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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Química Curso de Licenciatura em Química Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química Haroldo Candal da Silva Rio de Janeiro 2014

Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química · Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Química Curso de Licenciatura em Química Sequências Didáticas

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de Química

Curso de Licenciatura em Química

Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química

Haroldo Candal da Silva

Rio de Janeiro

2014

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Haroldo Candal da Silva

Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química

Monografia submetida ao corpo docente do

Instituto de Química da Universidade do Estado do Rio

de Janeiro como requisito final para obtenção do diploma

de Licenciatura em Química.

Orientadora: Professora Dr.ª Maria de Fátima Teixeira Gomes

Rio de Janeiro

2014

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Haroldo Candal da Silva

Aprovado em ________________________________________________

Banca Examinadora: _________________________________________

_____________________________________________

Profª. Drª. Maria de Fátima Teixeira Gomes (Orientadora)

Departamento de Química Geral e Inorgânica - Instituto de Química - UERJ

_____________________________________________

Prof.ª Dr.ª Angela Sanches Rocha

Departamento de Físico-Química - Instituto de Química - UERJ

_____________________________________________

Prof. Dr. Maurício Tavares de Macedo Cruz

Departamento de Química Geral e Inorgânica - Instituto de Química - UERJ

Rio de Janeiro

2014

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a Deus, que supriu minhas necessidades e

renovou minhas forças durante a Graduação e em todos os

momentos de minha vida, através de meus pais, amigos,

professores, muitos dos quais são como familiares para mim.

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AGRADECIMENTOS

À minha família, em especial, pai e mãe, que sempre se

dedicaram para me dar o melhor e são exemplos de amor.

Aos professores Ilton Jornada, Fátima Gomes e Angela Sanches

por mostrarem imensa preocupação com minha formação

acadêmica e por estarem sempre presentes.

Aos professores que lecionam no curso de Licenciatura em

Química da UERJ.

À Direção e aos professores do Colégio Estadual Professor

Ernesto Faria, em especial à professora Denise Gutman, por

quem tenho grande carinho e admiração.

Aos alunos do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, em

especial aos que frequentaram a turma 3001, que se formou em

2013, os quais tive o privilégio de acompanhar desde o início do

Ensino Médio e de vivenciar com eles as minhas primeiras

experiências na carreira docente.

Aos meus colegas de Curso, em especial, Marcos Leal e Dayane

Sales, que estiveram comigo em momentos difíceis ao longo da

Graduação.

Page 6: Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria & Química · Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Química Curso de Licenciatura em Química Sequências Didáticas

O valor da educação:

“Apega-te à instrução e não a largues; guarda-a, porque ela é a tua vida.”

Provérbios 4:3

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RESUMO

CANDAL, Haroldo da Silva. Sequências Didáticas Interdisciplinares: Geometria &

Química. Monografia (Graduação em Licenciatura em Química) – Instituto de Química –

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.

O objetivo desta Monografia é relatar estratégias e sequências didáticas, que foram

desenvolvidas por um estudante da UERJ, que participa como bolsista do Programa

Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID/Capes), do Subprojeto-Química, com

alunos do Ensino Médio, do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de

Janeiro, no ano Internacional da Matemática, visando relacionar Geometria e Química. As

sequências didáticas foram desenvolvidas para projetos escolares que visaram deixar claro

para os estudantes, o papel instrumental da Matemática na proposição de modelos

explicativos para as estruturas dos materiais. Os projetos escolares foram desenvolvidos por

dois grupos, um do segundo ano e outro do terceiro, os quais trabalharam, respectivamente, os

temas: “Geometria dos sólidos cristalinos” e “Aplicando conceitos da Geometria na

determinação de raios atômicos de alguns metais”. No início das atividades foram aplicados

questionários que foram utilizados para levantar os conhecimentos prévios e para orientar a

busca de informações. Os alunos que trabalharam com o primeiro tema, a partir das

informações colhidas em consultas a livros e a internet, elaboraram cartazes e montaram

modelos representativos das redes cristalinas utilizando massa de modelar e palitos de fósforo.

A sequência didática relacionada ao segundo tema envolveu, além de respostas ao

questionário, a determinação das massas e das dimensões de amostras cilíndricas de alumínio,

zinco e cobre; a realização de cálculos químicos e a aplicação de conceitos da Geometria para

determinação dos volumes atômicos e dos correspondentes raios atômicos dos três metais.

Consideramos que as sequências didáticas promoveram a interdisciplinaridade entre a

Geometria e a Química e, também, favoreceram a contextualização de conceitos das duas

disciplinas. A aplicação dos projetos escolares contribuiu de forma significativa para o

aprendizado de conceitos, promoveu o desenvolvimento de várias habilidades e os trabalhos

em equipe.

Palavras-chave:

Sequências didáticas, interdisciplinaridade, Geometria e Química, estruturas cristalinas; raios

atômicos.

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ABSTRACT

Candal, Haroldo da Silva. Interdisciplinary Didactic sequences: Geometry & Chemistry.

Monograph (Undergraduate Degree in Chemistry) - Institute of Chemistry – Universidade do

Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.

The purpose of this monograph is to report strategies and didactic sequences that were

developed by a student from the UERJ who participate in the Institutional Scholarship

Program for Teacher Initiation (PIBID/Capes), Chemistry-Subproject, involving high school

students of Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, located in Rio de Janeiro, Brazil. This

project was done during the International Year of Mathematics, and it aims to relate Geometry

and Chemistry. The didactic sequences were developed for school projects that aim to show

the instrumental role of mathematics in making models for material structures. The school

projects were developed by two groups, one group of second-year high school students, and

another group of third-year high school students. The groups worked, respectively, on the

following themes: "crystalline solids of Geometry" and "Applying concepts of geometry in

determining atomic radii of metals". Questionnaires were used to get prior knowledge and to

guide the search for information. Students who worked with the first theme developed posters

and set up representative models of crystal lattices using modeling clay and matchsticks. The

didactic sequence of the second theme included answering a questionnaire and conducting

chemical calculations. It also included determining the geometry of the atomic volumes, and

calculating the masses and dimensions of cylindrical samples of aluminum, zinc, and copper.

We believe that these didactic sequences promoted interdisciplinary learning of Geometry and

Chemistry and also favored the concepts of both disciplines. The implementation of the

school projects contributed to the teaching of several concepts, and it also promoted

teamwork and the development of several skills.

Keywords: Didactic sequences, Interdisciplinary, Geometry and Chemistry, Crystal

structures, and Atomic radii.

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LISTAGEM DE FIGURAS

Figura 1 – Estruturas do quartzo (sólido cristalino) e do vidro (sólido amorfo)......................15

Figura 2 – Estrutura do gelo .....................................................................................................16

Figura 3 – Estruturas dos alótropos do carbono........................................................................17

Figura 4 - Representação expandida de uma estrutura hexagonal compacta ...........................17

Figura 5 – Representação das estruturas hexagonal e cúbicas compactas................................18

Figura 6 – Representação de uma rede cristalina formada pela repetição de células

triclínicas...................................................................................................................................19

Figura 7 - Representação das células unitárias dos sete sistemas cristalinos............................20

Figura 8 – Representação das células unitárias: c.s., c.c.c., c.f.c..............................................20

Figura 9 - Representação dos quatorze retículos de Bravais....................................................21

Figura 10 - Representação da célula unitária do cloreto de sódio ...........................................22

Figura 11 - Relação entre os raios dos íons Na+ e do Cl

- e as dimensões da célula unitária do

NaCl..........................................................................................................................................22

Figura 12 - Frações de Na+ e do Cl

- em uma célula unitária cúbica de faces centradas do

NaCl..........................................................................................................................................22

Figura 13 - Relação entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do átomo.........................26

Figura 14 - Representação de um átomo inscrito na célula unitária cúbica simples de aresta

a.................................................................................................................................................27

Figura 15 - Estrutura cristalina do diamante.............................................................................29

