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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
TURMA - PDE/2012
Título: O Teorema de Pitágoras e algumas de suas demonstrações.
Autora Aldair Pereira Guimarães
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Escola Estadual “Olavo Bilac” - Ensino Fund. e Médio. Rua Humberto Moreschi, 103 – Centro.
Município da escola Itambé - Paraná
Núcleo Regional de Educação Maringá - Paraná
Professora Orientadora Lucieli Maria Trivizoli
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Maringá - UEM
Resumo O presente material tem por objetivo apresentar atividades que abordem o Teorema de Pitágoras, um conteúdo histórico e sempre presente nos programas curriculares, lançando mão de mídias digitais, além de outros recursos, buscando superar o ensino tradicional do tema. Espera-se que o trabalho possa se tornar um subsídio para os Professores da Rede Estadual de Ensino possibilitando aulas significativas, utilizando-se de metodologias pautadas nas atuais tendências da Educação Matemática.
Palavras-chave Pitágoras; Teorema; Aprendizagem; História da Matemática;
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Alunos da 1ª Série do Ensino Médio
APRESENTAÇÃO
Este trabalho se propõe a elaborar uma atividade que aborde o Teorema
de Pitágoras, um conteúdo histórico e sempre presente nos programas
curriculares, utilizando aspectos da história da matemática com apoio de
mídias digitais e outros recursos buscando superar o ensino tradicional do tema
com atividades desenvolvidas por meio do uso de materiais concretos e
interativos, a fim de que os alunos se sintam motivados e consigam dar
significado à construção e aplicação das relações do teorema.
Pretendemos fornecer aos alunos do Ensino Médio condições de
compreender e aprofundar os saberes matemáticos relativos ao Teorema de
Pitágoras de maneira que façam sentido para os alunos, mediante a
construção e utilização de recursos didáticos diversificados, contando com o
apoio da história da matemática para compreender que muitos dos
conhecimentos que utilizamos hoje têm sua origem no passado.
Nesse sentido, serão trabalhados os conceitos relacionados ao Teorema
de Pitágoras e serão promovidas algumas demonstrações deste teorema
construídas ao longo da história. Trabalharemos com pesquisas na Internet
sobre estas demonstrações em busca de identificar os povos e as pessoas que
trabalharam nelas para fazer com que os alunos percebam e valorizem a
História da Matemática, seus personagens e suas contribuições. Além disso,
pretendemos discutir a aplicação do teorema de Pitágoras para calcular
elementos em diversas figuras geométricas planas.
O Teorema de Pitágoras é geralmente abordado nas escolas com a
apresentação da fórmula e sua aplicação em atividades de fixação e
identificamos uma grande dificuldade dos alunos para compreender o
significado da relação estabelecida por este teorema, bem como suas
aplicações em outras áreas de conhecimento.
Percebe-se que existe certa dificuldade dos alunos em conseguirem
acompanhar e desenvolver abstrações feitas em aula, em especial, no caso do
Teorema de Pitágoras. Mesmo com construções de triângulos retângulos e
explicação para identificar os lados que são os catetos e o lado correspondente
à hipotenusa, percebe-se que qualquer mudança de posição do triângulo já faz
com que os alunos não saibam mais identificar os catetos e a hipotenusa.
Por isso, com o uso de recursos de mídias no formato de vídeos e do
uso de materiais manipuláveis, procuraremos abordar diversas possibilidades
de demonstrações do Teorema de Pitágoras em busca de desenvolver uma
compreensão significativa deste conhecimento.
Portanto, urge a necessidade de uma ressignificação nos processos de
ensinar e aprender Matemática, abrangendo não apenas a inclusão ou
exclusão de conteúdos, mas passando por uma análise pedagógica de como
estes são abordados, envolvendo os recursos didáticos utilizados, pois, na era
tecnológica que estamos inseridos, as informações e os saberes, estão
acessíveis a todos, sejam por meios eletrônicos ou impressos. Dessa forma o
diferencial que trará benefícios à aprendizagem, está nas estratégias
metodológicas que o professor adotará para que os conceitos e os
conhecimentos sejam elaborados, compreendidos, reelaborados e utilizados
pelo aluno.
