 Atividade de adição entre dois números inteiros de sinais

diferentes

2.3.2 Atividade de adição entre dois números inteiros opostos

19

30

30

34

35

43

49

61

62

68

71

80

89

92

102

103

105

105

107

2.4 SESSÃO 4: PRATICANDO E AVALIANDO CONHECIMENTOS

SOBRE A ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

2.4.1 Baralho para adição entre dois números inteiros

2.4.2 Pós- teste de adição

2.5 SESSÃO 5: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A

MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS E

DIFERENTES

2.5.1 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de

sinais diferentes

2.5.2 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de

sinais iguais

2.6 SESSÃO 6: CONSTRUINDO OS ALGORITMOSPARA A

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZEROE POR (-1)

2.6.1 Atividade de multiplicação de número inteiro por zero

2.6.2 Atividade de multiplicação de um número inteiro por (-1)

2.7 SESSÃO 7: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO

DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS E DIFERENTES

2.7.1 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais

iguais

2.7.2 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais

diferentes


DIVISÃO DE ZERO POR UM INTEIRO E DE UM INTEIRO POR (-1)

2.8.1 Atividade de divisão de zero por um número inteiro

2.8.2 Atividade de divisão de um número inteiro por (-1)

2.9 SESSÃO 9: PRATICANDO OS ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO

EDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

2.9.1- Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros

2.9.2 Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros

2.10 SESSÃO 10: VERIFICANDO CONHECIMENTOS SOBRE A

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

2.10.1 Pós- teste de multiplicação e divisão

2.11 SESSÃO 11: REVISANDO AS OPERAÇÕES TRABALHADAS

108

108

111

112

112

114

114

115

116

117

117

118

119

119

120

121

121

122

123

123

128

2.11.1 Atividade escrita de revisão das regras da adição,

multiplicação e divisão

2.11.2 Baralho de regras

2.11.3 Baralho para adição, multiplicação e divisão com números

inteiros

2.12 SESSÃO 12: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS

REGRAS DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃOE

DIVISÃO

2.12.1 Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)


POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE PAR

2.13.1- Atividade de potenciação de números inteiros com expoente

par


POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE IMPAR

NULO

2.14.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente

impar

2.14.2 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente

zero

2.15 SESSÃO 15: PRATICANDO AS REGRAS PARAPOTENCIAÇÃO

2.15.1 Trilha de potenciação de números inteiros

2.15.2 Atividade escrita de revisão das regras para potenciação

2.16 SESSÃO 16: REVISITANDO TODAS AS REGRASCONSTRUÍDAS

2.16.1 Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e

potenciação de números inteiros

2.16.2 Exercitando as regras para as operações estudadas

2.17 SESSÃO 17: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBREAS

REGRASDAS OPERAÇÕES TRABALHADAS

2.17.1 Pós-testes geral

3 EXPERIMENTAÇÃO

3.1 ESCOLA

3.2 O PERFIL DOS SUJEITOS DA PESQUISA

128

129

130

130

131

131

132

133

133

134

135

135

137

137

138

138

139

139

140

140

141

3.3 O EXPERIMENTO

3.3.1 Primeira sessão

3.3.2 Segunda sessão

3.3.3 Terceira sessão

3.3.4 Quarta sessão

3.3.5 Quinta sessão

3.3.6 Sexta sessão

3.3.7 Sétima sessão

3.3.8 Oitava sessão

3.3.9 Nona sessão

3.3.10 Décima sessão

3.3.11 Décima primeira sessão

3.3.12 Décima segunda sessão

3.3.13 Décima terceira sessão

3.3.14 Décima quarta sessão

3.3.15 Décima quinta sessão

3.3.16 Décima sexta sessão

3.3.17 Décima sétima sessão

4 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1














151

151

152

160

166

168

177

184

190

193

193

194

196

196

200

204

207

208

209

209

213

215

218

223

225

227

228

229

235

235

236

240

241




5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

REFERÊNCIAS

APÊNDICE A

APÊNDICE B

APÊNDICE C

APÊNDICE D

APÊNDICE E

APENDICE F

APÊNDICE G

APÊNDICE H

APÊNDICE I

APÊNDICE J

APÊNDICE K

APÊNDICE L

APÊNDICE M

APÊNDICE N

APÊNDICE O

APÊNDICE P

APÊNCIDE Q

243

244

244

256

260

265

267

270

272

275

280

284

286

287

291

295

296

299

300

301

305

306

19

INTRODUÇÃO

Ao iniciarmos este trabalho optamos em socializaralguns momentos denossa

história de vida escolar e denossa trajetória docente, por considerarmos que

arealização deste estudo está diretamente relacionada a essas etapas de nossa

vida.

Nossa trajetória de vida escolarinicia-se com a orientação educacional

recebida de nossos pais, pessoas simples que mesmo não conseguindo avançar

nos estudos1 por morarem no interior e em condições bem difíceis, sempre

acreditaram na educação como o caminho pelo qual eu e meus irmãos

conseguiríamos ter condição de vida melhor do que àquela que tiveram. Ainda

recordamos como eles se esforçavam e sacrificavam para que nós pudéssemos

frequentar e permanecer na escola. Mesmo com todas as dificuldades

acompanhavam nossos passos ajudando-nos no limite de suas possibilidades.

Foram muitos os momentos em que os ouvia dizer que a única herança que

poderiam nos deixar e que ninguém poderia tirar era a educação. Hoje sabemos que

tinham razão.

Concordamos com Ricotta (2006, p. 24) quando diz que a escola

conduz nossas atitudes, de modo a compreendermos o que é importante para nós com base nas escolhas que somos capazes de fazer. É na escolarização que temos possibilidades de crescer e ganhar a autonomia necessária para a nossa sobrevivência.

A escola sempre foi muito importante em nossa vida, não só pela aquisição

de saberes formais, mas também, para que pudéssemosnos desenvolver social e

culturalmente. No entanto, nunca nos sentimos motivados a ser professora,

considerávamos esta profissão muito difícil e pouco remunerada. Todavia, alguns

acontecimentos em nossa trajetória de vida acabaram por conduzir-nos à docência,

levando-nos a fazer opção por uma disciplina que foi, em nossa infância, a mais

difícil de aprender: a matemática.

Assim como para vários alunos, hoje, a matemática também era considerada

por nóscomo a pior “matéria” para se aprender, tudo parecia muito difícil e

1 Minha mãe só conseguiu concluir o Ensino Médio aos 50 anos e meu pai só conseguiu ir até o 5º ano do Ensino

fundamental.

20

complicado. Além disso, os métodos de ensino usados por alguns professores que

tivemos até a então 7ª série(hoje 8º ano do ensino fundamental) acabavam por

contribuir para a afirmação desta imagem.

Somente quando chegamos ao 8º ano, estudando na escola Lauro Sodré2,

percebemos que as coisas começavam a mudar em relação a esta disciplina.O

professor que tivemos era alguém apaixonado por matemática e pelo magistério e a

forma como ele fazia a matemática parecer interessante nos contagiava e nos fazia

querer aprender aquela “matéria”. Seu método era bem dinâmico, fazia atividades

em grupo, promovia competições envolvendo os assuntos ministrados, ensinava

com uma calma e atenção aos alunos que fazia esta ciência parecer mais simples.

Nós, alunos, sentíamos que ele se importava com nosso aprendizado, estava

sempre trazendo novas questões, nos fazendo desafios e tornando as aulas mais

interessantes.

Ricotta (2006, p. 82) afirma que “o tato do profissional traduz-se na habilidade

em estabelecer um bom clima e proporcionar aos alunos a experiência de sentir-se

„bons‟ e aprenderem com sucesso”. Talvez ele não soubesse, mas era exatamente

isso que fazia conosco.

A partir de então, passamos a nos interessar mais por esta disciplina, tanto

que quando chegamos ao ensino médio e precisamos escolher uma área3 para

cursar, optamos pelas ciências exatas, isto porque, já nos identificávamos com a

matemática. Contudo, continuávamos sem cogitar a idéia de ser professora. As

notícias sobre a desvalorização financeira da profissão e o descaso dos órgãos

governamentais para com os professores e as escolas públicas faziam-nos recusar

ainda mais esta ideia.

Quando precisamos escolher um curso para prestar vestibular, decidimos

escolher licenciatura em matemática na FEP4 como experiência5, e ciência da

computação na UFPA6, curso que realmente desejávamos fazer, já que era um

curso novo e em expansão, além de prometer uma carreira bem remunerada.

Prestamos vestibular nas duas instituições, mas só conseguimos aprovação na FEP.

2 Escola pública estadual

3Nesta época o ensino médio com as áreas de CB (ciências Biológicas), CE (ciências exatas) e CH (ciências humanas) 4 Faculdade Estadual do Pará, depois transformada em Universidade do Estado do Pará (UEPA).

5 Neste ano (1972) as provas da UEPA e UFPA não coincidiram.

6 Universidade Federal do Pará.

21

Então resolvemos que iríamos cursar matemática naquele ano e no ano seguinte

tentaríamos novamente o curso de ciências da computação.

Todavia,quando começamosa frequentar as aulas nossos planos começaram

a tomar outro rumo, isso porque, com o passar dos meseso curso nos parecia mais

interessante.Sentíamos que estávamos aprendendo bastante sobre aquela que tinha

sido a pior disciplina para nós no passado.

Mas foram os estágios, realizados no 3º e 4º anos do curso, e as aulas

particulares que começamos a ministrar a partir do 2° ano,que nos fizeram desistir

da ideia de abandonar a licenciatura. O contato com os alunos e a resposta deles ao

que ensinávamos,começavam a despertar nosso interesse em querer seguir a

carreira docente. As discussões proporcionadas em disciplinas como: didática,

psicologia da educação e instrumentação do ensino, bem como, a participação nas

semanas acadêmicas, também tiveram muita importância na afirmação de nossa

escolha.

Recordamos que uma dessas semanas nos marcou bastante,porque

possibilitouque realizássemos junto com outrosdois colegas, uma oficina com alunos

do ensino fundamental da escola de aplicação da universidade.Nesta oficina

trabalhamos o ensino de retas e segmentos de reta por meio de dobraduras. Foi

uma experiência bastante importante para nós, porque além de ser nossa primeira

experiência em sala de aula, antes de iniciarmos os estágios, também nos fez notar

que aquela forma de ensinar, despertava o interesse e auxiliava no aprendizado

daqueles educandos.

Quando começaram os estágios, fomos direcionados a escola NPI7 onde, no

decorrer de dois anos, tivemos oportunidade de trabalharcom todos os anos finais

do ensino fundamental e com projetos educacionais para jovens e adultos carentes

do entorno da escola, proporcionando-nos a chance de vivenciar experiências que

nos ajudaram a iniciar o nosso processo de identidade com a profissão docente.

Concordamos com Tardif (2008) quando se refere aos saberes como algo que

é construído num processo que implica aprendizagem e formação. Estes dois anos

na escola NPI foram de fundamental importância para a construção dos saberes que

orientariam nossa prática docente, assim como, para o desenvolvimento de nossa

vida profissional.Durante esse período pudemos experimentar diversas situações de

7 Núcleo de Apoio Pedagógico, Escola de Aplicação da UFPA

22

aprendizagem e formação que nos ajudaram a perceber que estávamos escolhendo

a profissão certa e que poderíamos contribuir para que as experiências dos

estudantes com esta disciplina fossem melhores do que a que havíamos tido no

passado. O fato de poder interagir com aquelas pessoas, fossem elas crianças ou

adultos, ensinando e aprendendo, fazia-nos sentir que queríamos construir nossa

docência pautada no processo dialético a que se refereFreire(1996, p. 23) quando

diz que“ensinar inexiste sem aprender e vice-versa”.

Depois de formados, no final de 1996, ficamosainda quatro anos sem exercer

a docência, trabalhando como assessora administrativa na Prefeitura Municipal de

Belém. Então, em meados de 2001 conseguimos um contrato na Secretaria

Estadual de Educação e passamos a trabalhar em uma escola localizada no bairro

onde moramos.Escola esta, onde fomos lotados após aprovação no concurso

público realizado em 2002 e onde trabalhamos até a data do ingresso no mestrado.

Lembramos como se fosse hoje, como nosso coração batia acelerado e nossas

mãos suavam tal era nosso nervosismo, uma vez que iríamos assumir duas turmas

da Educação de Jovens e Adultos (EJA), da 3ª e 4ª etapas, substituindo um

professor que tinha sido aposentado. Todavia, a experiência adquirida na escola NPI

ajudou-nos na condução tranqüila daquelas turmas.Nosanos seguintespassamos a

trabalhar também com crianças e adolescentes, dos anos finais do ensino

fundamental.

No transcorrer de nossa atuação em sala de aula, era possívelperceber

algumas dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos que nos

incomodavam bastante, acreditávamos que podíamos melhorar nossas aulas de

forma a contribuir para que aqueles sujeitos tivessem mais facilidades para aprender

e se desenvolver como cidadãos,porém, não sabíamos como. Sentíamos que

precisávamos de mais formação, mais conhecimentos. Foi então que

resolvemosnosinscrever no curso de especialização em Educação Matemática,

oferecido pela UEPA, no ano de 2003. Nossa intenção era melhorar nossa formação

de maneira que tivéssemos condições de oferecer a nossos alunos um ensino de

melhor qualidade.

O ingresso no curso de especialização foi fundamental para que

pudéssemosconhecer novas fontes de formação e informação, ampliar nosso

conhecimento sobre as teorias de aprendizagem e especialmente, conhecer melhor

sobre as discussões em torno da Educação Matemática. Discussões essas que

23

trouxeram contribuições muito importantespara o processo de melhoramento de

nossa prática docente, dentre elas:a procura por criar situações em que o aluno

tivesse maior participação no processo de construção do conhecimento,

valorizaçãodos conhecimentos que os alunos trazem de sua vivencia extra-escola,

elaboração de atividades em que os alunos trabalhassem com materiais

manipuláveis, atençãoaos erros cometidos pelos alunos e etc.

Enfim, o curso noslevou àreflexão sobre a importância do profissional em

educação está sempre buscando novos conhecimentos, discutindo novas propostas

de ensino, acompanhando o que é produzido no meio acadêmico e participando das

discussõessobre as questõesreferentes ao processo ensino e aprendizagem com

vista a buscar soluções para os problemas que lhes são inerentes.

Nós começávamos, então, a experimentar a formação contínua, no sentido

em que fala Álvares (apud GARCIA, 1999, p. 136):

Atividade que o professor em exercício realiza com uma finalidade formativa – tanto de desenvolvimento profissional como pessoal, individualmente ou em grupo – para um desempenho mais eficaz das suas tarefas atuais ou que o preparem para o desempenho de novas tarefas.

Esse período serviu também para que pudéssemos externar nossas

observações e preocupações quanto às dificuldades e ao baixo rendimento dos

alunos na realização das operações que envolviam números inteiros, assim como,

para ampliar nossa discussão sobre este conteúdo que é, normalmente no Brasil,

introduzido em sala de aula no 7º ano do ensino fundamental, mas que

percebíamos, causava embaraço e desconforto para muitos dos alunos das séries

posteriores, inclusive no ensino médio, dificultando o aprendizado dos conteúdos

matemáticos que requerem o conhecimento prévio deste assunto, principalmente os

conteúdos algébricos.

Uma das questões observadasera que os alunos tinham muitas dificuldades

em aplicar corretamente as regras operacionais para a realização dos cálculos que

envolviam esses números e em função disso, cometiam os erros.Então começamos

a nos questionar sobre o que poderíamos fazer para amenizar ou neutralizar essas

dificuldades. Ao levamos essas inquietações até o professor Pedro Sá (nosso

orientador na época), fomos orientados a procurar conhecer mais sobre o assunto e

sobre as pesquisas que já haviam sido realizadas tendo este conteúdo como foco,

24

assim como, realizar leituras sobre o ensino por atividades e sobre as novas

tendências em Educação Matemática,em especial sobre o uso de tecnologia e jogos

em sala de aula, alegando que a partir deste estudo, seria possível pensar em uma

proposta de ensino.

Concluímos a especialização no final de 2006 e no ano seguinte ingressamos

em uma nova especialização, agora na área de gestão escolar, buscando conhecer

um pouco mais sobre as políticas educacionais e de funcionamento do sistema

escolar. Paralelo a isto, procurávamos seguir as orientações do professor,

enquantonos preparávamos para participar do processo seletivo do programa de

pós-graduação em educação (mestrado) da UEPA.

Por duas vezes tentamos ingressar no curso de Mestrado em

Educação8oferecido pela UEPA. Em 2008não conseguimos aprovação, mas em

2009, após defendermos nossa monografia do curso de gestão, fomos aprovados

entre os 13 (treze) alunos selecionados na linha de Formação de Professores.

Ao ingressar no curso, ampliamos e aprofundamos as leituras sobre o ensino

de números inteiros e o uso da calculadora e jogos no ensino de matemática,

percebemos que a utilização desses recursos em sala de aula, mesmo quando

usados separadamente,estava proporcionando resultados satisfatórios no que se

refere ao processo ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos como

potenciação, fração, porcentagem e ensino de aritmética.

Paralelamente, também, procuramos verificar por meio de consulta a

professores do ensino fundamental e alunos egressos do 7º ano, como o conteúdo

de números inteiros costumava ser abordado, constando que era quase sempre por

meio da definição, seguida de exemplos e exercícios. Constatamos, ainda, que um

número bem pequeno dos professores já havia utilizado a calculadora e os jogos no

ensino das operações com estes números.

Então, apoiados na revisão dos estudosjá realizados e nas afirmações de

Noronha e Sá (2002, p.130-131)de que a calculadora “pode ser utilizada para

estimular a aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades

e regras tornando assim, um recurso didático” ede Soares (2008, p. 139) de o jogo

“possibilita a compreensão das ideias das operações de forma concreta, por meio

das inúmeras relações que se estabelecem entre aluno e jogo, entre aluno e seus

8O curso oferece 25 vagas divididas entre duas linhas de pesquisa: Formação de Professores e

Saberes Culturais e Educação na Amazônia

25

colegas e entre aluno e pesquisador”, construímos nossa questão de pesquisa que

era:

O ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos

pode proporcionar uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º

ano do ensino fundamental?

Em nosso entendimento se as regras operacionais usadas no cálculo das

operações com números inteiros fossem construídas pelos próprios alunos num

processo de investigação favorecida pelo uso de um meio tecnológico, os alunos

teriam maior possibilidade de assimilá-las, implicando em uma aprendizagem mais

significativa para eles.

Para Curi (2010, p. 52)a não construção das regras operacionais pelos alunos

é a grande lacuna na utilização das mesmas no contexto matemático, já que

segundo ela “as situações já são dadas prontas e resolvidas, o que impossibilita a

participação do estudante no processo de descoberta da regra”. Diante do exposto,

destacamos nossa primeira hipótese de pesquisa:

O uso da calculadora no ensino das operações com números inteiros

permitirá ao aluno descobrir e enunciar as regras operacionais usadas no cálculo

dessas operações, sem que o docente as tenha queapresentar.

Tendo verificado - por meio da pesquisa realizada com os alunos egressos do

7º ano - que o desempenho dos alunos que receberam o ensino por meio de

exposição oral seguida de exemplos e exercícios foi muito baixo e levando–se em

conta que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam como princípio,que

“recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros

materiais têm um papel importante no processo ensino e aprendizagem” (BRASIL,

2000, p. 20). Destacamos nossa segunda hipótese.

O desempenho dos alunos na realização de operações com números inteiros,

quando trabalhado didaticamente, por meio de atividades mediadas por calculadora

e jogos é superior ao desempenho quando ensinado por meio da exposição oral

seguida de exemplos e exercícios.

Partindo desta perspectiva traçamos nosso objetivo de pesquisa que foi

investigar se o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e

jogos, proporciona uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º

ano do ensino fundamental.

26

Para alcançarmos esse objetivo realizamos a construção, aplicaçãoe análise

de uma sequência didática elaborada com o intuito de oferecer condições para que

os alunos pudessem produzir pessoalmente seus conhecimentos sobre as regras

operacionais e, posteriormente, pudessem aplicá-las com sucesso, evitando assim

os sucessivos erros que constantemente são observados nos cálculos envolvendo

os números inteiros.A construção de nossa sequência didática estava apoiada em

alguns princípios que são apontados pelos PCN, tais como:

-A matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente; -A atividade matemática escolar não é “olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade; -Recursos didáticos como jogos, livros, vídeo, calculadora, computadores e outros materiais tem um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situação que levem ao exercício da analise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática. (BRASIL, 2000, p. 19-20)

E,fundamentada teoricamente nos pressupostos da Teoria das Situações

Didáticas formulada por Guy Brousseau,que tomamos como referencial para discutir

a relação entre os conteúdos de ensino e os métodos para o ensino, já que são

abordados na teoria, aspectos específicos do saber matemático e a preocupação

por uma apresentação dos conteúdos matemáticos em um contexto que seja

significativo para o aluno, sendo considerada a relação de interação entre professor,

aluno eum meiodidático com vista a produção de um novo saber.

Deste modo, Brousseau (apud ALMOULOUD, 2007, p. 33) define a situação

didática como sendo:

O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição.

Portanto, na concepção de Brousseau (2008) para que o aluno adquira um

conhecimento novo é fundamental que ele interaja com um milieu(meio), o qual é

considerado pelo autor como um subsistema autônomo e antagônico ao sujeito.

Autônomo no sentido de ser auto desenvolvido, ou seja, não precisar da

interferência direta do professor para desenvolver-se e antagônico no sentido de ser

desafiador para o aluno.Neste contexto, o professor assumiráentão, o papel de

27

planejadore administrador das situaçõesque serão apresentadas ao alunona

intenção de lhe proporcionar aprendizagem de um determinado conteúdo.Para

Freitas (2008)é exatamente esta intenção do professor que determina a existência

de uma situação didática.

Partindo desta concepção e entendendo o meio de que fala Brousseau (2008)

como sendo as estratégias de ensino criadas pelo professor para conduzir o aluno

àprodução de um determinado conhecimento, elaboramos a sequência didática com

a qual os alunos interagiram durante a realização da experimentação.

Assim, devido às características de nossa investigação, optamos em utilizar

no percurso metodológico os princípios da Engenharia Didática por considerar que

ela era a metodologia mais indicada para este tipo de investigação, já que possui

uma lógica própria de organização que abrange desde a dimensão teórica até a

dimensão experimental, direcionando todo o caminho seguido por nós na realização

deste estudo,além de proporcionar as condições necessárias para o

estabelecimento de uma situação didática que se refere ao aprendizado das

operações com números inteiros.

Segundo Artigue (1996, p. 196):

A engenharia didáctica, vista como metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais por um esquema experimental baseado em realizações didáticas na sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise de seqüências de ensino.

Ela se refere à Engenharia Didática fazendo uma analogia entre o trabalho do

professor pesquisador e o trabalho de um engenheiro que para a realização de um

projeto precisa apoiar-se em conhecimentos teóricos de seu domínio e planejar suas

etapas, para então executá-lo.

Douady (apud HEY, 2001, p. 40) contribui dizendo que o termo engenharia

didática pode ser entendido também como,

uma sequência de aula (s) concebida (s), organizada (s) e articulada (s) no tempo, de forma coerente, por um professor – engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor.

28

Na opinião de Pais (2008) a engenharia didática possibilita uma

sistematização metodológica para a realização prática da pesquisa, que leva em

consideração as relações de dependência entre a teoria e a prática. Deixando claro

que neste processo estarão envolvidos, de maneira interligada, o professor, o aluno

e o saber, este último sendo produzido à medida que a intervenção de ensino for

sendo realizada. Por este motivo, a engenharia didática encontra-se organizada em

quatro fases muito bem articuladas de forma a possibilitar ao processo

investigativoum perfeito desenvolvimento.As fases são: análises

preliminares;concepção e análise a priori;experimentação e análise a posteriori e

validação.

Esclarecemos que neste estudo optamos em organizar as seçõesseguindoas

fases da Engenharia Didática, entendendo que esta disposição permitirá melhor

entendimento sobre os caminhos seguidos no desenvolvimento desta pesquisa.

Os resultados de nosso estudo foram sistematizados em cinco seções. A

primeira seção de nosso estudo trata das análises preliminares que conforme

explica Artigue (1996, p.198) “apóia-se num quadro teórico didático geral e em

conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio estudado”. Desta forma, nesta

seção, realizamos uma revisão sobre a história dos números inteiros para conhecer

os aspectos que marcaram a aceitação e institucionalização destes números como

entes matemáticos; um levantamento dos trabalhos já realizados sobre o ensino e

aprendizagem de números inteiros, para conhecer o que já havia sido produzido em

relação a essa questão; reflexões sobre o uso da calculadora e de jogos no ensino

de matemática; análise de uma pesquisa de campo realizada com docentes e

discentes do 8º ano para verificara visão destes sobre o ensino atual e seus efeitos

sobre aprendizagem dos números inteiros.

A segunda seção trata da fase de concepção e análise a priorique segundo

Almouloud (2007) é a fase em que o pesquisador deve elaborar e analisar uma

sequência de ensino que lhe possibilita responder a questão problema e as

hipóteses levantadas para a pesquisa. Assim sendo, apresentamos nesta seção: a

sequência didática,que foi elaborada com base nas análises preliminares e nas

variáveis de comando escolhidas de forma a provocar as mudanças desejadas em

relação à apreensão do conhecimento sobre as operações com números inteiros;e

aanálise a priori das atividades e dos instrumentos de diagnósticoscontidas na

29

sequência. Foram elaboradas 24 (vinte e quatro) atividades e 05 testes diagnósticos,

organizados em 17 (dezessete) sessões de ensino.

A terceira seção se refere àexperimentação.Nela apresentamos o

funcionamento da sequência didática onde se procurou garantir a aproximação dos

resultados práticos com a análise teórica.

Na quarta seção trataremos da última fase da engenharia didática, que se

refere à análise a posteriorie validação. Artigue (1996) explica que é nesta fase

que o pesquisador realiza o tratamento dos dados recolhidos durante a

experimentação e confirma a validação ou não das hipóteses da pesquisa.

Apresentaremos então, nesta seção, a análise de cada sessão de aplicação da

sequência didática, a qualfoi fundamentada nas produções dos alunos, nas

observações realizadas durante os encontros e nos resultados obtidos durantes os

diagnósticos.Apresentaremos também a confrontação entre a análise a priori e a

posteriori que nos levou a validar as hipóteses levantadas no início da pesquisa.

Ressaltamos que para Artigue (1996) esse é o momento que confere a esta

metodologia um caráter de singularidade, por ser esta validação essencialmente

interna.

Na quinta e última seção tecemos nossas considerações finais.

30

1 ANÁLISES PRELIMINARES

Nesta seção, nosso objetivo é apresentar os resultados dos estudos que

fundamentaram nossa pesquisa. Neste sentido, nossas análises preliminares foram

compostas por um breve histórico sobre os números inteiros,análise dos estudos já

realizados sobre o ensino de números inteiros, reflexões sobre o uso da calculadora

e jogos no ensino de matemáticaeanálise das pesquisas de campo sobre o processo

ensino e aprendizagem dos números inteiros segundo docentes de matemática e

segundo discentes que já haviam cursado 7º ano do Ensino Fundamental.

1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS

De acordo com Mendes (2009), os aspectos históricos nos quais estão

envolvidos os conteúdos matemáticos têm grande importância no ensino de

matemática, pois ajuda os estudantes a perceberem como se dá o processo de

geração, organização e institucionalização do saber que chega até eles. Para este

autor:

O professor deve explorar o processo histórico da construção dos tópicos a serem abordados em sala de aula para que o aluno compreenda o significado dessas ideias e sua importância para o desenvolvimento da matemática em seu significado histórico e conceitual. A partir daí sugere-se que o aluno verifique possíveis relações entre a história da matemática e a cultura matemática, pois tais aspectos ficam mais evidentes quando verificamos o desenvolvimento dessas noções, nos diversos contextos sociais, políticos e culturais. Além disso, essas relações implicam na ressignificação dessa história no contexto atual (MENDES, 2009, p. 95)

Não é nossa intenção discutir esses aspectos enquanto metodologia de

ensino, todavia consideramos importante conhecer um pouco sobre os aspectos

históricos que marcaram o surgimento, a aceitação e institucionalização destes

números como entes matemáticos, entendendo que estes momentos podem explicar

31

alguns dos obstáculos de aprendizagem que são manifestados por nossos alunos

hoje.

A construção lógico-histórica dos números inteiros começa a partir do

surgimento dos números negativos, que provocou diversos debates em torno de sua

aceitação e rejeição, já que até então todas as operações eram realizadas apenas

com números naturais. Anjos (2008, p. 79) explica que “o surgimento dos números

negativos como entidades matemáticas foi decorrente do processo de resolução de

equações, as quais, evidentemente, eram oriundas de problemas práticos, porém

submetidos a um tratamento mais teórico”.

Durante muito tempo estes números foram evitados por aqueles que se

dedicavam ao estudo de matemática, referindo-se a eles como números absurdos

ou fictícios. Isso porque não podiam admití-los como solução de uma equação, visto

não corresponderem a nada que tinha sido reconhecido antes como quantidade,

negando sistematicamente sua utilidade.Anjos, Cardoso e Sá (2009) informam que

desde sua aparição, os números inteiros levaram cerca de 1500 anos para serem

plenamente aceitos.

Conforme escreve Boyer (1998), um dos primeiros povos a manipular

números negativos foi o povo chinês, que costumavam usar barras para realizar

cálculos. Dois conjuntos de barras eram usados, vermelhas para os coeficientes e

números positivos, e, pretas para os números negativos. No entanto, esses

conceitos eram entendidos por eles sob o aspecto da prática do dia-a-dia,

provocandoa interpretação de ganho e perda, o que os impedia de aceitar a ideia de

um número negativo como solução de uma equação.

Anjos (2008) explica que os números negativos não surgiram na contagem,

mas nos cálculos. Mais especificamente na resolução de equações, concretizando-

se assim, com Diofanto que desenvolveu, em sua obra Arithmetiké, resoluções de

equações usando implicitamente as regras de sinais, todavia desconsiderando a

existência independente dos números negativos.

Já na primeira metade do século XVI, um alemão chamado Michael Stifel

(1487-1567), grande conhecedor das propriedades dos números negativos,

escreveu a mais importante obra alemã sobre álgebra a “Arithmética integra”, onde

se destaca o tratamento dado por ele aos negativos.

Boyer (1998) relata que Stifel costumava usar coeficientes negativos em

equações para reduzir a multiplicidade de casos de equações quadráticas, para

32

tanto precisou criar uma regra especial para explicar quando usar “+” ou quando

usar “-“, sendo ele um dos muitos autores alemães a difundirem os símbolos “+” e “-“

em oposição à notação italiana que utilizava as letras “p” e “m”, abreviação das

palavras plus e moins respectivamente.

Porém, apesar de manusear muito bem os números inteiros, Stifel também se

recusou a admiti-los como raiz de uma equação, chamando-os de "numeri absurdi"

(ANJOS; CARDOSO e SÁ, 2009, p. 42)

Na contramão dos matemáticos que se recusavam a admitir os números

negativos como resultado possível para as equações, dentre eles, Stifel, Bombelli

(1526-1573) e Viète (1540-603), encontramos Simon Stevin (1548-1620). Gonzáles

et al(1990) relata que Stevinaceitou os números negativos como raízes e

coeficientes de equações contrariando seus antecessores algebristas. Este

matemático considerava os números negativos como ferramentas úteis para o

cálculo, o que o levou a conceder-lhes uma existência como símbolos

independentes em um cálculo numérico. Desta forma, passa então a admitir a

adição x + (-y) em lugar de considerá-la como subtração de y a x. Trata também de

justificar geometricamente a regra dos sinais fazendo uso da identidade algébrica:

Que era representada por meio da figura

geométrica:

b a

c

d

Stevin interpreta as raízes negativas das equações como sendo as raízes

positivas transformada em - a, o que o leva a afirmar que se – a é um número

negativo raiz de x² + px = q, então, o número positivo a é raiz de x² - px = q. No

entanto, para ele os negativos não eram confiáveis nem compreensíveis para a

definição de número enquanto expressão de quantidade.

Todavia, apesar das contribuições destes matemáticos Asimov (apudBORBA

2003)afirma que o primeiro matemático a quebrar o tabu e utilizar-se

sistematicamente de números negativos foi o italiano Gerônimo Cardano (1501-

33

1576) que torna seu uso plausível ao referir-se à necessidade de determinar a

direção numa linha. Anjos (2008) relata que na obra Ars Magna, Cardano

apresentou os negativos com certa destreza, todavia, sua raízes quadradas

causaram certo embaraço. Segundo este autor, Cardano dividiu os números em dois

tipos e chamoude “números verdadeiros”aos naturais, as frações positivas e os

irracionais chamou de “números fictícios” e aqueles que correspondiam,

respectivamente, aos números negativos e às suas raízes quadradas (imaginários),

chamou de “falsos”.

Já Boyer (1998) informa que foiAlbert Girard (1590-1639), que ao enunciar

claramente as relações existentes entre raízes e coeficientes, em 1629, admitiu pela

primeira vez números negativos isolados e imaginários como soluções formais de

equações. O autor explica que Girard percebeu também que as raízes negativas

eram orientadas em sentido oposto ao dos números positivos, antecipando dessa

forma a ideia de reta numérica.

Em Passoni (2002) encontramos relatos de que foi o alemão Hermann Hankel

(1839-1873), com a publicação de sua obra “Teoria do Sistema dos Números

Complexos”, em 1867, quem de fato legitimou os números negativos. Segundo este

autor, com esta obra foi dado o salto do concreto ao formal que permitiria justificar

os diversos sistemas numéricos. Curioso é que Anjos; Cardoso e Sá (2009) relatam

que o objetivo de Hankel ao escrever sua obra era definir a teoria sobre números

complexos e não legitimar os números negativos. Contudo, a complexidade de

algumas de suas demonstrações permitiu que ele desvendasse por completo todas

as dúvidas que ainda existiam sobre os números negativos.

Hankel não buscou a justificação dos negativos em situações reais que

“expliquem” seu comportamento, mas em leis formais, concretamente no „princípio

de permanência‟ que teria sido introduzido por George Peacock, alguns anos antes,

a fim de fundamentar a álgebra e justificar as operações com expressões literais

(PASSONI, 2002).;

Hankel (apudSILVA, 2006)afirmava que os números não são descobertos e

sim inventados, imaginados. Dizia ele: “aqueles que se aventurarem em procurar

todas as explicações lógicas na natureza, ou mundo real, jamais conseguirão

adquirir maturidade em conceitos matemáticos, que outrora, são definidos para um

mundo ideal”. Para Gonzáles et al(1990) Hankel, assim como outros matemáticos de

sua época, estava convencido de que as matemáticas são uma criação humana e,

34

em consequência, seus conceitos não são deduzidos de fatos empíricos nem vem

impostos de fora, ao contrário, são criações intelectuais. Sob esta linha de raciocínio

ele abandonou o ponto de vista “concreto”, baseado em exemplos práticos,

passando a adotar o “formal”.

Como podemos observar,o conceito de números inteiros sofreu várias

interferências até ser formalizado e a aceitação dos negativos levou quase 1500

anos para acontecer. Toda essa demora se deve a dois grandes obstáculos

encontrados pelos matemáticos daquela época: a dificuldade deabstração do

significado do número negativo e a dificuldade de utilização deste. As

complexidades inerentes a essaclasse de números desafiaram esses matemáticos a

encontrarem um sentido plausível para que pudesse ser considerado um ente

matemático, o que provocou várias discussões, construções e desconstruções

apresentadas.

Outras informações acercados obstáculos e justificações para a aceitação e

institucionalização do conceito e da utilização dos números inteiros, no âmbito da

matemática e de seu ensino, podem ser encontrados em Mercia (2010) e em

Imenes, Jakubo e Lellis (1992).

Sendo assim, as dificuldades de compreensão manifestadas por nossos

alunos no ensino destes números hoje parece-nos, então,compreensíveis. Todavia,

entendemos,também,que é preciso encontrar mecanismo que possam favorecer a

superação dessas dificuldades de forma a conduzí-los ao aprendizado. Mas o que

tem sido pensado nesta direção? Quais as discussões e propostas trazidas pelos

professores e pesquisadores nos últimos anos? Como poderemos contribuir?

Estas foram algumas das questões que nos levaram a verificar o que os

estudos sobre o processo ensino e aprendizagem deste conteúdo apontavam

enquanto propostas para a superação das dificuldades manifestadas pelos alunos

ede queforma estas propostas têm contribuído para o favorecimento da

aprendizagem deste conteúdo. Para isso, realizamos uma revisão bibliográfica onde

foram verificados vários estudos relacionados aos números inteiros e destes

selecionados 09 (nove) que consideramos estar mais diretamente relacionados com

a questão do ensino e aprendizagem das operações com números inteiros nas

séries finais do ensino Fundamental.

35

1.2 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM DOS

NÚMEROS INTEIROS

No intuito de buscar subsídio para a construção de nossa pesquisa

realizamos a revisão de alguns estudos desenvolvidosnos últimos anos referentes

ao ensino e a aprendizagem dos números inteiros, buscando focar, principalmente,

nas operações básicas. Foram analisados 09 (nove) estudosorganizados nas

seguintes categorias: abordagem; compreensão e construção do conhecimento que

livros didáticos e professores apresentam sobre o ensino de números

inteiros;dificuldades e erros dos alunos no ensino-aprendizagem de números

inteirose uso de jogos e tecnologias no ensino de números inteiros. Esses estudos

foram considerados durante a construção da sequência didática que foi

desenvolvida com os alunos e, também, no momento das análises a priori e a

posteriori.

1.2.1 Abordagem, compreensão e construção do conhecimento sobre números inteiros conferidos pelos livros didáticos e por professores

Nesta categoria encontramos os estudos desenvolvidos porRama (2005),

Kimura (2005) e Silva (2006).

A pesquisa desenvolvida por Rama (2005) analisou livros didáticos

referendados pelo MEC para o ensino de matemática no nível fundamental e médio

e tinha por objetivo investigar a abordagem conferida aos números inteiros para

estes dois níveis de ensino, destacando a divisibilidade.

O autor procurou escolher livros que apresentassem uma ou mais das

seguintes características: uso freqüente e adequado de situações-problemas,

inclusive para introduzir um assunto; hábito de se trabalhar com demonstrações,

sem o uso carregado de formalizações; boa articulação entre os campos da

matemática; boa articulação entre conteúdos novos e outros já abordados;

retomadas de um mesmo assunto em momentos distintos.

Tratou-se de uma investigação bibliográfica que foi dividida em dois

momentos. No primeiro momento, o pesquisador analisou três coleções de livros de

matemática dos anos finais do ensino fundamental: A conquista da matemática, a +

nova (CASTRUCCI; GEOVANNI E GEOVANNI JR, 2005); Matemática hoje é feita

36

assim (BIGODE, 2005) e Tudo é matemática (DANTE, 2005), escolhidos com base

nas sínteses constantes no guia do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD).

No segundo momento, ele realizou uma análise das onze coleções

recomendadas pelo catálogo do Plano Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM),

versão 2005, com o objetivo de verificar como é feita a revisão dos números inteiros

nos primeiros livros dessas coleções.

Rama (2005) constatou que a primeira coleção - A conquista da matemática,

a + nova - apresentava boas provas informais adequadas ao estágio de

aprendizagem deste nível de ensino, usando de métodos variados e, também,

explorando de modo conveniente o potencial de problemas envolvendo números

inteiros. A segunda coleção -Matemática hoje é feita assim - apresentava algumas

demonstrações convincentes e outras não; e a terceira, - Tudo é matemática -

enunciava diversas propriedades sem preocupação com justificativas. Constatou,

ainda, que as duas últimas coleções apresentavam poucos problemas exigindo

maior sofisticação de raciocínio do aluno e a análise de poucos casos.

Eventualmente apresentava apenas um, para deduzir cada uma das regras de sinais

para a multiplicação de números inteiros.

Para este autor, no caso da multiplicação de inteiros, o ideal seria que o

próprio aluno fosse estimulado a “descobrir” essas regras, cabendo ao professor

incentivá-los a expressar a defesa de suas ideias. No que concordamos, visto que

esta é a operação apontada por vários autores como a mais difícil de ser

explicada,justamentepor não se ter um modelo concreto com o qual possamos

relacioná-la.

Rama (2005) também observou que uma característica comum encontrada

nas três coleções é que a aplicação de problemas é enfocada quase exclusivamente

no 6º e 7º ano, no âmbito dos números naturais, não sendo retomado no contexto

dos inteiros após a introdução dos números negativos.

Na análise feita das coleções destinadas ao ensino médio, o autor constatou

que, de modo geral, a retomada dos números inteiros é feita de maneira superficial,

o conceito de divisibilidade entre inteiros, incluindo os negativos, pode ser apreciado

somente em uns poucos exercícios, e poucos problemas mais elaborados são

propostos.

Em Silva (2006) encontramos um estudo sobre a discussão do papel da

linguagem no ensino das operações de números inteiros na EJA, destacando o

37

aspecto da compreensão do diálogo estabelecido a partir do discurso dos

professores e do livro didático. Seu objetivo principal, neste estudo, foi discutir

aspectos relativos a compreensão das operações de adição e multiplicação de

números inteiros dentro da prática do professor da EJA. Partindo dos seguintes

questionamentos: Que ambiente o professor proporciona em sala de aula? Quais

materiais o professor escolhe e usa? Como o professor e materiais, utilizados em

sala, cooperam paraque a interlocução entre ele e seus alunos a respeito das regras

de sinais, ocorra?

Silva (2006) parte da hipótese de que o diálogo claro desenvolvido em sala de

aula entre professor e aluno possa contribuir para o entendimento das operações de

adição e multiplicação. No entanto, com base nas idéias de Grice (1975), ele

acredita que este diálogo só será estabelecido se ambos os interlocutores

cooperarem entre si. O autor se refere ao diálogo claro como sendo aquele em que

se evita a ambigüidade e a obscuridade de expressões, sendo o locutor sempre

breve e ordenado.

Em relação às operações com os números inteiros, ele diz que o diálogo claro

só acontecerá se o aluno também for „autor‟ da construção do conhecimento das

regras de sinais. “Sendo assim, saberá o que está sendo dito pelo professor e

poderá se manifestar sem „intimidação‟ quando necessário, pois o assunto em

questão é também de conhecimento seu” (SILVA, 2006, p. 17).

Trata-se de uma pesquisa exploratória, onde foram analisados os discursos

de doze professores que atuavam na EJA, tanto a nível fundamental quanto médio

de escolas públicas municipais e estaduais em Itaquaquecetuba/SP, e o discurso

dos autores dos livros didáticos usados por estes professores. O discurso dos

professores foram coletados por meio de dois questionários com o objetivo de traçar

o perfil dos docentes, realizar levantamento do saber profissional dos professores de

matemática acerca de suas experiências e do tratamento que davam ao ensino das

operações de adição e multiplicação de números inteiros, bem como, levantar os

tipos de materiais usados pelos professores em sala de aula.

O pesquisador verificou que o material mais usado pelos professores para o

ensino de números inteiros ainda era o livro didático e que os livros mais usados por

eles eram os apresentados no Quadro 1, os quais foram examinados pelo

pesquisador no intuito de analisar as abordagens dos autores na introdução das

regras de sinais, na adição e multiplicação no conjunto dos números inteiros.

38

O autor observou pelo menos quatro maneiras distintas de introduzir a adição

com inteiros que culminando nas regras de sinaisapresentadasa seguir.

Quadro 1 – Formas de introdução da adição de inteiros e as regras sistematizadas

Tipo de introdução Livro de origem

Regras sistematizadas

Introdução da regra, diretamente escrita, em seguida, os exemplos e exercícios aritméticos

Praticando matemática

(1989)

a) Adição de dois números de sinais iguais: “A soma de dois números positivos é um número positivo”

b) Adição de números com sinais diferentes: “a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto”

Introdução de um problema apresentando-o geometricamente e aritmeticamente. (utilização da reta numérica)

A conquista da matemática

(1998)

- Usa um exemplo para ilustrar a adição entre dois positivos e apresenta a regra para números de sinais diferentes. - “Quando dois números têm sinais diferentes, o sinal do resultado corresponde ao sinal do número que está mais distante da origem. O módulo dos resultados é igual a diferença entre os módulos das parcelas”

Introdução de perda e ganho, representada aritmeticamente

Matemática hoje é feito assim

(2000)

Trabalha com exemplos sem a preocupação de sistematizar as regras.

Tempo de matemática

(2000)

a) Adição de números positivos: juntando quantidades positivas, vemos que: “A soma de dois números positivos é um número positivo”

b) Adição de números negativos: juntando quantidades negativas, vemos que: “A soma de dois números negativos e um número negativo”

EJA – Ensino fundamental de

matemática (apostila)

(2004)

- “A soma de dois números inteiros positivos é igual ao valor positivo da soma dos módulos desses números”. - “A soma de dois números inteiros negativos é igual ao valor da soma dos módulos desses números”. - “A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é igual a diferença dos módulos e o sinal é o da parcela de maior módulo”

Introdução aritmética de uma situação e a sua representação

Matemática

1º caso) Adição de números de mesmo sinal: os exemplos nos sugerem a seguinte regra: “a soma de dois números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores absolutos e conservando-se o sinal comum. 2º caso) Adição de números de sinais

39

geometricamente (utilização da reta numérica)

(1997) diferentes: os exemplos nos sugerem a seguinte regra: “a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se seus valores absolutos, dando-se ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto”

Fonte: Silva (2006, p. 75-89)

No caso da multiplicação, o pesquisador observou que quase todos os

autores utilizavam a ideia de soma de parcelas iguais para introduzir a multiplicação

com inteiros, registrando apenas um livro com proposta diferente onde é utilizado a

ideia das barras coloridas usadas pela civilização chinesa. No quadro 2

apresentamos as formas de introdução da multiplicação de inteiros e as regras

sistematizadas pelos autores dos livros didáticos consultados.

Quadro 2- Formas de introdução da multiplicação e as regras sistematizadas

Tipo de introdução Livro de origem

Regras sistematizadas a partir de exemplos

Ideia de que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais

Matemática

(1997)

- Multiplicando um número negativo por um número positivo o resultado foi um número negativo: (-) . (+) = - - Multiplicando dois números negativos e o resultado foi um número positivo: (-) . (-) = +

Tempo de matemática

(2000)

(nº positivo) . (nº positivo) = nº positivo (nº negativo) . (nº negativo) = nº positivo (nº positivo) . (nº negativo) = nº negativo (nº negativo) . (nº positivo) = nº negativo

Praticando matemática

(1989)

Não foi apresentada pelo autor

A conquista da matemática

(1998)

Quando um fator é um número positivo e o outro é um número inteiro negativo temos: (+6).(-4)= 6. (-4)= (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-24. Considere (-6).(+4)= (+6).(-4)= -24. Então: (+6).(-4)= -24 e (-6).(+4)= -24. “A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em qualquer ordem, resultada em um número inteiro negativo”

Ideia das barras coloridas

Matemática hoje é feito

assim (2000)

1º caso) Multiplicação de dois números positivos (+2).(+3) – O multiplicador é positivo. Devemos, portanto, acrescentar dois grupos de 3 barras pretas9, o resultado é 6 barras pretas, ou seja, (+2).(+3) = +6. 2º caso) Multiplicação de um número inteiro positivo por um negativo (+2).(-3) – O multiplicador (+2) é positivo e o multiplicando (-3) é negativo. Devemos, portanto, acrescentar dois

9 Vimos no breve histórico, que as barras pretas representam o valor positivo e as vermelhas, o valor

negativo.

40

grupos de barras vermelhas, o resultado é 6 barras vermelhas, ou seja, (+2). (-3) = -6. 3º caso) Multiplicação de um número negativo por um número positivo (-2).(+3). Como aqui (-2) é negativo, devemos tirar dois grupos de 3 barras pretas.

Fonte: Silva (2006, p. 95-100)

Para Silva (2006) a análise desses livros revelou que tanto os livros quanto a

apostila usada pelos professores não contribuíam para que os docentes criassem

em sala de aula um ambiente que estimulasse o diálogo, haja vista não cooperarem

com o leitor. No caso da adição, segundo este autor, as introduções ou eram feitas

de maneira diretas ou permitiam inferências que poderiam levar o leitor a distanciar-

se do objetivo proposto em relação aos números inteiros.

No caso da multiplicação, observou que em determinadas situações eram

usadas ideias e artifícios que não deixavam claro para o leitor o que de fato estava

ocorrendo, como no caso da introdução apresentada pelo livro “matemática”. De

acordo com o pesquisador, quando o autor afirma que a multiplicação de números

inteiros é uma soma de parcelas iguais, não deixa claro para o leitor que isso dá

conta somente quando se está no conjunto dos números naturais ou dos inteiros

positivos.

O autor viu com preocupação essa falta de diálogo franco dos livros didáticos,

pois,segundo ele,se os professores entrevistados estivessem se apoiando apenas

nestes livros eles poderiam estar dificultando ainda mais a compreensão destas

operações para os alunos.

Outro pontotambém visto com preocupação pelo autor diz respeito ao fato de

que os professores consultados utilizavam as mesmas metáforas; “perda e ganho”,

“temperaturas” e “saldo bancário”; usadas pelos livros didáticos quando se referiam

à adição e a multiplicação dos inteiros. No entanto, Silva (2006) adverte que para

situações do tipo -3-1; - 4+2; 3- 4 elas funcionam muito bem, porém quando se trata

de situações do tipo (+2) – (+2) ou (+2) – (- 2), elas já não dão conta. Isto porque,

existe um processo multiplicativo implícito nestas operações que estes professores e

autores dos livros didáticos analisados parecem ter ignorado ou transgredido

intencionalmente, permitindo que interpretações equivocadas venham a acontecer,

dificultando, deste modo, o diálogo franco com os alunos.

Na concepção deste autor, a utilização de outro material didático, como a

calculadora, poderia ajudar o professor no diálogo junto aos alunos em sala de aula,

41

ao introduzir um novo conjunto numérico, visto que, no conjunto dos naturais os

alunos encontravam solução para a subtração e agora passariam a encontrar na

calculadora um resultado surpreendente para o que antes acreditavam não ser

possível.

Comungamos da ideia de Silva (2006) e consideramos que a calculadora

ainda é um instrumento pouco utilizado em sala de aula, quando poderia contribuir

de forma qualitativa para o ensino não apenas deste, mas de outros conteúdos

matemáticos.

Kimura (2005) realizou um estudo com professores sobre o uso de jogos para

auxiliar na compreensão e construção das estruturas necessárias para o

aprendizado dos números inteiros, buscando responder aos seguintes

questionamentos: Como podemos desenvolver as estruturas dos números inteiros,

sejam eles positivos ou negativos, se o empirismo continua sendo um dos maiores

obstáculos em seu processo ensino-aprendizagem?E ainda, porque o empirismo

pode ser considerado obstáculo para a aprendizagem dos números inteiros

negativos? Porque o estruturalismo foi tão importante para Piaget?Porque os jogos

podem ajudar na construção da estrutura dos números inteiros?

O estudo empírico foi desenvolvido com 10 professores da rede estadual de

ensino de Rondonópolis/ MT, que atuavam na 6ª série10 do ensino fundamental, em

dois momentos: o primeiro, de cunho exploratório, tinha o objetivo de traçar o perfil

profissional do professor (sua formação inicial e continuada, tempo de magistério,

metodologias, opções de livros didáticos) e diagnosticar o conhecimento dos

professores sobre o conteúdo de números inteiros e as dificuldades em relação ao

processo ensino-aprendizagem para este fim.Utilizou como instrumento de coleta

um questionário semi-estruturado contendo 35 questões, respondidos

individualmente. E o segundo, de cunho intervencionista, cujos objetivos foram

detectar de que forma os professores percebiam as estruturas matemática dos

números negativos (propriedades, conceitos e regras) envolvidas na resolução dos

exercícios propostos, bem como demonstrar a superioridade dos jogos na

aprendizagem de números negativos. A pesquisadora usou como instrumento de

intervenção um jogo denominado, jogo de xadrez.

10

Atual 7º ano

42

A autora constatou, a partir da análise dos questionários, que os professores

não tinham preocupação em compreender as estruturas dos números negativos,

visto que não se preocupavam em procurar outra fonte de preparação teórica e

metodológica que não fosse o livro didático, considerando como um bom livro para

se ensinar números inteiros aquele que apresenta muitos exercícios, com mais

exemplos do cotidiano e atividades variadas. Consideravam também que a

dificuldade em operacionalizar números negativos decorria da falta de sequência e

organização dos textos didáticos.

Este resultado a levou a desenvolver o segundo momento da pesquisa que

diz respeito à intervenção de ensino por meio da aplicação do jogo.

Kimura (2005) observou que os depoimentos dos professores, após a

realização do jogo, apontavam que operar no tabuleiro atendia a duas questões

básicas: a visualização e a reflexão. Ou seja, primeiro os professores tiveram a

oportunidade de perceber concretamente a operação efetuada e depois extrair as

operações que estavam implícitas no jogo, como se pode comprovar no depoimento.

Baseada nos resultados de sua pesquisa, a pesquisadora afirmou que o

empirismo é obstáculo para o aprendizado dos números inteiros por causa da

interpretação passiva sobre o ato de conhecer que se estabelece no processo

ensino-aprendizagem que, segundo ela, pôde ser percebida nas falas dos

professores entrevistados.

Na concepção da pesquisadora, Piaget acreditava num construtivismo que

exprimisse a maneira pela qual novas estruturas são continuamente elaboradas,

assim, as estruturas representam sempre uma nova oportunidade. Desta forma,

para ela, o jogo pode ajudar na construção da estrutura dos números inteiros porque

fornece esquemas de organização e integram o conhecimento num nível

representativo, já que permitem visualizar as estruturas envolvidas na construção

dos conceitos matemáticos.

Kimura (2005) constatou que a intervenção por meio do jogo de xadrez

mostrou que os diferentes conceitos matemáticos necessários para a compreensão

dos números inteiros podiam ser construídos durante o jogo. O jogador vai

construindo a estrutura necessária para o entendimento das regras refletindo sobre

a ação que realizou.A pesquisadora afirma que sua pesquisa evidenciou que

aprender números negativos ou positivos não se reduz à manipulação de signos

43

como se eles fossem auto-suficientes, sem a necessidade de serem acompanhados

de conceitos e operações mentais.

Portanto, pudemos observar a partir da análise dos estudos de Rama (2005),

Silva (2006) e Kimura (2005) que em relação aos professores existia certa carência

no que se refere a suas formações para atuarem frente ao conteúdo de números

inteiros.Constatou-se, também, que essa carência podia está sendo agravada em

razão da fonte de pesquisa utilizada por esses educadores.

De acordo com os pesquisadores, os livros didáticos ainda eram, ou são, a

principal fonte de preparação teórica e metodológica usada pelos professores para o

ensino deste conteúdo, entretanto, os estudos revelaram que muitos deles não dão

conta desta preparação já que apresentam abordagens simplistas, ambíguas e

equivocadas para a formação e compreensão dos conceitos necessários para se

ensinar este conteúdo. Bem como,possuem poucas alternativas metodológicas que

contribuam para que o professor possa desenvolver um trabalho satisfatório em sala

de aula, o que consequentemente dificultará o processo ensino-aprendizagem, haja

vista, que “sem um conhecimento mais aprofundado de como se dá o

desenvolvimento conceitual, o professor corre o risco de fazer uma avaliação

superficial do desempenho de seus alunos” (BORBA, 2009, p.59).Daí a necessidade

de se procurar outras fontes de formação e informação que possam contribuir de

forma eficiente para a melhoria do processo ensino-aprendizagem não apenas

deste, mas de outros conteúdos matemáticos.

Salientamos que estes estudoscontribuíram com nossa pesquisa no sentido

de revelar a necessidade do desenvolvimento de estratégias e utilização de outros

recursos teóricos e metodológicos para o ensino dos números inteiros, reforçando a

ideia de se trabalhar as regras de sinais de forma que sejam descobertas pelos

alunos, assim como, reforça nossa intenção de utilizar a calculadora e jogos como

recursos pedagógicos no ensino das operações com inteiros, principalmente, porque

nenhum dos estudos apresentados focalizou nesta abordagem.

1.2.2 Dificuldades e erros dos alunos em relação aos números inteiros

Nesta categoria encontram-se os estudos desenvolvidos por Nascimento

(2001) e Gonçalves (2007).

44

Nascimento (2001) realizou um estudosobre obstáculos em adição e subtração

de números inteiros, tendo como objetivo a análise e comparação da evolução e

obstáculos apresentados por alunos da 7a série11 do Ensino Fundamental e da 1ª

série12 do Ensino Médio, quanto às operações com inteiros quando eles interagem

com uma seqüência de atividades para adição e subtração, utilizando a reta

numérica com dinamismo em um ambiente computacional de Ensino.

O autor pretendia, ao aplicar a sequência de ensino usando a reta numérica

virtual, identificar se os alunos:superariam as dificuldades prévias que possuíam

nestas operações; transpassariam o conhecimento que os impedia de operar

corretamente no domínio dos números inteiros; realizariam corretamente

deslocamentos em dois sentidos da reta numérica; ao efetuarem exercícios sobre

deslocamentos na reta numérica, associariam às situações trabalhadas com as

operações de adição ou subtração de números e seriam capazes de compreender

os passos utilizados para a resolução dos problemas sugeridos na reta numérica

relacionando-os aos diversos sentidos do número negativo; interagiriam com

conceitos prévios, necessários à solução de problemas de adição e subtração com

números inteiros e utilizavam-se deste modelo para o entendimento do modelo de

cálculo numérico exigido no nosso dia a dia escolar.

Nascimento (2001) partiu da hipótese de que o uso de uma situação didática

similar à reta numérica, na qual os alunos solucionam problemas de transformação

nessa reta, poderia ajudá-los a mudar conhecimentos que os impedia de entender

operações de adição e de subtração com números inteiros, de modo a facilitar o

entendimento, tanto do conceito de número inteiros como dos tipos de significados

do número negativo e a compreensão do algoritmo operatório, necessário para a

realização de adição e de subtração, nesse domínio.

Buscou fundamentar-se teoricamente em Bachelard e Brousseau e nos

estudos sobre erros e obstáculos já realizados.

Para alcançar seus objetivos o autor realizou um estudo de caso em duas

escolas públicas da cidade de Recife, sendo uma do Ensino Fundamental e outra do

Ensino Médio desenvolvendo o estudo em três fases: um pré-teste, para

levantamento do conhecimento e das dificuldades de cada aluno a fim de selecionar

aqueles que participariam da sequência de atividade; uma sequência de atividades,

11

Atual 8º ano 12

Atual 1º ano

45

com o apoio da reta numérica virtual, para identificação e comprovação dos

obstáculos e dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução de adição e de

subtração; e um pós-teste para checagem da superação das dificuldades.

Os sujeitos da pesquisa foram dois alunos da antiga 7a série do Ensino

Fundamental e dois do 1º ano do Ensino Médio, selecionados após a aplicação do

pré-teste e de entrevista para checar as estratégias e dificuldades que levaram cada

estudante a um tipo de respostas. Os alunos selecionados foram aqueles que

demonstraram dificuldades relacionadas a obstáculos na resolução dos problemas

sugeridos no pré-teste.

A sequência de atividades usada no experimento foi composta de resolução

de problemas através do deslocamento de um objeto (tartaruga do LOGO) em uma

reta numérica virtual, posicionada no sentido vertical, onde o aluno visualizava

tarefas (problemas de transformação a serem resolvidos) na tela do computador,

sendo que, ao responder aos comandos necessários, deveria perceber o movimento

do objeto sobre a reta para indicar a solução dada por ele e, conseqüentemente, um

indicativo de erro ou de acerto que era representado na tela.

Os resultados encontrados pelo autor mostraram que no desenvolvimento da

sequência de atividades, tanto os alunos da 7ª série, quanto os do 1º ano do ensino

médio erraram basicamente as mesmas questões do pré-teste e apresentaram os

seguintes obstáculos e dificuldades, sistematizados pelo autor conforme

apresentado abaixo.

Quadro 3 – Obstáculos e dificuldades

OB

ST

ÁC

UL

OS

Não admite o número negativo de forma isolada.

Não se pode subtrair o maior do menor.

Diferentes significados para o sinal (-), do número, no contexto computacional (inverte o comando).

Diferentes significados para o sinal (-) como inversão.

DIF

ICU

LD

AD

ES

Troca a regra da soma de números com sinais diferentes para “soma-se os valores e toma-se o sinal do maior”.

Utiliza a regra da inversão com sinais. Quando apresentados por –A+transformam em A -

Usa a divisão em adição de simétricos.

Troca a regra da inversão.

Dificuldade com situação de transformação, onde a transformação é solicitada.

Ao somar ou subtrair números com sinais diferentes ou ambos negativos, soma os módulos e usa a regra de sinais da multiplicação, para definir o sinal do resultado.

46

Ao operar números, ambos com sinais negativos, adota o sinal do segundo número para o resultado.

Numa operação onde só aparecem sinais negativos adota a regra que: tudo menos, o resultado será a subtração dos módulos com o sinal negativo.

Fonte:Nascimento (2001, p. 136)

Os problemas de subtração do tipo A - (- B) = ou -A - (-B) =, foi verificado

como difíceis, pela observação no índice de acertos do pré-teste e durante a

aplicação da sequência, indicando, para o autor, que os alunos não tinham

compreensão dessas operações.

