Sequências Continuamente Uniformes

5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com

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Maternatlca Universitaria N'18, junho de 1995, 42-50

Sobre a Convergenciade Sequencias de

Funcoes Diferenciaveis

Adalberto Spezamiglio

1. Introdueao

o problema em que estamos interessados e0da troca de limite com a derivada

na convergencia de sequencias de funcoes diferenciaveis, Mais especificamente,

se j" : [a,b] ~ R e uma sequencia de funcoes diferenciaveis convergindo num

certo sentido para uma funcao f em [a,b], em que condicoes f e diferenciavel em[a,b] e

lim ,,->~J,,'(x)=f'(x) = (lim iI .... ~J, '(X»' ?

E bern conhecido (ver [2], Teorema 4, pag. 157,ou [4], Teorema 7.17, pag.

158) 0 seguinte resultado relacionado com essa questao:

Teorema 1: Seja J " : [a,b] ~ R uma sequencia de funcoes diferenciaveis

satisfazendo as seguintes condicoes:

(i) Existe x, E [a,b] tal que a sequencia (f, ,(xo» converge;

(ii) (j,,') converge uniformemente em [a,b].

Entao if,,) converge uniformemente em [a,bJ para uma funcao f diferenciavel

e, para todo x E [a,b],

. lim "-7~J,,'(x) =f'(x).

Uma observacao que fazemos e que no teorema acima a hip6tese mais

exigente e feita sobre a sequencia if,,'), aparecendo a convergencia de(f,,)

e apropriaj na tese, contrario ao que normahnente ocorre nas aplicacoes, Ademais,

para se conduir a igualdade (1) precisamos saber de antemao que a sequencia

ifn') e uniformemente convergente em [a,b].

(1)



Objetivo deste trabalho e descrever condicoes sabre as funcoes 1 " e suas

derivadas de modo que, a partir da convergencia de (fn) paraj, possamos concluir

a existencia do lim n - - , > = ! n ' ( x ) a existencia da derivadaJ'(x) ea igualdade desses

dois valores, Na proxima seccao descrevemos alguns fatos basicos sobre limites

duplos e iterados. Na seccao 3 enunciamos e pro vamos 0resultado principal e na

seccao 4 ilustramos com alguns exemplos os fatos tratados.

2. Seqilenelas DupJas

As provas dos fatos enunciados nesta seccao podem ser encontradas em [1],

pag. 127-130. Veja tambem [3], pag, 141, exercicio 13. Uma s equencia dupla de

mimeros reais e uma aplicacao X: N x N ~ R. A imagem X(m,n) do par(m,n) E N x N sera denotada por Xmn e a sequencia X por (xmn). Dizemos que uma

sequencia dupla (xmn) tern limite x quando men tend em para 0 infinito e

escrevemos

lim m~~ Xmt~ =X ,

se para todo I: : > 0, existe no = no(l::) ENtal que IXm" - x I< E, sempre que

m,n~n().Uma sequencia dupla pode ser considerada como uma sequencia de sequen-

cias do tipo Xm = (Xml ,Xm2 ,Xm 3 , .•. ) ou de seqiiencias do tipo

X " = (XlII, X2n , X3n , ..• ). Podemos entao pensar no limite de cada uma dessas

sequencias Xm ou X". Suponha que para cada mEN exista 0 limite

Ym = lim IH~Xmn . Obtemos assim uma nova sequencia ( Ym) que pode perfeita-

mente ter limite. Assim y = lim n--'>= Ym isto e,

Y = lim m~~ lim u->- Xmu

e este e chamado limite iterado. Da mesma forma podemos considerar 0 limite

iterado x = lim ,,->_ (lim m~~ xmll) •

A existencia do limite duplo nao impIica na existencia dos iterados, como

mostra 0 exemplo Xmll = (-1)''' + n (! + ~ J ' nem a existencia e igualdade dos

limites iterados implica na existencia do limite duplo, confonne mostra a sequencia

_ { Ose m '" n

Xm/~ - •1 se m=n

No entanto, com alguma condicao de uniformidade, no ultimo caso pode-se

concluir a existencia do limite duplo.