Assim, é essencial que sejam selecionados recursos didáticos que
auxiliem o aluno a pensar matematicamente, que sirvam de apoio ao professor
na mediação da construção e significação do conhecimento, visando o sucesso
do processo de ensinar e aprender matemática. Como afirmam Miranda e
Laudares (2007), é preciso sair dos antigos moldes de ensinar Matemática, nos
quais a exposição oral e a resolução de exercícios eram praticamente os
únicos meios empregados e lograr espaço às tendências de ensino da
Educação Matemática, como jogos, investigações matemáticas, uso de
materiais manipuláveis, mídias tecnológicas e resolução de problemas, uso
didático da história da matemática, entre outras.
Rêgo e Rêgo (2000) também defendem mudanças na forma de ensinar
a Matemática, afirmando que não se têm obtido através do ensino tradicional, a
autonomia intelectual, a capacidade de reflexão crítica, o trabalho em equipe, a
criatividade para enfrentar novas situações e aplicar os conhecimentos
adquiridos, tornando-se então premente a introdução de novas metodologias
de ensino nas quais o aluno seja considerado como o sujeito ativo da
aprendizagem.
Também se comprova por diferentes experiências em todo país, que
somente ocorre uma aprendizagem significativa e dinâmica quando os recursos
didáticos exigem uma atividade mental do aluno, como nos casos em que são
utilizadas atividades práticas, jogos, mídias tecnológicas, entre outros, na
medida em que o aluno não é considerado um elemento passivo no processo,
já que ele é convidado a interagir com os colegas, descobrindo conceitos,
formando-os, construindo-os (GAERTNER, 2001).
Acrescente-se a isso, que os alunos da 1ª série de Ensino Médio, etapa
a que se destina a aplicação deste material pedagógico, são mais críticos e
questionadores devido ao nível de conhecimento e desenvolvimento cognitivo
mais elevado que se encontram, (FÁVERO, 2005). Por isso exigem maiores
explicações de certas definições e algoritmos, e assim temos a possibilidade de
discutir com os alunos, os princípios e algoritmos matemáticos de maneira a
produzir sentido na prática matemática. Os professores devem conhecer
diferentes estratégias de metodológicas que permitam trabalhar tais
indagações e conduzir os alunos a “aprimorar as habilidades adquiridas no
Ensino Fundamental”, conforme prescrito nas Orientações Curriculares para o
Ensino Médio (BRASIL, 2008, p. 78), lançando-os a novos desafios de
pesquisa e descobertas.
No Ensino Médio, a etapa final da Educação Básica, os conteúdos
exigem maior abstração e alguns deles são difíceis de serem contextualizados.
Mais um motivo para possuirmos ferramentas diversificadas que auxiliem no
processo de ensino-aprendizagem. Conforme afirma Libâneo (1994), o
professor ao utilizar aspectos externos como os recursos didáticos visa
desenvolver os aspectos internos, ou seja, as funções mentais nos alunos
como: a percepção, as representações, o pensamento abstrato etc.
MATERIAL DIDÁTICO
ATIVIDADES PROPOSTAS
ATIVIDADE 01: Introdução do Teorema de Pitágoras - apresentação de
vídeos.
Duração: 02 horas/aula
Recurso: vídeo, TV, TV Pen drive
Para dar início à atividade, será feita uma abordagem da História da
Matemática tendo como foco Pitágoras e sua participação em estudos
matemáticos, principalmente no estudo das propriedades do triângulo
retângulo.
Pitágoras nasceu na ilha de Samos, nas costas da Ásia Menor, por volta
do ano 572 a.C. Nessa época Samos era uma rica cidade-estado mercantil,
mas, talvez justamente por isso, sua vida intelectual era muito limitada, apesar
de viverem ali muitos homens de talento
Assim, aos 18 anos de idade, ele mudou para a ilha de Lesbos, onde
estudou filosofia por dois anos.
Depois disso, seguiu para Mileto, possivelmente para usufruir os
ensinamentos de Tales.
