Senai eletricidade basica - 2 (ng)

________________________________________________________________________________________________SenaiDepartamento Regional do Espírito Santo

1

CPM – Programa de Certificação do Pessoal de Manutenção

Eletricidade BásicaInstrumentação

________________________________________________________________________________________________CST

Companhia Siderúrgica de Tubarão2

Eletrotécnica Básica – Instrumentação

SENAI – ES, 1999

Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)

Coordenação Geral Evandro de Figueiredo Neto (CST)Robson Santos Cardoso (SENAI)

Supervisão Rosalvo Marcos Trazzi (CST)Fernando Tadeu Rios Dias (SENAI)

Elaboração Jader de Oliveira (SENAI)

Aprovação Alexandre Kalil Hanna (CST) Carlos Athico Prates (CST)

Wenceslau de Oliveira (CST)

SENAI – Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialCTIIAF – Centro Técnico de Instrumentação Industrial Arivaldo FontesDepartamento Regional do Espírito SantoAv. Marechal Mascarenhas de Moraes, 2235Bento Ferreira – Vitória – ESCEPTelefone: (027)Telefax: (027)

CST – Companhia Siderúrgica de TubarãoDepartamento de Recursos HumanosAv. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro – Serra – ESCEP 29160-972Telefone: (027) 348-1286Telefax: (027) 348-1077


3

ÍndiceAssunto Página

Associação de Resistores e Divisores de Tensão e Corrente..... 2

Leis de Kirchhoff ...................................................................... 21

Eletromagnetismo ..................................................................... 43

Eletrostática .............................................................................. 73

Princípios de Corrente Alternada ..............................................100

Circuitos Básicos de Corrente Alternada RLC .........................121

Potência em Corrente Alternada ...............................................152

Exercícios ..................................................................................160

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ELETRICIDADE GERAL

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E DIVISORES DE TENSÃO E CORRENTE

1 - ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

Duas ou mais resistências podem ser associadas de três maneiras:a) Associação em sérieb) Associação em paraleloc) Associação mista

CONSIDERAÇÕES:- Resistores podem ser ligados de diversas maneiras de modo que seus efeitos sejam combinados;- Qualquer que seja a maneira como ligamos os resistores, o efeito obtido ainda será o de umaresistência;- Essa resistência poderá ser maior ou menor que os resistores associados, mas ainda assim oconjunto seguirá a lei de Ohm.- O resultado de uma associação de resistores depende não só dos valores dos resistores associadoscomo também da forma como são ligados.

1.1 - Associação em sérieQuando os resistores estão ligados um em seguida ao outro.Na figura abaixo, mostramos "n", resistores ligados em série.

Nesse tipo de associação, a corrente I passa por um dos resistores, é a mesma que passa por todos osoutros.

Aplicando a lei de Ohm ao 1°, 2°, ... , enésimo resistor, temos:V1=R1.IV2=R2.I. . . . . .Vn =.Rn . I


5

A tensão V, fornecida, é igual à soma das quedas de tensão em cada resistor.V=V1+V2+...+Vn=R1.I+R2.I+...+Rn.I=(R1+R2+...+Rn).I

∴ V=(R1+R2+...+Rn.I=RTOnde:

RT=R1+R2+...+Rn

Conclusão:A resistência total (ou equivalente) de uma associação de resistores em série é igual à soma dosresistores da série.

Caso Particular:

Quando os resistores tiverem resistências iguais, isto é, R1 = R2 = ... = Rn, é fácil provar que nestecaso resulta também V1 = V2 = ... = Vn.Chamamos respectivamente R1 e V1 a resistência e a diferença de potencial entre os extremos decada resistor, temos:

RT = nRi

V=nV 1

Na figura 3, temos exemplos de associação de 3 resistores em série.

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Sendo R1, R2 e R3 os mesmos, as associações (a), (b), (c) e (d) são iguais.

Exemplo 1 :Determinar a resistência total em um circuito série, onde se tem R1 = 22 [Ω], R2 = 33 [Ω] e R3 = 10[Ω].

Solução:RT = R1 + R2 + R3

RT = 22 + 33 + 10 = 65

∴ RT = 65 [Ω]

Exemplo 2 :No circuito da figura 5, calcular o valor das quedas de tensão em cada uma das resistências.

Para se calcular a queda de tensão é preciso, inicialmente,calcular o valor da resistência equivalentee depois, aplicando a lei de Ohm, calculamos a corrente que atravessa o circuito.

RT = R1 + R2 + R3 = 7 + 5 + 3 = 15 [Ω]

I = V = 15 = 1 [A] RT 15

A queda de tensão em R1 , será:V1 = R1 . I = 7 x 1 = 7 [V]

Em R2 será:V2 = R2 . I = 5 x 1 = 5 [V]

Em R3 será:V3 = R3 . I = 3 x 1 = 3 [V]

Somando-se estas tensões parciais, encontramos o valor da tensão total:


7

VT = V1 + V2 + V3 = 7 + 5 + 3 = 15 [V]

1.2 – Associação em Paralelo

Quando os resistores estão ligados aos mesmos pontos, e portanto submetidos à mesma d.d.p.,dizemos que estão associados em paralelo.Na figura abaixo mostramos n resistores ligados em paralelo.

Nesse tipo de associação, todos os resistores estão submetidos à mesma tensão V. Aplicando a leide Ohm aos n resistores, temos:

I1 = V . R1

I2 = V . R2 . . . . . .

In = V . Rn

A corrente I é igual à soma das correntes em cada resistor.

I = I1 + I2 + ... + In = V . + V . + ... + V . = 1 + 1 + ... + 1 . V R1 R2 Rn R1 R2 Rn

I = = 1 + 1 + ... + 1 . V = V . R1 R2 Rn RT

Onde:1 = 1 + 1 + ... + 1 RT R1 R2 Rn

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Ou

RT = 1 . 1 + 1 + ... + 1 R1 R2 Rn

Conclusão:A resistência total (equivalente) de uma associação em paralelo é igual ao inverso da soma dosinversos das resistências componentes.

Onde:

RT = 1 . 1 + 1 + ... + 1 R1 R2 Rn

Caso Particular (1 )No caso de um grupo formado por apenas dois resistores diferentes R1 e R2, a resistência total pode-se determinar da seguinte maneira:

RT = 1 . = R1 x R2 1 + 1 R1+ R2 R1 R2

∴ RT = R1 x R2 R1 + R2

Caso particular (2)Os resistores têm resistências iguais, isto é, R1 = R2 . = Rn .Neste caso as intensidades de corrente nas derivações também são iguais:

I1 + I2 = ... = In


9

Logo:I = n. I1

Logo:1 = nRT R1

OuRT = R1 = 1 . R1 n n

Neste caso particular, a resistência da associação é igual a 1/n da resistência de cada resistor e aintensidade da corrente é n vezes maior que a corrente que circula em cada resistor:Na figura 9 temos exmeplos de 3 resistores associados em paralelo.

Sendo R1, R2 e R3 os mesmos, as associações (a), (b), (c) e (d) são iguais.

Exemplo 1 :Calcular a resistência do circuito onde se tem R1 = 2,2 [ kΩ ] e R2 = 4,7 [kΩ].

Solução:

RT = R1 // R2

RT = R1 x R2 = 2,2 x 4,7 = 10,34 = 1,5 R1 + R2 2,2 + 4,7 6,9

∴ RT = 1,5 [kΩ]

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Exemplo 2 :No circuito da figura 11, calcular:

a) O valor da corrente em cada resistor;b) O valor da corrente total do circuito;c) O valor da resistência total.

Solução:

a) I1 = V = 24 = 1 ∴ I1 = 1[A] R1 24 I2 = V = 24 = 2 ∴ I2 = 2[A] R2 12 I3 = V = 24 = 3 ∴ I1 = 3[A] R3 8

b) I = I1 + I2 + I3 = 1 + 2 + 3 = 6 ∴ I = 6[A]


11

c) 1 = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 . RT R1 R2 R3 24 12 8

1 = 1+ 2 + 3 = 6 ∴ RT = 24 = 4 ∴ RT = 4 [Ω] RT 24 24 6

1.3 – Associação mista

A associação mista é composta de resistores dispostos em série e em paralelo.

A) R1 em série com a combinação paralela de R2 com R3 .

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(a) Circuito básico.(b) Inicialmente resolveremos a combinação paralela.(c) A seguir efetuamos a combinação série.

B) R3 em paralelo coma combinação série de R1 com R2 .

(a) Circuito básico.(b) Inicialmente resolveremos a combinação série.(c) A seguir efetuamos a combinação paralela.

Exemplo 1 :Determine a resistência da associação da figura 16.


13

1) Inicialmente reduzimos a associação em paralelo dos resistores de 20[Ω] e 30 [Ω] (figura 17).

2) Em seguida reduzimos a associação em série dosresistores de 12[Ω] e 28[Ω]. (figura 18).

3) Neste estado reduzimos a associação em paralelo dos resistores de 60[Ω] e 40[Ω]. (figura 19)

R = 20 x 30 = 600 = 12 [Ω] 20 + 30 50

R = 28 + 12 = 40[Ω]

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4) Segue-se imediatamente o esquema. (figura 20)

5) Finalmente. (figura 21).

R = 60 x 40 = 2400 = 24 [Ω] 60 + 40 100

R = 6 + 24 = 30[Ω]

RT = 30 x 20 = 600 = 12 [Ω] 30 + 20 50


15

A resistência total equivalente será : RT = 12 [Ω]. (figura 22)Logo:

2 – DIVISOR DE TENSÃO

Consideremos n resistores conectados em série, submetidos a uma tensão V. (figura 23)

Sabemos que na associação em série, a resistência total equivalente é:

RT=R1+R2+...+Rn

Aplicando a Lei de Ohm, temos a corrente I:

I = V = V . RT R1+R2+...+Rn

Sabendo que a corrente I do circuito série é a mesma em qualquer parte da série, e aplicando a lei deOhm para cada resistor, temos que as tensões serão:

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V1 = R1I = R1 . V RT

V2 = R2I = R2 . V RT. .. .. .. .Vn = RnI = Rn . V RT

Conclusão:A tensão nos extremos de cada resistor do divisor é diretamente proporcional ao valor da suaresistência.Analisando a figura, a relação entre a queda de tensão e o valor do resistor, conclui-se que o resistorde valor mais elevado causa uma alta tensão e o valor mais baixo causa pequena queda de tensão.A queda de tensão é diretamente proporcional ao valor da resistência.

Exemplo:Dado o circuito (figura 24) determine as quedas de tensão, V1, V2 e V3 de cada resistor.

Solução:Cálculo da resistência total equivalente: RT

RT = R1 + R2 + R3

= 48 + 72 + 120 = 240 ∴ RT = 240[kΩ]

Cálculo dos resistores V1, V2 e V3

V1 = 48 x 24 = 4,8 ∴ V1 = 4,8 [V] 240


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V2 = 72 x 24 = 7,2 ∴ V1 = 7,2 [V] 240

V3 = 120 x 24 = 12,0 ∴ V1 = 12,0 [V] 240

Exemplo 2 :Determinar as tensões V1 e V2 , na figura 25, considerando:a) A chave S1 aberta.b) A chave S1 fechada e RL ajustada em 450[Ω].c) A chave S1 fechada e RL ajustada e, 61,2[kΩ].

R1= 2,6KΩ R2 = 3,6KΩ V= 18,6V

Solução:

a) RT = R1 + R2 = 2,6 + 3,6 = 6,2[KΩ]

V1 = R1 . V = 2,6 x 18,6 = 7,8 ∴ V1 = 7,8[Ω] RT 6,2

V2 = R2 . V = 3,6 x 18,6 = 10,8 ∴ V2 = 10,8[Ω] RT 6,2

b) R2 // RL = RO

RO = R2 x R1 = 3.600 x 450 = 400[Ω] = 0,4[kΩ] R2 + RL 3.600 + 450

RT = R1 + R0 = 2,6 + 0,4 = 3[kΩ]

V1 = R1 . V = 2,6 x 18,6 = 16,12 ∴ V1 = 16,12[V] RT 3

V2 = R0 . V = 400 x 18,6 = 2,48 ∴ V2 = 2,48[V] RT 3000

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c) R2 // RL = RO

RO = R2 x R1 = 3,6 x 61,2 = 3,4[kΩ] R2 + RL 3,6 + 61,2

RT = R1 + R0 = 2,6 + 3,4 = 6[kΩ]

V1 = R1 . V = 2,6 x 18,6 = 8,06 ∴ V1 = 8,06[V] RT 6

V2 = R0 . V = 3,4 x 18,6 = 10,54 ∴ V2 = 10,54[V] RT 6

OBSERVAÇÃO:Verifica-se que as condições de funcionamento de um divisor de tensão são completamentediferentes para as condições sem carga e com carga. Além disso, a tensão de saída vai depender dovalor da carga conectada, conforme se verifica nos desenvolvimento b e c do exemplo 2.O divisor de tensão sem carga não consome nenhuma corrente além daquela drenada pela rededivisora, entretanto, geralmente na prática, os divisores de tensão alimentam uma carga a qualconsome uma determinada corrente.O divisor de tensão com carga é muito utilizado nas saídas de fontes de alimentação, para suprirvárias tensões que são distribuídas a diferentes circuitos.

3 – DIVISOR DE CORRENTEConsideremos n resistores conectados em paralelo a uma tensão V (figura 26).

Sabemos que na associação em paralelo a resistência total equivalente é:

RT = 1 . 1 + 1 + ... + 1 . R1 R2 Rn

Aplicando-se a Lei de Ohm na circuito anterior, temos a tensão V:

V = RT . I = = 1 .


19

1 + 1 + ... + 1 . R1 R2 Rn

Sabendo que a tensão no circuito paralelo é a mesma em qualquer resistor, e aplicando a Lei deOhm para cada um deles, temos que as correntes são:

I1 = V . = RT .I R1 R1

I2 = V . = RT .I R2 R2 . . . . . .

In = V . = RT .I Rn Rn

Conclusão:A corrente que circula em cada resistor é inversamente proporcional à resistência do mesmo.Observando a relação entre a corrente e o valor da resistência, conclui-se que o resistor de valormais elevado drena uma pequena corrente e o de valor mais baixo drena uma grande corrente.

Caso Particular:Na situação de se ter apenas dois resistores como na figura 27.

I1 = V . = RT .I = R1. R2 . I = R2 . I

R1 R1 R1 .( R1 + R2 ) R1 + R2

I2 = V . = RT .I= R1. R2 . I = R1 . I

R = R2 x R1 , V = R . I R2 + R1

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R2 R2 R2 .( R1 + R2 ) R1 + R2

Logo:I = R2 . I R1 + R2

I = R1 . I R1 + R2

Conclusão:Estas equações são muito simples e importantes, devendo ser bem entendidas, devido à sua grandeaplicação em eletricidade.

Exemplo 1Dado o circuito da figura 28, determinar as correntes nos resistores.

I1 = R2 . I = 18 x 5 = 3 ∴ I1 = 3[A] R1 + R2 12 + 18

I2 = R1 . I = 12 x 5 = 2 ∴ I2 = 2[A] R1 + R2 12 + 18

Exemplo 2Do circuito da figura 29, determinar as correntes em cada resistor.


21

Solução:Cálculo da resistência total

12I1 = RT .I = 13 x 26 = 12 ∴ I1 = 12[A] R1 2

12I2 = RT .I = 13 x 26 = 8 ∴ I2 = 8[A] R2 3

12I3 = RT .I = 13 x 26 = 6 ∴ I3 = 6[A] R3 4

LEIS DE KIRCHHOFF, CIRCUITOS EM PONTE E TEOREMA DE SUPERPOSIÇÃO

1 - CONCEITO DE QUEDA DE TENSÃOVimos que um gerador fornece força eletromotriz ou tensão. Observe a figura 1.

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Na figura 1 (a), considere a f.e.m. positiva e a corrente circulando no sentido horário.Na figura 1 (b) vemos que o ponto "a" está no potencial zero. Verifica-se que o potencial doponto b é mais alto do que o de "a", portanto temos uma elevação de tensão de a para b(f.e.m. E). O potencial do ponto c é mais baixo que o de "b", como também o de "e" emrelação a "d", portanto temos a queda de tensão do pomo "b" para "c" (I.r) e de "d" para"e" (I.R.).Os pontos "c" e "d", "a" e "e" estão, respectivamente, no mesmo potencial, não temos a elevação enem a queda de tensão do ponto "c" para "d" e do ponto "e" para "a".

Na figura 2(a), considere a f.e.m. negativa e a corrente circulando no sentido anti-horário. Na figura2(b) vemos que o ponto a está no potencial zero.Verifica-se que o potencial do ponto "c" é mais baixo do que o de "b", portanto temos uma queda detensão de "b" para "c" (f.e.m. - E ). O potencial do ponto "b" é mais alto que o de "a", como tambémo de "e" em relação a "d", portanto temos elevação de tensão de "a" para "b" (I.r) e de "d" para "e"(I.R). Os pomos "a" e "e", "c" e "d" estão, respectivamente, no mesmo potencial, não temoselevação e nem queda de tensão do ponto "a" para "e" e do ponto "c" para "d".

OBSERVAÇÃO:Quando a corrente flui pelo resistor, ela transfere para este, a energia fornecida pela fonte em formade calor. Entretanto, se a carga for uma lâmpada, esta energia aparecerá tanto em forma de calorcomo de luz.

2 - CONCEITO DE TERRAUm dos pontos mais importantes no estudo da Eletricidade é o conceito de terra Originalmente terraera justamente o que o nome indica. Considera-se que a terra tenha potencial zero. Assim sendo, aterra é o ponto de referência ao qual as tensões são geralmente comparadas.


23

O conceito de terra permite-nos expressar tensões negativas e positivas.Lembre-se sempre que o terra é meramente um ponto de referência considerado zero ou neutro. Sesupusermos que o terminal positivo de uma bateria de 6V é o terra, então o terminal negativo será 6volts mais negativo. Portanto, a tensão nesse terminal com relação ao terra será -6V.Observe que a bateria pode produzir -6V ou +6V, dependendo de qual terminal assinalarmos comoo terra. Por exemplo, na figura 3, duas baterias são conectadas em série, com a ligação do terra entreelas. Assim, a referência zero está no ponto B. Como a bateria de cima tem uma força eletromotrizde 10 [V], a tensão no ponto A com referência ao terra é de +10 [V]. A bateria inferior tem umaforça eletromotriz de 6 (V].Devido ao terminal positivo estar ligado ao terra, a tensão no ponto C com relação ao terra é de -6[V].Às vezes, falamos estritamente da tensão num ponto particular. Mas, realmente a tensão é sempre amedida da diferença de potencial entre dois pontos. Com isso, quando falamos da tensão em umponto, isso significa o potencial referido ao terra.Na figura 3, temos:

Contudo, há um tipo de terra ligeiramente diferente usado em eletrônica Por exemplo, umcerto ponto num pequeno rádio a pilha é chamado de terra, embora o rádio não esteja ligadoao terra de modo algum. Neste caso, terra é simplesmente um ponto zero de referência dentrode um circuito elétrico. Nos equipamentos eletrônicos maiores o ponto zero de referência, outerra, é a carcaça metálica ou chassi, sobre o qual os vários circuitos são montados. Todas astensões são medidas com relação ao chassi.

3- LEIS DE KIRCHHOFFDuas leis fundamentais e simples do circuito elétrico recebem o nome de Leis de Kirchhoff. Elassão leis fundamentais aplicadas às condições do fluxo da corrente elétrica em um circuito ou emuma rede de condutores elétricos. Estas leis, cujos enunciados damos a seguir, não são totalmentenovas para nós, que já as aplicamos nos circuitos em série e em paralelo, embora sem fazerreferência a KIRCHHOFF. Com mais algumas convenções e, esclarecimentos, ficaremoscapacitados a aplicá-las nos cálculos de correntes elétricas em circuitos.

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Antes veremos o que significam três expressões que serão muito utilizadas: Nó de Intensidade (ounó) é o ponto de concorrência de três ou mais braços;Braço (ou ramo) é uma parte de circuito que liga dois nós consecutivos e onde todos os elementosfiguram estão em série;Malha (ou circulo fechado) é o poligonal fechado formado por braços (ou ramos).

1° Lei de KIRCHHOFF (Lei de Nós)Refere-se às correntes em condutores com um ponto comum (nó).Pelo princípio da conservação de energia, sabemos que:

"A soma das correntes que chegam em um nó é Igual a soma das correntes que dele seafastam" ou "A soma algébrica das correntes que se aproximam e se afastam de um nóé igual a zero".

Convencionando-se que as correntes que se aproximam do nó são positivas e que as correntes quese afastam são negativas.

I1 +I2+I3+I4+I5+I6=0


25

2° Lei de KIRCHHOFF (Lei das Malhas)Em uma malha de um circuito, se tomarmos como referência um pomo de certo potencial,percorremos a malha e voltamos ao mesmo pomo, encontrando no percurso elevações e quedas detensão, temos que a soma algébrica das elevações e quedas de tensão será zero, porque aquele pontotomado como referência não teve alteração em seu potencial.