Segundo Nascimento (2001), a presença do obstáculo - inversão da operação

pelo sinal de menos do número - verificado no ambiente computacional, é associado

à concepção do sinal de menos com diferentes significados: sinal de operação, sinal

de inversão e sinal de número. De acordo com o autor, o surgimento desse

obstáculo leva a compreender que, em questões do tipo A - (-B) =, a concepção do

sinal de menos como “inversão” não é só verificada através do sinal de menos da

operação de subtração nos modelos - (-A) ou - (+A) pois, quando foi trabalhado os

deslocamentos na reta numérica dinâmica, tomou-se conhecimento de que o sinal

de menos do número, também, toma dois significados: é sinal de número e é,

também, sinal de “inversão”. Essa verificação foi notada quando se tinha a

representação + (- A) . Para este autor, esse fato pode ser gerador de dificuldade

para os alunos e merecem uma melhor consideração por parte dos pesquisadores.

Esta é uma situação que também observamos em sala de aula e que Rama

(2005) chama atenção, por conta do processo multiplicativo que está implícito nela.

Na avaliação de Nascimento (2001), o modelo computacional permitiu aos

alunos a revisão de conhecimentos prévios, aplicados de forma errada e que não

eram concebidos quando utilizavam apenas papel e lápis. Segundo o autor, a

proposta de se utilizar a reta numérica, em um ambiente computacional, provocou

nos sujeitos uma melhor compreensão das operações de adição e de subtração de

números inteiros.

O autor constatou que o índice de acerto das questões usando lápis e papel

ficou muito abaixo do índice de acerto das questões utilizando o computador. Em

algumas delas observou que os alunos utilizaram a influência do uso do computador

na resolução das questões com papel e lápis.Esses resultados levaram Nascimento

(2001) a indicar a necessidade de se investigar uma sequência didática para o

47

ensino das operações de adição e de subtração de números, com auxílio da reta

numérica, devendo ser proposta para os alunos ainda na 6ª ou 7ª séries do ensino

fundamental, a fim de que os obstáculos não se tornem tão resistentes.

Gonçalves (2007) desenvolveu um estudo experimental focalizando o ensino

e a aprendizagem de números inteiros usando o programa APLUSIX, cujo objetivo

foi investigar como alunos da 6ª série do ensino fundamental II resolviam situações-

problema envolvendo números inteiros usando o referido programa computacional.

A autora baseou-se nas teorias de Raymond Duval sobre registros de representação

semiótica para investigar como os alunos faziam a conversão do enunciado do

problema no registro da língua natural para o registro simbólico numérico.

A pesquisa foi realizada em uma escola pública estadual de São Paulo,

contando com a participação de oito alunos do 7º ano do ensino fundamental, que se

ofereceram livremente para ficar após a aula e participar do experimento. O

experimento foi organizado em três momentos: diagnóstico, análise a priori e análise

a posteriori. O instrumento diagnóstico utilizado foi a aplicação de dois problemas

envolvendo adição e subtração com números inteiros, sendo que o primeiro envolvia

um jogo de cartas e o segundo envolvia andares de um prédio, o objetivo era

verificar as conversões e os tratamentos dados pelos alunos aos problemas

propostos.

Os resultados encontrados pela autora mostraram que os problemas

envolvendo o jogo de cartas apresentaram porcentagem maior de acerto no que se

refere a conversão da linguagem natural para a linguagem simbólica e posterior

resolução das operações surgidas. A autora também observou que as dificuldades

dos alunos para resolver o problema do jogo de cartas envolvendo números inteiros

estavam concentradas nos cálculos das operações de adição e subtração e não na

conversão da linguagem natural para a linguagem matemática. Apontando a

necessidade de se investigar uma sequência de ensino para se trabalhar

especificamente estas operações.

Já no caso do problema dos andares do prédio, a autora relata que nenhum

dos alunos representou os andares de subsolo pela linguagem simbólica -2, tendo

alguns deles resolvido o problema como uma adição de andares (apoiadas em

ideais de deslocamento). A maioria dos protocolos analisados pela autora em

relação a esse problema mostrou que os alunos apresentaram dificuldades na

mudança de registro, ou seja, na conversão da linguagem natural para a linguagem

48

numérica, não conseguindo relacionar os andares dos prédios com números inteiros.

Segundo a autora, um dos motivos para esta dificuldade foi o fato de o contato com

elevadores e prédios não fazer parte do cotidiano dos estudantes, já que segundo

ela, eles eram moradores de casas térreas. O que nos faz refletir sobre a

importância de procurarmos conhecer a realidade de nossos alunos a fim de

possibilitar a escolher de questões que sejam mais próximas possíveis de contextos

que lhes sejam familiares.

Sobre a dificuldade apresentada pelos alunos na resolução desses

problemas, mesmo já tendo sido trabalhado pela professora o conteúdo, Gonçalves

(2007, p. 83) diz que, “nós professores e educadores da área de matemática temos

que nos ater nessas dificuldades e proporcionar meios favoráveis que viabilizem a

construção do conhecimento dos alunos”

Como vantagens para o uso desse programa no ensino de números inteiros e

de outros conteúdos matemáticos, a autora apontou: a autocorreção das resoluções

dos exercícios, pois favorece uma maior independência do aluno em relação ao

professor; o videocassete, pois oferece ao professor a oportunidade de observar o

processo de desenvolvimento do raciocínio do aluno durante a resolução dos

exercícios propostos e o Aplusixeditor que permite propor atividades de registro na

linguagem natural.E como desvantagens: o programa não permite a construção de

desenhos e não possui um ambiente onde o aluno possa pesquisa, relacionar e

comparar teorias juntamente com suas propriedades, favorecendo a pesquisa e o

estudo dos conteúdos selecionados pelo programa.

Observamos nos estudos de Nascimento (2001) e Gonçalves (2007) a

presença de obstáculos didáticos e epistemológicos que para D‟Amore (2007)

tratam, respectivamente, da escolha estratégica que é feita pelo docente e da

própria natureza do assunto quando se percebe, na evolução de um conceito, uma

descontinuidade, uma ruptura ou uma mudança radical de concepções.

Segundo D‟Amore (2007, p. 217-218), podemos identificar um obstáculo por

meio das seguintes características:

Tem-se um obstáculo quando, na análise histórica de uma ideia, reconhece-se uma ruptura, uma passagem brusca, uma não-continuidade na evolução histórico-crítica da própria ideia; Tem-se um obstáculo epistemológico quando um determinado erro aparece como recorrente, mais ou menos nos mesmos termos.

49

Podemos observar estes obstáculos especialmente no trabalho de

Nascimento (2001) quando afirma que para os alunos não é possível do menor tirar

o maior, já que tal ideia vinha sendo construída em suas cabeças quando do

trabalho com números naturais. Esta é uma realidade também vivenciada por

nossos alunos e, muitas vezes, reforçada por nós em sala de aula, por isso

acreditamos que a utilização da calculadora para introduzir essas operações poderá

desmistificar essa ideia, mostrando-lhes que é possível encontrar respostas para

situações como 2 – 4.

Os estudos de Nascimento (2001) e Gonçalves (2007) apresentam em

comum a constatação da necessidade de se construir uma metodologia

diferenciada, com uso de ferramentas pedagógicas que substituam ou

complementem o uso do papel e lápis para se trabalhar as operações de adição e

subtração de números inteiros a fim de facilitar o aprendizado, bem como, a inclusão

de meios eletrônicos para a facilitação da formação das ideias e conceitos.

Esta constatação reforçou nossa perspectiva de desenvolver uma

metodologia que vise a utilização de atividades estruturadas aliada ao uso da

calculadora e jogos.

1.2.3Uso de jogos e tecnologias para o ensino de números inteiros

Estão enquadrados nesta categoria os estudos de Linardi (1998); Avello

(2006), Soares (2008) e Altiparmark e Õzdogan (2010). Esclarecemos que apesar

dos outros estudos também utilizarem jogos e tecnologias suas abordagens tem

outros enfoques que se diferenciam do enfoque direcionado para odesenvolvimento

do ensino e da aprendizagem.

Linardi (1998) desenvolveu um estudo experimental denominado “Quatro

jogos para números inteiros: uma análise” que tinha por objetivo apresentar um

método alternativo para o ensino de números inteiros, através da aplicação de

quatro jogos que foram desenvolvidos para resolver em ação quatro problemas

didáticos: Como tirar o maior do menor?Como subtrair um negativo? Porque menos

por menos dá mais?O que significa menos vezes?

Sua intenção era que essas quatro perguntas fossem vivenciadas pelos

grupos sob a forma de situações-problema grupais à medida que os alunos fossem

desenvolvendo as partidas dos jogos.

50

O estudo foi desenvolvido em três séries diferentes, mas a autora optou em

relatar os resultados obtidos na turma de 5ª série13 de uma escola pública estadual

de Rio Claro/SP. De acordo com ela, os jogos eram aplicados sempre em grupo de

no máximo quatro alunos, com monitoramento constante da pesquisadora visando

observar os procedimentos e reações dos integrantes dos grupos, bem como, dar

encaminhamentos para as dúvidas surgidas. Após a realização dos quatro jogos os

alunos recebiam folhas de exercícios que eram elaboradas diariamente, como uma

permanente avaliação do desempenho dos alunos, buscando interceptar os

eventuais problemas de não - compreensão ou dificuldade por parte deles. No texto

não encontramos informações sobre a quantidade de sujeitos envolvidos no

experimento.

Segundo Linardi (1998) as atividades não dispunham de um modelo ou de um

padrão pré-determinado, mas eram elaboradas simultaneamente à intervenção e

tinham por objetivo permitir que os alunos pudessem fazer a passagem da

representação concreta ao abstrato.Ao propor este método, a autora pretendia uma

inversão de papéis, transferindo ao aluno não somente a responsabilidade da

situação de aprendizagem, mas, também, a responsabilidade de responder as

questões do problema didático. Pretendia, ainda, que os alunos fossem capazes de

fornecer suas próprias explicações para um fato que eles devessem achar óbvio.

A estratégia didática adotada pela pesquisadora estava apoiada nas

concepções de Brousseau sobre aprendizagem e também em Glaeser, Piaget &

Inhelder e Piaget & Garcia para fazer a discussão didática sobre a construção dos

números inteiros.

Antes de iniciar o trabalho didático com os jogos, Linardi (1998) estabeleceu

com os alunos um contrato de trabalho no qual estava presente uma descrição

detalhada das normas que regeriam a intervenção, o conteúdo a ser abrangido e os

critérios de avaliação que seriam empregados. Este contrato foi aprovado pelos

alunos e assinado por eles e pela pesquisadora após leitura e intervenção dos

alunos. A autora optou em avaliar os alunos permanentemente durante todo o

processo de intervenção, sob os seguintes critérios: atribuição de um conceito

individual e outro para o desempenho em grupo.

13

Atual 6º ano

51

Para a autora a maneira como foi realizada a intervenção permitiu que seus

objetivos fossem alcançados. De acordo com ela a resposta para o primeiro

problema: Como tirar o maior do menor? Foi favorecida pelo jogo das borboletas,

quando os próprios alunos forneceram respostas para a composição das cartas.

[...] é preciso compensar, ou seja, o número de vermelhos e azuis tem que ser o mesmo. A professora pediu que eles mostrassem no tabuleiro. “Por exemplo, professora, se há no circuito 3 azuis e 2 vermelhos, para compensar o número de vermelhos, falta 1 vermelho, logo, é essa carta que fecha o circuito (LINARDI, 1998, p.102).

Linardi (1998) relata que este saber foi formalizado quando as crianças

resolveram expressões como: + (+ 4) + (− 8) = + (− 4) = − 4.

O segundo problema: Como subtrair um negativo? Foi resolvido em três

oportunidades: durante o jogo perdas e ganhos, quando concluíram que retirar uma

dívida é dar um ganho; quando realizaram a composição de cartas no jogo das

borboletas e quando resolveram expressões como: + (− 8) − (− 6) = + (− 8) + (+ 6) =

+ (− 2) = − 2, já formalizadas.

A pesquisadora explica que o terceiro problema(Por que menos por menos dá

mais?) não foi vivenciado durante as fazes do jogo das araras, criado para este fim,

já que em nenhum momento do jogo ocorreu a composição de dois operadores

negativos, sendo vivenciado apenas a composição de um operador negativo com

um operador troca de sinal. No entanto, a autora relata que a partir desta vivência e

desenvolvimento dos exercícios escritos (− 3) × (− 4) = + 12 sem utilizar o operador

troca de sinal, foi possível aos alunos enunciarem, sem sugestão da professora,

que: “Quando os sinais eram repetidos, a resposta sempre davam „mais‟ e quando

eram diferentes dava „menos‟, portanto, desse jeito, não precisavam mais pensar se

trocavam ou não o sinal” (LINARDI, 1998, p. 185)

A resposta para o quarto problema(O que significa menos vezes?), os alunos

encontraram quando nas atividades para completar circuitos aditivos do Jogo das

Araras passaram a resolver o circuito pelas cartas e não pelos botões (LINARDI,

1998). Formalizando a solução nas atividades que envolviam a distributiva,

realizando, pelas cartas, a seguinte operação: (+ 6) × [(+ 2) − (+ 5)] = (+ 6) × (− 3) =

− 18, ou seja, 2 vezes menos 5 vezes são menos 3 vezes.

Para Linardi (1998) conseguiu-se, através da pedagogia e da ferramenta

didática utilizada, transferir a responsabilidade da aprendizagem ao aluno para que

52

respondesse os quatro problemas didáticos. Conseguiu-se, também, que essa

transferência fosse realizada em um ambiente prazeroso e de total cooperação tanto

entre aluno e professor, quanto entre os alunos. Para ela os resultados obtidos

mostraram que a utilização dos quatro jogos são eficazes para o ensino de números

inteiros.

Ressalta, ainda, a importância da pedagogia na realização deste estudo.

Neste caso, representado pelo contrato de trabalho que contribuiu de forma decisiva

para a eficácia da proposta de ensino, permitindo o estabelecimento de normas e

parâmetros que nortearam todo o desenvolvimento do trabalho, de forma

democrática.

Em Avello (2006) encontramos um estudo sobre números inteiros por meio de

tais jogos, cujo objetivo era investigar se o uso de jogos facilitaria a aprendizagem

das operações com esse grupo numérico.

A pesquisa tinha abordagem qualitativa, sendo realizado um estudo de caso

do tipo observacional. Os sujeitos eram 123 alunos de uma escola militar de Ensino

fundamental em Santa Maria/RS. Estes alunos pertenciam a quatro turmas de 6ª

série, com as quais foi realizada a pesquisa. O trabalho com as turmas teve duração

de três meses e a pesquisa foi desenvolvida por meio do uso de dois jogos para o

ensino das operações de adição, multiplicação, divisão e potenciação.

O primeiro jogo trabalhado consistia de cartas confeccionadas em cartolinas

que continham de uma a doze bolinhas vermelhas (representando pontos perdidos)

ou pretas (representando pontos ganhos), fichas para registros dos pontos, uma

base com duas hastes, semelhantes ao ábaco, onde eram colocadas argolas pretas

ou vermelhas, conforme os pontos ganhos ou perdidos. O jogo foi realizado com os

alunos divididos em grupos de 04 ou 05 estudantes. Cada jogador, no seu grupo,

pegava uma carta aleatoriamente que representava a quantidade de bolinhas

contidas nela em uma haste destinada à cor correspondente. Em seguida o próximo

jogador pegava outra carta e representava a quantidade de pontos na haste e o

grupo verificava o que deveria ser feito (qual seria o resultado) e anotava a jogada.

Vencia o grupo que ao final das cartas tivesse o maior número de pontos.

Os alunos jogavam por algum tempo no ábaco e depois a pesquisadora

colocava no quadro algumas das operações realizadas e perguntava a eles qual

seria a resposta. Exemplo: se na haste havia 05 argolas pretas e o aluno tirasse

uma carta com 08 argolas vermelhas, os alunos retiravam as 05 argolas pretas e

53

cinco argolas vermelhas, sobrando apenas 03 argolas vermelhas, já que havia sido

informado que cada argola vermelha anulava uma argola preta. Então, a

pesquisadora representava no quadro, através da linguagem simbólica a situação

descrita [(+5) + (– 8)] e perguntava aos alunos qual era o resultado.

Segundo Avello (2006), após algumas representações no ábaco e no quadro,

os alunos concluíam que estavam somando e subtraindo números relativos. Então a

professora pedia que utilizassem o livro-texto para pesquisar sobre o que haviam

realizado, encontrando assim as regras de sinais e associando estas as situações

do jogo, o que de acordo com a autora, os fazia entender o porquê das regras.

O segundo jogo era constituído de um bingo feito de cartolina plastificada,

cada um contendo questões representando operações de adição e subtração de

números relativos identificadas por cores diferentes, não havendo cartelas com

questões repetidas. As respostas foram confeccionadas também em cartolina, no

formato de retângulo, com cor correspondente a sua questão, sendo que havia

respostas iguais, mas cores diferentes.

A professora “cantava” uma resposta e os alunos deveriam verificar se tinham

a questão que correspondia a ela. Caso a tivessem, deveriam levantar a mão no

tempo estipulado pela professora. Neste jogo também era exigido do aluno o cálculo

mental, já que não podiam usar lápis e papel. Se o grupo errasse deveria retirar um

cartão resposta da cartela ou caso não tivesse nenhum, ficava devendo uma carta

que era cobrada assim que eles fossem contemplados por outra carta. As cartas

retiradas ou “pagas” eram devolvidas para o saco e misturadas às demais. Era

vencedor o grupo que completasse a cartela primeiro. Ao final de uma jogada, os

grupos trocavam de cartela. Segundo Avello (2006), este jogo foi usado para fixar o

conteúdo.

Com este jogo a autora trabalhou as operações de multiplicação, divisão e

também potenciação, separadamente, e por fim foi construído um jogo nos mesmos

moldes, envolvendo todas as operações. Este jogo serviu como referência para a

construção de um dos jogos usados no ensino das operações de multiplicação e

divisão em nosso experimento.

Foram intercaladas aulas com os jogos e com o livro-texto, no intuito de

verificar se o jogo trouxera motivação para a realização de atividades que antes

eram vistas como apáticas.

54

Após a realização dos jogos, a autora aplicou um questionário com perguntas

semi-estruturadas respondidas por uma amostra de 73 alunos dentre os 123 que

participaram da pesquisa. As repostas do questionário foram analisadas nas

seguintes categorias: aprendizagem dos alunos, interesse pela disciplina, efeitos

produzidos nos alunos pelo jogo.

A pesquisadora constatou que na categoria da aprendizagem dos alunos,

94,52% dos alunos afirmaram que o jogo os ajudou. A partir de suas observações,

Avello (2006) pode constatar que: as aulas passaram a ser mais produtivas e os

alunos passaram a realizar os exercícios do livro com mais prazer; os alunos saíram

da apatia, formulando opiniões sobre o que aprenderam;os que conheciam as regras

diziam estar entendendo o porquê delas.

Quanto a categoria interesse pela matemática com aplicação de jogos,

78,08% dos alunos avaliou que houve bastante interesse pelas aulas. Na concepção

da pesquisadora, os alunos gostaram porque as aulas deixaram de ser monótonas e

aprenderam de forma menos dolorosa. A autora também notou que os alunos

passaram a responder as adições e subtrações mais rapidamente e as respostas

eram corretas.

Na categoria efeitos produzidos pelos jogos nos alunos, os resultados

encontrados por Avello (2006) mostraram que 39,44% dos alunos apontavam como

efeito, a facilidade de aprender; 21,13% apontavam o desejo de continuar com jogos

nas aulas de matemática; 12,68% disseram que o jogo tornava o raciocínio mais

rápido; 9,85% consideraram que gerava mais companheirismo; 5,63% disseram que

gerava mais interesse pelas aulas de matemática; 4,22% disseram que gerava

bagunça na sala de aula; 2,82% alegaram que produzia chateação pelos erros; um

aluno não gostou da experiência; para outro o jogo não produziu nenhum efeito

sobre ele e em um último o jogo despertou o interesse de ser vencedor.

Suas observações mostraram,ainda, que com os alunos jogando houve mais

acertos do que erros. Para ela, isto os motivou a aprendizagem.

Observou,também,que o jogo ajudou os alunos a compreender melhor o conteúdo,

proporcionou facilidade de entendimento e mostrou considerável melhora no grau

das avaliações realizadas durante a aplicação dos jogos. O jogo em grupo estimulou

uma maior interação entre colegas, despertou a colaboração e ajuda mútua,

produzindo um melhor entendimento do conteúdo. Por estes motivos, Avello (2006)

55

concluiu que os jogos ajudaram na aprendizagem das operações de adição e

subtração de números inteiros e despertaram o interesse pela matemática.

Outra observação feita pela pesquisadora diz respeito à atividade com o

“ábaco” que teve resultado satisfatório para a adição e subtração, porém, com a

multiplicação e divisão, não surtiu efeito, resultando em confusão por parte dos

alunos. Segundo ela, para estas operações houve explicações mais tradicionais.

Em seu texto a autora também chama atenção para alguns cuidados que

professores precisam ter ao trabalhar com jogos em sala de aula, tais como: planejar

muito bem o conteúdo a ser ensinado relacionando-o ao jogo destinado a isto; ter

cuidado para não perder o domínio da turma e acabar fugindo do objetivo traçado,

uma vez que os alunos ficam ansiosos, eufóricos e criam um clima de competição

porque, em alguns momentos,eles não admitem perder.

O estudo desenvolvido por Soares (2008) pretendia investigar a

potencialidade de se reintroduzir os números inteiros negativos a partir de uma

intervenção de ensino pautada em resolução de problemas, utilizando jogos como

recursos didáticos e, também, verificar a compreensão dos alunos sobre as

operações de adição e subtração com números inteiros negativos a partir do

trabalho já realizado com o livro didático adotado pela escola onde foi realizada a

pesquisa. O autor partiu do seguinte questionamento: qual a contribuição do jogo

para uma aprendizagem significativa da adição e subtração dos números inteiros

positivos e negativos, na perspectiva de resolução de problema?

O autor faz em seu texto uma discussão sobre o estudo de números inteiros

pautado em três pontos de vista: da matemática (discutindo a história e a definição

atual do conceito de números inteiros, apoiado em Caraça(2005)); da escola

(discutindo os PCN de matemática e de dois livros de matemática do 8º ano) e da

pesquisa (através da revisão dos estudos relacionados com os números inteiros).

Também discute as ideias de Jean Piaget sobre jogos e aquisição de conhecimento.

Para alcançar seus objetivos e responder ao questionamento que se propôs,

Soares (2008) realizou uma pesquisa quase-experimental, na perspectiva de

Campbell (1973), utilizando dois grupos experimentais e um de controle. Tendo

como instrumentos diagnósticos um pré-teste e um pós-teste que, segundo o autor,

continham questões equivalentes e com o mesmo grau de dificuldade, e como

experimento uma intervenção de ensino com jogos.

56

Os sujeitos da pesquisa foram 84 alunos de 7º ano do ensino Fundamental,

distribuídos em três turmas com 27 (GE1)14, 29 (GE2)15 e 28 (GC)16, sendo que as

turmas do grupo experimental tiveram intervenção de ensino por meio de jogos

sobre números inteiros e o grupo de controle teve intervenção de ensino com jogos

sobre outros assuntos. Os três grupos realizaram os testes diagnósticos. As turmas

com as quais foi realizada a pesquisa tinham como professor o próprio pesquisador.

A intervenção de ensino era composta por dois jogos denominados: perdas e

ganhos, cujo objetivo era efetuar adições com números negativos e/ou positivos; e

jogo das argolas, cujo objetivo era trabalhar a resolução de adições de números

positivos e negativos com mais de duas parcelas. O autor destaca que tanto os

alunos que participaram da intervenção quanto os que participaram do grupo de

controle já haviam estudado números inteiros por meio de uma abordagem

tradicional (aulas expositivas e resolução de exercícios propostos nos livro didático).

Segundo Soares (2008), os jogos foram desenvolvidos com os alunos em grupos de

quatro estudantes, alterados a cada encontro para estimular a interação entre eles,

sendo que a organização dos grupos foi feita pelos próprios alunos.

O autor analisou os dados de forma quantitativa e qualitativa, usando a

comparação do pré-teste e pós-teste para a primeira e os registros dos alunos

durante a intervenção para a segunda. De acordo com o autor os resultados do pré-

teste apenas confirmaram que os alunos já possuíam conhecimento sobre números

inteiros, como já havia sido dito.

Na análise quantitativa, o pesquisador levou em consideração as respostas

plenamente corretas. Para o pesquisador, o resultado geral da comparação entre

pré-teste e pós-teste mostrou que houve uma diferença nos resultados e essa

diferença, segundo sua análise, indicou avanço com uma evolução de 13,9% no GE,

representando um crescimento de 21,3% em relação ao pré-teste. O GC mostrou

uma evolução de 13,7%, representando um crescimento de 20,3% em relação ao

pré-teste. Embora pequeno, o crescimento do GE foi maior do que do GC.

Soares (2008) informou que o grupo de questão que apresentou a menor

diferença entre o desempenho do GE e do GC foi aquele em que as questões

tinham contexto algorítmico, evidenciando a dificuldade dos alunos em resolver

14

Grupo Experimental 1 15

Grupo Experimental 2 16

Grupo Experimental 3

57

expressões numéricas, especialmente as que apresentavam parênteses. Mesmo

tendo sido elaborado um jogo para se trabalhar esse tipo de questão o desempenho

continuou sendo baixo.

Na avaliação do pesquisador, o jogar e registrar as operações por meio das

expressões numéricas pode não ter sido suficiente para que todos os alunos

compreendessem a resolução das expressões. O que o levou a refletir sobre a

necessidade de que haja em outro momento uma institucionalização mais

direcionada de tal registro.

Os resultados encontrados por Soares (2008) apontam que a intervenção de

ensino proporcionou avanço no desempenho das questões relacionadas a

representação dos números negativos na reta numérica, antes os alunos só

representavam os naturais; os alunos puderam operar adições e subtrações de

inteiros negativos de forma mais concreta e significativa. Houve melhora qualitativa

no uso da linguagem matemática para representar corretamente as operações com

números negativos; os jogos, as problematizações ocorridas e os registros

realizados facilitaram a compreensão das ideias relacionadas com os números

negativos e proporcionou interação, cooperação e respeito as diferentes opiniões.

Em sua concepção o jogo pode sim contribuir para que os alunos aprendam

os números inteiros de forma significativa, haja vista proporcionar a cooperação das

ideias das operações de forma concreta, por meio de inúmeras relações que se

estabelecem entre aluno e jogo, entre alunos e seus colegas e entre alunos e

pesquisador. Segundo Soares(2008, p 140), no jogo cada jogada revela uma nova

situação, uma surpresa, “podemos até formular hipóteses, mas só teremos certeza

no ato de jogar”, o que evidencia a necessidade dos alunos interagirem uns com os

outros tendo a possibilidade de refletir, estabelecer relações e compreender as

ideias matemáticas.

Em Altiparmark e Õzdogan (2010) encontramos um estudo sobre o ensino do

conceito de números negativos, cujo objetivo principal era desenvolver uma

estratégia eficaz para superar conhecidas dificuldades no ensino de números

negativos, tais como: significado do sistema numérico e a direção e multiplicidade do

número; dificuldades no que diz respeito ao significado das operações aritméticas e

a dificuldade relacionada com o significado do sinal de menos. O que para os

autores estão ligados a questão da dificuldade de abstração. Outro objetivo eramedir

58

o sucesso desta estratégia de ensino entre um grupo de nível elementar de

alunos em Izmir, na Turquia.

O estudo focalizou três dimensões na intenção de que os alunos pudessem

ser conduzidos a um estágio que lhes permitisse pensar em termos abstratos, são

elas: o caso negativo; o significado dos cálculos e da reta numérica; e interpretação

e explicação para a aprendizagem significativa dos números negativos.

A estratégia de ensino desenvolvida por Altiparmark e Õzdogan (2010)

referia-se ao ensino por meio da utilização do computador, utilizando animações

preparadas no programa Macromedia Flash, sendo tomados cuidados especiais

para preparar as animações de forma que pudessem chamar a atenção dos alunos.

Os contextos foram organizados de forma a reproduzir situações do mundo real,

assim os autores criaram um laboratório para trazer o mundo exterior para a sala de

aula. Em alguns casos, modelos de chip artificial foram criados em animações, já

que segundo os pesquisadores, alguns casos negativos não podem ser transferidos

para o contexto do mundo real, como é o caso da multiplicação entre dois negativos.

O estudo foi desenvolvido com 150 alunos do 6º grau (no Brasil, 7º ano) de

uma escola primária na cidade de Izmir, na Turquia, onde o ensino de números

inteiros também se inicia no 7º ano. Altiparmark e Õzdogan (2010) trabalharam com

cinco turmas, sendo que 75 alunos pertenciam às três turmas com as quais foi

formado o grupo de controle e 75 alunos pertenciam as outras duas turmas, e foram

incluídas no grupo experimental. Os grupos de estudo foram selecionados de acordo

com seu aproveitamento acadêmico em matemática (Nota 5) no ano anterior.

O grupo de controle recebeu o método de ensino centrado no professor

tradicional que,como informam os autores, é frequentemente usado na Turquia. E o

grupo experimental participou do ensino por meio do programa desenvolvido no

computador. Os pesquisadores usaram como instrumento diagnóstico: um pré-teste

e um pós-teste que continham as mesmas questões.

O trabalho experimental que tratava da intervenção de ensino foi

desenvolvido durante cinco semanas, duas vezes por semana, durante 2 horas/aula

de 45 minutos cada. As turmas, tanto do grupo experimental como de controle,

tiveram como professores os próprios pesquisadores.

De acordo com Altiparmark e Õzdogan (2010), o resultado do pré-teste

mostrou que o grupo experimental e o grupo de controle não apresentavam

diferenças significativas no nível de conhecimento sobre os números negativos em

59

relação as dimensões apontadas pelos autores como as que podem fazer os alunos

alcançar o estágio que lhes permita pensar em termos abstratos (o caso negativo; o

significado dos cálculos e da reta numérica; e interpretação e explicação para a

aprendizagem significativa dos números negativos). Enquanto que, no pós-teste, o

grupo experimental apresentou significativa diferença em relação ao grupo de

controle.

Este resultado os levou a afirmar que a instrução apoiada em animações com

uma base construtivista aplicada ao grupo experimental de estudo produziu

resultados melhores do que o ensino tradicional de números negativos aplicados ao

grupo de controle. Para os autores, o principal motivo por trás das respostas

incorretas fornecidas pelos alunos do grupo de controle era a dificuldade vivenciada

na compreensão dos conceitos relacionados com os números negativos.

Os autores ressaltam que os resultados obtidos reforçam a sugestão de

muitos pesquisadores de que o uso do computador no ensino permite aos alunos

construir sua própria aprendizagem. Segundo eles, a experiência mostrou que

conceitos foram construídos de acordo com contextos do mundo real, permitindo

que os alunos não só compreendessem os conceitos, a solução e os processos

envolvidos em um problema, como também suas explicações, por exemplo, por que

eles precisam resolver esse tipo de problema.

Para Altiparmark e Õzdogan (2010) o modelo matemático nas animações

apresentadas aos alunos pelos professores foram transformados em linguagem

matemática pelos próprios alunos em função de seus conhecimentos anteriores. O

que os levou a crer que uma vez que os alunos concentrem-se na animação de

eventos que encontram em seu ambiente, eles próprios poderiam construir o

conhecimento com sucesso usando a sua experiência anterior. Um ponto importante

que os autores destacaram foi que os próprios alunos perceberam o ato de aprender

seguindo as instruções fornecidas.

Esses resultados os fezafirmar que um método de ensino em que exista uma

relação de causa e efeito entre os conceitos e em que não exista memorização,

pode ajudar os alunos a transformar conceitos abstratos para os concretos. Os

pesquisadores afirmam ainda que as abordagens, visual e construtivista,

representadas com apresentações geométricas dão oportunidade aos alunos de

compreender mais facilmente os conceitos básicos significativos. No entanto,

esclarecem que a estrutura do teste realizado envolvendo o caso negativo, o

60

significado dos cálculos e da reta numérica, a interpretação e explicação, não mede

qualquer tipo de capacidade de memorizar. É um teste em que apenas os alunos

que aprenderam bem os conceitos e chegaram ao nível de análise e síntese

poderão fornecer respostas corretas.

Portanto, ao analisarmos estes estudos pudemos notar que as investigações

de Linardi (1998), Avello (2006) e Soares (2008) possuem em comum o fato de

apresentarem metodologias para o ensino de números inteiros voltadas para a

utilização de jogos. O que recebe respaldo dos PCN que também apontam este

instrumento como uma ferramenta pedagógica para o ensino de matemática, assim

como, a história e as tecnologias.

É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Dentre elas, destacam-se a História da Matemática, as tecnologias da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os contextos dos problemas, como também os instrumentos para a construção das estratégias de resolução (BRASIL, 2000, p.42).

Concordamos que esta ferramenta pedagógica, se bem usada, pode produzir

resultados satisfatório no ensino de conteúdos matemáticos que normalmente são

considerados difíceis de serem ensinados ou aprendidos, como é o caso dos

números inteiros, dos números decimais, das áreas de figuras plenas e de tantos

outros conteúdos. Deste modo,em nosso estudo lançamos mão do uso de jogos na

perspectiva de fixação das regras operacionais usadas nas operações com números

inteiros, buscando proporcionar a ancoragem do conteúdo à estrutura cognitiva das

crianças.

Um dado que chamou nossa atenção ao analisarmos esses estudos, foi o fato

das quatro pesquisas realizadas focarem mais especificamente no ensino das

operações de adição e subtração. Apenas os estudos de Linardi (1998) e Avello

(2006) fazem menção ao trabalho com a multiplicação e apenas esta última se

refere à divisão. Todavia, apenas Linardi relata resultado satisfatório, confirmando

que as estruturas multiplicativas são mais difíceis de serem relacionadas a um

modelo concreto do contexto real dos alunos e, consequentemente, mais difíceis de

serem modeladas e compreendidas. Em função desta observação, em nosso estudo

foram elaborados dois jogos para trabalharmos a fixação destas duas operações.

61

O único trabalho, nesta categoria, que não se referiu a metodologia por meio

de jogos foi o de Altiparmark e Õzdogan (2010) que apresentam uma proposta com

o uso de tecnologia, usando um programa computacional para dar vida a situações

reais e imaginárias facilitando o processo de abstração da ideia de números

negativos, o que segundo a história desses números, foi um dos grandes obstáculos

para a sua aceitação pelos vários matemáticos da antiguidade.

Este estudo trouxe contribuições no sentido de afirmar que a relação causa e

efeito provoca resultados satisfatórios se for empregada a um bom modelo de

ensino. Contribuiu, também, no sentido de reafirmar que a tecnologia pode ser uma

ferramenta também potente para a melhoria do processo ensino e aprendizagem

dos números inteiros.

A revisão desses estudos reforçou nossas observações enquanto docente a

respeito das dificuldades que os alunos apresentam para aquisição e domínio das

operações com números inteiros e apontaram para a possibilidade de sucesso do

uso da máquina de calcular e jogos para o ensino dessas operações.

Todavia, para melhor fundamentar nossas ideias e, consequentemente, nossa

pesquisa, na perspectiva da utilização da calculadora e jogos parao ensino e a

aprendizagem das operações com números inteiros, consideramos importante trazer

para compor nosso quadro teórico algumas reflexões mais específicas sobre a

utilização destes recursos em sala de aula, buscando verificar quais são os prós e

contras apontados pela comunidade escolar e pelos pesquisadores em educação

Matemática, a respeito da inserção destes recursos no ensino.

1.3 REFLEXÕES SOBRE O USO DA CALCULADORA E DE JOGOS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA

Atualmente, observa-se um crescente desinteresse dos alunos pelo que lhes

é ensinado nas escolas, em particular no ensino de Matemática. Despertar nossas

crianças e jovens para a aprendizagem dos conteúdos que nos propomos a ensinar

tem tornado-se um desafio para muitos professores, especialmente no que se refere

à escola pública. A sensação que temos é de que a escola não está conseguindo

cumprir seu papel de proporcionar formação intelectual e social aos estudantes

e,quanto a matemática, parece não está conseguindo cumprir seu papel básico de

62

formar cidadãos capazes de calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar

informações estatísticas e também fazer uso correto das tecnologias.

Por este motivo, educadores e pesquisadores da área de educação

matemática têm buscado discutir alternativas educacionais que visem contribuir para

a melhoria do processo ensino e aprendizagem, levando-se em consideração a

figura do professor e do aluno enquanto sujeitos sócio-culturais, construtores de um

processo educacional que tem a escola como extensão da sociedade. Neste

sentido, trazem para o debate algumas alternativas metodológicas que visão formar

integralmente os alunos, desenvolvendo nele o espírito investigativo, criativo, crítico,

autônomo e social, considerando-o como sujeito ativo no processo de aprendizagem

com capacidade para construir seu próprio conhecimento.

Tais alternativas metodológicas são hoje conhecidas como Tendências em

Educação Matemática por oferecerem a esta disciplina uma nova perspectiva de

ensino. Dentre elas está o ensino por meio da utilização de tecnologias, com

destaque para a calculadora, e o por meio da utilização de jogos, sobre os quais

passaremos a tratar.

1.3.1 A calculadora na sala de aula

A utilização da calculadora como recurso pedagógico em sala de aula é uma

das tendências que vem ganhando força entre os pesquisadores por considerarem

que ela é uma ferramenta potencial para o desenvolvimento do processo ensino e

aprendizagem, podendo oferecer diferentes possibilidades para a construção do

conhecimento.

Em uma de suas palestras,o professor e pesquisador Ubiratan D‟Ambrósio

jáafirmava que o professor deve dar oportunidade do aluno entrar no novo, e o novo

para ele, entre outros, é o uso da máquina de calcular no ensino dos conteúdos

matemáticos (informação verbal17). No entanto, esta é uma questão que ainda não

encontra consenso entre os professores que atuam principalmente nosanos iniciais

do ensino fundamental, conforme revelam algumas pesquisas como as realizadas

por Macrosky (1997), Noronha e Sá (2002), Schiffl (2006) e Selva e Borba (2010),

em diferentes estados brasileiros.

17

Em palestra proferida no X Encontro Nacional de Educação Matemática (X ENEM) em 07 de julho de 2010.

63

Muitos dos professores pesquisados argumentam que a principal justificativa

para ser desfavorável ao uso deste recurso nas aulas de matemática é a

preocupação com o domínio das quatro operações e da tabuada, bem como, a

possível dependência dos alunos a máquina. Na concepção destes docentes o

aluno só poderia fazer uso da máquina de calcular quando já tivesse aprendido os

algoritmos, fosse capaz de desenvolver satisfatoriamente as operações básicas e

tivessem apropriação dos conteúdos ensinados.

Para Selva e Borba (2010) este tipo de concepção está relacionado ao fato de

que uma grande parcela dos educadores ainda concebe a calculadora apenas como

uma ferramenta útil para a realização de cálculos, conferência de resultados e

aplicação dos conhecimentos adquiridos a partir das explicações do professor, não

conseguindo reconhecer que este objeto tecnológico pode contribuir também para o

desenvolvimento conceitual de seus alunos.

Já Mocrosky (1997) considera que esta concepção está relacionada ao fato

dos professores não saberem como promover a ligação dos conteúdos com a

utilização da calculadora, o que acaba por aumentar ainda mais as suas resistências

ao uso desse instrumento em sala de aula. Tal situação poderia ser facilitada se em

suas formações, inicial ou continuada, recebessem orientação adequada para tal

ação. O certo é que “novas concepções de ensinar e aprender têm que ser

apreendidas para que o (a) professor (a) possa utilizar a calculadora de modo

eficiente em sala de aula” (SELVA e BORBA, 2008, p. 11).

Outro fator que também contribui para esta resistência é o juízo que muitos

pais fazem dos professores que utilizam este instrumento tecnológico como recurso

didático. Dados da pesquisa realizada por Noronha e Sá (2002, p. 129) revelam que

para uma grande parcela dos responsáveis, o professor que faz uso da calculadora

em sala de aula,

estaria sendo preguiçoso e não ensinaria a verdadeira matemática;estaria induzindo a mente de meu filho a ser preguiçoso e incapacitado;não passa confiança para ensinar;estaria impedindo o aluno de aprender; a calculadora passa uma imagem de que o professor não é capaz de resolver os cálculos sem a mesma.

Talvez esses pais pensassem deste modo por não terem experimentado em

sua vida escolar o ensino com este tipo de recurso ou por não conhecerem

experiências de sucesso que revelem que se usada no momento certo, a

64

calculadora “poderá tornar-se uma boa ferramenta para treinar o raciocínio lógico e

até agilizar o cálculo mental” como afirmam Noronha e Sá (2002, p. 131). Além de

contribuir na construção de regras, propriedades, conferência de resultados e “na

compreensão do sistema de numeração decimal, na adição, na subtração, na

multiplicação e na divisão dos números naturais e racionais, entre outros conceitos

matemáticos” conforme ressaltam Selva e Borba (2010, p.10).

Em Jucá (2008) encontramos a calculadora sendo utilizada como recurso

para a descoberta das regras gerais usadas na realização das operações com

números decimais.

Segundo a autora, os resultados de seu estudo que investigou a eficácia do

desenvolvimento de um conjunto de atividades com a calculadora (simples) e jogos

no ensino das operações com números decimais, em uma turma de 5ª série18 do

ensino fundamental de uma escola pública estadual em Belém/PA, revelaram que o

uso da calculadora favoreceu a redescoberta de regras operatórias para a resolução

das operações com números decimais, além de ter sido observado percentuais de

acertos elevados na comparação entre um pré-teste e um pós-teste, especialmente

em relação a adição e subtração, inclusive sendo percebida autonomia, por parte de

alguns alunos, para formular as regras a partir da regularidade dos resultados

apresentados pela calculadora.

Outro pesquisador que se utilizou da calculadora em seu estudo foi Melo

(2008) que investigou o uso deste instrumento no ensino de potências e raízes em

uma turma de 20 alunos do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual

do interior de São Paulo. Aqui a calculadora foi usada como facilitadora de cálculos

e como ferramenta que possibilitou as conjecturas sobre os resultados

apresentados.

Uma das constatações de Melo (2008) foi a de que os alunos não sabiam

manusear a calculadora (cientifica) até mesmo para executar as funções mais

simples, apresentando muitas dúvidas. Segundo este pesquisador este fato revela a

falta de utilização das tecnologias no âmbito escolar, “os alunos não tem o hábito de

manusear e trabalhar com estes artefatos, ficando alheios a conhecimentos que as

tecnologias podem proporcionar” (MELO, 2008, p. 95).

18

Atual 6º ano

65

Apesar das dificuldades apresentas pelos alunos quanto ao manuseio da

calculadora na proposta investigativa, o pesquisador afirma que houve evolução na

autonomia e no desempenho dos alunos a medida que avançavam na proposta. O

autor relata que os alunos confessaram nunca ter percebido a relação entre as

potências e as raízes em séries anteriores e que gostaram da forma como o assunto

foi introduzido, usando a calculadora.

Em Selva e Borba (2010) encontramos o relato de um estudo desenvolvido

por essas autoras no ano de 2005 que analisou como crianças da 3ª e 5ª série, hoje

4º e 5º anos, comparavam os resultados de um mesmo problema de divisão com

resto resolvido por meio de diferentes representações. Os alunos realizaram pré-

teste, intervenção e pós-teste para que pudesse ser avaliada a evolução ou não do

desempenho. As pesquisadoras dividiram as crianças em grupos para resolverem os

problemas usando dois tipos de representação: G1 – papel e lápis/calculadora, G2 –

calculadora/papel e lápis e, G3 – manipulativo/papel e lápis.

Os resultados comparativos entre pré-teste e pós-teste revelaram que o

desempenho no pós-teste foi superior ao pré-teste em todos os grupos. Sendo que

na 3ª série o uso da calculadora foi mais efetivo após a resolução no papel do que

antes, na 5ª série não observaram diferença no pós-teste entre G1 e G2 e

constataram que o desempenho mais baixo foi no G3, que não fez uso da

calculadora. Estes dados também revelam que a calculadora pode ser uma grande

aliada para o cálculo mental.

Para as pesquisadoras esses dados enfatizaram a importância do uso de

diferentes representações na resolução de problemas, revelando que o uso da

calculadora pode auxiliar o professor no processo de suscitar nos alunos maior

reflexão sobre números, em particular decimais resultantes de divisão com resto.

Outro estudo que também revelou resultados positivos em relação ao uso da

calculadora em sala de aula foi o realizado por Silva, Silva Pires e Sá (2010), onde

uma calculadora virtual foi usada para trabalhar adição e subtração de frações.

A calculadora a qual nos referimos, trata-se de um software matemático feito

na plataforma Java, formatado para frações, construída pelos professores Pedro

Franco de Sá, Fábio José da Costa Alves e Antônio José Neto, da universidade do

Estado do Pará. Nela são apresentados os números racionais através na forma b

a,

66

onde b ≠0 e a, b є R19, possibilitando o ensino das operações com frações, já que

permiti a representação das frações na sua forma natural.

Os resultados do estudo do experimento desenvolvido com alunos do 6º ano

revelaram que os alunos não tiveram dificuldades para perceber as propriedades

existentes para a adição e para a subtração com denominadores iguais. E que,

apesar das dificuldades encontradas no caso da adição e subtração com

denominadores diferentes, alguns alunos conseguiram descobrir as propriedades.

Reafirmando a concepção de Selva e Borba (2010) de que é perfeitamente possível

usar a calculadora para explorar conceitos matemáticos.

Temos ainda o estudo de Schiffl (2006) que tratou do ensino de juros simples

e composto para alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede

pública de São Paulo. Neste estudo foi usada uma calculadora cientifica, empregada

como ferramenta de cálculo para auxiliar nos cálculos extensos e com números

decimais.

A autora relata que os alunos se sentiram dispostos e motivados para

participar do ensino por meio da calculadora, “por se tratar de uma novidade em sala

de aula, mesmo que para alguns, seu uso fizesse parte de atividades cotidianas”

(SCHIFFL, 2006, p. 90).

Relata ainda, que os alunos mesmo tendo se sentido favorecidos pelo uso da

máquina de calcular reconheceram que “a calculadora é uma ferramenta para

auxiliá-los e não para substituí-los” Schiffl (2006, p.92), o que pôde ser evidenciado

também nas falas dos alunos ao se referiam aos pontos onde a máquina não foi

considerada de grande utilidade: “nas contas fáceis, nos juros simples,

principalmente para quem não sabia fazer a conta e achava que a resposta ia

aparecer na tela da máquina sem fazer cálculos; - Nos problemas mais simples, que

tinha contas mais fáceis que dava para resolver de cabeça” (ibid, p. 93)

Porém, apesar desse reconhecimento, segundo a autora, poucos deles

abriram mão da calculadora nestes casos, e muito menos fizeram estimativas de

resultados, o que algumas vezes ocasionou resultados absurdos que não foram

percebidos pelos alunos, por isso, a autora ressalta que é muito importante que os

19

O modelo da calculadora pode ser visualizado na revista Traços 2009, da Universidade da Amazônia/PA e também em Pires, Sá e Silva (2010) nos Anais do VII Encontro Paraense de Educação Matemática.

67

alunos sejam incentivados e ensinados a usarem o cálculo mental

concomitantemente com o uso da calculadora.

Como se observa, a utilização da calculadora em sala de aula, associada a

situações didáticas bem elaboradas pode produzir resultados bastante positivos para

o ensino de matemática, contribuindo não somente na aprendizagem dos conteúdos,

mas também, para que o aluno possa “sentir-se seguro da própria capacidade de

construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a

perseverança na busca de soluções” (BRASIL, 2000, p. 52).

NoQuadro 4, a seguir,destacamosalgumas das vantagens apontadas pelos

pesquisadores citados sobre o uso da calculadora como recurso didático-

pedagógico em sala de aula.

Quadro4- Vantagens do uso da calculadora em sala de aula

AUTOR CONSIDERAÇÃO

SCHIFFL (2006)

Com a calculadora em mãos, o aluno se sente encorajado a tentar calcular sem restrições. A máquina permite que se faça diversos cálculos com qualquer tipo de número (p. 93)

SELVA e BORBA (2010)

O uso da calculadora motiva e estimula os alunos “criando um ambiente extremamente saudável para reflexões de situações matemáticas que poderiam ser enfadonhas e complicadas se trabalhadas apenas no papel e lápis” (p. 68)

Pode promover uma reorganização da atividade em sala de aula com novos papéis a serem desempenhados por professores e por alunos (p. 46)

Possibilita que regularidades possam ser observadas, contribuindo para a construção conceitual dos estudantes, e que processos de cálculo sejam realizados de forma mais ágil e sem erro (p. 110)

D‟AMBRÓSIO

(apud SCHIFFL)

(2006)

Libera tempo e energia gastos em operações repetitivas; permite a resolução de problemas reais; propicia maior atenção ao significado dos dados e a situação descrita no problema, privilegiando o raciocínio e permite a primazia do raciocínio qualitativo sobre o quantitativo, podendo assim, servir como ponte para o conhecimento da informática e uso da internet (p. 21)

NORONHA E SÁ

(2002)

pode ser utilizada para estimular a aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades e regras tornando assim, um recurso didático (p.130-131)

Fonte:Análise bibliográfica/sistematização

No Quadro 5,a seguir, apresentamos alguns dos desafiospara o uso da

calculadora em sala de aula apontados pelos pesquisadores.

68

Quadro5 - Desafios para o uso da calculadora em sala de aula

AUTOR CONSIDERAÇÃO

SELVA e BORBA

(2010)

Conceber a calculadora como uma ferramenta potencial que pode auxiliá-lo nas atividades de sala de aula, no sentido de proporcionar ricos aprendizados matemáticos a seus alunos (p. 17)

Fazer uso dessas ferramentas de maneira competente, e poderão mudar suas crenças e suas atitudes diante do computador e da calculadora enquanto instrumento de ensino e de aprendizagem (p. 16)

MOCROSKY

(1997)

Para o sucesso do professor nessa nova perspectiva de ensino, será necessário tempo e atenção a produção de materiais didáticos para auxiliar o trabalho docente e discente (p. 27).

Fonte:Análise bibliográfica/sistematização

Em relação aos desafios, consideramos que também é preciso equipar

nossas escolas com esse instrumento tecnológico; conscientizar pais e/ou

responsáveis pelos alunos sobre a importância da utilização da calculadora em sala

de aula e não criar falsas expectativas de que esse recurso será solução para todos

os problemas inerentes a aprendizagem, ela é apenas mais um recurso que se bem

usado poderá contribuir para a melhoria do processo ensino e aprendizagem.

Portanto, são muitas as vantagens que a calculadora pode proporcionar ao

processo ensino e aprendizagem de matemática, e em contrapartida, são também

muitos os desafios que precisam ser enfrentados para que a inclusão deste recurso

em sala de aula possa de fato contribuir para a melhoria deste processo. Todavia,

consideramos que todos os esforços são válidos e compensatórios se levarmos em

conta que “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a

sua própria produção ou a sua construção” (FREIRE, 1996, p. 47).

1.3.2 O jogo na sala de aula

As atividades lúdicas, em especial o jogo, assumem papel importantíssimo no

ensino de matemática pelo seu caráter desafiador, dinâmico e fictício. Ao jogar a

criança mobiliza diversos sentidos, habilidades e sentimentos que vão contribuir no

processo de aprendizagem intelectual e social da mesma. Grando (2000, p.19)

citando Vygotsyk, diz que “é no jogo e pelo jogo que a criança é capaz de atribuir

aos objetos, mediante sua ação lúdica, significados diferentes; desenvolver a sua

capacidade de percepção do objeto”.

69

Ou seja, ao jogar a criança trabalha com um nível de imaginação que,

balizadas por determinadas regras, lhe possibilita transcender o real, contribuindo

pra que desenvolva sua capacidade de abstração. Esta é uma das razões pela qual

essa atividade torna-se uma ferramenta potencial para o estudo de matemática, haja

vista ser a abstração um elemento essencial para a compreensão e aprendizagem

dos conteúdos que estão inseridos nesta disciplina.

Outra habilidade também desenvolvida na realização de um jogo é a

capacidade de elaborar estratégias. No jogo o jogador precisa verificar e planejar

qual a melhor maneira de agir para apenas permanecer jogando, ou para vencer as

partidas. Na matemática o aluno precisa verificar e planejar quais as possibilidades

para resolver uma determinada situação ou problema matemático que lhes são

apresentados durante as aulas.

Além das habilidades ligadas aos aspectos cognitivos, Lara (2003) e Avello

(2006) apontam que o jogo também pode propiciar o desenvolvimento da

concentração, da curiosidade, da consciência de grupo, da autoconfiança, do

companheirismo, da auto-estima.

Do ponto de vista psicopedagógico, defendido por Macêdo; Petty e Passos

(1997, p. 142), o jogo pode significar para a criança,

[...] uma experiência fundamental, de entrar na intimidade do conhecimento, de construir respostas por meio de um trabalho que integre o lúdico, o simbólico e o operatório. [...] conhecer é um jogo de investigação – por isso de produção de conhecimento – em que se pode ganhar, perder, tentar novamente, ter esperança, sofrer com paixão, conhecer com amor.

Essas habilidades, experiências e sentimentos provenientes do uso do jogo

em sala de aula têm contribuído para o melhoramento do processo ensino e

aprendizagem de conteúdos matemáticos considerados, pelos alunos, difíceis ou

enfadonhos, como é o caso das frações, das expressões numéricas, da resolução

de problemas e mesmo dos números inteiros. Estudos como o de Grando (2000),

Druzian (2006), Menezes (2010), além dos apresentados na subseção anterior, tem

mostrado que o jogo contribui de maneira qualitativa para a compreensão e

apreensão dos conhecimentos que se quer ensinar.

Todavia, é essencial que o professor tenha claro qual é o seu objetivo ao

lançar mão de um determinado jogo, isso porque, segundo Grando (1995, p. 59),

“um mesmo jogo pode ser utilizado, num determinado contexto, como construtor de

70

conceitos e, num outro contexto, como aplicador ou fixador de conceitos”. É o

planejamento didático-pedagógico realizado pelo professor que irá determinar a sua

utilidade.

Neste sentido, esclarecemos que, ao contrário do que se viu na seção

anterior, onde o jogo foi usado na perspectiva de construtor de conceitos,em nosso

experimento o jogo assumiu a conotação de meio para prática e fixação das regras

que os alunos haveriam de construir.Nossa intenção foi que os alunos ao

desenvolverem os jogos pudessem adquirir maior domínio sobre as regras e maior

habilidade para realizar os cálculos com sucesso.

Consideramos que o desenvolvimento de jogos para trabalhar a fixação das

regras torna a atividade mais interessante para os alunos, possibilitando que estes

consolidem e exercitem seus conhecimentos de maneira prazerosa. Essa

consideração é reforçada por Piaget (apud KIMURA, 2005, p. 122) quando afirma

que:

é pelo fato de o jogo ser um meio tão poderoso para a aprendizagem das crianças, que em todo lugar onde se consegue transformar em jogo a iniciativa à leitura, ao cálculo, ou à ortografia, observa-se que as crianças se apaixonam por essas ocupações comumente tidas como maçantes.

Por outro lado, Grando (2004) explica que é preciso considerar também que

quando se trabalha com o jogo no ensino é preciso tomar alguns cuidados, já que

eles podem oferecer vantagens e desvantagens que segundo ela devem ser

refletidas e assumidas pelo professor que se propõe a inserir este método em suas

aulas.

Dentre as vantagens apontadas pela autora, destacamos aquelas que mais

se aproximam de nosso objetivo com a utilização dos jogos, são elas: (re)

significação de conceitos já aprendidos de uma forma motivadora para o aluno;

introdução e desenvolvimento de conceitos de difícil compreensão; aprender a tomar

decisões e saber avaliá-la, ou seja, permite que o aluno adquira autonomia; desperta

interesse no aluno e resgata o prazer em aprender e permitem ao professor

identificar e diagnosticar algumas dificuldades dos alunos.

Destacamos dentre as desvantagens aquelas que devem ser por nós,muito

bem analisadas, a fim de que a inserção do jogo no experimento possacumprir seu

papel, são elas: quando os jogos são mal utilizados, existe o perigo de dar ao jogo

um caráter puramente aleatório, tornando-se um “apêndice” em sala de aula; requer

71

um tempo maior, por isso o professor deve tomar cuidado para não prejudicar outros

conteúdos; a pressão do professor para que o aluno jogue o que provoca a

destruição da voluntariedade pertencente à natureza do jogo.

Portanto verificamos que tanto a calculadora como os jogos têm contribuições

importantes a oferecer ao Ensino de Matemática, todavia é necessário que se tenha

muito claro qual o objetivo que se pretende alcançar com a utilização de cada um

desses recursos para não prejudicar o processo ensino e aprendizagem.

Em nosso estudo esses recursos foram utilizados com o intuito de contribuir

para que o aluno participasse do processo ensino e aprendizagem de forma

significativa, tornando-se parte integrante do processo de construção das regras de

sinais e alcançando domínio sobre as mesmas.

Para que chegássemos a modelação da sequência didática com a qual

trabalhamos, também ouvimos professores de matemática e alunos de algumas

escolas da cidade de Belém, buscando verificar como estava sendo desenvolvida a

prática docente em relação aos números inteiros, em especial as operações, e como

eram avaliadas as dificuldades sentidas pelos alunos no momento da aprendizagem

deste conteúdo. Os resultados destes estudos estão apresentados nos tópicos a

seguir.

1.4 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE NÚMEROS INTEIROS NA VISÃO DE DOCENTES

Apresentamos nestasubseção os resultados da consulta feita a 100 (cem)

professores de matemática de várias escolas da rede pública do Município de

Belém, no Pará, com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito da prática

docente sobre o ensino de números inteiros e também verificarcomo esses

professores avaliavam as dificuldades dos alunos para aprenderem este conteúdo.

A consulta foi realizada durante os meses de janeiro e fevereiro de 2010,

tendo como instrumento de coleta um formulário(cf. apêndice A) contendo 14

perguntas fechadas, referentes ao perfil dos sujeitos, a prática docente em relação

aos números inteiros e a avaliação do grau de dificuldades percebidas pelo

professor em relação a seus alunos quanto ao aprendizado deste conteúdo.

72

Os critérios adotados para a escolha dos sujeitos foi que fossem professores

graduados em matemática e que lecionassem ou já tivessem lecionando no 7º ano

do ensino fundamental.

A sistematização dos dados mostrou que dentre os professores consultados,

58% eram homens e 42% eram mulheres, mostrando predominância de professores

do sexo masculino no ensino desta disciplina. A maior parte deles, 67%, estava na

faixa etária entre 21 e 40 anos e apenas 33% tinham mais de 40 anos, o que revelou

um quadro relativamente jovem de professores atuando em algumas escolas de

Belém.

Todos os professores consultados possuíam graduação em licenciatura em

Matemática, sendo que 56% foram graduados entre 2001 e 2010; 58% estudaram

em universidades públicas; 83% cursaram ou estavam cursando especialização em

Educação Matemática; apenas 3% tinham mestrado e 1% doutorado, o que pode ser

explicado pela dificuldade de acesso a um programa stricto sensuoferecido pelas

instituições públicas de nossa cidade.

Em relação ao tempo de serviço, foi verificado que 33% dos consultados

tinham entre 1 e 5 anos de serviço e 12% tinham menos de 1 ano, revelando um

número considerável de professores com pouca vivência docente. No entanto, a

maioria (40%), tinha de 6 a 20 anos de serviço em sala de aula, o que significa que

tinham experiência suficiente para avaliar as dificuldades dos alunos em relação a

aprendizagem dos números inteiros em sala de aula.

Verificamos, também, que 56% dos docentes trabalhavam apenas em

instituições públicas, enquanto apenas 23% desenvolviam suas atividades somente

em instituições particulares, significando que a maioria dos professores consultados

eraconhecedor da realidade da escola pública na capital paraense, convivendo com

dificuldades como a falta de estrutura e de recursos pedagógicos.

Dentre os 100 docentes consultados, 64% estavam lecionando no 7º ano do

ensino fundamental naquele momento, o que consideramos bastante importante

para a pesquisa, já que permitiu que as informações prestadas sobre o ensino e a

aprendizagem de números inteiros fossem bem mais precisas.

No que se refere a formação inicial para atuar no ensino de números inteiros

em sala de aula, observamos que os professores, em sua maioria (52%), informaram

nunca ter cursado nenhuma disciplina que tratasse com destaque deste assunto,

enquanto que 44% informaram ter cursado disciplinas que tratavam sobre o ensino

73

deste conteúdo.Porém apenas 29 destes conseguiram dizer quais foram as

disciplinas que contribuíram para sua formação em relação a este conteúdo,

apontando: teoria dos números, fundamentos da matemática, história da matemática

e cálculo I.

Quando a questão era a formação continuada, os dados revelam que a

maioria dos professores consultados (67%) nunca participou de cursos ou eventos

que abordasse o ensino de números inteiros e apenas 30% disseram ter participado

de algum desses momentos de formação, citando cursos de especialização em

educação matemática, congressos, encontros de educação matemática e palestras

como espaços para enriquecimento sobre este saber e aperfeiçoamento de suas

práticas.

Constatamos, também, que 54% dos professores costumavam fazer uso de

situações contextualizadas quando ensinavam números inteiros; 36% usavam

apenas às vezes e 10% não costumavam usar este tipo de estratégia para o ensino

deste conteúdo. No entanto, não foi possível saber em que momento os professores

que responderam “sim” ou “às vezes”, costumavam usar desta estratégia, haja vista,

não termos incluído no questionário nenhuma pergunta que nos remetesse a essa

resposta.

Com relação a prática dos professores no ensino de números inteiros, o

gráfico abaixo mostra como os professores costumavam introduzir o conteúdo.

