SARMENTO BATISTA ANTÓNIO MANUEL MATEMÁTICA … · Como ponto de partida, exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis

OBRAS DO MESMO AUTOR:

A GESTÃO DO CRÉDITO COMO VANTAGEM COMPETITIVA

COMO EVITAR E RECUPERAR CRÉDITO MALPARADO

CREDIT SCORING

REGRESSÃO LOGÍSTICA

O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte em aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora.

A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e métodos quantitativos de análise e gestão financeira.

Como ponto de partida, exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas.

Por toda a extensão dos capítulos são desenvolvidas, em termos matemáticos, as fórmulas que são utilizadas na resolução de casos práticos. Desde a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, apuramento de taxas e juros, cálculo e determinação de rendas, este livro contempla as matérias normalmente lecionadas nos cursos superiores desta unidade curricular, constituindo um manual de referência para estudantes e professores.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

www.vidaeconomica.pt

Visite-nos emlivraria.vidaeconomica.pt

ISBN: 978-989-768-453-1

9 789897 684531

ISBN 978-989-768-453-1

MÁTICA ANCEIRA

ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA

O valor do dinheiro ao longo do tempo

2ª edição


É Doutorado em Gestão Empresarial Apli-cada pelo ISCTE-IUL, Mestre em Gestão (MBA) pelo ISEG-UTL e Auditor de Siste-mas da Gestão da Qualidade pelo Institu-to Superior de Ciências da Saúde-Sul.

Como docente, leciona Cálculo Financei-ro na Universidade Europeia | Laureate International Universities, entre outras matérias das Ciências Empresariais.

O autor tem um longo percurso profissio-nal e académico que lhe tem facultado cotejar a realidade observada no tecido empresarial com os conteúdos progra-máticos do Ensino Superior, conciliando--os com as atuais expectativas e necessi-dades da globalização laboral.

Tem diversos artigos publicados, desde 1995, sobre a temática do crédito e obras que tratam o mesmo tema, nomeada-mente “A Gestão do Crédito como Vanta-gem Competitiva”, “Como Evitar e Recu-perar Crédito Malparado”, “Credit Scoring”, “Regressão Logística”, entre outros.

Dedica-se à investigação científica na área do risco do crédito e desenvolve e analisa projetos de investimento em di-versos setores da atividade económica.

MATEM

ÁTICA FINANCEIRAO

valor do dinheiro ao longo do tempo

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SARM

ENTO

BATISTA

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Nota de Apresentação ................................................................................................................. 23

Prefácio à 2ª Edição ..................................................................................................................... 27

I - Introdução ............................................................................................................................... 31

II - Capitalização simples ............................................................................................................ 33 2.1 Introdução ........................................................................................................................ 35 2.2 Fórmula geral da capitalização simples ........................................................................ 36 2.3 Cálculo do capital inicial .................................................................................... 37 2.4 Cálculo do juro .......................................................................................................... 38 2.5 Cálculo do tempo (n) ..................................................................................................... 39 2.6 Cálculo da taxa de juro (i) ............................................................................................ 40 2.7 Cálculo da taxa de juro média em capitalização simples ........................................... 41 2.8 Equivalência de capitais no regime de capitalização simples .................................... 43 2.9 Fracionamento da taxa de juro ...................................................................................... 46 2.10 Equivalência de taxas em capitalização simples ....................................................... 47 2.11 Ano comercial e ano civil ............................................................................................. 49 2.12 Relação entre o juro comercial e o juro civil ............................................................. 50 2.13 Juros de vários capitais. Método do divisor fi xo ...................................................... 52 2.14 Estudo analítico e representação gráfi ca da função capitalização simples ........... 53 EXERCÍCIOS – Capitalização simples ............................................................................. 55

III - Desconto simples ................................................................................................................ 73 3.1 Introdução ........................................................................................................................ 75 3.2 Juro simples ...................................................................................................................... 76 3.3 Desconto por dentro, desconto racional, desconto verdadeiro ou desconto matemático (Regime de juro simples) .......................................................................... 76 3.4 Desconto por fora ou desconto bancário (regime de juro simples) ........................ 78 3.5 Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro .......................... 81 3.6 Relação entre o desconto por fora e o desconto por dentro.................................... 82


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3.7 Estudo analítico e representação gráfi ca das funções desconto por fora e desconto por dentro (juro simples) ............................................................................................... 85 3.8 Equivalência de taxas na negociação de efeitos comerciais ...................................... 88 3.9 Desconto de vários capitais. Método do divisor fi xo ................................................ 90 3.10 Vencimento comum e vencimento médio ................................................................ 93 3.11 Produto líquido na negociação de efeitos comerciais. Desconto de letras .......... 100 3.12 Desconto forfait .............................................................................................................. 104 3.13 Cálculo do forfait ............................................................................................................ 105 EXERCÍCIOS – Desconto simples ................................................................................... 109

IV – Capitalização composta...................................................................................................... 129 4.1 Introdução ........................................................................................................................ 131 4.2 Fórmula geral da capitalização composta .................................................................... 131 4.3 Cálculo do capital inicial ..................................................................................... 133 4.4 Cálculo do tempo .................................................................................................. 134 4.5 Cálculo da taxa de juro .......................................................................................... 136 4.6 Cálculo do juro composto (J)........................................................................................ 137 4.7 Cálculo .............................................................................................................................. 138 4.8 Equivalência de capitais em capitalização composta ................................................. 139 4.9 Capitalização composta para períodos ......................................................................... 142 4.10 Convenção exponencial e linear ................................................................................. 144 4.11 Interpolação linear e convenção linear ...................................................................... 145 4.12 Estudo analítico e representação gráfi ca da função de capitalização composta . 146 4.13 Interpolação direta e inversa ....................................................................................... 148 4.14 Comparação entre capitalização simples e capitalização composta ...................... 152 4.15 Fracionamento da taxa de juro.................................................................................... 153 4.16 Equivalência de taxas em capitalização composta ................................................... 154 4.17 Taxa equivalente e taxa proporcional. Conclusões .................................................. 156 4.18 Taxa nominal ....................................................................................................... 157 EXERCÍCIOS - Capitalização composta .......................................................................... 164

V - Desconto composto.............................................................................................................. 185 5.1 Introdução ........................................................................................................................ 187 5.2 Desconto por dentro, desconto racional ou desconto matemático (Regime de juro composto) ........................................................................................................... 188 5.3 Desconto por fora ou desconto comercial (Regime de juro composto) ................ 189 5.4 Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro (Regime de juro composto) ........................................................................................................... 191 5.5 Estudo analítico e representação gráfi ca comparada das funções de desconto por fora e o desconto por dentro ..................................................... 193 5.5.1 Desconto por fora ................................................................................................. 193

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5.5.2 Desconto por dentro ............................................................................................ 194 5.6 Equivalência entre taxa de juro de negociação o e taxa de juro efetiva . 195 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 199

