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SISTEMAS ELTRICOSDE POTNCIA Notas de Aula Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida Universidade Tecnolgica Federal do Paran UTFPR Departamento Acadmico de Eletrotcnica DAELT [email protected] Verso 03/07/2011 Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 2 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRSUMRIO 1.UM POUCO DE HISTRIA .......................................................................................................................... 4 2.GLOSSRIOS ............................................................................................................................................... 6 3.INTRODUO ............................................................................................................................................. 8 4.O SISTEMA POR UNIDADE .......................................................................................................................11 4.1.INTRODUO .............................................................................................................................................. 11 4.2.DEFINIO DE PU ....................................................................................................................................... 11 4.3.MUDANA DE BASE ..................................................................................................................................... 15 4.4.TRANSFORMADOR DE DOIS ENROLAMENTOS .................................................................................................. 17 4.5.TRANSFORMADOR DE TRS ENROLAMENTOS .................................................................................................. 21 4.6.TRANSFORMADOR COM TAP FORA DO VALOR NOMINAL ................................................................................... 23 4.7.MODELOS DE GERADORES SNCRONOS ........................................................................................................... 32 4.8.MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSO ......................................................................................................... 36 4.9MODELOS DE CARGAS .................................................................................................................................. 38 4.10INTRODUO AOS ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITO. ........................................................................................... 41 4.11EXERCCIOS ................................................................................................................................................ 48 5.COMPONENTES SIMTRICAS ..................................................................................................................53 5.1.INTRODUO .............................................................................................................................................. 53 5.2.O TEOREMA DE FORTESCUE ......................................................................................................................... 53 5.3.POTNCIA COMPLEXA .................................................................................................................................. 60 5.4.IMPEDNCIAS DE SEQUNCIA ........................................................................................................................ 61 5.5.IMPEDNCIAS DE SEQUNCIA DOS COMPONENTES DE UM SEP.......................................................................... 63 5.6.EXERCCIOS ................................................................................................................................................ 83 6.CLCULO DE CURTO-CIRCUITO ..............................................................................................................87 6.1.INTRODUO .............................................................................................................................................. 87 6.2.CURTO-CIRCUITO FASE-TERRA ..................................................................................................................... 88 6.3.CURTO-CIRCUITO FASE-FASE ........................................................................................................................ 90 6.4.CURTO-CIRCUITO FASE-FASE-TERRA ............................................................................................................. 92 6.5.MTODO DA MATRIZ IMPEDNCIA DE BARRA ............................................................................................... 100 6.6.OBTENO DIRETA DA MATRIZ IMPEDNCIA DE BARRA ................................................................................. 107 6.7.EXERCCIOS .............................................................................................................................................. 109 7.FLUXO DE POTNCIA ............................................................................................................................. 112 7.1.INTRODUO ............................................................................................................................................ 112 7.2.MTODO DE GAUSS ................................................................................................................................... 115 7.3.MTODO DE GAUSS-SEIDEL ....................................................................................................................... 121 7.4.MTODO DE NEWTON-RAPHSON ................................................................................................................ 122 7.5.MTODO DESACOPLADO RPIDO ................................................................................................................ 137 7.6.EXERCCIOS .............................................................................................................................................. 140 8.ESTABILIDADE ESTTICA E TRANSITRIA ......................................................................................... 142 8.1ESTABILIDADE EM REGIME PERMANENTE .................................................................................................... 142 8.2MQUINA DE POLOS LISOS EM REGIME PERMANENTE .................................................................................... 143 8.3CURVA DE CAPABILIDADE E CURVAS V ...................................................................................................... 149 8.4MQUINA DE POLOS SALIENTES EM REGIME PERMANENTE ............................................................................ 151 8.5ESTABILIDADE EM REGIME TRANSITRIO ..................................................................................................... 151 8.6DINMICA DA MQUINA SNCRONA LIGADA AO BARRAMENTO INFINITO .......................................................... 151 8.7EQUAO GERAL DA OSCILAO.................................................................................................................. 152 8.8ANLISE LINEARIZADA MQUINA DE POLOS LISOS ...................................................................................... 153 8.9MTODO DAS REAS IGUAIS MQUINA CONECTADA AO BARRAMENTO INFINITO ............................................ 159 Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 3 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR8.10MTODO DAS REAS IGUAIS SISTEMAS DE DUAS MQUINAS ......................................................................... 159 8.11SOLUO NUMRICA PARA MQUINA CONECTADA AO BARRAMENTO INFINITO ................................................. 159 8.12SOLUO NUMRICA PARA SISTEMAS MULTIMQUINAS ................................................................................. 159 8.13SERVIOS ANCILARES ................................................................................................................................ 159 8.14RESERVAS GIRANTE E NO GIRANTE ............................................................................................................ 159 8.15REGULAES PRIMRIA E SECUNDRIA ....................................................................................................... 159 8.16CONTROLE AUTOMTICO DE GERAO......................................................................................................... 160 8.17CONTROLE DE CARGA E FREQUNCIA ........................................................................................................... 160 8.18EXERCCIOS .............................................................................................................................................. 160 9.OPERAO ECONMICA DE SISTEMAS ................................................................................................ 161 10.LINHAS DE TRANSMISSO ................................................................................................................ 162 11.BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................... 163 Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 4 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR1.UM POUCO DE HISTRIA O curso de Engenharia Eltrica da UTFPR, anteriormente denominado Engenharia El-trica, nfase Eletrotcnica, tem no momento mais de trinta anos de existncia e uma posio consolidada junto comunidade acadmica paranaense. Nossa Universidade Tecnolgica Fede-ral do Paran completou seu primeiro centenrio em 2009 e, embora tenha ainda pouca experin-cia como universidade, posio que assumiu apenas em 2005, tambm uma instituio consoli-dada no Paran e no Brasil. Durante toda a existncia do nosso curso de Engenharia, a disciplina de Sistemas Eltri-cos de Potncia tem sido obrigatria. Anteriormente, nas grades antigas, este curso era oferecido em apenas um semestre, com 60 horas semanais, no qual se abordavam basicamente curto-circuito e fluxo de potncia, assim como os conceitos tericos necessrios ao desenvolvimento de tais contedos.Assuntos como estabilidade de sistemas eram abordados de maneira introdu-tria na disciplina de Gerao de Energia e havia pouco espao para estudos sobre transitrios, fluxo de potncia timo e outros. A disciplina Sistemas de Potncia 1 da grade atual tem basicamente a mesma ementa da antiga Sistemas Eltricos de Potncia: modelagem de sistemas de potncia, sistema por unida-de, componentes simtricas, curto-circuito e fluxo de potncia. J a disciplina de Sistemas de Potncia 2 (optativa, mas ofertada todo semestre) trata de controle de potncia ativa, reativa, tenso e frequncia, modelamento de reas de controle, estabilidade esttica e transitria e mto-dos de anlise do problema da estabilidade. Adicionalmente, as disciplinas de Operaes de Sis-temas, Planejamento de Sistemas, Proteo de Sistemas, Sobretenses em Sistemas Eltricos de Potncia, Linhas de Transmisso, Subestaes, assim como outras, possibilitam que o estudante possa concentrar seus estudos com grande eficincia, caso este seja seu objetivo, na rea de Sis-temas de Potncia. Longe de pretenderem substituir a literatura existente na rea, as presentes Notas de Aula (no momento incompletas) tm o objetivo de facilitar a introduo do aluno nessa rea fasci-nante dos Sistemas Eltricos de Potncia, to essencial a um pas dotado de um imenso sistema eltrico interligado, como o caso do Brasil. Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR, Curitiba, 2010 Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 5 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRObservaes: 1)Todas as figuras deste trabalho, exceto a Figura 3.1, foram elaboradas pelo autor usando o GNU Image Manipulation Program GIMP 2.6, disponvel em www.gimp.org. 2)Todas as fotografias so de domnio comum. 3)No momento (03/07/11) este um trabalho em progresso. Em caso de constatao de erros, o autor agradece notificaes enviadas pelo e-mail [email protected]. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 6 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR2.GLOSSRIOS Glossrio de smbolos usados como subndices ou sobre-ndices SmboloIndicao dada pelo ndice 0Componente de sequncia zero 1 Componente de sequncia positiva 2Componente de sequncia negativa 012Sistema de sequncia (equilibrado) a Fase a b Fase b, valor base c Fase c, perdas no ncleo (core) abc Sistema original (desequilibrado) ca Circuito aberto cc Curto-circuito d Componente de eixo direto ef Valor eficaz elt Grandeza eltrica gEntreferro, componente de entreferro h Ordem de um harmnico i Entrada (input) q Componente de eixo em quadratura Tenso ou corrente de linha max Valor mximo mec Grandeza mecnica mit Mquina de induo trifsica mst Mquina sncrona trifsica mim Mquina de induo monofsica min Valor mnimo msm Mquina sncrona monofsica mdc Mquina de corrente contnua m Grandeza magntica, magnetizao n Valor nominal n Componente normal o Sada (output) pu Por unidade (valor por unidade) q Componente de eixo em quadratura r Componente radial, rotor rb Rotor bloqueado s Saturado, sncrono, sncrona T Total |Componente tangencial OPerdas hmicas, componente de perdas hmicas Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 7 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Glossrio de smbolos gerais SmboloUnidadeDescrio a m/s2Acelerao A m2rea da seo reta B TInduo magntica C FCapacitncia e VFora eletromotriz instantnea E VFora eletromotriz eficaz f HzFrequncia fp Fator de potncia F A-e/mFora magnetomotriz H A-eIntensidade magntica I ACorrente eltrica mComprimento L HIndutncia N rpmRotao, velocidade NsrpmVelocidade sncrona p Nmero de polos P WPotncia ativa q Nmero de fases Q varPotncia reativa r O Resistncia eltrica r mRaio s Escorregamento S VAPotncia aparente t STempo, intervalo de tempo T NmTorque, conjugado ou binrio V VTenso nos terminais x O Reatncia xL O Reatncia indutiva xC O Reatncia capacitiva Z O Impedncia o Graus, radngulo de carga Graus, radngulo do fator de potncia u WbFluxo magntico por polo q Rendimento, eficincia H/mPermeabilidade magntica OmResistividade eltrica e Rad/sVelocidade angular ou frequncia angular es Rad/sVelocidade angular sncrona Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 8 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR3.INTRODUO Em agosto de 2010 o Sistema Interligado Brasileiro (SIN) era composto por 2.271 em-preendimentos de gerao em operao, totalizando uma potncia instalada de 110.224 MW. Desta potncia, 69,24% correspondem a Usinas Hidreltricas (UHEs), 25,15% correspondem a Usinas Termeltricas Convencionais (UTEs), 1,82% a Usinas Termeltricas Nucleares (UTNs) e o restante a Pequenas Centrais Hidreltricas (PCHs), e Centrais Elicas (EOL). A necessidade de alimentar os grandes centros consumidores do Sudeste a partir da ener-gia produzida em regies remotas do pas tornou necessria a construo de uma extensa rede de transmisso, conforme ilustrada na Figura 3.1. Figura 3.1Integrao eletroenergtica do Sistema Interligado Nacional (SIN) Fonte: ONS, http://www.ons.com.br/conheca_sistema/mapas_sin.aspx A interligao do SIN feita por meio da Rede Bsica, redefinida em 1998 por meio da Resoluo ANEEL 245/1998. A Rede Bsica dos sistemas eltricos interligados constituda por todas as linhas de transmisso em tenses iguais ou superiores a 230 kV e subestaes que con-tenham equipamentos em tenso igual ou superior a 230 kV, integrantes de concesses de servi-Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 9 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRos pblicos de energia eltrica. Excepcionalmente, linhas e subestaes em tenses inferiores a 230 kV podem fazer parte da Rede Bsica, desde que autorizadas pelo Operador Nacional do Sistema (ONS). O planejamento e operao de sistemas eltricos, do porte do sistema brasileiro ou no, demandam estudos bastante complexos, tais como os estudos de previso de carga, de fluxo de potncia, de curto-circuito e de estabilidade. Modernamente todos esses estudos so feitos por meio de computadores, alguns deles em tempo real. A finalidade das disciplinas de Sistemas de Potncia 1 e 2 fornecer uma introduo a esses assuntos. Fluxo de potncia, tambm conhecido como fluxo de carga, um problema matemti-co, cujo objetivo determinar as tenses e potncias em todos os barramentos de um sistema eltrico. Dessa forma podemos dimensionar linhas de transmisso, transformadores e demais equipamentos que faro parte do sistema, bem como oper-los corretamente, de modo a manter os padres adequados de tenso e frequncia. Um mtodo elementar para soluo de fluxo de potncia o Gauss-Seidel, que, embora didtico, apresenta as desvantagens de no convergir sempre e de no se prestar a sistemas com mais do que algumas dezenas de barras. Nesses casos, outros mtodos, como o Newton-Raphson, devem ser utilizados. O mtodo desacoplado rpi-do, que uma simplificao do Newton-Raphson, tambm pode ser utilizado em alguns casos. A operao correta dos sistemas tambm depende do conhecimento dos nveis de curto-circuito em cada barramento, de modo que sistemas adequados de proteo possam ser dimensi-onados. Em linhas gerais, o problema de curto-circuito nada mais do que um problema de fluxo de potncia no qual uma das barras submetida a condies de curto, ou seja, forada a manter tenso nula ou quase nula. O curto, mais apropriadamente denominado falta, pode ser simtrico, como nos casos dos curtos trifsico e trifsico-terra, ou assimtrico, como nos casos dos curtos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. Sendo um problema de fluxo de potncia em condies excepcionais, poderamos em princpio usar os mtodos de fluxo de potncia para resolver pro-blemas de curto-circuito. Conduto, no caso dos curtos assimtricos, o problema se torna mais complexo, pois as correntes em cada uma das fases sero diferentes. Felizmente, em situaes de curto podemos fazer algumas simplificaes no sistema e podemos tambm usar o mtodo das componentes simtricas, o que nos permitir conhecer correntes e potncias de curto em cada uma das barras do sistema. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 10 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRFluxo de potncia e curto-circuito formam o contedo bsico de Sistemas de Potncia 1, juntamente com os contedos auxiliares (modelos de equipamentos, sistema por unidade e com-ponentes simtricas). Finalmente, estudos de estabilidade tm o objetivo de determinar os limites operacionais de geradores sncronos operando em sistemas multimquinas. Como sabemos, nos geradores de polos lisos o ngulo de estabilidade esttica, ou seja, o ngulo para potncia mxima, 90. J nos geradores de polos salientes esse valor ser inferior a 90, por causa da diferena entre as reatncias de eixo direto e de eixo em quadratura. Contudo, interessa-nos conhecer tambm o ngulo de estabilidade dinmica da mquina, que depender da inrcia do rotor e de outras variveis, e acima do qual a mquina perder estabilidade, devendo ser retirada do sistema ou ter sua situao corrigida. Problemas de estabilidade envolvem basicamente a soluo de equaes diferenciais de segunda ordem, mas mtodos simplificados tambm podem ser empregados. Na atual grade do curso de Engenharia Eltrica esse assunto abordado em Sistemas de Potncia 2. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 11 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR4. O SISTEMA POR UNIDADE 4.1. Introduo Sistemas Eltricos de Potncia (SEPs) so geralmente formados por vrios transformado-res elevadores e abaixadores. Em decorrncia disso, haver vrias tenses e correntes nominais em cada lado de cada um dos transformadores, tornando os clculos bastante trabalhosos e com-plexos. Assim, em vez de usarmos as unidades convencionais, como volts, amperes e ohms, conveniente introduzirmos um sistema de unidades, denominado sistema pu (por unidade), no qual, como veremos, todas as relaes de transformao de todos os transformadores se tornam unitrias,facilitando enormemente os clculos. 4.2. Definio de PU Um valor em pu nada mais do que o valor original de uma grandeza qualquer, tal como tenso, corrente, impedncia, etc., escrito em relao a um valor base da mesma grandeza. Sendo Vreal o valor da grandeza original e Vbase o valor base, o valor expresso em pu ser basereal puVVV = . (4.1) Definio de um valor em pu Um valor expresso em pu igual a um centsimo do mesmo valor, quando expresso de forma percentual. Da mesma forma que percentuais, valores em pu so adimensionais. Todavia, costumamos anexar a partcula pu ao final dos valores, de modo a evitar confuso. Quando expressamos valores finais, tanto faz usar pu ou %. Nos clculos, contudo, o sis-tema pu mais adequado. A razo que dois valores percentuais, quando multiplicados, devem ser divididos por 100 para resultar em um novo valor percentual. Por outro lado, a multiplicao de dois valores em pu j fornece o novo valor tambm em pu. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 12 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRExemplo 4.1. Um transformador de tenso nominal primria igual a 13,8 kV opera momentane-amente em 14 kV. Expresse a tenso de operao em pu e em percentual, na base do equipamen-to. Soluo. O valor em pu puVVVbasereal pu0145 , 1kV 8 , 13kV 14= = = , enquanto o valor percentual % 45 , 101 0145 , 1 100 100%= = =puV V . As principais vantagens do sistema por unidade so: 1)Os fabricantes de equipamentos tais como geradores, motores e transformadores costu-mam fornecer reatncias e impedncias j em pu ou em %, expressas nas bases nominais dos equipamentos. 2)Equipamentos semelhantes (mesma tenso, mesma potncia, etc.) tm impedncias seme-lhantes quando expressas em pu. Isso facilita os clculos para substituio de equipamen-tos e para expanso e reformulao de redes. 3)O uso do fator3 minimizado nos clculos trifsicos em pu. 4)Como veremos, a impedncia de transformadores, quando expressa em pu, independen-te do lado (alta, mdia, baixa tenso) que tomamos como referncia. Alm disso, a impe-dncia de transformadores torna-se independente do tipo de ligao (delta-estrela, delta-delta, estrela-estrela, etc.). 5) Em pu mais fcil identificar quando os valores de grandezas como tenses e potncias se afastam dos valores nominais. Por exemplo, as tenses em qualquer barramento podem variar em 5% em relao tenso nominal. Logo, as tenses mnima e mxima permiti-das sero respectivamente iguais a 0,95 pu e 1,05 pu em relao tenso nominal, seja qual for esta. 6)Caso a tenso seja 1 pu, a potncia aparente e a corrente em pu sero numericamente i-guais, por causa do cancelamento do fator3 , como segue pu pub bpuI VI VVIS = =33. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 13 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPREm princpio, h um grande grau de arbitrariedade na escolha do valor base para determi-nada grandeza. Em sistemas de potncia, entretanto, estamos geralmente mais interessados em quatro grandezas inter-relacionadas, o que far com que as respectivas bases sejam tambm in-ter-relacionadas. So elas: 1)Tenso eltrica V (em kV). 2)Potncia aparente S (em MVA). 3)Corrente eltrica I (em A ou kA). 4)Impedncia Z (em W). Escolhendo-se as bases para duas das grandezas acima, as bases para as outras duas se-guem diretamente. Geralmente iremos escolher as bases para tenso (Vb) e para potncia (Sb), calculando as bases para impedncia (Zb) e corrente (Ib). Em circuitos trifsicos, que o caso usual, teremos ( )bbbSVZ2= .(4.2) Impedncia-base em funo de Vb e Sb. e bbbVSI3= . (4.3) Corrente-base em fun-o de Vb e Sb. Observaes: 1)A potncia-base nica e uma s para todos os barramentos do sistema em anlise. 2)As bases de tenso, corrente e impedncia transformam-se de acordo com as relaes de transformao usuais dos transformadores. 3)Linhas de transmisso e impedncias em srie e em paralelo no afetam as bases de ten-so, corrente e impedncia. Apenas transformadores afetam tais bases. O exemplo a seguir esclarece essas caractersticas das bases das diversas grandezas. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 14 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRExemplo 4.2. Converta para pu as impedncias do sistema abaixo e determine as bases de tenso e de impedncia em cada barramento. Considere que a potncia-base 20 MVA e que a tenso-base no primeiro barramento 13,8 kV. Figura 4.1 Sistema para o Exemplo 4.2 Soluo. A tenso-base na barra 1 kV 8 , 131 =bV . A tenso-base na barra 2 pode ser obtida considerando-se a relao de transformao do transformador, ou seja = =8 , 13kV 8 , 13kV 1381 12 2b T bV k V kV 1382=bV A tenso-base na barra 3 igual tenso-base na barra 2, pois linhas de transmisso no afetam as bases de tenso:

