Semana 01-1

Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Teoria Eletromagnética

Prof. José Patrocínio da Silva


Ementa:

Equações de Maxwell. Condições de contorno para quantidades eletromagnéticas

variáveis no tempo. Campos variando harmonicamente no tempo. Potenciais auxiliares.

Método para solução de problemas de contorno. Vetor de Poyting. Ondas planas, ondas

progressivas e ondas estacionárias. Reflexão e Refração de ondas eletromagnéticas

planas.

Fundamentação matemática importante:

•Álgebra vetorial; Escalares e vetores, vetor unitário, operações com vetores, vetor posição e vetor distância,

componentes de um vetor.

•Sistemas e transformação de coordenadas; Coordenadas: cartesianas (x, y, z), cilíndricas (, , z) e esféricas (r, , )

•Cálculo vetorial Integrais: de linha, de superfície e de volume; o operador del; gradiente de um escalar; divergência

de um vetor e teorema da divergência; rotacional de um vetor e o teorema de Stokes; laplaciano de

um escalar.


Bibliografia:

Matthew N. O. Sadiku, Elementos de Eletromagnetismo, Editora Bookmam;

William H. Hayt Jr. E John A. Buck, Eletromagnetismo, Editora LCT;

Stuart M. Wentworth, Eletromagnetismo Aplicado, Editora Bookmam;

Branislav M. Notaros, Eletromagnetismo, Editora Pearson.


A Lei de Coulomb e Campos Eletrostáticos

• Lei de Coulomb

Quando as cargas possuem o mesmo sinal, a força 𝐹 é de repulsão.

As cargas tendem a se atraírem quando os sinais pertencentes a estas

cargas são opostos.


A lei de Coulomb estabelece que: A força entre dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo

espaço livre, a uma distância grande comparada com o os seus

tamanhos, é diretamente proporcional ao produto das cargas de cada um

e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

2

21

R

QQkF

K – Constante de proporcionalidade;

Q1 e Q2 – Cargas em Coulombs (C),

R – Distância entre as cargas em metros (m);

F – Força em Newtons (N)

FmkmF /109 e /36

1010854,8 9

912

0

Representa a constante

dielétrica no espaço livre.

Origem

Q1

Q2

r1

r2 F12

F21

R12

Se as cargas pontuais estiverem

localizadas em pontos cujos vetores são

respectivamente r1 e r2, então a força F12

sobre a carga Q2 devido a Q1 é dada por:

122

0

2112

ˆ4

raR

QQF


R

Ra

RR

rrR

R12

12

12

2112

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

Onde:

Se houver mais de duas cargas pontuais, pode-se usar o princípio da

superposição para determinar a força sobre uma determinada carga. Ou seja, se

houver n cargas Q1, Q2, ... Qn, localizadas, respectivamente, em pontos cujos

vetores posição são r1, r2, ..., rn, a força resultante F sobre a carga Q localizada

no ponto r é dada pela soma vetorial das forças exercidas sobre Q devido as

cargas Q1, Q2, ..., Qn.

3

0

3

20

22

3

10

11

|ˆˆ|4

)ˆˆ(...

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

n

nn

rr

rrQQ

rr

rrQQ

rr

rrQQF

ou

310 |ˆˆ|

)ˆˆ(

4 n

nN

n

nrr

rrQ

QF


Intensidade de Campo Elétrico:

O vetor intensidade de campo elétrico é

dado pela força por unidade de carga

imersa neste campo elétrico.

)(lim0 Q

FE

Q

3

00 |ˆˆ|4

)(ˆ

4 rr

rrQa

QE R

Para N cargas pontuais

3

0

3

20

22

3

10

11

|ˆˆ|4

)ˆˆ(...