Gráfico1- Métodos usados para introdução dos conteúdos sobre números inteiros

Fonte: Pesquisa de campo realizada (jan e fev/2010)

43% 46%

3% 5% 3%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

métodos

pela definição seguida de exemplos e exercício

por uma situação problema

com um experimento

com uma situação modelo

com jogos

74

Constatamos,ao analisar o gráfico 1, que existia uma boa parcela dos

professores (57%) que fazia uso de metodologias diversificadas para introduzir os

assuntos contidos no conteúdo de números inteiros, com destaque para a utilização

de situações problemas (46%).Enquanto 43% ainda introduziam o assunto de

formatradicional, centrada em aulas expositivas, com apresentação das definições,

seguidas de exemplificação e resolução de exercícios. Dentre eles estavam três dos

seis professores da escola onde foi desenvolvida nossa pesquisa.

Outro questionamento que fizemos diz respeito aos recursos para a fixação

do conteúdo. Nossa intenção era verificar quais recursos pedagógicos estavam

sendo mais utilizados por estes docentes no momento de ajudar na apreensão dos

conhecimentos e nodesenvolvimento das habilidadesdos alunos em relação aos

númerosinteiros. O gráfico abaixo traduz as respostas obtidas.

Gráfico 2- Recursos usados pelos professores na fixação dos conteúdos

Fonte:Pesquisa de campo realizada (jan e fev/2010)

Podemos verificar que os recursos mais utilizados pela maioria dos

professores ainda eram o livro didático e/ou a lista de exercícios, usados por 70%

dos consultados, dentre eles estavamcinco dos seis professores da escola local da

pesquisa. Enquanto outros recursos como jogos e pesquisa em outras fontes, eram

usados apenas por 30% deles.

Segundo Soares (2008, p. 39), os livros didáticos não são recursos

adequados para trabalhar a apreensão dos conteúdos, pois,

28%

9%

28%

1%

14%

4% 5%1%

10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Recursos

Lista de Exercício

Jogos

Livros Didático

pesquisar em outras fontes

Lista e livro

lista e jogos

Livro e jogos

livros e outras fontes

mais de dois destes recursos

75

evidenciam sempre o mesmo tipo de exercício, com o mesmo procedimento de resolução. Há pouco espaço para o aluno pensar e refletir sobre o que é para fazer e como deve ser feito. As situações geralmente exigem pouca leitura e interpretação.

Para nós, estes dados revelaram contradição entre a metodologia usada para

ensinar o conteúdo e as atividades para fixação deste, visto que, no primeiro

momento os professores, em sua maioria, disseram utilizar-se de recursos que de

certa forma buscam romper com a maneira tradicional de ensinar,

masacabamretornando ao tradicionalismo no momento de exercitar os

conhecimentos adquiridos.

Compreendemos que a utilização de recursos e estratégias

diversificadasexigemum esforço muito maior por parte dos professores que

precisam,dentre outras coisas, estar bem formadospara saber como usar, com

criatividade,os recursos pedagógicos disponíveis relacionando-os de maneira

adequada aos conteúdos que se quer ensinar.Todavia o cruzamento destes dados

com o perfil destes profissionais revela que se tratavam de professores que, em sua

maioria, tinham pouca formação inicial e/ou continuada para atuar no ensino deste

conteúdo de maneira diferenciada.

Pesquisas têm mostrado que alguns professores reconhecem que precisam

mudar sua prática, mas muitas vezes não sabem como fazê-lo, ou sentem-se

sozinhos neste desafio, como fica evidenciado no depoimento de um dos sujeitos da

pesquisa realizada por Fiorentini e Nacarato:

Gostaria que pudesse ter um lugar ou alguém que pudesse mostrar caminhos alternativos para melhorar a minha aula e que também pudesse me animar quando tudo parecesse que perde a importância, o valor, a necessidade. Tem momentos, no dia-a-dia da sala de aula, que estou sozinha, lutando para meus alunos gostarem e aprenderam matemática. Muitos artigos ou livros discutem assuntos que parecem ser baseados em alunos perfeitos, ideais e ficam distantes da realidade do adolescente de minha escola. Sugiro que montem grupos de estudo com os professores que estão na sala de aula do ensino fundamental ou médio, mas que de alguma forma que a secretaria de educação apóie e custeie (FIORENTINI e NACARATO, 2005, p. 104)

Para Mizukami e Reali (2002), muitos docentes vivem hoje um conflito entre o

que é, o que quer ser e o que consegue ser, fruto da cobrança que faz de si mesmo

e das cobranças impostas pela sociedade atual que espera que a escola além de

desenvolver no aluno novos saberes e competências, também desenvolva “sujeitos

capazes de promover continuamente seu próprio aprendizado” (FIORENTINI

76

eNACARATO, 2005, p. 89). Desta forma, segundo estes autores, os saberes e os

processos de ensinar e aprender tradicionalmente desenvolvidos pela escola se

mostram cada vez mais obsoletos e desinteressantes para o aluno.

Neste sentido, entendemos que é essencial que os docentes recebam

formação inicial e continuada adequada para atuarem em sala de aula visando

contribuir para que as dificuldades encontradas no momento de conduzir os alunos

ao aprendizado, sejam melhor resolvidas.

Em se tratando das dificuldades para o aprendizado, pedimos aos

professores que considerando suas experiências profissionais no ensino de números

inteiros apontassem o grau de dificuldades que percebiam nos alunos para o

aprendizado de cada tópico contido no conteúdo de números inteiros, nossa

intenção era verificar como os professores avaliavam as dificuldades sentidas pelos

alunos em relação a aprendizagem deste conteúdo, dando destaque principalmente

às operações.

Quadro 6– Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores (continua)

Nº Assunto

Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Muito Fácil Fácil Regular Difícil

Muito Difícil

Não Informou

01 Idéia de número negativo 3% 43% 41% 11% 2% - 02 Representação de número positivo 15% 69% 16% 0% 0% - 03 Representação de número negativo 8% 50% 31% 11% 0% - 04 Idéia de número simétrico 4% 48% 36% 8% 0% 4% 05 Localização dos números positivos na reta 7% 54% 33% 4% 2% - 06 Localização dos números negativos na reta 4% 39% 42% 12% 3% - 07 Módulo de um número negativo 5% 36% 43% 13% 3%

08 Comparação de números positivos 10% 50% 35% 4% 1% - 09 Comparação de números negativos 2% 24% 48% 21% 5% - 10 Comparação de nº negativo com positivo 4% 29% 39% 21% 5% - 11 Adição de números com o mesmo sinal 8% 45% 34% 12% 1% - 12 Adição de números com sinais diferentes 2% 12% 43% 37% 6% - 13 Adição de simétricos 4% 31% 45% 18% 2% - 14 Subtração de números com o mesmo sinal 3% 26% 42% 26% 3% - 15 Subtração de números com sinais diferentes 3% 13% 45% 34% 5% - 16 Subtração de números simétricos 4% 19% 48% 27% 2% - 17 Multiplicação de dois nºs com sinais

diferentes 3% 20% 50% 24% 3% - 18 Multiplicação de dois nºs com sinais iguais 5% 29% 47% 12% 5% 2% 19 Divisão de dois nºs com sinais diferentes 3% 16% 48% 27% 4% 2%

77

Quadro 6 – Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores (conclusão) 20 Divisão de dois nºs com sinais iguais 4% 26% 49% 18% 3% - 21 Potenciação de expoente par 3% 29% 50% 15% 3% - 22 Potenciação de expoente impar 3% 18% 49% 26% 4% - 23 Potenciação de expoente negativo 1% 9% 33% 46% 11% - 24 Expressões com adição e subtração em Z 1% 20% 48% 25% 6% - 25 Expressões com adição, subtração e

multiplicação em Z 0% 19% 35% 40% 6% - 26 Expressões com adição, subtração e divisão

em Z 0% 14% 34% 41% 10% - 27 Expressões com adição, subtração e

potenciação de Z 0% 12% 25% 46% 17% - Fonte: Salgado e Sá (2010)

Constatamos que os itens 01, 02, 03, 04, 05, 08, que tratavam,

respectivamente, da ideia de números negativos, representação de números

negativos e positivos, ideia de números simétricos, localização na reta numérica e

comparação de números inteiros positivos (tópicos mais relacionados às noções

teóricas sobre números inteiros) e o item 11, que tratava da operação de adição

onde os números têm o mesmo sinal, foram considerados pelos docentes como

conteúdos mais fáceis de serem aprendidos, ou seja, com pouca ou nenhuma

dificuldade de aprendizagem para os alunos.

O que contrasta, de certa forma, com os resultados obtidos por Nascimento

(2001) e Gonçalves (2005) que mostraram a dificuldade das crianças em representar

os números inteiros e operar corretamente com as adições quando estão envolvidos

dois negativos.

Para alguns autores, entre eles Gonzáles et al (1990), o grande obstáculo dos

estudantes para a compreensão dos números inteiros está relacionado exatamente

a falta de compreensão sobre a ideia do que seja um número negativo, já que

segundo ele, somos acostumados a identificar os números com quantidades e,

abstrair a ideia de uma quantidade negativa é bem difícil, especialmente para as

crianças. Altiparmark e Õzdogan (2010) também concordam que uma das

dificuldades das crianças pode estar relacionada a questão do significado que é

atribuído ao número negativo, devido a falta de amadurecimento que estas tem para

a abstração. Este, talvez, seja um dos problemas que levam as crianças a cometer

erros no momento de operar com os números inteiros, o que mereceu nossa

atenção no momento de desenvolvimento de nosso experimento.

78

Já os itens 06, 07, 09 e 10 que também estavam relacionados mais a noção

conceitual envolvendo principalmente os números negativos foram considerados

pela maioria dos professores como regular, obtendo respectivamente os

percentuais, 42%, 43%, 48% e 39%.

Quanto às operações a avaliação dos professores foi que os casos de adição

com sinais diferentes e simétricos, todos os casos de subtração, multiplicação

edivisão, os casos onde a potenciação possuía expoentes positivos par e impar e as

expressões numéricas envolvendo adição e subtração com inteiros ofereceriam aos

alunos uma dificuldade de nível médio.

Observamos no caso da adição e subtração, uma divergência entre a opinião

dos professores por nós ouvidos e os resultados encontrados nos estudos

apresentados na subseção anterior, especialmente em relação aos estudos de

Nascimento (2001), Gonçalves (2007), e Soares (2008), onde é mostrado

claramente que as crianças apresentavam diversas dificuldades para operar com

números inteiros. Soares (2008, p. 17) relatam que:

[...] quando (os alunos) eram requisitados a operar com a subtração e, mais ainda, a trabalhar conjuntamente com a adição e a subtração no conjunto dos inteiros envolvendo os números negativos, o fracasso era evidente.

Ostópicosmais considerados pelos professores como difíceis de serem

aprendidos foram os que constavam no item 23, que tratava da potenciação com

expoente negativo (46%) e nos itens 25, 26 e 27 que tratavam, respectivamente, da

resolução de expressões numéricas que envolvem adição, subtração e multiplicação

(40%); adição, subtração e divisão (41%); e adição, subtração e potenciação (46%).

Neste ponto concordamos com esses professores, uma vez que nossa experiência

docente tem mostrado que quando as operações estão relacionadas em uma

mesma questão os alunos sentem-se confusos em relação as regras de sinais e

acabam por errá-las. Além desta questão, existe ainda uma dificuldade própria da

resolução de expressões que diz respeito a ordem de resolução imposta pelos sinais

de pontuação e pela própria “hierarquização” das operações.

Assim, verificamos que em geral os docentes consideram que a

aprendizagem dos números inteiros não representa dificuldade para os alunos, o

que contrasta com o que é apontado na literatura revisada, cujos autores

reconhecem os números inteiros como um conteúdo que apresenta muitas

79

dificuldades de aprendizado que acabam por conduzir os alunos ao insucesso,

especialmente no que se refere às operações.

Nossa experiência nos levou a concordar com esses pesquisadores, haja

vista, termos observado que quando se trata do estudo das operações com este

grupo numérico, especialmente em nível fundamental, os alunos têm apresentado

dificuldades para realizar com sucesso as operações. Dificuldades essas que estão

muitas vezes ligadas à falta de domínio das regras operatórias usadas na resolução

das questões, as quais costumam ser apresentadas prontas pelo professor para que

os alunos as decorre.Por este motivo optamos por trabalhar essas regras de forma

que os alunos pudessem construí-las e ao construí-las pudessem exercer sobre elas

um maior domínio.

O instrumento pedagógico escolhido para proporcionar a construção dessas

regras foi a calculadora, por entendermos que é uma ferramenta que se bem usada

pode ser bastante útil na construção de conceitos, regras e propriedades, mas que

ainda é pouco explorada em sala de aula na direção da construção do saber, haja

vista, existir resistência por parte de muitos professores que ainda a vêem como um

mero instrumento de cálculo, que não estimula o raciocínio, como mostrado

anteriormente.

Partindo desta concepção perguntamos aos professores se eles já haviam

usado a calculadora para ensinar as operações com números inteiros.As respostas

mostraram que a maioria deles (54% professores) disse já terfeito uso desta

ferramenta na perspectiva do ensino de inteiros, enquadrando-se nesta categoria

dois dos cinco professores da escola onde foi realizada a pesquisa. Enquanto 46%

confessaram nunca ter feito uso desta ferramenta para ensinar este assunto.

Verificamos que a maioria (32% entre os 46%) destes professores tinhampelo

menos especialização em Educação Matemática, mas nunca tinham participado de

cursos ou eventos que tratasse do ensino de inteiros e possuíam até 5 (cinco) anos

de atuação em sala de aula.Ou seja, provavelmente estavam cientes das discussões

sobre as tendências de ensino apontadas pela Educação Matemática, dentre elas, o

uso das tecnologias, que também é recomendado pelos PCN, mas que talvez pela

pouca experiência de sala de aula e por não saber como usá-la para o ensino deste

conteúdo, tenham preferido não lançar mão deste recurso.

80

A seguir, apresentaremos a visão dos alunos em relação ao processo ensino

e aprendizagem dos números inteiros, buscando verificar em que se assemelham ou

se distanciam da visão dos professores.

1.5 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS INTEIROS NA VISÃO DEDISCENTES

Com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito das dificuldades dos

alunos em relação a aprendizagem dos números inteiros, principalmente, em relação

as operações, realizamos uma consulta a 100 (cem) discentes que já haviam

cursado o 7º ano do Ensino Fundamental.

A consulta foi realizada por meio de um formulário (cf. apêndice B) contendo

questões sobre o perfil dos alunos e sobre a forma como foi desenvolvido o

conteúdo de números inteiros por seus professores; um quadro sobre o grau de

dificuldades sentidas pelos alunos para o aprendizado de números inteiros e

questões sobre as operações com números inteiros, com o objetivo de verificar qual

o nível de domínio dos alunos sobre essas operações.

O instrumento de pesquisa foi aplicado a100 (cem) alunos do 8º ano do

ensino fundamental na mesma escola da rede pública estadual, na qual foi

desenvolvido o experimento. A Escola fica localizada no Município de Belém, no

Estado do Pará e a consulta foi realizada durante o mês de abril de 2011, sendo

aplicado em sala de aula, contando com a participação de três turmas; uma do turno

da manhã e duas do turno da tarde. O único critério adotado para a seleção dos

sujeitos foi que já tivessem estudado os números inteiros.

Quisemos realizar esta consulta na escola escolhida para a realização do

experimento por dois motivos: foi a escola que teve a participação de todos os

professores de matemática na pesquisa apresentada anteriormente e porque

pretendíamos usar os resultados dessa pesquisa como referênciapara nossas

análises a priori e a posteriori.

Os dados revelaram que entre os consultados, 58% eram meninas e 42%

eram meninos, sendo que 83% estavam na faixa etária entre 11 e 14 anos e 17% na

faixa etária entre 15 e 17 anos. A maioria (70%) tinha como responsável o pai e a

mãe, os quais, em sua maioria, possuíam como escolaridade máxima o ensino

médio. Apenas 9% dos pais e 31% das mães não possuíam emprego fixo. O que

81

indicava que a maioria dos alunos tinha pelo menos um dos responsáveis cuidando

de sua subsistência. 63% dos alunos haviam cursado o 7º ano na escola pesquisada

e 32% em outras escolas públicas de Belém. O que poderá nos dar uma ideia mais

precisa de como o ensino de números inteiros costuma ser desenvolvido nesta

escola.

No que se refere aossentimentos dos alunos pela matemática, constatamos

que 60% dos alunos gostavam desta disciplina um pouco (47% dos alunos) ou muito

(13% dos alunos); enquanto 35% não gostavam nenhum pouco (18% dos alunos) ou

bem pouco (17% dos alunos), o restante (5%) não emitiu opinião. Porém, notamos

que apesar de gostarem da disciplina, a maioria dos alunos (80%) declarou que

tinham dificuldades para aprender matemática, contra apenas 17% que disseram

não ter dificuldades. Verificamos, também, que 77% dos alunos nunca havia

repetido o 7º anos ou ficando em dependência na disciplina de matemática, nesta

série de ensino. Enquanto 23% já havia repetido ou ficado em dependência, o que

pode justificar os 17% de alunos entre 15 e 17 anos cursando o 8º ano.

Quando perguntamos aos alunos sobre a frequência com que costumavam

estudar fora da escola verificamos que poucos alunoscostumavam dedicar tempo ao

estudo desta disciplina, já que 71% dos estudantes declararam que só costumam

estudar, fora da escola, no período de provas (53% destes) ou mesmo, na véspera

da prova (18% deles); enquanto apenas 3% declararam estudar todos os dias; os

demais dizem estudar dois dias (8 alunos), três dias (7 alunos), quatro dias (2

alunos) e ainda, 8% disseram não estudar fora da escola nem na véspera da prova.

O que pode ser um agravantepara as dificuldades sentidas no aprendizado da

matemática, pois sabemos que apenas as horas de aula ministradas em sala não

são suficientes para a apreensão dos conhecimentos.É necessário, também,

dedicação por parte dos alunos.

No que diz respeito ao ensino de números inteiros, 68% dos alunos

declararam que seus professores no 7º ano costumavam desenvolver o conteúdo

por meio de aulas expositivas, começando com a apresentaçãoda definição, seguida

de exemplos e exercícios; 10% disseram que as aulas eram desenvolvidas

começando com um experimento para chegar ao conceito; 11% disseram que os

professores começavam com uma situação problema para depois introduzir o

assunto; 6% informaram que as aulas começavam com um jogos para depois

sistematizar os conceitos e 5% não responderam.

82

Quando a questão era a metodologia usada para fixar o conteúdo, a maioria

absoluta, 95% dos alunos, declarou que seus professores usavam a tradicional lista

de exercícios e/ou pediam que os alunos resolvessem os exercícios contidos no livro

didático; enquanto apenas 5% usava outro tipo de metodologia (como jogos e

pesquisas em outras fontes).

Esses resultados eram de se esperar já que a maior parte desses alunos

estudava na escola onde a maioria dos professores costumava usar como

metodologia as aulas expositivas para introduzir o assunto e uso de listas de

exercícios e resolução dos exercícios do livro didático para a fixação do conteúdo,

conforme apresentado na subseção anterior.

Quando perguntamos aos alunos se a calculadora alguma vez tinha sido

utilizadapara ensinar as regras de sinais usadas nas operações com inteiros, 86%

delesresponderam que seus professores nunca fizeram usodeste instrumento nesta

perspectiva e apenas 16% disseram que sim.O que é compreensivo já que apenas

dois dos cinco professores de matemática desta escola disseram já ter usado este

instrumento para o ensino das operações com inteiros.

Perguntamos, também, aos alunos se eles entendiam o assunto da forma

como o professor ensinava e os resultados mostraram que 65% declararam

entender; 32% declararam não entender e 3% não responderam a pergunta.

Também procuramos saber que tipo de operação básica envolvendo números

inteiros os alunos tinham mais facilidade para resolver e os resultados foram: adição

(37% dos alunos), multiplicação (32% dos alunos), divisão (17%) e potenciação

(14% dos alunos). Essasinformações foram importantes no momento de pensar e

estruturar nossa sequência de ensino, especialmente no momento da escolha dos

jogos que seriam usados.

Depois de verificarmos o perfil dos alunos e como foi desenvolvido com eles o

conteúdo foco de nosso estudo, passamos a verificar como os alunos avaliavam

suas dificuldades para aprender cada tópico contido no conteúdo de números

inteiros. A tabela apresentada aos alunos para classificação do grau de dificuldades

era a mesma apresentada aos professores, sendo que, com os alunos, nós fizemos

a leitura de um por um dos tópicos dando um exemplo do que se tratava. Os

resultados encontram-se sistematizados no quadro a seguir:

83

Quadro 7– Avaliação quanto ao grau de dificuldade de aprendizado dos números inteiros, segundo os discentes

Nº Assunto

Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Muito Fácil Fácil Regular Difícil

Muito Difícil

Não respondeu

01 Idéia de número negativo 17% 29% 40% 6% 3% 5%

02 Representação de número positivo 16% 33% 30% 16% 5% -

03 Representação de número negativo 11% 36% 29% 18% 4% 2%

04 Idéia de número simétrico 11% 14% 41% 24% 5% 5%

05 Localização dos números positivos na reta 12% 17% 34% 27% 5% 5%

06 Localização dos números negativos na reta 6% 22% 35% 27% 6% 4%

07 Módulo de um número negativo 8% 11% 26% 43% 7% 5%

08 Comparação de números positivos 14% 23% 28% 29% 6% -

09 Comparação de números negativos 14% 20% 30% 29% 7% -

10 Comparação de nº negativo com positivo 11% 24% 37% 21% 7% -

11 Adição de números com o mesmo sinal 18% 26% 34% 13% 7% 2%

12 Adição de números com sinais diferentes 13% 26% 33% 16% 9% 3%

13 Adição de simétricos 7% 24% 31% 26% 12% -

14 Multiplicação de dois números com sinais iguais 7% 31% 35% 22% 5% -

15 Multiplicação de dois números com sinais diferentes 8% 18% 35% 27% 10% 2%

16 Multiplicação de um número inteiro por zero 16% 35% 22% 18% 9% -

17 Divisão de dois números com sinais diferentes 8% 23% 36% 21% 12% -

18 Divisão de dois números com sinais iguais 8% 23% 37% 27% 5% -

19 Divisão de zero por um número inteiro 10% 36% 26% 21% 7%

20 Potenciação de expoente par 9% 30% 23% 31% 7% -

21 Potenciação de expoente impar 6% 27% 35% 24% 6% 2%

25 Potenciação com expoente nulo 15% 26% 30% 21% 8%

22 Potenciação de expoente negativo 10% 16% 39% 28% 2% 5%

23 Expressões com adição e subtração de números relativos 7% 18% 42% 21% 11% -

24 Expressões com adição, subtração e multiplicação de números relativos 10% 18% 40% 22% 10% -

25 Expressões com adição, subtração e divisão de números relativos 11% 20% 31% 26% 12% -

26 Expressões com adição, subtração e potenciação de números relativos 10% 11% 27% 34% 18% -

Fonte: Salgado e Sá (2011)

Pudemos verificar quepara um número significativo dos alunos aprender

números inteiros era uma tarefa fácil ou se mantinha dentro dos limites razoáveis de

dificuldade, ou seja, nem tão fácil, nem tão difícil. Confirmando a avaliação feita

pelos professores.

84

Os tópicos mais apontados pelos alunos como de difícil aprendizagem

referiam-se ao módulo de um número negativo; comparação de números negativos;

adição de simétricos;multiplicação entre dois números com sinais diferentes;

expressões com adição, subtração e divisão de números inteiros, e expressões com

adição, subtração potenciação de inteiros. Observamos que esses tópicos, a

exceção das expressões, são diferentes dos apontados pelos professores como

aqueles consideradosdifíceis de serem aprendidos. Sendo os dois primeiros

relacionados às noções sobre números inteiros e os demais relacionados às

operações básicas. Curioso é que a adição e a multiplicação são as duas operações

indicadas pelos alunos como aquelas que eles sentem mais facilidade para resolver,

conforme verificado anteriormente.

Buscamos,então, comparara avaliação feita pelos docentes e discentes com o

desempenho destes últimos na resolução das operações (dados organizados no

quadro síntese abaixo), tentando identificar o nível de domínio dos alunos em

relação às operações, já que, em suas avaliações e na dos professores o

aprendizado do conteúdo de números inteiros não implicaria em dificuldades

relevantes.

Quadro8–Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos no teste. (continua)

Nº

Questão

Grau de dificuldade declarado pelos

docentes

Grau de dificuldade declarado pelos

discentes

Resultados do teste

Acertos Erros Não fez

OPERAÇÃO ADIÇÃO

01 +4+9 Fácil Fácil 62% 32% 6%

02 -4-8 Fácil Fácil 15% 71% 14%

03 -7-2 Fácil Fácil 19% 69% 12%

04 15-7 Regular Fácil 69% 22% 9%

05 -6+3 Regular Fácil 21% 66% 13%

06 -4+12 Regular Fácil 17% 70% 13%

07 +5-7 Regular Fácil 25% 65% 10%

08 -13+14 Regular Fácil 17% 77% 6%

09 -26+26 Regular Difícil 28% 52% 20%

10 +5-5 Regular Difícil 44% 42% 14%

OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO

11 (+4)x(+5) Regular Fácil 38% 37% 25%

12 (-2)x(-7) Regular Fácil 26% 39% 35%

13 (-10)x(-3) Regular Fácil 31% 41% 28%

14 (-1)x(-1) Regular Fácil 31% 36% 33%

15 (+5)x(-3) Regular Difícil 27% 40% 33%

85

Quadro 8 - relação da avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos nas operações

(conclusão)

16 (-4)x(+6) Regular Difícil 22% 43% 35%

17 6x(-1) Regular Difícil 15% 51% 34%

18 0x(+6) - Fácil 16% 48% 36%

19 0x(-5) - Fácil 12% 52% 36%

20 (-9)x0 - Fácil 12% 52% 36%

OPERAÇÃO DIVISÃO

21 (+8) ÷ (+4) Regular Regular 35% 33% 32%

22 (-16) ÷ (-2) Regular Regular 23% 32% 45%

23 (-10) ÷ (-2) Regular Regular 20% 38% 42%

24 (-12)÷(-1) Regular Regular 27% 33% 40%

25 (-16) ÷ (-4) Regular Regular 19% 40% 41%

26 (-14) ÷7 Regular Regular 24% 34% 42%

27 (+9) ÷ (-3) Regular Regular 43% 24% 33%

28 (-1)÷(+1) Regular Regular 28% 28% 44%

29 0÷ (+6) - Fácil 15% 45% 40%

30 0÷ (-8) - Fácil 12% 48% 40%

OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO

31 (+4)² Regular Fácil 9% 61% 31%

32 (-3)² Regular Fácil 3% 64% 33%

33 (+5)² Regular Fácil 9% 53% 38%

34 (+3)³ Regular Regular 10% 10% 80%

35 (-2)5 Regular Regular 8% 57% 35%

36 (-2)³ Regular Regular 15% 49% 36%

37 (+7)0 - Fácil 7% 57% 36%

38 (-6)0 - Fácil 8% 55% 37%

39 (2)1 Difícil Regular 1% 53% 46%

40 (3)2 Difícil Regular 1% 54% 45%

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

41 (3-5)+(-2-4) Regular Regular 5% 51% 44%

42 (-2)x[(-3)- (-2)] Difícil Regular 1% 42% 57%

43 (-3+9-4)² Difícil Difícil 6% 39% 55%

44 [(-2)x(-3)+ (+10):(-5)] Difícil Difícil 0% 38% 62%

45 (-4-6) + (-3)³ Difícil Difícil 1% 41% 58%

46 {(-18)+[(-2)³ x(+8-5)]:(-6)} Difícil Difícil 0% 32% 68% Fonte:Salgado e Sá (2010, 2011)

A análise global do quadro revelou que o desempenho dos alunos foi muito

aquém do que foi considerado por eles e pelos professores nas avaliações, sendo

registrado um percentual muito alto de erros e questõesnão resolvidas em todas as

operações, o que nos levou a inferir que, na verdade, aprender números inteiros não

parece ser uma tarefa fácil ou de média complexidade para a maioria dos alunos,

como afirmado pelos docentes e pelos próprios discentes consultados.

86

Ao realizarmos as análises de cada operação constatamos queem relação à

adição os alunos tiveram bom desempenho apenas nos casos em que os dois

números eram positivos ou o primeiro era positivo e o segundo negativo -

representações semelhante a usada na adiçãoquando efetuada no campo dos

números naturais -o que podiaindicar que os alunospossuíam domínio desta

operação apenas neste campo numérico, já que o percentual de acertos nos demais

casos foi bastante baixo.Deixando evidente que para esses alunos resolver adição

com números inteiros, especialmente quando estão envolvidos valores negativos,

implicou em grandes dificuldades, contrariando a avaliação feita por eles mesmos e

pelos professores.

Em relação à operação de multiplicação observamosque enquanto os

professoresavaliaram-naintegralmente como de média complexidade, os alunos a

classificaram em dois grupos: fácil, para os casos em que a multiplicação era entre

dois valorespositivos,dois valoresnegativos ou envolvendo o zero; e, difícil,para o

caso em que a operação era entre um valor negativo e um positivo.

Ao verificarmos o resultado do teste para esta operação,notamos que os

alunos não tiveram rendimento satisfatório em nenhum dos casos, uma vez que a

soma do percentual de erros e de questões não resolvidas superou em muito o

percentual de acertos. Sendo observado que a maior incidência de erro foi referente

a tabuada. Contudo, o que mais chamou nossa atenção foi o percentual de alunos

que erraram as multiplicações por zero. Observamos que muitos deles efetuaram a

multiplicação, admitindo o zero como o elemento neutro na multiplicação.

Isoda e Olfos ao tratarem do ensino de multiplicação de números naturais,

esclarecem que,

as crianças tem dificuldades para a compreensão da multiplicação quando um dos fatores é 0, geralmente por não poder sentir a necessidade de aumentar a operação. Mesmo quando observam o Procedimento Operatório com os números, tem possibilidade de ter dificuldades ao responder, como por exemplo erroneamente “3x0 = 3”, apesar de que eles conhecem situações na vida cotidiana onde o produto é 0 (2001, p. 194, tradução nossa).

Em outras palavras, as crianças entendem a multiplicação como o aumentar

de um valor, talvez por isso insistam em dar como produto um valor diferente de

zero.Em nosso entendimento, se é difícil para as crianças compreenderem este tipo

de operação no campo dos naturais,será ainda mais difícil para elas

compreenderem como isto se processa no campo dos inteiros, uma vez

queprecisarão multiplicar ozero por um número menor do que ele (negativo).

87

No que se refere à divisão, observamos que professores e alunos tiveram

amesma avaliação.Consideram que se tratava de uma operação que ofereceria um

grau médio de dificuldade para o aprendizado, no entanto, menos de 30% dos

alunos consegui resolver as questões com sucesso, a exceção das questões

referentes aos itens 21 e 27, que tinham representação semelhante a utilizada na

divisão com inteiros.Foi observado, ainda, que a maior incidência de erros

estavamprincipalmente relacionados a indicação do sinal do valor do quociente e ao

pouco domínio da tabuada de divisão, o que era de se esperar já que apenas 17%

dos alunos apontaram esta operação como aquela que eles teriam mais facilidade

para resolver. Foi também verificado que os alunos também consideraram o zero

como elemento neutro da divisão.

Quanto à potenciação constatamos que professores e alunos tinham

consenso apenas em relação ao caso em que o expoente é impar, avaliando-o como

sendo de dificuldade média, no entanto o que se observou foi que um número

bastante elevado de alunos errou ou não conseguiu resolver as questões. O que já

era de se esperar se considerarmos que esta foi a operação apontada pelos alunos

como aquela que eles tinham menos facilidade para resolver.

Segundo Paias (2009, p. 201) o aluno erra potenciações deste tipo porque

“não considera a definição e as regras de sinais, pouco se lembram ou afirmam

regras que são sistematizadas, criando uma grande confusão [...]”. Esta situação

talvez ocorra em função da forma como as regras são ensinadas, na maioria das

vezes são apresentadas já sistematizadas, prontas para que o aluno as decore. Esta

foi uma das razõesque nos levou a trabalhar de forma que os alunos pudessem

construí-las,por conseguintepartimos da hipótese de que ao construir as regras os

alunos darão a elas outro significado e terão mais facilidade em assimilá-las.

O último bloco de questões se referia as expressões, que por sinal foi o único

em que a avaliação docente e discente foi compatível com o desempenho dos

alunos, sendo registrados os menores percentuais de acertos,confirmando que

realmente era difícil para os alunos realizar esses cálculos com sucesso.Em nosso

entendimento esse resultado era compreensível, já que na resolução de expressões

o aluno se depara com mais de uma operação e acaba por confundir-se, como

explicamos na subseção anterior.

Portanto, o estudo revelou a existência de contradição entre a avaliação feita

pelos docentes e discentes e o desempenho destes últimos na resolução das

88

operações com este grupo numérico, sendo observado que na maior parte dos

casos efetuar com sucesso as operações no campo dos inteiros foi difícil para a

maioria dos alunos.

Consideramos que um dos obstáculosque podem ter tido interferência na

aprendizagem desses estudantes, foi o que Brousseau (2008, p. 51) denomina como

obstáculos didáticos e queJucá explica como sendo “aqueles que parecem depender

da escolha metodológica ou de um projeto do sistema educativo”, ou seja, aqueles

que dizem respeito a formar de ensinar.

Como pudemos verificar a metodologia de ensino escolhida por quase 70%

dos professores destes estudantesna condução do conteúdo foio desenvolvimento

de aulas expositivas, com apresentação das definições, seguidas de exemplos e

exercícios; reproduzindo um modelo em que o professor é quem detém o

conhecimento e o aluno é apenas o receptor das construções epistêmicas deste

sujeito, tendo pouca ou nenhuma chance de participar efetivamente da construção

do conhecimento.Além do mais, este tipo de metodologia tem se revelado pouco

interessante para os estudantes, especialmente nos últimos anos do ensino

fundamental, o que muitas vezes tem efeito negativo sobre a aprendizagem.

Entendemos que hoje é preciso que o professor procure inserir em sua prática

docente, metodologia que visem favorecer as interações aluno-professor, aluno-

aluno, aluno-saber, buscando criar condições para que a aprendizagem aconteça.

Por este motivo procuramos nos apoiar nasideias de Guy Brousseau sobre a teoria

das situações didática, cuja proposta é a possibilidade de uma construção que

permita a compreensão das interações sociais desenvolvidas em sala de aula, entre

alunos, professores e conhecimentos matemáticos, reconhecendo que estas

acabam condicionando o que se aprende e a forma como se aprende.

A seguir apresentamos a sequência didática construída e a respectiva análise

a priori que fizemos sobre ela.

89

2 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nesta seção, nosso objetivo é apresentar a sequência didática referente ao

ensino e aprendizagem das operações com números inteiros, construída a partir das

análises preliminares apresentadas na seção anterior, e a respectiva análise a priori

sobre ela.Enfatizamos quea construção desta sequência fundamenta-sena teoria

das situações didáticas elaborada por Guy Brousseau, para quem o conhecimento é

produzido a partir da busca de respostas para situações propostas. De acordo com

Almouloud (2007, p. 32) esta teoria apóia-se em três hipóteses, que são:

a) O aluno aprende adaptando-se a um meio. “O saber produzido a partir

desta adaptação seria manifestado pelas respostas novas, as quais se

constituem nas provas da aprendizagem”

b) O meio não munido de intenções didáticas, ou seja, um meio adidático,

não é suficiente para permitir a aquisição de conhecimento matemático

pelo aluno. Por isso, para que haja uma intencionalidade didática, o

professor deve “criar e organizar um meio no qual serão desenvolvidas as

situações suscetíveis de provocar essa aprendizagem”

c) Este meio e essas situações devem incluir de forma intensa os saberes

matemáticos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.

Partindo desta concepção, construímos a sequência didática que

foidesenvolvida em sala de aula, estando estacomposta de 17 sessões20 contendo

24 (vinte e quatro) atividades e 05 (cinco) testes de diagnóstico. Tais atividades e

testes foramconcebidas por nós como o meio com o qual os alunos deveriam

interagir e no qual seriam desenvolvidas as situações a que se referiuAlmouloud

(2007). Nossa expectativa eraque a sequência permitisseque o aluno, à medida que

fosse interagindo com este meio, adquirisse conhecimentos a cerca da construção

dos algoritmos quelhes possibilitaria resolver com sucesso as operações básicas

quando estivessem envolvidos números inteiros. Em nosso entendimento

esseprocesso mobilizaria a capacidade cognitiva dos alunos, enquanto o valorizaria

como sujeito ativo no processo ensino e aprendizagem.

Naelaboração da sequência foram consideradas as análises preliminares que

nos conduziram a escolha de nossas primeiras variáveis de comando, as variáveis

20

De acordo com Pais (2008) as sessões são aulas planejadas e analisadas previamente com o intuído de observar situações de aprendizagem.

90

globais, que Artigue (1996, p. 202) define como sendo aquelas que dizem respeito à

organização global da engenharia. Assim, as variáveis por nós escolhidas foram:

1- Abordagem do conteúdo por meio de atividades mediadas porinstrumento

tecnológico.

2- Abordagem da fixação do conteúdo por meio de atividades lúdicas.

3- Exploração do trabalho em grupo.

4- Monitoramento gradativo do desempenho dos alunos.

A referida sequência foi construída de forma a possibilitar que os alunos

pudessemtrabalhar sem a interferência direta do professor, que atuaria com a tarefa

de criar condições para que o aluno fosse o principal ator da construção de seus

conhecimentos. Assim, pretendíamos que eles mesmosbuscassemencontrar as

respostas para os problemasque foram elaborados de modo a fazê-los agir, falar,

refletir e evoluir por conta própria, a fim de adquirir novos conhecimentos,

configurando-se assim, como uma situação adidática, entendida por Brousseau

(1996, p. 49), como sendo aquela em que:

o aluno sabe perfeitamente que o problema foi escolhido para o levar a adquirir conhecimento novo, mas tem de saber igualmente que este conhecimento é inteiramente justificado pela lógica interna da situação e que pode construí-lo sem fazer apelo a razões didáticas.

Entretanto,durante o processo de ensino e aprendizagem a ser

desenvolvimento por meio da sequência didática, em alguns

momentosprecisamosinterferir, agindo como mediador entre os alunos e o

conhecimento que pretendíamos ver surgir. Assim, apoiados em Freitas (2008)

podemos considerar que neste momento foi evidenciadauma situação didática,uma

vez queficou caracterizada aintenção do professor de orientação do aluno para a

aprendizagem do conteúdo proposto.

Almouloud (2007, p.34)reforça esta ideia ao dizer que a situação didática se

caracteriza pelo jogo de interações do aluno com os problemas que são colocados

pelo professor, sendo a forma de propor os problemas ao aluno, chamada de

devolução, que por sua vez tem como objetivo provocar interações suficientemente

ricas e que permitam que o aluno desenvolva-se de forma autônoma.Assim sendo,

podemos facilmente concordar com a afirmar de Freitas (2008, p.85) de que “toda

situação adidática é um tipo de situação didática”.

91

A partir deste contexto, elaboramos as atividades que compuseramnossa

sequência didáticabaseando-nosnas atividades propostas por Sá (2009), que afirma

que omodelo adotado “possibilita ao aluno, principalmente, o desenvolvimento das

habilidades de observação, levantamento de dados, análise e conclusão, entre

outros” (SÁ, 2009, p.24).

No desenvolvimento das atividades os alunos trabalharam em grupos de no

máximo 04 (quatro) estudantes21 e usaramcomo recursos pedagógicos a

calculadora(cf. figura 1), que funcionou como o instrumento de obtenção dos

resultados,que esperávamos, fossem observados pelos discentespara o

descobrimento das regras de sinais usadas no cálculo dessas operações,e jogos (cf.

Apêndices D, E, F, G, I, J, K, M e O), que funcionou como estratégia para aprática e

assimilaçãodas regras descobertas.

As atividades e testes diagnósticosforam desenvolvidos com alunos do 7º ano

do Ensino fundamental, que supúnhamos, não teriam passado ainda pelo ensino

das operações com números inteiros ecoordenadas pela professora-pesquisadora

que assumiu a turma durante o desenvolvimento destas.Cada uma das atividades

elaboradas estavam planejadas para ser desenvolvida em no máximo 45 minutos

correspondendo a 1 hora/aula, estando inseridos neste processo o momento da

institucionalização do saber, sobre a qual falaremos mais adiante.

Frente ao exposto realizamos a análise a priori das atividades e testes

diagnósticos contidos na sequência didática apoiados na concepção de Artigue

(1996, p. 205) de que a análise a priori é concebida com “o objetivo de determinar de

que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos

e o sentido desses comportamentos. Para isso fundamenta-se em hipóteses”.

Deste modo, foi possível prevermos as possíveis soluções para as questões

propostas em cada atividade; as dificuldades que os alunos poderiam enfrentar na

resolução de cada atividade e os comportamentos esperados em relação aos

alunos. Neste sentido, as variáveis locais em nossa seqüência se referem a escolha

das atividades para abordar e fixar o conteúdo, a escolha dos recursos pedagógico,

à organização dos alunos na realização das atividades, ao acompanhamento

sistemático da evolução do desempenho dos alunos e ao tempo necessário para o

desenvolvimento das atividades.

21

Apenas os testes-diagnóstico serão realizados individualmente

92

Apresentamos a seguir as sessões de ensino, com a exposição do objetivo

para cada uma delas, para cada atividade e para cada teste-diagnóstico contidos em

cada sessão, bem como a análise a prioride cadaatividade e de cada teste.

2.1 SESSÃO 1: CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA

Com o objetivo de produzir informações sobre o perfil pessoal e estudantil dos

alunos produzimos um formulário(cf. Apêndice C) que seria aplicado antes de

iniciarmos as sessões de ensino. Tal formulário continha questões referentes a

idade, sexo, informações sobre os pais ou responsáveis, condição estudantil;

interesse, dificuldades e nível de dedicação ao estudo da matemática e questões

referentes a utilização da calculadora e jogos por seus professores.

O referido formulário também continha um teste elaborado com o objetivo de

produzir informações que permitissem realizar comparações entre o desempenho

dos discentes na resolução de questões de adição, multiplicação, divisão e

potenciação com números inteiros antes e depois da realização das atividades. O

primeiro momento de resolução das questões foidenominado de pré-teste e o

segundo momento, de pós-teste.

Em virtude dos pré e pós-testes terem exatamente as mesmas questões, a

análisea prioride ambos foirealizadano mesmo instante. O tempo estimado para a

aplicação de cada teste seria de uma hora/aula que correspondia a 45 minutos.

a) Pré-teste e pós-teste geral

Para a análise destes testes optamos em organizar as

questõesemblocosobedecendo as características das mesmas. Por este motivo, a

ordem das questõesaqui apresentada, não corresponde àordem em que estavam

dispostas nostestes.

BLOCO 01: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS

Este bloco objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular

corretamente a soma entre dois inteiros de parcelas positivas, antes e depois do

desenvolvimento da sequência de ensino.

Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 =

93

Análise a priori da questão no pré-teste: avaliávamos que os alunos conseguiriam

resolver corretamente a questão mobilizando para isto seus conhecimentos sobre

números naturais, já que,a questão apresentava a mesma estrutura observada na

resolução de adição com números naturais.

Análise a priori da questão no pós-teste: baseados nos resultados do teste

aplicado aos discentes que já cursaram o 7º ano, na avaliação feita pela maioria dos

docentes, de que é fácil para os alunos aprender a adição com números de sinais

iguais e na revisão dos estudos sobre números inteiros (apresentados na seção 1),

supúnhamos que o desempenho dos alunos seria bastante satisfatório. Nosso

entendimento seria de que eles conseguiriam aplicar corretamente a regra para este

tipo de questão, obtendo o resultado exato.

BLOCO 02: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS

Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular

corretamente as somas de parcelas negativas, antes e depois do desenvolvimento

da sequência de ensino.

2) - 4 - 8= 3) -7 - 2=

Análise a priori das questões no pré-teste: considerando que, talvez, os alunos

ainda não tivessem conhecimento sobre este tipo de operação.Julgávamos que eles

não conseguiriam resolver corretamente as questões, confundindo o sinal

representativo de número negativo com o sinal da operação de subtração. Assim,

efetuariam a subtração ao invés da adição. Considerávamos, também, que em

função do suposto desconhecimento do assunto, alguns alunos nem tentariam

resolver essas questões.

Análise a priori das questões no pós-teste: ainda baseados nos estudos

mencionados acima, julgávamos que a maioria dos alunos teria bom desempenho

na resolução destas questões, de tal forma que conseguiriam aplicar corretamente a

regra para estas questões, obtendo o resultado esperados.

BLOCO 03: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO

Objetivávamos comeste bloco de questões, verificarse os alunos

conseguiriam calcular corretamente as somas com uma parcela positiva e uma

negativa, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

4) 15 – 7= 5) +5 – 7=

94

Análise a priori das questões no pré-teste: em função das questões

apresentarem a mesma estrutura observada na resolução de subtrações com

números naturais supúnhamos que os alunos conseguiriam efetuar corretamente a

questão (4), mas não teriam sucesso na questão (5), porque não indicariam o sinal

correto, dando como resposta um valor positivo.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que a maioria dos

alunos aplicaria corretamente a regra para este tipo de questão, obtendo o resultado

exato. Quanto aos demais, julgávamos que talvez ainda cometessem o equivoco de

indicar o sinal errado, especialmente em relação a questão (5), uma vez que,

segundo a avaliação dos docentes consultados, durante as análises prévias este

caso da adição ofereceria um pouco mais de dificuldade de aprendizagem aos

alunos.

BLOCO 4: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO

Neste bloco de questões objetivávamos verificarse os alunos conseguiriam

calcular corretamente as somas com a primeira parcela negativa e a segunda

positiva, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

6) - 6 + 3= 7) -13 + 14= 8) - 4 + 12=

Análise a priori das questões no pré-teste: considerávamos que pelo mesmo

motivo exposto no bloco 2, muitos dos alunos não tentariam resolver as questões.

Os que tentassem não conseguiriam efetuar corretamente a operação, realizando

uma adição ao invés da subtração dos módulos, já que poderiam considerar o sinal

indicativo do valor positivo como sinal indicativo da adição.

Análise a priori da questão no pós-teste: supúnhamos que a maioria dos alunos

conseguiria aplicar corretamente a regra para este tipo de questão, encontrando os

resultados esperado. Os demais talvez ainda sentissem dificuldades pela resistência

natural ao número negativo.

BLOCO 5: ADIÇÃO ENTRE NÚMEROS SIMÉTRICOS

Nosso objetivo neste bloco de questões foi verificar se os alunos

conseguiriam calcular corretamente as somas quando os números fossem opostos,

antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

95

9) -26 + 26 = 10) +5 -5=

Análise a priori das questões no pré-teste: nossa hipótese era de que os alunos

não conseguiriam efetuar corretamente a questão (9), devido o sinal indicado entre

os números possibilitar que eles o interpretasse como uma adição. Já em relação a

questão (10), julgávamos que os estudantes a resolveriam corretamente mobilizando

seus conhecimentos sobre subtração de números naturais.

Análise a priori das questões no pós-teste: julgávamos que o desempenho dos

alunos seria bastante satisfatório neste caso da adição, uma vez que

considerávamos que a regra para este tipo de questão seria aquela que os discentes

teriam mais facilidade para aprender. Baseamos nossa hipótese na avaliação feita

pela maioria dos docentes de que aprender este tipo de adição oferece para os

alunos um grau de dificuldade que varia de razoável a fácil.

BLOCO 6: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS POSITIVOS


corretamente o produto com os dois fatores positivos, antes e depois do


11) (+4) x (+5)=

Análise a priori da questão no pré-teste: avaliávamos que os alunos conseguiriam

resolver esta questão mobilizando seus conhecimentos sobre multiplicação de

números naturais, por ela se assemelhar às questões trabalhadas na multiplicação

de números naturais, obtendo deste modo, resultados corretos.

Análise a priori da questão no pós-teste: julgávamos que os alunos conseguiriam

aplicar corretamente a regra para este caso da multiplicação, obtendo resultados

exatos.

BLOCO 7: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS NEGATIVOS


corretamente os produtos com os dois fatores negativos, antes e depois do


12) (-2) x (- 7)= 13) (-10) x (- 3) = 14) (- 1) x (-1)=

96

Análise a priori das questões no pré-teste: devido supormos que os alunos ainda

não teriam estudado sobre multiplicação com números inteiros julgávamos que

vários deles não tentariam resolver as questões e aqueles que tentassem, ou

efetuariam as multiplicações ignorando que se tratava de valores negativos,

chegando desta forma a resultados corretos, uma vez que neste caso os produtos

são todos positivos; ou cometeriam o equivoco de ignorar o sinal multiplicativo,

efetuando a subtração quando o primeiro fator fosse maior ou igual ao segundo

fator.


alunos conseguiria aplicar corretamente a regra para este caso da multiplicação,

obtendo os resultados esperados. Os demais talvez cometessem erro em relação ao

domínio da tabuada.

BLOCO 8: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE VALORES

DIFERENTES


corretamente os produtos com um fator positivo e outro negativo e vice-versa, antes

e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

15) (+5) x (- 3) = 16) (- 4) x (+6)= 17) 6 x (-1) =

Análise a priori das questões no pré-teste: pressupúnhamos que os alunos, em

sua maioria, não tentariam calcular os produtos e os que tentassem, provavelmente

executariam uma das seguintes ações: iriam ignorar os sinais indicativos do valor

negativo e efetuariam a multiplicação encontrando um valor positivo ou iriam ignorar

o sinal multiplicativo e efetuariam a operação referente ao sinal indicativo da

segunda parcela.

Análise a priori das questões no pós-teste: supúnhamos que os alunos, em sua

maioria, aplicariam corretamente a regra estudada para este caso da multiplicação,

obtendo os resultados esperados. Entretanto era possível que alguns deles ainda

cometessem o equivoco de apresentar como solução um produto de valor positivo

no lugar do negativo. Baseamos nossa suposição na avaliação feita pelos docentes

ouvidos na seção 1, que apontam que esse caso da multiplicação oferece um pouco

mais de dificuldades para a aprendizagem.

97

BLOCO 9: MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR ZERO


corretamente os produtos quando um dos fatores fosse zero, antes e depois do


18) 0 x (+6) = 19) 0 x (-5)= 20) (- 9) x 0=

Análise a priori das questões no pré-teste: baseados no resultado do teste

aplicado aos discentes egressos do 7º ano e na suposição de que os alunos,

sujeitos da pesquisa desconheceriam essa forma de representação da multiplicação

por zero, julgávamos que muitos deles não tentariam efetuar a operação e aqueles

que tentassem não conseguiriam efetuar corretamente as multiplicações, incorrendo

no erro de considerar o zero como o elemento neutro desta operação.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que poucos alunos

talvez não tivessem bom desempenho na resolução destas questões, cometendo

ainda o equivoco de considerar o zero como o elemento neutro da multiplicação.

BLOCO 10: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS POSITIVOS


corretamente o quociente quando divisor e dividendo fossem valores positivos, antes

e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

21) (+8) ÷ (+4)=

Análise a priori da questão no pré-teste: em função da semelhança que esta

questão tem com as questões de divisão com números naturais, pressupúnhamos

que os alunos conseguiriam efetuar corretamente a operação, mobilizando para isso,

seus conhecimentos sobre divisão neste campo numérico. O erro que poderia

ocorrer seria referente ao não domínio da tabuada.

Análise a priori da questão no pós-teste: os alunos conseguiriam aplicar

corretamente a regra para este caso da divisão, obtendo o resultado esperados. O

erro que poderia ser cometido seria também relacionado ao não domínio da

tabuada.

98

BLOCO 11: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS NEGATIVOS

Neste bloco de questõestínhamos como objetivoverificar se os alunos

conseguiriam calcular os quocientes corretamente quando divisor e dividendo

fossem negativos, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

22) (-10) ÷ (-2)= 23) (-12) ÷ (-1)= 24) (-16) ÷ (- 4)=

Análise a priori: nossa hipótese era de que boa parte dos alunos não tentaria

resolver essas questões por talvez não saberem ainda como fazê-lo e aqueles que

tentasse iriam ignorar o sinal indicativo do valor negativo, o que poderá levá-los ao

resultado correto, já que neste caso os quocientes são sempre positivos; ou

cometeriam o equivoco de ignorar o sinal de divisão e efetuar a subtração.

Análise a priori das questões no pós-teste: julgávamos que a maioria dos alunos

teria bom desempenho, conseguindo aplicar corretamente a regra e chegando ao

resultado esperado.

BLOCO 12: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE VALORES

DIFERENTES


os quocientes corretamente quando o dividendo fosse positivo e o divisor negativo e

vice-versa, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.

25) (+9) ÷ (-3)= 26) (- 16) ÷ (+2)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (-1) ÷ (+1) =

Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que grande parte dos

alunos também não tentaria calcular essas divisões. Aqueles que tentassem talvez

conseguissem efetuar a divisão, mas cometeriam erro relacionado ao emprego do

sinal; ou iriam ignorar o sinal indicativo da divisão, incorrendo no erro de considerar

que deveriam efetuar a operação que estivesse indicada pelo sinal do divisor.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos, em

sua maioria, conseguiriam aplicar corretamente a regra operacional, obtendo o

resultado esperado. Quanto aos demais, julgamos que o erro que poderiam ainda

cometer estaria relacionado ao correto emprego do sinal, manifestando resistências

ao número negativo por talvez não estarem totalmente familiarizados com eles.

99

BLOCO 13: DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO


corretamente os quocientes quando dividendo fosse zero, antes e depois do


29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)=

Análisea priori das questões no pré-teste: pelo mesmo motivo apontado no bloco

9, que tratou da multiplicação, considerávamos que seria possível que muitos alunos

não resolvessem essas questões e aqueles que tentassem acabariam por cometer o

equívoco de considerar o zero como o elemento neutro da operação.

Análise a priori das questões no pós-teste: supúnhamos que os alunos

apresentariam bom desempenho na resolução desta questão, revelando facilidade

em aplicar a regra corretamente.

BLOCO 14: POTENCIAÇÃO DE BASE POSITIVA E EXPOENTE PAR

O objetivo deste bloco de questões foi verificar se os alunos conseguiriam

calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor positivo e o

expoente fosse um número par.

31) (+4)²= 32) (+5)² =

Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que os alunos tentariam

resolver essas questões mobilizando seus conhecimentos sobre potenciação de

números naturais, uma vez que pressupúnhamos que eles ainda não teriam

conhecimento sobre este assunto. No entanto, era possível que cometessem erro

relacionado à falta de domínio da tabuada de multiplicação e também relacionado ao

equivoco de multiplicar a base pelo expoente, como foi observado na análise dos

resultados do teste aplicado aos alunos egressos do 7º ano.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos, em

sua maioria, conseguiriam calcular corretamente as potências. Quanto aos demais,

era possível que ainda cometessem erro também referente à falta de domínio da

tabuada.

100

BLOCO 15: POTENCIAÇÃO DE BASE NEGATIVA E EXPOENTE PAR


calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor negativo e o

expoente, um número par.

33) (-3)²=

34) (-2) 4 =

Análise a priori das questões no pré-teste: pelo mesmo motivo exposto no bloco

anterior, julgávamos que poucos alunos tentariam calcular essas potências. Aqueles

que tentassem provavelmente efetuariam o cálculo ignorando o sinal representativo

do valor negativo agindo com se estivessem trabalhando com números naturais,

desta forma poderiam chegar ao resultado correto, já que neste caso, a potência

também é sempre positiva.


alunos conseguiria aplicar corretamente a regra para este caso de potenciação

chegando com sucesso ao resultado esperado. Julgávamos, também, que em

função do trabalho que seria realizado com o desenvolvimento das atividades, os

equívocos referentes ao conceito seriam menores.

BLOCO 16: POTENCIAÇÃO DE BASE POSITIVA E EXPOENTE IMPAR


calcular corretamente as potências quando a base for um valor positivo e o expoente

for um número impar.

35) (+3)³=

36) (+1) 5 =

Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que os alunos também

tentariam resolver essas questões mobilizando seus conhecimentos sobre

potenciação com números naturais, o que poderá conduzi-los ao resultado correto,

uma vez que neste caso a potência também seria positiva. Podendo ocorrer erro

referente à tabuada e ao equivoco de multiplicar a base pelo expoente.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que devido ao

trabalho que seria realizado com o desenvolvimento das atividades, os alunos em

sua maioria conseguiriam aplicar corretamente a regra, obtendo os resultados

desejados. O erro que poderia ocorrer seria referente ao não domínio da tabuada.

101

BLOCO 17: POTENCIAÇÃO DE BASE NEGATIVA E EXPOENTE IMPAR

Nosso objetivo com este bloco de questões foi verificar se os alunos

conseguiriam calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor

negativo e o expoente, um número impar.

37) (- 2) 5 = 38) (- 2)³=

Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que a maior parte dos

alunos não resolveriam as questões, devido ao fato de talvez não terem

conhecimento ainda sobre potenciação com números negativos. Aqueles que

tentassem resolvê-las cometeriam um, ou os dois equívocos seguintes: 1)

multiplicarão a base pelo expoente e 2) dar como solução um valor positivo quando

deveria ser negativo.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos em

sua maioria, conseguiriam usar corretamente a regra e chegariam ao resultado

esperado.

BLOCO 18: POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NULO

Nosso objetivo com este bloco de questões foi verificar se os discentes

conseguiriam calcular corretamente as potências quando o expoente fosse zero.

39) (+7) 0 =

40) (- 6) 0 =

Análise a priori das questões no pré-teste: para resolver essas questões os

alunos deveriam utilizar a mesma propriedade usada no cálculo de potências de

números naturais com expoente nulo, que diz que todo número elevado a zero é 1

(um). Entretanto julgávamos que talvez a maior parte dos estudantes não

conseguiria mobilizar este conhecimento e acabaria cometendo o equívoco de

multiplicar a base pelo expoente, encontrando como resposta o valor zero.

Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que poucos alunos

não conseguiriam aplicar corretamente a regra para este caso da potenciação,

incorrendo ainda no erro de considerar que a potência um valor nulo.

102

2.2 SESSÃO 2: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS

O objetivo desta sessão seria que ao trabalhar em grupo, por meio de

atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos:interagir com seus

pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre

adição com números inteiros de sinais iguais; enunciar a regra para este caso da

adição e apresentar conclusões sobre suasobservações.

Para realizar a atividade, os grupos deveriamobter os resultadosda adição por

meio da calculadorae registra os resultados na folha de atividade ao lado de sua

questão correspondente. Então, a partir de suas observações sobre os resultados

fornecidos pela calculadoraos grupos deveriam responder aos questionamentos

propostos, enunciando e redigindo a regrapara estes casos da adição. Em seguida

cada grupo iria até o quadrosocializar as suas conclusões a respeito da regra.

Após a socialização das conclusões a professora-pesquisadora entraria em

cena promovendo a institucionalização do saber,que é, segundo Almouloud (2007,

p. 40), o momento em que se opera a passagem do conhecimento individual,

particular, para o coletivo, oficializado como saber que deve ser incorporado aos

esquemas mentais de todo o grupo, podendo ser utilizado em outros problemas

matemáticos. De acordo com Freitas (2008), a partir deste momento anula-se a

situação adidática, pois o controle sobre o saber volta para o professor.

Portanto, seria o momento em que a pesquisadora dialogaria com os grupos a

respeito de suas conclusões buscando construir a partir delas, a regra que faria

parte do domínio da turma. Ao final da atividade os alunos receberiam uma ficha de

avaliação (cf. Apêndice Q) para expressar suas opiniões sobre a aula do dia.

Esclarecemos que estes seriam os procedimentos adotados para todas as

atividades, em cada sessão.

A calculadora que seria utilizada por todos os grupos na realização das

atividades era igual ao modelo apresentado abaixo:

103

Fotografia 1-Calculadorausada na realização das atividades

Devido considerarmos a necessidade de estabelecer um momento de diálogo

com os alunos a respeito dos objetivos da pesquisa e da metodologia que seria

aplicada, buscando construir o contrato didático que iria orientar nosso trabalho em

sala de aula, supúnhamos que não haveria tempo suficiente para o desenvolvimento

de mais de uma atividade neste dia, por este motivo planejamos realizar apenas a

atividade apresentada a seguir.

2.2.1 Atividade de adição entre dois números inteiros com sinais iguais

Esta atividade estaria assim estruturada:

ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS IGUAIS

Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas de números inteiros com o mesmo sinal Procedimento:Calcule usando a calculadora:

a) +4+ 7 = h) -4 -14 = b) -2 - 4 = i) 4 + 12= c) + 5 + 7= j) -7 - 2 = d) - 5 - 5 = k) 5 + 6 = e) +3+ 5 = l) -8 - 6 = f) -8 - 3 = m) 13 + 4 = g) +15+2 = n) -11 - 15 =

Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?

2) A que conclusão chegaram?

104

Análise a priori:

Os alunos poderiam responder o questionamento (1) observando as

características das questões e de seus respectivos resultados, estando estes

organizados de forma a facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre

ambos. Então, a partirdesta resposta esperamos que os grupos pudessemenunciar

e redigir a regra para este caso de adição de inteiros, respondendo desta forma, ao

segundo questionamento.