kV 1383=bV As impedncias-base podem ser obtidas a partir da potncia-base e das tenses-base ( )( ) = = MVA 20kV 8 , 132211bbbSVZ O = 522 , 91bZ ( )( ) = = MVA 20kV 1382222bbbSVZ O = 2 , 52 92bZ =2 3b bZ ZO = 2 , 52 93bZ As reatncias do gerador e do transformador podem ser facilmente convertidas para pu = 100j10%1Gx pu j xG10 , 01= = 100j12%12Tx pu j xT12 , 012= Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 15 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRA reatncia em pu da linha de transmisso pode ser obtida dividindo-se a reatncia em ohms pela impedncia-base nas barras 2 e 3

= 2 , 952 j8012LTx pu j xLT084 , 012= 4.3. Mudana de base As impedncias de equipamentos tais como geradores, motores e transformadores so ge-ralmente expressas pelo fabricante nas respectivas bases nominais. Contudo, as bases do sistema em anlise geralmente so diferentes das bases dos equipamentos, sendo necessrio transformar de uma para outra e vice-versa. Sejam inicialmente as variveis abaixo: bvS = potncia-base velha (equipamento). bnS = potncia-base nova (sistema). bvV = tenso-base velha (equipamento). bnV = tenso-base nova (sistema). OZ = impedncia original do equipamento, em ohms. puvZ = impedncia em pu na base velha. punZ = impedncia em pu na base nova. Retomando a definio de pu, podemos agora escrever bvpuvZZZO=e bnpunZZZO= . Igualando OZnas expresses acima, vm bnpun bvpuvZ Z Z Z Z = =O. Queremos obter a impedncia em pu na base nova em funo da impedncia em pu na base antiga. Logo, devemos escrever bnbv puvpunZZZ Z = . Substituindo( )bv bv bvS V Z /2=e( )bn bn bnS V Z /2= , teremos Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 16 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR2||.|

