UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

SECÇÕES CÔNICAS

VINÍCIUS MARINHO

4

1 – Introdução

As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da

Matemática. Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdos do

Cálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história das sociedades.

Desde que o matemático grego Apolônio escreveu o primeiro trabalho sobre as

Secções Cônicas, diversos matemáticos de renome contribuíram de maneira significativa no

entendimento dessas curvas e suas aplicações nos mais diversos assuntos.

Este presente trabalho tem por objetivo fazer um estudo sistemático das secções

cônicas, onde serão abordadas suas definições, equações, propriedades de reflexão e

caracterizações.

5

2 – Secções Cônicas

2.1 – Definições

Inicialmente vamos abordar as definições das secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole) como sendo lugares geométricos em um plano fixado.

2.2– Parábola

Sejam dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano α , com F ∉ d. A parábola de foco F e diretriz d é o lugar geométrico dos pontos de α eqüidistantes de F e d.

2.3– Elipse

Sejam dados dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um plano α . A elipse de focos F1 e F2

é o lugar geométrico dos pontos de α , cuja a soma das distâncias a F1 e F2 é constante.

2.4 – HipérboleSejam dados dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um plano α . A hipérbole de focos F1

e F2 é o lugar geométrico dos pontos de α , cuja a diferença (em valor absoluto) das distâncias a F1 e F2 é constante.

3 – Teoremas e Demonstrações

6

.F

1

P

Onde: k é constante.. F2

.

.d

P

F . .

.P

F1

F2

..

Onde: k é constante.

Uma secção cônica é uma curva de intersecção de um plano com um cone circular reto de duas folhas, e os três tipos relevantes de curvas de intersecção que ocorrem são a parábola, a elipse e a hipérbole. Uma porção de um cone circular reto de duas folhas é mostrada na figura ao lado. Uma geratriz de um cone é uma reta situada no cone, e todas as geratrizes de um cone contêm o ponto V, chamado vértice do cone.

.21FFk >

.21FFk <

3.1– Parábola

3.1.1 – Teorema

3.1.2 – Demonstração

Considere uma esfera de centro O inscrita no cone e tangente, num ponto F, ao plano γ da secção cônica. Esta esfera intercepta o cone segundo uma circunferência pertencente a um plano π . Seja d a reta de intersecção dos planos γ e π . Vamos mostrar que esta secção cônica é a parábola de reta diretriz d e foco F (ver figura A).

7

geratriz

vértice

geratrizFolha superior

Folha inferior

eixo

Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta apenas uma das folhas do cone, se o plano é paralelo a uma só geratriz do cone a curva obtida é a parábola.

OQ

V

. .M

.

π

F

N

γ

.Figura A

.d

P

.

Para isto vamos tomar um ponto qualquer P pertencente à secção cônica. Seja Q a intersecção da geratriz do cone que passa por P com o plano π .

Seja M o pé da perpendicular ao plano π traçada por P. Como as retas VO e PM são

paralelas, obtemos a semelhança △VOQ ~△PMQ.

Daí obtemos a relação VOVQ

PMPQ = . Esta igualdade implica que a razão

PMPQ

é uma constante

independente da posição do ponto P na secção cônica.

Seja N o pé da perpendicular a reta d traçada por P. O ângulo MNP

=α independe da posição do ponto P no plano γ , pois α é o ângulo entre os planos γ e π (Ver figura B).

8

N M

P

α

γ

π

d

Figura B

No triângulo retângulo PNM: PNPM=αsen . Como α independe de P, isto mostra que a

razão PNPM

também independe da posição de P sobre a secção cônica.

Seja PMPQk = e seja

LPMPN 1= .

Daí, Lk

PNPQ

Lk

PMPNPMPQ

PNPQ =⇒==

//

é uma constante independente de P.

Mas, PQ = PF (potência de ponto em relação a uma esfera) então:

Lk

PNPF = é uma constante independente de P.

Neste momento é interessante notar que ainda não utilizamos a hipótese do plano γ ser

paralelo a uma geratriz do cone. Portanto o fato da razão PNPF

ser independente da posição de

P sobre a secção cônica é um fato verdadeiro para qualquer secção, sendo ela uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.