Mapa da Grécia
Figura 1 Mapa da Grécia Antiga Fonte: http://phylos.net/imagens/artigos/historia_matematica/MapaGrecia.png
Algum tempo depois, rumou então para o Egito, para tentar se aproximar
do saber local, concentrado nas mãos das ordens sacerdotais.
Depois de vencer duras provas acabou sendo aceito como aluno em
Tebas, na Grécia, onde permaneceu por cerca de vinte anos.
Pitágoras é considerado o pai da matemática e da música, e é
considerado também um dos mais importantes filósofos daquela época.
Com base em alguns depoimentos posteriores, acredita-se que os
pitagóricos tenham sido os primeiros a fazer a demonstração daquilo que se
tornaria conhecido como o Teorema de Pitágoras.
Atualmente esse teorema costuma ser enunciado assim: “O quadrado
da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados
dos catetos”
Para fortalecer esta idéia matemática:
1º- Será apresentado no equipamento de mídia fornecido pela SEED - TV Pen
drive o vídeo “O Barato de Pitágoras”, produzido pela TV Escola - MEC,
disponível em domínio público e também disponível em:
<http://www.youtube.com/watch?v=NQjxroaxY8o>.
2º- Durante a exibição do filme serão feitas pequenas pausas para realizar
discussões sobre questões do cotidiano dos alunos e relacionadas com o
vídeo.
3º- Exibição de um segundo vídeo sobre o Teorema de Pitágoras, do Grupo
Serrana, que traz, por meio de uma música, a ideia de que aplicamos o
Teorema de Pitágoras somente em triângulo retângulo e também faz a
demonstração da aplicação da fórmula com um triângulo de lados 3, 4 e 5;
disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w>.
ATIVIDADE 02: Pesquisa sobre Pitágoras.
Duração: 04 horas/aula
Recurso: Laboratório de Informática
Após assistirem aos dois vídeos propostos os alunos serão instruídos a
realizarem uma pesquisa sobre Pitágoras, para que possam conhecer um
pouco da história desse personagem histórico e começar a entender que,
desde a Antigüidade, poder, conhecimento e ética estavam relacionados.
Poderão realizar a pesquisa em livros e Internet, tendo como proposta
principal fomentar no aluno a prática da investigação. Eles deverão buscar
informações sobre geômetras gregos da antiguidade, montando uma linha do
tempo, onde estudarão principalmente Pitágoras, suas contribuições e a
demonstração do teorema que leva seu nome.
1º No Laboratório de Informática os alunos pesquisarão os seguintes tópicos
sobre Pitágoras:
a) Vida de Pitágoras
b) Escola Pitagórica
c) Principais descobertas dos Pitagóricos
d) Importância para a Matemática
e) Outros matemáticos gregos
f) Informações sobre a geometria Grega
2º Após a pesquisa em grupo (quatro integrantes) os alunos deverão
apresentar um seminário relatando as principais informações encontradas
sobre Pitágoras.
ATIVIDADE 03: Demonstração do Teorema de Pitágoras - experimento
com material manipulável.
Duração: 06 horas/aula
Material: Papel quadriculado, folhas de papel sulfite, lápis, borracha, lápis de
cor, tesoura, régua, esquadro e calculadora.
Nessa atividade serão construídos triângulos retângulos com régua e
esquadro. Primeiro deve-se ensinar como construir um ângulo reto. Para isso
deve-se fazer uma linha reta com o auxílio de uma régua e sem retirar a régua
da posição colocar o esquadro em cima da régua e desenhar uma reta como
mostra a figura a seguir.
Figura 2: Construindo o ângulo reto. Fonte: Livro Descobrindo o teorema de Pitágoras, Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis
A atividade proposta tem como finalidade levar o aluno que não conhece
o enunciado do teorema a conjecturá-lo, ou seja, a partir de recortes de
triângulos, medição e cálculos, deve observar que a soma dos quadrados das
medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa sempre que
o triângulo é retângulo.
1º - Pegue uma folha de papel de formato retangular (sulfite ou caderno).
2º - Faça uma única dobra na folha, de modo a obter um triângulo retângulo.