\| =bnbvbvbn puvpunVVSSZ Z .(4.4) Mudana de bases de uma impedncia em pu. Exemplo 4.3. Considerando, no sistema abaixo, que a potncia-base 50 MVA e que a tenso-base na barra 1 15 kV, converta todas as impedncias para pu, nas bases do sistema. Figura 4.2 Sistema para o Exemplo 4.3 Soluo. A tenso-base na barra 1, 1bV , foi arbitrada em 15 kV. A tenso-base na barra 2 pode ser obtida a partir de 1bV , ou seja =15kV 8 , 13kV 25 12bV kV 135,872=bV A tenso-base na barra 3 igual tenso-base na barra 2 kV 135,873=bV A tenso-base na barra 4 pode ser calculada da mesma maneira =87 , 135kV 138kV 6,64bV kV 6,504=bV A nica impedncia-base que interessa a das barras 2 e 3, pois somente nesse trecho temos impedncias em ohms que devem ser convertidas para pu ( )( ) = = = MVA 50kV 87 , 1352223 2bbb bSVZ ZO = 21 , 3692bZ As reatncias de G1, T12 e T34 podem agora ser expressas em pu e transformadas para as bases novas (do sistema) Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 17 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR

|.|

\| =1515305008 , 021j xGpu 1333 , 01j xG=

|.|

\| =158 , 13505010 , 0212j xTpu 0846 , 012j xT= |.|

\| =87 , 135138405012 , 0234j xTpu 1547 , 034j xT= A reatncia da linha de transmisso pode finalmente ser calculada como ( ) ( ) = = =50 / 87 , 135100 /100 1002 22 223jS VjZjxb b bLTpu 9 0,27023=LTx A carga na barra 4 tambm pode ser escrita em pu =MVA 50MVA 254S pu 0 5 0,4 = S Sabendo agora que todos os elementos do sistema podem ser representados por meio de suas impedncias, podemos desenhar o diagrama da Figura 4.3 a seguir. . Figura 4.3 Diagrama de reatncias para o Exemplo 4.3 4.4. Transformador de dois enrolamentos Podemos agora mostrar que a impedncia em pu de um transformador de dois enrolamen-tos a mesma, independentemente do lado que se tome como, referncia. Considere inicialmente o modelo de circuito equivalente de um transformador genrico de dois enrolamentos, como mostrado na Figura 4.4, no qual os parmetros do secundrio foram referidos ao primrio por meio da relao de espiras k=N1/N2. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 18 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.4 Circuito equivalente por fase de um transformador de dois enrolamentos O circuito ilustrado para uma fase apenas, pois os circuitos para as demais fases so i-dnticos, a menos das defasagens adequadas de tenses e correntes. Os parmetros do circuito equivalente, em O/fase, so: 1r = resistncia eltrica do primrio. 22r k = resistncia eltrica do secundrio referida ao primrio. 1x = reatncia de disperso do primrio. 22x k = reatncia de disperso do secundrio referida ao primrio. cr = resistncia eltrica correspondente s perdas no ncleo (histerese e Foucault). mx = reatncia de magnetizao. O procedimento matemtico de se referir as impedncias do secundrio ao primrio per-mite substituir o acoplamento magntico do transformador por um acoplamento eltrico, mais fcil de ser tratado. Em transformadores de potncia, que sempre o nosso caso, a corrente de excitao |I desprezvel frente corrente do primrio 1I. Sendo assim, e desde que o transformador esteja prximo condio nominal, o ramo de excitao pode ser removido. O circuito equivalente simplificado resultante mostrado na Figura 4.5. Uma segunda simplificao possvel, pois transformadores de potncia so construdos com condutores de seo reta elevada e, logo, de baixa resistncia eltrica. Assim, as resistncias r1 e r2 podem ser desprezadas frente s reatncias x1 e x2 , resultando no circuito equivalente mostrado no Figura 4.6. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 19 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRO transformador de potncia pode assim ser representado por uma nica reatncia referi-da ao primrio. Contudo, essa mesma reatncia pode tambm ser referida ao secundrio, resul-tando em 221/ x k x xT+ = . As reatncias referidas ao primrio e ao secundrio sero tanto mais diferentes entre si quando maior for o valor da relao de transformao k. Figura 4.5Circuito equivalente simplificado de um transformador de dois enrolamentos Figura 4.6Circuito equivalente simplificado final de um transformador de dois enrolamentos A reatncia xT=x 1 + k2x2 pode ser obtida por meio do ensaio de curto-circuito, tambm conhecido como ensaio de corrente nominal. Podemos agora mostrar que, quando expressa em pu, xT independe de que lado tomamos como referncia. Sejam inicialmente: Ax = reatncia prpria do lado de alta tenso. Bx = reatncia prpria do lado de baixa tenso. ATx = reatncia total, referida ao lado de alta tenso. BTx = reatncia total, referida ao lado de baixa tenso. A reatncia total referida ao lado de alta ser B A Tx k x xA2+ = , Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 20 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRa qual, convertida para pu, poder ser escrita como AAbB A puTZx k xx2+= . Sabendo ainda que( )b b bS V ZA A/2=e B Ab bV V k / = , vem ( )( )b bB b b puApuTS Vx V Vx xAB AA//22+ = , ou, ( )puBpuAb bB puApuTx xS Vxx xBA+ = + =/2.(4.5) De forma semelhante, podemos escrever a reatncia referida ao lado de baixa comoBATxkxxB+ =2, a qual, convertida para pu, poder ser escrita como BBbBApuTZxkxx+=2. ou( )( )puBb bA b b puTxS Vx V VxBA BB+ =//22, ou, ainda ( )puBpuApuBb bA puTx x xS VxxAB+ = + =/2.(4.6) Comparando (4.5) e (4.6), vem que puBpuApuTpuTx x x xB A+ = = .(4.7) Reatncia total, em pu, de um transformador. Sabendo que as reatncias de um transformador, em pu, so iguais, independente do lado ao qual forem referidas, segue tambm que a relao de transformao k, em pu, unitria Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 21 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR1 = =puTpuT puBAxxk .(4.8) Relao de tenses de um transformador, em pu. Essa provavelmente a maior vantagem do uso do sistema pu, pois podemos tratar trans-formadores como meras impedncias, sem nos preocuparmos com referncias a enrolamentos e fatores de transformao.4.5. Transformador de trs enrolamentos Transformadores de trs enrolamentos so bastante comuns em sistemas de potncia e podem ser representados em diagramas unifilares por meio do smbolo unifilar da Figura 4.7(a). Para fins de clculos, contudo, deveremos adotar a representao da Figura 4.7(b), onde: - amx= reatncia de disperso entre os terminais de alta e de mdia tenso, com o ter-minal de baixa tenso aberto. - abx = reatncia de disperso entre os terminais de alta e de baixa tenso, com o ter-minal de mdia tenso aberto. - mbx = reatncia de disperso entre os terminais de mdia e de baixa tenso, com o terminal de alta tenso aberto. O modelo resultante uma espcie de delta, mas devemos salientar que h pouco em co-mum entre este delta e as ligaes homnimas comuns em circuitos trifsicos. Assim, no po-demos usar as transformaes A Y estudadas em circuitos eltricos. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 22 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.7(a) Smbolo unifilar de um transformador de trs enrolamentos;(b) modelo em delta de um transformador de trs enrolamentos Para facilitar os clculos e evitar a circulao de correntes fictcias, podemos converter o modelo delta para um modelo estrela, conforme a Figura 4.8. Figura 4.8 Modelo em estrela de um transformador de trs enrolamentos Tomando os enrolamentos aos pares, sempre com o terceiro a vazio, podemos escrever m a amx x x + = . (4.9) b a abx x x + = (4.10) b m mbx x x + = (4.11) Resolvendo o sistema acima, teremos Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 23 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR ( )mb ab am ax x x x + =21.(4.12) Reatncias de um mode-lo Y para um transfor-mador de trs enrola-mentos. ( )am mb ab bx x x x + =21. (4.13) ( )ab mb am mx x x x + =21. (4.14) 4.6. Transformador com tap fora do valor nominal Muitas vezes os transformadores operam fora da tenso nominal, por meio de taps (deri-vaes), e, assim, precisamos desenvolver um modelo para esses casos. Iniciamos definindo uma varivel auxiliar BAa = , (4.15) onde AT de lado do nominal TensoAT de lado do Tenso= A, (4.16) BT de lado do nominal TensoBT de lado do Tenso= B, (4.17) O transformador fora do tap nominal pode agora ser modelado como na Figura 4.9, ou se-ja, um transformador ideal de relao1 : aem srie como uma admitncia Ty , que representa o transformador quando operando no tap nominal.Entre as barras a e r, que correspondem ao transformador ideal, podemos escrever r aS S = , ou, * * *ab r r r a aI V I V I V = = , ou, ainda, * *abaa aIaVI V = . Finalmente, *aIIaba= . (4.18) Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 24 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.9Modelo inicial para o transformador com tap fora do valor nominal Podemos tambm escrever a corrente abI em funo das tenses nas barras r e b, ou seja ( )T baT b r a aby VaVy V V I a I ||.|

\| = = =*. ou, bTaTaVayVayI =* 2. (4.19) Da mesma forma, podemos escrever a seguinte relao para a corrente no lado de baixa ( )Tab T r b ab byaVV y V V I I ||.|

\| = = = , ou, b T aTbV y VayI + = . (4.20) Escrevendo (4.19) e (4.20) sob forma matricial, teremos ((

((

=((

baTTTTbaVVya ya ya yII * 2/// (4.21) A equao (4.15) acima formalmente idntica equao matricial de um circuito equi-valente t, conforme mostrado na Figura 4.10, e que pode ser escrita como Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 25 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR((

((

=((

babbabbaaabaVVYYYYII (4.22) Igualando (4.21) e (4.22), teremos a y Ya y Yy Ya y YT baT abT bbT aa ///*2 = === (4.23) Lembrando que uma das propriedades dos elementos da matriz admitncia nodal que ba abY Y = , segue-se que devemos ter *a a = , ou seja, a deve ser um numero real, o que significa que, como sabemos, os taps do transformador apenas alteram o mdulo da tenso, mas no o ngulo de fase. Note tambm que, na nossa notao,Y representa um elemento da matriz admi-tncia nodal] [Y, enquantoyrepresenta uma admitncia fsica do circuito. Figura 4.10 Modelo t para o transformador com tap fora do valor nominal Escrevendo as equaes nodais para o sistema da Figura 4.10, teremos ab b a a a ay V V y V I ) ( + = . ab a b b b by V V y V I ) ( + = ou, ( )ab b ab a a ay V y y V I + = . ( )ab b b ab a by y V y V I + + = Escrevendo as equaes acima sob forma matricial, teremos Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 26 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR((

