Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de Qumica

Curso de Licenciatura em Qumica

Sequncias Didticas Interdisciplinares: Geometria & Qumica

Haroldo Candal da Silva

Rio de Janeiro

2014

Haroldo Candal da Silva

Sequncias Didticas Interdisciplinares: Geometria & Qumica

Monografia submetida ao corpo docente do

Instituto de Qumica da Universidade do Estado do Rio

de Janeiro como requisito final para obteno do diploma

de Licenciatura em Qumica.

Orientadora: Professora Dr. Maria de Ftima Teixeira Gomes

Rio de Janeiro

2014

Haroldo Candal da Silva

Aprovado em ________________________________________________

Banca Examinadora: _________________________________________

_____________________________________________

Prof. Dr. Maria de Ftima Teixeira Gomes (Orientadora)

Departamento de Qumica Geral e Inorgnica - Instituto de Qumica - UERJ

_____________________________________________

Prof. Dr. Angela Sanches Rocha

Departamento de Fsico-Qumica - Instituto de Qumica - UERJ

_____________________________________________

Prof. Dr. Maurcio Tavares de Macedo Cruz

Departamento de Qumica Geral e Inorgnica - Instituto de Qumica - UERJ

Rio de Janeiro

2014

DEDICATRIA

Dedico este trabalho a Deus, que supriu minhas necessidades e

renovou minhas foras durante a Graduao e em todos os

momentos de minha vida, atravs de meus pais, amigos,

professores, muitos dos quais so como familiares para mim.

AGRADECIMENTOS

minha famlia, em especial, pai e me, que sempre se

dedicaram para me dar o melhor e so exemplos de amor.

Aos professores Ilton Jornada, Ftima Gomes e Angela Sanches

por mostrarem imensa preocupao com minha formao

acadmica e por estarem sempre presentes.

Aos professores que lecionam no curso de Licenciatura em

Qumica da UERJ.

Direo e aos professores do Colgio Estadual Professor

Ernesto Faria, em especial professora Denise Gutman, por

quem tenho grande carinho e admirao.

Aos alunos do Colgio Estadual Professor Ernesto Faria, em

especial aos que frequentaram a turma 3001, que se formou em

2013, os quais tive o privilgio de acompanhar desde o incio do

Ensino Mdio e de vivenciar com eles as minhas primeiras

experincias na carreira docente.

Aos meus colegas de Curso, em especial, Marcos Leal e Dayane

Sales, que estiveram comigo em momentos difceis ao longo da

Graduao.

O valor da educao:

Apega-te instruo e no a largues; guarda-a, porque ela a tua vida.

Provrbios 4:3

RESUMO

CANDAL, Haroldo da Silva. Sequncias Didticas Interdisciplinares: Geometria &

Qumica. Monografia (Graduao em Licenciatura em Qumica) Instituto de Qumica

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.

O objetivo desta Monografia relatar estratgias e sequncias didticas, que foram

desenvolvidas por um estudante da UERJ, que participa como bolsista do Programa

Institucional de Bolsas de Iniciao Docncia (PIBID/Capes), do Subprojeto-Qumica, com

alunos do Ensino Mdio, do Colgio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de

Janeiro, no ano Internacional da Matemtica, visando relacionar Geometria e Qumica. As

sequncias didticas foram desenvolvidas para projetos escolares que visaram deixar claro

para os estudantes, o papel instrumental da Matemtica na proposio de modelos

explicativos para as estruturas dos materiais. Os projetos escolares foram desenvolvidos por

dois grupos, um do segundo ano e outro do terceiro, os quais trabalharam, respectivamente, os

temas: Geometria dos slidos cristalinos e Aplicando conceitos da Geometria na

determinao de raios atmicos de alguns metais. No incio das atividades foram aplicados

questionrios que foram utilizados para levantar os conhecimentos prvios e para orientar a

busca de informaes. Os alunos que trabalharam com o primeiro tema, a partir das

informaes colhidas em consultas a livros e a internet, elaboraram cartazes e montaram

modelos representativos das redes cristalinas utilizando massa de modelar e palitos de fsforo.

A sequncia didtica relacionada ao segundo tema envolveu, alm de respostas ao

questionrio, a determinao das massas e das dimenses de amostras cilndricas de alumnio,

zinco e cobre; a realizao de clculos qumicos e a aplicao de conceitos da Geometria para

determinao dos volumes atmicos e dos correspondentes raios atmicos dos trs metais.

Consideramos que as sequncias didticas promoveram a interdisciplinaridade entre a

Geometria e a Qumica e, tambm, favoreceram a contextualizao de conceitos das duas

disciplinas. A aplicao dos projetos escolares contribuiu de forma significativa para o

aprendizado de conceitos, promoveu o desenvolvimento de vrias habilidades e os trabalhos

em equipe.

Palavras-chave:

Sequncias didticas, interdisciplinaridade, Geometria e Qumica, estruturas cristalinas; raios

atmicos.

ABSTRACT

Candal, Haroldo da Silva. Interdisciplinary Didactic sequences: Geometry & Chemistry.

Monograph (Undergraduate Degree in Chemistry) - Institute of Chemistry Universidade do

Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.

The purpose of this monograph is to report strategies and didactic sequences that were

developed by a student from the UERJ who participate in the Institutional Scholarship

Program for Teacher Initiation (PIBID/Capes), Chemistry-Subproject, involving high school

students of Colgio Estadual Professor Ernesto Faria, located in Rio de Janeiro, Brazil. This

project was done during the International Year of Mathematics, and it aims to relate Geometry

and Chemistry. The didactic sequences were developed for school projects that aim to show

the instrumental role of mathematics in making models for material structures. The school

projects were developed by two groups, one group of second-year high school students, and

another group of third-year high school students. The groups worked, respectively, on the

following themes: "crystalline solids of Geometry" and "Applying concepts of geometry in

determining atomic radii of metals". Questionnaires were used to get prior knowledge and to

guide the search for information. Students who worked with the first theme developed posters

and set up representative models of crystal lattices using modeling clay and matchsticks. The

didactic sequence of the second theme included answering a questionnaire and conducting

chemical calculations. It also included determining the geometry of the atomic volumes, and

calculating the masses and dimensions of cylindrical samples of aluminum, zinc, and copper.

We believe that these didactic sequences promoted interdisciplinary learning of Geometry and

Chemistry and also favored the concepts of both disciplines. The implementation of the

school projects contributed to the teaching of several concepts, and it also promoted

teamwork and the development of several skills.

Keywords: Didactic sequences, Interdisciplinary, Geometry and Chemistry, Crystal

structures, and Atomic radii.

LISTAGEM DE FIGURAS

Figura 1 Estruturas do quartzo (slido cristalino) e do vidro (slido amorfo)......................15

Figura 2 Estrutura do gelo .....................................................................................................16

Figura 3 Estruturas dos altropos do carbono........................................................................17

Figura 4 - Representao expandida de uma estrutura hexagonal compacta ...........................17

Figura 5 Representao das estruturas hexagonal e cbicas compactas................................18

Figura 6 Representao de uma rede cristalina formada pela repetio de clulas

triclnicas...................................................................................................................................19

Figura 7 - Representao das clulas unitrias dos sete sistemas cristalinos............................20

Figura 8 Representao das clulas unitrias: c.s., c.c.c., c.f.c..............................................20

Figura 9 - Representao dos quatorze retculos de Bravais....................................................21

Figura 10 - Representao da clula unitria do cloreto de sdio ...........................................22

Figura 11 - Relao entre os raios dos ons Na+ e do Cl

- e as dimenses da clula unitria do

NaCl..........................................................................................................................................22

Figura 12 - Fraes de Na+ e do Cl

- em uma clula unitria cbica de faces centradas do

NaCl..........................................................................................................................................22

Figura 13 - Relao entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do tomo.........................26

Figura 14 - Representao de um tomo inscrito na clula unitria cbica simples de aresta

a.................................................................................................................................................27

Figura 15 - Estrutura cristalina do diamante.............................................................................29

Figura 16 - Estrutura cristalina do grafite.................................................................................30

Figura 17 - Rede cristalina do quartzo......................................................................................31

Figura 18 - Rede cristalina do cloreto de sdio .......................................................................31

