o U T U B R o

Segundo as lies do professor

Engenheiro PINTO FERREIRA

I N V I C E G E R A L

pg.

CAPTULO I Noes prel iminares. Formas da terraRepresentao do terreno

2. PiaYiXM e. Ceudws

3. Pianxa Topogh6i~a

4. Eh~cttM4.1. Escalas -numericas4.2. Escalas grficas

a) Escala grfica simplesb) Escala grfica composta

5. Ope.ha!Ul da TopoghaMa

6. Re.phe-S en.tao do TeJULe.no6.1. Mtodo dos Pontos Cotados6.2. Mtodo das Curvas de Nvel

Fixao da equidistncia naturalTergoValeProcesso numricoInterpolao grficaaJ Diapaso de rectas paralelasb) Diapaso de rectas concorrentes

6.3. Mtodo das Normais6.4. Mtodo Hipsomtrico

7. l'vle.cLLao de. d.Lh .tn~ieu:. na ~M.ta7.1. General idades7.2. Em I inha recta7.3. Em linha curva

8. Avaiiao de. Qheah na c..cULta8.1. Genera I idades8.2. Mtodo anal tico. Mtodos Geomtricos

8.2.1. Mtodo dos Trapzios8.2.2. Mtodo de Simpson

83. Mtodo Mecnico

2

2

3446

7

8

912

12

15151819202022

23

24242424

252526283031

9 Co!U1.etaao CI'JLe. a P.f.an..(me~tJt.h:t e o ~

Sensibi lidadeRectificao da nivela. Mtodo da inverso

3.3.2. Nivela reversvel (ou em barrilete)3.3.3. Nivela esfrica3.3.4. Sistemas de observao da bolha

3.4. Pnulas3.4.1. AI idade de pnulas3.4.2. AI idade de luneta

35 Lunetas - tipos3.5.1. Objectiva3.5.2. Oculares3.53. Retculo3.5.4. Eixo ptico ou de co I i mao3.5.5. Uso da luneta3.5.6. Amp I i ao3.5.7. Luneta da focagem interna

3.6. Limbo e aI idade3.6.1. Diviso dos Limbos3.6.2. Modo de diviso dos limbos3.6.3. Posio relativa do I imbo e do nonlo

3.7. Nnio3.8. Microscapios

3.8.1. Microscpio de traos3.8.2. Microscpio de parafuso mi crometri co3.8.3. Microscpio com micrmetro aptico3.8.4. Microscpio de escala3.8.5. Microscpio de nnio

4. lrus:Vr.umeY/..tM pcuw. a mecL;da de cL0j:tn.c.w4.1. Genera I idades4.2. Determinao directa de distncias

4.2.1. Reduo ao horizonte4.2.2. Metro e duplo metro4.2.3. Rguas de made ira4.2.4. Cadeia4.2.5. F i tas de ao e de pano4.2.6. Fio de ao i nva r

pg.

64646666

6768697070717273747475777778808081848485868687

888888889090909192

4.2.8. Uso dos instrumentos de medidaMedio em terreno horizontalMedio em terreno incl inadoVantagens e inconvenientes da cadeia

4.2.9. Correco da flecha43. Determinao indirecta de distncias

4.3.1. Genera 1idades4.3.2. Estadimetria4.33. Luneta estadimtrica

Numero geradorCorreco de Reichenbach

4.3.4. Luneta analtica

4.3.5. Verificao do ngulo estadimtrico4.36. Uso da luneta estadimtrica

5 1ft.tJ1.wne.'II.:to,~ pcUta Ct me.d/.da d Vlgl.U-M hotUzOYI;tcG0~5.1. Generalidades5.2. Gonimetros de pnulas

5.2.1. Esquadro do agrimensor5.2.2. Esquadro ci t ndrico5.2.3. Esquadro esfrico5.2.4. Uso dos esquadros

1. Traado de um al inhamento2. Por um ponto de um al inhamento traar;uma

normal a este aI inhamento

pg.

939394

959697979798

100100100

102

103

104104105105106106106107

1073. De um ponto dado D baixar uma perpendicular

sobre um al inhamento A8 1085.25. Pantmetro 108

Uso do pantmetro5.3. Esquadros pticos

5.3.1. Esquadros de espelhos, ou de reflexo5.3.1.1. Esquadro de Adams

Uso do esquadro de Adams5.3.2. Esquardos de prismas

5.32.1. Esquad ro triangular de Bauernfeind5.32.2. Esquadro Wol1aston5.3.2.3. Esquadro pentagonal532.4. Esquadro pentagonal de 8auernfeind

109109109110111112114

115116116

pg.

5.3.3. Prismas duplos 1175.3.4. Vantagens e inconvenientes dos esquadros pticos 117

5.4. Gonimetros da luneta 1195.4.1. General idades. Azimutes. Rumos 1195.4.2. Bssola 121

Medio por repetioMediao por re i teraaoMedio por giros de horizonte

5.4.2.1. Bssola do Agrimensor5.4.2.2. Uso da bssola5.4.2.3. Excentricidade do visor

5.4.3. Bssola decl inada5.4.4. Decl inatria5.4.5. Bssola suspensa5.4.6. Crculo de alinhamento repetidor. Seu emprego5.4.7. Mtodos de medio de ngulos horizontais

5.4.7.1. Medio simples5.4.7.2.5.47.3.5.4.7.4.

121123124125126126127130131132134135

6.2. l. Erro de esfericidade6.2.2. Erro de rebraco6.2.3. Erro de nvel apa ren te

6. IYI/~d)!.wneJ1:to's pCiJlCl C( me.d-i-dc!. de. ctLtUILa6 1396.1. General idades 1396.2. Influncia da curvatura da Terra e da refraco atmosfrica 141

141142143

6.3. Nivelamento. Mtodos 1446.4. Nivelamento geomtrico ou di recto 145

6.4.1. Execuo de um nivelamento 1456.4. 1. 1. Ni ve 1amen to si mp Ies 1466.4.1.2. Nivelamento composto 147

6.4.2. Organizao e clculo de uma cadernetade nivelamento 149

6.4.3. Nveis. Classificao 1566. ll.3.1. Nveis de visada directa 1576.4.3.2. Nveis de luneta 158

6.4.4. Condi~es a que deve satisfazer um nvel em estaao 1676.4.5. Determinao de desnveis com o nvel desrectificado 167

6.4.5.1. Mtodo das visadas a igual distncia 1686.4.5.2. Mtodo das visadas reciprocas 169

6.5. Nivelamento trigonomtrico6.5.1. General idades6.5.2. Mtodo6.5.3. ngulos zenitais. ngulos de incl inao6.5.4. Aparelhos de medida de ngulos verticais6.5.5. Uso dos ecl fmetros e dos cl fsimetros

pg.

170170170171172176

7. IMVz.ume.nto6 rrr.0~;to6 1777.1. Generalidades 1777.2. Teodolitos 1807.3. Taquemetros 182

7.3.1. Taquemetros Moinot ou Porro 1827.3.1.1. Reduo ao horizonte das medidas

estadimetricas 1837.3.1.2. Uso do taquemetro Porro ou Moinot 18773.1.3. Leitura do limbo vertical 191731.4. Exame e rectificao do teodolito para

observaes horizontais 1947.3.1.5. Exame e rectificao do teodol ito para

observaes verticais 2007.3.2. Taquenietros auto-redutores 203

7.3.2.1. Auto-redutores de alavanca 2037.3.2.2. Auto-redutores de esquadro de projeco 2067.3.2.3. Auto-redutores de ngulo paraltico

varivel 2087.4. Diastimmetros 2.11

CAPITULO nI Mtodos de levantamento planimetrico

1. Gel1ejlI~t{dade.6

2. Me.todo/~ de. -fe.vantwlle.n.to de. pe.q Ue.Vl((. CULe.C1.62.1- Levantamento triangulao - fitapor a2.2. Levantamento por coordenadas rectangulares2.3 Levantamento por irradiao2.4. Levantamento por interseco

2.5 Levantamento por a I i nhamen tos2.6. Levantamento com a bssola

214

216217

218

220222222

22s

3. Le.vavttame.nto de. gJwnde.,!J CVleCV!J3.1. Genera 1idades

3.1.1. Problemas fundamentais3.1.2. Diferentes sistemas para a determinao

de pontos3.2. Interseces

32.1. Genera I idades

32.2. Interseco simples adiante ou directa

323 Interseco simples lateral3.2.4. lntersecso simples atrs ou inversa

3.3. Tringulao3.3.1. General idades3.3.2. Mediao e calculo das tringulaes planas3.3.3. Ampliao de bases3.3.4. Metodos de medio de ngulos azimutais3.3.5. Exemplo do calculo de uma tringulao

independente3.4. Pol igonao

3.4.1. Generalidades3.4.2. Medio de uma paI igonal3.4.3. Calculo de uma po 1igana 1

3.4.3.1. Calculo de uma po 1 i gana 1 aberta

34.3.2. Clculo de uma po 1i gana 1 fechada

CAPITULO IV - Noes prticas da teoria dos erros

pg .

225225227

239244244246253259272,

2n2D

275277

28228628,6287288289293

301

301302302

1. GeYleJw.1..ieule..2. C!ah~i6ieao do~ ~o~

2.1. Faltas2.2. Erros

2.2.1. Erros acidentais 3032.2.2. Erros sistemticos 303

3. EJrJr.o~ a.c.J.d eVl-tw 3043.1. Necessidade da investigao dos valores caracterTsticos

med ias dos erros 3043.2. Deter~inao experimental dum erro media 3053.3. Erro provvel 3063.4. Erro media aritmetico 3063.5. Erro media quadrtico 307

3.51. Apl icaes 310

pg.

3.6. Erro m~dio a prever para a resultante de v~rias opera~es 3123.7. Lei de distribuiol dos erros acidentais 3163.8. Lei de probabilidade dos erros 3173.9. Determinao das tolerncias 318

CAPITULO V - Verificaes. Rec ti fi caes. Preciso

1. Ge.netw.Li..dadC62. Me.d-

4.2.2. Nveis da luneta

4.3: Faltas. Erros. Preciso4.4. Erros de esfericidade e de refraco

pg.

347

348348

ANEXO A

1. SISTEMAS DE RDIO-POSICIONAMENTO Al1.1. Sistemas de r~dio-Do5ic1onamento instalados em terra Al

1.1.1. Sistemas LDRMI C e D Al1.1.2. Sistema OMEGA A2

1.2. Satl ites de rdlo-naveqao A21.2.1. Sistema TRANSIT (SAtNav) A21.2.2. Sistema NAVSTAR/GPS (~lobal Positioninq System) A4

1.2.2.1. Oeracterstlcas dos sinais emitidosDelas satl ites A4

1.2.2.2. A determinao da ~osio A51.2.2.3. A cadeia dos 50 bits oor sequndo A71.2.2.4. A oreciso no ooslcionamento

'ISelective Avallability" A71.2.2.5. O oosicionamento diferencial A121.2.2.6. E~ui~amentos r,PS: tioos e com~onentes A151.2.2.7. A nual idade dos dados recolhidos A16

CAPITULO I

NOOES PRE LIMINARES. FORMA DA TERRAREPRESENTAAO DO TERRENO

I . 1. Topogltariia. Geode..ict

A topografia tem por fim a descri~o e representaao 'do terreno,numa extensao suficientemente restrita para se poder desprezar a curvatura daTerra.

A geodesia tem por final idade a descrio e representaao da supe.cfcie da Terra, em que j se tem de ter em conta a forma el ipsoidal da Terra.

A topografia completa a geodesia pois faz o estudo em detalhe dasuperfcie do terreno, e dos mtodos que o permitem representar num desenho cha-mado ptanta ou ~c~ta topogltti~a.

I .2. Ptantc{;J e Cc~tCI.J.J

Conforme a extensao do terreno que se representa num desenho,assimtemos a considerar:

a) Pta~tcl.J.J topoglt6iecI.J.J - Representao do terreno em escalas gra~des (at 1/10.000)

b) C~CI.J.J topoglttiecl.J.J - Representao em escalas inferiores a1/10.000 (at cerca de 1/100.000)

c) C~tcw eoltoglt6i~cl.J.J - (e depois cartas geogrficas) - so car-tas em que as escalas variam entre1/100.000 e 1/1.000.000

Evidentemente que os 1imites indicados para as escalas no sao r-gidos, havendo no entanto casos em que est praticamente consagrado o seu valor.