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

n

nn

rr

rrQ

rr

rrQ

rr

rrQE

3

10 |ˆˆ|

)ˆˆ(

4

1

n

nN

n

nrr

rrQE


Exercícios

Solução do exercício 1. Q1 = 1x10-3 C

Q2 = -2x10-3 C

Q3 = 10x10-9 C

mN ˆ5,7ˆ8,3ˆ5,6ˆ075,0ˆ038,0ˆ65,010

ˆ0453,0ˆ06,0ˆ015,0ˆ038,0ˆ019,0ˆ057,0109

57,132

3,4,12

38,52

2,1,3109

26

3,4,12

14

2,1,3

1036

14

101010

9161

3,4,12

419

2,1,3

4

10

|3,4,1|

3,4,12

|2,1,3|

2,1,3

4

10

|4,1,11,3,0|

4,1,11,3,0102

|1,2,31,3,0|

1,2,31,3,010

4|ˆˆ|

)ˆˆ(

|ˆˆ|

)ˆˆ(

4

|ˆˆ|4

)ˆˆ(...

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

|ˆˆ|4

)ˆˆ(

2

2

2

339

93

330

3

330

3

3

3

3

3

03

2

22

31

11

0

30

320

22

310

11

zyxzyx

zyxzyx

n

nn

aaaFaaaF

aaaaaaF

F

QQF

Q

rr

rrQ

rr

rrQQF

rr

rrQQ

rr

rrQQ

rr

rrQQF

z

x

y

3

4

4 3

2

𝑄1

𝑄2

𝑄2

𝐹 13 𝐹 23

𝐹

𝑟

𝑟 23

𝑟 13


Continuação da solução do exercício 1.

kV/m ˆ750ˆ380ˆ650

1010

ˆ5,7ˆ8,3ˆ5,610

9

3

zyx

zyxaaaE

aaa

Q

FE

Resposta do exercício 2.

nN ˆ04,128,1ˆ004,1 )( zyx aaaFa

V/m ˆ04,128,1ˆ004,1 )( zyx aaaFb



Dividindo-se Fe por mg tem-se:

2

0

2

4 mas ,cos

coscos r

QFmgsenF

sen

mg

F

T

Tsen

mg

Fee

ee

senrmgsenr

Q2 mas ,cos

4 2

0

2

32

0

2

2

0

2

16coscos)2(4

senmgQmgsensen

Q

)(16cos

16 22

0

222

0

2

tgsenmgQ

sensenmgQ

Conforme solicitado do exemplo, para muito pequeno:

Tem-se:

32

0

2 16 então , mgQsentg

Com isso, isolando o ângulo na equação anterior tem-se:

32

0

2

16 mg

Qα


Campo devido a distribuições contínuas de carga

Densidades de cargas:

• Densidade Linear L(C/m); Onde índice significa densidade

• Densidade Superficial S (C/m2);

• Densidade Volumétrica v (C/m3).

Onde as relações entre o elemento de carga e a carga são dadas por:

Rv

vv

RS

SSS

RL

LLL

aR

dvEdvQdvdQ

aR

dSEdsQdsdQ

aR

dEdlQdldQ

ˆ4

cargas) de (Volume

ˆ4

cargas) de Superfície

ˆ4

cargas) de (Linha

2

0

2

0

2

0


1 – Campo devido a uma linha de cargas:

dzdldQ LL

B

A

z

z

LdzQ

RL a

R

dlE ˆ

4 2

0


z

zyxzyx

RL

azzaR

azzayaxazzayaxR

aR

zdE

ˆ)(ˆ

ˆ)(ˆˆˆ)(ˆ)0(ˆ)0(

ˆ4 2

0

2122 )(

ˆ)(ˆˆ

zz

azza

R

Ra

z

R

212222

0

2

0 )(

ˆ)(ˆ

)(4ˆ

4 zz

azza

zz

zda

R

zdE

zLR

L

zd

zz

azzaa

R

zdE

zLR

L

23220

2

0 )(

ˆ)(ˆ

4ˆ

4

aEa

R

zdE L

RL ˆ

2ˆ

4 0

2

0


tem somente componente ao longo de z se a carga está distribuída no plano xy,

E um vetor unitário normal a lâmina.

