Sequências e Séries

Notas de Aula do CursoET584: Probabilidade 4Leandro Chaves Rgo, Ph.D.2010.1

PrefcioEstas notas de aula foram feitas para compilar o contedo de vrias referncias bibliogrcas tendo em vista o contedo programtico da disciplina ET584-Probabilidade 4 do curso de graduao em Estatstica da Universidade Federal de Pernambuco. Em particular, elas no contm nenhum material original e no substituem a consulta a livros textos. Seu principal objetivo dispensar a necessidade dos alunos terem que copiar as aulas e, deste modo, poderem se concentrar em entender o contedo das mesmas.

Recife, maro de 2010. Leandro Chaves Rgo, Ph.D.

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ContedoPrefcio 1 Reviso de Sequncias de Nmeros Reais e Sries Numricas1.1 Sequncias de Nmeros Reais . . . . . . . . 1.1.1 Limite de uma sequncia . . . . . . . 1.1.2 Propriedades Aritmticas dos Limites 1.1.3 Valores de aderncia, lim inf , lim sup 1.1.4 Sequncias de Cauchy . . . . . . . . Sries de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . 1.2.1 Critrios de Convergncia . . . . . . 1.2.2 Convergncia Absoluta . . . . . . . . 1.2.3 Ordens de Magnitude . . . . . . . . . Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i1 2 6 8 9 10 12 15 16 17

1

1.2

1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

2 Convergncia Estocstica

Seqncia de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Borel-Canteli . . . . . . . . . . . . . . . Covergncia de Variveis Aleatrias . . . . . . . 2.2.1 Tipos de Convergncia . . . . . . . . . . 2.2.2 Relao Entre os Tipos de Convergncia Convergncia de Vetores Aleatrios . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

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21 23 25 26 31 35

3 Funes Caractersticas

Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Exemplos de Funes Caractersticas . . . . . . Teorema da Continuidade de Levy . . . . . . . . . . . . Soma de um Nmero Aleatrio de Variveis Aleatrias Funo Caracterstica de um Vetor Aleatrio . . . . . . Funes Geratrizes de Momento . . . . . . . . . . . . . Teorema de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

36 36 37 41 42 47 49 51 51

ii

4 Lei dos Grandes Nmeros4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 5.4

Motivao . . . . . . . . . . . . Lei Fraca dos Grandes Nmeros Lei Forte dos Grandes Nmeros Um Exemplo de Divergncia das Motivao . . . . . Teoremas e provas Teorema Central do Mtodo Delta . . .

. . . . . . . . . . . . . . . Mdias

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54

54 55 58 65 66 66 73 74

5 Teorema Central do Limite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite: Caso Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . .

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Referncias Bibliogrcas

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Captulo 1 Reviso de Sequncias de Nmeros Reais e Sries Numricas1.1 Sequncias de Nmeros ReaisIntuitivamente, uma sequncia de nmeros reais x1 , x2 , x3 , . . . uma sequncia de pontos da reta e o seu limite um ponto do qual os pontos xn tornam-se e permanecem arbitrariamente prximos, desde que se tome o ndice n sucientemente grande.1 Exemplo 1.1.1: Seja xn = 1 + n , para n = 1, 2, 3, . . .. Note que a medida que n cresce

todos os pontos desta sequncia se tornam arbitrariamente prximos de 1, que como veremos adiante o limite desta sequncia. Formalmente,

Denio 1.1.2: Uma sequncia de nmeros reais uma funo x : I I , denida N R

no conjunto I = {1, 2, 3, . . .} dos nmeros naturais e tomando valores no conjunto I dos N R nmeros reais. O valor x(n), para todo n I , ser representado por xn e chamado de N n-simo termo da sequncia. Escreveremos (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), ou (xn ) para indicar a sequncia x. No se deve confundir a sequncia x com o conjunto x(I ) dos seus termos. Para este N conjunto usaremos a notao x(I ) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. A funo x no necessariamente N injetiva: pode-se ter xm = xn com m = n, ou seja, podem haver termos diferentes que assumem o mesmo valor, ou em outras palavras, podem haver termos repetidos em uma sequncia. Diz-se que a sequncia (xn ) limitada quando o conjunto dos seus termos limitado, isto , quando existem nmeros reais a, b tais que a xn b para todo n I . Quando N uma sequncia no limitada, diz-se que ela ilimitada. Uma sequncia (xn ) limitada superiormente quando existe um nmero real b tal que xn b para todo n I . Analogamente, (xn ) limitada inferiormente quando existe a real N tal que a xn para todo n I . fcil ver que uma sequncia limitada se, e somente se, N ela for limitada inferiormente e superiormente. Por outro lado, existem algumas sequncias 1

CAPTULO 1. REVISO DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS E SRIES NUMRICAS

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ilimitadas que so limitadas inferiormente ou superiormente. O prximo exemplo, ilustra melhor a questo.

Exemplo 1.1.3: A sequncia xn = 1 +

limitada, pois por exemplo, temos que 0 xn 3 para todo n I . Por outro lado, a sequncia xn = n2 ilimitada, mas limitada N inferiormente pois xn 0 para todo n. Finalmente, a sequncia xn = (2)n ilimitada, no limitada inferiormente nem superiormente. Dada uma sequncia (xn ) de nmeros reais, uma subsequncia de (xn ) um sequncia (portanto, deve conter innitos termos) cujos termos so termos da sequncia (xn ) e a ordem em que estes termos aparecem na subsequncia deve ser a mesma em que eles aparecem na sequncia original (xn ).

1 n

Exemplo 1.1.4: Seja a sequncia x = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .), uma subsequncia

de x y = (4, 16, 64, 256, . . .). Por outro lado, z = (4, 16) no uma subsequncia de x, pois no uma sequncia j que possui apenas 2 termos. Tambm temos que w = (4, 2, 16, 8, 64, 32, . . .) no uma subsequncia de x j que os termos em w no aparecem na mesma ordem em que aparecem em x, ou seja, por exemplo, em x o termo -2 precede o termo 4, mas o mesmo no verdade em w.

Formalmente, dada uma sequncia x, uma subsequncia de x a restrio da funo x a um subconjunto innito I = {n1 < n2 < . . . < ni < . . .} de I . Escreve-se x = (xn )nI , N N N ou (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) ou (xni )iI para indicar a subsequncia x . N Uma sequncia chama-se crescente (resp., decrescente) quando x1 < x2 < x3 < . . . (resp., x1 > x2 > x3 > . . .). Se vale xn xn+1 (resp., xn xn+1 ) para todo n, a sequncia diz-se no-decrescente (resp., no-crescente). As sequncias crescentes, no-decrescentes, decrescentes e no-crescentes so chamadas sequncias montonas.

Exemplo 1.1.5: xn = 0, para todo n I . Ela limitada, no-crescente e no-decrescente. NNeste caso, temos que x(I ) = {0}. N

Exemplo 1.1.6: xn = 1 para todo n mpar; e xn = 1 para todo n par. Ela limitada, porm no montona, e temos x(I ) = {1, 1}. N Exemplo 1.1.7: xn = 1/n para todo n I . Ela montona decrescente e limitada. N

1.1.1 Limite de uma sequnciaIntuitivamente, dizer que o nmero real a limite da sequncia (xn ) signica armar que, para valores muito grandes de n, os termos xn tornam-se e se mantm to prximos de a quanto se deseje. Com um pouco mais de preciso: estipulando-se um erro por meio de um nmero real > 0, existe um ndice n0 (que depende de , em geral, que menor o erro maior ter que ser o n0 ) tal que todos os termos xn que tm ndice n maior que n0 so valores aproximados de a com erro inferior a . Formalmente,

Autor: Leandro Chaves Rgo


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a = limn xn , quando para todo nmero real > 0, existe um nmero natural n0 tal que |xn a| < (o que equivalente a xn (a , a + )), sempre que n > n0 .Como a denio implica que para qualquer > 0 arbitrrio, a distncia entre xn e a se torna menor que para n sucientemente grande, podemos escrever de forma equivalente a denio da seguinte maneira: o nmero real a limite da sequncia (xn ) de nmeros reais, quando para alguma constante K real positiva, temos que para todo nmero real > 0, existe um nmero natural n0 tal que |xn a| < K , sempre que n > n0 . A equivalncia se d pelo fato que K tambm um nmero positivo e pode se tornar to pequeno quanto se deseje apenas fazendo ser um nmero pequeno tambm. Observe que se limn xn = a, ento qualquer intervalo (a , a + ), de centro a e raio > 0, contm todos os termos xn da sequncia, com exceo de no mximo um nmero nito de ndices n (os termos de x1 at xn0 ). Reciprocamente, se qualquer intervalo de centro a contm todos os xn , salvo talvez um nmero nito de ndices n, ento lim xn = a. Quando limn xn = a, diz-se que a sequncia (xn ) converge para a, ou tende para a e escreve-se xn a. Uma sequncia que possui limite chama-se convergente. Do contrrio, ela se chama divergente. Dentre as sequncias divergentes destacamos duas que possuem limites innitos:

Denio 1.1.8: O nmero real a limite da sequncia (xn ) de nmeros reais, e escreve-se

Denio 1.1.9: Uma sequncia (xn ) de nmeros reais tem limite (resp., ), e escrevese limn xn = (resp., limn xn = ), quando para todo nmero real M > 0, existe um nmero natural n0 tal que xn > M (resp., xn < M ), sempre que n > n0 .> 0 existe n0 > 1/ , ento para todo n > n0 , temos 1/n < 1/n0 < , ou seja, n > n0 |xn 0| < .e que para n 10, vale a desigualdaden +1 n +1 Exemplo 1.1.11: Vamos provar que limn 3n+10 = . Para isto notamos que 3n+10 >2 2

Exemplo 1.1.10: A sequncia xn = 1/n para todo n converge para 0. Pois, dado qualquer

n2 , 3n+10

n2 n2 n2 n = = . 3n + 10 3n + n 4n 4Por sua vez, n/4 > M se n > 4M . Portanto, tomando n0 = max{10, 4M }, teremos

n > n0

n2 + 1 > M. 3n + 10

1 Exemplo 1.1.12: A sequncia xn = n + (1)n divergente. Note que dado qualquer > 0,

para n > 1 e par, temos que |xn 1| < . Por outro lado, para n > 1 e mpar, temos que |xn + 1| < . Logo, a sequncia ca oscilando entre vizinhanas dos nmeros -1 e 1, para n grande.



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Pois, dado qualquer

Exemplo 1.1.13: A sequncia x2n = 1 e x2n1 =|

n = 1, 2, 3, . . . converge para 1. > 0, existe n0 > 1/ , ento para todo n > n0 e mpar, temos 1 n+1 1| = | | < . n n

(n+1) , n

Por outro lado, para todo n > n0 e par, temos |xn 1| = 0 < . Portanto, xn 1. Para facilitar o clculo do limite de sequncias, vamos recordar a noo de limite de funes reais. Intuitivamente, temos que dada uma funo real f (x) dizemos que o limite quando x tende a um nmero a igual a L, se quando x se aproxima de a o valor de f (x) se aproxima de L. Mais formalmente, temos que limxa f (x) = L se para todo erro > 0 existe um > 0 (que depende de ) tal que para todo x (a , a + ) que diferente de a, temos que f (x) (L , L + ). Por outro lado, quando queremos calcular o limite assinttico de uma dada funo, estamos interessados em saber se quando x cresce arbitrariamente a funo f (x) tende a algum valor, deste modo dizemos que o limite quando x tende a innito igual a L, se para x grande o suciente f (x) se torna to prximo de L quanto se queira. Mais formalmente, temos que limx f (x) = L se para todo erro > 0 existe um nmero natural n0 > 0 (que depende de ) tal que para todo nmero real x > n0 , temos que f (x) (L , L + ). Suponha que dada uma funo real f (x), uma sequncia seja denida por xn = f (n) para todo n I . Ento, se limx f (x) = L, temos que para todo > 0, existe um nmero N natural n0 > 0 tal que para todo nmero real x > n0 , temos que f (x) (L , L + ). Como todo nmero natural um nmero real, temos que para todo natural n > n0 , xn = f (n) (L , L + ). Logo, lim xn = L. Assim, toda vez que uma sequncia (xn ) for uma restrio, para x natural, de uma funo f (x) denida para x real, ou x > 0, temos que se limx f (x) = L, podemos concluir que xn L. Deste modo, podemos utilizar nosso conhecimento sobre limites de funes reais para calcularmos o limite de sequncias. Em particular, podemos utilizar a regra de L'Hopital que diz que se limxa f (x) = 0 e limxa g(x) = 0, ou, se limxa f (x) = e limxa g(x) = , ento

f (x) f (x) = lim . xa g(x) xa g (x) limquando x . Podemos reescrever esta funo da seguinte maneira:

Exemplo 1.1.14: Seja xn = n(1ea/n ). Vamos calcular o limite da funo real x(1ea/x )(1 ea/x ) . 1/xNote que tanto o numerador quanto o denominador convergem para zero quando x . Utilizando a regra de L'Hopital, temos:

(1 ea/x ) (ax2 ea/x ) = lim = lim aea/x = a. x x x 1/x x2 limPortanto, o limite de xn igual a a.



