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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2

SEQUÊNCIAS INFINITAS

A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Uma sequência é uma sucessão de elementos dispostos em uma ordem definida. Exemplo de uma sequência numérica infinita: A sequência é infinita: Notação: e cada número é um termo da sequência. Assim, cada termo terá um sucessor . A sequência também pode ser escrita como ou

Exemplo: a sequência tem como o seu n-ésimo termo:

A sequência é ordenada pois existe um primeiro termo, , um segundo termo, , e, se denota um número inteiro positivo arbitrário, um n-ésimo termo . Definição: Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos, pois para cada inteiro positivo , existe um número correspondente . Uma função é uma correspondência que associa a cada número do domínio exatamente um número do contradomínio (conjunto de números reais).

f: sequência infinita. Domínio de f =

Domínio de ( ... ... A sequência é a função com para todo inteiro positivo . Exemplos:

Sequência n-ésimo termo Termos da sequência Décimo termo

(0.1)

2.0000000001

, ...}

2

Gráfico de uma sequência :

Exemplo:

Uma sequência pode ter a seguinte propriedade: A medida que cresce, se aproxima de um número real L, ou seja, se é suficientemente grande!!

Exemplo:

Primeiros termos desta sequência : 1.5, 2.25, 1.875, 2.0625, 1.96875, 2.015625, ...

Os termos se aproximam de 2 quando cresce!!

Para todo inteiro positivo ,

Logo, o número

pode tornar-se arbitrariamente próximo de 0, DESDE QUE seja suficientemente

grande!! Definição 1: Uma sequência converge para o limite L, se, para todo , existe um inteiro

positivo (possivelmente dependente de ) tal que sempre que .

ou quando

Sequência convergente: converge para um limite. Sequência divergente: Se tal número não existe, a sequência não tem limite, ou diverge!

No exemplo acima, a sequência tem por limite 2, ou converge para 2:

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)=n/(n+1)1

3

Gráfico de uma sequência para o caso específico em que :

Sequência divergente: não converge para um limite. Casos de divergência: --> o número cresce sem limite quando aumenta. --> o número decresce sem limite quando aumenta. --> Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Exemplos: determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem. 1) A sequência é: O que se observa? os termos estão ficando cada vez menores a medida que se aumenta o valor de ! Para suficientemente grande, podemos fazer tão pequeno quanto quisermos.

Pela definição 1: a sequência converge para o limite 0.

2) A sequência é: O que se observa? os termos oscilam entre -1 e 1. Logo, não se aproxima de um limite e, portanto, a sequência diverge!

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)= 2+(-1.0/2.0)^n 2

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)=10^(1-n)0

4

.....

Propriedades dos limites de sequências: Supor uma sequência convergindo para o limite A e uma outra sequência convergindo para o limite B, e uma constante. 1. LIMITE DE UMA CONSTANTE

2. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CTE

3. LIMITE DA SOMA

4. LIMITE DA SUBTRAÇÃO

5.

LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO

6.

, se para todos os inteiros positivos e .

7.

, , se é uma constante positiva.

8. se (converge para 0)

e se (diverge)

9. se e

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)= (-1)^n

TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções

Sejam: : a função definida no intervalo , : a sequência definida por para cada inteiro positivo . Supor que exista para todo número real , CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se

5

Exemplos: Use o Teorema 1 e as propriedades dos limites para determinar se cada sequência converge (neste caso, determinar o seu limite) ou se diverge.

1.

Fazer

e considerar

para

Sabe-se que

A sequência converge para 1!!

2.

Fazer

e considerar

∀

logo:

A sequência diverge pois o limite não existe!

3.

A função

∀ , é uma indeterminação da forma quando . Pode-se

aplicar a regra de L'Hôpital :

=0 Logo,

.

A sequência converge para 0.

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)=1+(1.0/n)f(x)=1+(1.0/x)

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)= ((1.0/4.0)*(n**2))-1.0f(x)= ((1.0/4.0)*(x**2))-1.0

6

Obs: nos exercícios que seguem seria interessante que vocês também representassem graficamente para facilitar o entendimento do comportamento das sequências. Exercícios: (considerar o Teorema 1 e as propriedades dos limites) 1- Calcule os primeiros seis termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge (justifique os resultados).

a. b.

c.

d.

e.

f.

R: a) Diverge b) Converge para 0 c) Converge para 0 d) Converge para 2 e) Converge para 0 (propriedade 8 dos limites) f) Diverge (propriedade 8 dos limites). 2- Determinar se cada sequência converge ou diverge. Verificar as propriedades dos limites. Caso convirja, calcule o seu limite. (Dica: usar L'Hôpital quando necessário). Justifique através das propriedades e do Teorema 1.

a. b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. l.

m.

n. o.

p.

q. r. s.

t.

Respostas: a) Diverge b) Converge para c) Converge para 0 d) Converge para e) Converge para 0 f) Diverge g) Converge para 0 h) Diverge i) Converge para 0 j) Converge para 0 k) Converge para 1 l) Diverge m) Converge para 0 (propriedade 8) n) Diverge o) Diverge p) Diverge q) Converge para 1. r) Converge para 0. s) Converge para 1.