Figura 16 - Estrutura cristalina do grafite.................................................................................30

Figura 17 - Rede cristalina do quartzo......................................................................................31

Figura 18 - Rede cristalina do cloreto de sódio .......................................................................31

Figura 19 - Arranjo geométrico do cristal sulfato de cobre - triclínico ...................................32

Figura 20 - Molécula de enxofre, S8........................................................................................32

Figura 21 - Rede cristalina do quartzo construída com massa de modelar e palitos ...............33

Figura 22 - Célula unitária do NaCl construída com massa de modelar e palitos....................33

Figura 23 - Representação da molécula de S8 e do sistema hexagonal com massa de modelar e

palitos ......................................................................................................................................34

Figura 24 - Cartazes apresentados pelos alunos sobre sólidos amorfos e cristalinos...............34

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LISTAGEM DE TABELAS

Tabela 1 - Os sete sistemas cristalinos ....................................................................................19

Tabela 2 - Dados relativos às amostras de alumínio, zinco e cobre.........................................36

Tabela 3 - Raios atômicos do alumínio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hipótese I 37

Tabela 4 - Raios atômicos do alumínio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hipótese II.38

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO........................................................................................................................12

1. A ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS............................................................ 16

1.1. Os sólidos moleculares ..................................................................................................... 15

1.2. Os sólidos reticulares ....................................................................................................... 16

1.3. Os sólidos metálicos ......................................................................................................... 17

1.4. Células Unitárias .............................................................................................................. 18

1.5. Estruturas Iônicas ............................................................................................................. 21

2. METODOLOGIA ............................................................................................................... 23

3. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.............................................................. 28

3.1. A Geometria dos Sólidos Cristalinos................................................................................ 28

3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns

metais .......................................................................................................................................28

4. CONCLUSÃO .................................................................................................................... 39

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 40

ANEXO ................................................................................................................................... 42

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12

INTRODUÇÃO

As atuais Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, MEC,

2013) preconizam que o currículo deve contemplar quatro áreas de conhecimento, a saber:

Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza (Biologia, Física e Química) e Ciências

Humanas. Há uma recomendação explícita para que esta organização por áreas não dilua nem

exclua “componentes curriculares com especificidades e saberes próprios construídos e

sistematizados” (p. 196), mas pelo contrário, que as relações entre eles sejam fortalecidas

mediante o uso de metodologias de ensino que privilegiam a contextualização e a

interdisciplinaridade ou outras formas de interação e articulação.

O “papel instrumental” da Matemática, isto é, seu uso como uma ferramenta aparece

muito claramente nas tarefas cotidianas, assim como na resolução de problemas específicos de

diferentes áreas do conhecimento e em, praticamente, todas as atividades humanas. O

aprendizado em Matemática no Ensino Médio também desempenha um “papel formativo”, ao

contribuir para o “desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes”

(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).

Como destacam os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM)

A Matemática possui uma linguagem formalizada que utiliza um sistema próprio de códigos e

regras que permite comunicar ideias, modelar a realidade e interpretá-la. O aprendizado da

Matemática requer a apropriação pelo indivíduo dessa linguagem simbólica, que foi

socialmente construída ao longo da história da humanidade, e esse processo é normalmente

lento e trabalhoso. O anexo apresenta alguns símbolos universais da Matemática.

A Química como a Matemática, se caracteriza por utilizar uma linguagem própria e

sua assimilação é indispensável para a compreensão dessa ciência. Desse modo, entre as

competências e habilidades primeiras a serem desenvolvidas no Ensino Médio estão “traduzir

a linguagem discursiva em linguagem simbólica da Química e vice-versa” e “traduzir a

linguagem discursiva em outras linguagens usadas em Química: gráficos, tabelas e relações

matemáticas” (BRASIL, MEC, 2000, p. 39). Neste sentido, fica evidente a necessidade de

integrar os conteúdos dessas duas áreas numa perspectiva interdisciplinar.

A existência de uma relação estreita entre as áreas de Matemática e Química está clara

nos procedimentos que devem ser desenvolvidos no aprendiz, no que diz respeito aos

domínios da investigação e compreensão, detalhados nas Orientações Educacionais

Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), dos quais destacamos:

“identificar as informações ou variáveis relevantes em uma situação-problema e elaborar

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possíveis estratégias para equacioná-la ou resolvê-la”; “identificar regularidades e

invariantes” nas interações e transformações químicas; selecionar e utilizar instrumentos de

cálculo e “instrumentos para medidas de massa, temperatura, volume, densidade e

concentração”; “compreender e fazer uso apropriado de escalas” (de instrumentos como

termômetros, balanças e indicadores de pH); “fazer estimativas, elaborar hipóteses e

interpretar resultados” partindo de “relações entre massas, energia ou intervalos de tempo em

transformações químicas”, etc. (BRASIL, MEC, 2002, p. 90 e 91). Essas relações evidenciam

não só o papel instrumental da Matemática no ensino-aprendizagem de Química, mas também

o seu papel formativo ao “ajudar a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo”

(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).

A Química utiliza diretamente recursos matemáticos, tais como fórmulas, conceitos e

teoremas para explicar suas leis, desde as proporções entre os átomos em um composto iônico

até as complexas equações diferenciais de Schrödinger que descrevem as funções de onda, ou

desde a relação entre espaço e tempo (que define velocidade média) até as belíssimas

equações da mecânica quântica, ela está sempre ali, como ferramenta ou fundamento.

Atualmente, no Ensino Fundamental II (correspondente aos 6º, 7º, 8º e 9º anos), a

Matemática é tratada nas equações simples (primeiro grau, segundo grau e polinômios) e

alguns conceitos fundamentais da Geometria Plana, tais como ponto, reta, planos, polígonos,

círculos, cálculos de comprimento, área e volume. Esses conceitos são cruciais para o

entendimento da Física e da Química, pois elas se utilizam deles para explicar seus

fenômenos. De forma mais específica, em Química, noções de geometria molecular permitem

prever a solubilidade de uma substância e interpretar suas temperaturas de fusão e ebulição.

Contudo, o Ensino de Geometria tem passado por mudanças constantes ao longo dos

últimos anos. Ferreira (2005) aponta para o fato de que, na década de 70 surgira uma

valorização dos axiomas e definições rigorosas dos conceitos matemáticos e uma dedicação

excessiva de tempo para o ensino da teoria e linguagem dos conjuntos, bem como outros

tópicos da Matemática. Assim, afirma a autora, “é possível que esse rigor e ênfase nos

postulados e axiomas tenha produzido um efeito prolongado, afastando os professores de

ensinar geometria” (p.8).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, um dos critérios

mais importantes que devem estar presentes em uma metodologia de ensino que vise à

aprendizagem significativa é o da interdisciplinaridade. Assuntos de Química, como Cálculos

Estequiométricos, que tratam das proporções entre as quantidades de substâncias que

participam de reações químicas, são transmitidos aos alunos de forma mecânica, pois o

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conceito de proporção se perde (muitas vezes) ainda no ensino fundamental. Dessa forma, a

tarefa de aprender as transformações das unidades de quantidade de matéria se torna muito

mais difícil uma vez que, com deficiências nas operações com razões e proporções, os

cálculos são reduzidos às regras de três realizadas de forma memorizada e mecânica. Dressler

e Robaina (2012), ao proporem uma nova abordagem do ensino de Estequiometria, mostram a

carência do desenvolvimento de uma capacidade de interpretar problemas de Química com

raciocínio lógico e matemático simples, sem a aplicação de regras memorizadas e

mecanizações desnecessárias:

Infelizmente, por ser um assunto complexo e com grau de dificuldade maior,

professores tendem a reduzi-lo a expressões matemáticas e regras de três. Ou

seja, tornam a estequiometria uma mecanização de cálculos e ‘regrinhas’, não

levando a interpretação de problemas propriamente ditos. (p.1)

Desta forma, torna-se fundamental uma abordagem interdisciplinar no Ensino de

Química que trabalhe os conceitos dessa disciplina sem perder a conexão com a Matemática

com a qual está fundamentada (no caso da estequiometria, a ideia de proporção). Assuntos

como geometria molecular, cinética química, soluções (principalmente quanto ao

entendimento das unidades de concentração) trazem consigo assuntos tratados na Matemática

já conhecida pelos alunos e, infelizmente, esses tópicos são abordados, na maioria das vezes,

de forma excessivamente conteudista, sem que haja a relação com os conceitos matemáticos

que as regem (não por que esta interação não exista, mas sim por que o próprio professor não

realiza a conexão ao ensinar o conteúdo).

