Secretaria de Educação do Estado da Bahia / Instituto ...pat.educacao.ba.gov.br/conteudos/conteudos-digitais/visualizacao/2… · De olho no ENEM Apresenta questões do ENEM referentes

Secretaria de Educação do Estado da Bahia / Instituto Anísio Teixeira

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Salvador - Bahia Secretaria de Educação do Estado da Bahia

Instituto Anísio Teixeira 2012

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Copyright©2012 by Instituto Anísio Teixeira

Ficha Catalográfica: Biblioteca do Instituto Anísio Teixeira

Instituto Anísio Teixeira – IAT Estrada das Muriçocas, s/n – Paralela

Salvador – BA CEP – 41.250-420

www.iat.educacao.ba.gov.br

B151e Bahia. Secretaria da Educação. Instituto Anísio Teixeira. EM-AÇÃO: Ensino Médio em Ação; 3º Ano / Irene Maurício Cazorla;

Rodrigo Camargo Aragão; Nildon Carlos Santos Pitombo (Organizadores). / Secretaria da Educação. Instituto Anísio Teixeira - Salvador: SEC/IAT, 2012

.... p.: il. Projeto: EM-AÇÂO — Ensino Médio em Ação ISBN: 978-85-60834-09-09 1. Ensino Médio 2. Educação e tecnologia I. Instituto Anísio Teixeira.

II. Cazorla, Irene Maurício. III. Aragão, Rodrigo Camargo. IV. Pitombo, Nildon Carlos Santos. V. Título.

CDU: 37.046.14

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

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GOVERNADOR DO ESTADO DA BAHIA

Jaques Wagner

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO DA BAHIA

Osvaldo Barreto Filho

DIRETORA DO INSTITUTO ANISIO TEIXEIRA

Irene Maurício Cazorla

ASSESSORA TÉCNICA

Kátia Souza de Lima Ramos

DIRETORIA DE FORMAÇÃO E EXPERIMENTAÇÃO

EDUCACIONAL - DIRFE

Jeudy Machado de Aragão

PROGRAMA ENSINO MÉDIO EM AÇÃO (EM-Ação)

Organização Geral

Irene Maurício Cazorla

Rodrigo Camargo Aragão

Nildon Carlos Santos Pitombo

Coordenadora Geral

Ana Lúcia Purificação da Paixão

Coordenador Pedagógico

Dimitre Sarmento

Leonardo Dias Chaves

Equipe de Designer Educacional e Projeto Gráfico

Adelaide Maria de Oliveira Santana

Ana Lúcia Purificação da Paixão

Gervaine de Souza Ferreira

Kátia Souza de Lima Ramos

Lourival da Silva Andrade Júnior

Simone de Souza Montes

Vanessa Costa Reis

Autores, titulação máxima e IES de atuação Linguagens, códigos e suas tecnologias Carla Patrícia Santana, Doutora em Letras, UNEB

Gildecy de Oliveira Leite, Mestre em Letras, UNEB

Luciana Santos de Oliveira, Mestra Literatura e Diversidade Cultural, UFBA

Luciano Amaral Oliveira, Doutor em Letras e Linguística, UFBA Ciências Humanas e suas tecnologias Celbo Antônio R. F. Rosa, Doutor em Geografia, UESC

Cristiane Batista, Mestra em História, UNEB

Oriana Araújo, Mestra em Ciências Ambientais, UEFS

Rodrigo Freitas Lopes, Mestre em História, UNEB

Virginia Queiroz Barreto, Mestra em História - UNEB Ciências da Natureza e suas tecnologias Dielson Pereira Hohenfeld, Mestre em Ensino de Ciências, IFBA

Jancarlos Menezes Lapa, Mestre em Ensino de Ciências, IFBA

Marcelo Franco, Doutor em Química, UESB

Marcia Rodrigues Pereira, Mestra em Química Biológica, UERJ/CPII

Marcos André Vannier dos Santos, PHD em Ciências, FIOCRUZ

Ricardo Santos Nascimento, Mestre em Mecatrônica, UEFS

Ródnei Almeida Souza, Mestre em Filosofia e História das Ciências - UNEB

Sandra Lúcia Pita, Especialista em Competências Educacionais, EMITEC

Sergio Coelho de Souza, Doutor em Ecologia, UNISA

Sônia Marize R. P. Tomasoni, Mestra em Geografia, UNEB

Matemática e suas tecnologias

Humberto José Bortolossi, Doutor em Matemática, UFF

Consultoras Liliane Queiroz Antônio

Marli Geralda Teixeira

Renata Monteiro

Cinthia Seibert Revisão Acácia Melo Magalhães Capa, contracapas e ícones

Bianca Chagas

Camila Penna

Cristiane Aragão Distribuição

SEC - Secretaria de Educação do Estado

da Bahia

6ª Avenida Nº 600, Centro Administrativo

da Bahia – CAB, Salvador

CEP: 41.745-000, Bahia, Brasil

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Secretaria da Educação do Estado da Bahia

Prezado estudante,

A Secretaria da Educação do Estado da Bahia apresenta os Cadernos EM-Ação,

preparados especialmente para você, cujo objetivo é o de cooperar nos seus estudos para

o acesso ao sistema acadêmico do ensino superior. Afirmo, também, que os Cadernos

contribuem para que seu final de escolarização básica possa ser revigorado, a partir desse

esforço de articular conteúdos escolares com temáticas interessantes, em que a ciência é

matriz importante para a compreensão das mesmas.

Destaco o empenho das Instituições Públicas do Ensino Superior – UNEB, UEFS,

UESC, UFBA, UESB, IIFBA, IFBaiano e UFRB que, em parceria com o Instituto Anísio

Teixeira, conceberam e realizaram a produção desse material pedagógico.

Espero que estes Cadernos cumpram sua finalidade e, ao mesmo tempo,

materializem a esperança de colocar exemplos de atos interdisciplinares ao seu alcance,

tendo o contexto temático como foco dos nexos entre diferentes disciplinas escolares.

Para tanto, discuta a proposição dessa obra com seus colegas e professores, com a

meta de ampliar o alcance que os conteúdos escolares sempre têm na compreensão do

mundo que nos cerca e nas transformações que a humanidade sempre realiza em

benefício da vida e da convivência entre todos.

Osvaldo Barreto Filho

Secretário da Educação

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MAPA COM IDENTIFICAÇÃO DAS INSTITUIÇÕES PÚBLICAS DE ENSINO SUPERIOR

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TABELA COM IDENTIFICAÇÃO DAS INSTITUIÇÕES

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Texto

Apresenta os conteúdos referentes ao tema do caderno.

Reflexão para ação

Traz reflexões sobre o conteúdo proposto. Ex: Vou aprender esse assunto

para quê?

Conhecimento em ação

São atividades a serem realizadas pelos alunos sobre os conteúdos do

caderno.

De olho no ENEM Apresenta questões do ENEM referentes ao tema proposto no caderno,

com respectivos comentários feitos pelos autores.

Glossário

Box onde se encontra o significado de palavras e/ou expressões contidas

nos textos ou no tema trabalhado para melhor compreensão do estudante.

Referências

Bibliográficas

Box obrigatório onde são citadas todas as fontes, obras e referenciais

utilizados para a elaboração dos cadernos.

Curiosidade Pequeno texto informativo que traz uma curiosidade sobre assuntos

referentes ao tema.

Zoom na informação São textos, links etc., que trazem maiores informações sobre a temática

do caderno.

LISTA DE ÍCONES

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Siga antenado - Música

São dicas de clipes ou letras de música para análises, reflexões,

comentários, que complementam os conteúdos ou tema dos cadernos.

Siga antenado – Link da Web

São sites de livros, artigos etc., que contemplam e enriquecem os

conteúdos abordados nos cadernos.

Siga antenado – Filme ou vídeo

São indicações de filmes ou vídeos sobre os conteúdos ou temas dos

cadernos.

Siga antenado - Livro

São indicações de livros para o aprofundamento dos conteúdos

abordados nos cadernos.