Figura 19 - Arranjo geomtrico do cristal sulfato de cobre - triclnico ...................................32

Figura 20 - Molcula de enxofre, S8........................................................................................32

Figura 21 - Rede cristalina do quartzo construda com massa de modelar e palitos ...............33

Figura 22 - Clula unitria do NaCl construda com massa de modelar e palitos....................33

Figura 23 - Representao da molcula de S8 e do sistema hexagonal com massa de modelar e

palitos ......................................................................................................................................34

Figura 24 - Cartazes apresentados pelos alunos sobre slidos amorfos e cristalinos...............34

LISTAGEM DE TABELAS

Tabela 1 - Os sete sistemas cristalinos ....................................................................................19

Tabela 2 - Dados relativos s amostras de alumnio, zinco e cobre.........................................36

Tabela 3 - Raios atmicos do alumnio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hiptese I 37

Tabela 4 - Raios atmicos do alumnio, zinco e cobre calculados admitindo-se a hiptese II.38

SUMRIO

INTRODUO........................................................................................................................12

1. A ESTRUTURA DOS SLIDOS CRISTALINOS............................................................ 16

1.1. Os slidos moleculares ..................................................................................................... 15

1.2. Os slidos reticulares ....................................................................................................... 16

1.3. Os slidos metlicos ......................................................................................................... 17

1.4. Clulas Unitrias .............................................................................................................. 18

1.5. Estruturas Inicas ............................................................................................................. 21

2. METODOLOGIA ............................................................................................................... 23

3. ANLISE E DISCUSSO DOS RESULTADOS.............................................................. 28

3.1. A Geometria dos Slidos Cristalinos................................................................................ 28

3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinao de raios atmicos de alguns

metais .......................................................................................................................................28

4. CONCLUSO .................................................................................................................... 39

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................... 40

ANEXO ................................................................................................................................... 42

12

INTRODUO

As atuais Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (BRASIL, MEC,

2013) preconizam que o currculo deve contemplar quatro reas de conhecimento, a saber:

Linguagens, Matemtica, Cincias da Natureza (Biologia, Fsica e Qumica) e Cincias

Humanas. H uma recomendao explcita para que esta organizao por reas no dilua nem

exclua componentes curriculares com especificidades e saberes prprios construdos e

sistematizados (p. 196), mas pelo contrrio, que as relaes entre eles sejam fortalecidas

mediante o uso de metodologias de ensino que privilegiam a contextualizao e a

interdisciplinaridade ou outras formas de interao e articulao.

O papel instrumental da Matemtica, isto , seu uso como uma ferramenta aparece

muito claramente nas tarefas cotidianas, assim como na resoluo de problemas especficos de

diferentes reas do conhecimento e em, praticamente, todas as atividades humanas. O

aprendizado em Matemtica no Ensino Mdio tambm desempenha um papel formativo, ao

contribuir para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisio de atitudes

(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).

Como destacam os Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (PCNEM)

A Matemtica possui uma linguagem formalizada que utiliza um sistema prprio de cdigos e

regras que permite comunicar ideias, modelar a realidade e interpret-la. O aprendizado da

Matemtica requer a apropriao pelo indivduo dessa linguagem simblica, que foi

socialmente construda ao longo da histria da humanidade, e esse processo normalmente

lento e trabalhoso. O anexo apresenta alguns smbolos universais da Matemtica.

A Qumica como a Matemtica, se caracteriza por utilizar uma linguagem prpria e

sua assimilao indispensvel para a compreenso dessa cincia. Desse modo, entre as

competncias e habilidades primeiras a serem desenvolvidas no Ensino Mdio esto traduzir

a linguagem discursiva em linguagem simblica da Qumica e vice-versa e traduzir a

linguagem discursiva em outras linguagens usadas em Qumica: grficos, tabelas e relaes

matemticas (BRASIL, MEC, 2000, p. 39). Neste sentido, fica evidente a necessidade de

integrar os contedos dessas duas reas numa perspectiva interdisciplinar.

A existncia de uma relao estreita entre as reas de Matemtica e Qumica est clara

nos procedimentos que devem ser desenvolvidos no aprendiz, no que diz respeito aos

domnios da investigao e compreenso, detalhados nas Orientaes Educacionais

Complementares aos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN+), dos quais destacamos:

identificar as informaes ou variveis relevantes em uma situao-problema e elaborar

13

possveis estratgias para equacion-la ou resolv-la; identificar regularidades e

invariantes nas interaes e transformaes qumicas; selecionar e utilizar instrumentos de

clculo e instrumentos para medidas de massa, temperatura, volume, densidade e

concentrao; compreender e fazer uso apropriado de escalas (de instrumentos como

termmetros, balanas e indicadores de pH); fazer estimativas, elaborar hipteses e

interpretar resultados partindo de relaes entre massas, energia ou intervalos de tempo em

transformaes qumicas, etc. (BRASIL, MEC, 2002, p. 90 e 91). Essas relaes evidenciam

no s o papel instrumental da Matemtica no ensino-aprendizagem de Qumica, mas tambm

o seu papel formativo ao ajudar a estruturar o pensamento e o raciocnio dedutivo

(BRASIL, MEC, 2000, p. 40).

A Qumica utiliza diretamente recursos matemticos, tais como frmulas, conceitos e

teoremas para explicar suas leis, desde as propores entre os tomos em um composto inico

at as complexas equaes diferenciais de Schrdinger que descrevem as funes de onda, ou

desde a relao entre espao e tempo (que define velocidade mdia) at as belssimas

equaes da mecnica quntica, ela est sempre ali, como ferramenta ou fundamento.

Atualmente, no Ensino Fundamental II (correspondente aos 6, 7, 8 e 9 anos), a

Matemtica tratada nas equaes simples (primeiro grau, segundo grau e polinmios) e

alguns conceitos fundamentais da Geometria Plana, tais como ponto, reta, planos, polgonos,

crculos, clculos de comprimento, rea e volume. Esses conceitos so cruciais para o

entendimento da Fsica e da Qumica, pois elas se utilizam deles para explicar seus

fenmenos. De forma mais especfica, em Qumica, noes de geometria molecular permitem

prever a solubilidade de uma substncia e interpretar suas temperaturas de fuso e ebulio.

Contudo, o Ensino de Geometria tem passado por mudanas constantes ao longo dos

ltimos anos. Ferreira (2005) aponta para o fato de que, na dcada de 70 surgira uma

valorizao dos axiomas e definies rigorosas dos conceitos matemticos e uma dedicao

excessiva de tempo para o ensino da teoria e linguagem dos conjuntos, bem como outros

tpicos da Matemtica. Assim, afirma a autora, possvel que esse rigor e nfase nos

postulados e axiomas tenha produzido um efeito prolongado, afastando os professores de

ensinar geometria (p.8).

Segundo os Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio, um dos critrios

mais importantes que devem estar presentes em uma metodologia de ensino que vise

aprendizagem significativa o da interdisciplinaridade. Assuntos de Qumica, como Clculos

Estequiomtricos, que tratam das propores entre as quantidades de substncias que

participam de reaes qumicas, so transmitidos aos alunos de forma mecnica, pois o

14

conceito de proporo se perde (muitas vezes) ainda no ensino fundamental. Dessa forma, a

tarefa de aprender as transformaes das unidades de quantidade de matria se torna muito

mais difcil uma vez que, com deficincias nas operaes com razes e propores, os

clculos so reduzidos s regras de trs realizadas de forma memorizada e mecnica. Dressler

e Robaina (2012), ao proporem uma nova abordagem do ensino de Estequiometria, mostram a

carncia do desenvolvimento de uma capacidade de interpretar problemas de Qumica com

raciocnio lgico e matemtico simples, sem a aplicao de regras memorizadas e

mecanizaes desnecessrias:

Infelizmente, por ser um assunto complexo e com grau de dificuldade maior,

professores tendem a reduzi-lo a expresses matemticas e regras de trs. Ou

seja, tornam a estequiometria uma mecanizao de clculos e regrinhas, no

levando a interpretao de problemas propriamente ditos. (p.1)

Desta forma, torna-se fundamental uma abordagem interdisciplinar no Ensino de

Qumica que trabalhe os conceitos dessa disciplina sem perder a conexo com a Matemtica

com a qual est fundamentada (no caso da estequiometria, a ideia de proporo). Assuntos

como geometria molecular, cintica qumica, solues (principalmente quanto ao

entendimento das unidades de concentrao) trazem consigo assuntos tratados na Matemtica

j conhecida pelos alunos e, infelizmente, esses tpicos so abordados, na maioria das vezes,

de forma excessivamente conteudista, sem que haja a relao com os conceitos matemticos

que as regem (no por que esta interao no exista, mas sim por que o prprio professor no

realiza a conexo ao ensinar o contedo).