3º - Recorte o triângulo obtido.
4º - Use uma régua para medir os lados do triângulo.
5º - Calcule o quadrado das medidas dos lados.
6º - Some os quadrados das medidas dos catetos e compare com o quadrado
da medida da hipotenusa.
7º - Compare seu resultado com o de seus colegas.
Usando papel quadriculado:
a) Construa um triângulo retângulo com essas medidas 3cm, 4cm e 5cm;
Será que o ângulo é reto porque os números são consecutivos?
b) Experimente construir um triângulo com lados 6cm, 7cm e 8cm;
Você conseguiu construir um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo com um
de seus ângulos retos? Justifique.
ATIVIDADE 04: Demonstração do Teorema de Pitágoras - envolvendo
áreas de quadrados.
Duração: 04 horas/aula
Material: folha de papel quadriculado, lápis, borracha, lápis de cor, cola,
tesoura e régua.
Para a realização dessa atividade formaremos pequenos grupos (quatro)
onde os integrantes terão oportunidade de se expressar, trocar informações,
interagir e assimilar que o Teorema de Pitágoras possui a seguinte
interpretação geométrica: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre
os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído
sobre a hipotenusa desse triângulo.
Figura 3: Teorema de Pitágoras envolvendo áreas de quadrados Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-teorema-pitagoras.htm
A atividade será realizada seguindo as etapas:
1º - Traçar triângulos retângulos, com medidas:
a) 3, 3 e 5
b) 4, 4 e 5
c) 6, 8 e 10
2º - Construir quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa;
3º - Estabelecer a relação de igualdade entre as áreas de cada triângulo
traçado (a2 = b2 + c2);
Usando o quadradinho como unidade de medida de área, verifique se a
área do quadrado maior é igual à soma da área do quadrado médio com a área
do quadrado pequeno, em cada triângulo que foi traçado.
a) Quadrado:
maior = -----------------------------------------------------------------------------------------------
médio = ----------------------------------------------------------------------------------------------
pequeno = -------------------------------------------------------------------------------------------
b) Quadrado:
maior = --------------------------------------------------------------------------------------------
médio = ----------------------------------------------------------------------------------------------
pequeno ---------------------------------------------------------------------------------------------
c) Quadrado:
maior = ----------------------------------------------------------------------------------------------
médio = ----------------------------------------------------------------------------------------------
pequeno ---------------------------------------------------------------------------------------------
d) Qual a relação que existe entre essas áreas ?
ATIVIDADE 05: Demonstração do Teorema de Pitágoras - o triângulo
retângulo e o mestre-de-obras
Duração: 06 horas/aula
Material: livro paradidático, barbante, metro, fita métrica, estacas de madeira,
giz, calculadora régua, lápis, borracha.
Leitura do Livro paradidático da coleção Vivendo a Matemática –
Descobrindo o Teorema de Pitágoras/ Luiz Marcio Imenes - Editora Scipione,
1990. O livro apresenta uma síntese das várias etapas da construção de uma
casa e os conteúdos matemáticos envolvidos nas mesmas, embora foram
priorizadas apenas algumas delas, entre as quais serão destacadas: a
demarcação da planta baixa, com destaque ao nivelamento do terreno, à
utilização de medidas de ângulos, entre outros conteúdos matemáticos; a
construção do alicerce e a utilização de medidas de volume; a construção do
telhado, com ênfase à montagem de suas tesouras; a cobertura da casa e a
área dos vários tipos de telhas.
O uso do teorema de Pitágoras pelo pedreiro desde o início da obra, em
sua demarcação inicial, até o acabamento final muitas vezes o pedreiro
necessita da obtenção de ângulos retos. Muitos deles, porém utilizam-se do
teorema de Pitágoras, sem que tenham conhecimento desse fato e,
principalmente por não conhecê-lo em sua definição.
Após a leitura do livro será feita uma discussão sobre o mesmo, onde
todos poderão relatar suas experiências e realizar as atividades propostas.