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MEIO AMBIENTE

LINGUAGENS, códigos e suas tecnologias

LÍNGUA PORTUGUESA................................................................................................ 13

Apresentação.................................................................................................................. 13

Texto 1. Sobre a preservação da natureza..................................................................... 14

Texto 2. Coordenação e Subordinação: organizando ideias.......................................... 17

Texto 3. Leitura de textos não verbais............................................................................ 19

Texto 4. Função da linguagem........................................................................................ 21

De olho no ENEM............................................................................................................ 22

Referências..................................................................................................................... 23

MATEMÁTICA e suas tecnologias

MATEMÁTICA................................................................................................................. 25

Apresentação................................................................................................................... 25

Texto1. Condução da água e suas classificações........................................................... 26

Texto 2. Elementos geométricos e hidráulicos de um canal........................................... 28

Texto 3. Canais parabólicos um prelúdio ao cálculo diferencial e integral...................... 33

Texto 4. Velocidade média e vazão: a fórmula de Manning............................................ 36

De olho no ENEM............................................................................................................ 41

Referências...................................................................................................................... 42

RESPOSTAS E COMENTÁRIOS DAS QUESTÕES DO ENEM.................................... 43

LÍNGUA PORTUGUESA................................................................................................. 43

MATEMÁTICA................................................................................................................. 44

SUMÁRIO

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Apresentação

Olá! Estamos iniciando o último ano antes do ENEM. Por isso, vamos nos concentrar

para fazermos um excelente exame. Neste Caderno, abordaremos um tema recorrente nessas

provas: o meio ambiente. Esse assunto, geralmente, ocorre em várias áreas de conhecimento

distintas, demonstrando a importância de se pensar em novas maneiras de sobrevivência e de

um melhor aproveitamento dos recursos naturais. Portanto, você verá diferentes pontos de

vista sobre o assunto exposto em diferentes gêneros e tipos textuais. Também poderá

apresentar suas ideias através de um texto de opinião que será construído e postado no blog

da escola. Aproveitaremos para falar a respeito das funções da linguagem. Bom estudo!

Língua Portuguesa

CARACTERÍSTICAS SERES HUMANOS OUTROS ANIMAIS

são mortais

não destroem o seu habitat

só matam para sobreviver

são racionais

O quadro a seguir tem três colunas. Marque com um X as características dos seres humanos e as características dos outros animais.

Luciana Santos de Oliveira e Luciano Amaral Oliveira

Curiosidade

A viúva-negra é uma aranha com fama de má. Algumas

pessoas pensam que a viúva-negra fêmea mata o ma-

cho sem nenhuma razão. Contudo, o que acontece,

muitas vezes, é um acidente na hora da cópula. De

acordo com uma matéria veiculada na revista Superinte

ressante (2012), a “cópula das aranhas tem uma característica

peculiar. O macho, depois de ‘fazer a corte’ dedilhando a teia

onde está a fêmea (ela reconhece o macho pela vibração dos

fios), expele seu esperma em um emaranhado de teias. Então,

ele mergulha as patas dianteiras, que parecem pequeninas

luvas de boxe, no esperma e as introduz na abertura genital da

fêmea”. O problema é que as patas do macho podem ficar

presas e, quando ele tenta retirá-las, elas se partem e ele mor-

re de hemorragia. Ainda segundo a revista, “algumas vezes,

ao encontrar o macho morto, a fêmea devora-o, porque o con-

sidera uma presa como outra qualquer. A fêmea leva a fama

errônea de devorar o macho”.

Figura 1: Viúva Negra em sua Teia Fonte:<http://www.wpclipart.com/animals/bugs/spider/black_widow/black_widow_spider.png.html>

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Sobre a preservação da natureza

Luciana Santos de Oliveira

Toda vez que me deparo com um artigo jornalístico ou uma reportagem que

denuncia a devastação de florestas ou a matança de animais, uma dúvida filosófica me

ocorre: destruímos por que nos sentimos superiores à natureza ou por um impulso

raivoso e inconformado de nos sabermos inferiores a ela? Em qualquer hipótese, a

resposta vai sempre se encaminhar para o lado irracional do homem que, nesse sentido,

tem agido como a mais besta de

todas as bestas.

Em relação aos bichos que

preservam seu habitat, que só ti-

ram dele o que lhes é extre-

mamente necessário e que, rara-

mente, matam um igual, ser gente

não significa lá grande coisa. E

se, continuando a poluir o ar e mor-

rendo lentamente, entrarmos em

extinção, penso que nenhuma ou-

tra espécie moveria uma só pata

para nos salvar. O “bicho” pegaria

para o nosso lado.

1. Você sabe quais são as principais características de uma crônica, esse gênero textual que acabou de ler? Observe algumas dessas características e marque quais delas encontrou no texto “Sobre a preservação da natureza”:

(a) é, geralmente, publicada em jornais e revistas;

(b) trata, em geral, de um assunto que está em evidência em nosso cotidiano;

(c) tem, muitas vezes, o objetivo de divertir o leitor;

(d) apresenta uma reflexão crítica sobre a vida e os comportamentos humanos;

(e) pode apresentar elementos básicos de uma narrativa: fatos, personagens, tempo e lugar;

(f) pode ou não apresentar a visão pessoal do autor, isto é, a crônica pode estar apenas expondo uma possibilidade ou várias possibilidades a respeito de um determinado assunto;

(g) pode ser narrada em 1ª pessoa com um narrador-personagem ou em 3ª pessoa com um narrador-observador;

(h) faz uso da linguagem literária, isto é, possui liberdade de criação; pode, por exemplo, resignificar palavras ou frases já existentes, desarticular conceitos ou ironizar o senso comum; pode apresentar figuras de linguagem.

Figura 2: Peixes mortos pela poluição das águas

Fonte: <http://www.public-domain-image.com/fauna-animals-

public-domain-images-pictures/fishes-public-domain-images-

pictures/dead-fish-on-coast.jpg.html>


Texto 1

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2. A crônica usa linguagem literária, pois, apesar de nascer do texto jornalístico, tem liberdade de argumentos, de opiniões e de linguagem. Como exemplo disso, temos o trecho “tem agido como a mais besta de todas as bestas”, em que a autora se refere ao homem. Ela faz um trocadilho, um jogo de palavras e de sentidos. Explique com que objetivo ela utilizou a palavra besta.

_________________________________________________________________________

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_________________________________________________________________________

3. No texto, a autora propõe uma “dúvida filosófica”. Por que você acha que ela usou o adjetivo filosófica para classificar a sua dúvida? O texto apresenta resposta para essa dúvida?

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4. A autora brinca com várias construções informais da linguagem falada para dar um efeito semântico diferenciado ao que está sendo dito. Indique um exemplo dessas construções informais.

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_________________________________________________________________________

5. A respeito dos argumentos utilizados pela autora, pode-se afirmar que o ponto de vista defendido no texto é:

(a) que, afinal de contas, o homem não tem culpa do atual estado da natureza;

(b) que o homem é superior à natureza e que é sua obrigação protegê-la;

(c) que os bichos são inferiores ao homem e, por isso, são classificados de irracionais;

(d) que o homem age irracionalmente em relação à natureza e, nesse sentido, é inferior aos bichos;

(e) que uma das consequências do efeito estufa é o aumento do número de bichos, que é inversamente proporcional ao número de homens.

Zoom na informação

Muitas pessoas estão preocupadas com o efeito estufa. Contudo, conforme a

WWF-Brasil (2012), o efeito estufa é um fenômeno natural que mantém o planeta

aquecido, possibilitando a vida por aqui. Esse aquecimento é causado “por gases

de efeito estufa, sobretudo o dióxido de carbono (CO2), na atmosfera. Esses

gases formam uma espécie de cobertor cada dia mais espesso, que torna o planeta cada vez

mais quente e não permite a saída de radiação solar”. O problema, na verdade, é o chamado

aquecimento global, provocado pela emissão excessiva de gases do efeito estufa na

atmosfera, o qual pode causar a extinção da vida na Terra.

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Texto de opinião

Alguns gêneros textuais se confundem com a crônica, como, por exemplo, o texto de

opinião. No entanto, enquanto a crônica é considerada um gênero literário por poder narrar

fatos fictícios, com personagens fictícias, o texto de opinião expõe o ponto de vista do seu autor

a respeito de um assunto que está sendo discutido na sociedade.

Você vai agora construir um texto breve expondo sua opinião a respeito dos danos

ambientais causados pelo uso de gasolina e de óleo diesel, que produzem gases do efeito

estufa e que são derivados do petróleo, recurso natural não renovável, que pode não mais

existir num futuro próximo. Sugira energias alternativas ou meios alternativos de transporte que

podem contribuir para diminuir a emissão desses gases.

No texto, escreva o título centralizado no alto da página e, abaixo dele, alinhado à direita,

seu nome. Redija três ou quatro parágrafos: no primeiro, contextualize o assunto do seu texto;

no segundo (e no terceiro, se você optar por quatro parágrafos), apresente sua sugestão de

alternativas; no último, exponha argumentos para defender sua sugestão. O objetivo é

convencer as pessoas que lerem seu texto de que seu ponto de vista procede. Imagine que

esse leitor faz parte da banca de examinadores do ENEM. Depois, junto com seu professor,

organize um debate sobre o tema. Se você precisar de informações para a construção de seus

argumentos, veja a seção “Siga antenado(a)”. Finalmente, a partir dos comentários do

professor sobre seu texto, faça uma autoavaliação: você acha que está conseguindo construir

um texto argumentativo eficiente?