Resolução do item r :

diz-se que igual a para n suficientemente grande! Para provar que o limite é 0 fazemos:

Portanto,

3- Encontre a expressão do termo geral de cada sequência (n-ésimo termo).

a.

. {

}

c. { } d.

7

e. {

} f. {

}

g. h. {

}

i.

A sequência está entre as sequências e .

Exemplo: Determine o limite da sequência

Resolução:

,

Aplicando a propriedade 8 dos limites, com

,

=

=0.

Do Teorema 2,

.

Como

Exemplo: Discuta a convergência da sequência

onde

Resolução: Quando , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito.

Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! O que acontece com quando torna-se maior?

TEOREMA 2: Teorema do "sanduíche" para sequência (ou Teorema do Confronto)

Se são sequências e e Se

8

Parece que os termos estão decrescendo e se aproximando de 0.

PARA PROVAR, fazer

O que se observa é que a expressão em parênteses é no máximo 1, pois o numerador é menor (ou

igual) ao denominador. Assim:

.

Pelo Teorema 2, como

quando , quando

Exemplo: Supor que o n-ésimo termo de uma sequência seja

PROVAR que Resolução: Os termos da sequência são alternados, positivo e negativo. Os sete primeiros termos da

sequência:

Como

, do Teorema 3,

Exercício. Provar que utilizando o Teorema 3. Informar também os 4 primeiros termos da sequência.

a.

b.

Definição 2: Sequências crescentes e decrescentes Uma sequência é crescente se , . (

Uma sequência é decrescente se , . (

Uma sequência é monótona (ou monotônica) se ela é crescente ou decrescente. Uma sequência é não-monótona caso contrário. Exemplo: Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.

a.

e

Para qualquer valor de :

TEOREMA 3: Termos alternados

Seja uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo,

se

9

Se é um inteiro positivo, então ( e , logo: ; então, . Portanto, a sequência é decrescente!

b.

A sequência:

Sequência não-monótona pois repete sempre o ciclo

c.

Fazendo

e

para

é uma função decrescente no intervalo . se verifica para todo inteiro positivo , ou seja, a sequência dada é decrescente !! Exercício: Determine se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. Justifique.

a.

b.

Resposta: a) Decrescente b) Decrescente. Definição 3: Sequências limitadas, cota superior e inferior Um número é denominado cota inferior de uma sequência se , .

Um número é denominado cota superior de uma sequência se , . Sequência limitada inferiormente - possui uma cota inferior. Sequência limitada superiormente - possui uma cota superior. Sequência limitada - limitada inferiormente e superiormente.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4 5 6

f(n)

n

f(n)=(2*n+1)/(3*n-2)

10

Logo, uma sequência é limitada, ou cotada, se e somente se existe um número real positivo M tal que , .

Exemplo: a sequência:

é MONOTÔNICA (pois os termos são crescentes) PROVA Verificação que a sequência é crescente:

para qualquer valor de n:

=

Se é um inteiro positivo, então ( e , logo: ; então, . Portanto, a sequência é CRESCENTE! De acordo com a Definição 2. Uma outra forma de verificação seria através da derivada da função em . é LIMITADA (1 é uma cota superior (todo termo é < 1) e 0 é uma cota inferior (todo termo > 0)). PROVA

Verificar o limite da função:

De acordo com a Definição 3.

Exemplo: Determine se a sequência

é limitada superiormente ou inferiormente.

Resolução:

Como

e a sequência é limitada tanto superiormente quanto inferiormente. A sequência é também não-monotônica devido a alternância entre os sinais positivos (valores pares de ) e negativos (valores ímpares de ).

Exemplo: Use o Teorema 4 para mostrar que a sequência é convergente.

1.

Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes)

,

para . Logo, é DECRESCENTE em .

TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas

Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente.

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Verifica-se também que para todo inteiro positivo , ou seja, a sequência

é

decrescente.

Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas) Todos os seus termos são positivos e ela é limitada inferiormente pelo número 0.

PROVA:

Aplicando L´Hôpital:

Logo,

Terceiro passo: do Teorema 4

A sequência converge, pois sequência é decrescente e limitada inferiormente.

2.

Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes) Primeiros 4 termos da sequência (3 casas decimais): 1.667, 1.389, 0.772, 0.322, ... Assim, a sequência DEVE ser decrescente. PARA PROVAR, mostrar que:

ou seja,

ou

A sequência é mesmo decrescente para qualquer inteiro positivo.

Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas)

Observa-se que todos os termos da sequência são positivos. Logo, 0 é uma cota inferior.

PROVAR

Quando , tanto o numerador quanto o denominador se aproximam do infinito.

Não podemos usar L'Hopital pois não é definido quando não é inteiro! O que acontece com quando torna-se maior?

Observa-se que a expressão (

tende a 0 quando e a expressão

tende a quando

Logo, quando Terceiro passo: do Teorema 4 Como a sequência é DECRESCENTE e LIMITADA INFERIORMENTE, ela CONVERGE.