Existem muitas formas de transformar uma metodologia mecanizada em uma forma de

abordagem mais completa e eficaz. Oficinas interdisciplinares so timos exemplos que

podem trazer grandes resultados na aprendizagem de um determinado tema. Feiras de

Cincias tem tomado espao como um tipo de atividade que pode trazer grande impacto em

sala de aula. Segundo Valadares (2001, p.2) as feiras de cincias constituem um bom

exemplo de atividades voltadas para aumentar a motivao dos alunos. Na grande maioria

das vezes uma Feira de Cincias parece ser confundida pela equipe pedaggica de uma escola

com um mostrurio de experimentos. Cabe ressaltar que o objetivo de uma atividade dessa

natureza realizar atividades relacionadas a situaes da sociedade (tais como meio ambiente,

sade e sustentabilidade) de forma a trazer reflexes de como o conhecimento cientfico

aprendido pelos estudantes pode ajudar a combater situaes que geram danos ao ser humano

e ao mundo que o abriga. Assim, se vrias atividades experimentais forem realizadas em um

15

local e ao mesmo tempo estiverem destitudas de qualquer objetivo alm do espetculo, torna-

se intil e desconexa.

OBJETIVO

O objetivo desta Monografia relatar estratgias e sequncias didticas que foram

desenvolvidas por um bolsista PIBID/Capes do Subprojeto de Qumica com alunos do Ensino

Mdio, do Colgio Estadual Professor Ernesto Faria, localizado no Rio de Janeiro, no ano

Internacional da Matemtica, visando relacionar Geometria e Qumica. As sequncias

didticas desenvolvidas para os projetos escolares visaram deixar claro para os estudantes, o

papel instrumental da Matemtica na proposio de modelos explicativos para as estruturas

dos materiais.

16

1. A ESTRUTURA DOS SLIDOS CRISTALINOS

Em um slido, as partculas esto mantidas em posies rgidas e praticamente no

tm liberdade de movimento. Nos slidos cristalinos as partculas (molculas, tomos ou ons)

esto dispostas em um arranjo ordenado, diz-se que os slidos cristalinos tm ordem de longo

alcance, ou seja, as partculas esto dispostas em arranjos regulares nas trs dimenses do

espao. gua (H2O), cloreto de sdio (NaCl), nitrato de potssio (KNO3), glicose (C6H12O6),

ferro (Fe), alumnio (Al), quartzo (SiO2) e diamante (C) so exemplos de substncias que

formam slidos nos quais as partculas constituintes esto organizadas em arranjos cristalinos.

Entretanto, h slidos em que estes arranjos no esto presentes. So slidos amorfos nos

quais, em longo alcance, no h qualquer ordenao na disposio das partculas no espao

(mesmo que, em curto alcance, haja alguma ordem). o que acontece, por exemplo, nos

vidros, borrachas, etc. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 1 esto representadas a

estruturas cristalina da slica e a estrutura amorfa de um vidro.

(a) (b)

Figura 1: Estruturas: (a) do quartzo (slido cristalino) e (b) do vidro (slido amorfo). (Fonte:

CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 495)

Os slidos cristalinos so classificados de acordo com o tipo de ligao que mantm

unidas as partculas (molculas, tomos ou ons) constituintes em: slidos moleculares,

slidos reticulares, slidos metlicos e slidos inicos.

1.1. Os slidos moleculares

Os slidos moleculares so formados por molculas e so as foras intermoleculares

que mantm a proximidade entre elas, de modo que as propriedades fsicas desses compostos

dependem da natureza e da energia dessas foras (ATKINS & JONES, 2012). Na gua slida,

17

por exemplo, as molculas de H2O esto organizadas de modo que cada tomo de oxignio

est ligado a quatro tomos de hidrognio, que esto dirigidos para os vrtices de um

tetraedro. Duas dessas ligaes so ligaes covalentes e duas so ligaes de hidrognio. A

estrutura tridimensional do gelo est representada na figura 2, onde as ligaes covalentes

esto representadas por traos curtos contnuos e as ligaes de hidrognio, mais fracas, por

linhas pontilhadas mais compridas entre oxignio e hidrognio.

Figura 2: Estrutura do gelo. (Fonte: CHANG & GOLGSBY, 2013, p. 387)

1.2. Os slidos reticulares:

Os slidos reticulares so formados por tomos unidos por ligaes covalentes que

formam uma rede tridimensional que se espalha por todo o cristal, como ocorre no quartzo

(SiO2), por exemplo. Para fundir um slido reticular, necessrio quebrar ligaes covalentes,

que so muito mais fortes que as interaes intermoleculares existentes nos slidos

moleculares. (ATKINS, 2012).

Dois exemplos clssicos de slidos reticulares so os altropos do carbono: diamante e

grafita. No caso do diamante, cada tomo de carbono est ligado covalentemente a outro

tomo de carbono, em um arranjo tetradrico, formando uma estrutura tridimensional infinita.

por isso sua grande dureza. Na grafita cada tomo de carbono est cercado por outros trs

tomos de carbono numa geometria trigonal plana, de modo que a estrutura uma

combinao de hexgonos que se empacotam em lminas perfeitamente planas cuja

interao entre elas do tipo Van der Waals. O diamante tem dureza alta (alta resistncia a ser

riscado) e a grafita tem dureza baixa (facilmente riscada). Esta diferena reside no fato de que

no diamante so rompidas ligaes covalentes simples carbono-carbono e na grafita so

rompidas foras fracas do tipo Van der Waals. (ATKINS & JONES, 2012). Na figura 3 est

18

representado o arranjo tridimensional dos tomos de carbono na estrutura do diamante e a

estrutura laminar (em lminas) da grafita.

(a) (b)

Figura 3: Estruturas de dois altropos do carbono: (a) diamante e (b) grafita. (Fonte: CHANG

& GOLDSBY, 2013, p. 394).

1.3. Os slidos metlicos

Os slidos metlicos so formados por ctions dos metais envoltos em seus eltrons de

valncia, que devido as suas baixas energias de ionizao, so perdidos pelos tomos. Os

ctions metlicos ficam rodeados por um mar de eltrons que cancelam suas cargas

positivas. Os eltrons do mar de eltrons so mveis e passam de ction a ction facilmente,

conduzindo, assim, uma corrente eltrica (ATKINS & JONES, 2012, p. 44).

comum utilizar um modelo que usa esferas rgidas para representar o arranjo dos ctions em

um slido metlico. O modelo considera que as esferas (ctions) se empilham, deixando o

mnimo espao livre entre elas (como acontece com laranjas organizadas nas bancas de um

supermercado), com uma organizao denominada de estrutura de empacotamento compacto.

H duas formas diferentes de empacotamento compacto, o que leva a estrutura hexagonal

compacta (hc) e a que leva a uma estrutura cbica compacta (cc). Considerando-se trs

camadas de esferas superpostas, temos que na estrutura hexagonal compacta (hc), a primeira e

a terceira camadas de esferas ocupam posies idnticas e esto localizadas nas depresses da

camada intermediria, reproduzindo um padro ABAB... Na estrutura cbica compacta (cc), a

primeira e a terceira camadas ocupam as depresses da camada intermediria, mas a terceira

camada difere da primeira por uma rotao de 60, reproduzindo, agora, o padro ABCABC...

A esfera central, nos dois empacotamentos, est rodeada de doze esferas, ou seja, o nmero de

coordenao do tomo central 12, ele tem doze tomos semelhantes ao seu redor. A figura 4

19

apresenta a disposio dos doze vizinhos mais prximos da esfera central em representaes

expandidas de estruturas hexagonal e cbica de empacotamento compacto. A figura 5

apresenta as estruturas hexagonal compacta (hc) e cbica compacta (cc).

