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Secretaria Municipal de Educação da Cidade do Rio de Janeiro
1º Seminário Internacional de 1º Seminário Internacional de Educação da Cidade do Rio Educação da Cidade do Rio
de Janeirode Janeiro
A Matemática Financeira como elemento de contextualização crítica no Ensino Fundamental
Prof. Ilydio Pereira de Sá
UERJ – USS – UNIFESO
Muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional, descontextualizado, está lá por mesmice. Ninguém tem coragem de tirar dos programas. A única razão é de natureza histórica – há tempo se ensina isso.
E o professor infere: "se me ensinaram é porque era importante, portanto...ensino o que me ensinaram".
(D’AMBROSIO)
PARA UMA REFLEXÃO INICIAL ...
Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom, um dos mais importantes matemáticos do século passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês, que diz:
"Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas, que frustração, não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade." (Dschuang Dsi)
"Como resultado ele resolveu ensinar como matar dragões." (René Thom)
Conhecimentos matemáticos são aplicados na interpretação de fenômenos, em diferentes áreas da ciência, nas atividades tecnológicas e cotidianas. O cidadão necessita da capacidade de leitura e interpretação de informações através de distintas formas de linguagem matemática, de percepção da coerência ou não de uma argumentação, bem como da competência para formular suas próprias idéias de forma consistente, para uma inserção crítica e autônoma na sociedade contemporânea.
INTRODUÇÃO:
Dentro deste espírito, espera-se que o estudante e cidadão compreenda os conceitos fundamentais da Matemática, tratados na Educação Básica, de forma a aplicá-los em situações diversas, relacionando-os entre si e com outras áreas do conhecimento humano.
Nesse sentido, a Matemática Financeira tem se mostrado um elemento positivo e que funciona como elemento de ligação.
Você sabe responder às questões seguintes?
1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: a)à vista, com 30% de desconto sobre o preço
de tabela; b)com um acréscimo de 20% sobre o preço de
tabela, em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias).
Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida?
2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?
3) Uma classe de trabalhadores conquistou em dissídio coletivo um reajuste salarial de 15%, dos quais seria descontada uma antecipação de 8%. Qual a segunda parcela do reajuste devido, de forma a completar o reajuste conquistado por eles?
Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica?
Será que nossa formação contempla tais discussões?
Tenho a certeza, após muitos anos de magistério, que as respostas a essas questões, normalmente, é NÃO!!!!
A Educação Básica, na maioria dos casos, ignora completamente a Matemática Financeira e, quando não o faz, trabalha num verdadeiro “conto de fadas” como se vivêssemos num país com economia a “juros simples”.
Lembra da famosa “fórmulazinha” que está na maioria dos livros do Ensino Fundamental?
100
cit j
E PARA QUE ELA SERVE?
Para quase nada...infelizmente!
Veja o exemplo abaixo extraído de um importante livro do 6º ano do Ensino Fundamental...(Antiga 5ª série)
Uma criança consegue re
solver tal questão só com os conhecimentos
de porcentagem e juros simples ?????
A grande vantagem da Matemática Financeira e da sua inserção na Educação Básica é, além de amplas possibilidades de contextualização, permitir relacionar diversos conteúdos tradicionais da Educação Básica, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental.
Núm
eros
rac
iona
is
Porcentagem Equações
Pro
po
rções
Funções
MATEMÁTICA FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Potenciação
Sistemas
E NO CASO ESPECÍFICO DO ENSINO FUNDAMENTAL?
OS DOIS GRANDES “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
1)OS FATORES DE CORREÇÃO
2)VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Casos comentados
1) O senhor “Enkren Kado”, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?
FATOR DE AUMENTO = 100% + 32,5% = 132,5% = 1,325 NOVO PREÇO = 1,325 x 60,00 = 79,50
solução
2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção salarial de 15%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 908,50. Quanto recebia em Agosto?
A x 1,15 = 908,50 A = 908,50 :1,15 = 790,00. Logo, em agosto, Ritinha recebia R$ 790,00
solução
3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento?
34,00 x F = 47,00 F = 47 : 34 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento
Percentual)
solução
4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ?
47 x F = 34 F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final) 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual)
solução
5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?
F = 100 / 70 1,4286 Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de 42,86%
Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.
Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais. Com o desconto de 30%, o preço à vista seria de 70 reais.
$70
$100
30 d
solução
6) O que aconteceria no problema anterior, se a opção pelo pagamento do preço de tabela fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra?