Quando o plano γ é paralelo a uma geratriz, vamos mostrar que esta razão PNPF

é igual a 1.

Para isto vamos considerar P numa posição da secção cônica, quando os pontos F, P e N estão alinhados (Ver figura C).

9

γ

.F.

G

Figura C

π

V

.O .Q

.N. P d

Seja G um dos pontos de intersecção da reta NO com o cone. (ver figura C).

Além disso, como o plano γ (da parábola) é paralelo à geratriz GV do cone, por hipótese, concluímos que a reta que contém os pontos F, P e N é paralela a reta GV.

Daí:

).vérticepeloopostos(ˆˆ.)isósceleséVQGtriângulo(ˆˆ

.)internosalternos(ˆˆ

PQNGQV

GQVQGV

QGVQNP

=

=

=

Estas igualdades implicam que PQNQNP ˆˆ = ⇒ o triângulo PNQ é isósceles ⇒ PN = PQ.

Como PQ = PF, vemos que PN = PQ = PF e assim: 1=PNPF

.

Portanto, essa secção cônica do plano γ , quando γ é paralelo à geratriz VG, é uma parábola de foco F e reta diretriz d.

3.2 – Elipse

3.2.1 – Teorema

10

3.2.2 – Demonstração

O comprimento do segmento 1P 2P não depende destes pontos pois ele é igual ao comprimento de um segmento de geratriz do cone entre os círculos 1C e 2C .

Assim, P 1F + P 2F = 1P 2P é uma constante.

11

Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta apenas uma das folhas do cone. Se esse plano não passa pelo vértice e não é paralelo a nenhuma geratriz do cone, a curva obtida é a elipse.

Seja P um ponto qualquer da secção cônica obtida pela intersecção de um plano secante com o cone λ e seja 1ϕ a esfera inscrita no cone e tangente ao plano secante em um ponto 1F e 2ϕ uma outra esfera também inscrita no cone e tangente a elipse no ponto 2F . Sejam 1C e 2C os círculos onde

1ϕ e 2ϕ interceptam, respectivamente, o cone. Se g é uma geratriz do cone que passa por P então chamamos de 1P o ponto de interseção da geratriz g com o círculo 1C e 2P o ponto de interseção de g com 2C .

Temos que:

P 1F = P 1P ( Potência de um ponto externo à esfera ) P 2F = P 2P ( Potência de um ponto externo à esfera ) Assim, P 1F + P 2F = P 1P + P 2P = 1P 2P .

P

3.3 – Hipérbole

3.3.1 – Teorema

3.3.2 – Demonstração

O comprimento do

O comprimento do segmento 1P 2P não depende destes pontos pois ele é igual ao comprimento de um segmento de geratriz do cone entre os círculos 1C e 2C .

Assim, 1212 PPPFPF =− é uma constante.

4 – Equações

12

Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta as duas folhas do cone. A curva obtida neste caso é uma hipérbole.

Seja P um ponto qualquer da secção cônica obtida pela intersecção de um plano secante com o cone λ e seja 1ϕ a esfera inscrita no cone e tangente ao plano secante em um ponto 1F e 2ϕ uma outra esfera também inscrita no cone e tangente a hipérbole no ponto 2F . Sejam

1C e 2C os círculos onde 1ϕ e 2ϕ interceptam, respectivamente, o cone. Se g é uma geratriz do cone que passa P então chamamos de 1P o ponto de interseção da geratriz g com o circulo 1C e 2P o ponto de interseção de g com 2C .

Temos que:

P 2F = P 2P ( Potência de um ponto externo à esfera )P 1F = P 1P ( Potência de um ponto externo à esfera )

Assim:

121212 PPPFPFPFPF =−=−

P

Nesta seção vamos determinar equações para parábolas, elipses e hipérboles num particular sistema de coordenadas, escolhido para que a equação seja a mais simples possível.

4.1 – Parábola

Seja dada uma parábola de reta diretriz d e foco F. Escolhemos o eixo y perpendicular à diretriz e contendo o foco. A origem é tomada como o ponto médio sobre o eixo dos y entre o foco e a diretriz. Observa-se que os eixos (não a parábola) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.