((

=((

((

++=((

babbabbaaabaab bababab abaVVYYYYVVy yyyy yII (4.24) As regras de formao da matriz admitncia nodal podem ser escritas como: ab ba abab b bbab a aay Y Yy y Yy y Y = =+ =+ = (4.25) Em resumo, os elementos iiY so iguais soma de todas as admitncias que se ligam ao n i, enquanto a admitncia ji ijY Y = igual ao recproco da admitncia fsica que liga os ns i e j. Comparando as equaes (4.23) e (4.25), e considerando tambm quea a a = =* , tere-mos ab Tab Tab b Tab a Ty a yy a yy y yy y a y = = + =+ =///2 (4.26) Das equaes (4.26), segue-se que ( )21aa yyTa= .(4.27) Admitncias de um transformador com tap fora do valor nominal. ( )aa yyTb1 = (4.28) ayyTab = (4.29) Note que, se tivermos a=1, ou seja, se ambos os taps do transformador estiverem na ten-so nominal, teremos0 = =b ay y e T T abx y y / 1 = = , e voltaremos ao modelo original de um transformador de potncia de dois enrolamentos. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 27 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRExemplo 4.4. Para o sistema da Figura 4.11, pede-se: (a) considerando que a potncia-base 100 MVA e que a tenso-base 15 kV no barramento 1, converta os parmetros do sistema abaixo para pu; (b) apresente os resultados em diagrama unifilar, na forma retangular. Figura 4.11 Sistema para o Exemplo 4.4 Soluo. Primeiramente devemos calcular as tenses-base em cada um dos barramentos. kV 151=bV . A tenso-base na barra 2 pode ser obtida a partir da relao de transformao do transformador 1-2, que um elevador de tenso = =15kV 15kV 1381 12 2b T bV k V kV 1382=bV Sabendo que no h queda de tenso-base em uma linha de transmisso, as tenses-base nas barras 2 e 3 sero iguais kV 1383=bV As tenses-base nas barras 4 e 5 so calculadas a partir das relaes de transformao do transformador de trs enrolamentos 3-4-5, que um abaixador de tenso = =138kV 30 2kV 9 63 34 4b T bV k V kV 41,42=bV = =138kV 30 2kV 3,8 13 35 5b T bV k V kV 28 , 82=bV = 4 6b bV V kV 4 , 416=bV Finalmente, a tenso-base na barra 7 decorre da relao de transformador do transforma-dor abaixador 6-7 Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 28 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR = =4 , 41kV 5 2 3kV 1 16 67 7b T bV k V kV 517 , 0 17=bV O clculo da reatncia do gerador 1 um caso de mudana de base. Aplicando a relao (4.4), teremos2||.|

\| =bnbvbvbn puvpunVVSSZ Z .

|.|

\| = 158 , 13801001 , 021j xGpu 1058 , 01j xG= Da mesma forma, teremos a seguinte relao para o transformador 1-2

|.|

\| = 15159010011 , 0212j xTpu 1222 , 012j xT= A reatncia da linha de transmisso 2-3 j est em pu, mas est expressa nas bases 230 kV e 50 MVA. Logo, devemos fazer uma mudana de bases

|.|

\| = 1382305010003 , 0223j xLTpu 1667 , 023j xLT= As reatncias do transformador 3-4-5 j esto nas tenses-base corretas, bastando mudar as bases de potncia

|.|

\| = 1382309010013 , 02j xampu 4012 , 0 j xam =

|.|

\| = 1382305010015 , 02j xabpu 8333 , 0 j xab = |.|

\| = 4 , 41699010011 , 02j xmbpu 3395 , 0 j xmb =As reatncias acima correspondem ao modelo delta da Figura 4.7(b). Devemos ento convert-las para o modelo estrela da Figura 4.8 ( ) ( ) + = + =3395 , 0 8333 , 0 4012 , 02121j j j x x x xmb ab am apu 8950 , 0 j xa =( ) ( ) + = + =4012 , 0 3395 , 0 8333 , 02121j j j x x x xam mb ab bpu 7716 , 0 j xb =( ) ( ) + = + =8333 , 0 3395 , 0 4012 , 02121j j j x x x xab mb am mpu 0926 , 0 j xm = Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 29 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRA reatncia da linha 4-6 est expressa em ohms. Para convert-la para pu devemos dividi-la pela impedncia-base do trecho 4-6, ou seja = = 100 / ) 4 , 41 (20/ ) (202 2446jS Vjxb bLTpu 1669 , 146j xLT= O clculo da reatncia do transformador 6-7 exige algum cuidado, pois se trata de um banco trifsico com trs unidades monofsicas. Assim, as tenses dadas so de fase e a potncia monofsica. Logo, teremos

||.|

\| = 4 , 413 2510 310008 , 0267j xTpu 2917 , 067j xT= Finalmente, a reatncia-base do gerador 7 ser |.|

\| = 517 , 0 1152010012 , 027j xGpu 2205 , 17j xG= Figura 4.12Diagrama de reatncias para o Exemplo 4.4. Todas as reatncias esto em pu. Exemplo 4.5. Para o sistema da Figura 4.13, sabendo que a tenso na barra 5 1,0 pu e conside-rando Sb=50 MVA e Vb1=13,8 kV, pede-se: (a) a corrente na barra 5, em pu e em amperes; (b) a tenso na barra 1, em pu e em volts. Soluo. Fazendo Vb1=13,8 kV, todas as tenses-base j so iguais s respectivas tenses nomi-nais. Alm disso, as reatncias do gerador e dos transformadores j esto nas tenses-base corre-tas. Basta reescrev-las para a nova potncia-base. Logo |.|

\| = 8 , 138 , 1375501 , 021j xGpu 0667 , 01j xG= Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 30 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR |.|