VI - Rendas ................................................................................................................................... 203 6.1 Conceito de renda ........................................................................................................... 209 6.2 Classifi cação das rendas ................................................................................................. 209 6.3 Considerações gerais ....................................................................................................... 212 6.4 Rendas constantes ........................................................................................................... 213 6.4.1 Rendas constantes inteiras .................................................................................... 214 6.4.1.1 Inteiras temporárias ..................................................................................... 214 6.4.1.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 214 6.4.1.1.1 A - Valor atual .......................................................................................... 214 6.4.1.1.1 B – Valor fi nal .......................................................................................... 229 6.4.1.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 239 6.4.1.1.2 A – Valor atual ......................................................................................... 239 6.4.1.1.2 B – Valor fi nal ........................................................................................... 243 6.4.1.1.3 Diferida postecipada ................................................................................. 244 6.4.1.1.3 A – Valor atual........................................................................................... 245 6.4.1.1.3 B – Valor fi nal .......................................................................................... 247 6.4.1.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 249 6.4.1.1.4 A – Valor atual ......................................................................................... 249 6.4.1.1.4 B – Valor fi nal .......................................................................................... 250 6.4.1.2 Inteiras perpétuas ......................................................................................... 254 6.4.1.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 254 6.4.1.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 254 6.4.1.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 255 6.4.1.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 255 6.4.1.2.3 Diferida postecipada ................................................................................. 256 6.4.1.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 256 6.4.1.2.4 Diferida antecipada .................................................................................. 257 6.4.1.2.4 A – Valor atual ......................................................................................... 257 6.4.2 Rendas constantes fracionadas ............................................................................ 258 6.4.2.1 Fracionadas temporárias ............................................................................. 258 6.4.2.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 258 6.4.2.1.1 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................. 260 6.4.2.1.1 A2 – Valor atual em função da taxa de juro (i) ................................... 261 6.4.2.1.1 B1 – Valor fi nal em função da taxa de juro (ik) .................................. 264 6.4.2.1.1 B2 - Valor fi nal em função da taxa de juro (i) ..................................... 266 6.4.2.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 267


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6.4.2.1.2 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................. 268 6.4.2.1.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 269 6.4.2.1.2 B1 - Valor fi nal em função da taxa de juro (ik) ................................... 270 6.4.2.1.2 B2 - Valor fi nal em função da taxa de juro ........................................... 271 6.4.2.1.3 Diferida postecipada ................................................................................. 274 6.4.2.1.3 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................ 274 6.4.2.1.3 A2 – Valor atual em função da taxa de juro (i) ................................... 275 6.4.2.1.3 B1 – Valor fi nal em função da taxa de juro (ik) ................................. 277 6.4.2.1.3 B2 – Valor fi nal em função da taxa de juro (i) .................................... 278 6.4.2.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 280 6.4.2.1.4 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................ 280 6.4.2.1.4 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 282 6.4.2.1.4 B1– Valor fi nal em função da taxa de juro (ik).................................... 283 6.4.2.1.4 B2– Valor fi nal em função da taxa de juro (ik).................................... 285 6.4.2.2 Fracionada perpétua .................................................................................... 287 6.4.2.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 287 6.4.2.2.1 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 287 6.4.2.2.1 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 287 6.4.2.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 288 6.4.2.2.2 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 288 6.4.2.2.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 288 6.4.2.2.3 Diferida postecipada ................................................................................. 289 6.4.2.2.3 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 289 6.4.2.2.3 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 289 6.4.2.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 290 6.4.2.2.4 A1- Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................... 290 6.4.2.2.4 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 290 6.4.3 Rendas constantes com periodicidade superior a 1 ano .................................. 290 6.4.3.1 Rendas temporárias ...................................................................................... 291 6.4.3.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 291 6.4.3.1.1 A1- Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................... 291 6.4.3.1.1 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 293 6.4.3.1.1 B1– Valor fi nal em função da taxa de juro (ik).................................... 294 6.4.3.1.1 B2– Valor fi nal em função da taxa de juro (ik).................................... 295 6.4.3.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 295 6.4.3.1.2 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) .............................. 295 6.4.3.1.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 296 6.4.3.1.2 B1- Valor fi nal em função da taxa de juro (i (h)) ................................ 296 6.4.3.1.2 B2 - Valor fi nal em função da taxa de juro (i) ..................................... 297

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6.4.3.1.3 Diferida postecipada ................................................................................. 297 6.4.3.1.3 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 297 6.4.3.1.3 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ...................................... 298 6.4.3.1.3 B1 Valor fi nal em função da taxa de juro (i (h)) .................................. 298 6.4.3.1.3 B2 Valor fi nal em função da taxa de juro (i) ....................................... 299 6.4.3.1.4 Diferida antecipada .................................................................................. 300 6.4.3.1.4 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 300 6.4.3.1.4 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ....................................... 300 6.4.3.1.4 B1 Valor fi nal em função da taxa de juro (i (h)) .................................. 301 6.4.3.1.4 B2 Valor fi nal em função da taxa de juro (i) ....................................... 302 6.4.3.2 Rendas perpétuas ......................................................................................... 302 6.4.3.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 302 6.4.3.2.1 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 302 6.4.3.2.1 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ....................................... 303 6.4.3.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 304 6.4.3.2.2 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 304 6.4.3.2.2 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ....................................... 304 6.4.3.2.3 Diferida postecipada ................................................................................. 305 6.4.3.2.3 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 305 6.4.3.2.3 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ....................................... 305 6.4.3.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 306 6.4.3.2.4 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 306 6.4.3.2.4 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ....................................... 306 6.5 Rendas anuais variáveis ................................................................................................... 307 6.5.1 Renda anual variável em progressão aritmética ................................................ 307 6.5.1.1 Temporárias .................................................................................................. 307 6.5.1.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 307 6.5.1.1.1 A – Valor atual........................................................................................... 307 6.5.1.1.1 B – Valor fi nal ........................................................................................... 311 6.5.1.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 314 6.5.1.1.2 A - Valor atual ........................................................................................... 314 6.5.1.1.2 B - Valor fi nal ............................................................................................ 315 6.5.1.1.3 Diferida postecipada ................................................................................. 316 6.5.1.1.3 A - Valor atual ........................................................................................... 316 6.5.1.1.3 B – Valor fi nal ........................................................................................... 316 6.5.1.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 317 6.5.1.1.4 A – Valor atual........................................................................................... 317 6.5.1.1.4 B – Valor fi nal ........................................................................................... 318 6.5.1.2 Perpétuas ...................................................................................................... 319 6.5.1.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 319


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6.5.1.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 319 6.5.1.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 321 6.5.1.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 321 6.5.1.2.3 Diferida postecipada ................................................................................. 321 6.5.1.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 321 6.5.1.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 321 6.5.1.2.4 A – Valor atual........................................................................................... 321 6.5.2 Renda anual variável em progressão geométrica ..................................................... 322 6.5.2.1 Temporárias .................................................................................................. 322 6.5.2.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 322 6.5.2.1.1 A – Valor atual........................................................................................... 322 6.5.2.1.1 B – Valor fi nal ........................................................................................... 326 6.5.2.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 327 6.5.2.1.2 A - Valor atual ........................................................................................... 327 6.5.2.1.2 B - Valor fi nal ............................................................................................ 327 6.5.2.1.3 Diferida postecipada ................................................................................. 328 6.5.2.1.3 A - Valor atual ........................................................................................... 328 6.5.2.1.3 B – Valor fi nal ........................................................................................... 328 6.5.2.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 329 6.5.2.1.4 A – Valor atual........................................................................................... 329 6.5.2.1.4 B – Valor fi nal ........................................................................................... 329 6.5.2.2 Perpétuas ...................................................................................................... 333 6.5.2.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 333 6.5.2.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 333 6.5.2.2.2 Imediata antecipada ........................................................................................ 335 6.5.2.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 335 6.5.2.2.3 Diferida postecipada ................................................................................. 336 6.5.2.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 336 6.5.2.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 337 6.5.2.2.4 A – Valor atual........................................................................................... 337 EXERCÍCIOS - Rendas ....................................................................................................... 349