Neste sistema de coordenadas o foco é o ponto F(0, p), e a diretriz é a reta horizontal de equação y = – p. Um ponto P(x, y) está na parábola se e somente se P for eqüidistante de F e da diretriz.

),(),( RPdFPd =

2222 )()()( pyxxpyx ++−=−+⇒

22222 22 ppyyppyyx ++=+−+⇒

pyx 42 =⇒

4.2 – Elipse

Seja dada uma elipse de focos F1 e F2 . O eixo x é a reta que passa pelos focos. A origem é tomada como o ponto médio do segmento 21FF . Observa-se que os eixos (não a elipse) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.

Neste sistema de coordenadas os focos são os pontos F1(-c, 0) e F2 (c, 0). Um ponto P(x, y) está na elipse se e somente se a soma das distâncias de P a F1 e F2 for constante.

Temos: KFPdFPd =+ ),(),( 21 , onde k é uma constante qualquer que chamaremos de 2a.

aFPdFPd 2),(),( 21 =+

13

.

.

y

xd

. P(x, y)

F(0, p)

(0, -p) R(x, -p).o

...P(x,y)

F1(-c,0) F

2(c,0)

y

x

aycxycx 2)()( 2222 =+−+++⇒

2222 )(2)( ycxaycx +−−=++⇒

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++⇒

222222222 2)(42 yccxxycxayccxx ++−++−−=+++⇒

cxaycxa 44)(4 222 −=+−⇒

cxaycxa −=+−⇒ 222)(

22222 )(])[( cxaycxa −=+−⇒

22242222 2)2( xccxaayccxxa +−=++−⇒

22242222222 22 xccxaayacacxaxa +−=++−⇒

224222222 caayaxcxa −=+−⇒

)()( 22222222 caayacax −=+−⇒

122

2

2

2

=−

+⇒ca

yax

2121 FFPFPF >+ (desigualdade triangular)

.022 2222 >−⇒>⇒>⇒> cacacaca Logo existe um número real b > 0 tal que:

222 bca =−

12

2

2

2

=+⇒by

ax

4. 3 – Hipérbole

14

.. .

P

F1 F

2

Seja dada uma hipérbole de focos F1 e F2 . O eixo x é a reta que passa pelos focos. A origem é tomada como o ponto médio do segmento 21FF . Observa-se que os eixos (não a hipérbole) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.

Neste sistema de coordenadas os focos são os pontos F1(-c, 0) e F2 (c, 0). Um ponto P(x, y) está na hipérbole se e somente se a diferença (em valor absoluto) das distâncias de P a F1 e F2

for constante.

Temos: KFPdFPd =− ),(),( 21 , onde k é uma constante qualquer que chamares de 2a.

aFPdFPd 2|),(),(| 21 =−

aycxycx 2)()( 2222 ±=+−−++⇒

2222 )(2)( ycxaycx +−+±=++⇒

222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−±=++⇒

222222222 2)(442 yccxxycxaayccxx ++−++−±=+++⇒

cxcxaycxa 224)(4 222 −−=+−⇒

cxaycxa 44)(4 222 +−=+−±⇒

cxaycxa +−=+−±⇒ 222)(

22222 )(])[( cxaycxa +−=+−⇒

22242222 2)2( xccxaayccxxa +−=++−⇒

22242222222 22 xccxaayacacxaxa +−=++−⇒

224222222 caayaxcxa −=+−⇒

15

. ..

y

xF

1(-c, 0) F

2(c, 0)

P(x,y)

)()( 22222222 caayacax −=+−⇒

122

2

2

2

=−

+⇒ca

yax

2121 || FFPFPF <− (desigualdade triangular)

022 2222 <−⇒<⇒<⇒< cacacacaLogo existe um número real b > 0 tal que:

222 bca −=−

12

2

2

2

=−

+⇒b

yax

12

2

2

2

=−⇒by

ax

Nas próximas duas seções serão considerados alguns aspectos geométricos do gráfico da

hipérbole de equação: 12

2

2

2

=−by

ax .

