Sequências Continuamente Uniformes

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    Maternatlca Universitaria N'18, junho de 1995, 42-50

    Sobre a Convergenciade Sequencias deFuncoes DiferenciaveisAdalberto Spezamiglio

    1. Introdueaoo problema em que estamos interessados e0da troca de limite com a derivada

    na convergencia de sequencias de funcoes diferenciaveis, Mais especificamente,se j" : [a,b] ~ R e uma sequencia de funcoes diferenciaveis convergindo numcerto sentido para uma funcao f em [a,b], em que condicoes f e diferenciavel em[a,b] e

    lim ,,->~J,,'(x)=f'(x) = (lim iI .... ~J, '(X' ?E bern conhecido (ver [2], Teorema 4, pag. 157,ou [4], Teorema 7.17, pag.

    158) 0 seguinte resultado relacionado com essa questao:Teorema 1: Seja J " : [a,b] ~ R uma sequencia de funcoes diferenciaveis

    satisfazendo as seguintes condicoes:(i) Existe x, E [a,b] tal que a sequencia (f, ,(xo converge;(ii) (j,,') converge uniformemente em [a,b].

    Entao if,,) converge uniformemente em [a,bJ para uma funcao f diferenciavele, para todo x E [a,b],

    . lim "-7~J,,'(x) =f'(x).Uma observacao que fazemos e que no teorema acima a hip6tese mais

    exigente e feita sobre a sequencia if,,'), aparecendo a convergencia de (f,,) e apropriaj na tese, contrario ao que normahnente ocorre nas aplicacoes, Ademais,para se conduir a igualdade (1) precisamos saber de antemao que a sequenciaifn') e uniformemente convergente em [a,b].

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    Objetivo deste trabalho e descrever condicoes sabre as funcoes 1 " e suasderivadas de modo que, a partir da convergencia de (fn) paraj, possamos concluira existencia do lim n - - , > = ! n ' ( x ) a existencia da derivadaJ'(x) ea igualdade dessesdois valores, Na proxima seccao descrevemos alguns fatos basicos sobre limitesduplos e iterados. Na seccao 3 enunciamos e pro vamos 0resultado principal e naseccao 4 ilustramos com alguns exemplos os fatos tratados.

    2. Seqilenelas DupJasAs provas dos fatos enunciados nesta seccao podem ser encontradas em [1],

    pag. 127-130. Veja tambem [3], pag, 141, exercicio 13. Uma s equencia dupla demimeros reais e uma aplicacao X: N x N ~ R. A imagem X(m,n) do par(m,n) E N x N sera denotada por Xmn e a sequencia X por (xmn). Dizemos que umasequencia dupla (xmn) tern limite x quando men tend em para 0 infinito eescrevemos

    lim m~~ Xmt~ =X ,

    se para todo I: : > 0, existe no = no(l::) ENtal que IXm" - x I< E, sempre quem,n~n().Uma sequencia dupla pode ser considerada como uma sequencia de sequen-cias do tipo Xm = (Xml ,Xm2 ,Xm 3 , .. ) ou de seqiiencias do tipoX " = (XlII, X2n , X3n , .. ). Podemos entao pensar no limite de cada uma dessassequencias X m ou X ". Suponha que para cada mEN exista 0 limiteYm = lim IH~Xmn . Obtemos assim uma nova sequencia ( Ym) que pode perfeita-mente ter limite. Assim y = lim n--'>= Ym isto e,

    Y = lim m~~ lim u->- Xmue este e chamado limite iterado. Da mesma forma podemos considerar 0 limiteiterado x = lim ,,->_ (lim m~~ xmll)

    A existencia do limite duplo nao impIica na existencia dos iterados, comomostra 0 exemplo Xmll = (-1)''' + n (! + ~ J ' nem a existencia e igualdade doslimites iterados implica na existencia do limite duplo, confonne mostra a sequencia

    _ { O se m '" nXm/~ - 1 se m=nNo entanto, com alguma condicao de uniformidade, no ultimo caso pode-seconcluir a existencia do limite duplo.