2 – Campo devido a uma superfície de cargas:

Lâmina infinita de carga, no plano xy com uma densidade Uniforme de carga S, a

carga associada a uma área elementar dS é dada por:

naE

nS

s

s

aE

dSQ

dSdQ

ˆ2 0


Comprovação:

nS

zs

zs

S

zzs

z

zs

ss

aE

ahh

E

adh

dh

Eah

ahddE

EdEh

ahaddEd

dSQdSdQ

ˆ2

ˆ24

ˆ4

ˆ4

ˆ

4

ˆˆ

.por dada é totalcarga a

0

0

2122

0

2

0 0

23220

2322

0

2

2322

0

A contribuição da superfície

1 para o campo elétrico no

ponto p(0, 0, 1) é dada por:

dddSdQ

h

aha

R

Ra

hahaR

aR

dQEda

R

QE

ss

zrr

zr

rr

2122

2122

2

0

2

0

ˆ)ˆ(ˆ

RRˆ)ˆ(

ˆ4

ˆ4


3 – Campo devido a um volume de cargas:

Seja uma distribuição volumétrica de carga com densidade uniforme de carga v,

como mostra a figura abaixo. A carga dQ associada ao elemento de volume dv é:

3

3

4aQ

dvQdvdQ

v

vv

asenaa

aR

dvEd

zR

Rv

ˆˆcosˆ

ˆ4 2

0

Devido a simetria de cargas, só temos

componente do campo na direção z

Campo devido a um

volume de cargas


zzv

a

z

a rz

rz

z

rz

rz

a

z

rz

rz

a

z

rz

rz

a

z

az

QEa

zdrr

zEdr

R

rzRr

zE

dRdrR

rzr

zEdRdr

R

rz

R

Rr

zE

RzR

rRzdr

zr

RdRrdE

ˆ4

)3

4(

4

1''4

4'

''

4

''

1'8

2'

''

8

2

)1

2

'('

'''

4

2

0

3

2

00

2

2

00

'

'

22

2

0

'

'

2

22

0

2

0

'

'

2

22

2

2

0

2

0

2

'

'

2222

2

0 00

dvRR

dvdEaEE vv

zz 2

02

0

cos

4cos

4cosˆ

Usando a regra dos cossenos, Fig. 4.8, tem-se:

'2

''cos

2

'cos

cos2'

'cos'2'

222

222

222

222

zr

Rrz

zR

rRz

zRRzr

zrrzR

Derivando-se a expressão do cos’ e mantendo-se z e r’

fixos, tem-se: '' zrRdRsen

'''''2 dddrsenrdv

Devido a simetria de cargas, só temos componente do campo na direção z.

Precisamos de 𝑑𝑣, 𝑅2 𝑒 cos (𝛼).

(Coordenadas esféricas)


zz az

QE ˆ

4 2

0 Resultado para o campo elétrico no ponto P(0, 0, z). Devido à

simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico em P(r, , )

pode ser dado pela expressão abaixo:

raz

QE ˆ

4 2

0

Que é idêntico ao campo elétrico produzido, no mesmo ponto,

por uma carga pontual Q localizada na origem ou no centro de

distribuição esférica de carga.


Resolução de Exercícios:


Solução:

Para uma linha de cargas (a):

RL a

R

dlE ˆ

4 2

0

(b) derivando a expressão acima com relação a h,

tem-se:

(b) Continuação:

Para o máximo, tem-se: E


(c) Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade de carga da linha pode ser dada por:

Fazendo a 0, tem-se

Este resultado, como já era de se esperar, é o mesmo de uma carga pontual.

𝑄 = 𝜌𝐿𝑑𝑙 → 𝑄 = 𝜌𝐿 𝑑𝑙 → 𝑄 = 𝜌𝐿2𝜋𝑎, logo: 𝜌𝐿 =𝑄

2𝜋𝑎

𝐸 =𝜌𝐿𝑎ℎ𝑎 𝑧

2𝜀0 ℎ2 + 𝑎2 3/2

𝐸 =𝑄ℎ

4𝜋𝜀0 ℎ2 + 𝑎2 3/2𝑎 𝑧


LEI DE GAUSS E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA

A de Lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais do eletromagnetismo.