Entretanto, julgávamos que seria possível que os grupos conseguissem

descobrir a regra enunciando-a corretamente, mas tivessem dificuldades em redigi-

la na forma de conclusão, isto porque uma redação mais elaborada poderia ser um

problema para muitos deles, uma vez que era possível que os alunos não

estivessem habituados a participar ativamente da construção do conhecimento.Por

este motivo, durante a institucionalização do saber procederíamos aorientação dos

estudantes para que procurassem atentar para o titulo, oobjetivo da atividade e

também para a resposta dada por eles ao primeiro questionamento, afim de que

pudessem perceber que esses elementos poderiam ajudá-los na organização de

suas conclusões.

Supúnhamos, também, queos gruposconseguiriam perceber que a

calculadora sempre efetuavaa adição dos módulos das parcelas e que os resultados

ora eram positivos ora eram negativos, mas tivessem dificuldades para perceber

quando isso ocorreria,implicando assim em dificuldade para elaborar a regra.Caso

observássemos essa situação, proporíamos a eles alguns questionamentos tais

como: os sinais das somas encontradas são os mesmos em todas as questões?

Estes sinais têm alguma coisa em comum com os sinais das parcelas? Quando os

resultados são positivos? Quando os resultados são negativos? O que é possível

concluir?

Considerávamos que uma situação que poderia contribuir neste primeiro

momento para que a regularidade não pudesse ser observada e consequentemente

não fosse possível a construção correta da regra,dizia respeito a digitação incorreta

dos números na calculadora,que poderia ser provocada pela resistência natural que

alguns alunos talvez manifestassem em relação ao número negativo,

particularmente nos casos em que ele fosse a primeira parcela. Por este motivo,

antes de iniciarmos as atividades, realizaríamos um momento de exploração da

105

máquina de calcular e orientaçãodos alunos para a correta digitação dos números

na calculadora.

Outra hipótese dizia respeito ao tempo gasto para a realização da atividade.

Considerando que esta seriaa primeira atividade a ser desenvolvida e que, a

metodologia utilizada deveria provocar uma quebra no contrato didático com o qual

os alunos estariam acostumados, uma vez que a maioria dos que já cursaram o 7º

ano (todos da escola lócus da pesquisa) haviam informado que a forma de

abordagem do conteúdo utilizada por seus professores era pautada na definição,

exemplos e exercícios, julgávamos que esta seria a atividade que mais demandaria

tempo para ser concluída.

2.3 SESSÃO 3: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS COM SINAIS DIFERENTES E SIMÉTRICOS

O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade

com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de

forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre adição

com números inteiros de sinais diferentes e simétricos; enunciar a regra para estes

casos da adição e apresentar conclusões sobre suas observações.

2.3.1 Atividade de Adição entre dois números inteiros de sinais diferentes


ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES

Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas entre dois números inteiros de sinais diferentes. PROCEDIMENTO:

Calcule usando a calculadora: a) + 7- 4 = h) 6 - 4 = b) + 8 - 9 = i) 17 - 20 = c) - 2 + 9 = j) - 6 + 9 = d) - 8 + 3 = k) -14 + 13 = e) 9 -1 = l) 6 - 8 = f) 10 - 15 = m) 12 - 7 =

g) - 5+ 8 = n) - 13 + 17 =



106

Análise a priori:

Pararesponder aos questionamentos desta atividade os alunos

precisariamperceber que a calculadora sempre efetuava a subtraçãodos

módulosdas parcelas e que os valores que seriam obtidos seriam positivos se a

maior parcela fosse positiva e seriam negativos se a maior parcela for negativa.

Uma hipótese que levantávamos era que os alunos perceberiam que os

resultados oscilavamentre valor positivo e negativo, mas sentiriam dificuldades em

relacioná-los ao maior valor absoluto das parcelas. Supúnhamos ainda que talvez os

alunos sentissem dificuldades também em identificar a operação efetuada pela

calculadora para chegar aos resultados, o que impediria que os alunos chegassem à

descoberta da regra para este caso da adição de inteiros.Caso observássemos que

esta situaçãoestava ocorrendo em algum grupo,seria necessário intervirpropondo

alguns questionamentos para ajudá-los a refletir, tais como: que operação vocês

acham que a calculadora efetuou para chegar ao valor absoluto dos resultados? O

resultado encontrado em cada questão tem alguma coisa em comum com alguma

das parcelasde questões?O sinal do resultado é igual ao sinal da maior ou da menor

parcela?O que é possível concluir?

Assim, esperávamos que os alunos fossem capazes de perceber e redigir a

regra para calcular somas de números inteiros quando um valor fosse positivo e o

outro fossenegativo.

Julgávamos que esta atividade demandaria menos tempo para ser concluída

que a primeira, e que os grupos conseguiriamter uma melhora naredação de suas

conclusões, uma vez que os alunos estariamum pouco mais familiarizados com o

novo contrato didático estabelecido e também teriam como base aregra

institucionalizada na atividade 01.

Durante a institucionalização do saber buscaríamos corrigir os equívocos

cometidos pelos grupos na elaboração da regra e esclarecer as dúvidas que por

ventura pudessem ser manifestadas.

107

2.3.2 Atividade de adição entre dois números inteiros opostos ou simétricos


ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas de números opostos. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) +4- 4 = f) -10+10 = b) -3+ 3 = g) 15 - 15 = c) +7-7 = h) + 6 - 6 = d) -8+ 8 = i) -26 + 26 = e) +9 - 9 = j) -2 + 2 =

Agora responda:

1) O que podemos observar?


Análise a priori:

A atividade deveria permitir que os alunos verificassem que a adição de um

valor positivo com um negativo de módulos iguais resulta sempre em um valor nulo.

Considerávamos que os grupos não teriam dificuldades para descobrir,

enunciare redigir a regra, já que os resultados das questões seriamtodos iguais a

zero e eles já teriam a experiência das outras duas atividades.

O que poderia ocorrer neste casoseria os grupos não atentarem para a

característica das parcelas que indicariaque uma subtração entre números “iguais”

deve ser efetivada e ao digitarem os valores na calculadora fossem levados a

pensar que a operação não teria sido realizada devido o resultado ser zero, mesmo

valor registrado pela máquina antes de executar uma operação.Caso esta situação

fosse percebida em algum grupo, procuraríamos fazê-los refletir sobre as seguintes

questões: na atividade anterior, quando os números tinham sinais diferentes que

operação a calculadora executava? Nas questões desta atividade os sinais são

iguais ou diferentes? E os números? O que vocês aprenderam nas séries anteriores

sobre subtrair números iguais? Será que a calculadora realmente não realizou a

operação? Assim, esperávamos contribuir para que os grupos conseguissem

desenvolver a atividade e chegarà elaboração de uma regra.

108

Julgávamos, também, que os grupos não atentariam para o fato de que se

trataria de uma adição de números opostos.Por este motivo, ao realizarmos a

institucionalização da regra chamaríamos a atenção dos alunos para a definição

desses númerosa fim de poder introduzir o termo oposto ou simétrico na formulação

final da regra.

Considerávamos que esta seria a atividade da sessão que demandaria o

menor tempo para ser concluída e que apresentaria o melhor desempenho dos

grupos em relação a redação das conclusão, devido o acúmulo de experiências que

eles teriam.

2.4 SESSÃO 4: PRATICANDO E AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

O objetivo desta sessão foi que por meio do jogo elaborado os alunos

pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídas utilizando-as

corretamente na resolução das adições propostas.

2.4.1 Baralho para adição entre dois números inteiros

Objetivo: despertar o interesse dos alunos para a fixação do conteúdo; possibilitar a

práticado uso das regrasde forma prazerosa e dinâmica; estimular a assimilação

destas e desenvolver as habilidades dos alunos para o cálculo da operação de

adição com números inteiros, auxiliando deste modo, na aprendizagem dessa

operação.

Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos

Materiais:60(sessenta) cartas (cf. apêndice D)e 01 (uma) calculadora simples.

Regras do jogo:

Os alunos seriam organizados em grupos de 04 jogadores, mas jogariam

individualmente;

Um dos alunos do grupo deveria embaralhar as cartas e distribuir 06 cartas

para cada um dos quatro jogadores.As cartas que sobrassem ficariam no

centro da mesa virada para baixo, constituindo o monte de compras;

Os jogadores deveriam formar pares em que uma carta fosse a questão a ser

resolvida e a outra fosse o resultado para esta questão.

109

Os participantes decidiriam entre si quem iniciaria o jogo e a ordem em que os

jogadores deveriam jogar. O primeiro aluno a jogar deveria comprar uma carta

da mesa e decidir se ficaria com ela, caso lhe servisse para formar um jogo,

descartando, deste modo, uma das cartas que já estava em sua mão, ou se

descartaria a carta comprada, caso esta não lhe servisse.

O próximo aluno a jogar ou pegariaa carta descartada ou compraria uma carta

no monte de compras, descartando a carta que não lhe servisse. As demais

jogadas deveriamseguir este mesmo procedimento.

Caso algum jogador estivesse prestes a finalizar o jogo e sua carta fosse

colocada em jogo, poderia pegá-la mesmo que não fosse sua vez de jogar.

Ganharia o jogo o aluno que formasse primeiro três pares corretamente.

A calculadora serviria para que os alunos confirmassem se os pares do

jogador que disse ter concluído o jogo, estariam corretos. Estando corretos,

os jogadores iniciariam uma nova jogada.

A pesquisadora determinaria o número de jogadas.

O tempo estimado para a realização do jogo era de 01 hora/aula de 45

minutos.

Esclarecemos que existiam no baralho, algumas cartas questões que se

referiam a casos diferentes da adição de inteiros, mas que tinham como resposta o

mesmo valor. Exemplo: “-2-4” e “-12+6”.

Análise a priori:

Nossa hipótese eraque no primeiro momento os alunos poderiamsentir

dificuldadesreferentes ao entendimento da regra do jogo e em relação a

formaçãodos pares (devido o baralho envolver as regras para os três casos

estudados), o que poderia atrapalhá-losno desenvolvimento do jogo. Por isso, antes

das equipes iniciarem as partidas,faríamosa leitura das regras para os alunos

esclarecendo as possíveis dúvidase também uma demonstração de como os pares

deveriam ser formados, chamando atenção para o fato de que o baralho envolveria

todas as regras estudadas. Além disso, procuraríamos acompanhar os grupos

alertando-os sobre os equívocos que por ventura se manifestassem.

Esperávamos queà medida que o jogo fosse sendodesenvolvido os

alunosconseguissemsuperar suas dificuldades e tornarem-se capazes de

calcularcorretamente as adições, aplicando as regras que foram institucionalizadas

com a participação deles.

110

Considerávamos que este jogocontribuirianão só com o aprendizado da

operação de adição com números inteiros, como também,para o desenvolvimento

do cálculo mental, uma vez que os alunos não poderiam utilizar nenhum recurso

material para ajudá-los a formar os pares.

2.4.2 Pós-teste de adição

Este pós-teste teve como objetivo verificar o desempenho dos alunos na

realização dos cálculos da operação de adição com números inteiros após a

realização das atividades.

Salientamos que para realizar a análise a priorido pós-teste de

adiçãoorganizamos as questões em blocos obedecendo à posição em que os

valores negativos e positivos apareciam nas mesmas. Por este motivo as questões

não estarão apresentadas na mesma ordem em que estariam dispostas no teste.

BLOCO 01: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS

Este bloco de questões objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no

cálculo da adição de inteiros com as duas parcelas positivas, depois da realização

das atividades que visavam a construção do algoritmo para esta operação.

Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 = 2) 8 + 14 =

Análise a priori: supúnhamos que os alunos não teriam dificuldades para realizar

corretamente o cálculo destas questões em função das parcelas não envolverem

nenhum número negativo.

BLOCO 02: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS

O objetivo deste bloco foi verificar qual o desempenho dos alunos no cálculo

da adição de inteiros com as duas parcelas negativas, depois da realização das

atividades que visavam a construção da regra operacional para esta operação.

3) - 6 - 12= 4) - 4 - 8= 5) -7 - 2=

Análise a priori: supúnhamos que a maioria dos alunos conseguiria calcular

corretamente as somas fazendo uso adequado da regra institucionalizada.

111

BLOCO 03: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO

Este bloco objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no cálculo da

adição de inteiros com a primeira parcela positiva e a segunda negativas, depois da

realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para esta

operação.

6) 15 – 7= 7) +5 – 7= 8) 3 – 4 = 9) 8 – 5 = 10) 5 - 10 =

Análise a priori: considerávamos que os alunos, em sua maioria, conseguiriam

aplicar corretamente a regra institucionalizada chegando às somas esperadas.

Todavia, apoiados nas análises dos estudos sobre números inteiros apresentadas

na fase das análises preliminares, supúnhamos que para alguns alunos ainda seria

difícil calcular corretamente essas operações, especialmente quando a primeira

parcela tivesse módulo menor que o módulo da segunda. O erro mais recorrente

deveria ser referente a não indicação correta do sinal indicativo do maior valor,

especialmente quando ele fosse negativo.

BLOCO 4: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO

Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos

alunos no cálculo da adição de inteiros com a primeira parcela negativa e a segunda

positiva, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo

para esta operação.

11) - 6 + 3= 12) -35 + 10= 13) -13 + 14= 14)-2 + 15= 15) - 4 + 12= 16) – 6 + 14=

Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos aplicaria corretamente a

regra construída, chegando aos resultados esperados. Já os demais, julgávamos

que talvez ainda apresentassem dificuldades para realizar corretamente este tipo de

questão, uma vez que a revisão dos estudos revelou que alguns alunos, mesmo

tendo passado por uma intervenção de ensino que estimulava e valorizava sua

112

capacidade de raciocínio, ainda apresentaram baixo desempenho especialmente

neste caso da adição.

BLOCO 5: ADIÇÃO ENTRE NÚMEROS SIMÉTRICOS


alunos no cálculo da adição de inteiros simétricos ou opostos, depois da realização

das atividades que visavam a construção do conhecimento sobre esta operação.

17) – 18 + 18 = 18) -26 + 26 = 19) +5 - 5= 20) + 12 – 12 =

Análise a priori: considerávamos que em função da facilidade de assimilação da

regra referente a este caso da adição, os alunos não teriam dificuldades para

resolver corretamente estas questões, mas, talvez, se saíssem melhor nas questões

em que a primeira parcela é positiva e a segunda negativa, devido à semelhança

com a estrutura utilizada na representação da subtração com números naturais.

2.5 SESSÃO 5: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS E DIFERENTES


com o uso da calculadora, os alunos pudessem: interagir com seus pares de forma a

construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para multiplicação entre

dois números de sinais iguais e diferentes; enunciar as regras para estes casos da

multiplicação e apresentar conclusões sobre suasobservações.

2.5.1 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de sinais

diferentes


113

MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES

Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto entre dois números inteiros de sinais diferentes. PROCEDIMENTO:

Calcule usando a calculadora: a) (+2) x (- 3) = h) 7 x (- 3) = b) (-5) x (+4) = i) (-2) x (+6) = c) (+ 2) x (- 8) = j) (+5) x (- 5) = d) (- 3 ) x 6 = k) (- 3) x (+9) = e) (- 8) x (+ 3) = l) 9 x (-3) = f) (+ 5) x (- 3) = m) (- 10) x (+3) = g) (- 6) x (+10)= n) 4 x (- 7) =



Análise a priori:

Os alunos poderiam responder ao primeiro questionamento observando a

regularidade que apareceria a partir da relação que se estabeleceria entre os

resultados fornecidos pela calculadora e suas respectivas questões, estando estas

organizadas de forma a possibilitarque a regularidade se apresente. Então, a partir

desta resposta esperávamos que os gruposfossem capazes deperceber, enunciar e

redigir a regra para este caso da multiplicação de inteiros, respondendo assim, ao

segundo questionamento.

Nossa hipótese era que os grupos não teriam dificuldades para perceber a

regularidade e enunciar a regra em razão de todos os resultados serem negativos.

Julgávamos também que em função da experiência vivenciada por eles na sessão

sobre adição, a maioria dos grupos produziria regras melhor elaboradas e concluiria

a atividade em um intervalo de tempo menor que o gasto na realização das

atividades (1) e (2) da adição.

Durante a institucionalização da regra, procuraríamos manter o diálogo com

os alunos, corrigindo os equívocos para que não se repetissem nas demais

atividades.

114

2.5.2 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais

Esta atividade possuiria a seguinte estrutura:

MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS IGUAIS

Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto entre dois números inteiros de sinais iguais. PROCEDIMENTO:

Calcule usando a calculadora: a) (+4) x (+6) = h) 7 x 4 = b) (-3) x (-7) = i) (-10) x (- 3) = c) (+ 8) x (+5) = j) (+8) x (+2) = d) (- 6) x (-2) = k) (-5) x (-8) = e) (+2) x (+6) = l) 2 x 7 = ) (-3) x (-4) = m) (- 2) x (- 5) = g) (+5) x (+5)= n) (+ 10) x (+ 9)=



Análise a priori:

Considerávamos que os gruposperceberiam a regularidade dos resultados,

associando-os facilmente a característica das questões, respondendo sem muita

dificuldade ao primeiro questionamento. Por isso supúnhamos que eles

conseguiriam, sem problema, enunciare apresentar suas regras para este caso da

multiplicação de inteiros, respondendo assim, ao segundo questionamento.

Julgávamos também que em função da experiência vivenciada por eles no

desenvolvimento da atividade anterior, um número maior de grupos conseguiria

redigir conclusões melhor elaboradas elevariam menos tempo para concluir a

atividade do que o utilizadona1ª atividades sobre esta operação.

2.6 SESSÃO 6: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZERO E POR (-1)

O objetivo desta sessão foi possibilitar que os alunos interagissem com seus

pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para a

multiplicação de números inteiros por zero e por (-1); enunciar as regras para estes

115

casos da multiplicação e apresentar conclusões sobre suas observações,por meio

do trabalho em grupo utilizando atividadesmediadas pela calculadora.

2.6.1Atividade demultiplicação de números inteiros por zero


MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZERO Objetivo: descobrir uma relação entre a multiplicação de números inteiros por zero e seu produto. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (+3) x 0 = g) 0 x (+ 5) = b) (-9) x 0 = h) 0 x (- 10) = c) 5 x 0 = i) 0 x 6 = d) (- 7) x 0 = j) 0 x (- 4) = e) (+ 2) x 0 = k) 0 x 8 = f) (-12) x 0 = l) 0 x (- 15)=

Agora responda: 1) O que podemos observar?


Análise a priori:

Nossa hipótese era que antes mesmo de terminarem de realizar os cálculos

na calculadora as equipes perceberiam qual era a regularidade e enunciariama regra

para este caso da multiplicação, uma vez que todos os resultados seriam nulos e

eles já teriam passado pela experiência da atividade de adição de simétricos.

Julgávamos ainda, queuma quantidade maior de grupos conseguiriam redigir

suas conclusões de forma coerente e com qualidade de elaboração, bem como,

demandariam o menor tempo para concluir a atividade referente a multiplicação.

2.6.2 Atividade de multiplicação de um número inteiros por (-1)

116


MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1)

Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto da multiplicação deum número inteiro por -1 PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (-3) x (-1) = g) (- 1) x (- 8)= b) (+3) x (-1) = h) (- 1) x (+10)= c) (- 9) x (-1) = i) (-1) x (- 4) = d) (+1) x (-1) = j) (- 1) x 5= e) (- 14) x (-1) = k) (- 1) x (-1) = f) (+ 1) x (-1) = l) (- 1) x 1 =



Análise a priori:

Nossa intenção com esta atividade era que os alunos percebessem que na

multiplicação por (-1), o produto é o simétrico do outrofator, desta formapoderíamos

ajudá-los a compreender porque na subtração de números inteiros o subtraendo

muda de valor, por exemplo: (-3) – (-7) = -3 + 7 ou (-3) – (+7) = -3 - 7.

Para esta atividade levantamos três hipóteses: 1º) os alunos teriam

dificuldades paraperceber a regularidade estabelecida entre os produtos

encontrados e o fator multiplicado por -1, não conseguindo elaborar uma regra

satisfatória; 2º) os alunosperceberiam que bastava “trocar” o sinal do fator

multiplicado por -1 para encontrar o produto, sendo este o oposto do fatorque

multiplica -1, elaborando a regra neste sentido; 3º) os alunos não atentariam para

este fato e sim para o fato de que o produto é positivo se o fator -1 estiver

multiplicando um fator negativo e o produto é negativo se o fator -1 estiver

multiplicando um fator positivo, elaborando a regra neste sentido.

Caso observássemos a existência da primeira hipótese, iremos intervir

tentando fazer os grupos refletirem sobre os seguintes questionamentos: observem

os resultados obtidos em cada questão, eles têm alguma coisa em comum com

algum dos fatores? E qual é a diferença entre esses números? O que vocês

observam que aconteceu com a parcela que está multiplicando o (-1)? Se vocês não

117

tivessem a calculadora como vocês fariam para chegar nesse produto? O que é

possível concluir? Assim, esperávamos que os alunos fossem capazes de perceber,

enunciar e redigir a regra de forma satisfatória.

No caso da terceira hipótese, caso ocorressem, deixaríamos para dialogar

sobre ela no momento da institucionalização da regra, já que o raciocínio não estaria

incorreto.

2.7 SESSÃO 7: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS E DIFERENTES


com o uso da calculadora, os alunos pudesseminteragir com seus pares de forma a

construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de

números com sinais iguais e diferentes; enunciar as regras para estes casos da

divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.

2.7.1 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais iguais

Esta atividade estaria assim elaborada:

DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS IGUAIS Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente entre dois números inteiros de sinais iguais PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (+4) ÷ (+2) = g) (+12) ÷ (+ 2) = b) (-9) ÷ (-3) = h) (-12) ÷ (- 2) = c) (+10) ÷ (+5) = j) (+6) ÷ (+3) = d) (- 8) ÷ (- 4) = j) (- 6) ÷ (- 3) = e) (+8) ÷ (+2) = k) (+9) ÷ (+3) = f) (-15) ÷ (-3) = l) (- 10) ÷ (- 5) =



Análise a priori:

118

Considerávamos que os gruposresponderiam ao primeiro questionamento

observando a regularidade que apareceria a partir da relação que se estabeleceria

entre os resultados fornecidos pela calculadora e suas respectivas questões,

estando estas organizadas de forma a possibilitar que a regularidade se

apresentasse. Então, a partir desta resposta esperávamos que cadagrupofosse

capaz deperceber, enunciar e redigir suas conclusões para este caso da divisão de

inteiros, respondendo assim, ao segundo questionamento.

Podíamos supor que em função da experiência vivenciada por eles com a

atividade 2 da multiplicação, os grupos não teriam dificuldades para perceber a

regularidade,enunciare redigir a regra de forma satisfatória, já que os resultados

nestaatividade possuíam a mesma característica.

Considerávamos que o tempo utilizado para o desenvolvimento desta

atividade seria menor do que o utilizado na primeira atividade da multiplicação.

2.7.2 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes


DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente entre dois números inteiros de sinais diferentes PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (+4) ÷ (- 2) = g) (- 6) ÷ (+ 2) = b) (-9) ÷ (+3) = h) (+9 ) ÷ (- 9) = c) (+25) ÷ (- 5) = i) (-8) ÷ (+2) = d) (- 8) ÷ (+ 8) = j) (+15) ÷ (- 3) = e) (+ 12) ÷ (- 4) = k) (- 16) ÷ (+2) = f) (-12) ÷ 3 = l) 14 ÷ (-7) =



Análise a priori:

Considerávamos que os grupos poderiam responder aos questionamentos

mobilizando os conhecimentos adquiridos com a experiência vivenciada na atividade

1 da multiplicação, já que possuíam semelhanças. Desta forma, julgávamos que

119

poderiamperceber, enunciar e redigir a regra para este caso de divisão de inteiros,

sem manifestar grandes dificuldades.

Podíamos supor também que em função das experiências vivenciadas,a

maior parte dos gruposconseguiria redigir conclusões melhor elaboradas do que na

atividade de multiplicação, assim como, o tempo gasto pela maioria dos grupos no

desenvolvimento da atividadetambém seria menor.

2.8 SESSÃO 8: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO E DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1)



forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de

zero por um número inteiro e de um número inteiro por (-1); enunciar as regras para

estes casos da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.

2.8.1 Atividade de divisão de zero por um número inteiro


DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO

Objetivo: descobrir uma relação entre a divisão de zero por um número inteiro e seu quociente. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) 0 ÷ (+4) = f) 0 ÷ (-12)= b) 0 ÷ (+9) = g) 0 ÷ (+5) = c) 0 ÷ (+6) = h) 0 ÷ (+10) = d) 0 ÷ (- 7) = i) 0 ÷ (- 6) = e) 0 ÷ (- 2) = j) 0 ÷ (- 4) =

Agora responda:

1) O que podemos observar? 2) A que conclusão chegaram?

Análise a priori:

Supúnhamos que os grupos não apresentariam dificuldades para realizar esta

atividade de forma que todas as equipes conseguiriamperceber, enunciar e redigir

com sucesso a regra para este caso da divisão, devidoao acúmulo de experiências e

120

também pelo fato de todos os resultados serem nulos. Em função

disso,consideramosque esta seria a atividade de divisão que demandaria o menor

tempo para ser desenvolvida.

2.8.2 Atividade de divisão de um número inteiro por (-1)


DIVISÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1) Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente da divisão de um número inteiro por (-1) PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (-12) ÷ (-1) = g) (+ 1) ÷ (- 1) = b) (+ 6) ÷ (-1) = h) (- 4) ÷ (-1) = c) (-15) ÷ (-1) = i) (+ 2) ÷ (- 1) = d) (+20) ÷ (-1) = j) (- 1) ÷ 1= e) (- 20) ÷ (-1) = k) 8 ÷ (- 1) = f) (- 1) ÷ (-1) = l) (- 9) ÷ (- 1) =



Análise a priori:

Considerávamos que a maioria dos grupos não teria dificuldades para

perceber, enunciar e redigir a regra para este caso da divisão, devido a semelhança

que esta atividade possuía com a atividade de número 04 sobre multiplicação.

Supúnhamosainda que alguma das hipóteses levantada na atividade número

(4) de multiplicação referente aosgrupos que nãoteriam facilidade para construir a

regra, também poderiamser verificadas entre os grupos que teriam dificuldade na

realização desta atividade. Caso isso acontecesse, utilizaríamos os mesmos

procedimentos descritos na análise a priori da atividade citada para tentar fazer os

alunos refletirem em relação aos algoritmos para está atividade.

121

2.9 SESSÃO 9: PRATICANDO OS ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

O objetivo desta sessão foi que,por meio dos jogos elaborados,os alunos

pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídasa fim de poder utilizá-

las corretamente na resolução dasmultiplicações e divisões.

2.9.1Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros

Objetivo: proporcionar aos alunos momentos prazerosos de aplicação das regras

construídas, estimular a assimilação destas e desenvolver as habilidades dos alunos

para o cálculo das operações de multiplicação e divisão com números inteiros,

auxiliando deste modo, na aprendizagem dessas operações.


Materiais: 96 (noventa e seis) cartas (cf. apêndice E) e 01 (uma) calculadora que

contenha as teclas de formação de parênteses.

Regras do jogo:seriam as mesmas adotadas no baralho para adição.

Esclarecemos que neste baralhoos alunos teriam duas cartas iguais que

poderiam ser resultados tanto para a multiplicação como para a divisão. Exemplo:

carta “- 10” poderia ser resultado para as fichas de questão“(-2)x(+5)” ou “(-

20)÷(+2)”.

Análise a priori:

Para jogar os alunos precisariam mobilizar não só os conhecimentos

adquiridos sobre as regras de sinais, como, também, seus conhecimentos sobre a

tabuada de multiplicação e divisão.Além disso, precisariam ser hábeis na realização

do cálculo mental, já que não poderiam utilizar nenhum instrumento material para a

realização destes. Por este motivo, podíamos supor que os alunos sentiriam alguma

dificuldade para formar os pares nas primeiras jogadas, em função da possível falta

de domínio da tabuadade multiplicação e divisão e do emprego da regra adequada.

Procuraríamos,então, acompanhar os grupos na intenção de corrigir os equívocos e

observar as estratégias que usariam para vencer o jogo, já que os alunos poderiam

formar pares a partir de uma questão ou de um resultado.

Presumíamos que à medida que o jogo fosse se desenvolvendo os alunos

conseguiriam superar suas dificuldades e se tornariam capazes de calcular

122

corretamente as multiplicações e as divisões, aplicando as regras que seriam por

eles construídas.

2.9.2 Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros

Objetivo:aprimorar as habilidades dos alunos para o emprego correto das regras de

sinais para a multiplicação e divisão e fortalecer o processo de assimilação das

mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem dessas operações.

Número de jogadores por equipe: 02 (dois) alunos

Materiais: 20 (vinte) cartelas contendo cinco possíveis soluções para as operações

(cf. Apêndice F), 54(cinqüenta e quatro) fichas com as questões(cf. Apêndice G), um

saco escuro para guardar as fichas, pedacinhos de papel para marcar a cartela e 01

(um) painel para afixação das fichas.

Regras do jogo:

Cada dupla receberia uma cartela escolhida aleatoriamente;

A pesquisadora retirariado saco uma ficha contendo ou uma multiplicação ou

uma divisão e “cantaria” para a turma, em seguida deveria afixá-la no painel

para que ficasse visível aos alunos;

Os alunos deveriam dizer em voz alta qual seria a resposta, para que fosse

confirmada ou não pela pesquisadora. Caso a resposta dada estivesse

errada, a pesquisadora deveria instigá-los a refletir sobre suas respostas a fim

de encontrar a resposta correta, só em último caso deveria informar a

resposta certa;

O jogo prosseguiria assim até que alguma dupla tivesse marcado

corretamente em sua cartela cinco números que corresponderiam a solução

para cinco das questões “cantadas” pela pesquisadora;

Para confirmar as respostas a pesquisadora deveria informar a turma um por

um dos números marcados pela dupla, solicitando que os alunos

indicassemas questões afixadas no quadro que teriam originado aqueles

resultados. Se todos os números estivessem marcados corretamente, esta

dupla seria proclamadavencedora da rodada, caso contrário, o jogo

continuaria até que fosse apresentada à professora uma cartela marcada

corretamente;

123

O tempo previsto para a realização do jogo seria de 01 hora/aula de 45

minutos. Estimávamos que fosse possível jogar quatro rodadas, caso

houvesse tempo outras rodadas poderiam ser jogadas.

Análise a priori:

Nesta atividade,nossa suposiçãoseriaque os alunos poderiam cometer erros

também relacionados à falta de domínio da tabuada e a falta de atenção a operação

“cantada”, confundindo as regras devido a dinâmica da atividade, que exigiria

queeles fossem ágeis no cálculo mental. Por esta razão, as fichas questão teriam

tamanho ampliado e, à medida que forem “cantadas” seriam afixadas em um painel

de forma que ficassem visíveis aos alunos, assim, a pesquisadora poderia dialogar

com eles a cerca de suas respostas.

Deste modo, considerávamos que à medida que fossem jogando, os

alunosiríamsuperando suas dificuldades e se tornariam capazes de calcular

corretamente as multiplicações e divisões com inteiros, aplicando adequadamenteas

regras que fossem por eles construídas.

2.10 SESSÃO 10:VERIFICANDO CONHECIMENTOS SOBRE A MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

O objetivo desta sessão foi verificar o desempenho dos alunos na realização

dos cálculos das operações de multiplicação e divisão com números inteiros após

receberem instrução por meio das atividades.

1.10.1 Pós-teste de multiplicação e divisão

Para realizar a análise a priori do pós-teste de multiplicação e divisão

optamos em organizá-las em blocos de acordo com a operação a que se referiam.

Por este motivo as questões não obedeceriama mesma ordem em que estavam

dispostas no teste.

BLOCO 01: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS

O objetivo deste bloco de questões foi verificar qual o desempenho dos

alunos no cálculo da multiplicação de inteiros com os dois fatores positivos, depois

da realização das atividades que visavam a construção dos algoritmos para esta

operação.

124

Efetue as operações abaixo: 1) (+4) x (+5)= 2) (+2) x (+6)=

Análise a priori: considerávamos que os alunos conseguiriam aplicar corretamente

a regra, levando-os ao resultado correto. O erro que poderia ocorrer se referiria a

possível falta de domínio da tabuada de multiplicação.

BLOCO 02: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS


alunos no cálculo do produto, quando os dois fatores forem negativos, após a

realização da atividade que visava a construção do algoritmo para esta este caso da

operação.

3) (-10) x (- 3) = 4) (-3) x (-7) = 5) (-2) x (- 7)=

Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos conseguiria aplicar

corretamente a regra, chegando a resultados corretos. O erro que poderia ocorrer

seria referente a tabuada.

BLOCO 03: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO


alunos no cálculo do produto, quando o primeiro fator for positivo e o segundo

negativo, depois de realizarem as atividades que visavam a construção do algoritmo

para este caso da operação.

6) (+5) x (- 3) = 7) (+8) x (-10) =

Análise a priori: considerávamos que amaioria dos alunos conseguiria resolver

corretamente esta questão. Quanto aos demais, nossas hipóteses eram: efetuariam

corretamente a multiplicação dos módulos e errariam a regra de sinais ou efetuariam

a subtração ao invés da multiplicação, dando como resposta um valor positivo já que

a primeira parcela é positiva e maior que a segunda. Baseamos nossas hipóteses

nos resultados apresentados pelos alunos egressos.

BLOCO 4: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO


alunos no cálculo do produto, quando o primeiro fator for negativo e o segundo

125

positiva, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo


8) (-3) x (+2) = 9) (- 4) x (+6)=

Análise a priori: considerávamos que amaioria dos alunos conseguiria aplicar

corretamente a regra para este caso da multiplicação, chegando ao resultado

esperado. Quanto aos demais, baseados nos resultados apresentados pelos alunos

egressos, julgávamos que talvez: aplicassem corretamente a regra de sinais e

errassem a multiplicação dos módulos ou efetuassem a adição ao invés da

multiplicação, dando como resposta um valor positivo.

BLOCO 5: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO E O ZERO


alunos no cálculo do produto de uma multiplicação de um inteiro por zero, depois de

realizarem as atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da

operação.

10) 0 x (+6) = 11) (- 4) x 0=

Análise a priori: supúnhamos que em virtude da facilidade de assimilação da regra

para este caso da multiplicação, os alunos apresentariam desempenho bastante

satisfatório para essas questões.

BLOCO 6: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM NÚMERO INTEIRO POR -1


alunos no cálculo do produto de um inteiro por -1, depois da realização das

atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da operação.

12) (- 1) x (-1) = 13) (- 1) x (- 20) = 14) (-1) x (+1) = 15) 6 x (-1) =

Análise a priori: nossa hipótese seria que na resolução destas questões os alunos

poderiam lançar mão da regra para calcular produtos de um inteiro por -1 ou se

preferissem, poderiam também usar a regra para calcular produtos de fatores com

sinais iguais ou de sinais diferentes, dependendo do caso. Por este motivo,

julgávamos que a maioria deles conseguiria calcular corretamente esses produtos.

126

BLOCO 07: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS


cálculo do quociente quando o divisor e o dividendo forem positivos, depois da

realização das atividades que visavam a construção dos algoritmos para esta

operação.

Efetue as operações abaixo: 16) (+8) ÷ (+4)= 17) (+15) ÷ (+3)=

Análise a priori: considerávamos que os alunos conseguiriam aplicar corretamente

a regra, encontrando o resultado correto para a questão. O erro que poderia ocorrer

seria referente à possível falta de domínio da tabuada de divisão.

BLOCO 08: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS


cálculo do quociente quando o divisor e dividendo forem negativos, após a

realização da atividade que visava a construção do algoritmo para esta este caso da

operação.

18) (- 8) ÷ (- 4)= 19) (-10) ÷ (-2)= 20) (-16) ÷ (- 4)=


corretamente a regra, chegando a resultados esperado. O erro que poderia ocorrer

seria referente a tabuada.

BLOCO 09: DIVISÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO


cálculo do quociente quando o dividendo fosse positivo e o divisor negativo, após a

realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da

operação.

21) (+6) ÷ (-2)= 22) (+9) ÷ (-3)=

Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos aplicaria corretamente a

regra, conseguindo encontrar a resposta certa para as questões. Quanto aos

demais, nossa hipóteses eram: efetuariam corretamente a divisão dos módulos e

127

apresentariam como resposta um valor positivo devido o dividendo ser positivo ou

efetuariam a subtração ao invés da divisão.

BLOCO 10: DIVISÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO


alunos no cálculo do quociente quando o dividendo fosse negativo e o divisor

positivo, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo


23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-14) ÷ 7=


corretamente a regra para este caso da divisão, chegando aos resultados corretos.

Quando aos demais, nossas hipóteses eram: efetuariam corretamente a divisão dos

módulos, mas dariam como resposta um valor positivo ou efetuariam a adição ao

invés da divisão, dando como resposta um valor também positivo.

BLOCO 11: DIVISÃO DE O ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO


alunos no cálculo do quociente resultante da divisão de zero por um número inteiro,

depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para

este caso da operação.

25) 0 ÷ (+ 3)= 26) 0 ÷ (- 8) = 27) 0 ÷(+ 6)=

Análise a priori: supúnhamos que poucos alunos não conseguiriam realizar o

cálculo dessas operações corretamente, cometendo ainda o equívoco de considerar

o zero como um elemento neutro.

BLOCO 12: DIVISÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR -1

Neste bloco nosso objetivo foi verificar qual o desempenho dos alunos no

cálculo do quociente resultante da divisão de um inteiro por -1, depois da realização

das atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da operação.

28) (-12) ÷ (-1)= 29) (+1) ÷ (-1) = 30) (+ 18) ÷ (-1)=

128

Análise a priori: na resolução destas questões os alunos também poderiam lançar

mão da regra para calcular quocientes de um inteiro por -1 ou se preferissem

poderiam usar, também, a regra para calcular o quociente quando divisor e

dividendo tem sinais iguais ou quando tem sinais diferentes, dependendo do caso.

Por este motivo, julgávamos que a maioria deles conseguiria calcular corretamente

os quocientes.

2.11 SESSÃO 11: REVISANDO AS OPERAÇÕES TRABALHADAS

Objetivávamos, nesta sessão,que por meio de jogos e atividades

escritas,fosse possível aos alunos: revisar as regras institucionalizadas para

resolução de adição, multiplicação e divisão com números inteiros; aprimorar as

habilidades para o cálculo dessas operações; interagir com seus pares de forma a

estabelecer uma troca de conhecimentos.

2.11.1Atividade escrita de revisãodas regras de adição, multiplicação e divisão

Objetivo: possibilitar a revisão das regras de adição, multiplicação e divisão que

foram institucionalizadas, na intenção de que os alunos possam ter a visualização de

todas elas ao mesmo tempo; fortalecer o processo de assimilação e contribuir para o

aprendizado das mesmas.


Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice H) para cada dupla e caneta

Procedimentos:

As folhas de atividade seriam entregues as duplas, que deveriam resolvê-las

apenas com os conhecimentos que eles já teriam conseguido apreender, sem

poder consultar nenhum material.

Depois de encerrado o tempo determinado pela pesquisadora para o

desenvolvimento da atividade seria feita a correção.

A pesquisadora solicitaria que as duplasinformassem suas respostas e

promoveria o debate caso houvesse respostas diferentes.

Assim a pesquisadora poderia esclarecer as dúvidas que ainda existissem.

129

Esclarecemos que esta atividade seria elaborada logo após serem concluídas

as atividades de construção das regras, para que pudéssemos utilizar as regras que

seriam institucionalizadas em sala.

Análise a priori:

Baseados em nossa experiência de sala de aula, julgávamos que alguns

alunos,talvez,tivessem dificuldades para completar corretamente as

lacunas.Especialmente das regras referentes a adição devido terem sido as

primeiras a serem construídas, por este motivo os colocaríamos aos pares na

tentativa de que um complete pudesse ajudar outro na resolução das questões.

2.11.2Baralho de regras

Objetivo:revisar e promover a assimilação das regras, auxiliando deste modo, na

aprendizagem das mesmas.


Materiais:84 cartas (cf. Apêndice I) para cada equipe, sendo 42 cartas com as

regras, 42cartas com as questões.

Regras do jogo: a regra para esse jogo seria a mesma apresentada para o baralho

da adição, com três ressalvas.

Os jogadores deveriam formar pares em que uma carta fosse a questão e a

outra fosse a regra para resolvê-la.

Ganharia o jogo o aluno que formasse primeiro dois pares corretamente.

Esses deveriam ser colocados na mesa para que a professora-pesquisadora

pudesse confirmar se estavam todos corretos.

Caso um ou mais pares não estivessem corretos, a pesquisadora faria a

indicação para que o aluno pudesse corrigi-lo (os).

Esclarecemos que as regras que estariamno baralho seriam as mesmas

instituídas em sala de aula durante as atividades, por este motivo, o baralho seria

construído a medida que as sessões fossem sendo concluídas.

Análise a priori:

Para jogar os alunos precisariam mobilizar os conhecimentos adquiridos

sobre as regras para adição, multiplicação e divisão de inteiros. Por este motivo,

podíamos supor que talvez alguns alunos sentissem dificuldadepara formar os pares

corretamente,nas primeiras jogadas, já que as regras estariam misturadas. Por este

130

motivo, procuraríamos acompanhar os grupos na intenção de corrigir os equívocos e

observar as estratégias que os alunos usariam para formar os pares.

Julgávamos que com o desenvolvimento das jogadas os alunos

conseguiriamrelacionar corretamente as regras ao mesmo tempo em que iriam

assimilando-as.

2.11.3 Baralho para adição, multiplicação e divisão com números inteiros

Objetivo: possibilitar a aplicação das três regras e o desenvolvimento de

habilidades para o cálculo de adição, multiplicação e divisão, auxiliando na

aprendizagem das mesmas.


Materiais:84 cartas (cf. Apêndice J), sendo 42 cartas com questões e 42 cartas com

as soluções e uma calculadora que contenha as teclas parênteses.

Regras do jogo: as regras para esse jogo seriam as mesmas utilizadas no baralho

para adição de números inteiros.

Análise a priori:


adquiridos sobre as regras para resolução destas operações, como também, seus

conhecimentos sobre a tabuada de adição, multiplicação e divisão. Além disso,

precisariam ser hábeis na realização do cálculo mental, já que não poderão utilizar

nenhum instrumento material para a realização destes. Julgávamos que devido a

experiência com o baralho das regras, talvez os alunos não encontrassem grandes

dificuldade para desenvolver o jogo, a não ser tal vez, aquelas que dizem respeito

ao domínio da tabuada. Por este motivo, procuraríamos acompanhar os grupos na

intenção de corrigir os equívocos e observar as estratégias que usariam para vencer

o jogo.

2.12SESSÃO 12: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS REGRAS DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

O objetivo desta sessão foiverificar se os alunos já haviam se apropriado das

regras, conseguindo resolver corretamente as questões propostas.

131

2.12.1Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)

O objetivo deste teste foi verificar qual o desempenho dos alunos na

resolução das questões de adição, multiplicação e divisão com números inteiros,

após a realização das atividades.

Esclarecemos que em virtude do pós-teste parcial conter as mesmas

questões já analisadas na sessão 1, não será feita a análise a priori dele nesta

sessão.

2.13 SESSÃO 13: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE PAR



forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para

potenciação de números inteiros de expoente par; enunciar as regras para estes

casos da potenciação e apresentar conclusões sobre suas observações.

Em virtude das atividades de construção dos algoritmos para potenciação

com números inteiros pressuporem o conhecimento sobre potenciação no campo

dos naturais e levando em consideração nossasobservações em sala de aula, onde

se nota que muitos alunos chegam ao 7º ano com deficiências no aprendizado deste

conteúdo revelando, inclusive, a existência de conceitos mal construídos, e

também,o fato do resultado do teste realizado com os alunos que já cursaram o 7º

ano terrevelado que quase 100% deles errou ou não resolveu as questões

referentes a potenciação,antes de iniciarmos as atividades faríamosuma breve

revisão sobre potenciação no campo dos naturais, recordando os elementos que a

compõe e os seus significados, bem como, dialogaríamos com os alunos sobre a

definição de potenciação e sobre as estratégias para o cálculo das potências,

visando contribuir no momento de realização das atividades.

132

2.13.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente par

Esta atividade estaria assim estruturada conforme apresentamos a seguir:

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE PAR

Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente par PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (+ 4)² = i) (+ 6)² = b) (- 4)² = j) (- 6)² =

c) (+5)4

= k) (+ 1)8=

d) (-5)4

= l) (- 1)8 =

e) 8

2 = m) (+ 2)6 =

f) (-2)8= n) (- 2)

6 =

g) (+3)6 = o) (- 7)

4 =

h) 6

3 = p) (+7)4

=

Agora responda:

1) O que podemos observar? 2) A que conclusão chegaram?

Análise a priori: presumíamos que está atividade ofereceria certa dificuldade para

os grupos em razão de talvez não conseguirem de imediato relacionar o valor

positivo das potências ao fato dos expoentes serem par. Caso observássemos esta

dificuldade em algum grupo, lançaríamos a eles alguns questionamentos que

pudessem levá-los a refletir, tais como: O que significa o expoente na potenciação?

Vocês acham que estes expoentes têm alguma influência sobre os valores das

potencias? Se nós multiplicáramos um número negativo duas, ou quatro, ou seis

vezes, por exemplo, tem possibilidade de o valor continuar negativo? Por quê? Etc.

Assim, esperávamos que os grupos conseguissem perceber, enunciar e

redigir uma regra para este caso da potenciação. Entretanto, era possível que talvez

os grupos não conseguissem redigir a regra utilizando os termos matemáticos

apropriados. Por este motivo, no momento da institucionalização da regra

procuraríamos dialogar com eles a respeito dos termos que utilizaram para formular

a regra, chamando atenção para os termos adequados.

133

Considerávamos que esta seria a atividade de potenciação que os grupos

demandariam o maior tempo para elaborar asconclusões.

2.14 SESSÃO 14: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE IMPAR E NULO



forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para

potenciação de números inteiros de expoente impar e nulo; enunciar as regras para

estes casos da potenciação e apresentar conclusões sobre suas observações.

2.14.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente impar


POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE IMPAR

Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente impar PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:

a) (+ 4)³ = i) (+ 5)5 =

b) (- 4)³ = j) (- 5)5 =

c) 5

2 = k) (- 2)7

=

d) (- 2)5 = l) (+ 2)

7 =

e) (+ 6)³ = m) (- 1)9 =

f) 3

6 = n) (+1)9=

g) (+3)7

= o) (+ 7)1=

h) (- 3)7

= p) (- 7)1

=



Análise a priori: devido a oscilação dos valores das potências julgávamosque nesta

atividade alguns grupos teriam mais dificuldades para perceber que a regularidade

estaria relacionada a condição da base e ao fato do expoente serimpar. Por isso,

134

usaríamos a mesma estratégia anterior, visando conduzi-los a reflexão.Assim,

esperávamos que os grupos conseguissem perceber, enunciar e redigir a regra para

este caso.

Nesta atividade, diferentemente da atividade (1), supúnhamos que os grupos

teriam mais facilidade para redigir a regra e seria possível que algum grupo o fizesse

empregando os termos matemáticos adequadamente, isto porque, teriam como

exemplo a regra institucionalizada para as potenciações de expoente par.

Durante a institucionalização do saber, novamente procuraríamos dialogar

com eles a respeito de suas conclusões, chamando atenção para a utilização

adequada dos termos matemáticos, destacando os grupos que teriam conseguido

usá-los de alguma maneira.

Nossa expectativa seria que os alunos utilizassem um tempo menor para o

desenvolvimento destaatividade do que o utilizado na primeira atividade de

potenciação.

2.14.2 Atividade da potenciação de números inteiros com expoente zero


POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE ZERO

Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente zero. PROCEDIMENTO: Calcule usando a máquina de calcular:

a) (+ 4)0

= g) (+2)0 =

b) (- 4)0= h) (- 2)

0=

c) (+ 5)0= i) (+ 10)

0 =

d) (- 5)0= j) (-10 )

0 =

e) (+ 6)0 = k) (+ 8)

0 =

f) (- 6)0 = l) (- 8)

0 =



Análise a priori: devido a experiência dos alunos com as atividades (1) e (2) e

também devido ao fato de todos os resultados serem iguais a 1 (um)

135

pressupúnhamos que os grupos não teria dificuldades para perceber a regularidade,

enunciar e redigir a regra para este caso da potenciação.

Supúnhamos também que esses grupos conseguiriam melhorar a redação

nas conclusões, inclusive utilizando os termos matemáticos referentes a esta

operação. Considerávamos ainda que o tempo gasto para concluir a atividade

deveria ser menor.

2.15 SESSÃO 15: PRATICANDO AS REGRAS PARA POTENCIAÇÃO


com o uso da calculadora e jogos fosse possível aos alunos: interagir com seus

pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para

potenciação de números inteiros de expoente nulo; enunciar a regra para este caso

da potenciação; apresentar conclusões sobre suas observações e também praticar

as regras construídas.

2.15.1Trilha de potenciação de números inteiros

Objetivo: possibilitar a prática das regras, estimular a assimilação das mesmas e

desenvolver habilidade para o cálculo das potências, contribuindo deste modo para

a aprendizagem das operações com números inteiros.

Número de participantes por equipe: 03 (três) alunos

Material: uma trilha para cada equipe (cf. Apêndice K), 01 (um) dado (cf. Apêndice

M), três carinhas que representarão os jogadores e um saco escuro, 36 cartões com

as questões a serem respondidas(cf. Apêndice L), papel e caneta para que possam

realizar algum cálculo.

Regras do jogo:

Cada trio receberia 1 trilha, um dado, três carinhas de cores diferentes que

representarão cada jogador na trilha e um saco escuro contendo as questões

referentes às interrogações.

Cada participante jogaria o dado para decidir a ordem em que os jogadores

jogariam. Aqueles que tirassem os números maiores jogariam primeiro;

Todos deveriam partir do quadro: Saída.

Para iniciar a caminhada na trilha o 1º jogador deveriapegar uma questão no

saco e responder, se sua resposta estiver correta, ele deveria jogar o dado e

136

andar o número de casas indicadas por ele, passando a vez para o próximo

jogador. Caso a resposta estivesse errada ou não fosse respondida, o jogador

permaneceria no mesmo lugar até que chegue sua vez novamente para tirar

uma nova pergunta e só poderia caminhar quando conseguir responder

corretamente a uma questão. A mesma coisa aconteceria com os outros

jogadores. Essa ação aconteceria na saída e toda vez que o jogador

estacionasse em uma interrogação.

Se o jogador parasse em uma das casas referentes às regras de sinais,

deveria responder corretamente, avançar uma casa e, em seguida, passar a

vez para o próximo jogador. Se respondesse errado ficaria no mesmo lugar

até responder corretamente. Essas questões poderiam ser confirmadas com a

professora-pesquisadora.

Quando o jogador parasse em um das casas de tarefas, deveria fazer o que

mandava a tarefa e passaria a vez para o próximo jogador.

As respostas para as questões estariam indicadas no rodapé de cada cartão,

sendo que estaria dobrada e fixada por um clipe, de forma que só poderia ser

verificada por um de seus adversários, após a enunciação da resposta do

jogador.

Após a confirmação ou não da resposta, a questão deveria ser novamente

fechada com o clipe e separada fora do saquinho. Se os cartões-perguntas

acabassem e o jogo ainda não tivesse sido concluído, os jogadores deveriam

recolocar as questões novamente no saco e continuar o jogo.

As questões que o jogador não soubesseresponder, não deveriam ser

abertas e deveriam retornar imediatamente para o saquinho.

Ganharia o jogador que tivesse chegado primeiro ao final.

Depois que o primeiro jogador chegasse ao final, o jogo deveria continuar

entre os dois alunos que ficassem, até que um deles chegasse também ao

final.

Análise a priori:

Para jogar os alunos precisariam mobilizar os conhecimentos adquiridos

sobre o cálculo de potências no campo dos inteiros,colocando em prática as regras

que foram construídas com a ajuda deles. Precisariam, também, mobilizar seus

conhecimentos sobre a tabuada de potenciação ou, o que é mais provável, sobre a

tabuada de multiplicação. Por este motivo, julgávamos que alguns alunos

137

poderiamsentir dificuldades para jogar, não em relação a aplicaçãodas regras, mas

sim em relação ao cálculo corretodo valor absoluto das potências, caso não

tivessem o domínio da tabuada de multiplicação ou caso tivessem algum problema

de má construção do conceito de potenciação no campo dos naturais.

Por isso uma de nossas estratégias seriaacompanhar os grupos para tirar as

dúvidas e orientá-los no momento dos cálculos do valor absoluto das potências e,

também, permitirque os alunos utilizassempapel e caneta para executarem os

cálculos, orientando-os a terem paciência com aqueles que precisassem de um

pouco mais de tempo para esta ação.

Considerávamos que este jogo despertaria o interesse dos alunos e os

motivaria a se esforçarem em responder as questões pelo desejo de chegar primeiro

ao final.

2.15.2 Atividade escrita sobre as regras para a potenciação

Objetivo: Fortalecer o processo de assimilação das regras e contribuir para o

aprendizado das mesmas.


Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice O) para cada dupla e caneta

Procedimento: os procedimentos seriam os mesmos utilizados na sessão 11 da


Análise a priori:

Alguns alunos poderiam ter alguma dificuldade em lembrar a regra instituída

para completá-la e/ou sentir alguma dificuldade no cálculo do módulo das potências

em função da deficiência dos alunos em relação a tabuada, por este motivo

trabalhariam aos pares na tentativa de que um pudesse ajudar um ao outro e juntos

conseguissem resolver as questões.

2.16 SESSÃO 16: REVISITANDO TODAS AS REGRAS CONSTRUÍDAS

O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo ou em duplas, fosse

possível aos alunos: interagir com seus pares e praticar as regras construídas para

as operações trabalhadas.

138

2.16.1Baralhode regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação de números inteiros Objetivo: possibilitar a prática das regras construídas para as quatro operações

trabalhadas e o desenvolvimento de habilidades para o cálculo de adição,

multiplicação, divisão e potenciação, auxiliando na aprendizagem das mesmas.


Materiais:120 cartas (cf. apêndice O) e uma calculadora que contenha as teclas

parênteses.

Regras do jogo: as regras para esse jogo seriam as mesmas utilizadas no baralho

para adição de números inteiros, sendo que agora receberiam seis cartas e

formariam 02 (dois) trios (questão, regra, resultado).

Análise a priori:


adquiridos sobre as regras para resolução destas operações, como também seus

conhecimentos sobre a tabuada de adição, multiplicação, divisão e potenciação.

Além disso, precisariam ter atenção para relacionar corretamente as regras às

questões para poder chegar ao resultado correto. Considerávamos que talvez, no

primeiro momento, os alunos pudessem sentir alguma dificuldade relacionada a

nova maneira de formar um jogo, porém acreditávamos que ela seria superada a

medida que fossem desenvolvendo as partidas.Julgávamos,ainda,que a experiência

com o baralho de regras desenvolvido na sessão 11 contribuiria para a superação

dessas dificuldades iniciais. Assim, procuraríamos acompanhar os grupos na

intenção de corrigir os equívocos e observar as estratégias que usariam para jogar.

2.16.2 Exercitando as regras para as operações estudadas

Objetivo: Possibilitar a prática de todas as regras ao mesmo tempo e desenvolver

habilidades para o cálculo das operações com números inteiros.


Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice P) para cada dupla e caneta.

Procedimentos:os procedimentos para o desenvolvimento desta atividade seriam

os mesmos utilizados na sessão 11.

Análise a priori:

139

Pressupúnhamos que a maioria dos alunos conseguiria resolver corretamente

as questões e que os erros, quando acontecessem, seriam principalmente

relacionados ao não domínio da tabuada.Julgávamos que, talvez, alguns alunos

também cometessem alguns equívocos relacionados às regras de

sinais.Especialmente quando as questões fossem referentes a adição e a

multiplicação. Baseamos nossa suposição nos estudos revisados e nos resultados

da pesquisa com os alunos egressos do 7º ano.

2.17 SESSÃO 17: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS REGRAS DAS OPERAÇÕES TRABALHADAS

O objetivo desta sessão foi verificar se os alunos haviam se apropriado das

regras, conseguindo resolver corretamente as questões propostas.

2.17.1 Pós-teste geral

O objetivo deste teste foi verificar qual o desempenho dos alunos na

resolução das questões de adição, multiplicação, divisão e potenciação com

números inteiros, após a realização das atividades.

Esclarecemos que a análise a priori deste pós-teste foi realizada juntamente

com a análise a priori do pré-teste, por serem o mesmo teste.

A seguir apresentaremos a descrição da experimentação, onde procuramos

colocar em prática o que foi previsto nas análises a priori.

140

3 EXPERIMENTAÇÃO

Nesta seção nosso objetivo é descrever como ocorreu a experimentação, ou

seja, como se deu o processo de realização da sequência didática com os alunos,

apresentando o conjunto dos dados recolhidos das observações e das produções

destes durante a realizaçãodas atividades desenvolvidasnas sessões de ensino. A

referida sequência didática foi colocada em prática a partir do dia 29/04/2011 e

encerrada em 27/06/2011, contando com a participação de 32 alunos do 7º ano do

ensino fundamental do turno da tarde de uma escola pública estadual, localizada no

bairro de Val-de-Cans.

3.1 A ESCOLA

A opção pela escola pública se deu pelo fato de sermos professora efetiva

desta rede de ensino e termos a oportunidade de já termos vivenciado no dia-a-

diaas alegrias, os conflitos e as dificuldades que se apresentam no desenvolvimento

do processo ensino e aprendizagem que acontecenas salas de aula deste tipo de

escola, nos permitindo, também,acreditar que esse processo pode ser melhor

desenvolvido,a fim de poder oferecer as centenas de filhos e filhas de trabalhadores

assalariados, a oportunidade de um ensino melhor.

A escola escolhida oferecia o ensino fundamental e médio a mais de 2000

alunos distribuídos em três turnos e era apontada pelos próprios alunos, professores

e responsáveis como uma escola organizada, onde os índices de evasão

erambaixos. Possuía uma boa estrutura física e costumava ter seu quadro de

professores sempre completo.

O principal motivo para escolha desta escola foi o fato de ter sido a escola

que registrou a maior concentração de professores de matemática22, atuando no

ensino fundamental, que responderam ao questionário sobre a avaliação das

dificuldades de aprendizagem dos números inteiros (apresentada na seção 1), o que

possibilitava que tivéssemos uma noção da metodologia de ensino que costumava

se adotada no ensino do conteúdo em questão, nesta escola.

Os outros motivos foram: facilidade de acesso à direção da escola, devido

conhecermos a diretora; facilidade de acesso à turma, devidoconhecermos a

22Totalizando 06 professores

141

professora com a qual negociamos o comando da turma para o desenvolvimento do

experimento; facilidade para chegar à escola, devido morarmos no mesmo bairro

onde a escola fica localizada e o fato de, curiosamente, ser a escola onde cursamos

o 6º ano quando criança.

Nosso primeiro contato com a escola para tratarmos da experimentação

ocorreu no dia 14 de março de 2011, quando apresentamos a diretora e a

professora os objetivos da pesquisa, a metodologia que seria utilizada e um esboço

do cronograma das atividades que pretendíamos desenvolver.

Neste encontro com a professora da turma, ficou acertado também quea partir

do mês de maio passaríamos a assumir a turma em seu lugar, e ela acompanharia a

turma, sem interferir, ajudando-nos nas observações das ações dos alunos.

Acertamos, ainda, que a avaliação bimestral dos alunos seria feita a partir da

avaliaçãoque ela faria sobre a participação deles nas atividades e sobre o

desempenho destes nos testes que seriam realizados. Tal negociação tornou-se

uma das “cláusulas” do contrato didático que foi estabelecido com os alunos.

Os encontros para a realização das atividades e testes ocorreram sempre na

segunda, quarta e sexta-feira, dias em que eram realizadas as aulas de matemática

na turma, obedecendo aos seguintes horários:

segunda-feira: dás 15h às 15h45min (3º horário) e dás 16h às 16h45min (4º

horário), tendo 15 minutos de intervalo entre uma e outra aula.

quarta-feira: dás 16h45min às 17h30min (5º horário) e 17h30min às 18h15min

(6º horário)

sexta-feira: (mesmos horários da quarta-feira)

3.2 O PERFIL DOS SUJEITOS DA PESQUISA

A turma pesquisada era formada por 38 alunos, porém somente 32 estavam

presentes no dia da aplicação do formulário. Por este motivo, em nossas análises

iremos considerar apenas as informações e resultados referentes a esses 32

discentes, a pesar dos outros seis estarem presentes em alguns encontros.

Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa, constatamos por

meio de um questionário (Cf.Apêndice C) aplicado no primeiro encontro da primeira

sessão da sequência didática, que dos 32 alunos pesquisados, 53,13% (17alunos)

eram meninas e 46,87% (15 alunos) eram meninos; 87,50% tinham como

142

responsáveis o pai e a mãe, os quais, em sua maioria, possuíam como escolaridade

máxima o nível médio. Verificamos também que 90,62% dos pais e 65,63% das

mães possuíam emprego fixo, indicando que estes estudantes tinham pelo menos o

mínimo de estrutura necessária para se desenvolver enquanto cidadãos que tem

seus direitos essenciais garantidos.

Mostramos a seguir, outras informações referentes aos sujeitos de nosso

estudo.

Gráfico 3- Distribuição das idades dos alunos do 7º ano

Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)

Em relação às idades, verificamos que era uma turma com alunos de idades

variadas, sendo que a maioria deles se encontrava na faixa etária recomendada pelo

MEC para que a criança ingresse no 7º ano, que é de 12 anos. No gráfico 2 é

possível verificarmosque percentual de alunos além de estudar também trabalham

para ajudar no sustento da família.