Os principais responsáveis

pela produção de CO2 são o

carvão e os derivados do petróleo,

como a gasolina e o óleo diesel. Isso significa

que, quanto mais veículos movidos a gasolina

rodarem nas ruas de nossas cidades, mais

gases de efeito estufa serão lançados na

atmosfera. Reúna-se com mais dois colegas e

procurem, na Internet, imagens que evidenciam

a degradação do meio ambiente causada pela

produção de CO2, como mostra a Figura 3. Se

vocês não tiverem acesso à Internet, procurem

por fotos em livros e enciclopédias e façam uma

cópia. Em seguida, pensem em duas ações que

podemos realizar para diminuir a quantidade

desses gases. Faça a postagem dessas

imagens juntamente com suas sugestões de

ações no blog da escola ou prepare um cartaz

com esse material e afixe-o na parede da sua

sala.

Figura 3: Gases do efeito estufa produzidos por fábricas movidas a carvão. Fonte: <http://digitalmedia.fws.gov/cdm4/

item_viewer.php?CISOROOT=/

natdiglib&CISOPTR=1380&CISOBOX=1&REC=4>


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Coordenação e subordinação: organizando ideias

Quando falamos ou escrevemos, procuramos organizar o nosso discurso de maneira

que haja uma sequência lógica de ideias que serão unidas pelo sentido produzido pelo todo do

texto. Na escrita, podemos organizar e estruturar os períodos por meio de sinais de pontuação

e de conjunções, formando períodos compostos por coordenação ou subordinação. O

uso adequado da pontuação e das conjunções é importante para que seu texto seja

considerado coerente por quem o ler.

Vale lembrar que um período é composto por coordenação quando ele é formado por

orações sintaticamente independentes umas das outras, pois cada uma delas apresenta os

termos necessários (sujeito, verbo, objeto) para ter sentido. Observe:

1ª oração 2ª oração

Os homens são racionais, mas destroem o meio ambiente.

As orações destacadas são unidas apenas pela sequência de sentido e pela conjunção

mas, que, no caso, passa a ideia de contradição ou adversidade. A conjunção que une as

orações coordenadas chamamos de conjunções coordenativas. As orações também podem

ser coordenadas por vírgulas, como as duas primeiras do período a seguir:

1ª oração 2ª oração 3ª oração

Acordei tarde, peguei um ônibus e cheguei atrasada.

Texto 2

Curiosidade

Você sabe o que é o Protocolo de Quioto? Segundo o Portal Brasil (2012),

é um tratado internacional criado de acordo com a Convenção-Quadro das

Nações Unidas sobre Mudança de Clima e assinado na cidade japonesa de

Quioto em 1997. O primeiro período de cumprimento do tratado começou em

2005 e terminou em 2012, quando já havia sido ratificado por 184 países. Seu

objetivo é “estabilizar a emissão de gases do efeito estufa na atmosfera a fim de

conter o aquecimento global e seus possíveis impactos”.

Um site no qual podemos conseguir informações importantes sobre o meio ambiente é o

da organização WWF-Brasil: <www.wwf.org.br>. Ao acessá-lo, nós vemos, no canto

superior direito, uma caixa de entrada na qual digitamos o assunto que nos interessa. Por

exemplo, se digitar “petróleo e poluição”, você obterá como resultados não apenas os

títulos de textos sobre esse assunto, mas também frases que contêm as palavras-chave

petróleo e poluição.

Siga antenado

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1. Agora observe este período e responda à pergunta que o segue:

“Quando o homem tomar consciência, pode ser tarde demais para mudar as coisas e a vida vai estar irremediavelmente ameaçada.”

Quantas orações existem nele?

______________________________________________________________________

2. No trecho “Em relação aos bichos que preservam seu habitat, que só tiram dele o que lhes é extremamente necessário e que raramente mata um igual, [...]”, a conjunção e tem sentido de:

a) adição;

b) oposição;

c) exclusão;

d) conclusão;

e) explicação.

3. Preencha cada lacuna dos trechos abaixo com uma conjunção adequada:

(a) _______________ Revolução Industrial só tenha começado na segunda metade do

século XVIII, a Inglaterra já era um país rico por causa do comércio.

(b) A invenção da máquina a vapor e a invenção do tear mecânico resultaram do

investimento de capitais e de experimentos científicos. ______________, esses inventos

não surgiram do acaso.

(c) A França, que estivera mergulhada na Revolução Francesa desde 1789, teve,

_______________, o seu desenvolvimento industrial retardado.


Conjunções adversativas podem revelar o preconceito de quem as usa.

Tomemos o enunciado “Ela é pobre, mas é limpinha” para analisarmos isso, note

que não há contraste entre as duas orações (diferentemente do que ocorre com este

enunciado: “Este livro está muito caro, mas eu vou comprá-lo”). O contraste ocorre nas

entrelinhas do enunciado, revelando um discurso fortemente preconceituoso, segundo o qual

ser pobre implica ser sujo. Logo, seguindo-se essa lógica preconceituosa, se uma pessoa é

pobre e não é suja, haveria aí um contraste.

Ouvimos construções com conjunções adversativas nas falas das pessoas, revelando

racismo, homofobia, sexismo, indigenofobia e preconceito de origem geográfica e social.

Pense em alguns exemplos que evidenciam o uso da adversativa que expressa preconceito.

Fique alerta para não aceitar esse tipo de construção, que fere a autoestima das

pessoas, e para não construir esse tipo de sentença. Afinal, é importante respeitarmos as

pessoas, respeitarmos as diferenças.


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Leitura de textos não verbais

Contrariamente ao que alguns estudantes pensam, um texto não precisa ser formado

apenas por palavras. Ou seja, os textos não precisam ser exclusivamente verbais: eles

podem ter elementos não verbais como números, imagens, gráficos e tabelas. Podem até

nem ter palavras. Por exemplo, os símbolos que você vê a seguir, encontrados,

frequentemente, em prédios públicos, são textos sem palavras. O primeiro, obviamente,

significa “Proibido fumar”. O segundo, que está ficando cada vez mais conhecido das

pessoas, significa “Reciclável”.

Um elemento que ajuda na construção de sentido de alguns textos é a tabela, que é

um conjunto de informações traduzidas em número e organizadas em colunas (verticais) e

linhas (horizontais). As tabelas são muito úteis, mas tenha cuidado com a maneira como

você interpreta os dados: números podem nos enganar. A Tabela 1, a seguir, foi adaptada

a partir do artigo intitulado A água na terra está se esgotando? É verdade que no futuro

próximo teremos uma guerra pela água?, de autoria de Pedro Jacobi (2011). Observe-a

atentamente e responda às perguntas a seguir. Há, uma informação importante: o volume

de água da cada local está indicado em quilômetros cúbicos (km3); um quilômetro cúbico

equivale a um trilhão de litros.

Figura 4: Proibido fumar¹ Figura 5: Reciclável²

Texto 3

Tabela 1. Distribuição de água no mundo.

Fonte: Wetzel (1983 apud JACOBI, 2011) (adaptado).

LOCAL VOLUME (km3) PERCENTUAL DO TOTAL

Oceanos 1.370.000 97,61

Calotas polares e geleiras 29.000 2,08

Subsolo 4.000 0,29

Lagos de água doce 125 0,009

Lagos de água salgada 104 0,008

Rios 1,2 0,00009

Atmosfera (vapor d’água) 1,4 0,0009

¹Disponível em: <http://www.wpclipart.com/phps.php?q=no+smoking>. Acesso em: 03 mar. 2012. ²Disponível em: <http://www.wpclipart.com/phps.php?q=recycle>. Acesso em: 3 mar. 2012.

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1. Em que local do planeta existe mais água?

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2. Embora haja muita água na Terra, apenas uma parte dela é doce e, mesmo assim, nem toda ela está disponível para o ser humano. Onde se encontra a água doce disponível para o uso das pessoas?

______________________________________________________________________

3. Você acha que existe pouca água disponível para o uso humano no mundo? Com base em que você afirma isso?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Muitas pessoas acreditam que a água do planeta Terra está acabando. Essa

crença se deve ao fato do número de seres humanos aumentar muito a cada

década e o percentual dessas pessoas sem acesso à água tornar-se maior

também. Contudo, o que acontece, na verdade, é que há muita água potável no planeta, mas

ela está mal distribuída, ficando concentrada, principalmente, em quatro países: Brasil,

Rússia, China e Canadá. Veja a que conclusão chega o autor da tabela 1 (JACOBI, 2011):

Conclusão final: A água da Terra não está acabando. Na realidade, a água da superfície terrestre pode estar aumentando pela adição de água vulcânica. O valor da água deverá aumentar consideravelmente, pois existem países carentes que terão que utilizar tecnologias caras ou importar água de países ricos. O Brasil não deverá ter problema de falta de água se os governantes investirem adequadamente no gerenciamento, armazenagem, tratamento e distribuição das águas. Evitar a poluição das águas deve ser considerado a prioridade número um dos governantes.