43



44

Para cada m EN sejam Xm = (Xm I,Xtn2 , ..• ) e Ym = lim n_"~ xmn . Dizemos

que essa convergencia e unifonne se para todo E > 0, existe no,~ no(E ) E NtaJ que

1 Xm" - Ym 1 < E , '\In ~ no, ' l imE N.

Com essa nQ9aO de u nifo rm id ad e po de -se provar 0 seguinte resultado:

Teorema 2: Suponha que exitem as limites Y m = lim ,,->~ Xm " e

z, = lim m->= Xm" e que uma dessas convergencias seja uniforme. Entao, existem os

limites iterados e 0 limite duplo e os tres valores sao iguais,

3. 0 Resultado Principal. .Passarernos agora a discutir ,0 problema proposto inicialmente. Observamos

na Seccao 1 que para se coneluir a igualdade (l) precis amos saber que a sequencia

ifn') e uniformemente convergente em [a,b]. Uma condicao suficiente para is so

sem 0 conhecimento do limite e dada no conhecido Criteria de Cauchy para

convergencia uniforme e e a seguinte:

' \IE> 0 , ::Inn= no (E ) EN: m,n : 2 : no ::::} 11,, ' (x) - fm ' (x) 1 < E, '\Ix E [a,b] (2 )

SejaJ c R umintervalo (nao necessariamente fechado 01.1 I imi tado ) , Ahipo te se basicaque colocamos tambem e sobre a sequencia (j,,') e e que ela seja eqii icontinua em

1. Isso quer dizer que a se guin te co ndicao se verifica para quaisquer X ,Y E 1:

"IE> 0 , ::1 0 = 8(E) > 0 : 1x - Y I < 0 ::::} 1 1,,' (x) - 1,,' (y ) I < E , 'in E N (3)

Existe uma correlacao entre a condicao (2) utilizada no Teorerna 1 e a

con dicao (3) que usaremos abaixo, mas elas nfio sao equivalentes mesmo quando

1 = [a,b]: se if,,) e tal que J , , ' e continua e (j,,') e uniformemente convergente em

[a,b] entao If,,') e equicontfnua em [a,b] (ver [3], pag, 244, proposicao 16, ou [4],pag, 163, Teorema 7.23(a» e e facil ver que ela e uniformemente limitada em

[a,b] (isto 6 , existe M > ° tal que 11, , ' (x) I S ;; M , "In E N, "Ix E [a,b]). Assim, na

elasse das funcoes continuamente diferenciaveis em [a,b], a fim de que uma

sequencia seja uniformemente convergente 6 necessar io que e la seja eqii icontfnua

e uniformemente limitada. Mas essas condicoes nao sao suficientes para garantir

a convergencia uniforme da sequencia. Nesse sentido citamos 0 conhecido Teo-

rema de Arze la-Ascol i que diz 0 seguinte: se (j,,) e uma sequencia limitada em

[a,b] (isto 6 , para cada x E [a,b], existe M = M(x) > 0 tal que If" (x) I S ; ; M,"In EN) e eqiiicontfnua em [a,b] entao if, ,) adrnite uma subsequencia uniforme-

mente convergente e e uniformemente limitada em [a,b] (Ver [3], pag , 244,

proposicao 16,ou [4] pag, 163, Teorema 7.23(b». Mas uma sequencia pode ser

I

I

II



equicontinua em J sendo apenas pontualmente convergente ou mesmo nao sendo

convergente em J, como veremos nos exemplos. Isso deixa claro a generalizacao

do Teorema 1que apresentamos abaixo:

T eorema 3 : Seja {f,,) uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que (f,,') e

equicontfnua em J. Se f,(x) -,) I(x) para todo x E J entao I e diferenciavel em J e

r e x ) = lim ,,->~f,, '(x), "Ix E J.

Prova: Fixemos x E J e tomemos uma sequencia (hm) de mimeros reais,

h11l -7 0 com m -,) <XI de tal modo que x + h.; E J, para todo mEN. Para cada

n E Nseja

def f,,(x + hm) - 1,,(x)Fmn(x ) =

Como 1 " - , ) Im J segue que

. fix + hm) - f (x)lim n->~ Fm n (x) = h '

m

e da diferenciabilidade de f " ,

lim m->=Fmil (x ) =1,,'(x).