\| = 8 , 138 , 13905008 , 0212j xTpu 0444 , 012j xT=

|.|

\| = 138138605012 , 0234j xTpu 1000 , 034j xT= Figura 4.13 Sistema para o Exemplo 4.5 As reatncias das linhas podem ser convertidas para pu dividindo-as pelas respectivas impedncias-base = = 50 / ) 138 (50/ ) (502 2223jS Vjxb bLTpu 1313 , 023j xLT= = = 50 / ) 69 (20/ ) (202 2445jS Vjxb bLTpu 2100 , 045j xLT= Devemos converter para pu tambm as potncias nas barras 4 e 5, dividindo-as pela po-tncia-base = 50204puS pu 4 , 04=puS = 50305puP pu 6 , 05=puP O diagrama unifilar simplificado resultante mostrado na Figura 4.14. Figura 4.14 Diagrama de reatncias para o Exemplo 4.5. Todos os valores em pu Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 31 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRA corrente na barra 5 pode ser obtida a partir da tenso e da potncia nessa barra, ou seja 45 5 5 5cospu pu puI V P = ou = 6 , 0 9 , 0 0 , 15puI pu 667 , 05=puI A corrente-base na barra 5 AVSIbbb37 , 41810 69 310 5033655= = = Logo, a corrente em amperes na barra 5 ser = =418,37 0,667 I5b 5 5puI I A 93 , 2785 = I Para calcular a tenso na barra 1 devemos antes calcular a tenso na barra 4 Z + = + =84 , 25 667 , 0 21 , 0 0 , 15 45 5 4j I jx V Vpu pu pu pu 7756 , 6 0685 , 14 Z =puV A corrente na barra 4 pode ser obtida a partir da tenso e da potncia nessa barra, ou seja pu pu puI V S4 4 4= ou = 4 , 0 0685 , 14puI pu 3744 , 04=puI A corrente entre as barras 1 e 4 ser a soma de 4I e 5I, ou seja Z + Z = + =84 , 25 0,667 195 , 18 0,37445 4 45pu pu puI I I pu 093 , 23 0393 , 145 Z =puI Finalmente, a tenso na barra 1 ser Z + Z = + = 093 , 23 0393 , 1 2757 , 0 7756 , 6 0685 , 145 14 4 1j I jx V Vpu pu pu ou Z + Z =907 , 66 2865 , 0 7756 , 6 0685 , 11puVpu 33 , 18 2361 , 11 Z =puV Sabendo que a tenso-base na barra 1 13,8 kV, a tenso em volts na barra 1 ser Z =33 , 18 2361 , 1 8 , 131VkV 33 , 18 058 , 171 Z = V Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 32 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRO Exemplo 4.5 ilustra um clculo elementar de fluxo de potncia, no qual desejamos calcular a tenso e a potncia em cada um dos barramentos. A situao seria muito mais compli-cada se, em vez de termos a tenso e a potncia na barra 5, desejando a tenso na barra 1, o in-verso acontecesse, ou seja, se tivssemos a tenso na barra 1 e potncia na barra 5, desejando a tenso na barra 5. Ao escrevermos as equaes do circuito, perceberamos que o sistema de e-quaes resultantes seria no linear. Com o aumento do nmero de barras, a soluo analtica do sistema seria muito difcil ou mesmo impossvel. Nesse caso, mtodos mais genricos e podero-sos devem ser desenvolvidos, como veremos no captulo 7. 4.7. Modelos de geradores sncronos Um gerador sncrono composto por dois circuitos acoplados magneticamente. O primei-ro a armadura trifsica, localizada no estator e responsvel pela transferncia de potncia el-trica AC entre a mquina e o sistema de potncia ao qual ela se conecta. O segundo circuito o campo, localizado no rotor e alimentado com corrente contnua, de modo a produzir um fluxo magntico constante. Sendo fNo nmero de espiras por fase da armadura, 1fa frequncia das correntes da armadura, 2uo fluxo magntico por polo produzido pelo rotor, a fora eletromotriz fEinduzida em cada fase da armadura a vazio ser w f fk N f E2 12 u = t ,(4.30) Fora eletromotriz indu-zida em cada fase de uma armadura a vazio. onde wk1 , ainda, o fator de enrolamento da armadura, tipicamente maior do que 0,85 e menor ou igual a 1,0. Quando alimenta uma carga qualquer, de maneira isolada ou conectado ao sistema, a ten-so nos terminais do gerador ser fE V =1, indicando a presena de uma impedncia interna, usualmente representada em srie. Contudo, por causa do desacoplamento eltrico entre campo e armadura, o gerador sncrono uma fonte de corrente quase ideal, podendo ser representado ini-cialmente como na Figura 4.15, onde xm a reatncia de magnetizao, x1 a reatncia de dis-perso da armadura, r1 a resistncia hmica da armadura e rc a resistncia de perdas no n-cleo (histerese e Foucault). Todos os parmetros so expressos em ohms por fase. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 33 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.15 Modelo inicial de um gerador sncrono trifsico possvel fazer algumas simplificaes no circuito da Figura 4.15. Nos geradores co-muns em sistemas de potncia, sempre da classe MVA, os condutores da armadura tm bitola larga a ponto da resistncia r1 ser desprezvel. As perdas no ncleo tambm so desprezveis, o que significa que a resistncia rc muito grande em comparao com xm, e podemos fazer m m cx x r ~ // . O resultado o circuito da Figura 4.16, que consiste de um equivalente Norton em srie com uma reatncia de disperso jx1. Figura 4.16Modelo intermedirio de um gerador sncrono trifsico Finalmente, o equivalente Norton pode ser convertido em um equivalente Thvenin, no qual f m fI jx E =e 1x x xm d+ = denominada reatncia sncrona de eixo direto. O circuito equivalente final, mostrado na Figura 4.17, adequado a geradores sncronos de polos lisos, que geralmente o caso de turbogeradores. Para geradores de polos salientes, que geralmente o caso de hidrogeradores, algumas modificaes devem ser introduzidas, as quais sero objeto do captulo 9. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 34 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.17 Modelo de circuito equivalente de um gerador sncrono de polos lisos Considerando que, em um gerador, o sentido da corrente de armadura 1I da mquina para a carga, a equao fasorial correspondente pode ser escrita como 1 1I jx V Ed f + = .(4.31) Equao fasorial de um gerador de polos lisos em regime permanente. A nica modificao necessria para transformar o gerador descrito pela equao (4.31) em um motor sncrono a mudana do sentido da corrente, resultando na seguinte equao 1 1I jx V Ed f = .(4.32) Equao fasorial de um motor de polos lisos em regime permanente. As equaes (4.31) e (4.32) descrevem bastante bem o comportamento da mquina sn-crona de polos lisos funcionando em regime permanente. No caso de geradores funcionando em regime transitrio deveremos introduzir correes nas reatncias sncronas. Vamos supor que um gerador sncrono esteja funcionando a vazio quando um curto-circuito trifsico ocorre. Vamos supor tambm, por simplicidade, que o curto ocorre exatamente quando a tenso alternada do gerador instantaneamente nula. Por causa do carter indutivo do gerador, a corrente no atingir imediatamente um valor de regime constante, mas se comportar como mostrado na Figura 4.18. A envoltria da senoide uma exponencial mais complexa do que o usual, pois sua taxa de decaimento no constante. Para evitar a dificuldade de se traba-Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 35 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRlhar com uma quantidade muito grande de constantes de tempo, costumamos definir trs pero-dos de tempo, cada um deles caracterizado por uma reatncia sncrona: 1)Perodo subtransitrio: corresponde aos primeiros ciclos aps o curto, durante os quais a corrente decai muito rapidamente; caracterizado pela reatncia subtransitria de eixo direto,' 'dx . 2)Perodo transitrio: corresponde ao perodo aps o perodo subtransitrio e antes da corrente ter se estabilizado, durante o qual a corrente decai mais lentamente; caracteriza-do pela reatncia transitria de eixo direto,'dx . 3)Perodo de regime permanente: corresponde ao perodo aps a corrente ter se estabili-zado; caracterizado pela reatncia sncrona de eixo direto usual, dx . Figura 4.18 Corrente de armadura de um gerador sncrono em curto-circuito trifsico simtrico A Tabela 4.1 mostra os valores tpicos das reatncias de algumas mquinas sncronas. Note que a relao entre as reatncias sncrona dxe subtransitria' 'dxpode chegar a 11 vezes no caso do gerador de polos salientes. Como veremos no captulo 5, essa diferena torna bastante crtica a escolha do perodo no qual devemos calcular as correntes de curto-circuito. A corrente de curto da Figura 4.18, denominada corrente de curto simtrica, um caso particular de um caso mais geral, o das correntes de curto assimtricas, as quais tm uma com-ponente contnua que as desloca para cima ou para baixo. Uma corrente assimtrica corresponde a uma corrente simtrica mais uma componente contnua que decai exponencialmente.Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 36 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRTabela 4.1 Reatncias tpicas de mquinas sncronas ReatnciaGerador depolos lisos Gerador de polos salientes Motor de polos salientes Sncrona,xd (pu)1,101,101,10 Transitria,xd (pu)0,200,350,50 Subtransitria,xd (pu)0,100,230,35 4.8. Modelos de linhas de transmisso Ao contrrio do que acontece com as redes de distribuio, as linhas de transmisso trif-sicas, quando em regime, operam geralmente de maneira equilibrada, o que permite a classifica-o de tais equipamentos em trs tipos bsicos: linhas curtas, linhas mdias e linhas longas. 4.8.1Linha curta Linhas de transmisso curtas so aquelas de comprimento inferior a 80 km. Nesse caso, adotado um modelo simplificado que nada mais do que uma impedncia LT LT LTjx r Z + = por fase, representado de maneira unifilar como na Figura 4.19. Neste modelo, LTr a resistncia hmica, responsvel pelas perdas por efeito Joule, e LTx a reatncia indutiva da linha. Ambos os parmetros so especificados em ohms por fase. Figura 4.19 Modelo de uma linha de transmisso curta 4.8.2Linha mdia Linhas cujo comprimento superior a 80 km, mas inferior a 240 km so denominadas li-nhas mdias. Nesse caso as capacitncias entre a linha e o terra no podem ser desprezadas e deveremos usar o modelo T, conforme representado na Figura 4.20, ou o modelo t , conforme representado na Figura 4.21. Em ambos o termo 1) ( =c cjx jBrepresenta a susceptncia total da linha. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 37 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.20 Modelo T de uma linha de transmisso mdia Note que a nica diferena entre os modelos t e T uma distribuio diferente da impe-dncia srie e da susceptncia paralela ao longo do trecho em questo. Quando a capacitncia em paralelo for desprezvel, o que significa cB , ambos os modelos se reduzem ao modelo de linha curta. Daremos sempre preferncia ao modelo t e, quando nada for mencionado, este o modelo que deve ser usado. Figura 4.21 Modelo t de uma linha de transmisso mdia 4.8.3Linha longa Linhas de comprimento superior a 240 km so consideradas longas, caso no qual o mode-lo completo da linha de transmisso deve ser usado. Neste modelo as impedncias srie e suscep-tncias paralelas so consideradas uniformemente distribudas ao longo da linha. Considerando quezeb so, respectivamente, a impedncia e a susceptncia por unidade de comprimento, e que l o comprimento total da linha, podemos escrever equaes diferenciais parciais para a linha, as quais, uma vez resolvidas, resultam em Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 38 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR ) (l senh zZeq=,(4.33) Parmetros de umalinha de transmisso longa. ) 2 / tanh( 2 l bBeq=, (4.34) onde o parmetrozb = denominado constante de propagao. Depois de calculados, os parmetros eqZ e eqB podem ser inseridos em um circuito equivalente T, como na Figura 4.20, ou t, como na Figura 4.21. Em nossas simulaes as impedncias e susceptncias da linha de transmisso sempre se-ro parmetros conhecidos. Assim, no faz muita diferena se o modelo a ser utilizado para linha mdia ou linha longa. Caso a linha seja longa, simplesmente consideraremos que algum j calculou eqZ e eqB para ns. 4.9Modelos de cargas Dentre os vrios parmetros de um SEP a carga dos consumidores a de determinao mais difcil. Considerando que o valor da carga varia de segundo a segundo e que existem mi-lhes de consumidores, cada um absorvendo energia de acordo com sua exigncia individual, a determinao das exigncias futuras um problema estatstico. A curva de carga de um dado barramento de distribuio, ilustrada de forma genrica na Figura 4.22, decorre de hbitos de consumo, temperatura, nvel de renda, forma de tarifao, etc. Figura 4.22 Curva de carga tpica de um barramento de distribuio Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 39 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRA carga total do sistema pode, grosso modo, ser repartida entre usurios industriais e re-sidenciais. A potncia consumida pelos consumidores industriais varia de um tero nas horas de pico at metade nas horas de carga mnima. Uma diferena muito importante entre os dois tipos de consumidores que nos industriais existe uma porcentagem elevada de motores de induo (cerca de 60 por cento), enquanto nos consumidores residenciais predominam as cargas de aque-cimento e iluminao.No Brasil a tarifa dos consumidores residenciais monmia, ou seja, existe apenas uma tarifa, especificada em R$/kWh, que incluiu simultaneamente demanda e energia. J consumido-res industriais so geralmente tarifados por meio de uma tarifa binmia, do tipo horo-sazonal. Nesse tipo de tarifa a demanda cobrada em R$/kW, com valores diferentes para perodos de ponta e fora de ponta. A energia cobrada em R$/MWh, com valores tambm diferentes para perodos mido (dezembro a abril) e seco (maio a novembro). O horrio de ponta, no Brasil, definido como o perodo de trs horas consecutivas, de escolha da distribuidora, compreendido entres as 17h e as 22h. Em pases mais desenvolvidos, nos quais existe algum tipo de Gerenciamento pelo Lado da Demanda (GLD), existem tambm tarifas binmias para consumidores residenciais. Nesse caso o consumidor paga mais caro, em R$/kWh no horrio de ponta, e mais barato, tambm em R$/kWh, no horrio fora de ponta. A finalidade incentivar a migrao do consumo residencial do horrio de ponta para o horrio fora de ponta, reduzindo a necessidade de investimentos em distribuio para atendimento ao horrio de ponta. Uma maneira relativamente fcil de implantar a GLD em um pas como o Brasil seria, por exemplo, pr-aquecer a gua durante o perodo fora de ponta, armazenando-a em reservatrios trmicos especiais, para utilizao no horrio de pon-ta, seja para o banho, seja para outro tipo de uso. Contudo, enquanto a energia tiver o mesmo preo dentro e fora da ponta, esse tipo de GLD no teria sentido econmico para consumidores residenciais. Alguns conceitos importantes no estudo das cargas de SEPs so os seguintes: 1)Demanda mxima: valor mdio da carga durante o intervalo de tempo de meia hora em que a demanda mxima. 2)Fator de carga: relao entre a demanda mdia e a mxima em um determinado in-tervalo de tempo. O fator de carga ideal deve ser elevado. Caso seja unitrio, significa que todas as unidades geradoras esto sendo utilizadas a plena carga durante o pero-Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 40 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRdo considerado. Seu valor varia com a natureza da carga; sendo baixo para cargas de iluminao (cerca de 12 %) e elevado para cargas industriais.3)Fator de diversidade: relao entre a soma das demandas mximas individuais dos consumidores e a demanda mxima do sistema. Este fator mede a diversificao da carga e diz respeito capacidade de gerao e transmisso instalada. No caso da de-manda mxima de todos os consumidores ocorrer simultaneamente, isto , fator de diversidade unitrio, dever-se-o instalar muitos outros geradores. Felizmente, este fator muito maior que a unidade, especialmente para consumidores residenciais. Em um sistema de quatro consumidores o fator de diversidade poderia ser elevado, com os consumidores absorvendo energia como na Figura 4.23. Figura 4.23 Representao dos extremos do fator de diversidadede uma instalao com dois consumidores Em estudos de fluxo de potncia o ideal seria realizar um estudo para cada hora da curva de carga da Figura 4.22. Isso, contudo, exigiria um esforo computacional muito grande, alm de exigir uma previso de cargas muito complexa. Por outro lado, o modelo de dois patamares (pon-ta e fora de ponta) adotado no nvel de distribuio (tenses inferiores a 230 kV), pouco descri-tivo para estudos de sistemas de transmisso (tenses iguais ou superiores a 230 kV). Assim, em estudos de transmisso geralmente adotamos o modelo de trs patamares (cargas mdia, leve e pesada) da Rede Bsica brasileira, conforme mostrado na Tabela 4.2. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 41 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRTabela 4.2 Definio dos patamares de carga da Rede Bsica brasileira Patamar de carga Sem Horrio de VeroCom Horrio de Vero 2 feira sbado Domingos e feriados 2 feira sbado Domingos e feriados Leve0h s 6h590h s 16h59 22h s 23h59 0h s 6h590h s 17h59 23h s 23h59 Mdia7h s 17h59 21h s 23h59 17h s 21h597h s 18h59 22h s 23h59 18h s 22h59 Pesada18h s 20h5919h s 21h59 Para nossos fins, as cargas sero usualmente representadas em MVA ou MW, juntamente com o fator de potncia, em um dos patamares da Tabela 4.2. No diagrama unifilar as cargas sero representadas por meio de setas, como na Figura 4.29, indicando potncia absorvida, ou por meio de impedncias, como na Figura 4.31. 4.10Introduo aos estudos de curto-circuito. Estudos de curto-circuito so necessrios no s em sistemas de potncia, mas tambm em sistemas industriais, e tm os seguintes objetivos gerais: 1)Ajustar rels de proteo e selecionar fusveis. 2)Selecionar os disjuntores que iro interromper as correntes de curto. 3)Estimar as consequncias das correntes de curto sobre cabos, transformadores, secciona-doras, cabos para-raios, barramentos e outros equipamentos eltricos. 4)Determinar sobretenses em vrios pontos do sistema. 5)Permitir o dimensionamento de malhas de terra e de cabos para-raios. 6)Determinar as impedncias corretas dos transformadores de fora. Os tipos de curto-circuito em um sistema trifsico so listados na Tabela 4.3 abaixo, jun-tamente com as frequncias tpicas de ocorrncia. Tabela 4.3 Tipos de faltas e estatsticas Tipo de falta69 kV138 kV230 kV Fase-terra 38,6%36,7%47,0% Bifsico (fase-fase) 11,8%10,0%8,0% Bifsico-terra (Fase-fase-terra) 25,5%12,7%5,0% Trifsico 6,3%2,0%0,6% Trifsico-terra 1,1%0,7%1,4% Causa desconhecida 16,7%37,9%38,0% Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 42 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRAs causas dos curto-circuitos so diversas. Em linhas de transmisso as causas mais co-muns so quedas de rvores, vendavais, descargas atmosfricas e vandalismo. No perodo seco, quando as queimadas se tornam comuns, o ar pode se ionizar, provocando uma falta fase-fase resultando em desligamento de sistemas. Em transformadores e geradores as faltas so menos comuns e se devem a erros de operao e manuteno inadequada. Em sistemas de potncia, compostos por geradores, transformadores, linhas e demais e-quipamentos sempre equilibrados, os curtos trifsico e trifsico-terra resultam em corrente de neutro nulo, sendo denominados faltas simtricas, por as correntes de curto so iguais em todas as fases. O mesmo no acontece com os curtos fase-terra, fase-fase e fase-fase-terra, que produ-zem correntes de curto diferentes em cada uma das fases, sendo denominados faltas assimtri-cas. A rigor, tanto faltas simtricas quanto assimtricas deveriam ser calculadas a partir das tcnicas de fluxo de potncia, que sero vistas a partir do captulo 7, fazendo-se a impedncia de curto igual a zero. Contudo, em sistemas de pequeno porte e em casos nos quais no se exige muita preciso, podemos desenvolver uma metodologia simplificada, partindo das seguintes con-sideraes: 1)A tenso pr-falta de todos os geradores igual a 1,0 pu. Sabendo que a tenso dos geradores de um sistema de potencio pode variar entre 0,95 pu e 1,05 pu, a tenso mais provvel de operao dos geradores 1,0 pu, onde a tenso-base a tenso no-minal do gerador. 2)As cargas so desprezveis durante o curto, pois, sabendo que o sistema de pequeno porte (poucas barras), a ocorrncia de um curto-circuito desvia das cargas toda a po-tncia produzida pelos geradores. 3)As capacitncias em paralelo de linhas de transmisso tambm so desprezveis, pelo mesmo motivo anterior. A corrente trifsica (ou trifsica-terra) de curto-circuito franco, ou seja, sem impedncia de curto, em uma determinada barra do sistema, pode agora ser determinada reduzindo-se o sis-tema a um equivalente Thvenin cujas respectivas tenso e impedncia so Z = 0 0 , 1thV e thZ. A corrente de curto ser, portanto Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 43 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRth thth puccZ ZVI Z= =0 0 , 13|,(4.34) Corrente trifsica de curto-circuito franco em um sistema de potncia de pequeno porte. onde thZ a impedncia de Thvenin vista da barra onde ocorre o curto-circuito. Caso o curto se d atravs de uma impedncia de falta fZ, basta adicion-la a thZ, ou seja f th f thth puccZ Z Z ZVI + Z=+=0 0 , 13|, (4.35) Corrente trifsica de curto-circuito atravs de uma impedncia em um sistema de potncia de pequeno porte. O estudo das faltas assimtricas um pouco mais complexo, exigindo tcnicas especiais que sero descritas no captulo 5, juntamente com vrios outros conceitos de curto-circuito. Exemplo 4.6. Para o sistema da Figura 4.24, calcule a corrente trifsica de curto-circuito na bar-ra 3, em pu e em amperes. Considere que a potncia-base 50 MVA e que a tenso-base na barra 3 69 kV. Figura 4.24 Sistema para o Exemplo 4.6 Soluo. Inicialmente, substitumos os geradores por suas respectivas impedncias internas, des-prezamos as cargas e isolamos a barra na qual desejamos calcular a falta. O resultado o dia-grama de reatncias da Figura 4.25. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 44 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.25 Diagrama de reatncias para o Exemplo 4.6 A impedncia equivalente de Thvenin, vista da barra 3, pode agora ser calculada ( ) | | 10 , 0 ) 42 , 0 // 42 , 0 ( // 15 , 0 20 , 0 10 , 0 j j j j j j Zth+ + + = ou, ( ) + = 10 , 0 21 , 0 // 45 , 0 j j j Zthpu 0,1836 j Zth = Considerando as simplificaes feitas anteriormente, a corrente trifsica de curto-circuito na barra 3 ser = =1836 , 0pu 0 , 1 pu 0 , 13j ZIthpucc|pu 448 , 53j Ipucc =| Para converter a corrente de curto para amperes, precisamos antes calcular a corrente-base, que ser