Formaremos grupo (quatro) integrantes onde os alunos serão levados a
quadra de esportes da escola para descreverem como os construtores
conseguem construir um muro ou uma casa com ângulos retos, na linguagem
dos construtores “estar no esquadro”. O método utilizado é o seguinte: primeiro
estica-se um fio entre as estacas A e B, cravadas no chão e depois estica um
fio da estaca A até a estaca C sem cravar a C no chão. Como mostra a figura.
Figura 4: Uso do teorema de Pitágoras pelo pedreiro Fonte: Livro Descobrindo o teorema de Pitágoras, Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis
Um ajudante fica segurando até o mestre-de-obras dizer onde deve ser
cravada, o que a princípio é dito pela experiência e sensibilidade do mestre.
Mas depois se usa o teorema de Pitágoras para ver a marcação correta da
estaca C. Para ter certeza de que os fios AB e AC formam um ângulo reto, eles
fazem o seguinte, por exemplo:
Sobre o fio AB marcam P a 3m de A, sobre o fio AC, marcam Q a 4m de
A e finalmente medem a distância PQ. Para o ângulo ser reto a medida de PQ
deve ser exatamente 5m. Se por exemplo encontra-se 4,83m significa que o
ângulo é agudo e deverá ser ajustado como mostra a figura.
Figura 5: Uso do teorema de Pitágoras Fonte: Livro Descobrindo o teorema de Pitágoras, Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis
1) A partir daí pedir aos alunos para utilizarem esse método para verificar se a
marcação da quadra foi feita de forma correta. Medir e fazer os cálculos para
comprovação.
2) Na figura seguinte, foi desenhada uma vista de um campo de futebol.
Atravessando o campo na diagonal, sobre a linha tracejada, quantos metros o
rapaz vai andar aproximadamente?
Figura 6: Uso do teorema de Pitágoras na marcação da quadra Fonte: Livro Descobrindo o teorema de Pitágoras, Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis
3) Utilizando o teorema de Pitágoras, as medidas que você efetuou e seguindo
como exemplo o problema proposto acima. Responda:
Se você fosse atravessar sua quadra de esportes na diagonal, quantos metros
andaria?
Atividade 06: Demonstração do Teorema de Pitágoras - utilizando Área do Semicírculo.
Duração: 02 horas/aula
Material: Papel quadriculado, folhas de sulfite, lápis, borracha, lápis de cor,
tesoura, régua, esquadro, compasso e calculadora.
Figura 7: Demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando semicírculos Fonte: http://www.amma.com.pt/?p=6097
Sabendo que os lados do "Triângulo Retângulo" são a (hipotenusa), b e c são
os (catetos).
O diâmetro da circunferência é a mesma medida dos lados desse triângulo.
O raio é a metade do diâmetro.
A área de um círculo como sabemos, é igual a:
A = π.r2, onde: A = área; PI = π = 3,14; r = raio.
Como construímos semicírculos usando como base (diâmetro) os lados do
triângulo, então vamos dividir a área em duas partes iguais.
Logo, a área de um semicírculo é igual a:
A = π.r2/2
Geometricamente, o teorema de Pitágoras demonstra que: a soma das áreas
dos dois semicírculos menores é equivalente à área do semicírculo maior.
Vamos comprovar mais esta demonstração do teorema de Pitágoras:
Supondo que os catetos do triângulo retângulo tem 8cm e 6cm de
comprimento.
Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando semicírculos Fonte: http://www.amma.com.pt/?p=6097
1º Qual o valor da hipotenusa?
2º Sabendo que cada lado do triângulo retângulo corresponde ao diâmetro do
círculo. O raio é a metade do diâmetro do círculo. A área de um semicírculo é
igual a: A = π.r2/2
3º Qual a área do semicírculo de diâmetro 6 cm?
4º Qual a área do semicírculo de diâmetro 8 cm?
5º Qual a área do semicírculo correspondente ao lado do triângulo retângulo,
no que se refere à hipotenusa?
6º Relacione as áreas dos três semicírculos.
Atividade 07: Demonstração do Teorema de Pitágoras - Usando o método
dedutivo
Duração: 02 horas/aula
Material: Livro paradidático, papel quadriculado, folhas de sulfite, lápis,
borracha, cola, lápis de cor, tesoura, régua.