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importante ressaltar que mesmo que a sequncia seja denida a partir da restrio de uma funo real, o fato da sequncia convergir para um certo limite L no implica que a funo real tender a L quando x . Por exemplo, considere a funo real f (x) tal que f (x) = 0 para x I e f (x) = 1 para x I , temos que xn = f (n) = 1 para todo n I . / N N N Logo, xn 1, porm limx f (x) = 1. A seguir provaremos alguns resultados sobre limites.

Teorema 1.1.15: (Unicidade do limite). Se limn xn = a e limn xn = b, ento a = b. Prova: Seja limn xn = a. Dado qualquer nmero real b = a, mostraremos que no se tem limn xn = b. Para isso, tomemos = |ba| . Com essa escolha de , temos que os intervalos 2 (a , a + ) e (b , b + ) so disjuntos. Ora, como limn xn = a, existe n0 tal que n > n0 implica que xn (a , a + ), e, portanto, xn (b , b + ) para todo n > n0 . Logo, / limn xn = b.a.

Teorema 1.1.16: Se limn xn = a, ento toda subsequncia de (xn ) converge para o limite Prova: Seja (xni ) uma subsequncia de (xn ). Dado > 0, existe n0 I tal que n > n0 N

|xn a| < . Como os ndices da subsequncia formam um subconjunto innito, existe entre eles um ni0 > n0 . Ento, ni > ni0 ni > n0 , o que por sua vez implica que |xni a| < . Logo limi xni = a.

mostrar que uma certa sequncia no converge: basta obter duas subsequncias de (xn ) com limites distintos. A outra para determinar o limite de uma sequncia (xn ) que, a priori, se sabe que converge: basta determinar o limite de alguma subsequncia. Ele ser o limite procurado.

Observao 1.1.17: H duas aplicaes dos Teoremas 1.1.15 e 1.1.16. Uma delas para

Exemplo 1.1.18: A sequncia (1, 0, 1, 0, 1, . . .) no convergente pois admite duas subsequncias constantes que convergem para limites diferentes.

Teorema 1.1.19: Toda sequncia convergente limitada.= 1, vemos que existe n0 I tal que N n > n0 xn (a1, a+1). Consideremos o conjunto nito F = {x1 , x2 , . . . , xn0 , a1, a+1}. Seja c o menor e d o maior elemento de F . Ento, para n n0 , bvio que c xn d e para n > n0 , temos que c a 1 < xn < a + 1 d. Ento, todos os termos xn da sequncia esto contidos no intervalo [c, d]; logo a sequncia limitada.Dada um conjunto de nmeros reais A, dene-se como uma cota superior (resp. inferior) para A como sendo qualquer nmero real c tal que c x (resp. c x) para todo x A. Por exemplo, se A = (1, 1], ento qualquer nmero maior ou igual a 1 uma cota superior para A e qualquer nmero menor ou igual a -1 uma cota inferior para A. Dene-se como o supremo (resp. nmo) de um conjunto A a menor (resp. maior) cota superior (resp. inferior) de A. No exemplo anterior, temos que supA = 1 e inf A = 1. Note que o supremo e/ou o nmo de um conjunto, ao contrrio de seu mximo e mnimo, no precisam ser elementos do conjunto. No exemplo, note que inf A A. /

Prova: Seja a = limn xn . Ento, tomando



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Teorema 1.1.20: Toda sequncia montona limitada convergente.limitada. Tomemos a = sup{xn : n = 1, 2, . . .}. Armamos que a = limn xn . Com efeito, dado qualquer > 0, como a < a, o nmero a no cota superior do conjunto dos xn . Logo, existe algum n0 I tal que a < xn0 . Como a sequncia no-decrescente, N n > n0 xn0 xn e, portanto, a < xn . Como xn a para todo n (pela denio de supremo), vemos que n > n0 a < xn < a + , ou seja, limn xn = a.

Prova: Para xar as idias, seja (x1 x2 . . . xn . . .) uma sequncia no-decrescente

1.1.2 Propriedades Aritmticas dos LimitesEstudaremos agora como se comportam os limites de sequncias relativamente s operaes aritmticas e s desigualdades.

(mesmo que no exista limn yn ).

Teorema 1.1.21: Se limn xn = 0 e (yn ) uma sequncia limitada, ento limn xn yn = 0 Prova: Existe c > 0 tal que |yn | < c para todo n I . Dado N

> 0, como limn xn = 0, podemos encontrar n0 I tal que n > n0 |xn | < c . Logo, n > n0 |xn yn | = N |xn | |yn | < c c = . Isto mostra que xn yn 0.

Exemplo 1.1.22: Qualquer que seja x I , temos limn sen(nx) = 0. Com efeito, R n1 sen(nx) n , com |sen(nx)| 1 e 1 n

0.

sen(nx) n

=

Teorema 1.1.23: Se limn xn = a e limn yn = b, ento1. limn (xn + yn ) = a + b; limn (xn yn ) = a b; 2. limn (xn yn ) = a b; 3. limn (xn /yn ) = a/b se b = 0 e yn = 0, n.

Prova: Para parte 1, dado > 0 existem n1 e n2 em I tais que n > n1 |xn a| < N

e n > n2 |yn b| < 2 . Seja n0 = max{n1 , n2 }. Ento, n > n0 n > n1 e n > n2 . Logo n > n0 implica:2

|(xn + yn ) (a + b)| = |(xn a) + (yn b)| |xn a| + |yn b| < 2 + 2 = .

Isto prova que limn (xn + yn ) = a + b. O caso da diferena xn yn se trata do mesmo modo. Para parte 2, temos xn yn ab = xn yn xn b+xn bab = xn (yn b)+(xn a)b. Ora, (xn ) pelo Teorema 1.1.19 uma sequncia limitada e pela parte 1, temos que limn (yn b) = 0. Logo, pelo Teorema 1.1.21, limn [xn (yn b)] = 0. Por motivo semelhante, limn [(xn a)b] = 0. Assim, pela parte 1, j demonstrada, temos limn (xn yn ab) = limn [xn (yn b)] + limn [(xn a)b] = 0, donde limn xn yn = ab.



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Para parte 3, notemos que, como pela parte 2, yn b b2 , existe n0 tal que n > n0 2 2 1 yn b > b2 (basta tomar = b2 ). Segue-se que, para todo n > n0 , yn b um nmero positivo 1 inferior a b2 . Logo, a sequncia ( yn b ) limitada. Como temos que, 2

xn a bxn ayn 1 = = (bxn ayn ) . yn b yn b yn bComo pelas partes 1 e 2, limn (bxn ayn ) = ab ab = 0, segue-se do Teorema 1.1.21 que n n limn ( xn a ) = 0 e, portanto, limn xn = a . y b y b

valem para qualquer nmero nito de sequncias. Por exemplo, se limn xn = a, limn yn = b, e limn zn = c, ento limn (xn +yn +zn ) = a+b+c e limn (xn yn zn ) = abc. Contudo, deve-se tomar cuidado de no tentar aplicar o teorema para certas somas (ou produtos) em que o nmero 1 1 de parcelas varivel e cresce acima de qualquer limite. Por exemplo, seja sn = n + . . . + n 1 (n parcelas). Ento, sn = 1 e, portanto, limn sn = 1. Por outro lado, cada parcela n tem limite zero. Uma aplicao descuidada do Teorema 1.1.23 levaria ao absurdo de concluir que

Observao 1.1.24: claro que resultados anlogos aos tens 1 e 2, do Teorema 1.1.23

lim sn = lim 1/n + . . . + lim 1/n = 0 + . . . + 0 = 0.n n n

Teorema 1.1.25: Sejam xn yn para todo n I , limn xn = a, e limn yn = b, ento a b. N= ab . Ento, por hiptese existem 2 n1 e n2 tais que n > n1 xn (a , a + ) e n > n2 yn (b , b + ). Pondo n0 = max{n1 , n2 }, vemos que n > n0 implica yn < b + = a+b = a < xn , absurdo. 2

Prova: Suponha por contradio que a > b. Seja

limn yn = b, ento a < b. Por exemplo, seja xn = 0 e yn = 1/n para todo n I . Temos que N limn xn = limn yn = 0. limn zn = a.

Observao 1.1.26: O resultado anlogo ao do Teorema 1.1.25 para desigualdades estritas no vlido. Ou seja, no verdade que se xn < yn para todo n I , limn xn = a, e N

Teorema 1.1.27: Sejam xn zn yn para todo n I . Se limn xn = limn yn = a, ento N Prova: Dado > 0, existem n1 e n2 tais que n > n1 xn (a , a + ) e n > n2 yn

(a , a+ ). Pondo n0 = max{n1 , n2 }, vemos que n > n0 implica a < xn zn yn < a+ . Portanto, limn zn = a.Vamos a seguir provar que limites so preservados a aplicaes de funes contnuas. Recorde que uma funo f : I I contnua em a I se para todo > 0, existe > 0, R R R tal que |x a| < |f (x) f (a)| < .

Teorema 1.1.28 : Se limn xn = a e g : I I uma funo contnua em a, ento R Rlimn g(xn ) = g(a).Autor: Leandro Chaves Rgo


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> 0, arbitrrio. Como g contnua em a, existe > 0 tal que |x a| < |g(x) g(a)| < . Por outro lado, como xn a, temos que existe n0 tal que n > n0 |xn a| < . Portanto, para n > n0 , temos que |g(xn ) g(a)| < . Ou seja, limn g(xn ) = g(a).

Prova: Escolha

1.1.3 Valores de aderncia, lim inf , lim supDenio 1.1.29: Um nmero real a chama-se valor de aderncia de uma sequncia (xn )quando a limite de alguma subsequncia de (xn ).

Exemplo 1.1.30: Se limn xn = a, ento a o nico valor de aderncia de (xn ). A sequncia (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .) tem 0 como seu nico valor de aderncia, embora no seja convergente. A sequncia (0, 1, 0, 1, 0, . . .) tem como valores de aderncia 0 e 1. Seja xn = n, a sequncia (xn ) no possui valores de aderncia.O prximo teorema mostra que um nmero real a valor de aderncia de uma sequncia (xn ) se, e somente se, toda vizinhana de a contem innitos termos de (xn ).

Teorema 1.1.31: a valor de aderncia de (xn ) se, e somente se, para todo n0 I existir n I tal que n > n0 e xn (a , a + ). N N

> 0 e todo

Prova: Suponha que a um valor de aderncia de (xn ). Ento, existe uma subsequncia (xni ) tal que limi xni = a, ou seja, para todo > 0, existe ni0 , tal que i > i0 xni (a , a + ). Ento, dado qualquer n0 , como (xni ) contm innitos termos de (xn ), existe ni > n0 tal que i > i0 e, consequentemente, xni (a , a + ). Reciprocamente, suponha que para todo > 0 e todo n0 I exista n I tal que N N n > n0 e xn (a , a + ). Vamos construir uma subsequncia (xni ) tal que limi xni = a, mais especicamente, vamos construir uma subsequncia tal que xni (a 1/i, a + 1/i). Por suposio, existe n1 tal que xn1 (a 1, a + 1), vamos denir os demais termos da subsequncia por induo. Suponha que exista ni > ni1 tal que xni (a 1/i, a + 1/i), 1 1 queremos provar que existe ni+1 > ni tal que xni+1 (a i+1 , a + i+1 ). Por suposio, para 1 1 1 = i+1 e n0 = ni , existe um n > n0 tal que xn (a i+1 , a + i+1 ). Chamemos este n de ni+1 , e construmos a desejada subsequncia. Ento, temos que a limite desta subsequncia (xni ) e, portanto, valor de aderncia de (xn ).Seja (xn ) uma sequncia limitada de nmeros reais. Mostraremos que o conjunto de valores de aderncia de (xn ) no vazio, que entre eles existe um que o menor de todos e outro que o maior, e que a sequncia converge se, e somente se, possui apenas um valor de aderncia. Suponha que xn para todo n I . Escrevamos Xn = {xn , xn+1 , . . .}. N Temos [, ] X2 . . . Xn . . . Logo, denindo an = inf Xn e bn = sup Xn , temos

a1 a2 . . . an . . . bn . . . b2 b1 Como toda sequncia monotnica e limitada convergente, temos que an a e bn b. Escreve-se a = lim inf xn e b = lim sup xn e diz-se que a o limite inferior e que b o limite superior da sequncia (xn ). Como an bn , tem-se lim inf xn lim sup xn .



