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SEMELHANÇAU
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7
• Noção de semelhança
• Ampliação e redução de um polígono
• Polígonos semelhantes
• Semelhança de triângulos
ProfªHelena Borralho/2012-13
ProfªHelena Borralho/2012-13
FIGURAS SEMELHANTES
Fig
ura
s se
mel
han
tes
Duas figuras que têm a mesma forma dizem-se semelhantes.
Quando duas figuras são semelhantes, as suas dimensões estão em proporção.
Duas figuras têm a mesma forma se uma forampliação da outra ou se foremgeometricamente iguais.
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AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS
Figura 1
Figura 2
A figura 1 e a figura 2 emboratenham dimensões diferentes têma mesma forma.
Numa ampliação ou numa redução,as figuras conservam a mesmaforma
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FIGURAS SEMELHANTES
Duas figuras que são semelhantes, ou são geometricamente iguais, ouampliação ou redução uma da outra.
Ampliação
Redução
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Em várias situações do dia a dia recorremos a ampliações e a reduções
-
Utilizamos o microscópio para ampliar; Apresentamos uma maqueta de um empreendimento como uma redução
ProfªHelena Borralho/2012-13
Construção de figuras semelhantes: ampliação de uma figura por doisprocessos:
Este processo corresponde a uma transformação
geométrica chamada homotetia.
O pantógrafo é um instrumento que
permite obter figuras semelhantes
utilizando uma homotetia.
http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_1_arealed_pag88.html
http://mat7anofs.no.sapo.pt/cap3_7ano_act1_2_arealed_pag88.html
http://mat7anofs.no.sapo.pt/const_fig_sem_homotetia2.html
ProfªHelena Borralho/2012-13
Dois polígonos semelhantes relacionam-se com o símbolo ~
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POLÍGONOS SEMELHANTES
Dois polígonos são semelhantesquando os ângulos correspondentessão geometricamente iguais e oslados correspondentes diretamenteproporcionais.
Nota: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições sãosatisfeitas: ângulos correspondentes geometricamente iguais e lados correspondentesdiretamente proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar asemelhança entre polígonos.
D
A
C
B
D'
A' B'
C'
5
3
10
6
Os retângulos são semelhantes, pois têmos ângulos correspondentes iguais(todos de 90º) e os lados proporcionais,
A razão de semelhança é 2.
10 62 2
5 3e
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A figura mostra dois quadriláteros semelhantes.
Duas figuras são semelhantes quando uma é a ampliaçãoda outra.
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Dois polígonos são semelhantes se e só se há umacorrespondência entre os seus vértices de tal modo que oslados correspondentes dos polígonos são proporcionais eos ângulos correspondentes são geometricamente iguais.
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Razão de semelhança
Os dois quadrados representados ao lado são semelhantes.
É uma constante equivalente à razão entre os comprimentos de dois
segmentos correspondentes de duas
figuras semelhantes.
Repara que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A.
A medida dos lados do
quadrado B é o dobro damedida dos lados do quadradoA.
Se dividirmos o comprimento do lado
do quadrado B pelo comprimento dolado do quadrado A, teremos:
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Se r > 1 temos uma AmpliaçãoSe r = 1 temos que as figuras são Geometricamente iguaisSe r < 1 temos uma redução
Para representar a razão desemelhança usa-se a letra r
Para o caso anterior, podemos dizerque a razão de semelhança na ampliação doquadrado A para o quadrado B é:
k = 2
Pode ainda dizer-se que o quadrado Bé uma ampliação do quadrado A na escala2:1.
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Observa os retângulos A e B da figura.
O retângulo B é uma redução doretângulo A.
Repara que os lados do retângulo Btêm ambos metade do comprimentodos lados do retângulo A.
Para calcular a razão de semelhançana redução teremos que dividir ocomprimento do lado do retângulomenor pelo lado correspondente domaior.
A razão de semelhança é: r= 0,5.
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Semelhança de Polígonos
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras
Observa que:
os ângulos correspondentes sãocongruentes:
os lados correspondentes (ou homólogos) sãoproporcionais:
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Critérios de Semelhança de Triângulos
Situações em que podemos garantir que dois triângulos são semelhantes
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Critério AA: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ânguloscorrespondentes geometricamente iguais ( o 3º também será igual).
Critério LAL: Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ladoscorrespondentes directamente proporcionais e o ângulo por eles formadogeometricamente igual.
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Critério LLL: Dois triângulos são semelhantes quando têm os três
lados correspondentes directamente proporcionais.
Critérios de Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:
Têm, de um para o outro, dois ângulos geometricamente iguais – AA
Têm, de um para o outro, os três lados directamente proporcionais – LLL
Têm de um para o outro, dois lados directamente proporcionais e o ângulo por
eles formado geometricamente igual – LAL
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