VII - Amortização de empréstimos .......................................................................................... 405 Introdução .............................................................................................................................. 409 7.1 Amortização integral de capital no fi m do período ................................................... 411 7.1.1 Amortização integral de capital e juros no fi m do período ............................ 411 7.1.2 Amortização integral de capital no fi m do período com pagamento periódico de juros ..................................................................................................... 412 7.2 Amortização antecipada do capital e juros, em um determinado momento h ...... 414 7.2.1 Amortização antecipada e integral de capital e juros em um determinado momento h......................................................................................... 414

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7.2.1.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa do empréstimo (i' ≥ i) ............................................................................................ 414 7.2.1.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 415 7.2.2 Amortização antecipada e parcial de capital e juros em um determinado momento h ................................................................................................................ 416 7.2.2.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i) ............................................................................... 416 7.2.2.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 419 7.3 Amortização antecipada do capital com pagamento periódico de juros ................ 422 7.3.1 Amortização total .................................................................................................. 422 7.3.1.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i) ............................................................................... 422 7.3.1.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 422 7.3.2 Amortização parcial .............................................................................................. 423 7.3.2.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i) ............................................................................... 423 7.3.2.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 423 7.4 Amortização mediante uma renda ................................................................................ 429 7.4.1 Sistema francês ou de amortização progressiva ................................................ 430 7.4.1.1 Tabela de amortização de um empréstimo ............................................. 431 7.4.1.2 Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização ................................ 434 7.4.1.3 Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual, constante e diferida em p anos e postecipada ...................................................... 439 7.4.1.4 Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada ................................................................................................ 443 7.4.2 Amortização de empréstimos mediante quotas de amortização constantes 446 7.4.2.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização .................................... 447 7.4.3 Amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) ...... 450 7.4.3.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização .................................... 453 7.4.4 Fundo de amortização (Sistema americano) ..................................................... 462 7.4.4.1 Cálculo dos elementos da tabela de reconstrução .................................. 464 7.5 Usufruto de um empréstimo , propriedade plena, nua propriedade e domínio direto ................................................................................................................................. 467 7.5.1 Algumas defi nições genéricas em termos não fi nanceiros .............................. 467 7.5.2 Reserva matemática, valor ou plena propriedade de um empréstimo ........... 469


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7.5.3 Cálculo da nua propriedade (NPh) ..................................................................... 471 7.5.3.1 Cálculo da nua propriedade pelo sistema francês ................................... 471 7.5.3.2 Cálculo da nua propriedade mediante quotas de amortização constantes .................................................................................................................. 473 7.5.3.3 Cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão ................................... 475 7.5.4 Cálculo do usufruto (Uh) .................................................................................... 476 7.5.4.1 Cálculo do usufruto pelo sistema francês ................................................ 476 7.5.4.2 Cálculo do usufruto mediante quotas de amortização constantes ....... 476 7.5.4.3 Cálculo do usufruto pelo sistema alemão ................................................ 477 EXERCÍCIOS – Amortização de empréstimos ............................................................... 481

VIII - Empréstimos por obrigações.......................................................................................... 491 8.1 Introdução ........................................................................................................................ 493 8.2 Amortização de um empréstimo obrigacionista mediante uma renda anual constante ........................................................................................................................... 496 8.2.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização de um empréstimo obrigacionista que se amortiza mediante uma renda anual constante .............. 497 8.2.2 Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização de um empréstimo por obrigações ........................................................................................................... 501 8.3 Amortização de um empréstimo por obrigações com prémio de reembolso constante .................................................................................................. 507 8.4 Empréstimo obrigacionista amortizável ao par com prémio anual de lote constante ........................................................................................................................... 513 8.5 Empréstimo obrigacionista amortizável com prémio de reembolso e lote anual constante ................................................................................................................ 518 8.6 Empréstimo obrigacionista amortizável ao par mediante quotas de amortização constantes ............................................................................................. 520

IX - Taxa de juro efetiva de um empréstimo ........................................................................... 525 9.1 Introdução ........................................................................................................................ 527 9.2 Taxa efetiva de rendimento de um empréstimo ......................................................... 527 9.2.1 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fi m de n anos ....................................................................................... 528 9.2.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros ....................................................................... 533 9.3 Taxa efetiva do custo de um empréstimo .................................................................... 536 9.3.1 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fi m de n anos ....................................................................................... 536 9.3.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros ....................................................................... 539

ÍNDICE

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9.4 Cálculo do custo efetivo de empréstimos nas operações bancárias mais comuns 541 9.4.1 Empréstimo amortizado com reembolso único de capital e pagamento antecipado de juros ................................................................................................... 541 9.4.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento periódico de juros ............................................................................. 544 9.4.3 Empréstimo amortizado mediante pagamentos periódicos constantes ...... 548 9.4.4 Empréstimo amortizado mediante quotas de amortização constantes......... 552

Tabelas ..................................................................................................................................... 557

Anexos ..................................................................................................................................... 577

Bibliografi a .................................................................................................................................... 585

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Representação esquemática do fator de capitalização aplicado ao capital inicial , em regime de juro simples ............................... 36Figura 2 – Vários capitais aplicados a diferentes taxas de juro ......................................... 41Figura 3 – Vários capitais aplicados à mesma taxa de juro ............................................... 41Figura 4 – Atualização dos capitais e à taxa de juro anual simples ........................ 43Figura 5 - No momento o capital sendo capitalizado e o capital sendo atualizado ambos à mesma taxa de juro , se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes ............................................................................................... 44Figura 6 - No momento os capitais e capitalizados à mesma taxa de juro , se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes ........................................ 44Figura 7 – Representação esquemática do fator de capitalização de um capital em regime de juro simples .......................................................................................................... 75Figura 8 - Representação esquemática do fator de atualização de um capital, em regime de juro simples .......................................................................................................... 76Figura 9 - Representação esquemática do desconto por dentro (racional) de um capital, em regime de juro simples ....................................................................................... 77Figura 10 - Representação esquemática do desconto por fora dado pela diferença entre e .............................................................................................................. 80Figura 11 - Representação esquemática do desconto por fora ............................................. 80Figura 12 - Desconto por fora dado pela capitalização do desconto por dentro pelo fator de capitalização simples ........................................................................ 82Figura 13 - O desconto por dentro é igual ao produto do desconto por fora pelo fator de atualização simples ............................................................................................. 83Figura 14 - Representação esquemática do efeito da aplicação da taxa de juro efetiva ao valor atual de um efeito comercial .................................................................... 88Figura 15 - Valores nominais das letras cujos vencimentos são: respetivamente .. 93Figura 16 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra ............................................................ 94Figura 17 - Letra única que substitui o conjunto anterior ..................................................... 95