Curiosidade

Você sabe o que é eclusa? Se não sabe, então acrescente essa palavra ao

seu vocabulário. Segundo Caroline Faria (2012), eclusa é o nome que se dá a

cada uma das comportas de uma barragem que “funcionam como se fossem

elevadores de água que fazem os navios subirem e descerem”.

De acordo com José Paulo Borges (2012), a eclusa da Barragem de Sobradinho, que

é uma atração turística no Rio São Francisco, tem 120 metros de comprimento e 17

metros de largura, e “permite às embarcações vencer o desnível de 32 metros criado

pela barragem construída pela Companhia Hidro Elétrica do São Francisco (Chesf),

no período de 1973 a 1979”.

Curiosidade

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Leia o miniconto de Mayrant Gallo (2010, p. 36), a seguir, e compare a ironia da mãe

do menino com a conclusão de Jacobi apresentada no “Zoom na Informação”. Compartilhe

sua conclusão, oralmente, com a turma.

Anedota da água

Mayrant Gallo

Diante da pia, fechando a torneira, o filho disse à mãe que a água do mundo estava no fim.

E ela, do alto de sua calma de quatro vintenas, faceira, brincou:

– Sei... E é pra quando isso?

Funções da linguagem

A linguagem desempenha seis funções básicas na comunicação. Vejamos cada uma

delas.

1.A função referencial ou denotativa, que é aquela de transmitir informações, típica de

textos jornalísticos, científicos e didáticos.

2. A função emotiva ou expressiva é aquela que expressa emoções, julgamentos e

opiniões. Ela é muito comum em textos dramáticos e poéticos.

3. A função conativa ou apelativa, isto é, a função de influenciar, persuadir, convencer,

levar o receptor do texto a adotar um determinado comportamento. Ela é muito comum em

anúncios publicitários e discursos políticos.

4. A função fática, ou seja, a função de estabelecer contato com o receptor para se

certificar de que ele está entendendo a mensagem ou para prolongar a conversa. Isso é

muito comum em nossas conversas diárias. Muitas vezes, dizemos algo assim: “Você está

me entendendo?”

5. A função metalinguística é a função de falar sobre a própria linguagem, como estamos

fazendo agora, explicando suas funções. Nas aulas de português, quando a professora fala

sobre verbo, sujeito e conjugação, por exemplo, ela está colocando em funcionamento a

função metalinguística.

6. A função poética, ou seja, a função de expressar sentimentos ao receptor da

mensagem, provocando-lhe uma sensação de prazer estético, como acontece com

poemas e canções.


Texto 4

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Glossário

apud: expressão latina que significa “junto a” e que, numa referência bibliográfica, é usada para indicar a origem de uma citação indireta;

habitat: conjunto de elementos físicos e geográficos que oferece condições favoráveis à vida e ao desenvolvimento de determinadas espécies animais ou vegetais;

potável: que pode ser bebido;

reciclável: que pode ser reciclado ou reutilizado após uma série de processos de mudança ou tratamento

De olho no ENEM

Com base nessas funções, responda a estas perguntas sobre o texto de Jacobi e sobre o

miniconto de Gallo:

1.Que função predomina na conclusão do artigo de Jacobi? Por quê?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2. Que função predomina no miniconto de Gallo? Por quê?

_________________________________________________________________________

Questão 01 (ENEM – 2010)

A biosfera, que reúne todos os ambientes onde se desenvolvem os seres vivos, se divide em unidades menores chamadas ecossistemas, que podem ser uma floresta, um deserto e até um lago. Um ecossistema tem múltiplos mecanismos que regulam o número de organismos dentro dele, controlando sua reprodução, crescimento e migrações.

DUARTE, M. O guia dos curiosos. São Paulo: Com-

panhia das Letras, 1995.

Predomina no texto a função da

linguagem:

(A) emotiva, porque o autor expressa seu

sentimento em relação à ecologia;

(B) fática, porque o texto testa o

funcionamento do canal de comunicação;

(C) poética, porque o texto chama a atenção

para os recursos de linguagem;

(D) conativa, porque o texto procura orientar

comportamentos do leitor;

(E) referencial, porque o texto trata de

noções e informações conceituais.


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23


Questão 02 (ENEM – 2011)

É água que não acaba mais

Dados preliminares divulgados por

pesquisadores da Universidade Federal do

Pará (UFPA) apontaram o Aquífero Alter do

Chão como o maior depósito de água

potável do planeta. Com volume estimado

em 86.000 quilômetros cúbicos de água

doce, a reserva subterrânea está localizada

sob os Estados do Amazonas, Pará e

Amapá. “Essa quantidade de água seria

suficiente para abastecer a população

mundial durante 500 anos”, diz Milton Matta,

geólogo da UFPA. Em termos comparativos,

Alter do Chão tem quase o dobro do volume

de água do Aquífero Guarani (com 45.000

quilômetros cúbicos). Até então, Guarani

era a maior reserva subterrânea do mundo,

distribuída por Brasil, Argentina, Paraguai e

Uruguai.

Época, no 623, 26 abr. 2010.

Essa notícia, publicada em uma revista de

grande circulação, apresenta resultados de

pesquisa científica realizada por uma

universidade brasileira. Nessa situação

específica de comunicação, a função

referencial da linguagem predomina, porque

o autor do texto prioriza:

(A) as sua opiniões, baseadas em fatos;

(B) os aspectos objetivos e precisos;

(C) os elementos de persuasão do leitor;

(D) os elementos estéticos na construção do

texto;

(E) os aspectos subjetivos da mencionada

pesquisa.

Referências

BORGES, José Paulo. Onde o Chico virou mar. Disponível em: <http://www.redebrasilatual.com.br/revistas/66/viagem>. Acesso em: 03 mar. 2012. PORTAL BRASIL. Protocolo de Quioto. Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/cop17/panorama/o-protocolo-de-quioto>. Acesso em: 17 mar. 2012. FARIA, Caroline. Eclusa. Disponível em: <http://www.infoescola.com/engenharia/eclusa/>. Acesso em: 03 mar. 2012. GALLO, Mayrant. Nem mesmo os passarinhos tristes. Rio de Janeiro: Multifoco, 2010. HOUAISS, Antônio; VILLAR, Mauro de Salles. Grande dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2001. JACOBI, Pedro. A água na Terra está se esgotando? É verdade que no futuro próximo teremos uma guerra pela água? Disponível em: <http://www.geologo.com.br/aguahisteria.asp>. Acesso em: 20 dez. 2011. SUPERINTERESSANTE. Viúva-negra não mata o macho: só prende. Disponível em: <http://super.abril.com.br/mundo-animal/viuva-negra-nao-mata-macho-so-prende-488471.shtml>. Acesso em: 03 mar. 2012. WWF-BRASIL. Saiba mais sobre mudanças climáticas. Disponível em: <http://www.wwf.org.br/natureza_brasileira/reducao_de_impactos2/clima/mudancas_climaticas/>. Acesso em: 03 mar. 2012.

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24


25


Matemática

Humberto José Bortolossi

Canais: Caminhos das águas

Neste Caderno, vamos explorar alguns dos aspectos que compõem a construção de

canais, dando atenção especial ao papel da Matemática nesse processo. Veremos que a

velocidade com a qual a água se desloca em um canal depende, entre outros fatores, da

sua geometria: da declividade do fundo do canal e da área e do perímetro de sua seção

transversal em contato com a água (Figura 1). Descrever e compreender essa

dependência exige conhecimentos de geometria (ângulos, trigonometria, perímetros e

áreas), de funções reais (aproximações de funções, funções definidas por partes) e de

soluções de equações.

Apresentação

Figura 1 — Canal trapezoidal tridimensional e elementos geométricos de sua seção transversal.

Assim, ao estudar o texto do Caderno e realizar as atividades propostas, você terá a

oportunidade de apreciar, de forma contextualizada, o uso da Matemática em um problema

prático e de importância tecnológica: o livro (CARLISLE, 2004), por exemplo, coloca

aquedutos e canais entre as 400 maiores invenções da humanidade em todos

os tempos.


Qual é a importância dos canais para nossas vidas? Durante o Período Neolítico, com a

organização da espécie humana em aldeias e centros urbanos, as necessidades agrícolas

impulsionaram os primeiros esforços no sentido de controlar o fluxo de água para fins de

irrigação. Desde então, saber captar, transportar e armazenar água se tornou vital para o

desenvolvimento da humanidade e de sua crescente demanda por água. Vestígios de

tecnologia hidráulica podem ser encontrados já em diversas civilizações antigas: Mesopotâ-

mia, Egito, Índia, Grécia, Itália, Peru, Mesoamérica e Camboja. No Brasil, temos vários

exemplos da ação do homem no processo de condução das águas: o Aqueduto da Carioca (os

Arcos da Lapa), o Canal Campos-Macaé, o Canal de Pereira Barreto, o Canal da Piracema, o

Canal do Trabalhador e, mais recentemente, a transposição do Rio São Francisco.