Existem muitas formas de transformar uma metodologia mecanizada em uma forma de

abordagem mais completa e eficaz. Oficinas interdisciplinares são ótimos exemplos que

podem trazer grandes resultados na aprendizagem de um determinado tema. Feiras de

Ciências tem tomado espaço como um tipo de atividade que pode trazer grande impacto em

sala de aula. Segundo Valadares (2001, p.2) “as feiras de ciências constituem um bom

exemplo de atividades voltadas para aumentar a motivação dos alunos”. Na grande maioria

das vezes uma Feira de Ciências parece ser confundida pela equipe pedagógica de uma escola

com um mostruário de experimentos. Cabe ressaltar que o objetivo de uma atividade dessa

natureza é realizar atividades relacionadas a situações da sociedade (tais como meio ambiente,

saúde e sustentabilidade) de forma a trazer reflexões de como o conhecimento científico

aprendido pelos estudantes pode ajudar a combater situações que geram danos ao ser humano

e ao mundo que o abriga. Assim, se várias atividades experimentais forem realizadas em um

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local e ao mesmo tempo estiverem destituídas de qualquer objetivo além do espetáculo, torna-

se inútil e desconexa.

OBJETIVO

O objetivo desta Monografia é relatar estratégias e sequências didáticas que foram

desenvolvidas por um bolsista PIBID/Capes do Subprojeto de Química com alunos do Ensino

Médio, do Colégio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de Janeiro, no ano

Internacional da Matemática, visando relacionar Geometria e Química. As sequências

didáticas desenvolvidas para os projetos escolares visaram deixar claro para os estudantes, o

papel instrumental da Matemática na proposição de modelos explicativos para as estruturas

dos materiais.

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16

1. A ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS

Em um sólido, as partículas estão mantidas em posições rígidas e praticamente não

têm liberdade de movimento. Nos sólidos cristalinos as partículas (moléculas, átomos ou íons)

estão dispostas em um arranjo ordenado, diz-se que os sólidos cristalinos têm ordem de longo

alcance, ou seja, as partículas estão dispostas em arranjos regulares nas três dimensões do

espaço. Água (H2O), cloreto de sódio (NaCl), nitrato de potássio (KNO3), glicose (C6H12O6),

ferro (Fe), alumínio (Al), quartzo (SiO2) e diamante (C) são exemplos de substâncias que

formam sólidos nos quais as partículas constituintes estão organizadas em arranjos cristalinos.

Entretanto, há sólidos em que estes arranjos não estão presentes. São sólidos amorfos nos

quais, em longo alcance, não há qualquer ordenação na disposição das partículas no espaço

(mesmo que, em curto alcance, haja alguma ordem). É o que acontece, por exemplo, nos

vidros, borrachas, etc. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 1 estão representadas a

estruturas cristalina da sílica e a estrutura amorfa de um vidro.

(a) (b)

Figura 1: Estruturas: (a) do quartzo (sólido cristalino) e (b) do vidro (sólido amorfo). (Fonte:

CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 495)

Os sólidos cristalinos são classificados de acordo com o tipo de ligação que mantém

unidas as partículas (moléculas, átomos ou íons) constituintes em: sólidos moleculares,

sólidos reticulares, sólidos metálicos e sólidos iônicos.

1.1. Os sólidos moleculares

Os sólidos moleculares são formados por moléculas e são as forças intermoleculares

que mantém a proximidade entre elas, de modo que as propriedades físicas desses compostos

dependem da natureza e da energia dessas forças (ATKINS & JONES, 2012). Na água sólida,

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17

por exemplo, as moléculas de H2O estão organizadas de modo que cada átomo de oxigênio

está ligado a quatro átomos de hidrogênio, que estão dirigidos para os vértices de um

tetraedro. Duas dessas ligações são ligações covalentes e duas são ligações de hidrogênio. A

estrutura tridimensional do gelo está representada na figura 2, onde as ligações covalentes

estão representadas por traços curtos contínuos e as ligações de hidrogênio, mais fracas, por

linhas pontilhadas mais compridas entre oxigênio e hidrogênio.

Figura 2: Estrutura do gelo. (Fonte: CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 387)

1.2. Os sólidos reticulares:

Os sólidos reticulares são formados por átomos unidos por ligações covalentes que

formam uma rede tridimensional que se espalha por todo o cristal, como ocorre no quartzo

(SiO2), por exemplo. Para fundir um sólido reticular, é necessário quebrar ligações covalentes,

que são muito mais fortes que as interações intermoleculares existentes nos sólidos

moleculares. (ATKINS, 2012).

Dois exemplos clássicos de sólidos reticulares são os alótropos do carbono: diamante e

grafita. No caso do diamante, cada átomo de carbono está ligado covalentemente a outro

átomo de carbono, em um arranjo tetraédrico, formando uma estrutura tridimensional infinita.

por isso sua grande dureza. Na grafita cada átomo de carbono está cercado por outros três

átomos de carbono numa geometria trigonal plana, de modo que a estrutura é uma

combinação de hexágonos que se empacotam em “lâminas” perfeitamente planas cuja

interação entre elas é do tipo Van der Waals. O diamante tem dureza alta (alta resistência a ser

riscado) e a grafita tem dureza baixa (facilmente riscada). Esta diferença reside no fato de que

no diamante são rompidas ligações covalentes simples carbono-carbono e na grafita são

rompidas forças fracas do tipo Van der Waals. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 3 está

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representado o arranjo tridimensional dos átomos de carbono na estrutura do diamante e a

estrutura laminar (em lâminas) da grafita.

(a) (b)

Figura 3: Estruturas de dois alótropos do carbono: (a) diamante e (b) grafita. (Fonte: CHANG

& GOLDSBY, 2013, p. 394).

1.3. Os sólidos metálicos

Os sólidos metálicos são formados por cátions dos metais envoltos em seus elétrons de

valência, que devido as suas baixas energias de ionização, são perdidos pelos átomos. Os

cátions metálicos ficam rodeados por um “mar” de elétrons que cancelam suas cargas

positivas. “Os elétrons do mar de elétrons são móveis e passam de cátion a cátion facilmente,

conduzindo, assim, uma corrente elétrica” (ATKINS & JONES, 2012, p. 44).

É comum utilizar um modelo que usa esferas rígidas para representar o arranjo dos cátions em

um sólido metálico. O modelo considera que as esferas (cátions) se empilham, deixando o

mínimo espaço livre entre elas (como acontece com laranjas organizadas nas bancas de um

supermercado), com uma organização denominada de estrutura de empacotamento compacto.

Há duas formas diferentes de empacotamento compacto, o que leva a estrutura hexagonal

compacta (hc) e a que leva a uma estrutura cúbica compacta (cc). Considerando-se três

camadas de esferas superpostas, temos que na estrutura hexagonal compacta (hc), a primeira e

a terceira camadas de esferas ocupam posições idênticas e estão localizadas nas depressões da

camada intermediária, reproduzindo um padrão ABAB... Na estrutura cúbica compacta (cc), a

primeira e a terceira camadas ocupam as depressões da camada intermediária, mas a terceira

camada difere da primeira por uma rotação de 60°, reproduzindo, agora, o padrão ABCABC...

