Samuel Sonego Zimmermann - .ANÁLISE QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES AUTÔNOMAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CINCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE MATEMTICA LICENCIATURA

Samuel Sonego Zimmermann

ANLISE QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE

EQUAES NO-LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS

VARIVEIS DEPENDENTES

Santa Maria, RS

2016

Samuel Sonego Zimmermann

ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-

LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao

Curso de Matemtica Licenciatura, da

Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,

RS), como requisito parcial para obteno do

ttulo de Licenciado em Matemtica.

Orientadora: Prof. Dr. Sandra Eliza Vielmo

Santa Maria, RS

2016

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Samuel Sonego Zimmermann

ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-

LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao

Curso de Matemtica Licenciatura, da

Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,

RS), como requisito parcial para obteno do

ttulo de Licenciado em Matemtica.

Aprovado em 05 de julho de 2016:

Sandra Eliza Vielmo, Dra. (UFSM)

(Presidente/Orientadora)

Karine Faverzani Magnago , Dra. (UFSM)

Rosemaira Dalcin Copetti, Dra. (UFSM)

Santa Maria, RS

2016

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AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a Deus, pela sade e pela vida.

Aos meus pais Sadi Martin e Josete Maria, aos meus irmos Estevan e Elisa por

passarmos juntos os momentos bons e momentos ruins, pelo apoio e incentivo sempre nos

estudos.

A minha av Nadir por todo apoio e ajuda nas horas de necessidade, aquele amor de

av.

Minha namorada Denise, ao carinho, incentivos, que possamos realizar todos nossos

projetos futuros e esse j um.

E finalmente e no menos importante professora Sandra, pelas orientaes,

preocupaes, pacincia, contribuies e ensinamentos durante toda a construo deste

caminho que muitas vezes no foram fceis, na realizao deste trabalho.

4

RESUMO

ANLISES QUANTITATIVA E QUALITATIVA DE EQUAES NO-

LINEARES AUTNOMAS A UMA E DUAS VARIVEIS DEPENDENTES

AUTOROR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN

ORIENTADORA: SANDRA ELIZA VIELMO

Este trabalho tem por objetivo analisar quantitativa e qualitativamente alguns modelos de

dinmica populacional. Inicialmente foi analisado o modelo de Malthus e, a partir deste, as

alteraes propostas por Verhulst, quando da obteno do modelo logstico. Posteriormente,

estes modelos foram estendidos a modelos que descrevem interao entre duas espcies,

descritos pelos sistemas predador-presa e espcies em competio pelo mesmo alimento. Para

uma efetiva compreenso destes sistemas sob o ponto de vista qualitativo e quantitativo,

foram revistas as teorias relacionadas a sistemas autnomos lineares quanto classificao de

suas solues de equilbrio e comportamento das solues associadas. Ainda, foi abordado o

processo de linearizao de sistemas no-lineares, de modo a compreender o

comportamento das solues nas vizinhanas das solues de equilbrio. Para a realizao da

anlise qualitativa foi utilizado os softwares GeoGebra e WxMaxima, os quais foram

fundamentais para observar o comportamento geomtrico das solues e comparao com o

comportamento algbrico ou quantitativo das mesmas. Acredita-se que o desenvolvimento

deste trabalho de concluso de curso proporcionou amadurecimento acadmico ao aluno e que

poder auxili-lo na definio de novos caminhos a seguir em sua trajetria profissional.

Palavras-chaves: Equaes Autnomas. Modelos de Crescimento Populacional. Anlises

Qualitativa e Quantitativa.

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ABSTRACT

QUANTITATIVE AND QUALITATIVE ANALYSIS OF NONLINEAR

AUTONOMOUS EQUATIONS A ONE AND TWO VARIABLE DEPENDENT

AUTHOR: SAMUEL SONEGO ZIMMERMANN

ADVISOR: SANDRA ELIZA VIELMO

This work aims to analyze quantitative and qualitatively some models of population

dynamics. Initially it was analyzed the model of Malthus and, from this, the changes proposed

by Verhulst, when obtaining from the logistic model. Subsequently, these models were

extended to models that describe the interaction between two species, described by the

systems predator-prey and species competition for the same food. For an effective

understanding of these systems from the point of view of qualitative and quantitative, were

reviewed theories related to autonomous systems, linear as to the classification of solutions of

equilibrium and the behavior of the associated solutions. Still, it was discussed the process of

linearization of systems, non-linear, in order to understand the behavior of the solutions in

the vicinity of the solutions of the balance. For the realization of the qualitative analysis was

used the software GeoGebra and WxMaxima, which were fundamental to observe the

behavior of geometric solutions and comparison with the behavior of algebraic or quantitative

of the same. It is believed that the development of this work of conclusion of course gave

maturing the academic to the student and who can assist you in the definition of new paths to

follow in their professional career.