26


Canais pelo mundo.

Para que você possa perceber um pouco mais a presença e importância dos canais

em nossa sociedade, sugerimos a seguinte atividade de exploração: monte um pequeno

dossiê para alguns canais que foram criados pelas mãos do homem. Como ponto de

partida, indicamos os seguintes canais: o Canal do Panamá, o Canal de Suez, o Grande

Canal da China (o Grande Canal Beijing-Hangzhou), o Canal Reno-Meno-Danúbio, o Canal

de Corinto, o Canal do Meio-Dia, o Canal de Genil-Cabra, o Canal Campos-Macaé, o Canal

de Pereira Barreto, o Canal da Piracema e o Canal do Trabalhador. Você também pode

incluir um canal mais próximo de onde você reside (de sua cidade ou de seu Estado). Para

montar o seu documento, sugerimos o seguinte roteiro: (1) Visite cada um desses canais

usando o Google Earth (<http://www.google.com.br/intl/pt-BR/earth/>). Inclua, então, no

seu documento uma cópia da imagem apresentada pelo Google Earth e os países pelo

quais o canal passa. (2) Use o Google Images (<http://images.google.com.br/>) e o Google

Panoramio (<http://www.panoramio.com/>) para procurar por outras fotos do canal e,

então, inclua-as no seu documento (citando a fonte da imagem). (3) Usando mecanismos

de buscas na Internet, tente responder às seguintes perguntas: (a) Com qual propósito o

canal foi construído? (b) Qual é a extensão do canal? (c) Qual é a largura média do canal?

(d) Qual é a profundidade média do canal? (e) O quanto foi gasto na construção do canal?

Condução da água e suas classificações Os sistemas de condução da água são classificados de acordo com suas várias

características. Uma primeira classificação que pode ser feita é segundo o mecanismo que

promove o deslocamento do fluido: se o movimento ocorre unicamente pela ação da

gravidade (isto é, pelo peso do fluido) e

se sempre existe uma superfície livre

do fluido sob o efeito da pressão

atmosférica dentro do conduto,

dizemos que o escoamento se dá em

um conduto livre. Por outro lado, se o

conduto está completamente

preenchido com o fluido que está

sendo transportado e o movimento

ocorre por conta da gravidade ou por

conta de uma diferença de pressão

nas seções do conduto, dizemos,

então, que o escoamento se dá em um

conduto forçado (Figura 2).

Texto 1

Figura 2 — Condutos livres e forçados


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http://www.google.com.br/intl/pt-BR/earth/

http://images.google.com.br/

http://www.panoramio.com/

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Exemplos de condutos forçados incluem o deslocamento de água em canos, por

bombeamento, e o movimento do sangue em nossos vasos sanguíneos. Exemplos de

condutos livres incluem rios, calhas e galerias de esgoto que não estão completamente

preenchidos com líquido. Em Engenharia Hidráulica, condutos livres também são

denominados de canais, tema de nosso estudo aqui.

Canais, por sua vez, podem ser classificados de diversas maneiras. Um canal é

artificial se ele foi criado pela ação direta do homem (como o Canal do Panamá) e natural

se foi criado pela ação da natureza (como o Rio São Francisco). Com relação ao seu

formato geométrico, um canal é dito ser prismático se suas seções transversais são

congruentes e se suas seções longitudinais são segmentos de reta de mesma inclinação

(alguns autores exigem ainda que a rugosidade da superfície do canal seja constante),

caso contrário, ele é denominado não prismático. As seções transversais e longitudinais

são consideradas com relação a um eixo em uma superfície de referência (denominada

datum altimétrico em Geografia). A Figura 3, a seguir, ilustra um exemplo de canal

prismático e três exemplos de canais não prismáticos. Um canal prismático não precisa,

necessariamente, ter faces planas: um cano cilíndrico, por exemplo, também é classificado

como um canal prismático.

Figura 3 — Canais prismáticos e não prismáticos

Também podemos usar o tempo e o espaço para classificar canais. Usando o tempo

como critério de classificação: um canal é denominado estável se a profundidade do fluido

em cada seção transversal não muda com o tempo (mas podendo, em princípio, ser

diferente de seção transversal para seção transversal); se esta condição não for satisfeita,

o canal é denominado instável. Usando o espaço como critério de classificação: um canal é

denominado uniforme se a profundidade do fluido não varia ao longo do comprimento do

canal (mas podendo, em princípio, ser diferente em tempos diferentes); se esta condição

não for satisfeita, o canal é denominado não uniforme. Em nosso estudo, vamos nos

concentrar nos canais prismáticos. Eles constituem o modelo básico para muitos canais

artificiais.


Por que classificar coisas é tão importante? O processo de classificação é

importante, pois ele nos permite organizar o conhecimento, intervindo na

construção dos vários conceitos que constituem nossa estrutura intelectual. Com isso,

podemos ter acesso rápido a todo o conhecimento que se tem sobre um determinado assunto

em estudo, permitindo-nos entender mais facilmente novas informações a partir desse

conhecimento prévio organizado. Observe como classificações estão sendo usadas não

somente aqui neste Caderno de Matemática, mas, também, em todos os outros cadernos das

demais disciplinas.

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Modelos: simplificando a realidade para poder entendê-la. O estatístico inglês

George E. P. Box escreveu a seguinte frase em seu livro “Empirical

Model-Building and Response Surfaces” (publicado em 1987, em coautoria com o também

estatístico Normam R. Draper): “Essentially, all models are wrong, but some are

useful.” (“Essencialmente, todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis.”). Stricto

sensu, não existem canais (perfeitamente) prismáticos, nem (perfeitamente) estáveis e nem

(perfeitamente) uniformes. Essas definições dão origem a versões simplificadas e idealizadas

dos canais reais: os modelos de canais. Apesar dos modelos não capturarem todos os aspectos

de suas contrapartes reais, suas simplificações permitem que ele seja estudado com o

conhecimento e a tecnologia atuais, possibilitando, assim, a busca e o entendimento da

essência do fenômeno em estudo. Naturalmente, à medida que o conhecimento e a tecnologia

evoluem, novos e melhores modelos substituem os antigos. Modelos constituem uma ponte

entre a realidade e a teoria.

Elementos geométricos e hidráulicos de um canal

Nesta seção, vamos estudar os elementos geométricos e hidráulicos que compõem

um canal prismático. Como veremos mais adiante, eles serão fundamentais para o cálculo

da vazão do fluido no canal (um dos problemas centrais em Engenharia Hidráulica). Apesar

de um canal ser um objeto tridimensional, ele pode ser estudado a partir de duas de suas

representações bidimensionais: a seção longitudinal, passando pelo ponto mais baixo do

canal e uma de suas seções transversais (lembre-se que, em um canal prismático, todas

as seções transversais têm o mesmo formato). A Figura 4, a seguir, ilustra um canal

prismático e essas duas seções especiais.

Figura 4 — Seções longitudinal e transversal de um canal prismático

Texto 2

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Vamos às definições!

1. A inclinação S do canal é a tangente do ângulo entre o fundo do canal e uma

superfície de referência (denominada datum altimétrico em Geografia): S = tg(). É pelo

fato de o canal estar inclinado que o líquido aí flui pela ação da gravidade.

2. A variável y representa a profundidade do canal: a altura do líquido acima do fundo do

canal.

3. A variável d representa a altura de escoamento: a menor distância entre a superfície do

líquido e o fundo do canal (assim, um segmento que realiza esta medida deve ser

perpendicular ao fundo do canal).

4. A variável A representa a área molhada: a área da seção transversal ocupada pelo

líquido (na seção transversal da Figura 4, a área molhada é a área da região desenhada

em azul).

5. A variável P representa o perímetro molhado: o comprimento da linha de interseção

entre a seção transversal ocupada pelo líquido e a superfície (leito) do canal (na seção

transversal da Figura 4, o perímetro molhado é o comprimento da curva desenhada em

azul).

6. Importante: No cálculo do perímetro molhado, não se inclui o comprimento B do

segmento de reta que representa o contato entre a seção transversal ocupada pelo

líquido e a atmosfera. Esse comprimento B é denominado largura superficial do canal.

Com essas definições geométricas, podemos considerar dois elementos hidráulicos

importantes: a profundidade hidráulica (yh) e o raio hidráulico do canal (Rh), definidos,

respectivamente, pelas seguintes expressões:

e

As seções transversais de um canal artificial podem ter diferentes formatos:

retangulares, trapezoidais, triangulares, circulares e parabólicos (Figura 5).