9

1 1 inf X2n2 = inf X2n1 = n e sup X2n1 = sup X2n = 1 + n . Logo, lim inf xn = 0 e lim sup xn = 1 e estes so os dois nicos valores de aderncia da sequncia (xn ).

1 1 Exemplo 1.1.32 : Sejam x2n1 = n e x2n = 1 + n . Verica-se sem diculdade que

aderncia e lim sup xn o maior valor de aderncia de (xn ).

Teorema 1.1.33: Seja (xn ) uma sequncia limitada. Ento, lim inf xn o menor valor de Prova: Provaremos inicialmente que a = lim inf xn valor de aderncia de (xn ). Para isto,

usaremos o Teorema 1.1.31, e mostraremos que dados > 0 e n0 I arbitrrios, existe N n I tal que n > n0 e xn (a , a + ). Como a = limn an , existe n1 > n0 tal que N a < an1 < a + . Como an1 = inf Xn1 , segue-se da ltima igualdade que a + (sendo maior que an1 ) no cota inferior de Xn1 . Logo, existe n n1 tal que an1 xn < a + . Isto nos d n > n0 com a < xn < a + . Mostremos agora que nenhum nmero c < a pode ser valor de aderncia de (xn ). Ora, como a = limn an , segue-se de c < a que existe n0 I tal N que c < an0 a. Como an0 = inf Xn0 , conclumos que n n0 c < an0 xn . Tomando = an0 c, vemos que c + = an0 , logo o intervalo (c , c + ) no contm termo xn algum com n n0 . Isto exclui a possibilidade de c ser valor de aderncia de (xn ). A demonstrao para lim sup se faz de modo semelhante.

mente se, lim inf xn = lim supn xn , isto , se, e somente se, possui um nico valor de aderncia.

Corolrio 1.1.34: Uma sequncia limitada de nmeros reais (xn ) convergente se, e so-

lim inf xn = lim supn xn = a. Se lim inf xn = lim supn xn = a, ento suponha que xn no convirja para a. Logo, existe > 0, tal que para todo n0 N existe n > n0 tal que xn (a , a + ). Ento existe uma subsequncia de (xn ) cujos termos no esto no / intervalo (a , a + ). Pelo Teorema 1.1.33, esta subsequncia possui valores de aderncia que so valores de aderncia de (xn ) e esto fora do intervalo (a , a + ), uma contradio.

Prova: Se (xn ) convergir para a, ento vimos que a o nico valor de aderncia. Portanto,

1.1.4 Sequncias de CauchyProvamos anteriormente que toda sequncia montona limitada convergente. Isto nos permite concluir que uma sequncia possui limite mesmo sem conhecermos o valor deste limite. Veremos agora o critrio de Cauchy, que nos d uma condio necessria e suciente para a convergncia de nmeros reais.

Denio 1.1.35: Uma sequncia (xn ) de nmeros reais uma sequncia de Cauchy quandodado qualquer

> 0, existe um n0 I tal que n > n0 e m > n0 implica |xm xn | < . N

A m de que (xn ) seja uma sequncia de Cauchy, exige-se que seus termos xm , xn , para valores sucientemente grandes de ndices n e m, se aproximem e permaneam arbitrariamente prximos uns dos outros. Compare com a denio de limite, onde se exige que os termos xn se aproximem e permaneam arbitrariamente prximos de um nmero real a dado a priori. Aqui se impe uma condio apenas sobre os termos da prpria sequncia.



10

Teorema 1.1.36: Toda sequncia convergente de Cauchy.m > n0 |xm a| < /2. Logo, m, n > n0 |xm xn | |xm a|+|xn a| < /2+ /2 = , ou seja (xn ) uma sequncia de Cauchy.Intuitivamente: se limn xn = a ento, para valores grades de n, os termos xn se aproximam de a, e portanto necessariamente aproximam-se uns dos outros.

Prova: Seja limn xn = a. Ento, dado > 0 existe n0 tal que n > n0 |xn a| < /2 e

Teorema 1.1.37: Toda sequncia de Cauchy de nmeros reais convergente. Prova: Iremos provar este teorema utilizando dois Lemas. Lema 1.1.38: Toda sequncia de Cauchy limitada.= 1, obtemos n0 I tal que N m, n > n0 |xm xn | < 1. Em particular para m = n0 + 1, n > n0 |xn0 +1 xn | < 1, ou seja, n > n0 xn (xn0 +1 1, xn0 +1 + 1). Sejam o menor e o maior elemento do conjunto X = {x1 , x2 , . . . , xn0 , xn0 +1 1, xn0 +1 + 1}. Ento, xn [, ] para todo n I , N logo (xn ) limitada.

Prova: Seja (xn ) uma sequncia de Cauchy. Tomando

Lema 1.1.39: Se uma sequncia de Cauchy (xn ) possui um valor de aderncia a I , ento Rlimn xn = a.

Prova: Dado > 0, como (xn ) uma sequncia de Cauchy, existe n0 I tal que m, n > Nn0 |xm xn | < 2 . Como a valor de aderncia de (xn ), existe tambm n1 > n0 tal que |xn1 a| < /2. Portanto, n > n0 |xn a| |xn xn1 | + |xn1 a| < . Isto mostra que limn xn = a.Ento, seja (xn ) uma sequncia de Cauchy. Pelo Lema 1.1.38, ela limitada. Logo, pelo Teorema 1.1.33, possui um valor de aderncia e segue do Lema 1.1.39 que (xn ) converge.

1.2 Sries de Nmeros ReaisNesta seo, estenderemos a operao de adio de modo a atribuir signicado a uma igualdade do tipo 1 + 1 + . . . + 21 + . . . = 1, na qual o primeiro termo uma soma com uma n 2 4 innidade de parcelas. claro que no tem sentido somar uma sequncia innita de nmeros 1 reais. O que o primeiro membro da igualdade acima exprime o limite limn ( 1 + 4 + . . . + 21 ). n 2 A armao contida naquela igualdade signica que para todo > 0 existe n0 tal que, para todo n > n0 , a soma 1 + 1 + . . . + 21 difere de 1 por menos de . n 2 4 nova sequncia (sn ) cujos elementos so as somas

Denio 1.2.1: Seja (an ) uma sequncia de nmeros reais. A partir dela, formamos umas1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + . . . + an ,

que so chamados de soma parcial ou reduzida da srie n-simo termo ou o termo geral da srie.

an . A parcela an chamada oAutor: Leandro Chaves Rgo

CAPTULO 1. REVISO DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS E SRIES NUMRICAS Se existir o limite

11

s = lim sn = lim (a1 + . . . + an ),n

diremos que a srie remos ento

an convergente e o limite s ser chamado a soma da srie. Escreve

s=

an =n=1

an = a1 + a2 + . . . + an + . . . . an divergente.

Se a sequncia de somas parciais no convergir, diremos que a srie

sequncia das reduzidas de uma srie. Basta tomar a1 = x1 e an+1 = xn+1 xn para todo n I . Ento, a1 + . . . + an = x1 + (x2 x1 ) + . . . + (xn xn1 ) = xn . A srie N an assim obtida converge se, e somente se, a sequncia (xn ) convergente. No caso armativo, a soma desta srie igual a limn xn . Assim falando, pode-se dar a impresso de que a teoria das sries coincide com a teoria dos limites de sequncias. Isto no verdade, pelo seguinte motivo. Ao estudar a srie cujas reduzidas so sn , estaremos deduzindo suas propriedades a partir das diferenas an = sn sn1 . Em vez de tomar como ponto de partida o comportamento dos nmeros sn , concentraremos ateno sobre os termos an . A primeira condio necessria para convergncia de uma srie que seu termo geral tenda para zero.

Observao 1.2.2: Toda sequncia (xn ) de nmeros reais pode ser considerada como a

Teorema 1.2.3: Se

an uma srie convergente, ento limn an = 0.

Prova: Seja sn = a1 + . . . + an . Ento, existe s = limn sn . Evidentemente, tem-se tambms = limn sn1 . Logo, 0 = s s = limn sn limn sn1 = limn (sn sn1 ) = limn an .pela srie harmnica efeito, temos1 . n

Exemplo 1.2.4: A recproca do Teorema 1.2.3 falsa. O contra-exemplo clssico dadoSeu termo geral,1 , n

tende para zero mas a srie diverge. Com

1 1 1 1 1 + ( + ) + . . . + ( n1 + n) 2 3 4 2 +1 2 n1 2 1 1 2 > 1 + + + ... + n = 1 + n . 2 4 2 2 Segue-se que limn s2n = + e, por conseguinte, como sn monotonicamente crescente, 1 1 1 diverge, pois nr > n temos limn sn = +. Resulta da que, para 0 < r < 1, a srie nr para todo n > 1. s2n = 1 +

Exemplo 1.2.5: A srie geomtrica

an divergente quando |a| 1, pois neste caso seu termo geral no tende a zero. Quando |a| < 1, a srie geomtrica converge, pois sn asn = (1 + a + . . . + an ) (a + a2 + . . . + an+1 ) = 1 an+1 1 an+1 sn (1 a) = 1 an+1 sn = . 1aEnto, n=0

n=0

an = limn sn =

1 . 1a



12

Exemplo 1.2.6: A srie

= 1 1 + 1 1 + . . . divergente pois seu termo geral no tende a zero. Suas somas parciais de ordem mpar so iguais a 1 e as de ordem par so iguais a zero.Uma srie an pode divergir por dois motivos. Ou porque as reduzidas sn = a1 +. . .+an no so limitadas ou porque elas oscilam em torno de alguns valores de aderncia. Quando os termos da srie tm todos o mesmo sinal, esta ltima possibilidade no ocorre, pois, neste caso, as reduzidas formam uma sequncia montona. A seguir ns estudaremos alguns critrios de convergncia de sries.

n+1 n=1 (1)

N Teorema 1.2.7: Seja an > 0 para todo n I . A srie

an converge se, e somente se, as somas parciais sn = a1 + . . . + an formam uma sequncia limitada.

converge se, e somente se, limitada.

Prova: Sendo an > 0, temos s1 s2 s3 . . .; logo a sequncia (sn ) sendo montona

Dada uma srie de termos no negativos a1 , a2 , . . ., suponha que os termos sejam reindexados numa outra ordem qualquer, a1 , a2 , . . ., de forma que a1 pode ser a15 , a2 pode ser a1 , etc. Ento, como os termos so todos no negativos, a nova soma parcial sn = a1 + . . . + an dominada por alguma soma parcial sm com m > n. Se a srie original converge para s, teremos sn sm s, logo sn limitada e portanto convergente. Seu limite s seu supremo, de sorte que s s. Mas a srie original pode tambm ser interpretada como obtida de an por reindexao de seus termos an , logo temos tambm s s . Conclumos que uma srie de termos no negativos que converge tem a mesma soma, independente da ordem de seus termos. fcil ver tambm que se a srie de termos no negativos diverge, ela ser sempre divergente, no importa a ordem de seus termos. O prximo teorema estabelece mais uma caracterizao de sries convergentes e divergentes.

Teorema 1.2.8: Seja(a) se (b) se n=1 n=1

n=1

an uma srie de termos no-negativos. Ento, n=k+1 n=k

an < , ento limk an = , ento k ,

an = 0;

an = .

an uma sequncia montona no-decrescente e limitada, ento ela convergente. Logo, pelo critrio de Cauchy para sequncias temos que > 0, m tal que k, p > m |sp sk | < . Assumindo sem perda de generalidade que p > k , temos que > 0, m tal que k, p > m | p n=k+1 an | < . Fazendo p , temos que > 0, m tal que k > m | n=k+1 an | , ou seja, n=k+1 an 0. Para parte (b), suponha por contradio que n=1 an = e que exista k tal que k1 n=k ak < , uma contradio. n=1 an = L + n=1 an , ento n=k ak < . Seja L =

Prova: Para parte (a), como sk =

k n=1

1.2.1 Critrios de ConvergnciaUm dos problemas centrais no estudo das sries consiste em saber se uma dada srie converge ou no. H vrios critrios para se testar a convergncia de uma srie, ns vamos destacar dois dos mais importantes: o teste da comparao e o teste da razo.