Gráfico 4- Outra ocupação dos alunos

Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)

31,25% 34,38%

21,87%

9,37%3,13%

11 anos 12 anos 13 anos 14 anos 15 anos

Idades

3,13%

71,87%

25%

sim não às vezes

Trabalha de forma remunerada

143

O gráfico mostrou que a maior parte dos alunos apenas estudava e que

28,13% dos estudantes além de estudar, também trabalhavam de forma remunerada

sempre ou de vez em quando, o que poderia interferir de forma negativa em seus

desempenhos na escola. No gráfico 3 veremos onde os alunos cursaram o 6º ano.

Gráfico 5 – Instituições onde os alunos cursaram o 6º ano

Fonte: Pesquisa de campo (abril e junho/2011)

A leitura do gráfico revelou que a maioria deles não tinha cursado o 6º ano na

escola que seria pesquisada.Todavia também eram oriundos de escolas públicas.

Este dado foi importante para a nossa pesquisa porque indicava que talvez os

alunos tivessem experimentado projetos políticos pedagógicos diferentes, mas

faziam parte do mesmo sistema educacional. Portanto, certamente trabalharam o

mesmo currículo e passaram pelo mesmo processo de avaliação. Buscamos

verificar também quantos alunos moravam nas proximidades da escola pesquisada.

Gráfico 6- Mora no bairro onde está localizada a escola


43,75%

53,13%

3,12%

escola pesquisada outras escolas públicas escolas particulares

Intituição onde cursou o 6º ano

43,75%56,25%

sim não

Número de alunos

144

Verificamos que a maioria dos alunos não residia no mesmo bairro onde

estava localizada a escola, o que poderia significa que muito deles precisariam

utilizar bicicletas ou meios motorizados, provavelmente os ônibus, para chegar até a

escola. Acreditamos que a depender da distância e do meio de transporte que esses

alunos utilizavam para chegar a escola, o fato de morar distante dela poderia

influenciar negativamente na disposição e no desempenho dos alunos durante as

aula. Outra informação muito importante para nós era saber se existiam alunos

repetentes da série ou da disciplina. O gráfico 5 mostra o percentual referente a

esses alunos na turma.

Gráfico 7– Alunos repetentes ou em dependência


No gráfico observamos que a maioria dos alunos não era repetente nem

estava em dependência em matemática. O que nos levou a inferir que apenas

quatro alunos possuíam conhecimentos prévios sobre as operações com números

inteiros, já que no Brasil este é um conteúdo que só passa a fazer parte da grade

curricular nesta série de ensino. No gráfico 6 foi possível verificarmos o sentimento

dos alunos em relação a matemática.

12,50%

87,50%

sim não

145

Gráfico 8-Gosto dos alunos, pela matemática


Foi possível verificar por meio das informações contidas no gráfico, que a

maioria dos alunos gostavam ao menos um pouco de matemática e que apenas

15,62% (correspondente a 05 alunos) não tinha pela disciplina, nenhum sentimento

positivo. No gráfico9 é possível verificarmos o grau de dificuldades que os alunos

dizem ter para aprender matemática.

Gráfico9- Grau de dificuldade para aprender matemática


Em relação à dificuldade de aprendizagem matemática, verificamos que a

maioria dos alunos reconheceu ter um pouco ou muitasdificuldades para aprender

matemática, enquanto apenas 9,38% (correspondente a 03 alunos) declararam não

ter dificuldades. No quadro 9, abaixo, relacionamos a “dificuldade de aprendizagem

em matemática” e “o sentimento dos alunos por esta disciplina”.

15,62%

59,38%

25,00%

nenhum pouco um pouco muito

9,38%15,62%

75,00%

não sim um pouco

146

Quadro 9 – Relação entre o gosto dos alunos pela matemática e a avaliação de dificuldade dos alunos para compreendê-la. Dificuldade para aprender matemática

Não tem Tem um pouco Tem muita

Afi

nid

ad

e

co

m a

ma

tem

áti

ca Não gosta nenhum pouco 0 1 3

Gosta um pouco 2 16 1

Gosta muito 1 7 1


A análise do quadro indicou que a turma era constituída, em sua maioria, por

alunos que gostavam ao menos um pouco de matemática e não apresentavam

muitas dificuldades para aprendê-la.Entretanto, oQuadro 10 mostrou que a maioria

destes alunos não costumava dedicar muito tempo ao estudo de matemática quando

estavam fora da escola.

Quadro 10 – Relação entre dificuldade e hábito de estudo fora da escola

Dificuldade para aprender matemática


Há

bit

o d

e e

stu

do

fora

da e

sc

ola

Só no período de prova

0 7 1

Só na véspera da prova

0 7 3

Só nos fins de semana

0 2 0

Todo dia 1 3 0

De 02 a 04 dias da semana

1 5 2


Na análise do quadro foi possível verificar que a maioria dos alunos que tinha

um pouco ou muita dificuldade para aprender matemática eram também àqueles que

informaram estudar matemática, fora da escola, apenas no período ou na véspera

da prova, o que podecontribuir para que as dificuldades se acentuem. Pesquisa

realizada por Silva (2009) revelou que os próprios alunos reconhecem que para ter

sucesso na aprendizagem dos conteúdos matemáticos é preciso dedicação aos

estudos. Segundo eles, mesmo uma pessoa considerada inteligente pode fracassar

em matemática se não estudar o suficiente.

147

Outro fator verificado dizia respeito a atenção dada pelos alunos às aulas que

eram ministradas em sala de aula. O quadro 11 evidencia a relação deste fator com

a dificuldade para aprender matemática.

Quadro 11 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e a atenção dos alunos às aulas de matemática Dificuldade para aprender matemática


Ate

nç

ão

do

s

alu

no

s a

s

au

las d

e

ma

tem

áti

ca Distraem-se

sempre

0

4

3

Não se distraem

3 10 1

Distraem-se às vezes

0 9 2


No cruzamento dos dados observamos que os alunos que disseram não ter

dificuldades para aprender matemática também não costumavam distrair-se durante

as aulas. Os que declararam ter muita dificuldade de aprendizado, em sua maioria,

eram sujeitos que sempre se distrair nas aulas. Já entre os que disseram ter um

pouco de dificuldade observamos que foi estabelecido equilíbrio entre os que não

costumavam se distrair e os que se distraiam às vezes, alegando que isso ocorria

quando a aula não estava interessante, quando não entendiam o assunto, quando

estava muito barulho na sala ou quando estavam com algum problema particular.

Evidenciando que os motivos mais freqüentes para distração estavam diretamente

relacionados aos aspectos didáticos.

Estes dados indicavam que a escolha de uma boa sequência didática e de

recursos pedagógicos adequados seriam fundamentais para despertar a atenção

dos alunos, reforçando nossa opção pelo uso da calculadora e de jogos para

trabalharmos as operações com números inteiros nesta turma, entendendo que além

de serem instrumentos que fazem parte do mundo tecnológico e lúdico no qual

vivem os alunos, também eram recursos que esses sujeitos não estavam habituados

a trabalhar em sala de aula, como veremos mais adiante.

Outro fator que julgávamos que poderia ter influência sobre o desempenho

dos alunos se referia ao domínio da tabuada. Nossa compreensão era de que o não

domínio da tabuada poderia ser um obstáculo (no sentido literal da palavra) para os

148

discentes no processo de aprendizagem das operações com inteiros. No quadro 12

é possível verificarmos como este fator estava relacionado a dificuldade de

aprendizagem matemática dos alunos.

Quadro 12 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e o domínio da tabuada Dificuldade para aprender matemática


Do

mín

io d

a t

ab

uad

a

Não tem 1 11 3

Só da adição 0 3 1

Só da subtração 0 0 0

Só da multiplicação 0 3 0

Só da divisão 1 0 0

Só da potenciação 0 0 0

Da adição, subtração e multiplicação

0 2 2

Da adição e divisão 0 2 0

De todas 1 2 0


A análise do quadro revelou que os alunos que declaravam terpouco ou muita

dificuldade para aprender matemática em sua maioria não tinham domínio sobre

nenhuma das tabuadas. Recebemos essa informação com preocupação, pois este

poderia ser um fator que poderia interferir no desempenho dos alunos frente a

resolução das operações com números inteiros.

Quisemos também saber qual(ais) operação(ões) matemática ofereceriam

mais dificuldades de aprendizagem para esses alunos. No quadro 13 é possível

verificarmos as operações indicadas pelos alunos.

Quadro 13 – Operações que oferecem mais dificuldades

Operações Quantidade de alunos

Só adição 0

Só subtração 0

Só multiplicação 3

Só divisão 4

Só potenciação 15

Adição e potenciação 1

Subtração e potenciação 1

Divisão e potenciação 3

Multiplicação e potenciação 2

Multiplicação e divisão 1

Multiplicação, divisão e potenciação 2


149

Ao analisarmos o quadro verificamos que a potenciação era a operação

apontada pelos alunos como aquela que seria a mais difícil de aprender, seguida da

divisão e da multiplicação. O que nos permitiu inferir que essa dificuldade para

aprender a calculara potenciação poderia está relacionada a compreensão do

conceito de potenciação e/ou a falta de domínio da tabuada de multiplicação, uma

vez que a potenciação nada mais é do que a multiplicação sucessiva de um mesmo

fator.

Outra relação que também consideramos importante verificar foi se a

dificuldades dos alunos para aprender matemática teriam alguma influência sobre

suas notas nesta disciplina. No quadro 14 é possível verificarmos como estava

estabelecida esta relação.

Quadro 14 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e as notas bimestrais dos alunos do 7º ano. Dificuldade para aprender matemática


No

tas

bim

estr

ais

Acima de 5 2 17 4

Igual a 5 1 5 1

Abaixo de 5 0 1 1


Ao observarmos o quadro constatamos que a maioria dos alunos que tinha

um pouco ou muita dificuldade de aprendizado declararam que suas notas

costumavam ser acima de cinco23. Julgamos que um dos fatores que pode estar

contribuindo para que esses alunos venham mantendo estas notas seja a dedicação

deles ao estudo em sala de aula, uma vez que a maioria deles declarou não ter o

hábito de estudar diariamente quando está fora da escola.

Em relação aos instrumentos pedagógicos (calculadora e jogos) escolhidos

por nós para o ensino das operações com números inteiros. Constatou-se que

53,13% (17 alunos) nunca havia recebido ensino com o uso da calculadora e

65,63% (21 alunos) nunca havia trabalhado com jogos em sala de aula. Apenas 25%

(08 alunos) afirmaram que já havia trabalhado com a calculadora e 18,75% (06

23Nas escolas públicas de Belém cinco é a nota mínima necessária que o aluno deve alcançar em

cada avaliação bimestral para que seja aprovado.

150

alunos) afirmaram já ter trabalhado com jogos, os demais afirmaram que não

lembravam se alguma vez tinha sido usada a calculadora para ensinar-lhes algum

conteúdo matemático ou jogos para fixar o conteúdo trabalhado. Indicando que a

utilização desses recursos no ensino em sala de aula seria uma novidade para a

maioria deles, podendo ser uma motivação a mais para que elesparticipassem das

aulas com interesse.

A seguir apresentaremos a descrição do experimento.

3.3 O EXPERIMENTO

No quadro 15 apresentamoso cronograma dassessões de

ensinodesenvolvidas durante a experimentação eos dias em que ocorreram.


(continua)

DATA ATIVIDADES DO DIA

29/04/2011 Aplicação do formulário para levantamento de informações sobre a turma.

06/05/2011 Estabelecimento do contrato didático e Adição entre dois números inteiros com sinais iguais

09/05/2011

Adição entre dois números de sinais diferentes

Adição entre dois números inteiros simétricos

11/05/2011 Baralho para adição entre dois números inteiros

Pós-teste de adição

13/05/2011

Multiplicação entre dois números inteiros de sinais diferentes

Multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais

Multiplicação de um número inteiro por zero

16/05/2011

Multiplicação de um número inteiro por (-1)

Divisão entre dois números inteiros de sinais iguais

18/05/2011

Divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes

Divisão de um número inteiro por (-1)

Divisão de zero por um número inteiro

20/05/2011 Baralho para multiplicação e divisão entre dois números inteiros

Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros

23/05/2011 Pós-teste de multiplicação e divisão

25/05/2011 Atividade escrita derevisão das regras de adição, multiplicação e divisão

Baralho de regras

27/05/2011 Baralho para adição, multiplicação e divisão

31/05/2011 Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)

13/06/2011 Potenciação de números inteiros com expoente par

15/06/2011

Potenciação de números inteiros com expoente impar

Potenciação de números inteiros com expoente nulo

20/06/2011

Trilha de potenciação de números inteiros

Atividade escrita sobre as regras para potenciação de inteiros

151


(conclusão) 21/06/2011 Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação de

números inteiros

Exercitando as regras para a todas as operações estudadas

27/06/2011 Pós-teste geral Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)

Salientamos que os diálogos descritos nesta seção foram feitos por nós, por

meio de anotações em um caderninho e por meio de um gravador de bolso.

3.3.1 Primeira sessão

Aprimeira sessão foi realizada no dia 29/04/2011 (sexta-feira) com o objetivo

deaplicar o formuláriopara levantamento de informações sobre a turma e aplicação

do pré-teste analisado nas análises a priori.

As informações obtidas com o formulário formaimportantespara o momento

das análises a posteriori, e também para nos dá uma noção da turma com a qual

iríamos trabalhar.Por este motivo o encontro foi realizado 07 dias antes do início das

outras sessões.Destacamos que neste período a professora ainda não tinha

trabalhado com os alunos as noções sobre números inteiros.

O encontro foi iniciado com a professora efetiva nos apresentando a turma e

explicando que faríamos um trabalho com eles a partir do mês de maio referente a

uma pesquisa científica em nível de mestrado e que naquele momento

precisávamos que eles respondessem a algumas questões, passando a palavra

para nós.

Então, nos apresentamos aos alunos informando que também éramos

professora de matemática e, no momento, estávamos como aluna do Programa de

Pós-Graduação em Educação da UEPA, cursando o Mestrado.Explicamos o que era

o mestrado e que o trabalho que iríamos desenvolver com eles seria referente às

operações com números inteiros e que por isso precisava da colaboração deles

respondendo ao formulário para que pudéssemos colher algumas informações que

nos ajudariam no trabalho que realizaríamos em maio. Perguntamos se poderia

contar com a colaboração deles e eles gentilmente disseram que sim.

Entregamos a eles o formulário e explicamos que se tratava de dois

momentos. O primeiro era referente a informações pessoais e estudantis que

152

deveriam ser respondidasà medida que nós fossemos lendo as questões e tirando

as dúvidas e o segundo era composto de algumas questões de adição,

multiplicação, divisão e potenciação (pré-teste) que eles deveriam responder de

acordo com o conhecimento que possuíssem.

Quando os alunos examinaram o pré-teste, alguns deles perguntaram por que

aqueles números tinham o sinal de menos na frente, se referindo aos números

negativos. Explicamos que se tratava dos números negativos que eles iriam

conhecer melhor com a professora nas próximas aulas, então vários deles disseram

que não saberiam fazer por que ainda não tinham estudado aqueles números.

Dissemos a eles que tentassem resolver aquilo que conseguissem e deixassem em

branco o que não soubessem como resolver.Então às 17h demos início a resolução

da primeira parte do formulário. Concluído este momento, pedimos aos alunos que

procedessem a resolução do pré-teste.

Demos aos alunos 45 minutos para realizaçãodo deste, sendo iniciado às

17h15min.O primeiro aluno entregou seu pré-teste depois de 10 minutos de sua

realização alegando que só sabia resolver cinco questões. Logo em seguida, mais

dois alunos entregaram o pré-teste, ondepudemos observar que só haviam resolvido

a primeira questão, que era uma adição que se assemelhava a adição no campo dos

naturais. Passados 20 minutos do inicio do pré-teste apenas três alunas

permaneciam na sala tentando resolver as questões. Às18h a única aluna que ainda

estava em sala entregou seu questionário, onde foi possível verificar que seis

questões do pré-teste estavam resolvidas, mas apenas duas estavam corretas.

3.3.2 Segunda sessão

A segunda sessão ocorreu no dia 06/05/2011 (sexta-feira), quando foi

estabelecido o Contrato Didático e desenvolvida a atividade denominada: adição

entre dois números inteiros de sinais iguais, cujo objetivo que os alunos

descobrissem uma regra para calcularadições com esta característica.

O encontro foi iniciado às 16h50min com a professora efetiva nos

reapresentando a turma einformando que a partir daquele dia nós passaríamos a

assumir a turma e o conteúdo que iríamos estudar faria parte da avaliação bimestral,

que por sua vez, seria composta pela observação da participação deles nas

153

atividades e pelo resultado obtidos nos testes que seriam realizados ao longo do

processo.

Quando recebemos a palavra explicamos aos alunos o objetivo de nossa

pesquisa e dialogamos com eles sobre a metodologia que seria usada, informando

que a professora da turma nos acompanharia durante todo o experimento, mas não

poderia interferir no desenvolvimento dele, especialmente na realização das

atividades; as aulas seriam realizadas por meio de atividades com o uso da

calculadora e jogos e sempre desenvolvidas em grupos; cada aluno receberia um

crachá que deveria ser usado em todas as aulas para que a identificação deles

fosse mais fácil para nós. Por fim, solicitamos que não demorassem a voltar para

sala, no dia em que houvesse intervalo entre uma aula e outra.

Depoisperguntamos se tinham alguma dúvida e se queriam acrescentar mais

alguma coisa. Um dos discentes perguntou quantos alunos ficariam em cada grupo

e se teria que ser sempre o mesmo grupo. Informamos que iríamos orientar a

quantidade de alunos por grupo de acordo com a atividade a ser desenvolvida, mas

que com certeza não poderia ultrapassar 04 (quatro) participantes e que eles

poderiam mudar os grupos a cada aula, caso desejassem.

Outro aluno perguntou se poderiam levar o crachá e a calculadora para casa,

dissemos que o crachá tudo bem, mas não poderiam se esquecer de trazê-lo para

as aulas. Quanto à calculadora, informamos que não poderiam levá-la porque era

um material essencial para o nosso trabalho e não poderíamos correr o risco de

alguém se esquecer de trazê-la, mas combinamos que ao final do experimento

sortearíamos duas delas entre eles.

Um dos alunos pediu para que também usássemos crachá, pelo menos até

aprenderem nosso nome, acatamos o pedido. No mais, não houve nenhuma

objeção.

A partir desse momento esperávamos poder estabelecer um contrato

didático24com a turma de modo que a aventura da aquisição do saber pudesse

acontecer e o conhecimento novo pudesse ser construído na interação dos alunos

com o meio e conosco, uma vez que assumiríamos o papel de professor da turma.

Segundo Brousseau (2008, p. 75), as cláusulas de um contrato didático não podem

24

Conjunto de comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de comportamentos

dos alunos esperado pelo professor (BROUSSEAU, 1986 apud SILVA, 2008, p. 34)

154

ser objeto de um acordo entre dois protagonistas, pois só a aventura da aquisição do

saber permite conhecer o sentido e as condições desse contrato.

Portanto, iniciamos a aplicação das atividades previstas em nossa sequência

de ensino, esperando que esse contrato didático se estabelecesse.

Entregamos os crachás aos discentes e solicitamos que formassem grupos

de três alunos para darmos início ao desenvolvimento da atividade. Observamos

que a maioria dos alunos aceitou o comando, sendo formados 10(dez) grupos com

três alunos, porém, alguns alunos preferiram se organizar de forma diferente,

formando 01 (um) grupo com quatro participantes e 01 (um) com dois, como

consideramos que não haveria prejuízo para o desenvolvimento da atividade, não

fizemos objeção.

Cada grupo recebeu primeiramente a calculadora, uma apenas,em seguida

pedimos que a abrissem e ligassem e desligassem para verificar se estava

funcionando. Observamos que alguns alunos tiveram dificuldade para abri-la porque

ela possuía uma capa embutida e outros tiveram dificuldade para localizar as teclas

para esta ação. Então, com uma calculadora em mãos, pedimos que os alunos nos

observassem e ensinamos como abri-la e indicamos a localização das teclas.

Um aluno perguntou por que ela tinha tantos botões e para que eles serviam.

Explicamos que se tratava de uma calculadora científica e que aquelas teclas

serviam para realizar diversas operações matemáticas, mas que naquele momento

nós só iríamos utilizar aas teclas numéricas e as teclas: “+”, “-“ e “=”. Notamos que

os alunos estavam bem curiosos em relação à máquina. Por isso, perguntamos

quem já conhecia uma calculadora como aquela e apenas quatro alunos se

manifestaram positivamente.

Entregamos então, as folhas de atividade, uma para cada grupo, pedindo que

lessem em voz alta o título e o objetivo da mesma, depois explicamos que deveriam

resolver as questões usando a calculadora, anotando o resultado ao lado de cada

uma delas. Após resolverem todas as questões, deveriam responder aos

questionamentos que estavam logo abaixo delas, tentando descobrir qual era a

regra. Antes, porém, pedimos que os grupos digitassem as duas primeiras questões

e dissessem em voz alta o resultado, para verificarmos se todos haviam realizado a

operação corretamente. Todos deram a resposta certa.Solicitamos,então, que se

organizassem de forma que todos participassem da atividade e pudessem manusear

a calculadora. Às 17h10min os alunos começaram a desenvolver a atividade.

155

Observamos que a maioria dos grupos dividiu o número de questões em

blocos para que cada participantepudesse digitar um certo número de questões, se

revezando na anotação dos resultados; outros se revezavam a cada questão.

Fotografia 2- Alunos resolvendo as atividades de adição

Observamos, também, que a maioria dos alunos se mostrava muito

interessado e agitado com o desafio proposto. Tanto que dois grupos depois de

terem resolvido as três primeiras questões nos chamaram e disseram que já tinham

entendido o que estava acontecendo, dissemos que tudo bem, mas era melhor

terminarem as resoluções para que confirmassem suas ideias.

Em nosso “passeio” pelos grupos notamos que alguns delesanotavam os

resultados da forma como era apresentado pela calculadora, ou seja, sem a

indicação do sinal “+” e alguns escreviam os resultados utilizando o sinal. Quando

chegamos ao momento da institucionalização do saber comentamos este fato com

os alunos e perguntamos se a indicaçãodo sinal “+” nos resultados estava certa ou

errada. A turma se dividiu, alguns diziam que sim e outros diziam que não, então

perguntamos aos que indicaram o sinal porque o fizeram.Um dos alunos respondeu

que a professora efetiva tinha ensinado que era a mesma coisa com sinal ou sem

sinal, concordamos e depois perguntamos: “e como são chamados esses números

no conjunto dos números inteiros?”. Alguns poucos alunos responderam: “positivo”.

156

Dissemos que estava correto e perguntamos: “e os que trazem o sinal de „-„, como

são chamados?”. A maioria deles respondeu: “negativo”.

Depois que os grupos concluíram o trabalho com a calculadora notamos que

vários deles estavam encontrando dificuldades para responder aos

questionamentos, inclusive um dos dois grupos que havia nos chamado inicialmente.

Então, nestes grupos,procuramos fazê-los refletir utilizando os questionamentos

previstos na análise a priori.

Um dos alunos do grupo nos disse: “professora tá dando mais e

menos”.Referindo-se aos resultados positivos e negativos. Dissemos: “e vocês já

observaram quando isso acontece. Quando dá mais e quando dá menos?”. Depois

de algum tempo observando as questões, uma das alunas, disse: “tá, tá professora,

já sei”, virou-se para as colegas e disse: “dá mais quando todo número tem sinal

maior e dá menos quando todo número tem sinal de menos”. Então perguntamos: e

o que a calculadora fez para chegar nesses resultados? A aluna respondeu: ela

somou. Gesticulamos positivamente e nos retiramos para deixar que os alunos

conversassem e chegassem a uma conclusão.

Durante a realização desta atividade ficou claro para nós o nível de

dependência que a maioria dos alunos tinham em relação ao professor, pois a todo

instante demonstravam estar inseguros em relação as sua observações e

construções.

Depois de verificarmos que os grupos já haviam escrito suas conclusões,

pedimos que um aluno de cada grupo fosse até o quadroe escrevesse a regra

elaborada por seu grupo.A princípio os alunos se mostram tímidos e com vergonha,

mas depois que explicamos que não deveriam se preocupar com a beleza das letras

ou com algum erro ortográfico que pudesse ser cometidoos alunos, escolhidos pelo

grupo, a começar pelos meninos,levantaram-se e anotaram suas conclusões no

quadro, conforme mostra a figura abaixo.

157

Fotografia 3- Alunos socializando suas conclusões sobre a adição

Os alunos nos entregavam as folhas de atividade logo que terminavam de

escrevê-las no quadro. Depois que todas as regras estavam escritas, explicamos

aos alunos que faríamos a leitura e em seguida asistematização da regraa partir do

que eles haviam escrito, informamos também que regrasistematizada

(institucionalizada) seria aquela que adotaríamos em nossas aulas.

No Quadro 16 apresentamos as produções dos grupos referentes as regras

que foram formuladas e socializadas por eles.

Quadro 16- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais iguais (continua)

GRUPO

Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?

CONCLUSÃO (REGRAS)

G1

Mesmo as questões sendo de menos elas darão o resultado de +. Ex: -6-6=-12

Mesmo que a conta seja de subtração, o resultado dará como se fosse conta de adição

G2

Menos com menos dá um resultado maior e mais com + dá o resultado exato.

Quando for o sinal de (-) nós somamos e o resultado é maior. E quando for mais (+) o resultado é o mesmo

G3 Não responderam Nós entendemos que todas as operações dão um número maior

G4

Sim, porque os sinais são iguais se mais todas as contas são somadas mesmo com sinais de menos são somados e no resultado se coloca o menos ou mais na frente

Quando as contas não podem ser subtraídas mesmo com sinal de menos

158

Quadro 16- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais iguais (conclusão)

G5

Quando um número foi “-“ negativo e quando dá positivo se foi de mais

É uma operação de menos ou mais, na subtração subtrai direto e se der negativo, coloque o sinal de “-“ na frente do número e adição soma direto.

G6

Todas foram somadas para chegar no resultado - - = -; + + = +. Só pode usar o – no final quando tem dois negativos. Para ficar com o sinal de + no final só quando há dois positivo

A gente entendeu que mesmo sem a calculadora o resultado dá o mesmo

G7

Nós entendemos que as operações de adição da sempre normal e as de subtração os resultados dão idênticos a uma operação de adição normal mais o que tem de diferente é que quando sai o resultado dá negativo, foi isso que nós entendemos

A regra é a mesma que usamos para somar e subtrair

G8

É que ao invés de subtrair a calculadora estava somando

Nós entendemos que não importa quanto for, vai dá sempre um número maior.

G9

Quando um sinal vem em primeiro lugar a gente troca pelo segundo. Ex: +4+7= 11; -8-6= -14

Pela calculadora é mais fácil

G10

A calculadora soma mais rápido do que nós, o sinal de mais da a resposta maior e o sinal de menos da menos, o sinal dividi.

A regra são os sinais de mais menos vezes dividi tem que seguir a ordem

G11

É como se o sinal de – 5-5 é igual quando tem mais e mais na frente do numero

Tem que soma e diminuir a fração

G12

Os sinais não se modificarão só que tem alguns resultados que não tem sinal antes dele. Altere porque tem dois menos.

A gente entendeu que não se modifica nada se tiver mais ou menos na frente dos números, vai dar o mesmo resultado.

Fonte: Produção escrita dos grupos

Notamos que os alunos cometeram vários equívocos e que apenas um grupo

conseguiuelaborar uma redação quese aproximava deuma regra para este caso da

adição, o que era esperado. Por isso ao realizarmos a institucionalização, que é o

momento em que o professor tem a missão de organizar a síntese do conhecimento,

procurando torná-lo objetivo e universal,estabelecemos com os alunos o diálogo a

seguir. Esclarecemos que representaremosas manifestações dosdiversos alunos

durante o experimentoporM1, M2, M3, ...

159

P (pesquisadora): Vamos agora organizar nossa regra. Qual é o titulo da atividade? T: (turma): Adição entre dois números inteiros de sinais iguais P: É o objetivo, qual era? T: “Era para descobrir uma regra praresolver somas dos números de sinais iguais”. P: Então vamos partir daí para organizar o que vocês escreveram,podemos começar assim: para somar dois números de sinais....O quê? T: “Iguais” P: O que devemos fazer? Vamos verificar qual operação vocês observaram que a calculadora realizava para chegar ao resultado? M1: “Ela somava, mesmo quando tudo era menos” P: Equanto aos sinais? O que vocês observaram quanto a eles? M2: “que só pode usar o “-“ quando tem dois negativos e o “+” quando tem dois positivos” P: Algum outro grupo observou isso também? M3: (levantando a mão) nós observamos que era o mesmo sinal que tava na conta. P: Ah! Então posso dizer que o sinal das parcelas se repetia? T: pode P: Mas vejo que nenhum grupo escreveu nada parecido com isso aqui nas suas conclusões. Vamos organizar o que vocês escreveram e construir a regraque será de domínio de toda a turma?

Após o diálogo realizamos a institucionalização da regra que ficou assim

elaborada:

Para somar dois números de sinais iguais devemos somar os números e conservar o sinal das parcelas.

Depois da institucionalizaçãodiscutimos com os alunos alguns exemplos e

orientamosque anotassem em seus cadernos porque esta seria a regra com a qual

trabalharíamos em sala de aula.

Neste dia não conseguimos entregar a ficha de avaliação por que os alunos

estavam muito agitados para ir embora, devido todas as outras turmas já terem sido

dispensadas. Por isso, pedimos que eles fizessem oralmente a avaliação da aula.

Alguns disseram que foi legal por que haviam aprendido muitas coisas, outros

que foi interessante e outros que foi muito boa.Foram gastos 40min para a

realização da atividade, 5min para que todos os grupos escrevessem as conclusões

no quadro e 15 minutos na institucionalização do saber. Encerramos esse encontro

às 18h10min.

3.3.3Terceira sessão

A terceira sessão ocorreu no dia 09/05/2011 (segunda-feira), quando foram

desenvolvidas as atividades denominadas: Adição entre dois números inteiros de

160

sinais diferentes e Adição entre dois números inteiros simétricos, com o objetivo de

que os alunos pudessem descobrir as regras para calcular esses casos de adição.

Neste dia ao entrarmos em sala de aula os alunos nos cumprimentaram

animados e percebemos que eles estavam bem mais tranqüilos do que no encontro

anterior. Solicitamosaos que estavam de pé para que se sentassem e perguntamos

como tinha sido o final de semana deles.Alguns alunos responderam que o fim de

semana tinha sido “normal”.Perguntamos, então, o que queria dizer ser “normal”,

eles explicaram que era porque não tinha acontecido nada diferente do que eles

costumavam fazer. Outros alunos disseram que o final de semana tinha sido bom

porque tinham saído para passear. Perguntamos então se todos estavam bem

naquele dia e a resposta foi afirmativa.

Após este diálogo pedimos que organizassem os grupos para que

pudéssemos começar a aula. Alguns alunos perguntaram quantos participantes

deveria ter em cada grupo e respondemos que gostaríamos que fossem três alunos.

Neste dia estavam presentes 34 alunos, sendo formados 08 (oito) grupos com três

alunos, 02 (dois) com quatro e 01 (um) com dois alunos. Apenas quatro grupos

sofreram alterações.Entregamos então a calculadora e a folha referente à primeira

atividade a ser desenvolvida neste dia, orientamos que deveriam realizar o mesmo

processo da aula anterior.

Os grupos começaram a desenvolver a primeira atividade - adição entre dois

números inteiros de sinais diferentes - às 15h10min e pudemos observar que eles já

não apresentaram dificuldades para manusear a calculadora e se mostraram

empenhados em descobrir qual era a regra para esta atividade. Em nosso “passeio”

pelos grupos foi possível observarque os alunos conversavam entre si, tentando

responder aos questionamentos. Foi possível também verificar que a maioria deles

estava conseguindo perceber qual era a operação realizada pela calculadora para

chegar ao resultado, mas estavam tendo dificuldade para perceber que o sinal

referente ao resultado era o mesmo apresentadopelo módulo da maior parcela em

cada questão.

Nos grupos que solicitaram nossa presença, utilizamos os questionamentos

previstos na análise a priori tentando levá-los a reflexão. Passados 30 minutos do

início da atividade, todos os grupos já haviam concluído a atividade, então pedimos

que um representante de cada grupo fosse ao quadro e escrevesse suas

conclusões.

161

Às 15h45min iniciou-se o intervalo para os alunos da escola. Por este motivo,

a leitura das conclusões dos grupos foi realizada após o intervalo, que era de 15

minutos. Os alunos começaram a retornar para sala às 16h e às 16h5min iniciamos

a leitura das conclusõesfazendo a discussão sobre os equívocos cometidos e

parabenizando os grupos que tinham conseguido descobrir e formular a

regraadequadamente. Em seguida procedemos a institucionalização da regraque

faria parte do domínio da turma.

Durante a leitura das conclusões pudemos observar que a maioria dos grupos

descobriu a regra e que a redação deles tinha melhorado bastante em relação as

redações da primeira atividade de adição, inclusive observamos que alguns grupos

usaram a mesma estrutura de organização da regra institucionalizada na primeira

atividade. Observamos, também, que os grupos festejavam cada vez que

informávamos que as suas conclusões estavam satisfatórias. No quadro 17

apresentamos as produções dos alunos referentes a esta atividade.

Quadro 17- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais diferentes (continua)

GRUPOS

Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a

calculadora?

CONCLUSÕES (REGRA)

G1

Os números são diferentes as somas também são

Para somar dois números de sinais diferentes devemos somar os números e repetir o sinal.

G2

Para determinar estes resultados sem a ,calculadora devemos manter o sinal do número maior.

Para somar os números de sinais diferentes devemos manter o sinal do número maior e subtrair (-)

G3

Não responderam

Para somar números de sinais diferentes devemos subtrair e repetir o sinal que está na frente do número maior.

G4

Os sinais diferentes subtrai e o sinal maior é conservado

Para somar dois números de sinais iguais, devemos em algumas contas repeti o sinal e colocar o resultado e outros só o resultado.

G5

-2+9= 7d

Quando os números forem de sinais diferentes nós subtraímos e conservamos o sinal do número maior

G6

Subtraindo

Quando o sinal for diferente é só subtrair conservamos o sinal do número maior

G7

Não responderam

Quando o sinal for diferente a gente subtrai e conserva o sinal maior

162

Quadro 17- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais diferentes (conclusão)

G8

Não responderam

Quando a conta + ou – diminuir toda conta

G9

Não responderam

Nós entendemos que quando o sinal diminui fica o sinal do maior número

G10

Quando tiver o sinal de – e o + resultado é +. Quando for + e o – resultado é -. Todos foram somados para chegar ao resultado

Quando tiver o sinal de – e o + resultado é +. Quando for + e o – resultado -. Todos foram diminuídos para chegar ao resultado. Porque eles são maiores e tão repetido o sinal do maior.

G11

Depende do número se vai dá negativo e positivo e também qual o sinal e que quando é adição dá negativo e subtração dá positiva.

Devemos diminuir para dá positivo

G12

No resultado de números diferentes se subtrai e se conserva o sinal do maior número

Porque nós colocamos – na frente sempre vai da + ou + na frente vai dá -


A regra que passou a fazer parte do domínio da turma ficou assim construída:

Para somar dois números de sinais diferentes devemos subtrair os números e conservar o sinal do número maior.

Após a institucionalização, apresentamos e discutimos com os alunos alguns

exemplos e encerramos a atividade às 16h15min. Logo em seguida, iniciamos a

segunda atividade do dia, denominada adição entre dois números inteiros

simétricos.

Entregamos as folhas de atividade aos grupos e orientamos que utilizassem o

mesmo procedimento das demais atividades. Como prevemos nas análises a priori

existiram alguns grupos, três para sermos mais exatos, que achavam que a

calculadora estava com algum problema porque digitavam a questão e a calculadora

continuava apresentando o zero, como se não tivesse efetuado a operação. Um dos

diálogos que tivemos com os grupos foi o seguinte:

P: Porque vocês acham que a calculadora está com problema? M1: por que a gente digita as questões e ela não sai do zero P: e isso está acontecendo em todas as questões? M2: é P: vocês já observaram com atenção essas questões? As parcelas têm sinais iguais ou diferentes? M3: diferentes

163

P: na atividade anterior, quando os números tinham sinais diferentes que operação a calculadora executava? M4: ela diminuía P: Será que não é isso que a calculadora está fazendo? E os números de cada questão, eles tem alguma coisa em comum? M5: são os mesmos P: são iguais. E o que vocês aprenderam nas séries anteriores sobre subtrair a mesma quantidade, os números iguais? M6: que dá zero P: então, será que a calculadora realmente está com problema? Conversem a respeito.

Após o diálogo nos afastamos para deixar que os alunos pudessem conversar

e chegar a uma conclusão.

Em relação a esta atividade, observamos que a maioria dos grupos não teve

nenhuma dificuldade para perceber a regra e relacioná-la ao fato dos números

serem iguais e terem sinais diferentes.Notamos, também, que alguns grupos

formados por meninos estavam competindo para ver quem conseguia descobrir

regra e redigi-la da melhor forma.

Em um dos grupos, ouvimos um aluno expressar o seguinte comentário: “tem

que ser uma coisa mais formal”, querendo dizer que a regra não poderia ser redigida

de qualquer jeito.

A partir desta atividade, observamos que os alunos começaram a se mostrar

autônomos no processo. Já não precisávamos mais convidá-los a ir ao quadro para

escrever suas regras, depois que escreviam suas conclusões na folha de atividade

se dirigiam até nós e pediam o pincel atômico para anotá-las no quadro. Essa

iniciativa deu mais agilidade ao processo.

Após 20 minutos do início da atividade todos os grupos já a haviam concluído

e socializado suas conclusões no quadro. Fizemos então a leitura e pudemos

verificar que a grande maioria dos grupos conseguiu descobrir a regra relacionando-

a ao fato dos números serem opostos. No entanto, apenas um grupo escreveu a

regra usando este termo, a pesar dele está expresso no título e nos objetivos. Por

isso, durante a institucionalização chamamos atenção novamente para estes dois

elementos e recordamos com os alunosque os números iguais de sinais diferentes

são chamados de simétricos ou opostos. O Quadro 18 apresenta as produções dos

alunos em relação a regra a ser construída.

164

Quadro 18 – Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros opostos GRUPOS O que podemos observar? CONCLUSÕES (REGRAS)

G1

Não responderam Na adição de dois números inteiros opostos, quando os números forem iguais e o sinal diferente o resultado vai dar sempre 0 (zero).

G2

Para calcularmos os números com sinais diferentes e com o mesmo número o resultado será 0

Para calcularmos os números com sinais diferentes e com o mesmo número o resultado sempre será 0

G3

Na adição entre dois números inteiros opostos o resultado é zero

A soma de números iguais com sinais diferentes, o resultado será sempre 0

G4

Não responderam Se os números são iguais e os sinais diferentes o resultado é sempre zero.

G5

Na adição do número oposto deu tudo zero

Deu tudo zero porque os números são iguais e os sinais diferentes

G6

Não responderam A conta sendo positiva ou negativa diminui todas as contas dá mesmo resultado

G7

Não responderam Nós entendemos que os números são iguais, eles dão o resultado de uma conta de subtração

G8

Não responderam O procedimento vai ser sempre o mesmo só que a diferença é que os números são iguais e vai dar sempre zero

G9

Nós observamos que o resultado vai dá 0 e o sinal é diminuir

Nós entendemos que o resultado sempre vai dá o 0 porque os números são iguais e o resultado vai sempre diminuir (-) e nunca vai aumentar

G10

Porque todos os números são iguais mais os sinais são diferentes e por isso é que dá (0)

A soma é negativa e os números são iguais e por isso dá (0). Ex: -2 + 2=0

G11

Na adição de dois números opostos os resultados foram todos 0

Concluímos que todos os números são somados por si mesmo e mesmo que seja o sinal de adição ou subtração o resultado vai dar o mesmo o 0.

G12

Os sinais são diferentes, mas os números são os mesmo. A gente tem que diminuir os números iguais que vai dar zero

Nós concluímos que quando os sinais são diferentes, mas os números são os mesmos o resultado vai dar zero


A regra institucionalizada ficou assim formulada:

Na adição de dois números inteiros opostos a soma será sempre zero.

Realizada a institucionalização da regra, discutimos alguns exemplos com os

alunos e encerramos este momento. Em seguida entregamos acada aluno uma ficha

de avaliação para que expressassem sua opinião sobre o encontro realizado neste

dia.

165

Esclarecemos que as análises sobre as avaliações estão apresentadas na

seção seguinte, quando tratamos das análises a posteriori, por isso, nesta seção nos

limitaremos a apenas apresentá-las.

No Quadro19apresentamos as avaliações dos alunos e a quantidade de

alunos que emitiram a mesma opinião ou opiniões similares.

Quadro 19- Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 09/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de

Alunos

04

07

12

09

01

02

01

01

Fonte: Ficha de avaliação da aula

Observamos que todos os alunos disseram ter gostado da aula,

principalmente por ela ter lhes proporcionado aprendizado do conteúdo, porém,para

alguns deles a aula também proporcionoumomentos de descontração e o

desenvolvimento da habilidade de concentração.

166

3.3.4Quarta sessão

A quarta sessão ocorreu no dia 11/05/2011 (quarta-feira) quando foi

desenvolvido o Baralho para adição entre dois números inteiros, com o objetivo de

possibilitar a prática e a assimilação das regras e aplicado o pós-teste, com o

objetivo de verificar o desempenho dos alunos após a realização das atividades.

Neste dia entramos em sala de aula às 17h porque a professora da aula

anterior demorou a sair. Quando entramos na sala os alunos perguntaram se eles

iriam desenvolver outras atividades como as da aula passada, respondemos que

naquele dia iríamos jogar um baralho. Os alunos comemoraram.

Pedimos que se organizassem em grupos de quatro participantes e alguns

alunos pediram pra formar grupos de três participantes, como avaliamos que não

haveria prejuízo para o desenvolvimento do jogo, permitimos. Foram formados

então, 06 (seis) grupos com quatro participantes e 04 (quatro) grupos com três.

Entregamos um baralho e uma calculadora para cada grupo e em seguida

explicamos oralmente as regras, mostrando um exemplo de como deveriam ser

formados os pares e ressaltamos que a calculadora só poderia ser usada quando

algum dos participantes anunciasse que tinha conseguido formar os três pares, para

confirmar se estavam corretos.

Os alunos começaram a jogar às 16h10min. Observamos que a maioria dos

alunos estava tendo dificuldadepara compreender a dinâmica do jogo, solicitando a

toda hora, nossa presença e até da professora efetiva em seus grupos para orientá-

los melhor. Então, explicávamos novamente a regra do jogo em cada grupo, sendo

que em dois deles tivemos que acompanhar uma partida orientando-os a cada

jogada, pois apenas a explicação oral da regra não tinha sido suficiente. Depois que

entenderam como jogar, o jogo transcorreu normalmente.

Observando os grupos jogarem, notamos que em alguns os alunos estavam

utilizando a calculadora o tempo todo para realizar as operações, fomos até eles e

reforçamos que só poderiam usar a calculadora para confirmar os pares do jogador

que tivesse “batido” o jogo, pedimos que guardassem a calculadora e que tentassem

lembrar das regras. Eles nos atenderam e passaram a jogar sem a máquina.

No primeiro momento notamos que os alunos estavam inseguros para utilizar

as regras adequadamente, especialmente, a regra referente aos números de sinais

diferentes, mas o fato de usarem a calculadora para confirmar o resultado os

167

ajudava a perceber quando estavam certos os errados.Percebemos, também, que a

estratégia da maioria dos alunos era formar os pares a partir da questão, por esse

motivo, descartavam todas as cartas de resultado, caso estas não lhes servisse.

Às 17h30min recolhemos o material e pedimos que os alunos colocassem

suas carteirasem fila indiana, explicando que realizaríamos um pequeno teste,

individualmente, para verificar o que eles já tinham conseguido aprender sobre os

tópicos que havíamos estudado. Uma aluna perguntou se o teste valeria ponto,

entãoa professora efetiva explicou que contaria como parte da avaliação deles.

Neste momento, aproveitamos para lembramos de que estavam participando de

uma pesquisae que todas as atividades ali realizadas deveriam ser levadas á sério

mesmo que não contasse ponto. Demos 5minpara que os alunos pudessem se

preparar para iniciarmos o teste.

Às 17h35min começamos a entregar o pós-testede adiçãoaos alunos.Em

seguida fizemos com eles a leitura das questões e eles começaram a resolvê-las.

Passados 5 minutos três alunos anunciaram que haviam concluído o teste, como

avaliamos que tinham sido rápidos de mais, pedimos que tivessem calma e fizessem

uma revisão de suas respostas para ter certeza do que haviam feito. Notamos que

dois dos alunos, depois de fazerem a revisão, estavam corrigindo algumas questões.

Às 17h50min, os alunos começaram a entregar seus pós-testes, sendo

concluído às 18h quando as duas últimas alunas que ainda estavam em sala

entregaram seus testes.No momento em que os alunos entregavam o pós-

testerecebiam a ficha de avaliação. Depois de preenchê-la nos entregavam e se

retiravam da sala de aula.

No Quadro 20apresentamos asopiniões emitidas pelos alunos a cerca da aula

realizada.

168

Quadro 20-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 11/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de

Alunos

07

01

08

02

05

11

01

01

Fonte:Ficha de avaliação da aula

Observamos que apenas um aluno não avaliou a aula positivamente,

justificando que estava com problemas pessoais que interferiram no aproveitamento

da aula. Quanto aos demais, notamos que a maioria se referiu ao jogo apontando

que por meio deles puderam aprender mais sobre o conteúdo que estava sendo

trabalhado.

3.3.5Quinta sessão

A quinta sessão ocorreu no dia 13/05/2011 (sexta-feira), quando foram

desenvolvidas as atividades denominadas: Multiplicação entre dois números inteiros

de sinais diferentes, Multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais e

Multiplicação de números inteiros por zero,com o objetivo de possibilitar que os

alunos descobrissem uma regra para cada um desses casos da multiplicação.

169

Devido a agilidade dos grupos no descobrimento,formulaçãoe socialização

das regras, neste dia foram realizadas três atividades, contando com a participação

de 35 alunoscom os quais foram formados 11 (onze) grupos com três participantes

em cada e 01 (um) com 02 dois participantes. Entregamos os materiais e antes de

iniciarmos a atividade orientamos os alunos, por meio de um exemplo, sobre as

teclas que seriam utilizadas, já que desta vez usaríamos as teclas de formação do

parêntese e a tecla “x” indicativa da multiplicação.Às 16h55min os alunos

começaram a desenvolver a atividade.

Verificamos que a maioria dos grupos não demorou a perceber a

regularidade, alguns inclusive, antes mesmo de terminarem de resolver todas as

questões nos chamaram e disseram que já sabiam qual era a regra.Apenas um

grupo solicitou nossa orientação, porque não estavam conseguindo perceber a

regularidade para elaborar a regra. Então tivemos com eles o seguinte diálogo.

M1: Professor a gente não sabe responder! P: Ok!Vamos pensar um pouquinho. Digam pra mim que operação vocês acham que a calculadora realizou para chegar nestes resultados? M2: Ela multiplicou os números P: E qual é a característica destes números em cada questão? (os alunos ficaram calados) P: Como são os sinais dos números em cada questão? (depois de analisarem as questões) M3: É tudo diferente. P: E os resultados encontrados, qual é a característica deles? M4: É tudo menos P: No conjunto dos números inteiros como são chamados os números que recebem o sinal “menos”? M5: Negativo P: Agora conversem sobre isso e respondam como vocês fariam pra chegar nesses resultados sem usar a calculadora, depois tentem elaborar a regra.

Após o diálogo nos afastamos para deixar que os alunos conversassem e

ouvimos uma das alunas dizer ao grupo: “eu não disse que era porque tudo dava

menos” e um outro aluno corrigiu dizendo: “menos não, negativo”. Esse comentário

nos fez acreditar que havia certa insegurança por parte de alguns alunos do grupo

em relação às proposições de seus companheiros, daí a necessidade de nos

solicitarem.

Às 17h15min iniciamos o momento de institucionalização sendo observado

que quase 100% dos grupos havia descoberto a regra e tinham melhorado

consideravelmente a redação da mesma. Notamos que vários deles partiram do

titulo e do objetivo da atividade para redigir suas regras.Notamos,também,que

170

existia uma preocupação de alguns grupos de que a regra que eles haviam escrito

estivesse correta. No Quadro 21 apresentamos as regras socializadaspelos grupos,

conforme escreveram em suas folhas de atividade.

Quadro 21- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais diferentes.

GRUPO


calculadora?

CONCLUSÕES (REGRAS)

G1

Não responderam

Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais diferentes o resultado dará negativo

G2

Na multiplicação de números inteiros com sinais diferentes o resultado dá sempre negativo

Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais diferentes o resultado dá sempre negativo

G3

Não responderam

Na multiplicação entre dois números inteiros e sinais diferentes independentes dos sinais da conta, o resultado sempre será negativo

G4

O que vemos que com sinais e números diferentes vai dá negativo

Na multiplicação de números inteiros de sinais diferentes sempre vai dá negativo

G5

Não responderam Na multiplicação de sinais diferentes o resultado é sempre negativo

G6

Não responderam Na multiplicação entre dois números e o sinal diferente o resultado é sempre negativo (-)

G7

Na multiplicação de números diferentes é negativo

A multiplicação de dois números de sinais diferentes dá sempre número negativo

G8

Só precisamos somar e acrescentar o sinal de – na frente

Só precisamos multiplicar e acrescentar o sinal de – na frente do resultado da multiplicação

G9

Não respondeu Quando os dois sinais diferentes os resultados eram negativos

G10

Na troca de sinais sempre vai dá negativo

A multiplicação de sinais diferentes dá negativo

G11

O resultado dá negativo e positivo Alguns resultados dão menos na frente outros não dão

G12

Não responder Quando os sinais são diferentes muda o sinal de menos para +


A regra institucionalizada ficou assim elaborada:

Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais diferentes o produto é sempre negativo.

171

Concluímos esta atividade às 17h25min, após a discussão de alguns

exemplos. Passamos, então,a segunda atividade denominada multiplicação entre

dois números inteiros de sinais iguais. Entregamos as folhas de atividade aos grupos

e deixamos que trabalhassem.

Notamos que nesta atividade eles foram bastante ágeis e não tiveram

dificuldade para perceber e redigir a regra.Passados 5 minutos do inicio da

atividade, um alunos nos chamou em seu grupo e disse:

A: Professora, nós já descobrimos a regra dessa multiplicação. P: E qual é? A:É que vai dá positivo! P: Ok!Agora organizema redação.

Retiramo-nos para deixar que o grupo trabalhasse na elaboração de sua

conclusão.

Após a conclusãodas atividades, fizemos a institucionalização da regra

contando com a participação ativa dos alunos respondendo aos nossos

questionamentos quanto aos equívocos percebidos nas redações de alguns grupos.

No quadro 22 apresentamos as regras socializadas pelos grupos e registradas em

suas folhas de atividade.

Quadro 22- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais iguais. (continua) GRUPOS Como podemos obter estes mesmos

resultados sem usar a calculadora? CONCLUSÕES (REGRA)

G1

Não responderam

Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais a gente multiplica os números inteiros que vai dar sempre números positivo

G2

Não responderam

Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais iguais o resultado vai ser sempre positivo

G3

Usando a tabuada de multiplicação

Na multiplicação de dois números inteiros e sinais iguais o resultado sempre será positivo

G4

Observamos que só multiplicamos que vai dá números positivos

Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais multiplica os números e o produto vai dá positivo

172

Quadro 22- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais iguais. (conclusão)

G5

Os resultados deram positivos na multiplicação

Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais o resultado dá sempre positivo, porque a multiplicação de dois sinais iguais dá sempre positivo

G6

Para obter esses mesmos resultados podemos apenas multiplicar sem os parênteses e os sinais da subtração

Entendemos que na multiplicação de sinais iguais o resultado esta sempre dando positivo

G7 Para obter os mesmos resultados sem usar a calculadora só precisamos multiplicar as somas e todos os resultados irão dar positivos

A regra da multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais é que na soma de sinais positivos ou negativos o resultado sempre vai dá positivo

G8

Sim, multiplicação de números inteiros com sinais iguais os sinais são iguais e os resultados são de números positivos

Sim, multiplicação de números inteiros com sinais iguais os sinais são iguais e os resultados são de números positivos

G9

Não responderam Nós concluímos que a conta não precisa de ( ) porque dará sempre o resultado positivo

G10

Deu tudo positivo Com ( ) ou sem ( ) dá o mesmo resultado

G11

Multiplicando sem ultilizar os parênteses e os sinais de subtração

Para obter esses resultados nós podemos apenas multiplicar sem os parênteses e os sinais de subtração

G12

Não responderam

A multiplicação os números se multiplicam se os sinais são iguais e se conserva o sinal e Poe na frente do resultado e quando não são se conserva o sinal que esta na frente do número.

Fonte:Produção escrita dos alunos


Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais o produto é sempre positivo.

Esta atividade foi concluída às 17h55min e logo em seguida iniciamos a

terceira e última atividade do dia que era denominada multiplicação de um número

inteiro por zero.

Entregamos a folha de atividade aos grupos e eles começaram a resolvê-la.

Depois de resolverem as primeiras questões, ouvimos os alunos comentando em

seus grupos que o resultado era zero para todas as questões. Então um aluno, que

nos pareceu muito satisfeito com a atividade, veio até nós e disse: “eu já sei que dá

173

zero porque ta multiplicando por zero”. Dissemos a ele: “então volte para seu grupo

e verifique se seus colegas também chegaram a essa conclusão”.

Os grupos terminaram a atividade quase que ao mesmo tempo, levaram

apenas 10 minutos para concluí-la, o que exigiu que organizássemos sua ida ao

quadro, pois queriam ir todos ao mesmo tempo.

Fotografia4- Alunos socializando as regras para multiplicação por zero

Durante a leitura das conclusões socializadas pudemos notar que todos os

grupos descobriram a regra e vários deles tiveram melhora considerável na

elaboração de suas conclusões, fazendo uso do termo matemático “produto” ao

invés do termo “resultado” na elaboração de suas regras. Conforme pode ser

verificado no quadro 23 abaixo.

Quadro 23- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por zero (continua)

GRUPOS

O que podemos observar? CONCLUSÕES (REGRA)

G1

O resultado dará sempre zero

Na multiplicação de números inteiros por zero o resultado dará sempre zero.

G2

Não responderam

Na multiplicação de números inteiros por zero o produto será sempre zero

174

Quadro 23- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por zero (conclusão)

G3

Todos os resultados deram zero (0)

Na multiplicação de números inteiros por zero o resultado vai dar sempre zero (0)

G4 Que o resultado dá sempre 0 Multiplicação de números inteiros por zero que sempre que a gente faz a multiplicação sempre dá zero.

G5

Não responderam

Multiplicação de números inteiros por zero o produto vai dar sempre zero não importa onde o zero esteja

G6

Nós observamos que deu tudo zero mas tem uns números negativos e outros positivos

Nós observamos que deu tudo zero. Nas operações de multiplicação o produto da multiplicação deu tudo zero

G7

Deu tudo o mesmo resultado 0

Multiplicação de números inteiros por zero dar tudo o mesmo resultado 0

G8

Podemos observar que o resultado dá sempre 0

É que as multiplicações com o algarismo 0 o valor da conta vai dá sempre 0

G9

Tanto faz se está o sinal de + ou – o resultado sempre será 0

Descobrimos que uma relação entre a multiplicação de números inteiros por zero o seu resultado será 0

G10

Na multiplicação de números inteiros por zero é sempre zero

Nós concluímos que a multiplicação de números inteiros por zero é zero

G11

Que os sinais sendo positivo ou negativo e se multiplicando por 0, resultado será sempre 0

A multiplicação de números inteiros por zero e seu produto é que a multiplicação de sinais negativos ou positivos se multiplicando por zero o resultado será sempre o mesmo 0

G12

Podemos observar que o resultado dá sempre zero

A multiplicação com zero dá sempre zero

Fonte: Produção escrita dos alunos


Na multiplicação de números inteiros por zero o produto será sempre zero.

Esta atividade foi concluída às 18h18min, quando parabenizamos os alunos

pelo ótimo desempenho nas atividades e também pela excelente participação no

processo de aprendizagem.

No desenvolvimento do encontro percebemos que os alunos gostaram de

usar as novas teclas e se mostraram bastante concentrados e empenhados em

descobrir a regra. Demonstraram seriedade em relação ao trabalho que estavam

realizando, discutiam em seus grupos sobre a ideias que eram levantadas e se

preocupavam em redigir bem a conclusão. Notamos também que já estavam

175

familiarizados com o novo contrato didático estabelecido e que se sentiam felizes

quando informávamos que tinham atingido o objetivo proposto pela atividade.

Fotografia 5- Gruposdesenvolvendo a atividade

Neste dia, para agilizar o processo, as fichas de avaliação da aula foram

entregues aos alunos enquanto os representantes dos grupos faziam a socialização

das conclusões. Observamos em suas fichas que todos se manifestaram

positivamente. No quadro 24 apresentamos as avaliações dos alunos.

176

Quadro 24 – Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 13/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de

Alunos

01

07

08

10

03

01

01

01

04


Novamente os alunos foram unânimes em disser que a aula foi boa/legal.

Dois alunos, no entanto, registraram que sentiram dificuldades referentes a questão

de entendimento e de elaboração da conclusão. Verificamos também, que um dos

alunos avaliou que a aula foi “um pouco bagunçada”, talvez estivesse se referindo a

agitação dos alunos no momento da socialização das regras.

177

3.3.6 Sexta sessão

A sexta sessão ocorreu no dia 16/05/2011 (segunda-feira), quando foram

desenvolvidas as atividades de multiplicação de um número inteiro por (-1) e divisão

entre dois números inteiros de sinais iguais, que tinha por objetivo possibilitar aos

alunos a descoberta de uma regra para calcular esses casos da multiplicação e

divisão de inteiros.

Ao entrarmos na sala saudamos os alunos e perguntamos se tinham tido um

bom final de semana.A maioria respondeu que sim. Perguntamos, então, se

estavam preparados para mais uma semana de atividades e uma aluna perguntou

se teríamos jogos, dissemos que sim, mas antes precisávamos concluir as regras

para multiplicação e descobrir as regras para a divisão.

Outro aluno logo perguntou: professora é para formar grupos de quantos?

Respondemos que gostaríamos que fossem de três alunos. Neste dia estavam

presentes 35 alunos, sendo formados 11 (onze) grupos com três participantes e 01

(um) grupo com dois.

Entregamos os materiais para os grupos e às 15h10min começaram a

desenvolver a atividade. Notamos que inicialmente vários deles tiveram dificuldades

para perceber a regra e para organizar suas ideias na elaboração da mesma.

Na maioria das vezes os alunos não estavam atentando para o fato do

produto ter o mesmo valor absoluto do fator que multiplicava (-1), atentando apenas

para o fato do produto ser positivo quando os fatores tinhamsinais iguais e negativo

quando os fatores tinhamsinais diferentes.

Deste modo, procuramos orientá-los usando os questionamentos previstos na

análise a priori.Notamos que depois das orientações dadas, a maioria dos grupos

conseguiu perceber a regularidade e elaborar suas conclusões.No entanto,

notávamos que nenhum grupo estava atentando para o fato dos produtos serem o

oposto ou simétrico do valor que multiplicava o fator (-1), como esperávamos que

ocorresse. Quando já começávamos a pensar que isso não iria ocorrer, um aluno

veio até nós e disse: “professora eu já sei. Quando multiplica por (-1) dá o simétrico

do número multiplicado”. Dissemos a ele: “é isso mesmo, parabéns!”. Ficamos

felizes por que já considerávamos a hipótese de nenhum aluno conseguir

estabelecer esta relação.

178

Durante a institucionalização percebemos que apenas o grupo deste aluno fez

referência ao fato do produto ser o simétrico do fator multiplicado por (-1). Assim,

partimos da regra escrita por eles para dialogar com a turma sobre a noção de

números opostos ou simétricos e sistematizar a regra que seria de domínio da

turma. No quadro 25 é possível visualizarmos as regras escritas pelos grupos.

Quadro 25- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por (-1)

(continua)

GRUPOS Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a

calculadora?

CONCLUSÕES (REGRA)

G1

Nós teremos sempre o simétrico do valor calculado

A multiplicação de números inteiros por -1 será o simétrico do valor calculado

G2

Quando os sinais são negativos os resultados são positivos e quando são positivos os resultados são negativos

Para multiplicar os números inteiros por -1 só precisamos trocar os sinais.

G3

Não responderam

A regra que a multiplicação de um número inteiro por -1 que quando é positivo vai dá negativo e quando é negativo vai dá positivo

G4

Não responderam

Na multiplicação de um número inteiro por -1 os números negativos passam a ser positivo e o positivo em negativo

G5

Multiplicação de números inteiros por -1 quando multiplicamos o negativo vai dar positivo e quando multiplicamos positivo vai dá negativo

Multiplicação de números inteiros por -1 quando multiplicamos o negativo vai dar positivo e quando multiplicamos positivo vai dá negativo

G6

Observando os sinais A regra é que o negativo dá positivo e o que era positivo dá negativo

G7

Não responderam

Multiplicação de um número inteiro por -1 é que sempre você multiplica o número positivo pelo -1 vai da negativo e quando você multiplica um número negativo pelo número -1 vai dá positivo

G8

Multiplicar os dois números entre parênteses

Na multiplicação de número inteiro por -1 quando o número multiplicado for (-) negativo vai dar (+) positivo, e quando o número multiplicado é (-) negativo o resultado é (+) positivo

G9

Não responderam

Multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado vai dar sempre o número maior.