área molhada

largura superficialh

Ay

B

área molhada.

perímetro molhadoh

AR

P

Figura 5 — Os diferentes formatos para as seções transversais de um canal artificial

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A escolha do tipo de canal depende de vários fatores: do tamanho do canal, do tipo

de líquido e sedimentos que serão transportados, dos recursos financeiros disponíveis etc.

No livro “Fundamentos da Engenharia Hidráulica”, os professores Márcio Baptista e

Márcia Laura (2006) apontam alguns usos dos diversos tipos de canais:

Em termos de utilização prática, as seções trapezoidais são bastante empregadas em canais de todos os portes, com ou sem revestimento. Da mesma forma, as seções retangulares têm também emprego bastante amplo, sendo, no entanto, construídas em estruturas rígidas, de forma a garantir a estabilidade das seções. Para a condução de vazões mais reduzidas, empregam-se as seções circulares, de uso comum em redes de esgoto, redes de águas pluviais e em bueiros. Da mesma forma, as seções triangulares são utilizadas em canais de pequenas dimensões, tais como as sarjetas rodoviárias e urbanas.

O engenheiro Adrian Laycock (2007) defende, em seu livro “Irrigation Systems”, o uso

de canais parabólicos, principalmente devido à excelente resistência estrutural que este

tipo de canal oferece. Aqui vale mencionar que os canais escavados usando seções

trapezoidais e triangulares tendem a se tornar parabólicos com o tempo.


Que tal ver algumas fotos de canais construídos usando esses tipos de seções

transversais? Começamos com os canais retangulares. A foto da esquerda, na Figura 6, nos

mostra o aqueduto retangular do reservatório de Malaprabha, na Índia; a foto da direita é do

Canal Superior de Pehur, no Paquistão (note a transição da seção retangular para uma seção

parabólica).

Figura 6 — Canais retangulares Fonte: Adrian Laycock

Um exemplo de canal no formato tra-

pezoidal é dado pelo canal adutor na cidade

de Delmiro Gouveia, em Alagoas (Figura 7).

Figura 7 — Canal trapezoidal Fonte: Agência Nacional de Águas

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O canal de Zújar, na Espanha, tem o formato circular. A foto na Figura 8, à esquerda,

mostra um equipamento pavimentando esse canal durante sua construção, em 1971. Também

tem formato circular uma tubulação de esgoto que desemboca no Rio Belém, em Curitiba (foto

à direita na Figura 8).

Figura 8 — Canais circulares Fontes: Adrian Laycock e Agência Nacional de Águas

As fotos na Figura 9 são da construção de um trecho parabólico do Canal Superior de Pehur,

no Paquistão. As fotos B e C ilustram duas técnicas que foram empregadas para garantir o formato

parabólico do canal.

Figura 9 — Canais parabólicos Fonte: Adrian Laycock

Siga antenado

Quer ver outras fotos de canais artificiais? A página web do engenheiro Adrian

Laycock reúne uma excelente coleção de fotos desse tipo: <http://

www.adrianlaycock.com/pictures/>.

Cálculos dos elementos geométricos e hidráulicos

Nesta seção, você é convidado(a) a usar seus conhecimentos de geometria e

trigonometria para calcular os vários elementos geométricos e hidráulicos dos canais

retangulares, trapezoidais, triangulares e circulares. Faça os cálculos e anote os resultados

na tabela a seguir! Assuma que o ângulo é sempre medido em radianos.


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Foto A Foto B Foto C

http://www.adrianlaycock.com/pictures/

http://www.adrianlaycock.com/pictures/

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Sugestão: para se familiarizar com o problema, antes de proceder aos cálculos,

acesse a atividade interativa disponível no endereço <http://www.uff.br/cdme/iat/cda/>.

Nessa atividade, você poderá modificar o formato do canal e observar como os elementos

geométricos e hidráulicos variam, incluindo um modelo 3D do canal e os gráficos de B, A, P,

yh e Rh em função de y. Você também poderá testar se sua resposta está correta,

comparando-a com os valores numéricos dados pela atividade interativa.

Tipo do Canal

Largura Superficial

(B)

Área Molhada

(A)

Perímetro Molhado

(P)

Profundi-dade Hi-dráulica (yh=A/B)

Raio Hidráuli-

co (Rh=A/P)

canal retangular

canal trapezoidal

canal triangular

canal circular

Tabela 1: Cálculos dos elementos geométricos e hidráulicos dos canais retangulares, trapezoidais, triangulares e circulares

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http://www.uff.br/cdme/iat/cda/

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Em textos de engenharia, para canais trapezoidais e triangulares, não é usual

empregar ângulos para especificar a inclinação das paredes (os taludes) dos canais. O que

se faz é considerar um triângulo retângulo, onde um dos ângulos internos é o ângulo , que

determina a inclinação da parede do canal e cujo cateto oposto a este ângulo tem sempre

medida igual a 1 (Figura 10). Ao invés do ângulo ,

usa-se, então, a medida z do cateto adjacente a esse

ângulo. Note, portanto, que a inclinação da parede do

canal é igual à tg() = 1/z, de modo que z = 1/tg() = cotg

().

De posse dessa informação, use a variável z, ao

invés da variável , para reescrever as expressões que

você obteve para a largura superficial, a área molhada, o

perímetro molhado, a profundidade hidráulica e o raio

hidráulico, na tabela anterior, para o canal trapezoidal e

para o canal triangular.

Canais parabólicos um prelúdio ao cálculo diferencial e integral

Talvez você esteja se perguntando o porquê do canal parabólico não ter sido

considerado no estudo feito na seção anterior. A dificuldade aqui é obter o comprimento de

um arco de parábola (para calcular o perímetro molhado do canal parabólico) e a área de

uma região limitada por uma parábola e um segmento de reta (para calcular a área

molhada do canal parabólico). Será que existem fórmulas para essas medidas? A resposta

é sim! Para o canal parabólico indicado na Figura 11, os valores do perímetro molhado P e

da área molhada A são dados, respectivamente, pelas expressões

Figura 11 — Elementos geométricos do canal parabólico

2 2 2 2 2 2 2 28 16 ln 4 16 ln 4 16

16

B y y B y B y BP

y B y

y

3

2.A

B y


Figura 10 — Relação entre z e : z =

1/tg() = cotg()

Texto 3

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e

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Mas como essas fórmulas foram obtidas? Resposta: com recursos do Cálculo

Diferencial e Integral, uma teoria que você, certamente, estudará na universidade caso

opte por um curso das áreas de ciências exatas e tecnológicas (Matemática, Física,

Química, Estatística, Informática, Ciências da Computação, Engenharias, Geofísica, Geolo-

gia, Oceanografia, Metereologia, Tecnologia em Navegação Fluvial, Astronomia). Mesmo

cursos como Administração, Contabilidade, Economia, Ciências Atuariais, Arquitetura, Far-

mácia, Biologia, Biomedicina, Ciência e Tecnologia de Alimentos, Agronomia e Zootecnia

estudam o Cálculo Diferencial e Integral.

Uma das ideias centrais do Cálculo

Diferencial e Integral é a de tentar obter a

resposta de um problema mais complica-

do, resolvendo-se problemas mais simples,

cujas soluções dão aproximações cada vez

melhores do problema complicado inicial.

Vamos acompanhar um exemplo: a seção

transversal do leito de um canal parabólico

pode ser modelada como o gráfico de uma

função quadrática u = f(x) = a x2 (com a =

4y/B2) para valores de x no intervalo [–B/2,

B/2], como mostra a Figura 12.

Calcular o comprimento desse arco

de parábola é um problema complicado! A

ideia é, então, pensar em uma situação

mais simples e, para isto, vamos aproximar

a função quadrática por uma função poligo-

nal, cujo gráfico é constituído por dois seg-

mentos de reta, como mostra a Figura 13.

Observe que calcular a soma dos

comprimentos dos segmentos de reta que

constituem o gráfico da função poligonal é

um problema muito mais simples! Mais ainda: essa soma dá uma aproximação para o

comprimento de arco de parábola e, quanto mais subdividirmos o intervalo [–B/2, B/2] em

subintervalos de mesmo tamanho, mais a soma dos comprimentos dos segmentos de reta

do gráfico da função poligonal correspondente irá se aproximar do comprimento do arco de

parábola (Figura 14)!