Neste circuito temos 3 nós (B, G e D) e 5 braços (BAG, BG, GFED, GD e DCB).Quando, partindo de um nó, realizamos um certo percurso e voltamos ao mesmo nó, o caminhopercorrido é denominado malha ou circuito fechado. Em uma malha todos os elementos estão emsérie.

Na estrutura anterior temos os seguintes circuitos fechados ou malhas:

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De acordo com o exposto, concluímos que:"A soma algébrica das forças eletromotrizes nos diferentes braços de um circuito fechado é Igual àsoma algébrica das quedas de tensão nos mesmos".

No caso geral podemos escrever:

Σ En = Σ Rn In

OBSERVAÇÕES:Convencionou-se que:


27

a) Força eletromotriz:

b) Queda de tensão

c) Na figura 10, temos:

d) Aplicando a 1ª Lei (dos nós) escrever a(s) equação(ões) da soma algébrica das correntes;

e) Aplicando a 2ª Lei (das malhas) escrever a(s) equação (ões) da soma algébrica da(s) f.e.m. eda(s) queda(s) de tensão; serão positivas as que tiverem sentido igual ao de circulação e negativas asoutras;

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f) Resolver a equação em relação à incógnita do problema;

OBSERVAÇÃO:Quando aplicamos as Leis de KIRCHHOFF e encontramos um resultado negativo para umacorrente, entendemos que o sentido arbitrado para dar início à resolução do problema não era overdadeiro. O valor encontrado, porém, é o real.

Considerações: Na resolução de problemas com auxílio das Leis de KIRCHHOFF, temos de estabelecer sistemas deequações para diversas correntes e tensões.Chamamos de b o número de braços ou ramos, e de n o número de nós.

a) Temos tantas equações da primeira lei quantos são os nós, menos 1 (um):Quantidade de equações da 1a lei:

n – 1

b) Temos, também, tantas equações da 2° lei quantos são os braços, menos os nós, mais 1 (um):Quantidade de equações da 2a lei:

b – n + 1

Utilizando as leis de KIRCHHOFF, para determinar as equações que possibilitem resolver ocircuito, temos dois métodos:Analisando os ramos, ab, bc, cd e da:

Vab = E1 - R1I1Vbc = -E2 - R2I2Vcd = E3 + R3I3Vda = R4I4

Quando partimos do ponto a, no sentido horário, e percorremos a malha efetuando os somatórios evoltando ao ponto a, chegamos à conclusão que:

Vab+Vbc+Vcd+Vda=0Substituindo Vab’ Vbc’ Vcd’ Vda’

E1 – R1I1 - E2-R2I2 + E3 + R3I3 + R4I4 = 0E1 - E2+E3 = R1I1 + R2I2 - R3I3 - R4I4


29

Analisando graficamente, observamos o comportamento do circuito da figura 11:

Para se aplicar esta Lei, sem receio de enganos, deve-se proceder como segue:a) Representar no esquema os sentidos das várias f.e.m. (dirigidas do negativo para o positivo);

b) Fixar arbitrariamente os sentidos das correntes;

c) Escolher um sentido de circulação. Este pode ser igual ao sentido da corrente (nos casos em queo sentido da corrente se descobre à primeira vista). Mas também pode ser escolhido ao acaso;

a) Usando corrente de ramo b) Usando corrente de malha

Temos neste circuito uma equação da lei Fazendo I1 = Ib, I2=I4 (Lei de Nós) I3=Ib-Ia

I1 =I2+I3

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Das malhas abaixo temos as equações da 2ª lei:1 ) Considerando a malha R1 E1 E2 R2: R1I2 -R2I3 = E1 + E22) Considerando a malha R1 E1 R3 E3 R4: R1I2 +(R3 + R4) I1 =E1 - E33) Considerando a malha R2 E2 R3 E3 R4: R2I3 +(R3 + R4) I1 =-E2 - E3

Das malhas abaixo, temos as equações da 2ª lei:1) Malha R1 E1 E2 R2: RlIa + R2 (Ia – Ib) = E1 +E22) Malha R1 E1 R3 E3 R4: RlIa + (R3 + R4) Ib = E1- E33) Malha R2 E2 R3 E3 R4: R2 (Ib – Ia) + (R3 + R4)Ib = -E2 - E3

OBSERVAÇÃO:No circuito acima temos 2 nós e 3 ramos; n = 2 e b = 3. 1ª Lei: n - 1 = 2 - 2 = 1 equação.2ª Lei: b - n + 1 = 3 - 2 + 1 = 2 equações.Bastam duas equações da 2ª Lei para determinar as correntes.Estas duas equações são escolhidas entre as três que temos.

Exemplo 1:Dado o circuito, determinar as correntes que passam em cada ramo.

Solução 1:Determinar o número de equações, temos:a) n – 1 b) b – n + 1

2 – 1 = 1 (uma equação para a 1ª lei). 3 – 2 + 1 = 2 (duas equações para a 2ªlei).

Temos; supondo as correntes como sendo I1, I2 e I3: 1ª lei para o nós B: 2ª lei para a malha ABEFA: I1 = I2+I3 (1) 2I1 +4I1 +3I2=12+24

6I1 + 3I2 = 36 2I1 + I2 = 12 (2)


31

2ª lei para a malha BEDCB:3I2-8I3-10I3=24-6 3I2-18I3= 18 De(1) I2-6I3=6 (3) I2=I1-I3 (4)

Substituindo (4) em (2) Substituindo (4) em (3)2I1 +I1-I3=12 I1-I3-6I3=63I1 -I3= 12 I1 –7I3=6 (6)I3=3I1 –12 (5)

Substituindo (5) em (6): Substituindo I1 em (5)I1 -7(3I1-12)=6 I3=3 x 3,9-12I1-21I1+84=6 I3= 11,7-12- 20I1 = - 78 I3 = - 0,3 [A]

I1 = 78 = 39 = 3,9 [A]20 10

Substituindo I1 e I3 em (4)I2 = 3,9 - (-0,3) = 4,2 [A]

No final, escrevemos as correntes em valor absoluto, refazendo o circuito de acordo com o sinalencontrado para as mesmas.

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Solução 2 :

Supondo as correntes de malha como sendo Ia e Ib, e a corrente no ramo BE Ia + Ib, vem:Considerando a malha ABEFA, temos:

4Ia+3(Ia+Ib)+2Ia=12+249Ia+3Ib=363Ia + Ib = 12 (1)

Considerando a malha BCDEB, temos:3(Ia+Ib)+8Ib+10Ib=24-63Ia+21Ib=18Ia+7Ib=6 (2)

Tomando as equações (1) e (2)3Ia + Ib = 12 (1)Ia+7Ib=6 (2)

Multiplicando a equação (2) por - 3 e somando com (1), temos:3Ia +Ib=12-3Ia-21Ib= - 18 +- 20Ib = -6

Ib = 6 = 3 = 0,3.[A] 20 10

Usando a equação (1), temos:3Ia+0,3=12Ia = 11,7 = 3,9 [A]

3A corrente no ramo BE é:

3,9 + 0,3 = 4,2 [A]

OBSERVAÇÃO:Verificamos que pelos dois processos chega-se ao mesmo resultado.


33

4 - CIRCUITOS EM PONTE (1)

Os circuitos em ponte são um caso participar da ligação série paralelo muito importante e muitoutilizado eletricidade.

4.1 - Ponte desbalanceada

Dispomos 4 resistores ligados em forma de um quadrado e nos pontos eqüidistantes C e D, ligamosum quinto resistor, sendo que nos extremos A e B da configuração alternados com uma fonte detensão E. A este tipo de configuração dá-se o nome de circuito de ponte (figura 1).

Analisando o circuito da figura 17, iremos determinar as correntes, utilizando as Leis deKIRCHHOFF. Aplicando a Lei de Nós, temos:

Nó A:IO=I1 +I2 (1)

Nó C: I1 = I3 + I5 (2)

Nó D:I4=I2+I5 (3)

Aplicando a Lei das Malhas, temos:Malha ACDA

R1I1 + R5I5 - R2I2 = 0 (4)

Malha CBDCR3I3 + R4I4 - R5I5 = 0 (5)

Malha ADBAR2I2 + R4I4 = E (6)

________________________________________________________________________________________________CST


Com estas equações poderemos determinar as correntes da ponte, consequentemente poderemostambém determinar a resistência total da ponte em função da fonte E.

b) Analisando o circuito da figura 17, poderemos determinar a diferença de potencial entre ospontos CD:

VA = E

VB=0

VC = E - R1I1 = R3I3

VD=E-R2I2=R4I4

VCD ~ VC – VD

VCD = R2I2 – R1I1 ~ R3I3 - R4I4

Conclui-se que, entre os pontos C e D, existe uma diferença de potencial e uma corrente circulandoentre os mesmos e fazendo com que a ponte fique desbalanceada.

4.2 - Ponte Balanceada

Do circuito da figura 17, retiramos o resistor R5 e, em seu lugar, colocamos um galvanômetro(figura 18). Alterando os valores de R1, R2, R3 e R4 para que a corrente do galvanômetro seja zero,neste caso a diferença de potencial entre os pontos C e D também será zero e porque os pontos terãoo mesmo potencial.Analisando o circuito para a condição de equilíbrio, ou seja: Ig = 0.Temos:


35

Sabendo que VAC = VAD e VCB = VDB, temos:

R1I1 = R2I2 (1)

R3I1 = R4I2 (2)

Relacionado as equações (1) e (2), podemos determinar que:

R1 = R3R2 = R4

Ou seja:R1 R4 = R2R3

Em Eletricidade Aplicada, utilizamos esta fórmula para determinar o valor de um resistordesconhecido, por exemplo:

R4 = R2 R3 R1

OBSERVAÇÃO:No circuito em ponte balanceada, sabendo que os potenciais no ponto C e D são iguais, poderemosinterligá-los ou retirar o resistor central sem que o circuito se altere.

________________________________________________________________________________________________CST


Exemplo 1:Dado o circuito da figura 20, determinar:a) Resistência total do circuito;

b) Corrente total.

Solução:O circuito da figura 20 toma a seguinte forma:

Observando o circuito, sabemos que:R1 R4 = R2 R3, concluindo que o circuito está equilibrado; portanto, podemos retirar o resistor R5do circuito, pois o mesmo não causa nenhuma alteração.a) Cálculo da Resistência total:

R = (R1 + R3) x (R2 + R4) (R1 + R3) + (R2 + R4)

= (18+12)x(6+4) = 300 = 7,5 (18+12)+(6+4) 40

∴ R=7,5[ Ω ]


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b) Cálculo da corrente total:pela lei de Ohm, temos:

I = V = 15 = 2 ∴ I=2[A] R 7,5

Exemplo 2:Dado o circuito da figura 22, com a chave S desligada ou ligada a corrente será de 3A . Determine ovalor de R1 e R2.

Solução:Para que a corrente total do circuito seja 3[A] com a chave "S" aberta ou fechada, o circuitonecessariamente estará em equilíbrio.Sabemos que:

R1 = R3 = 8 = 2R2 = R4 4

∴ R1 = 2R2 (1)

Pela lei de Ohm:

R= V . I

E com a chave S fechada, temos R1 e R2 em paralelo, ligados em série com paralelo de R3 e R4. Emconsequência:

R1 R2 + R3R4 = VR1 + R2 R3 + R4 I

________________________________________________________________________________________________CST


R1R2 + 8x4 = 12R1 +R2 8+4 3

R1 R2 + 8 = 4 R1 + R2 3

R1 R2 = 4 (2)R1 + R2 3

Substituindo (1) em (2):

2R2 x R2 = 4 (2) 2R2 + R2 3

R = 2R22 = 4

3R2 3

2R2 = 4

R2=2 [ Ω ] e R1 =2x2=4 [Ω ]

5 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

O Teorema da Superposição é o mais lógico dos Teoremas de Malhas. Largamente usado em Física,Engenharia e mesmo em Economia, é empregado para estudo de sistemas em que várias forçasestejam atuando ao tempo para causar um efeito total. Este princípio, muitas vezes, poupa trabalhocontendo diversas f.e.m.Consideremos o circuito da figura 23.

Usando a 2ª Lei de KIRCHHOFF, temos:

E1+E2=(r1+r2+R)I

∴ I = E1 + E2 = E1 + E2 = I1 + I2 r1+r2+R r1+r2+R r1+r2+R


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Onde:I1 = E1 e I2 = E2 .

r1+r2+R r1+r2+RA primeira parcela é obtida de um circuito que tem f.e.m. E1, fazendo E2 = 0, porém mantendo suaresistência interna r2 no circuito.A segunda parcela é obtida da mesma maneira que a primeira, só que a f.e.m. é E2, com E1 = 0, econsiderando-se sua resistência interna r1.

Isto é obtido considerando-se uma f.e.m. de cada vez, substituindo-se as outras por curto-circuitos.Naturalmente, qualquer resistência associada com as f.e.m. retiradas não ficará em curto.A corrente que passa em um ramo de qualquer malha de um circuito com várias f.e.m., é resultadoda na algébrica das correntes fornecidas por estas várias f.e.m., individualmente.

OBSERVAÇÃO:1) Neste problema simples, o emprego do princípio da superposição requereu um pouco mais detrabalho do que os outros métodos, tais como o método das malhas.Foi evitada, porém, a resolução de duas equações simultâneas. Depois alguma prática com ométodo, poderemos escrever as equações diretamente do circuito primitivo e poupar o trabalho daconstrução dos circuitos componentes.

2) A potência consumida em R1 figura 24 (a) é:

P = I2R

Se o substituirmos I por I1 + I2, vem:

P = (I1 +I2) 2

R = (I12+2I1I2+I2

2)R

A soma das potências consumidas em R, figura 24(b) e (c), quando consideramos as f.e.m.individualmente, é:

P1 +P2 = I12R+I2

2R = (I1

2+I2

2)R

Logo:Não podemos aplicar o Teorema da Superposição para o cálculo da potência, pois P ≠ P1 + P2.Exemplo 1:

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Determinar I1, I2 e I3, aplicando o método da superposição.

Solução:Decompondo o circuito e resolvendo as novas estruturas:a)

I’1 = E1 ; I’1 = 18 = 18 = 6[A] R1 + R2 x R3 2 + 2 x 2 3 R2 + R3 2 +2

I’2 = I’3 = I’1 = 3[A] 2

b)


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I’’2 = E2 ; I’’2 = 6 = 6 = 2[A] R1 + R1 x R3 2 + 2 x 2 3 R1 + R3 2 +2

I’’1 = I’’3 = I’’2 = 2 = 3[A] 2 2

Após termos concluído o estudo separadamente, efetuamos a soma algébrica dos valoresencontrados para as correntes; os sentidos reais das diversas correntes dependem dos maioresvalores absolutos, ou seja:Observando a figura 26 e a figura 27, construímos as seguintes equações definitivas:I1=I'1-I’’1=6-1=5 ∴ I1=5 [A]I2=I’2-I’’2=3-2=1 ∴ I2=1 [A]I3 =I'3 +I’’3 =3+1 =4 ∴ I3 =4[A]

Exemplo 2:Determinar as correntes através dos resistores, aplicando o Teorema da Superposição.R1=2[Ω], R2=4[Ω], R3=8[Ω], R4=4[Ω], E1=24[V] e E2=18[V].

Solução:Decompondo o circuito da figura 28 (a), temos: (a) = (b) + (c).Consideremos que a fonte seja ideal (não existe resistência interna). Na figura 28 (b) a fonte E2 foisubstituída por um curto-circuito.Logo:

I’1 = E1 ; I’1 = 24 = 6 [A] R1 R2 + R3R4 2x4 + 8x4 R1 +R2 R3+R4 2+4 8+4

I'1 = R2 I’ ; I'1 = 4 x 6 = 4 [A] R1 +R2 2+4

I'2= R1 I’ ; I'2= 2 x6 = 2[A] R1+R2 2+4

I'3 = R4 I' ; I'3 = 4 x 6 = 2 [A]

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R3+R4 8+4

I'4= R3 I' ; I'4 = 8 x 6 = 4 [A] R3+R4 8+4

Na figura 28(c) a fonte Ei foi substituída por um curto-circuito.Remanejando o circuito da figura 28 (c).

Calculando a corrente I", temos:I" = E2 ; I’’ = 18 = 5[A] R1 R3 + R2 2 x 8 + 4 R1 + R3 2 2 + 8 2

I’’1 = R3 I’’ ; I’’1 = 8 x 5 = 4 [A] R1 + R3 2 + 8

I’’3 = R1 I’’ ; I’’3 = 2 x 5 = 1[A] R1+R3 2 + 8

I’’2 = I’’4 = I’’ = 5 = 2,5 [A] 2 2

Determinação das correntes nos resistores:

I1=I’1-I’’1;I1=4-4=0∴ I1=0[A]

I2=I’2+I"2;I2=2+2,5=4,5∴ I2=4,5[A]

I3=I'3+I"3;I3=2+1 =3∴ I3=3[A]

I4=I’4-I’’4;I4=4-2,5=1,5∴ I4=1,5[A]


43

ELETROMAGNETISMO

1 - MAGNETISMOPor muitos séculos, sabia-se que certas pedras tinham a capacidade de atrair pequenos pedaços deferro. A esse fenômeno deu-se o nome de magnetismo. Hoje, sabe-se que estas pedras são de umminério de ferro que tem o nome de magnetita (Fe3O4). As substâncias que apresentam o fenômenodo magnetismo são chamadas ímãs.Os imãs naturais não apresentam valor prático, pois os ímãs permanentes de formato maisconveniente e mais potentes podem ser produzidos artificialmente, de aços especiais e ligas deferro, níquel e cobalto.

1.1 - Características dos ímãsa) Atrair limalhas de ferro com maior concentração nas extremidades, que; são chamados pólos,

figura 1.

b) Quando suspendemos pelo meio um ímã reto e bastante leve, verifica-se que ele se orienta nadireção norte-sul terrestre. A extremidade que aponta para o norte é chamada de pólo norte, e aoutra, para o sul, de pólo sul, figura 2.

c) A experiência mostra que aproximando-se dois pólos norte ou dois pólos sul de quaisquer ímãs,ocorre repulsão entre eles; contudo, aproximando-se um pólo norte de um pólo suI ocorre atraçãoentre eles. Este fenômeno representa a lei fundamental do magnetismo que diz:Pólos de mesmo nome se repelem e de nomes contrários se atraem.

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c) Os pólos magnéticos dos imãs ficam sempre localizados nas extremidades.Se qualquer ímã for colocado em duas partes, obtém-se dois novos ímãs e assim por diante. Nãoexiste ímã de um só pólo, figura 4.

Os tipos de ímã mais comuns estão representados na figura 5, (a) e forma de barra, (b) ferradura e(c) agulha da bússola.

1.2 - Lei de COULOMBO físico COULOMB, ao estudar os fenômenos de atração e repulsão entre os pólos dos ímãs, foilevado a admitir que existe em cada pólo uma certa quantidade de magnetismo ou massa magnéticaproporcional à força produzida pelo pólo. Então COULOMB enunciou a seguinte lei:


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"A força atrativa ou repulsiva entre dois pólos magnéticos é diretamente proporcional aoquadrado da distância entre elas".Esta lei traduz-se na fórmula:

F=K m1 m2 r 2

Onde:F : força [N]m1 e m2 : intensidade do pólo magnético [wb]r : distância [m]K : coeficiente de proporcionalidade

Quanto ao sinal de F:m1 e m2 de sinais iguais F > 0, haverá repulsãom1 e m2 de sinais opostos F < 0, haverá atração

No vácuo temos:

K= 1 =6,33x104

4πµoOnde:

µo é a permeabilidade absoluta do vácuoµo = 4 π x 10-7 [H/m]

Substituindo o valor de K na fórmula acima, temos:

F = 1 . m1 m2 = 6,33 x 10-4 m1 m2 4πµo r 2 r 2

Em qualquer substância podemos utilizar:

F = 1 . m1 m2 = 6,33 x 10-4 m1 m2 4πµo µs r 2 µs r 2

Onde: µs é a permeabilidade relativa da substância No ar nós temos µs ≅ 1 . Nas substâncias de modo geral, a força entre os pólosmagnéticos é 1/µs em relação ao vácuo.

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1.3 · Campo magnéticoChama-se campo magnético de um ímã ao espaço onde se fazem as ações magnéticas do ímã.

1.4 - Intensidade do campo magnéticoChama-se de intensidade do campo magnético a uma grandeza vetorial definida em cada ponto docampo, como a força que solicita a massa magnética unitária colocada neste ponto. Sua indicação é"H", cuja unidade é [A/m] ou [Aesp/m].1 [A/m] é então, a unidade de intensidade do campo magnético e representa a intensidade de umcampo que age sobre a massa unitária de 1 [wb] com a unidade de força 1 [N].