Os mtodos de levantamento empregados na execuo de plantas topo-grficas esto dentro dos domnios da Topografia, enquanto que OS empregados pa-ra a execuao de cartas topogrficas e corogrficas j esto dentro dos domniosda geodesia.

21.3. PiaYLta Topog!LaMca

As plantas topogrficas no so mais que uma reduo da projecohorizontal do terreno considerado, sobre um plano de projeco, onde OS aciden-tes topogrficos, incluindo o relevo do solo, so representados por meio de si-nais convencionais que fixam a posio relativa e a extenso desses diversos acidentes.

A reduo feita numa certa escala, para cada planta.Os processosde levantamento empregados esto dentro dos domfnios da topografia.

I .4. E ccGtct

A necessidade de representar grandes dimenses do terreno numdesenho que,por maior que seja, sempre menor que a superfcie que se pre-tende representar, obrigou reduo das dimenses reais a representar)paratal utilizando as ESCAL~S que no so mais que a relao constante entre as~edidas horizontais no desenho e as suas homlogas no terreno~

1E "'L= constoem que

1- medida horizontal no desenho

L- " hom6lo ga no terreno

Quando as dimenses reais so menores que as do desenho a esca-la diz-se de MPLIAAo e, neste caso, a escala maior que a unidade:

1E=_= const >1

L

No caso das dimenses reais serem iguais s do desenho dizemos

que a escala NATURAL e ela igual unidade

1E=-=l

L

No caso das dL~enses reais serem maiores que as do desenho aescala diz-se de REDUO e inferior unidade :

1E=-_

TOPOGRAFIA 3

As escalas classificam-se em numricas e grficas e estas por

sua vez em simples e compostas.

ESCALAS NT.HIERICAS

Estas escalas representam-se sob a forma de runa fraco em que

o numerador , em geral, a unidade e o denominador um mltiplo de 10:

1 1 1E",-=-- =

L 1 HL

LH --

Ichama-se HODULO DA ESCALA.

o denominador indica-nos quantas vezes as distncias no ter'e~no sao maiores que as suas homlogas na planta ou carta.

E sempre passiveI dar a uma escala a unidade por numerador.Quando este for inferior unidade multiplicam-se ambos oster~mos da fraco por 10 ou pela potncia de 10 necessria para o tornar in-

metnos por 100 metros, teremos:

12000

510000

for de 0,05

0,05 .102_---=---

100.102 -o 05 --'--=

100

teiro. Assim se a escala

:Na expresso

1 1-=--

1 H( I)

temos a considerar trs elementos 1- L e Mi logo conhecidos dois deles

podemos determinar o terceiro, pelo que temos trs tipos de problemas no

empr~go das escalas numricas :

1 - conhecidos uma distncia medida na planta e o mdulo da

escala, calcular a medida homloga real.

De (I) vemj L = l.H r

Ou seja uma distncia no terreno igual sua homlogano desenho multiplicada pelo m6dulo da escala.

EXENPLOSe nlrna carta escala 1 25.000 tivermos dois pontos distncia de lfO milimetros qual ser o comprimento noterreno ?

L= 0,004 x 25000 '" 1000 metros = 1 Km

42- Conhecidos ~~a distncia horizontal medida no terreno emdulo da escala, qual a dist~~cia homloga na planta?

de (I) vem [3J.:.J1 '"0-l"1t. ' I,ou seja uma distncia no desenho e igual a sua nomo_oga

no terreno dividida pelo mdulo da escala.

EXEiIPLO

Se a distncia reduzida horizontal entre dois yontos doterreno for de 2,5 Na, qual a distncia homloga numacarta escala 1 : 50.000?

25001 :: = ataS metros50000

5 centmetros

2 - Conhecidas uma distncia horizontal na planta e a suahomloga no terreno qual ser a escala da planta ?

de (r) vem I ~ 011 ]logo a escala ser

.I E '"O 1: H rEXElIPLO

Se uma distncia horizontal de 1250 metros for represen-tada na planta por um seGmento de 5 cm determinar a esca-la da referida planta.

a escala [:

ESCALAS GPJ\FICltS

12500,05

E :: I

;:;: 25.000

25.000

As escalas numricas podem conduzir 8. erros se o papel aonde a plan-

ta foi desenhada Se dilata ou retrai por aco da humidade t do calor etc.;porm estes erros no tm grande importncia na maioria das aplicaes das

plantas ou carta~opogrficas. Contudo quando se fazem reproduces em di-um

mensoes diferentes por mtodos fotogrficos j se torn6 inconveniente bas-tante importante. Neste caso quando temos de determinar, com grande preci-

so t distncias na carta, estas devem ter sempre desenhada uma escala gr-

fica, pois esta acompanha a 2~pliao ou reduo realizadas.

TOPOGRAFIA 5

As escalas grficas servem para obter directa~ente do desenhoas distncias reais no terreno, sem necessidade de executar operaes ari-

tmticas que as escalas numricas normalmente exigem, e mesmo qualquer que

tenha"sido a ampliao ou reduo sofrida pelo desenho.As escalas grficas so rectas divididas em segmentos que cor-

respondem a dada unidade de comprimento do terreno mltipla do metro(por ex.10 metros 1 100 metros etc.)

Nas escalas grficas deve sempre aparecer indicada a unidade

de comprimento utilizada.

As escalas grficas podem ser simples e compostas.

a) - ESCALA GRAFICA SHlPLES - :f.: constituida por uma recta quese divide em tantas partes .iguais quantas se quizer, cada uma das quais cor-

responde a determinada grandeza do terreno mltipla da unidade de comprimen-

to. Cada uma destas partes em que se divide a recta chama-se SEGHEN-

TO-BASE, chamando-se DUIETSO-DllSE a grandeza do terreno,considerada correspon-dente ao segmento-base.

Este tipo de escala utiliza-se para comodidade de trabalho nas

cartas em escalas pequenas (grande m6dulo).Para construir uma escala deste tipo procede-se do seguinte modo:

1- determina-se o comprimento grfico-segmento-base- correspon-

dente dimenso-base considerada e cujo valor depende da es-cala numrica empregada.

2- traa~se uma recta AB que se divide em partes iguais, de com-

primento igual ao do segmento-base, tantas quantas se dese-

jarem.3- esquerda da origem A da escala, marca-Se um segnento AC de

comprimento igual ao das restantes divises, que se divide

em dez partes. Este segmento chama-se TALO e permite-nosavaliar dcimos da dimenso-base.

Seja,por exemplo, construir uma escala grfica simples sabendoque a escala numrica de I : 100.000, tomando para dimenso-base I quil-metro.

6:::: 1 cm:::: 0,01 m100000

Cada diviso de AB(segmento-base} vale1000

Cada diviso do talo AC mede1 mim e repre~enta um comprimento realde

100 m1000

---::::

10Para calcularmos uma distncia

por intermdio da escala grfica, bas-ta tomarmos na carta entre as pontasde um compasso a distncia. que se pre-

tende medir e aplicarmos depois na escala O com'prmento demarcado e verifi-car a quantas divis~es e sub-divis~es corresponde. No caso da figura o com-primento demarcado pelo compasso vale:

7 x 1000 + 7 x 100 :::: 7700 metrosH vrias formas de representao destas escalas

presentada na fig. ;j - Cl temos ainda as seguintes:al;:: da re-

HillllOI I I1,0 O" o 2. 4 5"

t:...

1I1llllllli : I f'l; A. h1.0 0,6 " t !7 '" IL.....li fi11111111111 ii1,. o;i ~ 4 :z. j ". ~ b lC....

b} - ESCALA GR

TOPOGRAFIA 6.A

Il

A seguir sobre uma recta AB marcam-se com o duplo decTIetro t~~tas vezes o segmento-base quantas se desejarem.

T~a~~-se ago~a dez rectas equidis-

A transversal R~l intersecta as para-lelas em segmentos de compr~nentosdiferentes : PR valer um dcimo de

tantes e paralelas a AB.~Pelos pontos A , AI ' A2'.~. B le-

vantam-se perpendiculares a AB atencontrarem a ultima paralela.

Bividem-se AAl e CCI em dez partes.B

iguais e une-se AI com a primeira di-

viso E de CCl , a prll~eira divisode AA l com a segunda de CCl e assimsucessivamente.

2. - c::'t--

\ \ I rt\ N\

Go1'\ J

//

1,- fpllZ /f

\ \ \ 1 \~ /fA A1 /Ir?.

.,

EC I , ST dois dcimos de EC I , ,PI,! nove dcimos de EC l Com efeito, por semelhana de trinGulos teLlOS:

segmento PR : PR PJ\1 '" .~'.1CIAl lO RAl

1logo PR :::--..

lOEC1

segmento 1mEN r"l1l..., 9 Ri'

"..I- "I--:::

ECl C1"\ 10 H1

logo HN =_9_ EC10 1

SupQnha~os que a escala numrica de 1 : 30.000. Assim se adimenso-base for 900 'metros, ser representada por um segmento de 0,03 me-

tros -segmento-base- e, portanto, cada diviso de '~l ou de CCI valer 90 m.Construda a escala como acima se indicou, para obtermos uma

distncia com esta escala, tomamos na carta, entre as pontas de um compasso,

a distncia que se pretende medir; a seguir percorrem-se as horizontais de

modo que uma das pontas percorra uma das verticais (A 2C2 - ~3C3' ) e atque a outra coincida com um ponto de cruzamento das horizontais com as trans-versais, como se mostra na fig. 2 -b na qual o comprimento indicado vale :

ou sejaGH = 2x 900 + 7 x 90 '\; 6 x 9 :::: 2 l t84 metros

6.B

Abaixo desenha-se novamente a escala devidamente graduada e

nela se indicando o segmento GH medido com ela.

qoo

o \ \1

Jli li JI.56;t \l8 1

"! \ I"

'" Q " .~

qIIi'654

~:l

LIHI'rE DE PERCEPO VISUAL. ERRO DE GRAFICISHO

limite de percepao do olho humano ~ de cerca de 0,1 mil{metros distncia mnima de viso distinta (25 cm ) e que corresponde ao poder se-parador do olho humano que de I'.

Embora um desenhador com bastante prtica possa medir,num desenho,

comprimentos com aproximao ao dcimo de milimetro, toma-se como limite depercepo visual de uma pessoa(que depende das condies fsicas da mesma)um valor mdio de 1/5 milfmetro.

~ a partir deste valor mnimo que o olho humano normal de~xa depoder separar as imagens de dois objectos distintos.

~, ao valor de 0,2 ml:metros, que se toma como limite normal dapercepao visual ou de apreciao no desenho, que se chama ERRO DE GRAFICrS-

E~ro de graficismo depende da acuidade visual,da habilidade dodesenhador e dos recursos tcnicos ao seu dispor.

Portanto se uma distncia reduzida escala for inferior quelevalor ser despresvel visto que no podemos represent-la na plantajo mes-mo se poder dizer em relao aos ngulos: aqueles,cujos arcos reduzidos escala da planta/so inferiores a 0,2 mlfmetros,so do mesmo modo despre-

sveis pela impossibilidade de fazer a sua representao no desenho.Nos trabalhos de campo devem ter-se em ateno as consideraes

feitas atrs,para no se perder tempo a medir distncias e ngulos que no

se podem representar na planta.

6.CTOPOGRAFIA

Assim para que um comprimento possa ser representado num desenho

seu valor deve ser superior ao produto do erro de graficismo pelo mdulo

da escala:

I > 0,2 N IEm cada planta e conforme o mdulo da escala,este valor de 0,2 m-

lmetros representa quantidades muito diferentes.

Por exemplo,para as escalas:

1:100-- 1:200 - 1:500 - 1:1000 - 1:2500 - 1:5000os 0,2 ml~etros de apreciao representam,respectivamentetno terreno oscomprimentos:0,02 - 0,04 - D,lO - 0,20 - 0,50 - 1,00 metros, logo as dist~ncias medidas noterreno devem ser superiores a estes vailiores,conforme a escala adoptada.