G10

Não responderam

Na multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado dará sempre negativo e positivo

179

Quadro 25- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por (-1)

(conclusão)

G11

Os números dão negativos e outros dão positivos. Porque eles troca como (-3)x(-1) = 3 esse é positivo (+3)x(-1)=-3 e esse é negativo

É que uns dão negativos e outros positivo porque eles trocam os sinais

G12

Multiplicação de um número inteiro por -1 quando o número for igual dá positivo e quando for diferente dá negativo

Multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado vai dar sempre o número maior.


A primeira regra a ser institucionalizada foi:

Na multiplicação por (-1) o produto será o oposto ou simétrico do fator que estiver sendo multiplicado por ele.

Porém, a maioria dos alunos alegou que essa regra seria difícil para eles

assimilarem porque talvez não conseguissem lembrar o que a expressão “oposto” ou

“simétrico” significava, então resolvemos acatar os protestos e sistematizamos a

nova versão para a regra partindo da redação que a maioria dos grupos utilizou, já

que nosso interesse era que os alunos pudessem se apropriar das regras, porém

sem deixar de preservar a linguagem matemática.Assim, a nova regra

institucionalizada foi formulada nos seguintes termos:

Na multiplicação de um número inteiro por (-1), se esse fator for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.

Após a institucionalização mostramos aos alunos, por meio de exemplos

escritos no quadro, que a regra construída pode ser usada na resolução de

subtrações com números inteiros. Esta atividade foi concluída às 15h45min, sendo

que os alunos utilizaram 25 minutos para desenvolverem-na em seus grupos.

Após a conclusãoda atividade liberamos os alunos para o momento de

intervalo e organizamos o ambiente para a realização da próxima atividade.Às 16h

os alunos começaram a retornar para a sala de aula, tomando seus lugares nos

grupos que já estavam formados. Às 16h5min entregamos a eles as folhas de

atividade e solicitamos que fizessem a leitura do título e do objetivo antes de

começarem a desenvolvê-la, esclarecendo que passaríamos a trabalhar as regras

para a divisão com números inteiros, por isso, agora fariam uso da tecla indicativa

da divisão (÷).

180

Observamos que a maioria dos grupos não teve dificuldades para perceber,

enunciar e redigir a regra para este caso da operação de divisão, tanto que levaram

apenas15 minutos para desenvolvê-la. Em nosso “passeio”pelos grupos, um aluno

estabeleceu conosco o seguinte diálogo:

A: Professora, sabia?! Essa regra da divisão é a mesma da multiplicação! P: É mesmo?E qual é a regra? A: A divisão de dois números inteiros quando os sinais são iguais o resultado dá sempre positivo. P: Muito bem!

Outro diálogo que registramos neste dia foi protagonizado por nós e duas

alunas de um dos grupos que se empenhava em descobrir qual seria a regra para

este caso da divisão.

M1: Olha aqui professora (apontando para a atividade). Eu observei que nenhum número tem o traçinho. P: E o que é o traçinho?O que ele representa? M2: O negativo. P: E quando o número não tem esse traçinho, como ele é chamado? M3: Positivo P: Então, o que foi mesmo que vocês observaram? (olharam um minuto para a atividade) M4: Que deu tudo positivo P: Ah! Ok!. Então qual seria a regra para esta atividade? (o grupo se olhou e depois olhou para o titulo da atividade e enunciou) M5: Na divisão com dois números inteiros de sinais iguais a resposta dá sempre positiva. P: Em uma divisão como é chamada essa “resposta”? (esperamos por um momento, mas as alunas não souberam responder, então dissemos) P: Pensem um pouquinho mais.Leiam novamente o titulo e o objetivo da atividade e elaborem a conclusão.

Após o diálogo nos retiramos para deixar que as alunas conversassem e

redigissem suas conclusões.

Assim que os grupos concluíam a atividade um representante se dirigia ao

quadro parasocializar as conclusões.A partir desta atividade, observamos que

alguns grupos já estavam se sentindo tão confiantes e seguros em relação as suas

conclusões que faziam questão de identificá-las com seus nomes. Como podemos

observar na figura abaixo.

181

Fotografia6- Conclusões dos alunos sobre a divisão com inteiros de mesmo sinal

Procedemos a institucionalização da regra parabenizando os grupos pelo

desempenho que tiveram tanto no que diz respeito a descobrirem a regra como no

que diz respeito a elaboração da mesma, chamando atenção apenas para a

denominação matemática que é dada ao resultado de uma divisão, uma vez que

observamos que nenhum grupo usou-a (apesar de estar contida nos objetivos da

atividade), conferindo assim, o caráter matemático as produções dos alunos. No

Quadro 26 apresentamos as regras elaboradas pelos grupos.

Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois inteiros com sinais iguais (continua)

GRUPOS

Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar

a calculadora?

CONCLUSÃO (REGRA)

G1

Não responderam

Na divisão de dois números inteiros com sinais iguais vai dar sempre positivo

G2

Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais iguais os resultados sempre serão positivo

G3

Deu tudo positivo

Na divisão de números inteiros com sinais iguais os resultados dão tudo positivo

G4

Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado é sempre positivo

G5 Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado sempre será positivo

182

Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois inteiros com sinais iguais (conclusão)

G6

Não responderam

Na divisão de dois números iguais os resultados da divisão sempre serão positivos

G7

Observei que vai da tudo positivo

A regra para calcular quocientes de números inteiros com sinais iguais vai dar sempre positivo

G8

Não responderam

Divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado vai dá inteiros (+)

G9

Divisão de números inteiros com sinais iguais deu tudo positivo

Divisão de números inteiros com sinais iguais sempre vai da o mesmo resultado (+)

G10

Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado será sempre positivo

G11

Dividindo os números entre parênteses

Na divisão de números inteiros com sinais iguais os sinais sendo negativo (-) o resultado vai dá positivo (+)

G12

Que mesmo que o sinal seja positivo ou negativo os resultados sempre vão dar o resultado da divisão (+)

Divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado sempre ira dar positivo



Na divisão entre dois números inteiros de sinais iguais o quociente será sempre positivo.

Esta atividade foi concluída às 16h35min, em seguida foi entregue aos alunos

as fichas de avaliação para que expressassem suas opiniões sobre a aula do dia.No

Quadro 27 apresentamos as opiniões dos alunos e a freqüência com que foram

mencionadas.

183

Quadro 27– Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 16/05/2011

AVALIAÇÕES Nº de Alunos

03

05

07

08

10

01

01

02

01


Quando os alunos dizem que a aula foi “meio complicada” ou “um pouco

difícil” estão se referindo a atividade de multiplicação por (-1) devido terem sentido

uma dificuldade maior para perceber as regularidades apresentadas pelos

resultados obtidos com a calculadora.

184

3.3.7 Sétima sessão

A sétima sessão ocorreu no dia 18/05/2011 (quarta-feira), quando foram

desenvolvidas as atividades denominadas divisão entre dois números inteiros de

sinais diferentes, divisão de um número inteiro por (-1) e divisão de zero por um

número inteiro, cujo objetivo era que os alunos descobrissem uma regra para

resolver cada um dos casos. Neste dia foi possível a realização destas três

atividades devido a agilidade dos grupos na percepção das regularidades e

elaboração das conclusões referentes às regras.

Quando chegamos à sala de aula a maioria dos alunos estava no corredor em

frente à sala nos aguardando porque a professora do horário anterior havia faltado

neste dia. Alguns alunos pediram para que os dispensássemos argumentando que

estavam desde às 15h sem aula, respondemos que não poderíamos liberá-los

porque isso prejudicaria o andamento da pesquisa. Solicitamos que entrassem e

formassem os grupos. Alguns alunos protestaram, mas atenderam a nossa

solicitação. Neste dia foram formados 11 (onze) grupos de três alunos e 01 (um)

com dois alunos, totalizando 35 alunos.

A primeira atividade a ser desenvolvida foi a que tratava da divisão entre dois

números inteiros de sinais diferentes.Às 16h50min entregamos o material aos

grupos e orientamos que procedessem como nas atividades anteriores. Observamos

que antes mesmo de terminarem de calcular todas as questões, alguns grupos já

conseguiam perceber as regularidades e enunciar a regra. Destacamos aqui o

comentário de dois alunos.

M1: Mande uma mais difícil, porque esta “tá” muito fácil! M2: Eu já sei como é! Tudo dá negativo. Nós já aprendemos esse negócio!É igual a multiplicação!

Durante o momento de institucionalização notamos que o desempenho dos

grupos acerca do descobrimento da regra e da elaboração da mesma foi muito bom.

A nós coube apenas alguns pequenos ajustes na redação elaborada por eles

conferindo-lhe o caráter de conceito matemático. No Quadro 28 apresentamos as

produções dos grupos, onde é possível verificar que apenas quatro grupos

registraram suas observações em relação a ação executada pela calculadora.

185

Quadro 28- Regras construídas pelos grupos para a divisão de inteiros de sinais diferentes

GRUPOS


calculadora?

CONCLUSÕES (REGRA)

G1

Não responderam

Na divisão de dois números com sinais diferentes o resultado vai ser sempre negativo

G2

Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais diferentes o quociente sempre será negativo

G3

Não responderam Na divisão de dois números com sinais diferentes o quociente sempre vai ser negativo

G4

Quando a divisão é de números inteiros diferentes o resultado é sempre negativo

Na divisão de dois números inteiros com sinais diferentes o resultado será sempre negativo.

G5

Não responderam

Na divisão de números inteiros com sinais diferentes é que toda vez a gente faz uma divisão e o cociente vai sempre dá negativo

G6

Sempre da negativo

Na divisão de dois números inteiros de sinais diferentes o resultado sempre será negativo

G7

Dividindo o cálculo

Toda a divisão de números inteiros com sinais diferentes o resultado vai dar sempre (-) negativo.

G8

Que todos os resultados são negativos

A divisão de números inteiros com sinais diferentes os sinais sendo negativos ou positivos os resultados serão sempre negativos

G9

Não responderam

Divisão de números inteiros com sinais diferentes darão o quociente negativo

G10

Essa conta o resultado deu tudo menos, deu tudo negativo, nenhum positivo

Na divisão os sinais são diferentes e deu tudo negativo

G11

Divisão de números inteiros com sinais diferentes o resultado negativo

Concluímos que o número com sinais diferentes o resultado vai dar sempre negativo

G12

Não responderam Quando os sinais são diferentes dá um número diferente

Fonte:Produção escrita dos alunos

A regra que passou a fazer parte do domínio da turma ficou assim elaborada:

Na divisão entre dois números inteiros de sinais diferenteso quociente será sempre negativo.

Encerramos a atividade às 17h10min, sendo que os grupos gastaram apenas

12 minutos para concluir e socializar a atividade, já que muitos deles não sentiam

186

necessidade de registrar suas observações sobre a ação executada pela

calculadora, em vez disso, partiam direto para a redação da conclusão.

Encerrada essa atividade, passamos imediatamente a segunda atividade do

dia que tratava da divisão de um número inteiro por (-1). Entregamos as atividades

para os grupos e estes começaram a resolvê-la às 17h15min. Notamos que poucos

grupos ainda apresentaram dificuldade para formular a regra, os demais efetuaram

esta ação com tranqüilidade. Entretanto, durante o momento de institucionalização

da regra notamosque a maioria dos grupos formulou a regra fazendo referência

apenas ao sinal, não mencionando o fato do quociente ter o mesmo valor absoluto

do dividendo, apesar de termos observado que a maioria dos grupos percebeu e

enunciouessa descoberta enquanto discutiam a solução para os questionamentos.

Outra questão que observamos foi que na formulação da regra os alunos

conceberam a divisão por (-1) como uma divisão entre números de sinais iguais ou

sinais diferentes, não percebendo mais uma particularidade da divisão. Por este

motivo ao institucionalizarmos a regra chamamos a atenção para o fato dessa

divisão se tratar de uma divisão que resulta no simétrico ou oposto do dividendo.

Apresentamos no quadro 29 as conclusões socializadas pelos grupos sobre a regra

para este caso da divisão.

Quadro 29- Regras construídas pelos alunos para a divisão de inteiros por (-1) (continua) GRUPOS


calculadora?

CONCLUSÃO (REGRA)

G1

Não responderam

Na divisão de um número inteiro por (-1) ficam os mesmos números só muda os sinais que o positivo vira negativo e o negativo vira positivo

G2

Não responderam

Na divisão de um número inteiro por (-1) quando o número é positivo dá negativo e negativo dá positivo

G3

Que o resultado dá negativo ou positivo

Na divisão de números inteiros por (-1) o resultado do número negativo é positivo e do número positivo é negativo

G4

Observei que vai da um positivo e um negativo

Na divisão de números inteiros por (-1) quando o sinal for igual o resultado vai dá positivo e o sinal diferente vai dá negativo

187

Quadro 29- Regras construídas pelos alunos para a divisão de inteiros por (-1) (conclusão)

G5 Não responderam

Na divisão de um número inteiro por (-1) quando os sinais forem diferentes vai dar sempre negativo, mas quando forem iguais vai dar só positivo

G6

Não responderam

Na divisão de um número inteiro por (-1) quando o sinal da contar for igual sempre dará positivo e quando o sinal for diferente se torna negativo

G7

Que o número dividi

Na divisão de um número inteiro por (-1) quando números for sinais iguais vai ser positivo e o numero for com sinais diferente passa a ser negativo

G8

Não responderam

Para calcular divisões de números inteiros. Quando os sinais são iguais dá positivo e quando for diferente dá negativo

G9

Não responderam Divisão de um número inteiro por (-1) dará sempre negativo e positivo

G10

Nós observamos que uns deu negativo e uns deu positivo

Divisão de um número inteiro por (-1) o positivo vira negativo e o negativo vira positivo

G11

Não responderam

Na divisão de um número inteiro por (-1) na soma de números diferentes o resultado vai ser negativo e quando é igual é positivo

G12 Não responderam Na divisão de um número inteiro por (-1) vai ser negativo ou positivo


Na institucionalização da regra procuramos contemplar as ideias dos alunos

sem perder de vista a necessidade de dar a ela o caráter matemático, deste modo a

regra institucionalizada ficou assim formulada:

Na divisão de um número inteiro por (-1) se o dividendo for positivo o resultado ficará negativo e se for negativo o resultado ficará positivo, assim o quociente será o oposto ou simétrico do dividendo.

A atividade foi encerrada às 17h40min, sendo utilizados 15 minutos para a

conclusão e socialização da atividade.Em seguida foi entregue a folha de atividade

sobre a divisão de zero por um número inteiro. Alguns alunos protestaram porque

queriam ir embora. Pedimos que tivessem um pouco mais de paciência e se

concentrassem para desenvolver a atividade que, acreditávamos, seria simples para

eles.

188

Começaram, então, a resolvê-la e logo observaram que o quociente seria

zero. Ouvimos um aluno comentar: “há! já sei! a regra é que na divisão também dá

zero”. Os outros grupos também não apresentaram nenhuma dificuldade para

chegar a essa conclusão e formular a regra, realizando a atividade em apenas 10

minutos. Enquanto os representantes dos grupos estavam no quadro socializando

as conclusões uma aluna veio até nós e pediu que deixássemos que ela distribuísse

as fichas de avaliaçãopara os demais alunos. Demos a permissão e orientamos aos

alunos que ela iria recolher as fichas para nos entregar. Essa ação da aluna nos fez

perceber que a turma já estava adaptada ao novo contrato didático.

Durante o momento de institucionalização parabenizamos a turma porque

todos os grupos tinham conseguido formular satisfatoriamente a regra e um aluno

disse: “essa era muito fácil professora”. Respondemos que tínhamos ficado felizes

pela evolução deles no desenvolvimento das atividades. No quadro 30

apresentamos as produções dos alunos.

Quadro 30- Regras construídas pelos grupos para a divisão de zero por um inteiro (continua)

GRUPOS O que podemos observar? ONCLUSÕES (REGRA)

G1

Não responderam

A divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre 0 (zero)

G2

Que todo o resultado deu 0

Na divisão de números inteiros, mesmo que os sinais sejam diferentes, os resultados sempre dão positivo (0). Ex: 0:(+4) = 0; 0:(-7) = 0

G3 Não responderam Divisão de zero por um número inteiro sempre dará zero

G4

Que todos os resultados dão 0

Na divisão de zero por um número inteiro o resultado é 0

G5

Não responderam

A divisão de zero por um número inteiro sempre o resultado sempre serão zero

G6 Não responderam Na divisão de zero por um número inteiro vai da será zero

G7 Vai dar tudo zero Divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre zero

G8

Apenas dividimos o número

Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai da sempre 0

G9

Que o número vai ser sempre zero

Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre zero (0)

189

Quadro 30- Regras construídas pelos grupos para a divisão de zero por um inteiro (conclusão)

G10 Que o resultado é sempre zero Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai sempre será zero

G11 Não respondeu Na divisão de zero por um número inteiro o quociente será zero

G12 Que deu tudo zero Na divisão de zero por um número inteiro o resultado é sempre zero



Na divisão de zero por um número inteiro o quociente será sempre zero.

Às 18h, encerramos o encontro.No Quadro 31apresentamos as avaliações

dos alunos e o respectivo quantitativo de alunos que emitiram a mesma opinião ou

opiniões semelhantes.



04

07

12

07

02

01

01

01


190

Verificamos que novamente um aluno avaliou a aula como bagunçada sem,

porém, explicar os motivos que o levaram a esta avaliação, enquanto os demais

avaliaram que foi uma aula boa, importante e interessante.

3.3.8Oitava sessão

A oitava sessão foi realizada no dia 20/05/2011 (sexta-feira) quando

foramrealizados os jogos debaralho para multiplicação e divisão entre dois números

inteiros e bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros com o

objetivo de possibilitar aos alunos a prática e assimilação das regras construídas

para a multiplicação e divisão de inteiros.

Quando entramos na sala, alguns alunos perguntaram o que nós faríamos

naquele dia.Respondemos que eles iriam desenvolver dois jogos sobre

multiplicações e divisões. Um aluno que estava no fundo da sala exclamou: “ainda

bem que não é aula!”.

Solicitamos que se organizassem em grupos de quatro alunos e entregamos

a cada grupo um baralho, uma calculadora e,uma folha com as regras impressas,

devido termos observado que no jogo do baralho da adição apenas a explanação da

regra não tinha sido suficiente.As regras foram lidas com todos os alunos, que

puderam esclarecer suas dúvidas.

Os alunos iniciaram o jogo às 16h55min.Percebemos que a maioria dos

grupos estava encontrando dificuldades para formar os pares, principalmente

quando tinham em suas mãos, mais resultados do que questões, no entanto

verificamos que a dificuldade não se referia ao emprego da regra, mas ao domínio

da tabuada, especialmente no caso da divisão. Neste caso, ajudávamos informando

se a multiplicação ou divisão dos módulos numéricos estavam corretos ou não,

permitimos que a professora efetiva também ajudasse neste sentido, já que não

podíamos acompanhar todos os grupos ao mesmo tempo.

No entanto, a partir da terceira jogada percebemos que os alunos já

conseguiam jogar sem nossa interferência. Observamos que, novamente, a

utilização da calculadora para conferência dos jogos do aluno que se anunciava

vencedor contribuiu para diminuir as dificuldades em relação a tabuada. Notamos

também que os próprios companheiros de jogo passaram a auxiliar aqueles que

ainda sentiam alguma dificuldade.

191

Outra observação que fizemos foi o fato dos alunos obedecerem a regra do

jogo que dizia que a calculadora só deveria ser usada para a conferência dos jogos

do possível vencedor, mesmo sentindo dificuldades para jogar.

Às 17h30min recolhemos o material usado no jogo de baralho e solicitamos

que os alunos se organizassem em duplas para jogar o bingo. Entregamos os

materiais do jogo a cada dupla e às 17h35min iniciamos o bingo.

Notamos que alguns alunos se mostravam bastante ágeis em dar as

respostas, que eram quase sempre corretas. Observamos que o erro mais freqüente

era em relação às questões de divisão, em função do pouco domínio da tabuada.

Em relação às regras, os alunos se atrapalhavam quando não prestando atenção à

questão “cantada”. Quando percebíamos esta situação repetíamos a questão com

mais ênfase e alguém acaba dando a resposta certa. Neste jogo observamos que os

meninos se destacaram.

Os alunos se mostravam bem entusiasmados com o jogo, e em alguns

momentos era possível observar certa competição entre alguns alunos do sexo

masculino para ver quem conseguia responder primeiro e corretamente. Quando

alguma dupla anunciava que havia “batido” o jogo, alguns alunos queriam vir até o

painel conferir de perto se realmente eles eram os vencedores daquela rodada. Foi

preciso em alguns momentos sermos mais enérgicos no sentido de controlar os

ânimos. Depois de verificarmos, com a ajuda dos demais alunos, se a cartela tinha

sido marcada corretamente, as duplas vencedoras comemoravam. Em duas rodadas

existiram duas duplas vencedoras, cujas cartelas possuíam alguns números iguais.

Foram realizadas 03 rodadas, uma a menos do que o previsto, devido a

dinâmica de verificação das “cartelas batidas”, que exigia que os alunos apontassem

no painel a questão que tinha originado o número que estava marcado na cartela, o

que demandava um tempo a mais.

O jogo foi encerrado às 18h10min e entregamos a ficha de avaliação.

Observamos que a exceção de um aluno que avaliou a aula como regular, o restante

da turma novamente a avaliou positivamente. Abaixo apresentamos as avaliações

dos alunos.

192



03

08

04

03

07

08

01

02

02


Os alunos demonstraram ter gostado bastante de ter trabalhado por meio do

jogo do bingo, porém, notamos que ao se referirem a aula destacaram não apenas o

divertimento e o prazer que o jogo lhes proporcionou, mas, principalmente, o

aprendizado obtido por meio dele.

Destacamos, ainda, que dois alunos avaliam a aula como legal, mas usam a

expressão “os alunos estavam muito doídos”, para dizer que eles estavam bastante

agitados.

193

3.3.9Nona sessão

A nona sessão foi realizada no dia 23/05/2011 (segunda-feira) quando foi

aplicado o jogo e o pós-teste de multiplicação e divisão, com o objetivo verificar o

desenvolvimento dos alunos após a realização das atividades.

Neste dia entramos na sala às 15h10min porque a professora do horário

anterior demorou a dispensar a turma. Informamos aos alunos que eles iriam

resolver algumas questões sobre multiplicação e divisão de inteiros para

verificarmos se conseguiriam aplicar corretamente as regras trabalhadas sobre


Entregamos o pós-teste orientando que assinassem seus nomes.Em seguida

procedemos a leitura das questões e às 15h17min os alunos começaram a resolver

o teste. Às 15h30min os primeiros alunos começaram a entregar seus testes e às

16h10min as duas últimas alunas que ainda se encontravam em sala, entregaram os

seus. Observamos que se tratava de alunas que haviam manifestado pouco domínio

da tabuada durante a realização das atividades de fixação do conteúdo. Como

havíamos tomado os 15 minutos do intervalo, dispensamos a turma.

3.3.10Décima sessão

A décima sessão foi realizada no dia 25/05/2011 (quarta-feira) quando foram

aplicadasas atividades denominadasatividade escrita de revisão das regras de

adição, multiplicação e divisão, e, baralho de regras, cujo principal objetivo era rever

com os alunos as regras construídas para a adição, multiplicação e divisão de

inteiros.

Às 16h50min entregamos a cada dupla uma folha de atividade e orientamos

que deveriam responder sem consulta a qualquer material, pois nosso objetivo era

que eles pudessem trocar informações. Notamos que a maioria das duplas

conseguiu completar as lacunas sobre as regras sem dificuldade, apenas em três

duplas precisamos daralguns exemplos pedindo que observassem a questão e sua

resposta para recordarem do trabalho realizado com a calculadora.

Depois do tempo determinado para a resolução das questões, notamos que a

maioria havia conseguido concluir a resolução. Fizemos a correção e verificamos

que ocorreram alguns erros referentes a tabuada. Recomendamos, então,que os

194

alunos procurassem estudá-la para facilitar o trabalho com os conteúdos

matemáticos.No momento da correção observamos que os alunos comemoravam

quando suas respostas estavam corretas.

Esta atividade foi concluída às 17h25min.Em seguida informamos aos alunos

que seria aplicado o jogo de baralho das regras, continuando a revisão. Solicitamos

que se organizassem em grupos de 04 (quatro) participantes e entregamos a cada

grupo um baralho, uma folha com as regras, que foram lidas coletivamente para

esclarecimento das dúvidas. Informamos a eles que quando algum aluno

conseguisse “bater” o jogo, o grupo deveria pedir a presença da pesquisadora ou da

professora efetiva para verificar se os pares estavam corretos.

Durante o desenvolvimento do jogo observamos que os alunos trocavam

informações ajudando um ao outro quando alguma dificuldade era manifestada por

alguém. Os alunos nos solicitavam toda vez que formavam um par, assim pudemos

observar que a maioria já estava conseguindo associar corretamente as questões a

sua regra correspondente. Notamos,também,que o erro mais freqüente era referente

ao fato dos alunos associarem as regras da multiplicação para as questões de

adição com números de sinais iguais ou diferentes, numa tentativa de generalização

da regra.

Quando observamos essa situação orientávamos que ficassem atentos ao

sinal indicativo da multiplicação, pois só poderiam usar aquelas regras quando este

sinal estivesse indicado, do contrário deveriam usar as regras para a adição.

A atividade foi encerrada às 18h10min, não sendo possível realizarmos a

avaliação.

3.3.11Décima primeira sessão

A décima primeira sessão ocorreu no dia 27/05/2011 (sexta-feira), quando foi

aplicado o jogo baralho para adição, multiplicação e divisão de números inteiros.

Neste dia foi realizada apenas esta atividade porque haveria reunião com os

responsáveis para tratar da avaliação bimestral e os alunos precisariam ser

dispensados às 17h30min. Os alunos foram organizados em grupos de 04 (quatro)

participantes cada, sendo que um dos grupos ficou com apenas 03 (três) alunos, por

estarem presentesneste dia apenas35 alunos.

195

Entregamos a cada grupo um baralho e uma calculadora e solicitamos que

esta só a utilizassem para verificar se os pares do vencedor de cada partida

estavam corretos.

Durante o desenvolvimento do jogo observamos alguns alunos tentando usar

a calculadora para formar seus pares, então fomos até o grupo e argumentamos que

a calculadora era apenas um instrumentoauxiliar e que não deveria ser usado

naquele momento a fim de que pudessem ganhar confiança em relação àquilo que

aprenderam.

Em dois grupos observamos que os alunos estavam usando a estratégia de

primeiro montar conjuntamente todos os pares para depois jogarem, alegando que

assim era mais fácil, porque já saberiam que pares poderiam ser formados.

Fotografia7-Grupos aplicando a estratégia

Neste encontro foi possível detectarmos mais duas alunas com sérios

problemas de falta de domínio da tabuada.Em conversa com elas descobrimos que

nunca gostaram de matemática por a considerarem muito difícil.Então procuramos

argumentar que a aversão delas a esta disciplina talvez estivesse relacionada ao

fato de não dominarem a tabuada, por isso, orientamos que procurassem aprendê-la

para facilitar o aprendizado, as alunos nos responderam que iriam se esforçar para

isso.

A atividade foi encerrada às 17h30min.

196

3.3.12Décima segunda sessão

A décima segunda sessão ocorreu no dia 31/05/2011 (terça-feira) quando foi

realizado opós-teste parcial contendo questões de adição, multiplicação e divisão

com números inteiros, sendo realizado como culminância da avaliação bimestral.

O pós-teste foi desenvolvido individualmente, com início às 15h5min e término

às 15h40min, quando o último aluno entregou seu teste. Salientamos que o tempo

previsto para a realização do pós-teste era de uma hora/aula de 45 minutos,no

entanto, com apenas 10 minutos do início do teste quatro alunos entregaram seus

testes.Observamos que se tratavam de alunos que não participaram ativamente das

atividades.

3.3.13Décima terceira sessão

A décima terceira sessãoocorreu no dia 13/06/2011 (segunda-feira), em

função do período da avaliação bimestral que foi do dia 31/05 a 09/06/2011. Neste

dia foi desenvolvida apenas a atividade de potenciação de números inteiros com

expoente par, devido a realização da revisão sobre potenciação com números

naturais.

Antes de iniciarmos o momento de revisão apresentamos aos alunos o

desempenho deles no pós-teste parcial parabenizando aqueles que tinham se saído

bem e pedindo mais empenho daqueles que não tinham ido tão bem. Em seguida

informamos a eles que naquele dia trabalharíamos potenciação com números

inteiros e perguntamos se recordavam do que haviam estudado sobre potenciação

nas series anteriores, seis alunos nos informaram que não se lembravam de já ter

estudado este assunto.Procedemos então a revisão sendo esta realizada por meio

de exposição oral e utilização do quadro e pincel.

Observamos que a maioria dos alunos não sabia identificar os elementos que

compõem a potenciação e usava como procedimento para calcular a potência, a

multiplicação da base pelo expoente, revelando que a definição de potenciação não

tinha sido construída corretamente por eles. Então, por meio de exemplos,

mostramos os elementos, definindo cada ume explicamos o que significa a

potenciação de um número. Depois, propomos algumas potenciações com números

naturais para que eles resolvessem, em seguida fizemos a correção.

197

Enquanto resolviam as questões notamos que alguns deles apresentavam

dificuldades relacionadas a tabuada de multiplicação, especialmente quando a base

e o expoente eram um valores maior que 3.

Encerramos este momento às 15h40min e os alunos foram dispensados para

participar do momento de intervalo. Às 16h os alunos começaram a retornar para

sala de aula e às 16h5min entregamos uma calculadora e uma folha de atividade

para cada um dos 11 (onze) grupos formados e explicamos como deveriam

proceder, uma vez que fariam uso da tecla yx .

Durante o desenvolvimento das atividades foi possívelobservar quea

regularidade que estava sendo percebida por alguns grupos se referia ao fato de a

cada duas questões as potências serem as mesmas, por isso enunciavam: “na

potenciação de expoente par o resultado é o mesmo”. Acreditamos que esta

confusão se deu pelo fato de termos usado o mesmo numeral para representar a

base positiva e negativa e o mesmo numeral para representar o expoente destas

bases, dispondo-as uma seguida da outra.

Nos grupos onde detectamos esta situação tivemos com os alunos alguns

diálogos para tentar ajudá-los a refletir, conforme previsto nas análises a priori. Aqui

reproduzimos um dos diálogos que conseguimos registrar.

M1: Professora, nós observamos que deu tudo igual! P: O que deu tudo igual? M2: Os números. Deram iguais! P: Vocês têm certeza? Em todas as questões os números são os mesmos? M3: Em todas não, mas esse e esse “é” (apontando para as duas primeiras potências encontradas); esse e esse “é” (apontando para as demais potências). P: Ah!Entãopodemosdizer que na potenciação com expoente par o resultado é o mesmo para todas as questões? M4: Não! P: Ok! Mas existe algo que é comum em todos os resultados. O que seria? (depois de examinarem as potências) M5: Eles não têm sinal, mesmo quando aqui (apontando para uma base negativa) é sinal negativo P: E como são chamados os números que não tem sinal? M6: Positivos! P: E porque vocês acham que esses resultados são todos positivos? (depois de alguns momentos examinando a folha de atividade, uma das alunas respondeu) M7: A gente não sabe! (reformulamos a pergunta) P:Vocês acham que estes expoentes têm alguma influência sobre esses resultados? M8: Não sei! P: Se vocês não tivessem a calculadora como vocês fariam para calcular (-4)²?

198

M9: Ia multiplicar. P: O que? M10: Quatro negativo com quatro negativo P: Por quê? M11: Porqueo expoente é o dois.Então tem que repetir duas vezes! P: E o que nós aprendemos sobre multiplicar números que tem o mesmo sinal? M12: Que fica sempre positivo! P: Então o que podemos observar sobre este caso da potenciação? M13: Quando tem expoente par fica sempre positivo. P: Ok! Agora conversem e escrevam a conclusão do grupo.

Retiramo-nos para deixar que as alunas formulassem e redigissem a

conclusão.Ao contrário do que imaginávamos a maioria dos grupos não apresentou

grandes dificuldades para perceber, enunciar e redigir uma regra para este caso da

potenciação, concluindo a atividade e socializando-a em apenas 25 minutos.

Observamos também que os alunos já estavam tão autônomos e acostumados ao

contrato didático estabelecido que a medida que seus grupos redigiam as

conclusões, um representante logo se dirigia ao quadro para socializá-la.

Fotografia8 - Alunos socializando suas conclusões sobre potenciação com expoente par

Durante o momento de institucionalização da regra notamos que a maioria

dos grupos havia conseguido formular satisfatoriamente suas conclusões. A nós

coube a função de sistematizar as ideias apresentadas, procurando elevar o

199

conhecimento ao estatuto de um saber formalmente construído. No Quadro 33

apresentamos as produções dos alunos referentes a regra.

Quadro 33: Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente par (continua)

GRUPO

O que podemos observar? REGRA (CONCLUSÃO)

G1

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente par fazemos uma multiplicação o resultado é sempre positivo

G2 Que os números são sempre positivos

Na potenciação de número inteiro com expoente par os números são sempre positivos

G3

Na potenciação de números inteiros com expoente par que os resultados dão positivo

Na potenciação de números inteiros com expoente par o resultado dos números são todos positivos

G4

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente par quando a gente faz uma multiplicação o numero vai dá sempre positivo

G5

Observamos que mesmo o sinal for diferente vai da o mesmo resultado

Na potenciação de números expoentes par o resultado sempre será positivo

G6

Não responderam

Na potenciação de números inteiros e expoente par, o resultado é positivo

G7

Que sempre dá positivo

Na potenciação de números inteiros com expoente par, mesmo sendo negativo o resultado vai dar positivo

G8

Não responderam

Para calcular potências de números inteiros com expoente par dependendo do sinal o resultado será sempre positivo

G9

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente par a gente multiplica o expoente par e o resultado será par e o impar será impar

G10

Não responderam

A regra é que mesmo trocando o sinal de + para – da sempre o mesmo número. Exemplo: (+4)²=16 / (-4)²=16

G11

Da o mesmo resultado só muda o sinal

Mesmo a gente somando e diminuindo o resultado é positivo


Deste modo, a regra para a resolução de potenciação de números inteiros

com expoente par ficou assim formulada:

Na potenciação de números inteiros com expoente par a potência será sempre positiva.

200

Depois de realizarmos a institucionalização da regra discutimos com os

alunos vários exemplos de como utilizá-la no cálculo das potências, ressaltando que

a potenciação é a multiplicação sucessiva de um mesmo fator determinada pelo

valor do expoente.Encerrando o encontro às 16h45min, não havendo tempo hábil

para realizarmos a avaliação da aula.

3.3.14Décima quarta sessão

A décima quarta sessão aconteceu no dia 17/06/2011 (sexta-feira), quando

foram desenvolvidas as atividades de potenciação de números inteiros com

expoente impar e potenciação de números inteiros com expoente zero, com o

objetivo de possibilitar que os alunos descobrissem uma regra para cada um desses

casos da potenciação.

A primeira atividade a ser desenvolvida foi a que tratava da potenciação de

números inteiros com expoente impar, e contou com a participação de 35 alunos,

com os quais foram formados 11 (onze) grupos com três participantescada e 1 (um)

grupo com dois participantes.

Como não tinha acontecido a aula do dia 15/11/2011, devido a reunião com

os responsáveis.Antes de iniciarmos a atividade recordamos com os alunos a

atividade que havíamos desenvolvido na aula anterior e informamos sobre as

atividades que iríamos desenvolver naquele dia. Às 16h55min os alunos começaram

a desenvolver a primeira.

Nesta atividade,observamos que a maioria dos grupos estava conseguindo

perceber a regularidade e escrever suas conclusões sem requisitar a nossa

orientação,apenas um grupo solicitou nossa presença. Neste grupo pudemos

observar que eles percebiam que os resultados eram ora negativo ora positivo, mas

não conseguiam relacioná-los as bases. Para tentar fazê-los refletir estabelecemos o

seguinte diálogo:

P: Observem essas questões com atenção e digam:esses resultados tem alguma coisa em comum com as bases? (Depois de observarem por alguns segundos as questões, um dos alunos, com entusiasmo disse) M1: Já sei!! Alguns tem o mesmo sinal de “mais” e alguns têm o mesmo sinal de „menos. P: E como são chamados os números que tem sinal de “mais” e sinal de “menos”? M2: É o positivo e o negativo.

201

P: Ok! Agora é com vocês. Organizem suas ideias e formulem a regra.

Durante o momento de institucionalização notamos que a conclusão de um

dos grupos estava tão bem elaborada que a adotamos como a regra que faria parte

do domínio da turma, fazendo apenas alguns pequenos ajustes, o que provocou

euforia dos participantes do grupo, que comemoraram bastante. Observamos que

dois dos integrantes deste grupo eram alunos que haviam participado efetivamente

de todas as atividades e que vinham se saindo muito bem nos pós-testes.

Parabenizamos também os demais grupos porque se aproximaram bastante

da regra que foi institucionalizada e corrigimos os equívocos que foram cometidos

pelos dois grupos que se distanciaram. No Quadro 34 apresentamos as produções

dos grupos.

Quadro 34- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente impar (continua)

GRUPO


G1

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente impar quando a base é negativa a potência é negativa e quando a base é positiva a potência é positiva.

G2

Não responderam

A potenciação de números com expoente impar quando a base é um número positivo o resultado dá positivo e quando é negativo a base dá negativo.

G3

Observamos que quando é mais o resultado é positivo e de menos vai da positivo

Na potenciação de números inteiros com expoente impar, quando a base é positiva o resultado é positivo e quando negativo o resultado é negativo

G4

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoentes impar é que quando a gente faz potenciação de base positiva vai da positivo e quando a gente faz de base negativa vai da negativa.

G5

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente impar, quando o sinal for negativo o resultado é negativo e quando o sinal for positivo o resultado é positivo

G6

Que o sinal inverte

Na potenciação de números inteiros com expoente impar o positivo ficara (+) e o negativo ficara (-)

202

Quadro 34- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente impar (conclusão)

G7

Não responderam

Potenciação de números inteiros com expoente impar multiplicamos a base com expoente e o calculo for positivo o resultado será positivo ou se for negativo o resultado será negativo

G8

Não responderam

Concluímos que a base positiva o resultado fica positivo e a base negativa fica negativa

G9

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente impar quando a base é negativa o resultado vai da positivo e se positivo vai ficar negativo

G10

Que dá positivo e negativo

A potenciação com números inteiros com expoente impar o resultado dá positivo e negativo

G11

Não responderam Nós concluímos que mesmo sendo negativo ou positivo darão o mesmo o mesmo número. Ex: (+4)³= 64; (-4)³=64

G12

Não responderam Que o resultado da potenciação de expoente impar multiplicando o resultado vai dar positivo e subtraindo o resultado vai dar negativo


A regra formulada pelo grupo e institucionalizada como domínio da turma foi:

Na potenciação de números inteiros com expoente impar se a base for negativa a potência será negativa e se a base for positiva a potência será positiva.

Discutimos alguns exemplos com os alunos e às 17h25min encerramos esta

atividade,sendo que os grupos usarampara a conclusão e socialização das regras,

cerca de 20 minutos. Encerrado este momento passando para o desenvolvimento da

segunda atividade denominada potenciação de números inteiros com expoente zero.

Entregamos a folha de atividade aos grupos e orientamos que o procedimento era o

mesmo adotado nas atividades anteriores. Os alunos começaram a realizar os

cálculos com a calculadora e logo podíamos ouvir os primeiros grupos anunciando

que o resultado para todas as questões era 01 (um).

Nestaatividade os grupos não apresentaram dificuldades para perceber,

enunciar e redigir a regra. Das atividades de potenciação, esta foi a que demandou o

menor tempo de desenvolvimento, 10 minutos, sendo utilizado cerca de 5 minutos

para a socialização.Notamos, durante o momento de institucionalização, que todos

os grupos conseguiram redigir suas conclusões de forma satisfatória.E mais uma

203

vez agimos sobre as conclusões produzidas, fazendo apenas alguns pequenos

ajustes. No Quadro 35 é possível verificarmos as produções dos alunos.

Quadro 35- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente zero

GRUPO


G1

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente zero independendo do sinal da base a potência sempre será 1

G2

Não responderam

Concluímos que na potenciação de números inteiros com expoente zero a potencia é 1

G3

Não responderam

Na potenciação de números inteiros com expoente zero tanto com o positivo como o negativo vai da sempre 1

G4

Não responderam

A potenciação de números inteiros com expoente zero que quando a gente faz a potenciação o resultado vai da sempre 1 positivo

G5

Que na potenciação do expoente zero o resultado é sempre 1 positivo

Na potenciação do expoente for zero o resultado é sempre 1 positivo

G6

Que da tudo 1 Na potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado da sempre 1

G7 Não responderam Na potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado vai da sempre 1

G8

Não responderam

Potenciação de números inteiros com expoente zero não importa se a base é negativa ou positiva a potência vai ser sempre 1 positivo

G9

O resultado sempre vai da 1

Potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado sempre vai ser 1 positivo

G10

Só esta dando 1

Na potenciação de números inteiros com expoente 0, o resultado sempre vai dar 1 (+)

G11 Podemos observar que o resultado da sempre 1

Potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado é sempre 1

G12 Não responderam Potenciação com expoente zero o resultado é 1

Fonte:Produção escrita dos grupos

A regra institucionalizada ficou assim formulada:

Na potenciação de números inteiros com expoente zero, o valor da potência será sempre 1.

Discutimos alguns exemplos com os alunos, ressaltando que esta é uma

propriedade que também era aplicada na potenciação com números naturais. Após

este momento, entregamos aos alunos a ficha de avaliação do encontro, para que

204

expressassem suas opiniões. No Quadro 36 apresentamos suas avaliações sobre a

aula.



15

06

03

02

01

05

03


Verificamos que quatro alunos avaliaram a aula como regular e os demais (31

alunos) avaliaram como legal, boa, interessante ou educativa, indicando que

aprovaram a forma como foi trabalhada a potenciação.

3.3.15Décima quinta sessão

A décima quinta sessão ocorreu no dia 20/06/2011 (segunda-feira)quando

foram realizadas as atividades denominadastrilha de potenciação de números

inteiros e atividade escrita sobre as regras para potenciação de inteiros, com o

objetivo de possibilitar aos alunos a prática e assimilação das regras construídas.

205

Solicitamos aos alunos que se organizassem em grupos de 03 discentes e

entregamos os materiais para a realização do jogo da trilha.Em seguida fizemos com

eles, a leitura das regras, esclarecendo as dúvidas que surgiram.

Às 15h10min começaram a jogar. Uma situação notada em alguns grupos foi

a dificuldade de determinados participantes para calcular o valor absoluto das

potências. No entanto percebemos que quando alguém estava com esta dificuldade

os outros participantes auxiliavam na realização do cálculo porque queriam jogar.

Desta forma o jogo fluía mais rapidamente. Ainda assim, precisamos acompanhar

mais de perto dois grupos que demonstraram sérios problemas para realizar os

cálculos, especialmente quando um dos fatores tinha mais de um algarismo.

Observamos,também, que alguns alunos ainda cometiam o equivoco de

multiplicar a base pelo expoente para calcular a potência. Em um dos grupos

presenciamos os demais participantes chamando atenção daquele que tentou

efetuar esta ação, em outros dois, nós precisamos interferir. Assim, foi possível

perceber que a maior dificuldade dos alunos não era aplicar as regra de sinais e sim

calcular o valor absoluto das potências.

Alguns grupos estavam tão envolvidos com o jogo que nem quiseram usufruir

do momento de intervalo, porque queriam chegar ao final da trilha. Apenas um grupo

conseguiu concluir o jogo no tempo estipulado, devido a demora no cálculo das

potências.

Fotografia 9 - Equipes desenvolvendo o jogo da trilha das potências

206

Após o intervalo iniciamos a segunda atividade denominada atividade escrita

sobre as regras para potenciação de inteiros que foi desenvolvida com os alunos

organizados em duplas. Foi entregue a cada dupla, uma folha de atividade para

exercitar as regras institucionalizadas.

Novamente observamos que os alunos não tinham dificuldade em aplicar as

regras de sinais, mas alguns deles sentiam dificuldades para calcular o valor

absoluto das potências. Observando este fato solicitamos mais uma vez a todosos

discentes que procurassem estudar a tabuada de multiplicação, caso contrário,

sempre sentiriam dificuldades para calcular potências.

Observamos,ainda,que o erro referente a multiplicar a base pelo expoente

ainda se repetiu na ação de alguns alunos. Por isso ao realizarmos a correção

procuramos mais uma vez frisar a definição de potenciação.

Encerramos a correção e logo em seguida entregamos a cada aluno a ficha

de avaliação do encontro. Destacamos, a seguir, as avaliações dos alunos,

ressaltando que a análise encontra-se na seção seguinte.

Quadro 37 – Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 20/06/2011


05

11

12

03

01

01

01


207

Verificamos que novamente os alunos se mostraram bastante satisfeitos com

a realização de um jogo para fixação do conteúdo, apenas um aluno avaliou a aula

como regular.

Neste dia, dois alunos não entregaram seus protocolos.

3.3.16Décima sexta sessão

A décima sexta sessão ocorreu no dia 21/06/2011 (terça-feira) quando foram

desenvolvidas as atividades baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e

potenciação de números inteirose exercitando as regras para todas as operações

estudadas, cujo objetivo era revisar as regras das operações estudadas.

Esclarecemos que esta sessão ocorreu em um dia diferente dos habituais

porquenão haveria aula no dias 22, 23 e 24 de junho, devido a comemorações

juninas e o encerramento do semestre.

Iniciamos com o baralho às 16h50min, explicando que o procedimento para

jogar era o mesmo usado nos jogos de baralho que eles vinham realizando, porém

com a diferença de que agora ao invés de formarem três pares, deveriam formar

dois trios (questão, regra e resultado).

Ao iniciarem a partida observamos que a maioria dos grupos estava

encontrando dificuldades para jogar, especialmente quando tinham em mãos mais

regras e resultados do que questões. Então orientamos que usassem a estratégia

que três dos grupos estavam usando, que era primeiro montar todos os trios de

cartas para então começarem a jogar, fazendo o reconhecimento das cartas em

jogo.

Depois das orientações notamos que o jogo fluiu normalmente. Observamos

quealguns alunos comemoravam quando conferiam os resultados e verificavam que

estavam corretos e haviam vencido a partida. Ouvimos um desses alunos dizer:

“pega!! Eu sou é bom!”.

Às 17h40min encerramos o baralho e solicitamos que os alunos se

organizassem em duplas para desenvolver a atividade escrita.Cada dupla recebeu

uma folha de atividade, sendo orientados a não consultar nenhum tipo de material.

Observamos que a maioria dos alunos conseguiu resolver as questões com

tranqüilidade enquanto a minoria sentiu dificuldades principalmente em relação a

operação de adição e potenciação. Esta última por causa do cálculo do valor

208

absoluto da potência, não sendo notado desta vez, caso de alunos efetuando a

multiplicação entre a base e o expoente.

Ao corrigimos as questões notamos a participação ativa da maioria dos

alunos que se mostravam ansiosos em responder, comemorando a cada resposta

correta.

3.3.17Décima sétima sessão

A décima sétima sessão ocorreu no dia 27/06/2011 (segunda-feira), quando

os alunos realizaram o pós-teste geral.

Como seria nosso último encontro, agradecemos aos alunos e a professora

efetivapela oportunidade de realizarmos aquele trabalho enfatizando que gostamos

muito de ter trabalhado com eles. Agradecemos a participação e a seriedade com

que realizaram as atividades, desejando que o desenvolvimento delas tivesse

contribuído com o aprendizado deles a respeito das operações com números

inteiros.

Os alunos realizaram o pós-teste individualmente, sendoeste iniciado às 15h

e encerrado às 16h. Observamos que os alunos que demonstravam pouco interesse

durante as aulas (cerca de 6 alunos, dentre eles dois dos repetentes) foram os

primeiros a entregar seus testes, com apenas 15 minutos do inicio do mesmo. Os

demais pareciam se esforçar para resolver corretamente as questões.

A seguir apresentamos a análise a posteriori e procedemos a validação de

nossa sequência didática.

209

4 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Nesta seção temos como objetivo apresentar a análise a posteriori e a

validação da sequência didática aplicada, ou seja, pretendemos apresentar o

conjunto dos resultados obtidos por meio da exploração dos dados recolhidos

durante a experimentação e o confronto deste com a análise a priori, evidenciando a

validação da sequência didática elaborada e desenvolvida por nós, em sala de aula.

Ressaltamos que esses resultados encontram-se apoiados em nossas observações

em sala de aula, nas produções dos alunos, nas discussões ocorridas durante os

encontros e nos resultados obtidos com os testes-diagnósticos.

Esclarecemos que a análise a posteriorie a validação foram realizadas por

sessão de ensino, a luz da fundamentação teoria, da análise a priori.

Como foi previsto a sequência didática foi desenvolvida em 17 (dezessete)

sessões, porém, devido a algumas situações ocorridas durante o seu

desenvolvimento, algumas dessas sessões sofreram pequenos ajustes.


Na primeira sessão tínhamos como objetivo obter informações sobre a turma

referentes ao perfil pessoal e estudantil dos discentes (apresentados na seção 3) e,

também, verificar o desempenho dos alunos na resolução de questões de adição,

multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros, antes da aplicação da

sequência de ensino.A essa verificação denominamosde Pré-teste.

Acreditávamos que alguns alunos, por supostamente desconhecerem o

assunto, resolveriam algumas questões mobilizando seus conhecimentos sobre

operações com números naturais, o que faria com que, em alguns casos,

chegassem ao resultado correto.No Quadro 38 apresentamos os resultados

referentes ao número de alunos que acertaram, erraram ou não fizeram cada

questão do pré-teste e as estratégias usadas por alguns alunos na resolução das

operações.

210

Quadro 38- Resultados obtidos no pré-teste

ACERTOS ERROS NÃO FEZ

Nº

ALUNOS

QUESTÕES

V.A

%

V.A

%

V.A

%

OPERAÇÃO ADIÇÃO

01 4 + 9 32 100% 0 0% 0 0%

02 15 – 7 28 87,5% 3 9,38% 1 3,12%

03 - 4 – 8 0 0% 25 78,13% 7 21,87%

04 - 6 + 3 1 3,12% 25 78,13% 6 18,75%

05 - 4 + 12 2 6,25% 22 68,75% 8 25%

06 +5 – 7 0 0% 24 75% 8 25%

07 -13 + 14 2 6,25% 24 75% 6 18,75%

08 -7 – 2 0 0% 25 78,13% 7 21,87%

09 -26 + 26 0 0% 20 62,5% 12 37,5%

10 +5 -5 14 43,75% 10 31,25% 8 25%


11 (+4) x (+5) 8 25% 8 25% 16 50%

12 (+5) x (- 3) 0 0% 17 53,13% 15 46,87%

13 (- 4) x (+6) 1 3,12% 12 37,5% 19 59,38%

14 (-2) x (- 7) 6 18,75% 10 31,25% 16 50%

15 6 x (-1) 2 6,25% 15 46,87% 15 46,88%

16 (-10) x (- 3) 8 25% 8 25% 16 50%

17 0 x (+6) 4 12,5% 12 37,5% 16 50%

18 0 x (-5) 5 15,63% 11 34,37% 16 50%

19 (- 9) x 0 6 18,75% 11 34,37% 15 46,88%

20 (- 1) x (-1) 7 21,87% 8 25% 17 53,13%

OPERAÇÃO DIVISÃO

21 (+8) ÷ (+4) 6 18,75% 9 28,12% 17 53,13%

22 (+9) ÷ (-3) 0 0% 15 46,87% 17 53,13%

23 (- 16) ÷ (+2) 0 0% 12 37,5% 20 62,5%

24 (-10) ÷ (-2) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%

25 (-12) ÷ (-1) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%

26 (-16) ÷ (- 4) 4 12,5% 9 28,12% 19 59,38%

27 (-14) ÷ 7 1 3,17% 14 43,75% 17 53,13%

28 (+1) ÷ (-1) 1 3,17% 13 40,63% 18 56,25%

29 0 ÷(+ 6) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%

30 0 ÷ (- 8) 5 15,63% 9 28,12% 18 56,25%


31 (+4)² 2 6,25% 16 50% 14 43,75%

32 (+3)³ 1 3,17% 17 53,13% 14 43,75%

33 (-3)² 2 6,25% 15 46,88% 15 46,87%

34 (- 2)5 0 0% 18 56,25% 14 43,75%

35 (+5)² 1 3,17% 18 56,25% 13 40,63%

36 (-2)³ 1 3,17% 17 53,13% 14 43,75%

37 (+7)0 0 0% 19 59,38% 13 40,62%

38 (- 6)0 0 0% 17 53,13% 15 46,87%

Fonte:Pré-teste realizado com os alunos

211

A análise do quadro mostrou que no geral os alunos não sabiam resolver as

operações com números inteiros, confirmando as hipóteses que foram levantadas na

análise a priori. Na análise de seus protocolos foi possível observar que os alunos

que tentaram resolver as questões, fizeram-no mobilizando seus conhecimentos

sobre números naturais.

No caso da adição verificamos que os discentes só apresentaram bom

desempenho nas questões em que a estrutura se assemelhava a estrutura

conhecida por eles na resolução de adição com números naturais. Em seus

protocolos foi possível verificar que sempre efetuavam a operação que era indicada

pelo sinal referente a segunda parcela.

No caso da multiplicação e divisão verificamos que alguns alunos também

resolveram as questões mobilizando seus conhecimentos sobre operações com

números naturais, ignorando o sinal indicativodo valor negativo, o que

possibilitouque alguns deles chegassemao resultado correto quando as operações

eram entre dois valores negativos. Outros ignoraram o sinal indicativo das referidas

operações e efetuaram a operação referente ao sinal do segundo fator, no caso da

multiplicação ou do divisor, no caso da divisão.

Em relação à potenciação verificamos que muitos dos que tentaram resolver

as questões o fizeram multiplicando a base pelo expoente e alguns, dependendo do

sinal indicado na base, adicionavam ou subtraiam a base pelo expoente,

confirmando nossas suposições de que os alunos poderiam manifestar deficiência

na construção do conceito sobre esta operação mesmo no campo dos naturais.

Outra constatação foi a de que dentre os alunos que resolveram as questões

existiam muitos que demonstraram não ter domínio da tabuada, principalmente de

multiplicação e divisão. O que já era esperado, uma vez que boa parte deles havia

declarado, não ter domínio da tabuada referente a essas operações.No gráfico 10 é

possível verificarmos o número de acertos de cada aluno na resolução das

questões.

212

Gráfico 10–Percentual de acertos, por alunos, no pré-teste

Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)

A leitura do gráfico revelou que apenas os alunos A3 e A4 conseguiram ter

um percentual de acerto acima de 30% (correspondente a 15 questões), o que

poderia significar que eles teriam algum conhecimento sobre operações com

números inteiros, mesmo não sendo repetentes.Entretanto, a análise de seus

protocolos revelou que eles resolveram as questões mobilizando seus

conhecimentos sobre números naturais, aplicando as estratégias já apresentadas

anteriormente.

No entanto, o dado que nos chamou mais atenção foi a verificação de que os

alunos que já passaram pelo ensino de números inteiros (A15, A22, A25 e A28)não

alcançaram 15% de acerto, revelando baixo desempenho na resolução das

questões, inclusive deixando de realizar boa parte destas.

Em relação aos quatro alunos repetentes, constatamos que três deles não

gostavam ou gostavam bem pouco de matemática; todos tinham dificuldade de

aprendizado em relação a esta disciplina; costumavam estudar apenas para realizar

as provas e tinham pouco ou nenhum domínio das tabuadas.

Esses dados nos permitiram inferir que o baixo rendimento apresentado por

elespoderia ser reflexo dessas características e/ou de uma prática de ensino

pautada na explanação oral do conteúdo, seguindo a sequência apresentação das

definições, exemplos e aplicação de listas de exercícios, prática que ficou bastante

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A1

0A

11

A1

2A

13

A1

4A

15

A1

6A

17

A1

8A

19

A2

0A

21

A2

2A

23

A2

4A

25

A2

6A

27

A2

8A

29

A3

0A

31

A3

2

213

evidenciada nas pesquisas realizadas com professores e alunos egressos do 7º ano,

as quais foram apresentadas nas análises preliminares.

Portanto, como foi previsto nas análises a priori o desempenho dos alunos em

relação às operações com números inteiros antes do desenvolvimento da sequência

didática foi bastante baixo, deixando evidente que os alunos desconheciam o

conteúdo ou não tinham adquirido aprendizado sobre ele (caso dos repetentes).

4.2ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 2

Na segunda sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio

de atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus


adição com números de sinais iguais; enunciar as regras para cada caso da adição e

apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.

Ao iniciarmos esta sessão nossa primeira ação foi procurarconstruir com os

alunos um contrato didático quenos possibilitasse proporcionar a eles a aquisição do

conhecimento por meio de suas próprias construções. Para Almouloud (2009, p. 90)

“as escolhas pedagógicas, o tipo de trabalho proposto aos alunos, os objetivos de

formação, a epistemologia do professor, as condições de avaliação, etc., fazem

parte dos determinantes essenciais do contrato didático”. Sendo assim, discutimos

com eles algumas “cláusulas” que fariam parte do contrato e acatamos outras

acrescentadas por eles, sendo possível verificar, no decorrer dos encontros, que

mesmo quando implícitas, as “cláusulas” deste contrato foram respeitadas,

possibilitando a participação ativa dos alunos na construção do novo saber, com

destaque para a questão da interação no trabalho em grupo.

Observamos que os alunos não tiveram problemas para formar os grupos; se

organizaram muito bem para o desenvolvimento das atividades, permitindo que

todos tivessem oportunidade de manusear a calculadora e estabeleceram diálogos

nos grupos que lhes permitiram responder as questões propostas. De acordo com

os PCN o trabalho coletivo supõe uma série de aprendizagens, tais como:

- perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-las e chegar a um consenso; - saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro;

214

- discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; - incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão a cerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender (BRASIL, 2000)

Em nossa avaliação a interação estabelecida entre os alunos e destes com a

professora-pesquisadora constituíram-se em momentos bastante ricos de

aprendizagem.

Com relação ao material tecnológico utilizado verificamos, assim como Melo

(2008), que muitos alunos tiveram dificuldades para executar as funções mais

simples da calculadoracomo abrí-la ou ligá-la e desligá-la, evidenciando que não

sabiam manuseá-la, apresentando muitas dúvidas. Tal situação nos fez concordar

com este pesquisador quando disse que esse fato revela a falta de utilização das

tecnologias no âmbito escolar, negando ao aluno a possibilidade de exploração dos

conhecimentos que as tecnologias podem lhes proporcionar, assim como mostrou

Jucá (2008), Schifel (2006), Selva e Borba (2010), Pires; Sá e Silva (2010),

Altiparmark e Õzdogan (2010) e tanto outros pesquisadores que tem se dedicado ao

estudo das tecnologias em sala de aula.

Quanto ao desenvolvimento da atividade desta sessão, constatamos que

estafoi a atividade de adição que mais ofereceu dificuldades aos grupos de alunos

para perceber as regularidades apresentadas pelos resultados obtidos com a

calculadora e principalmente para formular e redigir as conclusões, como havíamos

previsto nas análises a priori. Consideramos que dois fatores contribuíram

consideravelmente para esta situação. Primeiro, o fato da maioria dos alunos ainda

não estar habituado a metodologia aplicada e, segundo, a forte dependência que

muitos deles demonstraram ter do professor.

Atodo instante solicitavam nossa presença na esperança de que pudéssemos

fornecer-lhes as respostas para os questionamentos ou confirmar suas

proposições,deixando transparecer que se sentiam inseguros sobre o conhecimento

que estavam produzindo.Em nosso entendimento essa dificuldade e dependência

poderiam ser reflexos de uma prática docente na qual o ensino estaria centrado no

professor e onde os alunos seriam meros receptores do conhecimento formulado por

eles, tendo pouca ou nenhuma chance de participar ativamente desta construção.

Brousseau (2009) defende que é fundamental que o aluno torne-se autônomo

no processo de construção e aquisição do saber para que sua aprendizagem venha

215

a tornar-se significativa, cabendo ao professor dentro deste processo, a função de

mediador.Sá (2009, p. 19) contribui dizendo que se o aluno for instigado a

desenvolver seu espírito investigativo poderá ser conduzido a um amadurecimento

científico e matemático que o tornará cada vez mais autônomo e consciente da sua

capacidade de apostar na curiosidade e na possibilidade de buscar o conhecimento

por meio da investigação. Daí a necessidade de procuramos, cada vez mais,

trabalhar com o processo de investigação em sala de aula.

Todavia, apesar das dificuldades manifestadas, os comportamentos e os

registros que os grupos produziramdurante a realização da atividade revelaram que

alguns deles conseguiram, na interação com o meio,identificar a operação que era

efetuada pela calculadora, sendo observado que dois grupos (G4 e G6)

conseguiram perceber que a soma possuía o mesmo sinal das parcelas, porém, não

conseguiram formular as suas conclusões de forma a comunicar claramente as suas

descobertas.

Portanto podemos considerar que quase todos os objetivos traçados para

esta sessão foram alcançados, a exceção foi a apresentação de conclusões

satisfatórias,uma vez que nenhum grupo conseguiu formular uma regra adequada

para este caso da adição.