$70
$50$50
$20 Saldo devedor
30 d
F = 50 /20 = 2,5
Logo, a taxa de juros cobrada seria de 150% em um mês.
solução
Primeiro “Segredo” – Fatores de Correção
Exemplo: Seja uma taxa de 3,5%
Taxa percentual = 3,5% taxa unitária = 0,035 fator de aumento 1,035 fator de redução = 0,965
F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%)
F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%)
RESUMINDO AS COISAS ...
AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOS
7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%?
soluçãoP
+12% +12% +12%P x 1,12 (P x 1,12) x 1,12
((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,123
P x 1,123 = P x 1,4049
Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49%
Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção
8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês de julho de 2011 (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2011, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2011, uma antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2011?
solução Verifique que se trata de um caso de aumentos
sucessivos. O segundo aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%.
JAN. 11 +8% JUN. 11 +X% = 15%
1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ: F = 1,15 : 1,08 1,065
Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de 6,5%, aproximadamente.
IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos são calculados pelo produto dos fatores de correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas através da divisão dos respectivos fatores de correção.
9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria?
Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há).
+X% (aumento real)
5%inflação
= 12%
(Taxa nominal) Logo, F = 1,12 : 1,05 1,067 A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7%
Trabalhando com as notícias: Aumento do Salário Mínimo (janeiro de 2010) - Fonte: http://dinheirama.com 25/01/2010
Desde o dia 1° de Janeiro deste ano entrou em vigor o novo salário mínimo no Brasil. Que, até o fim do ano passado valia R$ 465,00 e hoje já vale R$ 510,00, um aumento maior do que o visto há alguns anos [...].Sob uma ótica financeira, percebemos que este aumento salarial, apesar de pequeno, está acima da inflação média. De acordo com dados do Dieese, "com uma inflação de 3,60% em 2009, oaumento real (percentual acima da inflação) do salário mínimo em 2010 será de 5,87%.
SOLUÇÃO:
Se o salário mínimo passou de R$ 465,00 para R$ 510,00, teve um reajuste (nominal) de 510 : 465 1,0968, ou seja, um reajuste de 9,68%, aproximadamente.
Como a inflação do período foi de 3,6%, pelo que vimos anteriormente, o ganho real do salário mínimo, nessa época, foi de: 1,0968 : 1,036 1,0587, o que corresponde a uma taxa de aumento real de 5,87%, aproximadamente.
REAJUSTE DO SALÁRIO MÍNIMO: QUESTÃO DA PÁGINA 5
Verifique o percentual de aumento do salário mínimo em março de 2008 (aumento aparente ou nominal).
SOLUÇÃO: Como, nessa época, o salário mínimo passou de R$ 380,00 para R$ 415,00, teremos o fator de correção de 415 : 380 1,0921 o que corresponde a uma taxa de 9,21% (aumento nominal)
E a taxa de aumento real?
SOLUÇÃO: Como a inflação do período foi de 4,98%, teremos o fator de aumento real igual a 1,0921:1,0498 1,0403, o que corresponde a uma taxa de 4,03%, aproximadamente. Está correta a notícia.
Como se obtém o percentual de reajuste acumulado, de 172,5%, divulgado na tabela acima? E o percentual de inflação acumulada? Estão corretas essas informações da tabela?
SOLUÇÃO: Basta multiplicar todos os fatores de correção correspondentes às taxas de reajuste e de inflação. Sim as informações da tabela estão corretas, com valores arredondados.
Está correta a informação de que o percentual acumulado de aumento real do salário mínimo, no período de 2003 a 2001 foi de 54,25%?
SOLUÇÃO: Como a taxa total de reajuste foi de 172,5% e a de inflação, foi de 76,66%, temos que o fator de aumento real foi de 2,725 : 1,7666 1,5425, o que corresponde a uma taxa, aproximada de 54,24%.
O 2º Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”
PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.
NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F n E
NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n.
A Bx F n
11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2011. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra propôs pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2011, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar à loja?
soluçãosolução
Como Lídia pagou com uma antecipação de 1 mês, no cálculo basta DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.
12) Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:
R$ 10 000, prazo de 1 mês;
R$ 20 000, prazo de 3 meses;
R$ 40 000, prazo de 6 meses.
No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa de desconto contratada na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?
10 000 20 000
40 000
0 1 2 3 4 5 6
W
0 1 2 3 4 5 6
10 000 20 000
40 000
455,72 63 (1,05)
000 40
1,05
000 20 1,15 . 000 10 W
411
solução
Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).