Em concluso:

Quanto maior for o erro tol~ervel de um2 escala menor a suaprecisotlogo uma escala tanto mais precisa quanto menor for o seu mdulo.

Do mesmo modo, as curvas, cujos arcos tenham flechas inferioresa 0tZ.H, so consideradas como rectas; isto evita-nos tomar um numero de

pontos excessivos numa curva que vai ser representada na planta por uma recta.

Racioc{nio semelhante se aplica medio de ngulos:no interessaler no aparelho ngulos com grande exactido quando o transferidor vulgar s

nos permite marcar no desenho ngulos com preciso de meio grau ou de meio

gradoCconforme o tipo de graduao).Todo o exposto atrs s tem validade quando se tem de fazer a re-

presentao grfica de medidas efectuadas no campoiPorm quando no ~necessrio fazer tal representao grfica, mas smente uma srie de clculos ana-

lticos para a determinao das coordenadas dos diferentes pontos em relao

a um sistema de eixos coordenados, ento exigida a mxima preciso nas me-didas realizadas no campo,e s na SUa representao grfica que as consi-deraes feitassoaplicveis.

Vejamos quais os valores dos ngulos que se podem desprezar no ter-rena, sendo a escala da planta I: 1-[

Da anlise da figura vemos que o compri-

mento do arco depende do seu raio,pois aque-

le pode ser desprezvel para um raio pequeno

mas nao para um maior.

6.D

Seja r o comprimento "do lado do nguloiPodemos escrever

2 tr'" r = 400AB t>( gr

donde

logo

~ rrr _ 400Q - 2IT

Como R = r.M e AB deve ser maior que 0,2 milfroetros,temoslrOO 0.0002

ti gr :=2["( R

i'l

X, gr 1'1:= 0,01273 2 -R-

No caso da graduao sersexagsimal

ou

o01

EXEHPLO:

Sejam de 15 metros os comprmentes dos lados do ngulo e 1:1000o valor da escala.

Determinar o valor mnimo a partir do qual os ngulos no terreno

sao desprezveis.

eX. gr =0,012732 100015 = 0,8488 grados

Se os lados fossem de 15G metros

r>I. gr :::: 0,012732 1000 :::: 0, 08Lj9 grad os150

Comparando os valores obtidos vemos que o comprimento dos lados

do ngUlo tem uma grande influncia no valor do ngulo que se pode desprezar.

TOPOGRAFIA

I .5. Op~~aeh da Topog~a6~a

As operaes a real izar num levantamento topogrfico sao duas:

Planimetria

Altimetria

7

B

A pfa~im~la tem por fim determinar a projeco horizontal do terrena, sem considerar o relvo do solo.

A (~ne~a (ou nivelamento) tem por final idade o clculo e a avaI iao das alturas necessrias para a determinao e representao do relvo doterreno.

A projeco horizontal considerada, como ja atras se disse, fei-ta sobre um plano AB (Fig.3) tangente em C, ponto mdio do terreno a levantar, superfcie mdia das guas do mar, suposta prolongada por debaixo dos continen-tes. Por cada ponto a, b, c, d, do terreno a representar, baixam-se verticais,c~jas interseces com o plano tangente do oS pontos A, B, C, D, que sao as pro-jeces dos pontos considerados do terreno.

Como vemos, comete-se um erro quando consideramos como superfciede referncia o plano AB em vez da superfcie do nvel mdio dos mares; esse e~ro em reas suficientemente restritas pode ser desprezado. Com efeito, admitindocomo superfcie de referncia o el ipside podemos ainda substitui-Ia por um po-1 iedro inscrito, ou circunscrito, de to grande nmero de faces que cada uma po~sa, sem erro sensvel, considerar-se completamente ajustada sobre-o elipsideterrestre; e sobre as mesmas faces podemos projectar todas as I inhas caracters-ticas das respectivas calotes sem que a curvatura geral influa no resultado. Comefeito sabe-se que num arco de 1 (Fig.4) a diferena entre a dupla tangente tt'(no ponto mdio T dos dois arcos de 3D') e a corda aa' aproximadamente igual a

FIG.} FIG.4

g4,23 m. Ora como a tangente e maior que o arco, e este maior que a corda, segue--se que a diferena entre um arco de um grau e a sua cardai ou entre o mesmo ar-co e a dupla tangente menor que 4,i3. Como o arco de um grau de circulo mximoterrestre tem a grandeza de 110 quilmetros, se sobre a Terra tomarmos uma calo-te, cuja base tenha de dimetro 110 km, podemos projectar este calote sobre oplano da sua base, ou sobre o plano tangente ao seu ponto mdio, na certeza deque a projeco vir apenas com um erro inferior a 4,23 metros que se pode conslderar nulo em presena dos erros inevitveis nas operaes dos levantamentos deum terreno desta extensao. De facto, o erro de 4,23 m na escala de 1/10.000 ainda inferior a 0,423. mi 1metros.At 110 quilmetros podemos pois descreverquaisquer pores da superfcie terrestre sem atender sua curvatura.

Mas quando se deve fixar a posio de pontos muito afastados, tor-na-se necessrio ter em conta a forma el ipsidal da Terra e preciso recorrerao processo da Geodesia. Esta considerada sob o ponto de vista mais geral, acincia que estuda a forma e as dimenses da Terra. A Topografia completa entaoa Geodesa. Modernamente, aos levantamentos topogrficos, onde se no toleram interpretaes vista, isto , onde todos os pormenores so objecto de determina-es geomtricas ou numricas, d-se-lhes o nome de Leval1tame.n}:o;, ToromvU..~ofl.

I .6. Rep/tv, eJ'cLi.o do TeN1.e.110

Na representao dos pormenores planimtricos, usam-se ..).lcU/.;, c.on-ve.J1c.iOI1(~), algumas vezes a cores, e quando no possvel desenhar aqueles por-menores a escala da carta, por ela ser pequena, as convenes tm a, um papelespecial; assim a representao de uma estrada com 5 mde largura na escala1/50.000, teria de ser feita com um trao de 0,1 mm de largura, o que no seriapossvel, obrigando, portanto, adopo de uma conveno especial. Na indicaode culturas, rvores, etc, adoptam-se tambm convenoes especiais.

Para a representao do relvo do terreno usam-se os seguintes m-todos:

a - Pontos cotadosb - Curvas de nvel

c - No rma isd - Hipsomtrico

TOPOGRAFIA 9.

I .6.1. MA.ado dM POVl.XOh Cotadoh

B, - nguloe e o

'62,65

67

'66.6{j

'62 ,65"

'59'6'

,"

'60

h.etg a

o relvo representado por um conjunto de projeces de pontos doterreno sobre a superfcie de referncia, as quais so acompanhadas de um nmerochamado Cota, que igual distncia desse ponto superfcie de referncia, medida sobre a vertical. (Fig.5-a).

Os pontos so escolhidos de modo a definirem perfeitamente o rel-vo, isto , so os po~toh notv~J do terreno, tais que, entre cada dois deles,mais prximos se possa considerar constante a incl inao do terreno 'dentro dapreciso exigida na representao.

A ~~c~na~o do te~enaa que alinha AB que OS une, forma com a horizontal.

O decLtve do te~evlO en.:tILe of, me-6-mo,s P0Vl.XOh a tangente trigonometrica do nguloa.. (Fig.5-b).

h - diferena de nvel entre os

.e - distncia horizontal entre A e BFIG.S

pontos A e B (oudas cotas de S e A)

diferena al~I- !! r

b)Este mtodo usa-se, em geral, na representaao das zonas urbaniza-

das das cidades, vilas ou outras povoaes, na de regies pouco acidentadas, oupara completar o traado das curvas de nvel, quando estas no definam perfeita-mente o relvo.

Assim nos arruamentos escolheram-se para pontos cotados, os de cruzamento e de mudana de decl ive dos seus eixos, representao altimtrica que pe~mite ao tcnico efectuar o estudo do traado das redes de distribuio de guase de evacuao de esgotos.

Vejamos agora alguns problemas de Geometria Descritiva que interessam a Topo9!La~a:

1

/:. .

lO

M(?) 8(38) 1II II :8

._. __._M~~_jJA(25),IIII

I11I

AI

I: I! .1FIG.6

Para resolver este problema basta rebater o plano projectante darecta AB sobre o plano horizontal que contem o ponto de cota mais baixa, e r;"solver um simples problema de tringulos semelhantes. O terceiro ponto pertence aoterreno visto que se considera constante o decl ive entre os dois pontos dados.

Da Fig.6, tiramos

finalmente a cota de Mobtem-se somando h1 a cota de A

2'? Ph..ob.tema

B

FIG.]

A

-aEm face das condi~es que presidemescolha dos pontos cotados, pode substi~uir-se o terrena, na zona que contm o ponto M de cota procuradapelo plano do tringulo ABC definido por trs pontoscotados A, B e C (Fig.]).

Para determinar a cota do ponto M, une-se C com M obtendo-se D sobre AB;

Por apl icao do problema anterior, calcula-se a cota de D; final-

Determinar a cota de um ponto qualquerdo terreno (M).

mente pelo mesmo processo determina-se a cota de M, visto que conhecemos as co-

tas de C e de D.

TOPOGRAFIA ~ JJ

Traar o perfil do terreno segundo uma 1inha dada sobre um planocotado.

x542. 3

A E" ~ ....."

.... 2 / \ 3 4 // \',1 / / \

/ \ -- \"J/ D \5

, /v \8 \

I\F

y

Chama-se peh6it do t~~no hegundo uma ~nha dada interseco dasuperfcie do terreno com a superfcie cil ndrica que tem por directriz alinhadada e cujas geratrizes sao rectas verticais; obtem-se o perfi I planificando asuperfcie cil indrica.

Para construir essa planificao, basta determinar as cotas dospontos notveis da 1inha dada MN e mediras dist~ncias desses pontos a .. um outroconsiderado como origem, obtendo-se as-sim os elementos necessrios para cons-truir a planificao, isto e, para dese-nhar o perfil relativamente a dois eixosrectangulares. No exemplo apresentado(Fig.8) tomou-se para origem o ponto 1.

No estudo das redes de distribuio de guas e de evacuaao de es-gotos traam-se perfis segundo os eixosdos arruamentos onde j existem os pon-tos cotados necessrios para esse fim(Fig.9 elO). FIG.8

Fig.9 FIG. 10

12

I .6.2. Mtodo dM CMVM de. !VIvei

Supe-se o terreno cortado por pla-nos horizontais equidistantes (superfcies de n-vel) e projectam-se as interseces (curvas de nlvel) sobre a superfcie de referncia, projecesque, por extenso do termo, se chamam tambm ~t~

V~j de. nZve.t sendo cada curva definida pela suaCOTA.

A distncia constante que separa e~tre si os planos considerados, chama-se e.q~L~tncJ..a ncU:Mct-t [E), e o seu valor reduzido escala a eq~cv0jtncJ..a gk6ica (e). Assim sendo l/ma escala teremos

Em

FIG.11

o valor da equidistncia deve variar conforme o valor da escala dacarta, o acidentado do terreno e o objectivo do levantamento.

A equidistancia natural, para escalas com denominador igualou In-ferior a 10.000, igual, expressa em metros, a 1/1.000 do denominador da escala,isto , corresponde a uma equidistancia grfica constante de 1 mm.

E m1 .00 O

No caso de terreno muito acidentado deve dupl icar-se o valor daequidistncia e, quando ele seja muito plano, adopta-se uma equidistncia grfi-ca de 0,5 mm ou mesmo, em casos especiais 0,25 mm.

Para escalas com denominador superior a 10.000, a equidistncia natural e igual, expressa em metros, a 1/2.000 do denominador da escala,isto ,co.c.responde a uma equidistncia grfica constante de 0,5 mm.

E m2.000

TOPOGRAFIA 13

Exceptua-se a carta mil itar 1/25.000, em que se adoptou a equidis-tncia natural de la metros, a que corresponder uma equidistncia grfica de0,4 mm.