Tendo no vácuo, certa massa magnética de +m [wb] e a outra de 1 [wb], separadas por umadistância de r [m], pela lei de COULOMB, a força F [N] que age na mesma massa magnética, será:

F=K m x 1 =K m r 2 r 2

Esta força F é do mesmo valor da intensidade do campo magnético H [A/m], logo:

H=K m r 2

Quando for colocada uma massa magnética de valor m [wb] em um campo de intensidade de H[A/m], a força que age nesta massa magnética será:

F=mH

A intensidade do campo no ponto P, distante do pólo magnético N de r1 [m] e do pólo S de r2 [m],sendo a resultante H a soma vetorial dos componentes Hn em relação ao ponto N e Hs em relação aopólo S, figura 8, é:

_________________SenaiDepartamento Regio

A resultante da intensidade do campo em P, se obtém compondo pela regra do paralelogramo, asintensidades do campo Hn e Hs; temos:

Hn = k m Hs=k m r 21 r 22

Sendo α o ângulo entre Hn e Hs, vem:

H s

1.5 - Linhas de fSe colocarmos umvê-se que os grãolinhas, tomadas saem do pólo nor

= H2 n + H2 s + 2HnH√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

_______________________________________________________________________________

nal do Espírito Santo47

orça magnéticaa folha de cartão ou de vidro sobre um ímã e pulverizarmos com limalha de ferro,

s da limalha se dispõem em curvas determinadas, indo de um pólo ao outro. Estasvisíveis pela limalha, chamam-se linhas de força magnética; admite-se que elaste e entram pelo pólo sul, figura 9.

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Elas podem ser comparadas a uma borracha esticada; a tendência é para a compressão.Não se cruzam e há repulsão mútua entre elas. Onde houver maior concentração dessas linhas, maisintenso é o campo magnético e a tangente em qualquer ponto indica o sentido desse campo.

Num campo magnético, o número de linhas que atravessa uma superfície de 1[m2], normal a estecampo, é de mesmo valor do campo magnético H[Aesp/m].

A quantidade de linhas de força magnética varia com a permeabilidade do campo, e o total delas porum pólo de m [wb] em uma substância de permeabilidade relativa µs é dada por N = m .

µo µs

1.6 - Fluxo/magnéticoO conjunto das linhas magnéticas que emergem do pólo norte chegam ao pólo sul do ímã, échamado de fluxo magnético, que é simbolizado pela letra grega ϕ (lê-se fi), e tem como unidade oweber [wb].

De um pólo de intensidade de campo magnético 1 [wb], sai um fluxo magnético de 1 [wb],independente da permeabilidade magnética da substância, figura 11.


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1.7 - Densidade do fluxo magnéticoA densidade do fluxo magnético é o fluxo magnético por unidade de área de uma seçãoperpendicular ao seu sentido, e tem como símbolo a letra B.

B = ∅ A

Onde:B : densidade de fluxo: magnético [ T ] (Lê-se tesla)ϕ = ∅ fluxo magnético [wb]A : área [ m2 ]

OBSERVAÇÃO:A unidade de B é chamada de tesla e é igual a um weber por metro quadrado [wb/m2].Em qualquer substância, a relação entre o fluxo magnético B [T] e a imensidade do campomagnético H [Aesp/m] é:

B= µH= µo µsH

1.8 - O magnetismo terrestreJá vimos em tópicos anteriores que uma agulha imantada, colocada livremente sobre um ponto deapoio, aponta sempre para o norte geográfico. Foi o médico e físico inglês WILLIAM GILBERT

(1540-1603), que levantou a hipótese de que a terra, sendo uma grande ímã, atraia a agulhamagnética. Pela lei do magnetismo, sabemos que pólos de nomes contrários se atraem.

A agulha da bússola está sempre voltada para o norte geográfico. Conclui-se então, que o nortegeográfico corresponde ao pólo suI magnético, e o sul geográfico ao pólo norte magnético.Vë-se pela figura, que não há coincidência entre os pólos geográficos e magnético.Os eixos imaginários formam um ângulo entre si, chamado ângulo de declinação magnética. Abússola sofre também uma influência na direção horizontal sendo este fenômeno chamadoinclinação magnética

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1.9 - Indução magnéticaQuando uma barra de ferro se aproxima do pólo de um ímã, apresentará polaridade magnéticainstantaneamente, sendo que sua parte mais próxima do ímã terá polaridade oposta a este, e que aoutra parte terá a mesma polaridade, e então haverá atração entre eles.

Chama-se de indução magnética ao fato de uma substância ser colocada no interior de um campomagnético e ser magnetizada por este.Os estudos anteriores sobre magnetismo classificavam os materiais simplesmente como magnéticosou não magnéticos. Atualmente se classificam as substância em três grupos: paramagnéticas,diamagnéticas e ferromagnéticas.As substâncias paramagnéticas são aquelas que se magnetizam pouco, mesmo quando sujeitas a umforte campo magnético. Esta ligeira magnetização é feita no mesmo sentido do campomagnetizante. São paramagnéticas as substâncias: alumínio, cromo, platina e ar.As substâncias diamagnéticas podem também ficar Iigeiramente magnetizadas à influência de umforte campo. Estas substâncias, quando ligeiramente imantadas, ficam magnetizadas em um sentidooposto ao campo magnetizante. Algumas substâncias diamagnéticas são o cobre, a prata, o ouro e omercúrio.O grupo mais importante de material que encontram aplicação em Eletricidade e Eletrônica é o dassubstâncias ferromagnéticas. Estas são relativamente fáceis de serem imantadas. Estão neste grupoo feno, o aço, o cobalto, o alnico e permalói, sendo os dois últimos ligas metálicas.

2 - ELETROMAGNETISMOO eletromagnetismo é o estudo da coexistência da Eletricidade do Magnetismo. Sempre a houvermovimento de cargas elétricas o magnetismo estará presente.

2.1 - Campo magnétieo criado por uma corrente elétricaa) Experiência de OERSTED

OERSTED observou que uma agulha magnética, suspensa e livre para girar em torno de um eixovertical, ao ser colocada nas proximidades de um condutor percorrido por uma corrente, sedesviava, indicando a existência de um campo magnético.


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Determinou ainda, o sentido do desvio para todas as posições relativas da agulha e da corrente.Verificou que a agulha tende a tomar uma posição perpendicular à corrente, e que invertendo osentido desta, o sentido da agulha também se inverte. Experimentalmente, pode-se observar osentido do campo magnético produzido pela corrente elétrica do condutor. A 1ª experiência serácolocar sobre uma placa de papelão, limalhas de ferro, e passar um condutor elétrico. Figura 15(a);quando houver circulação da corrente elétrica I, que a limalha de ferro se ordenará em circuitosconcêntricos.

A 2ª experiência será colocar várias agulhas magnéticas no lugar das limalhas de ferro na placa depapelão, figura 15(b). Notaremos que as agulhas magnéticas mudarão de direção quandosubmetidas à ação de um campo magnético, produzido pela corrente elétrica I. O sentido das linhasde força é definido pela extremidade da agulha, figura 15(c).

b) Regra do saca-rolhas, de MAXWELL.O sentido das linhas de força magnética é aquele segundo o qual se deve girar um saca-rolhascomum, co-axial como o condutor, a fim de fazê-lo avançar no sentido da corrente. Figura 16.

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c) Regra da mão direitaImaginando-se segurar o condutor com a mão direita, de maneira que o polegar aponte no sentidoda corrente, os demais dedos apontarão no sentido da linha de força magnética. Na figura 17 aconversão adotada para representar os sentidos da corrente e das linhas de força magnética.

Para o observador B, o círculo com um ponto representa seção do condutor, da qual a corrente temo sentido de sair perpendicularmente do papel. Para o observador A, o círculo com uma cruz, o depenetrar no papel, (figura 18).

2.2 - SolenóidesO campo produzido por uma corrente será muito maior se o condutor for enrolada em espirasformando uma bobina: a deflexão da agulha magnética será proporcional ao produto da grandeza dacorrente pelo número de espiras da bobina, ou seja, ao número de ampères-espiras (nI).


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Um condutor enrolado em espiras formando um cilindro e percorrido por uma corrente, constituium solenóide.Um solenóide produz os mesmos efeitos magnéticos que um ímã permanente, e apresentaigualmente um pólo norte e um pólo sul, figura 19.

2.3 - Regras para determinar a polaridade de um solenóideSegurando-se o enrolamento com a mão direita, de maneira que o dedo indicador aponte no sentidoda corrente, o pólo norte estará no sentido do dedo polegar, figura 20(a).

A extremidade norte do solenóide é aquela na qual um observador A, olhando através da parteinterna do solenóide, vê a corrente circular nas espiras no sentido trigonométrico positivo. Olhandoatravés do solenóide pela extremidade oposta (pólo sul) o observador B verá a corrente circular nosentido dos ponteiros de um relógio.Na figura (b) temos um solenóide em corte transversal mostrando as linhas de força magnética decada espira em seu interior, sentido da direita para a esquerda, ou seja, do pólo sul para o norte,somando-se.A partir do exposto, entendemos que o solenóide percorrido por corrente elétrica comporta-se comoum ímã.

2.4 · Lei de BIOT·SAVARTA lei de BIOT-SAVART permite calcular o campo magnético produzido por uma corrente qualquerem um ponto especificado.Supondo o condutor AB percorrido por corrente elétrica i. Esta corrente elétrica produz um campomagnético. Para calcularmos o vetor campo H em um ponto P qualquer, imaginemos o condutor AB

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dividido em partes de comprimento muito pequeno. Calculamos o campo magnético ∆H que cadauma destas partes produz em P depois efetuamos a soma vetorial de todos esses campos ∆H eobtemos o campo H total que o condutor inteiro AB produz em P.Sendo ∆ λ [m] um pequeno elemento condutor AB, r [m] a distância entre o pequeno elemento ∆ λe o ponto P, e θ o ângulo entre ∆ λ , e r, figura 21.

∆H = i ∆ λ sen θ 4πr2

O sentido do campo é dado pela regra da mão direita ou do saca-rolhas.

2.5 - Lei de ampèreA lei de ampère afirma:Quando calculamos uma volta completa em um sentido do campo magnético criado pelas correntes,a soma algébrica dos produtos da intensidade de campo magnético ∆H Aesp/m] e o elemento dearco de comprimento ∆ [m] é igual à soma algébrica das correntes que passam no interior destecírculo, figura 22.

Σ ∆ H . ∆ λ = Σ I


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2.6 - Intensidade do campo magnético criado por um condutorSuponhamos um condutor retilíneo infinitamente comprido, percorrido por corrente elétrica deintensidade i [A]; em um ponto P qualquer, situado à distânicia r[m] do condutor, figura 23, ocampo magnético tem a direção da tangente ao círculo no ponto P, e o sentido é dado pela regra damão direita ou do saca-rolhas.

Pela Lei de Ampère, a intensidade é dada por:

H = i [Aesp/m] 2πr

2.7 - Intensidade do campo magnético no centro de uma espira circularSuponhamos um condutor de raio r[m], percorrido por corrente elétrica de intensidade i[A].Um elemento qualquer produz no centro um campo magnético, figura 24. O campo magnético tema direção perpendicular ao plano determinado pelo círculo; o sentido dado pela regra da mão direitaou do saca-rolhas e pela Lei de BIOT-SAVART, a intensidade dada por:

∆H = i ∆ λ sen θ 4πr2

O ângulo θ entre ∆ e r é 90º (sem θ = 1); a soma dos pequenos elementos é igual a 2πr; a cada ∆corresponde um ∆H que, juntos têm sempre o mesmo sentido; no caso saindo do plano do papel.Então:

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H = i . 2 . π . r 4 . π . r2

∴ H = i [Aesp/m] 2r

2.8 - Intensidade do campo magnético de um solenóideSuponhamos um solenóide bastante longo, com as espiras bem próximas, percorrido por umacorrente de intensidade i [A].No interior deste solenóide, figura 25, a intensidade do campo magnético H é constante aplicando-se a Lei de Ampère, temos:

H = Ni λ

Onde:N: número de espiras λ : comprimento do solenóide [m]

2.9 - Ciclo de HistereseTomando-se uma barra ferromagnética isenta de qualquer imantação anterior (desmagnetizada) esubmetendo-a a uma força magnetizante H crescente até o valor máximo + Hmáx (figura 26),obtém-se a curva da 1ª imantação Oab saturada com o fluxo magnético + Bmáx.Diminuindo-se em seguida a força magnetizante H até zero, obtém-se a curva bc e a barra aindapermanece magnetizada; o segmento Oc representa a densidade de fluxo residual ou remanente Br.Para desimantar completamente a barra, deverá ser aplicada a força H negativa, até atingir o pontod. O segundo Od representa a força coercitiva Hc.


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Aumentando-se a força negativa até -Hmáx obtém-se a curva d, saturada com o fluxo magnético-Bmáx. Deste ponto, variando-se a força magnetizante H em sentido contrário, obtém-se a curvaefgb, simétrica da curva bcde, em relação à origem. Se a operação for repetida, o caminho seguidosuperpor-se-á sempre à curva fechada bcdefgb conhecido como ciclo de histerese.A área do ciclo de histerese representa a quantidade de calor desprendido.

2.10 - Curva de magnetização e curva de permeabilidadeAo se imantar gradualmente uma barra de ferro desimantada, submetendo-a ao campo de umsolenóide e aumentando a corrente de excitação a partir de zero, a densidade do fluxo B cresce,porém, não proporcionalmente ao campo H.Para valores crescentes de H, esta curva apresenta inicialmente um gradiente pequeno, a seguir temum andamento retilíneo e finalmente se curva para a direita prosseguindo com uma pequenainclinação; um grande aumento de força magnetizante será necessário para produzir pequenoacréscimo na indução.Diz-se que o material está saturado.

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A permeabilidade µ = B/H não é constante, e varia entre limites muito grandes. A curva depermeabilidade (figura 27) mostra-nos que µ cresce até um valor µ máx, cuja ordenada passa peloponto A, na qual uma reta partindo da origem tangencia a curva de saturação.O valor de permeabilidade na origem é chamada permeabilidade inicial.

Os ciclos de histerese se produzem nos seguintes casos particulares:1 - Quando a força magnetizante é devida a uma corrente alternada (como notransformador).2 - Pela produção de um campo rotatório, ficando fixo o núcleo de ferro, (como noestator do motor de indução).3 - Girando o núcleo de ferro em um campo magnético estacionário (como nosgeradores e motores de corrente contínua).

2.11 - Materiais ferromagnéticosNa construção dos núcleos de máquinas e equipamentos elétricos são muito empregados o ferrofundido, o aço fundido, lâminas de aço comum, chapas de aço e silício e ligas de ferro-níquel.O ferro fundido tem a permeabilidade baixa, e ciclo de histerese com grande área (figura 28 (a)).

O aço fundido tem permeabilidade muito maior, e menor área de ciclo de histerese. Substitui o ferrofundido quando se necessita de permeabilidade elevada, ou quando a seção do núcleo deve serreduzida (fig. 28(b)). As chapas de aço são usadas nas partes sujeitas a fluxo alternado. É necessárioempregar lâminas finas para reduzir as perdas devido às correntes de FOULCALT e apresentamciclos com pequenas áreas (figura 28 (c)). As laminas de aço são convenientes para emprego naspartes sujeitas a inversões rápidas de imantação como, por exemplo, o núcleo dos transformadores.


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2.12 - EletroimãsUm eletroímã é formado por bobina de fio condutor enrolado em espiras sobre um núcleo de ferrodoce, no qual se faz circular uma corrente, chamada corrente excitadora.O efeito do núcleo é aumentar o campo magnético em virtude de grande permeabilidade do ferro(B = µ H).A polaridade de um eletroímã se determina pelas regras dadas para obter a polaridade dossolenóides. Como o núcleo é geralmente de ferro doce, que retém muito pouco magnetismo depoisque a corrente é interrompida, a polaridade de um eletroímã pode ser facilmente invertida mediantea inversão da corrente excitadora.Os eletroímãs são empregados em larga escala, para todos os fins; campainhas, telefones, relês,válvulas solenóides, e acionamento de diversos sistemas.

2.13 - Força eletromagnéticaUm condutor percorrido por corrente elétrica e colocado num campo magnético fica submetido àação de uma força chamada eletromagnética, que tende a deslocar o condutor em certo sentido.(Figura 29).

a) Sentido do deslocamento da força eletromagnéticaNa figura 30 (a) temos dois pólos magnéticos, N e S, e entre eles coloca-se um fio, sendo percorridopor uma corrente elétrica.Na figura 30 (b) temos mostradas as linhas de força magnética entre os pólos N e S e as linhasproduzidas pelo condutor.Na figura 30 (c) temos mostradas as reações entre as linhas dos pólos N e S e as linhas do condutor;embora as linhas estão concentradas e acima as linhas estão em menor quantidade, fazendo com queapareça uma força de baixo para cima.

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O sentido da força F podemos determinar facilmente, usando a regra da mão esquerda, (figura 31).

Posicionando os dedos polegar, indicador e médio em 90° entre si. Apontando o dedo indicador nomesmo sentido das linhas de força (N----S), o dedo médio do mesmo sentido da corrente, econsequentemente o dedo polegar aponta o sentido de deslocamento da força eletromagnética.

b) Ação do campo magnético sobre um condutor quando por este há passagem de corrente elétrica.A força eletromagnética F atuando no condutor é tanto maior quanto maiores forem a densidade dofluxo magnético, a corrente elétrica i e o comprimento do condutor λ dentro do campo.O seu valor ainda depende do ângulo 8 que o condutor forma com as linhas de força.Na figura 32 (a) temos a força atuando no condutor, fazendo um ângulo, quando o comprimentoativo do condutor é a parte imersa no campo magnético, dado pelo módulo:

F = B.i.λ sen θ

Na figura 32(b) temos a força quando o condutor está perpendicular às linhas de força, dadas pelomódulo:

F = B.i.λ

Na figura 32 ( c) temos o condutor paralelo às linhas de força, dado pelo módulo:F=0

OBSERVAÇÃO:Nestas condições a força F é representada perpendicularmente ao papel.


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Unidades:F : Força, unidade: Newton [N]B: Densidade do fluxo magnético, unidade: Tesla [T]i : Corrente elétrica, unidade: Ampère [A]λ : Comprimento, unidade: Metro [m]

c) Força entre dois condutores retilíneos paralelosCalculemos a força que exercem reciprocamente dois condutores retilíneos, paralelos, afastadospela distância r.Seja λ, o comprimento dos condutores, i1 e a corrente do condutor (1) i2 a do condutor (2).Calculemos a força que o condutor (1) exerce sobre o condutor (2). Figura 33.

O condutor (1) produz em todos os pontos do condutor (2) um campo magnético H, cujo sentido édado pela regra da mão direita e é provocado pela corrente que atravessa o condutor (1).

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Módulo:H = i1 [A/M]

2πr

Sabemos que B = µ . H = µ o µ s H

Substituindo B e H em F2 = i2 . Bi . , resulta:

F2 = µ o µ s i1 i22 π r

= 4 π µ s i1.i2 x10-7 (µ o = 4πx10-7) 2πr

= 2µ s.i1.i2λ x10-7

rConsiderando µ s ≅ 1, conclui-se:

F2 = 2i1 . i2λ x 10-7 [N] r

Esta fórmula é tomada como base para definição do ampère.Direção: perpendicular ao plano determinado por H e o condutor. Portanto, está no plano da figuraSentido: do condutor (2) para o condutor (1 ) (verificar pela regra da mão esquerda).

Visto que as correntes criaram à sua volta campos magnéticos, compreende-se que dois condutorespercorridos pela corrente devem exercer entre si ações atrativas ou repulsivas.Com efeito a experiência mostra que:

- Duas correntes de sentidos diferentes se repelem. (Figura 34 (a)).- Duas correntes de mesmo sentido se atraem. (Figura 34 (b)).


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3-INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

3.1 - fenômeno da indução eletromagnéticaa) Experiência da Lei de FARADAYTem-se um solenóide ligado a um galvanômetro. Aproximado-se um ímã, ora num sentido, oranoutro, vê-se que o galvanômetro deslocará seu ponteiro da mesma forma, sendo que se aumentar avelocidade deste movimento a força eletromotriz induzida aumentará de valor.Quando o ímã pára de se mover a corrente cessa (Figura 35).

A força eletromotriz que surge em um circuito por causa da variação do fluxo magnético do ímãconcatenado com ele é denominada "força eletromotriz induzida".O fenômeno em questão é denominado "indução eletromagnética", e a corrente que circula nocircuito é chamada "corrente induzida". Em suma:Enquanto variar o fluxo magnético concatenado com um circuito, este é sede de uma forçaeletromotriz induzida.O sentido da f.e.m. induzida obedece à Lei de Lenz, que diz que os efeitos da força eletromotrizinduzida contrariam as causas que a originam.

A figura 36 representa o sentido da força eletromotriz induzida pelo movimento de aproximação eafastamento do ímã em relação a bobina.