0 1 2 3
5000
2500x
2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)3
2625 + x = 5788,13x = 3163,13
13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?
solução
No vídeo apresentado, vimos a situação da venda do vestido, onde soubemos escolher a melhor opção, com a informação da taxa de juros para aplicações, de 5%. Como a opção a vista foi mais vantajosa, é claro que quem optou pela forma financiada pagou mais do que 5% ao mês, de taxa de juros. E como se calcula essa taxa paga?
Montando o “fluxo de caixa” da transação:
“Andando” com os R$ 90,00 ao longo do tempo, corrigidos por uma taxa i (fator de correção F) e subtraindo-se as parcelas pagas, até “zerar” a dívida, teremos:
“Andando” com os R$ 90,00 ao longo do tempo, corrigidos por uma taxa i (fator de correção F) e subtraindo-se as parcelas pagas, até “zerar” a dívida, teremos:
1º Passo: (90.F – 50). Estamos no mês 1.
2º Passo: (90.F – 50) . F – 50. Estamos no mês 2.
Como zeramos a dívida, teremos: (90.F – 50) . F – 50 = 0 ou 90 F2 – 50F – 50 = 0 ou ainda, 9F2 – 5F – 5 = 0. Como só nos interessa a solução positiva (fator de correção), teremos:
400 . F2 – 220 F – 220 = 0
ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0
14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?
solução
0 1 2
400
220 220
Seguindo a mesma linha de raciocínio da questão anterior, poderemos escrever:
40
64,3111
40
100111
40
)11.(20.412111F
Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40.
Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%
Aliás…lembra da questão retirada do livro da antiga 5ª série? Ela poderia ser resolvida como a questão anterior. Vejamos:
Preço a vista = 600 x 0,75 (25% de desconto) = 450 reais.
Entrada = 0,4 x 600 = 240 reais
Valor de cada prestação = 360: 2 = 180 reais.
$450
$240$180 $180
SALDO = $210
Equação que resolve o problema:
0 6 F 6 - F 7
ou 0 180- 180F - 210F2
2
44,88% DETAXA , LOGO
1,4488 14
204 6 F
14
(-6) . 7 . 4 - 36 6 F
Voltando à primeira questão proposta:
1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: a) à vista, com 30% de desconto sobre o preço de
tabela; b) com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela,
em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias).
Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida?
SOLUÇÃO:Preço de tabela: 100; Preço a vista: 70Preço financiado: duas de 60Saldo devedor: 70 – 60 = 10Fator de correção: F = 60 : 10 = 6, logo, taxa de 500% em um mês!!!!!!!
4949
Para uma reflexão final...
Os macacos e as bananas
5050
Um grupo de cientistas e pesquisadores colocou cinco macacos numa jaula. No meio da jaula, uma escada e no alto da escada um cacho de bananas.
Quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, um jato de água fria era jogado nos macacos que estavam no chão.
5151
Depois de um certo tempo, quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, os outros que estavam no chão o pegavam e o enchiam de pancada.
Passado algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas. O jato de água fria tornou-se desnecessário.
5252
Então os pesquisadores substituíram um dos macacos por um novo. A primeira coisa que ele fez foi subir a escada, dela sendo retirado pelos outros que o surraram.
Depois de algumas surras, o novo integrante do grupo não subia mais a escada.
5353
Um segundo substituto foi colocado na jaula e o mesmo ocorreu com este, tendo o primeiro substituto participado com entusiasmo na surra ao novato.
Um terceiro foi trocado e o mesmo ocorreu.
Um quarto e afinal o último dos cinco integrantes iniciais foi substituído.
5454
Os pesquisadores tinham, então, cinco macacos na jaula que, mesmo nunca tendo tomado o banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse pegar as bananas.
Se fosse possível perguntar a algum deles porque eles batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza, dentre as respostas, a mais freqüente seria:
"NÃO SEI, MAS AS COISAS POR AQUI SEMPRE FORAM ASSIM."
Talvez essa fábula tenha muito a ver com a Educação, com a Matemática e com as experiências que alguns de nós vivenciamos ao longo de nossa escolarização...
Mas será que tudo tem de ser mesmo do jeito que sempre foi?
www.lcm.com.br
www.submarino.com.br
www.saraiva.com.br
www.cultura.com.br
A MAGIA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES INVESTIGATIVAS, CURIOSIDADES E HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA – ED. CIÊNCIA MODERNA
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