A esfera central, nos dois empacotamentos, está rodeada de doze esferas, ou seja, o número de

coordenação do átomo central é 12, ele tem doze átomos semelhantes ao seu redor. A figura 4

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apresenta a disposição dos doze vizinhos mais próximos da esfera central em representações

expandidas de estruturas hexagonal e cúbica de empacotamento compacto. A figura 5

apresenta as estruturas hexagonal compacta (hc) e cúbica compacta (cc).

Figura 4: Representação expandida de uma estrutura hexagonal compacta (hc) (à esquerda) e

de uma estrutura cúbica compacta (cc) (à direita). (Fonte: LEE, 1999, p. 18)

(a) (b)

Figura 5: Representação da estrutura (a) cúbica compacta (cc); (b) hexagonal compacta (hc).

(Fonte: SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 57).

1.4. Células unitárias

Em um cristal, átomos, íons ou moléculas se empilham tridimensionalmente segundo

um padrão ou unidade que se replica indefinidamente. Esse padrão é denominado célula

unitária, e corresponde “a menor unidade que, quando empilhada repetidamente sem lacunas,

pode reproduzir o cristal inteiro” (ATKINS & JONES, 2012, p. 188). A figura 6 exemplifica

uma rede cristalina formada pela repetição de uma célula unitária tricínica.

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Figura 6: Representação de uma rede cristalina formada pela repetição de células triclínicas.

(Fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 387).

Todos os cristais são classificados, de acordo com suas características geométricas, em

um dos sete sistemas cristalinos, denominados de cúbico, tetragonal, ortorrômbico,

hexagonal, trigonal (ou romboédrico), monoclínico e triclínico. A cada sistema cristalino

corresponde um tipo de célula unitária primitiva, que é definida pelos comprimentos das

arestas e pelos valores dos ângulos entre elas, esses valores são denominados parâmetros de

rede da célula unitária. A figura 7 exibe o desenho das células unitárias dos sete sistemas

cristalinos e a tabela 1 apresenta os seus parâmetros de rede (Fonte: CHANG & GOLDSBY,

2013, p. 480).

Alguns sistemas cristalinos admitem mais de um tipo de célula unitária. Para o sistema

cúbico, por exemplo, existem três tipos de células unitárias: a cúbica simples (c.s), a cúbica de

corpo centrado (c.c.c) e a cúbica de faces centradas (c.f.c). A soma de todos os tipos de

células unitárias resulta em quatorze “retículos de Bravais” (ATKINS & JONES, 2012, p. 189).

A figura 8 apresenta os três tipos de células unitárias do sistema cristalino cúbico: cúbica

simples (c.s), cúbica de corpo centrado (c.c.c) e cúbica de faces centradas (c.f.c). A figura 9

exibe os quatorze retículos de Bravais.

Tabela 1: Os sete sistemas cristalinos

Sistema Parâmetros de rede da célula unitária

Comprimentos Ângulos

Cúbico a = b = c = = = 90°

Tetragonal a = b c = = = 90°

Ortorrômbico a b c = = = 90°

Hexagonal a = b c = 120°

Trigonal a = b = c = = 90°

Monoclínico a b c 90° = 90°

Triclínico a b c 90°

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Figura 7: Representação das células unitárias dos sete sistemas cristalinos. Na sequência,

acima: cúbico, tetragonal, ortorrômbico e hexagonal; abaixo: trigonal, monoclínico e

triclínico.

(a) (b) (c)

Figura 8: Três células unitária cúbicas, acima representadas com pontos (expandida) e abaixo

com esferas maciças: (a) cúbica simples (c.s); (b) cúbica de corpo centrado (c.c.c) e (c) cúbica

de faces centradas (c.f.c). (Fonte: KOTZ & TREICHEL, 2002, p. 419).

1.5. Estruturas Iônicas:

Os sólidos iônicos são formados por um empilhamento tridimensional de cátions de

metais e ânions, geralmente, de elementos com alta eletroafinidade, que se mantém unidos

devido a forças de atração de natureza coulombiana que se estabelecem entre íons de cargas

opostas. O cloreto de sódio, por exemplo, os íons de cargas opostas regularmente distribuídos

se organizam em uma rede cristalina cúbica que se repete tridimensionalmente. A menor

unidade que se repete e que mantém a forma de organização espacial dos íons é uma célula

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unitária cúbica de faces centradas (c.f.c). Na figura 10 está representada a célula unitária do

NaCl, na forma expandida e com as esferas, que representam os íons, em contato umas com as

outras (fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 54).

Figura 9: Representação dos quatorze retículos de Bravais.

Fonte: http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

(a) (b)

Figura 10: Representação da célula unitária do cloreto de sódio (a) estrutura expandida e (b)

esferas em contato umas com as outras. Os íons, Na+ e Cl

-, estão representados pelas esferas,

menor e maior, respectivamente.

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O comprimento da aresta da célula unitária do NaCl corresponde ao dobro da soma dos

raios iônicos do Na+ e do Cl

-, como exemplifica a figura 10. Os raios iônicos do Na

+ e do Cl

-

são, respectivamente, iguais a 95 e 181 pm; o comprimento da aresta da célula unitária do

NaCl é igual a 2 (95+181)pm = 552 pm. O valor experimental, obtido pela técnica de difração

de raio X, para o comprimento da aresta da célula unitária do NaCl é 564 pm (CHANG &

GOLDSBY, 2013, p. 488). Os resultados mostram uma pequena diferença entre o dado

teórico obtido utilizando-se um modelo (célula unitária c.f.c. e valores estimados de raios

iônicos no NaCl) e o valor obtido experimentalmente.

A figura 11 apresenta a relação entre os raios dos íons Na+ e do Cl

- e as dimensões da

célula unitária do NaCl (Fonte: idem, p. 488). A figura 12 exibe as frações de Na+ e do Cl

- em

uma célula unitária cúbica de faces centradas (Fonte: ibidem, p. 489).

Figura 11: Relação entre os raios dos íons Na

+ e do Cl

- e as dimensões da célula unitária do

NaCl. O comprimento da aresta é igual ao dobro da soma dos dois raios iônicos.

Figura 12: Frações de Na+ e do Cl

- em uma célula unitária cúbica de faces centradas do NaCl.

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2- METODOLOGIA

As sequências didáticas que serão relatadas foram desenvolvidos no Colégio Estadual

Professor Ernesto Faria, situado no bairro de São Cristovão, no Rio de Janeiro, onde atuei

pelo período de três anos (de março de 2011 a fevereiro de 2014) como bolsista de iniciação à

docência, sendo os últimos trinta meses como bolsista do Subprojeto Química do PIBID

(Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência). O PIBID é um programa da

CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior), que fornece

bolsas de iniciação à docência para os alunos de licenciatura, para os professores das escolas

que supervisionam as atividades e para os professores da Universidade que coordenam o

PIBID na instituição de ensino.

A escola possui, como tradição, a realização anual de uma Feira do Conhecimento

(evento no qual os alunos se dividem em grupos para apresentarem trabalhos sobre um

determinado assunto). No ano de 2011 foi o Ano Internacional da Química em lembrança da

premiação da física polonesa Marie Curie ao isolar os elementos Rádio e Polônio, o que lhe

proporcionou o prêmio Nobel de Química em 1911. A homenagem a esse centenário

possibilitou a apresentação de diversos trabalhos envolvendo temas nas áreas de alimentos,

meio ambiente e saúde. No ano de 2012, dois grandes nomes da cultura Brasileira foram

homenageados: Jorge Amado e Luiz Gonzaga. Neste ano, o escritor e o músico completariam

100 anos e os assuntos a serem abordados na Feira do Conhecimento foram relacionados com

os centenários. No ano de 2013 foi comemorado o Ano Internacional da Matemática, tema da

Feira do Conhecimento no ano em questão.