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Quando aproximar o pólo N do ímã, o fluxo magnético que atravessa a bobina aumenta. Neste caso,na bobina é induzida a força eletromotriz que gera o fluxo no sentido contrário ao fluxo do ímã(Figura 37(a)).E, quando afastar o pólo N do ímã, o fluxo magnético que atravessa a bobina diminui. Neste caso,na bobina é induzida a força eletromotriz que gera o fluxo no mesmo sentido do fluxo do ímã(Figura 37(b)).

b) Regra da mão direitaO sentido da f.e.m. induzida pode ser determinado pela regra da mão direita. Colocando-se os dedospolegar, indicador e médio perpendiculares entre si, eles indicarão os sentidos do deslocamento docondutor, fluxo magnético e f.e.m. induzida respectivamente, figura 38(a).

No caso da figura 38(b), onde há deslocamento da peça polar, o condutor f«o corta o fluxo da peçapolar no sentido contrário ao deslocamento da peça.Aplicando a regra da mão direita, temos o dedo polegar orientado para o sentido de corte do fluxomagnético, o dedo indicador no sentido do fluxo e o médio no da f.e.m. induzida


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3.2 - Lei de FARADAYSempre que houver variação do fluxo magnético concatenado com um circuito elétrico seráinduzida neste uma f.e.m. que estará presente por todo o intervalo de tempo em que se verificar avariação do fluxo. Esta f.e.m. é determinada pela variação do fluxo magnético na unidade de tempo:

e = K ∆ θ ∆t

Onde:∆ θ : variação do fluxo magnético [wb]∆ t : tempo [s]e : f.e.m. induzida [V]K : constante

No sistema mks quando houver a variação do fluxo magnético de 1 [wb]/1 [s] na bobina de umaespira, gera-se uma f.e.m. induzida de 1 [V], então a constante K será igual a 1.Logo:

e = ∆ θ ∆ t

Para N espirase = N ∆ θ ∆ t

A f.e.m. induzida num condutor retilíneo de comprimento unitário e, que se desloca com velocidadeconstante v, em direção normal ao campo uniforme, de densidade de fluxo magnético B (figura 39)é definida pela regra da mão direita.

O fluxo magnético concatenado com o circuito sofre, num intervalo de tempo ∆ t uma variação ∆ θ,medida pelo produto da densidade do fluxo B e a área abb'a' ∆s = λ.∆ x, isto é:

∆ θ = B . λ . ∆x

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Da Lei de FARADAY,e = ∆ θ

∆ tSubstituindo ∆ θ, temos:

e = B. λ . ∆x sabemos que v = ∆ x ∆ t ∆ t

Logo:e = B . λ . v

Considerando o condutor da figura (40) que se desloca com velocidade constante v,numa direção que forma com o fluxo do campo magnético um ângulo θ . O efeito davariação do fluxo produzido por tal deslocamento é equivalente ao que se obteria deslocando 0

condutor com a velocidade v' = v sen θ .

Neste caso:e = B.λ.v'

v' = v.senθ Logo:

e = B.λ.v.senθA f.e.m. induzida será máxima quando o condutor se movimentar perpendicularmente ao fluxomagnético, figura 40 (b).

4 - AUTO-INDUTÂNCIAJá estudamos que quando há variação do fluxo magnético induz-se uma f.e.m. em um solenóide.Variando-se a corrente i, variará também o fluxo e consequentemente surge uma f.e.m. induzida nomesmo circuito; este fenômeno chama-se Auto-indução, figura 41.Pela Lei de FARADAY, o sentido da f.e.m. induzida faz oposição a variação da corrente.Aumentando a corrente, induz-se uma f.e.m. no sentido oposto a ela.Diminuindo a corrente, induz-se uma f.e.m. no mesmo sentido.


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Em um espaço de tempo ∆ t temos a variação da corrente ∆ i correspondente a n variação do fluxo∆ θ, que é dado por:

N∆θ = λ ∆i

Onde N é o número de espiras.

A relação entre a variação do fluxo ∆θ e a variação da corrente ∆ i em um solenóide, é dado pelocoeficiente L, chamado de auto indutância, ou genericamente, indutânciaSabemos que:

e = N ∆θ, logo: e = L ∆ i, transformando-se temos: ∆ t ∆ t

L = e . ∆i/∆t

Sendo:L : indutância, [H] (lê-se Henry)e : tensão induzida através da bobina [v]∆ i/∆ t: taxa de variação da corrente [A/s]

1 Henry é a quantidade de indutância que permite uma indução de 1 volt quando a corrente varia narazão de um ampère por segundo.

5-INDUTORESIndutor é um componente que possui auto-indutância, geralmente é constituído de fio condutorenrolado sobre material ferromagnético.O indutor é aplicado em Eletricidade e Eletrônica em forma de bobinas usadas em transformadores,circuitos de sintonias, geradores, motores, etc. (figura 42). Da mesma forma que temos capacitorese resistores, não existem indutores de todos os valores, deste modo, teremos que associá-los demaneira adequada para termos valores desejados.

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5.1 - Associação de Indutores em sérieSeja uma associação de três indutores (figura 43).

Aplicando-se a tensão V, ela se dividirá nas tensões parciais V1 , V2 e V3 de tal forma que:

V=V1 +V2+V3

Sabendo-se que a tensão nos extremos de um induta é dada por V = L ∆ i, e que ∆ i ∆ t ∆ t

neste caso é a mesma em todos os indutores, pode-se escrever:

L ∆i/∆t = L1 ∆i/∆t + L2 ∆i/∆t + L3 ∆i/∆t

Dividindo-se ambos os membros por ∆ i/ ∆ t, vem:L=L1+L2+L3[H],

Onde:L : indutância da associaçãoL1, L2 e L3 : indutâncias parciais

Conclusão: A associação de indutores em série pode ser calculada da mesma forma que associaçãode resistores em série, já visto anteriormente.


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5.2 - Associação de Indutores em paralelo

Todas as condições feitas para associação em série são válidas para associação em paralelo. Figura44.

Pode-se escrever:∆ i = ∆ i1 + ∆ i2 + ∆ i3, mas sabe-se que:

V = L ∆ I , portanto ∆ tV.∆ t = L ∆ i ∴ ∆ i = V∆ t L

Podemos então dividir ambos os membros por V ∆ t, logo:

1 = 1 + 1 + 1 . L L1 L2 L3

L = 1 . 1 + 1 + 1 . L1 L2 L3

Se a associação for apenas de dois indutores, pode-se usar a fórmula que é mais simplificada.

L = L1 . L2 [H] L1 + L2

Conclusão:

A associação de indutores em paralelo pode ser calculada da mesma forma que a associação deresistores em paralelo, já visto anteriormente.

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6 - INDUTÂNCIA MÚTUAQuando a corrente numa bobina varia, esse fluxo variável pode interceptar outra bobina localizadana vizinhança, induzindo assim, tensão em ambos.Quando uma corrente variável atravessa a bobina primária P, gera-se uma f.e.m. induzida e2 nabobina secundária S e entre as duas bobinas surgirá a indutância mútua M.

Sabemos que a corrente i1ü na bobina P, varia ∆ i1, em um tempo ∆ t, também variará o fluxo ∆θm.

e2 = N2 ∆ θ m ∆ t

Temos:N2 ∆ θ m = M ∆ i1

Substituindo em e2,e2 = M ∆ i1, logo: M = e2 .

∆ t ∆ i1 ∆ t

M : indutância mútua [H]i1 : corrente na bobina P [A]θ m : fluxo através da bobina S, [wb]e2 : tensão induzida na bobina S, [V]

M depende do número de espiras, disposição, forma e permeabilidade do núcleo das bobinas P e S,e independe de intercambialidade entre as bobinas, pois o valor de M é próprio entre elas.Em um circuito acoplado magneticamente, existe uma relação de acoplamento magnético, dada pork, denominado coeficiente de acoplamento, e a indutância mútua será dada por M = k √L1 . L2, ondek < 1.


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6.1 - Ligação em série de bobinas que possuem Indutância mútuaa) Ligação em série aditiva

Quando uma corrente variável circula pela associação série aditiva de duas bobinas P e S, surgiráum fluxo magnético θ1, na bobina P que induzirá na bobina S um fluxo concatenado θ 'm. Por suavez, a bobina S produzirá um fluxo magnético θ2, que também induzirá um fluxo concatenado θ mna bobina P. A bobina P tem um número de espiras dado por N1 e auto-indutância L1 eanalogamente a bobina S com N2 e L2.

Sendo que na bobina P existirá um fluxo resultante θ1 + θm e na bobina S, um fluxo resultante θ2+ θm.Considerando-se as indutâncias virtuais de cada bobina, Lp e Ls, a indutância total do circuito seráLT = Lp + Ls.

Lp = N1 ( ∆ θ 1 + ∆ θ m) ∴ Lp = N1 ∆ θ 1 + N1 ∆ θ m ∆i ∆i ∆i

Sabemos que:L1 = N1∆ θ 1 eM = N1 ∆ θ m , logo substituindo em Lp.

∆i ∆i

Lp = L1 + M

A indutância virtual na bobina S será:Ls = N2 (∆ θ 2 + ∆ θ m) ∴ Ls = N2 ∆ θ 2 + N2 ∆ θ 'm

∆i ∆ i ∆iLogo:

Ls = L2+MOnde:

LT = Lp+Ls

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= L1+M+L2+M∴ LT=L1+L2+2M

b) Ligação em série substrativaQuando uma corrente variável circula pela associação série subtrativa de duas bobinas P e S, surgiráum fluxo magnético ∅ 1, na bobina P, que induzirá na bobina S um fluxo concatenado.Por sua vez, a bobina S produzirá um fluxo concatenado ∅ m na bobina P de sentido contrário de ∅ 1.A bobina P tem um número de espiras dado por N1 e auto indutância L1, e analogamente a bobina Scom N2 e L2.

Na bobina P existirá um fluxo resultante ∅ 1 - ∅ m e na bobina S um fluxo resultante ∅ 2 - ∅ m.A indutância virtual no caso das bobinas conectadas em série substrativa será:

Lp= N1 (∆∅ 1 - ∆∅ m) ∴ Lp= N1 ∆∅ 1 - N1 ∆∅ m ∆i ∆i ∆i

Onde:

Lp=L1-M

Ls= N1 (∆∅ 2 - ∆∅ m) ∴ Lp= N2 ∆∅ 2 - N2 ∆∅ m ∆i ∆i ∆i

Onde:

Ls=L2-M

Logo:

LT = LP + L.s =L1-M+L2-M∴ LT=L1+L2-2M


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ELETROSTÁTICA

1 - ELETRICIDADE ESTÁTICA

1.1 - Eletricidade por fricçãoQuando duas substâncias não condutoras (isoladoras) são friccionadas uma contra a outra, umaeletricidade é gerada. Neste tempo um será positivo e outro será negativo, ocasionado pelaeletricidade gerada nas substâncias.Entretanto, a eletricidade positiva ou negativa é determinada pelo tipo de substância.

Por exemplo:Quando dois tipos de substâncias são friccionados, os de ordem menor são carregadospositivamente e os de ordem maior são carregados negativamente.(1) Pelo (2) Mica (3) Vidro (4) Papel (5) Madeira (6) Metal (7) Ácido Sulfúrico (8) Ebonite.

Quando a diferença na ordem é grande, a quantidade de carga se toma bem maior e a eletricidadeproduzida por este caminho é chamada de eletricidade por fricção. A ordem de carregamento emrelação à carga de eletricidade estática acima, é chamada de série de eletricidade de fricção.

1.2 - Indução eletrostática

Na figura 1, quando A, um metal e uma substância B, carregado positivamente, se aproximam umaeletricidade negativa aparece em A, na superfície do lado esquerdo, próximo ao corpo carregado Be a eletricidade positiva aparece na superfície do lado oposto. Concluímos que, aproximando umcorpo carregado a um outro corpo neutro, uma eletricidade pode ser induzida neste corpo.

A eletricidade produzida no corpo A é diferente da eletricidade do corpo carregado B, próximo aele.Quando o corpo B é deslocado, distanciando-se do corpo A, o corpo A retorna ao seu originalestado neutro. Este fenômeno é chamado de indução eletrostática.

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1.3 - Lei de COULOMBQuando duas esferas de vidro são friccionadas com um pedaço de seda, as esferas repelem-se uma aoutra e atraem o pedaço de seda. As esferas de vidro são carregadas positivamente e o pedaço daseda é carregado negativamente. Temos visto que cargas do mesmo tipo são repulsivas e cargas detipos diferentes são atrativas.A atração e repulsão de forças geradas entre cargas foram determinadas pelo físico FrancêsCOULOMB em 1785. A experiência de COULOMB está demostrada pelo dispositivo da figura2(a).

Ele mediu a força elétrica gerada entre dois corpos carregados positivamente. O corpo A ao seaproximar do corpo B, ocorre um deslocamento. Desta observação enunciou a Lei que tem o seunome.A figura 2(b) mostra a direção da forma gerada entre dois corpos carregados na mesma reta suporte,e a distância entre os diais é diretamente proporcional ao produto da quantidade de cargas einversamente proporcional ao quadrado das distâncias entre elas.Esta relação é chamada de Lei de COULOMB. Nominalmente se duas cargas pontuais, chamadasde Q1 [C] e Q2 [C] separadas uma da outra por r (m); a força gerada entre elas será expressa por:

F = K Q1.Q2 [N] (1) r2

Onde K é a constante de proporcionalidade. No vácuo: K = 1 ≅ 9x109 (2) 4πξo

ξo (EPSLON zero) é chamada de permeabilidade no vácuo (8,555 x 10-12[F/m])Substituindo (1) em (2):

F = Q1Q2 = 9x109 Q1Q2 (N) (3) 4πξo r2 r2

Agora, se duas cargas pontuais são colocadas no vácuo a uma distância de 1m, a força gerada entreelas será: 9 x 109 N.A equação (3) é válida apenas no vácuo. Mesmo se a carga é da mesma natureza e colocada namesma distância, a força gerada entre elas será diferente em função do tipo de meio.


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Se entre os corpos carregados existe um isolador (também chamado dielétrico), a equação (3) será:

F = Q1 Q2 = 9 x 109 Q1 Q2 (N)4πξoξsr2 ξs r2

A força é 1/ξs menor do que no vácuo.O "ξs" é chamado de rigidez dielétrico específico do material e difere para cada tipo de material. Atabela 1, mostra a rigidez dielétrica de vários materiais.ξ = ξo ξs, é chamado constante dielétrico do material.

Se a constante dielétrica é usada, a Lei de COULOMB é expressa pela equação (5) na qual ésubstituímos ξo ξs por ξ.

F = Q1 Q2 = Q1 Q2 (5) 4πξoξsr2 4π ξ r2

Exercício 1:

Duas pequenas bolas metálicas são colocadas no vácuo, a uma distância de 10 cm entre os centrosdas bolas. As cargas destas bolas são: 1,7 x 10-9 [C] e -3,3 x 10-9.[C] Qual é a força gerada entre asbolas?

Solução:De acordo com a equação (3) temos:

F = 9x109 Q1Q2 = 9x109 1,7x10-9x(3,3)x10-9 = 5x10-6 [N] r2 (0,1)2

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Logo:A força de atração é de 5 x 10-5 [N].

1.4 - Campo elétricoNo parágrafo 3, estudamos que a força é gerada entre dois corpos carregados.Quando um corpo carregado (figura 3) é substituído, uma força elétrica é gerada em : corpo.O espaço ocupado por esta força elétrica é chamado campo elétrico. Quando a q deste corpo é fixa,este campo elétrico é chamado de campo eletrostático.

Quando a unidade de carga positiva +1 [C] está sob ação de uma carga pontual em um campoelétrico, a quantidade da força atuando sobre a unidade de carga de intensidade de campo elétrico ea direção da força sobre ela é definida como direção do campo elétrico neste ponto.Geralmente, a intensidade do campo elétrico é expressa pelo símbolo E e a direção por uma seta.Na figura 4, quando uma carga atual de +1 [C] colocada no pomo P a uma distância r[m] da cargade +Q[C] a imensidade do campo elétrico no vácuo, pode ser obtida calculando a força que atua soba carga:

E = Q x 1 = 9X109 Q [V/M] (6) 4πξo r2 r2

A imensidade do campo é definido pela unidade N/C, mas atualmente usa-se a unidade V/m.


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A figura 5, mostra o campo elétrico E resultante de duas cargas +Q1 e +Q2 em um ponto em Parbitrário.Aqui deve-se notar que E1 e E2 são vetores quantitativos, e a intensidade do campo E, pode serobtida como vetor resultante.O campo elétrico de mais de duas cargas também pode ser obtido da mesma maneira.

Exercício 2:Existem duas cargas de +Q [C] e -Q [C] nos pontos A e B a uma distância de R [m] no vácuo.Calcule intensidade de campo no ponto P a uma distância de r [m) de A e B, sendo R > r.

Solução:O campo elétrico gerado por +Q [C] no ponto P é determinado por EA, e por -Q [C] é determinadopor EB:

EA = Q [V/m] 4πξo r2

EB = Q [V/m] 4πξo (R-r)2

Entretanto, o campo elétrico resultante E no ponto P é expresso da seguinte forma:

E = EA- EB = = Q [1/r2 + 1/(R- r2 ) [V/m] 4πξo

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1.5 - Linha de força elétricaNa figura 7, mostra-se a distribuição de linhas de força quando existem uma ou várias cargaselétricas. As linhas de força elétricas tem as seguintes propriedades:

a) A direção é tangente, desenhada a partir de um ponto arbitrário da linha indicando aintensidade de campo deste ponto.b) As linhas de forças elétricas se tornam positivas quando saem e negativas quando entramnum corpo.

c) A densidade das linhas de força elétrica em um ponto qualquer é indicada pelaintensidade de campo neste pontod) A linha de força elétrica tem percurso elástico.e) Duas linhas de força elétrica nunca se cruzam. f) A linha de força elétrica nunca forma uma curva fechada. g) A linha de força elétrica vai do maior para o menor potencial. h) A linha de força elétrica penetra e sai verticalmente contra a superfície condutor.

1.6 - RaioEm 1752, FRANKLIN provou experimentalmente com uma "pipa" que o raio era uma descargaelétrica ocasionado pelo atrito de nuvens com ar, se carregando eletricamente e descarregandoviolentamente (figura 8). Analisando a figura 8, temos no caso cargas positivas localizadas na partesuperior e as cargas negativas na parte inferior da nuvem. Quando estas nuvens se aproximam dasuperfície da terra, por indução eletrostática, cargas contrárias são introduzidas da nuvem para aterra e se esta quantidade de cargas (negativas e positivas) forem de grande quantidade, haveráquebra de isolamento do ar e finalmente ocorrerá a descarga elétrica entre a nuvem e a terra. Estefenômeno não ocorre somente entre a nuvem e a terra mas também entre as nuvens. O trajeto dadescarga geralmente é de 1 a 5 km, e a tensão é estimada de 0,2 a 1 [MV]. Concluindo que um raioé um fenômeno natural gerado do resultado de um tipo de indução eletrostática de grande escala.


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1.7 - Detetor de tensão (eletroscópio)O detetor de tensão é um simples dispositivo usado para checar a existência de tensão ou determinarse as cargas são positivas ou negativas.

A figura 9 mostra a estrutura de um eletroscópio de lâminas. Um tarugo metálico é inserido numagarrafa de vidro. Duas lâminas A e B, retangulares, são fixadas no tarugo de tal forma que fiquemopostas entre si. Um disco metálico é conectado na parte superior do tarugo, externamente.

Vemos na figura 10(a), quando um corpo carregado negativamente é aproximado ao disco metálico,cargas positivas são geradas nas lâminas por indução eletrostática. Então, entre as lâminas A e Bhaverá repulsão e as lâminas se afastarão. Quando o disco é tocado com os dedos , figura 10(b), acarga negativa gerada nas lâminas fluirá para a terra através do corpo humano e as lâminas sefecharão. Nessa situação, as cargas negativas do corpo carregado são removidas, as cargas positivassão limitadas na superfície do disco, liberadas e transmitidas para as lâminas e estas se abrem(figura 10(c)).Um corpo carregado pode ser detectado, aproximando um disco metálico do eletroscópio. Se ocorpo carregado tem cargas positivas, as lâminas abrirão totalmente (figura 10(d)). Se o corpocarregado tem cargas negativas as lâminas fecharão (figura 10(e)).

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1.8 - Polarização de dielétricoComo sabemos, os átomos que formam o dielétrico são eletricamente neutros, entretanto ocomportamento destes átomos varia quando submetido a uma ação elétrica externa.

Na figura 11, quando um átomo é colocado em um campo elétrico, os elétrons destes átomosmovem na direção oposta, e o núcleo se move na mesma direção do campo (isto é chamado dedeslocamento). O átomo polarizado figura 11 (c) é chamado de dipolo elétrico.Quando o dielétrico ë colocado em um campo elétrico, todas as cargas positivas que formam odielétrico se deslocam na direção deste campo e as cargas negativas se deslocam em oposição a essemesmo campo. Resultado: o dielétrico é polarizado negativamente em ambas as superfícies.

1.9 - Potencial e Diferencial de Potência


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Na figura 13, um corpo de peso W, parado, suspenso por um fio, está a uma distância h do solo, e aação da gravidade atua sobre ele. Entretanto, para mantê-lo em equilíbrio temos que ter a força Fequivalente ao seu peso W.