Mostremos que a convergencia (4) e uniforme. Pelo Teorema do Valor Medic

aplicado a III no intervale de extremos x e x + hm , existe 8",n entre esses dois

valores tal que

Daf,

1 Fm ,,(x) - 1,,'(x) 1= I 1 , , ' ( 8mn) - f,'(x) 1 .

Sendo (f,,') equicontfnua em J, dado f, > 0, existe 0 = 0(£) > ° tal que

1x - y 1< 8 ::::}I1,,'(x) - 1,,'(y) I< E , "I n EN

Tomando no ENtal que m ;:::no implique 1h.; 1< 8 segue que

1 f.'(em,,) - 1,,'(x) 1 < E, "1 m 2no, "I n EN

provando a convergencia uniforme de (4).Aplicamos agora 0Teorema 2 para concluir a existencia dos limites iterados

lim m->= (lim , , - > _ Fm i l » = r (x) ,

45

(4)



46

lim , , ->_ (lim m->" Fm , ,( X » = lim ,,->_!,,'(x)

e a igualdade desses dois valores:

lim II->_J,,'(x) =I(x) .

oTeorema esta demonstrado.

Segueuma consequencia imediata do Teorema 3.

CoroI3rio: Seja (g,,) uma sequencia equicontfnua em f. Se para algum a

fixado em J e todo x E I tivermos [ g Il (s) ds -+0, entao g,,(x) -+ 0, Vx E 1.

4 . Exernp lo s

Vejamos alguns exemplos ilustrando 0 usa do teorema anterior. Uma vanta-

gem da Condicao de Equicontinuidade sobre a Condicao de Cauchy e que, para a

primeira, em alguns casas, podemos usar urn criterio muito simples baseado na

limitacao das derivadas: se (g,,) e uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que

(g,,') e uniformemente limitada em J entao (g,,) e equicontinua em f. Para series

de funcoes diferenciaveis

"Silex) = Ljk(x)

k~!

(x E 1) (n EN)

temos 0 seguinte criterio tipo Weierstrass:

Lerna: Supooha que exista uma sequencia (Mk) de mirneros reais satisfazen-

do, para todo kEN,

Ifk'(x) I : : : ;M k , Vx E 1 .

Se a serie Lk~! M, e convergente entao a sequencia (S, , ) dada em (5) e eqiiicon-

tinuaeml.

Prova: Para X ,Y E I,

I S ile x) - S ,,(y) I:::; L IN x) - fb) I .

k~!

Pelo Teorema do Valor Medic existe 8 k no intervalo de extremos x e y tal

que

(5)

I!

Ii

I

II II !



47

IJk(X) - Jb) 1= IJ/(8k ) II x - y I .

Logo,

I S,,(X) - S,,(y) I s I x - y ILu,,bL

donde segue a equicontinuidade de (S,,) em J.

Exemplo 1: SII(X) =L" cos(x/k),b

X E [O,re].

Aqui, Jk(X) = cos( ~), H(x) = ~l se n( ~) ; como I

, < 1 Ixl < rrIJdx) l-kT- F

e a serie L k ~ L re/F e convergente, segue do lema que a sequencia (SII) e

eqiiicontfnua em [O,re]. No entanto, (SII) nao e convergente nesse intervalo, como

se pode notar tomando0

ponto x = O.

Exemplo 2:f,,(x) =x + x2/n, x E R.

Neste caso, f,,(x) _, f(x) = x, para todo x real e essa convergencia nao euniforme em R. Logo, tambem nao e uniforme em R a convergencia da sequencia

das derivadasJ,,'(x);;; 1 + 2x/n. No entanto, esta e equicontfnua emR uma vez que

IJ"(x) I =~:::;2, Vn E N, Vx E R. Assim conclufmos que in'(x} _, r e x ) = 1,n

Vx E R, 0 que, neste caso, pode ser facilmente verificado por calculo direto.

Observamos que no exemplo 2 0 Teorema 3 e aplicado em toda a reta

(J =R) ao passo que, para aplicar 0 Teorema 1,0 procedimento deve ser este:

fixa-se x E R, toma-se urn intervalo [a,b] contendo x e mostra-se que a conver-t

gencia de ifn') e uniforme nesse intervalo. Mas, em casos mais complicados como

o do proximo exemplo, isso pode nao ser muito simples ou mesmo ser impossivel.