Foram propostas sequências didáticas para dois projetos escolares que tinham por

objetivo geral deixar claro para os estudantes, o papel instrumental da Matemática na

proposição de modelos explicativos para as estruturas dos materiais. Descreveremos a seguir,

as sequências didáticas que foram desenvolvidos com duas turmas do Ensino Médio, do turno

diurno, no ano de 2013, visando estabelecer correlações interdisciplinares entre a Química e a

Matemática. Foram constituídos dois grupos. Grupo 1: composto por seis alunos da turma

2002 (2º ano) e Grupo 2: formado por cinco alunos da turma 3001 (3º ano).

Os alunos do Grupo 1 desenvolveram atividades relacionadas à “Geometria dos

sólidos cristalinos”. O objetivo do trabalho era a construção de modelos com bolas e varetas

para ilustrar os principais sistemas cristalinos. Inicialmente, para conduzir a aquisição de

conhecimentos sobre o tema, os alunos foram colocados frente a alguns questionamentos que

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seriam respondidos através de pesquisas a livros, páginas virtuais, dentre outros. As questões

estão listadas a seguir.

1. O que diferencia sólidos cristalinos de sólidos amorfos?

2. Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano apresentam aspecto

cristalino?

3. Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com aspecto cristalino quando

visto ao microscópio? E vice-versa?

4. Em um sólido cristalino as partículas que o constituem (átomos, moléculas ou íons)

estão organizadas em um arranjo geométrico que determina a forma como ele se

mostra (hábito cristalino). Todos os cristais são classificados, de acordo com suas

características geométricas, em um de sete sistemas cristalinos. Pesquise sobre as

características geométricas desses sistemas.

5. Quais os sistemas cristalinos dos cristais de quartzo, cloreto de sódio, sulfato de cobre

e enxofre?

Com as pesquisas realizadas, os alunos participaram de algumas reuniões, em horário

extracurricular, para discutir o tema e tirar dúvidas. Durante os encontros, foram testados

alguns modelos construídos com bolas de isopor e palito de churrasco, porém o material foi

posteriormente trocado por massa de modelar e palitos de churrasco, que deixava a estrutura

mais rígida.

Os alunos do grupo 2 desenvolveram o tema “Aplicando conceitos da Geometria na

determinação de raios atômicos de alguns metais”. O objetivo desta atividade foi fazer uso de

ferramentas da Geometria Espacial e da Química (como cálculos químicos) para estimar o

tamanho dos raios atômicos de alguns metais. O procedimento inicial, voltado para a busca de

respostas pelos alunos, também foi feito com este grupo. As questões formuladas foram as

que se seguem.

1. Qual é a ordem de grandeza do tamanho de um átomo? Qual seria a unidade de

comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?

2. Se não é possível ver um átomo, como os cientistas determinam seu tamanho?

3. Todos os átomos têm o mesmo tamanho? Por quê? De que depende o tamanho de um

átomo?

4. Consulte uma tabela periódica que apresente os raios atômicos dos elementos

químicos. Identifique que elemento químico apresenta o menor raio atômico e também

o que apresenta o maior. Apresente uma explicação para o fato.

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As reuniões, feitas em horário extraclasse, foram utilizadas para discutir as respostas

dadas pelos alunos às perguntas formuladas e orientá-los sobre as etapas que seriam

desenvolvidas na determinação experimental dos raios atômicos dos metais. Em linhas gerais,

os estudantes deveriam seguir o procedimento descrito abaixo.

1. Determinar o volume das amostras de alumínio, zinco e cobre, de formato geométrico

cilíndrico, utilizando conceitos da Matemática.

2. Com auxílio de uma balança, determinar as massas das amostras metálicas.

3. Calcular o número de átomos de metal presentes em cada amostra metálica.

4. Determinar o volume ocupado por cada átomo de metal nas amostras.

5. Determinar os raios atômicos dos metais alumínio, zinco e cobre.

6. Comparar os valores determinados experimentalmente com valores da literatura.

Para determinar o volume ocupado por cada átomo de metal nas amostras, foram

consideradas duas hipóteses, I e II.

(I) Não há espaço vazio entre os átomos. Assim sendo, o volume da amostra metálica

dividido pelo número total de átomos do metal que a constitui fornece o volume de

cada átomo (VA). Considerando que o átomo é uma esfera (Modelo Atômico de

Dalton), é possível determinar seu raio (R).

Volume (esfera) = 4/3 R3

(II) Há espaços vazios entre os átomos. Como modelo explicativo considerou-se que o

sólido metálico é formado pelo empilhamento tridimensional de cubos - células

unitárias cúbicas simples (c.s.). É fácil demonstrar matematicamente que se cada

átomo dos oito vértices do cubo é compartilhado por oito cubos vizinhos, apenas, um

oitavo de cada átomo dos vértices ‘pertence’ a uma célula unitária, logo há um átomo

(8 vértices x 1/8 de átomo) em cada uma dessas células (ATKINS & JONES, 2012, p.

188). Na figura 13 está explicita essa relação matemática e também fica claro que o

comprimento da aresta (a) é igual ao dobro do raio (R) do átomo de metal.

Portanto, o número de átomos (N) é igual ao número de células unitárias e o volume

da célula unitária cúbica é igual ao próprio volume VA. Considerando ainda que o

átomo é uma esfera e que está inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do átomo,

uma vez que a aresta do cubo é igual ao diâmetro da esfera (SIMONI & TUBINO,

1999).

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a = 2R

Figura 13: Relação entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do átomo. Somente um

oitavo de cada átomo dos vértices ‘pertence’ a uma célula unitária cúbica simples. (Fonte:

CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 484).

A partir da figura 13, temos que volume do cubo pode ser determinado pela expressão:

Volume (cubo) = aresta3 = a

3 = (2R)

3

Volume (cubo) = 8R3

Se há um átomo (8 vértices x 1/8 de átomo) em cada célula unitária cúbica simples e se

considerarmos que este átomo está no centro do cubo, podemos usar a figura 14 para modelá-

lo. A esfera ao centro representa um átomo, de raio a/2, inscrito em uma célula unitária cúbica

simples de aresta a.

Figura 14: Representação de um átomo inscrito na célula unitária cúbica simples de aresta a.

A partir das massas das amostras metálicas (em gramas) e do conceito de mol foram

determinados os valores de N (número de átomos existentes nas amostras). Usando um

paquímetro, os alunos coletaram dados relativos às dimensões das amostras e utilizaram os

conceitos de Geometria espacial para determinar os volumes dos sólidos.

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Partindo das duas hipóteses foram determinados os volumes atômicos (VA) pelas

fórmulas V = 4/3R3 (hipótese I) e V = 8R

3 (hipótese II). Os valores obtidos foram

comparados com os valores de referência (SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).

Como especificado no início deste capítulo, os projetos foram planejados visando

desenvolver trabalhos para serem exibidos pelos estudantes na Feira do Conhecimento. A

socialização dos produtos finais dos projetos demandou que os estudantes elaborassem textos

e cartazes para exposições orais, além da montagem de modelos. No Capítulo 3 são

apresentados relatos sobre o desenvolvimento dos trabalhos e seus resultados.

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3- ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Os resultados das atividades realizadas serão descritos em dois momentos diferentes,

de modo que os trabalhos do grupo 1 referentes ao tema “A Geometria dos Sólidos

Cristalinos” serão citados primeiro e, posteriormente serão relatados os resultados do grupo 2

que realizou as atividades sobre o tema “Aplicando conceitos da Geometria na determinação

de raios atômicos de alguns metais”.

3.1. A Geometria dos Sólidos Cristalinos

O questionário aplicado no início das atividades serviu como um ponto de partida para

trabalhar os conceitos necessários para realizar a sequência didática. Os alunos foram

orientados a pesquisar em alguns endereços eletrônicos confiáveis e nos livros didáticos,

contidos na própria biblioteca da escola, respostas para as questões formuladas pelo professor.

Em relação à pergunta – “O que diferencia sólidos cristalinos de sólidos amorfos?” –

nenhum aluno soube responde-la corretamente, sem consultar materiais de apoio. De modo

geral, os estudantes afirmaram que todo sólido é cristalino, pelo simples fato de ser sólido, ou

seja, na concepção dos alunos, as substâncias amorfas estariam nos estados líquido ou gasoso.