Na sessão 3 nosso objetivo eram que ao trabalhar em grupo, por meio de

atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus


adição com números de sinais diferentes e simétrico; enunciar as regras para cada

esse caso da adição e apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.

Verificamos que nestasessão o desempenho dos alunos foi bem

melhor.Nossas observações sobre o desenvolvimento e os protocolos dos alunos

revelaram que na atividade de adição com sinais diferentesa maioria dos grupos

conseguiu perceber e elaborar satisfatoriamente a regra,apesar da dificuldade inicial

em perceber a relação do sinal das somas com o módulo das maiores parcelas. Já

no caso da atividade de adição entre dois simétricos, observamos que os grupos

não tiveram problemas para descobrir e formulara regra, registrandoneste caso, uma

melhora significativa quanto às redações das regras.

216

Em nossa avaliação o momento de institucionalização do saber contribuiu

bastante para essa melhora na formulação das regras, já que observamos que as

redações de alguns grupos seguiram a mesma estrutura da primeira regra

institucionalizada.

Em relação às regras de sinais, observamos que as construídas pela maioria

dos grupos se aproximavam bastante das regras de sinais para adição, contidas nos

livros didáticos pesquisados por Silva (2006), conforme apresentado na seção 1 das

análises preliminares.

Verificamos,também,que houve evolução referente ao tempo demandado

para odesenvolvimento e socialização das atividades. Na primeira atividade de

adição os alunos levaram 45 minutos para concluir e socializar suas regras, na

segunda o tempo foi de 35 minutos e na terceira os alunos levaram apenas 15

minutos, revelando um significativo decréscimo no tempo, como podemos verificar

no gráfico 11 abaixo.

Gráfico 11 – Variação do tempo gasto nas atividades de adição

Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)

Essa diminuição no tempo gasto para o desenvolvimento das atividades

confirma o que Sá (1999, p.81) já afirmava sobre a utilização de atividades de

redescoberta em sala de aula. Para esse autor, o educando tende a ficar mais

rápido na descoberta dos conhecimentos matemáticos à medida que as atividades

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1ª atividade 2ª atividade 3ª atividade

tem

po

em

min

uto

s

Tempo gasto em cada atividade

217

vão sendo vencidas, desta forma, o tempo gasto no início passa a ser compensado

posteriormente.

Quanto àavaliação feita pelos alunos referente a aula deste dia, verificamos

que eles deixaram claro que gostaram da metodologia empregada porque ela lhes

proporcionou aprendizado sobre o conteúdo proposto. Tendo sido destacado por

quinze alunos o fato de a aula ter lhes proporcionado, também, uma nova

experiência e até mesmo o desenvolvimento de habilidades como a concentração.

Dentre os depoimentos, destacamos o do(a) aluno(a) que disse “foi um pouco

difícil, mas é sempre bom aprender algo novo”. Consideramos esta manifestação

importante porque revela claramente que a utilização da investigação em sala de

aula não é um processo fácil nem para o aluno, que precisa sair de seu comodismo

cognitivo, nem para o professor, que precisa estar preparado para responder aos

questionamentos dos discentes e ajudá-los a refletir. No entanto, acreditamos que à

medida que esta prática for sendo implementada em sala de aula, estaremos

contribuindo mais qualitativamente para o aprendizado dos alunos e para seu

desenvolvimento enquanto cidadãos ativos dentro da sociedade.

Consideramos que a evolução dos alunos observada em relação às

atividades e suas avaliações indicando que haviam gostado das aulas e aprendido o

conteúdo,apontam que os objetivos traçados para esta sessão foram alcançados

satisfatoriamente.


Ao elaborarmosaquarta sessãotínhamos como objetivo possibilitar que por

meio do jogo os alunos pudessem apropriar-se cada vez mais das regras

construídas, utilizando-as corretamente na resolução das adições propostas.Para

Brasil (2000) a participação em jogos de grupo representa para o aluno uma

conquista cognitiva, emocional, moral e social e um estimulo ao desenvolvimento do

seu raciocínio lógico.

Em relação ao jogo, nossa análise a priori era de que os alunos poderiam

sentir dificuldades em compreender as regras para jogar e apenas a explicação oral

das mesmas seria suficiente para orientá-los.Porém, constatamos que a solução

prevista para resolver esta situação não foi suficiente, exigindo a repetição mais de

uma vez das regras e, em alguns casos, precisamos mostrarna prática como o jogo

218

deveria ser desenvolvido. Somente após essas intervenções percebemos que o jogo

fluiu normalmente. Avaliamos que esta demora na compreensão das regras

prejudicou o desenvolvimento da atividade, uma vez que provocou uma redução no

tempo de exploração do jogo e agitação da turma.

Ao desenvolverem o jogo, observamos que alguns alunos tentaram usar a

calculadora para confirmar cada par que formavam. Para nós essa atitude

demonstrava mais uma vez a insegurança desses alunos sobre os seus

conhecimentose apontava para o cuidado que se deve ter ao utilizar-seda

calculadora em sala de aula, a fim de não permitir que ela seja usada como

instrumento de substituição do cálculo mental.

Por outro lado,pudemos verificar que a utilização da calculadora para

conferencia dos resultados possibilitou que os alunos tivessem autonomia no jogo e

percebessem onde estavam cometendo erro.Diante deste resultado concordamos

com Selva e Borba (2010) quando afirmam que é preciso apostar nas possibilidades

que as tecnologias oferecem para o desenvolvimento cognitivo dos estudantes,

entendendo que é também necessário planejar muito bem a sua utilização a fim de

não permitir a fuga de seus objetivos. Por isso é importante que acompanhemos de

perto as ações dos alunos ao desenvolverem atividades deste tipo.

Deste modo, podemos afirmar que ojogo possibilitou aos alunos a troca de

informações sobre as regras e de conhecimentos sobre a tabuada, exigindo que eles

desenvolvessem habilidades para o cálculo mental, já que lhes foi negada a

utilização de qualquer material para este fim, contribuindo assim para a assimilação

das regras.

Ao analisarmos suas avaliações verificamosque a maioria deles (25 alunos)

reconheceu o jogo não somente como um recurso lúdico capaz de lhes proporcionar

prazer, mas como um recurso também capaz de lhes proporcionar aprendizagem,

corroborandocom o que é afirmado por Grando (2004) sobre o fato de o

jogodespertaro interesse do aluno, resgatandoseu prazer em aprender e agindo

como uma ferramenta potencial para o processo ensino e aprendizagem dos

conteúdos matemáticos.

No que se refere ao pós-teste de adição realizado após o desenvolvimento

das atividades,em nossa análise a priorisupomos que o bloco de questõesque

ofereceria mais dificuldades para o aprendizado dos alunos seria aquele em que a

adição era entre um número negativo e um positivo, nesta ordem, devido

219

àresistência natural ao número negativo.Abaixo apresentamos o Quadro 39

referente ao desempenho da turma em cada bloco de questões.

Quadro 39- Desempenho da turma em cada bloco de questões

Bloco de questões

Questões

Acertos Erros Não resolvidas

V.A % V.A % V.A %

Adição entre dois positivos

4 + 9 30 93,75% 02 6,25% 0 0%

8 + 14 29 90,62% 03 9,38% 0 0%

Adição entre dois negativos

- 6 – 12 14 43,75% 17 53,12% 1 3,13%

- 4 – 8 16 50% 15 46,87% 1 3,13%

-7 – 2 16 50% 16 50% 0 0%

Adição entre um

positivo e um negativo

15 – 7 22 68,75% 09 28,13% 1 3,13%

+5 – 7 14 43,75% 18 56,25% 0 0%

3-4 13 40,62% 19 59,37% 0 0%

8-5 25 78,13% 7 21,87% 0 0%

5-10 12 37,5% 20 62,5% 0 0%

Adição entre um negativo e um

positivo

-35 + 10 11 34,37% 21 65,63% 0 0%

- 6 + 3 11 34,37% 20 65,63% 1 0%

-13 + 14 10 31,25% 22 68,75% 0 0%

-4+12 9 28,12% 23 71,87% 0 0%

-2 + 15 8 25% 24 75% 0 0%

-6+14 9 28,12% 23 71,87% 0 0%

Adição de simétricos

– 18 + 18 25 78,12% 7 21,88% 0 0%

-26 + 26 25 78,12% 7 21,88% 0 0%

+12-12 27 84,37% 5 15,62% 0 0%

+5 -5 28 87,5% 4 12,2% 0 0% Fonte:Pós-teste de adição

Observamos que em algumas questões o índice de acerto foi bastante baixo,

para nós três fatores podem ter contribuído para esse resultado. O primeiro refere-se

à quantidade de atividades elaboradas para fixação das regras. Consideramos que

uma atividade apenas não foi suficiente para possibilitar que os alunos assimilassem

o novo conhecimento.O segundo diz respeito ao tempo para o desenvolvimento

efetivo do jogo, que foi reduzido em função da dificuldade de compreensão das

regras do jogo de baralho. E o terceiro refere-se aos obstáculos epistemológicos,

referente ao conhecimento adquirido em relação ao significado atribuído aos

símbolos “+” e “-“, que observamos, estavam bastante enraizados, dificultando o

acolhimento deste novo conhecimento.

220

O gráfico 12 abaixo apresenta o demonstrativo da média de acertos em cada

um dos blocos de questões.

Gráfico 12 – Média de acertos dos alunos, por bloco de questões

Fonte:Pós-teste de adição

Pudemos constatar pela leitura do gráfico, que as suposições apresentadas

nas análises a priori foram confirmadas com a realização do pós-teste. Ao analisar o

gráfico verificamos que a média de acertos foi mais baixa em relação às questões

que tinham os dois valores negativos ou tinham a primeira parcela negativa e a

segunda positiva, revelando a resistência natural dos alunos ao número negativo, o

que também foi observado entre nossos antepassados, conforme apresentamos no

histórico sobre os números inteiros (seção 1).

Observamos que em relação a estas questões e também nas questões onde

a primeira parcela era positiva e a segunda negativa, muitos alunos admitiram o

sinal indicativo do valor negativo ou positivo como o sinal da operação a ser

realizada, o que também foi observado por Nascimento (2001) que considerou este

tipo de erro como um obstáculo epistemológico já que, segundo ele, essas crianças

aprenderam durante suas trajetórias escolares que os símbolos “-” e “+” estão

associados às operações de subtração e adição, respectivamente e também que do

menor valor não se pode tirar o maior valor.

Portanto, podemos supor que, talvez, esse tenha sido o motivo para esse

desempenho dos alunos. Daí a necessidade de termos trabalhado com mais

atividades de fixação, já que os obstáculos epistemológicos parecem ter tido

92,18%

47,91%53,75%

30,28%

82,02%

dois inteiros positivos

dois inteiros negativos

um positivo e um negativo

um negativo e um positivo

simétrico

221

interferência considerável no baixo rendimento dos alunos em relação a essas

questões.

Todavia consideramos que houve avanço no desempenho da turma se

compararmos a média de acertos entre o pré-teste e o pós-teste de adição. No

gráfico 13 apresentamos a média de acertos da turma nestes dois testes.

Esclarecemos que no pré-teste foram resolvidas 10 questões e no pós-teste foram

resolvidas 20 questões.

Gráfico 13 – Desempenho da turma no pré e pós-teste de adição


Analisamos, também,o desempenho individual dos alunos e constatamos que

a maioria deles conseguiu apreender algum conhecimento novo referente aos

números inteiros. O quadro 40 apresenta os resultados obtidos pelos alunos neste

teste.

Quadro 40 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de adição (continua)

Alunos

Acertos

Erros

Questões não resolvidas

V.A % V.A % V.A %

A1 20 100% 0 0% 0 0%

A2 20 100% 0 0% 0 0%

A3 14 70% 6 30% 0 0%

A4 10 50% 10 50% 0 0%

A5 10 50% 10 50% 0 0%

A6 17 85% 3 15% 0 0%

A7 10 50% 10 50% 0 0%

A8 6 30% 13 65% 1 5%

A9 14 70% 6 30% 0 0%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

24,70%

55,30%

média de acetos no pós-teste de adição

média de acertos no pré-teste de adição

222

Quadro 40 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de adição (conclusão)

A10 12 60% 8 40% 0 0%

A11 15 75% 5 25% 0 0%

A12 13 65% 7 35% 0 0%

A13 12 60% 8 40% 0 0%

A14 15 75% 5 25% 0 0%

A15 13 65% 7 35% 0 0%

A16 12 60% 8 40% 0 0%

A17 10 50% 10 50% 0 0%

A18 11 55% 9 45% 0 0%

A19 12 60% 7 35% 1 5%

A20 11 55% 8 40% 1 5%

A21 7 35% 12 60% 1 5%

A22 10 50% 10 50% 0 0%

A23 9 45% 11 55% 0 0%

A24 8 40% 12 60% 0 0%

A25 10 50% 10 50% 0 0%

A26 7 35% 13 65% 0 0%

A27 6 30% 14 70% 0 0%

A28 7 35% 13 65% 0 0%

A29 9 45% 11 55% 0 0%

A30 10 50% 10 50% 0 0%

A31 6 30% 14 70% 0 0%

A32 9 45% 11 55% 0 0% Fonte: Pós-teste de adição

Observamos que a maioria dos alunos da turma teve bom desempenho,

conseguindo resolver corretamente 50% ou mais das questões, com destaque para

os alunos A1 e A2 que acertaram todas as questões.

Em relação aos alunos que não conseguiram alcançar 50% de acerto,

verificamos que quatro deles (A8, A24, A27 e A31) não estavam presentes no dia

em que foi realizada a terceira sessão na qual foram trabalhadas as atividades de

adição com sinais diferentes e simétricos. Também, verificamos que os alunos A26,

A28 e A29 eram os três alunos que disseram ter muita dificuldade para aprender

matemática e não ter domínio sobre a tabuada e o aluno A21 que disse ter um

pouco de dificuldade e nenhum domínio da tabuada (Cf. quadro 12, sessão 3). Em

nossa avaliação esses fatores podem ter sido responsáveis pelo baixo desempenho

apresentado por esses alunos.

Apesar dos resultados não tão significativos em algumas situações, podemos

considerar que houve melhora significativa no desempenho dos alunos em relação

ao pré-teste, evidenciando que a maioria deles havia conseguido apreender

223

conhecimentos sobre as regras de adição trabalhadas, o que nos levou a afirmar

que o objetivo desta sessão foi alcançado.


Na quintasessão havíamos planejado trabalhar apenas as atividades de

multiplicação com sinais iguais e diferentes, porém o interesse e a agilidade dos

grupos no desenvolvimento das atividades possibilitaram que fosse também

realizada a atividade de multiplicação por zero, levando-nos a alterar o que havia

sido planejado.Portanto, esta sessão foi realizada com o objetivo de que ao trabalhar

em grupo, por meio das atividades com o uso da calculadora, fosse possível aos

alunos: interagir com seus pares de forma a construir um novo conhecimento;

perceber as regularidades para multiplicação de números inteiros de sinais iguais,

diferentes e por zero; enunciar as regras para cada um desses casos da

multiplicação e apresentar conclusões sobre suas observações.

A análisedos registros dos alunos e de nossasanotações sobre

asobservações acerca dofuncionamento desta sessãorevelaram, quehouve

considerável melhora nas redações apresentadas pelos grupos referentes a suas

conclusões, sendo observado que as regras foram qualitativamente melhor

elaboradas.Em nosso entendimento o processo de socialização e institucionalização

das regras de adição contribuíram bastante para esses resultados, assim como o

fato das atividades trazerem explicitado o título e o objetivo a ser alcançado com

elas, pois foi verificado que os alunos se reportavam a eles cada vez que

enunciavam as regras que haviam descoberto.

Em relação às regras,consideramos que aquelas apresentadas pelos grupos

estavam condizentes com as regras para a multiplicação de inteiros enunciadas nos

livros didáticos analisados por Silva (2006), o que reforça a hipótese de que os

alunos são capazes de construir conhecimento se lhes for dado oportunidade para

isso.

Nesta sessão os gruposse mostraram mais integrados, seguros e autônomos

em relação as suas produções, as quais eram construídas a partir do diálogo que

era estabelecido entre eles. Também mostraram autonomia em relação a

socialização das regras, pois já não esperavam por nosso comando para ir ao

224

quadro, assim que conseguiam escrever suas conclusões um dos participantes do

grupo logo se levantava e procedia a anotação desta no quadro.

Em nosso entendimento a evolução e autonomia dos alunos frente à situação

adidática a que foram submetidos indicava que o objetivos pretendido com o

processo de devoluçãoestavam sendo alcançados, ou seja, estávamos conseguindo

fazercom que os alunos aceitassem a responsabilidade de uma situação de

aprendizagem (adidática), aceitando as consequências dessa transferência.Para

nós, esta atitude indicava que o contrato didático estava se consolidando.

Ao emitir suas opiniões sobre a aula deste dia os alunos novamente

avaliaram positivamente as atividades desenvolvidas e alguns apontaram suas

maiores dificuldades no processo, como podemos observar por meio dos seguintes

depoimentos: “foi muito legal, só que demorei a entender”; “gostei muito, antes de

minhas colegas resolverem eu já sábia o resultado, só é difícil na hora da

conclusão”, os alunos revelam que tiveram dificuldade de compreensão e

elaboração das conclusões. Em nossa avaliação, esses depoimentos deixam

transparecer que para esses alunos a metodologia empregada talvez não fosse

simples de ser compreendida ou fácil de ser desenvolvida, porém, parece ter lhes

proporcionado satisfação pelos conhecimentos que foram adquiridos.

O outro depoimento que gostaríamos de destacar é o do aluno que diz: “a

aula foi um pouco bagunçada mais foi legal”. Em nosso entendimento a bagunça

mencionada pelo aluno diz respeito a agitação proporcionada pela dinâmica de

desenvolvimento das atividades, haja vista, que a maioria dos alunos, por estarem

mais familiarizados com a metodologia, conseguiam descobrir a regra com mais

facilidade e discutiam com mais entusiasmo em seus grupos ou com outros grupos,

buscando elaborar a redação corretamente e no menor tempo possível.

Entendemos que não se pode esperar que em um processo de transferência

da responsabilidade pela construção do conhecimento os alunosfiquem inertes as

situações, ao contrário, é essencial que os alunos procurem discutir suas ideias,

apresentando e defendendo suas propostas e estratégias para a resolução do

problema que lhes é apresentado, ainda que para alguns essa movimentação

pareça estranha, ao ponto de considerarem “bagunça”.

Salientamos, no entanto, que a agitação a que o aluno se refere em momento

algum poderia ser considerada indisciplina ou motivo de dispersão, ao contrário, em

nossa avaliação era a resposta dos alunos a proposta didática a que estavam

225

submetidos e o reflexo do envolvimento dos alunos no processo ensino e

aprendizagem que estava sendo desenvolvido.


Em função da modificação ocorrida na quinta sessão, a sexta sessão também

sofreu modificações sendo realizadas neste dia as atividades de multiplicação por (-

1) e divisão de inteiros com sinais iguais. Assim, a sessão foi desenvolvida com o

objetivo de que por meio das atividades, com o uso da calculadora, fosse possível

aos alunos: interagir com seus pares de forma a construir um novo conhecimento;

perceber as regularidades para multiplicação de números inteiros por (-1) e divisão

de inteiros com sinais iguais; enunciar as regras para esse caso da multiplicação e

da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.

Como havíamos previsto em nossas análises a priori a atividade de

multiplicação que mais ofereceu dificuldade aos grupos foi a que envolvia a

multiplicação por (-1) devido a maioria deles não conseguir de imediato relacionar o

valor do produto aos multiplicadores. Todavia verificamos que após os diálogos

estabelecidos com os alunos, provocando-os a reflexão, os grupos conversavam e

conseguiam perceber e enunciar uma regra.

Uma questão que destacamos em relação a esta sessão se refere à

contribuição da calculadora no processo de construção do aprendizado. Para Selva

e Borba (2010), ao contrário do que é propagado pelos sujeitos que se opõem a

utilização da calculadora em sala de aula, esta pode ser uma ferramenta capaz de

permitir que os alunos construam conhecimento novo a partir de suas observações e

interpretaçõessobre os dados fornecidos por ela, e também, pela associação destas

aos conhecimentos já adquiridos.

Destacamos neste sentido o comentário de um dos alunos que tendo obtido,

na calculadora, os resultados para as multiplicações por (-1), dirigiu-se a nós e

comunicou: “professora eu já sei. Quando multiplica por (-1) dá o simétrico do

número multiplicado”.Como podemos verificar o aluno chegou a esta conclusão

observandoas regularidades que se apresentavam e também mobilizando seus

conhecimentos sobre a noção de números opostos, reforçando a concepção das

autoras quanto ao uso da calculadora para o ensino de matemática.

226

Outra situação ocorrida na atividade de multiplicação por (-1) que

consideramos importante destacar refere-se ao fato dos alunos solicitarem que a

regra institucionalizada fosse redigida explicitando a definição de números opostos

ou simétricos, alegando que seria mais fácil para eles aprenderem. De acordo com

osprincípios sobre os quais foram pautados os PCN referente a matemática para o

ensino fundamental, “a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas

e definitivas, mas a construção e apropriação de um conhecimento pelo aluno, que

se servirá dele para compreender e transformar sua realidade” (BRASIL, 2000, 19).

Compreendemos que é nosso papel enquanto educadores, possibilitar que os

alunos se apropriem dos conhecimentos matemáticos para que saibam lançar mão

deles quando necessário, por isso, consideramos que era importante acatar a

solicitação dos alunos, uma vez que ela estava condizente com o conhecimento

matemático que estava sendo trabalhado.

Quanto à divisão pudemos verificar que os alunos não tiveram dificuldade

para perceber, enunciar ou redigir a regra, assim como havíamos previsto. De

acordo com Gonzáles et. al(1990), como a divisão é definida como a operação

inversa da multiplicação, uma vez consolidada a multiplicação, a introdução da

divisão normalmente não apresentará dificuldades, já que as regras de sinais

empregadas na resolução dessas operações são as mesmas. Nosso entendimento

é que a experiência vivenciada com as atividades de multiplicação contribuiu

consideravelmente para que os alunos apresentassem esse resultado, sendo,

inclusive percebido por vários deles que se tratava da mesma regra de sinais, como

foi verificado na seção 3.

Consideramos, ainda, que a experiência vivenciada pelos alunos ao longo do

processo contribuiu para que os grupos se sentissem cada vez mais autônomos e

confiantes em suas proposições, assumindo sem receio as conseqüências sobre

elas. Conforme apresentamos na seção 3, a maioria dos grupos ao socializar suas

conclusões fazia questão de identificá-las, mostrando que estavam seguros de que

haviam solucionado o problema proposto.

Desta forma é possível afirmar que os objetivos traçados para esta sessão

foram alcançados.

227


A sétima sessão também foi modificada em função da agilidade e experiência

adquirida com as atividades de multiplicação. Por este motivo realizamos esta

sessão com o objetivo de que ao trabalhar em grupo, por meio das atividades com o

uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de forma a

construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de

números inteiros com sinais diferentes, por (-1) e de zero por um inteiro; enunciar as

regras para cada caso da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.

Nossa análise sobre o desenvolvimento desta sessão é de que as hipóteses

levantadas na análise a priori foram sendo confirmadas à medida que as atividades

eram realizadas, pelos mesmos motivos elencados na sessão anterior. Como

prevíamos a única atividade que ofereceu um pouco mais de dificuldades aos

grupos foi àquela referente à divisão por (-1) devido a dificuldade de relacionar o

quociente aos valores do dividendo, entretanto, verificamos que a quantidade de

grupos que manifestaram dificuldades foi bem menor.

Verificamos, também, que o tempo demandado para a realização das

atividades de multiplicação e divisão foi bem menor do que na adição, indicando o

amadurecimento intelectual e investigativo que os alunos foramadquirindocom o

desenvolvimento das situações de ensino. O Gráfico 14 apresentar a variação do

tempo gasto nas atividades de multiplicação e divisão, estando dispostas na ordem

em que foram realizadas. Esclarecemos que o tempo a que nos referimos se refere

a conclusão e socialização das atividades.

Gráfico 14 – Variação do tempo nas atividades de multiplicação e divisão


0

10

20

30

40

50

60

Nº Inteiros com sinais diferentes

Nº inteiros com sinais iguais

(Nº inteiros) x (zero) e (zero) ÷ (nº inteiro)

Nº inteiros por (-1)

tem

po

em

min

uto

s

Tempo de conclusão de cada atividade

atividades de multiplicação

atividades de divisão

228

Constatamos que o tempo para o desenvolvimento das atividades de

multiplicação e divisão foi sendo reduzido a partir da primeira atividade

institucionalizada, sendo registrado um aumento apenas nos casos que envolviam a

multiplicação ou divisão por -1 devido a dificuldade de elaboração da redação

sentida por alguns grupos.

Na comparação entre as duas operações constatamos que o tempo gasto nas

atividades de divisão foi menor do que o tempo gasto nas atividades de

multiplicação, a exceção da primeira atividade que sempre demanda um pouco mais

de tempo. Atribuímos essa diminuição observada em relação às operações ao fato

das duas possuírem a mesma regra de sinais e também ao fato dos alunos já virem

acumulando experiências ao longo do processo.

Assim, consideramosque as hipóteses levantas na análise a priori, para esta

sessão, foram confirmadas e os objetivos traçados foram alcançados.


Nesta sessão tínhamos por objetivo que por meio dos jogos elaborados os

alunos pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídas utilizando-as

corretamente na resolução das multiplicações e divisões propostas.

Nossa análise a priori sobre o jogo de baralho para multiplicação e divisão era

que os alunos podiam sentir dificuldade para formar os pares nas primeiras jogadas

em função da possível falta de domínio da tabuada e do emprego da regra

adequada. Ao analisarmos os nossos registros sobre o desenvolvimento desse jogo

verificamos que os alunos, em sua maioria, não sentiram dificuldades em aplicar as

regras, porém sentiram dificuldades em jogar por conta da falta de domínio da

tabuada, especialmente da divisão, confirmando que realmente esses alunos não

dominavam essas operações, conforme foi declarado por eles no formulário que

serviu de base para traçar o perfil da turma.

A estratégia adota pela maioria dos gruposde sempre formar os pares a partir

das questões, evidenciou a pouca habilidade que possuíam sobre a aplicação das

regras e indicava que talvez estivessem acostumados a procurar resultados a partir

de uma questão dada e não o contrário, o que nos levou a inferir que esses alunos

talvez estivessemsendo estimulados a raciocinar apenas em uma direção. Segundo

a concepção cognitiva essa prática didática não contribui para o desenvolvimento

229

cognitivo dos alunos, os quais precisam ser colocados frente a diversas situações

para que este desenvolvimento possa acontecer.

Uma questão importante observada no comportamento dos alunos foi o fato

de obedecerem integralmente as regras do jogo, especialmente a que dizia que a

calculadora só poderia ser usada para conferir o resultado do possível ganhador, o

que consideramos como um amadurecimento destes no processo que estava sendo

desenvolvido.

Quanto ao jogo do bingo, consideramos que contribuiu bastante para

estimular a participação e interesse dos alunos, provocou competição para ver quem

respondia corretamente as questões “cantadas”, proporcionando o desenvolvimento

das habilidades para o cálculo das operações com inteiros e estimulando o cálculo

mental.Reforçando a concepção de Piaget (apud KIMURA, 2005, p. 122) de que o

jogo é um meio tão poderoso para a aprendizagem das crianças que, onde se

consegue usá-lo como recurso pedagógico observa-se que as crianças se

apaixonam por atividades que são comumente tidas como maçantes.

Neste jogo também foi observada algumas dificuldades em relação a tabuada,

porém em menor escala do que a observada no baralho, apontando para uma

melhora proveniente das experiências que os alunos vinham vivenciando.

Destacamos na análise desta subseção a avaliação de dois alunos que

disseram que os alunos estavam “muito doídos” referindo-se a agitação e

entusiasmo de alguns alunos diante do dinamismo proporcionado pelo jogo.

Ressaltamos, porém, que apesar disso não observamos nenhum prejuízo ao

objetivo que se queria alcançar com o jogo, em outras palavras, não interferiu de

forma negativa sobre a aprendizagem.


A sessão 9 foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho dos alunos

em relação as operações de multiplicação e divisão após a realização das

atividades. Para isso os alunos foram submetidos a um pós-teste que nos forneceu

dados para a realização desta análise.

Nossa análise a prioriapontava que o bloco de questões que ofereceria mais

dificuldades para o aprendizado de alguns alunos, tanto na multiplicação quanto na

divisão, seria aquele em que essas operações eram entre um número negativo e um

230

positivo, e vice-versa. Abaixo apresentamos o Quadro 41 referente ao desempenho

da turma em cada bloco de questões sobre a multiplicação.

Quadro 41- Desempenho da turma por bloco de questões de multiplicação

Bloco de questões

Questões


V.A % V.A % V.A %

Multiplicação entre dois positivos

(+4) x (+5) 24 75% 08 25% 0 0%

(+2) x (+6) 29 90,62% 03 9,37% 0 0%

Multiplicação entre dois negativos

(-10) x (- 3) 22 68,75% 10 31,25% 0 0%

(-3) x (-7) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%

(-2) x (- 7) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%

Multiplicação entre um positivo e um

negativo

(+5) x (- 3) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%

(+8) x (-10) 20 62,5% 11 34,37% 1 3,13%

Multiplicação entre um negativo e um

positivo

(-3) x (+2) 22 68,75% 10 31,25% 0 0%

(-4) x (+6) 20 62,5% 12 37,5% 0 0%

Multiplicação por zero

0 x (+6) 30 93,75% 2 6,25% 0 0%

(- 4) x 0 30 93,75% 2 6,25% 0 0%

Multiplicação por

(-1)

(-1) x (-1) 26 81,25% 6 18,75% 0 0%

6 x (-1) 18 56,25% 14 43,75% 0 0%

(-1) x (-20) 24 75% 8 25% 0 0%

(-1) x (+1) 18 56,25% 14 43,75% 0 0%

Fonte:Pós-teste de multiplicação

A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões de

multiplicação foram melhores do que na adição. Consideramos que um dos fatores

que contribuíram para esse resultado se refere ao maior número de atividades de

fixação que foram realizadas.Entretanto, acreditamos que esses resultados

poderiam ter sido ainda melhores não fosse a dificuldade em relação ao domínio da

tabuada, novamente manifestada. Ao analisarmos os protocolos dos alunos

constatamos que a maioria deles conseguiu aplicar corretamente as regras, mas

errava a multiplicação dos módulos.Nográfico 15 podemos verificar qual foi a média

de acertos em cada bloco de questões.

231

Gráfico 15 – Médias de acertos por bloco de questões

Fonte:Pós-teste de multiplicação

Podemos verificar que as questões que apresentavam a multiplicação entre

um inteiro negativo e um positivo e vice-versa foram as que alcançaram os menores

índices de acertos, confirmando as suposições levantadas na análise a priori. No

gráfico 16 é possível verificarmos a evolução no desempenho da turma no pré e

pós-teste de multiplicação.

Gráfico 16- Desempenho da turma no pré e pós-teste de multiplicação

Fonte:Pré e pós-teste de multiplicação

A leitura do gráfico revelouque houve considerável melhora de desempenho

da turma na comparação da resolução das questões do pré e pós-teste, indicando

um aumento percentual de 58,63% no número de questões resolvidas corretamente.

82,81%70,83% 67,19% 65,62%

93,75%

67,18%





um inteiro por zero

um inteiro por (-1)

Multiplicação

0% 20% 40% 60% 80% 100%

10,01%70,42%

média de acetos no pós-teste

média de acertos no pré-teste

232

Quanto às questões de divisão, apresentamos no Quadro 42 o desempenho

da turma na resolução das questões.

Quadro 42 – Desempenho da turma por bloco de questões de divisão

Bloco de questões

Questões


V.A % V.A % V.A %

Divisão entre dois positivos

(+8) ÷ (+4) 20 62,5% 11 34,37% 1 3,13%

(+15) ÷ (+3) 27 84,37% 5 15,63% 0 0%

Divisão entre dois negativos

(- 8) ÷ (- 4) 24 75% 7 21,87% 1 3,13%

(-10) ÷ (-2) 28 87,5% 3 9,38% 1 3,12%

(-16) ÷ (- 4) 21 65,63% 7 21,87% 4 12,5%

Divisão entre um positivo e um

negativo

(+6) ÷ (-2) 18 56,25% 12 37,5% 2 6,25%

(+9) ÷ (-3) 18 56,25% 13 40,62% 1 3,13%

Divisão entre um negativo e um

positivo

(- 16) ÷ (+2) 22 68,75% 7 21,87% 3 9,38%

(-14) ÷ 7 16 50% 14 43,75% 2 6,25%

Zero dividido por um inteiro

0 ÷ (+ 3) 24 75% 8 25% 0 0%

0 ÷ (- 8) 26 81,25% 6 18,75 0 0%

0 ÷(+ 6) 25 78,13% 7 21,87% 0 0%

Divisão de um inteiro por (-1)

(-12) ÷ (-1) 27 84,37% 5 15,63% 0 0%

(+1) ÷ (-1) 16 50% 14 43,75% 2 6,25%

(+ 18) ÷ (-1) 26 81,25% 5 15,62 1 3,13% Fonte: Pós-teste de divisão

Contatamos pela análise do quadro que os índices de acertos foram menores

que na multiplicação, em função da grande dificuldade que alguns alunos

manifestaram em relação a tabuada de divisão.Em seus protocolos foi possível

observar que alguns desses alunos tinham sérios problemas em relação a tabuada

desta operação, no entanto esses resultados foram bem melhores do que os

apresentados no pré-teste, indicando que houve aprendizado.O gráfico 17 apresenta

a média de acertos em cada um dos blocos de questões.

233

Gráfico 17 – Médias de acertos por blocos de questões

Fonte:Pós-teste de divisão

No gráfico é possível perceber que os blocos de questões que mais

ofereceram dificuldades para alguns alunos, foram aqueles em que a divisão era

entre um inteiro positivo e um inteiro negativo e vice-versa, conforme havíamos

previsto na análise a priori. O gráfico 18 apresenta o desempenho da turma no pré e

pós-teste de divisão.

Gráfico 18- Desempenho da turma no pré e pós-teste de divisão

Fonte:Pré e pós-teste de divisão

A leitura do gráfico relevou que houve um aumento percentual de 60,41% no

desempenho dos alunos se compararmos os dois testes, confirmando que o

aprendizado aconteceu.

Analisamos, também, o desempenho individual dos alunos buscando verificar

como cada um tinha se saído na resolução do pós-teste que trazia as questões de

73,44% 76,04%

56,25% 59,35%

78,13%71,87%





Zero por um inteiro

um inteiro por (-1)

0% 20% 40% 60% 80% 100%

10,01%70,42%média de acetos no pós-teste

média de acertos no pré-teste

234

multiplicação e divisão. Esclarecemos que não separamos as operações para a

análise individual por entendermos que o raciocínio para aplicação das regras de

sinais é o mesmo. O Quadro 43 apresenta o desempenho de cada aluno.

Quadro 43 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de multiplicação e divisão.

Alunos

Acertos

Erros

Questões não resolvidas

V.A % V.A % V.A %

A1 30 100% 0 0% 0 0%

A2 30 100% 0 0% 0 0%

A3 30 100% 0 0% 0 0%

A4 30 100% 0 0% 0 0%

A5 29 96,67% 1 3,33% 0 0%

A6 26 86,67% 4 13,33% 0 0%

A7 24 80% 6 20% 0 0%

A8 30 100% 0 0% 0 0%

A9 17 56,67% 13 34,33% 0 0%

A10 25 83,33% 7 23,33% 0 0%

A11 23 76,67% 7 23,33% 0 0%

A12 29 96,67% 1 3,33% 0 0%

A13 27 90% 3 10% 0 0%

A14 24 80% 5 16,67% 1 3,33%

A15 18 60% 8 26,67% 4 13,33%

A16 16 53,33% 14 46,67% 0 0%

A17 30 100% 0 0% 0 0%

A18 29 96,67% 1 3,33% 0 0%

A19 24 80% 6 20% 0 0%

A20 26 86,67% 4 13,33% 0 0%

A21 14 46,67% 15 50% 1 3,33%

A22 16 53,33% 14 46,67% 0 0%

A23 29 96,67% 1 3,33% 0 0%

A24 04 13,33% 26 86,67% 0 0%

A25 14 46,67% 8 26,67% 8 26,67%

A26 20 66,67% 10 33,33% 0 0%

A27 13 43,33% 17 56,67% 0 0%

A28 11 36,67% 11 36,67% 8 26,67%

A29 15 50% 15 50% 0 0%

A30 15 50% 15 50% 0 0%

A31 20 66,67% 7 23,33% 3 10%

A32 08 26,67% 22 73,33% 0 0% Fonte: Pós-teste de multiplicação e divisão

Ao analisarmos o quadro constatamos que mais de 80% dos alunos

conseguiu acertar 50% ou mais das questões, com destaque para os alunos, A1, A2,

A3, A4, A8 e A17 que tiveram 100% de acerto. Quantos aos alunos que não

alcançaram 50% de acertos verificamos que: os alunos A27, A32 faltaram a sessão

235

que tratou da multiplicação, os alunos A21, A24 e A28 eram os mesmos que tiveram

baixo rendimento no pré-teste de adição e o A25 havia faltado na sessão 7 que

tratou da divisão.

É possível que esses fatores tenham influenciado os resultados apresentados

por eles.


Nesta sessão nosso objetivo era revisar as regras para as operações de

adição, multiplicação e divisão. Em nossa avaliaçãoas atividades elaboradas

contribuíram para que os alunos que já haviam apreendido algum conhecimento

pudessem consolidá-lo ainda mais e os alunos que ainda estavam sentido

dificuldades tiveram uma nova oportunidade de tirar dúvidas na interação com seus

colegas e com a professora-pesquisadora.

No jogo do baralho de regras observamos que a troca de informações entre

os alunos ajudava aqueles que ainda tinham dificuldades a corrigir-se contribuindo

desta forma para que todos pudessem jogar de forma tranqüila. O que entendemos

como um momento rico de troca de conhecimento que possibilitou que todos

pudessem crescer juntos no processo de aprendizagem.

Essa colaboração e ajuda mútua, provocada pela utilização do jogo em sala

de aula também foi observada por Avello (2006) no desenvolvimento de seu

experimento. O que mostra que o jogo pode ser um recurso poderoso para provocar

a interação entre os alunos e fazê-los crescer juntos na aventura da aquisição do

saber.


A sessão 11 também tinha como objetivo revisar as regras para as operações

de adição, multiplicação e divisão.

Nesta sessão a situação que mais chamou nossa atenção foi o fato de

alguns grupos criaram estratégias para facilitar o desenvolvimento do jogo,

confirmando mais uma vez que esse recurso pode trazer ganhos importantes para o

ensino de matemática.

236

De acordo com Grando (2000), no jogo o jogador precisa verificar e planejar

qual a melhor maneira de agir para apenas permanecer jogando, ou para vencer as

partidas. Na matemática o aluno precisa verificar e planejar quais as possibilidades

para resolver uma determinada situação ou problema matemático que lhes são

apresentados durante as aulas.Portanto, podemos considerar que o uso do jogo

pode contribuir consideravelmente para o desenvolvimento do sistema cognitivo dos

alunos, ampliando sua capacidade de raciocinio.


O objetivo desta sessão era verificar o desempenho dos alunos na resolução

das 30 (trinta) questões sobre adição, multiplicação e divisão contidas no pré-teste,

após serem desenvolvidas todas as atividades referentes a essas operações. O

Quadro 44 apresenta o percentual de acertos de cada aluno no pré-teste e no pós-

teste.

Quadro 44 – Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação e divisão. (continua)

Alunos

Percentual de acertos

Pré-teste Pós-teste

A1 6,67% 100%

A2 6,67% 100%

A3 33,33% 100%

A4 33,3% 93,34%

A5 6,67% 93,34%

A6 16,67% 93,34%

A7 6,67% 90%

A8 10% 83,34%

A9 30% 83,34%

A10 10% 80%

A11 10% 80%

A12 6,67% 80%

A13 33,33% 76,67%

A14 6,67% 76,67%

A15 6,67% 76,67%

A16 6,67% 73,34%

A17 30% 66,67%

A18 30% 80%

A19 10% 70%

A20 6,67% 60%

A21 6,67% 60%

237

Quadro 44 – Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação e divisão.

(conclusão) A22 13,33% 60%

A23 30% 70%

A24 6,67% 53,34%

A25 3,33% 50%

A26 20% 50%

A27 33,33% 50%

A28 10% 43,33%

A29 16,67% 43,33%

A30 20% 56,67%

A31 6,67% 40%

A32 16,67% 30% Fonte: Pesquisa de campo

A análise do quadro evidenciouuma evolução considerável no aprendizado

dos alunos sobre as operações de adição, multiplicação e divisão de números

inteiros, levando-nos a considerar que a validação das atividades destinadas ao

ensino destas operações, foi alcançada.No gráfico 19 é possível observarmos

claramente essa evolução.

Gráfico 19- Desempenho dos alunos no pré e pós-teste parcial


Relacionamos, também, a frequência dos alunos nas atividades destinadas

ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão. Salientamos que

usamos as notações F (falta), P (presença), S2(sessão 2), S3(sessão 3), S4 (sessão

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Pré-teste Pós-teste parcial

238

4), S5 (sessão 5), S6 (sessão 6), S7 (sessão 7), S8 (sessão 8), S10 (sessão 10) e

S11 (sessão 11).

Quadro 45 – Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas sessões referentes ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão de inteiros.

(continua)

Alunos Sessões para o ensino das operações de adição,

multiplicação e divisão Percentual de

acertos no pós-teste parcial S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S10 S11

A1 P P P P P P P P P 100%



A4 P P P P P P P P P 93,34%

A5 P P P P P P P P P 93,34%

A6 P P P P P P P P P 93,34%


A8 P P P P P P P P P 83,34%

A9 P P P P P P P P P 83,34%

A10 P P P P F P P P P 80%

A11 F P P P P P P P P 80%


A13 P P P P P P P F P 76,67%

A14 P P P P F P P P P 76,67%

A15 P P P P P P P P F 76,67%

A16 P P P P P P P P P 73,34%

A17 F P P P P P P P P 80%


A19 P P P P P P P P P 66,67%

A20 P P P P P P P P F 60%


A22 P P P P F P P P P 60%


A24 P F P P P P P P P 53,34%

A25 P P P P P F P P P 50%


A27 P F P F P P P P P 50%

A28 P P P P P P P P F 43,33%

239

Quadro 45 – Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas sessões referentes ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão de inteiros.

(conclusão) A29 P P P P P P P F P 43,33%

A30 P P P P P P F P F 56,67%

A31 P F P P P P P F P 40%

A32 P P P F P P P P F 30%


Ao analisar o quadro verificamos que até este momento os alunos que

alcançaram 90% ou mais de percentual de acertos foram os alunos que não faltaram

a nenhuma sessão de ensino e os alunos que não alcançaram 50% de acerto

faltaram a pelo menos uma sessão de ensino, sendo que os alunos A28 e A29 eram

discentes que confessaram ter muita dificuldade para aprender matemática e

nenhum domínio da tabuada. O que pode ter refletido negativamente em seus

desempenhos.

A respeito desses dois alunos foi possível verificar que as situações de ensino

vivenciadas em sala de aula parecem ter tido pouco reflexo sobre suas

aprendizagens. Em contrapartida, verificamos que para os alunos A21 e A24 - que

também declararam ter muito ou um pouco de dificuldades para aprender

matemática e nenhum domínio sobre a tabuada - as situações de ensino,

especialmente, as situações de revisão, parecem ter contribuído para um

desempenho um pouco melhor.

Um dado importante diz respeito à participação dos alunos nas atividades. Ao

realizarmos a leitura deste quadro observamos que os resultados apontavam para

um índice bastante baixo de ausência dos alunos nas sessões realizadas, inclusive

registrando um percentual de 50% dos alunos sem nenhuma falta e apenas 12,5%

com mais de uma falta (no máximo duas). Neste contexto encontramos o aluno A22

que era repetente e nos foi indicado pela professora da turma como alguém que não

costumava freqüentar regularmente as aulas, apesar de muitas vezes está na

escola. Estes dados podem significam que as aulasdespertaram o interesse dos

alunos impedindo-os de se ausentar sem motivos.Para nós esse pode ser

considerado mais um ponto bastante positivo referente ao experimento.

Diante do contexto apresentado podemos afirmar a validação das atividades

elaboradas para o ensino das operações de adição, multiplicação e divisão.

240

4.13 ANÁLISE A PORSTERIORI DA SESSÃO 13

Nesta sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio de



potenciação com expoente par; enunciar uma regra para este caso da potenciação e

apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.

Nesta sessão foi verificado que as suposições levantadas na análise a priori a

respeito do tempo, de que os alunos demorariam para concluir as atividade, não foi

confirmado, uma vez que foi observado que apesar das dificuldades iniciais de

alguns grupos para perceber a regularidade, todos conseguiram concluir a atividade

em menos de 30 minutos. Em nosso entendimento os diálogos de orientação à

reflexão e a experiência que os alunos vinham acumulando ao longo do processo

possibilitaram que os grupos tivessem esse desempenho.

Uma situação que não foi prevista por nós e que poderia ter prejudicado o

desenvolvimento satisfatório dos alunos na atividade desta sessãorefere-se ao fato

de termos disposto as potenciações com mesmo valor absoluto e mesmo expoente,

uma seguida da outra,permitindo que alguns grupos tivessem interpretações

equivocadas a respeito das regularidades para esse caso da operação.

Tal situação nos fez refletir sobre a importância do professor estar atento a

todos os detalhes ao planejar as atividades que pretende aplicar em uma situação

de investigação, para que os objetivos traçados não sejam atropelados. É importante

também que se esteja preparado para perceber as ações dos alunos e poder

conduzi-los em direção ao objetivo traçado. Foi o que tentamos fazer ao verificar que

alguns grupos estavam percebendo outras regularidades.

Ao analisarmos os protocolos de atividades dos grupos pudemos verificar que

as nossas orientações foram absorvidas pelos grupos com os quais dialogamos,

pois verificamos que produziram regras satisfatórias para o caso de potenciação

estudado, o que foi observado também nos demais grupos, a exceção do G12 que

se distanciou totalmente do objetivo da atividade.

241

4.14 ANÁLISE A PORSTERIORI DA SESSÃO 14

Nesta sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio de



potenciação com expoente impar e nulo; enunciar uma regra para cada um desses

casos da potenciação e apresentar conclusões satisfatórias sobre suas

observações.

Mais uma vez foi constatado que a experiência acumulada ao longo do

processo e as habilidades referente a investigação contribuiu para que os alunos já

não sentissem tantas dificuldades na descoberta das regras para esses casos de

potenciação.

Portanto, verifica-se que o fato de permitir que ao longo do processo os

alunos acumulem experiências e desenvolvam habilidades que não possuíam,

conseguindo lançar mão destes quando necessário, é um ponto bastante positivo

proporcionado pela metodologia adota, o que em nosso entendimento é de

fundamental importância para o processo ensino e aprendizagem dos conteúdos

matemáticos.

Outro ponto importante a ser destacado em relação a esta sessão refere-seao

momento de institucionalização, que mais uma vez possibilitou que alguns grupos

produzissem conclusões tão satisfatórias que foram adotadas quase que

integralmente como a regra que faria parte do domínio da turma, deixando claro o

papel do professor neste processo. Segundo Brousseau (2008) é do professor a

tarefa de aproximar as produções dos alunos de outros conhecimentos e de indicar

o que pode ser melhorado, é ele quem vai conferir status de saber ao que foi

produzido pelos alunos.Portanto, o professor tem papel fundamental neste processo

de ensino e aprendizagem, onde o conhecimento novo é construído a partir das

descobertas dos alunos.

Destacamos, ainda, que as regras produzidas pelos alunos nas atividades de

potenciação aproximam-se bastante das regras enunciadas na obras de Giovanni,

Castrucci e Giovanni Jr (2002) analisadas por Rama (2005).

Com relação ao tempo utilizado para que os grupos concluíssem e

socializassem suas conclusões, apresentamos no gráfico 20 a variação observada

durante o desenvolvimento das atividades.

242

Gráfico 20 – Variação do tempo gasto nas atividades de potenciação


Constatamos mais uma vez uma diminuição considerável no tempo gasto

para a realização das atividades, reafirmando a ideia defendida por Sá (1999) de

que é perfeitamente possível se trabalhar por meio de situações investigativas em

sala de aula sem prejudicar o cumprimento do programa curricular.

Em suas avaliações a maioria dos alunos afirmou ter gostado da aula, sendo

manifestado por alguns que a aula foi interessante e educativa, ou seja, mais uma

vez os próprios alunos reconheceram que as atividades lhes proporcionaram

aprendizado, entretanto, não podemos deixar de registrar a opinião de quatro alunos

que avaliaram a aula como regular. Suas opiniões nos fizeram refletir sobre o fato de

que em uma sala de aula trabalhamos com a diversidade e é quase impossível

conseguirmos que as aulas por nós planejadas, sejamrecebidas da mesma maneira

por todos, por isso é preciso termos sensibilidade e bom senso para respeitar as

diferentes opiniões, as quais devem nos fazer quererestar sempre buscando novas

estratégias capazes de atingir, em outro momento, aqueles que não se sentiram

contemplados.

Portanto, as evidências apresentadas nos permitem afirmar que os objetivos

traçados para esta sessão foram alcançados satisfatoriamente.

0

5

10

15

20

25

30

1ª atividade (expoente par)

2ª atividade (expoente impar)

3ª atividade (expoente zero)

tem

po

em

min

uto

sTempo gasto em cada atividade

243


A sessão 15 tinha por objetivo possibilitar a prática e assimilação das regras

produzidas para a potenciação de números inteiros.

Nesta sessão ficou bastante evidenciado os efeitos do não domínio da

tabuada sobre o desempenho dos alunos e, consequentemente, sobre o

aprendizado do conteúdo matemático em questão. Observamos que alguns grupos

não conseguiam dar agilidade ao jogo por causa da dificuldade de alguns alunos

para calcular as potências. Em contrapartida, verificamos que a vontade de jogar

fazia com que os alunos cooperassem entre si, auxiliando uns aos outros no cálculo

das potências.

Esta ação dos alunos diante da dificuldade em jogar foi também observada

por Linardi (1998), Avello (2006) e Soares (2008). Para este último, o jogo tem o

poder de provocar as inúmeras relações que se estabelecem entre aluno e jogo,

entre alunos e aluno e entre alunos e professor, desta forma, a aprendizagem pode

tornar-se mais fácil de ser adquirida. Pudemos perceber claramente esta relação se

estabelecendo entre os alunos quando auxiliavam um ao outro para que o jogo

pudesse fluir, consideramos que esta troca de conhecimento é fundamental para o

processo de aprendizagem.

Talvez uma alternativa para dar agilidade ao jogo seria a utilização da

calculadora para facilitar o cálculo dos módulos das potências, porém, entendemos

que ela deva ser introduzida mediante um planejado da melhor forma de como

utilizá-la para que não interfira na aplicaçãoda regra, em nosso caso, como não

havíamos realizado este planejamento achamos prudente não permitir sua

utilização. Ainda assim, julgamos que as atividades desenvolvidas contribuíram para

que os alunos pudessem praticar, de forma descontraída, as regras que haviam

produzido. Desta forma, consideramos ter alcançado os objetivos traçados para esta

sessão.


Nesta sessão nosso objetivo era possibilitar a revisão das regras de todas as

operações trabalhadas por meio da aplicação do jogo e da atividade escrita.

244

No jogo de baralho constatamos que a socialização da estratégia criada por

alguns alunos permitiu que todos os grupos tivessem maior facilidade para jogar e,

ainda, que a utilização da calculadora para a conferência dos resultados contribuía

para que os alunos percebessem se haviam utilizado a regra corretamente e

também lhes dava autonomia para jogar. O que podemos considerar como um fator

importante na utilização da calculadora no processo desenvolvido.

Constatamos, também, a evolução da maioria dos alunos diante do conteúdo

estudado, sendo observado na atividade escrita que vários deles resolveram as

questões com tranqüilidade e de forma correta, ou seja, ao que parece os alunos

transferiram os conhecimentos adquiridos com o jogo para o trabalho realizado de

forma tradicional.

Nossa impressão sobre esta atividade foi que as situações de ensino criadas

provocaram na maioria dos alunos maior autoestima e segurança, fazendo-os se

sentirem mais confiantes diante do processo de aprendizagem. Desta forma,

consideramos que os objetivos foram alcançados.


Nosso objetivo nesta sessão era verificar o desempenho dos alunos na

resolução das 38 (trinta e oito) questões sobre adição, multiplicação, divisão e

potenciação contidas no pré-teste, após serem desenvolvidas todas as atividades

referentes a essas operações. O quadro 46 apresenta o desempenho dos alunos na

resolução de cada questão resolvida no pré-teste e no pós-teste geral.

Quadro 46 – Percentual de questõescertas, erradas e não resolvidas no pré e pós-teste geral (continua)

ACERTOS (%) ERROS (%) NÃO FEZ (%)

Nº

QUESTÕES

PRÉ

PÓS

PRÉ

PÓS

PRÉ

PÓS

OPERAÇÃO ADIÇÃO

01 4 + 9 100% 96,87% 0% 3,13% 0% 0%

02 15 – 7 87,5% 75% 9,38% 25% 3,12% 0%

03 - 4 – 8 0% 68,75% 78,13% 31,25% 21,87% 0%

04 - 6 + 3 3,12% 68,75% 78,13% 37,5% 18,75% 0%

05 - 4 + 12 6,25% 62,5% 68,75% 37,5% 25% 0%

06 +5 – 7 0% 78,12% 75% 18,75% 25% 3,13%

07 -13 + 14 6,25% 65,62% 75% 34,37% 18,75% 0%

245

Quadro 46 – Percentual de questõescertas, erradas e não resolvidas no pré e pós-teste geral

(conclusão) 08 -7 – 2 0% 71,87% 78,13% 28,13% 21,87% 0%

09 -26 + 26 0% 78,12% 62,5% 21,88% 37,5% 0%

10 +5 -5 43,75% 90,62% 31,25% 9,38% 25% 0%


11 (+4) x (+5) 25% 81,25% 25% 18,75% 50% 0%

12 (+5) x (- 3) 0% 71,87% 53,13% 21,88% 46,87% 6,25%

13 (- 4) x (+6) 3,12% 65,62% 37,5% 31,25% 59,38% 3,13%

14 (-2) x (- 7) 18,75% 84,37% 31,25% 15,63% 50% 0%

15 6 x (-1) 6,25% 68,75% 46,87% 31,25% 46,88% 0%

16 (-10) x (- 3) 25% 81,25% 25% 12,5% 50% 6,25%

17 0 x (+6) 12,5% 93,75% 37,5% 6,25% 50% 0%

18 0 x (-5) 15,63% 96,87% 34,37% 3,13% 50% 0%

19 (- 9) x 0 18,75% 90,62% 34,37% 9,38% 46,88% 0%

20 (- 1) x (-1) 21,87% 87,5% 25% 12,5% 53,13% 0%

OPERAÇÃO DIVISÃO

21 (+8) ÷ (+4) 18,75% 78,12% 28,12% 18,75% 53,13% 3,13%

22 (+9) ÷ (-3) 0% 78,12% 46,87% 21,88% 53,13% 0%

23 (- 16) ÷ (+2) 0% 65,62% 37,5% 28,12% 62,5% 6,25%

24 (-10) ÷ (-2) 15,63% 78,13% 31,25% 12,5% 53,13% 9,37%

25 (-12) ÷ (-1) 15,63% 81,25% 31,25% 18,75% 53,13% 0%

26 (-16) ÷ (- 4) 12,5% 71,87% 28,12% 15,63% 59,38% 12,5%

27 (-14) ÷ 7 3,17% 56,25% 43,75% 24,37% 53,13% 9,37%

28 (+1) ÷ (-1) 3,17% 78,12% 40,63% 21,88% 56,25% 0%

29 0 ÷(+ 6) 15,63% 96,87% 31,25% 3,13% 53,13% 0%

30 0 ÷ (- 8) 15,63% 93,75% 28,12% 6,25% 56,25% 0%


31 (+4)² 6,25% 53,12% 50% 43,75% 43,75% 3,13%

32 (+3)³ 3,17% 50% 53,13% 50% 43,75% 0%

33 (-3)² 6,25% 53,12% 46,88% 40,62% 46,87% 6,25%

34 (- 2)5 0% 37,5% 56,25% 62,5% 43,75% 0%

35 (+5)² 3,17% 56,25% 56,25% 40,62% 40,63% 3,13%

36 (-2)³ 3,17% 43,75% 53,13% 56,25% 43,75% 0%

37 (+7)0 0% 68,75% 59,38% 31,25% 40,62% 0%

38 (- 6)0 0% 68,75% 53,13% 31,25% 46,87% 0%


Ao analisarmos os dados contidos no quadro constatamos que a

comparaçãodos resultados obtidos nos dois testesrevela que houve uma

considerável melhora referente ao número de alunos que resolveu corretamente as

questões no pós-teste, mesmo quandoesse número não atingiu 50%, como ocorreu

com as questões 34 e 36 da potenciação, operação que registrou os mais baixos

índices de acertos. Todavia é preciso levarmos em consideração as condições

246

conturbadasnas quaisforam realizadas as atividades de fixação dessa operação

(relatadas na seção 3) e a notória falta de domínio da tabuada para a realização dos

cálculos, sendo observado que alguns alunos aplicavam corretamente as regras

mais erravam o numeral.

Outra constatação diz respeito aonúmero de erros. Pudemos verificar que os

percentuais referentes à quantidade de alunos que ainda cometeram erro no pós-

teste foram altos, porém, apesar deste resultado, verificamos que a exceção das

questões 34 e 36, em todas as outras foram registrados índices de erros menores do

que os registrados no pré-teste. Além disso,o percentual de questões não resolvidas

foi nulo na maioria dos casos, o que nos permitiu inferir que os alunos por sentirem-

se mais confiantes devido a toda experiência vivenciada durante o processo,

arriscaram-se mais a resolver.

Outro ponto importante é que os dados também revelaram que o acúmulo de

experiência vivenciada com o desenvolvimento das atividades de redescoberta e

especialmente nas atividades de fixação - permitindoem alguns momentos, o retorno

as operações já trabalhadas, como no caso dos baralhos que envolviam duas ou

mais operações - contribuíram para que os alunos pudessem rever; consolidar e

corrigir os conhecimentos que já haviam apreendido. Desta forma, verificamos que

houve melhora nos índices de acertos, se compararmos o pós-teste aos testes

parciais realizados para a adição, a multiplicação e a divisão.

Portanto, os dados do pós-testenos permitiram afirmar que o experimento

realizadoproporcionouaos alunos contribuições de aprendizagem que se referem

não só ao aspecto quantitativo, mas particularmente, ao aspecto qualitativo. Quando

comparamos o pós-teste ao pré-teste e aos testes intermediários verificamos

claramente que apesar dos erros ainda existirem, a realização da sequencia de

ensino possibilitou odesenvolvimento de habilidadecomo a autoestima e a confiança

permitindo que os alunos enfrentassem o desafio de resolver todas as questões,

ainda que em alguns momentos resultassem em erro. Esta atitudedemonstrouum

amadurecimentono sentido de assumir a responsabilidade por suas ações.O que

entendemos como um ponto bastante relevante para o processo ensino e

aprendizagem de matemática.

No Quadro 47 comparamos o desempenho dos 32 alunos do 7º ano com o

desempenho apresentado pelos 100 alunos egressos desta série, no que se refere a

resolução dos testes que continham as mesmas questões.

247

Quadro 47 – Comparação do desempenho dos 32 alunos do 7º ano e os 100 alunos egressos desta série na resolução dos testes que continham as mesmas questões

ACERTOS

Nº

QUESTÕES

Pós-teste geral (alunos do 7º ano)

Teste aplicado aos alunos egressos

OPERAÇÃO ADIÇÃO

01 4 + 9 96,87% 62%

02 15 – 7 75% 15%

03 - 4 – 8 68,75% 19%

04 - 6 + 3 68,75% 69%

05 - 4 + 12 62,5% 21%

06 +5 – 7 78,12% 17%

07 -13 + 14 65,62% 25%

08 -7 – 2 71,87% 17%

09 -26 + 26 78,12% 28%

10 +5 -5 90,62% 44%


11 (+4) x (+5) 81,25% 38%

12 (+5) x (- 3) 71,87% 26%

13 (- 4) x (+6) 65,62% 31%

14 (-2) x (- 7) 84,37% 31%

15 6 x (-1) 68,75% 27%

16 (-10) x (- 3) 81,25% 22%

17 0 x (+6) 93,75% 15%

18 0 x (-5) 96,87% 16%

19 (- 9) x 0 90,62% 12%

20 (- 1) x (-1) 87,5% 12%

OPERAÇÃO DIVISÃO

21 (+8) ÷ (+4) 78,12% 35%

22 (+9) ÷ (-3) 78,12% 23%

23 (- 16) ÷ (+2) 65,62% 20%

24 (-10) ÷ (-2) 78,13% 27%

25 (-12) ÷ (-1) 81,25% 19%

26 (-16) ÷ (- 4) 71,87% 24%

27 (-14) ÷ 7 56,25% 43%

28 (+1) ÷ (-1) 78,12% 28%

29 0 ÷(+ 6) 96,87% 15%

30 0 ÷ (- 8) 93,75% 12%


31 (+4)² 53,12% 9%

32 (+3)³ 50% 3%

33 (-3)² 50% 9%

34 (- 2)5 37,5% 10%

35 (+5)² 56,25% 8%

36 (-2)³ 43,75% 15%

37 (+7)0 68,75% 7%

38 (- 6)0 68,75% 8%

Fonte: Pesquisa de campo

248

A análise do quadro revelou que o desempenho dos alunos do 7º ano foi bem

melhor do que o desempenho dos alunos egressos, em todas as operações.