Neste caso, se a massa desse corpo é M e a aceleração da gravidade é g(9,8 m/s2) o corpo W éconsiderado como tendo energia potencial de mgh. Da mesma forma uma energia elétrica potencialpode ser considerada em um campo eletrostático.

Na figura 14, a esfera do raio R, com uma carga de +Q[C] é focada no vácuo. A intensidade docampo Ep no ponto P de carga +1 [C] é expresso do seguinte modo:

Quando a distância R é modificada, o potencial também se altera, figura 15.

________________________________________________________________________________________________CST


Se a diferença de potencial assumir os valores VRr' temos:

VRr = VR - Vr = Q (1/R - 1/r) [V] 4πξo

O potencial da esfera carregada de +Q[C] tem sido considerado como acima No caso de um corpocarregado de -Q[C], o sinal negativo é dado para o potencial obtido. Quando cargas de +Q[C] e -Q[C] estão em placas paralelas A e B, colocadas a uma distância d[m] (figura 16), um campoelétrico E[V/m] é gerado entre estas placas.

A diferença de potencial entre A e B é igual a quando as cargas são unitárias de +1 [C].Se as cargas estiverem distantes d[m] da superfície das placas, elas estarão submetidas a uma forçaE[N] e o trabalho será de E.d. Entretanto, se a diferença de potencial é V[V]:

V = E.d. ∴ E = V [V/m] d

Esta equação indica a força do campo E, expressa pela unidade de [V/m].Usa-se a unidade [V/m] para indicar a intensidade do campo baseada nesta relação`

1.10 . Superfície equipotencialA união de todos os pontos de igual potencial em campo elétrico forma uma superfície chamadaequipotente (figura 7) A superfície equipotencial tem as seguintes propriedades.

1 - Duas superfícies com diferentes potenciais nunca se atravessam.2 - Uma linha de força elétrica cruza retangularmente com uma superfícieequipotencial.3 - A intensidade do campo será tão mais forte, quanto a distância entre assuperfícies equipotenciais for menor.4 - A superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.5 - O potencial da terra é considerado superfície equipotencial valor zero.


83

Exercício 3:Calcular o potencial na superfície de uma esfera de 5 cm de raio quando nela é aplicada a carga de 5x 10-9 [C], no vácuo.Solução:De acordo com a expressão:

V = Q = 9X109 Q = 9X109 5X10-9 = 9X102 [V] 4πξo r r 5x10-2

O potencial em um ponto, criado por diversos corpos carregados, pode ser obtido por adição dospotenciais em cada corpo. O potencial não tem direção (é chamado de potencial e não é um vetor).O cálculo é simplesmente uma soma algébrica.Na figura 18 se temos os potenciais no ponto P, V1, V2 e V3 criados pelas cargas Q1 [C], Q2[C] eQ3[C], o potencial V neste ponto se expressará como:

________________________________________________________________________________________________CST


1.11 - Blindagem eletrostática

Quando o condutor A carregado positivamente é colocado na cavidade vazada do condutor C,figura 19(a), cargas aparecem na superfície de C, de acordo com a indução eletrostática. Entretanto,o condutor B colocado fora de C é submetido à indução eletrostática causada pela carga dasuperfície externa de C. Se o condutor C é conectado para a terra, figura 19(b), as cargas positivasna superfície externa de C se transmitem através do fio e fluem para a terra; o potencial se tomazero, se igualado ao potencial da terra, e desaparece a indução eletrostática atuando sobre ocondutor B.Concluindo, fazendo que os condutores A e B não fiquem relacionados eletrostaticamente temos oque chamamos de uma blindagem.

2 - CAPACIDADE ELETROSTÁTICA


85

Uma esfera condutora ou duas placas condutoras colocadas em paralelo tem a propriedade dearmazenar cargas elétricas. A quantidade de cargas armazenadas será diferente dependendo dasdimensões ou formasdos condutores.A capacidade eletrostática é definida como propriedade do condutor em armazenar cargas elétricas.Quando um condutor é independente, o potencial poderá ser V[V] resultando da aplicação da carga+Q[C]. Para este condutor existe uma relação proporcional entre a carga Q[C] e o potencial V[V]que é expresso no seguinte:

Q = C V [C] ∴ C = Q [F] V

A constante C, é chamada de capacidade eletrostática do condutor e expressa pela unidadeFARAD(F). Se um condutor armazena a carga de 1 [C], quando 1 [V] é aplicado, a capacidadeeletrostática deste condutor é 1[F].Praticamente 1 [F] é bastante grande e os submúltiplos MICROFARAD [µF] e pico FARAD [pF]são usados:

1 [ µ F] = 10-6 [F]

1 [pF]= 10-6 [µF]=10-12F

Na figura 20 vamos considerar a capacidade eletrostática de um condutor esférico de raio R[m],colocado no vácuo. Se a carga de +Q[C] é aplicada neste condutor o potencial na superfície docondutor é expresso deacordo com a equação:

V= Q [V] 4 π ξoR

A capacidade eletrostática C é expressa de acordo com a equação:

C= Q = 4πξoR= 1 R[F] V 9x109

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Na figura 21, se dois condutores de áreas S[m2] estão em paralelo a uma distância de d[m] opostosno ar, e cargas de +Q[C] são aplicadas nestas placas A e B, a intensidade do campo E[V/m] entreessas placas é calculada da seguinte forma:

A diferença de potencial V[V] entre estes eletrodos é calculada da seguinte forma:V=E.d[V]

Entretanto,V= Q.d ξoS

De acordo com a equação:C = ξoS [F] d

Na figura 22, quando um dielétrico (isolador) cuja capacidade especifica ξS é inserida entre asplacas dos eletrodos, a capacidade eletrostática será:

C = ξ S ξo S [F] = ξ S [F] d d

Exercício:


87

Calcular a quantidade de cargas armazenadas quando 200V são aplicados em dois eletrodos planoscom a capacidade eletrostática de 0,02 [ µF].Solução:

Q=0,02x10-6x200=4x10-6 [C]

3 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORESO componente fabricado para se obter capacidade eletrostática é nado capacitores significa ligá-losentre si de maneira conveniente.Os capacitores podem ser associados em série, paralelo ou misto.

3.1-Associação em paraleloA conexão de capacitores com capacidades de C1, C2 e C3 [F], mostradas na figura 23 é chamada deassociação em paralelo. Desde que as tensões aplicados em cada capacitor são as mesmas, asquantidades de cargas armazenadas em cada capacitor será expressa:

A quantidade total O, vinda da fonte de alimentação é expressa por:

Q = Q1+Q2+Q3 = C1V+C2V+C3VQ = V(C1 +C2+C3)Se C1 +C2+C3=CC= Q . V

C é o equivalente da associação em paralelo. Geralmente a associação C de n capacitores é: C= C1+C2+C3... Cn

OBSERVAÇÃO:Numa associação em paralelo, a carga total (QT) é a soma das cargas parciais. A tensão noscircuitos paralelos é constante.Para acharmos o valor da capacidade total de um circuito onde os valores dos capacitores sãoiguais, usamos a fórmula:

CT = C.nOnde:

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C = Capacidade do capacitorn = número de capacitores da associação

Exercícios1 - Calcular a capacidade, a carga total e as capacidades parciais da associação abaixo. (Figura 24),sabendo-se que a tensão é 5V.

Solução:C1= Q1 = 10x10-8 = 2x10-6 ∴ C1 = 2[µF]

V 5

C2= Q2 = 15x10-6 = 3x10-6 ∴ C2 = 3[µF]V 5

C3= Q3 = 25x10-6 = 5x10-6 ∴ C3 = 5[µF]V 5

QT = Q1+Q2+Q3 = 10X10-6 + 15X10-6 + 25X10-6 = 50X10-6 ∴

QT = 50X10-6 [C]

CT = QT = 50x10-6 = 10x10-6 ∴ CT = 10[µ F]V 5

2 - Determinar a capacidade e a carga total de uma associação em paralelo de 4 capacitorescapacidade 0,75 [µ F] cada um; e sendo a carga armazenada, por cada um, igual a 0,25 [C].Solução:

CT = C.n = 0,75x4 = 5[ µ F]

QT = Q.n = 0,25x4 = 1 [C]


89

3 - Qual é o capacitor equivalente obtido , quando são ,associados 3 capacitores de . C1 = 4 [µ F], C2= 3 [µ F] e C3 = 2 [µ F], em paralelo?

Soluções:

C1+C2+C3=4+ 3+2=9 [µ F] ∴ C = 9[µ F]

NOTA: A fórmula utilizada para resolver associações em paralelo de capacitores é a mesmautilizada para associação série de resistores, ou seja, a soma é feita diretamente.As cargas Q1, Q2 e Q3 são as cargas armazenadas nos capacitores. A carga total Q é obtida pelasoma das cargas parciais.

Q=Q1+Q2+Q3

A tensão é a mesma em todos os capacitores, ou seja; a tensão V [V] em um circuito paralelo éconstante.

3.2 - Associação em sérieA conexão de capacitores mostrada. figura 25 é chamada de associação em série.

Quando a tensão V [V] é aplicada nos terminais a b, a tensão em cada capacitor serão e V1[V],V2[V] e V3[V].

V = V1 + V2 + V3 [V], logo

V1 = Q1 [V], V2 = Q2 [V], V3 = Q3 [V] C1 C2 C3

________________________________________________________________________________________________CST


entretanto,

V = Q1 + Q2 + Q3 C1 C2 C3

Quando os capacitores são conectados em série, com a tensão V[V] aplicada nos terminais a e b, amesma carga Q[C] é armazenada em todos os capacitores, de acordo com a indução eletrostáticaEntretanto se:

Q1 = Q2 = Q3 = Q

V= Q + Q + Q = (Q . 1 + 1 + 1 ) C1 C2 C3 C1 C2 C3

Logo, a capacidade eletrostática em série será:

C = Q = 1 . V 1/C1 + 1/C2 + 1/C3

Para capacitores iguais teremos:

CT = C n

C = valor do capacitorn = número de capacitores da associação

Conclusão:A capacidade total é sempre menor do que a menor capacidade parcial; a associação série éutilizada quando se deseja menor capacidade.

Chamamos de C1, C2 e C3 de capacitores parciais de cada capacitor, temos que calcular acapacidade total (CT) ou equivalente. (Figura 26).


91

A fórmula usada para calcular CT de uma associação série é a fórmula dos inversores, ou seja:

1 = 1 + 1 + 1 +...CT C1 C2 C3

NOTA: A fórmula utilizada para resolver associações série de capacitores é a mesma utilizada paraparalela de resistores, ou seja, a fórmula dos inversores.

Obtido o resultado da soma de frações, inverter as frações e depois dividir para obter a capacidadetotal.

A carga armazenada é a mesma para todos os capacitores, ou seja: a carga (Q) em um circuito sérieé constante.

A tensão V1, V2 e V3 são as tensões aplicadas nos extremos de cada capacitor. Obtemos a tensãototal aplicada pela soma das tensões parciais.

VT=V1 +V2+V3+...

Para associação de dois capacitores pode-se utilizar a fórmula:

CT = C1 . C2 C1 + C2

Exercícios 1 - Para associação abaixo, (figura 27), calcular as tensões parciais, a tensão total e acapacidade total.

Solução:Para calcular as tensões parciais podemos usar a fórmula V = Q .

CV1 = Q = 24 = 8 ∴ V1 = 8 [V]

_________________________________________________________92

C1 3

V2 = Q = 24 = 6 ∴ V1 = 6 [V] C2 4

V3 = Q = 24 = 2 ∴ V1 = 2 [V] C3 12

CT = Q = Q = 24X10-6 = 1,5X10-6 ∴ CT = 1,5 [µ F] VT V1+V2+V3 8+6+2

Ou, aplicando a fórmula das inversões para calcular CT, teremos:

CT = 1 . 1 + 1 + 1 C1 C2 C3

CT = 1 . 1 + 1 + 1 . 3 4 12

CT = 1 . 4 + 3 + 1 . 12

CT = 1 . 8 . 12

CT = 12 . ∴ CT = 1,5 [µF] 8 .

CT = 1,5 ∴ CT = 1,5 [µF]

2 - Calcular a capacidade equivalente para a associação série abaixo. (Figura 28)

Usamos a seguinte fórmula, já antes aprendida:CT = C1 . C2

C1 = 8 [pF]C2 = 12 [pF]C3 = ?

_______________________________________CST

Companhia Siderúrgica de Tubarão


93

C1 + C2

CT = 8 . 12 8 + 12

CT = 96 . 20 .

CT = 4,8 ∴ CT = 4,8 [pF]

3 - Tem-se 20 capacitores, associados em série, de capacidade igual, submetidos cada um à tensãode 2[V]; pede-se calcular tensão total e a capacidade da associação.

C = 3 [pF]

E = 2[V]

n = 20

CT = C . = 3 = 0,15 [pF] n . 20

E = E . n = 2 x 20 = 40[V]

3.3 - Associação MistaNa associação mista, o resultado são combinações dos obtidos com as ligações estudadas. (Figura29).

ExercícioDeterminar a capacidade e a carga equivalente do circuito e a tensão entre as placas do capacitor de15[µF] (figura 30).

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Solução:

Cs = capacitância em série

Cs = 10 . = 5 2 .

Cs = capacitância em paralelo

Cs = 5 + 15 = 20

CT = Cs . Cp = 5 . 20 = 4 ∴ CT = 4[µF] Cs + Cp 5 + 20

Q = CT . V = 4 x 10-6 x 100 = 4 x 10-4 ∴ Q = 4 x 10-4 [C]

A tensão no conjunto pelos dois capacitores de 10[µF] em série é:


95

VS = Q = 4 x 10-4 = 80 CS 5 x 10-6

A tensão entre as placas do capacitor de 15 [µF] é a tensão Vp no conjunto formado peloscapacitores de 5[µF] de 15 [µF] em paralelo é, portanto:

Vp = V - VS = 100-80 = 20 ∴ Vp = 20[V]

4 - CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITORNa figura abaixo, (figura 32) verificamos que existe um capacitor ligado em série com um gerador euma resistência, cujo circuito está interrompido por uma chave que conecta a bateria ao circuito; naoutra posição, a chave desconecta a bateria, deixando o capacitor e a resistência em série sem aparticipação da bateria. Quando passarmos a chave para a posição 1, verificaremos que em um curtoespaço de tempo circula através do circuito uma corrente grande, e quando as armaduras vão seeletrizando, o fluxo da corrente vai diminuindo.

A duração do impulso da corrente e o fluxo dela estão condicionados peta capacidade do capacitor,pela tensão do gerador e pela resistência R do circuito.Se tivermos um valor de corrente i instantâneo desde o gerador até o capacitor e considerarmos aqueda de tensão na resistência R, teremos o valor instantâneo da tensão aplicada ao capacitor:

Vc=E-R.i

________________________________________________________________________________________________CST


Onde:Vc = tensão instantânea aplicada ao capacitorE = tensão do geradori = corrente instantânea que passa pelo circuitoR = resistência do circuito

R . i queda de tensão em R

O símbolo delta ( ∆ ), em forma de triângulo, é utilizado para expressar uma idéia de variação.Durante um tempo ∆ t circula até o capacitor uma quantidade de eletricidade ∆ = i . ∆ t, de modoque a corrente é:

i= ∆Q ∆t

Como foi visto anteriormente:

Q=CV

Em um certo tempo ∆ t em que dura o fluxo da corrente, a carga do capacitor vai aumentando seuvalor da mesma forma, ou seja, de ∆ Q. Então teremos que ∆Q = C . ∆ Vc, onde ∆ Vc é o aumentode tensão no mesmo espaço de tempo. Dessa forma, podemos concluir que o valor instantâneo dacorrente de carga é:

i=C ∆VC ∆t

Substituindo-se os valores encontrados na fórmula escrita para achar VC, teremos:

Vc=E-R.C. ∆ VC ou ∆t

C . R . Vc = E - VC ou ainda: t

t = C.R VC derivada de tempo E- VCAtravés de cálculo, utilizando derivada e integral, chegou-se à seguinte fórmula para a carga de umcapacitor:

VC =E(1-e -t / ح

)Onde:


97

e = base dos logaritmos neperianos, que é = 2,7/8tempo necessário para a carga atingir 63,2% do seu valor máximo, conhecido = ح

como constante de tempo (ح = C . R ).

A figura 33, apresenta a variação de tensão durante a carga de um capacitor.

A corrente de carga é dada por:

i = E . e -t / ح

R

A figura 34, apresenta a variação da corrente durante a carga de um capacitor.

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Quando a posição da chave muda de 2 para 1, (ver figura 32), a bateria é desconectada e forma-se ocircuito fechado entre C e o resistor. A corrente que irá circular agora possui sentido contrário a decarga com o tempo o capacitor descarrega-se, diminuindo a sua tensão.

O valor instantâneo da tensão no capacitor durante descarga é dada pela seguinte fórmula.

Ve = E . e -t / ح

A figura 35, representa a variação da tensão durante a descarga.


99

O valor instantâneo da corrente durante descarga é dado pela seguinte fórmula.

i = - E . e -t / ح

R

A figura 36, representa a variação da corrente durante a descarga.

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PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA1 - FORMAS DE ONDA

A representação gráfica da variação de um parâmetro elétrico (tensão, corrente, potência, etc) emfunção do tempo é chamada forma de onda.Podemos dizer que forma de onda é um gráfico de e X t, i X t e p X t.

1.1 · Corrente ContínuaSe a corrente não varia no tempo e nem troca a sua polaridade, diz-se que a sua forma de onda écontínua, ou seja, é uma corrente contínua (CC ou DC), podendo ser corrente contínua pura ouondulada.Observando a figura 1 (a) a corrente não varia de sentido, a grandeza é constante e chamamos decorrente contínua pura.Na figura 1 (b), a corrente não varia de sentido, só variando a grandeza, e chamamos de correntecontínua ondulada.

1.2 · Corrente AlternadaSe a corrente varia e troca a sua polaridade a intervalos regulares de tempo, diz-se que é uma formade onda alternada, ou uma corrente alternada (CA ou AC), podendo ser com forma determinada,tipo senoidal, quadrada, etc, (figura 2(a)) e forma distorcida (figura 2(b)).

'


101

2 - FORÇA ELETROMOTRIZ ALTERNADA SENOIDAL

Uma das formas de onda mais utilizadas em Eletrotécnica e Eletrônica é a senoidal, gerada pelosalternadores das centrais elétricas (hidroelétricas, termoelétricas, termonuclear, etc).Se movimentarmos um condutor qualquer dentro de um campo magnético f«o irá aparecer entreseus extremos uma f.e.m. induzida, de acordo com a regra da mão direita Como mostrado na figura3(a), a bobina ab gira num campo uniforme, com velocidade constante.É induzida uma f.e.m. na bobina, com valor variando conforme a posição no fluxo magnético(figura 3(b) e (c)).

Tomando-se a bobina ab como referência, verifica-se que quando ela estiver na posição 0°, a f.e.m.induzida será zero, uma vez que está se movimentando paralelamente ao fluxo magnético de imãpermanente. Quando a bobina se movimenta, a partir de 0° começará a cortar os fluxos magnéticose em 90° a f.e.m. será máxima (Emáx) induzindo no condutor aa' o sentido (X) e no condutor bb' (A). A partir de 90° e f.e.m. induzida decrescerá, mantendo os condutores aa' e bb' no mesmo sentidoaté atingir 180°, onde a f.e.m. induzida será 0. Quando a bobina se movimenta a partir de 180° osentido da indução da f.e.m. se inverterá com aa' (A) e bb' (X), e crescerá até 270° onde a f.e.m. serámáxima (- Emáx).A partir de 270° a f.e.m. decrescerá até 360° onde será 0 (zero).Sabemos que:

B = densidade de fluxo magnético [T] I = comprimento dos condutores aa' e bb' [m] v = velocidade [m/s] θ = ângulo de deslocamento [°]

A f.e.m. induzida no condutor aa'; ea', será:ea=B.I.v.senθ

________________________________________________________________________________________________CST


A f.e.m. induzida no condutor bb', eb, será:Eb = B.I.v.senθ

Sabendo-se que a soma total das f.e.m. nos condutores aa' e bb' é:e = ea + eb, temos:

e = B.I.v.senθ + B.I.v.senθ = 2Blvsenθ

Onde:2 Blv = Emáx,

Logo:

e = Emáx senθ

Quando a bobina ab completa uma volta, a f.e.m. induzida começa a repetir seus valores,verificando-se que obedece às variações da função seno, ou seja, a f.e.m. induzida é senoidal.A f.e.m. induzida varia com o ângulo em função do tempo. Este valor, medido num determinadotempo, chama-se valor instantâneo.Chamamos de valor máximo (Emáx ) ao que apresenta o máximo valor instantâneo.


103

3 - PERÍODO E FREQÜÊNCIASe a bobina ab continuar a circular sobre seu eixo, a f.e.m. induzida continuará também a variarsegundo uma onda senoidal. Esta variação começa em zero, alcança valores positivos, volta a zero,passa por valores negativos e retorna a zero.Uma variação completa de valores chama-se CICLO, de 0° a 360°. O tempo gasto para completarum ciclo chama-se PERÍODO, símbolo T e unidade [s]. O número de ciclos em um segundo chama-se FREQÜÊNCIA, símbolo f e unidade HERTZ ou [Hz]. A figura 4 mostra a forma de onda com afreqüência de 1 [Hz], ou um ciclo em um segundo.