= =363310 69 310 503bbbVSIA 37 , 4183 =bIAssim, = = 37 , 418 448 , 53 3 3j I I Ibpucc cc | | A 29 , 279 . 23j Icc =| Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 45 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRExemplo 4.7. Para o sistema da Figura 4.26, calcule a corrente trifsica de curto-circuito nas barras 1 e 7. Utilize as bases de 60 MVA e 69 kV na barra 2. Figura 4.26 Sistema para o Exemplo 4.7 Soluo. A Figura 4.27 ilustra o diagrama de reatncias resultante aps a converso para pu nas bases indicadas, j com as cargas desprezadas e os geradores substitudos por suas respectivas reatncias internas. Quando o curto ocorre na barra 1, as barras 3 e 7 so flutuantes, pois as cargas nelas so desprezadas. A impedncia equivalente de Thvenin ser ento a reatncia de j0,4 pu do gerador 1 em paralelo com a reatncia equivalente direita da barra 1, com as barras 3 e 7 abertas, ou seja ( ) ( ) | | 0756 , 0 0504 , 0 // 063 , 0 1008 , 0 105 , 0 45 , 0 16 , 0 // 4 , 0 + + + + + = j j j j j j j Zth, ( ) + = 126 , 0 // 1638 , 0 715 , 0 // 4 , 0 j j j j Zthpu 2651 , 0 j Zth = A corrente de curto na barra 1, em pu, ser = =2651 , 0pu 0 , 1 pu 0 , 13j ZIthpucc|pu 7719 , 33j Ipucc =| A respectiva corrente de curto em amperes ser = = = 04 , 502 7719 , 33 10 6910 607719 , 333633 3j jVSI Ibb pucc cc | | A 3 , 66 , 893 . 13j Icc =| Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 46 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR Figura 4.27 Diagrama de reatncias para o Exemplo 4.7 O curto na barra 7 um pouco mais complicado, pois apenas a barra 3 ser flutuante e o diagrama de reatncias resultante formar um delta entre as barras 2, 4 e 6, como mostrado na Figura 4.28 a seguir Figura 4.28 Sistema do Exempo 4.7 com curto na barra 7 A maneira mais fcil de calcular a reatncia equivalente na barra 7 transformar o delta entre as barras 2, 4 e 6 para um estrela. Note que essa transformao nada tem a ver com a transformao delta-estrela do transformador de trs enrolamentos. Usando as frmulas tradicionais de transformao delta-estrela, teremos

+ +=+ +=0756 , 0 0504 , 0 1638 , 00504 , 0 1638 , 046 26 2426 242j j jj jx x xx xx pu 02849 , 02j x =

+ +=+ +=0756 , 0 0504 , 0 1638 , 00756 , 0 1638 , 046 26 2446 244j j jj jx x xx xx pu 04273 , 04j x = Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 47 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR