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    Para cada m EN sejam Xm = (Xm I,Xtn2 , .. ) e Ym = lim n_"~ xmn . Dizemosque essa convergencia e unifonne se para todo E > 0, existe no,~ no(E ) E NtaJ que

    1 Xm" - Ym 1 < E , '\In ~ no, ' l imE N.Com essa nQ9aO de u nifo rm id ad e po de -se provar 0 seguinte resultado:Teorema 2: Suponha que exitem as limites Y m = lim ,,->~ Xm " e

    z, = lim m->= Xm" e que uma dessas convergencias seja uniforme. Entao, existem oslimites iterados e 0 limite duplo e os tres valores sao iguais,

    3. 0 Resultado Principal. .Passarernos agora a discutir ,0 problema proposto inicialmente. Observamosna Seccao 1 que para se coneluir a igualdade (l) precis amos saber que a sequenciaifn') e uniformemente convergente em [a,b]. Uma condicao suficiente para is sosem 0 conhecimento do limite e dada no conhecido Criteria de Cauchy paraconvergencia uniforme e e a seguinte:

    ' \IE> 0 , ::Inn= no (E ) EN: m,n : 2 : no ::::} 11,, ' (x) - fm ' (x) 1 < E, '\Ix E [a,b] (2 )SejaJ c R umintervalo (nao necessariamente fechado 01.1 I imi tado ) , Ahipo te se basicaque colocamos tambem e sobre a sequencia (j,,') e e que ela seja eqii icontinua em1. Isso quer dizer que a se guin te co ndicao se verifica para quaisquer X ,Y E 1:

    "IE> 0 , ::1 0 = 8(E) > 0 : 1x - Y I < 0 ::::} 1 1,,' (x) - 1,,' (y ) I < E , 'in E N (3)Existe uma correlacao entre a condicao (2) utilizada no Teorerna 1 e a

    con dicao (3) que usaremos abaixo, mas elas nfio sao equivalentes mesmo quando1 = [a,b]: se if,,) e tal que J , , ' e continua e (j,,') e uniformemente convergente em[a,b] entao If,,') e equicontfnua em [a,b] (ver [3], pag, 244, proposicao 16, ou [4],pag, 163, Teorema 7.23(a e e facil ver que ela e uniformemente limitada em[a,b] (isto 6 , existe M > tal que 11, , ' (x) I S ;; M , "In E N, "Ix E [a,b]). Assim, naelasse das funcoes continuamente diferenciaveis em [a,b], a fim de que umasequencia seja uniformemente convergente 6 necessar io que e la seja eqii icontfnuae uniformemente limitada. Mas essas condicoes nao sao suficientes para garantira convergencia uniforme da sequencia. Nesse sentido citamos 0 conhecido Teo-rema de Arze la-Ascol i que diz 0 seguinte: se (j,,) e uma sequencia limitada em[a,b] (isto 6 , para cada x E [a,b], existe M = M(x) > 0 tal que If" (x) I S ; ; M,"In EN) e eqiiicontfnua em [a,b] entao if, ,) adrnite uma subsequencia uniforme-mente convergente e e uniformemente limitada em [a,b] (Ver [3], pag , 244,proposicao 16,ou [4] pag, 163, Teorema 7.23(b. Mas uma sequencia pode ser

    II

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    equicontinua em J sendo apenas pontualmente convergente ou mesmo nao sendoconvergente em J, como veremos nos exemplos. Isso deixa claro a generalizacaodo Teorema 1que apresentamos abaixo:

    T eorema 3 : Seja {f,,) uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que (f,,') eequicontfnua em J. Se f,(x) -,) I(x) para todo x E J entao I e diferenciavel em J er e x ) = lim ,,->~f,, '(x), "Ix E J.