A atividade consiste em expressar a área do quadrado de lado (b + c)
em função do seu lado e como soma das áreas dos quatro triângulos
retângulos de catetos c e b e hipotenusa a mais a área do quadrado de lado a.
O método dedutivo prova a notável genialidade dos pensadores gregos
justamente porque eles desenvolveram um método de raciocínio, chamado
método dedutivo, por meio do qual se pode provar a verdade de um fato.
Fonte da explicação: Livro Descobrindo o teorema de Pitágoras, de Luiz
Marcio Imenes e Marcelo Lellis.
Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais:
a: medida da hipotenusa
b: medida de um dos catetos
c: medida do outro cateto
Figura 9: Triângulo retângulo
1º Construa dois quadrados iguais (10 cm) de lado.
Figura 10:1º quadrado na malha quadriculada
Figura 11: 2º quadrado na malha quadriculada
2º Pinte no 1º quadrado da figura 10, 4 triângulos congruentes ao triângulo
(rosa) da figura 9, dispostos da seguinte maneira:
Figura 12: triângulos congruentes.
3º Pinte no 2º quadrado da figura 11, 4 triângulos congruentes ao triângulo
(rosa) da figura 9, disposto da seguinte maneira:
Figura 13: Quadrado de lado a e quatro triângulos congruentes
Observe que:
Com o quadrado de lado a e os quatro triângulos, podemos formar um
quadradão:
Note que o quadradão tem lado (b + c).
Usando agora os mesmos quatro triângulos e os dois quadrados de lados b e
c, podemos construir a seguinte figura:
Figura 14: Quadrado de lado b e c e os quatro triângulos congruentes.
Temos outra vez um quadradão de lado (b + c). Portanto os dois quadradões
são iguais.
Se do primeiro quadradão eliminarmos os quatro triângulos, sobrará o
quadrado de lado a, cuja área é igual a a2.
Figura 15: Quadrado de lado a
Se do segundo quadradão, que é igual ao primeiro, eliminarmos os mesmos
quatro triângulos, sobrarão dois quadrados de lados b e c que, juntos, tem área
igual a b2 + c
2.
Figura 16: Quadrados de lado b e c.
Logo, o que sobrou do primeiro quadradão é igual ao que sobrou do segundo
quadradão: a2 = b
2 + c
2
Provamos, assim, que:
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Atividade 08: Demonstração do Teorema de Pitágoras - Semelhança de
Triângulos.
Duração: 2 horas/aula
Material: folhas de papel sulfite, tesoura, cola, régua, lápis e borracha.
A demonstração do teorema de Pitágoras pelas relações das
semelhanças de triângulos é uma das maiores recreações dos matemáticos
nos dois últimos milênios. Entre os demonstradores do teorema destacam-se
Euclides de Alexandria (séc. III a.C.)
A atividade será trabalhada em duplas para que haja melhor
aproveitamento, troca de informações e ajuda mútua no momento de
manipulação dos triângulos que serão recortados.
Ao introduzir esta atividade serão retomados alguns conceitos: projeção
ortogonal, a classificação dos triângulos quanto aos ângulos, dando mais
ênfase ao triângulo retângulo; a classificação dos triângulos quanto aos lados;
os elementos dos triângulos (lados, ângulos internos e externos); os lados do
triângulo retângulo que possuem nomes especiais.
Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em A e complete:
Figura 17: Triângulo retângulo e seus elementos-relação métrica
O lado AC, de medida b, denomina-se ----------------------------------------------------------
O lado AB, de medida c, denomina-se -----------------------------------------------------------
O lado BC, medida a, denomina-se ---------------------------------------------------------------
O segmento AD, de medida h é a -----------------------------------------------------------------
do triângulo ABC, relativa à hipotenusa BC.
O segmento BD, de medida m, é a projeção ortogonal do-----------------------------
sobre a hipotenusa.