Figura 4: Representao expandida de uma estrutura hexagonal compacta (hc) ( esquerda) e

de uma estrutura cbica compacta (cc) ( direita). (Fonte: LEE, 1999, p. 18)

(a) (b)

Figura 5: Representao da estrutura (a) cbica compacta (cc); (b) hexagonal compacta (hc).

(Fonte: SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 57).

1.4. Clulas unitrias

Em um cristal, tomos, ons ou molculas se empilham tridimensionalmente segundo

um padro ou unidade que se replica indefinidamente. Esse padro denominado clula

unitria, e corresponde a menor unidade que, quando empilhada repetidamente sem lacunas,

pode reproduzir o cristal inteiro (ATKINS & JONES, 2012, p. 188). A figura 6 exemplifica

uma rede cristalina formada pela repetio de uma clula unitria tricnica.

20

Figura 6: Representao de uma rede cristalina formada pela repetio de clulas triclnicas.

(Fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 387).

Todos os cristais so classificados, de acordo com suas caractersticas geomtricas, em

um dos sete sistemas cristalinos, denominados de cbico, tetragonal, ortorrmbico,

hexagonal, trigonal (ou rombodrico), monoclnico e triclnico. A cada sistema cristalino

corresponde um tipo de clula unitria primitiva, que definida pelos comprimentos das

arestas e pelos valores dos ngulos entre elas, esses valores so denominados parmetros de

rede da clula unitria. A figura 7 exibe o desenho das clulas unitrias dos sete sistemas

cristalinos e a tabela 1 apresenta os seus parmetros de rede (Fonte: CHANG & GOLDSBY,

2013, p. 480).

Alguns sistemas cristalinos admitem mais de um tipo de clula unitria. Para o sistema

cbico, por exemplo, existem trs tipos de clulas unitrias: a cbica simples (c.s), a cbica de

corpo centrado (c.c.c) e a cbica de faces centradas (c.f.c). A soma de todos os tipos de

clulas unitrias resulta em quatorze retculos de Bravais (ATKINS & JONES, 2012, p. 189).

A figura 8 apresenta os trs tipos de clulas unitrias do sistema cristalino cbico: cbica

simples (c.s), cbica de corpo centrado (c.c.c) e cbica de faces centradas (c.f.c). A figura 9

exibe os quatorze retculos de Bravais.

Tabela 1: Os sete sistemas cristalinos

Sistema Parmetros de rede da clula unitria

Comprimentos ngulos

Cbico a = b = c = = = 90

Tetragonal a = b c = = = 90

Ortorrmbico a b c = = = 90

Hexagonal a = b c = 120

Trigonal a = b = c = = 90

Monoclnico a b c 90 = 90

Triclnico a b c 90

21

Figura 7: Representao das clulas unitrias dos sete sistemas cristalinos. Na sequncia,

acima: cbico, tetragonal, ortorrmbico e hexagonal; abaixo: trigonal, monoclnico e

triclnico.

(a) (b) (c)

Figura 8: Trs clulas unitria cbicas, acima representadas com pontos (expandida) e abaixo

com esferas macias: (a) cbica simples (c.s); (b) cbica de corpo centrado (c.c.c) e (c) cbica

de faces centradas (c.f.c). (Fonte: KOTZ & TREICHEL, 2002, p. 419).

1.5. Estruturas Inicas:

Os slidos inicos so formados por um empilhamento tridimensional de ctions de

metais e nions, geralmente, de elementos com alta eletroafinidade, que se mantm unidos

devido a foras de atrao de natureza coulombiana que se estabelecem entre ons de cargas

opostas. O cloreto de sdio, por exemplo, os ons de cargas opostas regularmente distribudos

se organizam em uma rede cristalina cbica que se repete tridimensionalmente. A menor

unidade que se repete e que mantm a forma de organizao espacial dos ons uma clula

22

unitria cbica de faces centradas (c.f.c). Na figura 10 est representada a clula unitria do

NaCl, na forma expandida e com as esferas, que representam os ons, em contato umas com as

outras (fonte: CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 54).

Figura 9: Representao dos quatorze retculos de Bravais.

Fonte: http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

(a) (b)

Figura 10: Representao da clula unitria do cloreto de sdio (a) estrutura expandida e (b)

esferas em contato umas com as outras. Os ons, Na+ e Cl

-, esto representados pelas esferas,

menor e maior, respectivamente.

http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

23

O comprimento da aresta da clula unitria do NaCl corresponde ao dobro da soma dos

raios inicos do Na+ e do Cl

-, como exemplifica a figura 10. Os raios inicos do Na

+ e do Cl

-

so, respectivamente, iguais a 95 e 181 pm; o comprimento da aresta da clula unitria do

NaCl igual a 2 (95+181)pm = 552 pm. O valor experimental, obtido pela tcnica de difrao

de raio X, para o comprimento da aresta da clula unitria do NaCl 564 pm (CHANG &

GOLDSBY, 2013, p. 488). Os resultados mostram uma pequena diferena entre o dado

terico obtido utilizando-se um modelo (clula unitria c.f.c. e valores estimados de raios

inicos no NaCl) e o valor obtido experimentalmente.

A figura 11 apresenta a relao entre os raios dos ons Na+ e do Cl

- e as dimenses da

clula unitria do NaCl (Fonte: idem, p. 488). A figura 12 exibe as fraes de Na+ e do Cl

- em

uma clula unitria cbica de faces centradas (Fonte: ibidem, p. 489).

Figura 11: Relao entre os raios dos ons Na

+ e do Cl

- e as dimenses da clula unitria do

NaCl. O comprimento da aresta igual ao dobro da soma dos dois raios inicos.

Figura 12: Fraes de Na+ e do Cl

- em uma clula unitria cbica de faces centradas do NaCl.

24

2- METODOLOGIA

As sequncias didticas que sero relatadas foram desenvolvidos no Colgio Estadual

Professor Ernesto Faria, situado no bairro de So Cristovo, no Rio de Janeiro, onde atuei

pelo perodo de trs anos (de maro de 2011 a fevereiro de 2014) como bolsista de iniciao

docncia, sendo os ltimos trinta meses como bolsista do Subprojeto Qumica do PIBID

(Programa Institucional de Bolsa de Iniciao Docncia). O PIBID um programa da

CAPES (Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Ensino Superior), que fornece

bolsas de iniciao docncia para os alunos de licenciatura, para os professores das escolas

que supervisionam as atividades e para os professores da Universidade que coordenam o

PIBID na instituio de ensino.

A escola possui, como tradio, a realizao anual de uma Feira do Conhecimento

(evento no qual os alunos se dividem em grupos para apresentarem trabalhos sobre um

determinado assunto). No ano de 2011 foi o Ano Internacional da Qumica em lembrana da

premiao da fsica polonesa Marie Curie ao isolar os elementos Rdio e Polnio, o que lhe

proporcionou o prmio Nobel de Qumica em 1911. A homenagem a esse centenrio

possibilitou a apresentao de diversos trabalhos envolvendo temas nas reas de alimentos,

meio ambiente e sade. No ano de 2012, dois grandes nomes da cultura Brasileira foram

homenageados: Jorge Amado e Luiz Gonzaga. Neste ano, o escritor e o msico completariam

100 anos e os assuntos a serem abordados na Feira do Conhecimento foram relacionados com

os centenrios. No ano de 2013 foi comemorado o Ano Internacional da Matemtica, tema da

Feira do Conhecimento no ano em questo.

Foram propostas sequncias didticas para dois projetos escolares que tinham por

objetivo geral deixar claro para os estudantes, o papel instrumental da Matemtica na

proposio de modelos explicativos para as estruturas dos materiais. Descreveremos a seguir,

as sequncias didticas que foram desenvolvidos com duas turmas do Ensino Mdio, do turno

diurno, no ano de 2013, visando estabelecer correlaes interdisciplinares entre a Qumica e a

Matemtica. Foram constitudos dois grupos. Grupo 1: composto por seis alunos da turma

2002 (2 ano) e Grupo 2: formado por cinco alunos da turma 3001 (3 ano).