Figura 12 — Gráfico de u = f(x) = a x2 (com a = 4y/B2),

para x no intervalo [–B/2, B/2]

Figura 13 — Aproximação do perímetro molhado usando-

se dois subintervalos

Figura 14 — Aproximações do perímetro molhado usando-se quatro e oito subintervalos

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Uma ideia análoga pode ser usada para aproximar o valor da área molhada do canal

parabólico! De fato, observe nas figuras a seguir, como a área molhada pode ser aproxima-

da por triângulos e trapézios cujas áreas são bem mais fáceis de se calcular. Quanto mais

subdividirmos o intervalo [–B/2, B/2] em subintervalos de mesmo tamanho, mais a soma

das áreas dos triângulos e trapézios irá se aproximar do valor exato da área molhada

(Figura 15)!

Figura 15 — Aproximações da área molhada usando-se dois, quatro, oito e dezesseis subintervalos

Para perceber o poder dessas ideias, sugerimos que você realize experimentos

numéricos com as atividades interativas disponíveis no endereço eletrônico

<http://www.uff.br/cdme/iat/cda/>. Nessas atividades, você poderá configurar o formato

do canal parabólico e comparar as aproximações construídas anteriormente com os

valores exatos obtidos via Cálculo Diferencial e Integral!

Enquanto nossa discussão aqui se concentrou em aspectos numéricos, o desen-

volvimento teórico dessas ideias de aproximações permite obter fórmulas exatas para o

cálculo do comprimento de curvas e para o cálculo de áreas de regiões mais gerais.

Mas isso é outra história, que você verá se cursar a disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral na universidade.


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http://www.uff.br/cdme/iat/cda/

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Agora que você conhece as expressões para o perímetro molhado e para a área mo-

lhada de um canal parabólico, que tal preencher os dados da Tabela 2?

Tipo do Canal

Largura Superficial

(B)

Área Molhada

(A)

Perímetro Molhado

(P)

Profundi-dade Hi-dráulica

Raio Hidráulico (Rh=A/P)

canal parabólico

Tabela 2: Cálculos dos elementos geométricos e hidráulicos dos canais parabólicos

Velocidade média e vazão: A fórmula de Manning

Devido à presença da superfície livre em contato com o ar

e ao atrito com as paredes do canal, a velocidade do fluido não

se distribui uniformemente sobre sua seção transversal. A Figu-

ra 16 ilustra distribuições típicas para os canais circulares.

Na figura, as curvas indicam pontos da seção transversal

com mesma velocidade. Elas são denominadas isotáquias (do

Grego, ísos = igual e táchos = velocidade). Note que a velocida-

de máxima ocorre no interior da área molhada e que, quanto

mais próximo das paredes do canal, menor é a velocidade do

fluido. Dada a essa não uniformidade, é usual, então, conside-

rar a velocidade média v do fluido, definida por

onde Q é a vazão do fluido (a taxa de variação em relação ao tempo do volume do

fluido que passa pela seção transversal do canal) e A é a área molhada do canal.

,Q

vA

Texto 4

Figura 16 — Distribuição das

velocidades do fluido em um

canal circular


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Tipo do Canal n A. Condutos naturais Limpo e reto Escoamento vagaroso com poças Rio típico B. Planícies inundadas Pasto Cerrado leve Cerrado pesado Floresta C. Condutos escavados na terra Limpo Cascalho Vegetação rasteira Pedregoso D. Condutos revestidos artificialmente Vidro Latão Aço liso Aço pintado Aço rebitado Ferro fundido Concreto com acabamento Concreto sem acabamento Madeira aplainada Tijolo de barro Alvenaria Asfalto Metal corrugado Alvenaria grosseira

0,030 0,040 0,035

0,035 0,050 0,075 0,150

0,022 0,025 0,030 0,035

0,010 0,011 0,012 0,014 0,015 0,013 0,012 0,014 0,012 0,014 0,015 0,016 0,022 0,025

Tabela 3 — Valores do coeficiente de rugosidade de acordo com o tipo de canal

Fonte: CHOW, 1959

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Ao construir um canal, engenheiros procuram dimensioná-lo corretamente para garantir

que a velocidade média de escoamento esteja dentro de um determinado intervalo. Esse con-

trole é importante, por exemplo, para garantir que um volume mínimo de água seja escoado

em um determinado intervalo de tempo e para se evitar erosões e acúmulo de depósitos no

fundo do canal.

Nesse aspecto, uma das fórmulas mais usadas em Engenharia Hidráulica é a fórmula de

Manning, que relaciona a velocidade média v do fluido com a geometria da seção transversal

do canal:

onde k é uma constante de conversão, n é o coeficiente de rugosidade de Manning (que

depende da rugosidade das paredes do canal), Rh é o raio hidráulico do canal e S é a declivi-

dade (a tangente do ângulo f entre o fundo do canal e um datum altimétrico). No Sistema In-

ternacional de Unidades, k = 1, n é dado em s/m1/3, Rh em m e S é adimensional (isto é, des-

provido de unidade). Não é difícil de verificar, com base nessas informações, que v é, então,

expressa em m/s. Essa fórmula empírica foi proposta pelo engenheiro irlandês Robert Man-

ning, em 1889, para a Instituição de Engenheiros Civis, na Irlanda. Em 1891, Manning publicou

sua fórmula no artigo “On The Flow of Water in Open Channels and Pipes” da revista

“Transactions of The Institution of Civil Engineers”.

O coeficiente de rugosidade n na fórmula de Manning é determinado empiricamente. Na

Tabela 1, encontramos valores típicos para n de acordo com o tipo de canal (CHOW, 1959).

Como esperado, quanto mais rugosa a superfície do fundo do canal, maior o valor do coefici-

ente de rugosidade. Por exemplo, a rugosidade das planícies inundadas aumenta de pasto

para cerrado e de cerrado para floresta.

2/3 1/2 ,h

kv R Sn

38


A fórmula de Manning também pode ser expressa em termos da vazão Q do canal:

onde A é a área molhada da seção transversal do canal. No Sistema Internacional de Uni-

dades, Q é medida em m3/s e A em m2.

Vamos ver agora um exemplo típico do uso da fórmula de Manning em Engenharia

Hidráulica. Considere o canal trapezoidal cujas dimensões da seção transversal estão indi-

cadas na Figura 18.

Figura 18 — Exemplo de canal trapezoidal

Sabe-se que o fundo do canal cai 1,4 m para cada 1000 m de comprimento e que ele

é revestido de concreto com acabamento. Qual é a vazão do canal? A resposta é dada pe-

la fórmula de Manning! Note, primeiramente, que k = 1, n = 0,012 (conforme a tabela com

os coeficientes de rugosidade de Manning), S = 1,4/1000 = 0,0014, b = 4, y = 2,

e

Dessa maneira,

Portanto, a velocidade média v do canal é dada por v = Q/A ≈ 3,62 m/s.

2/3 1/2 , h

kQ AR S

n

2 22 cotg 4 4cotg ,

9 9B b y

( ) 28 4cotg ,

2 9

B b yA

2 44

2 2sen sen

9 9

yP b

2 2 28 4cotg 2sen cos

9 9 9.

4 24 sen 1

2 9sen

9

h

AR

P

Ma

tem

áti

ca

EM

çã

o

39


Um problema mais interessante (e também um pouco mais complicado) é o de se

determinar a profundidade y do canal que realiza uma vazão Q com valor preestabelecido.

Por exemplo, qual deve ser a profundidade y do canal do exemplo que acabamos de estu-

dar para que sua vazão seja igual a Q = 100 m3/s? Repetindo os cálculos feitos anterior-

mente, aproximando os valores das funções trigonométricas, mas não substituindo o valor

de y por 2, concluímos que y deve ser solução da equação

Enquanto existem técnicas que permitem resolver numericamente e de forma eficien-

te equações desse tipo, você pode tentar algo não tão eficiente, mas bem mais simples,

com sua calculadora ou planilha eletrônica: tentativa e erro. Mais precisamente, você pode

calcular a função

para valores de y iguais a 0, 0,1, 0,2 etc e, então, parar quando f(y) estiver próximo de 100.

Uma vez que f(2,9) = 94,24... e f(3,0) = 101,79..., podemos considerar y = 3.0 como uma

aproximação da solução da equação. Podemos procurar por uma aproximação melhor no

intervalo [2,9; 3.0]: uma vez que f(2,98) = 99,46... e f(2,99) = 100,12..., concluímos que y =

2,98 é uma outra (e melhor) aproximação para a solução da equação. Dessa maneira, po-

demos inferir que a representação decimal da solução da equação é da forma y = 2.98....

É importante ressaltar a natureza empírica da fórmula de Manning: ela foi formulada a

partir de muitas observações e medições em canais existentes. Assim, cuidado é neces-

sário! À medida que técnicas de medição e de análise estatística mais sofisticadas são

desenvolvidas, todo o processo pode ser revisto. Não obstante, é sempre bom ter em

mente que certas leis físicas que hoje nos são bem familiares, como a Lei da Queda

Livre dos Corpos, de Galileu Galilei (1564-1642), e a Lei da Gravitação Universal, de

Isaac Newton (1643-1727), tiveram uma componente empírica em suas formulações:

Galileu Galilei fez experimentos com planos inclinados no processo de estabelecer a lei

que governa a queda livre dos corpos e Isaac Newton, em sua obra “Principia”, diz:

“Nessa filosofia [experimental], as proposições particulares são inferidas dos fenômenos

e, depois, tornadas gerais por indução”.