    Prova: Fixemos x E J e tomemos uma sequencia (hm) de mimeros reais,h11l -7 0 com m -,) =Fmil (x ) =1,,'(x).Mostremos que a convergencia (4) e uniforme. Pelo Teorema do Valor Medic

    aplicado a III no intervale de extremos x e x + hm , existe 8",n entre esses doisvalores tal que

    Daf,1 Fm ,,(x) - 1,,'(x) 1= I 1 , , ' ( 8mn) - f,'(x) 1 .

    Sendo (f,,') equicontfnua em J, dado f, > 0, existe 0 = 0() > tal que1x - y 1< 8 ::::}I1,,'(x) - 1,,'(y) I< E , "I n EN

    Tomando no ENtal que m ;:::no implique 1h.; 1< 8 segue que1 f.'(em,,) - 1,,'(x) 1 < E, "1 m 2no, "I n EN

    provando a convergencia uniforme de (4).Aplicamos agora 0Teorema 2 para concluir a existencia dos limites iteradoslim m->= (lim , , - > _ Fm i l = r (x) ,

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    lim , , ->_ (lim m->" Fm , ,( X = lim ,,->_!,,'(x)e a igualdade desses dois valores:

    lim II->_J,,'(x) =I(x) .oTeorema esta demonstrado.

    Segueuma consequencia imediata do Teorema 3.CoroI3rio: Seja (g,,) uma sequencia equicontfnua em f. Se para algum a

    fixado em J e todo x E I tivermos [ g Il (s) ds -+0, entao g,,(x) -+ 0, Vx E 1.

    4 . Exernp lo sVejamos alguns exemplos ilustrando 0 usa do teorema anterior. Uma vanta-

    gem da Condicao de Equicontinuidade sobre a Condicao de Cauchy e que, para aprimeira, em alguns casas, podemos usar urn criterio muito simples baseado nalimitacao das derivadas: se (g,,) e uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que(g,,') e uniformemente limitada em J entao (g,,) e equicontinua em f. Para seriesde funcoes diferenciaveis

    "Silex) = Ljk(x)k~!

    (x E 1) (n EN)

    temos 0 seguinte criterio tipo Weierstrass:Lerna: Supooha que exista uma sequencia (Mk) de mirneros reais satisfazen-

    do, para todo kEN,Ifk'(x) I : : : ;M k , Vx E 1 .

    Se a serie Lk~! M, e convergente entao a sequencia (S, , ) dada em (5) e eqiiicon-tinuaeml.

    Prova: Para X ,Y E I,

    I S ile x) - S ,,(y) I:::; L IN x) - fb) I .k~!

    Pelo Teorema do Valor Medic existe 8 k no intervalo de extremos x e y talque

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    I!IiIII II !

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    IJk(X) - Jb) 1= IJ/(8k ) II x - y I .Logo,

    I S,,(X) - S,,(y) I s I x - y ILu,,bL

    donde segue a equicontinuidade de (S,,) em J.

    Exemplo 1: SII(X) =L" cos(x/k),b X E [O,re].Aqui, Jk(X) = cos( ~), H(x) = ~l se n( ~) ; como I

    , < 1 Ixl < rrIJdx) l-kT- Fe a serie L k ~ L re/F e convergente, segue do lema que a sequencia (SII) eeqiiicontfnua em [O,re]. No entanto, (SII) nao e convergente nesse intervalo, comose pode notar tomando 0ponto x = O.

    Exemplo 2:f,,(x) =x + x2/n, x E R.Neste caso, f,,(x) _, f(x) = x, para todo x real e essa convergencia nao e

    uniforme em R. Logo, tambem nao e uniforme em R a convergencia da sequenciadas derivadasJ,,'(x);;; 1 + 2x/n. No entanto, esta e equicontfnua emR uma vez queIJ"(x) I =~:::;2, Vn E N, Vx E R. Assim conclufmos que in'(x} _, r e x ) = 1,nVx E R, 0 que, neste caso, pode ser facilmente verificado por calculo direto.

    Observamos que no exemplo 2 0 Teorema 3 e aplicado em toda a reta(J =R) ao passo que, para aplicar 0 Teorema 1,0 procedimento deve ser este:fixa-se x E R, toma-se urn intervalo [a,b] co