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Figura 18 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra ............................................................ 96Figura 19 - Letra única que substitui o conjunto anterior (Fig. 16) ...................................... 96Figura 20 - Representação esquemática do efeito do fator de capitalização em regime de juro composto ...................................................................................................... 132Figura 21 - Representação esquemática da atualização de um capital através do factor de atualização ............................................................................ 134Figura 22 - Vários capitais aplicados a diferentes taxas de juro em regime de juro composto ...................................................................................................... 138Figura 23 - Vários capitais aplicados à mesma taxa de juro i , em regime de juro composto ... 138Figura 24 - Representação esquemática da equivalência de capitais em dois momentos diferentes, no momento n ...................................................................................... 140Figura 25 - Capitais equivalentes no momento n.................................................................... 140Figura 26 - Capitais equivalentes no momento n.................................................................... 141Figura 27- Representação esquemática da capitalização, em regime de juro composto ... 187Figura 28 - Representação esquemática do desconto, em regime de juro composto ........ 188Figura 29 - Representação esquemática do desconto por dentro ou desconto racional ... 189Figura 30 - Representação esquemática do desconto comercial, em regime de juro composto ................................................................................................................... 191Figura 31 - Representação esquemática da capitalização do valor atual de um efeito comercial ......................................................................................................... 196Figura 32 – Representação esquemática de rendas segundo o vencimento do primeiro pagamento ................................................................................................................ 212Figura 33 – Representação esquemática do valor atual de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos atualizados no momento zero ......... 213Figura 34 – Representação esquemática do valor fi nal de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos capitalizados no momento n ........ 213Figura 35 – Representação esquemática do valor atual de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados 214Figura 36 – Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento zero, através do fator ...................................... 216Figura 37 – Representação esquemática do termo não inteiro no momento .................... 224Figura 38 - Representação esquemática da atualização e capitalização de um capital no momento em regime de juro simples, para o momento n e para o momento respetivamente................................................................ 226Figura 39 – Representação esquemática do valor fi nal de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados 229Figura 40 – Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento n, através do fator de capitalização ............... 231

ÍNDICE FIGURAS

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Figura 41 - Fator de capitalização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator de capitalização .............................................. 238Figura 42 - Fator de atualização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator atualização ....................................................... 238Figura 43 - Diagrama cronológico de um conjunto de n capitais, cujo primeiro vencimento tem lugar no momento zero ............................................................. 239Figura 44 - Representação esquemática da transferência dos termos de uma renda constante, inteira imediata de n termos antecipados para o momento zero ... 240Figura 45 – Representação esquemática da renda diferida postecipada .............................. 245Figura 46 – Representação esquemática do valor da renda no momento “p” ................... 246Figura 47 – Representação esquemática da transferência do valor da renda do momento “p” para o momento zero. Convencionou-se utilizar para as rendas diferidas o símbolo que antecede o símbolo do valor atual ......................... 246Figura 48 – Representação esquemática de uma renda diferida com termos antecipados, com diferimento de p períodos ............................................................................ 249Figura 49 – Representação esquemática do valor fi nal de uma renda diferida, com termos antecipados ........................................................................................ 250Figura 50 – Representação esquemática de uma renda perpétua de termos antecipados 255Figura 51 - Renda diferida postecipada de termos infi nitos .................................................. 256Figura 52 - Renda diferida antecipada de termos infi nitos .................................................... 257Figura 53 – Renda fracionada temporária imediata e postecipada ....................................... 258Figura 54 – Renda fracionada temporária imediata e antecipada ......................................... 267Figura 55 – Ilustração do valor atual da renda antecipada se lhe tivesse sido aplicado ............................................................................................................ 268Figura 56 – Ilustração da capitalização de para o momento zero ................................. 268Figura 57 – Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada .. 274Figura 58 - Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada, em função da taxa de juro anual i .......................................................................... 275Figura 59 – Representação esquemática de uma renda fracionada diferida antecipada .... 280Figura 60 - Representação esquemática da renda constante com periodicidade superior ao ano (h > 1) ......................................................................................................... 291Figura 61 - Representação esquemática de uma renda em progressão aritmética de razão ρ 307Figura 62 - Decomposição de uma renda de em progressão aritmética de razão ρ .......... 308Figura 63 - Diagrama cronológico de uma renda anual perpétua variável em progressão aritmética ................................................................................................................... 319Figura 64 - Diagrama cronológico de uma renda anual variável em progressão geométrica.... 322Figura 65 - Cancelamento antecipado total de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros .................... 423Figura 66 - Amortização antecipada para de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros .................... 424


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Figura 67 - O valor de capitalizado à taxa de juro de mercado por períodos .. 425Figura 68 - Os juros anuais e que agora serão valorizados ao momento n à taxa de juro do mercado ............................................................................................. 425Figura 69 - O saldo que fi ca pendente de amortização .................................................... 425Figura 70 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda, cujos termos são iguais 430Figura 71 - Representação esquemática da amortização progressiva de um empréstimo pelo sistema francês: 431Figura 72 - Representação esquemática da amortização de um empréstimo, mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada, em que durante os anos de diferimento pagam-se apenas os juros ............................................... 440Figura 73 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada em que durante os anos que perdura o diferimento não se pagam juros ................................................................................................... 440Figura 74 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada 443Figura 75 - Atualização de uma renda de termos k-esimais .................................................... 444Figura 76 - Representação esquemática da amortização mediante quotas de amortização constantes .................................................................................................................. 446Figura 77 - Representação esquemática de amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) ................................................................................. 451Figura 78 - Valor no momento h de todas as quotas de reconstrução destinadas ao fundo e valoradas à taxa de juro ................................................................................ 465Figura 79 - Representação esquemática de plena propriedade ou reserva matemática, e nua propriedade ..................................................................................................... 468Figura 80 - Representação esquemática do valor de um empréstimo, no momento h ..... 469Figura 81 - Representação esquemática de um empréstimo amortizável por quotas constantes ................................................................................................................. 474Figura 82 - Representação cronológica da determinação da nua-propriedade de um empréstimo amortizável por quotas constantes .................................................. 474Figura 83 - Representação cronológica do cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão ......................................................................................................................... 475

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ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfi co 1 - Representação gráfi ca da função monótona crescente, ilustrativa da capitalização, em regime de juro simples ......................................................... 54Gráfi co 2 - O desconto por dentro por muito grande que seja n nunca atingirá o valor nominal, o que prova a racionalidade deste desconto ........................... 87Gráfi co 3 - Representação gráfi ca da função de capitalização composta ............................ 132Gráfi co 4 - Função ........................................................................................................ 148Gráfi co 5 - Representação gráfi ca conjunta da capitalização simples e composta ............ 153Gráfi co 6 - Representação gráfi ca das funções do e do em regime de juro composto ................................................................................................................... 195

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ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Períodos de tempo e respetivos k-esimos ............................................................ 48Tabela 2 - Ilustração do cálculo de juro simples utilizando o divisor fi xo (D) e Números 53Tabela 3 – Ilustração do cálculo do desconto por fora utilizando o divisor fi xo e Números ............................................................................................................ 92Tabela 4 - Dedução da fórmula de capitalização composta .......................... 131Tabela 5 - Comparação entre capitalização simples e capitalização composta ................... 152Tabela 6 - Fracionamento da taxa de juro ................................................................................ 154Tabela 7 - Dedução da expressão analítica do valor atual ou valor efetivo de um efeito comercial .................................................................................................................... 190Tabela 8 – Classifi cação das rendas ........................................................................................... 210Tabela 9 – Soma dos termos da progressão geométrica decrescente .................................. 215Tabela 10 – Soma dos termos da progressão geométrica crescente .................................... 230Tabela 11 - Fórmula resolvente da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente ........................................................................................... 452

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NOTA DE APRESENTAÇÃO

O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte para aplicações profi ssionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora.

A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e de métodos quantitativos de análise e gestão financeira.

Este livro resultou do meu trabalho de docente, que teve como suporte um con-junto alargado de fontes bibliográficas que versam esta temática, e do inestimável contributo dos meus alunos. Estes, através de questões e dúvidas sobre o desenvolvi-mento de certas matérias, ensinaram-me a expor os mesmos temas através de abor-dagens mais simples e compreensíveis, sem abandonar o rigor técnico e científico dos seus conteúdos.