Os alunos do Grupo 1 desenvolveram atividades relacionadas Geometria dos

slidos cristalinos. O objetivo do trabalho era a construo de modelos com bolas e varetas

para ilustrar os principais sistemas cristalinos. Inicialmente, para conduzir a aquisio de

conhecimentos sobre o tema, os alunos foram colocados frente a alguns questionamentos que

25

seriam respondidos atravs de pesquisas a livros, pginas virtuais, dentre outros. As questes

esto listadas a seguir.

1. O que diferencia slidos cristalinos de slidos amorfos?

2. Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano apresentam aspecto

cristalino?

3. Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com aspecto cristalino quando

visto ao microscpio? E vice-versa?

4. Em um slido cristalino as partculas que o constituem (tomos, molculas ou ons)

esto organizadas em um arranjo geomtrico que determina a forma como ele se

mostra (hbito cristalino). Todos os cristais so classificados, de acordo com suas

caractersticas geomtricas, em um de sete sistemas cristalinos. Pesquise sobre as

caractersticas geomtricas desses sistemas.

5. Quais os sistemas cristalinos dos cristais de quartzo, cloreto de sdio, sulfato de cobre

e enxofre?

Com as pesquisas realizadas, os alunos participaram de algumas reunies, em horrio

extracurricular, para discutir o tema e tirar dvidas. Durante os encontros, foram testados

alguns modelos construdos com bolas de isopor e palito de churrasco, porm o material foi

posteriormente trocado por massa de modelar e palitos de churrasco, que deixava a estrutura

mais rgida.

Os alunos do grupo 2 desenvolveram o tema Aplicando conceitos da Geometria na

determinao de raios atmicos de alguns metais. O objetivo desta atividade foi fazer uso de

ferramentas da Geometria Espacial e da Qumica (como clculos qumicos) para estimar o

tamanho dos raios atmicos de alguns metais. O procedimento inicial, voltado para a busca de

respostas pelos alunos, tambm foi feito com este grupo. As questes formuladas foram as

que se seguem.

1. Qual a ordem de grandeza do tamanho de um tomo? Qual seria a unidade de

comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho?

2. Se no possvel ver um tomo, como os cientistas determinam seu tamanho?

3. Todos os tomos tm o mesmo tamanho? Por qu? De que depende o tamanho de um

tomo?

4. Consulte uma tabela peridica que apresente os raios atmicos dos elementos

qumicos. Identifique que elemento qumico apresenta o menor raio atmico e tambm

o que apresenta o maior. Apresente uma explicao para o fato.

26

As reunies, feitas em horrio extraclasse, foram utilizadas para discutir as respostas

dadas pelos alunos s perguntas formuladas e orient-los sobre as etapas que seriam

desenvolvidas na determinao experimental dos raios atmicos dos metais. Em linhas gerais,

os estudantes deveriam seguir o procedimento descrito abaixo.

1. Determinar o volume das amostras de alumnio, zinco e cobre, de formato geomtrico

cilndrico, utilizando conceitos da Matemtica.

2. Com auxlio de uma balana, determinar as massas das amostras metlicas.

3. Calcular o nmero de tomos de metal presentes em cada amostra metlica.

4. Determinar o volume ocupado por cada tomo de metal nas amostras.

5. Determinar os raios atmicos dos metais alumnio, zinco e cobre.

6. Comparar os valores determinados experimentalmente com valores da literatura.

Para determinar o volume ocupado por cada tomo de metal nas amostras, foram

consideradas duas hipteses, I e II.

(I) No h espao vazio entre os tomos. Assim sendo, o volume da amostra metlica

dividido pelo nmero total de tomos do metal que a constitui fornece o volume de

cada tomo (VA). Considerando que o tomo uma esfera (Modelo Atmico de

Dalton), possvel determinar seu raio (R).

Volume (esfera) = 4/3 R3

(II) H espaos vazios entre os tomos. Como modelo explicativo considerou-se que o

slido metlico formado pelo empilhamento tridimensional de cubos - clulas

unitrias cbicas simples (c.s.). fcil demonstrar matematicamente que se cada

tomo dos oito vrtices do cubo compartilhado por oito cubos vizinhos, apenas, um

oitavo de cada tomo dos vrtices pertence a uma clula unitria, logo h um tomo

(8 vrtices x 1/8 de tomo) em cada uma dessas clulas (ATKINS & JONES, 2012, p.

188). Na figura 13 est explicita essa relao matemtica e tambm fica claro que o

comprimento da aresta (a) igual ao dobro do raio (R) do tomo de metal.

Portanto, o nmero de tomos (N) igual ao nmero de clulas unitrias e o volume

da clula unitria cbica igual ao prprio volume VA. Considerando ainda que o

tomo uma esfera e que est inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do tomo,

uma vez que a aresta do cubo igual ao dimetro da esfera (SIMONI & TUBINO,

1999).

27

a = 2R

Figura 13: Relao entre o comprimento da aresta (a) e o raio (R) do tomo. Somente um

oitavo de cada tomo dos vrtices pertence a uma clula unitria cbica simples. (Fonte:

CHANG & GOLDSBY, 2013, p. 484).

A partir da figura 13, temos que volume do cubo pode ser determinado pela expresso:

Volume (cubo) = aresta3 = a

3 = (2R)

3

Volume (cubo) = 8R3

Se h um tomo (8 vrtices x 1/8 de tomo) em cada clula unitria cbica simples e se

considerarmos que este tomo est no centro do cubo, podemos usar a figura 14 para model-

lo. A esfera ao centro representa um tomo, de raio a/2, inscrito em uma clula unitria cbica

simples de aresta a.

Figura 14: Representao de um tomo inscrito na clula unitria cbica simples de aresta a.

A partir das massas das amostras metlicas (em gramas) e do conceito de mol foram

determinados os valores de N (nmero de tomos existentes nas amostras). Usando um

paqumetro, os alunos coletaram dados relativos s dimenses das amostras e utilizaram os

conceitos de Geometria espacial para determinar os volumes dos slidos.

28

Partindo das duas hipteses foram determinados os volumes atmicos (VA) pelas

frmulas V = 4/3R3 (hiptese I) e V = 8R

3 (hiptese II). Os valores obtidos foram

comparados com os valores de referncia (SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).

Como especificado no incio deste captulo, os projetos foram planejados visando

desenvolver trabalhos para serem exibidos pelos estudantes na Feira do Conhecimento. A

socializao dos produtos finais dos projetos demandou que os estudantes elaborassem textos

e cartazes para exposies orais, alm da montagem de modelos. No Captulo 3 so

apresentados relatos sobre o desenvolvimento dos trabalhos e seus resultados.

29

3- ANLISE E DISCUSSO DOS RESULTADOS

Os resultados das atividades realizadas sero descritos em dois momentos diferentes,

de modo que os trabalhos do grupo 1 referentes ao tema A Geometria dos Slidos

Cristalinos sero citados primeiro e, posteriormente sero relatados os resultados do grupo 2

que realizou as atividades sobre o tema Aplicando conceitos da Geometria na determinao

de raios atmicos de alguns metais.

3.1. A Geometria dos Slidos Cristalinos

O questionrio aplicado no incio das atividades serviu como um ponto de partida para

trabalhar os conceitos necessrios para realizar a sequncia didtica. Os alunos foram

orientados a pesquisar em alguns endereos eletrnicos confiveis e nos livros didticos,

contidos na prpria biblioteca da escola, respostas para as questes formuladas pelo professor.

Em relao pergunta O que diferencia slidos cristalinos de slidos amorfos?

nenhum aluno soube responde-la corretamente, sem consultar materiais de apoio. De modo

geral, os estudantes afirmaram que todo slido cristalino, pelo simples fato de ser slido, ou

seja, na concepo dos alunos, as substncias amorfas estariam nos estados lquido ou gasoso.

O fato de que o estado slido de uma substncia ou material ser caracterizado por ter, ao nvel

macroscpico, uma forma definida, enquanto lquidos e gases, assumirem a forma do

recipiente em que esto contidos, foi interpretada pelos alunos como sendo tambm uma

caracterstica microscpica do material.

A partir das consultas, os alunos tiveram o primeiro contato com conceitos como

estrutura cristalina, clula unitria e hbito cristalino, que precisaram ser melhor

elucidados em encontros realizados no contraturno, no perodo da tarde.