4.3.1 – O intervalo ] [aa ,−

4.3.2 - Assíntotas

Cada hipérbole tem duas retas denominadas assíntotas que se interceptam no centro da curva. Para ver isso, observe que a hipérbole é simétrica em relação aos eixos x e y. Assim será considerada somente a porção da hipérbole no 1º quadrante, ou seja, vamos considerar x > a e y > 0.

16

Se um par ordenado (x, y) está nessa hipérbole então

)( 222

22 ax

aby −= o que implica que:

axouaxaxax −≤≥⇒≥⇒≥− 2222 0 .

Isto nos mostra que não existem pontos da hipérbole

no interior de }/),{( 2 axayx <<−ℜ∈ .

.. .

P

F1 F

2

y

x- a a

Temos:

)(1 222

22

2

222222

2

222

2

2

2

2

axaby

aabxbyb

axby

ax

by −=⇒−=⇒−=⇒−=

2

2

2

22222 11

xax

aby

xax

abyax

aby −=⇒

−=⇒−=⇒

Para um x muito grande o ponto da hipérbole está próximo da reta de equação xaby = .

O gráfico da reta assíntota tende para o gráfico da reta xaby = . Além disso vamos verificar

que a reta tangente também tende a esta reta quando x vai para mais infinito.

Temos:

2

222

22

22

1''

22'

xax

xaby

axx

aby

axx

abyax

aby

−=⇒

−=⇒

−=⇒−=

17

xaby =

x x

y

+ ∞→=

xxd 0)(lim

d(x)

.

..

∞+→

∞+→

=⇒

−=⇒

−=⇒

x

x

aby

xaa

by

xaa

by

'lim

1

1'lim1

1'

2

2

2

2

O gráfico da hipérbole e suas assíntotas:

As assíntotas são um excelente orientador quando se quer esboçar o gráfico de uma hipérbole, conhecendo-se os vértices traçamos as assíntotas para posteriormente fazermos cada ramo da hipérbole de maneira apropriada.

5 – As Propriedades de Reflexão

5. 1 – A Propriedade de Reflexão das Parábolas

Seja a parábola de equação pyx 42 = , e o foco de coordenadas F(0, p). Considere um ponto qualquer da parábola, de coordenadas P(x0, y0). Sendo a parábola o gráfico de uma função derivável, pode-se afirmar que existe uma reta tangente à parábola no ponto P, reta que não é vertical. Logo existe intersecção da reta tangente à parábola com o eixo y, intersecção que será o ponto Q(0, q).

18

..

y

- a a1F 2F

xaby =x

aby −=

.. x

.α .

.

y

x

P(x0, y

0)

F(0, p)

Q(0, q).

pyx 42 = reta tangente

βα

Figura D

pxxy

pxy

pxy

pxy

2)('

2'

42'

40

0

2

=⇒=⇒=⇒=

equação da reta tangente em )(2

)(: 00

000 xxp

xyyxxmyyP −=−⇒−=− .

Na figura D, vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à parábola e a reta vertical que contem o ponto P. Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à parábola e a reta que contem os pontos PeF1 .

Desejamos mostrar que βα = . Para isto vamos provar que o triângulo FPQ, é isósceles.

Da equação da reta tangente podemos calcular as coordenadas do ponto Q(0, q).

pxq

pxxq

px

pxq

pxyq

442

242

20

20

20

20

20

20

0−=⇒−=⇒−=⇒−=

pxpFQqpFQ4

20+=⇒−= (I)

19

220

2

42240

2

420

240

20

2

2

420

2402

0

2202

02

020

416168

1616816

)4(168

4)(

+=⇒++=⇒

+−+=⇒+−+=⇒

−+=⇒−+=

pp

xFPp

pxpxFP

ppxpxxpFP

ppxpxxFP

pp

xxFPpyxFP

pp

xFP +=⇒4

20 (II)

De (I) e (II) temos que o triângulo PQF ˆ é isósceles (Ver figura D). Logo, βα =

A propriedade geométrica de reflexão das parábolas tem muitas aplicações. É usada no desenho do espelho dos faróis (ver figura abaixo). Para construir tal espelho, giramos a parábola ao redor de seu eixo a fim de formar uma superfície de revolução; depois pintamos a parte interna com tinta prateada criando uma superfície refletora. Colocando-se uma fonte de luz no foco F, cada raio que a fonte irradia será refletido na superfície e adotará como trajetória uma reta paralela ao eixo (Simmons, 1987).