Ma

tem

áti

ca EM

çã

o

2/3

8 2,38( ) 0,98 8 2,38

4 3,11

y yf y y y

y

40


A ideia de se representar graficamente pon-

tos onde uma determinada quantidade é

constante (como o caso das isotáquias) é

muito usada em outros ramos da ciência.

Por exemplo, em cartografia, topografia e

agricultura, uma curva de nível é um con-

junto de pontos de um mapa que represen-

ta pontos com mesma altitude (Figura 17).

Temos também as isotérmicas (curvas on-

de a temperatura é constante), as isoietas

(curvas onde a precipitação pluvial é cons-

tante), as isobáricas (curvas onde a pres-

são atmosférica é constante), etc.

Figura 17 — Curvas de nível


Curiosidade

Após analisar os custos de construção de 33 canais na Espanha, Montañés (2006) obteve os seguintes percentuais com relação ao custo total de constru-ção:

Observe que mais da metade do custo total da construção é gasta com o reves-

timento do canal. Apesar disso, o revestimento do canal permite diminuir a perda de

água por infiltração em torno de 30% a 40%, apenas (SWAMEE; MISHRA; CHADAR,

2002). Além da infiltração, um canal pode perder água por transbordamento e evapo-

ração. Estima-se, por exemplo, que um terço da água dos canais de irrigação em todo

o mundo se perde durante o processo de transporte. Outro terço é perdido no terreno

ou na fazenda, de modo que apenas um terço da água é efetivamente consumido

(MONTAÑÉS, 2006).

Nivelamento do canal 31,0% Escavação do canal 10,5% Corte do canal 5,3% Revestimento do canal com concreto 53,0%

Glossário

Uma seção longitudinal de um objeto tridi-mensional com relação a um determinado eixo é a interseção do objeto com um plano paralelo ao eixo.

Uma seção transversal de um objeto tridi-

mensional com relação a um determinado

eixo é a interseção do objeto com um plano

perpendicular ao eixo.

Ma

tem

áti

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EM

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o

41


De olho no ENEM

Questão 01 – ENEM 2009

A vazão do Rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chu-

vosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma

dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as

medidas especificadas na Figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cál-

culo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde

passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Pla-

neja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na Figura II, para evi-

tar a ocorrência de enchentes.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para

depois da reforma da canaleta?

(A) 90 m3/s (B) 750 m3/s (C) 1.050 m3/s (D) 1.512 m3/s (E) 2.009 m3/s

Questão 02 – ENEM 2009

Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de

um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.

Considere que a base do reservatório tenha raio e que sua lateral faça um

ângulo de 60°com o solo.

Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de

(A) (B) C)

(D) (E)

212 m 2108 m 2 2(12 2 3) m

2300 m 2 2(24 2 3) m

Ma

tem

áti

ca EM

çã

o

2 3 mr

42


Referências

BAPTISTA, Márcio; LARA, Márcia. Fundamentos da Engenharia Hidráulica. Belo Horizonte: UFMG, 2010.

CARLISLE, Rodney P. Scientific American Inventions and Discoveries: All The Milestones in Ingenu-ity ─ From The discovery of Fire to The Invention of The Microwave Oven. Hoboken: John Willey & Sons, Inc., 2004.

CHOW, Ven Te. Open Channel Hydraulics. New York: McGraw-Hill, 1959.

LAYCOCK, Adrian. Irrigation Systems: Design, Planning and Construction. Oxfordshire: CABI, 2007.

MONTAÑÉS, José Liria. Hydraulic Canals: Design, Construction, Regulation and Maintenance. New York: Taylor & Francis, 2006.

SWAMEE, Prabhata K.; MISHRA, Govinda C.; CHADAR, Bhagu R. Design of Minimum Water-Loss

Canal Sections. Journal of Hydraulic Research, v. 40, n. 2, p. 215-220, 2002.

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43


LÍNGUA PORTUGUESA Questão 01 (ENEM 2010)

Comentários:

O texto de Duarte apresenta ao leitor informações sobre a biosfera e sobre o ecossiste-

ma, explicitando o que cada noção significa. Por isso, fica claro que a função linguagem,

usada pelo autor do texto, não é emotiva, nem fática, nem poética e nem conativa, mas,

isto sim, referencial.

Resposta correta: E

Questão 02 (ENEM 2011)

Comentários:

O texto apresenta informações sobre uma pesquisa científica e a previsão que um pes-

quisador faz com base em dados objetivos e precisos oriundos dessa pesquisa. Por is-

so, as alternativas (A) e (E) estão erradas e a alternativa (B) está correta. As alternativas

(C) e (D) não procedem, porque o texto é simplesmente informativo: ele nem é argumen-

tativo – seu autor não tenta convencer o leitor acerca de nada – nem é estético, pois a

linguagem predominante é denotativa.

Observe que o conteúdo do texto dessa questão está estreitamente relacionado com a

Geografia e a Física. Por isso, lembre-se que todas as disciplinas contribuem para você

fazer uma ótima prova de Língua Portuguesa no ENEM.

Resposta correta: B

Respostas e Comentários das Questões do ENEM

44


MATEMÁTICA Questão 01 (ENEM 2009)

Comentário Vamos usar as seguintes notações: v1, Q1 e A1 representam, respectivamente, a va-zão, a velocidade da água e a área do corte vertical (no caso, um trapézio) do canal da Figura I. Por sua vez, v2, Q2 e A2 representam, respectivamente, a vazão, a velocidade da água e a área do corte vertical (no caso, outro trapézio) do canal da Figura II. Para responder à questão, devemos calcular o valor da vazão Q2. Como Q1 = A1 v1, Q2 = A2 v2 e, por hipótese, v2 = v1, segue-se que:

2 1 1 22 1 2

2 1 1

.Q Q Q A

v v QA A A

Mas Q1 = 1.050 m3/s,

e Logo,

2

1

(30 20) 2,562,5 m

2A

2

2

(41 49) 2,090 m .

2A

31 22

1

(1.050) (90)1.512 m s.

62,5

Q AQ

A

Note que o enunciado da questão está assumindo, implicitamente, que os dois canais

estão operando com água até o topo. Como foi visto na parte deste Caderno dedicada

à matemática, a vazão não depende da área do corte transversal do canal, mas, sim,

da área da parte do corte transversal que está sendo preenchida com água (a área

molhada do canal).

Os valores errados nos demais itens podem ter as seguintes explicações: o valor dado

no item (A) coincide numericamente com o valor de A2; o valor dado no item (B)

coincide com o valor de Q1/2; o valor dado no item (C) coincide com o valor de Q1; o

valor dado no item (E) coincide numericamente com o ano de aplicação da prova.

Resposta correta: D

Questão 02 (ENEM 2009)

Comentário

Considere os pontos coplanares O, P, Q, U e V indicados na figura a seguir.

45


Na figura, os pontos O e U são centros das duas bases circulares do tronco de cone

circular reto, o ponto P é tal que = raio da base circular de centro em O, o

ponto V é tal que = raio da base circular de centro em U e o ponto Q é a pro-

jeção ortogonal do ponto V sobre o solo.

Para responder à questão, devemos calcular a área da base circular de centro em U e,

para isso, precisaremos calcular primeiro a medida R de seu raio.

OP r

UV R

Note que = altura do reservatório. Observe também que, no triângulo

retângulo PQV,

Como h = 12 m e segue-se que

Assim, a área S da base circular de centro em U do tronco de cone circular reto é igual a

Observação: Houve um erro de impressão na prova original fornecida pelo MEC e o

símbolo π não apareceu nos itens de resposta dessa questão.

Os valores errados nos demais itens podem ter as seguintes explicações: o valor dado

no item (A) coincide com o valor da área da base circular de centro no ponto O; o valor

dado no item (C) coincide com o valor da área de um círculo cujo raio é igual à soma h

+ r; o valor dado no item (D) é obtido se, no desenvolvimento acima, o valor de tg (60°)

for substituído erroneamente por o valor dado no item (E) é obtido se, no de-

senvolvimento acima, o valor de tg (60°) for substituído erroneamente por ½.

Resposta correta: B

OU QV h

tg(60 ) .QV h

R rPQ

tg(60 ) 3, 2 3 m,r

12 18tg(60 ) 3 3 6 12 6 3 m.

2 3 3

QV hR R

R rPQ R

2

2 26 3 108 m .S R

3 2,

46


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