Podemos considerarque esses resultados foram bastante satisfatórios se levarmos

em conta que trabalhamos com uma turma onde a maioria dos alunos gostava

pouco de matemática e tinha alguma dificuldade para aprendê-la; não cultivava o

hábito de estudar diariamente fora da escola; não tinha domínio sobre a tabuada das

operações trabalhadas, com destaque para a potenciação que foi apontada como a

mais difícil de aprender e nunca tinha trabalhado com o uso da calculadora e jogo

como recursos pedagógicos, conforme verificado na análise do perfil da turma.

Compreendemos que a situaçãodidática vivenciada por esses discentes

contribuiu para que eles adquirissem conhecimento sobre as operações com

números inteiros permitindo que se saíssem melhor na resolução das questões, do

que os alunos egressos que, por sua vez,haviam vivenciado uma metodologia de

ensino quase sempre pautada na apresentação oral da definição, seguida de

exemplos e exercícios. Desta forma, podemos concluir que os dados apresentados

nos remetem a validação de nossa segunda hipótese, a qualse refere ao melhor

desempenho dos alunos do 7º ano em comparação com aos alunos egressos, ainda

que consideremos as variáveis e os contextos diferentes nos quais os testes foram

realizados.

O Quadro 48 nos forneceu os dados para a análise individual do desempenho

dos alunos do 7º ano na resolução do pré e pós-teste geral.

Quadro 48 – Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e potenciação. (continua)

Alunos

Percentual de acertos

Pré-teste Pós-teste geral

A1 e 100%

A2 6,67% 97,37%

A3 33,33% 100%

A4 33,3% 84,21%

A5 6,67% 94,73%

A6 16,67% 73,68%

A7 6,67% 81,58%

A8 10% 86,84%

A9 30% 89,47%

A10 10% 84,21%

A11 10% 84,21%

A12 6,67% 81,58%

249

Quadro 48 – Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e potenciação.

(conclusão)

A13 33,33% 81,57%

A14 6,67% 73,68%

A15 6,67% 50%

A16 6,67% 57,89%

A17 30% 78,95%

A18 10% 97,37%

A19 30% 78,95%

A20 6,67% 71,05%

A21 6,67% 60,53%

A22 13,33% 50%

A23 30% 84,21%

A24 6,67% 63,15%

A25 3,33% 76,31%

A26 20% 65,78%

A27 33,33% 76,31%

A28 10% 42,10%

A29 16,67% 44,73%

A30 20% 55,26%

A31 6,67% 39,47%

A32 16,67% 44,73% Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)

Por meio da análise desses dados fica evidente que individualmente todos os

alunosmelhoraram seus desempenhos, ainda que quatro deles não tenham

conseguido alcançar 50% de acertos. Daí podermos concluir que, em maior ou em

menor escala, todosconseguiram apreender conhecimentos sobre as operações

com números inteiros, sendo que alguns parecem ter conseguido absorver melhor

as regras que foram construídas em sala de aula, levando-os ao correto emprego

das mesmas e, consequentemente, a um melhor desempenho.

Um ponto importante a destacar na análise do desempenho individual dos

alunos é o fato de ter sido observado uma diminuição na incidência de erros

referentes àtabuada. Para nós, a utilização da calculadora em alguns jogos e a

cooperação observada entre os alunos contribuíram significativamente para que

pudessemdesenvolver um maior domínio sobre a tabuada. Tal fato contraria aqueles

que se colocam desfavoráveis ao uso desse recurso em sala de aula, supondo que

ele impediria os alunos de adquirir conhecimento sobre esta tabela aritmética. Ao

contrário, os dados mostraram que se associada a estratégias adequadas, a

máquina de calcular poderá ser um poderoso aliado no desenvolvimento não apenas

250

desta, como de outras habilidades matemáticas, como é possível verificarmos em

Selva e Borba (2010).

No gráfico 21podemos visualizar melhor o comparativo entre pré e pós-teste

geral, referente ao desempenho individual dos alunos.

Gráfico 21 – Desempenho de cada aluno do 7º ano no pré-teste e pós-teste geral

Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)

No Quadro 49 relacionamos as frequência dos alunos em todas as sessões

que envolviam atividades de ensino e o desempenho de cada aluno nos quatro

testes realizados, buscando verificar o nível de participação e a possível influência

que esta teria sobre os resultados dos alunos até o momento.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A1

0

A1

1

A1

2

A1

3

A1

4

A1

5A

16

A1

7

A1

8

A1

9

A2

0

A2

1

A2

2

A2

3

A2

4

A2

5

A2

6

A2

7

A2

8A

29

A3

0

A3

1

A3

2

Pré-teste pós-teste geral

251

Quadro 49 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes (continua)

Alu

no

s

Sessões de ensino

Percentual de acertos dos alunos nos teste desenvolvidos durante o

experimento

S

2

S

3

S

4

S

5

S

6

S

7

S

8

S

1

0

S

1

1

S

1

3

S

1

4

S

1

5

S

1

6 Pó

s-t

este

Ad

içã

o

Pó

s-

teste

Mu

ltip

. e

div

isão

Tes

te

parc

ial

Tes

te g

era

l

A1 P P P P P P P P P P P P P 100% 100% 100% 100%

A2 P P P P P P P P P P P F P 100% 100% 100% 97,37%

A3 P P P P P P P P P P P P P 70% 100% 100% 100%

A4 P P P P P P P P P P P P P 50% 100% 93,34% 84,21%

A5 P P P P P P P P P P P P P 50% 96,67% 93,34% 94,73%

A6 P P P P P P P P P P P P P 85% 86,67% 93,34% 73,68%

A7 P P P P P P P P P F P P P 50% 80% 90% 81,58%

A8 P F P P P P P P P P P P P 30% 100% 83,34% 86,84%

A9 P P P P P P P P P P P P P 70% 56,67% 83,34% 89,47%

A10 P P P P F P P P P P P P P 60% 83,33% 80% 84,21%

A11 F P P P P P P P P P P P P 75% 76,67% 80% 84,21%

A12 P P P P P P P P P P P P P 65% 96,67% 80% 81,58%

A13 P P P P P P P F P F P P P 60% 90% 76,67% 81,57%

A14 P P P P F P P P P P P P P 75% 80% 76,67% 73,68%

A15 P P P P P P P P F P F P F 65% 60% 76,67% 50%

A16 P P P P P P P P P P P P F 60% 53,33% 73,34% 57,89%

A17 F P P P P P P P P P P F P 50% 100% 80% 78,95%

A18 P P P P P P P P P P P P P 55% 96,67% 70% 97,37%

A19 P P P P P P P P P P P P P 60% 80% 66,67% 78,95%

A20 P P P P P P P P P F P F P 55% 86,67% 60% 71,05%

A21 P P P P P P P P F P P P F 35% 46,67% 60% 60,53%

A22 P P P P F P P P P P P P F 50% 53,33% 60% 50%

A23 P P P P P P P P P P P P P 45% 96,67% 70% 84,21%

A24 P F P P P P P P P P P P P 40% 13,33% 53,34% 63,15%

A25 F P P P P F P P P P P P P 50% 46,67% 50% 76,31%

A26 P P P P P P P P P P P P P 35% 66,67% 50% 65,78%

A27 P F P P P P P P P P P P P 30% 43,33% 50% 76,31%

252

Quadro 49 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes

(conclusão) A28 P P P P P P P P F P P F P 35% 36,67% 43,33% 42,10%

A29 P P P P P P P P P P P F P 45% 50% 43,33% 44,73%

A30 P P P P P P F P F P P P P 50% 50% 56,67% 55,26%

A31 P F P P P P P F P P P P P 30% 66,67% 40% 39,47%

A32 P P P F P P P P F P F P P 45% 26,67% 30% 44,73%

Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)

Identificamos que 34,37% dos alunos freqüentaram todas as aulas

ministradas, destes temos que apenas os alunos A23 e A26 tiveram desempenho

inferior a 50% de acertos em algum dos testes, mais especificamente no pós-teste

de adição. Contudo, verificamos que os seus desempenhos melhoram nos demais

pós-testes, o que pode indicar que a retomadas do conteúdo foi importante para que

esses alunos tivessem maior oportunidade de consolidar seus conhecimentos.

Assim como deve ter ocorrido também com os quatro alunos (A3, A11, A21 e A27)

que tiveram crescimento constante no número de acertos em cada um dos pós-

teste.

Identificamos, também, que 31,25% dos alunos faltaram a mais de uma aula,

destes, apenas os alunos A28 e A32 apresentaram desempenho inferior a 50% em

todos os testes, sendo observado que se tratavamde estudantescom muita ou um

pouco de dificuldade para aprender matemática e nenhum domínio da tabuada. Este

dado apontou para a necessidadeda realização de um trabalho especifico com

esses alunos sobre as quatro operações básicas, incluindo o conhecimento da

tabuada, pois notamos queeles não tinham conhecimentos sólidos sobre essas

operações mesmo quando se tratava dos números naturais.

Em relação aos alunos repetentes (A15, A22, A25 e A28) verificamos que a

exceção do aluno A28 caracterizado acima, todos os outros tiveram desempenho

igual ou superior a 50% de acerto em pelo menos três dos testes. Entendemos que

apesar de todos terem tido pelo menos 01 (uma) falta durante o desenvolvimento

das atividadese de seus percentuais de acertos não terem sido muito elevados, seus

resultados indicaram que a experiência pela qual passaram contribuiu para o

melhoramento de seus desempenhos, visto que, mesmo já tendo passado pelo

253

ensino das operações com números inteiros no ano anterior, não conseguiram

alcançar 10% de acerto no pré-teste.

Por fim, apresentamosa representação gráficado desempenho individualdos

alunos na realização de todos os testes realizados durante o desenvolvimento da

sequência ensino.

254

Gráfico 22 – Comparação do desempenho de cada aluno do 7º ano, nos testes realizados durante a experimentação


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32

Pré-teste Pós-teste de adição Pós-teste de multiplicação e divisão Pós-teste parcial (sem potenciação) Pós-teste geral

255

Os resultados evidenciados no gráfico mostraram que antes do

desenvolvimento da sequência de ensino os alunos tiveram baixo desempenho na

realização das questões. Entretanto, conforme havíamos suposto, após a realização

das atividades de descobrimento das regras e fixação destas,observamos um

considerável aumento no desempenhoda maioria dos alunos, para quase todos os

pós-testes de diagnóstico, em especial no pós-teste final, onde 81,25% deles

alcançaram índices de acerto superiores a 50%, indicando que a sequência didática

desenvolvida foi eficaz para ensino das operações com números inteiros.

Todavia, destacamos que para além dos resultados quantitativos, a

intervenção de ensino também suscitou resultados qualitativos capazes

decontribuírem consideravelmente para o melhoramento do processo ensino e

aprendizagem do conteúdo trabalhado. Referimo-nos a relação de interação que os

alunos estabeleceram com o meio, com seus pares ecom aprofessora-pesquisadora

permitindo que desenvolvessem habilidades como a capacidade de observação, de

proposição, de diálogo e elaboração de texto, criando autonomia e autoconfiança

para desenvolverem o trabalho de construção das regras de sinais, conferindo a elas

um maior significado no processo de aprendizagem das operações com os números

inteiros.

Neste sentido, consideramos que a sequência didática realizada, configurou-

se como uma potencial alternativa metodológica para o ensino das operações com

números inteiros, podendo ser perfeitamente adotada por outros docentes, haja

vista, proporcionar significativos resultados na perspectiva da Educação Matemática,

além de promover o acesso dos alunos a tecnologia e aos jogos.Recursos esses,

recomendados pelos PCN para o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos.

Ressaltamos, ainda, que tratam-se de materiais de baixo custo, uma vez que

a calculadora pode ser hoje encontrada por preços bastante acessíveis e os jogos

podem ser construídos pelos próprios alunos, em sala de aula, a partir da utilização

de materiais recicláveis.

A seguir apresentaremos as considerações finais sobre nosso estudo.

256

5 CONSIDERAÇÕESFINAIS

No desenvolvimento de nossa pesquisa tínhamos como objetivo investigar se

o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos

proporcionaria uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º ano

do ensino fundamental, uma vez que os resultados da pesquisa realizada com os

alunos egressos deste ano de ensino e as análises dos trabalhos já realizados sobre

o ensino de números inteiros, apresentados nas análises preliminares, indicavam

que o ensino por meio da exposição oral, seguida de exemplos e exercícios não

estava favorecendo um desempenho satisfatório dos alunos.

Levantamos, então, as hipóteses de que o uso da calculadora no ensino das

operações com números inteiros permitiria ao aluno descobrir e enunciar as regras

operacionais usadas no cálculo dessas operações, sem que o docente as tivesse

que apresentar, e ainda, que o desempenho dos alunos na realização de operações

com números inteiros quando trabalhado didaticamente por meio de atividades

mediadas pela calculadora e jogos seria superior ao desempenho quando ensinado

por meio da exposição oral seguida de exemplos e exercícios, sem perder de vista

que tínhamos como fim o aluno como agente ativo no processo de construção do

conhecimento.

Neste contexto, realizamos otrabalho experimental focalizandoo processo

ensino e aprendizagem e tendo como aporte teórico a teoria das situações didáticas

de Guy Brousseau que nos ajudou na organização e direcionamento da situação

didática na qual os alunos tiveram que descobrir as regras de sinais das operações

com inteiros a partir da observação das regularidades dos resultados encontrados

com o uso da calculadora.

No decorrer da realização do experimento pudemos verificar que estávamos

conseguido transferir para os alunos a responsabilidade da situação de

aprendizagem, uma vez que os alunos estavam sendo capazes de produzir

conhecimentos sobre as regras a partir de suas observações, da interação que

estabeleciam uns com os outros, com a professora-pesquisadora e com o meio, num

processo de investigação que os levava a refletir, discutir e formular

conclusões.Sendo observado que essas produções melhoravam à medida que os

alunos se adaptavam ao meio criado pela situação.

257

Nossa avaliação é de que a dinâmica usada para a socialização das

conclusões foi de extrema importância para que pudéssemos conduzir o momento

de institucionalização das regras e para que os alunos pudessem melhorar suas

redações, adquirindo confiança e autonomia em relação as suas ideias e

constatações, pois ao visualizarem as regras de todos os grupos os alunos tinham

oportunidade de fazer comparações e identificar onde haviam cometido equívocos.

Na realização da sequência de ensino percebemos o entusiasmo e a

curiosidade dos estudantes quanto aos recursos utilizados, despertando o interesse

destes em relação a proposta de ensino que estávamos lhes apresentando.No que

tange ao uso da calculadora no processo ensino e aprendizagem das operações

com números inteiros, constatamos que sua utilização foi favorável no sentido de

possibilitar que os alunos puderam perceber regularidades que os levaram a

descoberta e enunciação das regras para as operações de adição, multiplicação,

divisão e potenciação de números inteiros, sem que o professor as tivesse

enunciado, ratificando assim, a afirmação de Noronha e Sá (2002) de que a

calculadora pode tornar-se um recurso didático que permite estimular a

aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades e regras.

Desta forma, podemos considerar que nossa hipótese sobre a viabilidade do

uso desse recurso na descoberta e enunciação das regras para resolução de

operações com inteiros, foi confirmada. Reforçando, assim, a importância de se

explorar esse recurso em sala de aula, porém, de forma planejada.

Destacamos,ainda,que a calculadora também contribuiu consideravelmente

para o desenvolvimento de alguns jogos, funcionando como instrumento de

conferência dos resultados durante as partidas e possibilitando que os alunos

percebessem seus erros e pudessem corrigi-los.Quanto aos jogos, constatamos que

proporcionaram momentos ricos de interação, cooperação, produção de estratégias

e descontração, além de contribuírem para que a maioria dos alunos assimilasse as

regras construídas e desenvolvessem habilidades para o cálculo das operações.

Ao analisarmos as avaliações escritas pelos alunos pudemos constatar a

aprovaçãodestes em relação a metodologia adotada, reconhecendo que ela os

estava ajudando a adquirir conhecimentos novos de maneira prazerosa e

significativa. Essas avaliações e as situações vivenciadas em sala de aula,

proporcionadas pelo desenvolvimento da sequência didática elaborada, reforçaram

em nós o desejo de está sempre buscando alternativas didático-pedagógicas que

258

nos permitam favorecer a construção do conhecimento pelo aluno, pois observamos

que assim estaremos contribuindo para que eles se sintam, verdadeiramente, parte

integrante do processo ensino e aprendizagem.

Entretanto, não foi somente o aspecto qualitativo da pesquisa que reforçou

em nós este desejo. O aspecto quantitativo também nos fez perceber que podemos,

por meio de outras metodologias, contribuir para que os alunos melhorem seus

desempenhos e desenvolvam uma aprendizagem que lhes seja de fato significativa.

Os resultados dos pós-testes realizados durante o experimento revelaram que

a maioria dos alunos conseguiu apreender os conhecimentos sobre as operações

com números inteiros, apresentando desempenhos melhores que os alunos

egressos, que receberam ensino pautado na exposição oral, seguida de exemplos e

exercícios. Esses dados serviram para confirmaram nossa segunda hipótese sobre a

superioridade no desempenho dos alunos em relação às operações com inteiros

quando trabalhado por meio de atividades mediadas pela calculadora e jogos.

Compreendemos que os resultados poderiam ter sido melhores não fossem

duas limitações observadas em nosso experimento: o equivoco de acreditar que

apenas a explicação oral das regras do baralho da adição seria suficiente para que

os alunos compreendessem como jogá-lo e o fato de não termos previsto o uso da

calculadora no jogo da trilha de potenciação, o que provocou uma redução no tempo

para as jogadas, uma vez que vários alunos apresentaram dificuldade de

entendimento em relação ao baralho e falta de domínio da tabuadaem relação a

trilha.

No que tange a viabilidade da sequência didática pudemos verificar, por meio

das análises a posteriori,a evidênciade que o tempo gasto nas atividades de

descoberta das regras sempre reduziam a partir do desenvolvimento, socialização e

institucionalização dos saberes produzidos na primeira atividade, mostrando que é

falso o argumento de que as atividades de redescoberta prejudicariam o programa

curricular, como já vinha sendo afirmado por Sá (1999).

No decorrerdo desenvolvimento das atividades um questionamento se

manifestou: se tivéssemos tido mais tempo para a realização dos jogos,

especialmente no caso da adição e da potenciação, conseguiríamos que os alunos

obtivessem índices de acertos mais elevados?

Temos conhecimento de que o tempo é um fator apontado pelos professores

para evitar o uso de jogos como recurso didático em sala de aula, contudo, a

259

experiência por nós desenvolvida e também os resultados apresentados por Linardi

(1998), Grando (2000), Avello (2006), Soares (2008),evidenciam que sempre vale a

pena reservar um tempo um pouco maior no desenvolvimento de uma metodologia

que seja capaz de produzir um efeito não só quantitativo,

quantoqualitativo,contribuindo de maneira mais efetiva para a melhoria do processo

de ensino e aprendizagem ao qual os alunos são submetidos. Neste sentido,

esperamos que esse estudo possa contribuir para a prática de professores de

matemática que costumam trabalhar com o 7º ano e também servir de referência

para que outras atividades de investigação venham a ser pensadas para o ensino

deste e de outros conteúdos matemáticos.

Assim, concluímos que a sequência de ensino aplicada favoreceu o

aprendizado e, consequentemente, o melhor desempenho dos alunos do 7º ano, o

que nos permitiu afirmar que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado.

REFERÊNCIAS

260

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: UFPR, 2007.

ALTIPARMARK. Kemal; ÕZDOGAN, Ece. A study on the teaching of the concept of negative numbers. In: International journal of mathematical education in science and technology, v. 41, n.1, p. 31-47, jan. 2010. Disponível em <http://www.informaworld.com/smpp/title~content=t713736815>. Acesso em: 12 agosto 2010.

ALVES, Fábio J. C.; BARROS NETO. Antônio J.; SÁ. Pedro. F. Uma máquina de calcular para o ensino de frações. In: Traços: revista do centro de ciências exatas e tecnologia. Belém: UNAMA, v. 11, n. 23, 2009.

ANJOS. L. J. S. dos; CARDOSO. A. F.; SÁ. P. F. de. Números relativos. Belém: 2009 (não publicado);

ANJOS, Marta F. A difícil aceitação dos números negativos: um estudo da teoria dos números de Peter Barlow (1776-1862). 2008. 96 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal – RN, 2008.

ARTIGUE. Michéle. Engenharia Didáctica. In: BRUN, Jean. Didáctica das matemáticas. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996

AVELLO. Rosane G. B. Jogos como estratégia para facilitar o ensino-aprendizagem de operações com números inteiros. 2006. 67 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática). Centro Universitário Franciscano, Santa Maria, Rio Grande do Sul, 2006.

BORBA, Rute E. S. R. O Ensino e a Compreensão de Números Relativos. In: SCHLIEMANN, A. L.; CARRAHER, D. W. (Orgs.). A Compreensão de Conceitos Aritméticos: Ensino e Pesquisa. 2. ed. São Paulo: Papírus, 2003;

BORBA, Rute; GUIMARÃES, G (Orgs.). A pesquisa em educação matemática: repercussões na sala de aula. São Paulo: Cortez, 2009.

BORBA, Rute E. S. R; SELVA, Ana C. V. O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental. Belo Horizonte: Autêntica editora, 2010.

BOYER, Carl B. A History of Mathematics. 1ª reimpressão. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1998. BRASIL- Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2000.

http://www.informaworld.com/smpp/title~content=t713736815

261

BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e métodos da didática da matemática. In: BRUN, Jean. Didáctica das matemáticas. Lisboa, Portugal: Instituto Piaget, 1996

BROUSSEAU, Guy. Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. São Paulo: Ática, 2008.

CONDURÚ, Marise T; MOREIRA. Maria da Conceição R. Produção cientifica na universidade: normas para apresentação. 2. ed. Belém: EDUEPA, 2007

CURI, Edda. Professores que ensinam matemática: conhecimentos, crenças e práticas. São Paulo: Terracota, 2010. D‟AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática, cultura e diversidade. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática (Conferência). Salvador – BA, 2010.

D‟ AMORE, Bruno. Elementos de didática da matemática. São Paulo: Livraria da física, 2007.

DRUZIAN, Maria E. B. Jogos como recurso didático no ensino-aprendizagem de frações. 2007. 63 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de física e de Matemática). Centro Universitário Franciscano, Santa Maria-RS, 2007.

FIORENTINI, Dário; NACARATO, Adair M (Orgs.). Cultura, formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam matemática: investigando e teorizando a partir da prática. São Paulo: Musa editora; Campinas, São Paulo: GEPFPM-PRAPEM-FE/ UNICAMP, 2005.

FREIRE, Paulo. Padagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e terra, 1996 (coleção leitura).

FREITAS, José Luiz M. de. Teoria das situações didáticas. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma (nova) introdução. 3. ed. São Paulo: EDUC, 2008.

GARCIA, Carlos Marcelo. Formação de professores: para uma mudança educativa. Porto: Porto Editora, 1999.

GONÇALVES, Renata S. Um estudo com os números inteiros usando o programa APLUSIX com alunos da 6ª série do ensino fundamental. 2007. 143 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007. GONZÁLES, José L. et al. Numeros enteros. Madrid: Sintesis, 1990. (Matematicas: cultura y aprendizaje, v. 6).

262

GRANDO, Regina C. O jogo e suas possibilidades no ensino de matemática. 1995. 194 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas, 1995.

________________. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. 2000. 239f. Tese (Doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, 2000.

________________. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004 (Coleção pedagogia e educação)

HEY, Amaury U. B.. Uma proposta metodológica para a aprendizagem de estatística: contribuições da engenharia didática. 2001. 107 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2001.

IMENES, Luiz Márcio P.; JABUCO, José; LELLIS, Marcelo C. Números negativos. São Paulo: Atual, 1992 (Coleção Pra que serve matemática?)

ISODA, Masami; OLFOS Raimundo. Enseñanza de La multiplicación: desde El estúdio de clases japonês a lãs propuestas iberoamericanas. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Valparaíso/Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, 2011.

JUCÁ. Rosineide S. Uma sequência didática para o ensino das operações com os números decimais. 2008. 197 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – UEPA, Belém, 2008.

KIMURA, Cecilia F. K. O jogo como ferramenta no trabalho com números negativos: um estudo sob a perspectiva da epistemologia genética de Jean Piaget. 2005. 262 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.

LARA, Isabel C. M. de. Jogando com a matemática de 5ª a 8ª série. 2 ed. São Paulo: Rêspel, 2004.

LINARDI, Patrícia R. Quatro jogos para números inteiros: uma análise. 1998. 232 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). UNESP: Rio Claro-SP, 1998.

MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia S.; PASSOS, Norimar C. Quatro cores, senhas e dominó: oficinas de jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica. 2 ed. São Paulo: Caso do Psicólogo, 1997. MIZUKAMI, Maria das Graças N; REALI, Alice Maria M. R. Formação de professores: práticas pedagógicas e escola. São Paulo: EDUFSCAR, 2002.

263

MELO, Antônio J. F. de. O ensino de potências e raízes com auxílio da calculadora: uma experiência investigativa em sala de aula.2008. 114 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.

MENEZES, Josinalva E. Visão de professores sobre interdisciplinalidade no jogo de xadrez e ensino de resolução de problemas de matemática. In: Anais: XX Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e Nordeste, Manaus- AM, 2011.

MOCROSKY, Luciane F. Uso de calculadora em aulas de matemática: o que os professores pensam. 1997. 206 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). UNESP: Rio Claro – SP, 1997.

NASCIMENTO, Ross A. Um estudo sobre obstáculos em adição e subtração de números inteiros relativos: explorando a reta numérica dinâmica. 2001. 172 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Federal de Pernambuco, Recife- PE, 2001.

Noronha, C. A. & Sá, P. F. A calculadora em sala de aula: Porque usar. In: E. R. Cunha & P. F. Sá (Org.).Ensino e formação docente: proposta, reflexão e reflexão. Belém: EDUEPA, 2002.

PAIS, Luis C. Didática da matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.

PASSONI, José C. (Pré-) Álgebra: introduzindo os números inteiros negativos. 2002. 227 f.Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2002.

PONTES, Mércia de O. Obstáculos superados pelos matemáticos no passado e vivenciados pelos alunos na atualidade: a polêmica multiplicação de números inteiros. In: Anais: XX Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e Nordeste, Manaus- AM, 2011.

RAMA, Aguinado J. Números inteiros nos ensinos fundamental e médio. 2005. 192 f. Dissertação (Mestrado Profissional no Ensino de Matemática) - PUC/SP, São Paulo, 2005.

RICOTTA, Luiza. Valores do educador: uma ponte para a sociedade do futuro. São Paulo: Ágora, 2006.

SÁ, Pedro F. de. Ensinando matemática através da redescoberta. In.Traços: revista do centro de ciências exatas e tecnologia. Belém: UNAMA, v. 2, n. 3, 1999.

SÁ, Pedro F. de. Atividades para o ensino de matemática no nível fundamental. Belém: EDUEPA, 2009.

264

SALGADO, Rosângela C. da S; SÁ, Pedro F. de. O ensino de números relativos segundo a opinião docente. In: Anais: X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador – BA, 2010.

SALGADO, Rosângela C. da S.; SÁ, Pedro F. de. Ensino e aprendizagem de números inteiros: A opinião discente. In: Anais: XX Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e Nordeste, Manaus – AM, 2011.

SCHIFFL, Daniela. Um estudo sobre o uso da calculadora no ensino de matemática. 2006. 134 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática) - Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, Santa Maria-RS, 2006.

SILVA, Alessandro R. O livro didático e o discurso do professor no ensino das operações com números inteiros para alunos do ensino de jovens e adultos. 2006. 158 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – PUC/SP, São Paulo, 2006.

SILVA, Nazaré do S. M. da; SILVA PIRES, Eliza C. P. da; SÁ, Pedro F. de. O ensino da adição e subtração de fração com calculadora. In: Anais: VII Encontro Paraense de Educação Matemática, Belém – PA, 2010.

SILVA, Veleida A. da. Por que e para que aprender a matemática?. São Paulo: Cortez, 2009.

SOARES, Pércio J. O jogo como recurso didático na apropriação dos números inteiros: uma experiência de sucesso. 2008. 157 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – PUC/SP, São Paulo, 2008.

TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. 5. ed. Petrópolis, Rio de Janeiro: Vozes, 2005.

APÊNDICES

APÊNDICE A – Formulário para consulta aos docentes

265

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO

Caro(a) Professor (a),

Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este formulário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!

QUESTÕES 1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data _______ 2- Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos. 3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) ( )Ensino Superior:__________________________Ano da Conclusão: ________Instituição:_____ ( ) Especialização: __________________________Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Mestrado:______________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição:_______ ( ) Doutorado:_____________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição:_______ 4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos 5 - Série (s) em que está lecionando atualmente? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 6- Quais as séries que você já lecionou matemática? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra. Qual? 8- Durante sua formação de professor(a) de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de números relativos (inteiros)? ( ) Não ( ) Sim , qual? 9- Durante sua atuação como professor(a) de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de números relativos? ( ) Não ( ) Sim , qual? 10- Quando você ensina números relativos você costuma usar situações contextualizadas? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes 11- Quando você ensina números relativos, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos ( ) nunca ensinei este assunto. 12- Para fixar o conteúdo de números relativos você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

266

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 13 - Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a) de matemática.

Assunto Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Muito fácil

Fácil Regular Difícil Muito difícil

Idéia de número negativo

Representação de número positivo

Representação de número negativo

Idéia de número simétrico

Localização dos números positivos na reta

Localização dos números negativos na reta

Módulo de um número negativo

Comparação de números positivos

Comparação de números negativos

Comparação de números negativos com positivos

Adição de números com o mesmo sinal

Adição de números com sinais diferentes

Adição de números simétricos

Subtração de números com o mesmo sinal

Subtração de números com sinais diferentes

Subtração de números simétricos

Multiplicação de números com sinais diferentes

Multiplicação de números com sinais iguais

Divisão de números com sinais diferentes

Divisão de números com sinais iguais

Potenciação de expoente par

Potenciação de expoente impar

Potenciação de expoente negativo

Expressões envolvendo apenas adição e subtração de números relativos

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e multiplicação de números relativos

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e divisão de números relativos

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e potenciação de números relativos

14- Você já usou a máquina de calcular para ensinar as operações com números inteiros?

( ) Não ( ) Sim

APÊNDICE B – Formulário para consulta a alunos egressos do 7º ano

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

267

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO

Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

1-Idade: ______ 2- Sexo: _____________ 3- Você estudou a 6ª serie nesta escola? ( )Sim ( )Não

4- Quem é o seu responsável masculino?( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( ) Padrasto ( ) Não tenho

( )Outro. Quem?___

5- Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Madrasta ( ) Não tenho

( ) Outra. Quem? ___

6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ____. E a sua responsável feminina? ______

7- Seu responsável masculino trabalha? _______.Em que?_________________________________

8- Sua responsável feminina trabalha? ________. Em que? ________________________________

9- Você estudou a 6ª série em que tipo de escola: ( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( ) Outra. Qual?__________

10- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Muito pouco ( ) Um pouco ( ) Muito

11- Você tem dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Sim ( ) Um pouco

12- Você repetiu ou ficou em dependência em Matemática nesta na 6ª série? ( ) Não ( ) Sim

13- Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da semana. Quantos dias? _______________

14- Quando você estudou os números inteiros a maioria das aulas era desenvolvida começando?

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) Com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) Com um experimento para chegar ao conceito ( ) Com jogos para depois sistematizar os conceitos

15- Quando você estudou os números inteiros alguma vez foi usada a calculadora para ensinar as regras dos sinais? ( ) Sim ( ) Não

16- Para fixar o conteúdo estudado de números inteiros o seu professor na maioria das aulas:

( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto

( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático ( ) Não fazia proposta de questões de fixação

( ) Pedia que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes (ex: internet, outros livros)

17- Você entendia o assunto de números inteiros da forma como o professor ensinava?

( ) Sim ( ) Não

18- Que tipo de operação matemática envolvendo números inteiros você tem mais facilidade para resolver? ( ) Adição ( ) Multiplicação ( ) Divisão ( ) Potenciação

19- Preencha o quadro a seguir com base na sua experiência no estudo de números inteiros, na 6ª série.

268

Assunto

Grau de dificuldade para aprender

Muito fácil

Fácil Regular Difícil Muito difícil

Idéia de número negativo

Representação de número positivo. Exemplo: (+2,+6,8)

Representação de número negativo. Exemplo: (-2, -6, -8)

Idéia de número simétrico. Exemplo: (+2, -2; +5, -5)

Localização dos números positivos na reta

Localização dos números negativos na reta

Módulo de um número negativo. Exemplo: ( -7 , +9 )

Comparação de números positivos. Exemplo: (+3< +8)

Comparação de números negativos. Exemplo: (-3 > -8)

Comparação de números negativos com positivos. Exemplo: (-5< +7)

Adição de números com sinais iguais. Exemplo: (-3-5 =); (+4+6 =)

Adição de números com sinais diferentes. Exemplo: (-9+5=); (3 – 8 =)

Adição de números simétricos. Exemplo: -8+8 =; +5-5 =

Subtração de números com sinais iguais. Exemplo: -7 -(-8) = ; 9 - (+ 8) =

Subtração de números com sinais diferentes. Exemplo: - 9 - (+2)= ; +8 – (-7)=

Subtração de números simétricos. Exemplo: -7- (+7) = ; + 6 – (-6) =

Multiplicação de números com sinais iguais. Exemplo: (-7).(-2)= ; (+7). (+2) =

Multiplicação de números com sinais diferentes. Exemplo: 8.(-3)= ; (-4).(+5)=

Multiplicação de um inteiro por zero. Exemplo: (-7). 0=; 0. (+2) =

Divisão de números com sinais iguais. Exemplo: (-9)÷(-3)= ; (+8)÷(+2) =

Divisão de números com sinais diferentes. Exemplo: (-6)÷(+2)= ; 9 ÷ (-3)=

Divisão de zero por um número inteiro. Exemplo: 0÷(+2)= ; 0 ÷ (-3)=

Potenciação de expoente par. Exemplo: 6² = ; (-7)² =

Potenciação de expoente impar. Exemplo: (+5)³= ; (-4)³ =

Potenciação com expoente nulo. Exemplo: (-5)0e

09

Potenciação de expoente negativo. Exemplo: 2

5 = ;

43 =

Expressões envolvendo apenas adição e subtração de números inteiros. Exemplo: (- 2 +7 -6) + (-3 -8) ; [-3 +7 – (-8 +9)]=

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e multiplicação de números inteiros. Exemplo: (-6 +2) x (-2 – 7)=

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e divisão de números inteiros. Exemplo: ( -3). (+4) – (4 – 8) ÷ (- 2)=

Expressões envolvendo apenas adição, subtração e potenciação de números inteiros. Exemplo: [ ( - 5)² + (9 – 12)] ; [(- 5 -3)³ - ( 7+ 2)]

TESTE

269

01- Efetue as operações abaixo:

1) 4 + 9 = 2) 15 – 7= 3) - 4 - 8= 4) - 6 + 3=

5) - 4 + 12= 6) +5 – 7= 7) -13 + 14= 8) -7 - 2=

9) -26 + 26 = 10) +5 -5 11) (+4) x (+5)= 12) (+5) x (- 3) =

13) (- 4) x (+6)= 14) (-2) x (- 7)= 15) 6 x (-1) = 16) (-10) x (- 3) =

17) 0 x (+6) = 18) 0 x (-5)= 19) (-9) x 0= 20) (- 1) x (-1)=

21) (+8) ÷ (+4)= 22) (+9) ÷ (-3)= 23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-10) ÷ (-2)=

25) (-12) ÷ (-1)= 26) (-16) ÷ (- 4)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (-1) ÷ (+1) =

29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)= 31) (+4)²= 32) (+3)³=

33) (-3)²= 34) (- 2)5 = 35) (+5)² = 36) (-2)³=

37) (+7)0 = 38) (- 6)

0 =

APÊNDICE C – Pré-teste

270

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO

Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

1-Idade: _________ 2- Sexo: ______________ 3- Nome completo:___________________________

4- Quem é o seu responsável masculino? ( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Padrasto ( )Não tenho

( ) Outro:________

5- Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Madrasta ( )Não tenho

( ) Outro: ________

6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______E a sua responsável feminina? _____

7- Seu responsável masculino trabalha? ( ) Não ( ) Sim, em quê? _________________________

8- Seu responsável feminino trabalha? ( ) Não ( ) Sim, em quê? _________________________

8- Você cursou a 5ª série nesta escola: ( )Sim ( ) Não. Estudou onde?________________________

9- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não

10- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes

11- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum um pouco ( ) Muito pouco ( ) Um pouco ( ) Muito

12- Você está em dependência em matemática ou repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim

13-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Sim ( ) Um pouco

14- Você se distrai nas aulas de matemática? ( )Não ( )Sim ( ) Às vezes, quando? ____________

15- Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da semana. Quantos dias? ________________________

16- A maioria de suas notas em matemática é: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5

17- Você tem domínio da tabuada? ( ) Não ( ) Sim, qual(is)? ___________________________

18- Qual operação matemática você tem mais dificuldade para aprender? (se precisar, pode marcar mais de uma)

( )Adição ( )Subtração ( )Multiplicação ( )Divisão ( )Potenciação

19- Algum dos professores de matemática que você teve nas outras séries, alguma vez usou a calculadora para lhe ensinar algum conteúdo (assunto) de matemática? ( ) Sim ( ) Não ( ) Não lembro

20- Algum dos professores de matemática que você teve nas outras séries, alguma vez usou jogos para lhe ensinar algum conteúdo (assunto) de matemática? ( ) Sim ( ) Não ( ) Não lembro

PRÉ-TESTE

271

01- Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 = 2) 15 – 7= 3) - 4 - 8= 4) - 6 + 3=

5) - 4 + 12= 6) +5 – 7= 7) -13 + 14= 8) -7 - 2=

9) -26 + 26 = 10) +5 -5= 11) (+4) x (+5)= 12) (+5) x (- 3) =

13) (- 4) x (+6)= 14) (-2) x (- 7)= 15) 6 x (-1) = 16) (-10) x (- 3) =

17) 0 x (+6) = 18) 0 x (-5)= 19) (- 9) x 0= 20) (- 1) x (-1)=

21) (+8) ÷ (+4)= 22) (+9) ÷ (-3)= 23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-10) ÷ (-2)=

25) (-12) ÷ (-1)= 26) (-16) ÷ (- 4)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (+1) ÷ (-1) =

29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)= 31) (+4)²= 32) (+3)³=

33) (-3)²= 34) (- 2)5 = 35) (+5)² = 36) (-2)³= 37)

(+7)0 = 38) (- 6)

0 =

APÊNDICE D - Baralho para adição entre dois inteiros

272

+5+5

+5+5

5

5

+3+4

+3+4

7

7

+ 3+7

+3+7

10

10

1 +14

1+14

15

15

9+3

9+3

12

12

2+6

2+6

8

8

-1 -1

-1-1

-2

-2

-2-6

-2-6

- 8

- 8

-3 -4

-3 - 4

-7

-7

- 6-4

- 6-6

- 10

- 10

-5-7

-12

-3-10

-13

+ 3-7

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

273

-5-7

-12

-3-10

-13

+3-7

-4

-4

1 -2

1-2

-1

-1

9-2

9-2

7

7

2-6

2-6

-8

- 8

+4 -1

+4-1

3

3

7-2

7-2

5

5

-3 +15

-3 +15

12

13

- 16+9

-16+9

- 7

- 7

-5+3

-2

- 4 + 10

6

-11+1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

274

-5+3

-2

- 4+10

6

-11+1

-10

-10

- 4 +12

- 4+12

8

8

-9+9

-9+9

0

0

2-2

2-2

0

0

-21+21

-21+21

0

0

+15-15

+15-15

0

0

-3 +12

-3 +9

9

9

6-12

6-12

- 6

- 6

APÊNDICE E - Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

275

(-5) x (+3)

(-5) x (+3)

-15

- 15

(-9) x (+2)

(-9) x (+2)

- 18

- 18

(-6) x (+4)

(- 6) x (+4)

(-7) x (+7)

(-7) x (+7)

- 49

- 49

(+4) x (- 4)

(+4) x (- 4)

-16

-16

(+3) x (-6)

(+3) x (-6)

- 18

-18

7 x (-2)

7 x (-2)

- 14

- 14

8 x (-3)

8 x (-3)

-24

- 24

(+ 4) x (+5)

(+4) x (+5)

20

20

(+ 3) x (+3)

(+ 3) x (+ 3)

9

9

(+ 6) x (+ 4)

(+ 6) x (+ 4)

24 2 x 7 14 (- 3) x (-5) 15

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

276

24

2 x 7

14

(-3) x (-5)

15

(-7) x (- 4)

(-7) x (- 4)

28

28

(- 2) x (- 9)

(- 2) x (- 9)

18

18

(- 6) x (- 10)

(- 6) x (- 10)

60

60

7 x (-1)

7 x (-1)

- 7

- 7

(- 1) x (-3)

(-1) x (-3)

3

3

(- 14) x (- 1)

(-14) x (- 1)

14

14

(- 1) x (+9)

(-1) x (+ 9)

- 9

- 9

(+ 6) x 0

(+ 6) x 0

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

277

0

0

0 x (+ 18)

0 x (+18)

0

0

(- 3) x 0

(-3) x 0

0

0

0 x (- 14)

0 x (- 14)

0

0

(- 9) ÷ (+ 3)

(- 9) ÷ (+ 3)

-3

-3

(- 10) ÷ (+ 5)

(- 10) ÷ (+ 5)

- 2

-2

(- 12) ÷ (+6)

(- 12)÷ (+6)

- 6

- 6

(- 18) ÷ (+ 2)

(-18) ÷ (+ 2)

- 9

- 9

14 ÷ (- 7)

14 ÷ (- 7)

- 2

- 2

(+ 16) ÷ (- 4)

(+16) ÷ (- 4)

- 4

- 4

(+ 40) ÷(-5)

(+ 40) ÷ (-5)

- 8 21 ÷ (- 3) - 7 (- 30) ÷ (- 6) 5

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

278

- 8

21 ÷ (-3)

- 7

(-30) ÷ (-6)

5

(- 22) ÷ (- 2)

(-22) ÷ (- 2)

11

11

(- 9) ÷ (- 3)

(- 9) ÷ (- 3)

3

3

(- 16) ÷ (- 2)

(- 16) ÷ (- 2)

8

8

(+ 12) ÷ (+6)

(+ 12)÷ (+6)

2

2

(+8) ÷ (+ 2)

(+8) ÷ (+ 2)

4

4

25 ÷ 5

25 ÷ 5

5

5

(+ 24) ÷ 4

(+24) ÷ 4

6

6

(+ 6) ÷(-1)

(+ 6) ÷ (- 1)

- 6 (- 30) ÷ (- 1) 30 (+22) ÷ (- 1) -22

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

279

- 6

(-30) ÷ (- 1)

30

(+22) ÷ (- 1)

-22

(- 16) ÷ (-1)

(- 16) ÷ (-1)

16

16

0 ÷ (- 3)

0 ÷ (- 3)

0

0

0÷ (- 12)

0 ÷ (- 12)

0

0

0÷ (+6)

0÷ (+6)

0

0

0 ÷ (+ 15)

0 ÷ (+ 15)

0

0

-24

-24

APÊNDICE F – Cartelas do bingo para multiplicação e divisão de inteiros

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

280

- 12

15

5

0

- 4

- 2

5

25

+1

- 14

0

9

- 8

- 1

+ 4

- 10

0

+ 9

- 8

2

+ 12

6

- 6

+3

- 1

Z

Z

Z

Z

Z

281

- 2

- 18

- 5

+3

+ 14

+ 8

- 7

- 20

21

+ 14

0

+ 2

- 16

6

+ 20

-9

+ 2

- 16

-12

- 3

-2

+ 1

5

- 6

- 14

Z

Z

Z

Z

Z

282

0

- 9

- 21

+7

12

10

+ 7

- 15

-8

+ 20

- 12

15

5

0

- 4

- 2

-5

25

+1

- 14

0

9

- 8

- 1

+ 4

Z

Z

Z

Z

Z

283

- 10

0

+ 9

- 8

2

+ 12

6

- 6

+3

- 1

- 2

- 18

- 5

+3

+ 14

10

+ 7

- 15

-8

+ 20

+ 8

- 7

- 20

21

+ 14

Z

Z

Z

Z

Z

284

APÊNDICE G – “Pedras” do bingo para multiplicação e divisão de inteiros

(- 2) x (- 6)

(- 12)÷(- 2)

(- 28) x 0

(- 4)x(+4)

(+ 3) x (- 2)

(+ 9)÷(+ 3)

(- 3) x (-2)

(- 4)÷(- 2)

(- 7)÷(+ 7)

18 ÷ (- 9)

(- 2)x(-10)

(-18)÷(-2)

(-20)÷(+4)

(-1) x (-3)

(- 3)x(+4)

15 ÷ (-5)

( - 2) x 9

(- 14)÷(- 1)

(- 7)x(+2)

0 ÷ (- 9)

(-16)÷(-2)

(+ 4) x (- 5)

3 x (- 7)

(-14)÷(-2)

(- 3) x (- 7)

2 x 7

(- 3)x(+3)

(- 2)x(- 5)

(- 28) x 0

(- 4)x(+4)

(- 3) x (-2)

(- 4)÷(- 2)

(- 2)x(-10)

(-18)÷(-2)

(- 3)x(+4)

15 ÷ (-5)

285

(- 7)x(+2)

0 ÷ (- 9)

(- 5)x(- 5)

(- 1)x(- 1)

3 x (- 7)

(-14)÷(-2)

(+3)x(+5)

(- 8)÷(- 2)

(- 3)x(+3)

(- 2)x(- 5)

(-30) ÷ 3

(- 1)x(+7)

(- 5)x(+3)

(+4)x(- 2)

(+9)÷(-1)

(-25)÷(-1)

(- 10)÷(-2)

16 ÷ (- 4)

286

APÊNDICE H –Atividade escrita para revisão de multiplicação e divisão

Atividade de fixação 1 DATA: ____/____/____

1- Complete e dê exemplo:

a) Para somar dois números de sinais iguais devemos ____________os números e _______ o

__________sinal das parcelas.

b) Para somar dois números de sinais diferentes devemos ____________ os números e _____

o sinal do __________ número.

c) Na adição de dois números opostos a __________ será sempre ______________.

d) Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais o produto é sempre _______.

e) Na multiplicação entre dois números de sinais diferentes o produto é sempre __________.

f) Na multiplicação de números inteiros por zero o produto é sempre _____________.

g) Na multiplicarmos de um número inteiro por (-1), se o fator for ____________

ficará_______________e se for _____________ ficará ______________________.

h) Na multiplicação de um número inteiro por (-1) o produto será o ___________ do fator que

estiver sendo multiplicado por ele.

i) Na divisão entre dois números inteiros de sinais iguais o quociente será sempre _________.

j) Na divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes o quociente será sempre ______.

l) Na divisão de zero por qualquer número inteiro o quociente será sempre igual a ________.

l) Na divisão de um número inteiro por (-1), se o dividendo for _______________ ficará

_______________ e se for _______________ ficará ___________________.

2- Associe a operação matemática com a sua resposta correspondente:

a) – 4 – 5 = b) (- 4) x 0= c) (-5) ÷ (-1)=

d) – 8 + 3 = e) (-7) x (-6) = f) 0 ÷ (- 8)=

g) -7 + 7 = h) 5 x (- 4)= i) (+ 15) ÷ (- 3)=

j) 6 – 9 = k) (+3) x (-1)= l) (+6) ÷ (+3) =

287

APÊNDICE I - Baralho de regras sobre adição, multiplicação e divisão de inteiros

(- 22) ÷ (- 2)

(-22) ÷ (- 2)

Na divisão entre dois nºs de sinais iguais

o quociente (resultado)

será sempre

positivo

(+9) ÷ (+ 3)

(+9) ÷ (- 3)



será sempre

positivo

(- 16) ÷ (- 2)

(- 16) ÷ (- 2)



será sempre

positivo

(+12) ÷ (+4)

(+12) ÷ (+4)



será sempre

positivo

(- 16) ÷ (+2)

(- 16) ÷ (- 2)

Na divisão entre dois nºs

de sinais diferentes


será sempre negativo

(- 15) ÷ (+3)

(- 15)÷ (+3)





(+8) ÷ (- 4)

(+8) ÷ (- 4)





25 ÷ (-5)

25 ÷ (-5)





0 ÷ 4

0 ÷ 4

Na divisão de zero pó um

número inteiro


será sempre zero

0 ÷ (- 6)

0 ÷ (- 6)


número inteiro


será sempre zero

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

288

(- 22) ÷ (- 1)

(-22) ÷ (- 1)

Na divisão de um número

inteiro por (-1)

Se o dividendo

for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.

(+9) ÷ (- 1)

(+9) ÷ (- 1)


inteiro por (-1)

Se o dividendo


(- 16) ÷ (- 1)

(- 16) ÷ (- 1)


inteiro por (-1)

Se o dividendo


(+12) ÷ (- 1)

(+12) ÷ (- 1)


inteiro por (-1)

Se o dividendo


(+6) x (+2)

(+6) x (+2)

Na multiplicação entre dois nºs de sinais iguais

o produto

(resultado) será sempre positivo

(+5) x (+3)

(+5)x (+3)


o produto


(-8) x (- 4)

(-8) x (- 4)


o produto


(-5) x (-5)

(-5) x (-5)


o produto


(+5) x (-3)

(+5)x (-3)

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes

o produto

(resultado) será sempre negativo

10 x (- 5)

10 x (- 5)

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes

o produto


Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

289

(- 2) x (+ 5)

(-2) x (+ 5)

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes

o produto


(- 4) x (+ 4)

(-4) x (+4)

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes

o produto


0 x (- 5)

0 x (- 5)

Na multiplicação

de um número inteiro por

zero

o produto

(resultado) será sempre zero

(+ 4) x 0

(+4) x 0

Na multiplicação


zero

o produto


(- 6) x 0

(- 6) x 0

Na multiplicação


zero

o produto


0 x (+3)

0 x (+3)

Na multiplicação


zero

o produto


(- 1) x (- 4)

(- 1) x (- 4)

Na multiplicação de um número inteiro por -1

Se esse fator for produto ficará

negativo e se for negativo ficará

positivo

(-5) x (- 1)

(-5) x (-1)




positivo

(+5) x (- 1)

(+5)x (- 1)




positivo

(- 1) x (+ 8)

(-1) x (+ 8)




positivo

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

290

- 2 + 5

-2+ 5

Para somar dois nºs de

sinais diferentes

Devemos somar

os números e conservar o sinal

das parcelas

- 14 + 6

- 14 + 6


sinais diferentes

Devemos somar

os números e conservar o sinal

das parcelas

+ 7- 5

+7- 5


sinais diferentes

Devemos somar os números e

conservar o sinal das parcelas

4 - 8

4 - 8


sinais diferentes

Devemos somar os números e

conservar o sinal das parcelas

- 6 - 3

- 6 - 3

Para somar dois nºs de sinais iguais

Devemos subtrair os números e

conservar o sinal do número

maior

-10 - 2

-10 - 2




maior

7+ 3

7 + 3




maior

5 + 1

5 +1




maior

+5- 5

+5- 5

Na adição entre dois números

inteiro opostos

A soma será sempre zero

- 1+ 1

-1+ 1


inteiro opostos


18- 18

18- 18


inteiro opostos


- 12+ 12

-12+ 12


inteiro opostos


Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

291

APÊNDICE J – Baralho para adição, multiplicação e divisão de inteiros

(- 22) ÷ (- 2)

(-22) ÷ (- 2)

11

11

(+9) ÷ (+ 3)

(+9) ÷ (+ 3)

3

3

(- 16) ÷ (- 2)

(- 16) ÷ (- 2)

8

8

(+12) ÷ (+2)

(+12) ÷ (+2)

6

6

(- 16) ÷ (+2)

(- 16) ÷ (- 2)

- 8

- 8

(- 15) ÷ (+3)

(- 15)÷ (+3)

- 5

- 5

(+8) ÷ (- 4)

(+8) ÷ (- 4)

- 2

- 2

25 ÷ (-5)

25 ÷ (-5)

- 5

- 5

0 ÷ 4

0 ÷ 4

0

0

0 ÷ (- 6)

0 ÷ (- 6)

0

0

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

292

(- 22) ÷ (- 1)

(-22) ÷ (- 1)

22

22

(+9) ÷ (- 1)

(+9) ÷ (- 1)

- 9

- 9

(- 16) ÷ (- 1)

(- 16) ÷ (- 1)

16

16

(+12) ÷ (- 1)

(+12) ÷ (- 1)

-12

-12

(+6) x (+2)

(+6) x (+2)

12

12

(+5) x (+3)

(+5)x (+3)

15

15

(-8) x (- 4)

(-8) x (- 4)

32

32

(-5) x (-5)

(-5) x (-5)

25

25

(+5) x (-3)

(+5)x (-3)

-15

-15

10 x (- 5)

10 x (- 5)

-50

-50

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

293

(- 2) x (+ 5)

(-2) x (+ 5)

- 10

- 10

(- 4) x (+ 4)

(-4) x (+4)

- 16

- 16

0 x (- 5)

0 x (- 5)

0

0

(+ 4) x 0

(+4) x 0

0

0

(- 6) x 0

(- 6) x 0

0

0

0 x (+3)

0 x (+3)

0

0

(- 1) x (- 4)

(- 1) x (- 4)

4

4

(-5) x (- 1)

(-5) x (-1)

5

5

(+5) x (- 1)

(+5)x (- 1)

- 5

- 5

(- 1) x (+ 8)

(-1) x (+ 8)

-8

- 8

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

294

- 2 + 5

-2+ 5

3

3

- 14 + 6

- 14 + 6

- 8

- 8

+ 7- 5

+7- 5

2

2

4 - 8

4 - 8

- 4

- 4

- 6 - 3

- 6 - 3

- 9

- 9

-10 - 2

-10 - 2

- 12

- 12

7+ 3

7 + 3

10

10

5 + 1

5 +1

6

6

+5- 5

+5- 5

0

0

- 1+ 1

-1+ 1

0

0

18- 18

18- 18

0

0

- 12+ 12

-12+ 12

0

0

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

295

Apêndice K - Trilha de potenciação de números inteiros

Complete

corretamente e

poderá avançar uma

casa. Na potenciação

de expoente par a

potência é

sempre..................

?

?

Escolha um de

seus adversários

para voltar duas

casas

?

?

Responda

corretamente e

poderá avançar

uma casa.

Porque o

resultado de 0)15( é 1?

?

?

?

Complete corretamente e poderá

avançar uma casa.

Na potenciação de expoente impar

a potência tem o....... sinal da ...... ?

? ?

Avance uma

casa ?

?

Volte três

casa ? ?

SAÍDA

? PARABÉNS! VOCÊ

VENCEU

? ?

Fique uma

rodada sem

jogar

296

Apêndice L – Cartões questão para a trilha das potenciações

Qual é a potência de:

3)5(

R: - 125


6)2(

R: 64


5)2(

R: - 32


0)9(

R: 1


3)5(

R: 125


2)4(

R: 16


2)9(

R: 81


71

R: -1


5)3(

R: - 729


3)4(

R: - 64


2)5(

R: 25


0)8(

R: 1

297


7)2(

R: 128


4)3(

R: 81


3)2(

R: - 8


6)1(

R: 1


2)7(

R: 49


2)6(

R: 36


5)2(

R: 32


17

R: -7


1)9(

R: 9


0)12(

R: 1


2)2(

R: 4


0)3(

R: 1

298


2)8(

R: 64


4)3(

R: 81


3)2(

R: - 8


6)1(

R: 1


2)7(

R: 49


2)6(

R: 36


5)2(

R: 32


17

R: -7


1)9(

R: 9


0)12(

R: 1


2)2(

R: 4


0)3(

R: 1

299

APÊNDICE M – Dado usado na trilha de potências

300

APÊNDICE N – Atividade escrita para revisãoda potenciação

Atividade de fixação DATA: ____/____/____

1- Complete e dê exemplo:

a) Na potenciação de número inteiro com expoente par, o resultado é sempre

______________________. Exemplo: ____________________________________.

b) Na potenciação de número inteiro com expoente impar, o resultado tem o

____________sinal da _________. Exemplo: _______________________________.

c) Na potenciação de número inteiro com expoente zero, o resultado é sempre igual a

_________________. Exemplo: ___________________________________.

2- Calcule:

a) (- 3) 4 = b) (+ 5)³= c) (+4)² =

d) (- 2) 5 = e) (+6) 0 = f) (- 8) 0 =

g) (-7)²= h) (-2) 5 = h) (+3)³ =

301

APÊNDICE O- Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação

(- 22) ÷ (- 2)

(-22) ÷ (- 2)

Na divisão entre dois

nºs de sinais iguais


será sempre

positivo

11

11

(-9) ÷ (- 3)

(-9) ÷ (-3)

-3

-3




será sempre

positivo

6

6




será sempre

positivo

(+12) ÷ (+2)

(+12) ÷ (+2)


nºs de sinais diferentes



(- 16) ÷ (+2)

(- 16) ÷ (- 2)

- 8

- 8

(- 15) ÷ (+3)

(- 15)÷ (+3)





- 5

- 5

(+8) ÷ (- 4)

(+8) ÷ (- 4)

- 2

- 2






número inteiro


será sempre zero

0 ÷ 4

0 ÷ 4

0

0

0

0

0 ÷ (- 6)

0 ÷ (- 6)


número inteiro


será sempre zero

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

302

(- 22) ÷ (- 1)

(-22) ÷ (- 1)

Na divisão de um número inteiro por -1

Se o dividendo

for positivo ficará negativo

e se for negativo ficará

positivo.

22

22

(+9) ÷ (- 1)

(+9) ÷ (- 1)

- 9

- 9


Se o dividendo



positivo.

-12

-12

(+12) ÷ (- 1)

(+12) ÷ (- 1)


Se o dividendo



positivo.

Na multiplicação entre dois nºs

de sinais iguais

o produto (resultado)

será sempre positivo

(+6) x (+2)

(+6) x (+2)

12

12

(+5) x (+3)

(+5)x (+3)


de sinais iguais



15

15

(-8) x (- 4)

(-8) x (- 4)

32

32


de sinais iguais







(+5) x (-3)

(+5)x (-3)

-15

-15





10 x (- 5)

10 x (- 5)

-50

-50

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

303

(- 2) x (+ 5)

(-2) x (+ 5)

- 10

- 10

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes



(- 4) x (+ 4)

(-4) x (+4)

- 16

- 16

Na multiplicação

de nºs de sinais

diferentes



0

0

(+ 4) x 0

(+4) x 0

Na multiplicação

de um número

inteiro por zero


será sempre zero

0

0

(- 6) x 0

(- 6) x 0

Na multiplicação

de um número

inteiro por zero


será sempre zero

0 x (+3)

0 x (+3)

0

0

Na multiplicação

de um número

inteiro por zero


será sempre zero

(- 1) x (- 4)

(- 1) x (- 4)

4

4

Na multiplicação

de um número

inteiro por -1 Se esse fator for produto

ficará negativo e se for

negativo ficará positivo

5

5

(+5) x (- 1)

(+5)x (- 1)

Na multiplicação

de um número




Na multiplicação

de um número




(- 1) x (+ 8)

(-1) x (+ 8)

-8

- 8

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

304

- 2 + 5

-2+ 5

3

3


sinais diferentes

Devemos somar os

números e conservar o

sinal das parcelas

- 14 + 6

- 14 + 6

- 8

- 8


sinais diferentes

Devemos somar os


sinal das parcelas

2

2


sinais diferentes

Devemos somar os


sinal das parcelas

4 - 8

4 - 8


Devemos subtrair os números e conservar o

sinal do número maior

- 6 – 3

- 6 - 3

- 9

- 9

-10 - 2

-10 - 2

- 12

- 12




7+ 3

7 + 3

10

10




+5- 5

+5- 5

Na adição entre dois números opostos

A soma é

sempre zero

0

0


A soma é

sempre zero

- 1+ 1

-1+ 1

0

0

18- 18

18- 18

0

0


A soma é

sempre zero

- 12+ 12

-12+ 12

0

0


A soma é

sempre zero

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

305

APÊNDICE P – Atividade escrita para revisão geral

REVISÃO GERAL em: ___/___/___

1- Resolva as operações com números inteiros:

a) 10 – 6= f) (-3) x (-2) =

b) 4 + 7 = g) (+7) x (+5) =

c) – 3 – 7= g) (- 4) x (+3) =

d) - 8 + 5= h) 0 x (-5) =

e) – 3 + 7= i) (+6) x (-1)=

2- Resolva as operações com números inteiros:

a) (-9) ÷ (+3) = f) (-7)²=

b) (+8) ÷ (-2)= g) (-2) 5 =

c) (-10) ÷ (-5)= h) (+3)³ =

d) 0 ÷ (-6)= i) (+4) 0 =

e) (-7) ÷ (-1)= j) (+ 2) 4 =

306

APÊNDICE Q - Ficha de avaliação das aula

Ensino das operações com números inteiros, em: ___/___/____

Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado: ______________________

Ensino das operações com números inteiros, em ___/___/____

Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado:___________________________

Documents

Rosângela Cruz da Silva Salgado - UEPAccse.uepa.br › ... › 05 › rosangela_cruz_da_silva_salgado.pdfQuadro 12- Relação entre a dificuldade para aprender matemática e o domínio