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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CINCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMTICA LICENCIATURA
Samuel Sonego Zimmermann
ANLISE QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE
EQUAES NO-LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS
VARIVEIS DEPENDENTES
Santa Maria, RS
2016
Samuel Sonego Zimmermann
ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-
LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES
Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao
Curso de Matemtica Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obteno do
ttulo de Licenciado em Matemtica.
Orientadora: Prof. Dr. Sandra Eliza Vielmo
Santa Maria, RS
2016
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Samuel Sonego Zimmermann
ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-
LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES
Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao
Curso de Matemtica Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obteno do
ttulo de Licenciado em Matemtica.
Aprovado em 05 de julho de 2016:
Sandra Eliza Vielmo, Dra. (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
Karine Faverzani Magnago , Dra. (UFSM)
Rosemaira Dalcin Copetti, Dra. (UFSM)
Santa Maria, RS
2016
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AGRADECIMENTOS
Agradeo primeiramente a Deus, pela sade e pela vida.
Aos meus pais Sadi Martin e Josete Maria, aos meus irmos Estevan e Elisa por
passarmos juntos os momentos bons e momentos ruins, pelo apoio e incentivo sempre nos
estudos.
A minha av Nadir por todo apoio e ajuda nas horas de necessidade, aquele amor de
av.
Minha namorada Denise, ao carinho, incentivos, que possamos realizar todos nossos
projetos futuros e esse j um.
E finalmente e no menos importante professora Sandra, pelas orientaes,
preocupaes, pacincia, contribuies e ensinamentos durante toda a construo deste
caminho que muitas vezes no foram fceis, na realizao deste trabalho.
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RESUMO
ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-
LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES
AUTOROR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN
ORIENTADORA: SANDRA ELIZA VIELMO
Este trabalho tem por objetivo analisar quantitativa e qualitativamente alguns modelos de
dinmica populacional. Inicialmente foi analisado o modelo de Malthus e, a partir deste, as
alteraes propostas por Verhulst, quando da obteno do modelo logstico. Posteriormente,
estes modelos foram estendidos a modelos que descrevem interao entre duas espcies,
descritos pelos sistemas predador-presa e espcies em competio pelo mesmo alimento. Para
uma efetiva compreenso destes sistemas sob o ponto de vista qualitativo e quantitativo,
foram revistas as teorias relacionadas a sistemas autnomos lineares quanto classificao de
suas solues de equilbrio e comportamento das solues associadas. Ainda, foi abordado o
processo de linearizao de sistemas no-lineares, de modo a compreender o
comportamento das solues nas vizinhanas das solues de equilbrio. Para a realizao da
anlise qualitativa foi utilizado os softwares GeoGebra e WxMaxima, os quais foram
fundamentais para observar o comportamento geomtrico das solues e comparao com o
comportamento algbrico ou quantitativo das mesmas. Acredita-se que o desenvolvimento
deste trabalho de concluso de curso proporcionou amadurecimento acadmico ao aluno e que
poder auxili-lo na definio de novos caminhos a seguir em sua trajetria profissional.
Palavras-chaves: Equaes Autnomas. Modelos de Crescimento Populacional. Anlises
Qualitativa e Quantitativa.
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ABSTRACT
QUANTITATIVE AND QUALITATIVE ANALYSIS OF NONLINEAR
AUTONOMOUS EQUATIONS A ONE AND TWO VARIABLE DEPENDENT
AUTHOR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN
ADVISOR: SANDRA ELIZA VIELMO
This work aims to analyze quantitative and qualitatively some models of population
dynamics. Initially it was analyzed the model of Malthus and, from this, the changes proposed
by Verhulst, when obtaining from the logistic model. Subsequently, these models were
extended to models that describe the interaction between two species, described by the
systems predator-prey and species competition for the same food. For an effective
understanding of these systems from the point of view of qualitative and quantitative, were
reviewed theories related to autonomous systems, linear as to the classification of solutions of
equilibrium and the behavior of the associated solutions. Still, it was discussed the process of
linearization of systems, non-linear, in order to understand the behavior of the solutions in
the vicinity of the solutions of the balance. For the realization of the qualitative analysis was
used the software GeoGebra and WxMaxima, which were fundamental to observe the
behavior of geometric solutions and comparison with the behavior of algebraic or quantitative
of the same. It is believed that the development of this work of conclusion of course gave
maturing the academic to the student and who can assist you in the definition of new paths to
follow in their professional career.