E xem p lo 3: SII(X) =L " (-l)k sen(x/k)/logk, x E [O,re].k~2

Para cadax fixado em ]O,re[ a expressao se n (x/k)/logk define uma sequencia

de termos positivos e decrescente para zero. Logo pelo Criterio de Leibniz a

sequencia (Sn) e convergente (pontualmente) em] a,re[, portanto em [O,re], 0mesmo



48

' ':1 ",! ;

" I

~i

i

acontecendo com a sequencia das derivadas

Para mostrar que (S,,/) e equicontfnua em [D,n], seja

!k(X) "" (-1)k cos(f JkIOgk.

Entaof/(x) "" (_1 )k+1 s e n ( f J k 2I O g k e

Ifk'(x) IS ; k2I!gk "i/x E [D,n].

I _ ~ k COS(Yk)

S" (x) - . L . . . (-1) klo k .1=2 g

xw s e n ( k " )

Sex) ; ;: ;;L (-1)" Iogk' x E [D,n]k=2

Como a serie Lw 1/ k2Jogk e convergente, segue do lema que (S,,/) e eqtiicontmuak=2

em [O,n]. Assim, segue do Teorema 3 que, se

entao S e diferenciavel em [D,n] e

x~ cos(/;)

S'(x) "" L (-l)k klogk'k=2

E xem p lo 4 : !,,(X);;:;; (1 +~ J x E [0,1].

Fixemos x E JO,I]. Escrevendojij») na forma

n(n - 1) x2 n(n- 1) ... [n - (n - 1)] x". ,! ,,(x ) "" 1 + x + 2 2 + ...+ I - , Is10 e

n n. ~

x2 1 x" 1 n-I

! ,,(x) "" 1+ x + - (1 - -) + ...+ - (1 - -) ... (1 - --) ,2! n n! n n

observamos facilmente que (f,(X» e crescente. Da ultima expressao,



x2 x"I,(X ) < 1+x+-+ ... - donde,,- 2! n!'

x2 x"

I,(x) ~ 1+ x + - + ...+ - e entao, 2 2,,-1

{

X X " - I ]n(x) ::; 1+ 1 + '2 + ...+ 221 1

-1

,OU equivalenternente,

< 2xfn(x) _ 1+--,2-x

sendo portanto (Ux)) limitada. Assim e convergente em [0,1] a sequencia (f,,).

Seja

j{x) = lim n->~ (1 + ~ } x E [0,1].

Mostrernos que (1,, ') e eqii icontfnua em [0,1]. Ternos:

(I"-2 1-.!. j;/(x)

f,,"(x) = 1-.;; 1+ ~ = *-..:.;n+-_

( 1 + ~ )

Logo, para x E [0,1],

If,,"(x) I ;5;,f,,'{x) I :: ; Ifn(x) I .

Sendo (j")uniformernente limitada em [0,1] segueque (1,,") tambem 0e , e portanto

(f,,') 6 equicontfnua em [0,1]. Do Teorema 3 segue que aj defmida em (6) 6derivavel e

r e x ) = lim , , - > _ I,,(x) =fix), X E [0,1]

l+En

Como 1 , , (0) = 1para todo n E N, entao f lO) = 1.Assim, aIada em (6) e a solucao

do problema de valor inicial.

~= y; yeO ) = 1,

e esta e a funcao exponencialf(x) = e",

49

(6)



50

D epartam e nto de M a tem d tica - IEILeE - UNESP

1 5054-00 0, s ao Jos e d o R io Preto, SP

Referencias

[1] Bartle, R.G. - Elementos de Analise Real, Ed. Campus, 1983

[2] Lima, E.L. - Analise Real - vol 1, (2' Edicfio), Colecao Maternatica Universitaria,

IMPA,1993.[3] Lima, E.L. - Espacos Metricos (3' Edicao) Projeto Euclides. IMPA, 1993.

[4] Rudin, W. - Principios de Analise Matemdtica, L.T. e Ed. UnB, 1971.

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