+ +=+ +=0756 , 0 0504 , 0 1638 , 00756 , 0 0504 , 046 26 2446 266j j jj jx x xx xx pu 01315 , 06j x =A Figura 4.29 ilustra o circuito resultante com uma estrela entre as barras 2, 4 e 6. Figura 4.29 Diagrama resultante para curto na barra 7 Agora fcil calcular a reatncia equivalente na barra 7 ( ) ( ) 555 , 0 04273 , 0 // 56 , 0 02849 , 0 01315 , 0 195 , 0 + + + + = j j j j j Zth, + = 59773 , 0 // 58849 , 0 20815 , 0 j j j Zthpu 50479 , 0 j Zth = A corrente de curto na barra 7, em pu e em amperes, sero respectivamente = =50479 , 0pu 0 , 1 pu 0 , 13j ZIthpucc|pu 981 , 13j Ipucc =| A respectiva corrente de curto em amperes ser = = = 4 , 309 . 2 981 , 13 10 1510 60981 , 133673 3j jVSI Ibb pucc cc | | A 92 , 574 . 43j Icc =| Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 48 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR4.11Exerccios 4.11.1. Descreva algumas vantagens de se usar o sistema por unidade (pu) em vez das unidades convencionais (volts, amperes, etc.). 4.11.2. Mostre como escrever em pu a impedncia de um equipamento, expressa originalmente nas bases Vb1 e Sb1, quando integrado a um sistema cujas bases so Vb2 e Sb2. 4.11.3. Dois transformadores esto conectados em srie. Um deles especificado para 15 MVA, 69 kV/125 kV, X=10%. O outro, para 10 MVA, 13,8 kV/69 kV, X=8%. Determine a rea-tncia de cada transformador e a reatncia total, em pu, nas bases de 30 MVA e 138 kV. 4.11.4. Trs transformadores monofsicos, 5 MVA, 8/2,2 kV, tm reatncia de disperso de 6% e podem ser conectados de vrias formas de modo a suprir trs cargas resistivas idnticas de 5 O. Vrias conexes dos transformadores e cargas so ilustradas na Tabela 4.4 abai-xo. Complete a tabela, usando potncia-base trifsica de 15 MVA (No se esquea de mostrar os clculos!). Tabela 4.4 CasoConexo dosTransformadores Cargaconectada aosecundrio Tenso-base (kV, linha) Carga R Impednciatotal vista do lado de alta PrimrioSecundrioAltaBaixa(pu)(pu)(O) 1 YYY????? 2 YYA ????? 3 YAY????? 4 YAA ????? 5 AYY????? 6 AYA ????? 7 AAY????? 8 AAA ????? 4.11.5. Trs geradores, cujos parmetros so listados na Tabela4.5, esto conectados a um bar-ramento comum de 13,8 kV. Determine a reatncia equivalente, resultante da ligao em paralelo dos trs geradores, nas bases de 100 MVA e 15 kV. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 49 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRTabela 4.5 GeradorPotncia (MVA) Tenso(kV) Reatncia 12013,224% 25013,820% 38013,512% 4.11.6. Os geradores do exerccio 4.5 so conectados a um transformador de 160 MVA, 13,8/225 kV, 60 Hz, X=10%, o qual, por sua vez, conectado a uma linha de transmisso de 50 km de comprimento, cuja resistncia por fase 0,12 O/km e cuja indutncia por fase 1,25 mH/km. Considerando que a linha de transmisso esteja a vazio, calcule a corrente trifsi-ca de curto-circuito em ambas as extremidades dela, em pu e em amperes. 4.11.7. Para o sistema da Figura 4.30, utilizando potncia-base de 50 MVA e tenso-base igual a 13,8 kV no barramento 1, pede-se: (a) converta para pu os valores de todos os parmetros; (b) calcule a tenso no barramento 1 de modo que a tenso no barramento 5 seja 0,95 pu. Figura 4.30 Sistema para o Exerccio 4.11.7 4.11.8. Um gerador sncrono trifsico, 60 Hz, 50 MVA, 30 kV, tem reatncia sncrona igual a 9 O por fase. A resistncia de armadura desprezvel. O gerador est entregando potncia nominal com fator de potncia de 0,8 em atraso, sob tenso nominal, a um barramento in-finito. Pede-se: (a) Determine a tenso interna do gerador e o ngulo de carga o; (b) com a tenso interna mantida constante no valor do item anterior, a potncia de entrada do gera-dor reduzida a 25 MW; determine a corrente e o fator de potncia. 4.11.9. Um transformador trifsico de dois enrolamento especificado para 60 kVA, 240/1200 V, 60 Hz. O rendimento deste transformador 96% e ocorre quando opera sob carga no-minal e fator de potncia 0,8 em atraso. Determine as perdas no ferro e as perdas no cobre do transformador para rendimento mximo. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 50 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR4.11.10.Para o sistema da Figura 4.31, pede-se: (a) converta todos os parmetros para pu, usando potncia-base de 100 MVA e tenso-base de 15 kV na barra 9; (b) obtenha a ma-triz admitncia nodal do sistema, em pu. Figura 4.31 Sistema para o Exerccio 4.11.10 4.11.11.Considere o circuito equivalente de um transformador de dois enrolamentos, com reatncias e resistncias dos lados primrio e secundrio, resistncia de perdas no ferro e reatncia de magnetizao. Todas as grandezas esto referidas ao primrio. Pede-se: (a) mostre que, para transformadores de potncia, o circuito equivalente pode ser reduzido a uma nica reatncia; (b) mostre que, quando expressa em pu, a reatncia do transforma-dor de potncia tem o mesmo valor, independente de estar referida ao primrio ou ao se-cundrio. 4.11.12.Uma linha de transmisso trifsica, 225 kV, tem comprimento de 40 km. A resis-tncia por fase 0,15 O/km e a indutncia por fase 1,326 mH/km. As capacitncias em paralelo so desprezveis. Um transformador trifsico conectado a um dos lados da li-nha, e uma carga de 380 MVA, com fator de potncia de 0,9 em atraso, sob 225 kV, co-nectada ao outro lado. Usando o modelo de linha curta, determine a tenso e a potncia do lado do transformador. 4.11.13.Para o sistema da Figura 4.32, considere que a potncia-base 100 MVA e que a tenso-base 15 kV na barra 4. Pede-se: (a) desenhe o diagrama unifilar para o sistema, representando o transformador (que est fora do tap nominal) como um modelo t e inclu-indo as susceptncias das linhas; (b) converta todas as impedncias e admitncias para ohms e siemens, respectivamente; (c) desprezando cargas e susceptncias em paralelo, Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 51 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRcalcule as impedncias Thvenin equivalentes nas barras um, trs e quatro; (d) calcule as correntes trifsicas de curto-circuito nas barras um, trs e quatro. Figura 4.32 Sistema para o Exerccio 4.11.13 4.11.14.Repita o exerccio 4.13, considerando que a capacitncia em paralelo 0,0112 F/km, que o comprimento da linha 100 km e usando: (a) o modelo t da linha mdia; (b) o modelo T da linha mdia. 4.11.15.Uma linha de transmisso trifsica, 345 kV, 130 km, tem impedncia srie por fase igual a z=0,036+j0,3O/km. A admitncia em paralelo por fase y=j4.2210-6 S/km. Um dos lados da linha ligado a uma subestao e absorve 400 A, sob fator de potncia 0,95 atrasado e 345 kV. Usando o modelo da linha mdia, determine a tenso, corrente, potncia e fator de potncia do lado da carga. 4.11.16.Uma linha de transmisso de 500 kV tem comprimento de 250 km. A impedncia srie por fase z=0.045+j0.4 O/km e a admitncia em paralelo y=j410-6 S/km. Deter-mine os parmetros do modelo de linha longa para esta linha. 4.11.17.Uma linha de transmisso de 200 km conecta uma usina geradora a um sistema de distribuio. Os parmetros da linha, por quilmetro e por fase, so: R=0,1O; L=1,25 mH; C=0,01 F. Considerando que a tenso e a corrente do lado do sistema de distribui-Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 52 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRo so, respectivamente, Z0 132kV e Z 37 164 amperes, calcule a tenso e a corren-te do lado da usina. 4.11.18.Um transformador trifsico de trs enrolamentos com tenses 132/33/6,6 kV tem as seguintes reatncias em pu, medidas entre os enrolamentos de Alta, Mdia e Baixa ten-ses e referidas a 30 MVA, 132 kV: xam = 0,15 , xab = 0,09 , xmb = 0,08 . O enrolamento de 6,6 kV alimenta uma carga equilibrada com corrente de 2.000 A e fator de potncia 0,8 em atraso. O enrolamento de 33 kV alimenta um reator de j50,0 /fase conectado em es-trela. Calcule a tenso no enrolamento de alta tenso para que a tenso no enrolamento de baixa tenso seja de 6,6 kV. 4.11.19.Dois geradores com potncias individuais de 80 MVA esto conectados como ilustrado na Figura 4.33. A tenso nominal de cada gerador 11 kV e a reatncia sncrona de cada um deles 12%. Os transformadores elevadores so especificados para 11/66 kV, 90 MVA, e tm reatncia de disperso igual a 10%. Um curto-circuito trifsico ocorre na barra 6 em um momento no qual nenhuma corrente circula atravs da linha 2-5. Determi-ne a corrente trifsica de curto-circuito na barra 6, em amperes. Figura 4.33 Sistema para o Exerccio 4.11.19 4.11.20.Um gerador ligado por meio de um transformador a um motor sncrono. Quando expressas na mesma base, as reatnciasdo gerador e do motor so 0,15 pu e 0,35 pu, res-pectivamente, e a reatncia de disperso do transformador 0,10 pu. Uma falta trifsica ocorre nos terminais do motor quando a tenso nos terminais do gerador 0,9 pu e a cor-rente de sada do gerador 1,0 pu com fator de potncia 0,8 adiantado. Determine a cor-rente em pu da falta, no gerador e no motor. Use a tenso terminal do gerador como fasor de referncia. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 53 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR5.COMPONENTES SIMTRICAS 5.1. Introduo O clculo de curto-circuitos assimtricos (fase-terra, fase-fase, fase-fase-terra) poderia, em princpio, ser realizado por meio das ferramentas convencionais de anlise de circuitos poli-fsicos (malhas, ns, equivalentes, etc.). Contudo, o esforo computacional envolvido aumenta-ria com a terceira potncia do nmero de barras do sistema, tornando a tarefa impossvel a partir de algumas poucas barras. Felizmente, um teorema enunciado por Charles L. Fortescue em 1918 possibilita a simplificao da anlise de faltas assimtricas, como veremos a seguir. Nota biogrfica: Charles LeGeyt Fortescue (1876 1936) foi um engenheiro eltrico nascido em York Factory, um entreposto comercial que funcionou at 1957 no noroeste da provncia ca-nadense de Manitoba. Em 1898, Fortescue tornou-se um dos primeiros engenheiros graduados pela Queens University, localizada em Ontario, Canad. Aps sua formatura, Fortescue ingres-sou na Westinghouse Corporation, nos Estados Unidos, onde permaneceu durante toda sua vida profissional, vindo a trabalhar com transformadores de alta tenso e problemas a eles relaciona-dos. Em 1918,Fortescue publicou o artigo Method of symmetrical co-ordinates applied to the solution of polyphase networks (AIEE Transactions, vol. 37, p. 1027-1140), dando origem ao estudo das componentes simtricas e reduzindo enormemente o esforo computacional envolvi-do nos clculos de curto-circuitos assimtricos. Em 1939, o IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) criou uma bolsa de mestrado em homenagem a Fortescue, concedida a-nualmente . 5.2. O teorema de Fortescue O teorema de Fortescue aplica-se asistemas polifsicos e foi originalmente enunciado da seguinte forma:qualquer sistema de N fasores desequilibrados, sendo N um nmero primo, pode ser escrito como a soma de N conjuntos de fasores equilibrados. O teorema de Fortescue pode ser escrito para tenses ou correntes. Para N=3 (sistema tri-fsico), os trs conjuntos de fasores equilibrados so conhecidos como sequncias e definidos da maneira a seguir. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 54 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR1)Sequncia positiva A sequncia positiva definida como a sequncia de fases do sistema em anlise, ou seja, a sequncia de fases dos geradores conectados ao sistema. Usaremos o sobre-ndice 1 para represent-la, mas outros ndices usuais so + e abc.A defasagem entre duas fases quaisquer da sequncia positiva sempre 120 e os mdu-los das correntes (ou tenses) so iguais entre si. Denotando as trs fases por a, b e c, teremos 1 1 1c b aI I I = = . (5.1) 2)Sequncia negativa A sequncia negativa gira no sentido inverso ao da sequncia positiva, tambm com n-gulos de 120 entre duas fases quaisquer. Usaremos o sobre-ndice 2 para represent-la. Outros ndices usuais so e cba. Da mesma forma que na sequncia positiva, teremos 2 2 2c b aI I I = = . (5.2) 3)Sequncia zero Uma terceira sequncia, ou sistema de fasores, necessria para satisfazer o teorema de Fortescue. Nesta sequncia, denominada zero e usualmente representada pelo sobre-ndice 0, os fasores no giram, permanecendo paralelos entre si. Da mesma forma que nas sequncias an-teriores, teremos 0 0 0c b aI I I = = . (5.3) A Figura 5.1 ilustra as trs sequncias em termos de seus fasores. Figura 5.1 Sequncias de fase: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 55 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRIntuitivamente, podemos imaginar as trs componentes de Fortescue como sendo produ-zidas por geradores comuns. A sequncia positiva seria produzida por um campo girante trifsi-co, girando no sentido da sequncia de fases do sistema. A sequncia negativa seria produzida por um campo girante trifsico, mas girando no sentido oposto sequncia de fases do sistema. J a sequncia zero seria produzida por um campo pulsante, no girante. Dado um sistema de correntes desequilibradas aI, bI e cI , o teorema de Fortescue pode ser agora escrito em funo das componentes de sequncia positiva, negativa e zero + + =+ + =+ + =2 1 02 1 02 1 0c c c cb b b ba a a aI I I II I I II I I I (5.4) O sistema de equaes (5.4) pode ser simplificado introduzindo-se o operador unitrioa , definido como Z = 120 1 a .(5.5) O operador unitrioa . fcil verificar que o operadoratem as seguintes propriedades: Z = Z = 240 1 120 1 a (5.6) Z = Z = 120 1 240 12a(5.7) * 2a a =(5.8) a a =* 2) ((5.9) a a = Z = 360 13 (5.10) a a a a = Z = = 240 12 2 4 (5.11) 0 12= + + a a (5.12) 03 2= + + a a a (5.13) Tomando a fase a como referncia, podemos agora escrever as correntes de sequncia positiva da seguinte forma Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 56 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR= Z == Z = Z =1 1 11 2 1 11 1120 1240 10 1a a ca a ba aI a I II a I II I (5.14) De maneira semelhante, as correntes de sequncia negativa podem ser escritas como = Z == Z = Z =2 2 2 22 2 22 2240 1120 10 1a a ca a ba aI a I II a I II I (5.15) As correntes de sequncia zero podem ser escritas de maneira ainda mais simples 0 0 0c b aI I I = = . (5.16) Substituindo as relaes (5.14), (5.15) e (5.16) na relao (5.4), teremosque 2 1 0a a a aI I I I + + = (5.16a) 2 1 2 0a a a bI a I a I I + + = (5.16b) 2 2 1 0a a a cI a I a I I + + = (5.16c) Escrevendo a relao acima em forma matricial, teremos ((((