As equidistncias naturais usadas normalmente sao:

1/50.000 25 met ros1/25.000 10 II

1/10.000 10 "1/5.000 5 LI

1/2.500 2,5 II

1/2.000 2 "1/1.000 "1/500 0,5 "

Nas cartas corogrficas de Portugal em escalas 1/100.000 e 1/50.000adoptou-se a equidistncia de 25 metros, valor que pequeno para a primeira car-ta, pois em certas regies mais acidentadas, aS curvas de nvel apresentam-se muito prximas, o que dificulta bastante a leitura das suas cotas, e a~ consequenteinterpretaao do relvo.

A noao de decl ive dada atrs, apl ica-se neste mtodo entre pontosdas curvas de nvel, designando-se por unha de. mcoIL de.c.live., a I inha do terreno,que em qualquer dos seus pontos faz o maior ngulo com o plano horizontal.

O dec.uve. (Fig.12) , como sabemos,dado por

A

(Hl)~/(H2)~

tg a h:I,

M

N

F [G. 12 FIG.13

14

Em face da definio, a I inha de maior decl ive, normal as curvasde nvel, visto que o valor mximo de ~ corresponder ao mnimo de L, pois o va-lor de h (diferena de cotas entre as curvas de nvel) constante (Fig.13).

O decl ive tanto maior, quanto menor for a distncia entre as curvas de nvel na carta, e por isso a observao dessas curvas d-nos uma ideiaperfeita do relvo do terreno.

Sejam dois pontos A e B (Fig.12) pertencentes a duas curvas de n-vel consecutivas, de cotas H1 e H2 .

O decl ive do terreno entre os pontos A e B

ou

donde

tg a

Em e

L ~m

e

EL

Adoptando uma equidistncia grfica constante para o mesmo decl ive~, as curvaS de nvel esto igualmente afastadas, seja qual for a escala da car-ta; por isso a observao dessas curvas d-nos uma ideia perfeita do relvo doterreno, pois conforme o espaamento das curvas de nvel, o terreno ser mais oumenos incl inado (respectivamente curvas mais prximas ou mais afastadas).

Como se acaba de mostrar, a representao por curvas de nvel, pe~mite uma apreciao completa e sugestiva do relvo do terreno, e consequentemen-te, uma interpretao fcil de todas as suas formas.

Quando entre curvas de nvel existem pormenores com interesse esp~cial, pode completar-se esse sistema de representao com alguns pontos cotados,ou com curvas intermdias a tracejado.

Para a interpretao das formas do terreno duma planta a curvaS denvel, bastar conhecer as duas formas fundamentais destes:

Io tergo

o vale

TOPOGRAFIA

TeAgo

15

Resulta da interseco de duas superfcies com a concavidade volt~da para baixoi aos dois lados d-se o nome de ve/1..ten>te/l ou eneo).)tt~6, e a sua in-terseco chama-se linha de c.wrU.ada, R.-tnhct de6eJ.J;{:o ou R.-lvlna cU...\J~JT..J..a dCV6 a.guCV6.Esta linha de maior decl ive e, portanto, normal s curvas de nvel.

Vci.-te

Resulta da interseco de duas superfcies com a concavidade voltada para cima; as duas faces chamam-se 5taYl.c.o~ ou mc~gen~.

A sua I i nha de i nterseco chama-se tctivegue ou linha de /Leun~odCV6 aguc~. Tambm esta I inha de maior decl ive, e, portanto,normal s curvaS denvel, como a da forma anterior.

Nas Figs.14 e 15 esto representados um tergo e um vale respectiv~mente, nelas se indicando tambm alinha divisria das guas e alinha de talve-gue. Vemos que a sua representao por curva de nvel idntica, 50 se distin-guindo pelo sentido de crescimento das cotas das curvas. No tergo as cotaS cres-cem de fora para dentro, e no vale de dentro para fora, ou seja nos tergos ascurvaS que tm menor cota envolvem as que tm maior, e nos vales as curvas de nvel cuja cota maior, sao as que envolvem as que tm menor.

Todas as formas do terreno resultam da associao destas duas for-mas fundamentais.

FIG.14 - TERGO FIG. 15 - VALE

16

e

B

E p

FIG.16 FI G. 17

Assim, a associao de dois tergos, constitui uma c.o,una ou Oll,tu-!to (F i 9 . 16) .

A associao de dois vales constitui um tago (Fig. 17).Comparando as Figs.,6 e 17 vemos que a representao da cal ina e

do lago e idntica apenas se distinguindo pelo sentido de crescimento das suascotas, isto e, na col ina as cotas crescem de fora para dentro, e no lago de den-tro para fora.

Temos ainda a po~t~ta, c.oto ou ga!tga~ta, que e constituida pela a~sociao de dois tergos e de dois vales. Temos assim quatro sistemas de curvasopostos dois a dois, voltando todos a sua convexidade para o mesma ponto P, crescendo as cotas a partir desse ponto em dois sistemas opostos, e diminuindo nosoutros dois sistemas.

-- - M

89

7

8

10

-.";.-.:::, 11---

~7-~~

~-

FIG. 18

TOPOGRAFIA 77

Na Fig.18 est representada uma portela, estando tambm indicadoso perfi) do terreno segundo alinha divisria das guas e alinha de talvegue.

A portela tem muita importncia na construao de estradas e cami-nhos de ferro, pois permite a passagem de um vale para outro.

Vejamos agora alguns problemas que se podem apresentar:

1? Del imitao da bacia hidrogrfica de um curso de gua relativa-mente a determinada seco desse curSo de gua

Chama-se ba~La ~L~ogh6~~a rea que contribui para a al imenta-o de um determinado curso de gua. A sua determinao faz-se, traando, em am-bas as margens, a 1i nha de separao das guas (Fi 9.19).

FIG.19

2? Transformar a representaao do rel~vo por pontos cotados em curvas de nvel

Este problema a base do traado das curvas de nvel nos mtodosclssicos de levantamento, pois nestes mtodos, o rel~vo obtem-se a partir de umconjunto de pontos cotados, procedendo-se em seguida ao traado das curvas de nvel.

Este traado exige o conhecimento directo do terreno afim de evi-tar solues incorrectas.

18

o problema fundamental o seguinte:

"VadoJ.> do,w ponto~ co:tado~, !LeJ:.(~uv(unen:te p!LX.mo~, de.;te!Lrrlla!L o~5ponto~ de. cota !Ledonda J.>Ltu.adM ,5 ub!Le a !Lectc( qu.e o u.ne".

Resolvido este problema para o maior nmero possvel de pares depontos, as curvas de nvel obtm-se, unindo os pontos com a mesma cota.

A ope rao de de te rm i na r os pon tos de cota redonda chama - se g!LadL(~-ao.

y Z B'"

"

TOPOGRAFIA 19

-H, divide o segmento P1P2 em duas partes t] e t 2 proporcionais as diferenas decotas h1 e h2 entre o ponto P e os pontos PJ e P2 .

Por uma propriedade das proporoes temos

h 1 h2 h 1 + h2.~ -~

2 1 t 2 iI + t 2e como

2 1 + 22 L e h1 + h2 H1 - H2

donde t i ramos

I 2[ h1 H1L- H2

1

12 h2L

H1 - H2

Mas esta determinaao seria demorada e nem mesmo necessria, po~que ao seu rigor no correspondeu rigor igual na escolha dos pontos !do terrenopois ela baseada na hiptese de ser constante o decl ive entre oS pontos cota-dos.

o"

20

Traa-se num papel vegetal um felxe de rectas paralelas equidistantes. Coloca-seo papel sobre a carta com a obl iquidade necess~ria para que os pontos A e 8 fiquem compreendi-dos entre as paralelas correspondentes Sua c~ta, como se indica na Fig.23. Os pontos de cota130 e 131 marcam-se sobre a carta por meio deum alfinete, no caso de se poder inutil izar acarta, ou directamente sobre ela levantando ovegetal, no caso de se no poder inutil iza-la.

---------~---132

A 131.20~ 131G~ 130

13~129.40____________8_ 129

FIG.23

b) V~ClpCw ao de- fLe.C..tcW c.onc.oMe.n:teA

132

FIG.24

Traa-se em papel vegetal umfeixe de rectas concorrentes ,semelhante aoda Fig.24. Procede-se de maneira analogaao diapaso anterior, devendo a recta deunio dos pontos A e 8 manter-se paralelaas 1 inhas verticais do diapaso.Toma-se p~ra ponto de concorrncia do feixe de rec-tas um ponto qualquer.

Na Fig.25, apresenta-se umexemplo do traado das curvas de nvel, apartir da planta a pontos cotados.

A determinao dos pontos de cota redonda e feita por qualquer dosprocessos indicados atrs. Determinados estes, unindo os diferentes pontos deigual cota obtemos as curvas de nvel, como se v na Fig.25.

\1S/0

FIG.25

. /'. i 49/ . \ .47.30~._.__\..' \ ~ 48\ . -. 47..'!fI. . ''0 47. -.-._ ....1."

/'/" \ . \ 46\ /. o

__ o ...... , \ / ..--:,.....'6.'2- 4545:1O~'_.-'

TOPOGRAFIA 21

3? Determinar a cota de um ponto qualquer do terreno (Fig.26)

Resolve-se este problema, traandouma recta que passe pelo ponto e seja sensivel-mente normal s curvaS de nvel entre as quaisse encontra o ponto; como o decl ive se consideraconstante segundo aquela recta, o problema resolve-se como no caso dos pontos cotados.

Ii MT

----_..Ll ___

FIG.26

4? Determinar o maior decl ive do terreno na zona de um ponto Mqualquer (Fig.27)

------------

eQ,tg a

Faz-se passar por esse ponto umarecta que seja sensivelmente normal s duas curvas de nvel; o decl ive dessa recta o decl ivep roeu rado

FIG.27

5? Traar o perfil do terreno segundo uma I inha qualquer(Figs.28 e 29)

A I inha pode ser recta, paI igonal ou curva, resolvendo-se este pr.5.:blema como para o caso dos pontos cotados. Para desenhar o perfil util izam-se ospontos de interseco da I inha com as curvas de nvel, e ainda outros interm-dias, de que se determinam as cotas, a fim de se definir perfeitamente o perfi 1.

30 -------------------25 --~-----. '"..:-:- ----

'J I ,20 --- I '----i-- -r--j - -'-' -r

I I I I tI I I' I

2 3 4 5

FIG.28 FIG.29

22

As escalas do desenho podem ser iguais para os comprimentos e paraas alturas (cotas), ou d'l ferentes.

Nos perfis longitudinais a escala das alturas e sempre maior que ados comprimentos, correntemente dez vezes maior, com o fim de tornar mais apare~te as pequenas diferenas de nvel entre os diversos pontos, pois sem isso, taisdiferenas passariam desprecebidas.

Em assuntos de hidraul ica, a escala das al turas chega a ser maiorque dez vezes a dos comprimentos.

6':' Traar uma linha com um determinado declive (Fig.3D)

FIG.3D

A

e

I

a projecao horizontal do segmento de rec-ta com aquele decl ive,entre duas curvas denvel. Com centro no ponto A da curva denvel, traa-se um arco de circulo de raio Z que corta a curva contgua no pontoB; com centro em B procede-se do mesmo modo e assim sucessivamente.

A I inha que une os pontos A, B, C, ... , e a I inha procurada.Este problema pode ter duas, uma ou nenhuma soluo, conforme o de

cl ive dado e menor, igualou maior que o maior decl ive na zona considerada.

Se for i o decl ive dado, e ea equidistncia grfica das curvas de n-ve 1 ser:

1.6.3. Al;toda daiJ No!tmcl-

Neste metodo o rel~vo do terreno e representado pelas linhas demaior decl ive, isto e, pelas normais que so traadas entre as curvas de nvelde forma que no fiquem no prolongamento uma das outras e que fiquem afastadasentre si de uma distncia igual quarta parte do seu comprimento, ou seja o quese chama Lei do qucUGto.

Nestas condices as normais ficam tanto mais prximas entre si quan, -

to maior fr o decl ive do terreno.

