Secção 8. Equações diferenciais não daniel/sem1_05/edo/farlow/sec8.pdf · Graficamente: A solução…

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  • 8. Equaes diferenciais no lineares

    Pgina 1 da Seco 8

    Seco 8. Equaes diferenciais no lineares. (Farlow: Sec. 8.1 a 8.3) Esta seco ser dedicada s EDOs no lineares, as quais so geralmente de

    resoluo analtica difcil ou mesmo impossvel. No vamos portanto tentar resolv-las

    como fizemos com as equaes lineares nas seces anteriores, mas apenas procurar obter

    informao qualitativa sobre o comportamento da soluo na proximidade do chamado

    ponto (ou pontos) de equilbrio. Para tal, teremos primeiro que estudar como as solues de

    sistemas de EDOs lineares se comportam na proximidade do ponto de equilbrio. Veremos

    depois como esta informao nos ser til.

    Vamos comear por considerar um caso simples: apenas uma EDO linear de

    primeira ordem:

    2dy

    ydt

    = .

    Esta equao designada de autnoma, pois o lado direito no funo explcita da

    varivel independente t, mas apenas de y. Chamamos ponto de equilbrio da equao ao

    ponto y para o qual a primeira deriva de y em ordem a t se anula, ou seja, no ponto de

    equilbrio, y no varia com t. Neste caso:

    0 2 0 2dy

    y ydt

    = = = .

    Assim, o ponto de equilbrio corresponde a y = -2. Mas o que que isto significa realmente?

    Como que o ponto de equilbrio afecta o comportamento da soluo da EDO? Vamos

    resolver a equao diferencial para tentar responder a esta questo.

    ln 2 22

    tdy dt y t C y Cey

    = + = + = +

    .

    Consideremos a condio inicial y(0) = -2, ou seja, para t = 0, y encontra-se precisamente no

    ponto de equilbrio:

    0(0) 2 2 2 0y Ce C= = = .

    Ou seja, a soluo particular correspondente a esta condio inicial :

    2y = .

    Em termos grficos teramos:

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

    Pgina 2 da Seco 8

    Ou seja, y constante ao longo do tempo! Se a soluo partir do ponto de equilbrio, ela

    permanece nesse ponto. Isto faz sentido, sem dvida. Mas, e se partirmos de outro ponto,

    que no o de equilbrio? Vamos ento considerar outra condio inicial: y(0) = 0.

    0(0) 0 0 2 2y Ce C= = =

    2 2ty e= .

    Graficamente:

    A soluo aproxima-se assimptoticamente do ponto de equilbrio ao longo do tempo.

    Realmente, da soluo particular obtida vemos que:

    2t y + .

    Mas ser que este comportamento geral, ou seja, ser que as solues particulares

    de qualquer equao se aproximam sempre do ponto de equilbrio? Vejamos outra equao

    diferencial, ligeiramente diferente da anterior:

    2dy

    ydt

    = + .

    O ponto de equilbrio novamente novamente y = -2. A soluo geral da EDO :

    2ty Ce= .

    Consideremos novamente a condio inicial y(0) = -2:

    0(0) 2 2 2 0y Ce C= = = .

    2y = .

    -2

    0

    y

    t

    -2

    0

    y

    t

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

    Pgina 3 da Seco 8

    Mais uma vez, se y se encontrar no ponto de equilbrio no incio, manter-se- nesse ponto ao

    longo do tempo. E se y(0) = 0?

    0(0) 0 0 2 2y Ce C= = =

    2 2ty e= .

    A representao grfica daria:

    O comportamento agora bastante diferente do anterior: y afasta-se cada vez mais do ponto

    de equilbrio! De facto, da soluo obtida tem-se que:

    t y+ + .

    Tentemos outra condio inicial: y(0) = -3:

    0(0) 3 3 2 1y Ce C= = =

    2ty e= .

    A nova representao grfica ter este aspecto:

    Mais uma vez, a soluo afasta-se do ponto de equilbrio:

    t y+ .

    Ento, nem sempre a soluo de uma EDO tende para o ponto de equilbrio medida

    que o tempo decorre Vamos sistematizar esta anlise do significado e implicaes do

    conceito de ponto de equilbrio, generalizando-a para sistemas de equaes diferenciais

    -2

    0

    y

    t

    -2

    0

    y

    t

    -3

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

    Pgina 4 da Seco 8

    lineares de primeira ordem. Consideraremos o caso simples em que o sistema tem apenas

    duas equaes.

    Classificao de pontos de equilbrio de sistemas lineares no plano de fases

    Consideremos um sistema linear homogneo, de coeficientes constantes, de duas

    equaes diferenciais na forma matricial:

    d xAx

    dt= .

    O ponto de equilbrio do sistema o ponto (x1e, x2e) para o qual as derivadas se anulam, ou

    seja:

    0

    0

    2221212

    2121111

    =+=

    =+=

    xaxadt

    dx

    xaxadt

    dx

    fcil de ver que para qualquer sistema linear homogneo o ponto de equilbrio dado por

    (x1e, x2e) = (0,0).