No Brasil, o sistema de geração e distribuição da energia. elétrica utiliza da freqüência de 60 Hz,tanto para luz quanto para força.Como foi visto, em uma volta completa de um alternador de 2 pólos, temos um ciclo de onda def.e.m. induzida. Nesta situação o ângulo mecânico coincide com o ângulo elétrico.Se o alternadorpossui 4 ou 6 pólos, teremos 2 ou 3 ciclos por volta (figura 5(a) e (b)). Como p pólos o ânguloelétrico corresponde a p/2 o ângulo mecânico. A unidade de ângulo mecânico é [ ° ] e a de ânguloelétrico é geralmente o radiano ou [rad]. Um ângulo de 360° [ ° ] corresponde a 2 π [rad] (tabela 1).Se a freqüência da onda é ƒ [Hz], ela varia ƒ ciclos por 1 segundo e num ciclo o ângulo elétricovaria 2 π [rad]. Portanto o ângulo elétrico varia 2 π [rad] por 1 seg.

Esse ângulo chama-se velocidade angular, com símbolo w unidade (rad/s].W = 2π ƒ = 2π

T

________________________________________________________________________________________________CST


O ângulo elétrico em um determinado tempo t[S], corresponde a:

θ = W t = 2 π ƒ t

Aplicando na equação da f.e.m. induzida em um condutor temos:

e = Emáx sen θ = Emáx sen W t = Emáx sen 2 π ƒ t

Tabela 1


105

4 - VALOR MÉDIO E VALOR EFICAZ

4.1 - Valor médioÉ a média de várias amplitudes instantâneas medidas em intervalos de tempo, durante um ciclo. Sea onda é alternada senoidal, o valor médio é zero, pois a onda é simétrica. Neste caso, consideramoso valor médio medido apenas em meio ciclo.A figura 6(a) mostra uma função senoidal i = Imáx sen W t. Se tivermos uma pequena área ∆s sobre omeio ciclo positivo, com largura ∆θ e altura i = imáx senθ, então:

∆s = i∆θ∆s = Imáx senθ . ∆θ

A área total do meio ciclo é a soma destas pequenas áreas desde θ = 0 até π.

Observando a figura 6(b), temos um circulo de raio Imáx. Se tomarmos um pequeno ângulo ∆θ, oarco ab é dado por:

ab = Imáx .∆θPor ser muito pequeno, ab pode ser considerado segmento da reta.

. . . .Temos o triângulo retângulo abc, sendo o lado ac paralelo ao diâmetro AB e bc perpendicular. Ovalor de ac é dado por:

. .ac = ab sen θ

. .

________________________________________________________________________________________________CST


√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ac = Imáx ∆θ sen θ . .

ac = Imáx sen θ ∆ θ . .

Donde se conclui que ac = ∆ s.

Se considerarmos ângulos θ variando de 0 a π, a soma dos lados ac dos triângulos é igual aodiâmetro do círculo. Como o raio do círculo é Imáx, seu diâmetro é 2Imax.Logo, a área sobre o meio ciclo da figura 6(a) corresponde a 2Imax.Portanto, o valor médio é dado por:

Im = 2Imax/π = 2/π . Imáx (2/π = 0,637)

Imáx = 0,637 Imáx.

4.2 - Valor EficazÉ o valor da corrente alternada que produz em uma resistência o mesmo efeito de aquecimento deuma corrente contínua. Supondo-se dois circuitos iguais de resistência R (figura 7); sendo o circuito(a) atravessado por corrente contínua e o outro por corrente alternada.

Se os dois circuitos produzirem a mesma quantidade de calor, diremos que há equivalência entre asduas correntes. Neste caso, quando a medida de potência da corrente alternada e da correntecontínua são iguais, o efeito de aquecimento é o mesmo.Temos:

I2 . R = valor médio de I2 R

I = valor médio de I2

Podemos dizer que o valor eficaz da corrente alternada é a raiz quadra: do valor médio dos valoresinstantâneos ao quadrado.


107

√¯¯

Na figura 8 temos a onda senoidal imáx = Imáx sen W e a onda i2 = I2máx sen2 W; cujo eixo de simetria é

a reta XY que a divide pelo meio.A ordenada representa o valor médio dos quadrados dos valores instantâneos i, e o seu valor é 1/2I2

máx.Portanto, o valor eficaz I é representado por:

OBSERVAÇÃO:Estas relações valem tanto para corrente quanto para tensão e as correntes e tensões medidas,registradas oulidas com amperímetros e voltímetros são em valores eficazes.

Exemplo:A tensão residencial de 127 [V] Ca e as demais tensões fornecidas pelas concesionárias de energiaelétrica são medidas em valores eficazes.

Exemplo:Dada a instantânea e = 120 2 sen 120 π t [V], determine a tensão máxima (Emáx ), a tensão média(Em ), a tensão eficaz (E), a freqüência (f) e o período (T).

Solução:

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5 - FATOR DE FORMA E FATOR DE CRISTA5.1 - Fator de formaO fator de forma de uma onda alternada é um valor muito importante no estudo demáquinas e instrumentos elétricos. É definido como sendo a razão entre os valoreseficaz e médio da forma de onda.

No caso da corrente alternada senoidal:

O fator de forma de onda senoidal é constante e igual a 1,11.5.2 - Fator de Crista


109

É a razão entre os valores máximo e eficaz de uma forma de ondaÉ muito importante quando se mede tensões de isolamento com voltímetros comuns.Como formas de onda de valores de pico diferentes podem ter o mesmo valor eficaz,o fator de crista deve ser conhecido.

f.c = Emáx / ENo caso da tensão alternada senoidal:

O fator de crista da onda senoidal é constante e igual a 1,414.A tabela 2 apresenta os valores máximo, eficaz, médio, fator de forma e fator decrista das ondas mais utilizadas.

TABELA 2

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6 - FASE E DEFASAMENTO

6.1 - FaseQuando se estudou a geração da f.e.m. alternada senoidal, o pomo de partida do condutor foi ondenão havia tensão gerada (ponto zero).Mas o condutor poderia estar em qualquer outra posição, girando com a mesma velocidade angular(w ) adiantado ou atrasado do pomo zero.Chama-se fase ao valor do ângulo elétrico formado entre o condutor e o ponto zero tomado comoreferência para t = 0.


111

O ângulo da fase de uma única onda é, portanto, o ângulo desde o ponto zero sobre a onda, até ovalor no ponto, a partir do qual o tempo é computado.Na figura 9(a) temos uma tensão senoidal começando a gerar do ponto zero.No tempo t, temos θ = w t, logo:

ea = Emáx sen w t

Na figura 9(b), temos uma tensão senoidal começam gerar um ângulo ϕ adiantado ponto zero:No tempo t, temos θ = w t + ϕ, logo:

eb = Emáx sen ( w t + ϕ)

Na figura 9(c), temos uma tensão senoidal começando a gerar um ângulo ϕ atrasado do ponto zero.No tempo t, temos θ = ( w t - ϕ), logo:

ec = Emáx sen ( w t - ϕ)

6.2 - Defasamento

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Duas formas de onda podem ter ângulo de fase diferente. Neste caso, diz-se que há uma diferençade fase ou defasamento entre elas, que é medida em graus [ ° ] ou radiano [ rad ].

A diferença de fase é a diferença entre os ângulos de fase de duas formas de onda. De acordo com oângulo de fase, pode-se dizer que uma forma de onda pode estar em fase, atrasada ou adiantada emrelação a outra.Na figura 10(a), temos a corrente que não tem diferença de fase em relação à tensão, logo, dizemosque a corrente e a tensão estão em fase.Na figura 10(b), quando a corrente atinge o valor zero, após a tensão ter atingido o zero, ocasionauma diferença de fase ϕ entre elas. Dizemos que a corrente está atrasada ϕ em relação à tensão.Na figura 10(c), quando a corrente atinge o valor zero, antes da tensão ter atingido o zero, ocasionauma diferença de fase ϕ ' entre elas. Dizemos que a corrente está adiantada ϕ ' em relação à tensão.

7 - REPRESENTAÇÃO DA CORRENTE ALTERNADA COMO VETORA representação gráfica da f.e.m. alternada, até agora usada, é a do diagrama, que representa a suavariação num período.Devemos porém observar que, para aplicações futuras, este tipo de representação não é prático, pelofato de ser bastante trabalhoso, e além disto, muito complicado quando se trata de compor váriasf.e.m., por isso usamos o método do vetor.


113

O vetor rotativo Emáx gira ao redor do ponto 0 (figura 11), começando do eixo horizontal OX, comuma velocidade angular w constante, no sentido anti-horário.A projeção do vetor Emáx sobre o eixo vertical Y representa Emáx sen w t, que coincide com aordenada da senóide do valor da f.e.m. no tempo t.

. .Temos oa = e = Emáx sen w.t

A mesma consideração pode ser feita com os outros valores de tempo t.

A posição do condutor na figura 11, na qual a f.e.m. induzida adquire o valor instantâneo e = 0,corresponde à posição "0" do vetor rotativo para a qual é nula a projeção instantânea sobre o eixoyy'. Quando o condutor alcança a posição π/2 a f.e.m. induzida adquire o seu valor máximo sendo e= Emáx, que é igual à projeçãodo vetor Emáx sobre o eixo y. Sucessivamente, a f.e.m. induzida diminui até anular-se, quando ocondutor alcança a posição π, sendo nula a projeção do vetor Emáx sobre o eixo yy'.No meio ciclo seguinte, repetem-se os valores. Quando o condutor alcança a posição 3π/2, a f.e.m.induzida 2 adquire o seu valor máximo negativo, sendo e = - Emáx, que é igual a projeção do vetorEmáx sobre o eixo y'. E quando o condutor alcança a posição 2π, é nula a projeção do vetor Emáxsobre o eixo yy'. Assim, podemos representar a variação da f.e.m. induzida alternada senoidal pormeio de um vetor rotativo, que efetua a rotação correspondente a cada ciclo.

Na figura 12 três ondas senoidais são representadas pela projeção de três vetores rotativos quegiram no sentido anti-horário à mesma velocidade angular constante, mantendo ângulos dedefasamento ϕ e ϕ' constantes.

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√¯¯

Os vetores rotativos são dependentes da variável tempo, não tendo significado em relação aosespaços. Geralmente, representam os valores máximos de tensões ou correntes. Para análise decircuitos por vetores rotativos, deve-se observar sempre um sentido de giro e um eixo de referênciaPode-se pensar em vetores rotativos em um tempo instantâneo quando se trata da relação entre fasese grandezas entre elas.Em eletricidade geralmente quando da análise do circuito C.A. considera-se o defasamento entrefase e os valores eficazes.Na figura 13(a) temos os vetores rotativos Em1, Em2 e Em3, que representam os valores máximos daonda senoidal, e os vetores rotativos E1, E2 e E3, que são os valores eficazes da onda senoidal iguala 1/ 2 de Em1, Em2 e Em3.Estes vetores, giram no mesmo sentido, com velocidade angular constante, mantendo as relações dedefasamento e grandezas entre si.

Na figura 13(b) E 1, E 2 e E 3 são vetores estáticos, onde o vetor de referência E1 permite que setenha informações dos ângulos de defasamento ϕ e ϕ' em relação a E3 e E2. O uso do vetor estáticofacilita a análise dos circuitos C.A. Devemos nos acostumar a usá-los, por serem muito importantes.


115

Exemplo:Determinar as correntes eficazes das ondas abaixo e representá-las em gráfico vetorial.

Solução:

Representação gráfica por vetores I1, I2 e I3.

8 - SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES

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Para somar ou subtrair vetores, utiliza-se a regra do paralelogramo.

8.1 - Soma:A figura 15 demonstra que a soma dos vetores é a diagonal do paralelogramo formado pelos vetoresI1 e I2.

8.2 - Subtração:

A figura 16 demonstra que a subtração dos vetores é a diagonal do paralelogramo formado pelosvetores I1 -I2.Para se obter a subtração I1 - I2 soma-se I1, com o simétrico -I2.O vetor -I2, simétrico ao vetor I2 é um vetor do mesmo módulo e direção mas de sentido contrárioao vetor I2.


117

A resultante do sistema é:

Exemplo:Determinar os valores eficazes das correntes I1, I2 e I3 e representá-los em diagrama vetorial.

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Exemplo:Determinar os valores eficazes das tensões e1, e2 e e3 e representá-los em diagrama vetorial.


119

Solução:

Observação:Existem diversos triângulos retângulos que são utilizados para facilitar o cálculo. Afigura 19 mostra os principais.

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121

CIRCUITOS BÁSICOS DA CORRENTE ALTERNADA RLC

1 - CIRCUITO RESISTIVO PUROQuando um circuito resistivo puro de resistência R[Ω] é alimentado por uma fonte de tensãoalternada senoidal V = Vmáxsen w t[V] (figura1(a)), a corrente i [A], que atravessa o circuito, serádada pela LEI DE OHM:

I = V = Vmáx sen w t = Imáx sen w t. R R

Onde:Imáx = Vmáx

R

Esta corrente é a onda senoidal em fase com a tensão (figura 1 (b))

Sabemos que I = Imáx e V = Vmáx 2 2

Como Imáx = Vmáx , dividindo ambos os membros por 2, temos: R

Imáx = Vmáx / 2 ∴ I = V ou V = RI 2 R R

√¯¯ √¯¯√¯¯

√¯¯√¯¯

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A figura 2(a) mostra o circuito resistivo puro, com os valores eficazes de corrente I e tensão V,determinados a partir dos valores instantâneos. A figura 2(b) mostra o diagrama vetorial de I e V,traçados um sobreposto ao outro, isto é, estão em fase.

Conclui-se que o circuito resistivo, alimentado com corrente alternada tem o comportamento igualao de corrente contínua

Exemplo:Dado um circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de 120 [V], 60 [Hz],formado por uma carga R de 30 [ Ω ] (figura 3), determinar sua corrente e o defasamento entrecorrente e tensão.

Solução:Sabemos que pela lei de OHM, aplicada a circuitos de corrente alternada, temos:

I = V = 120 =4 ∴ I = 4[A] R 30

O defasamento entre a tensão e corrente em um circuito puramente resistivo será de 0º


123

2 - CIRCUITO INDUTIVO PUROQuando um circuito indutivo puro de auto indutância L [H] é alimentado por uma fonte de tensãoalternada senoidal v [V] e atravessado por uma corrente i = Imáx sen w t [A] (figura 4(a)); sabemosque a corrente varia com o tempo e induz na bobina uma f.e.m. e [V], que é igual à tensão dealimentação e é dada pela equação abaixo:

v = e = L ∆ i sendo ∆ i [A] a variação de corrente e ∆ t [ s ] um ∆ tintervalo de tempo.

Na figura 4(b), sabemos que i = Imáx sen w t, no tempo t.Acrescendo o tempo ( t ) de ∆ t, teremos:

i' = Imáx sen w t (t + ∆ t), resolvendo a equação:

i' = Imáx (sen w t cos w ∆t + cos w t sen w t ∆ t),

Sabemos que ∆ t é um valor infinitamente pequeno, logo:cos w ∆ t ≅ I e sen w ∆ t ≅ w ∆ t

Nesta situação a equação i', resulta:i' = Imáx sen w t + Imáx w ∆ t cos w t

Substituindo na equação:v = L ∆ i, temos:

∆ tv = L ∆i = L i'.i = L(Imáx sen w t + Imáx w ∆ t cos w t)

∆ t ∆ t ∆ t= L Imáx w ∆ t cos w t = w LImáx cos w t = Vmáx sen (w t + 90º) ∆ t

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Onde:Vmáx = w L . Imáx

Esta tensão está defasada em relação à corrente de 90° em adiantamento.A análise do circuito indutivo puro feita até aqui foi considerada com referência à corrente i. Considerando aConsiderando a tensão de referência v = Vmáx sen w t , teremos a corrente i = Imáx sen (w t - 90º)(figura 5).

Sabemos que I = Imáx e V = Vmáx √2 √2

Como Vmáx = L Imáx, dividindo ambos os membros por √2 temos:

Vmáx = w L Imáx ∴ V = w LI ou i = V 2 2 wL

A figura 6(a) mostra o circuito indutivo puro, com as valores eficazes de corrente I e tensão V,determinados a partir dos valores instantâneos.As figuras 6(b) e 6(c) mostram os diagramas vetoriais de I e V , defasados de 90°, sendo na figura6(b) a referência é V e I está atrasado, e na figura 6(c) a referência é I e V está adiantado.

A função w L relaciona tensão e corrente num circuito indutivo, com resistência à passagem dacorrente alternada. É chamada de reatância indutiva, simbolizada por XL e unidade [ Ω ]. Tem-seque:

XL = w L = 2π f LV = 2π f L I = XL II = V = V. 2 π f L XL

O valor da reatância indutiva XL é diretamente proporcional à freqüência f (figura 7), e quando afreqüência diminui, a corrente aumenta inversamente.

√¯¯√¯¯


125

Exemplo:Dado um circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de 120 [V], 60 [Hz],formado por uma bobina ideal de indutância de 63,7 [mH], (figura 8), determinar a reatânciaindutiva e a corrente. Se a freqüência for aumentada para 120 [Hz] o que ocorre com a corrente ?

Solução:Para calcularmos a corrente através da bobina, temos que saber qual será sua reatância.

XL=2 π f. L = 2 π x60x0,0637=24 ∴ XL = 24 [ Ω ]Logo, a corrente será:

I= V =120 = 5 ∴ I = 5[A] XL 24

Em um circuito puramente indutivo, a corrente está atrasada 90° em relação à tensão. No caso dafreqüência aumentar para 120 [Hz], temos:

XL =2 π.f'.L = 2π . 2f.L = 2.2.π f L = 2 XL = 2x24 ∴ XL ' = 48 [ Ω ]Logo:

I' = V = 120 = 2,5 ∴ I'=2,5 [A] XL 48

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3 - CIRCUITO CAPACITIVO PUROQuando um circuito capacitivo puro, de capacitância C [F] é alimentado por uma fonte de tensãoalternada senoidal v = Vmáx sen w t [V] (figura 9(a)), provoca a distribuição de uma carga elétrica q[C] sobre as placas do capacitor, que é dada pela relação q = Cv. Substituindo temos:

A corrente i é dada pela equação:i = ∆ q ∆ tsendo ∆ q [C] a variação da carga elétrica e ∆ t [s] um intervalo de tempo.

Na figura 9(b), sabemos que q = C Vmáx sen t, no tempo ( t ).Acrescendo o tempo ( t ) de ( ∆ t), teremos:

q' = C Vmáx sen w (t + ∆ t), aplicando na equação teremos:i = ∆ q = q' - q = C Vmáx sen w (t + ∆t) - C Vmáx sen w t ∆ t ∆ t ∆ t=CVmáx . (sen w t cos w ∆ t + cos w t sen w ∆ t) - sem w t

∆ t

Sabemos que ∆ t é um valor infinitamente pequeno, logo:

cos w ∆ t ≅ 1 e sen w ∆ t ≅ w ∆ t

Nesta situação a equação i, resulta:i = C Vmáx w cosw t = w c Vmáx sen (w t + 90º) = Imáx sen (w t + 90º)

Onde:Imáx = w C Vmáx

Esta corrente está defasada em relação à tensão de 90° em adiantamento.

_______________SenaiDepartamento Reg

A análise do circuito capacitivo puro, feita até aqui foi considerada com referência à corrente i.Considerando a tensão v = Vmáx sen w t, teremos a corrente i = Imáx sen (w t + 90º) (figura 10).

Sabemos que I áx e V = áx 2

Como Imáx =

I

A figura 11 (a) determinados avetoriais de I e figura 11 (c) a r

A função 1/wC corrente alternaque:

X

= Im √¯

____________

ional do Espír

C Vmáx, div

máx = w C V

mostra o cir partir dos vV , defasadoeferência é I

relaciona tenda. É chama

C = 1 = WC 2π

Vm 2√¯

idindo ambos os membros por 2 , temos:

máx ∴ i = w C V ou V = I .2 WC
2√¯ √¯
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ito Santo127

cuito capacitivo puro, com os valores eficazes de corrente I e tensão V,alores instantâneos. As figuras 11 (b) e 11 (c) mostram os diagramass de 90°, sendo, na figura 11 (b), a referência é V e I está adiantada, e na e V está atrasado.

são e corrente num circuito capacitivo, como resistência à passagem deda de reatância capacitiva, simbolizada por XC e unidade [ Ω ]. Tem-se

1 . f C

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V = 1 = XCI 2π f C

I = 2 π f C V = V . XC

O valor da reatância capacitiva XC é inversamente proporcional a freqüência f, (figura 12), e quandoa freqüência aumenta, a corrente aumenta diretamente.