Sobre a segunda pergunta Que materiais existentes na natureza ou de uso cotidiano

apresentam aspecto cristalino? os alunos responderam, inicial e majoritariamente,

diamante, alegando que o altropo do carbono os fazia lembrar a palavra cristal. Aps a

pesquisa sobre slidos cristalinos e amorfos (primeira pergunta), os alunos formularam

respostas mais elaboradas, dando como exemplos de slidos cristalinos o cloreto de sdio

(NaCl), o sulfato de cobre II (CuSO4) e o quartzo (SiO2).

Mais uma vez, as respostas iniciais dos alunos remeteram a aspectos macroscpicos e,

neste caso, tambm ao senso comum, ao associar o diamante a um cristal. Por outro lado, no

30

raro, quando o conceito de alotropia abordado nos livros didticos ou pelos professores, ao

serem exemplificados os altropos do carbono, o diamante apresentado na forma de um

cristal lapidado, em mltiplas faces que resplandecem o seu brilho vtreo. Uma imagem desse

tipo, consta no prprio livro texto adotado na escola (PEQUIS, 2010, p. 280) e est

reproduzida na figura 15.

Figura 15: Estrutura cristalina do diamante (PEQUIS, 2010, p.280)

O fato de que a diferena entre slidos cristalinos e amorfos depende de uma

propriedade microscpica do material s se torna compreensvel para o aluno a partir da

apropriao do conceito cientfico de slido cristalino, o que requer que este seja introduzido

aos conceitos de estrutura cristalina e clula unitria. Esta compreenso pode ser

enormemente facilitada utilizando modelos explicativos construdos com bolas e varetas.

A terceira questo Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com

aspecto cristalino quando visto ao microscpio? E vice-versa? foi formulada com o

objetivo de favorecer discusses sobre aspectos macroscpicos e microscpicos dos materiais

slidos, de modo a levar a concluso que o primeiro, ou seja, sua aparncia a olho nu, no

suficiente para se afirmar se este ou no um material cristalino (possui ou no uma estrutura

cristalina). Ao se observa uma amostra de ferro, alumnio ou de grafite no fica evidente que

estes materiais so slidos cristalinos. Retornando aos exemplos dos altropos do carbono

presentes nos livros didticos, a imagem associada ao altropo grafite, geralmente, um lpis,

no remete a existncia de uma estrutura cristalina no grafite, diferente do que ocorre na

imagem utilizada para o diamante, o que pode induzir o leitor a concluir que se trata de um

31

material amorfo. Tal imagem pode ser encontrada tambm no livro didtico supracitado,

reproduzida na figura 16.

Figura 16: Estrutura cristalina do grafite (PEQUIS, 2010, p.280)

Ao responder a questo Um material aparentemente amorfo pode apresentar-se com

aspecto cristalino quando visto ao microscpio? E vice-versa?, os alunos se limitaram

basicamente exemplificao das estruturas do quartzo e do vidro (um material amorfo,

apesar, de sua aparncia cristalina), apresentando figuras esquemticas de suas estruturas

microscpicas. Vrios materiais amorfos poderiam ser exemplificados como plsticos,

borrachas, resinas, etc. Um aspecto importante a destacar que mesmo que uma resina ou um

plstico seja moldado de forma a apresentar superfcies planas bem definidas (faces planas)

dispostas em ngulos bem definidos simulando um cristal, ele no apresentar uma estrutura

cristalina interna e, dessa forma, no se constitui o que cientificamente denominamos de um

material cristalino.

Os dois ltimos itens do questionrio inicial orientavam os alunos a procurar na

literatura e em fontes virtuais as caractersticas geomtricas dos sete sistemas cristalinos, bem

como identificar materiais que cristalizam segundo estes sistemas. Para tal, os alunos

deveriam pesquisar sobre as estruturas cristalinas do quartzo, cloreto de sdio, sulfato de

cobre II e das duas formas alotrpicas do enxofre. No prprio livro didtico adotado era

possvel obter as seguintes informaes:

32

- Imagem representativa da rede cristalina do quartzo (PEQUIS, 2010, p. 275). Exibida na

figura 17.

Figura 17: Rede cristalina do quartzo (SiO2). As esferas maiores representam tomos de

oxignio e as esferas menores tomos de silcio.

- Imagem representativa da rede cristalina cbica do cloreto de sdio (PEQUIS, 2010, p. 273),

exibida na figura 18, com a legenda que reproduzimos abaixo dela.

Figura 18: Rede cristalina do cloreto de sdio

Nesta ilustrao, tomos do elemento qumico sdio so representados na cor cinza e tomos de cloro

so representado na cor verde e em tamanho maior. O tomo central de cloro foi destacado uma

tonalidade mais escura, embora seja igual aos demais, para facilitar a anlise da imagem. Note que

este tomo central de cloro rodeado por seis tomos de sdio. Esses, por sua vez, so rodeados por

outros tomos de cloro, numa estrutura que se repete continuamente (PEQUIS, 2010, p. 273).

- Os cristais de sulfato de cobre possuem lados e ngulos diferentes, sua forma geomtrica

denominada triclnica (PEQUIS, 2010, p. 292). O livro apresenta ainda a figura do arranjo do

cristal de sulfato de cobre, exibida na figura 19.

33

Figura 19: Arranjo geomtrico do cristal sulfato de cobre - triclnico (PEQUIS, 2010, p.292)

O enxofre um slido molecular que pode ser encontrado na natureza em duas formas

cristalinas, o enxofre rmbico e o enxofre monoclnico. So dois altropos de frmula

molecular S8, nos quais tomos de enxofre esto ligados covalentemente formando anis em

forma de coroa (Figura 20). A diferena entre os dois altropos do enxofre est no arranjo

espacial dos tomos de enxofre no retculo cristalino, ou seja, na forma como as coroas S8 so

empilhadas para constituir o slido (ATKINS & JONES, 2012, p. 650). Os anis se mantm

unidos por foras intermoleculares fracas, do tipo dipolo-dipolo-induzido ou foras de

London.

Figura 20: Molcula de enxofre, S8. Oito tomos de enxofre ligados covalentemente formando

um anel em forma de coroa.

Aps a realizao das pesquisas, os alunos orientados pelo bolsista Pibid elaboraram

cartazes e montaram estruturas cristalinas utilizando massa de modelar, de diversas cores, e

palitos de fsforo ou de churrasco. Os trabalhos elaborados pelo grupo 1 foram apresentados

na Feira de Cincias realizada no Colgio Ernesto Faria. O desempenho dos alunos e os

produtos finais do projeto foram considerados satisfatrios pela professora de Qumica da

turma, Professora Denise Gutman, e pela equipe de professores que avaliou o grupo 1 quando

foi feita a exposio para a comunidade escolar, durante a Feira de Cincias. As figuras 21 e

22 exibem alguns dos produtos do projeto exibido pelos alunos no dia da Feira de Cincias.

34

Figura 21: Rede cristalina do quartzo (SiO2) construda com massa de modelar e palitos. As

esferas maiores representam tomos de oxignio e as esferas menores tomos de silcio.

Figura 22: Clula unitria do NaCl construda com massa de modelar e palitos. tomos do elemento qumico sdio so representados na cor azul e tomos de cloro esto representados na cor

vermelha e em tamanho maior. Ao fundo cartaz sobre o cloreto de sdio.

35

Figura 23: Representao de oito tomos de enxofre (em massa modelar verde) ligados

covalentemente formando um anel em forma de coroa na molcula de enxofre, S8, e cartaz

sobre o enxofre. frente, representao do sistema cristalino hexagonal (em massa de

modelar laranja).

Figura 24: Cartazes apresentados pelos alunos sobre slidos amorfos e cristalinos

36

3.2. Aplicando conceitos da Geometria na determinao de raios atmicos de alguns

metais

A sequncia didtica iniciou com os alunos do grupo 2 respondendo a um

questionrio. Para as perguntas Qual a ordem de grandeza do tamanho de um tomo? Qual

seria a unidade de comprimento mais adequada para expressar o seu tamanho? no foram

obtidas respostas pr-pesquisa, talvez devido abstrao do tema, mas o certo que vrios

alunos s tinham conhecimento de unidades de comprimento do intervalo km-mm,

desconheciam ou no lembravam de submltiplos do milmetro, como m e nm. Aps

algumas consultas, os alunos chegaram a concluso que a unidade de comprimento mais

adequada para expressa a medida do comprimento de raios atmicos e inicos o picmetro

(1 pm corresponde a 1 x 10-12

m).