O segmento DC de medida n é a projeção ortogonal do--------------------------------
sobre a----------------------------------------------------------------------------------------------------
O segmento AD divide o triângulo ABC em dois triângulos. São eles, Triângulo------
-------------------------- e Triângulo --------------------------------------------------------------------
Vamos descobrir a relação entre o triângulo original ABC e os triângulos
ABD e ACD, obtidos ao traçar o segmento AD.
Figura 18: triângulos obtidos após traçar o segmento AD
1º - Recorte os dois triângulos desenhados.
Figura 19: Triângulo 1
Figura 20: Triângulo 2
2º - Pegue o triângulo 1 (figura 19) e recorte-o de modo a obter os triângulos
ABD e ACD (figura 18).
3º - Dos triângulos obtidos, pegue o triângulo ABD e compare-o com o
triângulo 2, sobrepondo-os de modo que os ângulos congruentes coincidam e
que os catetos e a hipotenusa se correspondam.
4º - Agora pegue o triângulo ACD obtido e compare-o com o triângulo 2 e
sobreponha-os da mesma maneira que no item anterior, ou seja, de maneira
que os ângulos congruentes coincidam e que os catetos e a hipotenusa se
correspondam.
5º - E por último, pegue os dois triângulos ABD e ACD obtidos com o recorte,
sobreponha-os de modo que os ângulos congruentes coincidam e que os
catetos e a hipotenusa se correspondam.
Ao constatar que os pares de triângulos que comparamos, são
semelhantes sabemos então que seus lados são proporcionais.
Segundo a relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de
um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da
medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa.
1ª relação: Quadrado da medida c do cateto = medida da hipotenusa X medida
da projeção deste cateto.
Δ ABC ~ Δ DAB (não se esqueça que no ABC temos que a = m+n)
2ª relação: Quadrado da medida b do cateto = medida da hipotenusa X medida
da projeção deste cateto.
Δ ABC ~ Δ DAC
3ª relação: Quadrado da medida h do cateto = medida da projeção do cateto
de medida c X medida da projeção do cateto de medida b.
ΔABD~ΔCAD
Vimos então que no triângulo retângulo:
I) b2 = a.m
Quadrado da medida c do cateto = medida da hipotenusa X medida da
projeção deste cateto.
II) c2 = a.n
Quadrado da medida b do cateto = medida da hipotenusa X medida da
projeção deste cateto.
III) h2 = m.n
Quadrado da medida h do cateto = medida da projeção do cateto de medida c
X medida da projeção do cateto de medida b.
IV) a.h = b.c
O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto
entre os catetos.
V) a = m + n
A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos.
Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida
da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos
catetos, somando membro a membro das relações de Euclides.
c2 = a.n
+ = b2 + c2 = a.m + a.n; onde b2 + c2 = a.(m + n) temos b2 + c2 = a.a
b2 = a.m
Logo: a2 = b2 + c2
1) No triângulo retângulo ABC da figura, calcule:
Figura 21: elementos do triângulo retângulo - relação métrica
a) h, para m = 9 cm e n = 4 cm
b) a, para m = 3 cm e n = 9 cm
c) a, para b = 8 cm e c = 6 cm
d) b, para a = 13 cm e c = 12 cm
e) h, sendo b = 3 cm e c = 4 cm
2) No quadro abaixo, a primeira coluna apresenta a proposta de exercício e a
terceira coluna apresenta as respostas que não obedecem a mesma ordem do
que foi proposto. Resolva o exercício na coluna do meio e associe à resposta
correspondente na última coluna.
Figura 22: Quadro de triângulos
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=5415
ATIVIDADE 09: Aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
- Resolução de problemas do dia a dia.
Duração: 04 horas/aula
Material: lápis, calculadora, borracha
Conforme as Diretrizes Curriculares (2008), um dos desafios do ensino
da Matemática é a abordagem de conteúdos para a resolução de problemas.
Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de
aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a
resolver a questão proposta.
A atividade proposta busca desenvolver o raciocínio lógico, através da
resolução de problemas com base no Teorema de Pitágoras com o propósito
de levar ao aluno o conhecimento sobre o teorema e suas aplicações através
de demonstrações, pois aplica idéias matemáticas em situações da vida real.