13

Teste de Comparao Teorema 1.2.9: Sejam(i) (ii)

an e bn duas sries de termos no negativos. Suponhamos ainda que a primeira seja dominada pela segunda, an bn para todo n I . Ento, N bn converge an diverge an converge; bn diverge.

Prova: As somas parciais das sries dadas sn = a1 + . . . + an e tn = b1 + . . . + bn sosequncias no decrescentes, satisfazendo desigualdade sn tn , pois 0 an bn . No caso (i), tn converge para um certo limite t, ento sn t para todo n, ou seja, sn uma sequncia montona limitada e, portanto, convergente. Para provar (ii), raciocinamos por absurdo: se bn convergisse, ento, pela parte (i), an tambm teria de convergir, contrariando a hiptese.1 n!

com a srie geomtrica de razo 1/2. Observemos que

Exemplo 1.2.10: Um modo de provar a convergncia da srie1 1 1 1 = < = n1 , n! 2 3...n 2 2...2 2donde se v que a srie dada dominada pela srie conclumos que a srie original tambm convergente.1 . 2n1

consiste em compar-la

Como esta convergente,

Exemplo 1.2.11: Vamos provar que a srie

convergente quando r > 1. Para isso, majoramos as somas parciais da srie, diminuindo os denominadores de seus termos, de acordo com o seguinte esquema:

1 nr

1 1 1 1 1 1 + r) + ( r + r + r + r) + ... r 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 + ( r + r) + ( r + r + r + r) + ... 2 2 4 4 4 4 2 4 1 1 = 1 + r + r + . . . = 1 + r1 + r1 2 4 2 4 1 1 2 = 1 + ( r1 ) + ( r1 ) + . . . 2 2 1+(Isto nos mostra que convergente.1 nr

dominada pela srie geomtrica de razo q = 1 1 k=1 k sen k

1 2r1

< 1, que

Exemplo 1.2.12: A srie

senx < x, temos que para todo k 1:

convergente, pois como para todo x (0, /2),

0Como gente. 1 k=1 k2

1 1 1 1 sen . k k k k 1 1 k=1 k sen k

convergente, segue do critrio da comparao que

conver-



14

Exemplo 1.2.13: A srie Soluo:Para todo k 1, 1 +2 k 1 k2

k k=0 k2 +2k+1

convergente ou divergente? Justique.1 k2

k2 +

k 1 1 = 2 + 2k + 1 k 1+ k +

.

4 e, portanto, para todo k 1, k 1 . k 2 + 2k + 1 4k

Como

1 k=1 4k

= , resulta que

k k=0 k2 +2k+1

= e, portanto, a srie divergente.

Teste da Razo Teorema 1.2.14: Seja an uma srie de termos positivos tal que an+1 /an converge para um certo limite r. Ento, a srie converge se r < 1 e diverge se r > 1. Prova: Supondo r < 1, seja> 0 tal que c = r + < 1. Como an+1 /an r, existe um ndice N sucientemente grande tal que, para n N , r < an+1 /an < r + = c.Fazendo n sucessivamente igual a N , N + 1, N + 2, . . . , essa desigualdade nos d

aN +1 < aN c, aN +2 < aN +1 c < aN c2 ,em geral, aN +n < aN cn , de modo que a srie +1 an dominada pela srie geomtrica n=N aN cn . Como c < 1, esta srie converge, logo o mesmo ocorre com a srie original, pelo n=1 teste de comparao. Ao contrrio, se r > 1, ento, dado = r 1, a partir de certo ndice n = N teremos

r < an+1 /an < r + .Como r = 1, a primeira desigualdade acima nos d an+1 > an a partir de n = N . Portanto, aN < aN +1 < aN +2 < . . . e a srie original diverge para .

Exemplo 1.2.15: A srie 2 convergente ou divergente? Justique. k=0 k! k Soluo: Como ak = 2 , temos k!k

ak+1 = ak

2k+1 (k+1)! 2k k!

=

2 . k+1 2k k=0 k!

Segue que limk ak+1 /ak = 0, ento, pelo critrio da razo, a srie

convergente.



15

1.2.2 Convergncia AbsolutaDenio 1.2.16: Diz-se que uma srieconvergente, se a srie

an converge absolutamente, ou absolutamente |an | convergente.

da srie independe da ordem em que se consideram os termos.

Teorema 1.2.17: Toda srie absolutamente convergente convergente. Alm disso, a soma Prova: Sejam pn a soma dos termos ar positivos e qn a soma dos valores absolutos dos

termos ar negativos, onde, em ambos os casos, r n. Ento, as somas parciais das sries |an | e an so dadas por

Tn = |a1 | + |a2 | + . . . + |an | = pn + qne

Sn = a1 + a2 + . . . + an = pn qn ,respectivamente. As sequncias (Tn ), (pn ) e (qn ) so no decrescentes, a primeira delas converge, por hiptese, digamos, para T . Ao mesmo tempo, pn Tn T e qn Tn T , logo pn e qn tambm convergem, digamos para p e q , respectivamente. Conclumos que (Sn ) tambm converge: Sn = pn qn p q . Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta notar que pn e qn so somas parciais de sries de termos no negativos, cujas somas independem da ordem em que se considerem seus termos.

Exemplo 1.2.18 : A srie 1 +absolutamente convergente.

1 4

1 9

+ ... =

(1)n n=1 n2

convergente, j que ela

Teste da Razo Para Sries de Termos Quaisquer Teorema 1.2.19: Seja a srie Prova: Se r < 1, a srie k=0

ak , com ak = 0 para todo natural k . Suponhamos que limk | ak+1 | = r. Ento, a srie converge se r < 1 e diverge se r > 1. ak |ak | ser convergente pelo teste da razo; logo k=0

k=0

ak ser, tambm, convergente. |ak+1 | Se r > 1, existir um natural p tal que k p |ak | > 1. Ento, para todo k > p, |ak | > |ap |. Como ap = 0, limk |ak | no poder ser zero e o mesmo acontecer, ento, com limk ak . Pelo critrio do termo geral, a srie ak ser divergente. k=0

Exemplo 1.2.20: Determine x para que a srie nxn seja convergente. n=1 Soluo: Para x = 0 a soma da srie zero; logo convergente. Suponhamos ento quex = 0 e apliquemos o critrio da razo. lim |n

n+1 (n + 1)xn+1 | = |x| lim = |x|. n n nx n

Segue do critrio da razo, que a srie convergente para |x| < 1 e divergente para |x| > 1. Para |x| = 1, a srie divergente pelo critrio do termo geral.


CAPTULO 1. REVISO DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS E SRIES NUMRICASn

16

Exemplo 1.2.21: Determine x para que a srie x seja convergente. n=1 n! Soluo: Para x = 0 a soma da srie zero; logo convergente. Suponhamos ento quex = 0 e apliquemos o critrio da razo. lim |n

n!xn+1 1 | = |x| lim = 0. n n+1 (n + 1)!xn

Segue do critrio da razo, que a srie convergente para todo x real.

Exemplo 1.2.22: Determine x para que a srie n!x seja convergente. n=1 nn Soluo: Para x = 0 a soma da srie zero; logo convergente. Suponhamos ento quen

x = 0 e apliquemos o critrio da razo. lim |n

(n + 1)!nn xn+1 (n + 1)nn n n |x| | = |x| lim = |x| lim( ) = . n+1 xn n+1 n (n + 1) n n+1 n!(n + 1) e

Segue do critrio da razo, que a srie convergente para todo |x| < e e divergente para |x| > e. Se |x| = e, utilizando a aproximao de Stirling, segundo a qual limn ( n )nn! 2n = 1, e temos que

limn |an | = lim

n!en n nn n!en ( n )n 2n e = lim n n n n ( e )n 2n = lim ( n )n e = 1 lim 2n = .n n

n!

en ( n )n 2n e lim nn 2n n

Portanto, o termo geral da srie diverge, logo a srie diverge.

1.2.3 Ordens de MagnitudeQuando duas funes f e g so tais que o quociente f (x) tende a zero com x tendendo a um g(x) certo x0 , dizemos que f de ordem pequena em relao a g , para x x0 e escrevemos

f (x) = o(g(x)), x x0 .1 1 Por exemplo, sen2 x = o(x) e cos( x ) = o( x ) para x 0, pois ambos quocientes, sen x e x cos(1/x) tendem a zero com x 0. 1/x Quando apenas sabemos que o quociente permanece limitado numa vizinhana de x0 , isto , quando existem nmeros positivos e M tal que se |x x0 | < , ento |f (x)| M , |g(x)| dizemos que f de ordem grande em relao a g , para x x0 e escrevemos2

f (x) = O(g(x)), x x0 .Autor: Leandro Chaves Rgo


17

Por exemplo, ex 1 x = O(x2 ) e senx x = O(x3 ) para x 0, pois usando L'Hopital, x temos que os quocientes e 1x e senxx tendem a 1/2 e 1/6, respectivamente, quando x x2 x3 tende a zero. Note que f (x) = o(g(x)) f (x) = O(g(x)), x x0 , mas a recproca no verdadeira. No caso de sequncias de nmeros reais, tambm podemos analisar o comportamento comparativo de duas sequncias {an }n1 e {bn }n1 , quando n tende ao innito. Dizemos n que an = o(bn ) se lim an = 0 e dizemos que an = O(bn ) se existir um nmero inteiro positivo bn n0 tal que a subsequncia de |an || que contm todos os termos a partir de n0 seja limitada. |b Em particular, temos que se (bn ) for uma sequncia constante bn = c, para todo n, ento an = o(c) se an 0 e an = O(c) se (an ) for uma sequncia limitada.

Exemplo 1.2.23:1. nk = o(en ), para todo k . 2. log n = o(nk ), para todo k > 0. 3. 10n2 + n = O(n2 ).

1.3 Srie de TaylorAs funes polinomiais so as mais simples quando se quer calcular seus valores, deriv-las ou integr-las. A possibilidade de aproximar funes por polinmios de suma importncia, pois permite obter propriedades das funes em termos de propriedades anlogas dos polinmios que as aproximam. Vamos considerar o problema de aproximar a funo f , numa vizinhana de x = 0, por um polinmio de grau n:

pn (x) = a0 + a1 x + . . . + ar xr + . . . + an xn .Suponha que f seja derivvel em x = 0 at ordem n. Observamos que:

pn (x) = a1 + 2a2 x + . . . + rar xr1 + . . . + nan xn1 pn (x) = 2a2 + 6a3 x + . . . + r(r 1)ar xr2 + . . . + n(n 1)an xn2Em geral,

p(r) (x) = r!ar + . . . + n(n 1) . . . (n r + 1)an xnr . n(r)

Portanto, fazendo x = 0 nessa expresso, obtemos pn (0) = r!ar , r = 0, 1, 2, . . . , n. Como queremos aproximar f por pn em x = 0, queremos que todas as derivadas at ordem n dessas funes em x = 0 coincidam, ou seja, que elas se toquem (f (0) = pn (0)) no ponto x = 0, tenham a mesma inclinao (f (0) = pn (0)) neste ponto, e assim por diante. Ento, segue-se que (r) f (r) (0) pn (0) = . ar = r! r!


CAPTULO 1. REVISO DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS E SRIES NUMRICAS Ento, temos quen

18

pn (x) =r=0

f (r) (0) r x, r!

onde f (0) (x) = f (x). Este chamado de polinmio de Taylor de ordem n da funo f em torno de x = 0. Sua importncia reside no teorema que enunciamos e provamos a seguir.

Teorema 1.3.1: Seja f uma funo derivvel at a ordem n + 1, numa vizinhana V dex = 0. Ento, o polinmio pn aproxima f em V com erro ou resto dado por Rn (x) = f (x) pn (x) =onde cn um nmero compreendido entre 0 e x.

f (n+1) (cn )xn+1 , (n + 1)!

Prova: Comearemos enunciando e provando o seguinte Lema, conhecido como Teorema doValor Mdio Generalizado.