O fato de que o estado sólido de uma substância ou material ser caracterizado por ter, ao nível

macroscópico, uma forma definida, enquanto líquidos e gases, assumirem a forma do

recipiente em que estão contidos, foi interpretada pelos alunos como sendo também uma

característica microscópica do material.

A partir das consultas, os alunos tiveram o primeiro contato com conceitos como

“estrutura cristalina”, “célula unitária” e “hábito cristalino”, que precisaram ser melhor

elucidados em encontros realizados no contraturno, no período da tarde.

Sobre a segunda pergunta – “Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano

apresentam aspecto cristalino?” – os alunos responderam, inicial e majoritariamente,

“diamante”, alegando que o alótropo do carbono os fazia lembrar a palavra “cristal”. Após a

pesquisa sobre sólidos cristalinos e amorfos (primeira pergunta), os alunos formularam

respostas mais elaboradas, dando como exemplos de sólidos cristalinos o cloreto de sódio

(NaCl), o sulfato de cobre II (CuSO4) e o quartzo (SiO2).

Mais uma vez, as respostas iniciais dos alunos remeteram a aspectos macroscópicos e,

neste caso, também ao senso comum, ao associar o diamante a um cristal. Por outro lado, não

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raro, quando o conceito de alotropia é abordado nos livros didáticos ou pelos professores, ao

serem exemplificados os alótropos do carbono, o diamante é apresentado na forma de um

cristal lapidado, em múltiplas faces que resplandecem o seu brilho vítreo. Uma imagem desse

tipo, consta no próprio livro texto adotado na escola (PEQUIS, 2010, p. 280) e está

reproduzida na figura 15.

Figura 15: Estrutura cristalina do diamante (PEQUIS, 2010, p.280)

O fato de que a diferença entre sólidos cristalinos e amorfos depende de uma

propriedade microscópica do material só se torna compreensível para o aluno a partir da

apropriação do conceito científico de sólido cristalino, o que requer que este seja introduzido

aos conceitos de estrutura cristalina e célula unitária. Esta compreensão pode ser

enormemente facilitada utilizando modelos explicativos construídos com bolas e varetas.

A terceira questão – “Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com

aspecto cristalino quando visto ao microscópio? E vice-versa?” – foi formulada com o

objetivo de favorecer discussões sobre aspectos macroscópicos e microscópicos dos materiais

sólidos, de modo a levar a conclusão que o primeiro, ou seja, sua aparência a olho nu, não é

suficiente para se afirmar se este é ou não um material cristalino (possui ou não uma estrutura

cristalina). Ao se observa uma amostra de ferro, alumínio ou de grafite não fica evidente que

estes materiais são sólidos cristalinos. Retornando aos exemplos dos alótropos do carbono

presentes nos livros didáticos, a imagem associada ao alótropo grafite, geralmente, um lápis,

não remete a existência de uma estrutura cristalina no grafite, diferente do que ocorre na

imagem utilizada para o diamante, o que pode induzir o leitor a concluir que se trata de um

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material amorfo. Tal imagem pode ser encontrada também no livro didático supracitado,

reproduzida na figura 16.

Figura 16: Estrutura cristalina do grafite (PEQUIS, 2010, p.280)

Ao responder a questão “Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com

aspecto cristalino quando visto ao microscópio? E vice-versa?”, os alunos se limitaram

basicamente à exemplificação das estruturas do quartzo e do vidro (um material amorfo,

apesar, de sua aparência cristalina), apresentando figuras esquemáticas de suas estruturas

microscópicas. Vários materiais amorfos poderiam ser exemplificados como plásticos,

borrachas, resinas, etc. Um aspecto importante a destacar é que mesmo que uma resina ou um

plástico seja moldado de forma a apresentar superfícies planas bem definidas (faces planas)

dispostas em ângulos bem definidos simulando um cristal, ele não apresentará uma estrutura

cristalina interna e, dessa forma, não se constitui o que cientificamente denominamos de um

material cristalino.

Os dois últimos itens do questionário inicial orientavam os alunos a procurar na

literatura e em fontes virtuais as características geométricas dos sete sistemas cristalinos, bem

como identificar materiais que cristalizam segundo estes sistemas. Para tal, os alunos

deveriam pesquisar sobre as estruturas cristalinas do quartzo, cloreto de sódio, sulfato de

cobre II e das duas formas alotrópicas do enxofre. No próprio livro didático adotado era

possível obter as seguintes informações:

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- Imagem representativa da rede cristalina do quartzo (PEQUIS, 2010, p. 275). Exibida na

figura 17.

Figura 17: Rede cristalina do quartzo (SiO2). As esferas maiores representam átomos de

oxigênio e as esferas menores átomos de silício.

- Imagem representativa da rede cristalina cúbica do cloreto de sódio (PEQUIS, 2010, p. 273),

exibida na figura 18, com a legenda que reproduzimos abaixo dela.

Figura 18: Rede cristalina do cloreto de sódio

“Nesta ilustração, átomos do elemento químico sódio são representados na cor cinza e átomos de cloro

são representado na cor verde e em tamanho maior. O átomo central de cloro foi destacado uma

tonalidade mais escura, embora seja igual aos demais, para facilitar a análise da imagem. Note que

este átomo central de cloro é rodeado por seis átomos de sódio. Esses, por sua vez, são rodeados por

outros átomos de cloro, numa estrutura que se repete continuamente (PEQUIS, 2010, p. 273).

- “Os cristais de sulfato de cobre possuem lados e ângulos diferentes, sua forma geométrica é

denominada triclínica” (PEQUIS, 2010, p. 292). O livro apresenta ainda a figura do arranjo do

cristal de sulfato de cobre, exibida na figura 19.

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Figura 19: Arranjo geométrico do cristal sulfato de cobre - triclínico (PEQUIS, 2010, p.292)

O enxofre é um sólido molecular que pode ser encontrado na natureza em duas formas

cristalinas, o enxofre rômbico e o enxofre monoclínico. São dois alótropos de fórmula

molecular S8, nos quais átomos de enxofre estão ligados covalentemente formando anéis em

forma de coroa (Figura 20). A diferença entre os dois alótropos do enxofre está no arranjo

espacial dos átomos de enxofre no retículo cristalino, ou seja, na forma como as coroas S8 são

empilhadas para constituir o sólido (ATKINS & JONES, 2012, p. 650). Os anéis se mantêm

unidos por forças intermoleculares fracas, do tipo dipolo-dipolo-induzido ou forças de

London.

Figura 20: Molécula de enxofre, S8. Oito átomos de enxofre ligados covalentemente formando

um anel em forma de coroa.

Após a realização das pesquisas, os alunos orientados pelo bolsista Pibid elaboraram

cartazes e montaram estruturas cristalinas utilizando massa de modelar, de diversas cores, e

palitos de fósforo ou de churrasco. Os trabalhos elaborados pelo grupo 1 foram apresentados

na Feira de Ciências realizada no Colégio Ernesto Faria. O desempenho dos alunos e os

produtos finais do projeto foram considerados satisfatórios pela professora de Química da

turma, Professora Denise Gutman, e pela equipe de professores que avaliou o grupo 1 quando

foi feita a exposição para a comunidade escolar, durante a Feira de Ciências. As figuras 21 e

22 exibem alguns dos produtos do projeto exibido pelos alunos no dia da Feira de Ciências.

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Figura 21: Rede cristalina do quartzo (SiO2) construída com massa de modelar e palitos. As

esferas maiores representam átomos de oxigênio e as esferas menores átomos de silício.

Figura 22: Célula unitária do NaCl construída com massa de modelar e palitos. Átomos do

elemento químico sódio são representados na cor azul e átomos de cloro estão representados na cor

vermelha e em tamanho maior. Ao fundo cartaz sobre o cloreto de sódio.