Exercícios (Justifique as respostas: verifique os exemplos fornecidos anteriormente) 1- Determine: - Se cada sequência é crescente, decrescente ou não monótona (Definição 2), - Se é limitada superiormente ou inferiormente (Definição 3), - Indique se a sequência é convergente ou divergente (Teorema 4).

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a.

b. c.

d.

e.

f.

g.

h. a) Crescente, limitada e convergente b) Crescente, limitada inferiormente, mas não superiormente, divergente c) não-monótona, limitada e divergente d) não-monótona, limitada e divergente e) Decrescente, limitada superiormente, mas não inferiormente, divergente f) não-monótona, limitada e convergente. g) Decrescente, limitada inferiormente e convergente. h) não-monótona, limitada, divergente. Resolução dos itens (e), (f) e (h):

e.

Primeiro passo: da definição 2 (Sequências crescentes e decrescentes)

para ,

logo é DECRESCENTE em (1,∞). (OBS: Cálculo da derivada: )

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)=sin (nPI/4)/n

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(n)

n

f(n)=(1.0/(2*n+3))

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Segundo passo: da definição 3 (Sequências limitadas)

A função

∀ , é uma indeterminação da forma quando .

Pode-se aplicar a regra de L'Hôpital :

.

Portanto:

A sequência NÃO É LIMITADA INFERIORMENTE. Terceiro passo: do Teorema 4

Sequência DECRESCENTE mas não LIMITADA INFERIORMENTE, portanto, é DIVERGENTE.

f.

Sequência não-monotônica: Numerador: o limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente, fica sempre seguindo um padrão: 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, 0.7, 1, 0.7, 0, -0.7, -1, -0.7, 0, ... Denominador: limite infinito quando n tende a infinito. Limitada e convergente: Aplicação do Teorema 2 - Teorema do confronto:

Sabemos então que

Logo,

Como

temos

Portanto,

h.

Este limite não existe (não é finito nem infinito) pois quando n cresce indefinidamente,

fica

variando indefinidamente: 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, ... Assim, a sequência é não-monotônica.

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É Limitada pois

Limite inferior: -1 e Limite superior: 1.

Divergente - Caso 3 da divergência: Quando a sequência não se aproxima de um limite e os termos oscilam. Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência nos casos a seguir: 1. 2. 3. 4. 5. 1. D; 2. D; 3. Converge para 0; 4. Converge para 1; 5. Diverge. 3. Definir a. O que é uma sequência? Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode também ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. b. O que significa dizer que Que os termos tendem a 8 quando torna-se grande. c. O que significa dizer que Que os termos tornam-se grandes torna-se grande. 4. Definir a. O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos. b. O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos. c. O que é uma sequência monotônica? Dê dois exemplos. 5. Liste os 7 primeiros termos de cada sequência:

a. b.

c.

d. e. f.

6. Liste os 5 primeiros termos de cada sequência e determine se a sequência converge ou diverge. Caso convirja, encontre o seu limite.

a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) g)

7. Use um gráfico de sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Stewart)

a)

b)

c)

15

Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.

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Apêndice - Resumo dos teoremas: TEOREMA 1: Convergência de sequências e funções Sejam: : a função definida no intervalo , : a sequência definida por para cada inteiro positivo . Supor que exista para todo número real , CONVERGÊNCIA: Se DIVERGÊNCIA: Se

TEOREMA 2: Teorema do Confronto Se são sequências e e Se TEOREMA 3: Termos alternados Seja uma sequência que alterna os sinais positivo e negativo, Se TEOREMA 4: Convergência de sequências monótonas e limitadas

Toda sequência CRESCENTE limitada SUPERIORMENTE é convergente. Toda sequência DECRESCENTE limitada INFERIORMENTE é convergente.

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Apêndice - Limites de funções: Formas indeterminadas

Vamos ver alguns exemplos de tratamento de formas indeterminadas do tipo:

a) Formas do tipo

Se e são duas funções tais que e , então a função tem a forma indeterminada em .

Por exemplo, a fração

possui uma indeterminação da forma

para . Ou seja,

e . A solução é calcular o limite desse tipo de fração através da fatoração do numerador e do denominador.

Exemplos:

1)

(Resolvido por simplificação algébrica)

2)

(Resolvido pela multiplicação pelo conjugado)

3)

(Resolvido pela Regra de L'Hôpital)

4)

(Resolvido pela Regra de L'Hôpital)

5)

Regra de L'Hopital:

Suponha que

tenha associado a ele a forma indeterminada

para e que

exista.

Então

. Nesta regra, a fração é obtida diferenciando-se, separadamente, o

numerador e o denominador da fração

.

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b) Formas do tipo

Esta indeterminação pode ser entendida como

, ou seja, pode ser reduzida à forma

.

c) Formas do tipo

Para determinarmos escrevemos como

ou

o que conduz

à forma

ou

d) Formas do tipo Se e então o limite é chamado forma indeterminada do tipo . Devemos tentar converter a diferença em quociente, usando um denominador comum ou racionalizando, ou colocando em evidência um fator comum a fim de termos uma forma

indeterminada do tipo

ou

.

Exemplos:

1)

2)