SEMÂNTICA

Roteiro

Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.

Revisão

O que é lógica? Estudo do raciocínio

Começou com Aristóteles Argumeto

Proposições e premissas Consequência Lógica

Revisão

Revisão

Objetivo: descobrir se o argumento é válido

Argumento dedutivo Conclusão a partir das premissas

Indutivo Probabilidade

Revisão

Alfabeto – Lógica Proposicional Símbolos de pontuação: ( ) , Símbolos de verdade: true, false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S,

P1, Q1, P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v,^, ,

Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu

significado Existe um mundo sintático e um mundo

semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas

(consideradas apenas como concatenções de símbolos)

Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre

um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

[Gaiarsa]

Semântica

P (símbolo sintático) representa“Está chovendo”

Q representa“A rua está molhada”

Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

Interpretação Depende das condições climáticas e se

a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q

I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q])

A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quandoI[P]=T e I[Q]= T

Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q,

I[P^Q]=F

Interpretação Função binária – só possui em sua imagem 2

elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional,

é uma função binária t;l que: O domínio de I é o conjunto de fórmulas

proposicionais A imagem é o conjunto {T,F} O valor da interpretação I, tendo como

argumentos os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F

Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T,F}

Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma

interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo

proposicional, I[E]=I[P] Se H é uma fórmula e E=H, então

I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T

Interpretação de fórmulas (cont.)

Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F

Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]= I[G]

Interpretação de uma fórmula

Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T

I[H] = True

Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = ((P)^Q)(RvP1) e

H=(EP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F I[H]=?

True J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F J[H]=?

False

Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia (ou é

válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T

H é factível ou satisfazível se existe uma interpretação I tal que I[H]=T

H é contraditória ou insatisfazível se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F

H é Falsificável se existe uma interpretação I tal que I[H]=F

Propriedades semânticas básicas (cont.)

Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T

Dadas 2 fórmulas H e G,HG para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T

Dadas H e G,HG para toda interpretação I ser satisfazível, I[H]=I[G]

Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia,

pois toda I[H]=T I[H]=T I[PvP]=T

I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F

aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)

Exemplo de Satisfatibilidade

A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.

H é tautologia? Por quê?

Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista

I[H]=T

I[H]=T I[P^P]=T I[P]=T e I[P]=T

I[P]=T e I[P]=F

Exercícios Quais das fórmulas abaixo são

tautologias, satisfazíveis ou contraditórias?

H1=P1^P2^QQ Tautologia

H2=P1^P2^QQ Satisfatível

H3=(PvP)(Q^Q) Contraditória

Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ)

E G? E H? H G? H E? G H? G E?

Exercício

Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G

Se H=F, G=? Tabela Verdade Se I[H] = T

Equivalência

Exemplo (Lei de Morgan)H=(P^Q) e G=(PvQ)

Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G]

Casos I[H]=T e I[H]=F

(P^Q) (PvQ) ? Caso I[H]=TI[H]=T I[P^Q]=T I[P]=T e I[Q]=T I[P]=F e I[Q]=F I[PvQ]=F I[(PvQ)]=T I[G]=T I[H]=T I[H]=I[G]

Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas

verdade das 2 fórmulas

Equivalência

Exemplos: P P (eliminação da dupla

negação) P Q P V Q (definição de em

termos de e V) (P V Q) P ^ Q (Lei de Morgan 1) (P ^ Q) P V Q (Lei de Morgan 2) P ^ (Q V R) (P ^ Q) V(P ^ R)

Relações entre as Propriedades Semânticas

Validade e factibilidade H é válida H é contraditória H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível H é

contraditória

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

Dadas 2 fórmulas H e G, H implica G (H G) é tautologia H equivale a G (H G) é tautologia

Provar que (H G) e (G H) Transitividade da equivalência

E H e H G E G

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)

Satisfabilidade Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de

fórmulas {H1,H2,...Hn} é satisfatível

{H1^H2^...^Hn} é satisfatível

Equivalências

aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e quer dizer “se … então …”

Cuidado: Há uma diferença entre eles: H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (1) H equivale a G H é tautologia G é tautologia}? (2)

Equivalência e Validade H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (1)é dividida em 2 implicações:

H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2)e H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)

Contra-exemplo de Equivalência e Validade

H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)

H=P e G=Q, que não são equivalentes “H equivale a G” é falsa

No entanto, o antecedente é verdadeiro H e G não são tautologias

(Falso Falso) Falso Verdadeiro Falso, o que é falso

Proposições

Equivalência e Validade Proposição 1: H equivale a G H é

tautologia G é tautologia} Implicação e Validade

Proposição 2: H implica a G H é tautologia G é tautologia }

Proposição 3: {{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}

Proposição 1 –Equivalência e Validade H equivale a G

H é tautologia G é tautologia} (2)

Prova do tipo prop3 prop2 e

prop2 prop1

Passos: prop2,

prop2 prop1 [1] prop3,

prop3 prop2 [2] Portanto,

prop3, [3] prop3 prop2, prop2 prop1

Proposição 2 – Implicação e Validade H implica a G H é tautologia G é tautologia}(4) Pode ser reescrito como:

G implica a H G é tautologia H é tautologia} (5) Portanto,

H equivale a G H é tautologia G é tautologia} (2) E prop2 prop1

Lema (implicação) (A (B C)) equivale a ((A^B) C)

Olhar tabelas verdade H equivale a G H é tautologia G é tautologia}(4)

é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a

{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}

prop3 prop2

Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é

tautologia} Supondo {H implica G} e {H é tautologia} Para {G é tautologia} ser verdade, então{G é tautologia} toda I[G]=T

Proposição 3 – Implicação e Validade (cont.)

{G é tautologia} toda I[G]=T Mas se {H é tautologia}, toda

I[H]=T Como {H implica G}, então toda

I[G]=T {G é tautologia}