Em relao a segunda questo Se no possvel ver um tomo, como os cientistas

determinam seu tamanho? , os alunos s conseguiram produzir informaes coerentes aps

realizar algumas consultas. Na verdade nunca haviam pensado sobre isso. Aps as leituras

realizadas, citaram que poderia ser utilizada a tcnica de difrao de raios X. Naturalmente,

esta informao foi, apenas, literal, sem uma compreenso significativa do que se trata, de

como isto pode ser feito. Saber como os cientistas determinam o raio atmico se mostrou por

complexo demais, para o nvel de entendimento dos alunos. Haveria alguma forma mais

simples de determinar raios atmicos?

As perguntas Todos os tomos tm o mesmo tamanho? Por qu? De que depende o

tamanho de um tomo? foi parcialmente respondida, pois os alunos j tinham aprendido o

conceito de raio atmico no 1 ano do Ensino Mdio, quando estudaram as Propriedades

Peridicas. Porm, os alunos sentiram necessidade de recorrer a livros didticos na biblioteca

da escola, para se certificarem que faziam correlaes corretas entre tamanho do tomo e

nmero de camadas eletrnicas e com a quantidade crescente de eltrons na ltima camada.

A ltima pergunta do questionrio Consulte uma tabela peridica que apresente os

raios atmicos dos elementos qumicos. Identifique que elemento qumico apresenta o menor

raio atmico e tambm o que apresenta o maior. Apresente uma explicao para o fato.

Os alunos fizeram as consultas e responderam oralmente com relativa facilidade, entretanto,

tiveram dificuldade em redigir suas explicaes de forma clara.

Aps este requisito terico, os alunos seguiram para a fase da elaborao do

experimento e coleta dos dados, bem como a comparao destes com os valores disponveis

na literatura. Os materiais estudados foram amostras cilndricas dos metais alumnio, zinco e

37

cobre. Primeiramente, os alunos foram questionados sobre como determinar o volume do

slido usando conceitos da Geometria. Os alunos pensaram a respeito e concluram que

deveriam conhecer o comprimento e o dimetro de cada uma das amostras cilndricas.

Utilizando um paqumetro, e com a ajuda do bolsista Pibid, tomaram as medidas e realizaram

os clculos devidos, considerando que o volume de um cilindro pode ser calculado pela

expresso:

v = hr2

Onde h igual altura do cilindro e r igual ao raio de seu crculo base.

Em um segundo momento os alunos foram questionados sobre quantos tomos de

metal havia em cada amostra e tambm sobre como descobrir o volume ocupado por cada

um destes tomos. Como os alunos j haviam estudado Clculos Qumicos, no tiveram

dificuldades em propor que seria necessrio conhecer as massas das amostras e estabelecer

relaes proporcionais com o mol das substncias e com a Constante de Avogadro.

Conhecido o volume de cada amostra (v) e o nmero de tomos existentes em cada uma delas

(N), possvel conhecer o volume ocupado por cada tomo (VA), o que corresponde razo

v/N. As massas foram determinadas em uma balana semianaltica e foram realizados os

clculos necessrios.

Na tabela 2 so apresentados dados das amostras de alumnio, zinco e cobre, onde v

corresponde ao volume da amostra, na unidade cm3; m corresponde a massa da amostra, na

unidade grama; N corresponde ao nmero de tomos, calculado a partir da constante de

Avogadro, e VA o volume ocupado por cada tomo de metal.

Tabela 2: Dados relativos s amostras de alumnio, zinco e cobre. Volume das amostras (v),

massas das amostras (m), nmero de tomos existentes em cada amostra (N) e volume

ocupado por cada tomo de metal (VA).

METAIS v (cm3) m (g) N (tomos) VA (cm

3)

Alumnio 3,14 cm3 8,48 1,89.10

23 1,66 x 10

-23

Zinco 1,05 cm3 7,38 6,79.10

22 1,54 x 10

-23

Cobre 3,14 cm3 28,13 2,67.10

23 1,18 x 10

-23

Aps a realizao dos clculos acima, os alunos foram levados a pensar em dois

modelos explicativos para a natureza da estrutura interna dos metais, a que admitia que no

38

existem espaos vazios entre os tomos, denominada hiptese I, e a que admitia a existncia

de espaos vazios entre os tomos, hiptese II.

Admitindo a hiptese I, de que no h espao vazio entre os tomos, o volume

ocupado por cada tomo de metal (VA) corresponde ao seu prprio volume atmico.

Considerando que o tomo uma esfera (Modelo Atmico de Dalton), foi possvel determinar

o raio atmico (R) pela expresso:

VA = 4/3 RA3

Onde VA igual ao volume atmico e RA, o raio atmico.

A tabela 3 apresenta os raios atmicos calculados para o alumnio, zinco e cobre

admitindo-se a hiptese I. Esses valores so confrontados com valores de referncia

(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 44).

Tabela 3: Raios atmicos calculados para o alumnio, zinco e cobre admitindo-se a hiptese I.

Volume atmico (VA), raio atmico calculado admitindo-se a hiptese I (RA-I) e raio

atmico de referncia (RA ref.)

METAIS VA (cm3) RA-I (pm) RA ref (pm)

Alumnio 1,66 x 10-23

158 143

Zinco 1,54 x 10-23

154 137

Cobre 1,18 x 10-23

141 128

Os resultados mostraram que os raios atmicos calculados, admitindo-se a hiptese I,

foram maiores que os raios atmicos determinados experimentalmente com tcnicas mais

sofisticadas. Como poderamos interpretar esses resultados? Esta questo norteou as

discusses com o grupo. A hiptese I bem mais simples que a hiptese II, e certo que

facilita os clculos. Entretanto, sabe-se que ao conceber que no h espaos vazios na matria

estamos incorrendo em erros, pois esta descontnua.

Ao admitir a hiptese II, que h espaos vazios entre os tomos, o nmero de tomos

(N) igual ao nmero de clulas unitrias e o volume da clula unitria cbica igual ao

volume ocupado por cada tomo de metal (VA). Considerando ainda que o tomo uma

esfera e que est inscrito no cubo, pode-se determinar o raio do tomo, pela expresso:

VA = 8RA3

39

Onde VA igual ao volume da clula unitria cbica e RA, o raio atmico.

A tabela 4 apresenta os raios atmicos calculados para o alumnio, zinco e cobre

admitindo-se a hiptese II. Esses valores so confrontados com valores de referncia

(SHRIVER & ATKINS, 2006, p. 46).

Tabela 4: Raios atmicos calculados para o alumnio, zinco e cobre admitindo-se a hiptese

II. Volume da clula unitria cbica (VA), raio atmico calculado admitindo-se a hiptese II

(RA-II) e raio atmico de referncia (RA ref.)

METAIS VA (cm3) RA-II (pm) RA ref (pm)

Alumnio 1,66 x 10-23

128 143

Zinco 1,54 x 10-23

124 137

Cobre 1,18 x 10-23

114 128

Os resultados mostraram que os raios atmicos calculados para o alumnio, zinco e

cobre, admitindo-se a hiptese II, foram menores que os raios atmicos de referncia. Como

poderamos interpretar esses resultados? O modelo explicativo adotado considerou o

empilhamento tridimensional de cubos. A clula unitria escolhida, para facilitar os clculos,

foi a clula cbica simples (c.s.), que a menos compacta dos trs tipos de clulas cbicas, ou

seja, o espao vazio o maior possvel nesse caso.

De qualquer modo, os resultados obtidos, considerando-se tanto a hiptese I como a

hiptese II, foram surpreendentes para os alunos que ficaram surpresos quando perceberam

que o erro relativo foi menor que 13%, pois utilizaram instrumentos simples (balana e

paqumetro) para realizar as medidas e a tcnica utilizada foi muito menos sofisticada que a

difrao de raios X, sobre a qual haviam lido ao responder a terceira questo no comeo do

trabalho. Questionados que fator ou fatores poderiam ainda induzir a erros no experimento, os

alunos destacaram as deformidades das amostras metlicas, pois estas no correspondiam a

cilindros totalmente regulares.