Uma das dificuldades mais evidenciadas, atualmente, pelos estudantes incide so-bre o desenvolvimento matemático e das suas transições no prosseguimento do mé-todo dedutivo, que me conduziu a apresentar todas as passagens, mesmo aquelas que parecem demasiado evidentes, que por certo serão para alguns, mas não serão para todos.

Com a publicação do Decreto-Lei 64/2006, de 21 de março, que regula o acesso ao ensino superior por maiores de 23 anos, novos desafios foram colocados aos professores no ensino ministrado a estudantes, os quais já não têm muito presentes estas matérias. Esta constatação tem constituído algumas barreiras à aprendizagem e assimilação das noções básicas da matemática, dentro dos calendários dos períodos letivos, destinados à unidade curricular de Cálculo Financeiro.


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Este livro tenta mitigar algumas dessas dificuldades, apresentando através de figu-ras, gráficos e tabelas os suportes das explicações teóricas que lhes permitem uma aprendizagem mais célere.

Como ponto de partida, apresenta-se o alcance que exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas.

O Capítulo I trata a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, e terá sempre como objetivo uma recompensa. A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. Este, produzido pela aplicação de certas re-gras financeiras, gerará um novo capital e cujo processo se designa por capitalização.

O Capítulo II trata a capitalização simples, deduzindo-se a sua fórmula geral e através dela a possibilidade de cálculo do capital inicial, do juro, do tempo e da taxa de juro.

O Capítulo III versa sobre o conceito oposto ao da capitalização ou desconto, matéria muito utilizada nas práticas bancárias no desconto de letras. Aqui introdu-zem-se os conceitos de desconto por fora, desconto bancário ou desconto comercial e o desconto por dentro, ou desconto racional.

O Capítulo IV regressa à capitalização, mas desta vez à capitalização composta, ca-racterizada por acumular ao capital principal os juros, produzindo juros cada vez maiores, nos sucessivos períodos de tempo.

O Capítulo V introduz o desconto composto, que, sendo o oposto à capitalização composta, traduz a transferência de um capital de um momento a outro anterior, utilizando a taxa de juro composto, no seu processo de atualização desse capital.

O Capítulo VI estuda as rendas que constituem um conjunto de capitais financei-ros cujos vencimentos são equidistantes, isto é, que se vencem com a mesma perio-dicidade. Aqui, classificam-se as rendas segundo a sua natureza, periodicidade, ven-cimento do primeiro pagamento, número de termos e ainda segundo o seu regime de capitalização. Neste capítulo, utilizam-se certos símbolos próprios de notação da matemática financeira e cuja finalidade é a de abreviar e resumir uma série de cálculos financeiros que estão já traduzidos em tabelas financeiras, evitando um conjunto de cálculos necessários à sua determinação. São exemplos desta notação os símbolos

entre outros, e cuja explicação será encontrada no desenvolvimento des-te capítulo.

O Capítulo VII trata a amortização de empréstimos, quer por reembolso único, quer por reembolso parcial do capital emprestado, e as equivalências nos resultados finais,

NOTA DE APRESENTAÇÃO

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derivadas do momento em que se introduzem alterações de amortização antecipada nos contratos inicialmente acordados entre o mutuante e o mutuário. Estas negocia-ções apelam ao interesse do mutuante em aceitar ou não as propostas do mutuário, atendendo às taxas de juro que vigoram no momento no mercado, face àquela que foi acordada no momento do empréstimo. São também tratadas as amortizações de empréstimos mediante rendas, utilizando vários sistemas, nomeadamente o francês, o alemão e o americano.

O Capítulo VIII aborda os empréstimos por obrigações ou empréstimos obrigacio-nistas. As obrigações como títulos de crédito podem ser emitidas quer por empresas quer pelo Estado, sendo que, quando emitidas por este, são designadas por obriga-ções do tesouro (OT) e bilhetes de tesouro. Os procedimentos que se utilizam mais frequentemente na amortização de empréstimos obrigacionistas são, nomeadamente, a amortização mediante uma renda anual constante e a amortização mediante quotas anuais constantes. Para uma melhor compreensão das transferências de capital entre os diversos momentos em que decorre o empréstimo, são utilizadas diversas repre-sentações esquemáticas dos respetivos processos.

O Capítulo IX incide sobre o cálculo da taxa anual efetiva (TAE) quer do ren-dimento da aplicação do capital, através do empréstimo, quer do custo efetivo desse empréstimo, ou seja, depois de suportados encargos, comissões bancárias e outros cust os inerentes aos processos de concessão de crédito.

Em Anexos apresentam-se tabelas financeiras mais frequentemente utilizadas no cálculo financeiro.

António Manuel Sarmento Batista

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PREFÁCIO À 2ª EDIÇÃO

Durante os quatro anos em que a 1ª edição esteve disponível, procedeu-se a uma revisão e atualização das matérias ali versadas.

Graças ao escrutínio atento de professores e alunos, foi possível melhorar a quali-dade da edição anterior, através das inestimáveis contribuições de aqueles que alerta-ram para a identifi cação de alguns erros de simbologia e algumas gralhas, que a edição anterior continha.

A apresentação do texto foi melhorada através de um melhor grafi smo e de uma melhor arrumação, proporcionando uma leitura mais fácil e um entendimento mais compreensivel dos seus conteúdos.

Nesta 2ª edição foram incluídos cerca de 400 exemplos e exercícios resolvidos, que permitirão adotar técnicas e metodologias de abordagem às questões apresenta-das, que facilitarão a resolução de problemas mais complexos.

CAPÍTULO 1

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INTRODUÇÃO

As instituições fi nanceiras e as empresas (não fi nanceiras) têm que, diariamen-te, tomar múltiplas decisões, nomeadamente, decisões de concessão de crédito e de investimento. Estas decisões visam a obtenção de um benefício, num determinado período de tempo.

Naturalmente, que esse benefício será o lucro, ou seja, um determinado capital que fi cará sujeito a destinos diversos, designadamente à satisfação de compromissos com os fornecedores, ao cumprimento de obrigações fi scais, pagamento de salários e outras obrigações, por um lado, e por outro lado, a aplicações alternativas, tais como: à distribuição pelos acionistas/sócios; ao empréstimo a terceiros; e ao investimento.

Se aquele capital for distribuído pelos acionistas/sócios signifi ca que se estará a recompensar aqueles que investiram no negócio, remunerando a aplicação dos respe-tivos capitais investidos.

Se o mesmo capital for emprestado, signifi ca que se estará a ceder temporariamente a sua disponibilidade a terceiros, esperando-se receber no futuro o capital empresta-do mais uma determinada quantia. Esta quantia é destinada a minorar os efeitos da erosão que o dinheiro sofreu durante o período do empréstimo, bem como recom-pensar a indisponibilidade da sua utilização e a remunerar o risco de incumprimento do devedor.

Se o capital for investido, signifi ca que se estará a sacrifi car a disponibilidade pre-sente desse valor, esperando-se que os resultados obtidos tragam no futuro a recom-pensa esperada daquela decisão.

A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. A pessoa ou empresa que empresta dinheiro a juros designa-se por prestamista1

1. Novo Dicionário da Língua Portuguesa – Lello Editores


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O juro estará assim dependente do capital emprestado ou investido, do tempo que durar o empréstimo ou a amortização do investimento e da taxa de juro que for fi xada na operação fi nanceira.

Entende-se por operação financeira toda a ação destinada a substituir um capi-tal ou vários, por outros, em diferentes momentos, aplicando-se-lhe uma determina-da regra fi nanceira, num determinado momento de referência.