A recíproca dessa propriedade mostra que: a única curva que possui a propriedade de reflexão da parábola é a própria parábola. Esse resultado está demonstrado em [3].

5.2 – A Propriedade de Reflexão das Elipses

20

Seja a elipse equação 12

2

2

2

=+by

ax

, e os focos de coordenadas )0,()0,( 21 cFecF − .

Considere um ponto qualquer da elipse, de coordenadas P(x0, y0).

Nesta secção vamos demonstrar que o ângulo α , entre o segmento 2PF e a reta t é igual ao ângulo β entre o segmento 1PF e a reta t. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados, vamos supor que P pertence ao primeiro quadrante, ou seja, que 0>x e .0>y

2

2

2

2

2

2

2

2

11ax

by

by

ax −=⇒=+

−=⇒

−=⇒ 2

22

2

222 11

axby

axby

2

22

02

2

1a

xabyaxby −=⇒−=⇒

22

22

22'

xax

abyxa

aby

−−=⇒−=⇒

22'

xax

aby

−−=⇒

Em resumo no ponto ),( 00 yxP , temos:

20

20 xa

aby −= e 2

02

00 '

xax

aby

−−=

21

αβ

y

x)0,(1 cF − )0,(2 cF

),( 00 yxP

t Figura E

O coeficiente angular da reta que contém os pontos PeF2 é dado por:

cxxa

ab

cx

xaab

cxy

m−−

=−

−=

−=

0

20

2

0

20

2

0

01

.

O coeficiente angular da reta que contém os pontos PeF1 é dado por:

cxxa

ab

cx

xaab

cxy

m+−

=+

−=

+=

0

20

2

0

20

2

0

02

.

Na figura E, vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à elipse e o segmento que contem os pontos PeF2 . Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à elipse e o segmento que contem os pontos PeF1 .

Desejamos mostrar que βα = . Entretanto, para começar essa demonstração, precisamos primeiramente demonstrar que estes dois ângulos, α e β , são ângulos agudos. Para isso, vamos mostrar que a reta normal ao gráfico da elipse no ponto ),( 00 yxP = passa entre as retas PF1 e PF2. De fato, a reta normal ao gráfico da elipse no ponto ),( 00 yxP = possui equação:

)( 00

20

2

0 xxx

xabayy −

−=− .

Substituindo o valor 20

20 xa

aby −= nessa equação, após algumas simplificações, vemos

que esta reta intercepta o eixo x (y = 0) no ponto de coordenada 02

2

xacx = . Como estamos

supondo 00 >x , vemos que este valor é claramente maior do que – c. Agora precisamos mostrar que este valor é menor do que c. De fato, como ax <0 , vemos

que acx

acx

2

02

2

<= . Mas como ac < , vemos que cac <

2

. Destas desigualdades concluímos

que cxacxc <=<− 02

2

. Daqui vemos que a reta normal ao gráfico da elipse passa entre as

retas PF1 e PF2. Isto implica que os ângulos α e β são agudos.

22

Para demonstrar que βα = , vamos utilizar as seguintes expressões:

20

20

10

10

'1'

tan'1

'tan

mymye

mymy

+−

=+

−= βα

Elas expressam a tangente do ângulo entre duas retas em termos de seus coeficientes angulares. Observe que essas expressões seguem da seguinte relação trigonométrica:

)tan()tan(1)tan()tan()tan(ba

baba⋅+

−=−

•

cxxa

ab

xax

ab

cxxa

ab

xax

ab

mymytg

−−

−−

−−

−−

−

=+

−=

0

20

2

20

20

0

20

2

20

20

10

10

1'1

'α

20

20

220

2

20

20

20

02

02

02

20

20

20

200

)(][

)()()(

)()(

xaxbcaxaxacxxab

cxaxbcxa

xacxxacxx

ab

−−−−+−−=

−−−

−−−+−−

=

20

220

220

20

20

2220

20

20

22220

20

)(

xacab

xaacxc

acxab

xacacx

acxab

xacabax

acxab

−=

−−

+−=

−−

+−=

−−−

+−=

•

cxxa

ab

xax

ab

cxxa

ab

xax

ab

mymytg

+−

−−

+−

−−

−

=+

−=

0

20

2

20

20

0

20

2

20

20

20

20

1'1

'β

23

20

20

220

2

20

20

20

02

02

02

20

20

20

200

)(][

)()()(

)()(

xaxbcaxaxacxxab

cxaxbcxa

xacxxacxx

ab

−−+−++−=

+−−

−+−+−−

=

20

220

220

20

20

2220

20

20

22220

20

)(

xacab

xaacxc

acxab

xacacx

acxab

xacabax

acxab

−=

−+

+=

−+

+=

−−−

+=

Como α e β são ângulos agudos βα tgtg = ⇒ βα = .

Uma aplicação interessante sobre a propriedade refletora das elipses é o funcionamento das galerias acústicas, o som vindo de um foco é refletido e passa pelo outro foco (Simmons, 1987).

5.3 – A Propriedade de Reflexão das Hipérboles

Seja a hipérbole de equação 12

2

2

2

=−by

ax , e os focos de coordenadas )0,()0,( 21 cFecF − .

Considere um ponto qualquer da hipérbole, de coordenadas P(x0, y0).

24

P = (x0, y

0)

y

x)0,(1 cF − )0,(2 cF

α

β

t

Na figura acima vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à hipérbole e o segmento que contem os pontos PeF2 . Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à hipérbole e o segmento que contem os pontos PeF1 .

Analogamente a demonstração feita para a elipse, temos neste caso também que βα = .

Essa propriedade das hipérboles é o princípio essencial no projeto de telescópios refletores do tipo Cassegrain (ver figura abaixo). Um foco do espelho hiperbólico está no foco do espelho parabólico e outro está no vértice do espelho parabólico, onde uma ocular ou câmera está localizada. Raios paralelos débeis de luz estelar são portanto refletidos pelo espelho parabólico em direção ao seu foco, depois são interceptados pelo espelho hiperbólico e refletidos de volta em direção à ocular ou câmara (Simmons, 1987).

6– Caracterização das Secções Cônicas

Para finalizar a monografia vamos procurar responder a seguinte pergunta:

Imagine que uma curva plana tenha a mesma propriedade de reflexão da elipse ou da hipérbole. Então o gráfico dessa curva está contido em uma elipse ou em uma hipérbole ?

A resposta dessa pergunta é afirmativa como vamos demonstrar a seguir.

6.1 – Caracterização da Elipse

Consideremos uma função derivável y=f(x) e dois pontos fixados no plano. )0,()0,( 21 cFecF =−= , conforme a figura abaixo.

25

αβ

W V

P = (x, f(x))

y

x

.

)0,(1 cF − )0,(2 cF

T

y = f(x)

Um vetor na direção da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P=(x, f(x)) pode ser:

)).(',1( xfT = Considere também os vetores:

))(,(22 xfxcPFPFV −−=−==

))(,(11 xfxcPFPFW −−−=−==

Seja α o ângulo entre os vetores T e V e seja β o ângulo entre os vetores –T e W. Como πβπα ≤≤≤≤ 00 e vemos que βαβα coscos =⇔= . Estes cossenos podem ser

calculados do seguinte modo:

22 )()(.)(')()(

.,

cosxfxcTxfxfxc

VTVT

+−−−==α

22 )()(.)(')()(

.,

cosxfxcTxfxfxc

WTWT

++++=

−−

=β

Assim, 2222 )()()'().()(

)()()'().()(

xfxcxfxfxc

xfxcxfxfxc

++++=

+−−−⇔= βα (I)

26

Quero provar que se βα = então o gráfico está contido em uma elipse, uma maneira de se verificar isto, seria resolvendo a equação diferencial (I) e mostrar que a solução é a função que

define uma elipse 22)( xaabxf −= .