((((

=((((

21022111 1 1aaacbaIIIa aa aIII (5.17) ou, em notao mais compacta | | | | | |012I A Iabc = , (5.18) onde| |((((

=22111 1 1a aa a A (5.19) O sobre-ndice abc denota o sistema desequilibrado original e o sobre-ndice 012 denota o sistema de sequncia. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 57 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRA matriz de transformao| | Atem algumas propriedades interessantes. Primeiro, pode-mos notar que ela simtrica, ou seja,| | | |TA A= , (5.20) onde o sobre-ndice T denota a matriz transposta. Alm disso, podemos verificar que | | | | || I A AT3*= , (5.21) onde| | I a matriz-identidade. Este resultado ser til mais tarde. Finalmente, a matriz| | A invertvel, com inversa dada por | |((((

=a aa a A 22 1111 1 131 (5.22) Pr-multiplicando a relao (5.18) por| |1 A , podemos agora obter as componentes de se-quncia em funo das componentes do sistema abc original | | | | | |abcI A I 1012= , (5.23) ou ((((

((((

=((((

cbaaaaIIIa aa aIII 22210111 1 131(5.24) Sistema de sequncia 012 escrito em termos do sistema abc original. Note, da relao acima, que( )3 310 nc b a aII I I I = + + = , onde nI a corrente de neutro. Assim, s haver corrente de sequncia zero em circuitos nos quais houver caminho para a corrente de neutro. Quando tal caminho no existir, como o caso de conexes delta, a corrente de sequncia zero ser nula. Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 58 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRExemplo 5.1. Usando a relao (5.24), calcule as correntes de sequncia para um sistema abc equilibrado. Soluo. Em um sistema totalmente equilibrado, teremos, por exemplo, Z = 0a aI I, Z = 120b bI I, Z = 120c cI I, onde c b aI I I = = . Aplicando (5.24), vem ((((

Z Z Z((((

=((((

1201200111 1 13122210aaaaaaIIIa aa aIII ou, ( )( )( )= Z Z + Z Z + == Z Z + Z Z + == Z + Z + =0 120 1 120 1 120 1 240 1 13120 1 240 1 120 1 120 1 130 120 1 120 1 13210aaaaaaaIIIIIII Os resultados acima indicam que um sistema equilibrado com os ngulos 0, 120, +120 (sistema de sequncia positiva) tem apenas componente de sequncia positiva. Se os n-gulos fossem 0, +120, 120, caracterizando um sistema de sequncia negativa, apenas a com-ponente de sequncia negativa existiria. Em ambos os casos a componente de sequncia zero seria nula.Exemplo 5.2. Em um sistema desequilibrado circulam as correntes Z = 0 8aI, Z = 90 6bIe Z = 1 , 143 16bI. Calcule as correntes de sequncia e desenhe os diagramas fasoriais para cada uma delas. Soluo. De acordo com a relao (5.24), teremos ((((

Z Z Z((((

=((((

1 , 143 1690 60 8111 1 13122210a aa aIIIaaa ou, Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 59 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR((((

Z Z Z((((

Z Z Z Z =((((

1 , 143 1690 60 8120 1 120 1 1120 1 120 1 11 1 131210aaaIII ou, ainda, ((((

Z Z Z=((((

Z + Z + Z Z + Z + Z Z + Z + Z=((((

08 , 86 3 , 438 , 18 81 , 905 , 143 21 , 263 16 210 6 0 81 , 23 16 30 6 0 81 , 143 16 90 6 0 831210aaaIII (5.25) De acordo com 5.14, teremos Z = Z Z = Z = Z = Z Z = Z =38 , 138 81 , 9 120 38 , 18 81 , 9 12038 , 258 81 , 9 240 38 , 18 81 , 9 2401 11 1a ca bI II I (5.26) E, da relao (5.15), teremos Z = Z Z = Z = Z Z =92 , 153 3 , 4 240 08 , 86 3 , 492 , 33 3 , 4 120 08 , 86 3 , 422cbII (5.27) A Figura 5.2 ilustra o diagrama fasorial completo, mostrando a composio das correntes de sequncia a partir das correntes do sistema abc original. Figura 5.2 Diagrama fasorial mostrando a composio de umsistema desequilibrado a partir de trs sistemas equilibrados Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 60 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR5.3. Potncia complexa A potncia complexa trifsica do sistema original abc pode ser escrita, em pu, como( )*3abc abcI V S =|. (5.25) Esse resultado pode ser escrito tambm em forma matricial | | | |*3abcTabcI V S =|, (5.26) bastando que se defina os seguintes vetores-coluna ((((

=cbaabcVVVV,e((((

=cbaabcIIII (5.27) De (5.18) , sabemos que| | | | | |012I A Iabc = . Esse resultado vale tambm para tenses:| | | | | |012V A Vabc = . Assim, a relao (5.26) pode ser escrita como| | | | { } | | | | { }*012 0123I A V A ST =|, (5.28) ou, | | | | | | | |*012*0123I A A V ST T =|, (5.27) Usando a relao (5.21), podemos finalmente escrever | | | |*012 01233 I V ST =|,(5.29) Potncia complexa trif-sica escrita em funo dos componentes de sequncia. onde Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 61 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR((((

=210012VVVV,e((((

=210012IIII. (5.30) A relao (5.28) pode ser escrita em forma explcita *2 2*1 1*0 0 33 3 3 I V I V I V S + + =|. (5.31) Decorre que a potncia total a soma das potncias de cada sequncia. Assim, cada um dos trs circuitos de sequncia absorve uma parte da potncia total absorvida pelo circuito abc original. 5.4. Impedncias de sequncia Considere agora o circuito da Figura 5.3, que ilustra uma carga trifsica equilibrada, com impedncia srie sZpor fase, ligada em estrela aterrada por uma impedncia de neutro nZ e ali-mentada por uma fonte trifsica cujas tenses de fase so aV, bV e cV. As fases esto acopladas entre si por meio de impedncias mtuas mZ, as quais podem ser resultantes de capacitncias ou indutncias entre os condutores das linhas. Figura 5.3 Carga trifsica equilibrada com impedncias mtuas As tenses de fase aV, bV e cV podem ser escritas como+ + + =+ + + =+ + + =n n b m a m c s cn n c m a m b s bn n c m b m a s aI Z I Z I Z I Z VI Z I Z I Z I Z VI Z I Z I Z I Z V Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 62 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPRLembrando que c b a nI I I I + + =e reordenando os termos das equaes acima, vem ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+ + + + + =+ + + + + =+ + + + + =c n s b n m a n m cc n m b n s a n m bc n m b n m a n s aI Z Z I Z Z I Z Z VI Z Z I Z Z I Z Z VI Z Z I Z Z I Z Z V ou, em forma matricial, ((((

((((

+ + ++ + ++ + +=((((

cban s n m n mn m n s n mn m n m n scbaIIIZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZVVV (5.32) A equao (5.32) pode ser escrita em forma mais compacta utilizando-se a notao matri-cial | | | | | |abc abc abcI Z V = , (5.33) onde | |((((

+ + ++ + ++ + +=n s n m n mn m n s n mn m n m n sabcZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ZZ (5.34) a matriz-impedncia do sistema abc original. Nossa inteno obter a equao de sequncia correspondente (5.33). Substituindo a re-lao (5.18) na (5.33), teremos | | | | | | | | | |012 012I A Z V Aabc = . (5.35) Pr-mutiplicando ambos os lados de (5.35) por| |1 A , vem | | | | | | | | | |0121012I A Z A Vabc =. (5.36) Sabendo que| |012V tem dimenso de volts e que| |012I tem dimenso de amperes, ento, por fora da lei de Ohm, o termo| | | | | | A Z Aabc 1 dever ter dimenso de ohms, sendo deno-minado matriz-impedncia de sequncia | | | | | | | | A Z A Zabc = 1012. (5.37) Substituindo as relaes (5.19), (5.22) e (5.34) em (5.37), teremos, aps um calculo direto Sistemas Eltricos de Potncia Notas de Aula Verso 03/07/2011 21:34 63 Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida UTFPR | |((((

+ +=m sm sm n sZ ZZ ZZ Z ZZ 0 00 00 0 2 3012.(5.38) Matriz-impedncia de sequncia. A relao (5.37) deixa claro que as componentes simtricas funcionam como um mtodo de diagonalizao da matriz-impedncia. A consequncia eltrica desse fato ainda mais inte-ressante. Por exemplo, substituindo (5.38) em (5.36), podemos escrever ((((

((((

+ +=((((

2102100 00 00 0 2 3IIIZ ZZ ZZ Z ZVVVm sm sm n s (5.39) ou, de forma mais explcita ( )( )( ) = =+ + =2 21 10 02 3I Z Z VI Z Z VI Z Z Z Vm sm sm n s (5.40) Assim, tenses de uma sequncia produziro correntes desta sequncia apenas. Em outras palavras, os circuitos de sequncia so eletricamente desacoplados entre si. 5.5. Impedncias de sequncia dos componentes de um SEP Um sistema equilibrado que opera alimentando cargas tambm equilibradas s contm componentes de sequncia positiva. Logo, as impedncias de sequncia positiva dos diversos componentes do circuito, tais como geradores, linhas de transmisso e transformadores, so as respectivas impedncias j conhecidas. Contudo, precisamos analisar ainda a representao das impedncias de sequncias negativa e zero de tais equipamentos. 5.4.1. Linhas de transmisso As impedncia