TOPOGRAFIA

As normais devem ser mais grossas quantomais curtas forem. Quando as curvas de nvel no foremparalelas aS normais devem ser curvilineas l voltando aconvexidade para o lado do maior afastamento.

Traadas as normais apagam-se as curvasde nvel (Figs.31 e 32).

Este m~todo tem sido empregado em plan-tas de escala muito reduzida por exemplo nas cartas francesas1/50.000 e 1/80.000, e na carta da Alemanha na escala 1/100.000.

nas

23

escalas

FIG.31

1 .6.4. !\f~todo f.p6olndJUc.o

FIG.32

Representa-se o relvo do terreno por meio de aguarelas dadas en-tre as curvas de nvel, todas da mesma cor, (regra geral Terra de Siena) mas demodo que os seus tons vo sendo mais esbatidos medida que a altitude diminue.

Supe-se que o terreno iluminado por luz zenital.Deste modo as partes do terreno menos incl inadas recebem mais luz.Este mtodo s tem sido empregado em cartas de escala muito peque-

na, e normalmente para uso pessoal do engenheiro.Existem diapases graduados com faixas esbatidas.

24

I .7 . 1. Ge.Vle./tci.L

TOPOGRAFIA 25

b) util izando instrumentos chamados ~Ukv~~~o~ (Fig.33), que nosdo a distncia pela leitura num mostrador. O curvimetro for-mado essencialmente por uma pequena roda dentada, que, ao rolarsobre alinha a medir, transmite o seu movimento de rotao aum ponteiro que indica, num mostrador circular, o valor do com-primento que se pretende determinar. Este mostrador tem vrioscirculas, correspondentes s diversas escalas mais usadas,o quepermite calcular directamente as dist~ncias sem ser necessriorecorrer a quaisquer operaes aritmeticas.

FIG.33

1.8. Avaliao de ke~ na ~(~a

1.8.1. Genehalidad~~

o clculo de reas e um problema que se apresenta em variados ca-sos - projectos de estradas (reas dos perfis transversais e reas a expropriar),partilha de propriedades, terrenos para construao de edifcios - e tanto podeser feito sobre a carta como no terreno.

Considera-se sempre, nos levantamentos correntes, como superfciede um terreno a rea da sua projeco horizontal, que no exactamente igual ado terreno propriamente dito, o que se justifica pois as plantas crescem verti-calmente e os edifcios so I imitados por planos verticais.

Em geral as superfcies que queremos aval iar no sao regulares nem

; .

26

de contornos rectil ineos, o que impede o emprego de frmulas geomtricas. Temos,por isso, de recorrer a processos que nos permitam obter a rea pretendida a pa~tir de figuras geomtricas simples.

Podemos fazer esta determinao por:

- mtodo anal itico- mtodos geomtricos- mtodo mecnico

Util iza-se quando as figuras tm um contorno pol igonal e se conhe-cem as coordenadas rectangulares ou polares dos seus vrtices.

E um mtodo bastante rigoroso e usado apenas na aval iao de reas

cujos I imites so definidos por marcoS de coordenadas conhecidas.A Fig.34 representa uma parcela ABCDE que queremos determinar a su

perfcie S; esta ser:

S

(1)

Podemos portanto enunciar a regra seguinte:

"para determinar a superfcie de uma parcela de que conhecemos ascoordenadas dos seus vrtices, multipl i camas a ordenada de cada vrtice pela di-ferena entre aS abcissas do vrtice seguinte e anterior, subtraindo sempre alg~bricamente a segunda da primeira. A superfcie procurada igual a metade da so-ma dos referidos produtos".

TOPOGRAFIA

Exempto:

Determinar a rea de uma superfcie cujas coordenadas so:

- 4VERTICE 1 2 3 5

ABCISSA 100 130 190 300 380-

ORDENADA 90 250 380 300 120

Apl icando a regra indicada vem:

s = J.. [ 90 (130 - 380) + 250 (190 -100) + 380 Uoo - 1301 +2+ 300 (380 - 190) + 120 (100 - 300) J

s ~ 1-9D x 250 + 250 x 90 + 380 x 170 + 300 x 190 - 120 x 200 I"" 48 800 m2

Podemos dar equao (1) a forma:

- XSYl 1

27

28

Para obtermos facilmente esta frmula, escrevemos cadapor baixo da abcissa correspondente

ordenada

Os produtos correspondentes aos traos finos s~o as parcelas posi-tivas, os correspondentes aos traos grossos as negativas.

I .8.3. M.todof.J Ge..om~t!GLco!.J

Baseiam-se na medio de distncias na planta, decompondo a areaem figuras simples de superfrcie conhecida da geometria (trap~zios e tringulos).

Se a figura for 1imitada por uma curva podemos medir a area pordois mtodos geomtricos aproximados:

- dos trapzios

- de Simpson

Para apl icar qualquer destes mtodos a area 1 imitada por uma) inhacurva, traamos uma recta segundo a maior dimenso da figura e dividimos em par-tes iguais o segmento AB dessa recta traando normais a AS pelos pontos de divi-so at encontrarem a curva.

I .8.3.1. 11.(~todo do!.J TILap..o!.J

Dividimos a area a medir numa srie de trapzios por meio de rec-tas paralelas equidistantes normais a AB, substituindO-58 a curva por uma linhapol igonal. A rea ser dada por

TOPOGRAFIA

S

I

I I II I , II II II I I

,VnI I I IYn-l:V1 :Y2 lY3 I II

JI I I II I I I I

AI I I I I 8, !I "I' "j ~h h

FIG.35

YI + Ynh ( 2 + Y2 + Y3 + ... + Yn-l )

29

Esta frmula e tambem chamada de BEZOUT e pode enunciar-se:

"Somam-se a mdia das ordenadas extremas com as ordenadas interm-dias e multipl ica-se o resultado pelo intervalo constante h, ob-tendo-se a rea procurada".

Ex.emplo

Apl icando a regra de Bezout, calcular a rea compreendida entreum a1 inhamento e uma 1inha curva, tomando ordenadas com intervalos de se'is me-

-tros e cujos valores sao:h l 0.96 m

h2 3,12 m

h3 3,84 m

h4 3,36 m

hs 1,32 m- -

a area sera

S:; 6 (0,96 + 1,32 + 3,12 + 3,84 + 3,36)2

30

I . 8. 3 .2. .\l,todo de S,unp.6 on

Aplica-se este metodo sempre que se pre-tende maior preciso, e consiste em considerar alinhacurva composta por arcos de parbola. Este mtodo con~

-sidera um numero par de intervalos d.Na Fig.36, est representado um troo de

pol igonal AB; OFC representa uma parte da I inha curvaque se supe de forma parabol ica e h1 h2 e h 3 so trsordenadas consecutivas levantadas com intervalos iguaisd.

FIG.36

A superfcie compreendida entre o aI inhamento AB e a curva podeconsiderar-se composta pelo trapzio ABCD e pelo segmento compreendido entre oarco parabl ico DFC e a sua corda DC.

A rea de um segmento parabl ico DFC igual a dois teros da su-perfcie do paralelogramo envolvente COEFG. Logo a rea I imitada pela curva e p~lo aI inhamento AB de comprimento 2d ser

Analogamente para os dois intervalos seguintes seria

A soma de todas estas areas parciais nos (n - 1) intervalos, sendo- -

n um numero impar, sera

Podemos entao enunciar a:

Reg~a de S~mp.6on

A rea procurada obtem-se multiplicando um tero do intervalo constante entre as ordenadas, pela soma das ordenadas extremas com o dobro da somadas ordenadas impares e com o qudruplo da soma das ordenadas pares.

TOPOGRAFIA

Exemp-C-o

31

Determinar, por este metodo, a rea da superfcie do problema apr~sentado em 1.8.2.1:

S .. [ 0,96 + 1 J 32 + 2 (3,84) + 4 U, 12 + 3,36)3

71 ,76 m2

Na cadeira de ESTRADAS E CAMINHOS DE FERRO, sero estudados outrosm todos geome t r i CDS pa ra a ava I iao de reas - de Ga rceau, de Co 1 i gnon, da ro 1eta de Dupuit e da quadricula.

Neste mtodo usa-se um instrumento muito simples - o planmetro ouintegrador - e este metodo que na maioria das vezes se emprega, porque muitosimples e prtico. O planimetro mais uti I izado o planimetro polar.

A teoria do emprego deste planimetro estudada na Cadeira de Fsica.

I .9. CO!lJLe-f.ao en.Vte a PtWne..;tJct e. o Vl-Lve.icone.ntoLe.-0s de. BWMJ1.

o mtodo de representao do relevo do terreno por curvas de nvelapresenta muitas vantagens: grande clareza no desenho, indicao do valor dos declves pelo afastamento das curvas de nvel, etc. As curvas de nvel tm as se-guintes propriedades:

a) correspondem a planos horizontais equidistantes

b) quando cortam uma linha de agua a convexidadefica voltada para montante da linha .-de agua(Fig.37)

FIG.37

32

c) duas curvas de nvel nunca se cruzam

d) uma curva de nvel nunca corta a mesma linha de gua em maisque um ponto

e) uma curva nunca deve ser interrompida dentro da carta, salvoquando encontra o sinal de escarpado, sinal que se deve usarsempre que o decl ive igualou superior 1/1

f) uma 1 inha de nvel so se interrompe quando encontra um edifcio, uma estrada, caminhos e cursos de gua, e quando estespormenores so representados por mais de um trao; as infle-xes nunca se fazem em ngulo

Estas propriedades tm interesse para o estudo da correlao entrea planimetria e o nivelamento, quando se pretende fazer a reconstituio do as-pecto geral do terreno sobre uma carta a curvas de nvel. Estas relaes estaoexpressas pelas chamadas LU-6 de BfL,L6-60Yl, que apresentamos a-seguir, juntamentecom outras que a experincia permitiu deduzir.

A - QuaY1.to M Y1.itcv~ de agua

la. Qualquer 1inha de gua est compreendida entre duas 1 inhas defesta, que desde a origem at foz se vo afastando e medidaque descem e o decl ive vai sendo menor (Fig.38).

2a . Quando dois cursos de gua se juntam num nico, este fica sen-sivelmente na mesma direco que alinha de festa que os sepa-

ra (Fig.39).

3a . Quando duas 1 inhas de gua correm paralelamente e, em determi-nada zona do terreno, inflectem em direces opostas, tal zonadetermina a existncia provvel de um colo (Fig.4D).

,,,

,,,

,,,

,,.

FIG.39

2030 ~SO --."4 o ;---;:~g~_'"~

FIG.40

7060SO403020

TOPOGRAFIA 33

4a . Quando existem vrias 1inhas de gua, seguindo em direces diferentes, tendo partido de um ponto comum ou prximo, este e,geralmente, um ponto culminante (Fig.41). Quando, pelo contr-rio, vrias 1 inhas de gua, que corriam em direces diferen-tes, se juntam, o lugar de confluncia representa uma depres-so notve 1.

5a . Quando duas I inhas de - depois de caminharem paralelamente,agua,mas em sent i do contrrio, mudam de direco, o ponto mais bai-xo da 1 i nha de festa que as separa, acha-se sobre a 1i nha deuniao dos dois cotovelos (Fig.42).

6a . Se s uma das 1inhas de gua muda de direco, a parte maisbaixa do festa encontra-se sobre a perpendicular tirada do co-tovelo sobre a direco da outra I inha de gua (Fig.43).

607080

8070605040

30~........~_lJ...~:=_-~1O'lo~---30--t~---~-40

---\---~__50____60

3:::60'---t------Jo~520 ..o---r--~10

o:=,.-+-..~_

FIG.41 FIG.42 FIG.43

7a . Quando um curso de gua se divide em vrios braos, formandoilhotas irregulares, existe uma plancie ou vale largo, sendoo talvegue sensivelmente horizontal (Fig.44).

8a~ Se existe um nico brao aproximadamente recti lineo, o vale eestreito e o talvegue muito pronunciado e de grande incl inaolongitudinal (Fig.45).