Por outro lado sabemos que a curva y = f(x) é uma elipse se, e somente se, a soma 21 PFPF + é constante.

Seja 21)( PFPFxg += 2222 )()()()()( xfcxxfcxxg +−+++=⇒

A função g(x) é constante ⇔ g’(x) = 0

⇔ 0)()(2

)(').(2)(2)()(2

)(').(2)(2)('2222

=+−

+−+++

++=xfcx

xfxfcxxfcx

xfxfcxxg

⇔ 0)()(

)(').()()()(

)(')()(2222

=+−

+−+++

++xfcx

xfxfcxxfcx

xfxfcx (II)

De (I) e (II) vemos que βα = ⇔ 21 PFPF + é constante ⇔ a curva y = f(x) está sobre uma elipse.

Conclui-se então que a única curva que possui a propriedade de reflexão da elipse é a própria elipse.

6.2 – Caracterização da Hipérbole

Consideremos uma função derivável y=f(x) e dois pontos fixados no plano. )0,()0,( 21 cFecF =−= , conforme a figura a seguir.

27

W

y

V T

x

P = (x, f(x))

)0,(1 cF − )0,(2 cF

α

β

y = f(x)

1º caso: Suponhamos x > 0, ou seja: 21 PFPF > .

Um vetor na direção da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P=(x, f(x)) pode ser:

)).(',1( xfT = Considere também os vetores:

))(,(

))(,(

11

22

xfxcPFPFW

xfcxFPPFV

−−−=−==

−=−==

Seja α o ângulo entre os vetores T e V e seja β o ângulo entre os vetores –T e W. Como πβπα ≤≤≤≤ 00 e vemos que βαβα coscos =⇔= . Estes cossenos podem ser

calculados do seguinte modo:

22 )()(.)(')()(

.,

cosxfxcTxfxfxc

VTVT

+−−−==α

22 )()(.)(')()(

.,

cosxfxcTxfxfxc

WTWT

++++=

−−

=β

Assim, 2222 )()()(').()(

)()()(').()(

xfxcxfxfxc

xfxcxfxfxc

++++=

+−−−⇔= βα (I)

Quero provar que se βα = então o gráfico está contido em uma hipérbole, uma maneira de se verificar isto, seria resolvendo a equação diferencial (I) e mostrar que a solução é a função

que define uma hipérbole 22 axaby −= .

Por outro lado sabemos que a curva y = f(x) é uma hipérbole se, e somente se, o valor absoluto da diferença 21 PFPF − é constante.

Seja 21)( PFPFxg −= 2222 )()()()()( xfcxxfcxxg +−−++=⇒

A função g(x) é constante ⇔ g’(x) = 0

28

⇔ 0)()(

)(').()()()(

)(')()(2222

=+−

+−+++

++xfcx

xfxfcxxfcx

xfxfcx (II)

De (I) e (II) vemos que βα = , para x > 0 ⇔ 21 PFPF − é constante ⇔ a curva y = f(x) está sobre uma hipérbole.

Conclui-se então que a única curva que possui a propriedade de reflexão da hipérbole é a própria hipérbole.

Analogamente ao 1º caso, se considerarmos x < 0, ou seja 12 PFPF > , o gráfico da y = f(x) também estará sobre uma hipérbole.

7) Referências Bibliográficas

[1] – ÁVILA, Geraldo. Kepler e a órbita elíptica. Revista do Professor de Matemática, n° 15,

1989, p. 2-13,

[2] – Explorando o Ensino Médio. Ministério da Educação. Brasília, 2004.

[3] – FIGUEIREDO, Djairo Guedes, ALOÍSIO, Freiria Neves. Equações Diferenciais

Aplicadas. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2002.

[4] – Jennings, George A., Modern Geometry with Applications, Universitext, New York

29

Singer-Verlag, 1994.

[5] – LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica.São Paulo: Harbra,1982.

[6] – SILVA, Geni Schulz. Por que elipse, parábola e hipérbole?. Revista do Professor de

Matemática, n° 7, 1985, p. 43-44.

[7] – SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:McGraw-Hill,1987.

[8] – SWOKOWISKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo:Makron

Books,1994.

30