Keywords: Equations Autonomous. Models of Population Growth. Analyses Qualitative and

Quantitative.

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SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................................................. 7

2 EQUAES AUTNOMAS A UMA VARIVEL DEPENDENTE ........................ 10

2.1 MODELO DE MALTHUS ........................................................................................ 10

2.2 MODELO DE VERHULST ...................................................................................... 12

3 EQUAES AUTNOMAS A DUAS VARIVEIS DEPENDENTES ................... 16

3.1 SISTEMAS AUTNOMOS LINEARES ................................................................. 16

3.2 SISTEMAS AUTNOMOS NO-LINEARES ....................................................... 19

3.3 MODELO PREDADOR-PRESA .............................................................................. 21

3.4 MODELO DE ESPCIES EM COMPETIO ....................................................... 25

4 CONSIDERAES FINAIS ......................................................................................... 38

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 39

7

1 INTRODUO

Ao cursar a disciplina Mtodos Matemticos do Curso de Matemtica Licenciatura no

ano de 2014, algumas equaes diferenciais ordinrias (EDO), como as equaes de Malthus

e Logstica, proposta por Verhulst, despertaram meu interesse. Como o objetivo desta

disciplina estudar mtodos analticos e numricos, de modo que ao final da mesma o aluno

seja capaz de aplic-los na resoluo de fenmenos relacionados a diversas reas do

conhecimento e do cotidiano modelados matematicamente, ao final da disciplina foi proposta

a elaborao e desenvolvimento de um projeto de Modelagem Matemtica, com tema a ser

escolhido pelos acadmicos individualmente ou em grupos. Para a resoluo do problema

proposto, os acadmicos deveriam utilizar os conhecimentos sobre EDO, mtodos numricos

e recursos tecnolgicos, adquiridos ao longo da disciplina. A partir do lanamento da

proposta, por ser uma rea que me interessa, procurei o Laboratrio de Melhoramento Animal

do Centro de Cincias Rurais (CCR), onde obtive dados relativos ao crescimento de bfalos.

A partir destas informaes, formulei o problema a ser pesquisado e ajustei os dados atravs

de dois modelos: Logstico e Gompertz, onde para a resoluo e comparao destes modelos

foi utilizado o mtodo dos mnimos quadrados e o software GeoGebra.

Esta disciplina despertou em mim uma maior curiosidade quanto a modelos de

crescimento populacional e assim, no primeiro semestre de 2015 me matriculei na Disciplina

Complementar de Graduao (DCG) Sistemas Dinmicos. A partir do desenvolvimento dos

contedos desta disciplina, particularmente a anlise qualitativa se mostrou interessante e, a

partir destas duas disciplinas, surgiu a proposta do tema deste Trabalho de Concluso de

Curso.

Alm disso, atravs desta pesquisa e aprofundamento de meus conhecimentos

relacionados s equaes diferenciais ordinrias, tenho a pretenso de posteriormente

ingressar em um programa de ps-graduao.

A pesquisa desenvolvida neste trabalho considerada exploratria e de natureza

bibliogrfica, pois tem o objetivo de gerar conhecimento atravs de bibliografias relacionado

a um tema especfico. No aspecto quantitativo, o interesse obter as solues analticas da

equao diferencial ou sistema de equaes diferenciais localmente lineares, via autovalores e

autovetores. Em relao ao aspecto qualitativo ser analisado o comportamento das solues,

considerando seu campo de direes e retrato de fase (ou plano de fase), utilizando os

softwares Wxmaxima e GeoGebra.

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No decorrer do Curso de Matemtica apresentada uma srie de modelos matemticos

ao acadmico, porm nem sempre realmente compreendido seu significado. Segundo