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Figura 23: Representação de oito átomos de enxofre (em massa modelar verde) ligados

covalentemente formando um anel em forma de coroa na molécula de enxofre, S8, e cartaz

sobre o enxofre. À frente, representação do sistema cristalino hexagonal (em massa de

modelar laranja).

Figura 24: Cartazes apresentados pelos alunos sobre sólidos amorfos e cristalinos

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3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns

metais

A sequência didática iniciou com os alunos do grupo 2 respondendo a um

questionário. Para as perguntas “Qual é a ordem de grandeza do tamanho de um átomo? Qual

seria a unidade de comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?” não foram

obtidas respostas “pré-pesquisa”, talvez devido à abstração do tema, mas o certo é que vários

alunos só tinham conhecimento de unidades de comprimento do intervalo “km-mm”,

desconheciam ou não lembravam de submúltiplos do milímetro, como μm e nm. Após

algumas consultas, os alunos chegaram a conclusão que a unidade de comprimento mais

adequada para expressa a medida do comprimento de raios atômicos e iônicos é o picômetro

(1 pm corresponde a 1 x 10-12

m).

Em relação a segunda questão – “Se não é possível ver um átomo, como os cientistas

determinam seu tamanho?” –, os alunos só conseguiram produzir informações coerentes após

realizar algumas consultas. Na verdade nunca haviam pensado sobre isso. Após as leituras

realizadas, citaram que poderia ser utilizada a técnica de difração de raios X. Naturalmente,

esta informação foi, apenas, literal, sem uma compreensão significativa do que se trata, de

como isto pode ser feito. Saber como os cientistas determinam o raio atômico se mostrou por

complexo demais, para o nível de entendimento dos alunos. Haveria alguma forma mais

simples de determinar raios atômicos?

As perguntas “Todos os átomos têm o mesmo tamanho? Por quê? De que depende o

tamanho de um átomo?” foi parcialmente respondida, pois os alunos já tinham aprendido o

conceito de raio atômico no 1º ano do Ensino Médio, quando estudaram as Propriedades

Periódicas. Porém, os alunos sentiram necessidade de recorrer a livros didáticos na biblioteca

da escola, para se certificarem que faziam correlações corretas entre tamanho do átomo e

número de camadas eletrônicas e com a quantidade crescente de elétrons na última camada.

A última pergunta do questionário – “Consulte uma tabela periódica que apresente os

raios atômicos dos elementos químicos. Identifique que elemento químico apresenta o menor

raio atômico e também o que apresenta o maior. Apresente uma explicação para o fato.” –

Os alunos fizeram as consultas e responderam oralmente com relativa facilidade, entretanto,

tiveram dificuldade em redigir suas explicações de forma clara.

Após este requisito teórico, os alunos seguiram para a fase da elaboração do

experimento e coleta dos dados, bem como a comparação destes com os valores disponíveis

na literatura. Os materiais estudados foram amostras cilíndricas dos metais alumínio, zinco e

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cobre. Primeiramente, os alunos foram questionados sobre como determinar o volume do

sólido usando conceitos da Geometria. Os alunos pensaram a respeito e concluíram que

deveriam conhecer o comprimento e o diâmetro de cada uma das amostras cilíndricas.

Utilizando um paquímetro, e com a ajuda do bolsista Pibid, tomaram as medidas e realizaram

os cálculos devidos, considerando que o volume de um cilindro pode ser calculado pela

expressão:

v = hr2

Onde h é igual à altura do cilindro e r é igual ao raio de seu círculo base.

Em um segundo momento os alunos foram questionados sobre quantos átomos de

metal havia em cada amostra e também sobre como “descobrir” o volume ocupado por cada

um destes átomos. Como os alunos já haviam estudado Cálculos Químicos, não tiveram

dificuldades em propor que seria necessário conhecer as massas das amostras e estabelecer

relações proporcionais com o mol das substâncias e com a Constante de Avogadro.

Conhecido o volume de cada amostra (v) e o número de átomos existentes em cada uma delas

(N), é possível conhecer o volume ocupado por cada átomo (VA), o que corresponde à razão

v/N. As massas foram determinadas em uma balança semianalítica e foram realizados os

cálculos necessários.

Na tabela 2 são apresentados dados das amostras de alumínio, zinco e cobre, onde v

corresponde ao volume da amostra, na unidade cm3; m corresponde a massa da amostra, na

unidade grama; N corresponde ao número de átomos, calculado a partir da constante de

Avogadro, e VA o volume ocupado por cada átomo de metal.

Tabela 2: Dados relativos às amostras de alumínio, zinco e cobre. Volume das amostras (v),

massas das amostras (m), número de átomos existentes em cada amostra (N) e volume

ocupado por cada átomo de metal (VA).

METAIS v (cm3) m (g) N (átomos) VA (cm

3)

Alumínio 3,14 cm3 8,48 1,89.10

23 1,66 x 10

-23

Zinco 1,05 cm3 7,38 6,79.10

22 1,54 x 10

-23

Cobre 3,14 cm3 28,13 2,67.10

23 1,18 x 10

-23

Após a realização dos cálculos acima, os alunos foram levados a pensar em dois

modelos explicativos para a natureza da estrutura interna dos metais, a que admitia que não

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existem espaços vazios entre os átomos, denominada hipótese I, e a que admitia a existência

de espaços vazios entre os átomos, hipótese II.

Admitindo a hipótese I, de que não há espaço vazio entre os átomos, o volume

ocupado por cada átomo de metal (VA) corresponde ao seu próprio volume atômico.

Considerando que o átomo é uma esfera (Modelo Atômico de Dalton), foi possível determinar

o raio atômico (R) pela expressão:

VA = 4/3 RA3

Onde VA é igual ao volume atômico e RA, o raio atômico.

A tabela 3 apresenta os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre

admitindo-se a hipótese I. Esses valores são confrontados com valores de referência

(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).

Tabela 3: Raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre admitindo-se a hipótese I.

Volume atômico (VA), raio atômico calculado admitindo-se a hipótese I (RA-I) e raio

atômico de referência (RA ref.)

METAIS VA (cm3) RA-I (pm) RA ref (pm)

Alumínio 1,66 x 10-23

158 143

Zinco 1,54 x 10-23

154 137

Cobre 1,18 x 10-23

141 128

Os resultados mostraram que os raios atômicos calculados, admitindo-se a hipótese I,

foram maiores que os raios atômicos determinados experimentalmente com técnicas mais

sofisticadas. Como poderíamos interpretar esses resultados? Esta questão norteou as

discussões com o grupo. A hipótese I é bem mais simples que a hipótese II, e é certo que

facilita os cálculos. Entretanto, sabe-se que ao conceber que não há espaços vazios na matéria

estamos incorrendo em erros, pois esta é descontínua.

Ao admitir a hipótese II, que há espaços vazios entre os átomos, o número de átomos

(N) é igual ao número de células unitárias e o volume da célula unitária cúbica é igual ao

volume ocupado por cada átomo de metal (VA). Considerando ainda que o átomo é uma

esfera e que está inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do átomo, pela expressão:

VA = 8RA3

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Onde VA é igual ao volume da célula unitária cúbica e RA, o raio atômico.

A tabela 4 apresenta os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre

admitindo-se a hipótese II. Esses valores são confrontados com valores de referência

(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 46).

Tabela 4: Raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e cobre admitindo-se a hipótese

II. Volume da célula unitária cúbica (VA), raio atômico calculado admitindo-se a hipótese II

(RA-II) e raio atômico de referência (RA ref.)

METAIS VA (cm3) RA-II (pm) RA ref (pm)

Alumínio 1,66 x 10-23

128 143

Zinco 1,54 x 10-23

124 137

Cobre 1,18 x 10-23

114 128

Os resultados mostraram que os raios atômicos calculados para o alumínio, zinco e

cobre, admitindo-se a hipótese II, foram menores que os raios atômicos de referência. Como

poderíamos interpretar esses resultados? O modelo explicativo adotado considerou o

empilhamento tridimensional de cubos. A célula unitária escolhida, para facilitar os cálculos,

foi a célula cúbica simples (c.s.), que é a menos compacta dos três tipos de células cúbicas, ou

seja, o espaço vazio é o maior possível nesse caso.