Lema 1.3.2: Se F e G so funes derivveis num intervalo (a, b), contnuas em [a, b], comG(a) = G(b) e G (x) = 0 para x (a, b), ento existe c (a, b) tal que F (b) F (a) F (c) = G(b) G(a) G (c)

Prova: Considere a funoH(x) = (F (b) F (a))(G(x) G(a)) (G(b) G(a))(F (x) F (a)).Ento, H contnua em [a, b], derivvel em (a, b), e H(a) = H(b) = 0. Logo pelo Teorema do Valor Mdio existe c (a, b) tal que H(b) H(a) = 0 = H (c)(b a), ou seja, H (c) = 0. Portanto, existe c tal que

(F (b) F (a)G (c) (G(b) G(a))F (c) = 0.Como G(b) = G(a), o resultado est provado. Usaremos repetidamente o Teorema do Valor Mdio Generalizado para provar o teorema. Seja F (x) = f (x) pn (x), G(x) = xn+1 , a = 0, e b = x. Ento aplicando o Lema notando que f (0) = pn (0), obtemos

f (x) pn (x) f (c) pn (c) Rn (x) = = , n+1 n+1 x x (n + 1)cnonde c est entre 0 e x. Aplicando novamente o Lema com F (x) = f (x) pn (x), G(x) = (n + 1)xn , b = c e a = 0, temos (note que f (0) pn (0) = 0)

Rn (x) f (c) pn (c) f (c1 ) pn (c1 ) = = n1 , n+1 n x (n + 1)c (n + 1)nc1Autor: Leandro Chaves Rgo

CAPTULO 1. REVISO DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS E SRIES NUMRICAS(r)

19

onde c1 est entre 0 e c. Continuando desta maneira, levando sempre em conta que fn (0) = (r) (n+1) pn (0), para 0 r n e o fato que pn (y) = 0 para todo y real, obtemos

Rn (x) f (n+1) (cn ) = , xn+1 (n + 1)!onde cn est entre 0 e x. A frmulan

f (x) =r=0

f (r) (0) r x + Rn (x) r!

chamada de srie, expanso ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da funo f em torno de x = 0. Podemos generalizar este resultado e obter a srie de Taylor de uma funo em torno de um outro ponto qualquer x = a, onde a no necessariamente igual a zero. Este problema se reduz facilmente ao problema tratado anteriormente, introduzindo-se a varivel h = x a e a funo g(h) = f (a + h) = f (x). Dessa maneira a varivel x se aproxima de a se, e somente se, h se aproxima de 0. Suponha que f seja derivvel at ordem n + 1 numa vizinhana de x = a, digamos |x a| < . Ento, g ter n + 1 derivadas em |h| < . Alm disso, g (r) (h) = f (r) (a + h) = f (r) (x), 0 r n + 1. Portanto, a srie de Taylor de g de ordem n em torno de h = 0 : n g (r) (0) r g (n+1) (c) n+1 g(h) = h + h , r! (n + 1)! r=0 e pode ser reescrita comon

f (x) =r=0

f (r) (a) f (n+1) (c ) (x a)r + (x a)n+1 , r! (n + 1)!

onde c = a + c um nmero entre a e x, do mesmo modo que c um nmero entre 0 e h. Esta frmula chamada de srie, expanso, ou desenvolvimento de Taylor de ordem n da (r) funo f em torno do ponto x = a, e n f r!(a) (x a)r chamado de polinmio de Taylor r=0 de ordem n de f em torno de x = a. Se a funo f (n+1) for limitada por uma constante K numa vizinhana de x = a, isto , |f n+1 (x)| K , para |x a| , ento Rn (x) = O((x a)n+1 ) ou Rn (x) = o((x a)n ) com x a. Desse modo se uma funo f possui derivada de ordem n numa vizinhana de x = a para todo natural n, temos que sua srie de Taylor dada por:

r=0

f (r) (a) (x a)r . r!

x > 1, em torno de x = 0.

Exemplo 1.3.3: Vamos obter a srie de Taylor de ordem n da funo f (x) = ln(1 + x),



20

(1 + x)1 , f (x) = 1(1 + x)2 , e que em geral temos: f (r) (x) = (1)r1 (r 1)!(1 + x) . Portanto, f (r) (0) = (1)r1 (r 1)!, e a srie de Taylor de ordem n de f em torno de x = 0 :n

Soluo: Note que f (0) = ln(1) = 0, f (x) =

1 = 1+x r

f (x) =r=1

(1)r1 r (1)n (1 + c)(n+1) n+1 (x) + (x) , r (n + 1)

onde c est entre 0 e x. torno do ponto a = 2. Soluo: Note que f (2) = 1/2, f (x) = x2 , f (x) = 2x3 , e que em geral temos: (r) r f (r) (x) = (1)r r!xr1 . Portanto, f r!(2) = (1) , e a srie de Taylor de ordem n de f em 2r+1 torno de x = 2 : n (1)r (1)n+1 f (x) = (x 2)r + (x 2)n+1 , r+1 n+2 2 c r=0 onde c um nmero entre 2 e x.1 Exemplo 1.3.4: Vamos obter a srie de Taylor de ordem n da funo f (x) = x , x > 0, em

Exemplo 1.3.5: Frmula de Euler. Neste exemplo usaremos sries de Taylor para demonstrar a frmula de Euler: eix = cos(x) + i sen(x), onde i = inteiro r, temos

1. Note que para qualquer

dr eix = ir eix ; r dx r+1 dr cos(x) (1) 2 sen(x) se r for mpar, = r se r for par; (1) 2 cos(x) dxr dr sen(x) = dxr (1) 2 cos(x) se r for mpar, r (1) 2 sen(x) se r for par.r1

Ento, temos as seguintes expanses de Taylor em torno de x = 0:

e =r=0

ix

ir r x = r!

r=0

(1)r 2r (1)r 2r+1 x +i x ; 2r! (2r + 1)! r=0

cos(x) =r=0

(1)r 2r x ; 2r! (1)r 2r+1 x . (2r + 1)!

sen(x) =r=0

Logo, podemos concluir que eix = cos(x) + i sen(x).


Captulo 2 Convergncia Estocstica2.1 Seqncia de EventosA denio de conceitos de convergncia de variveis aleatrias depende de manipulaes de seqncias de eventos. Seja An , dene-se:kn

inf Ak = Ak , sup Ak = Ak k=n k=nn

lim inf An =n

n=1

kn k=n

Ak

lim sup An = Ak . n=1 k=nO limite de uma seqncia de eventos denido da seguinte maneira: se para alguma seqncia (Bn ) de eventos lim inf n Bn = lim supn Bn = B , ento B chamado de limite de (Bn ) e ns escrevemos limn Bn = B ou Bn B .n n Exemplo 2.1.1: lim inf[0, n+1 ) = lim sup[0, n+1 ) = [0, 1)

Teorema 2.1.2: Seja (An ) uma seqncia de eventos de .(a) lim sup An se, e somente se, Ak para um nmero innito de ndices k . (b) lim inf An se, e somente se, Ak para um nmero nito de ndices k . /ou seja, se, e somente se, para todo n existe n n tal que An . Como isto vlido para todo n, temos que isto equivalente a existncia de um nmero innito de ndices k tais que Ak . A prova da parte (b) similar. A seguir descreveremos algumas propriedades do lim inf e lim sup de uma seqncia de eventos. 1. lim inf An lim sup An Este fato uma simples conseqncia do Teorema 2.1.2, pois se lim inf An , no pertence apenas a um nmero nito de eventos Ak 's, e conseqentemente pertence a um nmero innito deles. Logo, lim sup An . 21

Prova: Para parte (a), note que lim sup An , se, e somente se, para todo n, Ak , k=n

CAPTULO 2. CONVERGNCIA ESTOCSTICA 2. (lim inf An )c = lim sup Ac n Este fato decorre aplicando a Lei de De Morgan duas vezes:

22

( Ak )c = ( Ak )c = ( Ac ). n=1 k=n n=1 k=n n=1 k=n k

Seqncias MonotnicasUma seqncia de eventos (An ) monotnica no-decrescente (resp., no-crescente) se A1 A2 . . . (resp, A1 A2 . . .). Denotaremos por An (resp., An ) uma seqncia no-decrescente (resp. no-crescente) de eventos.

Teorema 2.1.3: Suponha que (An ) uma seqncia monotnica de eventos. Ento,1. Se An , ento limn An = An . n=1 2. Se An , ento limn An = An . n=1 Conseqentemente, como para qualquer seqncia Bn , temos inf kn Bk e supkn Bk , segue que: lim inf Bn = lim(inf Bk ), lim sup Bn = lim(sup Bk )n kn n kn

Aj Aj+1 , temos kn Ak = An , e portanto,

Prova: Para provar (1), precisamos mostrar que lim inf An = lim sup An = An . Como n=1lim inf An = (kn Ak ) = An . n=1 n=1Por outro lado, temos,

lim sup An = (kn Ak ) Ak n=1 k=1 = lim inf An lim sup An .Logo, temos igualdade acima, ou seja, lim sup An = Ak . k=1 A prova de (2) similar.

Exemplo 2.1.4:1 1 1. limn [0, 1 n ] = [0, 1 n ] = [0, 1). n=1 1 1 2. limn [0, 1 + n ) = [0, 1 + n ) = [0, 1]. n=1 n n n n 3. limn ( n+1 , n1 ) = ( n+1 , n1 ) = {1}. n=1

Exemplo 2.1.5: Sejam An , A, Bn , B eventos em . Mostre que:1. se limn An = A, ento limn Ac = Ac . n

Soluo: lim inf Ac = (lim sup An )c = Ac e lim sup Ac = (lim inf An )c = Ac . n nAutor: Leandro Chaves Rgo

CAPTULO 2. CONVERGNCIA ESTOCSTICA 2. lim sup(An Bn ) = lim sup An lim sup Bn .

23

temos que Ak para innitos ndices k , ou Bk para innitos ndices k . Portanto, temos lim sup An ou lim sup Bn , ou seja, lim sup An lim sup Bn . Reciprocamente, se lim sup An lim sup Bn , ento lim sup An ou lim sup Bn . Logo, temos que Ak para innitos ndices k , ou Bk para innitos ndices k , ou seja, (Ak Bk ) para innitos ndices k . Portanto, lim sup(An Bn ). 3. No verdade que lim inf(An Bn ) = lim inf An lim inf Bn . e Bn = B = para n par; e An = B e Bn = A para n mpar. Como An Bn = A B para todo n, fcil ver que lim inf(An Bn ) = A B . Tambm fcil ver que lim inf An = lim inf Bn = A B = , pois somente os s em A B no ocorrem para um nmero nito de ndices n tanto na seqncia An quanto na seqncia Bn . Ento, A B = lim inf(An Bn ) = = lim inf An lim inf Bn . 4. se An A e Bn B , ento An Bn A B e An Bn A B .

Soluo: Se lim sup(An Bn ), ento (Ak Bk ) para innitos ndices k . Logo,

Soluo: Vamos construir um contra-exemplo: Suponha que A B = , An = A =

Soluo: Pela parte (2), temos quelim sup An Bn = lim sup An lim sup Bn = A B,e pela propriedade (1) de lim inf e lim sup, temos

lim inf An Bn lim sup An Bn = A B.Resta-nos provar que A B lim inf An Bn . Suponha que A B , ento lim inf An ou lim inf Bn , ou seja, no pertence a um nmero nito de Ak 's, ou no pertence a um nmero nito de Bk 's. Logo, no pertence a um nmero nito de Ak Bk 's. Portanto, lim inf An Bn . Ento, An Bn A B . Utilizando os tens anteriores e a Lei de De Morgan, temos:c A B = (Ac B c )c = (lim Ac lim Bn )c = n c c = (lim Ac Bn )c = lim(Ac Bn )c = lim An Bn . n n

2.1.1 Borel-CanteliA seguir vamos enunciar e provar um importante Lema, conhecido como Lema de BorelCantelli, que trata da probabilidade da ocorrncia de um nmero innito de eventos.

Lema 2.1.6: Sejam A1 , A2 , . . . eventos aleatrios em (, A, P ), ou seja, An A, n.(a) Se (b) Se n=1 n=1

P (An ) < , ento P (An innitas vezes ) = 0. P (An ) = e os eventos An 's so independentes, ento P (An innitas vezes ) = 1.Autor: Leandro Chaves Rgo

CAPTULO 2. CONVERGNCIA ESTOCSTICA

24

seja An = A, n, onde 0 < P (A) < 1. Ento, vezes] = A e P (An innitas vezes) = P (A) < 1. Prova: Para parte (a), se P (An ) < , ento

Obervao: O tem (b) no vale necessariamente sem independncia. Por exemplo, k=j

P (An ) = mas o evento [An innitas P (Ak ) 0 quando j . Mas

[An innitas vezes] Ak , j, k=jlogo

P (An innitas vezes) Portanto, P (An innitas vezes) = 0. Para parte (b), basta provar que

P ( Ak ) k=j

k=j

P (Ak ) 0.

P ( Ak ) = 1, n k=n(pois sendo [An innitas vezes] = Ak a interseco de um nmero enumervel de n=1 k=n eventos de probabilidade 1, tambm de probabilidade 1). Para tanto, seja Bn = Ak . k=n Ento Bn contm n+m Ak para todo m, e k=nc Bn (n+m Ak )c = n+m Ac . k k=n k=n

Logo para todo m,n+m n+m

1 P (Bn ) =

c P (Bn )

P (n+m Ac ) k k=n

=k=n

P (Ac ) k

=k=n

(1 P (Ak )).