Exemplo: Dado um circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de 120 [VJ, 60[Hz], formado por um capacitor de capacitância de 66,3 [ µF] (figura 13), determinar a reatânciacapacitiva e a corrente. Se a freqüência for aumentada para 120 [Hz], o que ocorre com a corrente ?

Solução:Para calcularmos a corrente através do capacitor teremos que saber qual será sua reatância

XC = 1 = 1 = 1 = ∴ XC = 40 [ Ω ] 2 πi.f.C 2 π x60 x 66,3 x 10-6 0,025Logo a corrente será:

I = V = 120 = 3 ∴ . I = 3 [A] XC 40


129

Em um circuito puramente capacitivo, a corrente está adiantada 90° em relação à tensão. No caso dafreqüência aumentar para 120 Hz, temos:

Xc = 1 = 1 = 1 x 1 = 1 Xc= 1 x 40 ∴ X'c = 20 [Ω] 2π fC 2π.2f.C 2 2π fC 2 2Logo:

I' = V = 120 = 6 ∴ I' = 6[A] X'c 20

4-CIRCUITO RL EM SÉRIENa figura 14(a) temos um circuito RL em série, ou seja, uma resistência R [ Ω ] e uma indutância L[H], ligados em série, alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de tensão V [V],corrente I [A] e freqüência f [Hz]. .

Sendo as tensões entre os terminais de R e L, Vr e Lr; temos:VR = RIVL=XLI=2 π f L I

Sabemos que VR está em fase com I ,e VL está adiantado de 90° em relação a I , e a soma vetorial deVR e VL é a tensão de alimentação V. Em um circuito RL série, geralmente utiliza-se como vetor dereferência o I (figura 14(b)). Na figura 14(c) temos o mesmo diagrama vetorial, onde foitransladado o vetor VL , formando o triângulo de tensões do circuito RL série.Dos diagramas vetoriais, temos:

V = V2R + V2

L = (RI)2 + (XLI) 2 = R2 + X2 L . I

∴ I= V . R2 + X2 L

Sendo o ângulo de defasamento ϕ,

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯

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tanϕ = VL = XLI = XL ∴ ϕ = tan-1 XL. VR RI R R

A função R2 + X2L relaciona tensão e corrente num circuito RL em série, como resistência à

passagem da corrente alternada. É chamado de IMPEDÂNCIA, simbolizada por Z, e unidade [ Ω ].Tem-se que:

Z= R2+X2 L = R2+(2π fL)2

I= V/Z

V=ZI

A expressão V = ZI, define a Lei de OHM, relativa ao circuito indutivo composto por resistência Re indutância L, ou pela impedância Z. Analisando o triângulo das tensões V, VR e VL (figura 15(a))e dividindo as tensões pela corrente I, este se transformará em outro triângulo semelhante. (Figura15(b)), chamado de Triângulo da Impedância.

Deste triângulo podemos determinar as importantes relações que fornecem as funçõestrigonométricas do ângulo de defasamemo ϕ , que depende de R e X L.Da figura 15(b) temos:

Z= R2+X2 L sen ϕ = XL = XL .

Z R2+X2 L

Cos ϕ = R = R tan ϕ = XL Z R2+X2

L R

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯√¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯


131

Exemplo: Dado um circuito em série, de um resistor de resistência R = 48 [Ω] e um indutor dereatância XL = 36 [Ω] alimentado por uma tensão alternada senoidal V = 120[V] (figura 16);determinar:

a) A impedânciab) A correntec) A tensão nos terminais do resistord) A tensão nos terminais do indutore) O ângulo de defasamentof) O diagrama vetorial das tensões e da carente.

Solução:a) Impedância Z

Z = R2+X2 L = 482+362

L = 3600 = 60 . . Z = 60 [Ω]

b) Corrente I

I = V = 120 = 2 ∴ I = 2 [A] Z 60

c) Tensão VR

VR = RI = 48x2 = 96 ∴ VR=96[V]

d)Tensão VLVL = XL I = 36x2 = 72 ∴ VL =72[V]

e) Ângulo ϕ

ϕ = tan-1 XL = tan-1 36 = 36,9 ∴ ϕ = 36,9 [º] R 48

f)Diagrama vetorial (figura 17).

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯

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5 - CIRCUITO RC EM SÉRIENa figura 18(a) temos um circuito RC em série, ou seja, uma resistência R [Ω] e uma capacitânciaC [F], ligados em série, alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de tensão V [VJ,corrente I [A] e freqüência f [Hz].

Sendo as tensões entre os terminais de R e C, VR e VC temos:VR = RIVC = XCI = 1 . 2 π f C

Sabemos que VR está em fase com I , VC está atrasado de 90° em relação a I , e a soma vetorial deVR e VC é a tensão de alimentação V. Em um circuito RC série, geralmente utiliza-se como vetor dereferência o I (figura 18(b)). Na figura 18(c) temos o mesmo diagrama vetorial, onde foitransladado o vetor VC , formando o triângulo de tensões do circuito RC série.Dos diagramas vetoriais, temos:

V = V2R + V2C = (R I) 2 + ( XCI ) 2 = R2 + X2C . I

∴ I= V .

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯


133

R2 + X2C

Sendo o ângulo de defasamento,

tan ϕ = VC XCI XC ∴ ϕ = tan-1 XC VR RI R R

Analogamente, como foi determinado em relação ao circuito RL em série, temos:

Z = R2 + X2C = R2 + ( 1 / 2πfC) 2

I = V / Z

V=ZI

Determinando o triângulo de impedância (figura 19), temos:

E suas relações:Z = R2 + X2

C sen ϕ = XC = XC . Z R2 + X2

C

Cos ϕ = R = R tan ϕ = XC Z R2 + X2

C R

Exemplo:Dado um circuito em série, de um resistor de resistência R = 24 [ Ω ], e um capacitor de reatânciaXC = 32 [ Ω ], alimentado por uma tensão alternada senoidal V = 120 [V] (figura 20); determinar:

a) A impedância b) A corrente c) A tensão nos terminais do resistor d) A tensão nos terminais do capacitor

√¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯

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e) O ângulo de defasamento f) O diagrama vetorial das tensões e da corrente.

Solução:

a) Impedância Z

Z= R2 + X2C = 242 + 322

= 1600 = 40 ∴ Z = 40[Ω]

b) Corrente II = V = 120 = 3 ∴ I = 3[A] Z 40

c) Tensão VR

VR = RI = 24x3 = 72 ∴ VR = 72 [V]

d)Tensão VC

VC = XCI = 32x3 = 96[V] ∴ VC=96[V]

e) Ângulo ϕ

ϕ= tan-1 XC = tan-1 32 = 53,1 ∴ ϕ = 53,1 [º] R 24

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯


135

f) Diagrama vetorial (figura 21).

6 - CIRCUITO RLC EM SÉRIENa figura 22(a) temos um circuito RLC em série, ou seja, uma resistência R [Ω], uma indutância L[H] e uma capacitância C [F], ligados em série, alimentado por uma fonte de tensão alternadasenoidal de tensão V [V], corrente I [A] e freqüência f [Hz].

Sendo as tensões entre os terminais de R, L e C; VR, VL e VC; temos:

VR = RI

VL=XLI=2 π fLI

VC = XCI= 1 . I 2 π fC

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Sabemos que VR está em fase com I , VL está adiantado de 90° em relação a I , VC está atrasado de90° em relação a I , e a soma vetorial de VR e ( VL - VC ) é a tensão de alimentação V. Em umcircuito RLC em série, geralmente utiliza-se como vetor de referência o I (figura 22(b)). Na figura22(c) temos o mesmo diagrama vetorial, onde foram transladados os vetores VC e VL , formando otriângulo de tensões do circuito RLC em série. Observa-se que a tensão no capacitor, VC , é desentido contrário à tensão no indutor, VL , ocasionando a diferença de potencial ( VL - VC ) entre oindutor e o capacitor.Dos diagramas vetoriais, temos:

V = V2 + ( VL - VC ) 2 = (R I) 2 + ( XLI -XCI ) 2

= R2 + ( XL -XC ) 2 . I

∴ I = V . R2 + ( XL -XC ) 2

Sendo o ângulo de defasamento,tan ϕ = VL-VC = XLI-XCI = XL-XC VR R I R∴ ϕ = tan-1 XL - XC R

Analogamente, aos circuitos RL e RC série, temos:

Z= R2 + (XL-XC ) 2 = R2 + (2πfL - 1 ) 2

2πfCI = V / Z

V=ZI

Analisando o diagrama vetorial da figura 22(b) ou (c), temos o comportamento de um circuitopredominantemente indutivo onde:

VL > VC e XL > XC

Na situação onde VL < VC e XL < XC, temos um circuito predominantemente capacitivo,representado pelo diagrama vetorial da figura 23(a) ou (b).

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯


137

Exemplo:Dado um circuito em série, de um resistor de resistência R = 64 [Ω], um indutor de reatância XL =72 [ Ω ] e um capacitor de reatância XC = 24 [ Ω ], alimentado por uma tensão alternada senoidal V= 120 [V] (figura 24), determinar:

a) A impedância b) A correntec) A tensão nos terminais do resistord) A tensão nos terminais do indutore) A tensão nos terminais do capacitorf) O ângulo de defasamentog) O diagrama vetorial das tensões e da corrente

Solução:

a) Impedância Z

Z = R2 + ( XL -XC ) 2 = 642+(72-24) 2 = 6400 = 80 ∴ Z=80[Ω]√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯

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B) Corrente I

I = V = 120 = 1,5 . . I = 1,5 [A] Z 80

c) Tensão VR

VR = RI = 64x1,5 = 96 ∴ VR = 96 [V]

d) Tensão VL

VL=XLI=72x1,5 = 108 ∴ VL = 108 [V]

e) Tensão VC

VC = XCI = 24x1,5 = 36 ∴ VC=36[V]

f) Ângulo ϕ

ϕ = tan-1 XL - XC = tan-1 72 - 24 = 36,9 ∴ ϕ = 36,9 [º] R 64

g) Diagrama vetorial (figura 25).


139

7 - RESSONÂNCIA EM SÉRIENo circuito da figura 22(a), mantendo a tensão V [V] e variando a freqüência f [Hz], a reatância (XL- XC ) [Ω] varia. Quando VL = VC, temos um circuito puramente resistivo, e dizemos que o circuitoestá em ressonância, com a corrente máxima.A figura 26 mostra o diagrama vetorial do circuito RLC série em ressonância.

A freqüência de ressonância fr (figura 27) é determinada por:

Quando ocorre a ressonância série, as tensões sobre L e C, são iguais:VL = VC, o que resulta:

I= V / R

VR=V

VL=XLI=XL V XL V R R

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VC = XCI = XC V = XC V R R

OBSERVAÇÃO: Geralmente, no circuito ressonância série, o valor da resistência do conjuntoRLC, é muito baixo, o que ocasiona a corrente máxima, resultando a queima do circuito edeterioração do seu isolamento. Para se evitar o problema, é colocado o resistor de limitação R, quefaz com que a corrente não atinja valores críticos. Na situação em que: XL > R, ou XC > R, atensão nos bornes do capacitor será maior do que a tensão de alimentação, ocasionando orompimento do isolamento.

Exemplo:Dado um circuito em série de um resistor de resistência R = 25 [Ω], um indutor de indutância L =159 [mH] e um capacitor de capacitância C = 15,9 [µF], alimentado por uma tensão alternada V =120 [V] (figura 28); determinar:a) A freqüência de ressonânciab) A corrente máximac) A tensão nos terminais Rd) A tensão nos terminais Le) A tensão nos terminais Cf) O diagrama vetorial das tensões e da corrente

Solução:a) Freqüência de ressonância fr.

fr = 1 = 1 = 100 ∴ fr = 100 [Hz] 2π LC 2π √ 159 x 10-3 x 15,9 x 10-6

b) Corrente máxima I

I = V = 120 = 4,8 ∴ I = 4,8 [A] R 25

√¯¯


141

c) Tensão VR

VR = V = 120[V]d) Tensão VL

VL=XL.I=2 πfrLI

=2 π x 100 x 159 x 10-3 x 4,8 = 480

. . VL = 480 [V]e) Tensão VC

VC = VL = 480 [V]


8 - CIRCUITO RL EM PARALELONa figura 30(a) temos um circuito RL paralelo, ou seja, uma resistência R [ Ω ] e uma indutância L[H] ligados em paralelo, alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal de tensão V [V],corrente I [A] e freqüência f [Hz].

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Sendo as correntes em R e L, IR e IL; temos:

IR = V / R

IL = V = V . XL 2 πf L

Sabemos que I R está em fase com V, e I L está atrasado de 90° em relação à V, e a soma vetorial deI R e I L é a corrente total I .Em um circuito RL paralelo, geralmente, utiliza-se como vetor de referência o V (figura 30(b)). Dodiagrama vetorial, temos:

I = I2 R + I2

L = (V/R) 2 + (V/XL)2 = 1/R2 + 1/X2 L V

= 1/R2 + ( 1/2πfL) 2 . V = 1/Z . V = V/Z

Onde:1/Z = 1/R2 + 1/X2

L = 1/R2 + 1/(2πfL) 2

Sendo o ângulo de defasamento ϕ :

tan ϕ = IL = V/XL = R IR = V/R XL

∴ ϕ = tan-1 R/XL

Exemplo:Dado um circuito em paralelo, de um resistor de resistência R = 24 [Ω] e um indutor de reatânciaXL = 10 [ Ω ], alimentado por uma tensão alternada senoidal V = 120 [V] (figura 31), determinar:a) A corrente em R b) A corrente em Lc) A corrente total d) A impedânciae) O ângulo de defasamento f) O diagrama vetorial das correntes e da tensão.

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√¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯


143

Solução:a) Corrente IR

IR= V = 120 = 5∴ IR=5[A] R 24b) Corrente IL

IL= V = 120 =12 ∴ IL=12[A] XL 10

c) Corrente II = I2

R + I2 L = 52 + 122 = 25 + 144 = 196 = 13 ∴ I=13[A]

d) Impedância ZZ = V = 120 = 9,23 ∴ Z = 9,23 [ Ω ] I 13

e) Ângulo ϕϕ = tan-1 R = tan ϕ 24 = 67,4 ∴ ϕ = 67,4 [°] XL 10

f) Diagrama vetorial (figura32).

9 - CIRCUITO RC EM PARALELONa figura 33(a) temos um circuito RC paralelo, ou seja, uma resistência R [ Ω ] e uma capacitânciaC [F] ligados em paralelo, alimentado por uma fome de tensão alternada senoidal de tensão V [V],corrente I [A] e freqüência f [Hz].

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯

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Sendo as correntes em R e C, IR e IC; temos:

IR = V / R

IC= V =2 π fCV XC

Sabemos que I R está em fase com V, e I C está atrasado de 90° em relação à V, e a soma vetorialde I R e I C é a corrente total I .Em um circuito RC paralelo, geralmente, utiliza-se como vetor de referência o V (figura 33(b)). Dodiagrama vetorial, temos:

I = I2 R + I2

C = (V/R) 2 + (V/XC)2 = 1/R2 + 1/X2 C . V

= 1/R2 + ( 1/2πfC) 2 . V = 1/Z . V = V/Z

Onde:1/Z = 1/R2 + 1/X2

C = 1/R2 + 1/(2πfC) 2


tan ϕ = IC = V/XC = R IR V/R XC

∴ ϕ = tan-1 R/XC

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯¯¯

√¯¯¯¯¯¯¯¯¯


145

Exemplo:Dado um circuito em paralelo, de um resistor de resistência R = 25 [ Ω ] e um capacitor de reatânciaXC = 60 [ Q ], alimentado por uma tensão alternada senoidal V = 120 [V] (figura 34), determinar:a) A corrente em R b) A corrente em Cc) A corrente total d) A impedânciae) O ângulo de defasamento f) O diagrama vetorial das correntes e da tensão.

Solução:a) Corrente IR

IR = V = 120 = 4,8 ∴ IR = 4,8 [A] R 25

b) Corrente ICIC = V = 120 = 2 ∴ IC=2[A]

XC 60

c) Corrente II = I2

R + I2 C = 482 + 22 = 23,04 + 4 = 27,04 = 5,2 ∴ I = 5,2 [A]

d) Impedância ZZ= V = 120 = 23,1 ∴ Z=23,1 [ Ω ] I 5,2

e) Ângulo ϕ :ϕ = tan-1 R = tan-1 25 = 22,6 ∴ ϕ = 22,6 [°] XC 60


√¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯¯¯¯ √¯¯¯¯

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10 - CIRCUITO RLC EM PARALELONa figura 36(a) temos um circuito RLC em paralelo, ou seja, uma resistência R [ Ω ], umaindutância L [H] e uma capacitância C [F], ligados em paralelo, alimentado por uma fonte de tensãoalternada senoidal de tensão V [V], corrente I [A] e freqüência f [Hz].

Sendo as correntes em R, L e C; IR, IL e IC, temos:IR = V RIL = V = 1 .V XL 2 πf LIC = V = 2 π f C V XC

Sabemos que I R está em fase com V, e I L está atrasado em 90° em relação à V, e I C está adiantado90° em relação a V, e a soma vetorial I R e ( I L - I C ) é a corrente total I .


147

Em um circuito RLC em paralelo, geralmente, utiliza-se como vetor de referência o V, (figura36(b)). Na figura 36(c) temos o mesmo diagrama vetorial, onde foram transladados os vetores I L eIC , formando o triângulo de correntes do circuito RLC em paralelo. Observa-se que a corrente nocondutor L, I L , é de sentido contrário à corrente do capacitor C, I C , ocasionando uma diferença decorrente ( I L - I C ), entre o indutor e o capacitor.Dos diagramas vetoriais, temos:

Onde:


Observar que neste caso, o circuito é predominantemente indutivo (figura 36(b) ou 36(c)), onde IL =10 e XL a XO.Na situação . onde IL c 10 e XL < XO, temas um circuito predominantemente capacitivo (figura37(a) ou 37(b)).

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Exemplo: Dado um circuito em paralelo, com um resistor R = 50 [ Ω ], um indutor com XL= 40[Ω]e um capacitor com Xc = 60 [ Ω ], alimentado por uma tensão alternada senoidal V = 120 [V](figura 38), determinar:a) A corrente através do resistorb) A corrente através do indutorc) A corrente através do capacitord) A corrente totale) A impedãnciaf) O ângulo de defasamentog) O diagrama vetorial das correntes da tensão


149

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151

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POTÊNCIA EM CORRENTE ALTENADA

1 - DEFINIÇÃOEm um circuito de corrente contínua, temos a tensão V [V] e a corrente I [A]. A potência P [W] édada por:

P = VIEm corrente alternada, tanto a tensão quanto a corrente variam com o tempo, e também a potência.Temos a tensão instantânea v = Vmáx sen w t e defasada de ϕ (rad) da corrente instantânea i = Imáx

sen (wt - ϕ). A potência instantânea p pode ser calculada por:p = vi

= Vmáx sen w t . Imáx sen (w t - ϕ) = Vmáx Imáx [cos ϕ - (cos 2 w t - ϕ)] 2

= Vmáx Imáx cos ϕ - Vmáx Imáx cos (2 w t - ϕ) 2 2Como V = V máx e I = I máx √ 2 √ 2p = VI cos ϕ - VI(2 w t - ϕ)

Na figura 1 (a) temos as ondas de v, i e p instantâneos. A potência do ciclo positivo é consumidapelo circuito, e do ciclo negativo é fornecida á fonte de alimentação.Na figura 1 (b) temos a parcela constante VI cos ϕe na figura 1 (c) a parcela dependente do tempo -VI cos ( 2 w t - ϕ), com dupla freqüência (datensão e da corrente). A onda da potência p da figura 1 (a) é a soma das ondas das figuras 1 (b) e 1(c). Em corrente alternada, a potência p[W] é dada pelo valor médio da potência instantânea em umperíodo.Assim, a 2ª parcela -VI cos ( 2 w t -ϕ) se anula, ficando com:

p = VI cos ϕ


153

2-CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVONum circuito puramente resistivo, a tensão e a corrente estão em fase, logo, o ângulo dedefasamento ϕ = 0 [ ° ]. A potência P será dada por:

P = VI cos.ϕ cos ϕ = cos 0° = 1

∴ P = VI, que é igual à potência do circuito de corrente contínua.

A figura 2 mostra a curva da potência instantânea do circuito resistivo puro, que será semprepositiva, pois quando a tensão v e a corrente i estiverem no semi-ciclo negativo, o seu produto p =vi será positivo.

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3 - CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO

Num circuito puramente indutivo, a corrente está 90° atrasada da tensão, logoϕ = -90° [ ° ]. A potência P será dada por

P = VI cos ϕ cos ϕ = cos (-90°) = 0∴ p= = 0

A figura 3 mostra a curva de potência instantânea do circuito indutivo puro, que é simétrica, devalor médio zero, pois quando a corrente aumenta de zero para seu valor máximo, o indutorarmazena energia, que é integralmente devolvida à fonte de alimentação, quando a corrente diminuido valor máximo para zero.