    O nosso objectivo estudar como as solues particulares do sistema se comportam

    na vizinhana do ponto de equilbrio (0,0). Ser que as solues, ao longo do tempo,

    convergem para o ponto de equilbrio ou ser que se afastam dele? E qual o seu aspecto

    grfico?

    Vimos na Seco 7 que a soluo geral de um sistema homogneo de duas equaes

    dioferenciais de primeira ordem pode ser escrita como:

    )2(2

    )1(1

    21 vecvecx tt += ,

    em que 1 e 2 so os valores prprios da matriz de coeficientes e v(1) e v(2) so os vectores

    prprios associados a cada valor prprio. com base nesta expresso que vamos estudar o

    comportamento da soluo, x, na proximidade do ponto de equilbrio (0,0). Esse estudo ser

    efectuado de forma qualitativa recorrendo a uma representao grfica denominada plano de

    fases: no representamos x1 e x2 independentemente em funo do tempo, mas sim x2 em

    funo de x1:

    Ponto de equilbrio

    Plano de fases e trajectrias

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

    Pgina 5 da Seco 8

    O ponto de equilbrio (0,0) corresponde origem das coordenadas do plano de fases. O

    percurso traado por x1 e x2 ao longo do tempo no plano de fases denominado trajectria.

    Vamos ento considerar vrios casos, correspondentes aos diferentes tipos de valores

    prprios que podem ocorrer:

    I. Valores prprios reais, distintos e de sinal igual

    a) 1 < 2 < 0

    A soluo geral dada por: )2(

    2)1(

    121 vecvecx tt +=

    Vejamos primeiro o que sucede na situao limite em que +t : uma vez que ambas as

    exponenciais tm expoentes negativos, ambas as parcelas tendero para zero, ou seja:

    0x . Assim, ficamos j a saber que todas as solues se aproximam do ponto de

    equilbrio medida que o tempo aumenta. Mas como se efectua, no plano de fases, essa

    aproximao? Para tempo elevados, a parcela de x que tende mais rapidamente para zero

    ser 1 (1)1tc e v , uma vez que |1| > |2|. Ou seja, para tempos suficientemente elevados, a

    parcela em (1)v poder ser desprezada e apenas a parcela em (2)v contribui para x :

    )2(2

    2 vecxt t+ .

    Vemos ento que as solues, no plano de fases, se devero aproximar do ponto (0,0)

    seguindo (assimptoticamente) a direco do vector v(2)!

    No caso adicional em que as condies iniciais do problema implicarem que c1 = 0,

    x ter sempre a direco de v(2):

    2 (2)1 20

    tc x c e v= = .

    Apenas uma soluo particular no obedece a este comportamento assimpttico:

    aquela para a qual c2 = 0. Nesse caso:

    x1

    x2

    (0,0)

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

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    1(1)

    2 10tc x c e v= = ,

    ou seja, e a soluo aproxima-se de (0,0) ao longo da direco do vector v(1).

    As trajectrias esto esquematizadas no plano de fases abaixo, assumindo dois

    vectores prprios arbitrrios, v(1) e v(2):

    Cada uma das trajectrias representadas corresponde a uma soluo particular do

    sistema (ou seja, provm de uma condio inicial distinta). As setas colocadas sobre cada

    trajectria indicam o sentido da sua evoluo medida que t aumenta.

    Vemos que todas as trajectrias (excepto duas, para o caso em que c2 = 0) seguem

    uma mesma direco assimpttica na vizinhana do ponto de equilbrio. Nesta situao, o

    ponto de equilbrio ento designado de n imprprio.

    b) 0 < 2 < 1

    Agora sucede o oposto do caso anterior: quando +t , x , ou seja, para

    tempos elevados, as trajectrias afastam-se cada vez mais do ponto de equilbrio. As

    trajectrias encontram-se na vizinhana do ponto de equilbrio apenas quando t .

    fcil concluir que o traado das trajectrias no plano de fases idntico ao anterior, apenas

    Os exemplos de planos de fases aqui apresentados so adaptados do captulo 8 do Farlow. Ao dizermos que x pretendemos indicar que x1 e x2 tendem para + ou , de foram que as trajectrias se afastam do ponto de equilbrio, percorrendo um determinado quadrante no plano de fases.

    N imprprio

  • 8. Equaes diferenciais no lineares

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    com a diferena de que o seu sentido invertido (as setas apontam para fora, enquanto

    que anteriormente apontavam para o centro). Todas as trajectrias se afastam do ponto de

    equilbrio medida que o tempo avana.

    II. Valores prprios reais, distintos e de sinal diferente

    2 < 0 < 1

    )2(2

    )1(1

    21 vecvecx tt +=

    Qual agora o comportamento das trajectrias? Vejamos as situaes limite, ou seja,

    quando +t e t :

    + )1(1 1 vecxtt

    )2(2 2 vecxtt

    Ou seja, quando +t as trajectrias afastam-se do centro do plano de fases seguindo a

    direco de v(1) (o vector prprio associado ao valor prprio positivo). Quando t as

    trajectrias afastam-se do centro do plano de fases seguindo a direco de v(2) (o vector

    prprio associado ao valor prprio negativo)

    Parece que em nenhuma circunstncia as t