Como 1 p ep para 0 p 1, temosn+m n+m

1 P (Bn ) k=n

e

P (Ak )

= exp(k=n

P (Ak )) 0

quando m , pois

n+m k=n

P (Ak ) quando m . Logo P (Bn ) = 1, n.

Exemplo 2.1.7: Se sabemos que para uma dada coleo de eventos {Ak }, as suas probabi-

lidades individuais satisfazem P (Ak ) k12 , ento podemos concluir que intos desses vezes ocorrem com probabilidade zero ou, que apenas um nmero nito deles ocorrem com probabilidade 1. Podemos reesecrever isso da seguinte forma: existe um instante aleatrio N tal que, com probabilidade 1, nenhum dos Ak ocorrem para k > N . importante ressaltar que ns podemos chegar a essa concluso sem saber nada sobre as interaes entre esses eventos como as que so expressas por probabilidades de papres de eventos P (Ai Aj ). Contudo, se apenas sabemos que P (Ak ) > 1/k , ento no podemos concluir nada baseados no Lema de Borel-Cantelli. Se soubermos que os eventos so mutuamente independentes, ento sabendo que P (Ak ) > 1/k , podemos concluir que innitos Ak ocorrem com probabilidade 1.



25

Exemplo 2.1.8: Considere uma seqncia de variveis aleatrias X1 , X2 , X3 , . . .. Podemos

usar o Lema de Borel-Cantelli para determinar a probabilidade que Xk > bk innitas vezes para qualquer seqncia de nmeros reais {bk }. Note que P (Xk > bk ) = 1 FXk (bk ). Logo, se

P (Xk > bk ) =k=1 k=1

1 FXk (bk ) < ,

ento, no importa qual a distribuio conjunta das variveis aleatrias {Xk }, temos que o evento {Xk > bk } s ocorrer para um nmero nito de ndices k . Por outro lado, se

P (Xk > bk ) =k=1 k=1

1 FXk (bk ) = ,

ento precisaramos de informao adicional sobre a distribuio conjunta das variveis aleatrias {Xk } para determinar se os eventos {Xk > bk } ocorrem um nmero nito ou innito de vezes. de cara igual a p, onde 0 < p < 1. Se esta moeda for jogada um nmero innito de vezes de maneira independente, qual a probabilidade da seqncia (cara, cara, coroa, coroa) aparecer um nmero innito de vezes? Justique sua resposta. Soluo: Seja Xi o resultado do i-simo lanamento da moeda. Dena o evento Ai = {Xi = cara, Xi+1 = cara, Xi+2 = coroa, Xi+3 = coroa}, queremos calcular P (Ai innitas vezes). Note que para todo i, temos P (Ai ) = p2 (1 p)2 > 0. No podemos aplicar diretamente o lema de Borel Cantelli, pois os eventos Ai 's no so independentes, visto que, por exemplo, ambos A1 e A2 dependem de X2 , X3 , X4 . Considere a seguinte subseqncia da seqncia de eventos (Ai ) tal que Bi = A4i3 . Como os eventos Bi 's dependem de famlias disjuntas de variveis aleatrias independentes, eles so independentes. Alm disso temos que P (Bi ) = p2 (1 p)2 > 0. Logo, i P (Bi ) = . Portanto, Borel-Cantelli implica que P (Bi innitas vezes) = 1. Como (Bi ) uma subseqncia de (Ai ), temos que

Exemplo 2.1.9: Considere uma moeda no necessariamente honesta com probabilidade

[Bi intas vezes] [Ai innitas vezes].Portanto, P (Ai innitas vezes) = 1.

2.2 Covergncia de Variveis AleatriasSeguindo uma interpretao freqentista, probabilidade est relacionada com a freqncia relativa de eventos no longo prazo. A matemtica para estudar o longo prazo a dos limites. Mas quando se trata de funes, existem vrios tipos de limites (por exemplo, pontual, uniforme, em quase todo lugar). O mesmo ocorre quando consideramos limites de variveis aleatrias denidas em um mesmo espao de probabilidade (, A, P ), visto que variveis aleatrias so funes reais cujo domnio . Relembrando: Seja (, A) um espao mensurvel. Uma funo X : R chamada de varivel aleatria se para todo evento Boreliano B , X 1 (B) A. Ns recordamos que um evento Boreliano qualquer evento pertencente -lgebra de Borel, onde a -lgebra de Borel a menor -lgebra contendo intervalos da forma (, x] para todo x R.



26

2.2.1 Tipos de ConvergnciaVamos a seguir descrever vrios tipos de convergncia estocstica, ilustrando com exemplos cada tipo de convergncia, e depois provaremos algumas relaes entre os vrios tipos de convergncia. Sejam Y, Y1 , Y2 , . . . variveis aleatrias denidas em um mesmo espao de probabilidade (, A, P ).

Convergncia Quase Certa Denio 2.2.1: A seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . . converge quase certamente(ou com probabilidade 1) para a varivel aleatria Y sen

P ({w : lim Yn (w) = Y (w)}) = 1.Notao: Yn Y cp1. Ento se uma seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . . converge quase certamente para Y no signica que para todo w , Yn (w) Y (w), apenas o que se sabe que a probabilidade do evento D = {w : Yn (w) Y (w)} nula. D chamado de conjunto de exceo. Seja Xn (w) = Z n (w), ento Xn (w) 0 cp1; note que o conjunto de exceo D = {w : |Z(w)| 1} e que P (D) = 0.

Exemplo 2.2.2: Considere uma varivel aleatria Z tal que P ({w : 0 |Z(w)| < 1}) = 1.

Podemos obter uma denio alternativa para convergncia quase-certa, observando que, pela denio de limite de sequncias de nmeros reais, para um dado w xo, temos que limn Yn (w) = Y (w) se, e somente se, para todo k I , existir N tal que para todo n N , N 1 temos |Yn (w) Y (w)| < k . Portanto:

{w : lim Yn (w) = Y (w)} = {w : =1 |Yn (w) Y (w)| < k=1 N n=Nn

1 }. k

Ento, Yn Y cp1 se, e somente se,

P ({w : =1 |Yn (w) Y (w)| < k=1 N n=NIsto equivalente a:

1 }) = 1. k 1 }) = 0. k

P ({w : =1 |Yn (w) Y (w)| n=N k=1 N

1 Dena An,k = {w : |Yn (w) Y (w)| k }. Ento para cada k xo, temos que

lim sup An,k = =1 An,k . N n=Nn

Logo, Yn Y cp1 se, e somente se, para todo k I , NP (lim sup An,k ) = 0.n



27

distribuio de probabilidade dada por:

Exemplo 2.2.3: Seja {Xn }n3 uma seqncia de variveis aleatrias independentes comP (Xn = 0) = 1 Mostre que Xn 0 cp1. Soluo: Para qualquer

1 1 e P (Xn = n) = , n 3. log n log n

tal que 0 < < 1, temos que

P (|Xn | > ) = P (Xn = n) =

1 . log n

1 Logo, n P (|Xn | > ) = n log n = . Ento, o Lema de Borel-Cantelli implica que P (|Xn | > innitas vezes) = 1, portanto com probabilidade 1, Xn 0.

Considere {Xn : n 1} uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com funo de distribuio F. Suponha que F (x) < 1, para todo x < . Dena Yn = max(X1 , X2 , . . . , Xn ). Vamos vericar que Yn cp1. Inicialmente, observe que para cada , as variveis Yn formam uma seqncia nodecrescente de nmeros reais. Seja M um nmero real, temos

Exemplo 2.2.4 :

P (Yn M : n = 1, 2, . . .) P (Yn M : n = 1, 2, . . . , k) = P (Yk M ) = P (max(X1 , X2 , . . . , Xk ) M ) = P (X1 M, X2 M, . . . Xk M )k

=n=1

P (Xn M ) = F k (M ), k 1.

Fazendo k , temos que para todo M nito,

P (lim Yn M ) = P (Yn M : n = 1, 2, . . .) = 0;n

pois F k (M ) tende a zero, quando k . Dessa forma, o conjunto dos w , em que limn Yn (w) nito, tem probabilidade zero e, portanto, Yn cp1.

Convergncia na r-sima Mdia Denio 2.2.5: A seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . . converge na r-sima Mdia,onde r > 0, para a varivel aleatria Y sen

lim E|Yn Y |r = 0.

Notao: Yn r Y . Se r = 2 este tipo de convergncia freqentemente chamado de convergncia em mdia quadrtica.



28

Exemplo 2.2.6: Sejam Z, X1 , X2 , . . . variveis aleatrias tais queXn = n Z, n+1

ento Xn 2 Z se EZ 2 < , mas no em caso contrrio.

Exemplo 2.2.7: Considere a seqncia de variveis aleatrias denidas no Exemplo 2.2.3.Mostre que Xn r 0, para todo r > 0. Soluo: Temos que

E|Xn |r = nr P (Xn = n) =Logo, Xnr

nr . log n

0.

Pode-se provar que se Xn r X , ento Xn s X para s < r.

Convergncia em Probabilidade Denio 2.2.8: A seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . . converge em probabilidadepara a varivel aleatria Y se > 0n

lim P ({w : |Yn (w) Y (w)| > }) = 0.

Notao: Yn P Y . A intuio por trs desta denio que para n muito grande a probabilidade de que Yn e Y sejam bem prximas bastante alta.

para 1, P (|Xn | > ) P (Xn = n). Como P (Xn = n) = lim P (|Xn | > ) = 0. Portanto, Xn P 0.

Exemplo 2.2.9: Considere a seqncia de variveis aleatrias denidas no Exemplo 2.2.3. Mostre que Xn P 0. Soluo: Temos que para 0 < < 1, P (|Xn | > ) = P (Xn = n) e1 log n

0., temos que > 0,

Exemplo 2.2.10:

Considere X, X1 , X2 , . . . onde as varveis aleatrias tm distribuio normal conjunta, todas com mdia 0 e matriz de covarincia parcialmente descrita por

1 . n Seja Yn = Xn X , como Yn uma combinao linear de variveis aleatrias com distribuio normal, ela tambm possui distribuio normal. Precisamos determinar ento sua mdia e sua varincia. Mas EY = E(Xn X) = EXn EX = 0 e COV (X, X) = COV (Xn , Xn ) = 1, COV (X, Xn ) = 1 2 V arY = EY 2 = E(Xn X)2 = EXn 2EXn X + EX 2 = 1 2(1 2 Portanto, Yn N (0, n ). Ento,

2 1 )+1= . n nx2 1 e 2 dx. n 2 2

P (|Xn X| > ) = P (|Yn | > ) = 2P (Yn > ) = 2

n ny2 e 4 dy = 2 4

Logo, > 0, limn P (|Xn X| > ) = 0, ou seja, Xn P X .



29

Convergncia em DistribuioO ltimo tipo de convergncia estocstico que mencionamos no exatamente uma noo de convergncia das variveis aleatrias propriamente ditas, mas uma noo de convergncia de suas respectivas funes de distribuio acumuladas.

Denio 2.2.11: A seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . ., converge em distribuiopara a varivel aleatria Y se para todo ponto x de continuidade de FYn

lim FYn (x) = FY (x).

Notao: Yn D Y .

Exemplo 2.2.12: Seja {Xn : n 1} uma seqncia de variveis aleatrias independentes

com distribuio Uniforme em (0, b), b > 0. Dena Yn = max(X1 , X2 , . . . , Xn ) e Y = b. Vamos vericar que Yn D Y . Temos se y < 0, 0 y n n ( ) se 0 y < b, FYn (y) = P (max(X1 , X2 , . . . , Xn ) y) = FX1 (y) = b 1 se y b.

Fazendo n tender ao innito, temos que

lim FYn (y) =n

0 se y < b, 1 se y b,

que corresponde funo de distribuio de Y e, portanto, Yn D Y . Deve-se car atento que convergncia em distribuio no implica nada em relao aos outros tipos de convergncia. Uma seqncia convergindo em distribuio para uma varivel aleatria X tambm converge em distribuio para qualquer outra varivel aleatria Y tal que FY = FX . O prximo exemplo serve para ilustrar melhor este fato.