O juro produzido pela aplicação dessa regra fi nanceira será adicionado ao capital inicial, resultando um novo capital que se designará por capital final ou montante.

Ao processo que permite determinar o capital fi nal designa-se por capitalização.

A capitalização apresenta dois regimes diferentes: a capitalização simples e a capitalização composta, que serão desenvolvidos nos próximos capítulos.

CAPÍTULO 2

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

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2.1 Introdução

O regime de capitalização simples caracteriza-se por não ser acumulável o juro produzido, em cada período, com o capital principal.

O juro produzido em qualquer período será o resultado do produto do capital inicial por uma taxa de juro. No fi m de cada período, o juro produzido será entre-gue ao mutuante2 (quem emprestou), mantendo-se o mutuário3 (quem pediu empresta-do) devedor do capital que lhe foi emprestado inicialmente.

Representando-se por:

2. Pessoa que mutua ou dá por empréstimo.

3. Pessoa que recebe alguma coisa por empréstimo.


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2.2 Fórmula geral da capitalização simples

Para deduzir a fórmula geral de capitalização simples bastará somar ao capital ini-cial o juro total produzido nos respetivos períodos. Admitindo-se que cada período representaria um ano, no fi nal de cada ano o montante obtido será o resultado da adição ao capital inicial o juro correspondente aos n períodos.

Assim, no fi nal de cada ano, o montante será:

Poder-se-á, deste modo, concluir que se o investimento ou empréstimo durar n nos, o capital fi nal ou montante obtido será:

A fórmula geral de capitalização simples indica que o capital fi nal foi obtido ao investir um capital inicial a uma taxa de juro i, durante n períodos.

Se admitirmos que o capital investido é igual à unidade resultará:

Portanto será o valor fi nal que se obterá ao investir uma unidade monetá-ria à taxa de juro anual simples i durante n anos.

Representando esquematicamente:

Figura 1 – Representação esquemática do fator de capitalização aplicado ao capital inicial , em regime de juro simples.

Considerar-se-á a partir de agora que é o fator de capitalização em regime de juro simples. Este fator serve para transferir capitais de um dado momento para um outro posterior.

TABELAS

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TABELAS

Tabela de contagem de número de dias

Dias Dias do mêsdo mês JANJAN FEVFEV MARMAR ABRABR MAIMAI JUNJUN JULJUL AGOAGO SETSET OUTOUT NOVNOV DEZDEZ

11 11 3232 6060 9191 121121 152152 182182 213213 244244 274274 305305 33533522 22 3333 6161 9292 122122 153153 183183 214214 245245 275275 306306 33633633 33 3434 6262 9393 123123 154154 184184 215215 246246 276276 307307 33733744 44 3535 6363 9494 124124 155155 185185 216216 247247 277277 308308 33833855 55 3636 6464 9595 125125 156156 186186 217217 248248 278278 309309 33933966 66 3737 6565 9696 126126 157157 187187 218218 249249 279279 310310 34034077 77 3838 6666 9797 127127 158158 188188 219219 250250 280280 311311 34134188 88 3939 6767 9898 128128 159159 189189 220220 251251 281281 312312 34234299 99 4040 6868 9999 129129 160160 190190 221221 252252 282282 313313 3433431010 1010 4141 6969 100100 130130 161161 191191 222222 253253 283283 314314 3443441111 1111 4242 7070 101101 131131 162162 192192 223223 254254 284284 315315 3453451212 1212 4343 7171 102102 132132 163163 193193 224224 255255 285285 316316 3463461313 1313 4444 7272 103103 133133 164164 194194 225225 256256 286286 317317 3473471414 1414 4545 7373 104104 134134 165165 195195 226226 257257 287287 318318 3483481515 1515 4646 7474 105105 135135 166166 196196 227227 258258 288288 319319 3493491616 1616 4747 7575 106106 136136 167167 197197 228228 259259 289289 320320 3503501717 1717 4848 7676 107107 137137 168168 198198 229229 260260 290290 321321 3513511818 1818 4949 7777 108108 138138 169169 199199 230230 261261 291291 322322 3523521919 1919 5050 7878 109109 139139 170170 200200 231231 262262 292292 323323 3533532020 2020 5151 7979 110110 140140 171171 201201 232232 263263 293293 324324 3543542121 2121 5252 8080 111111 141141 172172 202202 233233 264264 294294 325325 3553552222 2222 5353 8181 112112 142142 173173 203203 234234 265265 295295 326326 3563562323 2323 5454 8282 113113 143143 174174 204204 235235 266266 296296 327327 3573572424 2424 5555 8383 114114 144144 175175 205205 236236 267267 297297 328328 3583582525 2525 5656 8484 115115 145145 176176 206206 237237 268268 298298 329329 3593592626 2626 5757 8585 116116 146146 177177 207207 238238 269269 299299 330330 3603602727 2727 5858 8686 117117 147147 178178 208208 239239 270270 300300 331331 3613612828 2828 5959 8787 118118 148148 179179 209209 240240 271271 301301 332332 3623622929 2929 8888 119119 149149 180180 210210 241241 272272 302302 333333 3633633030 3030 8989 120120 150150 181181 211211 242242 273273 303303 334334 3643643131 3131 9090 151151 212212 243243 304304 365365

Exemplo para utilização da tabela:Quantos dias decorreram de 1 fevereiro a 15 de maio do mesmo ano?: - O dia 1 de fevereiro corresponde ao número 32- O dia 15 de maio corresponde ao nº 135; - O número de dias entre as datas será dado pela diferença entre os dois números:

(135 - 32) = 103 - O número de dias corridos entre as datas é igual a 103.

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Tabela: Tabela: Valor fi nal de uma unidade monetária colocada a juro composto Valor fi nal de uma unidade monetária colocada a juro composto

n/in/i 1%1% 2%2% 3%3% 4%4% 5%5% 6%6% 7%7% 8%8% 9%9%

11 1,010000001,01000000 1,020000001,02000000 1,030000001,03000000 1,040000001,04000000 1,050000001,05000000 1,060000001,06000000 1,070000001,07000000 1,080000001,08000000 1,090000001,0900000022 1,020100001,02010000 1,040400001,04040000 1,060900001,06090000 1,081600001,08160000 1,102500001,10250000 1,123600001,12360000 1,144900001,14490000 1,166400001,16640000 1,188100001,1881000033 1,030301001,03030100 1,061208001,06120800 1,092727001,09272700 1,124864001,12486400 1,157625001,15762500 1,191016001,19101600 1,225043001,22504300 1,259712001,25971200 1,295029001,2950290044 1,040604011,04060401 1,082432161,08243216 1,125508811,12550881 1,169858561,16985856 1,215506251,21550625 1,262476961,26247696 1,310796011,31079601 1,360488961,36048896 1,411581611,4115816155 1,051010051,05101005 1,104080801,10408080 1,159274071,15927407 1,216652901,21665290 1,276281561,27628156 1,338225581,33822558 1,402551731,40255173 1,469328081,46932808 1,538623951,5386239566 1,061520151,06152015 1,126162421,12616242 1,194052301,19405230 1,265319021,26531902 1,340095641,34009564 1,418519111,41851911 1,500730351,50073035 1,586874321,58687432 1,677100111,6771001177 1,072135351,07213535 1,148685671,14868567 1,229873871,22987387 1,315931781,31593178 1,407100421,40710042 1,503630261,50363026 1,605781481,60578148 1,713824271,71382427 1,828039121,8280391288 1,082856711,08285671 1,171659381,17165938 1,266770081,26677008 1,368569051,36856905 1,477455441,47745544 1,593848071,59384807 1,718186181,71818618 1,850930211,85093021 1,992562641,9925626499 1,093685271,09368527 1,195092571,19509257 1,304773181,30477318 1,423311811,42331181 1,551328221,55132822 1,689478961,68947896 1,838459211,83845921 1,999004631,99900463 2,171893282,17189328