1) Na figura ACPQ e ABXY são formados por quadradinhos de mesmo
tamanho. Quantos desses quadradinhos cabem no quadrado CBRS?
Figura 23: Triângulo formado pelos lados de 3 quadrados Fonte: Livro: Descobrindo o teorema de Pitágoras, Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis
2) Calcule o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:
a) b)
3) Dona Lurdinha ganhou um bibelô que lembrava um pavão. Curiosa resolveu
fazer algumas medições. Quais são as medidas de x, y e z?
Figura 24: Leque de triângulos retângulos Fonte: Oliveira & Carvalho (1997, p. 23)
4) Qual era a altura do poste?
Figura 25: Carro batido Fonte: http://pt.scribd.com/doc/27893100/Teorema-de-Pitagoras
5) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
Figura 26: Berlinde Fonte: http://pt.scribd.com/doc/27893100/Teorema-de-Pitagoras
6) Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede de um prédio e o pé
da escada está afastado 3,5 metros da base da parede, como mostram a
figura.
Figura 27: Bombeiro subindo escada Fonte: GUIMARÃES (2009, p. 18)
Qual é a altura, na parede desse prédio, que essa escada alcança?
7) Dois aviões A e B partem do mesmo aeroporto. Um segue para o norte e o
outro para oeste. Uma hora depois da partida a posição deles na tela do radar
da torre de controle é a que se vê na figura. A unidade de medida da grade do
radar é 1 km.
Figura 28: Malha quadriculada com aviões Fonte: GUIMARÃES (2009, p. 19)
De acordo com a figura, qual é a distância real, em linha reta, entre eles?
8) A corda de uma pipa mede 85 metros e se encontra voando sobre uma casa que
está a 63 metros de Mariana.
Figura 29: Triângulo CasaPessoaPipa
Fonte: GUIMARÃES (2009, p.18)
A que altura sobre o solo está a pipa?
9) Para erguer um poste de 1,5 m de altura, dois operários o sustentaram por uma
corda situada a 2,6 m da base do poste, como mostra a figura abaixo.
Figura 30: Operários erguendo poste
Fonte: GUIMARÃES (2009, p. 18)
Qual é o comprimento dessa corda?
10) O triângulo que aparece no telhado da fachada da igreja é um triângulo retângulo
isósceles.
Figura 31: Igreja Fonte: GUIMARÃES (2009, p. 19)
Calcule a altura h da fachada.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
A estratégia metodológica que vai orientar as atividades para o
desenvolvimento do conteúdo sobre o Teorema de Pitágoras é a história da
matemática associada com as aplicações práticas. Sugerimos que alunos
realizem leituras que envolvam a descoberta do teorema para que deste modo
os educandos familiarizem-se com o assunto em questão. O aluno será
convidado a decompor os quadrados construídos sobre os catetos e depois
reagrupar essas peças exatamente sobre o quadrado construído sobre a
hipotenusa.
Com esta estratégia buscamos uma aprendizagem significativa vá além
de passar meros conteúdos em sala de aula, mas que se atente ao processo
de pesquisa, investigação e relação com a realidade e com a história do
desenvolvimento da Matemática.
REFERÊNCIAS E APOIO BIBLIOGRÁFICO
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184p. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Matemática,
Faculdade de Ciências Exatas, Pontifícia Universidade Católica, São Paulo,
2000.
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BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996.
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IMENES, Luiz Márcio. Descobrindo o teorema de Pitágoras. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Editora Scipione, 1990.
LAMAS, Rita de Cássia et al. Atividades experimentais de geometria no ensino fundamental. São José do Rio Preto: UNESP, 2004.
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FILMES
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SITES CONSULTADOS
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BRASIL ESCOLA. Aplicações do Teorema de Pitágoras. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-teorema-pitagoras.htm>. Acesso em: 29 out. 2012.
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SILVA, Julio Cesar M. da. O teorema de Pitágoras. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/27893100/Teorema-de-Pitagoras>. Acesso em: 26 out. 2012.
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Lucieli Maria Trivizoli
Assinatura da Orientador(a)