Exemplo 2.2.13:

Se uma seqncia de variveis aleatrias Y1 , Y2 , . . . independente e identicamente distribuda de acordo com F , ento para todo n tem-se que FYn = F , logo a seqncia converge em distribuio para qualquer varivel aleatria X tal que FX = F . Claro, como a seqncia independente, os valores de termos sucessivos so independentes e no exibem nenhum comportamento usual de convergncia. O requisito de continuidade, mencionado na denio acima, se justica para evitar 1 algumas anomalias. Por exemplo, para n 1 seja Xn = n e X = 0, para todo . Parece aceitvel que deveramos ter convergncia de Xn para X , qualquer que fosse o modo de convergncia. Observe que 1 0 se x < n , Fn (x) = 1 1 se x n , e

F (x) =

0 se x < 0, 1 se x 0.Autor: Leandro Chaves Rgo


30

Portanto, como limn Fn (0) = 0 = F (0) = 1, no temos limn Fn (x) = F (x) para todo x I . R Desse modo se houvesse a exigncia de convergncia em todos os pontos, no teramos convergncia em distribuio. Entretanto, note que para x = 0, temos limn Fn (x) = F (x) e, como o ponto 0 no de continuidade de F , conclumos que Xn D X . Um exemplo mais complexo de convergncia em distribuio pode ser visto na anlise do limite de n 1 Sn = (Xi EXi ), n i=1 onde Xi 's so variveis aleatrias independentes e identicamente distribudas. Neste, o Teorema Central do Limite arma que se V AR(Xi ) = 2 < , ento Sn converge em distribuio para qualquer varivel aleatria com distribuio N (0, 2 ). O prximo teorema estabelece duas condies sucientes para que uma seqncia de variveis aleatrias convirja em distribuio.

Teorema 2.2.14: Seja X, X1 , X2 , . . . uma seqncia de variveis aleatrias:(a) Se X, X1 , X2 , . . . so variveis aleatrias discretas com P (Xn = xi ) = pn (i) e P (X = xi ) = p(i), onde pn (i) p(i) quando n para todo i = 0, 1, 2, 3, . . ., ento Xn D X . (b) Se X, X1 , X2 , . . . so variveis aleatrias absolutamente contnuas com densidades dadas respectivamente por f, f1 , f2 , f3 , . . ., onde fn (x) f (x) quando n em quase todo lugar, ento Xn D X .

Prova: Fora do escopo deste curso.O prximo exemplo mostra que se uma seqncia de variveis aleatrias discretas converge em distribuio, no necessariamente sua funo probabilidade de massa converge.

Exemplo 2.2.15 :

Sejam X, X1 , X2 , . . . variveis aleatrias tais que P (X = 0) = 1 e P (Xn = 1/n) = 1. Ento, temos FX (x) = 1 se x 0, e FX (x) = 0 caso contrrio; e FXn (x) = 1 se x 1/n e FXn (x) = 0 caso contrrio. Logo, FXn (x) FX (x), x = 0, ou seja, Xn D X . Porm, p(0) = 1 = 0 = limn pn (0).

O prximo exemplo mostra que se uma seqncia de variveis aleatrias absolutamente contnuas converge em distribuio, no necessariamente sua funo densidade de probabilidade converge.

Exemplo 2.2.16 :

Considere uma seqncia de variveis aleatrias X, X1 , X2 , . . . com funo de distribuio acumuladas dadas respectivamente por F, F1 , F2 , F3 , . . ., onde 0 , se x 0 sen2nx ) , se 0 < x 1 x(1 2nx Fn (x) = 1 , se x > 1;


CAPTULO 2. CONVERGNCIA ESTOCSTICA e

31

, se x 0 0 x , se 0 < x 1 F (x) = 1 , se x > 1. Ento Fn e F so absolutamente contnuas com densidade dada por fn (x) =e

1 cos 2nx , se 0 x 1 0 , caso contrrio; 1 , se 0 < x 1 0 , caso contrrio. f (x).

f (x) =

fcil ver que Fn (x) F (x), x I . Contudo, fn (x) R

2.2.2 Relao Entre os Tipos de ConvergnciaA primeira relao que iremos provar que convergncia quase certa implica convergncia em probabilidade.

Teorema 2.2.17: Xn X cp1 Xn P X . Prova: Para provar que convergncia quase certa implica em convergncia em probabilidade,considere a seguinte famlia de eventos

An, = {w : |Xn (w) X(w)| }.Logo, pela interpretao de convergncia pontual,

C = {w : Xn (w) X(w)} = >0 =1 nN An, . NSe Xn X cp1, ento P (C) = 1. Equivalentemente, pela Lei de De Morgan,

D = C c = >0 D , onde D = =1 nN Ac , N n,e

P ( >0 D ) = 0.Portanto, convergncia quase certa implica que > 0, P (D ) = 0. Seja FN = nN Bn . Note que FN . Logo, limN FN = =1 nN Bn . Portanto, pelo axioma da continuidade N monotnica da probabilidade, tem-se que

P (=1 nN Bn ) = lim P (nN Bn ). NN

Ento,

0 = P (D ) = lim P (nN Ac ) n,N N

lim

P (Ac N,

) = lim P (|XN (w) X(w)| > ).N

Portanto, Xn X . O prximo teorema prova que convergncia na r-sima mdia implica convergncia em probabilidade.

P



32

Teorema 2.2.18: Xn r X Xn P X . Prova: Primeiro note que|Xn X|rr

I{w:|Xn X|> } . Logo, tem-se quer

E(ou seja,

|Xn X|r

) E(I{w:|Xn X|> } ),

E(|Xn X|r )r

P ({w : |Xn X| > }). >0

Se Xn r X , tem-se que limn E(|Xn x|r ) = 0. Ento, para todon

lim P ({w : |Xn X| > }) = 0,

ou seja, Xn P X . O prximo exemplo prova que nem convergncia em probabilidade, nem convergncia na r-sima mdia implicam convergncia quase certa.

Exemplo 2.2.19: Seja X uma varivel aleatria com distribuio uniforme no intervalo[0, 1], e considere a seqncia de intervalos denida por I2m +i = [ i i+1 , ], 2m 2m

para m = 0, 1, 2, . . . e i = 0, 1, . . . , 2m 1. Note que tem-se 2m intervalos de comprimento 2m que cobrem todo o intervalo [0, 1], e o comprimento dos intervalos ca cada vez menor tendendo a 0. Denamos

Yn (w) =

1 se X(w) In , 0 se X(w) In . /

A seqncia Y1 , Y2 , . . . converge em probabilidade para 0, pois para 0 < 1,

P (|Yn | ) = P (Yn = 1) = P (X In ),e esta probabilidade, que igual ao comprimento de In , converge para zero quando n . Esta seqncia tambm converge na r-sima mdia para todo r > 0, visto que E(|Yn |r ) = P (Yn = 1) 0 quando n . Logo, Yn converge na r-sima mdia para 0. Porm para todo w , Yn (w) = 1 para um nmero innito de n's e Yn (w) = 0 para um nmero innito de n's. Portanto, Yn (w) no converge para todo w, o que implica que Yn no converge quase certamente. O prximo teorema estabelece mais uma relao entre convergncia quase certa e convergncia em probabilidade.

Teorema 2.2.20: Xn P X se, e somente se, toda subseqncia {Xnk } possui uma outrasubseqncia {Xnk(i) } tal que Xnk(i) X cp1 para i . Autor: Leandro Chaves Rgo


33

outra subseqncia {Xnk(i) } tal que j k(i) implica que P (|Xnj X| i1 ) < 2i . Em particular, temos que P (|Xnk(i) X| i1 ) < 2i . Seja Ai = {|Xnk(i) X| i1 }, i ento = 1 < . Logo, pelo Lema de Borel-Cantelli, temos que i=1 P (Ai ) < i=1 2 P (Ai innitas vezes) = 0, ou seja, P (Ai nitas vezes) = 1. Portanto, |Xnk(i) X| < i1 exceto para um nmero nito de i's com probabilidade 1. Portanto, Xnk(i) X cp1. Se Xn no converge para X em probabilidade, existe um > 0 e uma subseqncia {Xnk } tal que P (|Xnk X| > ) > . Logo nenhuma subseqncia de {Xnk } pode convergir para X em probabilidade, logo pelo Teorema 2.2.17, nenhuma subseqncia converge para X quase certamente. O prximo exemplo mostra que convergncia em probabilidade no implica convergncia na r-sima mdia

Prova: Suponha que Xn P X , ento dada qualquer subseqncia {Xnk }, escolha uma

Exemplo 2.2.21: Seja X uma varivel aleatria com distribuio uniforme no intervalo[0, 1]. Considere a seguinte seqncia de varveis aleatrias Yn (w) =1 2n se X(w) (0, n ), 1 0 se X(w) (0, n ). / 1 n 1 0, mas E(|Yn |r ) = 2nr n .

1 Ento, P (|Yn | > ) = P (X(w) (0, n )) =

O prximo teorema trata da relao entre convergncia em distribuio e convergncia em probabilidade.

Teorema 2.2.22: As seguintes relaes entre os tipos de convergncia so vlidas:(a) Xn P X Xn D X (b) Se Xn D c, onde c uma constante, ento Xn P c.Queremos provar que FXn (x) FX (x) quando n . Como para > 0, Xn x X x + ou |X Xn | > , temos {w : Xn (w) x} {w : X(w) x + } {w : |Xn (w) X(w)| > }. Logo,

Prova: Para parte (a), suponha que Xn P X e seja x um ponto de continuidade de FX .

FXn (x) = P (Xn x) FX (x + ) + P (|Xn X| > ).Por outro lado, X x Xn x ou |Xn X| > de modo que

FX (x ) FXn (x) + P (|Xn X| > ).Juntando as duas desigualdades, temos que > 0, and n,

FX (x ) P (|Xn X| > ) FXn (x) FX (x + ) + P (|Xn X| > ).Como Xn P X , para qualquer > 0, existe N tal que para n N , temos que

FX (x ) FXn (x) FX (x + ) + .Autor: Leandro Chaves Rgo


34

Finalmente, como x ponto de continuidade de FX , para sucientemente pequeno, temos que FX (x) 2 FX (x ) FXn (x) FX (x + ) + FX (x) + 2. Ou seja, limn FXn (x) = FX (x). Para parte (b), suponha que Xn D c. Note que a funo de distribuio de uma varivel aleatria constante c : 1 se x c, Fc (x) = 0 se x < c. Pela convergncia em distribuio, tem-se que limn FXn (x) = 0, se x < c e limn FXn (x) = 1, se x > c. Logo, para > 0,

P (|Xn c| ) = P (c Xn c + ) P (c < Xn c + ) = FXn (c + ) FXn (c ) 1 quando n .Ou seja, > 0, limn P (|Xn c| > ) = 0.

Figura 2.1: Relao entre os tipos de convergncia. A Figura 2.1 resume a relao entre os tipos de convergncia.

Exemplo 2.2.23:(a) Yn P 0,

Para n 1, Xn U (0, 1) so variveis aleatrias i.i.d. Dena Yn = min(X1 , X2 , . . . , Xn ) e Un = nYn . Mostre que

(b) Un D U , sendo U Exp(1).



35

Soluo: Para parte (a), note queP (|Yn | > ) = P (Yn > ) = P (X1 > , X2 > , . . . , Xn > ).Como os Xn so independentes temos que a ltima expresso igual a

(P (X1 > ))n = (1 )n .Como (1 )n 0 quando n , temos que Yn P 0. Para parte (b), note que

FUn (x) = P (Un x) = 1 P (Un > x) = 1 P (nYn > x) = 1 P (Yn > x/n)De acordo com a parte (a), esta expresso igual a 1 (1 x/n)n , que por sua vez converge para 1 ex quando n , que igual a FU (x).

2.3 Convergncia de Vetores AleatriosPara o caso vetorial as denies de convergncia sofrem algumas adaptaes. Para as convergncias quase certa e em probabilidade, precisamos avaliar a proximidade entre os vetores aleatrios Xn e X pelo comportamento da norma da diferena entre eles. Em geral, essa norma calculada por ||Xn X|| = ( k (Xnj Xj )2 )1/2 , onde k a dimenso dos j=1 vetores e Xnj a coordenada j do vetor Xn . Pode-se vericar que a convergncia do vetor aleatrio, quase certamente ou em probabilidade, ocorre se, e somente se, existir a mesma convergncia em cada uma das variveis que compe o vetor aleatrio. Dessa forma, o caso multidimensional pode ser estudado a partir de repetidas aplicaes do caso univariado. Para convergncia em distribuio de vetores aleatrios, requeremos que a funo de distribuio conjunta Fn (x) convirja para F (x), em todos os pontos de continuidade da funo F . Entretanto, lembremos que da funo de distribuio conjunta podemos obter as marginais, mas o caminho inverso nem sempre possvel. Por essa razo, diferentemente das convergncias quase certa e em probabilidade, no podemos reduzir o estudo da convergncia em distribuio de vetores aleatrios, ao comportamento das suas respectivas coordenadas. No temos equivalncia, mas apenas implicao, em uma das direes. Ou seja, se o vetor converge em distribuio ento cada componente tambm converge em distribuio, para a correspondente marginal da funo de distribuio limite. Entretanto a recproca no em geral, verdadeira.