1010 1,104622131,10462213 1,218994421,21899442 1,343916381,34391638 1,480244281,48024428 1,628894631,62889463 1,790847701,79084770 1,967151361,96715136 2,158925002,15892500 2,367363672,367363671111 1,115668351,11566835 1,243374311,24337431 1,384233871,38423387 1,539454061,53945406 1,710339361,71033936 1,898298561,89829856 2,104851952,10485195 2,331639002,33163900 2,580426412,580426411212 1,126825031,12682503 1,268241791,26824179 1,425760891,42576089 1,601032221,60103222 1,795856331,79585633 2,012196472,01219647 2,252191592,25219159 2,518170122,51817012 2,812664782,812664781313 1,138093281,13809328 1,293606631,29360663 1,468533711,46853371 1,665073511,66507351 1,885649141,88564914 2,132928262,13292826 2,409845002,40984500 2,719623732,71962373 3,065804613,065804611414 1,149474211,14947421 1,319478761,31947876 1,512589721,51258972 1,731676451,73167645 1,979931601,97993160 2,260903962,26090396 2,578534152,57853415 2,937193622,93719362 3,341727033,341727031515 1,160968961,16096896 1,345868341,34586834 1,557967421,55796742 1,800943511,80094351 2,078928182,07892818 2,396558192,39655819 2,759031542,75903154 3,172169113,17216911 3,642482463,642482461616 1,172578641,17257864 1,372785711,37278571 1,604706441,60470644 1,872981251,87298125 2,182874592,18287459 2,540351682,54035168 2,952163752,95216375 3,425942643,42594264 3,970305883,970305881717 1,184304431,18430443 1,400241421,40024142 1,652847631,65284763 1,947900501,94790050 2,292018322,29201832 2,692772792,69277279 3,158815213,15881521 3,700018053,70001805 4,327633414,327633411818 1,196147481,19614748 1,428246251,42824625 1,702433061,70243306 2,025816522,02581652 2,406619232,40661923 2,854339152,85433915 3,379932283,37993228 3,996019503,99601950 4,717120424,717120421919 1,208108951,20810895 1,456811171,45681117 1,753506051,75350605 2,106849182,10684918 2,526950202,52695020 3,025599503,02559950 3,616527543,61652754 4,315701064,31570106 5,141661255,141661252020 1,220190041,22019004 1,485947401,48594740 1,806111231,80611123 2,191123142,19112314 2,653297712,65329771 3,207135473,20713547 3,869684463,86968446 4,660957144,66095714 5,604410775,604410772121 1,232391941,23239194 1,515666341,51566634 1,860294571,86029457 2,278768072,27876807 2,785962592,78596259 3,399563603,39956360 4,140562374,14056237 5,033833725,03383372 6,108807746,108807742222 1,244715861,24471586 1,545979671,54597967 1,916103411,91610341 2,369918792,36991879 2,925260722,92526072 3,603537423,60353742 4,430401744,43040174 5,436540415,43654041 6,658600436,658600432323 1,257163021,25716302 1,576899261,57689926 1,973586511,97358651 2,464715542,46471554 3,071523763,07152376 3,819749663,81974966 4,740529864,74052986 5,871463655,87146365 7,257874477,257874472424 1,269734651,26973465 1,608437251,60843725 2,032794112,03279411 2,563304162,56330416 3,225099943,22509994 4,048934644,04893464 5,072366955,07236695 6,341180746,34118074 7,911083177,911083172525 1,282432001,28243200 1,640605991,64060599 2,093777932,09377793 2,665836332,66583633 3,386354943,38635494 4,291870724,29187072 5,427432645,42743264 6,848475206,84847520 8,623080668,62308066

Tabela: Tabela: Valor fi nal de uma unidade monetária colocada a juro composto Valor fi nal de uma unidade monetária colocada a juro composto

n/in/i 10%10% 11%11% 12%12% 13%13% 14%14% 15%15% 16%16% 17%17% 18%18%11 1,100000001,10000000 1,110000001,11000000 1,120000001,12000000 1,130000001,13000000 1,140000001,14000000 1,150000001,15000000 1,160000001,16000000 1,170000001,17000000 1,180000001,1800000022 1,210000001,21000000 1,232100001,23210000 1,254400001,25440000 1,276900001,27690000 1,299600001,29960000 1,322500001,32250000 1,345600001,34560000 1,368900001,36890000 1,392400001,3924000033 1,331000001,33100000 1,367631001,36763100 1,404928001,40492800 1,442897001,44289700 1,481544001,48154400 1,520875001,52087500 1,560896001,56089600 1,601613001,60161300 1,643032001,6430320044 1,464100001,46410000 1,518070411,51807041 1,573519361,57351936 1,630473611,63047361 1,688960161,68896016 1,749006251,74900625 1,810639361,81063936 1,873887211,87388721 1,938777761,9387777655 1,610510001,61051000 1,685058161,68505816 1,762341681,76234168 1,842435181,84243518 1,925414581,92541458 2,011357192,01135719 2,100341662,10034166 2,192448042,19244804 2,287757762,2877577666 1,771561001,77156100 1,870414551,87041455 1,973822691,97382269 2,081951752,08195175 2,194972622,19497262 2,313060772,31306077 2,436396322,43639632 2,565164202,56516420 2,699554152,6995541577 1,948717101,94871710 2,076160152,07616015 2,210681412,21068141 2,352605482,35260548 2,502268792,50226879 2,660019882,66001988 2,826219732,82621973 3,001242123,00124212 3,185473903,1854739088 2,143588812,14358881 2,304537772,30453777 2,475963182,47596318 2,658444192,65844419 2,852586422,85258642 3,059022863,05902286 3,278414893,27841489 3,511453283,51145328 3,758859203,7588592099 2,357947692,35794769 2,558036922,55803692 2,773078762,77307876 3,004041943,00404194 3,251948523,25194852 3,517876293,51787629 3,802961273,80296127 4,108400334,10840033 4,435453864,43545386