FIG.44 FIG.45

34

B

FIG.46

D F H

~las um vale longitudinal AS, e aoutra uma sucessao de afluentesperpendiculares CD, EF, GH, con-clui-se, desta disposio que a1inha de gua AS corre ao longode um escarpado. O vale respecti-vo indicar, frequentemente, um caminho praticvel, e, prova-velmente, outro mais acima, na parte superior ~ escarpa (Fig.46) .

IDa. Quando um curso de gua apresenta sinuosidades, a margem situada do lado da convexidade tem comandamento sobre a outra (Fig.47) e a sinuosidade de uma 1inha de gua corresponde, numa margem, um tergo, e na oposta, um vale (Fig.48).

FIG.47 FIG.48

l1 a . Quando uma 1 inha de gua formaum cotovelo (Fig.49) a margemsituada junto da convexidade emais escarpada dQ que a oposta.A parte plana do fundo do vale, tambm, mais estreita pertoda margem escarpada do que daoutra. F1G.49

Peja anl ise da Fig.49 co~cluimos que as guas quando chegam ao cotovelo MN, chocam emN, gastando esta margem. Pelo contrrio, em M, a corrente e muito mais fraca.

TOPOGRAFIA 35

B - Quanto a.6 CJ.J./lVWS de. vUve.-C.

Se aS curvas de nvel se apresentam igualmente afastadas o decl ivedo terreno representado constante (Figs.50 e 51).

})-)1t)1i!

36

1.10. Ohientao

I. 10.1. Gen~at{dade4

Na execuao dos trabalhos topograficos temos necessidade de nosorientarmos, a fim de podermos sempre, determinar com segurana, o caminho a se-guir. Esta determinao da direco que pretendemos seguir, tanto pode ser feitaem terreno pouco como muito acidentado, coberto ou descoberto, quer de dia quer noite.

A orientao consiste,pois, em determinarmos a direco '~do Nortegeografico em qualquer lugar e ocasio, podendo ser feita por varios processos:

- pela bussola- por meio da carta- pelos astros- por indicios e informaes

Para definirmos direces temos de dispor de referncias,pontos c~ja posio seja invariavel, qualquer que seja o lugar da Terra em que nos encon-tramos.

o movimento aparente do Sol permitiu ao homem a determinao des-ses pontos - O~ po~to6 candeaJA - Norte, Sul, Leste e Oeste. O Norte e o pontofundamental e ao qual se referem, quasi sempre, todas as direces.

O conhecimento dos pontos cardeais a base elementar da orienta-ao, mas como as direces que permitem definir, ficam por vezes, bastante afas-tadas das que desejamos determinar, criaram-se outros pontos, que representam direces intermdias daquelas - so os chamados po~to~ cotatek~.

Temos ainda novas direces intermdias definidas por outros pon-tos a que damos o nome de ~ub-cotatek(~.

No total conseguem definir-se 32 rumos, considerando novos pontosentre os sub-colaterais. O conjunto de todos estes rumos chama-se R06a d06 v~nto6.

A direco principal a Nokte-Sut, e em relao a ela que costumamas orientar os trabalhos topograficos.

TOPOGRAFI ti,

1.10.2. P~ta bU6~ota

37

Este processo e o geralmente usado em levantamentos topogrficos.Para nos orientarmos com a bU5501a, colocamo-la horizontalmente e de forma que aponta azulada da agulha coincida com o ponto do mostrador, indicativo da decl inao. A agulha dar-nos- alinha N-S magnetica.

Comeamos por local izar na carta o ponto onde nos encontramos. Es-colhemos em seguida, dois ou mais pontos do terreno, que sejam bem visveis, eque se local izam na carta. Rodamos esta de modo que as linhas definidas pelospontos do terreno fiquem em coincidncia com as correspondentes da carta.

,.-,:,~C~~f':

38

I . 10 .4. Pe.Lof.J M.t/tOf.J

Podemos orientarmo-nos pelo Sol, pelo Sol com o relgio, pela Som-bra de uma estaca, pela estrela Polar (no hemisfrio norte), pelo Cruzeiro doSul (no hemisfrio Sul e pela Lua).

1.10.4.1. Pe.Lo SoL ~om o ~etgio

Neste processo, o relgio colocado horizontalmente, com o mostrador voltado para cima, e com o ponteiro das horas apontado na direc~o do Sol.A bissectriz do ngulo formado por aquele ponteiro e alinha centro - 12 do relgio, define-nos uma direco que aproximadamente a da 1inha N-S; o Norte ficapara o lado das costas do observador, quando este est no Hemisfrio Norte. Quando o observador est no Hemisfrio Sul apontamos alinha centro -12 para o Sol ea bissectriz do ngulo formado por esta direco com o ponteiro das horas, no momenta da observao, d-nos a direco do Norte.

s

FIG.55

16h 35m

FIG.56

9h25m

URSA MAIOR,{

I{

JI/'

..-

.............. ,//

// ......-.---.-/ /

'( / /\ /\ /-../

\

TOPOGRAFIA

I . 10.4.2. Peta. fJ.ltJ1.eta. POEM

A Estrela Polar a ltima da caudada Ursa Menor. A local izao por esta estrela quenos indica o Norte, faz-se a partir da Ursa Maior:prolongando alinha que une as duas estrelas maisbrilhantes desta constelao - as da frente - pa-ra o lado da convexidade da cauda de um comprime~to igual a cinco vezes a distncia entre elas(Fig.57) .

\\

\\

\\

\\

\\

URSA MENOR/~

'\ "" ....-'II,

II

,.II

39

I . 10.5. PO!t -I.nd-LcJo6 e -I.n6 o!WJa(J)

FIG.57 ESTRELA POLAR

Estes processos sao os mais susceptveis de erros. Abaixo apresen-tamOS alguns dos vrios indcios que nos podem servir para indicar o Norte:

- o altar-mar das igrejas est a Nascente e flortanto a .porta aPoente. Porm, modernamente, h muitas igrejas que,ppr i~posj~aourbanistica, no so construidas nesta posio, motivo porque oprocesso , s vezes, falto de confiana.

- existncia de uma cruz horizontal indicando oS pontos cardeaisou de uma barra fixa indicando o Norte nos cataventos das torrese campanrios das igrejas.

- a casca das rvores apresenta-se mais rugosa e coberta de musgono lado Norte (lado menos exposto ao Sol).

S devemos recorrer orientao por informaes quando nao dispu-sermos de outro modo de nos orientarmos. Como precauo, devemos sempre pedir avarias pessoas diferentes, as informaes de que necessitamos para definir um ru

40

mo, afim de controlarmos as informaes recebidas. Da maneira de faFer as pregu~tas depende fundamentalmente a obteno de conseguir respostas correctas. Assimpodemos, por exemplo, preguntar:

- "de que lado nasce o Sol e de que lado se pe tt

,ttaonde que dada estrada vai dar" (e nunca "se ela vai para Aou B")

- "Como se chama o lugar que pretendemos identificar", etc.

CAPITULO II

mSTRUMENTOS

r I . 1. Ge..n.efLCtdadVJ

Para as operaes a real izar sobre o terreno certos instrumentossao necessrios, sendo muitissimo grande o nmero de modelos existentes. E, todavia, fcil agrup-los em um certo numero de classes ou categorias, visto que asvariedades de cada categoria conservam, geralmente, os mesmos orgaos essenciaise s diferem por disposies de pormenor. Alm disso, grande parte dos rgos e~senciais so comuns a vrios instrumentos. Vamos, portanto, examinar ~sucessivamente, pelo menos, um tipo em cada categoria de instrumentos, visto que, geral-mente, sera suficiente conhecer bem um tipo de cada categoria para conhecer igu~lmente os outros. Distinguiremos: acessrios, rgos comuns a diversos instrumen-tos; instrumentos para a medida de comprimentos, de ngulos horizontais, de alturas, instrumentos mistos e instrumentos grficos.

Daremos, a propsito de cada instrumento, a sua descrio e o seuuso.

11.2. Ac.VJ~oJU.o~

I I .2. 1. E~;tac.M. MMC.O~. Sua ..i.mptan.tao

H pontos importantes que devem ficar marcados no terreno, quer p~ra serem utiJ izados mais que uma vez durante as operaoes, quer para servirem deI igao a operaes ulteriores. Util izam-se, para isso, as ~;tac.(~ e os mMco~,conforme a importncia dos pontos a marcar e a durao que se pretende impor--lhes. As estacas so de madeira, de seco quadrada, aguadas numa extremidadee de comprimento varivel com a consistncia do terreno e a importncia do ponto.Marcar-se-o com elas, por exemplo, os vrtices de uma pol igonal. Pontos mais i~portantes so s vezes marcados com marcos de pedra, sol idamente fixos no terre-no e em cuja superior se marca o seu ponto central. Tal o caso, por exemplo,p~

42

ra os vrtices de uma triangulao. Para triangulaes importantes, esses marcossao as vezes construes de alvenaria que chegam a ter grandes dimenses.

Na maior parte dos casos, existe uma certa margem para a escolhada posio dos pontos, que apenas se tornam definidos depois de cravadas as estacas ou os marcos. Outro tanto nao acontece, porem, quando esses pontos resultamde uma operao prvia, a interseco de dois aI inhamentos, por exemplo.Neste c~50, depois de marcado o ponto no terreno, torna-se necessrio fix-lo mais sol i-damente. Se em rocha, pode abrir-se um furo, a cinzel, de dimenses adequadaspara nele se fixar o ferro de uma bandeirola; em caso contrrio preciso cra-var precisamente no ponto uma estaca ou um marco.

FIG.59

FIG.58

,d: .Ip

-. ----.- - -- ..d I ddi

I

pois de cravar a estaca, marca-se nela o ponto, procedendocomo anteriormente. A mesma coisa se pode fazer tambm comuma nica bandeirola, mas os resultados so de menor confian

Para isso, de um lado e do outro do ponto P(Fig.58), e em direces aproximadamente em ngulo recto,marcam-se distncias d, sendo possvel iguais e de um me-tro, pelo menos. Em seguida comea-se a cravar a "estacaem P e vai-se verificando, pela medio das distncias d,que a estaca se no afaste da vertical idade. Cravada a estaca de forma a ficar fora do 5010 alguns centmetros ap~nas, marca-se o ponto na cabea da estaca, ainda por meio das mesmas distnciasd. No ponto, ou se crava um prego ou se abre um furo de trado.

Se em lugar de uma estaca se tratasse de um marco, proceder-se-iada meSma forma, abrindo primeiro a cova, onde depois se introduzia o marco. Naparte superior deste, depois de bem apertado, marcava-se o ponto, por meio dasmesmas distncias d, com tinta ou com um furo de cinzel.

Tambm se pode proceder, de outra forma: com trs bandeirolas, cravadas no terreno, forma-se uma espcie de trip (Fig.59), deque se suspende um fio de prumo, precisamente na vertical doponto P, marcado no terreno. Depois vai-se cravando a estacae verificando vrias vezes se ela se afasta da vertical. De-

a.Algumas vezes poder ser necessrio marcar pontos ~em edifcios,

muros, etc. Marcam-se entao com tinta, assim como no prprio terreno, quando eem rocha. Mas quando, principalmente nes~e ltimo caso, os pontos devem ser con-servados por muito tempo, ento necessrio grav-los.

TOPOGRAFIA 43

Referncias so apontamentos que faci! itam a procura de pontos as-sinalados no terreno, pois os pontos importantes devem ser referenciados de ma-neira a poderem ser restabelecidos no caso de desaparecerem. Marcam-se entao, omais perto que seja possvel, ponto~ de ke6ehncza, medindo as suas distncias estada ou ao ponto. As distncias so pintadas junto aos prprios pontos de referncia, e na caderneta de que o operador 6e estiver servindo, desenhar-se- umcroquis, em que se jnscrever~o, tamb~m, essas medidas. Outras vezes,a referncia~ dada pelos prolongamentos de aI inhamentos existentes, como fachadas de edif-cios, muros, etc. A Fig.60, d alguns exemplos, de referncias, mas evidenteque as combinaes podem ser extremamente variadas.

FIG.60

I I .2 .3. Bande.-w.cv!J

so hastes de madeira ou de metal de secao circular ou octogonal,de comprimento igual a 1,5 ou 2,0 metros.