4 - CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO

Num circuito puramente capacitivo, a corrente está 90° adiantada da tensão, logo ϕ= 90°. Apotência P será dada por:

P = VI cos ϕ cos ϕ = cos 90° = 0∴ P = 0


155

A figura 4 mostra a curva da potência instantânea do circuito capacitivo puro, que também ésimétrica, de valor médio zero, pois quando a tensão aumenta de zero para seu valor máximo, ocapacitor armazena energia que é integralmente devolvida à fonte de alimentação quando a tensãodiminui do valor máximo para zero.

5 . POTÊNCIA REAL (ATIVA)Como já foi visto, a potência em corrente alternada é dada por P = VI cos ϕ, que é chamada depotência real (ou ativa) e sua a unidade [W] (watt) ou [KW] (quilo-watt). Esta é a potência querealmente se transforma em calor, consumindo energia.

6 . POTÊNCIA APARENTENo circuito de corrente alternada, o produto tensão x corrente (V.I) não é potência real. Isto apenasrepresenta uma potência aparente. É simbolizada por S e usa a unidade [VA] (voft-ampère) ou[KVA] (quilo-voft-ampère).

Logo:

s = VI [VA]Esta potência é usada quando se identifica a capacidade do transformador, gerador ou outras fontesde alimentação.

7 - POTÊNCIA REATIVAA figura 5(a) apresenta o circuito C.A. com uma carga de impedância Z. Ao aplicarmos uma tensãoV; circula uma corrente I, que está atrasada em relação à V. Esta corrente pode ser dividida em 2componentes (figura 5(b)):

(1) A corrente I cos ϕ , em fase com a tensão, que representa acorrente nos elementos resistivos do circuito, chamada de componente ativa.

(2) A componente I sen ϕ , atrasada de 90° em relação à tensão,que representa a corrente nos elementos reativos do circuito (reatância indutiva e capacitiva),chamada de componente reativa

Multiplicando estas componentes por V, teremos a potência real

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(ou ativa) VI cos ϕ e a potência reativa VI sen ϕ (figura 5(c)). A potência reativa é simbolizada porQ e usa a unidade [VAR] (volt-ampère-reativo) ou [KVAR] (quilo-volt-ampère-reativo). Logo:

Q = VI sen ϕ [VAR]

8 - RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIAS

Da figura 5(a), fazemos o triângulo de impedâncias (figura 6) relacionando R, X, Z e o ângulo ϕ.


157

Das figuras 5 e 6 temos as seguintes relações:

Destas relações, a potência rela no circuito RLC C.A. é consumida somente no resistor R, apotência reativa se apresenta apenas na reatância X e a potência aparente é distribuída pelaimpedância Z.

9 - FATOR DE POTÊNCIA

O cos ϕ, que é a relação entre a potência real e a potência aparente é chamado de fator de potência,e é muito importante.Para uma mesma potência, quanto menor o fator de potência, maior a corrente, e,consequentemente, aumentam as perdas por aquecimento e desgaste nas instalações. É consideradobom um fator de potência maior ou igual a 0,85 ou 85%. A tabela 1 mostra valores de fator depotência de alguns equipamentos industriais.

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Exemplo:Dado o circuito da figura 7, construído de um resistor R = 8 [Ω] e um capacitor C = 442 [µF],alimentado por uma tensão V = 100 [V] e freqüência f = 60[Hz], determinar:a) a reatância capacitiva b) a impedãnciac) a corrente d) o fator de potênciae) a potência ativa f) a potência aparenteg) a potência reativa h) a potência sobre o resistori) a tensão sobre o capacitor j) o diagrama vetorial das potências

(triângulo das potências)


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Solução:

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Exercícios1) A corrente total e a resistência total do circuito abaixo valem:

2) Nesta associação de resistores, os valores de i e de R são, respectivamente:


161

3) Dado circuito abaixo

a) Qual a corrente I ?b) Qual a potência ativa da carga?c) Qual a potência reativa da carga?

4)

Calcule i se:

a) As cargas estão ligadas em Y..b) As cargas estão ligadas em 0.

5) Uma carga trifásica, alimentada com uma tensão de 380 V, tem as potências iguais a: PAt = 4000WPreat = 3000VAR

Qual é o F.P. desta carga?

6) Qual a tensão de fase de uma rede em Y, sendo 380V a tensão de linha.a) ( ) 127V; b) ( ) 220V; c) ( ) 440V; d) ( ) 536V; e) ( ) 270V.

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7) A resistência total entre os pontos A e B vale:

a) ( ) 30Ω;b) ( ) 2,7Ω; c) ( ) 7Ω;d) ( ) 5Ω;e) ( ) 3,3Ω.

Este enunciado refere-se as questões 8 e 9:Uma residência é iluminada por 12 lâmpadas incandescentes sendo cinco de 100W e sete de 60Wcada.

8) Para uma média diária de 3h de plena utilização das lâmpadas, qual a energia consumida, emkWh, por elas em um mês de 30 dias?a) ( ) 27,60b) ( ) 920;c) ( ) 8,28;d) ( ) 2,70;e) ( ) 82,8.

9) Sendo de 115V a tensão da instalação, qual é a corrente total utilizada pelas lâmpadas?a) ( ) 317,4A;b) ( ) 24A;c) ( ) 8A;d) ( ) 4,2A;e) ( ) 0,7A.

10) Neste gráfico está representada a relação entre a diferença de potencial elétrico U e a correnteelétrica I em um resistor. Qual é o valor da resistência elétrica desse resistor, em ohms?:


163

a) ( ) 0,5;b) ( ) 1 ,0;c) ( ) 2,0;d) ( ) 20;e) ( ) 40.

11) A d.d.p. entre os extremos de um resistor de 5Ω é igual 10V. A corrente elétrica no resistor temintensidade de:a) ( ) 1A;b) ( ) 2A;c) ( ) 3A;d ) ( ) 4A;e) ( ) 5A.

12) Dois fios condutores, F1 e F2, tem comprimentos iguais e mesma resistência elétrica. Se asecção transversal de F, tem o dobro da área da de F2 e se ρ1 e ρ2 são as resistividades de F1 e F2,respectivamente, a razão ρ1/ρ2 tem valor:a) ( ) 4; b) ( ) 2; c) ( ) 1; d) ( ) 1/2; e) ( ) 1/4.

13) Se a equação P = KI2 deve exprimir a energia dissipada na unidade de tempo em um condutorpercorrido por uma corrente elétrica I, o valor de K deve ser igual a:a) ( ) resistividade do condutor;b) ( ) temperatura do condutor;c) ( ) d.d.p aplicada ao condutord) ( ) resistência do condutor.

14) Este gráfico representa a potência elétrica consumida por um resistor, em função da intensidadeda corrente que atravessa, Se a corrente que atravessa o resistor for de 10A, a potência consumidaserá de:

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a) ( ) 1,0kW.b) ( ) 1,0. 103kW.c) ( ) 1,8 . 102W.d) ( ) 2,7. 102kW.

15) Qual a resistência de uma lâmpada de 220V e 60W? Supondo que a resistência varie pouco coma temperatura, qual a potência dissipada quando a lâmpada é ligada a uma tomada de 110V?

16) Neste circuito, a resistência equivalente entre A e B vale, em ohms:

a) ( ) 2; b) ( ) 4; c) ( ) 5; d) ( ) 3; e) ( ) 1.

17) Este gráfico representa a d.d.p. em uma pilha em função da intensidade de corrente. Calcule aresistência interna dessa pilha.


165

18) Neste circuito, a resistência do gerador é de 5Ω, sua f.e.m. é de 25V e a resistência do circuitoexterno, de 20Ω. Calcule:

a) a intensidade de corrente no circuito;b) a diferença de potencial nos terminaisc) o rendimento do gerador.

19) Determine a intensidade da corrente no resistor de 90Ω

20) Este circuito é formado por três resistores e um gerador ideal G de força eletromotriz igual a 90V.

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a) Qual a intensidade da corrente no gerador?b) Qual a intensidade da corrente no resistor R1?

21) Calcule a intensidade de corrente no resistor de 30Ω.

22) Um gerador tem f.e.m. de 1,5V e resistência interna de 0,10Ω. Ligam-se seus terminais pormeio de uma resistência de 0,65Ω. Nessas condições, calcule a diferença de potencial entre seusterminais.

23) Uma bateria de f.e.m. de 1,5 V foi ligada a um resistor de 0,10Ω de resistência, notando-seneste uma dissipação de potência de 10W. Qual a resistência interna da bateria?

24) Calcule o valor da resistência R para que a corrente i2 seja 2A. Nessa condições, determine ovalor de i1.


167

25) Numa bateria de automóvel de f.e.m. curto-circuito é da ordem de 102A. Qual a ordem degrandeza da resistência interna?

26) Determine a leitura do voltímetro e do amperímetro neste circuito.

27) Neste circuito, calcule a diferença de potencial entre A e B.

28) Um resistor R1 = 20Ω foi associado em série com R2 = 40Ω. O conjunto foi submetido à d.d.p.U = 120 V. Calcule:

a) ( ) a corrente da associação;

b) ( ) a d.d.p. em cada resistor.

29) Podemos ligar uma lâmpada incandescente (comum) de 6,0V e 18W ã rede de 120 V, se lheassociarmos em série um resistor conveniente. Para que a lâmpada funcione com suascaracterísticas indicadas, determine:

a) ( ) o valor da resistência desse resistor;

b) ( ) a potência que dissipará esse resistor.

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30) Aplica-se d.d.p. de 240 V a este conjunto de resistores. Calcule a corrente que atravessa osresistores. Calcule a corrente que atravessa os resistores e a d.d.p. em cada um.

31) Dois resistores de 5Ω e3OΩ de resistência foram associados em série. O conjunto foi submetidoà d.d.p. de 140 V. determine a corrente que atravessa os resistores e a d.d.p. em cada um deles.

32) Sabe-se que a d.d.p. no resistor R1 é igual a 5 V. Calcule a d.d.p. entre os pontos A e B.

33) Três resistores, de 2Ω, 3Ω e 5Ω,foram associados em série. O conjunto foi submetido a d.d.p.de 40V. Calcule a d.d.p. em cada um dos resistores.

34) Um cortador de isopor, constituído por um fio que se aquece por efeito Joule, tem valoresnominais de 3,0V e 0,50W. Deseja-se alimentar o cortador por meio de uma bateria de automóvel(U = 12V). Descreva o resistor que deve ser associados em série ao cortador para que este funcionecom as características indicadas. Qual a potência a ser dissipada por esse resistor?

35) As 10 lâmpadas de uma árvore de Natal são ligadas em série. Numerando essas lâmpadas de 1 a10 e supondo que a nona lâmpada queime:a) ( ) todas apagam;


169

b) ( ) ficam acesas apenas as lâmpadas de 1 a 9c) ( ) somente a nona lâmpada apaga;d) ( ) fica acesa somente a décima lâmpadae) ( ) todas queimam

36) Para controlar a luminosidade de um pequena lâmpada, foi-lhe associado em série um reostatocujo resistência varia entre zero e 20Ω. A resistência da lâmpada é de 10Ω. Aplica-se ao conjuntouma d.d.p de 3V. Calcule a máxima e a mínima potência que a lâmpada pode dissipar quando sevaria a resistência do reostato.

37) Um resistor de 10Ω de resistência, aplica-se ao resistor uma diferença de potencial constanteigual a 42V.

a) Calcule a potência dissipada por esse resistor.

38) Consultando as especificações do fabricante, verifica-se que um determinado resistor podedissipar, no máximo 1 W. Sendo de 100Ω sua resistência, calcule a máxima corrente que elesuporta.

39 ) Calcule a resistência de uma lâmpada que tem os seguintes dados nominais: 110V / 60W.

40) A resistência de um chuveiro quebrou próximo a uma extremidade e foi emendada. Seu novocomprimento ficou um pouco menor. O chuveiro vai esquentar mais ou menos que antes? Por quê?:

41) Um resistor de resistência invariável R submetido à d.d.p. U dissipa potência p. qual a potênciadissipada quando a d.d.p. for 2 U?

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42) Uma lâmpada tem a indicação 60W / 120V. Sendo percorrida por uma corrente de 500mA deintensidade, pode-se afirmar que:a) ( ) seu brilho será menor que o normal;b) ( ) seu brilho será maior que o normal;c) ( ) seu brilho será normal;d) ( ) não suportará o excesso de corrente;e) ( ) Não há dados suficiente para fazer qualquer afirmação.

43) No caso de um chuveiro ligado à rede elétrica:a) ( )diminuindo a resistência, a temperatura da água aumenta (conservando-se constante a vazão

de água);b) ( ) diminuindo a resistência, a temperatura da água diminui (conservando-se constante a vazão

de água);c) ( ) a potência dissipada é independente da resistência elétrica do chuveiro.

44) A figura esquematiza o circuito elétrico de um ferro de engomar em funcionamento. A potênciapor ele dissipada é de, aproximadamente:

a) ( ) 900W;b) ( ) 120W;c) ( ) 1920W;d) ( ) 750W;e) ( ) 1440W

45) A figura mostra uma associação de resistores em que R, = 6Ω, R2 = 1,5Ω, R3 = R4 = 3Ω e i3 =2A. A intensidade de corrente elétrica que atravessa R2 vale

a) ( ) 2A;


171

b) ( ) 3A; c) ( ) 4A; d) ( ) 5A; e) ( ) 6A.

46) Neste circuito, todos os resistores são iguais e, com a chave CH aberta, flui uma corrente I noponto P. Com a chave CH fechada, a corrente elétrica no ponto P é igual a:

a) ( ) i;b) ( ) i/2;c) ( ) i/3;d) ( ) 3i/4;e) ( ) 4i/3;

47) Nesta associação de resistores, os valores de i e de R são, respectivamente:

a) ( ) 8A e 5Ω;b) ( ) 5A e 8Ω;c) ( ) 1 ,6A e 5Ω;d) ( ) 2,5A e 2Ω;e) ( ) 80A e 160Ω

48) Considere uma lâmpada de 2,0Ω de resistência ligada aos terminais de uma pilha ideal de 6,0V.A intensidade de corrente na lâmpada e sua potência elétrica são respectivamente iguais a:

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a) ( ) 3,0A e 6,0W b) ( ) 3,0A e 18W; c) ( ) 12A e 12W; d) ( ) 12A e 18W; e) ( ) 0,33A e 20W.

49 ) As lâmpadas 1, 2 e 3 são idênticas e o gerador tem resistência desprezível. O que acontece como brilho das lâmpadas 1 e 2 ao se fechar o interruptor da lâmpada 3?

lâmpada 1 lâmpada 2a) ( ) aumenta, diminui;b) ( ) aumenta, aumenta;c) ( ) diminui, não varia;d) ( ) não varia, diminui;e) ( ) não varia, aumenta.

50) Numa resistência estão ligados:· 2 lâmpadas de 100W;· 1 ferro elétrico de 500W;· 1 geladeira que consome 300W.A diferença de potencial na rede elétrica é de 110V. Calcule a corrente total que está sendofornecida a essa casa.

51) Um chuveiro opera com 2 500W de potência e 220V d.d.p. qual a corrente que o atravessa?

52) Um motor opera com 220V, 10A, fator de potência 0,80. Supondo que o preço do kWh deenergia elétrica seja de R$0,15, determine o custo de funcionamento desse motor por hora.


173

53) Uma lâmpada de lanterna opera com 5V de d.d.p. e 2A de intensidade de corrente. Qual suapotência? Qual a energia consumida em 30s?

54) Suponha esta lâmpada tenha sido ligada com 120V.

a) Qual é a intensidade da corrente que a percorre?b) Qual é o gasto mensal de energia, em kWh, supondo que ela fique ligada 4h por dia? (Considere

um mês de 30 dias.)c) Supondo que o kWh residencial custe R$ 0,15, qual será o gasto mensal com essa lâmpada?

55) Um chuveiro elétrico, quando sob d.d.p. de 220V, é atravessado por uma corrente elétrica deintensidade de 10A. Qual é a energia elétrica consumida, em kWh, em 15 min de funcionamento?a) ( ) 33;b) ( ) 3,3;c) ( ) 1,21;d) ( ) 5,5;e) ( ) 0,55.

56) Qual a resistência equivalente a este conjunto?.

57) Este conjunto de resistires foi submetido à d.d.p. U = 2,4 V. Calcule a corrente em cada resistor.

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58) Aplicou-se d.d.p. de 90V entre os pontos A e B deste sistema. Calcule a corrente em cadaresistor.

59 ) Calcule a resistência equivalente a cada conjunto de resistores:


175

60) Calcule a resistência equivalente a este conjunto de resistores. Sabendo que o conjunto éatravessado pela corrente i = 10A, calcule a corrente em cada resistor.

61) Dois resistores, de 6OΩ e 12Ω de resistência, foram associados em paralelo. a corrente queatravessa o conjunto tem 30A de intensidade. Calcule a corrente em cada resistor.

62) Duas lâmpadas possuem os seguintes dados nominais· Lâmpada 1: 120V / 60W· Lâmpada 2: 120V / 30W

As duas foram associadas em paralelo e ligadas à d.d.p. de 120V. qual é a corrente total queatravessa a associação?

63) Calcule a resistência equivalente a cada conjunto.

64) Várias lâmpadas idênticas estão ligadas em paralelo a uma rede de alimentação de 110V.Sabendo que a corrente elétrica que percorre cada lâmpada é de 6/11A, pergunta-se:a) Qual a potência dissipada em cada lâmpada?b) Se a instalação das lâmpadas estiver protegida por um fusível que suporta até 15A, quantas

lâmpadas podem, no máximo, ser ligada?

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65) Sabe-se que este conjunto é atravessado pela corrente i = 100A. Calcule a corrente em cada umdos resistores.

66) Dois resistores de resistência R foram associados paralelo. Qual é a resistência equivalente aoconjunto?

67) Determine a resistência equivalente quando se associam 10 resistores de 50Ω:a) ( ) em série;b) ( ) em paralelo

68) Associam-se em paralelo n resistores, cada um com resistência R. Qual é a resistênciaequivalente a associação?

69 ) Neste circuito, a diferença de potencial Vm - Vn = 6,0V. Tendo o gerador resistência internadesprezível, sua força eletromotriz vale:

a) ( ) 1 ,5V; b) ( ) 3,0V; c) ( ) 6,0V; d) ( ) 9,0V; e) ( ) 18V.

70) Nesta figura, AB representa um gerador de resistência interna r = 1 Ω. O amperímetro A e ovoltímetro V são instrumentos considerados ideais. O voltímetro acusa 50 V. Pede-se:


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a) a corrente marcada pelo amperímetro;b) acorrente de curto-circuito do gerador.

71) A voltagem existente entre os pontos A e B do circuito vale:

a) ( ) 1 V;b) ( ) 2V;c) ( ) 3V;d) ( ) 4V;e) ( ) 5V.

72) Uma bateria de automóvel de 12V, com resistência interna de 0,60Ω, tem seus terminaisacidentalmente ligados em curto-circuito. A corrente de curto-circuito tem intensidade:a) ( ) zero; b) ( ) 6A; c) ( ) 24A; d) ( ) infinita e) ( ) n.d.a.;

73) A d.d.p. entre os terminais de uma bateria é de 8,5V quando há uma corrente de 3A que apercorre, internamente, do terminal negativo para o positivo. Por outro lado, quando a corrente quea percorre internamente é de 2A, indo do terminal positivo para o negativo, a d.d.p. entre seusterminais é de 11V. Nestas condições, a resistência interna da bateria, em ohms, e sua f.e.m emvolts, são respectivamente de:a) ( ) 2 e 100;b) ( ) 0,5 e 10;c) ( ) 0,5 e 1 2;d) ( ) 1,5 e 10;e) ( ) 5 e 10.

74). Associam-se em série dois capacitores de capacidades C1 = 90µF e C2 = 10µF. Se aplicarmos200V de d.d.p. ao conjunto, qual será a carga e a d.d.p. em cada componente?

________________________________________________________________________________________________CST


75) Dois capacitores de capacidade C1 = 20 x 10-3 F e C2 = 30 x 10-3 F, são associados em paralelo.Aplica-se 100V de d.d.p ao conjunto. Qual a carga de cada capacitor?

76) Considere esta associação.a) Determine a capacidade equivalente entre A e B;b) Aplicando uma d.d.p. de 10 V entre os pontos A e B, qual a carga em cada capacitor de 10µF?

77) Dois capacitores de capacidades 30 mF e 60 F (1 F = 10-3 F) foram associados em série. Oconjunto foi submetido à d.d.p. de 2V. Determine:a) a carga do conjunto;b) a tensão em cada capacitor

78) Associam-se em paralelo três capacitores de capacidades C1 = 10µ.F, C2 = 20µF e C3 = 30µF. Oconjunto recebe carga total de 120µC. Calcule a carga de cada um.

79) Determine a capacidade equivalente de cada um destes conjuntos:

80) Este conjunto é submetido à d.d.p. de 300V.Calcule a tensão e a carga de cada capacitor.


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81) Neste esquema considere C1 = 10µF, C2 = 5µF, C3 = 15µF e U = 100V. Determine a carga deC1.

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Senai eletricidade basica - 2 (ng)