Captulo 3 Funes Caractersticas3.1 MotivaoEm matemtica e suas aplicaes, sempre valioso ter maneiras alternativas de representar o mesmo objeto matemtico. Uma analogia pode ser que um conjunto de vetores pode ser representado em vrios sistemas de coordenadas. No nosso caso de probabilidade, o conceito bsico o de uma medida de probabilidade P que d um valor real numrico a um conjunto de eventos em uma -lgebra. Para X uma varivel aleatria, sabe-se que existem outras maneiras de representar a probabilidade P , como por exemplo atravs de sua funo de distribuio acumulada FX . Se X for uma varivel aleatria discreta, pode-se equivalentemente representar P pela funo de probabilidade de X , pX . Se X for absolutamente contnua, ento P pode ser representada pela funo densidade de probabilidade de X , fX . Uma funo caracterstica X de uma varivel aleatria X uma outra maneira de representar P . Algumas vantagens do uso da funo caracterstica so: pode-se calcular os momentos de uma varivel aleatria X diferenciando-se a funo caracterstica (o que geralmente mais simples que usar diretamente as denies de momento que envolvem integrais), podese calcular mais facilmente a distribuio de soma de variveis aleatrias independentes, e nalmente o uso de funes caractersticas ajuda na prova de uma famlia de Teoremas Centrais do Limite que ajudam a explicar a prevalncia de distribuies normal ou Gaussianas na Natureza. Uma funo geratriz de momento uma outra representao alternativa da distribuio de uma varivel aleatria. As vantagens desta representao so as mesmas da funo caracterstica, mas como a funo caracterstica mais robusta (no sentido que ela sempre existe), ns focaremos no uso da mesma, e apenas no nal deste captulo mencionaremos a denio de uma funo geratriz de momento.

3.2 DenioDenio 3.2.1: A funo caracterstica X de uma varivel aleatria X dada por:. X (t) = EeitX = E cos(tX) + iE sen(tX), onde i = 1.36

CAPTULO 3. FUNES CARACTERSTICAS

37

Note que como cos(tX) e sen(tX) so variveis aleatrias limitadas, a esperana na denio acima nita e, conseqentemente, a funo caracterstica de qualquer varivel aleatria bem denida. Note tambm que de acordo com esta denio, a funo de distribuio acumulada determina a funo caracterstica de uma varivel aleatria. No caso particular de uma varivel aleatria discreta, temos:

X (t) =k

eitxk p(xk ),

onde p(xk ) a funo probabilidade de X . Analogamente, se X for uma varivel aleatria contnua, temos:

X (t) =

eitx fX (x)dx,

onde fX (x) a funo densidade de probabilidade de X . mada de Fourier da densidade de probabilidade de X .

Observao 3.2.2: A funo caracterstica de uma varivel aleatria contnua a transfor-

3.2.1 PropriedadesAntes de enunciarmos e provarmos algumas propriedades da funo caracterstica, vamos enunciar dois teoremas importantes que tratam da convergncia de esperanas de variveis aleatrias.

Teorema 3.2.3: Teorema da Convergncia Montona. Sejam X, X1 , X2 , . . . variveisaleatrias. Se 0 Xn X , ento, EXn EX .

veis aleatrias. Considere que Y seja integrvel, |Xn | Y e Xn X . Assim X e Xn so integrveis e EXn EX .O prximo exemplo mostra que nem sempre Xn X EXn EX .

Teorema 3.2.4: Teorema da Convergncia Dominada. Sejam Y, X, X1 , X2 , . . . vari-

Exemplo 3.2.5: Seja Y U (0, 1). Considere a seguinte seqncia {X1 , X2 , . . .} de variveis aleatrias: Xn () = n se Y () (0, 1/n) e Xn () = 0 em caso contrrio. Ento, temos que Xn () 0, . Mas, EXn = 1 = 0 = E0, ou seja, EXn 0. A seguir listamos algumas propriedades da funo caracterstica. P1. A funo caracterstica limitada por 1: |X (t)| 1, t R.

Prova: Como pela desigualdade de Jensen, E 2 cos(tx) E cos2 (tx) e E 2 sen(tx) E sen2 (tx), temos |X (t)| = E 2 cos(tX) + E 2 sen(tX) E(cos2 (tX) + sen2 (tX)) = E1 = 1.


CAPTULO 3. FUNES CARACTERSTICAS P2. A funo caracterstica assume o valor 1 no ponto 0: X (0) = 1.

38

Prova: X (0) = Eei0X = E1 = 1.P3. X (t) = X (t), onde c o complexo conjugado de c. (Se c = x + iy , o seu complexo conjugado c = x iy .)

Prova: X (t) = E cos(tX) + iE sen(tX) = E cos(tX) iE sen(tX) = X (t).P4. X uniformemente contnua na reta.

Prova: Uma funo uniformemente contnua, se para todo > 0 existe > 0 tal que para todo t, s R |(t) (s)| < quando |t s| < . Logo,|(t) (s)| = |E(eitx eisx )| E|eisx (ei(ts)x 1)| = E|ei(ts)x 1|.Seja h(u) = |eiux 1|. Como 0 |eiux 1| 2, 2 integrvel, e limu0 h(u) = 0, pelo teorema da convergncia dominada, temos que limu0 Eh(u) = 0. Ento, para todo > 0 existe > 0 tal que |u| < implica que Eh(u) < , ou seja, para todo > 0 existe > 0 tal que |t s| < implica que |(t) (s)| E|ei(ts)x 1| < . P5. Se X e Y so independentes, ento X+Y (t) = X (t) Y (t), t R.

Prova: X+Y (t) = Eeit(X+Y ) = E(eitX eitY ) = E(eitX )E(eitY ) = X (t) Y (t). fcil provar por induo que se X1 , . . . , Xn so variveis aleatrias independentes, ento X1 +...+Xn (t) = n Xk (t), t R. k=1 P6. A funo caracterstica de uma varivel aleatria determina a funo de distribuio acumulada. Esta propriedade decorre da frmula da inverso: seja X uma varivel aleatria FX sua funo de distribuio acumulada, X sua funo caracterstica. Se x e y so pontos de continuidade de FX tais que x < y , ento

FX (y) FX (x) =

1 lim 2 u

u u

eitx eity X (t)dt. it

Em particular se y = z + h e x = z h, temos que

FX (z + h) FX (z h) =

1 lim u

u u

senht itz e X (t)dt. t

A prova da frmula da inverso longa e ser omitida.

X determina FX o teorema da unicidade que um corolrio da frmula da inverso, pois esta implica que para todo z R, FX (z) = lim lim limyz

1 x u 2

u u

eitx eity X (t)dt itAutor: Leandro Chaves Rgo


39

Podemos observar que se X for absolutamente contnua, temos que X determina fX :

fX (x) = lim

FX (x + h) FX (x h) 1 = lim lim h0 h0 2 u 2h

u u

senht itx e X (t)dt ht

Como limh0 sen(ht) = 1, trocando a ordem dos limites temos que: ht

fX (x) =

1 lim 2 u

u u

eitx X (t)dt,

que a transformada inversa de Fourier de X (t). P7. A varivel aleatria X tem distribuio simtrica em torno de 0 se, e somente se, X (t) real para todo t R.

Prova: X simtrica em torno de 0 se e somente se P (X x) = P (X x), x R.Como X x X x, ns temos que FX = FX , ou seja, X = X . Como

X (t) = Eeit(X) = Eei(t)X = X (t) = X (t).Ento, X simtrica em torno de 0 se e somente se X (t) = X (t), ou seja, se X (t) real para todo t R. P8. Se E|X|n < , ento X (0) = ik EX k para k {1, . . . , n}, de modo que a funo caracterstica uma espcie de funo geradora de momentos.(k)

Prova: Suponhamos que X seja integrvel; queremos provar que X (t) = E(iXeitX ).Note que para h = 0, temos X (t+h)X (t) = E(eitX (e h 1) ). Como (e h1) ix h quando h 0 (regra de L'Hopital), x R, temos que o resultado decorre se pudermos trocar a ordem do limite e da esperana. Mas como para todo x,ihX ihx

eihx 1 | |=| h

h 0

ixeisx ds | = |x| | h

h isx e ds 0

h

| |x|.

Portanto, como |eitX | = 1, temos

|eitX

(eihX 1) | |X|. h

Como X integrvel, o Teorema da Convergncia Dominada implica que

X (t + h) X (t) = h0 h (eihX 1) (eihX 1) lim E(eitX ) = E(lim eitX ) = E(iXeitX ). h0 h0 h h X (t) = limLogo, X (0) = iEX . O restante da prova segue por induo em n.


CAPTULO 3. FUNES CARACTERSTICAS P9. Se Y = aX + b, onde a e b so nmeros reais constantes, Y (t) = eitb X (at).

40

Prova: Y (t) = EeitY = Eeit(aX+b) = Eeitb eitaX = eitb Eei(at)X = eitb X (at).P10. X (t) positiva denida. Isto , para todo n = 1, 2, . . ., tem-sen n

X (tj tk )zj zk 0,j=1 k=1

para quaisquer nmeros reais t1 , t2 , . . . , tn e complexos z1 , z2 , . . . , zn .

Prova:n n

X (tj tk )zj zkj=1 k=1 n n

=j=1 k=1 n n

E(eiX(tj tk ) )zj zk E(zj eiX(tj ) zk eiXtk )j=1 k=1 n n

= = E(

zj eiX(tj ) zk eiXtk )j=1 k=1 n n iX(tj )

= E[(j=1 n

zj e zj ej=1 n

)(k=1 n

zk eiXtk )] zk eiXtk )]k=1

= E[( = E(|j=1

iX(tj )

)(

zj eiX(tj ) |2 ) 0

Portanto, X positiva denida.1 Exemplo 3.2.6: Se X (t) = 1+t2 , calcule V arX . Soluo: Diferenciando X , temos X (t) =

X (t) = . Portanto, EX = (1+t2 )4 2 Logo, V arX = EX (EX)2 = 2.

2(1+t2 )2 +2t(2(1+t2 )2t)

2t . (1+t2 )2 X (0) = 0 i

Diferenciando mais uma vez, e EX 2 =X (0) i2

= (2) = 2.

Exemplo 3.2.7: Se uma varivel aleatria X tem funo caractersticaX (t) =Calcule EX e V ar(X).

(1 )2 , para 0 < < 1. 1 + 2 2 cos(t)



41

Soluo: Diferenciando X , temosX (t) =Diferenciando mais uma vez,

(1 )2 2 sen(t) . (1 + 2 2 cos(t))2

X (t) =

d (1 + 2 2 cos(t))2 ((1 )2 2 cos(t)) + (1 )2 2 sen(t) dt (1 + 2 2 cos(t))2 . (1 + 2 2 cos(t))4 (0) X (0) i2 2 2 = ( (1)2 ) = ( (1)2 ). Logo, V arX =

Portanto, EX = Xi = 0 e EX 2 = 2 EX 2 (EX)2 = ( (1)2 ).

Exemplo 3.2.8:

Seja (t) = cos(at), onde a > 0. Mostraremos que funo caracterstica, achando a distribuio correspondente. J que assume valores reais, se fosse funo caracterstica de alguma varivel aleatria X , ento por P7, X possuiria distribuio simtrica em torno de zero. Com efeito teramos cos(at) = (t) = E cos(tX), pois a parte imaginria seria nula. Como cos(at) = cos(at), evidente que uma distribuio simtrica concentrada nos dois pontos a e a corresponderia a funo caracterstica . Portanto, funo caracterstica de X , se, e somente se, P (X = a) = 1/2 = P (X = a).

a funo caracterstica de Y ? Soluo: Seja a funo caracterstica de X1 e X2 . Por P9 e P3, temos que X2 (t) = (t) = (t). Ento, como X1 e X2 so independentes, por P5, temos que

Exemplo 3.2.9: Sejam X1 e X2 duas variveis aleatrias i.i.d. e seja Y = X1 X2 . Qual

Y (t) = (t)X2 (t) = |(t)|2 .de alguma varivel aleatria se, e somente se, ela for positiva denida.

Teorema 3.2.10: Uma funo contnua : R C com (0) = 1 funo caracterstica

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