As de madeira tm cerca de 3 a 4 cm de dimetro e as de ferro 1,5a 2,0 cm.

so pintadas em zonas alternadamente brancas e vermelhas com o comprimento de meio metro para melhor se distinguirem distncia; na parte infe-rior sao munidas de um ferro, por intermdio do qual se cravam no terreno.

A bandeirola crava-se com a mo direita, batendo com o ferro no5010 energicamente, to verticalmente quanto possvel e sempre no mesmo orifcio,o que s com alguma prtica se consegue. Depois verifica-se a sua posio no pl~no vertical da direco segundo a qual ela dever ser observada, colocando-se oobservador nesta direco com o fio de prumo. Se a bandeirola se desvia do planovertical assim gerado, re~tifica-se e volta-se a verificar. Esta operao chama--se imp.antao de band~oe~.

Acima no falamos de bandeirola vertical. mas sim num plano verti-

44

cal, o que e diferente, mas em todo o caso suficiente quando ela s deve ser vi-sada nesse plano. Mas se a bandeirola tem de ser visada tambem em qualquer outradireco preciso torn-la vertical, o que se consegue fazendo uma outra verificao colocando-se o operador com o fio de prumo numa direco bastante diferen-te da primeira (de preferencia normal) e corrigindo-se qualquer afastamento; de-pois voltar-se- primeira posio e em seguida segunda, e isto tantas vezesquantas forem precisas para nos assegurarmos da sua vertical idade em ambas as direces; nessa ocasio estar ela vertical, pois material iza a interseco dedois planos verticais.

r r 2 . 4. Aunhcune.n.to

TOPOGRAFIA 45

entre A e B, alm de B ou aquem de B. Vamos resolver estes problemas supondo queapenas disposmos de bandeirolas para a sua resoluo.

1q PILobte.ma - Cotoc.oJL uma ban.deJ.Aota entJte A e. B

M N

FIG,62

"

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".'.'

::a.:~:::: :~~-=-:

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-d.-C!-- ----I ----- ------------------ ------------- -----.: i

:A l~,~~~,;

46

39 PJ1.0 b.te.ma - PUC.hM wn aL

TOPOGRAFIA

FIG.65

47

cruzamento dosSuponhamos que se pretende encontrar o ponto dedois alinhamentos AB e CD, (Fig.65).

Um auxil iar caminha sobre um dos aI inhamentos OC, por exemplo, se-gurando uma bandeirola verticalmente. O operador, colocado na proximidade :de Avisa tangencialmente s bandeirolas A e B e, fazendo sin~l com a mo, faz pararo ajudante no momento em que a bandeirola trazida por este ltimo, se encontrarno aI inhamento AS. E necessrio verificar depois se as bandeirolas C, O e O es-to aI inhadas. E claro que para o ajudante se poder deslocar no aI inhamento DC preciso ter cravado primeiramente a bandeirola E.

69 PlLobte.ma - TlLa-M wna pe.!Lpe.ncU..C.u.iM a um (tLlYl.h.ame.~to

Com uma fita mtrica marca-se sobre o aI inha-menta um comprimento de 3 m; com centro no ponto A descrev~-se um circulo de raio de 4 m, e do ponto B descre~e-se ou-tro crculo de raio igual a 5 m: a recta AC a perpendicu-lar pedida porque

.B

c

. A

o processo indicado oferece pouco rigor.E prefervel proceder como se indica a seguir:

marcam-se, para cada lado de A, comprimentos iguais, por ex.5 metros; com centro nos pontos C e O descrevem-se dois cr-culos de raio igual (por exemplo, 10 m). O ponto O de cruza-mento dos dois a~cos"de~crculo, unido com A define-nos aa perpendicular AS sobre CD.

FIG.66

13

FIG.67

48

7Q Ptwb.tema - Ttta-CUt WM pCUtct.te..ta a wn aLLnhame.n..to dado

Por dois pontos A e B do aI inhamento dado, le-vantam-se a este duas perpendiculares, e marcam-se sobre es-tqs comprimentos iguais AC = 80; os pontos C e O definem oa1 inhamento pedido, paralelo a AB.

A

FIG.68

D

TI

SQ Pttob.te.ma - PlLO.tOVlgCUt WYI ({.n.hame.Vl,to peVLa aLrrr de. WYI ob6tac.u..to

FIG.69

Seja AB o ai inhamento que queremos prolongar para alm de um obstculo (um bosque, um rochedo, um lago, uma casa, etc).

Por A e B traam-se perpendiculares ao aI inhamento AS e marcam-secomprimentos iguais AA' BB', prolonga-se o a1 inhamento A'S' e pelos pontos e'e D' marcam-se e'e = D'D; os pontos C e D definem o prolongamento do a1 inhamentoAS pretendido.

TOPOGRAFIA

I I .2.5. Af-,iAa.6. E-6tac-M

As miras so o acessrio indispensvel dos nveis. Tanto as mirascomo as estadias so rguas divididas, de 2 a 4 mde comprimento, raramente de5 ou 6 no maximo; correntemente so de 4 m. Em geral as divises das miras e asdas estadias so iguais. Quando a rgua se destina somente determinao dasdistncias, toma o nome de eAtdZa e as suas divises no sao necessariamentesubmltiplos do metro; para nivelamento toma o nome de m~a e as divises so metricas. E evidente que a mira pode servir de estadia e correntemente aS estadiasestao abrangidas na designao de miras.

As miras so de duas especies: a mira de alvo e a mira falante.

I I .2.5. 1. MifLa de. alvo

A mira de alvo, ja so usada com nveis de visada directa, esta ho-je quase abandonada. E formada por duas rguas de dois metros; a primeira apoiano terreno e tem uma ranhura, formando corredia, onde encaixa a segunda, que p~de desl izar ao longo dela; assim, quando aberta, a mira tem o comprimento de 4 me fechada parece uma so rgua com a seco de cerca de 4 x 4 cm. O alvo, de cha-pa e de cerca de 0,20 x 0,25 m, e dividido, por os dois eixos rectangulares, emquatro partes pintadas alternadamente de branco e vermelho; o eixo horizontal ealinha de f .

.A

FfG.70

50

Para alturas ate 2 m o alvo, montado num cursor com parafuso depressao posterior, deslocado na mira fechada e imobil izado na altura conveniente por meio do parafuso; para alturas superiores a 2 m o alvo e fixo com o mesmoparafuso no extremo superior da rgua mvel e este conjunto que o porta - miradesloca segundo os sinais do observador que, tal como no caso anterior,o mandarfixar na altura devida, isto , quando alinha de f coincidir comaa de visada,por meio de outro cursor e respectivo parafuso. Depois o prprio porta-mira quefaz a leitura na diviso respectiva - at 2 m na parte posterior, e ao lado dapara cima - e a diz em voz alta para o operador registar. Isto constitui o maiorinconveniente destas miras, porque se o porta-mira no sabe ler, ou no merececonfiana, te r de vir todas as vezes juntos do operador, com a mira apertada,para ser I ida por este, o que representa grande perda de tempo e uma causa de erro, porque no caminho pode dar-se um deslocamento se o aperto no foi suficiente;como verificao pode a mira voltar ao mesmo ponto, para segunda visada antes deser desapertada, mas a perda de tempo sera ainda maior.

11.2.5.2. AkAa 6a1a~te

Nestas miras as divises sao suficientemente aparentes para serem1 idas por o operador quando visa por a luneta, assim desaparecendo o inconveniente apontado.

As miras ordinarias so sempre constituidas por uma regua de madeira, geralmente dividida em duas partes, unidas de topo por uma charneira, Fig.71,ou podendo des1 izar uma sobre a outra, o que facil ita os transportes por se reduzir o comprimento. so, porm, muito variadas as suaS formas, assim como a maneira de dispor as divises e os nmeros, que so pintados em uma das faces, mas umrpido exame suficiente para as poder usar. A diviso e em centmetros, lendo--se os metros, os decmetros e os centmetros directamente e os milmetros porestimativa.

As lunetas invertem as imagens (Fig.72), aparecendo na parte supe-rior do campo ptico o solo em que a mira assenta; por isso a leitura faz-se decima para baixo e os nmeros na mira esto invertidos porque na luneta se veemna posiao normal, o que facil ita a leitura.

H, contudo, aparelhos cujas lunetas do imagens direitas, existinpor isso, miras cujos nmeros esto direitos (Fig.73l.

TOPOGRAFIA 51

FIG73

FIG.74

-

-

FIG.72FIG71

H casos em que as divises sao de 2 cm, sendo a mira graduada co-mo se fossem de 1 cm, e portanto qualquer altura ser I ida por metade do seu va-lor real. Empregando estas miras quando sobre cada ponto se fazem duas leituras,a soma destas e j a media a registar; fazendo uma s leitura seria preciso du-pI ic-la.

Como e indispensvel assegurar a vertical idade das miras,estas temquase sempre um prumo rgido ou uma nvela esferica na parte posterior (Fig.74),bem como dois punhos ou duas asas laterais para serem mantidas na posio devida.(Fig.76).

e assentam

52

A mira falante evita os erros de leitura que o porta-mira poderiacometer; a leitura e mais segura e mais rplda, e o nivelamento ganha em rapideze preciso, embora com maior fadiga para o operador.

I I .2.5.3. MVz.a de lVM

so de invar, as miras que se empregam nos nivelamento de alta pr~cisao e tm correntemente 3 m.

A fita de ao invar est montada numa ranhura aberta nnuma regua,geralmente de madeira (Fig.?S); na mira Kern esta r~gua ~ um tubo :metlJco deseco apropriada (Fig.76). A fita, que ~ fixada de modo a no ser influnciadapelas variaes de comprimento da r~gua, tem duas s~ries de divises, uma ao la-do da outra, e diferindo entre si de um certo valor, estando os nmeros respectivos pintados na rgua; as leituras feitas naS duas escalas do, portanto, uma d~ferena constante, o que permite a sua permanente verificao. A diviso geralmente em 1/2 cm, por ser este o desvio normal da I inha de visada dado por os mi-crmetros, mas este desvio de cm no Wild 3, como se disse, e por isso estafirma tem agora a sua "mira invar de alta preciso" dividida em cm,oqlje'tem vantagens evidentes.

so munidas de uma nivela esfrica bastante sensvelsempre, como atrs foi dito, numa sapata metl ica (Fig.??).

I I .2.5.4. E6t~a

E tambm uma mira falante cujas divises nao sao necessariamentemtricas, como se disse, mas na prtica so geralmente de 1/2, de 1 ou de 2 cm,segundo os aparelhos com que devem trabalhar. Servem, a maior parte das vezes,p~ra a determinao das distncias e das alturas, dois elementos que sao dados,s~multaneamente pelos taquimetros.

TOPOGRAFIA

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,F I G. 75 FIG.176

53

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FIG.77

Os instrumentos usados em Topografia, se exceptuarmos os que sedestinam a medida directa de distncias, devem ser todos colocados a uma alturatal que permita uma observao fcil e cmoda. Precisam, por isso, de assentarsobre suportes especiais.

54

I I . 2 . 6 . 1. ] a.to

o suporte mais simples e o Jalo (Fig,78), simples haste de madeira, igual a uma bandeirola maS mais curto, pois s tem cerca de 1,20 metros;temtambem um ferro na parte inferior para se cravar no terreno; na parte superiortermina em tronco de cone que entra numa bainha ou manga da mesma forma do ins-trumento que nele deve tomar apoio, como se mostra na Fig.78. S se emprega cominstrumentos de pequena importncia, como esquadros, pantmetros, etc.

I I .2.6.2. TJUp~

o tripe mais simples constituido por trs pernas de madeira comferro; por meio de parafusos apertam, na sua parte superior, uma pea,tambem demadeira, terminada como o ja1o e onde o instrumento se adapta como no caso ant~rior (Fig.79). Este trip tambm so se emprega com instrumentos de pequena impo~tncia, substituindo o jalo com vantagem nos terrenos onde este se no pode eravar.