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície

fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície.

Q

intQ

Onde o fluxo é medido em Coulombs

SD

S

S

fechada Superfície

SdD

vol

vdvQSdD fechada Superfície

Representa a densidade de fluxo elétrico no espaço livre.


TEOREMA DA DIVERGÊNCIA

z

D

y

D

x

DQSdD zyx

S

O Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss) é um teorema

da matemática que está relacionado com o cálculo vetorial. É o resultado de ligações

entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo

definido pelo campo.

v

Q

v

SdD

z

D

y

D

x

D

v

S

S

v

zyx

00

limlim

acS

S

v

zyx

v

SdD

z

D

y

D

x

Darg

0lim


v

SdD

z

D

y

D

x

D S

S

v

zyx

0lim

v

SdDS

S

v

0limD div D de aDivergênci

A divergência do vetor de fluxo D é a variação do fluxo através de uma

superfície fechada de pequeno volume que tende a zero. Portanto,

as)(cartesian z

D

y

D

x

DDdiv zyx

as)(cilíndric 1

)(1

z

DDD

xDdiv z

)(esféricas 1

)(1

)(1

2

2

D

rsenDsen

rsenDr

rrDdiv r


v

S

dvDdivSdDdQ

S v

vdvSdDQ

Aplicando o teorema da divergência à integral de superfície da equação anterior, tem-se:

ade cdensidade D arg

Retomando o procedimento matemático temos:

vS

dvDSdD

Comparando, entre si, as duas últimas equações em relação as integrais de volume, obtem-se:

A equação acima representa uma das quatro equações de Maxwell e estabelece que a densidade

volumétrica de carga é igual a divergência da densidade de fluxo elétrico.


Exemplo com densidade de fluxo elétrico:

Carga pontual

Linha de carga

Ponto onde se deseja

determinar 𝐷


Aplicações da Lei Gauss

Carga Pontual

Suponha uma carga pontual posicionada na origem. A escolha da superfície gaussiana

deverá satisfazer as condições de simetria, logo deve-se escolher uma superfície esférica.

Carga pontual

Aplicando-se a lei de Gauss que afirma que Ψ = 𝑄𝑒𝑛𝑙𝑎ç𝑎𝑑𝑎, obtem-

se:







Esfera uniformemente carregada

Esfera de raio a com uma distribuição uniforme de carga 𝜌𝑣 𝐶

𝑚3 . Nesse caso, para

determinar 𝐷 em qualquer ponto, usa-se superfícies gaussianas considerando os casos em

que corre 𝑟 ≤ 𝑎 e 𝑟 ≥ 𝑎. Para 𝑟 ≤ 𝑎, tem-se:

Como = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎, disso resulta:



Esfera uniformemente carregada para 𝑟 ≥ 𝑎. Nesse caso, a carga encerrada pela superfície

gaussiana externa a esfera é a carga total distribuída na esfera, ou seja,

𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌𝑣

4

3𝜋𝑎3

Logo, o fluxo total será dado por:

Ψ = 𝐷. 𝑑𝑆 =𝐷𝑟4𝜋𝑟2

mas Ψ = 𝑄𝑖𝑛𝑡, logo:

𝐷𝑟4𝜋𝑟2 = 𝜌𝑣

4

3𝜋𝑎3 → 𝐷 =

𝑎3

3𝑟2 𝜌𝑣𝑎 𝑟, para r ≥ 𝑎.


Portando, em qualquer ponto considerando uma espera uniformemente carregada, 𝐷

será dado por:

𝐷 =

𝑟

3𝜌𝑣𝑎 𝑟 0 < 𝑟 ≤ 𝑎

𝑎3

3𝑟2 𝜌𝑣𝑎 𝑟 𝑟 ≥ 𝑎

E o módulo de 𝐷 varia segundo o gráfico mostrado na figura abaixo

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