De qualquer modo, os resultados obtidos, considerando-se tanto a hipótese I como a

hipótese II, foram surpreendentes para os alunos que ficaram surpresos quando perceberam

que o erro relativo foi menor que 13%, pois utilizaram instrumentos simples (balança e

paquímetro) para realizar as medidas e a técnica utilizada foi muito menos sofisticada que a

difração de raios X, sobre a qual haviam lido ao responder a terceira questão no começo do

trabalho. Questionados que fator ou fatores poderiam ainda induzir a erros no experimento, os

alunos destacaram as deformidades das amostras metálicas, pois estas não correspondiam a

cilindros totalmente regulares.

O experimento permitiu perceber a importância da formulação de hipóteses na busca

de se estabelecer conexões entre conceitos teóricos e dados práticos visando à proposição de

modelos explicativos para a natureza da matéria. É importante que os estudantes percebam

que os modelos não são a própria realidade, mas tentativas de aproximação dela. Os

resultados contribuíram neste sentido e mostraram que é necessário fazer novas conjecturas.

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4. CONCLUSÃO

A análise dos resultados obtidos no decorrer da realização das atividades e ao final,

com a exibição dos trabalhos na Feira de Ciências, nos levou a concluir que as sequências

didáticas planejadas para desenvolver os projetos escolares contribuíram de forma

significativa para o aprendizado dos alunos e possibilitaram estabelecer as relações

interdisciplinares desejadas entre a Geometria e a Química.

O procedimento inicial de busca de respostas pelos alunos para os questionamentos

apresentados pelo bolsista PIBID possibilitou o resgate de alguns conceitos da Química e da

Matemática (raio atômico, variação dos raios atômicos ao longo da tabela periódica,

diferenciação entre sólidos amorfos e cristalinos; conversão de unidades de comprimento,

etc.), o aprendizado de novos conceitos (sistemas cristalinos, como os cientistas determinam

os raios atômicos) e preparou os alunos para as demais atividades da sequência didática. Ao

longo do desenvolvimento dos projetos escolares “Geometria dos sólidos cristalinos” e

“Aplicando conceitos da Geometria na determinação de raios atômicos de alguns metais”

surgiu necessidade de serem abordados ainda outros conceitos, especialmente os relacionados

a cálculos químicos e ao uso de algoritmos comuns ao campo da Geometria. Desse modo,

consideramos que as sequências didáticas além de promoverem a interdisciplinaridade entre a

Geometria e a Química, favoreceram a contextualização de conceitos das duas disciplinas.

A aquisição de informações em diferentes fontes de informação para responder os

questionamentos, a construção de modelos de estruturas cristalinas com o auxílio de massa de

modelar e palitos, a determinação das massas e a tomada das dimensões das amostras

metálicas, a elaboração de cartazes e a comunicação dos resultados dos trabalhos na Feira de

Ciências proporcionou desenvolver e aprimorar várias habilidades, favorecendo a aquisição

de conteúdos procedimentais, que desempenham um papel relevante em um currículo para o

aprendizado de ciências (POZO & GÓMEZ CRESPO, 2009).

No decorrer do trabalho foram observadas mudanças sutis no comportamento dos

alunos, até mesmo em alguns com histórico de indisciplina e desinteresse. Creditamos as

mudanças ao trabalho em equipe, ao estímulo do orientador e a uma maior motivação dos

próprios alunos para desenvolver as tarefas. O fato dos projetos terem sido desenvolvidos

visando à apresentação de seus produtos em uma Feira de Ciências gerou um senso de

apropriação sobre o conhecimento construído e a responsabilidade por sua transmissão à

comunidade escolar.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ATKINS, P.; JONES, L.; Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio

ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio. Parte

III. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 2000. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf. Acesso em 7 de julho de 2014.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ensino Médio.

Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 2002. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em 7 de julho de

2014.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação

Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Conselho Nacional da Educação.

Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC, SEB, DICEI,

2013. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12663&Itemid=1

152. Acesso em 7 de julho de 2014.

CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Química. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.

DRESSLER, A. C. “Ensino de Estequiometria Através de Práticas Pedagógicas.”In: III

Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia. UTFPR, Ponta Grossa, PR, 2012.

Disponível em:

www.sinect.com.br/2012/down.php?id=2756&q=1. Acesso em 17 de dezembro de 2014.

FERREIRA, A. C. C. “Ensino da Geometria no Brasil: enfatizando o período do Movimento

da Matemática Moderna.” In: V EDUCERE / III Congresso Nacional da Área de Educação.

PUC-PR, Curitiba, 2005. Disponível em:

http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI136.

pdf. Acesso em 13 de setembro de 2014.

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KOTZ, J. C.; TREICHEL, P. Química & Reações Químicas. 4. ed., vol. 1. Rio de Janeiro:

LTD, 2002.

LEE, J. D. Química Inorgânica não tão concisa. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

PEQUIS. Santos, W; Mól, G. (org.). 1. ed. São Paulo: Nova Geração, 2010.

POZO, J, I.; GÓMEZ CRESPO, M. A. A Aprendizagem e o Ensino de Ciências: do

conhecimento cotidiano ao conhecimento científico. 5. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

SIMONI, J. A.; TUBINO, M. Determinação do raio atômico. Química Nova na Escola, n. 9,

maio 1999, p. 40-42.

SHRIVER, D.; ATKINS, P. Química Inorgânica, 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.

VALADARES, Eduardo Campos. Propostas de Experimentos de Baixo Custo Centradas no

Aluno e na Comunidade. Química Nova na Escola, n. 13, maio 2011, p. 38-40.

Endereços eletrônicos citados:

http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

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ANEXO

Alguns símbolos comuns em Matemática

Símbolo Nome Definição

Razão É a divisão de duas grandezas, com o objetivo de

compará-las.

Potência “n-ésima” de um

número real.

É um produto de “n” fatores iguais a “a”.

Raiz “n-ésima” de um número

real.

É um número cuja potência “n-ésima” é igual a “a”.

União É a união de dois conjuntos, formado pelos

elementos que estão em A ou B, ou ambos.

A Intersecção É o conjunto formado pelos elementos pertencentes

aos conjuntos A e B simultaneamente.

“Para todo” Símbolo que traz referência à um conjunto de

valores.

Somatório É a soma algébrica de todos os valores da grandeza

“i” desde a posição zero até ao infinito.

Integral indefinida Corresponde à antiderivada da função f(x) somada à

uma constante. A integral pode ser interpretada como

a área sob a curva da função.

Derivada parcial Corresponde à inclinação da reta tangente à função

f(x,y) paralela ao eixo x.

Alguns símbolos comuns em Química

Símbolo Nome Definição Z Número atômico É o número de prótons no núcleo do átomo de um

elemento.

A Número de massa É o número de núcleons (prótons e nêutrons) no

átomo de um elemento.

Xn-

Ânion É uma espécie originada de um átomo X depois de

receber “n” elétrons.

X(aq) Solução aquosa Indica que o composto X está dissolvido em água.

→ Seta de reação Indica a ocorrência de uma transformação.

:C: Representação de Lewis Representação que faz referência quantos elétrons

estão na camada de valência do átomo de um

elemento químico.

Aquecimento Indica que uma reação química ocorre sob

aquecimento dos reagentes.

Bibliografia consultada

BIANCHINI E. Matemática. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011.

FUGITA, F.; FERNANDES, M. A. M., POLICASTRO, M. S., TAMASHIRO, W. Matemática. São

Paulo: Edições SM, 2009, (Coleção Ser Protagonista).

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.

ATKINS, P.; JONES, L.; Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5.

ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.