Keywords: Equations Autonomous. Models of Population Growth. Analyses Qualitative and
Quantitative.
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SUMRIO
1 INTRODUO ................................................................................................................. 7
2 EQUAES AUTNOMAS A UMA VARIVEL DEPENDENTE ........................ 10
2.1 MODELO DE MALTHUS ........................................................................................ 10
2.2 MODELO DE VERHULST ...................................................................................... 12
3 EQUAES AUTNOMAS A DUAS VARIVEIS DEPENDENTES ................... 16
3.1 SISTEMAS AUTNOMOS LINEARES ................................................................. 16
3.2 SISTEMAS AUTNOMOS NO-LINEARES ....................................................... 19
3.3 MODELO PREDADOR-PRESA .............................................................................. 21
3.4 MODELO DE ESPCIES EM COMPETIO ....................................................... 25
4 CONSIDERAES FINAIS ......................................................................................... 38
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 39
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1 INTRODUO
Ao cursar a disciplina Mtodos Matemticos do Curso de Matemtica Licenciatura no
ano de 2014, algumas equaes diferenciais ordinrias (EDO), como as equaes de Malthus
e Logstica, proposta por Verhulst, despertaram meu interesse. Como o objetivo desta
disciplina estudar mtodos analticos e numricos, de modo que ao final da mesma o aluno
seja capaz de aplic-los na resoluo de fenmenos relacionados a diversas reas do
conhecimento e do cotidiano modelados matematicamente, ao final da disciplina foi proposta
a elaborao e desenvolvimento de um projeto de Modelagem Matemtica, com tema a ser
escolhido pelos acadmicos individualmente ou em grupos. Para a resoluo do problema
proposto, os acadmicos deveriam utilizar os conhecimentos sobre EDO, mtodos numricos
e recursos tecnolgicos, adquiridos ao longo da disciplina. A partir do lanamento da
proposta, por ser uma rea que me interessa, procurei o Laboratrio de Melhoramento Animal
do Centro de Cincias Rurais (CCR), onde obtive dados relativos ao crescimento de bfalos.
A partir destas informaes, formulei o problema a ser pesquisado e ajustei os dados atravs
de dois modelos: Logstico e Gompertz, onde para a resoluo e comparao destes modelos
foi utilizado o mtodo dos mnimos quadrados e o software GeoGebra.
Esta disciplina despertou em mim uma maior curiosidade quanto a modelos de
crescimento populacional e assim, no primeiro semestre de 2015 me matriculei na Disciplina
Complementar de Graduao (DCG) Sistemas Dinmicos. A partir do desenvolvimento dos
contedos desta disciplina, particularmente a anlise qualitativa se mostrou interessante e, a
partir destas duas disciplinas, surgiu a proposta do tema deste Trabalho de Concluso de
Curso.
Alm disso, atravs desta pesquisa e aprofundamento de meus conhecimentos
relacionados s equaes diferenciais ordinrias, tenho a pretenso de posteriormente
ingressar em um programa de ps-graduao.
A pesquisa desenvolvida neste trabalho considerada exploratria e de natureza
bibliogrfica, pois tem o objetivo de gerar conhecimento atravs de bibliografias relacionado
a um tema especfico. No aspecto quantitativo, o interesse obter as solues analticas da
equao diferencial ou sistema de equaes diferenciais localmente lineares, via autovalores e
autovetores. Em relao ao aspecto qualitativo ser analisado o comportamento das solues,
considerando seu campo de direes e retrato de fase (ou plano de fase), utilizando os
softwares Wxmaxima e GeoGebra.
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No decorrer do Curso de Matemtica apresentada uma srie de modelos matemticos
ao acadmico, porm nem sempre realmente compreendido seu significado. Segundo