O experimento permitiu perceber a importncia da formulao de hipteses na busca

de se estabelecer conexes entre conceitos tericos e dados prticos visando proposio de

modelos explicativos para a natureza da matria. importante que os estudantes percebam

que os modelos no so a prpria realidade, mas tentativas de aproximao dela. Os

resultados contriburam neste sentido e mostraram que necessrio fazer novas conjecturas.

40

4. CONCLUSO

A anlise dos resultados obtidos no decorrer da realizao das atividades e ao final,

com a exibio dos trabalhos na Feira de Cincias, nos levou a concluir que as sequncias

didticas planejadas para desenvolver os projetos escolares contriburam de forma

significativa para o aprendizado dos alunos e possibilitaram estabelecer as relaes

interdisciplinares desejadas entre a Geometria e a Qumica.

O procedimento inicial de busca de respostas pelos alunos para os questionamentos

apresentados pelo bolsista PIBID possibilitou o resgate de alguns conceitos da Qumica e da

Matemtica (raio atmico, variao dos raios atmicos ao longo da tabela peridica,

diferenciao entre slidos amorfos e cristalinos; converso de unidades de comprimento,

etc.), o aprendizado de novos conceitos (sistemas cristalinos, como os cientistas determinam

os raios atmicos) e preparou os alunos para as demais atividades da sequncia didtica. Ao

longo do desenvolvimento dos projetos escolares Geometria dos slidos cristalinos e

Aplicando conceitos da Geometria na determinao de raios atmicos de alguns metais

surgiu necessidade de serem abordados ainda outros conceitos, especialmente os relacionados

a clculos qumicos e ao uso de algoritmos comuns ao campo da Geometria. Desse modo,

consideramos que as sequncias didticas alm de promoverem a interdisciplinaridade entre a

Geometria e a Qumica, favoreceram a contextualizao de conceitos das duas disciplinas.

A aquisio de informaes em diferentes fontes de informao para responder os

questionamentos, a construo de modelos de estruturas cristalinas com o auxlio de massa de

modelar e palitos, a determinao das massas e a tomada das dimenses das amostras

metlicas, a elaborao de cartazes e a comunicao dos resultados dos trabalhos na Feira de

Cincias proporcionou desenvolver e aprimorar vrias habilidades, favorecendo a aquisio

de contedos procedimentais, que desempenham um papel relevante em um currculo para o

aprendizado de cincias (POZO & GMEZ CRESPO, 2009).

No decorrer do trabalho foram observadas mudanas sutis no comportamento dos

alunos, at mesmo em alguns com histrico de indisciplina e desinteresse. Creditamos as

mudanas ao trabalho em equipe, ao estmulo do orientador e a uma maior motivao dos

prprios alunos para desenvolver as tarefas. O fato dos projetos terem sido desenvolvidos

visando apresentao de seus produtos em uma Feira de Cincias gerou um senso de

apropriao sobre o conhecimento construdo e a responsabilidade por sua transmisso

comunidade escolar.

41

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ATKINS, P.; JONES, L.; Princpios de Qumica: questionando a vida moderna e o meio

ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.

BRASIL. Ministrio da Educao. Parmetros Curriculares Nacionais. Ensino Mdio. Parte

III. Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias. 2000. Disponvel em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf. Acesso em 7 de julho de 2014.

BRASIL. Ministrio da Educao. Parmetros Curriculares Nacionais. Ensino Mdio.

Orientaes Educacionais Complementares aos Parmetros Curriculares Nacionais.

Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias. 2002. Disponvel em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em 7 de julho de

2014.

BRASIL. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Bsica. Secretaria de Educao

Continuada, Alfabetizao, Diversidade e Incluso. Conselho Nacional da Educao.

Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educao Bsica. Braslia: MEC, SEB, DICEI,

2013. Disponvel em:

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12663&Itemid=1

152. Acesso em 7 de julho de 2014.

CHANG, R.; GOLDSBY, K. A. Qumica. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.

DRESSLER, A. C. Ensino de Estequiometria Atravs de Prticas Pedaggicas.In: III

Simpsio Nacional de Ensino de Cincia e Tecnologia. UTFPR, Ponta Grossa, PR, 2012.

Disponvel em:

www.sinect.com.br/2012/down.php?id=2756&q=1. Acesso em 17 de dezembro de 2014.

FERREIRA, A. C. C. Ensino da Geometria no Brasil: enfatizando o perodo do Movimento

da Matemtica Moderna. In: V EDUCERE / III Congresso Nacional da rea de Educao.

PUC-PR, Curitiba, 2005. Disponvel em:

http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI136.

pdf. Acesso em 13 de setembro de 2014.

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdfhttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdfhttp://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12663&Itemid=1152http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12663&Itemid=1152http://www.sinect.com.br/2012/down.php?id=2756&q=1http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI136.pdf.http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI136.pdf.

42

KOTZ, J. C.; TREICHEL, P. Qumica & Reaes Qumicas. 4. ed., vol. 1. Rio de Janeiro:

LTD, 2002.

LEE, J. D. Qumica Inorgnica no to concisa. So Paulo: Edgard Blucher, 1999.

PEQUIS. Santos, W; Ml, G. (org.). 1. ed. So Paulo: Nova Gerao, 2010.

POZO, J, I.; GMEZ CRESPO, M. A. A Aprendizagem e o Ensino de Cincias: do

conhecimento cotidiano ao conhecimento cientfico. 5. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

SIMONI, J. A.; TUBINO, M. Determinao do raio atmico. Qumica Nova na Escola, n. 9,

maio 1999, p. 40-42.

SHRIVER, D.; ATKINS, P. Qumica Inorgnica, 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.

VALADARES, Eduardo Campos. Propostas de Experimentos de Baixo Custo Centradas no

Aluno e na Comunidade. Qumica Nova na Escola, n. 13, maio 2011, p. 38-40.

Endereos eletrnicos citados:

http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/Image/con-468.jpg

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ANEXO

Alguns smbolos comuns em Matemtica

Smbolo Nome Definio

Razo a diviso de duas grandezas, com o objetivo de

compar-las.

Potncia n-sima de um nmero real.

um produto de n fatores iguais a a.

Raiz n-sima de um nmero

real.

um nmero cuja potncia n-sima igual a a.

Unio a unio de dois conjuntos, formado pelos elementos que esto em A ou B, ou ambos.

A Interseco o conjunto formado pelos elementos pertencentes aos conjuntos A e B simultaneamente.

Para todo Smbolo que traz referncia um conjunto de valores.

Somatrio a soma algbrica de todos os valores da grandeza

i desde a posio zero at ao infinito.

Integral indefinida Corresponde antiderivada da funo f(x) somada

uma constante. A integral pode ser interpretada como

a rea sob a curva da funo.

Derivada parcial Corresponde inclinao da reta tangente funo

f(x,y) paralela ao eixo x.

Alguns smbolos comuns em Qumica

Smbolo Nome Definio Z Nmero atmico o nmero de prtons no ncleo do tomo de um

elemento.

A Nmero de massa o nmero de ncleons (prtons e nutrons) no

tomo de um elemento.

Xn-

nion uma espcie originada de um tomo X depois de

receber n eltrons.

X(aq) Soluo aquosa Indica que o composto X est dissolvido em gua.

Seta de reao Indica a ocorrncia de uma transformao.

:C: Representao de Lewis Representao que faz referncia quantos eltrons

esto na camada de valncia do tomo de um

elemento qumico.

Aquecimento Indica que uma reao qumica ocorre sob

aquecimento dos reagentes.

Bibliografia consultada

BIANCHINI E. Matemtica. 7. ed. So Paulo: Moderna, 2011.

FUGITA, F.; FERNANDES, M. A. M., POLICASTRO, M. S., TAMASHIRO, W. Matemtica. So

Paulo: Edies SM, 2009, (Coleo Ser Protagonista).

LEITHOLD, L. O Clculo com Geometria Analtica. 3. ed. So Paulo: Harbra, 1994.

ATKINS, P.; JONES, L.; Princpios de Qumica: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5.

ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.