1010 2,593742462,59374246 2,839420992,83942099 3,105848213,10584821 3,394567393,39456739 3,707221313,70722131 4,045557744,04555774 4,411435084,41143508 4,806828394,80682839 5,233835555,233835551111 2,853116712,85311671 3,151757293,15175729 3,478549993,47854999 3,835861153,83586115 4,226232304,22623230 4,652391404,65239140 5,117264695,11726469 5,623989225,62398922 6,175925956,175925951212 3,138428383,13842838 3,498450603,49845060 3,895975993,89597599 4,334523104,33452310 4,817904824,81790482 5,350250115,35025011 5,936027045,93602704 6,580067386,58006738 7,287592637,287592631313 3,452271213,45227121 3,883280163,88328016 4,363493114,36349311 4,898011104,89801110 5,492411495,49241149 6,152787626,15278762 6,885791376,88579137 7,698678847,69867884 8,599359308,599359301414 3,797498343,79749834 4,310440984,31044098 4,887112294,88711229 5,534752555,53475255 6,261349106,26134910 7,075705767,07570576 7,987517997,98751799 9,007454249,00745424 10,1472439710,147243971515 4,177248174,17724817 4,784589494,78458949 5,473565765,47356576 6,254270386,25427038 7,137937987,13793798 8,137061638,13706163 9,265520879,26552087 10,5387214610,53872146 11,9737478911,973747891616 4,594972994,59497299 5,310894335,31089433 6,130393656,13039365 7,067325537,06732553 8,137249308,13724930 9,357620879,35762087 10,7480042010,74800420 12,3303041112,33030411 14,1290225114,129022511717 5,054470285,05447028 5,895092715,89509271 6,866040896,86604089 7,986077857,98607785 9,276464209,27646420 10,7612640010,76126400 12,4676848812,46768488 14,4264558114,42645581 16,6722465616,672246561818 5,559917315,55991731 6,543552916,54355291 7,689965807,68996580 9,024267979,02426797 10,5751691810,57516918 12,3754536112,37545361 14,4625144614,46251446 16,8789532916,87895329 19,6732509419,673250941919 6,115909046,11590904 7,263343737,26334373 8,612761698,61276169 10,1974228010,19742280 12,0556928712,05569287 14,2317716514,23177165 16,7765167716,77651677 19,7483753519,74837535 23,2144361123,214436112020 6,727499956,72749995 8,062311548,06231154 9,646293099,64629309 11,5230877611,52308776 13,7434898713,74348987 16,3665373916,36653739 19,4607594519,46075945 23,1055991623,10559916 27,3930346027,393034602121 7,400249947,40024994 8,949165818,94916581 10,8038482610,80384826 13,0210891713,02108917 15,6675784515,66757845 18,8215180018,82151800 22,5744809722,57448097 27,0335510227,03355102 32,3237808332,323780832222 8,140274948,14027494 9,933574049,93357404 12,1003100612,10031006 14,7138307714,71383077 17,8610394417,86103944 21,6447457021,64474570 26,1863979226,18639792 31,6292547031,62925470 38,1420613838,142061382323 8,954302438,95430243 11,0262671911,02626719 13,5523472613,55234726 16,6266287716,62662877 20,3615849620,36158496 24,8914575624,89145756 30,3762215930,37622159 37,0062279937,00622799 45,0076324345,007632432424 9,849732689,84973268 12,2391565812,23915658 15,1786289315,17862893 18,7880905118,78809051 23,2122068523,21220685 28,6251761928,62517619 35,2364170435,23641704 43,2972867543,29728675 53,1090062753,109006272525 10,8347059410,83470594 13,5854638013,58546380 17,0000644117,00006441 21,2305422721,23054227 26,4619158126,46191581 32,9189526232,91895262 40,8742437740,87424377 50,6578255050,65782550 62,6686274062,66862740

ANEXOS

579

TABELA GERAL DO IMPOSTO SELO (OPERAÇÕES FINANCEIRAS)

17 Operações fi nanceiras:

17.1 - Pela utilização de crédito, sob a forma de fundos, mercadorias e outros va-lores, em virtude da concessão de crédito a qualquer título exceto nos casos referidos na verba 17.2, incluindo a cessão de créditos, o factoring e as operações de tesouraria quando envolvam qualquer tipo de fi nanciamento ao cessionário, aderente ou deve-dor, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

17.1.1 Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração 0,04%

17.1.2 Crédito de prazo igual ou superior a um ano 0,50% 17.1.3 Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60%

17.1.3 Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60%

17.1.4 Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determi-nável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30 0,04%

17.2 - Pela utilização de crédito em virtude da concessão de crédito no âmbito de contratos de crédito a consumidores abrangidos pelo Decreto-Lei n.º 133/2009, de 2 de junho, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

17.2.1 - Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração - 0,07 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

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17.2.2 - Crédito de prazo igual ou superior a um ano - 0,90 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

17.2.3 - Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos - 1 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

17.2.4 - Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determi-nável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30 - 0,07% (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

17.3 Operações realizadas por ou com intermediação de instituições de crédito, sociedades fi nanceiras ou outras entidades a elas legalmente equiparadas e quaisquer outras instituições fi nanceiras - sobre o valor cobrado: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06 – anterior verba 17.2)

17.3.1 Juros por, designadamente, desconto de letras e bilhetes do Tesouro, por empréstimos, por contas de crédito e por crédito sem liquidação 4%

17.3.2 Prémios e juros por letras tomadas, de letras a receber por conta alheia, de saques emitidos sobre praças nacionais ou de quaisquer transferências 4%

17.3.3 Comissões por garantias prestadas 3%

17.3.4 - Outras comissões e contraprestações por serviços fi nanceiros, incluindo as taxas relativas a operações de pagamento baseadas em cartões - 4 %. (Redação da Lei n.º 7-A/2016, de 30 de março).

585

BIBLIOGRAFIA

Ayres, F., Matemática Financeira, McGraw-Hill

Cadilhe, M., Matemática Financeira Aplicada, Edições ASA

Costa, M., Cálculo Financeiro, Plátano Editora

Fernandes, L., Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro, INCM

Lisboa, J. et al., Cálculo Financeiro, Vida Económica

Mateus, A., Cálculo Financeiro, Edições Sílabo

Matias, R., Cálculo Financeiro, Escolar Editora

Olavo, F., Desconto Bancário, Anuário Com. Português

Rodrigues, A. et al., Elementos de Cálculo Financeiro, Rei dos Livros

Samanez, C., Matemática Financeira - Aplicações à Análise de Investimentos

Silva, A., Matemática das Finanças, Editora McGraw-Hill

Sobrinho, J., Matemática Financeira, Editora Atlas

Vieira, E.,. Técnicas Financeiras, Univ. Lusíada Editora

OBRAS DO MESMO AUTOR:

A GESTÃO DO CRÉDITO COMO VANTAGEM COMPETITIVA

COMO EVITAR E RECUPERAR CRÉDITO MALPARADO

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O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte em aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora.

A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e métodos quantitativos de análise e gestão financeira.

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Por toda a extensão dos capítulos são desenvolvidas, em termos matemáticos, as fórmulas que são utilizadas na resolução de casos práticos. Desde a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, apuramento de taxas e juros, cálculo e determinação de rendas, este livro contempla as matérias normalmente lecionadas nos cursos superiores desta unidade curricular, constituindo um manual de referência para estudantes e professores.


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MÁTICA ANCEIRA


O valor do dinheiro ao longo do tempo

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É Doutorado em Gestão Empresarial Apli-cada pelo ISCTE-IUL, Mestre em Gestão (MBA) pelo ISEG-UTL e Auditor de Siste-mas da Gestão da Qualidade pelo Institu-to Superior de Ciências da Saúde-Sul.

Como docente, leciona Cálculo Financei-ro na Universidade Europeia | Laureate International Universities, entre outras matérias das Ciências Empresariais.

O autor tem um longo percurso profissio-nal e académico que lhe tem facultado cotejar a realidade observada no tecido empresarial com os conteúdos progra-máticos do Ensino Superior, conciliando--os com as atuais expectativas e necessi-dades da globalização laboral.

Tem diversos artigos publicados, desde 1995, sobre a temática do crédito e obras que tratam o mesmo tema, nomeada-mente “A Gestão do Crédito como Vanta-gem Competitiva”, “Como Evitar e Recu-perar Crédito Malparado”, “Credit Scoring”, “Regressão Logística”, entre outros.

Dedica-se à investigação científica na área do risco do crédito e desenvolve e analisa projetos de investimento em di-versos setores da atividade económica.

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