Noutros trips, ja mais perfeitos, em lugar da pea superior indi-cada h um prato que mantido numa posio aproximadamente horizontal pelas tr~spernas e ao qual se fixam os instrumentos por diversos sistemas (Fig.80). As pe~nas, que podem ser simples ou duplas (Figs.79 e 80), so munidas de ferres e ligam-se, geralmente, por meio de cavi lhas roscadas a umas abas do prato.As pernaspodem ainda ser extensveis (Fig.81). Em muitos destes trips h uma pea de I i-gao, chamada bomba (Fig.84), que constituda por uma mola he1 icoidal encerrada em um tubo, sendo tudo atravessado por uma haste, roscada na parte superior,que vai atarrachar no eixo vertical do instrumento, que assim fica sol idamente fixo ao prato. A parte inferior da haste tem, para certos instrumentos, um ganchode onde se suspende o fio de prumo. Alguns trips terminam na parte superior poruma cabea, com alguns centrmetros de dimetro; esta cabea ento roscada eatarrachada em um prato ao qual se fixam os ps (parafusos calantes) do instru-mento por meio de um dispositivo especial.

TOPOGRAFIA

.~~

..

\

FIG.79

55

FIG.80

FIG.7S

FIG.Sl

FIG.82

56

lntafao do Tkip~

Para pr o trip em estao, preciso que os parafusos que o 1 igamao prato nao estejam completamente apertados.A posio a dar aos ps resulta, geralmente,da constituio e forma do terreno. Num terreno horizontal, as trs pon-tas devem ocupar os vrtices de um tringulo de tal extenso que cada perna fi-que fazendo com o solo um ngulo de cerca de trs quartos de um ngulo recto. Numterreno incl inado convem, geralmente, dispor duas pontas numa mesma horizontal ea tercei ra para o lado mais alto. Se numa estao se prev que as visadas saoparticularmente numerosaS numa certa direco, convem que o trip seja colocadode forma que no fique nenhuma perna embaraando o observador nessas visadas. Setivermos de real izar visadas apenas na direco A8 (Fig.82),tanto para um lado como para o outro, devemos colocar duaspontas numa paralela a AB ou alinha mdia das visadas ~aLefectuar. Em geral o observador deve evitar de calcar e queoutros calquem, o terreno perto das pontas do trip; o pesode uma pessoa pode provocar uma leve compresso do terreno,que se traduzir num desnivelamento do instrumento. As per-naS do trip devem ser cravadas quase ate a nega.

Para isso apoia-se o pe sobre o pedal de cada pern, dirigindo oesforo exercido paralelamente a ela; um esforo vertical seria obllquo~~ pernado trip e poderia parti-Ia. As pernas devem ser cravadas de maneira que, no fi-nal, o prato do trip fique sensivelmente horizontal; alm disso, ainda muitasvezes preciso que o centro do prato fique precisamente na vertical de um pontomarcado no terreno, sendo para isso que a haste da bomba tem um gancho para sus-penso do fio de prumo (Fig.83). s vezes h uma certa dificuldade, em terrenoacidentado, em real izar simultaneamente as trs condies a que deve obedecer oestacionamento do trip: horizontal idade do prato; centragem sobre o ponto da estaao e cravao dos ferres at ~ nega. Para reduzir as tentativas,colocar-se-o trip sobre o ponto da estao, respeitando as recomendaes relativas ~ posi-o das pernas, procurando colocar o centro do prato sobre a vertical do ponto;enterram-se depois, levemente, apenas dois dos ps e a terceira perna desloca--se, entao, de maneira que, depois de cravada tanto como as outras, se real izem,tanto quanto possvel, as duas primeiras condies. A seguir, termina-se a cravao dos ferres, carregando, sucessivamente sobre cada perna. Algumas vezes, pa-ra obter um resultado satisfatrio, h necessidade de recomear a operao, de-pois de ter modificado um pouco a posio inicial do trip~, havendo casos em que

TOPOGRAFIA 57

chega a ser difcil por um instrumentoem estaao, como quando, em terreno acidentado, se procura faz-lo sobre algu-mas fragas onde, demais a mais, os pesse no podem cravar.

FIG.83

Ptr.a:tO!.l de ttr.ano tao

Para evitar a perda de tempo, causada por estas tentativas, perdatanto mais importante quanto mais curtas e, portanto, mais numerosas so as esta-oes, imaginou-seLum',dispositivo que consiste em colocar, sobre o prato, um se-

gundo prato mvel, chamado pha:tO de ttr.anotao (Fig.84), que se desloca ,de al-guns centmetros, para qualquer lado, graas a combinaes diversas. E este se-gundo prato que recebe o instrumento,cujo eixo, por este movimento de translao, facilmente colocado na vertical do ponto desejado. Desapertando uma porca inf~rior, junto ao primeiro prato, o prato superior torna-se mvel e volta a tornar--se fixo quando de novo se aperta a mesma porca. Alm dos pratos de translao,devemos ainda citar, embora sejam menos vulgares, os pha:t0.6 de cCLtote e!.lJc.a,que permitem tornar rapidamente horizontal o prato sobre que deve assentar o instrumento, da mesma maneira que os pratos de translao permitem, com a mesma ra-pidez, colocar o instrumento na vertical do ponto de estao (Fig.85).

H ainda os pratos de calote esfrica e de translao, que participam dos dois sistemas.

Os trips de pernas extensveis com prato de translao fazem desaparecer as dificuldades de estacionamento atrs citadas.

58

FIG.84

I I .2.6.3. Joetho~

FIG.8S

Alguns instrumentos, como as pranchetas, 1 igam-se ao tripe por in-termdio de joelhos ou rotulas. O mais usado e o de esfera ou ~~uia e~60~[ca,queconsiste, essencialmente, numa esfera, fixa ao instrumento, podendo ser mobil i-zada entre duas maxilas que se ajustam perfeitamente sobre ela e que sao aperta-das por um parafuso. Os joelhos permitem dar aos instrumentos, muito rapidamente,a posio desejada (Fig.86).

~ II,

FIG.86

TOPOGRAFIA

I I .3. 1. PCUtctnU Q. e matai>

S9

Os parafusos desempenham um papel importante nos instrumentos detopografia, nao somente como orgos de fixao permanente, mas tambm como or-gos de fixao temporria, de rectificao, de translao, etc. Temos, por exemplo, os parafusos calantes (ou niveladores) para nivelar os instrumentos; paraf~sos de presso, para momentaneamente tornar solidrios dois orgos; parafusos m~cromtricos, que permitem lentas deslocaes relativas de dois orgos imobil iza-dos por parafusos de presso; parafusos de rectificao, necessrios 'cem certosorgaos, etc. Por vezes, h molas opostas aos parafusos, como por exemplo em al-guns nveis. so umas vezes hel icoidais e outras formadas de pequenas lminas.

I I .3.2. PCUtanU oh c.a.tan.teI.J

Os parafusos calantes, ou niveladores, sao assim .c~aro~d0s porque~servem para c.a.tc~J ou fazer estacionar, os instrumentos. Calar um instrumento ,portanto, tornar horizontal o 1imbo ou prato dividido ou, o que o mesmo,tornarvertical o seu eixo principal. Nos instrumentos modernos existe, para esse efei-to, um sistema de trs parafusos, chamados pc~a6Uo!.J c.a.tan.teI.J ou nivetadO~e0 V

(~ig.87) por intermdio dos quais os instrumentos assentam na cabea ~do trip.Uma pea T, com trs fortes hastes hori-zontais e iguais, faz corpo com a colunado instrumento. Estas hastes sao atravessadas pelos parafusos V que, assim, ocu-pam os vrtices de um tringulo equilt~ro; as hastes so fendidas nos extremose pequenos parafusos p permitem regulara presso sobre a haste filetada dos pa-rafusos V. Esta pressao deve ser regula-da de maneira que fique suave o movimen-to dos parafusos V, sem que, contudo,ela

FIG.S7

60

seja exageradamente diminuida. O melhor sera no alterar o aperto dos parafusospj a nao ser em caso de necessidade absoluta. Os parafusos V tm formas diferen-tes na parte inferior para assentarem na cabea do tripe. Vamos ver como se pro-cede para pr em estao o instrumento, isto e, como ele se cala ou se nivela.Todos os instrumentos tm uma ou mais nivelas, de que adiante falaremos; suponha-moS a existncia de uma d~v~dam~n~~ ~~GtL6~~ada.

19 Faz-se girar o instrumento, de maneira que a nivela N (Fig.88)fique ~a~to qua~o pOJJZv~t pc~c~~ta direco AB de dois par~fusos calantes (Pt e P2 por exemplo). Fazem-se em seguida girarestes dois parafusos em sentido contrrio (ambos para fora ouambos para dentro) e, tanto quanto possvel, de quantidadesiguais, at que a bolha do nvel fique entre os seus reparos,precisamente ao centro.

P~

A

NIII~III

B

FIG.88

29 Feito isto, obriga-se o instrumento a descrever um quarto de rotaao em torno do seu eixo vertical, pelo que o nvel vem paraNl, ocupando agora uma posio normal anterior; actua-se en-to sobre o terceiro parafuso P3 at que a bolha volte ao cen-tro; o eixo no saiu do anterior plano vertical, pois a rotaodada pelo terceiro parafuso se fez em torno da I jnha ' P1P2 dosoutros parafusos. Geralmente, ao fim desta segunda operao oinstrumento ainda no est precisamente nivelado, pois so em casos especiais isso acontecer; ento preciso repetir a duplaoperao descrita, at que a bolha fique imvel no centro, en-tre os seus reparos, seja qual for a posio da nivela; ento oeixo principal est situado em dois planos verticais, e,por conseguinte, est vertical. Convm ter presente que a bolha se desloca no mesmo sentido em que se move o polegar esquerdo.

TOPOGRAFIA

I I .3.3. N~veih. N~veia6

67

Vimos que os parafusos calantes permitem nivelar os instrumentos,isto e, do ao seu eixo principal a posio vertical, ou ao prato - que e normalquele por construo - a posio horizontal desde que se sigam as instrues fornecidas por outro orgo, de importancia capital nos instrumentos de topografia- a I'l.tvUa - (nvel de bolha de ar). Todos conhecem o nvel de bolha de -.ar queos operrios de construo usam para horizontal izar ou vertical izar os elementosdiversos duma construo. Neste caso ele e um instrumento completo. J nos apar~lhos de topografia ele e, apenas, um orgo; para evitar confuses com os apare-lhos usados em topografia para efectuar os nivelamentos, o Coronel Goul ier, e amaior parte dos autores e construtores depois dele, deram o nome de n;veia aosnveis de bolha de ar, sempre que eles nao sao mais que um orgo, ainda que es-sencial, de instrumentos mais completos, reservando para estes ltimos a design~o de nlveih.

Podemos, entao, defini r ~tveia6 como os orgos que se encontram I igados aos instrumentos com o fim de horizontal izar um plano, horizontal izar ouvertical izar um eixo ou medir pequenas incl inaes residuais dos eixos a que seencontram 1igados.

Temos trs espeCles de nivelas:

tr; i cas:;

reversveises fer i cas

11.3.3.1. Niveia t~ea

constituida (Fig.89) por um tubo de vi-dro fechado nas extremidades, com a forma de uma porode toro, sendo o seu circulo gerador de pequeno raio (emmedia 1 cm) e o circulo equador de grande raio (de 15 a200 metros ou mais), quase 6Bej.oepor um lquido (eter oualcool) no viscoso que no congele s baixas temperatu-ras no se altere com o tempo nem ataque o vidro, sendoo espao restante ocupado pelos vapores, que constituema bolha da nivela.

R

o

FIG.89

62

Em virtude dos princpios de equil brio que regem o equil brio dosfluidos, a bolha ocupa sempre a parte mais alta do toro, e sendo o plano do equ~dos vertical, a tangente ao toro no meio da bolha, contida nesse plano, :',bori-zonta 1 .

o plano do equador o p.tano mc.o da vUve.ta, o qual corta o torosegundo dois arcos de circuMferncia concntricos, designando-se o exterior ABpor tinha md;a da vUve.ta , e o seu raio R por ~a{o de. cunvatuAa da ~~ve.ta(Fig.89).

V~e.~z da vUve..ta VV r